giai bai tap ly thuyet tin hieu

Bài tập Lý Thuyết Tín Hi ệu sưu tầm bởi Tr ần Văn Thượng

Trang 1

Bài 1.1. Hãy tính tích phân, năng lượng, ñộ rộng trung bình của các tín hiệu sau ñây:

a) ( ) ( )ttx Λ= d) ( ) ttetx −=

b) ( ) 2tetx π−= e) ( ) ( ) ( )tetetx tt 112 −+−=

c) ( )21

1

ttx

+= f) ( )

Π=π3

cost

ttx

Giải

a)Tích phân của tín hiệu là:

[ ] ( )∫∞

∞−= dttxx ( ) ( )∫ ∫−

−++=0

1

1

011 dttdtt

( )∫ −=1

012 dtt

1

0

2

2

1

−= tt

−=2

112 1=

Năng lượng của tín hiệu là:

( )[ ]∫∞

∞−= dttxEx

2 ( ) dtt∫ −=1

0

212

( ) 1

0

313

2t−−=

3

2=

b) ( ) 2tetx π−=

*Tích phân của tín hiệu là:

[ ] ( )∫∞

∞−= dttxx ( )

∫∞

∞−

−= dte t2π

ðặt I ( )∫

∞

∞−

−= dte t2π

dyedxeI yx ∫∫ −−=⇒ ππ2

( )dxdye yx

∫∫+−=

22π

ñặt ϕcosrx = và ϕsinry =


Trang 2

∫∫∞ −=⇒0

2

0

2 2

rdredI rππϕ ∫

∞ −×=0

22

2

12 dre rππ

2

0

re π−= −∞

1=

1=⇒ I

*Năng lượng của tín hiệu là:

( )[ ]∫∞

∞−= dttxEx

2 ( )∫

∞

∞−

−= dte t22π

ðặt M ( )∫

∞

∞−

−= dte t 22π

dyedxeM yx

∫∫−−=⇒

22 222 ππ

( )dxdye yx

∫∫+−=

222π

ñặt ϕcosrx = và ϕsinry =

∫∫∞ −=⇒0

22

0

2 2

rdredM rππϕ ∫

∞ −×=0

22 2

2

12 dre rππ

22

2

1

0

re π−=−

∞

2

1=

⇒ ( )[ ]∫∞

∞−= dttxEx

2 M=2

2=

c) ( )21

1

ttx

+=

* Tích phân của tín hiệu là:

[ ]

πππ =+=

=+

= ∞

∞−

∞

∞−∫

22

1

1)(

2acrtgtdt

ttx

* Năng lượng của tín hiệu là:

( )[ ]∫∞

∞−= dttxEx

2 = ∫∞

∞− +dt

t 22 )1(

1


Trang 3

ðặt tgut =

( )

( )24

1

22sin4

1)12(cos

2

1

coscos

1cos

cos

1

)1(

1

2

2

2

2

2

2

22

2

24

2

2

222

πππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

=+=

+=+=

==

+=⇒

∫

∫∫

∫

−−

−−

−

uuduu

ududuu

u

duuutg

Ex

d) ( ) ttetx −=


[ ]

( ) ( )011

0

0

0

0

=+−=

++−=

+=

∞−−

∞−

∞−

∞−∫∫

tttt

tt

eteete

dttedttex


( )[ ]∫∞

∞−= dttxEx

2

2

1

4

1

4

1

4

1

2

1

2

1

4

1

2

1

2

1

0

2222

0

2222

0

220

22

=+=

++−

+−=

+=

∞−−−

∞−

∞−

∞−∫∫

tttttt

tt

eteeteteet

dtetdtet

e) ( ) ( ) ( )tetetx tt 112 −+−=



Trang 4

[ ]

2

31

2

1

2

10

02

0

02

=+=−=

+=

∞−

∞−

∞−

∞−∫∫

tt

tt

ee

dtedtex


( )[ ]∫∞

∞−= dttxEx

2

4

3

2

1

4

1

2

1

4

1

0

20

4

0

20

4

=+=−=

+=

∞−

∞−

∞−

∞−∫∫

tt

tt

ee

dtedte

f) ( )

Π=π3

cost

ttx


[ ]

211sin

cos

2

3

2

3

2

3

2

3

−=−−==

=

−

−

∫

π

π

π

π

t

tdtx


( )[ ]

( )

( )

( )2

333

4

1

2cos24

1

2sin12

1cos

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

πππ

π

π

π

π

π

π

=+=

+=

−==

=

−

−−

∞

∞−

∫∫

∫

tt

dtttdt

dttxEx


Trang 5

Bài 1.2 Dòng ñiện i(t) = Ie tβ− 1(t) chạy qua ñiện trở R .Hãy tìm : a )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞) b )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β)

Giải

a)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞) là:

E = )()(2

0

tdtiR∫∞

= )(2

0

tdIeR t

∫∞

−β

= )(2

0

2 tdeRI t∫∞

−β

= ∞−

− 02

2

2te

RI β

β

= )10(2

2

−− βRI

=β2

2RI

b)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β) là :

E = )()(2/1

0

tdtiR ∫β

= )(2/1

0

tdIeR t

∫−

ββ

= )(2/1

0

2 tdeRI t

∫−

ββ

= ββ

β/1

02

2

2te

RI −

−

= )1(2

22

−−

−eRI

β

=β2

865.02RI


Trang 6

Bài 1.3 Hãy tìm thành phần chẵn , lẻ của các tín hiệu sau ñây và chứng minh rằng các thành phần này trực giao , năng lượng cùa tín hiệu bằng tổng các năng lượng thành phần:

Giải

a)Ta có:

x(t) = A ( 1- T

t )[ 1(t)-1(t-T) ]

* Thành phần chẵn của tín hiệu là:

x ch = 2

1 [x(t) + x(-t)]

= 2

1 (A ( 1- T

t )[ 1(t)-1(t-T)] + A ( 1+T

t )[ 1(-t)- 1(-t-T)] )

= 2

1 A

ΛT

t

* Thành phần lẻ của tín hiệu là

x le = 2

1 (A ( 1- T

t )[ 1(t)-1(t-T)] - A ( 1+T

t )[ 1(-t)-1(-t-T)] )

= 2

1 A

ΛT

t sgn(t)

Xét tích vô hướng sau

dttxtxT

T

lech )(*)(∫−

=4

1 A 2 ∫−

+−−T

T

dtT

t

T

t])1()1[( 22 =0

→ thành phần này trực giao Năng lượng của tín hiệu là:


Trang 7

E x = A 2 dtT

tT2

0

)1(∫ − = A 2 (t-T

t 2

+T

t

3

3

) T

0= A 2

3

T

Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:

Ech = 4

1 A 2 ( dtT

t

T

20

)1(∫−

+ + dtT

tT2

0

)1(∫ − ) = 4

1 A 2

3

2T =A 2

6

T

Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:

E le = 4

1 A 2 ( dtT

t

T

20

)1(∫−

+ + dtT

tT2

0

)1(∫ − ) = A 2

6

T

→ Ex = Ech + Ele = A 2

3

T

b) Ta có x(t) = e tα− 1(t)


x ch (t) =

2

1 [e tα− 1(t) + e tα 1(-t)]= 2

1 e tα−

* Thành phần lẻ của tín hiệu là:


Trang 8

x le (t) =

2

1 [e tα− 1(t) - e tα 1(-t)]= 2

1 e tα− sgn(t)

Xét tích vô hướng sau

dttxtx lech )(*)(∫∞

∞−

= 4

1dttete tt )](1)(1[ 22 −−∫

∞

∞−

− αα

= -4

1dte t∫

∞−

02α +

4

1dte t∫

∞−

0

2α

= α8

1 (-e tα2 0

∞− + e tα2− ∞

0)= 0


Ex = dte t∫∞

−

0

2α

= -α2

1 e tα2− ∞

0=

α2

1


Ech =4

1 ( ∫∞−

02 dte tα + dte t∫

∞−

0

2α )= α4

1

Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:

Ele = 4

1 ( dte t∫∞−

02α + dte t∫

∞−

0

2α )= α4

1

Ta có Ex = Ech +E le = α2

1

c) x(t) = e tα− sin( tω )1(t)


Trang 9


xch =

2

1 [ e tα− sin( tω )1(t) - e tα sin( tω )1(-t) ]

= 2

1 e tα− sin( tω )sgn(t)


xle =

2

1 [ e tα− sin( tω )1(t) + e tα sin( tω )1(-t) ]


Trang 10

= 2

1 e tα− sin( tω )

Xét tích vô hướng sau:


∞−

( ) ( )

( ) ( )

0)(2)(28

1

2cos8

12cos

8

1

16

1

2cos18

12cos1

8

1

sin4

1sin

4

1

2222

0

20

202

0

2

02

0

2

022

0

22

=

+−

+=

−+

+−=

−−−=

−=

∫∫

∫∫

∫∫

∞−

∞−∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

ωαα

ωαα

ωωα

ωω

ωω

αααα

αα

αα

tdtetdteee

dttedtte

dttedtte

tttt

tt

tt


)(

1

)(sin

22

0

22

ωαα

α

ωα

++=

= ∫∞

− dtteE t


)(22

1

)(44

1

)(44

1

)(sin4

1)(sin

4

1

22

2222

022

0

22

ωαα

α

ωαα

αωαα

α

ωω αα

++=

+++

++=

+= ∫∫∞−

∞− dttedtteE tt

ch

Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ:

)(22

1

)(44

1

)(44

1

)(sin4

1)(sin

4

1

22

2222

022

0

22

ωαα

α

ωαα

αωαα

α

ωω αα

++=

+++

++=

+= ∫∫∞−

∞− dttedtteE tt

le

Ta có Ex = Ech +E le


Trang 11

d) x(t) = (t+1)2 ∏ 2

t


xch = 2

1 [(t+1) 2 ∏ 2

t + (1-t)2 ∏ −2

t ]

= (t2 +1) ∏ 2

t


xle = 2

1 [(t+1) 2 ∏ 2

t - (1-t)2 ∏ −2

t ]

= 2t∏ 2

t

Xét tích vô hướng sau:


∞−

012

11

2

1

2

1

)1(2

1

1

24

1

1

2

=−−+=

+=

+=

−

−∫

tt

dttt



Trang 12

3

82

3

4

5

2

23

2

5

1

)1424(

)12(

)1(

1

1

2345

1

1

234

1

1

22

1

1

4

=++=

++++=

++++=

++=

+=

−

−

−

−

∫

∫

∫

ttttt

dttttt

dttt

dttE


15

562

3

4

5

2

3

2

5

1

)12(

)1(

1

1

35

1

1

24

1

1

22

=++=

++=

++=

+=

−

−

−

∫

∫

ttt

dttt

dttE

Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ:

3

8

3

4

4

1

1

3

1

1

2

==

=

−

−∫

t

dttE

Ta có Ex ≠ Ech +E le Bài 1.4. Hãy tìm thành phần chẵn, lẻ của các tín hiệu sau. Trong mỗi trường hợp hãy chứng minh rằng các thành phần ñó trực giao và công suất trung bình của mỗi tín hiệu bằng tổng công suất trung bình thành phần.

a) tjetx ω=)( b) )(1)( ttx =

c) )(1)1()( tetx tα−−=

d)

−=2

1)( ttx δ


Trang 13

e)

+=4

cos)(πωtAtx

Giải

a) tjetx ω=)( Thành phần chẵn của tín hiệu là:

teetx tjtjch ωωω cos][

2

1)( =+= −

Thành phần lẻ của tín hiệu là:

tjeetx tjtjl ωωω sin][

2

1)( =−= −

Xét tích vô hướng

dttjt

dtxx lch

)sin(cos∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

∗

−= ωω

0sin2

1

)(sin)sin(1

0

2

0

=−=

−= ∫T

T

tj

tdtj

ωω

ωωω

Vậy hàm trực giao. Năng lượng của tín hiệu là:

( )[ ] 014cos4

1

)1(4

1

2

11

.1

4

0

2

0

2

=−=

−=

=

= ∫

ππ

π

ω

π

ω

ω

j

ej

ejT

dteT

p

j

T

tj

Ttj

x

Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:


Trang 14

2

1

)2sin2(2

1

2

1

)2cos1(2

1

)(cos1

0

0

0

2

=

+=

+=

=

∫

∫

T

T

T

x

ttT

dttT

dttT

pch

ωωω

ω

ω

Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:

2

1

)2sin2(2

1

2

1

)2cos1(2

1

)(sin1

0

0

0

2

−=

−−=

−−=

−=

∫

∫

T

T

T

x

ttT

dttT

dttT

Pl

ωωω

ω

ω

lch xxx ppp +=

b) )(1)( ttx = Thành phần chẵn của tín hiệu là:

2

1)( =txch


)](1)(1[2

1)( tttxl −−=


0)](1)(1[4

1)(* 22

2

1

=−−=∫ ttdttxx l

t

t

ch


Trang 15


∫ ==→

T

Tx dt

Tp

00 2

11

2

1lim


4

1

4

1

2

1lim

0== ∫

−→dt

Tp

T

TTxch


4

1]

4

1

2

1

4

1

2

1[

0

0

0lim =+= ∫∫

−→dt

Tdt

Tp

T

TTxl

lch xxx ppp +=

c) )(1)1()( tetx tα−−=

Thành phần chẵn của tín hiệu là:

)1(2

1)( t

ch etx α−−=


)](1)1()(1)1[(2

1)( tetex tt

tl −−−− −=

αα

Năng lượng của tín hiệu là:


