______________________________________________________0_________p_______0__p______00__________0________________________________________0____________0______________________0__________________0__________0___o____________________o__________________________________oo_____________________________________________________________p_____________________________0____________0___D_0___0_______0____________0__0_______________0________p___o___o________o__________p_____________________0______________________________________________________0_______________________o______________p___o0_________p_o_____________________________________________________________________o________0____________________0__________0______o____o_________________0_________________________________________________0__________________D____0______o______________________________________________p_____________________________________0_____0_______________________________________________p________0__________________0______________r_____________________0_____0_0_v______0________________0__________0_______00_________0__________0____0__p__________________________________________________________00__________0________0_____________0______________________________________o____________________0___0________0_______p___________0__________o__0___________________________________________________________________0___________p_______________0_______________________________________________________________________________p_0_________________0_______________________________________________________________________________________________o_p__________________________________________________v____0________________p_____________________________________________D0_____p________n_____________________________r____0_____0_________________________________________________________________________________________________________________0__________________________________(__l_____r_____________________________t____________________________________n______________________________________________________o________________t___________________0_______p________________________________________________________p____________________p______________________00_______________________________p___t_______p_______________________________00___________________________________r________________o________________________0_______________________0_____p_______________0__t______________________________0___________0_________________p_________D________________ot__________________________________________p________o________________________0_______o_________________________0__p____________p_________0_____________________________D__D_______________________________________0_o____________________________________________________________________p__________________________0_______0_________________________________p___0___________________________________0________________________________o___________________ _ D_.____P.t...' _ _1, _ _; _0 __,'.q', _ ' __ __ '' D_,________ _ __ __ __ _ __ __ 0_ i __ __ __ __ __ _ _ __ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ . _ . _ _ . _ _ ' _ _ ; _ ' t t _ . _ ,

_3_ AAD_DD___ le))))_ wwd_umwFFNEcla_oelnsnsec1up_sTreomegpx__olseelmmBBo))esvvnmNt teNo Fd_ e uyncEcE_)))lemyvw1Mvno_ Fes un_ D) tfc_dalonvexo_ l_ )E) v__ _2

, ,............. .N_ J _ e o m e t r í a

TopoIogía 4, Anatic? las si_ientes pro_osiciones y dé elvalordeverdad.1. lndiq__e el v_or de verdad de las siNientes _ s,, p un p_,,o __ _, , _3 _e, re_,sproposiciones+,nee ueb,ada es un con.unto co,v_o contenidas en dicho p1ano, entonces _'_ste' como máximo siete conjuntos convexos. na íne_ _ ana QUe nO eS SeCante a Slmisma, divide al _lano en dos conJuntos en P - (__, u _, __ _3).COnVeXOS.., un se mento de ,ec_ _ le om._te u,o Tl, EI di�mebo de una circunferencia_ divide/ste conJ-,nto es convexo a _ta en dos conJ-untos convexos.N. La intersección de dos rectas es un IIl. _an __ _ &, d_conjuntosnocon_exosconjunto convexo._ que __, _= _2 X _, en tonCÆ __ -no siem1Jre es un conjunto no convex, o.:. _ N. Dos regiones tTiangulares determinanconlo _axlm- o, _ inteTsecarse enke sf, s!ete2. De l_ sj_jentes pro_sicion_, indique cu_e; COnJUntOS abie_OS _ COnVeXOS.son verdaderas y cu_es son f__. _ Sea P un plano. Si A es un c0njunto_fo_n bl-en _er cu o ber__cen_o se convexo conten__do en p entonces ACha omitido es ur_ conJ-unto convexo. ícom__emento de A) es un conjunto noIl. La re_a de EuIer de un _ián_lo divide â convexo y si A es un conjunto no c0nve_c_SU re_iÓn _ian_UtaI CO_eS_Ondlente en conteni,doen_,enton_AC_unconjuntodos conjuntos convexos.III. Una región poligonal de Ia que se han__uido_v�___un_n)unto_nv_o. A_, v_ B_, _ c) f__N. Una región cuadrada de la cual se omitensus v_Mces Æ un canjunto convexo.5. lndique la veracidad o falsedad de lass igu ie nte� afirmaciones.I. En un plano H est� contenido un_c_-ones enunc1_adas _-nd_-que e_ _entágono_ P y D son sus diagonales.velor de verded. entonces en H_ (PuD) existen onceI. La reunión de dos conJuntos no COnVexoS conjunt_ convexos d_juntos,nUn_ _sUlta Un COnJUntO COnVeXO. lE. En un pl_o H e_án contenidos el én_lolI. La inter_cción de dos conjuntos convexos _y Una Inea fe_a , entOnCeS exIStenSlempTe eS OkO COnJUntO tOnVeXO.os conjuntos convexos como mínimo en_unto convexo H - (F u _).N+ Si a una región kiangular se le omite una llI. Si a un con)unto _nvexo le omjti__os su_tura1 el conjunto resu1tante siempre es kontera, este conjunto es no conve_o.no canvexo. N. _a relación y>_ es un conjunto convexo.V. Sea T un triánguIo acutángu_o con su s 2 2e2I_ aS re_lOne5 Y>X Y X>_,fe_lOn lnter10f, DS a turaS e klanQU O_te,ior., enton_ H di_.ide a T e, cinco entonces su intersección es __n conJunto_nj untos convexos d isj u ntos. C OnVeXO ,

A) _ B) WFFF C7 VVNF A) _W B) __f Cj _'_)NM E)NfFf D)NWF E)v_

l89

$_BE_? lm_Fctalm8t4g A_Bcc_ cD DE _ __7abb __ _0+_2b

ProbIemas, S, eIectos ,,,, '__................

Segment0s y A_guIos 10. En ur_a recta se ubica los _untosconsecutivos A, B. C, D_ E, f. G y H de modo6. En una rec_a _e ubi_a los puntos consecutivr__- que g E y f son los puntos med._os de _A. B, C, D _ E �e modo que- - BE+AC+BE_AD+CE = (AE)(BD). CG y DH respectivamente y -=_ ,

l _C_cule ___. AC+DGcalcule _c_ .Gv.

l lA!, _ B).3 C) _ h _A)h B) -2 C) -h1D!2 _j 6 k 2D) -3 E!/ -h

7. Dados los n,un. tos colineales y consec__t__v_s _4,ll. En una recta están situados en forma. AC BD CE _f ro,secut;va los pu,_os p a _ y s _e modo_C,D'EYFi Sl __c+-cD_-DE_ _Ef=m ' ' ' '_a a,_que -p s = -R s. Luego se ubica los punt_sca_cuI_ -+-+-+_BC __D DE Ef _mediosMyN_e PR y QS respec__ivamente.

_ 4 B) c, _ C_c_le _W. s� P_=a y _S=b.__,!m- m tm-

Dj ,m+2 _.;J Fn_3ab_ .A _4) _)_a+b C)_a2tb^', E__ un __Cta _ U_J_ 0_ _lln'_O5 i;_Me_,l_V_S ,R_ C -_D de mod0 que B es punto me_io deAD.Ca1,c_1e CD, si se cumple que (A_,)(_)�16 D!, _ E)0+_l l_ _=-+2(C_) l2 En una recta se ubica los puntosconsecutivos A_ B, C. D y E _e modo que_,A7_ B)3 C)4.JC Ac B_ c__) 5 _\, _ -2 �-3 =-5, además la suma de las

Iongitudes deI segmento 4ue une los puntos9_ En una recta se u_ica los punt_s A. B, C, D. -__ cE___f _. 2 (Bc ) __ 3 (DE) medios de AC y _C con el segmento que

2 AB __ une _os p__,tos medios de CE y CD es h.calcule _;Df)2 (cD)2.- Calc_le -.

3 2 9A) 2 B) 3 C) Q 3 2 2A) -J B) -3 c) _4 _-g E)-2 3 2D) _ E) -7

19O

___dAgE)F_t_tr______td_9d9d+ _ __dl__l l_hl______wddaldd___ll_d___t1Et)d_l_dl dlt_t__t, ol _2103po__0p_B 51_3ooo_0l_doft veJeccm_))etdn__toJe__G_o_oc3___ct_ul le

.......,....... .___' Geometría

l3. En una re_ _ ubica Ios puntos A, B, C, __ respectivamente, sabiendu q!_e M _ NE y f __e modo que {Ag)(CD)-_(8C)(AD)_, pe_enec_na la región interiordelánguloBOCy mqBO,__ _ m_CON = 200.(CD)(.Ef;'__(DE)(CF) y _+_=_+_,__)40_ _;_300 C7250calcule m3+n3tl3+t3. D) 2oa Ej loo

A) l2 B) -l4 C) lO l7 s,,n lo, án_,_m, c,nsecut;vos Aog BocD) 14 E) 18 coD _a_ que mqAoc _ mqBoD _ _0o.luego _ b_ l_s bisecbicÆ OM _ ON de fos14. En una re_ _ ubi_ t_ _nt_ _nx__v_ 4 a, n__1_ _oB y co_ ,e,____B,C,D,__,G,..._y_ísu_iv_entc:_que _ _. d d _ ,a me l a e an_U O OFma O _Or, aSl B c _ l c_ _. 1 DE _ 1 _isectrices de l_s ángulos AOM y C0N si3 ' I,5 ' 35 ' 63 ' mqMo__ = l_oo.l_--_ _-- AJ 1 ia) lo5_ E) io_o3o'Calcu1e la suma 1imite de las fon3itudes de los_grr,entos dedos. l8. Se tiene !os _ngulos consecutiv0s AOB, ___ C_ C0D de modo que ia mqB0C exc2de a ta_ _ 1 mcAO_ en 40O y la m_C_D excede a LaA) j_ B) _j C J'' -_ m__?ß en 2_O, Lueg_ se _aza la5 b)_c_jcesGM, __V_ OQ. O_ __ Of de l__ _gutcs A_OB,_i _ _oc, c_D. lV_,N , ,y__ ,.,sp,__;.v,,,.,nte._ Ce.1,nul_ la m_ßO_ _ m_tCOF .

j5. Se {ien. e un segmento AB _e !___3!!_!-J_ n ,4) l_^' B!_ ___J"i Cj _C^___1i__._{es A _ar_jr de �ste 5e __t_i.ene n D; 1_^- E) 25_e__m_T!t_os de ;'a 5i____lieni__ n_e_era: e1 pri_,e_oM ~ _ t l9. _n- -_n. s, er. un p!__n_ _, !os r_yos co_.__ec!vi_,ivoseS _ e On_tua 11 U,_l a __'_, _. __n,_U ae_ _ P1_ OP_g _. ...., P_6: d_^ __Od_ _Ue Se._n__-_Uu __Ua a mlt2 e ßrlmCfO, e. terCefO - ''l E ,. _ d _ f__e 3nNlos con_ec_1tivos t_ con_entes; si_ On_l_ INa a a mltau ae _3Un O, e , ,. .. . _an_O 1 ___5aN_,CCUeem_aXlmOCUartO e _n9l a fN a a ml a e efCerOLvalor enter_ det á_guIo formado p_r 1asY _I 5UYIVam_nte. Ue_0 _ tOm_ a enesima_isec_ices de los �r,Jilos PzOP? _' P,_,OP_i.D.2rt_ 2 Ca a U_a e lCl_ _n_lhl eSYse ^su_na su_ re_W_dc_s. _C_c_ es la ?uma? m) J3o g_)Dj 3G_ Ej J;_n___ __ 2__lA) 2,__ _) ___l C) _2,___ 20. _r un _unto se __a ray_s cop_anar__s quefofm_n n 3ngu!o5 congTuentes, adem_5 ta2n 2n-'- medida del ángulo îormado por el prjmer y_)_2,__t _� f_) _j, n+l _.,Itimo fa_.o es y_ �rJ_,,_a qu,c; ve!.or d, n 1__e_id3 de1 áJ_gulo foim2_o por eI novenora_'o y la re__ a maratela a la bisecbtz- del án_lo. Se tiene los ángulos con_cutivos AOB, BOCor__ad_ moT e1 cuaIta y quinto rayo es _,3ß ?_ OD, tal 4Ue m_AOD = 800. alCU__ lamedida del ánNlo fo_adu por, ias bisec_ces _.J _ B ) __OM y ON de los. án9ulos AOC y BOD D) __ _j _o

_9l

__A___l)_52_o __ _B7)_45_o_a__o_ Mc)8x__2___0_l _ADn___))1_56oo__\ _/B)__pl____2lo6_ooD_g g Ec))3_g_58oou_g___ 2__

Problemas Selecto_ '__. ...... ._..... ,. ,

M M _. Según el gráfico, catcule ,K-_, si. En l2 fl_Ura_ __//_2 Y atV_ 5 .calcul,x. _-ß=_-Y"lOO y _; ///_j///_3i/___.__ _ _l_ _ .. ' D '2 0 . \,ax _ _3O_ __ x2 2___ . !_ 0_'__1 _ / ())4 ___ D__ .D)_80 Ej 6ZOj20^ _)_30' C)252Z Según el gráfico, calcule x si __ // _2.26. Enelgráfico A_J/CD _ w-__�4Z^ ,c_1c_u!e_ la med_da dC1 an__!__ (_rm_dO _0T _ _ __'._00o40

, .. _0_ ._._,

20 _'_j o a?0_n) 1ooo B) 12oo c) 14ooD)l500 E) 135^ c A

23. En eI gráfico _l //_2 _ el ángulo ABC es _) 80 E) 50agudo, celcule el minimo valor entero de x.rriángulo_O_.2g _' ' 26. se u_n _,f_, u,, celcuiea+b+c__+ + .t_ g 0a__O2_ x_ bd' __ e_c B 'A) 200 _) 21^ C) 22^ 4) __oo B) ?__c0 c) 36ooD) 18o E) 19o _j _soo ' Ej jn/_o

192

___D _A D 0 ooo___o p _AD))_32__43 b B) 22 t Q_ f cE_))832045 _c

' Geometría

27. Segúnelgráfico,AN=AT,BM=BRyCS=C_, 3l. Según la figura el perímetro de Ia re giónCalcule a + _ + g. _iangular _C es 60 cm y el perímebo de l aregión _ian_lar DEF es 24 cm , dete_ineM enbe qué valores está com prendide las longitudes de AD , BE y C fB

R_p

s D,,,0,,,.,,æ''_'';.:.___._o___a__^^_^^__a^_,^'_^^'_,,^,'__0,^'_,_aa_a_'_0_n_,a ___^^^__^' __ _'___0''___.___^_^'__,_,,,__,,_____,,o i__o____^_^__,'_^_^__0___._,,oDOT CNA)3600 B)270^ C)1350 A)l2y30 B)6yl5 C)9y24D) 18oo E) 3ooo D) 18 y 48 E) 15 y 2Q

_. Según el gráfico a+b+c+d=Q20^, calcule 0. 32, Según el gráfico, c_cule el án gulo formadopor las rectas l_ y l2_0c __a3_

_ D _ _ __ _ __ '___ uJ _ _ ,a 0 L^ L1

20 boD __0n) 25o B) 15o c) 1oo A) 8oo B) 12oo c) 9o_D) 18o E) 2oo D) 45o E) 6o0

_. Según el gráfico, calcule x. 4. _Cuántos triángufos existen con lados deg longitudes enteras de períme No 4O cm?Dt20o0 axaB

_. Según el gráfico, calcuIe x._u, _____ c __,__n)15a B)6o c)9o _^D) 12o E) 18o

3o. En u, t,__,/,gulo ABc, los _,dos m,_de, 2,__., a60' a800 XD6-a y 3a-1. Calcule la medida def menorángulo interior si se sabe que a es_ un número _ __entero.

n) 3oo B) 37o c) 45o A) 6ooD) 53o E) 6oo D) 2oo

l9 3

_AA_))_4oo_A_____B0) 6_oo___c ) 42o D) 6__o o_0_____ ay_t__E) 89o _ t

ProbIemas 5e Iectos '

35. Según el gráfico, AB=BC y AD=AC. 38. Segúnelgráfico,calculex.Calculex.

u) 00cu B,_Ç1__aaxO__D^ 'D ^ ß_' C XOD) 45o E) 75o A) 67030' B) 600 C) 7l030'D)75o . E)3o036. Se�ún el gráf1co, caIcule x+y si la medida del_. En un Mángulo isósceles ABC (AB=BC), seángulofo_adopar __ y _2 es 0. b_lecevianainteriorAM_lqueAM_Ac.Calcule la diferencia del valor máximo y_ _ mínimo entero que puede tomar la medidadel ánguloAMC.

_ _ A)26a B)2g0 c)3_JoX

40. En un _ángulo acutángulo ABC se _aza lasaD OD_0 a _ , media_ces de _g y _c que intenecan a _cn_ a ___ en M y N Fespectivamente; calcule la medidadel án_lo dete_inado por la bisectiu delángulo ANM y la recta pe_endicular a AM ; si30 50 mqABc+m_cg- 115o30 B)-2 C)-2 -mqNAM+mqAMN_l100D) 8 E) 28n) 1oo B) 22o3o' c) 5o3o'37. Según el gráfico, BP=PT y QP=PC, D) 50 E) 7030'calculex._1. Se�ún el _áfico m_BC + mqACB = 1000B calcule la suma de las medidas de los ángulosDP_ yDQE.DT POMa D__ A) 750 BXc) _5o _D) 3ooE)5oo DD _ ''DDa _A Q CuD0 uJ_ B_0_D)300 E) 22030 A E C

__4

___ __ A 0 ADAD)))A)_34D2156goo _ __BB))l3Rooo c_c EncE)g))p)2632uoJlooos

' _eometria

_ En un tri_ngulo ABC se traza Ias cevianas _. En un cuadrilátero convexo ABCDinteriores AQ y BP, t_ que mqBCA = 480 ; m_AD= 5 oo, m _ c-_ 1 4 oo y AD_ Dc_ Bc.,maCBP = 300 , mqBAQ = l80 ysi las proIongacianes de BC y AD sem_QAC � 60 ; calCUle la mintersecan en P, calcule la mqn)28o B)32o c)3ooD) 24o E) 12_OÓ93. segu_nel__f,co_cal,u_e g ,s,_AB__Bc C) 400 ó 200D) 600 ó 40'A) loo D E)2_ ó 300gj go 780C) l20 B _ En un _ián_lo isósceles ABC_ de base AC,D) l80 0_ la m_nBc = 8oo __ se ub_'ca un punto p de suE) 70 ^ altu_ AH que equjdista de A y B. C_cule lem_PCA80_ o_D C_ _el _áfico mostrado, caIcule 0+b._9. En el gráfico, calcule el m_imo valor enteroa b_ de QR si CP=PQ=P_, AB=Q y AC=5.0_ _a2 _0a _02aBDaY _D_Y ___n) 2ooo B) 25oo c) 24ooD) 2600 E) 2700 __0_ Interio_ente a un _ángulo ABC _ ubica elpuntoO t_quem_O--600+0m_BAO=600-20m_OAC = m_CO = 0. Con fuencia de _fiCatcute 0.5O, En un biángulo A8C, AB�4 y BC=6_ se trazan) ZOo B) 30o C) 12o _,b1_,ec_r_. .,n_e,1.o,BMen cuyapTol_D)35o E) 15oSeU ICae pUntO , t qUe m_ = Oq6. E, u, t,-,e_n ulo Agc ,e t,ez, _, b_,,ectf_.z en 8C 5e UbiCa el PUntO Q,interiorBPencuyaprolongaciánseubicael NQ_AC=(F) y NQ//AB. Calcule l_punto D de modo que _ongl,tmaPAD � m_PDA = 300 y m_ACD = 150 ;celcule l_ m_BCA. lOS _UntOS mediOS de _ y BN

n) 15o B) 1oo c) 3oo n) l B) 1 ,5 c) 2D) 200 E) 25o D) 2,5 E) 3

195

5_2 s_ _ A____ ___l_ _t _Q0 _Ac y

PrDbIema_ Se Iectos '_................

5l. En el __rlco se muesba un cuadrado ABCD_ 55. En un tri_ngu1o acu_ngulo A_C se ubica unsi EG/JCf yÆ=Cf,_lculeelvalordex. punto interior P_ tal que AP--BC,m_BAC=m_PCA, m_J4P=m_8CP _A) l50 calcule mqBAC.B) 18oc) 22o3o' n) 15a B) 6oo c) 31_D) 26030' E D) 300 E)450E) 3o'56, En un tri_n_lo ABC se tr_a la altura BH,en la cual se ubica el punto P tal que^X D , m_BH=18o y mæAB_12o _ siX BC=AB+AP, calcule la m_CB.

G n)18o B)15o c)32_D) 16_ E) 36o. e tlene lOs tFlángu OS eqUlláterOS ABC yPMQ, tal que _ c AC y M es punto de la 57. En un triángulo ABc se tfaza la tevianare_ón inte_or del _án_lo _C, adem_ P jnterjor AD de modo que AB_DC, ademáspertenece a AQ. Si AC=Z(PQ)=4_ _ m_CD m_ACca_cule la lo,gl__d del ,,gmento que une lo, m = _2 = _5 . CaIcule tapuntos medios de AM y BQ. m_DAC.

A) __ B) _ c) __ A) 120 B) 160 C) 18OD) lO' E) 15OD) i E) i& En los lados BC y AC de un triángulo_ En un ____lo ret_n_lo _C, re_o en B, fect_n_lo A8C, fecto en B, se ubjce lo, i_ __ la __ra BH Y la b__ __ del án_lo Q fespectivamente de modo queABH que interseca a _ en P, luego se __a m_Ac _ 2(m_AB) , m_ _ m_c_Ia bisect_ del _n9ulo __ aue inteneca a la y Bp-_3 _., __cu_, pa.prolongación de C_ en Q y adem_ _ bazaIa bi_c__ del ángulo PQ_ que intene_ a A) 3 cm B) 3__ C) 3__P_ en R. Calcule BR sj PQ=a y BQ=b. D) l _ E) 6 _

59. En la re_ón extejor de un __n_lo nBC, sea-b -A) _2 B) a-b C ) a + b ubica el punto f relativo a _, de modo que, + b _=_, _ m__=__ m__C=l50D) _j E) _ y maAcB_45o. ca1cule m_f_.

æ Exterio_ente a un triángulo rectángulo A) 150 B) 300 C) 450- D) 22o3o' E) 6ooIS6Xe eS , fe CtO en , Y fe atIVO a Se 'ubica el punto P de modo que la _ Dad oun_._n gulo_c _ u b_.m_PC�1350, lue9o las media_ices de exte_o,yre_at;voa_c t_q,eAB__BD__Dc,_ y PC intersecan a AC en _ Y L m_DAc __ 3oo y mgBcD __ 4oo. c,1culerespectivamente, calcule la mqMBL. Ia m._BAD.

n) 37a B) 53_ c) 15o n) 1oo B) 15o c) 3ooD) 45o E) 35o _) 25o E) 2oo

196

_la m_BAc _ __ __ qA__p Bt Dc)a4lc5w02no++e bb1a2 mgg4pc _ _ E)ce3_a7au+obnbpun_ to

6l. En la región interior de un _ángulo equilátero 66. En un bián_lo rect_n_lo _C, recto en B,ABc se ubica el punto p, tal que se __a la ceviana interior Æ a dem ás __ goo. lue o se __ exter.,o_ente baza la pemendicular CF a la pro1ongaciónal triángulo APC los _i_nguIos equiláteras de Æ y BH l AE (F _ _N y H _ Æ).__ y _f. C__le la mgEBF _ s; m_AE __ 2(m_cE), BH_, y cf_b,caIculeBC.D) l500 E) l800 A) 0+b B) 0+2b c) 20+b

62. En un _i_n_ulo ABC, la m_CB = 1430 i D) _' E)exte_ormente y relativo a A8 _ ubica elPunt0Pdem_oauePA=_Y m_PAB=530, 67. _ntm-o_ente aun___/ _loA8cs,ub_,_ elluego _ baza PH perpendicular a AC (H punto P tal que m_PA8 = mqPAC _ 200 _en _c ). Si AH_6 cm, caltule HC. mgABP � 300 y mgPCA = 100. _cule _m_PCB.A)4cm B)5cm C)3cmD) 2 _ E) 2,5 _ A) 10' B) 200 C) 300

63. En un _ángWo ABC _ _aza l_ bi_cbites.,nte,.o,es _ y BM s__ A8+BN__nM+BM y _ En un _án gwo __ án gwo A8 C_ re_o en B,_ 6oo __cwe _, mgBcA _=6 cm, _C_ 8 cm, se b_a la al_ra B H_l_ b-_cbices exte_ores de los ángulos A y CA)300 B)500 C)400 intersecanalaprolongaciónde _H eniyD) 800 E) 600 Q r_ctivamente. Calcule Pa.

_. En un biángulo acut_ngulo ABC _ baza las A) 6 cm B) 3 cm C) 24 cm__ras AM y BN las cuales _ inter_can en D) l2 _ E) 18 cmH, en l_ prolongacion_ de AM y _N se _ En t,.,_n ulo _c ,e ub._ubi_ Ios puntos A' y B' re_c_vmente tal ' U_ interior P tal que la mgPAB = 2(m_AC)_que AA'--_C; BB'--AC; si A'_' interseca a _-Hc AB--AP y CP es bisectri2 de _BCA _enPY_=t1B_calCUIelam .

A) 600 B) 450 C) 530 A) 1zoo B) 1ooa c) 15oaD) 370 E) 900 D) _4oo Ej _35o

65, En un kiángulo Tectán_lo _C, recto en B, 70. En un _ián_o re_n_lo ABC, recto en B;se traza la bisectri2 interior BD Y CH en _c se ubica los puntos M y N ta1 quee_endjculer a la pTolongación de BD (H m_BAM _ m_M_ = m_AC _ luego seen diCha _rOlOn_aCiÓn); Si 8D=__ Cal_le __ MH pemendicula_ a AC (H en AC )Ia mKHAC. de modo que _C=2(HC). Calcule lam_BCA.n) 22o3o' B) 37a C) 53a

D) -2 E) -2 D) J2a E) 31o

_lD)__ E) _ _ . ____55o , 370 mo lsac_deoledseolaAlF2Beoccotett

P_bIemas Se Iectos '_................

7l. Interio_ente a un triángulo isósceles ABC 76. En un trián_lo rectángulo A8C, recto en B,donde la m_BC = lOOO _ ubi_ el punto M; la mq_AC � 370 y el lado BC está contenjdotal que m_MCA = 200 y maMQC � 300, _ sen Una reCta . l lC O man9U O 9l Fa encalcule la mqMBA. su p1,,o e,to,,o a ,u ve/rt;ce c _,st, 5u

A) 22o B) 3oo c) loo posición final A'B'C de modo que A'_ _,D) 2oo E) lgo fina1mente el triángulo A'B'C gira en su planoentorno a A' hasta su posición flnal A'B''C' de

1_ En un triángulo ABC, mqABC=200 y modo queg__ _ g. cal,u_, _,med;d, de_mqBAC = 800, luego se ubica el punto E de _ -_ ángulo enke BC' y _''.la mediatrj de AB tal que mqACE = 500.CalculemqBEC.n)-4 B)-, c)-52 3n)80o B)90o C)ll OoD) 12oo E) 115o 65oD) -2 E) 53o73. En un mángulo rectángulo ABC, recto en B,considerando fijo el punto B, se hace girardicho biángulo sobre su plano_ de modo que TT. En una recta _ se ubi_ los puntos A, B y Cla posición final de A y C son A' y C' (AB x Bc) hacl_a un ml_srespectivamente, tal que BC'//AC, Se UbiCa tOS pUntOs P y Q, haCia el O_O el_ _ punto R tal que AP=PB; BQ=QC y AR=RC.BC_A'C' =(P), BP=5, PC= l. Calcule la sl maAPB � mqBQC = mqARC =ongitud de la ceviana interior común paralos _iángulos A8C y A'BC'. calcule la m_RQ.

6_ _2_ n) 45o B) 9oo c) 12ooA) _5 B) _5 C) l2_ D) 6oo E) 8oo

12_ _6_ 7g En un tT,.,,,g,_o ,.,o/5 5mqABC > 600, interiormente se ubica el1_ En un _jángulo rectángulo ABC, recto en B, pUntO P tal qUe_=_=BC, mqPAC = lOOse baza la ceviana interior AM de modo que y mqPCA = 300, calcule la mqRAB.m_MAC =2 (m_AB) y la distancia de B. n)2oo B)4oa c)45oa _ es la cua_a pa_e de la longitud de _ D) 37o E) 42oMC; calcule la maMAB.79. Según el gráficot c_cule x.n)2oo B)3oo c)25oD) 150 E) 18o3o' O

.,nte,.,o, de un t,,.,,ng,lo .,,o,sceles A,, _ __(AB_BC) se ubica el punto P tal que 0__ _m_CA�200;mqPBA--lOOym B = O. __a ___aICUlelamqPAC.

n) 25o B) 4oo c) _oo A) 30o B) 45o c) 59o_) 44a E) 18o3ot D) 6oo E) 9oo

198

_883__ DED_n))_el__l6exten 2__ _E) _3__ A) l405 _ Bd_) 4ADoo Ec)3Jt5

............... ._' Geometría

8O. Interio_ente a un _iángulo equilátero se ha 84. En un triángulo isóscetes ABC, la__ ubi_do un punto arbiha_o P, desde el cu_ m_Bc _ 12oo en -Bc y _Ag se ub__se ha __ado las pemendiculares P_, P_, y puntos m y N ,espect;vamente., s; AM=b,PF a los lados BC, CA y _ (D, E Y F en CN=c, l0V=_, _cule la medida del án_lodichos lados resPectivamente). Calcule uede,,_,_n,n ___ -c, s-lenel_1-,/, _o_D+_E+_f PQR (PQ=a; QR=b; PR=c) laBD + CE + AF ' maPRQ = 200.

n)2oo B)4oo c)3ooA) - B) _ c) _ D)600 E) 4506 3 2_ _ PoIígonos3 385. En un poligono equiángulo, la medida de su.o, de un _l_a/ n_lo _c y ,el,t-lvo án_lo interior es _+ l5) vece ta medida desu án_lo exterior y además se cumple que ela AC _ ubica el punto D t_ que BD--CD, número de diagonales es l35p. 0lcule elBA_AD., _cwe mgBAc, si mgcBD = J5o número de lados de dicho polígano p_a mimpar.y maBCA=300.n)48 B)46 c)135A) 100 B) 150 C) 120 D) 8o E) goD) 18o E) 3oo86. En un pofígono regular ABCDEfGHI..., 1as82. En un _iángWo rectángulo ABC_ re_o en B, - -_rO 0n_aClOneS e y H Se InterSecanexteriormente y relativo a BC se ubica el en P. 0lcule su número de diagonales si lapunto P tal que la m_PC = 90^_ mKAPH = 1320.m_CP = 3 (m_CB) y AB es igual al doble

deladistencjede_e AC.Calcule mqACB. D) 435 E) 370

A) 2oo B) 25o c) _5o _. En un polígono de n lados desde n-9 vé_iceso E) _go consecutivos se puede trazar 9n+22diagonales. Calcule la suma de las medidasde los ángulos interiores de dicho polígono.. En los 1ados BC y AC de un _ián_lo ABC seubi_lospuntosSyD_quel_prolongacion_ A) 4_ooo B) logoo c) J2oode -sD y ___A ,, ;nt,,ec,n en p, l,ego se D) 42200 E) 4l400_aza DH pemendicular a BC en el _unto _ E __ n CleftU mO l_OnO eqUlangU O . ..;H, de mo_o q !_e m__C = 2 (m_DC) , aver_-gu-_ e el m __n -_mo nu_maPBD _ 2!_m_DP), DH_6 Y ta distancia que Ias per_e_.diculares a AB y CD_ c - d determinen un ánguto agudo y dé comoe a BD eS I. a CUle �a IStanCla e a_ resmuesta el número de diagonales _azadasBC. desde cinco vé_ces c0nsecutivos.

A) 26 B) 13 C) 5,7 n) 23 _) 2J c) 24D) 6,5 E) 3 D) 36 E) g

l99

909_l_ sl d d 1 d _p_ d AA_)) b72_ ____BBB)) 32ob6aMo_ _cc_)) __220b

ProbIema_ Se Iettos '__................

89, _ _ene 3 poligo_.os equi3ngulos, taI que el 93. En __n pent_gono convex_ ABCDE _ ubicanúmero de diagona1_s del primer y tercer e_ punto med__o M d e � s,. 1 o s a__olígono están en la relación de 1 a 6_ la y EDc son su pleme,ta,;,os, AB_-cDsuma de las medidas _e 1os _ngulos intemos 8c=ED, _lcule _a mgBMDdel segundo y primer potígono se diferenciaen3600ylasmedidasdelos_ngulosextemos A) 6oo B) goo c)45_del _r_ry_gundo_tjgonoestánenTelauón n) 12o_ E) 75ude Z a 3. C_cule la me_ida del ángulo intemodel pjmer polígono. ' _. En un dodecágono regula, ABcDEfGHJ_KLlas diagonales 4 _ AD se intersecan en P;A) l350 B) l5_^ C) 1200 luego poF p se tfa2a una recta _ queD) 1o9o E) 144o -inteneCa a CD, CalCUle t_ dIStanCia de C a. e_ nu/me,o de lados de un ol_,gono _ si las distancias deA yM a dicha rectason a y b respec.tiv_mente_ siendo M taequiángulo aumenta_ su número d2diagon_es totales au_anta en l9 y la medida inteTSeCC3Ón _ Y BC _de su ángulo interior aumenta en 60. Calcule/ . . -Q _ dt!el numefO e laQOna e_ me la qUe Se pUe eba2er de 7 lados consecutivos. a + b b - aD) _2 E)n)5o B)48 c)42D) 60 E) 58 95. Calcufe la medida _eI ángulo fo_ado por8Q y _ _ si ABCDE y AMNPQ son. Se tiene un dOdecágona equ1án_UlOpe nt_gonos regulares.ABCDEfGHUKL, si AB=Qm, BC=3 _ m,CD=7 y la distancia de G a ta recta que Ccontiene a _ es l l_ m. Calcule Iadistancia del punto medio de GD a dicharecta. MEA) 6_m B) 7_ m NC) 8_m pD) 9_ m E) 10_ mD) 75o E) 6oo92. En un pentágono ABCDE; lamqABC = m_CDE = 900_ y la medida de _ CalcuIe el número de lados de un polígonosus otros ángulos son iguales; calcule la convaco_ si el número total de sus diagonates_d_,st,,c_,, de A e _E s_, Bc__4 _ cD__ lo cm m_ el número de biánguIos aue se forman al_ unif un v_rtice con 1os restantes_ más ely la distancia de C a _ es 9 cm. nu,me,o de a_n__os rectos a que equ_.vel-suma de sus ángulos interiores es igual a IQ.A) 6_ cm _j 5_ cm -C)5 cm A) 3 B) 4 c) 5D) 5_m E) 6cm D)6 E) 7

20O

_98 AD_M)) Q45l 24oo_ _ t B)_ 45do cE/)) 468oo __ _ _o2 t t _4 _ / _N__ E lo6o

....,.......... ._' _eometría

97. En un hexágono ABCDEf cuyo peTímetTo 10l, M la región interior de un _apezoide ABCDes 80 cm, se considera un punto O interior _ubicaelpuntoEdemodoque los_iángulosa dicho exágono y se une dicho punto con AE_ Y C_D sean equiláteros. Calcule la r_ónlos ve/ftices del exágono. Djga, cuál de lo de l_ longi_des de los segmentos que tienensiguientes velores no puede ser el valor por ex_emos los punt_ medios de I_ lad_de, opuestos del _ape2oide, ademá� la medidaoA + og + oc + o_ + oe + oF. del _ngulo que fo_an dichos __entos.

A) 2OO cm B) l50 cm C) 100 cm 3D) 56,5 _ E) 40_ol ,m A) ; l200 B) _ 600 C) 4 _

3. En a Fe_tÓnlnteFlOF eUnPen__OnOfe_ar D) -_,_ E) _._gooA8CDE, seubi_ unpuntoP, _queP_=__ .y m_PAB = 42' , _cule la m_P_.. En un biángWo re_ángulo ABC_ Te_o en B,la mqBCA =530J2; exteriormente a dichoo triángulo se tra2a los cuadrados A_MN yBC_, Iuego se baza EH pe_endicul_ a

9_. En un hexa/gono regular A8cDEf se ub_'ca _nc (H_ _Ac). Ca1cule la medida dellos punTos M, N y Q 2n su región interna, án_la to_ado p_r H_ y _GA, siendo Gtal que A_f es un cuadrado y AQF un d _ __2lnterseCClOne My f._iángulo equjlátero. Calcu!_e la medicla delángulo formado por las Tectas CE _ _7go _5go _3gan)-2 B)_-2 c)-2_

I890 I7lOn) 8o B) 10o c) 22o30' _) _2 E) --2_) 15o E) 3oo

l03. Las diagonales de un _apecio miden 8 y l1u.Cua driIá teros Halle el m_/ _mo v_or entero de la b_e media.

l00. Con res_ecto _ cuadriIátero que tiene p_r A) g B) g c) lovértices los _untos medios de los Iados D) _1 E) _2de un trape2oide_, anatice 1as siguientesproposiclones. l& El vé_jc_e C de un cuadfil_ter_ convexo A8CD_ _ necesariamente un romboide. t _BDpe_erJ_eCe a a medla_1z d_ _ ademas_ Es un romba, si las diagonales deI med_-des de 1o, 2_n__os exter-_o_es de d-,_a__oide _n cor__uentes. cuadriIátero en los vérx=aces B y C son_ Es equiángulo, si las diagonales del _2oo_ 2g y 2o ,es_,ect;vamente., s_ m ,s, ka_ez_ide son _emendiculares. .-d d _ d punto medio de BD , m__=0 y' re_ af_ Sl aS la_Ona 2s e _a_e20l e1 __-CD. Calcut-e la m_MAD.son con_entes Y pe_end_cu ares.A) _5c B) 23o c) 22o3o_D) 18c3o' E) 25_3o_

10l

_Asolo BsnbAE y cf Fespectl _aN2 _0dK_ __d_ABcD_M cNha te_cta_Kl _e5_K__t_d

ProbIemas Se Iecto_ '_................

1_, En el lado CD y en la prolongación del lado _ _ E b . . , l AB c D (-B c, /-JqD)_ nUn a_ClOISO_eeS Ie un rombo ABCD se ubica los puntosE,ffespectivemente demodo quecE_Df__ tat que la m_CD=_O y CD=2(BE),_lcule la medida del ángulo fo_ado _r SiendO C_ _erpendiCUlaf a _ (E en Ia_E y _f ., s_ ta me_;d, del á,gulo Prolongaci_n de AB ); calcule la maBCE.determinado por AC y una rectape_endicular a BE es igua1 a 200. D) 6oo Ej 3oo

n) 3oO B) 5oo c) 25o ___ E _._)35_ E)4oo "U?'Om_e -' Y 'On_PUnOSmedios de AD y C_, adem_s BM y BNI_. En e_ _a_o AD de un cuad,ilát,fo convexo intersecan a AC, en L Y T respectivamente;ABcD se ub__ el punto E de modo que CaICUIe la SUma de las diStanciaS de A Y C enuna recta ext_ior al romboide, si la suma de=BE, EC=CD y BC= 8 7 calcule la l_ d_lstant___ de L y T e d__distancia entre Ios puntos medios de lasdiagonales de dicho cuadrilátero.n)-2 B)K c) K_A)4cm B)Q_cmC)4_cmD) 2__ E)4_ D) K_ E)3

lor. _tefiormente e un _iángulo ABc se tF_a II1. En la prolongación del lado PS de un___n_tos 1_so_sce_es _EycBFcuy_b_s cuadrado PQRS _ ubica el punto M y en_v,mente,, s__ M y N _n QR se ubica el punto L, tal que LMlos puntos med_os de dich_ bases y a _ el in+_er_ca a RS en T_ de modo que LT--_ y- MQ QL=SM. Calcule mqLTP.punto medio de AC, calcule -.n)75o B)37o c)53_D) 6oo E)45o1A) 1 B) - z C) _I I2, En un trapecio rect_ngulo ABCD recto en A y_ _ B, se ubica el punto medio M de A8, deD)-3 E)-3m O qUe m_DMC = 90' _ la dlStenCla eA a CD con la suma de l_ distancias de un1_ En un trapecio ABCD cuya base mayor es punto de _C a _D y -AD esta_n en la ra2�nAD _or eI punto de intersección de las 4 a 5; ce1cu_e _a m_Dc.diaganales se __a una re_a que inteneca aIos lados laterales, Iuego se tra2a las A) 370 Bt 500 C) 75'pe_end jculares Af, BG, CH y Dl hacja djche D) 53^ E) 74'recta (F, G_ H e l u_icados en Ia recta) ; tal que___g y BG+cHn_J c,_cule _, ll3._terio_enteaunromboide_CDysobred;st,nc;a del p,,to med;o de_ segmento que los lados AB, 8C, CD _' _ se tr_a-_osde__d__,goneleshac-_a cuadrados de centro 0_. 02_ 03 y Ohrespec_vam,ente. Calcule Ia medida del _ngu!olC a,eCta.O_a dOPOfQ03 Y _204_n) 3,o5 B) 3_25 c) 3 A) 45o B) 6oo c) gocD) 2,5 E) 2 Dj _joo Ej _35,

201

_ABD__)cl_D2o _ 0l_Dl AD_ t _ _BD _d _ _

........... .... ._' Geomet_ía

ll_ Según el gráfico A8CD es un rombo y ll8. En un rectán_lo ABCD_ O es punto medio_�P_=_. _cule x. de _D, se ub;ce un p,,_o p en lg prolongación de CD tal queQmgopc _ mgcBD, _as d_,,tenc_,po X 4BD y de P al punto O están en la r_ón de_ 2y5.Calculem_POD.Dn)3oo B)45o c)37oA) 6oo B) 53o c) 45o D) 530 E) 600D) 75o E) 72oI19. En un trapecio ABCD (BC//AD), P es elI l5. Inte_o_ente a un _a___t_o _nv_o _C_ d d -_UntO me lO e _ e manefa qUe_ ubica el punto P tal que AB =AP, DC =DP ym_CP_=m_AD_ AB=BP y CP=3.m_PAD + m_BDA = mKP_A + m_C = 900 _cuecalculela mKAlVD siendoMelpuntomediode BC. A) 6 B) 9 C)7D)4 E) lon)72o B)8oo c)9ooo E) _35a l_, _eria_ente a un rom_ _CD se _aza eltriángulo equilátero BPC y en la región__6. En u, cuad,,_1_t,,o ABcD,. BD__Bc, intenor a di_o rombo _ ubi_ el Punto QmqBAc _ mqcAD _ 2oo y m_BD = 300. QUe _erteneCe a _, de mOdO QUe laC_cule m_cD. mqBCQ � 2(m_BPA). _cule la m_CQD.

n) 15o B) _oo c) z5o nt 6oo B) 3oo C) 53oD) 36o E) 2oo Dt 740 E) 750

ll7. En el ____ O es el cen_o del re_n_lo 121. En el _áfico _CD y P_QR son cuadrados y_E=4 cm.CalculePC.YCT+DP=8 -CalcWeOt4_

B

B __ C0 0^'p 0T O CHEA0 0 RDPD

A)4 B)8 C)2 A)4_ B)8cm C)g__D)6 E) 4_ D)l6cm E)12_

20J

l__ NDE_E) _ 15 _ _|__E_) 3 _ ABD_))) 98looooo _c__a_1cu__le_ mttA___a__t Btt____l_E_ _0

Prob Iemas teIectos '

l__ Se tiene un trapecio ABCD isósceles. de l& Se�ún el _áfico ABCD es un cuadrado, T esbases BC _ A_ Ias cuales m iden 3 m y l 1 m, punto de tangencia. Calcule x.se constru_e exterjormente los cuadradosABEf y CDMN de centros 0, y 02. A) 300 B 0_x . 0C. d I lt dI . 5 B 2o ___a len O qUe _ a Ura e trapeCIO eS m,calcule 0_02. C) 53/20 o TD)37/2oA)9m B)10m C)11m E)l50D) 12m E)_13m __tt

la En la región inte_or de un _iángulo nBc se . _ '--"Dubica el punto P de modo que BP=AC ymKpAB = mæcg = m_8c. C_cule la I_. En el gráfico, el biángulo EDC es equilátero ym_BC. m_c___2oo.

A)3' B)45o c)75o o BD) 6oo E) 53oa _c) 1o5o _n el _á_lco los _lángulos ABC, APM Y PCN o ,,so, equ_,t,/te,o, s_, mqApc_goo mT_3 /l D' ' ' E)llOO ,=4 y BD=5, calcWe P_. OA _, cB ___"

M ;! N_ p _ _ l_ Del _ánco mos_ado_ calcute a si R y T son!, _ j j, puntos de tan_ncia.; ' __ _ D; ;; ! nj53o/2 ___ 0 0 0 B)37o/2 P 0T A HD C E cj3jo 'OD) 15o //A) 1 B) 2 c)25 E) 300 _a' A T1_. En el gr�f1co ABCD es un rectángulo, ED yC_fcun_efencia BC determinan un ángulo que mide l50.CalculelamqECBl_ Interio_ente a un cuadrado ABCD se ba2aIos cuadrantes 8AD y ADC, los que se A) lOintersecar_ en i. Exteriormente a dicho B) 20, ,. ., ., .. C)3o 0 a 0T ,s punto m,d;o del a,co pD c,lculel, D) 40' E) 5omed1_a del án9U O A . 0_

n)8o B)15o c)27oD)20o E) 300

104

_d _dn __1___ __p__ cBD 9o __n __ _,a__J_A_R___E_ c_ _

' Geometría

130. En el gráfico M, N, A y B son puntos de I_. En el gráfico A, B, C y N son puntos detangencia;calculex,si mAB �mAEC= 1000. tangencia. Calcule x si mCD--1000 ym_PM=ZOOA)1oo A_ x_ 0ED)4oa _ N PE) 5oo Mx ',N D_

A)12oo B)75o c)6oo_3_. Desde un pu,to p ext,,;o, a un, D) 450 E) 900circunferencia se tr_a las tangentes PA, P_(A y B puntos de tangencia) y la secente PCD I_N Se�n el gráfico, maPQT = 500. Calcule x_ (P T R y E son puntos de tangencia)emOOQUe am �m � O;caIculelam_C' __n)3oo B)53o c)5ooD) 75o E) 74oP T__0_Ia Se_n el gráfico AC y AF son diámekos,A, D y E son puntos de tangencia. Calcule xsi 3(DC)=5(BD).

B_D_ D A) 2oo B) loo c) z5oJ1 D) 50 E) 80A f CP I36. En eI gráfico se mueska n circunferencias_D E tan9entes exteriores con_cu_vamente, calcule_ ai en función de n (A y B puntos de=In) 37 B) 3oo c) 45o tangencia)+D) 53o E) 6oo__'--'--'j' _I33. En la figura ABCD es un cuadrado_ AB=CE a n 2 _y mfG = mGD. Calcule x. __ _ an__ __

A)15o __ C - _ anB) 1ooc) 2oaa X_EE) l8^ A) 180^(n-Z) B) 3600(n-l)C) l800(n-l)A D D)360' E) 1800

105

l____ A_) _45_o 0 B__ )_ _7_5_o_ H_ c) 3_oo _ A__) _/ _l f_ _ Bt d)0R_o t Aen Bdcoc)p__RyD3apFuntos

Problemas Select0s '

__. De_ ,a/f,co __,ule fa m_QD s_, _B // -cD y 1_0. En una circunferencia de cenbo O Y radio R,n se traza el ángufo cenbal AOB cuya medidamTDC = 0. es 6oo. fuego se ubI_T. , B Ang -y en AB respectlvamente de modo que_ PQ es paralelo a OB. Calcule la distanciaD d -e Q a OB tal qUe P Sea maXlmO.

AR2 4C R R_D) -2 E)n) g B) 8/2 c) z8

D) 900+ 0 E) 900-0 ___ segu/n el_a,fl.co cafculexs_.de tangenciaEn el _áflco A y B son puntos de tangencia;cafculela maAP_O

''_ '_.._'_

A B A)300 B)l80 C)360D) 54o E) 6ooD) 53o E) 6oo _ 42 segUn a IgUra e X_ Sl: , , , y SOnpuntos de tangencia.. _ la _gura, Ias clrcunferencIas son cangruentes;A, B y C son puntos de tangencia. Calcule lamedida del ángulo enhe __ y _2.4OO

__ _B

xB ,_

2 ''\_A DA) 3oo B) 45o c) 6oo A) tOOO B) 1100 C) 1200D) goo E) 12oo D) l300 E) 1400

206

__A__) _34_g4c______B_ ) l4__ooo p _________________________________________g___________________c_______________________,_______t____e_____)______t________lt_____2g____3____________________4___D______v__________o_____________ __ _ ___ __t _ _ a que_see

............... ._' Geometría

l_3. En el_áficoPyTsonpuntosde tangenciay 146. Según el giáfico A, B, C, D, T y L sonla región sombreada es rectan_l_, _cule x p._ntos de tengenc_-e s-_ mAnB _ mcnD __ _ _ooenfunciónde _. c_cul

p P' XT ....,,..._,._'_., ..'__:_.:_:?______'_.;..,_.___......_Dp_..__. ..::?.:._.;__.'_::._. ,?__.:...__!' ;______, '_,''':C;j_.,. ,,.__j,:__,,___;!.__. _____,__i,.___ g _D _X _;;j___' !...:_'___,___:_'::''''_,'''n_.''_:.:'_,__''__''_''__'_:x_.'''''__'__'''_,:'__..'_,''_::__.',:'_:'''___::___,:i_'' ',,,_i_,''_ ^,__æ__' _.. .'''__:'_'__;'_',_':'n.'___'''''i___'_m,__i''''i__._;_''''_,'__Y,_;,___ _m' :_' 'x?_ ._ ,__ _ ;y_, _. ._n__'_x_ ''_'_,_;,' ','': i,'' _. ;,_. ;,_',,, '_,,,_:_). _,a,,?, '___. '__ .. _ ' _''__ _' ___ ' _,g" ' _', _ '_.v _. :, :: !'''.'''_ ''','? _. __,_ _ _ ''__ _ _._4_, _' 0 _ '_ _ ' ";__:;;.,_.,..,,.,_._;.,.;;._,._..,_;,.;..;..._;.,._,,_,,_.__._..:x_.._...,.__.C:;,'_:'___.__;_.,;.____,_'_..;____::_.:__.._..'_'_,__..,'____.;__,_:,,,;_,_.m/..,,;;,.., _ _ _ ' ' Ct ' ' ' ~_____.__,,,._;._;._...__..._,._...:_,._:_?___5'_'_:_'-__'_'''_' ' A o Dn)7o0 B)55o c)6oon)_2 B)g C)- D)450 E)350

20 0 1_7 se tiene las circunferencias _ y _, dD) _3 E) _3 ' Zcenbos 0_ y 02 respe_ivamente, __nte en__, E,, ,_ ,;f;co E y f son puntos de tangen,;a. M Y N_ poT M se __ una recta secante a _z

Si mAB _ 4_O y mCD =320, _cule x. en A y secante a _j en _ de modo que5(AB)--8(O,02); calcule la medida del arcoAMN.AXn) 1o6o B) 123o c) lq3o_ ' D) 12oo E) 135oB

_o l48. En un cuadrilátero ABCD, maABC -- l350,'' f ' m_DC = 900 y AB=2(CD) Con diáme_o_ E AB se _raza una c-_,cunferenc-_interseca con AD en L; además laD) 1540 E) 162^ prolongación de CB es secante a lacircunferenciaenf. Si_=BC calcute mBLl45. Se_n el gTáfico_ PT=TQ. Siendo T punto ' 'de tangencia _ _cule x. A) 45o B) 53o c) 6ooD) 75o Ej 37oP0'..p 1Q9. Se tiene un kiángulo ABC inscrito en unaciTcunferencia, en Ios menores arcos AB yBC se ubica Ios puntos P y Q respectivamente/ T a/ tal que mP_Q = 400. Calcute la medida del/ �_ nguIo formado por las rectas de Simpson_ co_espondientes a las puntos P y Q+

n) 15oo _) 135_ c) 12oc A) 200 B) 800 C) 400D) _27, o E_/ 143O D) 35o E) 3oo

207

__5_ A_) 2o_o_ l/ l Bn)_4_oo _B c) 5oo __T

Problemas Se Iettos '

_5o. se_/n e_ ,a/f,_co most,,do celcu_, mcnD s_, Cuadrilátero Inscrito Yn 5oo CuadriJátero Inscriptib Iem =153. En un Mángulo ABC, se k_ la ceviana interiorC0. ._'mq = ,- cacue a m_

n) 2o B) 4o c) 1oo,/, D D) 8o E) 14ot/ ,'_ I_ En la figura mostrada Q y T son puntos detangencia. Si a + ß = 500, catcule x.

n)z5o B)5oo c)1oooD) 15oo E) 2oooa _ _. Se_n et 9ráfico A_ B, C y D son puntos de m _tangencia. Si mA8 = lOOO , calcule x. '__.__ _-_--__ 0oX Dc_ Hn)2oo B)3oo c)4ooA E_x D)500 E)600D14. .En el gráfico, P y T son puntos de tangencia.Calculex.

_.P' XOD)z5o E) 3oo _4_l52 Desde un punto P exterior a una Tcircunferencia se kaza las tangentes PA y PB(A y _ puntos de tangencia).Luego se _aza ta cuerda AC de modo que ladistancia de P a AC es iguel a la longitud deAC. Calcule Ia m_PB-

A) 37^ B) 830 C) 1060 A) 12oa _) 13oo c) 15ooD) 74o E) 53o D) 16oo E) 14oo

108 '

___)_5to_tt_t 5o Bo) _25 _ c) Jo t _____l_lrr__ _n__p_E_ c __ B _

' Geometría

l56. En la figura A, B, C y D son puntos de 159. Según el gráfico ABCD es un rectán gulo,tangencia, calcule x. caIcute x.T0_ OX

'_____ß' B CA D.i_ ,. A D0___ M''--____ n) 75o _) 8oo c) 15oo_ D) 12oo E) 90o

l60. En el _áfico mAf _ mEO y mCDE _ 800A) 5oo B) goa c) 6oo Calcule x.D)45o E) 3oaC DI57. Según el gráfico m_ABC � m_CPQcalculex. a XA B A \_ , o '

p f ;_ !n) 5oo B) 8oo c) __oa'Q D )9oo E) g o_

C 16l. _ �n el __ _= _ y m a A B c _ m q A D c.A o o o CaICUleX_D) 8oo E) 6ooBl_. En los Iados A_ y BC de un cuadrado ABCD T_0b;ce los unto, E f te_ ue la X EmqEDf = 45^, además DE y Df intersecana AC en P y Q respectivamente. CalcuIe lamqP__Q, siendo M el punto medio de EF. A D

A) looo B) 9oo c) 135oD)45o E) 6oa

209

_l___ s____t _a_0 t___ 0_ __p o _ __ 0 _ _ cp tal

Pro6Ie_a__el._c0s '

l_ Seg_n el gráfico O es el centro de la l_ En una circunferencia de cenho O se ubicacir_nrerencia inxnta en el mán_lo ABC_ si los punto, A g c y D _ que -Ac _ -ogmBD � llOO y mAB = 80^. Calcule m_C. L,_ _ b_a _ y -c_ pe_nd,.BO_(fyEenO_), 08_AC=(T), SiTf=lO, calculeTE.

n)12 B)8 c)loD) 5 E) 2oO1_ _�ún el _áf_ca m_BC = 500, caIcule x.aD BA ' C

A)22o B)28o c)looD)3oo E) 2oo0 T0 oDegún el gr_flco, P, T Y D sOn _Untos de _ 0 o_n9encia, c_cWex. _aD__ _ __>_^ _'_D ' A 0Hn)4oo B)6oo c)7ooD) 8oo E) 5oo

167. En un _ngulo ABC _ ba2a la _tura BH, en lax _ 'p,olo,,c,.o,n de -HB _ ub,._ el pun,oque mKPAB = m_PCB. Si m_BC = l320A) 36' B) 400 C) 300 yAH_Hc_ calcu_e m_pcD)2o' E) 28on)36o B)48o c)72oSegún el gráFico las rec_s L_ y L_ son las D j 54o E j 45omediakices de AC y Ba respe_ivamente.Si A8=CD, _lcute x. 1_ Seg_n el gráfico P y Q son puntos deL1 _n_entia, _ a+0= l_O,t_cUle mKABC.g L2_a . ^__ g0

BaO__ _A_ QA) 1 1o B) 44o c) 22o A) 400 B) 450 C) 500D) 1o_ E) 2oo D) 550 E) 600

t_O

l__77lo __at M __ __00_ _6gs___ __DAB)))nl__6oo _B)t__tl3_oo c)0l4oo Q_

' Geometría

I69. Según el gráfico PQ_3, PR=4 y MN=8. l72. Enlafi_raP,QyTsonpuntosde_ngencia;01cule MS (l y T son puntos de tangencia). _cule le mKATM

MQ p 0R pQ

L 0 ' T ''__

T AN0 oD) 15oo E) 135o

l73- En el ��áfico _=PF, calcule _/_.n)11 B)lz c)9 A)_ MD) 8 E) lolZ. Se�ún el _áflco, calcufe 0.c)_ E530 3_'_ E) l _

. F

___

174, Del gráfico calcule la m_KTD , sin)2oo B)18o C)15a m_B_400.D) 16o E) 12oT. Desde Un puntO P exterlor a unacircunferencia de centro O se tra2e lestangentes RA y P_ y la secante PCD, luego se_aza la cuerda AQ paraIela a PD; si QB esKsecante a CD en M, calcule la medide delángWo fo_ado por _O y _Q. A

A) 800 B) 120o C) 135o n) looo B) 5oo c) 8ooD) 9oo E) 7. oo D) 4oo E) 2oo

1lI

_AA))_3l_2Joo o BB))_898o_oo ___cc)) 6loooo o _Ac t _t_______ tD__lll ___aon ,_

ProbIemas Se Iectos '_ ................

l75. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de cen_o l78 se_n el ,áf,_ __cu_e x si m_c = 8ooO. Si A, B, C y D son los centros de loscuadfantes mo5_ados, _lcule x. H es o_ocenko y M es punto medio de BC.Bg CB) 10o \c)5oo _'_E) 4ooX0O ' A c

I79. En un trián_lo rec_ngulo ABC, recto en B,_

,. de incentro l y excentro E _elat_vo a _csiendo T fa proyecci6n ortogonal de J sobreA D -y la m_C_ = 370, calcWe la medidadelángulo IET.

D) l350 E) 1 l50 A) _oo B) 15o c) 21o3o,_) 1oo3o' E) 7a3o'l7_ Segúnel_áf_co, m_T8_ = 220 yTespuntode t,,genc_,,. c,___, mA_T. 1_. En eI _ráfico I es el incenbo del _ián_lo ABCyPQ�AC, calcu1ex.A0..D A)90O BB) 8ooc) 11o'D)85oE)95o 0 _ _laA , ''C

C18l. En la figura adjunta P_ Q, R y S son puntos deB _,ngenc.,, Tc_AM TB__3 y a+g __goocalculeTM.Dj22o Ej 44o

PuntosNo_lesBI7T. En un triángulo acutángulo ABC decircuncentro O_ _que punto notable es O del D__e/ngulo c,yo; ve_,_c,s ,on lo, c-,Fcuncent,o, ade los ki�ngulos AOB, BOC y AO_ o0 _A M CPA) ortocenko B) circun_nboc) baficentro A) 3 B) 4 C) 5D) ex_nno E) incentro D) 6 E) 7

111

_c_1 1 M_t G _ D) 6_oo __BN__6 AM____8E_)935oMc 5

' Geometria

I82, En un ki�nguloABC cuyo circuncenbo es O I86_ _�únel_án__HeseIort_enbodel_án_1oyadem_A;B'yC' sonpuntossimé_cosde ABc_ _M//-Ac yBM__To. ca_c_le _O res_cto a BC, AC y A8 res_c_v_ente. mq_MH�Qué punto notable es O para el nián_loA'B'C'? A) 3ooB) 45o ,/'A) baricentro _) ortocentro C) 370 H _ / / _C) cjrcuncentro D) 53^D) ;,cent,o E) exce,_o E OO0A T C1__ En un triángulo equil�teTo ABC decimncen_o O_ _ __a las cyianas interio_cN y AM _,s cu,les se ,_nte,se,,, e, p_ tal l_. Se�n el _áf_co, _ = _O, __Ie x.que la mqP_A = lOO y AN=BM. C_cule la A _B00D_am_OMP.

A)300 B)10a C)60o 0D)2oo E)5oo ' '_\ H

l_ Calcule la medida del ángulo ABC de un \_iánguIo ABC taI que la suma de los exradios_ P_del triángulo relativos a AB y BC con la X

longi_d de AC __ en la r_ón de 4 a 3. A) 1700 B) 150^ C) 1600D} 1400 E) 120oA)74o B)1o6a c)6ooD) _230 E) 14Jo I_, En un kiángulo isósceles ABC (AB=BC) seba2a las _ian_ intmores B_ y CQ tal quel_. Se_n el g_f_co G_ y G2 son Ios baricen_os m_D � m_CQ _ 3_, m__C � _O.de l_s regiones triangulares AG2B y PG,Q _cule m_D_.respectivamente_ PM�MQ y AN=NB._H n)2oo B)3oo c)4ooaCUem

i M_ Q __s, _ , f._ 'e_Une_ Fa1CO -_ -_ =_calcu1e BC. (S, T, L y Q son puntos detangencia y r es el inradio del niángulo ONA).2n) 8_,0 8) 10o G_ C) 11D) 15E) 13C T_M_få B) '200 CE,! _4030o _----_--- _B N Q 'O

t13

____ dlAse____2e)_l02as__n reelg___f0lcB_oB_ ) _mN3__DB __ m__c_Mc )__4g __caltlle ADc))tpe26Jdd8 n_B00) 3d _x cE__))__4d5x d _ __t_t

Pro_lem8_5electo_ '_...............,

I& En la F__ R_--6_ R2--8 y R3=lO_ h_le Rx. I_ En un paralelo_amo A8CD, AB=l2_ M espunto medio de CD, AlY_BD y_ _ AM _ BD = (Q). En la prolongación de ADR. se ubica el punto E tal que BC=DE y

__, R2_0 0 Djzo Ej 15

A) 4_8 B) 4_2 C) 4 I& En un triángulo acutángulo A8C_ las_) 3 E) 2 prolongaciones de las alNras b_adas desdeA_ 8 y C son secantes a la circun(erenciag_. _n e_ ,_f,_ _, d;f,,e,,;a de _,;meboe circuns_ita a dicho _iángulo en los puntos P,._ones h._,,gu_aees _E y cDE ee Q y R, Si la suma de las distancias del, d la , d _ circuncentro del triángu lo A B C a susU, el _nme_O e fe@On tUa ran_ af ,_ m_v_ lado5 es d _lçu_e el n_m_o deciccun_i_ ABCD es l8. Calcule CD. (P, T y l, T,g;ó, hexagon_ _8PCa.Q son puntos de tangencia).

B I_, _Nn la figura, P y T son puntos de tangencia,,C.. calculex.

.T _ n)85oP A D E B)100o0 T

Dj5 Ej6 DE))9g02o i

m_QR _ 1_. Desde un p,,to p ext,rio, a unacircunferencia se _aza las secantes PMA yQ PQB. En MQ _e ubica el punto H que esortocentro del triángulo AP_. �Qué puntonotable es H para el triángulo MPQ?

A) circuncentro B) ortocentro_ c C)baricentroD) excentro E) incentro

_,_ R I97. En un triángulo acutánguto ABC,___ __ M m_Bc _ 6oo__ la cecta de Euler es secante a. _\\ , los lados A8 y BC en M y N respectivamente -A D Si AM_-a y NC=b_ calcule el perímetro de laregión kian_lar MBN.

A) 2 g B) 2 c) g A) 2(0+b) B) 3(a+b) C) 4(0+b)D) goo_g E) goo_4g D) -2 t0+ b) E) _(0+b)

tl4

___AE_3 E5B_ __G2c pApc _A___0_AR))_0_l/2 BoB1_))T9leps_punto dcce))te_lng2enct_ac_ s_l

' _eometría

1_ En el _áF_co mos_ado_ las circunferencias de _l. __n eI __, calcule NN, � BM=3, _=2,centros O_ y 02 están inscritas en los PA=PC y 2(_+BC)=3(AC),cuadriIáteros A8CG y HD_ respe_vamente. BSi AB=5 y BC+AH=D_+FG_ calcule _ (My N son p_ntos de tangencia).B_ _. D E M' '_O/_ _ 2 a g_' '_\ D0a O,___MA H G Fn)4 8)3 c)6 _)3/2 ' Ej5/2D) 7 E)5_. En un _ángulo re_ángulo ABC, recto en B,se traza la bisectriz interna Bf tal queProporrionalidad _ ,c _4 ,de Segmento_ -_ + -fc = -5 - C_Cule R siendo r y R elinradio y circunradio deI biángulo ABC.l_. En un cuadrilátero convexo ABCD lasdi_nal__in__enO._lap_lon_�ón A) l/5 B) 2/5 C) 3/5d, _c s, ub_,c, ,l punto f, tat qu, D) 4/5 E) l

m_8CA = m_fCD _ m_AC = mKC_ ; 203. segu_n e_ __f;c__-l2, OC=3 y _=7. C_cufe _. TA_4 y Bc=5, _l_e A8. '

n) 3 B) 4 c) 9D) 12 E) 1o

_. seg,/n e_ __f,_co A, f y c son puntos de T oBtangencia. Si _ = _ � N, Calcule -.aB

D) 2(_-1) E) (_-2)

_ __nel___, MNJ/AC _siB_=3 y_=2,caJculeAC.EG __

A c M DP _---_ EAn)8/3 B)7/4 c)9/5D)21/8 E) 17/9

1l5

____ Eat nlt_Eun_ _c_E_ _s_ _2 _c4 _ 2 D_))2_ __ t __ nA) oc___52___ocsde

ProbIemas SeIectos '__................