Trang 16

2

1

2

12

2

12

2

1

2

12

2

1

)21(2

1

)1(2

1

2

0

2

0

2

0

2

lim

lim

lim

lim

=

+−−+=

−+=

+−=

−=

−−

∞→

−−

∞→

−−

∞→

−

∞→

∫

∫

αααα

αα

αα

αα

αα

α

TT

T

T

tt

T

Ttt

T

Tt

Tx

eeTT

eetT

dteeT

dteT

p


4

1

14142

8

1

2

12

2

12

2

12

2

12

8

1

2

12

2

12

8

1

])21()21([8

1

])1(4

1)1(

4

1[

2

1

2

22

0

2

0

2

02

0

2

02

0

2

lim

lim

lim

lim

lim

=

+−−+=

−+++−+

+−−+=

+−+

−+=

+−++−=

−+−=

−−

∞→

−−−−

∞→

−

−−

∞→

−

−−

∞→

−

−

∞→

∫∫

∫∫

αααα

αααααααα

αααα

αα

αααα

αααα

αααα

αα

TT

T

TTTT

T

T

tt

T

tt

T

T

ttT

tt

T

T

tT

t

Tx

eeTT

eeTeeTT

eeteetT

dteedteeT

dtedteT

pch


−+++−+

+−−+=

+−+

−+=

+−++−=

−+−=

−−−−

∞→

−

−−

∞→

−

−−

∞→

−

−

∞→

∫∫

∫∫

TTTT

T

T

tt

T

tt

T

T

ttT

tt

T

T

tT

t

Tx

eeTeeTT

eeteetT

dteedteeT

dtedteT

pl

αααα

αααα

αααα

αα

αααααααα

αααα

22

0

2

0

2

02

0

2

02

0

2

2

12

2

12

2

12

2

12

8

1

2

12

2

12

8

1

)21()21(8

1

)1(4

1)1(

4

1

2

1

lim

lim

lim

lim


Trang 17

4

1

14142

8

1 2lim

=

+−−+= −−

∞→ αααααα TT

T

eeTT

lch xxx ppp +=


dtxx lch.∫+∞

∞−

01414

2

1lim

2

12

2

12

2

12

2

12

2

1lim

2

12

2

12

2

1lim

)21()21(2

1lim

)1()1(2

1lim

0

0

02

0

2

2

0

02

=

+−−=

−+++−−

+−−+=

+−−

−+=

+−−+−=

−+−−=

−−

∞→

−−−−

∞→

−

−−

∞→

−

−−

∞→

−

−∞→

∫∫

∫∫

αααα

αααααααα

αααα

αα

αααα

αααα

αααα

αα

TT

T

TTTT

T

T

tt

T

tt

T

T

ttT

tt

T

Tt

T

t

T

eeT

eeTeeTT

eeteetT

dteedteeT

dtedteT

Vậy hàm trực giao.

d)

−=2

1)( ttx δ


−−+

−=2

1

2

1

2

1)( tttxch δδ


Trang 18


−−−

−=2

1

2

1

2

1)( tttxl δδ


02

1

2

1

4

1)()( 22

2

1

2

1

=

−−−

−=∫∫ ttdttxtxt

t

t

t

lch δδ


1)(11

0

2

01

=−

= ∫ dttxtt

pt

t

x


2

1

4

1

4

1

)(1 2

01

1

0

=+=

−= ∫ dttx

ttp ch

t

t

xch


2

1

4

1

4

1

)(11

0

2

01

=+=

−= ∫ dttx

ttp

t

t

lxl

lch xxx ppp +=

e)

+=4

cos)(πωtAtx


Trang 19


)cos(2

2

)cos(4

cos

4cos

4cos

2

1)(

tA

tA

ttAtxch

ω

ωπ

πωπω

=

=

+−+

+=


)sin(2

2

)sin(.4

sin.2.2

1

4cos

4cos

2

1)(

tA

tA

ttAtxl

ω

ωπ

πωπω

−=

−=

+−−

+=


0)2(sin2

1

4

)(sin2

1

2

)(sin).sin(.2

)sin().cos(2

22

0

22

0

2

0

2

=−=

−=

−=

−

∫

∫

ππ

ωω

ωωω

ωω

A

tA

tdtA

dtttA

T

T

T


2]112[

4

22sin2

2

1

2

22cos1

2

11

4cos

1

22

0

2

0

2

2

0

2

AT

T

A

ttT

A

dttAT

dttAT

p

T

T

T

x

=−+=

++=

++=

+=

∫

∫

ωω

πωωω

πω

πω


Trang 20


4)2(

8

)2sin2(2

1

4

)2cos1(2

1

2

)(cos2

21

22

0

2

0

2

2

0

2

AT

T

A

ttT

A

dttT

A

dttA

Tp

T

T

T

xch

==

+=

+=

=

∫

∫

ωω

ωωω

ω

ω


4)2(

8)2sin2(

8

)2cos1(4

)(sin2

21

22

0

2

0

2

2

2

0

AT

T

Att

T

A

dttT

A

dttA

Tp

T

T

T

xl

==−=

−=

−=

∫

∫

ωω

ωωω

ω

ω

lch xxx ppp +=

Bài 1.5. Cho tín hiệu [ ] )cos(cos1)( ϕωω ++= tttx a)Hãy tìm thành phần một chiều, thành phần xoay chiều và chứng mình rằng chứng trực giao. b) Hãy tìm thành phần chẵn, lẻ và chứng minh chúng trực giao.

Giải

a) có

[ ] )cos(cos1)( ϕωω ++= tttx

( )

)2cos(2

1)cos()cos(

2

1

)2cos()cos(2

1)cos(

)cos()cos()cos(

ϕωϕωϕ

ϕωϕϕω

ϕωωϕω

++++=

++++=

+++=

tt

tt

ttt


Trang 21

* Vậy thành phần một chiều là:

ϕcos2

1=x

* Thành phần xoay chiều là:

)2cos(2

1)cos(~ ϕωϕω +++= ttx

* Xét tích vô hướng sau

0

)2sin(2

1)2sin(

1)24sin(

2

1)22sin(

1

4

1

)22sin(2

1)2sin(

2

1)2sin(

1)sin(

1

4

1

)22cos(4

1)2cos(

4

1)2cos(

2

1)cos(

2

1

2

1

)2cos(cos2

1)cos(cos

2

1

)2cos(2

1)cos(cos

2

1

0

0

0

0

=

−−+++=

+++++=

+++++=

+++=

+++

∫

∫

∫

ϕω

ϕω

ϕπω

ϕπω

ϕωω

ωω

ϕωω

ωω

ϕωωϕωω

ϕωϕϕωϕ

ϕωϕωϕ

T

T

T

T

tttt

dttttt

dttt

dttt

Vậy 2 thành phần trực giao. b) Thành phần chẵn là:

[ ] [ ]

[ ][ ][ ] )cos(coscos1

)cos()cos(.cos12

1

)cos(cos12

1)cos(cos1

2

1

tt

ttt

ttttxch

ωϕω

ϕωϕωω

ϕωωϕωω

+=

+−+++=

+−++++=

* Thành phần lẻ là:

[ ] [ ] )cos(cos12

1)cos(cos1

2

1 ϕωωϕωω +−+−++= ttttxl


Trang 22

[ ][ ][ ] tt

ttt

ωϕω

ϕωϕωω

sinsincos1

)cos()cos(.cos12

1

+−=

+−−++=

* Xét tích vô hướng

[ ]

[ ]

[ ]

04

1

3

2

2

1

4

1

3

2

2

1sincos

cos4

1cos

3

2cos

2

1sincos

)(coscoscoscos21sincos

)(cossin)cos(coscos11

)sin(sin)cos(coscos1

)()(

0

432

0

2

0

2

0

2

0

=

−−−++−=

+−=

++−=

+−=

+−=

∫

∫

∫

∫

ωϕϕ

ωωωω

ϕϕ

ωωωωω

ϕϕ

ωϕωϕωω

ωϕωϕω

T

T

T

T

T

lch

ttt

ttdtt

tdtt

dtttt

dttxtx

Vậy 2 thành phần trực giao, Bài 1.6. Tín hiệu ñiện áp răng cưa ñược cho trên hình B1.6 ñược ñưa qua ñiện trở R. Hãy tính công suất trung bình của i(t) và công suất trung bình của thành phần một chiều và xoay chiều trên R. Biết mAI 10= ; Ω= kR 1

Giải

*Công suất trung bình của i(t) trên R là:


Trang 23

)(30

11010

3

1

3

1

4

11

3

1

4

4

44

1

43

2

4

0

32

4

0

2

w

RItI

R

dttI

IRP

=×=

=

−−=

−=

−

∫

Thành phần một chiều là:

24

11

2

1

4

11

4

11

44

44

1

4

0

2

4

0

4

0

ItI

tdtI

dttI

Iii

=

−×−=

−

−×−=

−==

∫

∫

* Công suất một chiều là:

( )wRI

Pi 40

1

4

1010

4

342

=×==−

* Công xuất xoay chiều là:

)(120

1

1243

222

~ wRI

RI

RI

PPP ii ==−=−=

Bài 2.1. Hãy xác ñịnh hàm tự tương quan a) b)


Trang 24

c) d)

Giải

a)

Hàm tự tương quan của tín hiệu :

∫∞

∞−

−= dttxtxxx )()()( ττϕ

x(t) là hàm thực là hàm chẵn


Trang 25

Vậy

b)


∫∞

∞−



Trang 26

Vậy

c)


Trang 27


∫∞

∞−


d)



Trang 28

∫∞

∞−



Trang 29


Trang 30

Bài 2.2. Hãy xác ñịnh và vẽ hàm tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn trên hình 2.2. Hãy cho biết hàm tự tương quan của hàm này trong trường hợp tín hiệu bị dịch chuyển một ñoạn ot >0

Giải

Ta có x(t)=∏

−

4

8T

Tt

Vậy hàm tự tương quan của x(t) là

Ψ (τ )=T

1∫ −T

dttxtxτ

τ )()( *

=T

1∫4

21

T

dtτ

=

−τ4

1 T

T=

T

τ−4

1

*Khi tín hiệu bị dịch chuyển một ñoạn to

>0

⇒x(t) =∏

−−

4

8 0

T

Tt t

Ψ (τ ) =T

1∫ −T

dttxtxτ

τ )()( *

=T

1∫+

+

t

t

dt

T0

0

421

τ

= ( )

+−+ ttT

T 004

1 τ =T

τ−4

1

Bài 2.3. Tìm hàm tự tương quan của các tín hiệu sau: a) Atx =)( ; A là hằng số. b) ( )teAtx α−−= 1)( c) )()( ttx δ=


Trang 31

Giải

a) Hàm tự tương quan của tín hiệu là:

( ) dtT ATxx ∫Ψ ∞→

= 2

2

1limτ

22

1lim

22 AA T

TT=

∞→

b) Hàm tự tương quan của tín hiệu là:

( ) ( )( )dtT

ttT

xx eA α ταα

τ

−−−

∞→−−= ∫Ψ 11

2

1

0

2

lim

= ( )( )dtT

Tttt

eeeA ∫−−−−−

∞→+−− ταατα

τ

2(21

2

1lim

= ( ) ( ) ( )

−+−+−+ −−−

∞→1

21

11

1

2

1 22

lim eeeeeATttt

TT

αατ

ααα

τ ααα

=

+++

∞→ ααα

ατατ

τ 2

1

2lim eeTT

A

=

+++

∞→ ααα

ατατ

τ 2

11

22

12

lim eeATT

=2

2

A

c) Hàm tự tương quan của tín hiệu là:

)()()(

)()(

τδτδτδ

τδδ

=∗=

−= ∫Ψ∞

∞−

dtttxx

Bài 2.4 Tìm hàm tự tương quan của tín hiệu ñiều hòa: )sin()( ϕω += tAtx

Giải

Ta có: )sin()( ϕω += tAtx


Trang 32

Hàm tự tương quan của tín hiệu là:

[ ]

( )[ ]

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

2

coscos

2

2sin2sin2cos2cos2sin2

1cos

2

2sin2

122sin

2

1cos

2

22sin2

1cos

2

22coscos2

1

)(sin[)sin(1

22

2

2

0

2

0

2

0

2

ωτωτ

ωτϕωτϕωωτϕωω

ωτ

ωτϕω

ωτϕωω

ωτ

ωτϕωω

ωτ

ϕωτωωτ

ϕτωϕωϕ

AT

T

A

TTTT

A

TTT

A

ttT

A

dtT

A

dtttAT

T

T

T

xx

==

−+−−−−=

−+−+−=

−+−=

+−−=

+−+=

∫

∫

Bài 2.5. hãy xác ñịnh và vẽ hàm tường quan của các hàm sau: a) b)


Trang 33

Giải

a) Hàm tương quan của tín hiệu là:

dttxtxui )()( *21 τϕ −= ∫

∞

∞−

Ta có 1x và 2x là hàm chẵn

* Xét 2

10 ≤< τ

2

1

0

0

2

1

2

1

0

0

2

1

+−

−

+

−

−

−=

+= ∫∫

τ

τ

τ

τ

ϕ

tt

tt

ee

dtedte

( )ττ

ττ

−

−−−

+−=

+−−=

eee

ee

12

11 2

1

2

1

* Xét 2

1>τ

2

1

2

1

2

1

+−∞

−

−

∞

−

−

=−=

= ∫

τ

τ

τ

ϕ

ee

dte

t

t

( )

>

<+−

=⇒

+−

−

2

1

2

112

2

1

τ

τ

ϕτ

ττ

e

eee


Trang 34

b) Hàm tương quan của tín hiệu là:

dttxtxui )()( *21 τϕ −= ∫

∞

∞−

* Xét 12 −<<− τ

( )