205_ En un triángulo ABC_ recta en B_ I es e1 210. En un triánguI_ is�xeles _6C (�.B�BCj, se_ncent,o y G e_ b,,;c_nt,o s,_ __G//_Bc _. traza las cevianas interiores .4R y CTIG=4 m_ calcule eI inra_io dei triángut0 ABC. secant_s en S. Si _S _ RT = (L) , AT=a yTLRC=b, c_Icule -_R.D)8 E) 12

2O6. En un triángulo ABC se traz__ I3 bisectriz 2a b ZbA)- B) - C)-extefior Bf (f en la _roiongecjón de AC) a 0Iuego se ubica el punt0 D en .4B tal que DF _ 3a E a- b blntefSeCa a en . l ,4D--_ BD= yBE=3, calculeEC.11. En una semicircunferencia de _iám__o ACA) O,5 B) 2 Ci l,5 se ub_ca el punto _ se traze _H_ _cD) l E) 2,5 (H e -Ac) s1.My_sonpun_asmed_..,e,n__oABc se__l_e__,_AM _ y BH respectivamente, calcu!eBN y CH; NM inteneca a la Frolongación de mqMCN si m_BH = _ y maMCA -- a.AB en D. Si _nCH�íQ!,, lVQ=3 y_+a--2, CalCUle MD' A) 0-2a B) 2�-a C) __ 2_

A)l2 B)5 C)10 0-a 20+aD) 15 Ej _ D) _2 E)

_ Según el _áfico J_ e l2 son los incentros de los 2l_ En un triángulo ABc se tf_a 1a cev_enakiángulos _B Y BHC respectivamente. Si _nte_or BD _l que cD=2(nD)_ t, e l2 son losAB=c, BC=a Y AC=b, calcule _. incentros de los tri_ngulo_v ABD y BDcB r_pe_ivamen_ _l que l_I2 // AC. Calcule elaD _ Bc_8Dv_or de la siguiente expresión E =I2Iz A)l B)1,5 c)30. A H E)_

c(b - c) a(c + b) b(b -c) 2l3. Dada una región trian_uIar rect_nguIar ABCn)_ B)_ C)_ - _a_b a-t a+b (reCtOenB)_ de_aTlcen_oG, en Y B Seu_ica 1os puntos M y Q respectivamente. dec(b-a) c(b+c)D) _a_c E) _a+b modo que G_MQ y m_MQC �m_QB_Aa_,a/ng,_o A8c se 1_nsc,__be un fombo calcule -QM.BMNT (M está en BC y N en AC ). Calculeel lado de rombo, si _ y BC miden 3 m y 5 5 57 m respectivamente. A) -2 B) 3 C) 4

A)12 B)2_ c)3 D4 3D)4,2 E) 2_4 3 2

216

_22l_6___ADecDn))) _F____881 _ _ ____m _ __ _2/) ___ _cQ)_ _A1 lpd c_la B)2D _l b_ _ _ )_____ab_ __B_ Dce

............... ._' Geometría

2l4. En un _ián_o rectán_lo _C, recto en B, Semeianza de _riánguIosinscrito en una circunferencia de radio R. setraza la bisectTiz interior BD cuya 21g. Enunb_án_loABc, ob_soeng, se__aleprolongación es secante a la circunferencia b_,se_-_ -,nter-,en P. Si r es el inradio del kiángulo A8C s' respe_vamente. l �0 Y �b, CalCUleCUeDPen nCIOn eRY,.a longitud de la altura b_ada desde M en elNiánguloBMC.r rA) _R B) _R C)R- r+f -r

2Rr E R2_ ab 0+bR+, _R+, D) _,+b E)

2l5N EnelladoBCdeuncuadradoA8CDseubi_ 21g. Dado un ex;gono ABcDEf, celcule ellospuntosPyQdemodoqueBP--PQy BD segmento que une los baricentros de losinterseca a AP en E, AQ inter__ a PD trlangUlOS ABC Y DEfi Sab!endO 4Ue. _cu_e la mgEBf _+BE+CD= l8 y CD // BE // N.

o3o, g) 22o3o, c) 26o3o, n) 12 B) 9 c) 6c Ej _6o D)3 E) 2

_. _N 1 _r 22O. En un bián_lo ABC se kaza las _turas t4P y, En ei _áf_CO _i/ 2 Y lOS bfan_ OS v Ya emá� Se baza a ISeCtrU InterlOr .MNQ s_n equiiáteros. Si BR=_, BP=-RA yJ4Ni-N_, Wcule RS. Si _ + - -- -, calcule la m_BC

_ N _70_Q, ' A) 3oo __ _5c c) 6__p D D)53o E)75^C .221. En la región interior _, exterior reIaLivo ai ladoJ V m ' AB de ._n _.,,,n__o eq,.,l,/te,o Agc se ub.__J_ los punt_s P y Q respectivamente _al que el_ � _iánguIa PQ_ es equilátero. ln recta queA) 4 B) 6 c) 5 contiene a ios _untosme,d;-_os de Ai _ PQD) 8 E) 3 inter__eca a la rectaAQ en el p_n'Lo R. CaIcuIem_MR_ siend0 __ el punto n_e_i_ de P_C,P__ AO,___. __CUe-SI_Jt-= . A 45_ _ goo c6ooP_ CO,_OD) 75c E) 30_

. 222. Según et gráfico PQRS es un cuadrado de_ \ _ o ' centro _. Si AP=4 y SC_9, caIcute PT.

O P _ A) 54 _'g a__' D c)_!z Q RD) 2 46 E) 3;6 on) 2 B_ 1 r_)o,5D)O.25 E)4 p Ts

2l7

_____A) l _t l __ sB_)_ 2 ___l Acc) 3__ ___p_t____t _t _ B__

Problemat Selectos '_................

_ __n la figura mosbada, dos ho_igas inician _. Desde los vér6ces de un _ángulo ABC consu recorrido desde el punto B. Una de ellas ba_cen_oG, seba2alas_mendiculares _',si_elabaye_ojaB_ylohaceenun_em_ _g_ y _c_ de _ong;_des 6 m g m y 4t__ y la otra, la _ayectoria 8CM y lo hace en ,espect;vamente a una re_a a�er;un tiempo t2. Calcule la r_ón en_e t_ Y t2 sj calcule le distenc;a del bar;cenbo de la ,egión_bas ho_ig_ tienen fa misma vefocidad. _;,ngul,r MGc a d;c_, ,ec_ _te_o,, s;e,doB MpuntomediodeAA'.

.' A)6m B)5m C)l1/3m' D)6,5m E) l3/3m

/_ _ a7. Se tiene una mesa de billaT ABCD dedimensiones (2 m x 3 m) BC>AB y dos bolasA M C MyN. LabolaMdista l,6mde AB yl,5m. l de BC ylabola Ndistade AB l,2yO,6mdeD) __ 2 E) 4 .. 3 BC .Si_Ju_aa2band_Laquéd_' n_adeA debe goIpear la bola M en 1a banda AB para_ En Ia figura DE//AC, DE=3u, BE=3u que luegodeto_, _C impacte en febole_BS=5u. CalculeAC si Q, R, S y Tson puntosde tangencia. B A) O,3 m B) O,8 m C) l,2 mD) 1_5m E) l,7m

_ T E _ seg;n ,l g,;fico pQTg es un cued,ado, _ celcule AQ, s-, o p=6. -' d ...QpA Q

TA ' R CA)6u B)7,5u C)8uD) lOu E) l2u ____

_Q o__ ___. En la figura AE=a. Cf=b y - =h.Calcule BH. A) 6 B) 6_ C) 3B D) 3_ E) 12aDf _. En un kiángulo ABC, m_BC--2a , se _a2a0la b;sec_- i,t,,io, _D y en el ,xt,f;or Telet;voa a_ a los Iados AB y BC se ubica los puntus _ y_o a _ _ c f res e_;vemente tal ue _E // _D /J! _cF siBf=8, AD=4, (A_)(DC)=20, m_BE _ _A) _b B) (a^_ b)k C) _( _j y _c_F-2g+a calculefca+ 0+ - ' -kab ka2D) _ E)a+b a+

218

_m_A____,B_D __ _____ t c AD____) 4,5_ l _BE _ E )c6 b

,,............. ._' Geometría

23O. Según el _áfico MN_ es un cuadrado, si _. Desde un punto P exterior a unaPR=7 y la al_ra relativa a dicho lado mide circunferencia se _aza las tangentes PA y PC,3, calcule AB. Q luego la secante P_B. Si BC=7_ CD=5 y_ AD=3,caIculeAB.

A 0B A)21 B)24 c)_2D) 4,2 E) 8,4N 0 0 E24. En la f1gura, BP=_, BQ=b, calcule 8E.P0 ..000_o00_o0P M F ROQn) o 73 B) o,49 c) o,54D)o,63 E) o,7

23l. En el exterior y relativo al lado BC de un 2ab 0btriángulo ABC se ubica el punto E tal que A) _a + b B) _a + b C ) 2a+BE // AC, en Æ se ubica el punto D tal que__ m_Ac __ m_cB s_- BE___g y D) a+b E) a+2bAC=8,calculeBC.236. En laf__ra r--2 yAC=l2. Calcule elradioA) 5_ B) J c) 6_ de la circunferencia inscrita en el kián_loD)g E) 12 ABC.

2a. Se_n el _áfico, DE=CD y (EC)(AB)--25.C_culeBC.B _

D r,,' /_/A Cn)25 B)3 c)4_aE237_ En una figura, AR=4, PR=2, MS=l yA) 4 B) 5 C) 2,5 PQ // RS//AC. Calcute AM.D) 5_ E) 1o

233. Se tiene un kián_Io rectángulo' ABC, rectoen B sobre los catetos se kaza exteriormente R slos triángulos equiláteros ABM y BCN.Calcule la longitud del segmento que Nene Mpor ex_emos los puntos medios de AN yMB,si AC�8_m.A 'cA)4m B)2m C)2_m A)_ B)2 c)5D) 4_ E) 5m D)4 E) 3

____DLcFDEeu_oB)s)ysp2__oelt_oelcld2tlo_ tcAelB_ocuy_eA_pc___de un trE0_)c2_5D_ ,t ADDA__)))A4_5 \p\_t_Nt_\0BB\B\))\26of0GHc cEc)))357T_ B

ProbIemas Se Iectos '_................

_ __nlafigura,AE=5m,Bf=4myCG=3m. _I. En la figura AH�FG--3, MQ=2 _-Calcule DH (T es punto de tangencia). lO(PC} _ 9(__). Calcule BN siendo A y Bpuntos de tangencia.

0,_5_T 0,,0

A)lm Bj1,2m C)2m_ 2 4 m E) _ g m _ En la figura mos_a da P y T son puntos detangencia, O es centro de la._a,ngu_o ABc semicircunferencia. Calcule OH_ si se sabe.,centFo es J m._den g m y _2 m que PH=15, HT=8 y el radio de la,vemente s., A___6 m y _r__4 m semicircunferencia mide l3.calcule la longitud del segmento que tienepor extremos los excentros relatiK_os a losladosACyBC.

n)lo _)12 C)l5 _ o

240. En Ia figura O es centro, fG=5, GE=6 y _ __

D) 8 E) 9

' 24_ En un triángulo rectán_lo ABC, recto en B,se traza la ceviana interior BM: en el triánguloABM se traza la altura MH y la bisectri2'' __ interior AT secantes en Q; Hl _BQ = (S),n ' ' ' 'o ^ B AB_Mc _ ls_6_ calcule Hs.

n) 7,1 B) 7,2 c) 1,3 A) 6 B) 5 c) 4D) 7,4 E) 7,5 D) 7 E) 8

_246 pa_R_31s \_\\\ _ _ h3h _D) ___/ /2/ /a/b__ 0_ D__ E) __2bcp

.,......... ,... ._' Geometría

2& En un cuadrilátero convexo ABCD, se _a2a 247. En un _ián_lo ABC (AB=c; BC--a; AC--btlas circun ferencias C_, C2, C3 Y C4 con por C se __a una recta par_ela a _g, endi_/ e_os AB, BC, CD Y DA respectivamente. esta recta se ubica el punto D de modo queSean P, Q, R y S los puntos de intersección CD=BC+AC; el segmento BD interseca AC,, no son ve__;ces deABcD) de c, y c,. c, en M. _lcule la distancia del incenko del' s _iángulo. ABC al punto M.Y 3; 3 Y 4; q y , reSpeCtlVamen te. lAD=h(RS), calcule la razón entre losperímetros de las regiones cuadrangularesa+ +C a+ +C 0+ +CYA8CD_

a+b+c 0+b+cA) k B) _ C) 2ReIaciones Métricas en laD t -h E ) -4 C ifcun _gfenc ia

_5. Se_n ef _áfico, caJcule x siendo AO--OB. 248. Se_n el gráfico, calcule R, si (AB)(CD)-- _ ,(BH) (BD)--K, 8 y D son puntos de tangencia.

DX _

\\ A 0 T C_\ , , H 0A O B R ,,

n) 1 B) 2 c) 1/2A) 800 B) 900 C) JOOO D) _/k E) l/4D) 12oo E) 135o_9. _�ún el gr_co BN=5 m, AP=2 m y PC=4 m.. En el gráfico AB=a, BT=b, CT=c, T es c_c,le Ncpunto de tangencia y el cuadrilátero ABCT es Binscriptible. Calcule PT.

B '.Cp N0 0___T

ab ac bc P 'A)- B)_ C)_ AC 02,c 2ab A)lm B)2m C)3mD) _b E) - D) 4m E) 5mC

21l

_DAD_)_B_0 3____NM_ y_ _Na__Da____ son__secan_t,eEsca)) 3_AD___2 ent B y DAAcDE))))t)_522456/__3_A _LBr_ll)_ll4R ____M_Ecc))D28/5J_

ProiIema_ Se Ietto_ 'M,...............

_. Se tiene un bi_ngulo acutángulo ABC de & En la fjgura, m_nl _ m_lBc ,ortocentro H; con diámetro AC se traza (AD)(LC)=9; R=3 y DL=Cf. Calcule laexterio_ente una semicircunferencia la cua1 distancia de C a BF.se interseca con la prolongaci�n de la alturaBQ en R. Si BH=5 y HQ=4, _cule la longi_ddel _gmento tangente _do desde R a la�ircunferencia circun_rita al biángulo AHB.

n)5_ _)5 c)2 ,l '

_1. Desde un punto P exterior a una fcircunferencia se traza las secantes RAD yp_a; tu_o _ ubica el pun_o medio N de A) 3/2 B) 2/3 C) 3/

C resPe_iv_ente. _ y P Q _n se_n t_ _. E, un __,_,,_o -,,6sce_es _c (___Ac_, sea _ en B y C retpe_vamente. Siendo _a2a la circunfeTencia de cenbo O tangente_NM__pQ Bc__4yc___g._cu_e_ a _ enQya Iapro longaci 6n de _ A _ _que COnt18={R), APlCD (P_ _O ).A) 2 B) 3 C) _ si (BR)(RQ)_8(cR)_ calcule pR.D) 5 E) 6

_ Se_n el __f_co_ A es punto de tangen_a; siAB=a y CD=b_ calcule BC. D) 2 _ E) Q

'_a 00 _ Se_n el _áfico_ __(_D)_5(_)_ A8DT __ 0 c un cuad_látero inscriptible y T es punta detangencia. C_cule MD.

A' B) 3 B

_+b A TA)_ B)2_. Según el _áflco r_(BC)--l5, calcule r2( A8 ).D) a E)

_ En el __fica, OP= 1 _ PQ _ 4 y PT= 12. C_cule \ r

c)8 O ' .DE)) 7, 0 T Aa___ A)lo B)_2 c)15

t11

_B__0D ) ___ _J T __2_b _ __ E__ ) __b_ de__nc/__e_____n3_3___2_o_t t_not_2t2_3__22__ \ _ _ \

' Geometria

258. Dos circun_erencias son tangentes interiores 261. En la figura halle la potencia del punto Men P, el djámetro AB de la cjrcun Ferencia respecto del cen_o de la circunferencia demayor es se_n(e a la ciccunferencia menoc cen_o O'en M y N res__ivamente siendo N cenbo dela circunferencia mayor y b diáme_o de Ia 'circunferencia menor, l._ego se tra2a latangente BQ a la circunferencia menor (Q _ \Ba _ \\ 4p__de__ncia) y_=a. __e _pM. 1/_ \\_

Oan)-b B) - C) -0 0b 2a A) 5_ b2_9. _ la __, T _ pun_ de __n�a; EC y AF B) - -_n _e,_, ___lo u., Df__4,5 u., BE__g u. 5Cal_BT.2_-30 E 0C C) 5'_ __ 2' _ D)- 5E) o0 0A D f _. Et triángulo ABC es equilátero, AM=MC,A) 6 u B) 10 u C) l6_ u mBN = mBC. Calcule en _nción del radio rIa potencia de A respe_a a 1a circunferenciaD) 8_u E) 8u

_. Sean C_ y C2 dos circunferencias tangentes Binteriores en A (C_ >C2); se ubican en C_ lospuntos M y C tal que MC es tangente en P aC, y AC se jntecseca con C2 en B. Las R N\rprolongacionesde BP y PB sonsecantes a -'- -_ \ ,c, en a y D re_ectivamente. OSi BD=QP, _=0 y BC=b, _cule MC. A 'Ma+b ab2 a+ba+b 3r22 c 20 - r rria E 2 2a+b) - a+b ajb D) -

223

______ ___ _0 _A_)_____ h ___ _B)_ ___b)

Problemas telectos '_............... ,

263. En la figura mostrada -Ep/_AD , AE_8; _. Si mA_-_mBN, A y B son puntos deEf__J., fL__ _ y Lp__g. c,1,,_, BE. tangencia, calcule x.

_CE __ p a_Nf L_A B_'

n)6oo B)3o' c)53oD) 45o E) 37oDA Re Jaciones MétFica_ en gln) 1 B) 2 c) 2,5 _riángulo Re_ánguloD) 2,6 E) 3_ Se�ún el gráfico, calcute BL, si AM= a y NC = b_ En una circunferencia se traza las cuerdas (T es punto de tangencia).AB y MN secantes en Q, mAM = mMB. SiIos radjos de las circunferencias inscritas en A _ Tlos biángulos m ixtilíneos AQN y NQB son R y '_ 'r, calcufe la longitud del segmento tangente ocomún a dichas circunferencias. MNR+rA)R+r B)R-r C)-2B _ _ CD)g E) 2_a_+b2

265. En el cuadrado ABCD, A8_ 2_. Calcule 2Pa_ B M c C)_a(anb)0 0A)1 p D) E) b(a+B) 2C) 3 _. Según el gráfico, calcule CD en función de RD)4 _ yr.E) 5Q '_RCD __A D _ \r_ \\ '__. En el gráf_co, C es punto de tangencia, BP�2 _ _y AB=BC. Cafcule PQ. ! \\ 0 :_ BA) 2,5 C RB_ A)_ B) 2_A__ Rfc)4D)5 C) -R_,E) 6_ ^ D)-,_, E)-,_ ,

124

_A(A)Ac___)2(Ap)BDf Gt_H___80_0o__,D_g_J0xDc_2aubcleoA8p Bt cEo) ___a2b2+bc2 275_ADry BfcEseec)e)ss))n_HpemQp___a_oNl0ectl_cct_ca_t_cttl__l__v_lt_rlvbtbl_can_aslum+aldgemn_luetqlc+efnrtuenTa_tereatee__2Blnl_aauHttegra_l__eaa_ole_sqecesu_lnlao/eNlllntoAuæ_5cBTl_boe_Eant____ms)en2oe2_M_tRt5_lfp Q_ol_p0scH_ydAmHa__8eNb___abyla_

__ En et _r_fiCO m05tfadO, AH=0_ B f= b _ 273, En la p,olonga_'ón de _c de un cua dra doCG=c. Calcute x. (D y E son puntos de . -_ngencia).0 A _, la ;.,snn,,._,e _á-MP

_ __ En un _'a_n_o _e__n9uIo AB C, _e_o en B,''0 ' C B _ _s e tT _a _a j _ � ^a _tu_ _s NH _ ' y H �

_) -( _+ _) Et -2 (0+C) A) ___ _+ __l. Segun el gráfico m_C = 9 O '. Si c2, D_ c--

0 0,_,,c Elf. -_,d./JVB=_,calcWe pa.n)4_ B)2 _ c)4 _D) 2 _ E) 3 _. En un trjánguto rectángulo ABC, recto en B,_ traza l_ medianas AM Y CN; POf B Se 0 0prolongaciones de AM y C N in ter__n a bA)72o B)63o C)540 D a_b E _

_27T278Ds As__t))_22/b/lb___l0ll_+/c/fttf _AMBJlplIJJaJ NEBa))db_2t_3__a2+cd2_ __trt__aAa2_l_aqu1_ae\\se1_amgtl\tc_\a__lr_nc0ug_ne_fnDet/re/_e/n0ptcrl_ee/zqa_/ud/eem/____e_n_p_6toeomfrrsA_eEBcdaeseaens

ProbIemas Select0s '_.............., ,

276. Según el gráfico, calcule r en función de x e y_ 279. Calcule el radio de la circunferencia inscritasi x e y 6enen valores máximos. en el cuadrado ABCD; si EC--Z m yDF=3m._ _ E c

__' _,_'o_' .___ __

A o B . .

x+y A)2m B)3m C)4mA)2JmB)_j C)2 D)6m Ejgm

x+y 28O En un tr-la/n ulo ABc con d_,e_

AC en f; en eI arco Bf se ubica un punto E. egUn e gra ICO , , Y SOn pUntOS etangencia, si AP=a, PQ=b, QB=c y_ pe_endicular a fC en D. Calcute E_, sim_ = 900, catcule la relación entre a_ b y AD-_g cm y BE_-3 cm.C.n)5cm B)_cmC)2_cm_, D) 4cm Ej 6 cm

M. ,l . N 28_ segu/ n le f.lgura caIcule AB s., AP_l' ' Bc

A p B '

C)b�_0.c ' , \\ /

D)-_-+- E)b_2_ A HfE D_ Cn)6_ B)4_ c)6D) 8 E) 12eNn e _a ICO Y SOn pUnt0S e angenCla,OT=2 y TQ_6, cafcuIe r. _ Los catetos de un __,e,ngulo Te_a/ngulo m_,b y c (b>c). iCuáI es la razón que debe exisLirA) 3 \\ en_e ambos p,,, que t, med;ane relativa alB) 4 ' O B c,teto que m;de b se, peme,d;,ulaf a laC) 5 mediena relativa e le hipotenus_�.D)7 A. TE) 6n)-2 B)_ c), ,, _ 3_ P D)-3 E)2

116

__A) _2 2l__J _l ___ g B) ____0 ___b__ D_)))) __(__00+_bbc)+c _b cas en__b t_

... _,..,..... ._ .?' Geometría

_, _cule _, si _=a. 287. En un _iángulo re__ngulo ABC, re_o en B,(P, Q, T, A y B son puntos de _ngencia). _ _a2a la ___ BH, l_ b-__i_ exte_ores_ P d, vé_,,, A y c ;ntenecan a la p,o1ongac;óA) 20 _ '_Bt a ; de BH enPyQreSPe_Vamente.SiAB�C__ Q BC=a y AC=b (_>c) _cule PQa ,' _A.D)_ ,'B_ _E)2a_ ! _ '"' 02

T oc(a -c)_ las d,_mensio,es de una ho,_a ,on fo,m, B) _(b_,j(b_,jrectangul_ son a y b (b>a). Dicha hoja se _dobl, de _ ma,e_ que dos ve/__ces op,_tos c _1 + _1 _ _lco;n,,_den. Ca1,ute la _on -,tud d,_ dob1e,. 0 C b

abcb_,2+4b2 __b2 D) __(,+ ,j2+b2a2 E_(a-c)c) ____b,0+

0b , ,2+b2D) _+b E) _2 Rg Jacion_M�triarriá ngu los Ob Iicuá nguIos. Se 6ene un _án_lo rect_ngWo A8C, re_o

en B; se ubica los puntos L y M en AB _ B C, _ En un tri_ngulo ABC se _aza ta bisec_i2

r__v__te_ _ que mqBlM -- mqBCA, exte,;or cM (M en la p r o _ o n g a c; 6 n d, _ gle proyeccjón de _M sobfe _c m_de g cm Si AC=b, BC=_ Y _=BC+AC, calcuIeCM+CaIcule -_+BL BM2-a+b Za+b 2b+0A) a B) a C) _n)1/16 B)l/4 c)1/9D)l/8 E)l/3 a+b b 2b+ab E)d a_, Según eI gráfico P, M y N son puntos detangencia y (AT)(TB)+ (BQ)(QC)=25, 289. En la _gura mosbada, Oi_lm y O__9 mcalculePH.BA_o O NBj5 M _oa Ti_c)12,5 T_ . x,_ ,_^_ ,/ _,_/P0 '\ /'E) lo_ \\_ _'

'__ A a 0o/ B

A)4m B)4,1mC)5mH Dt 5,1m E) 8,2m

127

__l_q(DADEu)))1e8pl2_M__yfT___s Bo_fn yp Bu__(n)At2Bos)(dBe_Ect)e__n_g6e_1EcEnc)c_))_mtla492)____ncalc_ule Ac))_A__2_c__R D_/ _ )c____t abc __2

Problema5 Selettos '

_. En la figura _ Según el gráfico B, P y T son puntos de2 + (p0 )2 ( f p )2 + ( Q c )2 _ _ 6 tangencia_ si BD=2, BT=4 y PT=6, calculeAB.a CU eR.

A' BC AB_ JJ c_D pTf

n)1o B)5 c)7,5D) 12 E) 9

_. En la figura, calcule AB en función de 0, b y c. En un paralelO_amo ABCD laS blsectrlces' (P, Q Y SOn pUnt05 de tangenCla).exterlores de loS ángUIos de vértlCeS C y D seintersecan en M, tal que BC=4, CD=lO yAM=l2. CalculeBM.

a,' p b,/n)_ B)_ c)_ ,/' 'B_._a_R_ En un triángulo ABC1 se traza la bisectri_ _'''interior BF y la mediana BM de tal manera2AC.__ B 2c_A) 5 cm B) 6 cm C) 8 cm a+b b+cD) 10cm E) l2 cm4ab+c_3. Según la figura AO=OB. Calcule mEO.'D) _ E)a+ a+b+cT

_. En un triángulo ABC, AB+BC=2(AC) y' .E p \\ 8C-AB=8. Calcule la longitud de la

_\ \\ _\ proyección de la mediana relativa a AC

A _ B sobre AC

A) 750 B) 600 C) 530 A) 2 B) 4 C) 6D)45o E) 74o D) g E) 16

228

_Jyc______e50equllate_tA8__ 5yNAD_6t__cal_cwe _uv_//_A__T0,__oH_ 4tay_M_l(l LdNel)2p+un(Ato_Mm_)2edl__06d4e_

' _eometría

297, En la figura, CN=a_ NH=b _ HQ�c. Calcu Ie _. En un cuadrilátero bic_ntrico A8CD , laNQ (f, N, Q y P son puntos de tangenciat. cl_rcun Fe,enc__, __nscrl_ta es tan gente, _BC, CD yAD en P, Q, Tyla C re __vamente _u o con _n__a+cb TL respe_ivamente las cu_es _ in__nB)O + en . l a m_B = 530 Y la arcunfe Ten_ab insnita en el cuadjlátero A8CD es de _dioC)c _ __cua_ntod-_50+b f ,D) ,_ ''Q QT?___a _-E)c b A p H g A )_ g )3 _ c )20+D) 5_ E) 4__ En un re_gulo ABCD en AB y AD _ub;_ l_ punto, M y N, y q,e el _;a_n_o 30l_ En el _F_fiCO T eS PUntO de tan_encia,__ __ __ __ __MN. C_culetW.

A)_61+3o_ c _,

B)_51+1o_ __L ,_B JOc)_4J+lo_ r''' a__ 0NA_o__D)_ __ '_T' _rE) 2 6l-3O_ '

299. Se�ún el __fico_ H es ortocentro del biángulo MABc. si 2R2-(c_)2--18 y m_c=m_s_ A!6 B) 1Z C)8CalculeAH. D)4 E) 9

B _ En una circunferencia de cenbo O _ kazaIas cuerdas pemendiculares A8 y C_ (C en elR P menor arco AB); la prolongación de 80\_ interseca a la circunferencia en E, tal que__ H n n _-\ mAE = mAC IUego OD _ AB =(Bf)(A8)--l5 y OF=2, calcule AB.A Q c3s 2n) 6 B) 5 c) 4 3 5_D) 9 E) 8 2 3

tt_

_eD_s)___a0 2_b__ _ _ c c b B_ _A)) ___ __ casT)e_n___

Prob Iemas 5e Iectos '_,.....,.........

_ En un triángulo ABC se _a2a la bisectri2 _. Dado un triángulo A8C, se _aza la bisecMzinterior CL, luego se tra2a interiorADylamedianaAMdem'neraque_H _ _L (H _ _L). Si AB_15, BC=13 y _--DM y (AB)(AC)=l6. Calcule BC.AC=lQ, calculeAH.n) q B) 8 C) 12D) 16 E) 1o

D) _g E) J_ _. Segúnel_áf_coM_N,Q,SyTsonpuntosde_genaa-. AB=9_ 2(PS)--2(PJJ=ltW=NQ=l2_ Desde un punto extejor a una circunferencia y Dc__5 _cua_nto d!-sta p de _Ma _se traza las tangentes PA y PB a dichacircunferencia (A y B son puntos dePtangencia), en las prolongaciones de AP y-p_ ,e ub._ca los punto, c y D tal q,e S_ Dm_CDP = 900. Sl A =a, D= Y D=C, 0_caIcule el radio de la circunferencia.

a2 _b2 _c2 A Cn)M N Q2+b2_c2B) _2b 3 lo-5 B)2_ C)-32+b2 c2c)_4b D 5_ E l37abc4 Re _a cl_o n e_ Me/ ___,2 + b2 _ c2 CuadfilátefosE)0_ Según el gTáfico_ T, P y Q son puntos de3o5. E,el ledoABy e, _,,eg;o_n exte,;o,relat;vaa tan9encia, R--5 Y r--2. Calcule OQ.BC de un cuadrado ABCD se ubica los ppuntos M y N respectivamente , tal que MBNC r ',_ _ c_l_ T_-Un k^Pe'!O 'SOSCe e' Y =a' ' CU ' ' _dis_ncia de N a CM. a _ __-0 _On) _ 2 _ B) _ 2 _A) 5(3-_) 8) 5_(3-_)

c) _2 _ c,_5_c9

D) __ E) __ D) 5_(3 _, E, 9_(_2 3 3 5 -

13O

__ BccEaD))lcllu3q4leo cc(A8_mm) __ ____ _ D _ _ Ac AD))2_3g2_G___t_tfB__)_4___T__t__0B/n/cE/Er/)))//659go_o__2g T

.. ,............ ._' Geometría

maABD mKACBm �_=__ _oluego con cen_o en D y radio DA se __a unarco y se ubica e_ punto P de modo que D 0 0E 0 Cm_PDC=900 y PD=6 cm_ caIcute lalongitud del segmento que une los puntosmediosde_c y__.

n)2_ B)2__c)6cmDt3_ E) 3_cm

3l0. Desde unpunto exteriorauna cir_nferencia 3__ __/n ef_e,f._coR_25 ,__5 y__J s_.se _aza las _cantes PAB y PCD; en el arco_ n es punto de tangencia y mIVT _ 0, ca1culeseublcaelpuntoEtafque mE =m .s; (BE)(pc)_22 y (BE)(cD)_2J, catcule m_OMT.(BD ) (cE).

n)25 B!/22 c)35 N _0MD) 49 E) 98

31 l. _ _ene dos circunferenci_ con�én_cas, siendo _. TTun punto de __n�a, CT=3 _ yAT=5 m, ' .2+ (Bc)2+ (cD )2+ (AD)2 _ _ _ _ R

A) 12_cm2 _ ' A oB) 12g cm2 !, D2D) 142 cm2 _ _ A) -2 B) 900-0 C) -32 i/ CT D) _3_A _

' 3l5. En 1, ,e _,o_n exte,_fo, Te_a_va a1 lado Bc de unbián_lo rectáng!_lo _C, recto en B, se ubica312. En un _erel__0_TemoABCD, BD_CD y en un_untoDt_4Ue m_ADC -_- 900. SiAB=7_ta regjón interior se ubica el punto p. Sj C_= l5 y AC=25, c_cuIe Ia distancia en_e2 p___ _2+ D2 - _- v Y -" _ los _untos medios de BC y AD.calculePD._ n)_ B)_ c)_D)8 E!4 D)_ E) 3_

_3_7 A0r_e))s22_t __Bl) 4 _ ___cE20())+a8_l2+6cc) Ac_) _______2 _0_ n_H__B_o Q_ _A_ HD f Tc

ProbIemas Se Iect_s '_............,, , ,

3I_ En el gráfico A, 8_ C y D son puntos de 3t9. En un tri�ngulo rect_nglllo ABC_ Tecto en B,_ p_ _ se _a2a la mediana AM y la altuTa BQ, en el_ngencia. Si _p _ 2 p c, = 8, _lcule -. tri_ngulo ABM se tra2a la altura BH. Si

A n)3_ B)4_ c)2__D B D)5 E)5_

P;, t _n_.. __ _. Según el gr_fico m0C = mAB = mBC ,_ '_r D_=a y Bf=b. Ca_cu1e CT (A es punto de__ _ tangencia).D C

B) a-b \_o+b _.. En un biángUIo rectángulo ABC_ fectO en B,_ _a2a la bisec__ inter_o_ BD. En _ y D) _ B_c se ubica los pun_os _ y Q 4 . _000 0PeCtIVamente tal aUe m_P_Q � 900 _ E) _ + bLu_, en el bi�n_lo AP__ _ tra2a la alturapH._ s; _ d__nt;a de g a _c es e_ doble de _1. En el gráf_co, H y O son, respectivamente, elHD, Ag_ç y 8c_a, ce1cule p_. o__enbo Y el circun_nbo det _�n_o_C.Si mMB = mMHQ � 1Z00 _ MN=m y OQ=n_t(_ - r) a(_ + c) calcule BM.A) _2(,+cj B)

c(3_-c)C)_2(a+,j \_(4c-0) a(3c-aJ DD) _2(a+,j E)

3I8 En un _ad_do ABCD, en BC y CD _ ubicalos puntos N y M respectivamente tal quemKNAM -- m_MAD, BN=5, MD=8:, luego-MH_ -_ (H_ -AN) c_cu_, _HC 3m2 + n2ltmV- A)2(3m2+n2) B)

5 8)_j C)_3 m13 _l D)_ E) __Z (3m'-n ')D)-_4 E)_3 _ j

13t

_D) __t t E) _cal l )l __ _(_J_o 2 _) _ la3_ 5seo _a2a_(n__ateTscueerc)dean ceDn Ty_

,.............. ._' _eometría

_ En un cuadrilátero inscrito ABCD de _. En un octágono regular ABCDEfGH,diagan_es pemendicutares _ secantes en P,__cu1e,es -pe -pf AB - -. �Cu_to dista A de fC ?' ' 2PG y PH _ a los lados AB_ BC_ CD y DArespecivamente. Si EG=GH=Z(f_)--20 y -fH__b catculeEH. _tl -l2 2

2+b 4+b o+b (2_+_)30 3 0 _j C)

2ab _5a+b D) 2_+_ E) 2___0+b 3327, Se tiene un 5egmento OO' en el cual se ubi_Polígonos Regulares un _unto A, lue_ _ _n__ los _9on_regulares ABCDEFGH y AB'C'E'FG'_ de__ _ _ene un cuadrado Y un bi__o _uil_tero cenbos o y o ' reme_'_vamente (g y B_ en uninscritos en una misma circunferencia_ los -mlsmO Semlplano res_eCto de OO'). SlcualeS _enen U_ VémCe en tOmÚn, cu e amedida del _ngulo dete_inado por el lado B_'n__'=(P) ,c_cule_.del triángulo opuesto a dicho vértice concualquiera de los lados del cua_do. 'n)-32 B)-2- c)45_A)3oo B)4o0 c)6ooD) 450 E) 750 45oD) 15 E) _2_ _ tiene una c_cun(erencia de radio 4 cm_ enla cual se tiene 6 circunferencias interiores _ En u, c_-_un(e,enc_-con_entes, _da una de ell_ tangente a la el d__e_me _o _ _as cu_es se _,circun(erencia inicial y _ngente a o_as dos.celcu1e el radio de la circun(erenc_a in5__ta tal que mCAD = 1440. Calcule el radio deen el polí_ono obtenido al unir los puntos de dicha ciT_nferencia Si I_ diS_nci_ de A Y Btangencia entre las seis circunferencias a _D son 1 y Jt re_ct_vemente.con_entes.A) 1 B) 2 c)3A) l cm B) 2 cm C) 3 cm D) o,5 E) _,5D) 4cm E) 1,5 cm

_ _ 329. Se tiene el cuadrante AOB de cenko O, en_. En un _apecio isóxeles ABCD (8CiJAD , _mgBAD __ 36_ y _, _o,g;_d d,_ _gmento que OB se ubica el _unto P tal que PB es 1aune los puntos medios de les diagonales es l. v_cción áurea de OB, luego con Cen_o en 8 y01cule _. radio P_ se tra2a un arco que inteTseca alarco A8 en T. CalcuIe Ia m_PTB.+1+1 B)Jt-ln)26o 8)72o c)q5o__1 E) 2 D) 36o E) 54o2

t33

____DmEccD)une)6mn4uopnel_eheqput_e9o(nFoc_r)e2g+u4la(ErGAEEB))2)c__q5D(2E+f__BE)s2e_ ccmAÆDcd_l_nrl_)ec)_)fuc25__BRunuu Ac_nf(nnacD__fdhe___e__ofc_xe Bu6da_ncoaegcolo_go1_cuBernt Llo)ada3d(re Lr)eme_l9Flrga_o9uet Belsdarc1_olflonAleltnoRs__csncRErc___rc_5,)_)l_uotuttao46oydloceusdnylelldanl_daccedhottlo_as

Prob Iemas SeIectos 'LM_. ,...._......,,, ,,

_. En un tria/ ngulo A8C (A_ =BC) la media_i2 3æ En un rect �ngu lo doTa do A B C D_ con cen _osde A8 inte_ca a la prolongación de AC . . . ,eni. si m__=75o y _= 12 _ , intecior det re____lo). ca lcule la me di dainscrito en dicho triángulo, taI que uno de sus_ados _tá contenido en BC. _ E j ,n) l B) 2 C) 3 _ E d .t ,_ . ._ ABcD

1. Se tiene dos polígonos' regulares de igualn_mero de lados. uno inscrito y otrocircun_ito a una misma circun _erencia. A) R ( __ _ )Si la longitud de la circunferencia inscrita alpolrgono menor m_de 9 cm y la long_1tud de B) R ( _+ _)Ia circun Ferencia circunscrita al po_ígonomayor mide l6 cm, calcule la longitud de lacircun ferenc ia c ircunscr i ta a l p o l íg o n o D) R _E) R ( _+ _)A)3cm B)l2cm C)18_D) 4 tm E) 24 M _. En un d_e__ no re ,_,, _c__GHr__,AG n _l = (P). Calcu le Ap_ s__ AB= _.

alnlle la longitud deI lado.n) 1 B) 2 c)3a7. Dado un pentágono A 8 C D E ins4ito en una

La sección áurea del _gmento A8 es BC t la - / - 6 6 e a. _: e.sección áucea de AC es _ _ la seCción c_Tcun(e_enc_a) y AB=nE, _cuánto dista cáUreade _ eS _ _ SIBC"4_ CalCUle_' delpuntomediode A8?n) 2(_-l) A) R_ B, R

+l C) -D) 3(__1)E) 4(__2) 4 2

_Acc_eJ))____l ( 2sb2__)/_n_____cto B) __o_B b2(s s2 3a__Jm___gau_rtaot_AB_?_tcD_yEfaMD3son_cQuadra Qdcmost

,.............. ._' Geometría

Areas de Regi0nes rriangular_ _O. En el _áfico, _+P_ _ mínimo. _cWe elárea de la región triangular APB si338. Se�ún el _áf_co C es punto de tangencia, si (AE)(8f)(Ef)--96, AE+Bf=10.AM=MB, AP=0, BQ�b, calcule el área de la AregiónbianguLarABC. ,!, B

A ! !_' ''5_;_,,_,v, _ P f_______.__//,,:' v g n) 1o,6 B) 19_ c) 9,6_x,___,__ ___ _' ' D) 28_8 E) 18,6

0 a_0o! 0 _ _e_ a_F_ m__doA __5_ p___ Mc QY BC=3 Cm (D_ C Y T SOn PUntOS detangencia). Calcule el área de la región_b (_2 + b2) sombreada.ab a +P0b(a2 -b') 42 __ _,_ 0v_ TD) _(a+b) E) -2 (0+b) nC_mn'_'';___v_D ,_'_. En le f_guca R y p son puntos de _n_nc_a. JJ _ _ _ _ _ _ _J_ _ _ 'A oc BS_ + S2 .CUe_,Sl _aY = ly2 A) 5__2 B) ___25on ar_ ee, d, las reg;ones sombrea_as). 2C7 8__2R2 g_ D)3 _ E)_2_cm'__Pc >_m _. E, ,,,_.Æ�3 m y ED�2 m. Calcule et área de taregiónAGh_._ _r g c___''' A) 2m20___-_ B) 3m2Oc5 2m2 2 2 z Dlom2a +Oj _ _j E gm2a a2D) 2- E) -a2 b A E D

13S

_DAt__)A4__m__) _ ____ B__)_________ D______________________________________ _ ____ __ )) B__ 398 scceN)))gAcp_u_3_n(BlNa____________)___oAlAB_a_f_00__1_09D__D_Bgv___00_____0__0_00u_a0+_0_0%+___a__a___a Br0____Bo_0c000e___0_0__00_0_o__00p__0_0c_0_00c_Dpm _aost_re B_daa, AM__MB_

ProbIemas SeIectos '

_ EnunMán_lo_C, en los IadosAB,BCyAC 347. Ene_gráficomostrado, halle 1arelación enkese ubica tos _untos M, N y T de modo que las érees de las regjones jndjcad,s.m_JMNT = maBAC, m_JMT = m_BCA.Si MH t AC y NE l AC (H y E en AC ), ._..._,-,-_0o_'_celc,le le ,_o/n ,n_e l,s a_,,,s de l,s ,e _,o,es ........... ..;..;....;-.._.;:.;:.80. __''-_abI'an_ulaTes ABc y HBE. _c __q., :-_:-,_:_'-::'-_:'-: _'- _=-- _'- ;'0_ ,''g-^ _0__

A) 2 B) 3 c) 4 __,,._.__, '^___'0__0'_'a'^_'_,_'_0_0_0__, 'D) 3/2 E) 5/2 ,__o.,._D_,.,_0,_,0__,,,'___,___.,,._,v0_.D.''__'_o___o0'_' _'

_ En la figura, AB es diámetro (AO=OB),NQ=OQ=4 m. Calcule el área de la región A) g2+D2_A2+ c2triangular ABC (M y N son puntos de. B D2+c2angenC1a. =2+g2N____ Qa D 2+A2C.., _.. . E)A2-B2=BD-AC

_,_:-'__'''_,____''''_'_'''''''''''''''''''_''''''''''_' '__'________:'_'__

2 2m2 cg2 ^ ^m = �Ym�m .CalculeelD) 16 m2 E) 4_ m2 área de la región sombreada.

_. Sobre Ios lados AB y BC de un _iángulo ABC(mqABc __ _) exte,1_ormente se constr,y, Blos triángufos equiláteros ABD y BfC; _A y M ,,,,,a,,,,_o, _____'80,__,o_0,_0__v,,__'_gg'v_',,S, __D;__0.___0'___.._ ___^^___^_'_'___,__ooo_0,i_,__0,'_,__,o___.0o,__'__^'.-_,.fC se intersecan en E y la prolongación de ^___'_0___a__,o_,,__,____,,,_, ,'.__,;__:,_;,e,, _ _ _EB intersecaa Df enN. CalcuIeel áreade %__'___^_0_____0,_o ___''la regio/n tr_,,ngul,, ABc, s-, BN__, y BE__b. A o C

0b ,b ab A)9 B)12 C)9_n)-2 B)- C)-2 3 D) 9_ E) 18ab E ab3 z _9. Calcule el área de un triángulo rectánguloABC (recto en _), sabiendo que la_6. En un Niángulo rectángulo _C recto en B se prolongecjón de le bisectFiz intefna BD es__ las bisec_ices interiores _ Y CD, siendo secante en E a le circunferencia cjrcunscrite.I el incentro de dicho triángulo+ BD=4 m y DE=5Calcule la ra2ón en Ne las áreas de las regiones_EC y AIC. A) 36 m2 B) _g m22n) 1 B) 2 c)32 E 6m2

236

___DDA)))_4l6m__u0 0____________________________,______0____0___________)_________________t____________________________________________________0_________0_________o0 _______________/_______/__ E))) 2_o_u _ /)t ppA3d_d__ pp_5cr___o___ __/______A/_________)_____t_____________ABc1____c_4____ y_ _0p___________D_____l__________0_____________l_____s__E_to))n pun2tos dyee

' _eometría

35O_ Se_n el _áflco, TR--3(MN) y el área de la A) Los perímetros forman una progresión,e io/n kian ula, BDT es g u2. calcule el /. ,área de la región sombreada. B) _os perímetros forman una pro gresióa geomé_ica de r_ón a.C) Los perímetros forman una progresióngeométrica de razón 1/a.Do 0 D)-P2=-P4__ 4 6------ --_ T .,,.._,__,_'''_O_' _0_'_,'_,,____a_______________"'^_.,_..i____,,__m,__,__0_^^^^^_^_ E) -! =-3 _oM _,__,_^,_,___,_'_,_'',0,,_,_:___ _____,3__,._^', i,_im___:_.: _;_ __0___^_,',o%_'__,__'a..,. , , ,,,a,_,0,,,,,,,,,,_0, _0_''_,___,_,'0 .___/ v_ . :, : _ ;',. 5_,- :__ ___,%_.,_^_o.._O^D ' 'P ___'_"____ __m__;' __,_,,'_,__,_,____',_,,^__000._0_... _.^_.,___._,;;__.__.__:'_:___' _ Q _3 En el g,e/f,._ _C _ tengencie. Si Na_4 m, _lcule la suma dA) 6 u2 B) 8 u2 C ) 1Z u2 _e_ e leS re9lOneS SOmbreadas.2 2N

4t_ En la fi_ra, _=2m; P, Q y F son puntos de M , ,,.,, ,.._.,m..,,,.,,,.,.. ...., ':_.;_!___''_''''''tangencia. CaIcule el área de la región _____''m''''''__"_'_ _ 0 . akiangularAFB. , .n.,.. ,,:,_:'_'

a 0 , c..,,.,.,m___:___.:'_:,,''_,_'_,'_,,:''__:'',j'''0

t' '''F. //,,,'' ,.,....':__::_._,__:',''.......,.........,_;:... ....,... // D

_ ' 0_''_'_'_. ___S''. _"_____'_ ___ '_ g A 4mz B 2m2 c gm2O D 16 2m 12mA 1mZ B 2m2 c 3m22 E2 2m 3æ En un kiángulo rectán_lo ABC, recto en B,se b_a 1a altura BH. Por Ios incen_os I_ e I _42N En lafi_raI_áreasdelos_iángulosOA,B,, de los t,_-a/n g,tos AHB y BHc se t r e z aOA_,, OA_2, OA3B2, OA3B3, OA4B3 estánpe_en lCU areS a qUe Se lntefSecan COnen pro_esión geomékica de r_ón 4 si _' AB y BC en M y N respectivamente. Si r, yA_B, // A2B, // A3B3, A2_ // A3B, // A4B3 _ _,1 ,2 son los ;n,ed;o, de los _;a/ n_Ios AHBPj, P3, P4, P5 y P6 son los períme_os de Ios BHC, calcule el áree de la región _iangulertriángulos mencionados, la afirmación MBN.co_ecta es:g ,2 + ,2 ,2 + ,2A) _' 2 ' Bt _' 4 'B3B_ Ct -4 r,rz

A_ A2 A3 A4 D) rzr2o _ f,r2

237

356__HAED))))_%2______(e__att/_____t__/__c??_w_?_) _?1 ?A__B__m___,?_m_Jy__/___/,_____ t_ s)Qa2bA_ p ADD__))) 22d6Jt, calcule D)Mt JtE /2___________EE)))_3__do_cu /4

Pr_bIem8s SeIectos '_ ................

355_ Seg_n eI gráfico, P, T y Q son puntos de _ SeNn el _áf__, el _rea de la _gión _iangul_. / AB 2o2E dt___an9enCla. CU e a r_ n en e as afeas e eS U , eS e eXCen O e anN OIas region_ _mbread_. ABC reletjvo a BC. Si mgEif _ m_BCAc_cule el área de la región _an_lar AfD.600 T,/,..,p , ,;______;_'"_' _q__VY?4 O E_? ,c_ ___ __m ___,___/_-/___ _;_,,,,_n_ e,_? m _ '/ / __?______,,,___,,_,,_ c,_?;,_'c

__''vjm,,_,,m___,, ,,,,_ __,,m,_,/,/,/,, _f/_,Y,t /_t_/_9C'_4?,?," _',';J_,__ _> / , , _? /,;__,_,n5'?',____M_,%_____/'_,,__/v ;v_J_, _\,_,_,____i,;__;,_ ''__ , _n_,;n,','_, x__,,,,__,,,,' //,__ _M_______,__,_,_, __, /.; >___,/,,,/ %_, _!(__/ e___, ___ _ ,__,__?; ,;_, __^^q______,' S"_ S'_!_> /'"'"''Y ' C D

,;;;_;'_-;_i_;//________"V"^ Q A) 12u2 B)25u2 C)15u2/_-/m o u2 _ 2

A) 1 B_ 2 c)3D) 4 E) 6 _. En un bián_lo Ee?_nNlo _C, re_o en B,se _a2a la altu_ BH. 0n diáme_o BH sec _ _ ba2a la i_cunferencia insmia en el _ïángulo_ nUntrlanguO 5eb_a aatufa . OC _' _ ACD, tangente a AD en el punto M. Sise _ la recb _, __nte a AB, en la Ac__cual se ubica los punt0s P y Q taL que lam___maAac-goo __MyNp_t_ A) 1 B) 2 C) 2,5' D) 3 E) 3,5medios de BC y PQ r__vamen__ caIcWeeláreade lare@ónANM, siAN=ayJtN=b. 360. De ta f1gura mostrada, calcule el área de lare_ón sombreada si A, E y T son puntos detangencia, A8=BC=AC y BT=0.aab B)aab C)- T B

2+b2 0__m__2_b2 E _ _,y__2 , ,_,,,______

@. En el _áf_co A, B y C son las _eas de t_regiones sombreadas. Calcule el _rea de la ,; n,_región triangular OQE. ,___ _'!_/;;,__-,,__,;,A DNr__o_e A2 B2 c2'___c__'w m O 0 O_?___,_,__

_- ''!' _//_____C_^_,___R __ ' __V_S Q 361. se t;ene un triángulo rectángulo MGo, fe_O /,/,//, ;,__ ___ en G, donde M es el punto medio del lado BCv _ /_'/'' _,_ de un triángulo ABC de baricentro G y'i ___;m,/ v_ circuncenbo O. Si MG=3 y GO=4, _lcule, E el área de la región _angular ABC.

A+B+C 27_ gl+B-C B) A+C-B C) _2 A) 36 B) _ C) -

2A+B-C 2J_ g1_+C-A E) _ D ) _ E)

t38

_AABcD__)J)))M3l2___A__lc__2 dRd__Al l___________________________r____________________________________________________________________________________J_____________________________________________ p ________ _______ D 2 A) __o_2(___________________________________________________________________/___________________________y_____________________________m___________________v_y_____________________________________t__________________,______t_______________________________________________________________________________,_t___________________________________________________________________________________________h______________________________________________________)_________________________________________t________M_____________________________m_____y____________0_______________N_________________B________t______t_________t_y_______________y____y____t_________)_____________p________________________________________________t__a_______________7_______y___o_o________m__________t0___2__0_____________v_____________________a______________________________________(0_______________________________D_____________________________e___________________________________________________________________________________________________,_______________________________ge_________)______________________________________________)______v________

............... ._' Geometria

362.Enl/fi - - _ __ __ 2centro I está inscrita en el triángulo ABC, Calcule eI área de la región sombreada (T esOM // BA _ P y T son puntos de tengencie; punto de tangencia).__emés E es excen_o del triéngulo ABC C_relativo a BC Si AC=4(AM) Al=LB y el/ree de l, re -lo_n LJKc es 5 m2 ca_ le l B) 24 m, C U e 2 0'area e a re9lOn blan9u ar . C) 36 m . _____'_.__''_;;,'_''''.,..;_._'m,_.._;,_.,,_._,..'.>_'_'.._.'E D 3o m2 ,e._...:_.__..:;;':_::'_,:;.__,.;.._,...,.__',:_;,___,.__,______i_y,__:____,.:_..'_',.....,,..:._..,.... .__;__,_,__',,,'_,;__:';',__~:,?,;'_.___,,:',:_'_:__;9__ _. ._.9_',. '_:'_'_____m. _;',_' __',_',,_5';_c,_i:.__:.i_,,,.;E!, 20 m2 ,,D,...,_;,,;;:':__~._.:;..___..'_._''_.;.:,;_''::,_',,.:__,.._,;.._,;_._.;;_._:,.__:,,._,:....:.;_,.;,,:;._;_.._;;.,.;_.,_.:.;;,_''.y;.;,.:,,.C__.,_._____..;,_;.;.,_..:_,.__.._;:_,_,.__,,_.'.,:'''_''':___':''':''_._'''-..''___',. P ,,_ , _: ___ ' ' ' '_. _ :'_' __,___:'_' '' _' ''_'?'_: ''_''"' _'_,_ ''','', ''''_ ''''_'_'' '' ''' '_'',4m_; ._, __ym:_' '___'__~:____ _',__:___ _m__''__y_ __: M__;m___~_____'. ____ ___'____/:y'___,__: ___ _: _: /'__. ''_: '_v'',' ': :_ ,__,_ ''_5_ ___y__SM' _'' 'i: '___ '_ _ '''_ ' :____!'_',';__' ',__M_,_,jy._. _,_____m4____ ,a___5:_:___,_:m_,_;__,_____;_ r ''''''_' _;_''__._,/,,_______.._s':''':_''"'__m___'' _~m_______,_,,^ ____ '____a j_' ____m __r __ L r ' '_ :.__.._.:__;5._._;;_:_,i:'m_;;.._,_:_.:,;.:_: _:,__._.,'_:.;4__;_____._,,_,_._,,,,______ __'__;,__!_,,,_m,i__m_y; .,,0'__,,__O, _ ' ''' _ .__ , _;_,.,_..,;;,.,._.;.,.......,,,,.., _ _ _,'' ''' _ _ _._: _:_!__,_"_: '____,. _, ', '_ ',,'__ '''_. :__ _ :_. __: :'_ :_. ', ''_,, _''_ ''__,. '_,_, __;_:' ________5__ _ _, __,_ 5 ' __ _,_ ______ ____._ __ __ _ __ __ ___ '.___ ____,_____._, _ ______, _ _____, ___ _ '____ _ ____:_ _'_'_m__.:____ _' __,__'__, _':. __ ,' ____ _:: ____.:_ _ _______' '_ '_ '::_;,:,,,__'__,___,?',_. _ ._. ,... A _i_' ' _ ' '''''''''''' '''"'_ ''' '' '^ '_'' '''''''''~ '_''' ""'^ ____p _' ' ' ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' ' ' ' ': _ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' " ''K ^. 2 , 2 366. En la fi_ra mos_da, ca1cule el área de laJ_m B)30m C)36m ./ . b d .CeglO_ SOm rea a Sl , , y SOn pUntOSD)Z5m_ E) 50mmedios de AB, BC _ CE y EA respe__ ente,_ . ABCD es un cuadrado cuyo lado mjde ,.reas e_eglOnesBUa fa__W afeS :;.,,';.._,,._::_,y:,_,.;_,:_:_'.._....___.,..,,:?,_:,,... __..__:',;:._:.'__,;;;.;n_,_'.',____.._.__,_,'"''' '__''''''''_'''__'_m__':''_:_�._.._.',,_____,___.n_,,;_,_'_,___._,.:_.,._,.:;..._,_._!_;...___.'i___._.._.,_.''' '

363, En le figura ABCD es un paraleIoa_ramo, .:__!:':_..'':_,,;__!:',,:__;_,_.';___,_':m.:_..___,_,:i,:,:_.:_.._,,___,._!.::___!':''_'''_'''''' ,..,,'mqQAB _ mqDPC y el área de la región ;'_:':__,_''::,_''__._'_,_':_,______!_'_:''__'''''' ..,.,.;__i____,._..,.:_:,___.__,5_.__ o5D_ian_Iar ARD es 2 m2 _ calcule el á�ea de _a ' '''''' ,..,.;,_,._.,;,_._,_.._,._,,,,__.'._:___:'Dregión _ian_lar PQB. D,....... ;, .,., ,.....,..,,.;.__;/_.___'__:::''_''' '''

D.. .., ... .B. _.,,__':.':'_,,,,:.',n:::'_,_''',.'',:;,:,',,::__:.'_:.'_.;,,n.,,:___:_.,_,,.__,.:_._,_.,;;,.;,...',,_.,__.'_,.,_._;::,,,.__'_:::,'_.,,'''_,:'''.:.',__''_,.:'_,:::',:?:_._.::,.''_,__':'._.,,:,:,''_,'__!,:.'_:'_,_,.c__.,__

_ _ _2 ..,_,''''.;.'',:'','''''_.,_'.;__, _'_','_;;;,._.:5__,?_'_;';;',:; _ _ - - - - - ''2 o,.. _',_, A' '':':''''''''''_:_:'''' aE 4m2 _,_..;.....:..:..,....,........ 8 8

.'' a2

.i c) _g (_+_)_0W'_ a2 ,2P D) _o (_+1) E) _o (_-1364. En Ia fi_ra mosNada ABCD es un cuadrado,mqPCT --- 900. Calcule el área de la región 367. Dede una ciTcunfefencia de dián_eb_ AB ycuadran_uler PCTD (P y T son puntos de cenko O se kaza o_a circunferencja tangentetangencia) , si _--8 m. a Ia p_ rimera en P y a OB en Q de modo queB C OQ=QB_ Q; caIcute et área de la región2 '2 .... .:._) 32m2 n. ,,..,_,_.: _..,....... ''.,.,..,:__), 4_, m_ ' ''::_::_:_::":...._._,..y:__:::.::;_'::,...' . A) _'_J_ _) -7 C) -52 _ _ _ .,. '''' .';_';,,__ __''i''::_;__;,;_:':'''::;:__,'' _ _ 2 2\ _ '''''''''''_'''''_'''_''_ __''''''''''' D) __ E )D

139

___AAccD_BH)_))H) 3B___2_266 _c__mttr__ __lB_) ___b__,__________________________________________________________________________________________________________ ___tct)) _2_4 _ ____________Md____________t________________________________________________________________________________________________________________________________________A_________________________________B_______________________m____c_____________________________________________D____________o__________________________________________________________________________p____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ D

ProbIemas Se Iectos '_ ,.

368. Si el lado del cuadrado ABCD mide 8 cm, 37l. En un cuadrilátero convexo ABCD, M, N, QcatcuIe el área de Ia región cuadrangular que y R son puntos medios de _AB, _Bc , _cDtiene por vértices los centros de fas _DA t_ que _Ma y _NR se _.circunferencias que se indica en la r_gura. s d 1l aS areaS e aS re9IOneS y2B C SUman U, Ca CU e e area e a reglOn___ ,_,.................._,...._ _ trian9ular RlQ.

_i' _.' _00_ :__,'.i___!.._:j__._'_.',__;__,._'__.__. ___,_''__.:_,_,:____;._'''._ _:____,':'_ ____, ?_.__:___,____''_'%,''',_:_:____m,_,ß_i'_'_^y_'____!__________.:__,____.,_. jj'_'_''''' A) 3 u2 B) 8 u2 C ) 6 u______ ___m._,_______, :_,___m_yi?i'emy,,_, :'_._' '_::__,_y:,'_ :,''_:_'_. ). _ '_:: ':: _:: ''_:,'': ':: __. '_ _:: '''_ ''' ''' ''' '' '__~_____._.,y_.___,__;,?_(,,_._!_.,'';,,m:_,.,__.__,,,.__...:.t!.:_'::.__.'_.'___.._;__..'__:_;.''_,:.___,_,''_._'_'_'_'''' D) 2 U E) 4 U

37_ Se tiene el trapecio rectángulo ABCD, rectoen A y B, la semicircunferencia de diáme_oCD interseca a AB en los puntos l y MA D r,spectivam,,te tal q,e L _ _BM. si Bc__4,2 B) 2 o z lM=7 y BL--5, calcuIe el área de la regiónCm Cm2 CUa rangUar .C2 E _gcm2n) 16o B) 153 c) 15o,5D) 161 5 E) 1655. En Un _lángulo rectángulO ABC, recto en B, ' 'se _a2a la aItura BH; en los biángulos AHB yB M__ Según el gráflco P y Q son puntos medios deSe aza aS lSeCtrlCeS In enOreS yBN respectivamente; luego en el _iángulo AC Y BD _ Si BE+Cf�l2 Y MN= l0,MBN ,, __, le altu,, Mp qu, ;,te,seca a caIcule el área de la región cuadrangularABCD.en Q. Calcule el área de regióncuadrangular BMQN, siendo r el inradio del , . , .. Cb iángu lo AB C. _, ..... , _ _. ' .''._;__ ' .,.._._._;_/__..'_;_,__;_',__.___,_____5__'_;_,__,__ _,,:'y',:_.,:;'_::',.:.''_'''_:'''_:___';','_'''____''''_''!,_,__ _.___,__'_____:_'i___;::._._. _,____;_._._. ___;':__._:,_:___'_: .;:'___,..__:.;:_'_ ___ _____ :':_.;:.::;_.;.__..., ;_...... '''_. :_._;'_^___'__i'___. '..._. _'' ' _____..__m; _,_:5_._._":,_~_________,_.___%___'__,_ _:___,'' )_____a_0!:_:_.:_.__;,_. __._,_____.;_,__.:_''''_'' :_'_.'':_''__':_. :,_,__''''_:__;__''_'_0 __' ._:_.':_ . _m:___m__M~.__?.y5_____m__ __m_i_'.__. ___,__:.... __. ___ _. _,__ '__'____; _; __ _; _' ' ' _:' ' '','' _ _''.._:.___'''_.. i _, _'__m, _' _ ''. 'ci____:___.__.:__.5__,, ,_m m_,o___9_.. ___,;_ ___ _.___;_:_''_.; _2 r2 2 _._;iv_:___",_:'.,___;.j '__;_._ ' _'_':_.,_' _.''._''',.!__'.'', ._ _ _ _~_~__.____'___:__:_y!'!_,m!_m'._c5,y,__, ____,__.;,,__ __,!!_.____._.:,;__.'__.___,,. Nr - r ..._,.Y_',m._. ,._:___,:',;_,_.:,__'_'_._... '.:._;._.:._.i,;'___ ., ._,;. :__:_._:_5__:,__,____..._ ;: ' ''.''._.''__'':._.'''.__;'_.____',''':,__~',__'.,,__._____'___ .0. .' . _ ,__' ;;__ _;__ .,__,.;_.,_ _;_:_.__..!..__'_..._ _:__i__,;_''';'',,'__ ''__;'_''__','_:':_!'''''_!','_:i' '_:___:.',__5__';________ :'_,___Y' ' _ '''_'_m'_ m_'_ _ _!''_:',_::: _,_ _'_ ' __ _ _ _:'_:'''_'_:'_,'''''__ '''':;.;_,_'_____.''__,_' __ '_''''_'''___:_;___'_:__'_:,'_:__''_:__''_:''''_:'_:_____','?____'_ m__,, _,___:_:_._ ._. .._ ..'' '_,_;:___'___'__i____._'_:______'_:____'':__':::',._' ''' ' ' _'''_'_.'_!_:.____',:___,_3 2 , 2 .. ' _ '' '_'''''' '''' ''_'''_:'':'',_',:'_''::_,''':'''__''',:__''�_',''_____;___m_,_:':,:,;_..':_.. _. _'_;_ _,;'. :_. __;.,._;_;.,;_:;:_...._,._,,_.;' '''''':''_:''',:;',:__'',::'_::;.',__.'_,:;:;'':'''_: ' ,;;;, _; __ _ ' _ '' , ._. _'_'_'__:_._______:_. ._': .D) - r E) - A '_: __._:__,__. __ , __. ___._:_,_. _ '__._____'___:__m________.__~y,_;~'_''9''_''_'_':____.____._'__.__''.__:__:,:':_'_.;___:___._'___:___,__'_,__m._:__,'__.;__,::__:_:''''':__'';'':'':,'_'_'_'_''',,''''_'._,;:''__._''_,:__,_;''_,:__''._''_,:'_;::'.!'':__.,:,__._: '___,':__;:_.__.'__' _.,:__:_,____:_,_.___

A)13o B)12o c)15o370. Se tiene un exágono regular ABCDEf cuyo D) llO E) l80

lado mide a, siendo M punto medio de BC,._me,m.co def exa/gono dado ,especto __ Se tiene un cuadrilátero _CD inscriptible y/Tea de _, ,e g._o/n exinscriptible a lavez,taIqueAB=2,BC�1y/ d. h f/ CD=4 CalcuIe eI radio de la circunferenciaCOmUn a IC OS pO I_OnOS. 'exinscrita el cuadrilátero.

A) a2_ B) a2_

a2 A)_ B)_ C)

D) a2_ E)3a2 D)__0 E)_

14_0

__ADADs_A))1B)oglcl606esuuelc\9lT\cu Bn\c)e_n2o_4o_dgwelelr_ecEgll))o)_n251 __u01engdu1al,r_0_(A___)B))___)Bb_____________mmy__(___m________c_a_______0____________0________D_________________________________)________________________________________________________v________________,_______________________________/l_____m_________________m__8_____________m____/________________________v_________________2_____y______________________________________)___________y_)____________________,________________n_____4___344____4______c______________________________________________m___________________________________________________________________________m__________m____m__,__,______________,__1________________________________________________,____________________0____w___y____________________________________,______________________________________________________________________________m____,___________________________m____________l__m__________y___0_____________________aa_____c_________a_/__________,__________________y_______________________________________________________________________________________)__________________________)_______)__________________________________d_________y__________________________,______________________1__________________/_t

,.............. ._' _eometría

__ _ o 379. Del ,áfico celcul sjS __4 2 __ 2Zt,,2e les cevianes ;nter_ores _AN _cM 3- m Y a emaS eS Un COm Ol e'secantes en Q tal que AM=MN=NC, .._' ' _'_BM+QN=BN+MQ, (BM)(QN)=20 y ,......,,''.'_,''''' ''_'''''_'''''_,'''''__:_',__''_,:'';'_',,_'_:'____, m;'_ ,;:__'.:.'_.:_;,.___;,...;,,,..(MQ)(Bm�25. CalcuIe el área de la región ...,.'_,_:__:''_,:_::'''_:''__'''_''' '^"mm_M_______,,; ,__,_, ,...;_._.'''_. ,__::_.::''.'_.:'''_::.__''_::''_.::''____.___'__ ;_,_.__:.5._.._,_,_;:,'_..;.,....c u adTa n gu 1 ar MBNa. .. ,_:'__.;':___''',__''_'''.''''.s''''_'''''''':''' '^' _"____':'_'_::''.'_'':''_'''.:''_:'_:_____.:_,_ :_,._,,?,,_._____:____~____,____)_'' ',''''_'_:'__'''',''',,_,''',''_'''_,.__._.___:,,:__.__;_ ., E';_ ,_,.____ _ . . . ... . . .,. ''' '

A) 5_ u2 B) 6_ u2 C) 20 u2 ..._._:'________"''':'_'' ,...,..,.. ;._;.__?.,':_,;.;,;:__;._,.:!,,_:_',_)::_,_,':__.,,__,,'''_,_,_:,m?,'_____'_,___:__m,,;_..'___:,__.;.'~___,___,,_.,.,_.,'_____:_,..,__y,__:_,'''''_,_''_'''''''.,''',''_,,,'''_''_,,''!_!__.__,,,:;',::_;__;_;,_:__._s____;_____.;_;,.__..__.:_,__.'_,_...._____.:,',,';,_,',_,;;.;_,,.,.,..______ '_ ' ,.,..__,_:_.;'_:M,.,_. :g_____,_n'''_''_'':_:'','.,. .:_..:.._;...:_'':_;''_''''(''_''_:,':'::'_::'':,;''_,'::'_::''::'__.':_.':,'''_:''_::''::_._.''_:_.''_::'::''::::;'''_':'''_:''':':_4'''' _..,: :':;m,M,,'_ a_,_,_'_._m',''!''5y:..;_.':.;"'':'_'______,.____,____M __ _a_ ,___ _^_^_ o_^^'_,,,,( _,__...__. ,__'!__.D) lO_ u2 E) 22,5 u2 B0. . ....,_ ^_ ^ ^ '''_'''''0' ' _ ''''^_ ' '' '^^''' '^ f

376. Se tiene un bián_lo acutánguloABC, se _aza _.:_:;..____:__la altura BH y las perpendiculares HD y HE a _, ___ 0los lados Ag y Bc en D y E ,,spectivem,nte. D- _ _/- A6m2 Bgm2 clom2/ 2 , D 12m2 E l6m2,CUyaareeeS U,CaCUee afee e aregión cuadrangular ODBE.38O. En la figura, BC//AD y AB//MC , indiqueA) _2 u2 B) 24 u2 c) 4g u2 ta relación co_ecta.2 E 6u2' _ _.. ..,. .._.,!:',_.' _''___ '''':_/;.:,..,:.5__._,__.. :_.__,__,:,_:'._.Ç;.__:::,m. ,,_,,,mm,m.,,. :_m__, _: __ ' ' __,_ _ ,_. Según el gráfico 1a suma de las áreas de las __' __;__;.;;.:,'_s:,,;._.,.__._._..:,_..._.,..........,,_..,:'','"''__''''.''''_'(''_''''.''',._'''_.'''''_'''_''_m' ''''' ....?,,___''''_''_::,''_.:'''_::,'''__._y_':_:._:_,_:.__::,_________,,__._;;_.._.,;._.,.regiones triangulares ABC y ABD suman ___'_m__'~'' t,M__'':_.,__'' S3 ._____._____.__._,._..';%_20 u'. Calcule el área de la región .......,...,.,.,.._.:_,_,_.._.____:___::.__;.;__,, ,..,....,,.,,,..,,__ '_________,'_.____ ^m'''':'':'''''''''_'':''''':__'__;______y.:;m,,_.___,,,_,,___^,,%_,_,cuadrangular ABQP. ,. :___;_;_:''''_.'':'_.'__'''_''_'_.'''''''_''''_'_'''''_'_,'''Y,"''",'','m''_' ''o. .. 4..._.' ,',''''''"^_'_m_~____;.____..;,;;_.;,,

_D a n)s,+s,=s3+s0 B) 5_+s4_S2+S\\ C) S,+ S3=S2+S\\\ D)S,_S,+S3+S\\ , E) S3_S,+S2+S

A) lou2 B) _,_u2 c)2ou2 _l,Se_ún el gráfico, AD=2(BC)=8u y2D) 18 u2 E) 25 u2 - U ' a C e e erea e areglOnS0m reada.