222

1

12

111

2

1

2

1

)1(

2

21

1

2

1

1

12

++=

+−+++=

+=

+=

+

−

+

−∫

ττ

ττ

ϕ

τ

τ

tt

dtt

* Xét 01 <<− τ

ττ

ττττττ

ϕτ

τ

τ

22

3

)1(2

11

2

11

2

1

2

1

)1()1()1(

2

222

1

0

0

1

12

−−=

+−++−−−+−−=

−++++−= ∫∫∫+

−

dttdttdtt

* Xét 10 << τ

ττ

ττττττ

ϕτ

τ

τ

22

32

1

2

11

2

11)1(

2

1

)1()1()1(

2

222

1

0

0

1

12

−=

+−−+−+−+−=

−+−−+−= ∫∫∫−

dttdttdtt

* Xét 21 << τ


Trang 35

222

1

)1(2

11

2

11

)1(

2

2

1

1

12

−+−=

−−−++−=

−−= ∫−

ττ

ττ

ϕτ

dtt

* Xét 2>τ

0=ϕ

Vậy hàm tương quan của tín hiệu là:

>

<<−+−

<<−

<<−−−

−<<−++

=⇒

20

21222

1

1022

3

0122

3

12222

1

2

2

2

2

τ

τττ

τττ

τττ

τττ

ϕ

Bài 2.6. Tìm hàm tương quan giữa ñiện áp u(t) và dòng ñiện i(t) sau:

a) UUtu =)( là hàng số d)

Π=T

tUtu

2)(

)sin()( 10 ϕω += tIti m

Π=T

tIti )(


Trang 36

b) )cos()( 10 ϕω += tUtu m e) tUsatu 0)( ω= )cos()( 10 ϕω += tIti m )()()(2)( TtITtItIti ++−+= δδδ

c) )cos()( 10 ϕω += tUtu m f)

−Π=T

TtUtu

2)(

)2cos()( 10 ϕω += tIti m )()( tIti δ= Giải

a) Hàm tương quan của tín hiệu là:

[ ]

0

)cos()cos(

)cos(

)sin(1

)()(1

)(

101000

01000

0

100

0

*

=

+−−+−−=

+−−=

+−=

−=Ψ

∫

∫

ϕτωϕτωωω

ϕτωωω

ϕτωω

ττ

TT

UI

tT

UI

dttUIT

dttituT

m

Tm

T

m

T

ui

b) Hàm tương quan của tín hiệu là:

[ ]T

iuiumm

T

iuiumm

T

imum

T

ui

ttT

IU

dttT

IU

dttItUT

dttituT

0

000

0

0

000

0

000

0

*

)2sin(2

1)cos(

2

)2cos()cos(2

)cos()cos(1

)()(1

)(

++−+−+=

++−+−+=

+−+=

−=Ψ

∫

∫

∫

ϕϕτωωω

ϕϕτω

ϕϕτωωϕϕτω

ϕτωωϕω

ττ

)cos(2

)sin(2

1)2sin(

2

1)cos(

2

0

00

000

0

iumm

iuiuiumm

IU

TTT

IU

ϕϕτω

ϕϕτωω

ϕϕτωωω

ϕϕτω

−+=

++−−++−+−+=

c) Hàm tương quan của tín hiệu là:


Trang 37

[ ]T

iuiumm

T

iuiumm

im

T

umui

ttT

IU

dtttT

IU

dttItUT

0

000

000

0 0000

000 0

)23sin(3

1)2sin(

1

2

)23cos()2cos(2

)22cos()cos(1

)(

−+−+++−−−=

−+−+++−−=

+−+=Ψ

∫

∫

ϕϕτωωω

ϕϕτωωω

ϕϕτωωϕϕτωω

ϕτωωϕωτ

0

)2sin(3

1)23sin(

3

1

)2sin(1

)2sin(1

20

000

0

00

000 =

−+−−−+−+

++−+++−−−=

iuiu

iuiu

mm

T

T

T

IU

ϕϕτωω

ϕϕτωωω

ϕϕτωω

ϕϕτωωω

d) Hàm tương quan của tín hiệu là:

dttituui )()( * τϕ −= ∫∞

∞−

Có u(t) và i(t) là hàm chẵn

Xét 2

0T≤≤ τ

UITTT

UI

UIdtT

Tui

=

+−+=

=⇒ ∫+

−

22

2

2

ττ

ϕτ

τ

Xét 2

3

2

TT ≤< τ

−=

+−=

=⇒ ∫ −

ττ

ϕτ

2

3

2

2

TUI

TTUI

UIdtT

Tui

Xét 2

3T>τ

0=⇒ uiϕ Vậy ta có hàm tương quan của tín hiệu là:


Trang 38

−=

0

2

3 τϕ TUI

UIT

ui

e) Hàm tương quan của tín hiệu là:

dttituui ∫∞

∞−

=Ψ )()()(τ

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]TTUISa

dtttTtttSaUI

dtttITtItItUSa

++−+=

++−+=

++−+=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

τδτδτδτω

δδδω

δδδω

2*)(

2)(

2)(

0

0

0

( ) ( ) ( )[ ]TSaTSaSaUI ++−+= τδτωτδτωτδτω *)(*)(2*)( 000

[ ])()()(2 000 TSaTSaSaUI ++−+= τωτωτω

f) Hàm tương quan của tín hiệu là:

dttituui ∫∞

∞−

=Ψ )()()(τ

−Π=

∗

−Π=

−Π= ∫∞

∞−

T

TUI

T

TUI

dttIT

TtU

2

)(2

)(2

τ

τδτ

δ


Trang 39

Bài 3.1: Hãy xác ñịnh phổ của các tín hiệu trên hình B. 3.1.

Giải: a) x( t ) có dạng

Theo ñịnh nghĩa:

vậy phổ của tín hiệu x(t) là

t

-A

A

0

x(t)

2T T

a)

A

x(t)

-2T

T -2T

- 0 t

b)

0 -T -2T

A

2T T t

x(t)

c)

Hình B.3.1


Trang 40

b) Tín hiệu x( t ) có dạng

Vậy phổ của tín hiệu x( t ) là:

c) Tín hiệu x( t ) có dạng

2T

2A

x(t)

T -T -2T

t

A

2T

x(t)

T -T -2T

t

A


Trang 41

Vậy phổ của tín hiệu x( t ) là:

Bài 3.2: Hãy xác ñịnh phổ của tín hiệu x(t) trên hình B.3.2 bằng các cách sau:

a) Trực tiếp từ ñịnh nghĩa b) Từ phổ xung vuông và xung tam giác. c) Áp dụng ñịnh lý vi phân trong miền tần số.

Giải: a)

Tín hiệu x( t ) có dạng

Theo ñịnh nghĩa ta có:

x(t)

t

A

0 - T

Hình B.3.2


Trang 42

b) x( t ) có dạng:

Vậy phổ của tín hiệu x( t ) là: X(

c) tín hiệu x( t ) có dạng:

Vậy

Vậy phổ tín hiệu x( t ) là


Trang 43

Bài 3.3: Áp dụng ñịnh lý ñiều chế ñể tìm quá trình thời gian của các tín hiệu có phổ trên hình B.3.3a,b. a)

Vậy

tín hiệu x( t ) của phổ là:

b)

A

2

-

x

0

a)

x

0

b)

A

-

2A

4

Hình B.3.3


Trang 44

A

-10 -8 -6

10 8 6

x(t)

t a)

A

-10 -8 -6

10 8 6

x(t)

t c)

A

-10 -8 -6

10 8 6

x(t)

t b)

Hình B.3.4

Bài 3.4: Áp dụng ñịnh lý dịch chuyển trong miền thời gian ñể tìm phổ của các tín hiệu trên hình B.3.4a,b,c.

a)

Vậy của tín hiệu dịch chuyển trong miền thời gian trên là


Trang 45

b)

Theo ñịnh nghĩa


Trang 46

c)

Bài 3.5: Dòng ñiện chảy qua ñiện trờ R. Hãy áp dụng ñịnh lý Perseval ñể tính:

a) Toàn bộ năng lượng tiêu hao trên R. b) Một phần năng lượng trong dải tần (0 ÷ β)[ rd/s ].

Giải: a)

Vậy ( Phổ tín hiệu i(t) ).

Tìm hàm tương quan của

Vậy

Mà

Vậy năng lượng tiêu hao trên R:

b)


Trang 47

Vậy

Bài 3.6: Cho tín hiệu .

a) Hãy xác ñịnh phổ, hàm tự tương quan, mật ñộ phổ năng lượng của x(t). Tính năng lượng của tín hiệu trong dải tần (0,α).

b) Tìm hàm tự tương quan và mật ñộ phổ công suất của tín hiệu x1(t) = a + x(t). ( a là hằng số ).

Giải: a)

Phổ là:

Mật ñộ phổ năng lượng của là:

Hàm tự tương quan


Trang 48

Vậy

Do ñó năng lượng tín hiệu:

b)

Vậy

Bài 3.7:Hãy chứng minh rằng, nếu X(ω) là phổ của tín hiệu phức x(t) = Rex(t) + jImx(t), thì:

Giải:

Theo tính chất của tín hiệu trong miền tần số Quan hệ:

Mặt khác ta có:


Trang 49

Vậy

Bài 3.8: Hãy tìm tín hiệu x(t) nếu phổ biên ñộ và phổ pha của nó ñược cho trên hình B.3.8 Dựa vào tín hiệu x(t) tìm ñược hãy dịch chuyển tín hiệu ñi những khoảng ±3k với k

= 0, 1, 2 … ñể tạo nên tín hiệu:

Hãy tìm biểu thức thời gian của z(t).

Giải: theo ñịnh nghĩa

|X |

1

Hình B.3.8


Trang 50

x(t)

Hình B.3.9

A

t

là tín hiệu ñược lặp lại của z(t) với chu kỳ

Phổ của tín hiệu

Với

Vậy

Bài 3.9: Hãy xác ñịnh và vẽ hàm tự tương quan của tín hiệu trên hình B.3.9. Tìm năng lượng của tín hiệu từ hàm tự tương quan của nó.

Giải:


Trang 51

-

Mật ñộ phổ tín hiệu là:

Biết

Năng lượng của tín hiệu là

Bài 3.10: Cho tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T; xét tín hiệu

, trong ñó n = 2m + 1; m = 0, 1 …, là phần tín hiệu ñược cắt

ra từ tín hiệu x(t), sao cho với , còn tín hiệu bao gồm n

= 2m + 1 phần giữa của tín hiệu tuần hoàn . a) Hãy tìm phổ và chứng minh rằng:


Trang 52

Trong ñó là phổ của tín hiệu với n =1,( là phổ của phần trung tâm của tín hiệu tuần hoàn ). b) Áp dụng kết quả này cho dãy

xung vuông

góc ñơn cực ( H.B.3.7 ) với n = 3; n

= 5 và suy ra kết quả khi . c) Hãy vẽ phổ trong hai trường hợp trên.

Giải:

Tín hiệu với

Vậy phổ là

Phổ là

1

x(t)

T

t

…. ….


Trang 53

b)

Tín hiệu trung tâm của là

Vậy

Baøi 3.11 :

aX =0 2

nnn

jbaX

−=

nnn XXa −+= ; )( nnn XXjb −+= Tröôøng hôïp chaün: 0=nb Tröôøng hôïp leû: 0=na

∑= jwntneXtx )(

Tw

π20 =

Tín hieäu tuaàn hoaøn )2

().(1

0

0

0T

wdtetxT

XTt

t

jnwtn

π== ∫+

−

Tín hieäu khoâng tuaøn hoaøn (-L;L) T

wπ2=→

)(2)( 0ωωπω ndXX n −= ∑∞

∞−

∑∞

∞−

= tjnwn eXtX 0.)(

a)

T

nXX T

n

)( 0ω=


Trang 54

∑∞

∞−

= tjnwn eXtX 0.)(

∏+= )(2

sin)(T

t

TAtX

π

TTw

ππ ==2

20

2.)(

wTSaT

T

t →←∏

∏ +−−→← T

TwSa

T

TwSa

j

ATt

TT

tA ]

2)

2(

2)

2([

2

2sin).(

πππ

−=

=−

+=−

−±≠=

=

+−−=

+−−==

2:4

2:4

12:)4(

2.)1(

2;2:0

)]2

).2()]2

).2([4

)]2

).2

(2

).2

([42

)(

2

nAj

nAj

knnj

A

nkn

X

nSanSaj

AX

T

TT

nSa

T

TT

nSa

j

A

T

wXX

k

n

n

Tn

π

ππ

ππππ

b)


Trang 55

+=−

−

=

±=

=

++−=

=

−+−=

=

=−+−↔

↔

=

=

∑

∏

∏

∏

∞

∞−

12:)4(

..)1(

2:0

2:4

]2

)2(2

)2([4

.)(

]2

)2

(2

)2

([4

2

)(

)(]2

)2

(2

)2

([2

)2

cos(.)(

)2

(.)(

)().2

cos(.)(

2

0

knn

nA

kn

nA

X

nSanSaA

X

eXtx

T

TwSa

T

TwSa

AX

T

wXX

wXT

TwSa

T

TwSa

ATt

TT

tA

wTSaT

T

tT

w

T

tt

TAtx

k

n

n

jwntn

n

tn

T

π

ππ

ππ

πππ

π

π

Bai 3.12 : a) Chu ki T’=2T

w0= =

t + A , 0 < t < T x(t)=


Trang 56

t + A , -T < t < 0

x(t)=

Xn=

= =

] =

=

• Voi n=2k ; k=±1, ±2…

Suy ra Xn= 0 • Voi n=2k+1 ; k=0, ±1, ±2…

Suy ra Xn= • Voi n= 0

Suy ra Xn= 0 , n=2k , k= ±1, ±2…

, n=2k+1, k=0, ±1, ±2…

Vaäy Xn=


Trang 57

, n=0

Baøi 3.12: b)

Chu kì: T’ = 2T

0ω = '

2T

π =

T22π =

T

π

x(t) =

<<−

<<−+

)0(.