378 En un _ián_lo rectán_lo ABC, recto en B se B. .traza exteriormente los cuadrados CBDE _ .._:___ '--''_'''''''i_'''''''_'''''''__'_''_'''_:'''_,'__'''_,i'_''''_,''___''','','_'__:_____' ''''' ,.: _ _.: ' ;_; :,. __ ''_ : ,_: ': . .... .:,__,::. ' _' _' _' _ ' __: 'ï,. '_'_,_ _ '',_',_ __,._ ;_: ...:;_._ .;: __: : i'. i '''_ '_ ''','_ _,_ __�_ 4 m;__ , _. _,.ABFG. Si A_ y AE intersecen e CG en M _'_''_''''''''_''"''__:"''_'''_.''_'_,'''_.'','''_.'''_'_.y'_,,'_.,.',:s__,''.____,._,_.::__.___.;;..'___...._,.___.;_,_.m.._.mmm'___.,.__,______._m_:__.___',,_;_,,_.!_'_,.',_y_.:.,,,,.:,:___.___._;,,,___'_'_;_;''_..;.,.,.. '''''___'''::_.:,m_,,',_.:_,....y Q respectivamente y BC _ AE = {N}. Si eI .._._____;_:.___.___y_;.,,,_,_:_;__'___'__'' ''_... . '____.,;_.'_,''.;,___''''î'_,''_.:'_::('_:':''5::_''_''''_y'''_,''''''_'''_.::_:'_,,'''_'',:_.'''_'';.'_.,,; ...,,.:_.,:i_.'_,''_.:''_,'''.''''_''.::'__;''_.:''''_m''''',,''''_,_''''_''_:___:'''''_:'''_'' .'"'_!___:m._,y._,_,.,~_:m_!_;''_;_:''_y__''!'__,:'_!;::'':..._._/ e, de l, re ,_o/n cu,d,,n _ MaNB es _6 u2._'_''_'_^'"^Y'''::'_':,::;..._........;_.....,.':...:.:.,,___':,;.__.::;..'_::.;...:..,:;_:::_,::;.'''''_''::,'''''_:_:.'_.'''._......__.___._.._.._..'___,,._..?.:.__;,,;..:.,_:__,_..:,,,,,_,,...._,,__:_,.,_::_,,_..,,_M_._..__,,'____.,''Y_.._.__._;____....;._.....:......_._..__,..,...__,.._....;_.____..'__._.,._,;_,_...._.:_,_,:,_:'_'_;_..__;..,'._,.._,__;.._...,....';.'_.:_...,._..,....:.....,,'':..'''':_'''_''''''''''''_'''''.__..':;.'_..'_;...::_.........._;....'_...,;...__.._..;_.__...?.:..~..'_"''_'__,____._....,..._;;.;;.,:..:,,,...,.catcule el área de la región trianguIarAQC. A '_ ,_'''__'._'m_'''____m___y_,:____":___________._'_''.'''''_._'''._'''_._''_'_._'''_'''*'_.''''_.':_!_''''''''''' _'''''''''''_'_.''''_'''''_''''''''_.''''''''_''''_''_'_'''___"'''' __':_''_:_:_,','_.__,.'__/''.:___''___'________;__'''_.'''_,'_.'_,''''_._,'_.'_,'_.,

2 _ 2 A_ou2 B_2u3 c_ou2U U U2 _ 2D) l2,5_u2 E) l5u2

__sAEBAD)))))_341_l2lo526oo8luu__ ____0___pp___________,_____7____________________________________________________________________y_________________________________________________________,___________________________________________0___________________________/_,________y_______p____________________0_________)________d_______,__y_____6_,______________y_________e_____r_________________________1__________u__0__________________0________________ _AqcA3D_a)m))1c581/u_p2ym1_______e_________cl_________u___e2mD__f_l_________e___o/____r_cal_e_b__a_____________________c__AB______d__g_u___))el_(d_e__l_3_6Aec_3__ 1/1mre/crueAleo_d)dee__lalfcclye_re))n)u9__7___1__oo/amn_of/M/2e__dps(NaoIQ)__

P_blemas telettos '

_ Se tiene el cuadri!átero ABCD donde _ En un cuadrjlátero inscrjto en unem_BCD _ mqCDA _ 60o ; BC�8 y circunferencia sus 1âdos consecutivos tienenCD=AD=l2. Calcule el área de la región como 1ongit_des 6 u y 8 u, además suscuadrangular ABCD. diagonaJes tienen igual 1ongitud. Calcule el_a de la región limitada par dicho cuadnlátero.n) 84_ B) __ c) 6o_U B)48u C)72uD) J2_ E) 61_ D 24 u2 E 64 u2

3& Se _ene el rombo ABCD de cen_o O, en _Ao _. Dado un cuadrilátero _CD, en AB y CD sey _Bc se ub_ce los puntos E y F Ubi_lOSpUntOsMYNfe_e_ivamentet_querespectivamente, tal que N=ED�Df. Si O AM CN=_, MC_BN=(P}; tW_MD =dista de BC 4 u y m_EDF = 900 ; calcule el _a/fee de la reg_ón r_mbel ABcD. Si las áreas de las regiones BPC y AQD sonZ4 22 B)32u2 c)256u22 E 4 2 m2 2 22 E iom2_ Según el _áfico, calcule el máximo valor de a-para que el área de la región sombreada y dfeas de _e io_ e s c ino sombreada sean i3uales. Además Ias ^regiones no sombreadas están limitadas por 388 se_Un a INra _ _ y 3 S0n aS areaS _ aSpafae OgfamOS. __ . '.....,._,_._:'_,,'_,._..,.i/,___._.,_,;.,._, feQlOneS SOm fea aS en las CUaleS Se CUm_leo _ __;')':'_.,_._,:__,'_i,:'_,,__'____'m__i____,__,X_;___:.____;___;.. ue A +A A u2 _ _,___''';'''''''''i___^^^_^^^^a_______''_, __0,e^'_____._ _'.. l r 3- - l '__. ! ,,,. m,_., ,. .,,'_ _.. _,. , _.e''_: _.i':_,,:.i._.i_____.'_.;_;_;._,_, _M'__

D '' ' _':_''_ '! i'j____ 'C) 60o _..... ......,.n _ ,____,_,,_ _,,._,'_'' ! ' _; _,. ____ _ __ '; _,(_ _,i,:'!_ ; _ !_; . _ ' _,:_ :_ '_ __.__ _,___,5._,_____,___';,,__; _; _ __.i ___g ' _D ) 900 ___,'m__'_'_'''_''''''__mi,::''_::,_;''':,'',''',','_'_'i.:__.__~_,_'_;____'___,_:___V_:_________.._,,___,,m__n, ''__'_v:!_____,_^___^'_'00 _o __,.____a%',^,_,,,__,,%_%__,0, __,_m__m,,m_!,,, m__, '''_,:''__',_':'., __-'',;_?, __: __i ___:.'~___ _i_i_;;.m' '__''_. :_,__ __._,.,,,;_,_ '_ , '_'!___,_._.,,i____,..,^_,a____._,.,,,._,_,_.._.,,_.'_.,_';.__?. __:....,,___,.,;__'i; im'' __:_,_ _,_y:__m,,y,_,,:',:'__;:.',,',_ _ ;_.; _: : - '__, _ __,m_,__ ___ _,_ _____;,_,_ ,;_ _ _'_a_; _, _ ^^_,' __,_8_,,, _'__,,o _;__; _, '_. ; _ _. '' ;, ;' '_ _m' __ ; ;' ; _ _ /__^_,_ __'', ', ,.;,',:,;:_' _,R_,'.__m,__%,_,%___a_%_ __,a__'_^,_,_^'_,_%,_,_,__,_,____. __;_'_:;;_..?_''i__'''_'_'_,__ , '___,_;_:;_i_,:.'''__'!'_''_!.!___'_'_.:y;.___:_.!ty_.__ ,,a___a%_,,^^^,_,___'_o____,;__!_.:_m,,_ß_:_,____mM_ .n,m_!_ ''''______' ,_,___,.,_,,......._ ,____ __'' ''_ _, _ _'__:*,.__,':,:'_'_,y_,.__i4_,_''.''_,;'_'':''_m5'''_:_t:___,i__',0___~_' ,._ '_;!'_m:_'',,'!_____,' _'_,__''___''_'___,'__'__;__ _,______''___t_:'__ _: _..,;t_.;__ , O' '' ' ' ' '' '' '' '' ' ''' ' ^ ' '' '' ' '' '' ' _ _ . ... ,..,. ,_ , __/':5 _: __,., ,. , ,. :;;_'''',,_ ,,. ._.. ,, '_!m._.,_;m___''''''''' 'C_'mmV'' 'm__"_5__ A. egÚn la _lgUra, CalCUle el area e a feglÓn A '___..,..;,.,;..

_apecialABCD (AB//CD), si OP=6 m; py T __son punt_ de tan_ncia y mAB m mCT _ 600.2 B 4_u2 c 5_u2C.,._,.._.,.,.,,... D) 3JTu E) 6nu_ .___5/__.::_,__.___YM_______:_,_ '' _,\ \ ,,,',__5_','__,y,;_'_i,___._._.'',:',,.,'_;_'__m,,,___''i_,_,'_,.;__.\ \ .._;_'''_'y.;_'::'.:___,'___:,_''','m_''_.'_'___?'_:''�!'___' __:_."':__,_m'_!__'__'_,m. _. Dado un segmento MN, con centros M y N se\ \ ._;:,_''_''__:''_''_:';'__;', ,,_____M______m.,___m4___'__. 'i___;_, _' ':.:__:._''''__'_._,;_,...,.,O ._:,_,::______:i_;____,_y,;c_,_,,__'m',!m'%i_m,___,jy__m,_,_,,_;c____;i:_,:'__y.__,._:_::_5;__ tfaZa aS ClrCUn _renClâS _ y 2.. .. ,. ..,; __. ':_:_;__' ''_?',, '__,,__.*_,y,___,,_. ,,,_,._;__..:.___..,,__._,_,.e,____...M_.,_i .;,.,,_.,,.;.__.;.,_.__,. ..,_.._,_....'_i. ...,....:_: _ ,:__...:_:_._.',_ . _ _ '_ ' ' _ _ -

_,,,,.=_''',:.__'____,___.,_.___.,____,_:__,'___,;__'._.,_;____,______.;.,_;..,______';___!.._._.___'___:.,___.:___.,~,__,____,__;.'_M___''_ '' '"' R, Sea A un punto de C_ y B un punto de C2___,'__;''''_,'_''''_,''')''_'''_'__'''_,__''___''',t_''''?''_'"__,____'''','',M__mM_______i___:,_:'_:_~__.___:___:_'_'_' calcule el área del 1ugar geométrico de losB_'''''''''''''''''''_'''''___'*'_'_'_'_:''_y___:__',,_/_.,___'__ + p . d p t d.A _Un'OS , Slen O PUn O me 10 e '

A) 2o_ m2 B) 18_ m' _2 2_2 _02c) 15_m2 A) _j _i _3 C) 3

D) 12_ m2 E) 9_ m2 D} 2nR2 Ej _R2

__1

_ABcDE)_)_) _2___225oo9 _ ________________________ __ _ __________________4_____ ____JTR______________m_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________9__________ G

.. ,............ ._' Geometría

390. En un _ián_lo re_án_lo ABC, recto en B, 3& Sea una región _ian_lar ABC de baricen_oAc-_ 4_ y mgABc = 3oo. Tomendo como G inSCritO en Una CifCUnferenCia de radiO R.cenbos e los vé_ices A y C, se __ los arcos SiendO B Y C pUnt05 fljOS, _CUle el áfee de_vamente (E y F en _Ac ) la región limitada por el lug_ geomébico deC_cule el érea del _jén_lo mix_líneo fBE. G _ mOVer A en la ClrCUnfe,enCla.

A) 5_+6_ B) 5n-6_ C) 3_-6 _2 _2A)nR2 B)_4 C)D)5_ E) 6n-52 g_239l. Se _ene una circunferencia de radio 6 cm. D) _g E)Calcule el á�ea de la región limitada por ellugar geomébico de los puntos medios de lascuerdas que contienen un punto de dicha 395, CalcWe el _ea del círculo de cenbo O ins_itocircunferencia. en un cuadrilátero bicén_jco A8CD si

1 11_ B)6_ C)4_ _+_=(AO)2 (Oc)2 25D) 16_ E) 9_

_2. se_n e_ _;fico, __cwe e1 á,e, de l, ,,gjón A) 5_ B) 10n C) 25_

somb,eed,, s,- Nc__ _2 _, pD__ _ , D) 45_ E) 125nademá� M y N son puntos de tangencia.396. Calcute el _ea de la faja circul_ sombreada_o_ si el _án_lo ABC es equilátero y r--1 m.A__3 B _ c_ B2/' _C',,__,___".__.'_,:''_,;'_.'__,___,__.,:_,.. Pn , ' ___:'_'__'''''''''__.:_.__._.;__...,_:_ ._ E._';'_;_.:__,;. :.,:__._______:___.;__':_._:,;;_____,_.'_..__.~_:______,'__:__.__,~__'_:___.____'.., ___.::,'_::::__:___:,__:_;___.:_:;.____ ________;.__.,___' _,___ ________:_:'_,__' _'__,___''?'?_:_.___;.____;__:;____j________:;__.__?_''_'_ ' ;_._ ?... ,_,':__.. _.. ..._..__,_'. _... _.,_ ''_m__,m:5_,:'____'m_,i_ :__,_S___'_____ ;,_,__,__5m_ _;_ ___.____m_,___ ,_:_::c_.'_n:_. _'_;. :';.. .. .. _. :_,:__5,M_m__,__;;'_,__m___. ;__,__5._M__ ___..._,.;.;.:..;..._..__.,__.._5.__._;_.._. .,..._......,,,.,,_.M.,,._,...m,,m_,_'e_, ',_'': _. ''',: '_''_ '':,_'__' ___,_ '__:_o,._,_,_________m___',__5.__,_: '''',,__' __,,__:'.: :. '. __: .;_:,,.3 _:: ''_: '':: ''''.: ''_:: ?'''.: _:: '''.: ''_:,:_'.m_, ';'''. :i'''_,:'''_ :'','_ :,t_'',_ :__,.5_,_'__. .,___,. ,_,. ' __ __?,__,__y____,'' '_ ''._ '__ ''.: _:: '''.: ''_::__,_,____'__,m_____,^_~__~__ ____:,_._,__.,'.___.___;'; _____;__..m.__m____m:__, ___....__.;.._,.._,_. ,:_y,, _..: ;.. __Y' ''__ :____,_,___'^,_,____ ___,: '_ _ __ ___,' '__: '''_ i':: :','''_,'': '_:: '::m__ ; '''_ __,'': '_'' ''_. __,' : .!_'__.'_''_:;''_:_';'_____:___:;5i_e__' __m''_;_',_'i'','_ _,___5,m' ('__:::'';''_:':'''_,'_:__m,_'M_' ._j__m_,__,.m_____;_,___.__.._:_.,___.:;____.'___::._;____.,_,__'___.!__:_:__.^_i__ :._;. :',.;_.' _._em,_,,_,,,_ __'_,i,_',:__,''',_,_'':,__'',:__.':__'_:,_i,''.__,.20n A D f'''''' ^''''''/_''''''''''''''''''^'''''J // r

_. En el gráfico calcuIe el área del círculo A Csombreado. ABCD es un cuadrado; P, T y Qson puntos de tangencia y AB=3( _+3)

A)16, g P c:__ _'__'/'_,:.'';_ '''''_n__''__ 4n 8n_ ''_/'_'__'__.__�_:___:___:'_:.__._'__ '''''__'_'_�;~':_'''''i' A) _+ B) _-__:.____..'______ ___e'.'__.__.___.:__':.'__m:__'____:_:_ :. ___ ____ .;__;:_._,,_,,,':__._'_.';j____ ,,___:. .. 3 3C ) 36JT T '''''';:__':;_''.':�:___,__,'''_5_ __?,,;�'/___:/;j_;,__,''_'/_'___y;_'__,'''::,,_;''''':;_,'',:'':;'''__'''i"''_' ' _: __ _ '',._,'_:,'__:''':'''' !_______',_'_/_'':/_,_:___5_^m!''_,:'.''''''''''::'''''_;. ..;_,.: 8nD) 36_n ',_?_;,,;:,,:/:_:':,;;,,_,;,._!...... _'.''_.,':'''',,':';,_''_'.'' .';_:':.:'_..'__,.'' C) _3 +

E)l8_n i_ __'__"_ 8_- _+A D

143

______o_o_BEDo___))__)_____________________________r__________ss______2_____?__________________________________________________________\4________________________________~_______~~_______________~_____________________________________o0\___________________________________________________\~___________________________o___________________________________________________y__________________________________________________________________________________________o______________________,______________________________________________________________t_________________________/_____,__m____________t___________________________________________________________________________________,___________,__,_____________________,_____0____________________~_________________________________________________________________________________________________________________________________________E__________D______________________________t__/_______/0______9________r__________/____v__,___t_0__________48____p______t_/___/_____r_______y_____y___________?___________________/__/____?_______/____________________m_____y__________/_______________0__AD__)o)________2_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________~____________________________________________________________________l___t__________________________________________________________________________y_______________________________________________________________________________________________________________________~_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________N___________________________/____________________________________________\__________%_D_______________________0______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________,_____________M________________________________h_________________________v_________________________________________________________aB_________________________~_____________________)__________________o62/___ _ D0ocE)) 8___

Problemas Se Iectos '_...,........... x

397. Calcule el área de la región sombreada, si el 399. Del _áfico, calcule la razón de área de lasárea de la región limitada por el cuadrado regiones sombreadas si maO_02H _ 37o ;_CD mide S. AM__MH y BN__NH (M, T, N y Q ,on puntosde tangencia).

_ _;_''_Y_,^_^________ %__,_,___''',,_____m___'''j_i,'_''',_:_','_:,__,'':'_:'',:'_:''',''_:'',:''_:'',:''_,'':?_. ,:___,,__,__:?',_'',:_,_''_:'',:_:',,''_:_'': ___m__y, _j,__'_'__m;_i_______e__'___,____,~m___ '...,...._.,,..:'v.,. i,:_,__M;~,.,_;.:.:__.:.;..___.__;.:.;,._;._.;;._:.:_.:'_.._''_:_::;.;,___;,__.?.___..;:.5.._,_,,y.._.__';'_.'_._'.'_:!!_'','',_.'_::!_,_,__':'';'?_.!_.._._.__..,,_. __,',ii.:_._,''',__.'',:__'':__.'',:'__.__.',::i__.',.:__. _..,_,.(,''''_,.;__,;vy_.o,'_:' i'',_my'''.':',''''_'__:'_,''''_''"'?'' _____'_:____ ______,__:';__/__i__ . '__;m_:_____:,~,_.______ _' _:''__y_______ ;___ :_;'_ ''__'''_'''' ''_'___._. _._~:,_,__m~_':'__?_;_':.;_ _;.., _ i_:__ :;._;;.:_'_. .:_"_____ -_. :_;__..__i_______,jy;__;__.:;,_,.. ;'_:,__ _.,__.'_;_~:s;_','_,' ' '_'_m__m_,,__:_____j,____;,:_'_ !' ;.. _:______M_,.____.,____::''_:__:_______,'_,,'__,___'':_____,,U,_'',__'___'__,'__;?__,''_:_'____,'__',''_,_,)__'_,_'__ '' ,___' o,___~m_;,:~'m___ __ __:._:i'_ ' '' ''''''.__ i_:_' ____':___i_m__mM'_____i''_'_)_'',:'_''m_',~__'___:__'_:'_'_:"___:'_''_''' ' ' , ,0____,__,___,,~___,_,.,,,,:__:....,.__';_.______: __M_M_mm,MM,__,m,,___:'_:',,_'_,_'__.__,',,_,_,T'''''' .._. ^.;__;___:__:,__4_x_______',,''''"'''' '''''_''__,_e_____,,_._,_m._..''_:'::�__:_:''_'''___ ^ .''''' ! \__ .___'__..;.M,,,_..._._______,_,,.::_. ..:,::._i. _ .. ' :__: :;'_.:,_,,,_n/.M____,.,__,'_ ' ' '' ' ' '.,._:_:..;:____;:;_..5 _;_:.,,;_,_.,.:.., _.,,_._.,.,,._,,.,;;..__.,s.,,;;:___.g,_,._...__;::i____'''''''^ ' _ _ t ' _ H.;,,;_:_:,;_'_,;_'i_ 5______ __' _ _'_ ' ~ __ _ ' '' ^ t' ' t___ n) l/2 B) 1/3 c) 3/4E''''' _, ' D D)9/4 E)9/16

40O. En el gráfico, si A, B y O son cen_os_ calcule_ _ 1 el área de la región sombreada.

n + 2_2 - 2 ,__,_.'_:_'_:_'':'_:_;_:_;_M__:_:^:________m__,___ / /- ,,_;,_,_;'__;__,___:',_'_,_,'_:'',_i_,_____;__'_i_.__,:_. /_8 ._.,: _,_,'',i': '. :. _.. ,:: ::. :: _::. ''_,:,_; ',_ _. __ ,_.. '__' __Y. : m.,____ : a__,_�' _m_, _. .,,_ .... / /_''''_:�'_:;__'_.'__::__,'_:'_,:__._::..:_,:_v:::'_'__':._:'_,__i__m_...q ____~':?�.__.::__.::'_.____::__'' ____, / /.;_..:_;;;_._.;_,._,_;___,___..___. .:,___,__m., .__,,_(,:_:_._'_.,_.__ymt ___.__>,__aa,., , /c) s -__, - 2 + _ '''._'''':_:',..'____:''__'''_,';'_..___:__,.,_._,__.,___...__.._.'.__;___'_._,._...,..;_..._;;;..:;._:.::;._..___._____._.:._._._._,_.___.,_:,,_;_;.;_..; _,;.:_..._:i._..,,__;_______:____.~_._,_.,,....,:,,;_~i.______:_____ 'o

D) S __,-__ +__ '_Y_____~__.;;_;:'/_'_:,_;;''

+2__2 A)2 B)_ c)2_D) 2_ E)3

_ Def gráfico_ calcufe el área de la región _0l. C_culeelá�eadelcírculoinscritoenelbapeciosombreada si AM__9 m_ MO__3 m (T y P ABCD, si et producto de las longitudes de losson puntos de tangencia). se_entos que se dete_inan en los lados porlos puntos de tangencia es 256.

,....,..,.,..:...;,.;.._.;.._,____.__.._.',::__',::.___,,__;._.�_,._::,,_':.';,,._'_',,_(',,'_:_',._'_,,_,,,_,_,__,___,_:;.:.;_:'___.'::.. ... _.;::. _' '''',_;_'_':_''',__;_�.___',,:,__':',,___'_:_(__'',:__'',:__'',:__'',:_'',:__',_,__'',:__,_,'_,___,'','_'_'''_,'''__,,:_,___e_:,;!'' ';.,.._._.:' :_:': .':_:.:_._ '' ._ ':;_,'''''''''''_':'''__'___'_:'____':_?___'i___,_y__.__'j,._._.:..:__._:' ,.._ _''_:.''_..._..'_. e_,_:,.n.,,_,: ,,,___,/:_,_

A)l2Tcm_ B)6nm_ C)8_m_ Tc 4Tc2m _m l6n

__ADADo_))))ll______92_0l//r_/l______________?_,B________________y_________,_______m_t_______________________/________________2_____/_____________________________________________________________________________________________________________________________________________t_________1_______t_______________________________________________J_______________________J__________________________l________t________l_______________t__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________c________________________4______________________________________x_________)________)_)_________________________t________________l_____tt_l0 _D l_2 _o_7A_)_o5o______6_____________________________________________________________2_________________________________________A)______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________r_____________________________________________________________________________________r____r__________)______________________________________________l_______6______________________________________________/___________4_____________________B__________________________________________________________________________2__________________________________ __000_

,.............. ._' Geometría

402. En el cuadrado ABCD, calcule el área de la 405. Según el gráfico O, T y B son puntos deregión sombreada, si J4JV_-MD, CN�ND1 tangencia, calcule el área de ta regiónBP� 1 cm y AP�3 cm. sombreade si Ao=oB_ 6_

_ Q C A)27, ,'.,__'.____;:_.._'_.;:"____,_..',;?_,;_._.'_..;..._.;..._.__.._..,__.__.,.,..,.._.

,,,..,;,,_;_:_,_,;_;_':'_,:_,:_;/_;,____',,__:;',..'':'_Y''___!:':'_::''._:''',':_''''':'''';,.;'__....,..... __ B) 37_ m_''''_;_'',,:_.5:__,,'___:??'_?.'''.,,,'''_.'''_.'''_,:,__.'_:::''':.;:'':'''._:''..'''_'_:"_': __':,_:''_'''''.__.:.;,:_:::___.__.m__;,_':'''~':,''__'_''''''''_',_,:'?_''''''''__?_._'"'_'____,______'_''_''_'__�_/'_::_'__;:__v'_;_:_'__e_~_______:';__.::___'_;,. _ C) 53n 'Y___:__//__'______'_'_.'_'_'':'''''_.'','''_'''_:_'__''.:'_''_.::___,__,_,_.:._____::._;___p .,._.^:_______'''__/_,_','_ ;':'/':__':_5__:___,_______.__._;___'____'i:,_'5.____/,"_'_''_'''''_;'__:_.;:' .'_:_:i ., _____._:_.,_:._._^._.___.__'__:.''',:'_:_''''_''':':_,''_'_'''''''''':'"' ' _ T'_''_;.____'.,..;'''_. __:;::.'_, _ .:_''______'_:'__'_'___:__'i,_::_!___.:._;.__,__Y___:__.:',;'.,___''__''':'''_._''_:._'_:_.___'_:___:__9_'_'_:m_'_,;_.....,. 5 _ '::'_.'____:__~y_'_____.,__ ' _''_'_:!'.'_''_ ;._' '_':,..:_ ..'. , '___;M' :_.;__ ._,__'_;,____ ;:_,_'';'_,__,'_;:___,_;,_._.._,_,.__:,;_ :,'_'_,_''___.__,''_:___'_____'':____:.:,_,___e4'_'___,__;_;.,;,;, _'' __.._;._._.._..._:..;_;.___'' _'''''':_;;.,':,_::,.;.._,;:'';..'''.._ ,_'_:____'___,.__.._'._..''._.':_''_'''''_''''''____:_.._.':_._YY,_'_:_,_..,;:_._._.:..__..:':_::;'''.''_''':_''''_:.'''.:''::''';.''''_:''_.::'''_:.'''_.:'''_:_._''_::''''''__._.,''5:.:;;_'''_._,___,Y,_:,. E) 38 n . ;.______''_^_ _'''''''!'_'_'''':':,''':'_'''''''_:''''''_,,'''''_,'''''_,..'_,::''_,.::.'__:::'''_,.:.'_::;:''_,::.''_,::'''_,.:::.'_,_'''_::.__,'_,,.__.'_,._.'__',._:.'_:_;.._.?,_.:,.___,'',.:,._::_.__,.,_,_.'_,:.,:,.',_._._,'__,:_,_,:'','__,:,'__:''._::"'__,__,___..____._;_.,_;_,;;._.___.,_;_.:;;_._.___,__:____;....,. ''_:__::______.__.:__,.:____',_,'___.____._,; : _'' '

A _:S_''' '''''_''^'__''' ''' ''''' D 406. En la figura OA=15 cm, OC=20 cm.Catcule el á�ea de la región sombreada+10_ 6_ l6Tc+4B)_+2 C)_+9 7 910n+_2 E 1o_ '....__:. '+6 >__.:/:__:_;..:__:,:_''"_.. 7 ,0

403. Se tiene dos circunferencias de cen_os O, y ' .... ''...._....:_..:._'::_....._':._. .. .'_:'....021 secantes en A y B1 donde 02 pe_enece a D ''''''''''''''''._'_:'''_'':''''':'.' '' "'':_:.'_.__.:_._;____.la circunferencia de centro O_ ; la prolongación _,_'''_:'_;','__i_',/'de B02 intersecta a la de cen_o 02, en M, yen et afCO A02 Se tOma Un pUntO P tal qUe la2 B 2_rolongación de AP intersecaaladecen_o _ __ __02 en N. Si Ja recta P02 intersecta a la c) 64 g_ cm2circunferencia de cenbo O, en T y L, calculeIa Tazo/n de _es a/rea, de los t,,-a/ng,_os D) 72,4ncm' E) 76,8__

mixtilíneos lM - MN - LN; TM - MN - TN., En la flgUra AB, AC, _D y CD sondiáme_os. lndique la relación en_e las áreas: 3 ' E 3: l de las regiones sombreadas.

4O4. En la fj ra mos_ada celcuIe S si AO=OB .. '''__:_..:'_....__;_.._. . .. ''._:_;/._._' ''' '''_'':'''_:',_/...__,:___t;.;_._.....__..,_..:,_,i____.::_:_.m_,.__!:_._:.;,.;..;._._:__........yFH=2. .. "''"''_'_""B ,..__.'__._. ':___._ . ;.;_!...'';.:' ..:_',~::C__:.;,....::.,..,.. ....:,.:,_y__,,','___!.,_.,__,_:__,..._ ' . 4l . ' ..'__...!...'.____:__._'::.'''' ___ '/'_''_''::/'_.''_._.; _ '

_'''''''''''''''''''''__;'''_:_'' ___' ___.._._'______"__"_ X 0 , A) S1+S2+S3+S4=M+NB) S,+S3-S2-S4=M+NA) 4(n-2) B) 9tn_2)/2 c)sl+s3_s2_s4_M_NC) 9(__3)/4 D) s,+s3+s2+sg=M_NDt 9(n-6)/4 E) 9(n-2)/4 E/ s_+s3+s2_s4_M_N

__cEA))_6loot_3///_l/ _/_H/___/_l_________0?________________________________________________h_________________t______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________l______________________________>_________a_______________ Dc__AB_43_______________________________________________________________________________________________________________________________t_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________t________________________________________________________________________________________________t_________________________________________________________________________________________________ _________ _ E_32RDcTc

ProbIemas SeIectos '

908. E'n la f_gura P, Q y T son puntos de tangencia. 4l l. En la figura, el _iángulo ABC es equilátero. Si

sinT=6_u y mA__=2(m___),_lculeel le maBAE_45o y DE_ (_8-q_ )u_rea de la región _mbreada. ____e el áre, de _a ,,g;6n _mbread

T _' B_._,,___, _,___ '_ _''__, __ __. . ,.__ _ '____''_____,_^,_^_,_^._.._,,_,o.__,___'o,m,__.,___'d9,_,A - ' _ - . '___'^:^_____^0''__.____~_^_,__o_.._,___,________'_,___8,,,, \ \ _,,, c _,___8_____ ''0'_'__'___'_,'__,'__'____,,0,'__,^0_a_,,_,___,,0__^'^__0__,_____,__aa,0_'_,_,,'__^^_'_,^__,^'_,,^'__,,'^'_,,''__,,0'_,,'__,,'_,__,,,a_,.,_~'_,___,,,,, G____',,,_,,',_,,_a,_,_a_,,_,_a_,__o _'__'_'_^__^'_''^^^0^'V_a ,^_^^ _'^ _^_^'_^_,'__^^'_,^^'__^^'_,^^'__,'^_^'_,''_0^0_,,_'__,0_,,_,,_, _i^_'D_D_'__'_,_ ,^^_,,^^'__ _^^^'_,^^___,'^'__^^'_^^'^^''^'_,^^'__,^^''_a'___'^^'_,_''__ ,__,'__''_,,_,_,'_,__,,0,,0,,,0,. \ \\ ''__^^.,_._______a__,._.. ' P _ _ _'_^_'_^'_^'__^''_,^_^_,,^'_,,^a_,,^^_'_,^'_,^'_,,^a_,,^,'_0,_,,_0_,_,___'_,a8,,'_,,__'___ __^_'0_O_,v,_.;_a__v_,_,___._..__^,___^_''__aa___.. \ '_ ^_____,___M___._'!'__. '_ 'NNN_ ____^^^^'^^'_^^'__^^'_,^'__,^^'_,,^^'__,^^'__^^'__,^^'_,,^^'__,^^'_,,^^__,^'_,_,'__,''_,'_,^^'_,,_,_,_,__,_,_0_,^_v_,0,,_oo,____'^0______,a'____oi_8'_._:____0'a_'____'8_0^___'_______0^._.,.,__..___,,g,_,_,,,,t_ _,^^'___a%__,,,,_.___.____,;, ' ^^__i__,^_^^'^^'^^'_^a^^'^D^_^'_,^^'_,^''_,'^',o''_,_^^'_,'o_0_._,,,__^__08'___'_%,________._'_'_,''''_'___D_^_.,___%_____'_'__'___,,a_a'_'_o_!m_____g!_ D

A CA)2_ B)n C)3nD) Qn E) 7n

qO9. En el gráfico, P_ Q y T son puntos detangencia. Si fE=6 u_ calcule el área de la A) -_ B) -nregión sombreada.A 7A) 4_ ,, 4B)12n _l _.__' 'T , 5_ ..._,'__,:_5',.,_'"''_'___'_^_' D) - E)n '_ _;,.__0__,,.e?__!.__:____:_':m_.'_,:'_,:,,,__:__,.__:,_._'__'_'' ' 3 4D)25_ _0___,_',__0_____aa_a,a,,___,_,__, oO_ ___'_000___,'__^_a_8 '''__ 412. Según et _áfico calcule el área del círculon ',_D ___'!_''__ '00',, sombreado, sl ABCD es un cuadrado cuYo'0 _, B fado mide 3 (_ + 2) cm (P y a son puntosdetangencia).4l0. Del _áfico, _lcule S_+S2_3, si _--MD.0B C ____.___'' '__'_'__:_'''__:__/ _.:../'.__ ....,.._._..,._.:._.':.__._:_:,:_,__._.'''__':__.;._..,.,_:._,:...._:/..:: ./:'' _.:';:_...

// ........,,. ':_'_:_.,___;'_n.,_:___,'_,;;.:,,._,_.:_,__,_'_'''' P ;'::''''''''''' . _:_____._:.,'___.__.____;___,...:;._._.;:._._.. ..:....,,,..;._.:_':___..__,___._:_.__.'____.''_,''_,_:_.__.,___.:'_,''__:'_,_''_'''''

_':_.;:.. 3____'' \\\

' S30 _ _\\ __'y0_A) 6Tc B) 4nA) 2 B) 3 c)4 C) nD)5 E)6 D) 9n E) 25n

246

_AN) vMpdt l _ __ Bd)/ wmJ_d_ ht c)vmr N__ D l amente ufnnadreecta/3_ p_1_lano_sc_hlases

............... ._' _eometría

Ceometría del Espa Cio D) las tres rectas dadas no pueden estarcontenidas en _lanos paralelos en_e sí.4l3. Indiqueelv_ordeverdaddelaspropasicion_- E) ninguna de las afirmaciones anteriores esl. Si una recta tiene sólo un punto en común co_ecta.con una circunferencia y es peTpendicular_ radio que pasa _r dicho punto. es_ 9_6. lndiqueeiy_ordeve,dadde__propo,icionesrecta _ría _ngenTe a la circun_erencia. _ Toda ,,,ta p,_ndicula, a un p_ano esII. Todo plano determinado por dos paralelas __nd,___a, a cu,_qu1__ recta _nten_-a obo plano, es siempIe paralelo _ __ndo.IIl. _r d_ re_ que se _n en el es_acio _E L, _.ntersecc._o/pueden pasar más de dos planos paralelos nece_n-en_e siII. 05 P an05 qUe O_an anN OS dledfOS. Sl una recta eS paralela a Un planO, laCOn_ente5 con Un tercerO son parale OSara e a __ a a lC a reCta pOr Un pUntOd __ en_esí.et PlanO_ e Sta COntenI a en e P anO_. Cuar1do dos planos son pemendiculares,todo plano perpendicular a su intersecciónD) _ E) F_ es __ndicW_ a amb_ _lanos.

4__ E, un pl,,o p _ ub;_ un punto M pof ,l A) W_ B) _F C)_cue1 ,e levanta una p,_,nd;cul,, e1 plano. D) _ E) _fLuego sobre dicha peIpendicular _ ubica unpuntoN_re______p1_oa__elo 4l7_ De las si_ientes proposiciones, _cu_es sonal pleno p; entonces se puede efirmar que verdader_?l. si una recta es secante a los planos_ l. _ede ha_r en el espacio cua_o rectasentonc_ las medid_ de los án_los entre _abeadas que son ortogonales dos a dos.la recta y dichos planos son _iferentes. II. Hay en el espacio una recta que _tene_ll. el p1an0 Q no es pe_endicular a la recta a _es re_ _a_ad_ dos a dos.MN_ fII. Ha_ sólo una recta que es ortogonal a beslll. si dos ángulos que están en los planos P y re_s ale_ad_ dos a dos.Q tienen sus Iados respectivamenteparalelos y del mismo sentido, entonces A) l y __ B) _l y _ll c) _ y ___IaS medlda5 SOn lgu_eS. D) Solo l E) _lo I_

A) _Solo I _ conecto qlg. s, t;,,, do, r,ct,s al,be,d,,, e, une d, el_,sB) SOlO Il eS CO_e_O e,_/n los puntos _ y c y en _a o_a los punt0sC/) Solo lfI es co_ecto B y D fa_ _ue p!_n es _e d_.stanc1.a en_e d.lD) I y fI son co_ectas 'rectas, AC es la _istancia en_e Aß y CD ;SOn COrreCtOSademás AB=m y AC=n- _A qué distanciadel plano que contiene el biángulo A8C es_. S1 Una rect__; es rJemendicular a tres rectas_.,,es el _unto _ si el á_.gulo en_e AC y BD es elc_mptemento d_L �ngulo en_e AB y CD ?A) 1a5 tres rectes de_as tiea_en que estar en unmismoplanoque_ntengaala_ndicWar. (m + n) -. __ A)_ 8)m+nS __ rectaS a as _enen qUe _r _ e _._) por las tres rectas se _uede trazar trespia__os paTalelos e___e sj. D) -(__+, j E) _

247

__AtDBe))l)quue (AM) (c_) t ___Q_r__tlt_\_\______t___________ _N____t____M\ N__l __1_ o

Problemas Selectos L__..... ,...... ,...

4l9, EnunplanoHseubi_elkián_lo_C. Por puntosmedi_ de _B- y _D tiene tongj__A se traza una pe_ndicular A4 al plano H. 4 cm.. calcuie l_ longitud del scgmento que uneSi_=l5_BC=l3, CA= l4yAQ=9, calcufe _os puntos medios de _D y __?.Ia distancia en_e Q_ y AC.A)2cm B)2_cmC)3cm_5 D)4cm E.) 4___m_ _ t -D) 6 E! 9 _ E, l, f;,,a mos_eda, _4ué lug,, g,,mé_i,o_ _ genera el punto Q cuando el hombre empieza_. Sean _ y _ rectas nlabeada5. en _ se a d,spl_,se a_,ededo, de_ círculo de ,,,hubjcalospuntosAyB_ l!_e_oen _ seubi�a O, siNP=OR0Ios puntos R y S tat que AR es la distancia_ H_de l_enbe dichas rectas. En AR se ubica et punto (Mqueequ;d;tade _ _ æ, y _s. siAB-_m , ' 3hy RS=n, calcule BS. _i__j, - !'-_;,h ,mn _o--- Q---_ ! --m+n B)_ C)m-n f--=m+n ._'m+n 2mnj E) _+n A) Elipse 8) Hi_�rbolaC)Circunferencia0l. Pbr eI circuncentro O d_I _i�n_Ilo equilátero D) Recta E) P_rábotaABC se traza OP perpendicular a surespectivo plano_ H ,,s el orToce,t,o del ____ En el _áFlco mo_ado., los _- ánNl_ _l Ykiángulo AP_. Calcule la medida del ángulo C ''BL son con_entes, A ' _ ' � _ , B 'C ' -- 7HAp _ y A' C ' _ 9 Si los planos P_ y Pj son p_e1elos.entre YH.calcule Ia medida del diedro formado por losA) 6oo B) J5c c) 12o_ planosPjyQ (A',_' yC' s_nlasproyec_io_esD) goo E) 45o o_ogonales de A_ B y C subre el plano P,_).A. Exterior a un pfano P se ubica un segmento ;AB, sobre dicho plano _-e ubica los puntos M. !. '' _ . '2_ B_ 2 es constante _cua__ es _ ' _' ,lugaT geométrico de _. ,/_";_,- '___-" - -'_ _ _ _ _C''

A) Una parábola ' ! g\ _ ' '\ \J__cunreTenc_a _ _ ; _ ! - - ---- _ ' _ _c)une Tecte _, _ _ 'D)Unahipérbola _ !, ;E)Uncírculo !, ; !,A' , C'_. Sean _ y _, rectasalabeadasyortogonales_ !,en _ _ ubicalospuntosAyCyen _ los _..__,'. _ . B_puntos B y D ta_ que AB es pemendicularM' A)30^ B)45' C)53ocomúna _ Y _ .Si else__mento Queunelos D) 6o_ E) 3Jc_

148

_D) a ba _(__2__o 2 ___ __ 4__ b_____ cco)n) le2_n__td__o+_s__ _cee_o___s_)plealenn0oqs_uqeuceofno_tmlt_e__ne_net1u___n_la/dT___e_odu(lr_ooea

' Ge0metría

_6. Dado un cuadrado ABCD, _or A se kaza _9. El ángulo diedro enhe tos plenos _ y Q mideAQ pemendicuIar al pIano que contiene a1 a. En el plano P se encuenka un cuadradocuadrado. Si AB=a y AQ=b, calcule Ia cu_o lado mide e, _lcule el períme_o de tmedida del diedro determinado _or lasregiones BQC y DQC. que este see m_;

a a+b A)2__j 2erccos - B) erccos _ _ +COSb a_bB) e__1+cos2a2C) arccosa +b 2

0' +b2 E) a2_b2 D) e_l+cos2aarCCOS _ aFCCOSb2 b2E_ 1_cos2a_7. La n, royección de un triángulo rectángu1oABC, recto _n B. sobre un plano no paralelo 930. Se tiene una circunferencia de diáme_o _Da dicho _iánguto es A'B'C' tA; B' y C' son las y un cuadrado A8CD de cen_o O contenid o s_w_ro_Jec_Lones o_togonales de A, B ? C en planos pe mendiculares+ En el plano de lare-__pectivamentej, ta1 que AB es paralelo _ circunferencia se ubica un _unto P exteTior ap!ano �e proyección. __i AB�b y B'C'__a, et1a €at que _p y _p son se,_._antes e lcaIcule la distancia en_e CC;' y Ia medi,__T_e circllnferencie _1 Y N respectivamente. SiAM del kiánNlo ABC. m04PD _ 45^, caI__le m_MO_V

b 2,_ A) 60C' B) 45^ C7 53CA)__? , R)___4b2 D_)37_ E)36ca^ t4b a' +

ab _3l. Los kiángul_s equiIáteros A_C _ _D están_), ___-b, t ._t -b ,b Q'_e mide 45'. En _C Y AC se u_ica fosD) _- E) _ puntos _ y f res _ectivemente taIaj' u_+ -1 '_E fC 3_E c _ _A f _ - 2. CalcuIe la medida dei án gu1o428. En el es_acio se hua dos ra_o5 AX y _Y q__eno se encuen_an en un __ano y et án_to enbe en_e _flus dos ra_'os mide _OC; su pemendicW_ común ABD _es., A_. en Ios ra_os AX _ _Y se encuenkan Iospunto-s _l _ P respectivamente TaI que2(AM)(_p)_(_)__ calc_,le le di,t,_,,;, de_ A) a,cs,ni, 3 _) ,c 3\_' ' ___-; ' i"'2Jm'_nTo m.edi_ de ,_B a ta rerta MP, si AD_- a. ' '' v4__ iarCSen _A), g) _ c\ _ /2 '_ ,r 20) r_)a a D)D- E_ / l"! arCS_n_1!!,_ _ _ ,l ,_

249

g33_/ MAAumb))lcll3b_ol _ Bvc_ tc t _ _ ) ___(___2_t_e__na______ E) _ __ 6__

Problema_ telectos '_................

q32. En un cuadrante AOB, de centro O_ en OB en_e OA Y el pIano que con6ene a la _rase ubica su punto medio M, con djáme_o OBC.AM se tra2a una semicircunferencia nocoplanar al cuadrante tal que OP=PB, siendo _ _i el punto medio de la semicircunfeTencia. A) arCCO' 3 B) a_ccos -3-Cal_le la medida del ángulo diedro formado /por los planos que contienen a la c) arcsen lsemicircunferencia y al cuadrante. 2

0 B_37o c),3a D) _ _afCCOS - - afCS_I_ --0)45o E) 6oo

_ _ _ _. _ _ene un á�_o _ro V_CD, _ el _. En un kledfO O-AB, en OA. OB y OC Se._ _os puntos M N y Q fes_c_.vamente m__ = m_BVC = 300, m_VB = l200.t,_ que oM-_g oN-_ _2 y oQ-__6 s; los Calcu1e mKDVC, se sabe Que la cara DVCa_ ,gu_o, MoN y NoQ ,o, ob_sos ce_c,le ,_ fo_a _n l3 _ra A_ un án_1o diedro que_n-_o,aforpnte,ode_per,_me_ode fareg;o_n mide 300 y adem_ las proyecciones de l__;,n__a, _a. aristas VD y VC sobre la _ara AVB sonisogon_es _e las tados de esta cara.A)45 B)a3 c)_4D) 4o E) 3g A) 700 Bt 74^ Ct 800D)9oo E) lo6'4æ En un trjedro triTrectángulo O-ABC; si_ __ _(_), Bc __ _(oA) y Ac __ _;o_), _. Dado un Plano P_ lue_o se tr_a _B oblicua_ plano. Por _a _ _a dos plan_ _cantescaCUemqA .a P que fo_an con él diedros de medid' a ß.A) 900 B) 30_ C) Q50 Si la medida del án_1o enke AB y el plar_oD) 60o E) 53o Pes a,calculelamedidadelángulo FormadopoT -1as intenecciones de cada plano con e!_. En un _ián_lo isósceles A8C de base AC, en Plano P_los Iados AB y BC se ubica los puntos M y Nrespectivamente. Siendo MN=a, AY=b yc m_ A)2arcsen-,_CU PeaUe tan

222 B2 /tana=a +C arCCOS --tanB) a2=b'-c22<b�+c2 senaarCSenSen-'C<O< +C2 2 2 2_2-C <a _ ,C SenarC tanSen_ Dado un _iedro equil�tero _onde sus carasmiden 6oo; et tried_o __Bc __s 5u res_ecrivo E) 2a,cse,( COCv__iedro po_er. calr_le la medide del éngutu l_ cosl3

_O

/_____ _vDDe))r28 _ _ E) 3o _ _________373 ____)_J _______9__l3_/ ___

,.............. ._' _eometNa

_liedrDs - Poli_dros R_gu Jares 4g3. En un te_,,d,o re,1,, v_Bc se __, _Q_. El nu,me,o de c,,,, m,_s ,_ n,_me,o de Y AP (P Y Q inCen_O de laS CafaS V_ Y_ ' d ABC respectivamente) Calcule la medidaVertICeS_ maS e nUmerO e arlstat e Un _ -._edro_nv_oesgg c_cu_e el nu/mero delán_loenke _ y BQ.de caras, sabiendo además que la suma delas medidas de las car_ de todos sus án9ulos _ _,_d J2ooo A) arcsen - Bt arcsen -soIoseS .

n)7 B)14 c)21 c) _arC_n-

q& _ suma de medid_ _ los a/ n_los de _od_ D) _ 4_arcSen- E) arcsenlas caras de un polied_, menos una cara es 3 9234OO. Si djcha cara 6ene eI menor númerode diagon_es, _cule la suma de medid_ _ _ una p;,émide bian___ r___ oti8c,de án_los de __ l_ _r_ del pOliedro. M, N y _ son puntos medjos de las arjs_OA, O_ y OC retpe_vamente. Siendo G elA) 25200 B) 27000 C) 28800 cen_o de la caraABC, en 1as prolongacionesD) 30600 E) 32400 de GM , _N y _P se uhica los puntos_ R_ Sy T res_ectivamente, tal que RM=3(MG)__1. Se tiene un poliedro regular de C caras_ V AC=SN=2(NG) y TP=PG. Calcule laverticet y A aristas_ se sabe que m es el medida del diedro determinado por tasn_mero de Iados de cada cara y n es el regiones RST y _C.número de ajstas de cada ángulo poliedro_icuál de las siguientes proposiciones esd,de,a7. A) arcsen _- ' B) arccos _

n) nv=cm_A c) _aTCtan8) nV=Am_CC) nV-mC-2A' 2mv __ _ __ 2c D) afCC0S _ E) arCtan._/-_) mV_nA=2A+C_. Td a,ista de un cubo ABCD-EFGH mide_. Un te_aedro reguIar de arista _ se _royecta v 6 m. 0_c,_, 21 _e, de secc_ón d_e_;nadsobre un pteno _l que la _royecc!ón sea una en el cubo poT un _lano que contiene al cen_oregión cuadrada. Calcule el área de la región de la cara DCGH Y a t_s _untos medios dede proyección. AB y EH.

o' , _ 9_ 21_C7- 21__Q )- a A _ _ -_

_2 2 4__ _)_2 E) 2a D7 3 E)

251

_pDrdAeN)sp_4e__Ncttpl 2 c l1 l l B) __J_43 3+_+_ _l3

Prob Iemas Selectos '_...............

_. Exter�ormente e un cubo se construye _9. Dadountekaedrore_IarABCD,enlas_'pirámide__ cuyas bases son la cara del cubo y _. _ y CD se ubi_ tos puntos P. R y Qsus arjstas tienen igual longitud. Calcule la r___vamente t_que_--3(P_),DR--3_)r_ón entre las áreas de las sup_rficies det YCQ=3(QD). SiBD--8,_lcuIeeláreadelacubo y del sólido cuyos vé_ices son las cúspides fe_iÓn dete_inada en el tekaedrO _r el _t00de dichas pirémides. qUe COntiene a lOS pUnt_ P, Q Y R.

A, _(, __) B, ,__3 (3_,_) A, 4o B, __ _ c, _3o _7 llC) 2_(3-2?) 2o_ 5o_D) _g E)DJ __3(a-?) E)_(2-_)_O, Del baricenko de un, cara de un tekaedro_7. En fes en-stes p_ y pc de oct,edro re Nla, re_lar Pa_e una hormiga 4ue reco_e a _avés_ABcD_Q se ubl-c, _os puntos N y M de la supe_icie y vuelve al punto inicial. Si la.ve_,ente te_ que cM__3(Mp) y longi_ddelmenorreco_idoes24ycontiene_ d . _ a los baricenkos de todas las caras, calcufe el-- =. a CU e e aFea e SeCClOnd l d _ volumen del tetraedro.etermlna a en e O_e rO _ Or Un _ anO qUec0ntiene a M1 N y O (O es centro deloct,ed,o). A) 5O_ B) 48_ C) 5O_D) 54_ E) 58_8__l. 0lcule la lon�itud de la arista de un tekaedroregular _CD1 si la arista del cubo inscritoci _ MNpa_RsJUmide _, ta_q,e _Q//_cy RSTU est� en la cara BDC.D) _7 2 E)A) 3+2_+_

_. E, u, tet,,,d,o ,egul,r o_AcD_ B) 3-2?+2_(M, ,,M,)c_A, (N, _,N,)c_D tel que C) 3_+Z_AM,_M,M,=M,o, DN__N_N,_N,o. D) 3?+6_Ca1cule el coseno del ángulo diedro E)determinado por las regiones CMIN_ yCM_2, 452. En un hexaedro regular cuya arista mide_ u. calcule la longitud de la intersecci�n_ 2_ de una de las dia_onales del sólido con suA) _3 B) -3 poliedro conjugado inscrito.

_? 23 A)__u B)-3u C)lu2_3 2_ _3 E)_j D)O_5u E)-2 u

252

_ccDB)))l lcl ________d___d__/ d_ t / _l rf_ _ _ l AA)) _____5(_g_ (((__2+___+)___2B)_)))_l __ c) t_g_b

, ,.,........... ._' Geometría

453. En un hexaedro regularA8CD-EfGH, en la 456. Setiene loshexaedrosre_laresABCD-EfGHarista AE se ubica et _unto M tal q.ue YPQR_lJJK, siendoPy_toscen_osde lasME=2(MA). Sean O, y 02 los cenkos de I_ _resA_cDyEFGH Tes_ectivemente, talcaras BC_f y DC_H respec_vamente, _cuIe el éree de la secc_ón dete_inada at pcoyectla medida del éngulo en_e _o, y M_o2. eI heXaedrO PQRS-lIJK en el pIanO QUecontiene a la cara EFGH es 36_ u2 , además___ Ia _royección de JS en dicha cara es MNarCCOS _ - -138 MNcFH. C,a1cuIe

69erCCOS69D)_ E) 1o23arCCOS -50 457. En un octaedro regular P-ABCD_, se tTazauna sección que contiene al punto medio de69 -arCCos _ PC y tos vért1ces B y D ' en uno de los só1idoslOO dete d 'rmlna OS _Or a SeCClOn Se InSCrl e Unhexaedro regular donde una de sus caras estáE) arccos -,1gl contenida en la sección Y tiene aTistasparalelas a QC. SiAB=4_ calcule la longitud454. se t;,ne el hexaed,o re__,, ABcD_EfGH, de la arista del cubo+Iuego se kaza el cuadrante DCP de cenko C(P en la _rolongación de ßC) y en el erco 2_ 3DP se ubica el _unto Q, tal que mQP _ 600.2_aCUe ame l a e an_UO en_e fQ Y e B) _ -_lano que contiene a la cara _fGH.. c) 2_A)15o B)45a c)53o 5D) 3oo E) 6aoD)_2 5 (_+1)455. En un octaedro regular M-ABCD-N, elbaricen_o de la cara McD dista _u de E) 4_-AM 7. aIcule el aree de la supe ICle total dedicho sóIido.458. En un octaedro reguIar el punto medio de2 una arista dista l u de la cara más próximaUa1cute et volumen de dicho sóIido.B) 198__c) 2og_u2 A) 3_u' _7 4__"

D) 18o_u2 C) 5_u'

E) 216_u2 D) 6_u' _) 7_u'

253

_cDA))________________________________________________________________________________________m____________________x___________________________________________________________________________________________________________________________t_________________________________________________________________________________J_____________t_________________________,______________________n__________(_______2______)__________\\l__r/MJ__l/__0_________\______________________________________\________(__________________________n_n_____________________t_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________0______R) _cDcl)))l J7l___o__((1_ 32d8t)h)_l formta_ddo_p_o5_r___6__((__o_clt33o4_gono))s

Prob Iemas Se Iectot '

_9. La figura mueska un icosaedra regular, caIculea 2 +l B)0 2 +la medida del án_lo en_e MN y el se_entoque une los baricentTos de las regiones C) a'(_+2)triangulares ABC y PQR.D) a2 2- E) a2 2_-l

,/ __ _ En un hexaedro reguIar ABCD-EfGH, se

,' _ ubica lospuntosmediosPyQ de AE y HG/' _N___/^_---- -----/____ respectivamente. Si AB-- 2_ , calcuIe laB.-_-- ,_' '\ ,' '\ _-_ Q;__,';..'''_!._;;.,.,,.,;. ,/ ' _ , ' \_ ......,..__.,....;..._:_:'_.; distancia enke PD y CQ

,.;:i__:_'_:_':'_____'_:_.:_.'":_>__._''_''''_i'__'._._:'_''______.. _ ' ' _ ' ', ' N ' ' _ ...:_:,.'_,'''i__^':'_..:'_'_''_'''_:__'.___'':'5'..':_:__.:::_;:_.:...._;'' _ _ ':':'''"'''__"'_____i'___._,'i___.__:'__.._:.::;:__;.;.:_,;,._,..,.. ; ..,.,:..,:_._::.';__':_:._t_.,:_:,:.5,_,''"__'_':i'"': _ A) -_ 3 B) -; ;_C ; __ 3_Z6; 5

,' D) _3__._ E) 8_2 2ln)_5o B)36' c)12c

D) 6oo E) 53o 463 un po1l.e,,o es_a,

regulares y 8 regiones ManNlares regulares,_, En un tekaedro regular, se traza su poliedrota qUe e ladO de O_ÓgonO eS . CalCule elconjugado inscrito. Calcule la medida delVO Umen de IC O pOlle rO.diedro determinado por una cara delte_aedro y una cara del poliedro conjugadosabiendo que éstes no son paralelas. A) 14_+- 3- B) 15_+ -

28+----A) arcsen_ B) arcsec --4 452+l2 E)14 +__arCtan

1arcCOS _ E) arctan 2 4& Se tiene un hexaedro regular de arista a,calcule e1 volumen del poliedro que se obtieneal unir un vértice de dicho hexeedro con fos_I_ En un octaedro re_1ar M-_CD-N de arista cen_os de las caT_ que concu_en en el vé_ia(_+l) se inscribe un exaedro regular OPUeStO al VértiCRmenCiOnadO_

EfGH-IJKl (Ef/,''nB ; KJJ.,/BC) tal que3 3 3estos vértices pertenecen a las aristes del A) B) - c)72OCtae TO. a CU e e aTea e a SeCClÓn_ J 3D) - E)pasa paTEfKL. 24

254

_A)_4__1_t_d___d___Btl_c_ r1______t___t__ d_d__v ))___tt?__t_9______?_?_t___q__?_____J_?tM_x___)_n____nx_m/___n__q_______/__y___?__??c_t_tM_r_t_ 3)__??Jt? e

' _eometria

M _, En un icosaedro reeular dos de sus caras son465. Calcule E = - donde M es la suma de las -asregionestriangularesAPÇyP_Q. Si A8me_idas de los á_-gulos internos de todas las y PQ djs_n 1u, _lcule BQ.caras del icosaedro regul3r y N es la sumâ delas medidas de los ánguIos intemos de todasl_ caras det dodecaedro re_lar. A) _ 2 u B) 3 U

4+_Un) -5 B) -5 C) -7 3_3,Jt J-_10 5 D) 2 _u E) uD)-6 E) -g 2 2

qd9. En el gráFico se muestra un dodecaedro_. Se _e_e el te_aedro re_lar V-ABC, en la Fe_tar. calcule 3e medid_ del ángulo en_c__a BVC se inscribe una _m.ici__cun Ferencia_ __ y _Bcuyo diáme_o está conten!do en BC. Si 1a A_istancia del punto de Ia semicircunferencia _; _,_ 'v __ _ _?,, . _ . - __ ' __?__ ____m_S_e_a O e _ _UntOme lO e _X_?___, n _,_ _____,x,n_____' J, '_ _ _ _? __? ,? _'_'___wes 2_. Calcule la di_ancia enbe VC y ,,_,;_ _,??___?___?'__'_? __ ___'' _,___,m_v?,,,?,__'?'?_;m'_ _____ _v_ , ______tv'n_n_ ____??m_ _? ' _ 'X ' ,____^__?_?___' _, __ , ,,?___, ,_, ,v, ,,," _ ___0 v_ _, _ ____v,n , _, _ , __ v _ _5 ,, _,, ___________^_______' ,__ _x_X____, ___ v_ _. n_?h___,"_ Ç______2 B) 2_ c) J_ _;?__x"\x___'__m_n_x__�___' ;' ,_i__v____V _ ' _mnm , __n ,_v/" ,' /_ '' _'_'D) 2_ E) _ _ v_yx,_,___,,,v_x,,v_y;__N _:'__nt___?:?____v_s;?,_'_,;___ '_ '_ ' '_. En la Figura _ muesba un rombododecaedro ' _ _ v_ B(todas sus caras son rombos congTuentes).Entonces _nclemos afirmar. A) 450 B) 720 C) 540D)5oo E) 36o

' _ ;' a _ Prisma/ P_Fámi_e/ Con0,_ ,; , CiIind__/ Esfera

_ /_ ' ''__ _70. Con todas las aristas de un prisma se- - - - - - _ _ - -!_; _ construye una pi_mide. Entonces'__ I. _a pirámide puede tener 27 aristas.'\_ Il. el prisma pudo tener 6 vértices.lll. el número de car_s de la pirámide p_edeA) O<_<90' seFJ.B) 45o < c_ < 60o I__ ef número de v�m_s del prisma es i9ual alc) 6ou < _ < gou número de _ras de la Pirámide.

D) _OO<a<120^_) 30U<a<90C D) IyIV E) IlyIV

15_

__AcD)))))9___6nl______________________________________________6_______oo0o_________________D0_00D00___D_________0___0_0________________0o______________________t_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________tl_________________________________________________________________________________________________0)____0__p__0D_________o0_00o_D____o_________0_0_0_______________________________________________________d________l_________________________________________________________E______________________l___l___))__________________________________________________________________t______t____________t_______________0__600_______________________0__________________0o____0_0D______________________________________________y__o__________________________________________p________________t____________________y_r__)_____)__________o)__________?____6_________00_________________lx_______________es______0________g_0_0_oa__0_____0______o__%o__0_000_0___pA_))t__9/41f / __t t Bdt)) 9/5___0________0_________4_0__t_ _ 31cc82))9(2Bc/42c_1cl)a>s1Asagle_,

Problemat Selectos '

47l. En et _áflco se mueska un recipiente de forma Aprismática regulaT, donde, O_ es el cenko deta cara AA__ y 02 es el punto deintersección de las bisectrices de los ángulos MC'CD y D'DC. Calcule el volumen def .. ...,...,:;_;_'recipiente, si la longitud del menor recorrido _ _. _ .: '__''i_'__'de O, a 02 por la superficie del recipiente es ;4 (O, esta en la superficie externa y 02 en la - - - - - - - - -_-_'_._''_.'. "_:'_'___.___ - - - - - '__''______'_____'_,___i__'GSUpe lCle lnterna e reClple_te + ___------ ._'::__,p_:,__''__'_'

B.! c_ ' __'_'.::''::_':__._:_::;_:'''_:_''''__ ;'' DA',,,.,;,;,_,o,;;_'___.,__;,..,_..;.'_,:.,_'_.':.:.'_'_'_.'__.::.''__ ''_._ _ .'' '''''''_._...D'__.__,^_____,_''_.,',,_.,_D"0_,,0_,,,'___,,,__,___._._;_.,;::.:_._,._' _ F' ; _,,,,.,,_,.,.::._. ._;. D) 9/7 E) 3/1___ _ i'_. __ __00', __0o ^_ _'_ ^ 0'__ _;: ;_ _', _.;,_: '' :. .! __' :_'_, i ' '___D_,D __DD,_!'_'_.'_ ! __.: ''_.,_. :'_ _ _'_'_,_ _ '''__'D,, _'__ __,. :__,:_'' _'____.''__i,__0__,,,'0o,,,__0_0''_^_'_,____,___.__..''_,'___, ' : !, ';.:;''_. ___.,_..0_0D_0_o,0,__ 0 _! .',.,::_''__'0'____'_,.,__,_po,'''^'_.__;.__.:: 42.. 47_ Se tiene un prisma re_lar de altura 4 m donde_, '''.''''_.,,_' _'_,,,O"__,,, _'_,0__,o_ _,_,,__!''__';__. ;g '_;._':____ _,_''',o,_.?^;;:;_..: ;_'_'"''__;__.0'i______0__,,__0o_e'.v..,^^_^^_,:':,_:.;.'. '' _,,,._,,s_,,,._,_,._,,0.g_,,,__a,,__,,0,_,,_,___,,,,._.,_,0,..0_,o0,...,,,,. el númefo de ceras más el númeTo de vé_ices_ _'_,'_ _.'__, 0^_,, _^___'___;;':,_'_:_ '':;_ ' : _i '_,,___,_ D'_:__: _:__'9_i__,, 0_o,'0_,D_.:'.,:_'_ ':_ _D_,, _____, __ _^_ ___-^ __ ___',;'0 ___,_ _0,______'0 0^_0_0^0'0 _0__0^''. ' ___,_',_.___,D'__,__'_,^'0,0_',_:'___:?.:' ___..;__ii_'_,,,000,_,,v_': ...:__.:_;.'-_'_.__00.i..__.o_,___^_ '':;_.._ _:__,___,:p_____, ___0_,____0,__00___.__._^_^'' maS e nUmerO e aClStaS eS _ a CU e SUA''''''_0_''___'__i____,,;__'__;.._:__'_...:__ ''_.:,'____'''_0^'_00^_',,j_::_. ._s._X_.____.''_.i'_'_,__'__,,'__,,'_,,_,__''______: \\____D__'_' _''_;_:,___,. ' ' voIumen si la al_ra es igual al diáme_o de la_'__: .;0|_'___0'_'' _''_:__:_'__'_____'0,'8__^_.:' _'__v'___'':-_.__;'___'_.,,''_.,.^_,,,.:~;. _''.___'_._i.__,__,_,D0_^,5_,.;_.y.,__:t!_;_,;;!-x_,_!-_X0__:^__ clrCUn efenCla clrCUnScTlta a e baSe.' f . ' '_ '_ '.._______:_'___:''':____.:;::..:_.____._:___;__.::.__:__;__.;''_.'_:'__'__;'5___.;'_'_;__;__;_:_. _:':__;_:._;___i.__n;__._'' /'-'___'_ ____^__'''_________'_____'________'_'___00__mmm_________________'________________'___'__________'-___7_-_____' A _g m3 B 15 m3 3m24 3 e3 B 3 3 e3 D) 22 3 E) 12_ _m vvm

5 5 e3 475. ABCD-EfGH un paralelepípedo recto de5l 61 madera. Sea M punto medio de Ag. Dospolillas parten de M con las direcciones6 3 _3 Q 4 3 mostradas en el gráf_co si51 61 51 6_ cD -_ (AE)_ ;cua/t de tas dos poll_lrimero del sótido?472. En un prisma hexagonaf regular fas carasteteTeles son Tegiones cuedredes cuyos ledos H, Gson de Iongitud _. Calcule el área de la sección ;determinada en el prisma por 4n plana que _pasa por un lado de la bese inferior y por el E ;lado opuesto de la base supecioT. _, _D- - - - - - - - - - p- - - - - F_ - - - - c22 B_2 r_2 __a ? ua // 0a a /'A __ Bq73. En la figuTa mostrada AgCD es un tetraedro A ) pregular, G es baricentro de ta cara BCD. B) pCelcute la r_ón de los volúmenes del tekeedTo r \ _es _os sa_en el m;smo t;y del prisma inscrito en ella si GM es paralelo _D /) Depe Unde d 'e BC.al plano que contiene a la región ABD. E) Si la arista latera1 aumenta P_.

256

_AAcc)))) ___(_22a((9a0Lv+ 2)_v_) g p))p _2rpe_2vv y y cDG_))t ___7_G2t_J 3 t Jv _ E_))) d7lasctdme_ sus

.............. .._' teometría

476. La base de un maraleIepípedo ABCD-EFCH _. Si el volumen de un pjsma _angular regulares el rombo ABCD_ cuyo lado es de longitud _y su ánguto agudo mide 600. Calcule el es c_cule _e _on g_._d de _e er_.volumen del p_alelepípedo, si 1a _ista Iateral 4 -es i__ a __ adem_ m_EA8 = m_EAD = 450. b_s;__ seb_endo q,e e_ a_ n__o dete_;nado_or las diagonale5 de dos caras Iaterales que3 3 a3_a B a pa_en del mlsmo vé_ice m1de 30^.3 2 43D)_ E)a3 A)_ B) 23C)2_M, CaIcule la longitud de la ari_a lateral de unprisma bian_lar oblicuo cuyo volumen es V,el _ea lateral Æ L y ademá� la _cción rectaest_ limitada por un bi_ngulo rectángulo cuya q8I. En un _Tisma oblicuo cu_a altura midehipotenusa es de longi_d 0. 3 _ cm _ a s u ma d e _ e s m e d_.