)0(.

TtAtT

A

tTAtT

A

X(n) = ∫−

−T

T

tjn dtetxT

.).(2

10ω

=

−+

+ ∫∫−

−

−T

tjn

T

tjn dteAtT

AdteAt

T

A

T 0

0

......21

00 ωω

=

−++ ∫∫∫∫

−−

−

−

−

−T

tjnT

tjn

T

tjn

T

tjn dtedtetT

dtedtetTT

A

00

00

...1

...1

20000 ωωωω

= 0

2..

2 ωnj

T

A = j.πn

A

∗Với: n ≠ 0

X(n)= j.πn

A

∗Với: n=0

X(n)=

−++∫ ∫

−

dtAT

AdtAt

T

A

T T

T

).()..(21 0

0

=

−++−

T

T

tT

tt

T

t

T

A

0

202

)2

()2

(2

=0

∗∗Vậy: X(n) =

≠

=

0,.

0,0

nn

Aj

n

π

Bai 3.13: a) Chu ki T’=2T


Trang 58

w0= =

A , < t < 0 x(t)=

-A , 0 < t <

x(t)=

Xn=

=

= - j - j +

] • Voi n=4k ; k=±1, ±2…

Suy ra Xn= [ ] = 0 • Voi n=4k+2 ; k=0, ±1, ±2…

Suy ra Xn= [ ]

= = • Voi n= 2k+1 , k=0, ±1, ±2…

Suy ra Xn= 0 , n=4k , k=0, ±1, ±2…

Vay Xn= , n=4k+2, k=0, ±1, ±2…


Trang 59

, n=2k+1, k=0, ±1, ±2…

b) w0= =

x(t)=

x(t)= A

XT(w)= A + A XT(w)= 2Acos(

Xn=XT(nw0)/(2T)=

0 n=2k+1

Xn=

k n=2k Baøi 3.14 Khai trieån chuoãi thaønh fourier

X(t)= a 0 + ∑∞

=1n

(a n cos(nω t)+b n sin(nω t))

X(t)=A∏ (τ22/

4/

−−

T

Tt ) - A∏ (τ22/

4/

−+

T

Tt )

Ñaët b=T/2-2τ

X T (ω )= AbSa2

bω [ e 4/Tjω− - e 4/Tjω ]

=AbSa2

bω (-2j)sin4

Tω

ω 0= T

Π2

X n =T

nXT )( 0ω =T

jAb2− SaT

bnΠ sin2

Πn

X n = 0 n=0

X n = -2jT

Ab (-1) k Sa(t

bnΠ ) n=2k+1


Trang 60

b n =2jX n

keát quaû theo ñònh nghóa b n =T

2∫T

tdtntx0

sin)( ω

b n =Πn

A2 [cosn 0ω T(1-(-1) n ]

b n =0 n=2k

b n =Πn

A4 cos 0ω T n=2k+1

Chương 4 : Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính

Bài 4.2:

u 1 (t) = t.e-α|t|

,α= RL

tìm U 1(ω ).

Ta có

e-α|t| ↔

2αα2

+ω2


Trang 61

t.e-α|t| = -j.

2α.2ω(α2

+ω2 )

U 1 (ω) = -j.

4αω(α2

+ω2 )

2

Tìm K(ω )

U 2 =(-

-2RR+jωL

+1).U 1

= - R-jωLR+jωL

.U 1

K(ω)= U

2(ω)U

1(ω) = -

R-jωLR+jωL

= (RL

)-jω

RL

+jω =

-(RL

)2 +ω2

(RL

+jω)2

= α2

+ω2

(α+jω)2

U 2 =K(ω).U

1(ω)= j 4αω

(α2 +ω2

)(α+jω)2

Tìm U 2 (t)

Ta có U 2(ω) <=> u

2 (t)

U 2(ω) = j

4αω(α2

+ω2 )(α+jω)2

= j 4αω

(α2 +ω2

)(α2 -ω2

+j2αω)

Ta có

1

α2 +ω2

+

1(α-jω)2

=

2α2 +j2ω

(α2 +ω2

)(α+jω)2

= 2α(α+jω)

(α2 +ω2

)(α+jω)2

Mặt khác ta lại có

j 4αω

(α2 +ω2

)(α+jω)2 =

2α(α+jω)-2α(α-jω)(α2

+ω2 )(α+jω)2

= 2α(α+jω)

(α2 +ω2

)(α+jω)2 -

2α(α+jω)3


Trang 62

= 1

α2 +ω2

+

1(α-jω)2

-

2α(α+jω)3

⇒ u 2 (t) =

12α

.e-α|t| + t e-αt

.1(t) αt2 . e-αt .1(t)

= 1

2α.e-α|t| +(t+αt2 ).e

-αt .1(t)

Bài 4.3:

e(t)=ω.Saωt.cosnt u(t)= u

1(t)*k(t) k(t)= £-1

[K(ω)]

k(ω)=π (ω

2ω 0)

Tìm k(t) , k(t)⇔k(ω) Tacó

Sa ω 0t ∏ (

ω2ω

0)

k(t) = ω

0

π Sa.ω 0t

a, Ta lại có: u(t)=u

1(t)*k(t)

=>u(ω)=I 1(ω)

U(ω)K(ω)

Mà i 1 (t)

i 1 = e(t)R

1 = e(t)-cosSaω

0 t.cos π t

⇒ I 1 (ω)=

π2[π(

ω-π2ω

0 ) + π (

ω+π2ω

0 )]

Vẽ I

1 (ω) Trường hợp 0 < Ω < ω

0


Trang 63

Trường hợp ω

0 < Ω

b, Tìm i 2 (t) ? u(t) = i 1(t)*k(t)

i 2(t) =

u(t)R

2 = u(t)

k(t) = F-1 [K(ω)]

K(ω) = ∏ (ω

2ω 0)

Theo câu a ta ñược : I 1(ω)= π2[π(

ω-π2ω

0 ) + π (

ω+π2ω

0 )]

Phổ của i 2(t) là : I 2 (ω) =U(ω) = K(ω).I(ω)


Trang 64

= π2 ∏(

ω2ω

0)[∏(

ω-π2ω

0 )+∏ (

ω+π2ω

0 )]

Vẽ I

2 (ω) Trường hơp 0<π<ω

Trường hợp ω

0 <π <2ω 0

d, Tìm i 2(t) ?

Ω = 32

ω

Dựa vào hình vẽ ( câu b, trường hợp ω ≤ Ω ≤ ω 0) suy ra phổ của i 2(t) là:


Trang 65

2

3 34 4( )

1 122 2

o o

o o

Iω ω ω ωπω

ω ω

− + = Π + Π

Mà π∏ (ω

12

ω 0

) ↔ 14

ω 0Sa

12ω

0t

⇒ i 2(t) =

14

ω 0Sa

14

ω 0t.cos

34

ω 0t

Bài 4.4:

Tín hiệu x(t) =14 Sa(

t-24 ) có phổ X(ω)

Ta có: 14Sa

t4 ⇔ π.∏(2ω)

⇒ 14 Sa(

t-24 ) ⇔ π . ∏ (2ω).e-j2ω

Y(ω) = K( ω ).X( ω )

= 74 .π.∏(2 ω ).e-j2ω +

14.π.Λ(4ω ).e-j2ω

⇒ y(t) = 716

Sa(t-24 ) +

132

Sa2(t-24 )

Năng lượng Ey : φy( ω ) = |Y( ω )|2

=[ 74.π.∏(2ω) +

14.π.Λ(4ω)]2


Trang 66

= 116

.π2.[7.∏(2ω) + Λ(4ω)]2

= 116

.π249.∏(2ω) + [ Λ(4ω)]2 + 14Λ(4ω)

= 116

.π2[49.∏(2ω) + 14Λ(4ω) + ( 16ω2 -8|ω| +1)∏ (2ω)]

⇒ Ey= ⌡⌠

-∞

∞

φy( ω )dω

= 12π .

116

.π2[49. 12 + 14.

14 + 2

⌡⌠

0

¼

(16 ω2 -8ω +1)dω]

=12π

. 116

.π2[49. 12 + 14.

14 +

16 -

12 +

12]

= π32

.[ 1476

+ 216

+ 16]

= 169192

π

Bài 4.5: ϕ

x(τ) = e-|τ|

K(ω) = ∏ (ω2

)

Ta có E x = ϕ

x(0) = 1 ϕ

x(τ) ⇔ Φ x(ω)

⇒ Φ x(ω) =

21+ω2

Φ y(ω) = | K(ω) |2 .Φ

x(ω)

= ∏ (ω2

) . (2

1+ω2 )

E y =

12π

⌡⌠

-∞

∞

Φ y(ω) dω

= 12π

⌡⌠

-1

1

(2

1+ω2 )dω

= 12π 4

⌡⌠

0

1

dω1+ω2


Trang 67

E y =

2π [arctgω]

1

0

= 2π

π4 =

12

Bài 4.6: K(ω) = A(ω).ejϕ(ω)

a, x(t) = 2 ⇒ X(ω) = 4πδ (ω) Yω) = Kω).X(ω) = Kω).4πδ (ω) = K(0).4πδ (ω) = 0

P x = lim

T → ∞

1

2T ⌡⌠

-T

T

[x(t)]2 .dt = 4

P y = 0

b, x(t) = 2.1(t)

X(ω) = 2π δ (ω) + 2jω

Y(ω) = K(ω).X(ω)

ej(π/2)

2jω

, ω >2

e-j(π/2)

2jω , ω <-2

Y(ω) =

ω2

ej(π/2)

2jω ,0 < ω < 2

ω2

e-j(π/2)

2jω , -2 < ω < 0

1 , | ω | < 2


Trang 68

Y(ω) =

2

|ω| , | ω | >2

P x = lim

T → ∞

1

2T ⌡⌠

-T

T

[x(t)]2 .dt

= lim

T → ∞ 1

2T ⌡⌠

0

T

4.dt = 2

1 , |ω| < 2 φ

y (ω) = | Y(ω) |2 =

4

ω2 , |ω| >2

P y =

1π ⌡⌠

0

∞

φ y (ω).dω

= 1π ⌡⌠

0

2

dω + ⌡⌠

2

∞

4

ω2 dω

=

4π

c, x(t) = 2cost X(ω) = 2π [δ (ω - 1) + δ (ω +1)] Y(ω) = X(ω).K(ω)

= 2π 12 [ej(π/2)

δ (ω - 1) + e-j(π/2) δ (ω +1)]

= π.[ej(π/2) δ (ω - 1) + e-j(π/2)

δ (ω +1)]


Trang 69

P x = lim

T → ∞

1

2T ⌡⌠

-T

T

[x(t)]2 .dt

= lim

T → ∞ 1

2T ⌡⌠

-T

T

4cos2 t.dt = 2

ϕ y(ω) = 2π.[

14

δ (ω - 1) + 14δ (ω +1)]

P y =

12π⌡⌠

0

∞

ϕ y(ω) .dω =

14 +

14 =

12

d, x(t) = 2sint

X(ω) = -12

2πj.[δ (ω - 1) - δ (ω +1)]

Y(ω) = -12

2πj.[ej(π/2) δ (ω - 1) - e-j(π/2)

δ (ω +1)]

= π.[δ (ω - 1) +δ (ω +1)]

P x = lim

T → ∞

1

2T ⌡⌠

-T

T

4sin2 t.dt = 2

ϕ y(ω) = 2π.[

14δ (ω - 1) +

14

δ (ω +1)]

P y =

12π

⌡⌠

-∞

∞

ϕ y(ω).dω =

12π[

14 +

14 ].2π =

12


Trang 70

e, x(t) = 2cos2 t + 4costcos2t = 1 + 2cost +cos2t + 2cost3t X(ω) = 2π δ(ω) + 2π [δ (ω - 1) + δ (ω +1)] + π [δ (ω - 2) + δ ( ω + 2)] + 2π [δ (ω - 3) + δ ( ω + 3)] Y(ω) = K(ω).X(ω) = πej(π/2)

[δ (ω - 1) + δ (ω - 2) + δ (ω - 3)] +πe-j(π/2)

[δ (ω +1) + δ ( ω + 2) + δ ( ω + 3)]

P x = lim

T → ∞

1

2T ⌡⌠

-T

T

(1 + 2cost +cos2t + 2cost3t)2

= lim

T → ∞ 1

2T ⌡⌠

0

T

[(1 + 2cos2t +cos2 2t) + 4( cos2 t + 2costcos3t + cos2 3t)

+ 4 (cost + cos3t + costcos2t + cos2cos3t)].dt

= lim

T → ∞ 1

2T⌡⌠

0

T

(4 + 1 + 12)dt = 5,5

ϕ y(ω) = 2π[

14 δ (ω - 1) +

14 δ (ω - 2) + δ (ω - 3)]

+2π[14 δ (ω +1) +

14 δ ( ω + 2) + δ ( ω + 3)]

P y =

12π

⌡⌠

-∞

∞

ϕ y(ω).dω =

14 +

14 + 1 +

14 +

14 + 1 = 3

Bài 4.7:

x(t)=A. tT

.∏( t

2T )

a, Ta có ∏( t

2T ) ⇔ 2TSaωT


Trang 71

AT

∏( t

2T ) ⇔ 2ASaωT

t.AT

∏( t

2T ) ⇔ j.2A (

sinωTωT

)

⇒ X( ω ) =j.2A. ( ωT2 cosωT - TsinωT).