á�gWos diedros es 25Z00 su sección recta esL2 B VL 'una región poligonal reNl_ cuyo circunradioaL+2V) al+et cm. Calcule el volumen de dicho0prisma si el plano de su sección recta forma2L 2v con el plano de su base un _ied_ que mideD) _ E) _ 3ooal+2V l+a -

_78. calc,le el volumen de u, ,ism, recto cu as A J2 cm3 B o 3bases están limitadas por trapeciosrec_n ulos de dia onales e ndicw,res ) Cmde ba,es , b (a<b), ademés l, eltu,a del D l44 cm3 E 36 cm3p_ma _ la media _ónica de l_ bases a y b.

482. En un pr�ma _iangular reguIar ABC__'C';a2b2 B b_cA_B,c bab(_ + b) CU_aS aSeS Y _enen anCentrOSa+bY reS_ectlVamente; es pUntO medlO de2_b2GG', N es punto medio de A'B' y L unD) 0b_ E) 0b(a-b) -_untode AC t_queAL=2(lC). CaIcWela479. La altura de un prisma cuadranguIar regular razón de los volúmenes de los sólidos en loses igual a h. Calcute la distancia desde el lado que queda djvjdido djcho prisma _or el planode la base , cu_a longitud es a, hasta la diaganaldeI mrisma que no la inter_ca.

_h ah 2 l4A) _ B) _2 A) -3 B) -_3

2ah JC )__ C ) -_3

2 +2 2 2D)_'_ E)_2_ D)-_3 E)__3

257

__AsdeBDElee)))))vl mo_345233tllaeuR_R_nm_o_e__c_ronanlt2dgceodt22_2g 13 __ EDF) G_7l_Hoa3a3__ __J /_um;bJo8ad3___a_ t Ec)A?81__5E_c0a_3eF3l_1c_Gu_lce_Delt

PrabIema_ SeIeccos '_................

_ losvérticesde lab_cuadradaABCDdeun 486. Se tiene un konco de prisma cuadrangularprisma ABCD-A_B_C_D_ equidistan de A_. re_lar cuyo perímeko de la base es 20 cm.Calcule el volumen de dicho prisma si el án_Io C_cule e1 área de la supeIf_cie later_ de dichoenke la arista lateral y el plano que con_ene a _onco, si la suma de las longitudes de lasla ba_ mide 6OO y la distancia enke las ai_tas a_istas laterales es 16 cm.Iaterales AA_ y CC_ es o.

3 as a3 D 7ocm2 E lOOcm2n) _3 B)-3 c)-23 487. Se tiene un exág_no regular ABCDEf cuyosD) -2 E) a3 lados miden 2a y un segmen_o HG paraleloal plano del exágono_ cuya distancia a dicho_ene un p,;sma exagonal regule, plano es o y su proyección o__on_ sobreABCDEf-A'B'C'D'E'f'. Si g es lamedida e_eplanoes fC _lue_seuneB_CyDcon_ __oen_e A_c y _D_B __e G y A_ E y f con t_; calcuie el vol!_men _el__cho pr__sma s__ e_ c__rcun,ed-_o sófido obtenido.de labase esR.

A)-3 B)-3 C)-39R33 t20- CO--

33 283 3 3-R l2COt--

_. En el sólido mostrado en l2 fi_ra, ABCD-c_3 2+ .Q 2 eSUnC er_Sa4'volumen del sólido B-AEF_CD-3si la diagonal HB es pemendiculaf al planO4 de lebase.3R37 20_ B- COt--

485. La base de un prisma recto ABCD-A_'C'D' /_";es una regi6n rombal _onde la medida de un A __ // / _án_lo interno es 370. Calcule la distancia '' ___ D , /// __del vé_ice B a _A'D si las ton__udes de la '!' f _ _';__ra y el lado de la base del pri5ma miden h ; '_ _ '_ ;;y_respectivamente. ' ; '_ __ _;__;__ GE _ __ i______s_n ___ ^_ ___ _?2+2 2 2 0r__y__, x_t__"^_y___m_,_,_5 a2+h2 02+h' __" _''X __J ' _x;___^_G''__ _ ' ;__ __,___,__x__n_,,, _3a lOh2+a22+h2

2+loh2 ah A) a3 g) 2 a3 c) 3 _3D)a 2 2 E)__ 3 _a +h _ D)4a E)5a'

158

_R__/__tB___|t,fl___t___th_t_r_ __l_llt___\_R _) 3_o__ or________________?___vr_v_m__ _____t_ftl_|n_n_ y _ttf__)___5|____ll_ ooo___m

Geometrí a

_. Se tiene un cilindro circuler recto, donde el _9I. En la figura mostrada el án gulo diedr oredjo de su bese es R y su volumen es 3_R3. P-A_-R eS tangente a la SUpe_iCie leteraI delun punto de la circunferencie de le bese CillndrO CirCUlar re_Oi Si la medida del diedrO.or se une con un punto de la es 600, AB=40 m y AO=50 m, calcule el. . . . VOlUmen del Cl'l'lndrO_k_ada forma con eI plano de la base unán_lo que mide 600. Calcule la distanciaen_e la mencionada recta y el eje de simetría ,,_;del cilindro. 'X'__'' ,__'

R_ R t___ _A)_2 B) -5 _, ____h_ _"_ _ tR _t _ _ "_ _c)-2 ____" ,,_ A_ _"_--D) -3 E) -4A o3 B 34_, En la f_gura mos_ada, r--5 yP_=PA=PM=8 c) 6 o o o _3(P es punto medio de la generatriz) ycM__MD. calcufe ,l volumen del c;l,_nd,o de D) 900O_' E7 lO'_3revolución._2. En la figura mostrada el vo1um e n d e lparalele pí pedo es la mitad del v o l u m e n d e l____ r ___ cilindro circular recto. Calcule la distancia; ''__h deCa BD entérminosde r.!C! ! f; _, , GP ; ! _ !!, _M!, ; ; H!_A__! _--_---_-_-_ _! ; _,'----'_''____ _ !D , ---_ _ ;

A) 15O_ ' T; rB) 5o__ D_1Tr _JT _r2 4 6D) 10O_nJT rE) 4o__ D) 3 E) 4 1 5 9

__//_/______ ____________________lll___ _ _ttttt _D)___8__ndrof_ect_o_setra2aunEp5)laten____co4ods4pe_a_amralodeloon

Problemas teIecto_ '_. ...............

_. En la fi_ra, ABCD e_ un cuadrado y BC_ B , ._ _ ,__nNlo calculeAfs-, la ra2o_n de a_reas _;____ '4"' _:;5:____c__e later_ de_ c__.nd,o y de la __,o,n ;____ _ _,, _; '' __ ' :; _, m_ ^;______'_(_' ,__'_e'__X_'cuadrada ABCD es de 2n a 3. ,,__,__.,�,_;'_'._ ___x_,__,__?_

C ,_'_,'___^__n__' __-____,''0 __ '_'______- _ - - - - - - _ __'_ x_ '_ ___J'___v___ A_wm'_' O' ,x__J,_ve___D__:;_ I___f 'D '',, E A)4,_ B),,_ c)g,_

_, D) l On_ E) l6n_

_ 496. Se tiene un te_aedro re_larA8CD, de arista! _ inscrito en un cilindro recto de revolución_B '_/ __ tal que AB y CD son diámekos de las bases_,,____ --_---___.__ del cilindro. 0lcute el volumen del ciIindro.

A '' 'F 7W3_ n,3_ 1W3n) -g-_ B)_4 _ c)

A)3r B)4r C)5r 3_ 30_ _D)6r E) lOr

_ Calcule la razón entre la longitud de la _ E, un c__t__generab_ y el radio de la base de un cilindro a s, e J.e a una d._stanc_., e de e,de revolu_�n _nociendo que el d__ollo que en _a circunfe,enci, que _im;tà_, b,se sede su superficie lateral es una región dete_ina un aTco de medjda _. Sj el árearectan_lar donde la longi_d del lado mayor de la sección dete_inada en el cilindro pore, N,,al a la e_t,,, del c;_;nd,o y ad,maJs _a el Plano es S_ _cule el volumen del cilindro.diagonal forma con uno de los lados delrect;ng,lo un éngulo de 6oa _S n_S __S- A)-t--- B)_sena C)ana

n_ 2n_ 2n_ D)___S E) _eSA)_j B)_3 C)-7 sen2a cos2a

n _ _ _ __lll d _.dd lc.,o,D) ---3' E) 4 _ee VOUme" eUnC _n rO e'_OUcircunscrito a un octaedro regutar de arista 0si dos caras opuestas del octaedro están_. En la_i_ra_muesbaun cilindrooblicuode contenidas en las bases del cilindrosecc;ón recta cjfculer, la proyección de reS_eCtlVamente.B sobre el plano de la base es el cenko O de la.ps, ,_H me,,.,t,,.z de -Dc s,. A) __'J_ B) _3_ c) __3_3 6 9O_ = 2_ _, calcule el �rea de _a supe_iciena nalateral del c_indro. D)

26O

__Dl_)____________________________________0_D_0_0__0_0__00_0___D__p_0____D_________________________d______9______________r____________o________ __________o____r___________________________________________________________________________________________________n___________l___________ __________________________________________________________________________________________________________d_____________t___________________________________________0____________0_0____D_____d______0____________0_0o_____________oo0_________0____________0_000_____________000_0____e_o________n____0o_0____L____0_______o00________0_0_____o_0oo_0________o___0__________________________0o_0_______0___0___________00__0___________0_0o____________00__________o___________0__00___________0_o________0_oo0________0___0___________0_0________00_0______0o_0_____0____o_0_D_000______D00__________0__0o_______n__o_______0________o_oo________o0__________oo____________0_____________0o_0_______0o0ao______D__0_________o____________ooo___)_____0o_______________________o_o0________0_o_0________________o0________00o0o__________00o___________0__________0_0_____________00_______0____________0D_________000__________D___________0_0__________0_0_______o_oo______________0_____________0o__________D_________0_________o_o_______0_0o________0______0_o______oo0_____00o_D___________0_______0_o___0_0_____D_______0o0_____0_0___o0_____0_______o0_____000______0___0____0____00__t______________________________________________________________________r________q__d___0_00__o_00_000__000_000_0____oo0o____________________________________________________________________________________d__ _A) ___(___ ____0 ) _ B) _0_t__n___________(__ ____ _) l

............ .-. ._' Geometría

_99. En e_ gráfico se mueska dos cilindros rectos 502. En un te_aedro regular A-_CD cuya aristacirculares, en el cual uno está inscrito en el mide a, en _AD se ub_ce e_ punto o talH _ OD mide i_uat que la altura de Ia pirámideotro. Si K = _ + __ calcufe 1a razón de O-ABC. Calcule el volumen de la pifémjdeO-BCD.voIúmenes de los cilindros menor y mayor.

3 3a

__a_,,',,,_''_,.,..,0o_._,,,,_ _,,_;., _ _. '.__ :: ' ' _' :___ :'' ' ''_: _ :^__ ' ' _'' '': _ ' ' ''' :' _'_' :; ': 5__ "'_'__ ''' ''' : ''_' _'_'__,:.' _' :: :::_'__;...,. ::::__,: ._. :. ',__::,______''_::.''"_'__. _ 'i_._,:: ' ' _ '_ _ ' ' _ _ '__' _' ' __ 0 '' _ '_____ _. _ __''__ __ __'' _ __'_D _'_''_ '__ _ __ _od___,_'0_ _''_o''_ ' _'' _ __'____'000, _0 _, _'''_ ___ ' _'_ _. "'___O_''_,__ _'__ __ __ ___0__,, __0 '''_o'__ ___0o_o, _0,_'' ___'' _,__D_ _''__00_ 'o,_ '''''_ __'_ _'__00_ ' _0''_ _ _______'___ 0__0__ __0 _0_ 000__,_o0_ ' _''_''''_ _''O _0_0' '_''',_'_ 'o' _ _0o_ '_ '_'__'', __0'_' '' __ _'0_.'o'_0 __, __ ___,,.^_ _0'_, '_ _ _'L'__ 000__ _' ____'__ _'0_ _0 _0__''___0_,__0__ ''o'' '__ _ ___ ' ''_'_.,0' _'_ _0__ _ __' __'__ _00'' _a__ _'_d_''0____''_O__..._. '_'_0'0___ _0'____','' _'_ _,_'_ :_, _._ _:, : ' _'__.,'_.,. ::.__;_.. _'. '_'' ''_'__ '__'' ''' S^''_'_ "'_ _'_. ' _'"''' ' M'_'':: __ _'_, ::';_. _0_0_0,0_0______,,._'_,_,, _i,'_'''__.,.,.''''_i.. c) a' (_ + _)

a,'_,,'0_'_,'__':'' '_;. :_ '': ;' ''';.,'_.__:_''' _._.______,'''_.,',_,_,_i._i _ 3 3i...__,_,_,,,,.,,'',,_0o,o0_g_,':_:._._'..;;_:_,.,.___'':.:_._,..';...?_..__,.....,..;.. _._______'_:_..._;;_.;.,_._._':;_;,....,..........,.._,,.......x._......._...,.,.,,..,..,_....n..._.;;._...M_...,...;...,..,..._.....,.,x...,._.;.._;.,_..._..,;..,._....o.,..;,_:;,x;,;.'_.,.._._v;_..,..,;,._:o;;_.;_,,,._;;,,:.,..,;._.,;.:_..;..0;;;..,..::,_;.;__,,.:,:.,_v;0,,,_:,_o____' ..':_'':?_,_,..!.,.,0_.__0____000_0_00_,'__.,,'_____,.,.,,__,_,,__,.i_i. D_ __ (_+_) E) -_ (_-2)

__'_'^' ''_ ___ ' ' '''''''''^_''''_''' ' S ' '''''''i' ' h _ _ '' ^_'''^0^'0^iO''_ 5O3. En una pirámide cuadrangular regular el ladode la base es Q, la medida del ángutodete_inado por una arista lateral y la altural es 300 caIcuIe el érea de la seccjón que seA) _K B) K 'determina al k_ar un plano que pasa por unvértice de la base y es pemendicular a Ia aristaC) __ lateral opuesta.

D) 2K E) __2 A) _e2_ B) e2? c) __2?0 _ 2

500. Se tiene una pirámide regular cuYa base tiene _2j t _a D)_2 E)e2n a OSY a Ongl_ eatUraeS amlta eaTista básica. Calcule el ángulo que fo_andos caras latera1es opuestas, sabiendo que n 5_ En Ia figura se mues_a dos pirémides, enes Un nÚmeTO Par. una de ellas las aristas laterales son de iguallongitud y en la otra las caras lateralesA) 900 B) 600 determinen djedros de jguaJ medjda con su180d base. Calcule el valor de 0.n

n-2 E _gool 2 _ .,_:__''?_.''_- _n 02 _.-.;.;.,.,,.,;...,,_,;.'''_'',_ ''''' '''' ' __,___ _;! _ _.,_,.. _;, _:o;__,,,,0 .v..,,-.__,_._''..__.;,,.;:. _: _:___._'' ____ '. '''_:.,,. ' ' ___'_'_''_._;,....... O

:'. '___.t.;___.._!__\ _'':::n_;.:____^_,'_____,,0 .._.,_;,___!_;:_'_!_..;__,:'..__::;:.' .._;___. _ /_.:.__ :_501. CalculeelvolumendeuntetreedToO_Csi '__ \\\ '__;'_:;';;'_'____;.._'m_.____,^'__^__0_ _____:6:.:'_.._._:_m'._:_',';''__._,::_:.__..'''_:_' i____;_..__:_:... _ __:''_ '- - _ ' _ 0'' _'',_::i ::,. :_ _.,_' ___ _;____v ___ ' ____ !^__~_'o_'___, ,5'_. _:;._ '_.,,:,:' ^_._._____,___i_.'_i_'_'. i ' _:_'''_.;_.. ' ''a dIStanCla entre AC _ O_ eS 4 m_ la _ __ 0( .__:;___;._;_;:_._..:__;_._:___'_.;:M__M.M__!...__._0_.,,_0,__,_'_0,0 ,..;__.__:'_,: _i_V._.,,:'__M_...;_v_,...;.___.;:':.___:';..'''. ?'_::_;_._..:___.... . '':. '.:medida del ánguIo con que se cruzan dichas ''. _ '_:.___'._'___:'m:_;.:,.,___.__:_m'_"_'' ^"'''''_'__:_''__"_;': , _ ;___:::'':''._;_.,::_'__;:.. '__- t a _ s ; u_ 2 ''' ,_ .::_:.. ___._;;__..;;.:._.'_:_..__

3 U BJ '5_333 E2 3

26l

_Apo) r6u92,4nd rmoABdml_bo1l_las)l arl3_ dl d_) 4l_ AM___d l sDpA_))A8_ss3c221 D se ba2Ba)unspelna, nao quyeEcc))on_p9tcl_l_eoncseaeleculoles

Problema5 _eIectos '_............. ,..

_. Se _ene una hoja _yo borde es un cuadrado 508 Se tiene una pirámide regular cuadrangular_c ,e ub+_ca un pu,to p de t_ de volumen V. Por un lado de Ia base y los_3(p_)_3 m se com__en2a a puntos medios de dos aristas laterales.. ' opuestos pasa un plano dete_inando dosoblar dicha hoja por P0 hasta un �n_lo so,l._do, arc._,les ulcu_ee_volumende_so,_._de 300. Calcule el volumen de la pirámide __,fe,__cuya base es la región ABP_ y el vértice es laposici�n final del punto C.

3Bgm3 c4gm3D) 12_gm3 E) 4m3 _8V _5V

5O6, Se tiene una pirámide cuya base está limitada._ _,te,e_es dete,m_.nan 509. En una pirámide cuadrangular regularángu los de igua l me d i da con la base_ se u n t o s m e d._ o s d e -s B A- D- D_- cinS__ Un PrMma dOn e Una de SUS S _, ,a2ón de _os volu/ menes arcielesestá Contenida en la base de la pirámide y la determinados por d_cho plano.otra ba_ _ene por v�rtices a los bajcen_osdel_caraslateralesdelapirámide. Ca1cule A) l:2 B) l:3 C) 2:3la raz6n de volúmenes de los dos sólidos. D) 3_4 E) 1:

510. En un konco de pirámide irregular_ las car_A) - B) -- c) -- laterales forman diedros de medida a con elplano de la base. Calcule el área de la2 2 supe_icie lateral de dicho Nonco si l_ áreasD) j-- E) 5- de las bases mayoc y menor son s2 y s,respectivamente.507, En una pirámide cuadEangular S-A8CD labase A_C_ es une región paTalelo_ámjca _ - S, _S2 + S_ _S2 - S_cosadonde B-c = _ y m__CD = 600. Calcute laD)-COSa E) cosamedi a e ángU o e_he a me lana e acara lateral SAD y la altura SK de la pirámide,si la cara lateraI SAB es regular y 5ll. Co_ndo un se_or cjrcular de un d_co depemendicular a la base. radio R y un ángulo cen__ a se constTuyeuna superficie cónica de base circular deradio r, de manera que su altura es mayorA) arCtan - B7 arCtan que el radio de su ba_, enton_s

Tc_,, _5_ n) o<a<_ B) o<a<nC) O<a<MnD) ar_an_ E) ar_an Dt O<a<__ Et O_a__n

t_1

__y/____t_______Jmv____________________________y_______________________________________p__x_______________J_____________a________________________________________________________y_________y____________________________________________________________6t_e_____________r_______________s_______________________0_________________________u______________t_______________n______________________________________________________________________)____________t_________o____e___________________________b_______________e___________e______________d________________________________________r_____________,________________0__________________________________________________________________________________t___________r__0________________________e)_____________________________________________________%_____a__________________________________________y___________________________________l_______e)_________________________r____________y___________________________4_______c__________________eJ___cu Ie la D_D) _)____6o_u_, eg_lo/nEBEq))u)_pe_g43g5_eoo1 g1_rerg

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ 'N _ _' G e O m e t r í a

512_ El radio de ta base de un cono de revotucjón 5l5. se t_ene un cono recto cu ye ales i_al a R, dos generakices pemendiculares y e t r a d i o d e f a b e s e l m. E n e l _ 1enke sí dividen e1 área de la su_e_icie lateral cont;ene a te ba,,e se cons-_dera un punto pdeI cono en 1a r_ón de 1 a 2. Calcule el desde eI cua1 se __e _es tan gentes p M y p N__o1umen del cono I b d t c_ _ 1 d- a a S e e C O n O. c U e a m e 1 d a d e I d _ e d r odeterminado lJor l o s _ 1 a n o s V P M y V P N ,JTRJ_ _3 . ,. .A_ B _ Slen O e V e I_ _ e e C O n O y S a 1 e n O q U e a3 4 d;s_anc;a de1 cen_o d e l a b a s e e 1 p u n _ o p2_3_ mide4m.C _ __ _A )12oo B) 9 oo c) 7 5_3_ _3_D) _g E) _6

516. En un cono de revolución, d e g e n e r e _ _5l3. En la fi_ra se mueska un cono circuIar recto este/ ,.nscr,.to un c,.11.nd,o cuye u _.. t __' e'C"O- es e quivatent e a l a s u _ e r f i c i e I a t e r al d e I c o n o.rn__B sie__do A_ y CD diámetros y E1 án _!,o en_e les genera_ i c e s d e 1 c o n o e n s uCM+ND_MN. s e c c 1_ o/ n ex 1_ e 1 m __ d e g oo + c a 1 c 4 1 e _ a d 1- s t e n c ,- eenke el vé_ce d_l c o n o __ l a b a s e s u p e r i o f d e tV c;1;nd, o

'_____''_'?,:'_''''''''' _____'____ A) _._;_;,;._'.__.__;:"y__;''__'_i''_., '::_.'_m,_.__,,.__,,,,'_/.''_..,.. 5 3_._._y_,y''__'''~:?.'______,_-___._,:__..___':':':_: ''''':',:%_.'___,___.:'_'; ,P,,__.,_______:_'___m,M_M___".'__'_'__ "_:_._ji'.___'__._..__ c _ 2_ _.;, ._ ',:,'___i__,'_^_.,___!__. _...___.,_;,;,,'_ _''_;,'' :_;_'__,__ '_,._,,,_'__.__,, ,,:,;_,_;__ ...,,_,.; '_!__m: '_ !_!_....;,;',;.;._.____'_! _,,'_ ,_. . 5_ _._:_j_:. '_.___!"__.___._m_m___'.''' :!:_:.____. __'_:_: '''' ''' .___'_______ '_i' 0__'.__ __. :_>____,_,n_ _'_'___.___ _,__,__M'__0___._.,._mi_:'"'i__________.___'___'___:_____,:.___:_i__ __'_' ,, __ M____'y____,_y_.,_.'_,:_',n__,_.;,___ ___"________,^^'^_m_,__ ______!__:^R,'''''''_,'_'_'_____:____:__ :__,'_._ 0 _ 2. .._;__.;_._:':..'__i'_ __^_n,_ _,,__c_.;;..:..__...._._'_____9_ _, ,_ __ _, ',____.._._c__' ..,;,_i__, ____ _._._;,_._;_._,_ c. _ _,.____::._.__ __:_!. , ,,_i.._;.::. :__..__-;: _,_,__ _ _ 'n__,__ ___;:'; .,'.. ,_q_, j -,__,_,.,__ _:..nq_;m_ _:_.i:':_M _i _ _:4_ ______:_:_:_,,_, __ ; ,_, . -- - ., .,_ w. . _____ .m.. , , ,; ,_ : ,_: . __, .;, . . _ __ _'_ _ . ;._ __. ._, . _''_ _ ___'_'-_: __ :'' _. MY_ .. . _: . . .: .: . ,; : _'_: ' _. ,_,_^__;.;.:i __:__,_'__' ___5,____''_.: ''_;. '';:_''','' 'm';_''__;.;..;.:...;..;_;,_:._'.. ___::. '____.__.:,_ __. ;,:'_.^_m__.._..i:c_' ,ï _ , __ ,_.__;__. __.._., :;._. ,... _ .__ __ ;______^ . :_:. _:: ._:_ :_' ''''_. ,. _ , __ .,.. .___ ; ;...A '_''0,'_!.___._,______.m,.;_.:,,;0__'____^__'___.m__'___ __. _;_,_n,._,_.,._,. "__:__,_. :_:.:_ ''' ''''- - - -_--_ _ _':,,'__,___._'___''':_.: :_.:,,_':y''''''''- - - - _ '_::,,_:__:_ ..__,_._ _''__.('!'.':'!_:___,_,___;__:_', B'''''V"''''''''V_''''____^;_____'___''___::__:__';. _- _ '''''_'__''' _ _"'^'''' ' 5l7_ Un ki�n Nlo rectán _lo , c u y o á n g u I o a g u d oD m1.de _ ,_,-m1._a u n,,At 6ou g J5o c goo aIrededOr deI Cate'LO OPUeStO a _ geneia Un_t, 74o E) _2oo cono, cuyo desa1_ollo de su su_erficie lateraItiene un án gu1 o q u e m i d e 0. C a I c u I e 0 e n5t_. CaicL1I_ _I á_-_e _e _ su_e_icie leteret máxima función de __de __rx __ru?;__'_._ _e cono circular recto, sj elmeiim_etro __? __ s_c.ción __ia1 es h._. _ k2 7 2__ JT n __,_!__ _)_g CC2_) _h_ E) ___- D) 3_oJsen _ E ) 3 6b 2 6 3

_5l9 lABcAEd )))) __582R(_(f____(______ _l_d___d_)) )t __d___ftl _ _ l Il l _d ld_ DttcD)))) _______2s___ ((((tss(a__ ss 1))))))) _ E )) _ acos__

Prab Iemas Selectos '___............... ,

518_ Sobre una generatriz de un cono de _. En un cono circulaT Tecto s_ dan el área de larevolución se encuentran una arana _ una base i_ y el área de la supe_icie lateral S,.mosca. _ arana _ e1i�uentra en la base del Calcule e1 radio de 1a estera inscrita en etcono y como quiere cazar a ta mosca camina cano.hacia ella, pero en lugar de ir por ta generatruIo hace por la su_erficie lateral det cono. __._ distenc;a del vért;ce del cono deb, St ( S_ " S1A)enconkar_ la mosca para que l-_ ar__�a haga _ 2 + 1el menor Tecorrido al ir a su encuentro, siendoR el fadio de la ba_ det cono y la _ongitud de S2 (S__ -' S1)B)a _eneramz eS lgual _ 10_ _ n, + J_

R S, ( S2+ S,)-2 C) _s s _2- a

R! (S2 -Ss!rCS_?.+R4 S, (S,+S,)E)5R 2- JD)- +l

521. En un tronco de cono cuya generatriz es g yE) -2 la medida del ángulo entre dicha generaki2y el ptano de Ia- base es _ est� inscrita unaesfera Calcule el radio de la circunfe__encia. n Un COnO e feVO UClÓn eStan lspUeStaSan9encla determlna_O por la esfer2 y elOS eS eraS e mO O QUe e aS SOn tan_enteSrOnCO de tOnO.entre Sl y a a SU_er lCle atera e COnO. Lara2ón entre los radios de dichas esferas esde m:n (m>n). Catcute la medida del A __n2a B __n2ángulo determinado en et vértice de la 2 2sección axial del cono.__s22m-n_f_en _ 2 2m+n _Sen _COS a

B) 2,,,cos _m - n 5_ Se _ene una esfera inscrita en un cona circularm+ n Tecto. Si la Ta2ón de volúmenes def cono y laesfera es h, calcute la ra2�n en_e el _rea totelmtnar4en _ del cono y e_ área de la supe_lcie de la e__feram-ninscrita.m+n_CCOSm-n Ath B)_ C)

m-n 1__en_ D)h2 E) -m+n

2_4

_1ADe)ts 27cR_3_ _Tçd42 _Rc__r_3A_ 528tAcD_f_l)))_______l__t 234______ ___ coMtcalc_ule lar\e2___6rE_)n))2dNle_____29reacsde

............... ._' _eome_ría

523. La tongi_d del lado de un rombo es igual a 4. 526. Una esfera de radio R, es_ a_oyada sobreUna esfera de radio R es _ngente a todos los une supe_icie hoc_ontel, la _ncidencia de los1ados deI rombo. La distancia desde eI cen_o rayo, del so_ ,obTe _e e,(e,, es con un e/,gulode 1a esfera h_ta el plano del rombo es i_al de de + _ de 3oo c_cule e_ e,a d. CaJcule el área de la regiÓn rombal. . ..

horizontal.n) a _ B) 2a _2 2C)-d A)-2 B) 2nR22D)-aR E) 2R0 25_. 5__ _ene dos esferas concéntricas, una de radio 5n2 _, y volume, vm, ob, de ,adio R y volumen vm D) nR' E)(r__R) respectivamente. Un plano tangente alaesf_ramenordete_inaenlaesferamayor 52J s e /nel a/f_.

uT_ cíTculo de áree -. 0l_le el valor de la5 SUPe_,C_eS _enerada5 POr l05 aFCOS Ma YQN a1 girar alrededor de _C una vuelta si-,gu_,en_e ,x,,e,-,o,n E -_ _Vn_ _ Vm_, 3'_

d_.d__ B)d )---

. d _ E) 3d_ _r_ 'j _3 vn _a525. S_gún Ia fig__ra AB__C=CD. C_lcule elvoIumen det sólido generado por las re3iones A _. _ B _so__hreadas. cuan_o gLran alrededor _e _Jr. c) _.

A),_3. _A q__� distancia del __en_o de una esEera seB) _3 debe kazar un plano secante a �ich_- esfera_B de modo que ef área de ta secc'_ón3 _ _ (-.-_c)-3 7 , dL d ' , _, '__/ ' formados? Adem�s el radio de Ja esfera mideD) _4 ,_'' (J_5 _._ 2)

_ ''E)4 A)J.5cm _)_cm' 'D C) 20 cmD) lcm E) l.5cm

_____s_D___________D___)_D_wo________o____00o_4_________ot_______________00p_0__0__00o0_p0_0_0__0_o___o_o_o__A__ _______t__0 ______E) 5__ _ 532DA_EocDJ)))___)__)___t____________________________________________________________________________________________________622__6_____3______0_____0_0__________0_____________________________________4____7_________________________(________(_(__________________y____________)______y_______3o__________________________________0___0_______________________________________________f_____________(___________________________________________________+_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________)___)__________________________________/___y_______)___________________________/__________________(_____________________________________________D____________________D_______________________________l_____,____________0______o_______0o______%___________0____0o_______0_0________0_____o0,_________0______l___a____a______/),_________%D___0o_v________v_____0____________)_________________________y_________________,________________________________x______________________________,____0_m4__________________________________________________o____________0___________0__________t_____B_,__o__0__________________%______________0_a__________________________________________________0___00______0_0______o_____________0__________________0__t_0s_J_______________0_________________0_________o________0_________t__t__________%0_____________a_____0____________________________________(0_______________________0__0,____c________________t____________0__________________B__________||______t______t______________________________________0____/__0_t______________/___________Aw00_) t

P_bIemas SeIectos '

529. Según ta figura, calcule fa razón de los 531. según el _á(ico mA_c _ 3oo , _qué ángulvolúmenes de los sólidos generados por las debe girar aproximadamente el semjcírcu1oregjones S, y 52, aue gjran alrededor de AD_, al_dedOI de AB _ra QUe el SÓlidO _eneradO,s_, _ __Bc__ cD. ' sea eQuiv_ente _ sector esféjco generado _rel sector circutar COD al _rar 36OO alrededorde _AB ?2

D0. , '_,:_____;:.:___.;!_i!._._'___;_____.'''.,''''.,_,_' ' , . . A 2000 ..,.,..b._.,.....;..,:..,...,._,.;.:.,....;..:.;.:.....,.;..;:.',,0o,,0o,,,.,o0__._0_,,___,o'__0,,oo,__'0o,'_,8a_0'_,0'_'"'''^ B ) 1 8oo C0 ..._,;;....,._.;;__..;;..',_..:,''',::,'':.''',__';_:_''',:_::'',::_'_::''','::n'':':',.'_.',::__:._._:;___'''_'"''''_'''______:''_:__.__'.__:___.,. ___.l .,.__i,o__.o0'___a_.'0o,8_0,_o0_'_,o0o___0____^^'^0 o ,,6_ _,0___;_.__%. ___''',,'_,__'a,,__,__:__'__':?___.__'____'' : _,'__''' '__i':, __ _._ _: _ '. , ,. ,. ' '. , _ ' __ _:,_.__i_._'_0__,,_',,,__''_00,0'0,,____,____._,0'_^'' ,_,,,,_ ,0_, ,_o_, __0'_'0'v,___ _,_______._, _._ _;_ ,^_..^_^' ,0_ :i____.,'';;' ' '' ' '' ' '' _. _ _ ,:_._ :'' ' ' _. ... _ .._.. _,. ,:.._,,,, _,,, ,_,,. _,, __o, ___, ,o _ _ __, ,_.,__, , __.. __,,_ ,g'_i. ___ ' 0 o _' _ ___ ._ _ .___^_ ,0_,^ s , ,_ , , , , _ gg_ _ .. :^D_. , , _ _ : ,; ____o_ ,i' _''0 _ _'0 , ,_ _,. __... v. _D o,, _0... _. ... ... ,_.,.. , , ._, _ ,., _ __' ___ : _' / : " ' 'i'_. '. .' _y' ___' _ _' ' ;_ ?' _ ;_ ____:_ _ __ __ ____'_,_ _'' _'__ _,e' _0__ _ _'__ ^0^ i' a' _i' ' ' ' ' E) _ 2 o o __,_,D__'__;_',_,____'o-.'_,__; _'_,___%^__0^^^'' _^^ _, ^'^%,_^'^ _^^'' '^^^^'^^,^_^_'__ ___a_, __ _-. ___ _e~ ____ '__ __'"''__"''D^''_""0_'__:'0_ __' _0'__ ' ' ''_:, '' ,;' ''' '''_ '''_ '''''_, ''_. '''_, _' ''_ :'' ' '''' ?': '_. ?'':_ '' '''' '_ii_0'__ 0 _,__i,,,,__, _'_'00_a,_o_'^__''_,__ _v _, n____ :_ _..,, . ,. ?_ __ ';__, ____.^,__;,__a,_,_,_,_,'___,,'_,,,_^__,'_,___0__'0,_,'_,__,'_,_,_,,a,^aa,_^,^_0'o,,'^,,8_%_,,,,0'._, __.,0,_o. ^,0__._D'v,__. . - ,, :A o D ''_'_,_'_^_^'_,'_''_^^''_0^_'__,__,__'__'_'_____^^^_^%__,_,%P^oP0____0_a,_^_'__''_-_:__'_^ _m- %:__a__00':__',_,__'_'___,',_^'_.',_,__'_,_,_M___________ __:___ ____''___,,0000_ O____^^_^'_,,^^__, ,^^_,,^_^_, ,^_,,^__, ,_^ ____,__,_ ,_,, , _,,j,0_>__, __'_,_, ,_, ,_'00,_,__o8,8o0__,o,__ g_%_''___. !__:5; g ;æ.._: .,_ _^. =?___%7o^__'__,a__,^_^,_,^_''__^_____'__O_,'__. i________,_n,:_~_,_,^,^_,____,___,___,,_,00,_0_^_' _8_æ4 ____ _ .. _ _ ' -_e_^0.O''_____^^_____,__o__; _^^'_,,_,_'__0,._._.,.._._....,.,,,.,.__..., ;:;. _...;_..,__.____'__,__,__,_^',,_,,,,,_0,,'_'_,__,_,,__,_,'_o,_,,0,____ _.- ;.:, ' _ .,- ;.: _ ;._ =.A) _ B ) - _'_,__^__o,o.,,_a,,,,,,,,_,,. ____,_;_;..;.:;mi:_: .. ;_;.', _ ;.;,.: =_ :, ;_;_ ; _. ;. ;,.: ;-::_=.