1(ωT)2

= j. 2Aω

( CosωT - SaωT )

E x =

⌡⌠

-T

T

( A. tT

)2 .dt = 2A2

T2 ⌡⌠

0

T

t2 dt = 2A2

T .T3

3

T

0

= 23 AT2

Xét 0 <= τ < T

ϕ x(τ) =

⌡⌠

τ-T

T

AT

t.At( t - τ )dt

= A2

T2 ⌡⌠

τ-T

T

( t2 - tτ )dt

= A2

T2 [

T3

6 - T2

τ + 23T3

]

Xét T < τ < 2T


Trang 72

ϕ x(τ) =

⌡⌠

τ-T

T

AT

t.At( t - τ )dt

= A2

T2 [

T3

6 - T2

τ + 23T3

]

Xét 2T < τ : ϕ x(τ) = 0

Vậy ϕ x(τ) =

A2

T2 (

16|T|3 - T

2 |τ| +

23T3

) ∏ (τ

4T )

b, y(t) = h(t)*x(t)

= ⌡⌠

-∞

∞

h(u).x(t-u)du

= ⌡⌠

-∞

∞

e-αu .1(t) (t - u) ∏

(t-u)2T

du


Trang 73

Xét -T < t <T

y(t) = ⌡⌠

o

T+t

e-αu

AT

(t - u)du

y(t) = AT

t⌡⌠

o

T+t

e-αu du -

AT

⌡⌠

o

T+t

u.e-αu du

= AT

t. e-αu

-α

T+t

0

+ AT

u.e-αu

-α

T+t

0

+ AT

e-αu

α2

T+t

0

= A( t - T + 2Te

e-tT

)

Xét t > T

y(t) = ⌡⌠

t-T

t+T

e-αu

AT

(t - u)du

= 2Ae

t.e-tT

Xét t < -T y(t) = 0 Vậy

A( t - T + 2Te

e-tT

) , |t| < T

y(t) = 2Ae

t.e-tT

, t > T


Trang 74

0 , t <-T

Ta có h(t) = e-αt .1(t) , α =

1T

H(ω) = 1

α+jω = T

1+jωT

| H(ω) | = T

1+(ωT)2

Y(ω) = H(ω).X(ω)

= T

1+jωT. j

2Aω (cosωT - SaωT)

φ y(ω) = | Y(ω) |2

= 4A2

T2

1+(ωT)2 (cosωT - SaωT2

) .1

ω2

Bài 4.8: a,

x(t) = A ∏ ( tT2

)

x(t) → X T(ω)

⇒ X T(ω) =

AT2

Sa (ωT4

)

X n =

X T(ω)T

= A2

Sa (ωT4

) = A2

Sa (n π2)

X(ω) = 2π ΣΣΣΣn = ∞

n = -∞

X n δ (ω - nω

0)

= 2π ΣΣΣΣn = ∞

n = -∞

A2

Sa (n π2) δ (ω - n

2πT

)

= πA ΣΣΣΣn = ∞

n = -∞

Sa (n π2) δ (ω - n

2πT

)

b, Y(ω) = K(ω).X(ω) Với n =0 ⇒ X(ω) =0 ⇒ Y(ω) = 0 Với n = ± 2; ± 4 ⇒ X(ω) =0 ⇒ Y(ω) = 0 Với n = ± 1; ± 3


Trang 75

X(ω) = πA[ 1π2

δ ( ω - 2πT

) + 1π2

δ ( ω + 2πT

) - 13π2

δ ( ω - 6πT

) - 13π2

δ ( ω + 6πT

)]

Yω) = πA[ 1π2

2π δ( ω -

2πT

) + 1π2

2π δ( ω +

2πT

) - 13π2

3π2

δ( ω - 6πT

) - 13π2

3π2

δ( ω + 6πT

)]

⇒ Yω) = πA[ δ( ω - 2πT

) + δ( ω + 2πT

) - δ( ω - 6πT

) - δ( ω + 6πT

)]

c,

Ta có: Yω) = 2π[ A2

δ( ω - 2πT

) + A2

δ( ω + 2πT

) - A2

δ( ω - 6πT

) - A2

δ( ω + 6πT

)]

Ψ y(ω) = 2π[

A2

4δ( ω -

2πT

) + A2

4δ( ω +

2πT

) - A2

4δ( ω -

6πT

) - A2

4δ( ω +

6πT

)]

= πA2

2 [ δ( ω -

2πT

) + δ( ω + 2πT

) - δ( ω - 6πT

) - δ( ω + 6πT

)]

P y =

πA2

2π.2 ( 1+ 1 + 1 + 1) = A2

Bài 4.9: a,

x(t) = z(t)*Sa4ω

0t

mà z(t) = π ∏ ( 2tT

)* 1T

||| (tT

) , T= 2πω

0

Ta thấy z(t) là tín hiệu tuần hoàn với chu kì T

z(t) = x 1(t)*

1T

||| (tT

)

Z(ω) = X 1(ω).

2πT

ΣΣΣΣn = ∞

n = -∞

δ (ω - nω 0)

Xét tín hiệu x 1(t)

x 1(t) = π ∏ (

tT2

)

⇒ X 1(ω) =

πT2

Sa (ωT4

)

= πT2

Sa (n π2)


Trang 76

⇒ Z(ω) = π ΣΣΣΣn = ∞

n = -∞

Sa (n π2). δ (ω - nω

0)

X(ω) = Z(ω). π

4ω 0 ∏ (

ω8ω

0)

= π3

4ω 0 [

1π2

δ (ω - ω 0) +

1π2

δ (ω + ω 0) +

1-3π2

δ (ω - 3ω 0) +

1-3π2

δ (ω + 3ω 0)]

= π2

2ω [δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω

0) - 13 δ (ω - 3ω

0) - 13 δ (ω + 3ω

0)]

= πT4

[δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω

0) - 13 δ (ω - 3ω

0) - 13 δ (ω + 3ω

0)]

⇒ X(ω) = 2π [ T8 δ (ω - ω

0) + T8 δ (ω + ω

0) - T24

δ (ω - 3ω 0) -

T24

δ (ω + 3ω 0)]

Ψ x(ω) = 2πT2

64 [

π2

4 δ(ω) + δ (ω - ω

0) + δ (ω + ω 0) +

19 δ (ω - 3ω

0) + 19 δ (ω + 3ω

0)]

P x =

12π.2π.

T2

64 [ 1 + 1 +

19 +

19 +

π2

4 ] = 0,0347T2

b, Y(ω) = K(ω).X(ω)

Y(ω) = πT4

[ 13 δ (ω - ω

0) + 13 δ (ω + ω

0) - 13 δ (ω - 3ω

0) - 13 δ (ω + 3ω

0)]

= 2π [ T24

δ (ω - ω 0) +

T24

δ (ω + ω 0) -

T24

δ (ω - 3ω 0) -

T24

δ (ω + 3ω 0)]

Ψ y(ω) = 2π

T2

576 [δ (ω - ω

0) + δ (ω + ω 0) + δ (ω - 3ω

0) + δ (ω + 3ω 0)]

P y =

12π.2π.

T2

576[ 1 + 1 + 1 + 1 ] = 0,0069T2 = 0,1938P x

c, Ta có:

Y(ω) = πT12

[ δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω

0) - δ (ω - 3ω 0) - δ (ω + 3ω

0)]

⇒ y(t) = T12

( cosω 0t - cos3ω

0t )

Ψ y(ω) =

T2

288 [πδ (ω - ω

0) + πδ (ω + ω 0) + πδ (ω - 3ω

0) + πδ (ω + 3ω 0)]

⇒ ϕ y(t) =

T2

288 ( cosω

0t + cos3ω 0t )

Bài 4.10: x(t)=π|sinω

0t| ta thấy

x(t) là tín hiệu tuần hoàn của x 1(t) với chu kì

π2


Trang 77

x 1(t)=πsinω

0t.π (tT2

)

X 1(ω)=

πTj4

[Sa (ω-ω

0)T4

- Sa (ω+ω

0)T4

]

=> X(ω) = π2

j4 ΣΣΣΣ

i = ∞

i = n=-∞

(Sa (n-1)π

2 - Sa

(n+1)π2

)

Y(ω)=K(ω).X(ω) Vẽ hình

Y(ω)= π

2

j4[ (

1π2

+ 13π2

) ] 45j. δ (ω- ω

0)+ ( 13π2

- 1π2

). 45(-j).δ (ω-ω

0)


Trang 78

CHƯƠNG 5 – TÍN HIỆU ðIỀU CHẾ Bài 5.1 Một máy phát làm việc trong hệ ñiều chế AM, có tần số của sóng mang f0=104kHz. Bề rộng phổ của tín hiệu tin tức là 300 Hz - 3.4kHz. Hỏi máy thu tín hiệu trên cần bề rộng dải thông là bao nhiêu và làm việc ở dải tần nào?

Bài 5.2 Ở ñầu vào của mạch lọc thông thấp có ñặc tuyến tần số ( )o

Kωωω

= Λ

ñược ñưa ñến tín hiệu [ ] 5( ) ( ) .cos2 10AM t A t ty x π= + ; cho biết hệ số ñộ sâu ñiều chế

0.5m = và 11

2 oωω = . Hãy tìm tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc z(t), phổ ( )Z ω và công

suất của tín hiệu. Bài 5.3 Tín hiệu AM có dạng [ ] 5( ) ( ) .cos2 10AM t A t ty x π= + , trong ñó tín hiệu tin tức x(t) lá tín hiệu tuần hoàn ñược biểu diễn trên hình B5.1.Hãy tìm biên ñộ nhỏ nhất của sóng mang minA ,ñể tín hiệu ( )AM ty ñược tách sóng khong bị méo trong mạch tách sóng hình bao. Hãy vẽ tín hiệu AM tương ứng với biên ñộ tìm ñược và tín hiệu AM-SC, 5( ) ( ).cos2 10SCAM t t ty x π− =

Bài 5.4 Tín hiệu AM ñược tạo trong mạch ñiều chế như trên hình B.5.4. ở ñầu vào hệ thống ñược ñưa tới tín hiệu tin tức ( ) 315.cos10t tx = và

( ) 65.cos10t ty = .Hãy tính hệ số ñộ sâu ñiều chế của tín hiệu ( )AM ty ở ñầu ra của

mạch ñiều chế. Cho biết ñặc tuyến của mạch phi tuyến là 2w 10 2 0.02z z= + + ; còn

ñặc tuyến tần số của mạch lọc là: ( )6 6

3 3

10 10

3.10 3.10K

ω ωω − += Π + Π

Bài 5.5 Cho tín hiệu ñiều biên ( ) (1 cos ).cosAM t U m t tu ω= + Ω . Hãy ñưa ra công thức tính hệ số ñộ sâu ñiều chế m , với m≤1, theo các thông số của tín hiệu:

a) Giá trị cực ñại maxU và giá trị cực tiểu minU của hình bao ( )AMu t .

b) Hệ số sóng hài m

AM

Ph

P= , trong ñó AMP là công suất trung bình của tín hiệu

và mP là công suất trung bình khi lọc bỏ sóng mang.


Trang 79

Bài 5.6 Áp dụng kết quả bài 5.5, ñể tìm các hệ số sâu ñiều chế của tín hiệu AM sau ñây: ( ) (1 0.3cos 0.4cos2 ).cosAM t U t t tu ω ω= + + Ω


Trang 80

Bài 5.7 Ở ñầu vào của một mạch lọc có ñặc tuyến tần số ( )K ω , ñược ñưa ñến tín

hiệu ñiều biên có dạng: ( ) ( )1 cosvx t A x t t= + Ω

Tín hiệu ở ñầu ra của mạch cũng là tín hiệu ñiều biên: ( ) ( )1 cosrx t B y t t= + Ω

a)Hãy vẽ phổ của tín hiệu ñầu ra mạch lọc. b)Tìm quá trình y(t) và năng lượng của nó. Cho biết: 2A = ; 10 /rd sΩ = ;

( ) 2x t Sa t= ; 10 10

( )4 4

Kω ωω − + = Λ + Λ

Bài 5.8 Sóng mang sin 2 otω bị ñiều chế bởi tín hiệu oSa tω trong hệ AM, ở ñầu ra

của mạch ñiều chế nhận ñược ( )( ) 1 sin 2AM o oy t Sa t tω ω= + . Tín hiệu ( )AMy t ñược

ñưa ñến mạch phi tuyến có ñặc tuyến z y= (hình 5.8),và sau ñó cho qua mạch lọc

thông dải có ñặc tuyến tần số:

4 4

( )2 2

o o

o o

Kω ω ω ωω

ω ω − += Π + Π

Hãy tìm tín hiệu w( )t và công suầt trung bình của nó. Bài 5.9 Một ñài phát làm việc với song mang có bước sóng

300mλ = , sóng mang bị ñiều chế bởi tín hiệu ( ) 3cos 2 10x t a tπ=

trong hệ AM. ðiện áp của tín hiệu ñiều biên AM ñược ñưa ñến mạch cộng hưởng với tần số sóng mang (hình 5.9). Hãy tìm hệ số phẩm chất nhỏ nhất cần có của mạch cộng hưởng, ñể tỉ số giữa biên ñộ dải bên với biên ñộ sóng mang của dòng iAM(t) suy giảm không lớn hơn 3dB so với tỷ số giữa biên ñộ sóng bên với biên ñộ sóng mang của tín hiệu uAM(t). Bài 5.10 Ở ñầu vào mạch cộng hưởng nối tiếp trên hình 5.9, ñược ñưa ñến tín hiệu ñiều biên: ( ) ( ) ( )4 6100 50cos10 cos10AMu t t t V= +

Mạch ñược ñiều chỉnh cộng hưởng ở tần số sóng mang. a) Hãy tính hệ số phẩm chất,nếu biết rằng, ñường bao của tín hiệu dòng ñiện

iAM(t) bị dịch chuyển so với ñường bao của tín hiệu ñiện áp uAM(t) một góc

3

π.


Trang 81

b) Tìm các thông số L, R của mạch, cũng như hệ số ñộ sâu ñiều chế dòng ñiện mi, nếu 2C nF=


Trang 82

BÀI GI ẢI Bài 5.1 Tần số sóng mang: 104of kHz=

Bề rộng phổ của tín hiệu tin tức: 300 Hz – 400 kHz (min maxf f− ) Bề rộng dải thông:

max max2 2.2 2 .2.3,4 2 .6,8AMB fω π π π= = = = (rad/s) Dải tần làm việc của máy thu tín hiệu:

min max' 104 3,4 100,6of f f= − = − = kHz

max max' 104 3,4 107,4of f f= + = + = kHz

Bài 5.2

1( ) (1 os ) os4AM oy t mc t c tπω ω = + +

( ) (1 0.5 os ) os2 4

oAM oy t c t c t

ω πω = + +

os 0.5cos .cos4 2 4

oo oc t t t

ωπ πω ω = + + +

1 3

os cos cos4 4 2 4 2 4

oo oc t t t

ωπ π πω ω = + + + + +

Phổ của tín hiệu ( )AMy t là:

( ) ( ) ( )( ) 4

41 1 1 3 3

4 2 2 2 2

j

AM o o

j

o o o o

Y e

e

πω

πω

ω π δ ω ω δ ω ω

π δ ω ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω

= − + +

+ − + + + − + +

ðặt: ( ) ( ) ( )( )'

1 1 1 3 3

4 2 2 2 2

AM o o

o o o o

Y ω π δ ω ω δ ω ω

π δ ω ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω

= − + +

+ − + + + − + +

Ở ñầu vào mạch lọc thông thấp có ñặc tuyến tần số:

( )0

Kωωω

= Λ


Trang 83

Phổ của tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc:

( ) ( ) ( ) ( ) 4 41 1 1

. ' . .8 2 2

j j

AM AM o oZ Y K Y K e eπ πω ω

ω ω ω ω π δ ω ω δ ω ω = = = − + +

Tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc:1 1

( ) cos8 2 4oz t t

πω = +

Công suất của tín hiệu z(t):

21

182 128zP

= =

Kết luận: *Tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc:

1 1( ) cos

8 2 4oz t tπω = +

*Phổ của tín hiệu:

( ) 41 1 1

8 2 2

j

o oZ eπω

ω π δ ω ω δ ω ω = − + +

*Công suất của tín hiệu: 1

128zP =

Bài 5.3

[ ] 5( ) ( ) .cos 2 10AMy t A x t tπ= +

Biên ñộ nhỏ nhất của sóng mang min

A ñể tín hiệu

( )AMy t ñược tách sóng không bị méo trong mạch tách sóng hình bao

max ( ) : ( ) 0A x t x t≥ < => min 1A =

Tín hiệu AM tương ứng với biên ñộ A=1


Trang 84

Tín hiệu AM-SC: 5( ) ( )cos 2 10AM SCy t x t tπ− = Bài 5.4 Ta có:

3 6( ) ( ) ( ) 15cos10 5cos10z t x t y t t t= + = + Mà 2w 10 2 0.02z z= + +

=> 3 6 2 3 2 6 3 69 1w(t) 10 30cos10 10cos10 cos 10 cos 10 3cos10 .cos10

2 2t t t t t t= + + + + +

3 6 3 6 3 69 9 1 110 30cos10 10cos10 cos 2.10 cos 2.10 3cos10 .cos10

4 4 4 4t t t t t t= + + + + + + +

( )3 6 3 6 3 6 6 325 9 1 330cos10 10cos10 cos 2.10 cos 2.10 cos(10 10 ) cos(10 10 )

2 4 4 2t t t t t t= + + + + + − + +

Phổ của tín hiệu w(t):

3 3 6 6W( ) 25 ( ) 30 ( 10 ) ( 10 ) 10 ( 10 ) ( 10 )ω πδ ω π δ ω δ ω π δ ω δ ω = + − + + + − + +

3 3 6 69 1( 2.10 ) ( 2.10 ) ( 2.10 ) ( 2.10 )

4 4π δ ω δ ω π δ ω δ ω + − + + + − + +

3 6 3 6 3 6 3 63( (10 10 )) ( (10 10 )) ( (10 10 )) ( (10 10 ))

2π δ ω δ ω δ ω δ ω + − − + + − + − + + + +

ðặc tuyến của mạch lọc:

( )6 6

3 3

10 10

3.10 3.10K

ω ωω − += Π + Π


Trang 85

Phổ của tín hiệu ra sau khi qua mạch lọc: ( )( ) W( ).AMY Kω ω ω=

6 6 3 6 3 6310 ( 10 ) ( 10 ) ( (10 10 )) ( (10 10 ))

2π δ ω δ ω π δ ω δ ω = − + + + − − + + −

3 6 3 63( (10 10 )) ( (10 10 ))

2π δ ω δ ω + − + + + +

Tín hiệu ñầu ra mạch lọc:

( ) ( )6 3 6 3 63 3( ) 10cos10 cos 10 10 cos 10 10

2 2AMy t t t t= + − + +

6 3 610cos10 3cos10 cos10t t t= +

Vậy hệ số ñộ sâu ñiều chế của tín hiệu ( )AM ty : 3

0.310

m= =

Bài 5.5 a) ( ) (1 cos ).cosAM t U m t tu ω= + Ω

ðặt cosx tω= ( [ ]1;1x∈ − ) ( ) (1 )f x U mx= + ( )U mU f x U mU=> − ≤ ≤ +

ax ax( )m mU f x U mU= = +

min min( )U f x U mU= = −

=> ax min 2mU U mU− = , ax min 2mU U U+ =

ax min

ax min

m

m

U Um

U U

−=> =+

b)

m

AM

Ph

P=

( ) (1 cos ).cosAM t U m t tu ω= + Ω cos cos cosU t mU t tω= Ω + Ω

( ) ( )1cos cos cos

2U t mU t tω ω= Ω + + Ω + − Ω


Trang 86

21 1. ( )

2 2mP mU= , 2 21 1 1. ( )

2 2 2AMP U mU= +

2

2

2 2

1( )

21

( )2

m

AM

mUPh

P U mU= =

+

2 22

2 2 2 2 2

1 2 2 2 21

1 1

m hm m h

h m m h h

+⇔ = = + ⇔ = ⇔ =− −

Bài 5.6 a)

( ) (1 0.3cos 0.4cos2 ).cosAM t U t t tu ω ω= + + Ω 2(0.6 0.3cos 0.8cos ).cosU t t tω ω= + + Ω

ðặt cos t xω = với [ ]1;1x∈ − 2( ) 0,6 0,3 0,8f x x x= + +

'( ) 0,3 1,6f x x= + 3

'( ) 016

f x x−= <=> =

Bảng biến thiên: x -1

3

16

− 1

'( )f x - 0 + ( )f x 1,1 1,7

0,57

=> max( ) 1,7f x = , min ( ) 0,57f x =

ax ax. 1.7m mU U f U= =

in min. 0.57mU U f U= =

ax in

ax in

1,7 0,57 1,130.498

1,7 0,57 2,27m m

m m

U U U Um

U U U U

− −= = = ≈− +

b) ( ) (1 0.3cos 0.4cos2 ).cosAM t U t t tu ω ω= + + Ω

cos 0.3 cos .cos 0.4 cos 2 .cosU t U t t U t tω ω= Ω + Ω + Ω

[ ] [ ]0.3 0.4cos cos( ) cos( ) cos(2 ) cos(2 )

2 2U t U t U t U t U tω ω ω ω= Ω + + Ω + − Ω + + Ω + − Ω

2 2 21 1 1 1(0.3 ) (0.4 )

2 2 2 16mP U U U = + =


Trang 87

2 2 2 21 1 1 1 9(0.3 ) (0.4 )

2 2 2 2 16AMP U U U U = + + =

1

3m

AM

Ph

P= =

=> 2

2 1 20.5

11 3 19

m hh

= = =− −

Kết luận: a) 0.498m= b) 0.5m =


Trang 88

Bài 5.7 a) b)

[ ]( ) 1 ( ) cosvx t A x t t= + Ω

[ ]( ) 2 1 2 cos10 2cos10 2 2 .cos10vx t Sa t t t Sa t t= + = +

Phổ của tín hiệu ( )vx t :

[ ] 10 10( ) 2 ( 10) ( 10)

2 4 2 4vXπ ω π ωω π δ ω δ ω − + = − + + + Π + Π

Mạch lọc có ñặc tuyến tần số: 10 10

( )4 4

Kω ωω − + = Λ + Λ


Trang 89

Phổ của tín hiệu ( )rx t : ( ) ( ). ( )r vX X Kω ω ω=

[ ] 10 10 10 102 ( 10) ( 10)

4 4 4 2 4 4 4 2

π ω π ω π ω π ωπ δ ω δ ω − − + + = − + + + Π + Λ + Π + Λ

10 2 10 10 2 101 1 1 1( ) 2cos10 2 . . 2 . .

2 4 2 4j t j t j t j t

rx t t Sa t e Sa t e Sa t e Sa t e− −= + + + +

( ) ( )10 10 2 10 101 12cos10 2 . .

2 4j t j t j t j tt Sa t e e Sa t e e− −= + + + +

21 12cos10 2 .2cos10 .2cos10

2 4t Sa t t Sa t t= + +

21 12 1 2 cos10

2 4Sa t Sa t t = + +

Mà [ ]( ) 1 ( ) cosrx t B y t t= + Ω

21 1( ) 2

2 4y t Sa t Sa t=> = +

Năng lượng của tín hiệu y(t):

1 1 2 5. . .

2 2 4 3 1 12yEπ π π→ = + =

Bài 5.8 Tín hiệu ( ) (1 )sin 2AM o oy t Sa t tω ω= + sau khi qua mạch phi tuyến có dạng:

( ) ( ) (1 )sin 2 (1 ). sin 2AM o o o oz t y t Sa t t Sa t tω ω ω ω= = + = +

Vì 1 0oSa tω+ ≥

Phổ của ( ) sin(2 )ox t tω= có dạng:

( ) 2 . ( ')nn

X X nω π δ ω ω+∞

=−∞

= −∑

( ) sin(2 )ox t tω= là tín hiệu tuần hoàn với:

- Chu kỳ: 2 o

Tπω

= ,


Trang 90

- Tần số góc 2 2

' 4

2

o

o

T

π πω ωπω

= = =


Trang 91

Tín hiệu sin(2 )otω trong 1 chu kỳ T, [0, ]t T∈ có dạng:

4( ) sin(2 ).

2

oT o

o

t

x t t

πωω π

ω

− = Π

=> ( 2 ) ( 2 )

4 4( 2 ) ( 2 )1( ) . . .

2 2 4 4

o o

o o

j jo o

To o o

X Sa e Sa ej

ω ω π ω ω πω ωω ω π ω ω ππω

ω ω ω

− +− − − += −

(4 2 ) (4 2 )

4 4

(4 )( ')

2 (4 2 ) (4 2 )1. . . .

2 2 4 4

o o o o

o o

oN

n nj j

o o o o o

o o o

X nX nX

T T

n nSa e Sa e

j

ω ω π ω ω πω ω

ωω

ω ω ω π ω ω ππω π ω ω

− +− −

= =

− += −

(2 1) (2 1)

2 2

(2 1) (2 1)

2 2

1 (2 1) (2 1). .

2 2 2

(2 1) (2 1)sin sin

1 2 2. .

(2 1) (2 1)22 2

n nj j

n nj j

n nSa e Sa e

j

n n

e en nj

π π

π π

π π

π π

π π

− +− −

− +− −

− += −

− + = −− +

(2 1) (2 1)

2 2

(2 1) (2 1)sin sin

1 2 2 2. . .

2 2 1 2 1

n nj j

n n

e ej n n

π ππ π

π

− +− −

− + = −

− +

2 21 1 sin((2 1) ) ( 1) 1 sin((2 1) ) ( 1). . sin . sin

2 1 2 2 2 1 2 2

n n n nj j

j n n

π π π ππ − − + + = − − − − +

( ) ( )2 21 1 1. . 0 os ( ) . 0 os ( )

2 1 2 1jc n jc n

j n nπ π

π = − − − − +

2 21 os ( ) os ( ).

2 1 2 1

jc n jc n

j n n

π ππ −= + − +

2os ( ) 1 1.

2 1 2 1

c n

n n

ππ

− = + − +

2

1 2.

1 4nπ = −

vì 2cos ( ) 1nπ =

Do ñó:


Trang 92

02

02

2( ) 2 . ( 4 )

(1 4 )

4. ( 4 )

1 4

n

n

X nn

nn

ω π δ ω ωπ

δ ω ω

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= −−

= −−

∑

∑

Vậy ta có: 1 2 ( )2o

o o

Sa tπ ωω πδ ωω ω

+ ↔ + Π

2

4sin 2 . ( 4 )

1 4o on

t nn

ω δ ω ω+∞

=−∞

↔ −−∑

Áp dụng ñịnh lý phổ của tích tín hiệu ta có:

2

1 4(1 ). sin 2 2 ( ) * . ( 4 )

2 2 1 4o o ono o

Sa t t nn

π ωω ω πδ ω δ ω ωπ ω ω

+∞

=−∞

+ ↔ + Π − −

∑

Phổ của tín hiệu ( )z t là:

[ ]2 2

4 2( ) . ( )* ( 4 ) . * ( 4 )

1 4 (1 4 ) 2o on n o o

Z n nn n

ωω δ ω δ ω ω δ ω ωω ω

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= − + Π − − − ∑ ∑

Áp dụng tính chất tích chập của phân bố ( )δ ω với hàm bất kỳ, ta có: ( )* ( 4 ) ( 4 )o on nδ ω δ ω ω δ ω ω− = −

4* ( 4 )

2 2o

oo o

nn

ω ωω δ ω ωω ω

−Π − = Π

Vậy:2 2

44 2( ) . ( 4 ) .