D) _2 E) 1: 1. n el gra lCO calcU e a SUma de vOlúmenes del_s anillos esférico_ generados por los530. En la _áfica mos_ada las regiones AOM y segm,ntos c;,cu_,,es _Ac , _,4B _ 3;ra, 36ooAB Mgeneran un cono y un _gmento es férico a t r e d e d o, d e _A D A d e m a/de una base at girar en torno al diámetro.Si dichos sólidos son equivalentes, calc_lle .,...,.,......,.,_v,_::.:_.._..._,..;_.,.._.:;..;;_,.,;______..__,u______;_.;,;_'_.:;;.''..'.._.,,,..__.......,,._ ........._. :'_:;:. ..'_'_:.....m','.'':''''''_'':::.:'''''' ''''''''' ...___'__:__;...:..;__;_,_'__!,__;.:'._:,. m. _':____.._. ___'__ :._:::.._:.;_,._.^.':____,___,___'_;,,_'_': . ' ' '' :'''''' ' . C

i.._.ii.,_._.,_'0_'_,'' '. _:.:.''____ _t__;:___.___.,.;..:_:.__ _''_'_ . . ,.___,,___._ :,;_.m__,___.,;; ;:.'_:',_.__;.,._:._.,';._,_ '.__ :_/_ _: '''_ ' ' '' ' '' ' ' '' ' ' ;

n

''t _ 3 _' _'_ o _ m +n + mn

B^ _ 3. __,0.0, :_ ;,, .. :_. 0,0, , M _ _ n,.___,'_,,_,__g,,_,'_,,,_,^_,^_,,__,,^_,^^_'_,^^_,,^,^^',,_^_^,^'_^^_,_g,,__^'_,_,^^'__^^_,'___^_,^_^__^^v^,__^_^v^_,___^'_,_,_0,g00__og,0,D,_,,vg__g._ ________..,__'_%:_,%,__,.o. __ ' ' _.D _, _, _, _,_, _,_ ', '0 _, B 0 _ ^ '_, ' _, _, ^ ',, ^ ' _,,, ^ _ ^ '_, _' _, ^ '_, _, _, '_, _ _,,, _0_,,, _ '_, ^ ' _,,, , '_,, _,, _, '_,, _ _, _D_ g, _ _ __,_ _, __ ___ _ _ ^ _^ ' v D '_ _^ 0 _P _ ^ '_ __, , ,__ _ ,.. _p _.g,. : ,,_ '.? _ _ __._ ! ' ' _ _, __ __ _,_ _^_ __, _ _,, ___ _...,. _o_ _,,o _,_ _. _. _...'^'^ __' _ _'D,_0 _%_ ___, __o _o^ __0 , ^ '^ __,, ^ _ __0,_, _, _,>_ ,__,,,g_,,_,',_, _'_' __ _M_)':,_; __ '_ '~~_____ _ _:'_v,,___ _, _ '_.' _! _ H''_8a_________^'_'_''_,^,^'_o^',,^'0_^_',^'_,^'__,___,,e___'___.___',____,._..,_..,..,___.,.,.,.,,,_.,_,.._,,,,,_;,,,,,o:_;,,,,,_.;,,,,___:,___,,;___.;_,0_,000... __ C) _^_D (m3 __ n'" + mn (m + n!J'

_3 3-t_n) 1 B) zJTmn m+n

__,_ _(__l((_(_ ))_))yxv_ ,n_______\_Rn / B_c____y___cR___ll_llJl _ttt____nt_t___tt_ft_,Dx__t____t___/_llll__l ol

.... ,........ .. ._' Geometría

5W. Enla Fi_a_calcule Ia_óndevolúmen_de 535. Según el gráfIco el volumen del sólidolos sólidos de revoluci6n que se _eneran aI generado al gi,ar el _ctor poli_na_ re_laFgir_ Ias regiones A_ y A2 a_ededor del eje e _c (___Bc__

l, es los 4 del volumen del sólido generado

e por el segmento circuIar (-EF) al girar una_elta _rededor de _2. 0lcWe x si _, // _2.

__,_ y___ __._ ?_m?_ __/,m_A_j', _____x__' ^ T; ____, ___J _ '? __,_ _y,n v0 450o__ ?,_ v, o_____________ _/__________

A - --------------_ ---'---jA)_ B)o,5 C)o,25 2R,_D)_,33 E) O,66 L_

534, En la figura P y T son puntos de tangencia. _2Calcule el volumen generado por la regiónsombreeda al girar 36oo alfededor de _p si A) 450 B) 600 C) 90^la _micircunferencia y la circunferencia son 450D) _2 E) 300OrtOgOna eS

536- Del gráfico mostrado M y N son pl_ntos_ med1os de AB y BC res_cctivamente, s_,, _, ^_ AC_12cmy mAB =6_ Calculeetvolumenx4_ deI só__do generado por la Teg_ón sombreadax al girar una vuelta aIrededor de _C.P, _\, ,___R_ g N

A) R3(n+1) ,_A o C33A) 369Tc B) 2_8_n-8l_3369n 225n3 2,+_ D)_2 Ei

267

_DcE_))) l3l65o (( _) ) _E) l8 _ A_) 2 9__

ProbIema5 Selectos '

537. Dado un cuedr3nte AOB de cenko O. se haza 54O. Catcule le medida del éngulo que forman lasuna recte g t_ngente e dich_ cuadrante. Si rectas L_ , con pendiente K, y L2 con pendientelas distancias de A y B a dicha recta son 2 y 4, K - 1calcule el �_ rea de ta superficie generada par K + 1 'el arco A_ al girar 3600 alrededoT de _.A)60a B)90o C)120oD) 135o E) 15oaA) 20_(5n-14B) _o, (3n_ 1) _l. Determine para qué valores de a la rectaL: ta+2)x+ (a2 -9)y+3a2 -8a-5 =O esJC7T-parafeta al eje X y paralela al eje Y.D} 10n(7_-20)A) a=-2;a�t3 B) a�2;a=+3n 10JT-27C) a=2; 0=3

ceomet,ía A_alít;ca Escalaf D) a=_; a=-2 E) a =-2; 0=6

5æ segu_nel,a/f;,o, m_cg-_3o_. celcu_e _, _. Hatle laecuación de la rectaque contiene alsuma de abscisas de A y C si la a_scisa en et origen y que interseca a las rectas x - Y = 3 ;punto H es 5, además la proyección de AC y = 2x + 4 en A y B ,,spect;vam,nt, de telsobre ef eje de abscisas mide _ u.manera que el origen es punto medio de AB.Y Bo_ A) 2_�x B) x-y�l C) 2x=yC D) 2x+Y=O E) 2x-y�10A H 593. Halle la ecuación de la recta que contieneuno de los catetos de un Niángufo rectángulo0 isósceles conociendo el vértice det ángulo rectoO X C = (4; 1) y ta ecuación de la Tecta que contienea la hipotenusa es 3x - Y + 5 � O.A)8 B)lo c)14x-Y=7 B) 2x+Y=C) 2y+x=7539. Si L es una recta no parafela a los ejes D) 2x+y �J E) x+y-J=OcooTuenados, y cantiene los puntos (2: 2),(O:q); (p; O) siendo p x O y q x O, calcute _ se t_ene los puntos A=(-2,, 3) y B_(12; 3)1 1 la recta l:y-x- l2--O. Caicule lasel valor de _ + -. cooTdenadas de un punto p de d,_de tal forma que AP+PB�28, además PA) 1 B) 2 c) 4 pe_enece al primer cuadrante.1 lD) -4 E) 2 A) (6; 18) B) (3; 15) C) (2; 14)D) (1; 13) E) (4; 16)

268

_548 sAD_)) (5l t_ 1)(4 l)B)p(ol t_ __) c) (_5 t_ 5) p _y _ )yo_ ndele_s Te)ctes

............... ._' teometría

_5. Halle la ecuación de ta _a_ectoria de un móvil 549. s,, g __ (2a_ .n 2,) , A u, pu,to queque se desßla2a de tal manera que laßertenece a la recta _: x = (y - 2a).IfefenCIa e OS CUa radOS e SUS I_tentlas. _2) y (4. _) es _-gual a _2 CalcuIe las coordenad_ de A (dé una de Iasre_uestas) si m_OAB = 900 y O es origende coordenadas.

B) 4x+6_=212x_3y__ _1 At (O_ 30) B) (o ; __)D) 4x-6_=21 C) (,_;3,)E) 4x-6y+2I=OD) (a_;a) E) (0__a

_6. los puntos P__ Pj y P3 5on los véMc_ de untrjángulo de _ree 5 unjdades cuedTadas. _, En el _áflco O_C es un cuadrado, en elp ( 3 3) _ cual eI área de la región O_ es al área de lal _=;; 2=-_ yi3_L_región OMC como 2 es a l. CaIcule laL=(1_l).(x;y)=0,h_el__ordenad_deP3. ,,,,c;ó, d, le ,ecta oM, s;AN_NB.

D)(5;5) E)(-5;1) A N B

_7. Se _ene una circunferen�a tangente _ eje delas abscisas, cuyo cenbo es el punto (7 ; 1). MDete_ine la ecuación de la re_a tangentede mayor inclinación a dicha circunferencia ._azada dede el punto (2 ; 6). O C X

A) 2x-5y=OA) 3x+4y-30=OB) 2x-3y�_) 3x+4y-10=OC) x-y+l=OC) 3x_4_-23=0D) 3x_5y=Ox-8y_30=E) 2x+5y�OE) x+y-3=O

55l. Halle la ecuación de Ia recta que pasa por el. Se lanza una partícula P desde el punto unto (,. b or _e _.,tersecc_.o,(-2 ; 5)_ para que intercepte a oka pa_ícula,de tra_ectorje l:3x-4_+6=O. Sj et L X+y _ _ X+y2'--- _ _'---'movimiento de P es rectiIíneo con rapidez a Oconstante de Z unid,Js, calcule el mínimotiempo en que P Io_aría su obJetivo. A) b2x _ a2 y _ a2b _ ab_ __ o

sB) 3 S C) b_x_,2 _,2b+0b2__OCt l s_' 22 2D)2 s a ' - - --E t No se _uede dete_inar E) ax + by + _b = O

269

__ ccEB))t_6((hM )) l___(o_ l) Jl g l AA_)) ______3 _2_gB))t2___ cc_))______cu1y_o

P_bIemas SeIectos '__............. , ,.

552. Se_n el _áfico determine la ecuación de la 555. Dedos los vecto,es _, = (1 .,_ _) ., b = (1 .,2)rectaquepasaporMyNsi m_MCN�900' _ 2 3 s v _ b _ _ g_ 2, C= _ . l C=f0+S _caCUe +SademaS eS Un CUa fa O e a O8,5 uyAM= 5u.A)27 B)18 C)26'y D)25 E) 15B N._, 556. En la figura, ABCD es un paralelogramo, M Æ' punto medio de t1D. Si AH � mAB + nMC___ ; 2 3_ _\ ; calcute -m - -n

'\\\ _ B cO C xHA) 5x-12_+42�OB) 5x+12y-42--O_2x_5y+42__o A M DD) 12x+5y-42=0 11 116 6x+5_-2 �l3D) -2 E) --6553. la medida de la inclinación de dos rectas es0, una de ellas pasa por el punto (p ; q) y la 557. se tiene un exágono re_ler ABcDEF,Oka pOr el pUntO (h; k) , CalCUle la diStanCia ledo es de longjtud a. _M es punto medio deenNe d'_ches rectas. - _ _ _ _ _Ef. Calcule CB + Cf + AD + DE + CM

A) (h - p )sen0 - (h - q )cos0 0 a a2 3 79+p sen0+ h+q COSD) a_ E) a_C) (h + p)sen0 - (h + q)cos0558. En un Niángulo ABC se tr_a ta mediana CM;D) (h - p )c_s0 - (h - q )sen0 -B Nes la medlana del blángulo BCM, luegoE) (2h + p)_s0- (h - 2q)sen0 Par M se b_a una Paralela al se_mento BN,dicha paralela interseca _ lado AC en el punto/ ,. . f, el segmento AN interseca aI segmento fMeOmetfl_ A_a ItICa VertDfla _en el punto T. Halle el vector fT en funciónde los vectores CA y _B.554. Si el vector a= (l;18) es expresado comov v v v _ _ _ ? A 4CA+_AB -_C+_Ba� X+y Y X /b ; y!/c _Sl b= -l;4;

c = (2m ; 3m), halIe x - 2_cA + 3_Agc)n)(_i_,4) B)(-z;8) c)(-3J_12) _Ac _ _ 3_AB+3AB 2CA+24 l2

170

_AD__))oF(___tFl_Ftlt_)_b_ t_Bg) FbN Ecc))vv___F 563_sl_)2t2_2( t _)h )fl__ t3 _) _5__ ant 1os

.............. ._' Geometr!a

569. En el kiánNlo PQR, se tiene Que MC/;' PR y 562. Dados los ve_ores a= (1 _ 3) y b_ (x; y)

que _ y QB son medianas del bi_n_lo. s,- ?a.^___3 ,., _a__b__ (__x_.2) ,_cu_e_+ y2.

Si _ cumpte que RM = sMC + tPQ, calcules+t. _ _12a. D) 2 E) _1

_ (2_-4)_ _ d� a1 __2 '_ =_ tlenen amtSma

A dirección pero sentido apuesto. SiMa_ +aj � 25, a e a2-01.

p R A)3_ B)2_ C)4D)5 E) 3_5 5 3A) --3 B) --2 C) --5 5_ A _os 1,dos de un __._n__o _ _oc,,

ll vectores 0, b __-b. Si a=6 ; b=2 _3 _b- _5_ c_cule Comp_ba-Comp_0_.

560. Si Ò y b son ve_ores no nulos, determineel va_o, de _,,,dad de.. A _5 B 1 c_ 22 8 3I. _.b=a.b3 4_l l?_ Dt- E)-. a+b =o+

â bIII. û____! essiemPreunve_orunitario. 565. Si à_(Q+-2); _ro__á=(-3_3)_at bComp_,â>O ,c_cule Comp 0.b b

D)nN E)nFn)v_2 B)1 c)-_

561. Encuent_e el valo_ m/_nimo de I_af si D) -1 E) 2_

l_al_(3s-l_s-_) donde s__. 566.se,n _m y ?n dos ve,o,es u,_,,a,-,fo_an un ángulo de 600, dados los vectores_ a = 3_m - _n ; b= 2_m mn , caIcWe Comp__a.-2 Bi 2

s 7c) 2 -, _)_

75 E 3_ Dt-2_ Ej-2 2

271

_DLt)l 5(( _)l_t( _)3) _ _ )_t_3 p L L_____44____33y____ll l

P_b Iema_ Se Iecto_ '_.............,..

_ _ dos ve_o,es un_.ta,._os que 57l. L es una recta que contiene at punto (8; 3)- ean m Y n._nan un a,n lo ue m._de 53o Dados cuya intersección con el eje de ordenadas et_ negativa y cuya pendiente es _ositiva. Llos vectores Ó=5m-6_n y b =3n-5m, dete_,.nacon_oseJ.escoo,denadosuna_g_.o/c_cWe comp_-a. tf__angule, de _2 un__dades de per/_Encuentre la ecuación vectorial y la ecuaci6nA) Z B) 3 C) 4 con las coordenadas al origen L.D)5 E) -4A) L ; {(8 ;3)+ t(4;3)} te _568. Sean las re_as _ y _ de pendientes m_ y xL:-+-=lm2 feS__iVamente QUe _ lntefSeCan en _ arec{a _ interseca a _ y _2 en A YB_ B) L;((4__o)+r(4;3))_eR

respec_ivamente. l__Al_8 ; l__Bl=3 y L:_-_=_3 Qademás ---= 2_. Si m_.m2=l,m2 m_ C) L:((8;3)+t(_;3)}t_Rcalcule l_ABl. L.x y4 Q

A) 4_ ' B) 5 C) 6_ D) L;{(8;3)+t(4_,3)}teRD) 7 E) 8L :nX--y_l569. En un triángulo ABC_ con B=(3 ; 4};_ E) L :((O;-3)+ _(4 ;-3)) _e _: l;-l +t l;1 e5lab__delángWOx yBAC_ _,nBC=(Q), N=(11;O) es un 6 4

punto en la prolongación de BC ta l que 5 7 2 1 d d. LOS a OS e Un re__nN 0 SOn taleS QUe dOS2BC = BQ + BN. C_cule la r_ón enke l_ de ellos distan 3_ unidades del puntoIongitudesde l_ladosAByACdelbián_lo. a=(__, 5) y los o_os distan 5_ unidedesde Q y la medida de la inclinación de estos4 1 5 nA) - B) - c) - úttimos lados es -4 radianes. Determine laecuación vectoriaI de una recta que contenga_2 E 3 a uno de los l,dos_ t,l q,e s, o,den,d, a13 5 or._genseamax, __

5TO, Dados los puntos A-- (9; l) y B--(3_ 4) A) L .. ((2.,o)+ t(_,+_))t_ _las distancias respectivas a la recta? B) L: ((5;3)+ t(l;I))t_ _:((3;4)+t(4;3)};te_ sonayb. Catcule__,+b C) L: ((7;7)+ t(l :1))te _

' D) L :((-8;lO)+t(l;l))te _A) O B) 6 C) 12D) 3 E) 4 Et L:((-6;2)+r(-l:l))r__

272

5_7q m_cc_)())l_7T_(5_l2+t(5)t)1)2/5)c(Bdt_))/()/_) __/ c1) _ 2__ 57__ EAc__d))c_e__n___ho43xx__6++ellu+_lenf4a/emqcuel_r_t_cr2ou_snedfadeoe Br_en)1neeq_cru_l___e__e_e_rg3ecnsubdnetl+l_sdfclee2uprclteueaennrcxloal1_eaae

' Geometría

573_ Dades las rectas l,:(O:l)+t(2;l) y A) (x-l)' _(y+5)2 =l6

L_:(-2_3)+s(_l:2)_ haIIe la ecuación B) (x-1)'+(y+5)'=l6ve_oria1 de una de las bix_ices de_ ánguIofo,m,d, o, d,_,h,, ,gct,,. C) (X'5) ' (Y_1) __ 162 2X_ - _'+ _lA) _-(l;3)+t(l;3)it_iR E) (x+1) _(y-5) _25

l 577. Determine la ecuaci�_n de la recta que_) -(1:3)+t(1i3)Jt__ conc._ene a_ d,.

2+ _;3 +t(I;3 /t__ X _ - X -y_ --D _ 1.3 +t _.3 te_ CUeTda CU_a eCUaCiÓn eS 3y+X"6=0 +

Q 3Ej __;_-_ tt 1;3 /te_ - - XJ

D) y=5x+l1 E) y=3x-1l0nlCaS

578. Una recta _ _3sa pur el _unto (1- l) de la, a CU e e area e fa re_lOn de_ _ anO, CUyOS 'untos veTif_cen circu_ferencia dc ecu__ión x2 -_ 2x + _2 _ O2 2 y fOrma Un án9lllO de 450 COn el e_!e X. Ha1tex_1 +y 51 te ecuec_.o/n _e te recta ten entex+_>0 c-_rcunfe,enc-l_-x+2>O 'cUyO pUntO de tan Qenc1a Se encuen_a enel _rimer cuedrante.

n_32 n_i_ _+322 '_ -__-U _2 U A) y+x=_-l _) _+x=_

2 ,+1 , C) _+x__+lD) _u E) _u_ DJ _+x=-_ E) _-x=1

575. CaIcule 1a distancia del munto de lac;,cunfe,.encia 16,? + 16 2 + _x 8 43_o- - C(3: -lj, la recta 2x_5_+l__O intersecamás próxima a ta recta _ sabiendo q!_e h -' a lî a CIrCUn erenCla eteCm1 n a n O U n __:8x_4_+73=O cuerda de 6 u. HaIle la ecueción de estc ircunferenci2.

A) 3_ B) __ C) __5' )�_ X" + y'_ _-Dt 4J5 E) 5 '2 2X+ r! y+ _

576_ D,dos los puntos A -_ (_4 _"2) _ B -- (6 ;- 8), C) (x + 3)' __ (_u - l )' _ 3_halje 1a ecuación de_ Iugar geométrico de1_,_.,,,toptei ,eez roduct,del,s e,d;ent,,_ _i t_-_3)_ _! (_ t_ _,ì^ _38de los segmentos PA y P_ es iguaI a l. _ ) (x _ 3 )2 _, (' _ _, 1__ /).�' _. 3 6

273

58__ leD_xn_))cu+66e__y(n_tra_ _28_0)____J___5____x_ m2 de un_eqd_ e l_e_stvlo_3__)s_ 2 _ne _D_))_9_od__e_2p_4,_N__ls _ BE()2___0a)E___)2aN+b_4+ty_a_b,sx_e__nb1oesuss

Problemas Sei_ctos '

'' ' t '_ ,2__

parábote, l_6 es le direc_iz. Celcule el éree halle le eCUaClÓn de le ClrCUnfeTenCia CU__'de la regj_-ón s_mbrea_',_a. Cen_O eSt__' en el Ve'_lCe de la peTábOla a*Uepasa por los exkemos def lado rect0_ .....___'._ _:_::;:.__'_. A) _+,2 _o B) _+,2... ' : _''?: _., __ '_ :_ __ _ :. ''______''_':.._' _ _ 2,;;.;'''__:'___'_,..'''.__.'::_...:.:..:;.:._',;.,_. L,, Cj! +_ =30._..____i''''_:_:' __ ':_.'_ '"..:_.;_.:''_'_.'_:''_. D + 2_5 _ + 2_4__ ____'"__:''__'':__ i''_:_':__ _':_'_ _';__,':''_:_'''__ :__::';_:_.;'__0 ^ -','2' ;:;__;:_''___;,_:i:__.:___..__s__' ',, '''' _ Se _iene d_s p2;�bolas con et __ismo ladore_to pero vértices diferentes. Catcule laA) ZO _) 3O C) 40 medida del éngulo que formen 1as rectD) 5o E) 8o ten3en_,, e ced, una de las para/punto de inter._cción.. Determine l_ ecua�ión de una parábola cuyofoco es el centro de fa circunfer_ncieA)600 B)450 C)3002 2 se_;endo ue elle determi- , - ' OSe Sa een el diémetr_ que está en el eje X_ tre_ssegmentos con_ruentes. 585_ H_iie _e ecuervi_n _e_ lugeT geom�trico de __untos (x;_a) que son vé_ices de l0s kián_losA .+3 _ _ B) 3 +_ _x2 ABp lefi Ta iendo +an +ten __- '-2 ' ' -3_ 2 YC) 6 _+- =x P(X:_)'2 '

3_,___ =x E) 6(_-3)=x

(_ _._. Et cable del puenc_e rot3a_t_/ de la figura t_iene A (_ 2. o j oIa forma _,_' e una par�_ _ole, las dos torTes se 'encuenkar_ n una _!stancia de 150 m entre _í A) _�4+2_ B) __2__-4y los puntos de sop0_e del _ble en las torres c) _ _ 4-2se hallan a 22 m __0bre la caIza_a_ adem�s etp4nto m2, b_)o dei cable se encuen_a a / msobre dicha __nl_eda. r_,3_cule sobre la ca,tz___e' 2 2a distancie d5 un punto del cable que se 586 E n 1 e e _., s e c u e 2_ u a c j. _, n e s X_ ' 2 2 '

__!-r_ calcule eI área de la región sorr_breada si15m '' Gble 2-- 2 l_ 2SOn oC_S e aelPSe'p __.; li!_'(i ;,.,!, ti lm !! _!'!:! l _ 't 22m A)2a '1- .. ! . ''!_ _'E Jm B) a 1 2_ 0.. _'____,....;;_:;,._,_... '' .'_e. ',....................,..,........,................. ...... c__ _ 2 '.;::':_;__:::_''.:..'_._''''_'',....'__.'''''''''''''''''''''' ' ''' ''''' '''_^____' ___ '' ''' ''' ' p_ :_ __':/':'_:''. __'_:.._.:. ___'D) ab ''_'''_'_::_,:'._.:'_;_;::'__:'_'':_:___:_'''''.''_;;A) 16 m B) 15,6 m C) l6_6 m E) 2ab __'_''_:__'''___'.:___;^'__'_D) l4m Ej 14_6m Q

t74

5_90 cAEDpx))x) _a2___a_q__b __l_l p_J_)q___1pd>4d_o_lb__a_>o_ Et_) ,_n__bb_2 9_ _ 592_cD)c5H_3___gt_/__b_flf____ _____ _d_ _n__t_odte_tEs)f__25eo_s_u_n__de

' Geomet_ía

587. Sean F, y F2 Ios focos de una eli__ de ecuación 59l. _n una elir_se la distancia en_e sw focos es_ __ 1gua1 a Ia distancia en_e un v__ce y un exkemo-_6 + -_2 --- 1 y sea P un _unto de _a elip_e. Si de1 eje men0r. Calcule la excenNicidad de Jaeli_se.mqPf,f2 = 90' , c/alcu_e ef área de la rc_ió' nf

l P f2._ n)__o B)_5 c) -5A) 3 B) 6 C) 9n) 12 E) 18 _ 2__) -_ o E)588. EI árca de ta regián limitada _or u1_ cua�_adoinscrit_ en u_a etipse con _cuación. En eI _á- fiCo se muestra ta hl_erbOla M_ C_cule2 i-2 T' -2 � 1 es x si _ es una de suS asI-0 b 1 1 lsus _o_s y _r_ es uno de sus vé_ces (Vj _untode tan encie!2 '_ 2 2 l _ l'At___j B)_jb_ C)-_bj0i a+ 0+H L4a2b2 a2z bj ._ _aa b2Oaf_ XxU_589. Sea 1a eli_se de e__uaci_n2 + 2

Determine __s ecuaciones de las re�jas dependi_nte m 4ue s__J tangen. tes a la etipse.

. A) 3_O B) 200 Cj 3702_�mX-+PQ i

BJ _=mxt Jp-qm 2 5 9 3 una ClrCUn erenCla e ra IU Var1a e eSC) _'=mxtpq _tangente a la ClrCUnferencla X_ r _ + 8x --- _D) _ �mxt _ y contiene al punto A(4;ot. _au2/ lugargeomé_ico dexribe su cen_o:__=mX_.

A)Elipse. En una eli_se el lado Tecto es __isto desde el BI_7ef OaCenXU de a Cun1_ ba)O Un ángU O de OO) lrcunefenclaalCUle la Ongltu e SemleJe m_nOr Sl elsemjeje mayoT tjene longi_d 4+ D) Una TeCtaE) Parábola

, ( _ _ _ ! i _ + 1 '! 5g4 _n,,cu,, ,, ,o,,.,,, ,e_ s,_,,,o!_ Z _ ( 2 ce,_,deun,h,._,rbo,ae u,._a,t-(pFj(pFj 2__ l' 2- 1 _SOn'OSc ) a _4 focos de la himérbola).

_- _)4a B) 3a C)0-l E _'__l0 O- a

275

_AA))))) 3_6_cm B)) _642 cm c))) 2_3o2cmAD)))__________________n0__________________________h______________x_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________t_________________r_____________________t_____________________________________t_________t_________________________________/____________________r_________________D___________0________________________________________0___________0________t______00__0___________0___________0_______0___D___________0____0_________________t___________________0__________0______0_________0_________o_____________0h______h______________________________________r_0______o____________p_______00____v_0__n_00______________________0___________y____00_____________n____________________y______________n_____t____________0_______________________________y_______n__________________________*_____0______________ns__________Emy0___0o__x_____t______________0_________o_________0_n____t0o____r__)_____)______4___t_______________r______________t_____________________t_______________________t_____t______________h_____________8____1TR____D3

Problemas Select0s '_................

595, Si desde un punto P de la hipérbola 599. En la figura se muestra una semiesfera deb2x2 _ ,2y2 __ a2b2 se t,e2e una peTelete al radio R y en ella se ha ins_ito un cono oblicuo.e foce_ de _e cu_a q,e _.nte,seca a _as de vé_ice A y cu_a base es un círculo menor_ntotas e, a y R calcule (pa)(pR) cu_o único punto en comun con el círcuIomáximo es B. Calcule eI volumen máximo de2 g) 3a2 c) d dicho cono.2

Máximos y Mínimos ,...,...,......;;:,..__._..,,..;:.__',_i..,_.:::',...___;._;_'_.::',..:__:.:__.:_.____,._.._;:;_:_,_.:_._;_;:,_'__,...__';.::__;.;..,....:_--;___--___._,.___.=____-._n---:_---=;_;_.n___==_'..=.0,-,..,,,_,__D___:0_-__D_-=._.=:---__,_-_:==___,_=,n_-___==_-,._--,:---_.-=_.=_:=__-_---_--___;=__;._.-==_;___--_-:_=_:y;,-___.;_,........, _'''i_''''''_.;._:._,_.......5_. c,1cul, l, ,l_,, del co,o ci,cule, ,ecto d, A 6,_m_'':''_:__'''_i'__'___''_,''___.__'___,''_,____::':____..._._.._.._.:__.'_.._-._;__0___-^',,'_,-:-_,;--'_.-_.;._;__-;_--._;,;--,m;-:;_--__:______O;;-_::_--_-_--_i_--_---.;__'----'_-.-'_--0___--_'_.:____---,-__,__0,--._-_.;-___o_=_---____.--.._-:.,----__--._. _:_,--'-__;.-__,_'_.0:-=0-_,_,,__o-_--,'_o,__,;-.--_,o;i___-;.-__-:;---,;;_;--=--^_--__--:_,_;--__:--;;_:__:--__--'o_-_=---__:,---__-:,-_-;_-=-_-___,__;-_,_,_,_m_;:._''''._;___V;_'_:__5__:_.___:_____;.. _'volumen mínimo que se puede circunscfjbir ' ''__' _ ___'__'-'_^'^_00__'__-____-_.-_0'o__--_^'___-d,,_'____-_D^',,_:,o__'o_,_-_-'_-:___:-_-::_^--_j0,^__-_P-::0___ _;___'^',0_'_',__'_^--^_0-___0_P--.'_O_'^-_'-'-'o_;:^_,:,__-O___5^^-'0___'0_'-'""' 'a una esfera de Q cm de radio.4_3_3B)4_3 c)_2__9 9D)24cm E)lOcm 4 3 4_3 27_. En une semicircunferencie de diámeko ADse inscribe et _apecio _CD. Si AD_4 m, 600. Celcule el área de la supe_icie lateral máximacalcu1e el áree méxima de la región del tronco de cono circuIar recto. sicuadranguler ABCD. AB +BC +C0 +AD -- K.

2B)4z c)g2 B_Cm m m 0. ...D)6m2 E) 4_m2

_. Una esfera de radio 0 está inscrita en unapirámide regular cuadrangular de la cual se A ...__....:.._..._.^:_ . '. . ' .'. _ _: .. ..pide su volumen mínimo. ' '''_'_''____:'______._;__'__.;.:.'_.'___._;: ''__;:.,_''.'; ... _. ".., :;,'..,,.,:,,;';_,'_:':s,_';,_,,,___,;:;,:._'.____..._':.;.:_,::___::__''_'_: ''' '

2 2 Z3 g_a_ c 33 3 2 4 8

Dt_5a3 E) l6a'1 D)_^ E)

t76

__G _ _ _ _ ;_ _ _____r_l____________________n_y__________

_ _,_,,,__, _e__et___ _/n____, _,-?____,__/!_____.,x_-,,__, ____;_,, ____;'_____'_,_%_'__'_,,,'_,,__,,__,a_%____;___x ;.',-;''_/.',_,_____ym______,' ,,,m_ n'' '_n''_-"-__"''mmn ____ v''''''v ''''mn'''_____5_'_!-:__'_?-_ ________:_'_ ___,0,_0_oa' ___a'^,_^^^^,^,_,_, __^a''c^ __' ___, _____ ________,__""'_''vmo_0_0_'____,,8,, ___,^^_^^o "_a__,),)__,__,^^,,__,_,,,,,,___:____x__, _,_,,,,___%_,^____'__',,_d__a__,a______,^___,_'_,^_,_,,,,,_,0,,, ____,__v;;;_____' _ '8_^_,_'_o^, u

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