1 4 (1 4 ) 2o

on n o o

nZ n

n n

ω ωω δ ω ωω ω

+∞ +∞

=−∞ =−∞

−= − + Π − − ∑ ∑

Tín hiệu ( )z t ñược ñưa qua mạch lọc thông dải có ñặc tuyến tần số:

4 4( )

2 2o o

o o

Kω ω ω ωω

ω ω − += Π + Π


Trang 93


Trang 94

Phổ của ( )w t là: ( ) ( ). ( )W Z Kω ω ω=

4 44 2 4 2. ( 4 ) . . ( 4 ) .

3 3 2 3 3 2o o

o oo o o o

ω ω ω ωδ ω ω δ ω ωω ω ω ω

− += − + Π + + + Π − − − −

[ ] 4 44 2. ( 4 ) ( 4 ) .

3 3 2 2o o

o oo o o

ω ω ω ωδ ω ω δ ω ωω ω ω

+ −= − + + + Π + Π − −

=>8 1 4

( ) . . os4 . . . os43 2 3

oo o o

o

w t c t Sa t c tωω ω ω

π ω π= +

− −

( )

4 4os(4 ) . os(4 )

3 34

1 . os(4 )3

o o o

o o

c t Sa t c t

Sa t c t

ω π ω ω ππ π

ω ω ππ

= − + −

= + −

Xét tín hiệu ( )4'( ) .cos 4

3 o ow t Sa t tω ω ππ

= − :

* '( )w t tồn tại vô hạn

* ( ) ( )sin4 4lim .cos 4 lim cos 4 0

3 3o

o o ot t

o

tSa t t t

t

ωω ω π ω ππ π ω→∞ →∞

− = − =

=> ( )4.cos 4

3 o oSa t tω ω ππ

− là tín hiệu năng lượng nên '( ) 0w tP =

Vậy công suất trung bình của ( )w t là: 2

1 40.09

2 3wPπ

= =

Kết luận:

Tín hiệu ( )4( ) 1 . os(4 )

3 o ow t Sa t c tω ω ππ

= + −

Công suất trung bình: 0.09wP =


Trang 95

Bài 5.9 Sóng mang có bước sóng: 300mλ =

Tần số sóng mang: 8

63.1010

300.1o

Cf Hz

nλ= = = => 62 10 ( / )o rad sω π=

ðiện áp: 3 6( ) ( cos 2 10 )cos2 10AMu t A a t tπ π= + [V]

( )

6 3 6

6 6 3 6 3

cos 2 10 cos 2 10 .cos 2 10

cos 2 10 cos(2 10 2 10 ) cos(2 10 2 10 )2

A t a t t

aA t t t

π π π

π π π π π

= +

= + − + +

=> o

0 0 02 2AM

a aAU = ∠ + ∠ + ∠

ðặt: 6 3

1 2 (10 10 )ω π= − rad/s 6 32 2 (10 10 )ω π= + rad/s

Dòng ñiện chạy qua mạch:

1 20

o

1 20

0 00 2 2AM

a aA

Z ZZIω ωω ϕ ϕϕ

∠ ∠∠= + +∠ ∠∠

Mạch cộng hưởng với tần số sóng mang nên 1

oo

LC

ωω

=

=> 2

2 21o o

o

Z R L R RCω ω

ω

= + − = =

1

0 0o

oo

LC

arctg arctgR

ωωϕ

−= = =

1

2

21

1

1Z R L

Cω ωω

= + −

11

1

1L

Carctg

R

ωωϕ

−=

2

2

22

2

1Z R L

Cω ωω

= + −

22

2

1L

Carctg

R

ωωϕ

−=

Ta thấy: 2 2 2 12

6 31 1 1 6 3

1 1 1

1 4 102 (10 10 )

2 (10 10 )o oL L L L L

C

ω ω πω ω ω πω ω ω π

− = − = − = − − −

= - 12572.L

2 2 2 126 3

2 2 2 6 32 2 2

1 4 102 (10 10 )

2 (10 10 )o oL L L L L

C

ω ω πω ω ω πω ω ω π

− = − = − = + − +

= 12560.L


Trang 96

=> 1 2

Z Zω ω≈ =Z

1 2ϕ ϕ ϕ= − = −


Trang 97

Vậy: o

02 2AM

A a a

R Z ZI ϕ ϕ= ∠ + ∠ + ∠ −

=> 6 6 3 6 3( ) cos2 10 cos((2 10 2 10 ) ) cos((2 10 2 10 ) )2 2AM

A a ai t t t t

R Z Zπ π π ϕ π π ϕ= + − + + + −

6 6 3 6 3cos2 10 cos(2 10 (2 10 )) cos(2 10 (2 10 ))2 2

A a at t t t t

R Z Zπ π π ϕ π π ϕ= + − − + + −

Tỉ số giữa biên ñộ sóng bên với biên ñộ sóng mang của tín hiệu ( )AMu t là:

22u

aa

A Aβ = =

Tỉ số giữa biên ñộ giải bên với biên ñộ sóng mang của dòng ( )AMi t là:

2

2 2 2

2 2 ui u

aa

Z RAA Z Z ZR R R

ω

ω ω ω

ββ β= = = =

Theo ñề: iβ suy giảm không quá 3dB so với uβ nên 2

2

12

2

ZR

RZ

ω

ω

≤ => ≥

=>

2 22

2 22 2

1 1

2 1 2

R L LC C

R R

ω ωω ω + − − ≥ => + ≥

=>

2 2

2 22 2

1 1

1 2 1

L LC C

R R

ω ωω ω

− − + ≥ => ≥

Vì R, L, C >0 nên 22

112560. 0L L

Cω

ω− = >

Do ñó: 12560. 1

112560

L L

R R≥ => ≥

Hệ số phẩm chất:

61 2 10. 50012560 12456

oo

LQ

R

ω πω= ≥ = ≈ Vậy min 500Q =


Trang 98

Bài 5.10 4 6( ) (100 50cos10 )cos10AMu t t t= + [V]

a) 4 6 6 6 4 6 4( ) (100 50cos10 )cos10 100cos10 25(cos(10 10 ) cos(10 10 ) )AMu t t t t t t= + = + − + +

o

100 0 25 0 25 0U = ∠ + ∠ + ∠

=> 1 20

o

1 20

100 0 25 0 25 0

Z ZZIω ωω ϕ ϕϕ

∠ ∠ ∠= + +∠ ∠∠

Với: 610oω = rad/s 6 4

1 (10 10 )ω = − rad/s 6 4

1 (10 10 )ω = + rad/s

Mạch cộng hưởng với tần số sóng mang nên 1

oo

LC

ωω

=

=> 0

2

2 21o

o

Z R L R RCω ω

ω

= + − = =

1

0 0o

oo

LC

arctg arctgR

ωωϕ

−= = =

1

2

21

1

1Z R L

Cω ωω

= + −

11

1

1L

Carctg

R

ωωϕ

−=

2

2

22

2

1Z R L

Cω ωω

= + −

22

2

1L

Carctg

R

ωωϕ

−=

Nhận thấy: 2 2 12

6 41 1 1 6 4

1 1 1

1 10(10 10 )

(10 10 )o oL L L L L

C

ω ωω ω ωω ω ω

− = − = − = − − −

= - 20000.L

2 2 126 4

2 2 2 6 42 2 2

1 10(10 10 )

(10 10 )o oL L L L L

C

ω ωω ω ωω ω ω

− = − = − = + − +

=19900.L

=> 1 2

Z Z Zω ω≈ =

1 2ϕ ϕ ϕ= − = −

=> o 100 25 25

0R Z ZI ϕ ϕ= ∠ + ∠ + ∠ −


Trang 99

Vậy: 6 6 4 6 4100 25 25

( ) cos10 cos((10 10 ) ) cos((10 10 ) )AMi t t t tR Z Z

ϕ ϕ= + − + + + −

6 6 4 6 4100 25 25cos10 cos(10 (10 )) cos(10 (10 ))t t t t t

R Z Zϕ ϕ= + − − + + −

6 4 6100 50cos10 cos(10 ).cos10t t t

R Zϕ= + −

4 6100 50cos(10 ) .cos10t t

R Zϕ = + −

ðường bao của tín hiệu dòng ñiện ( )AMi t là: 4100 50cos(10 )t

R Zϕ+ −

ðường bao của tín hiệu ñiện áp ( )AMu t là: 4100 50cos10t+ Theo ñề: ñường bao của tín hiệu dòng ñiện ( )AMi t bị dịch chuyển so với ñường bao

của tín hiệu ñiện áp ( )AMu t một góc 3

π nên ta có:

3

πϕ =

=> 1

1

1

3

LC

arctgR

ωω π

−= =>

20000. 33

20000

L L

R R= => =

Hệ số phẩm chất: 610 3

50 320000

oLQR

ω= = =

b) 92 2.10C nF F−= =

Ta có: 3

2 12 9

1 1 10,5.10 0,5

10 .2.10oo o

L L H mHC C

ωω ω

−−= => = = = =

320000 20000 10.0,5.10

3 3 3R L −= = = Ω

4 6100 50( ) cos(10 ) .cos10AMi t t t

R Zϕ = + −

[A]

Hệ số ñộ sâu ñiều chế dòng ñiện ( )AMi t là:

( )2

23

105050 30,5. 0,25

100 100 1020000.0,5.10

3

i

RZmZ

R−

= = = = +

Kết luận: a) 50 3Q = b) 0,5L mH= , 10

3R= Ω , 0,25im =


Trang 100

TÓM TẮT LÝ THUY ẾT TÍN HI ỆU 1. Chương 1: Các khái niệm cơ bản Câu 1.1: Tín hiệu là gì? Trình bày các cơ sở phân loại tín hiệu? Phân loại tín hiệu? Tr ả lời:

• Khái niệm: Tín hiệu là biểu hiện vật lý của tin tức mà nó mang từ nguồn tin ñến nơi nhận tin.

• Tín hiệu xác ñịnh và ngẫu nhiên:

Tín hiệu xác ñịnh là tín hiệu mà quá trình thời gian của nó ñược biểu diễn bằng các hàm thực hay phức theo thời gian. Ví dụ: Tín hiệu ñiện áp u(t) = 10 sin(300t + 450).

Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu mà quá trình thời gian của nó không thể biểu diễn bằng các hàm thời gian như tiếng nói, âm nhạc, hình ảnh,…..

• Tín hiệu liên tục và rời rạc:

Có thể tiến hành rời rạc thang giá trị hoặc thang thời gian và tương ứng ta sẽ có các

tín hiệu sau:

- Tín hiệu có giá trị liên tục theo thời gian liên tục ñược gọi là tín hiệu tương tự.

- Tín hiệu có giá trị rời rạc theo thời gian liên tục ñược gọi là tín hiệu lượng tử.

- Tín hiệu có giá trị liên tục theo thời gian rời rạc, ñược gọi là tín hiệu rời rạc.

- Tín hiệu có giá trị và thời gian ñều rời rạc ñược gọi là tín hiệu số.

• Các tín hiệu khác:

Dựa vào các thông số ñặc trưng cho tín hiệu, người ta còn phân loại như sau:

- Tín hiệu năng lượng và công suất

- Tín hiệu tần thấp, tần cao, dải rộng, dải hẹp.

- Tín hiệu có thời gian hữu hạn và vô hạn.

- Tín hiệu có giá trị hữu hạn.

- Tín hiệu nhân quả.

Câu 1.2: ðịnh nghĩa và chức năng của lý thuyết truyền tin (LTTT)? Tr ả lời:

• ðịnh nghĩa: LTTT là lý thuyết ngẫu nhiên của tin tức, có nghĩa là nó xét ñến tính chất bất ngờ của tin tức ñối với ngừơi nhận tin.


Trang 101

• Chức năng: LTTT nghiên cứu các phưong pháp mã hoá tin tức nghĩa là tìm ra các quy tắc ñể biểu diễn tin tức nhằm sử dụng hữu hiệu kênh truyền, tăng tính chống nhiễu và bảo ñảm tính bí mật tin tức

Câu 1.3: ðịnh nghĩa và Tính chất của tín hiệu vật lý? Tr ả lời: Một tín hiệu là biểu diễn của một quá trình vật lý, do ñó nó phải là một tín hiệu vật lý thực hiện ñược và phải toả mãn các yêu cầu sau:

Có năng lựơng hữu hạn Có biên ñộ hữu hạn Biên ñộ là hàm liên tục Có phổ hữu hạn và tiến tới 0 khi tần số ∞

Câu 1.4: ðịnh nghĩa tín hiệu xác ñịnh và tín hiệu ngẫu nhiên? Tr ả lời:

• Tín hiệu xác ñịnh là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó ñược biểu diễn bằng một hàm toán học xác ñịnh. Ví dụ: Tín hiệu ñiện áp u(t) = 10 sin(300t + 450).

• Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu mà quá trình biến thiên không biết trứơc ñược không thể biểu diễn bằng các hàm toán học xác ñịnh mà chỉ sử dụng các công cụ thống kê như thời gian như tiếng nói, âm nhạc, hình ảnh,…..

Câu 1.5: ðịnh nghĩa và dấu hiệu nhận biết tín hiệu năng lượng? Tr ả lời:

• ðịnh nghĩa: Tín hiệu năng lượng là tín hiệu có năng lượng hữu hạn • Nhận biết:

x(t) tồn tại hữu hạn trong khoảng thời gian t x(t) tồn tại vô hạn nhưng lim x(t) = 0 khi t∞

Câu 1.6: ðịnh nghĩa và dấu hiệu nhận biết tín hiệu công suất? Tr ả lời:

• ðịnh nghĩa: Tín hiệu công suất là tín hiệu có công suất trung bình hữu hạn. • Nhận biết:

x(t) tồn tại hữu hạn trong khoảng thời gian t x(t) tồn tại vô hạn nhưng lim x(t) ≠ 0 khi t∞.

Câu 1.7: Phân loại tín hiệu năng lượng và tín hiệu rời rạc? Tr ả lời: Có 4 loại:

• Tín hiệu có biên ñộ và thời gian liên tục ñược gọi là tín hiệu tương tự (Analog). • Tính hiệu có biên ñộ rời rạc và thời gian liên tục ñược gọi là tín hiệu lượng tử. • Tính hiệu có biên ñộ liên tục và thời gian rời rạc ñược gọi là tín hiệu rời rạc. • Tín hiệu có biên ñộ và thời gian rời rạc ñược gọi là tín hiệu số (Digital).

2. Chương 2: Phân tích miền thời gian Câu 2.1: Trình bày các thông số ñặc trưng của tính hiệu?


Trang 102

Tr ả lời: a. Tích phân tín hiệu.

• Với tín hiệu tồn tại trong khoảng thời gian hữu hạn (t1-t2)

∫=2

1

)(][t

t

dttxx

• Với tín hiệu tồn tại vô hạn (-∞, + ∞):

∫+∞

∞−

= dttxx )(][

b. Tr ị trung bình của tín hiệu

• Với tín hiệu thời hạn hữu hạn:

T

x

tt

dttx

x

t

t ][)(

12

2

1 =−

>=<∫

• Với các tín hiệu có thời gian vô hạn:

∫+

−∞→

>=<T

TT

dttxT

x )(2

1lim

• Tín hiệu tuần, chu kỳ T:

∫+

>=<Tt

t

dttxT

x0

0

)(1

c. Năng lượng của tín hiệu. Năng lượng tín hiệu ñược ñịnh nghĩa bởi tích phân của bình phương tín hiệu:

Ex = [x2] • Với tín hiệu có thời hạn hữu hạn

∫=2

1

)(2t

t

x dttxE

• Và tín hiệu có thời hạn vô hạn

∫+∞

∞−

= dttxEx )(2


Trang 103

d. Công suất trung bình của tín hiệu.

• Với tín hiệu có thời hạn hữu hạn:

T

x

tt

dttx

P

t

tx

][)(

12

22

1 =−

=∫

• Với các tín hiệu có thời hạn vô hạn:

∫+

−∞→

=T

TT

x dttxT

P )(2

1lim 2

• Với tín hiệu tuần hoàn, chu kỳ T:

∫=2

1

)(1 2

t

t

x dttxT

P

Câu 2.2: Tín hiệu phân bố ñược dùng trong những trường hợp nào? Tr ả lời:

• Phân bố ñược dùng như một mô hính toán học cho một loại tín hiệu nào ñó.

• Phân bố ñược dùng ñể mô tả các phép toán tác ñộng lên tín hiệu ví dụ như phép rời rạc tín hiệu hay lặp tuần hoàn tín hiệu

• Phân bố ñược dùng ñể mô tả phổ của tín hiệu trong trừơng hợp tín hiệu không có phổ Fourier thông thường. Ví dụ như bước nhảy ñơn vị, tín hiệu tuần hoàn và nhiều tín hiệu có năng lượng không xác ñịnh

Câu 2.3: ðịnh nghĩa và tính chất của phân bố Delta Diract?

Tr ả lời: • ðịnh nghĩa:

0 , t ≠ 0 δ (t) =

∞ , t = 0

và ∫∞

∞−

= 1)( dttδ

• Tính chất: 1) Tính chất chẵn:

δ(t) = δ(-t) 2) Tính chất rời rạc.

x(t) δ(t) = x(0) δ(t)


Trang 104

x(t) δ(t- t0) = x(t0) δ(t-t0) 3) Tính chất lặp :

x(t)* δ(t) = x(t) x(t)* δ(t-t0) = x(t-t0)

Câu 2.4: ðịnh nghĩa và tính chất của phân bố lược? Tr ả lời:

• ðịnh nghĩa: x(t) = ∑∞

−∞=−=

n

nTtT

tIII

T)(

1 δ

• Tính chất: 1) Tính chất chẵn:

||| (t ) = ||| (-t )

2) Tính chất rời rạc:

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−=−=

nn

nTtnTxnTttxT

tIII

Ttx )()()().(

1).( δδ

3) Tính chất lặp tuần hoàn:

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−=−=

nn

nTtxnTttxT

tIII

Ttx )()(*)(

1*)( δ

Câu 2.5: Khái niệm, tính chất hàm tương quan và tự tương quan của tín hiệu? Ý nghĩa của hàm tự tương quan? Tr ả lời:

1) Hàm tương quan của tín hiệu năng lượng: • Cho hai tín hiệu năng lượng x(t), y(t)

Hàm tương quan chéo:

* *

* *

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xy

yx

x t y t dt x t y t dt

y t x t dt y t x t dt

ϕ τ τ τ

ϕ τ τ τ

∞ ∞

−∞ −∞∞ ∞

−∞ −∞

= − = +

= − = +

∫ ∫

∫ ∫

Hàm tự tương quan:

* *( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx x t x t dt x t x t dtϕ τ τ τ∞ ∞

−∞ −∞

= − = +∫ ∫

• Tính chất:


Trang 105

*( ) ( )xy xyϕ τ ϕ τ= −

*( ) ( )xx xxϕ τ ϕ τ= −

Nếu x(t) là hàm thực xxϕ : hàm chẵn

2(0) ( )xx xx t dt Eϕ

∞

−∞

= =∫

Năng lượng tín hiệu chính bằng giá trịhàm tự tương quan tại 0τ = 2) Hàm tương quan của tín hiệu công suất:

a) Tín hiệu tuần hoàn • Cho hai tín hiệu tuần hoàn x(t), y(t)

Hàm tương quan chéo: 0 0

0 0

0 0

0 0

* *

* *

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t T t T

xy

t t

t T t T

yx

t t

x t y t dt x t y t dtT T

y t x t dt y t x t dtT T

ϕ τ τ τ

ϕ τ τ τ

+ +

+ +

= − = +

= − = +

∫ ∫

∫ ∫

Hàm tự tương quan: 0 0

0 0

* *1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t T t T

xx

t t

x t x t dt x t x t dtT T

ϕ τ τ τ+ +

= − = +∫ ∫

• Tính chất: *

*

( ) ( )

( ) ( )

xy yx

xx xx

ϕ τ ϕ τ

ϕ τ ϕ τ

= −

= −

Nếu x(t) là hàm thực xxϕ : hàm chẵn

( ) (0)

(0)xx xx

x xxP

ϕ τ ϕϕ

≤=

Công suất của tín hiệu tuần hoànchính bằng giá trị hàm tự tương quan tại 0τ = b) Tín hiệu có công suất trung bình hữu hạn:

• Cho hai tín hiệu x(t), y(t) Hàm tương quan chéo:


Trang 106

* *

* *

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

2 2

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

2 2

T T

xyT T

T T

T T

yxT T

T T

x t y t dt x t y t dtT T

y t x t dt y t x t dtT T

ϕ τ τ τ

ϕ τ τ τ

→∞ →∞− −

→∞ →∞− −

= − = +

= − = +

∫ ∫

∫ ∫

• Hàm tự tương quan:

* *1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

2 2

T T

xxT T

T T

x t x t dt x t x t dtT T

ϕ τ τ τ→∞ →∞

− −

= − = +∫ ∫

Ý nghĩa: -Hàm tự tương quan: thể hiện sự tương quan (phụ thuộc) giữa các giá trị ở các thời ñiểm khác nhau của một quá trình ngẫu nhiên (R(x1, x2, t1, t2)). -Hàm tương quan (hay tương quan chéo): thể hiện sự tương quan giữa các giá trị của hai quá trình ngẫu nhiên ở các thời ñiểm khác nhau (R(x1, x2, t1, t2)). Khi R=0 thì ñiều ñó có nghĩa là các giá trị ở các thời ñiểm tương ứng là không tương quan (ñộc lập thống kê)

Câu 2.6: Có bao nhiêu cách tính Px, Ex, trình bày cụ thể ? Tr ả lời:

• Có 3 cách tính Ex: Ex = [ ]

Ex= Φ(ω)d(ω).

• 3 cách tính Px: Px=< > Px =Ψxx(0)


Trang 107

Px = Ψ(ω)d(ω) Câu 2.7: Tín hiệu trực giao ñược hiểu như thế nào? Tr ả lời: Hai tín hiệu X(t) và Y(t) ñược gọi là trực giao với nhau trên [t1,t2] khi tích vô hướng của chúng bằng không.

<x,y>=0

Câu 2.8: Ưu ñiểm của phân tích tín hiệu so với phân tích thời gian, phân tích tương quan, phân tích thống kê?

Tr ả lời: • Sử dụng ñể phân tích nhiều loại tín hiệu: tín hiệu xác ñịnh, tín hiệu ngẫu

nhiên… • Cơ sở lý thuyết ñược phân tích ñầy ñủ • Có mối liên hệ với các phương pháp khác như phân tích thời gian, phân

tích tương quan….. • Có biểu diễn vật lý rõ ràng

3. Chương 3: Phân tích miền tần số Câu 3.1: ðịnh nghĩa bề rộng phổ? Phân loại tín hiệu dựa vào bề rộng phổ? Tr ả lời:

• Bề rộng phổ của tín hiệu là dải tần số (dương hoặc âm) tập tung công suất của tín hiệu.

• Ký hiệu: B, xác ñịnh theo công thức:

2 1B f f= −

Trong ñó: 1 2 20 , :f f f≤ < tần số giới hạn trên của tín hiệu.

• Dựa vào bề rông phổ có thể phân loại tín hiệu: Tín hiệu tần số thấp. Tín hiệu tần số cao. Tín hiệu dải hẹp. Tín hiệu dải rộng

Câu 3.2: ðịnh nghĩa và tính chất của phổ? Tr ả lời:

• ðịnh nghĩa:

(Biến ñổi thuận)


Trang 108

1x(t) ( )

2j tX e dωω ω

π

∞

−∞

= ∫ (Biến ñổi ngược)

X (ω) ñược gọi là phổ của tín hiệu x(t). Ký hiệu: x(t) X( )F

ω↔

X (ω) là phổ của một hàm phức phân tích ra thành các thành phần

( )( ) ( ) jX X eϕ ωω ω= ( ) ( ) ( )X P jQω ω ω= +

X (ω): phổ biên ñộ P (ω): phổ thực

( )ϕ ω : phổ pha Q (ω): phổ ảo

• Tính chất: 1) Tính chất chẵn lẻ:

Nếu x(t) là tín hiệu thực, thì:

Phổ thực là hàm chẵn : P(ω) = P(-ω) phổ ảo là hàm lẻ: Q(ω) = Q(-ω)

Và, phổ biên ñộ là hàm chẵn: X(ω)=X(-ω) phổ pha là hàm lẻ: ϕ(ω)= ϕ (-ω)

2) Tính chất tuyến tính: Nếu : x(t) ↔x(ω), y(t) ↔y(ω) Thì ax(t) + by(t) ↔ bx(t) + ay(t)

3) Tính chất ñối ngẫu:

( ) ( ) ( ) 2 ( )x t X X t xω π ω↔ ⇒ ↔ − 4) Tính chất thay ñổi thang ño:

( ) ( ) ( ) ( ); 0;t

x t X x a X a aa

ω ω↔ ⇒ ↔ ≠

5) Tính chất dịch chuyển trong miền thời gian:

00( ) ( ) ( ) ( ) j tx t X x t t X e ωω ω −↔ ⇒ − ↔

6) Tính chất dịch chuyển trong miền tần số:

00

00

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

j t

j t

x t e X

x t e Xx t X

ω

ωω ωω ω

ω −↔ −↔ +

↔ ⇒

Tính chất ñiều chế:


Trang 109

0 0 0

0 0 0

1( )cos( ) [ ( ) ( )]

21

( )sin( ) [ ( ) ( )]2

x t t X X

x t t X Xj

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

↔ − + +

↔ − − +

Câu 3.3: Phổ của tín hiệu tuần hoàn có dạng gì? Cách xác ñịnh Xn trong phổ của tín hiệu tuần hoàn? Tr ả lời:

• Phổ của tín hiệu tuần hoàn có dạng

• Xác ñịnh Xn trong phổ của tín hiệu tuần hoàn Cách 1: Sử dụng công thức

0

0

0

1( )

t Tjn t

n

t

X x t e dtT

ω+

−= ∫

Cách 2: Xét tín hiệu XT(t) trong một chu kỳ T,t[t0,t0+T] Xác ñịnh XT(<)dung biến ñổi Fourier cho Xt(t)

0( )n T

nX X

T

ω=

4. Chương 4: Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính Câu 4.1: ðịnh nghĩa và tính chất và ý nghĩa của tích chập? Tr ả lời:

• ðịnh nghĩa: Tích chập giữa hai tín hiệu x(t) và y(t), ký hiệu: x(t)*y(t), ñược xác ñịnh như sau:

• Tính chất:

1. Tính chất giao hoán:

2. Tính chất kết hợp:


Trang 110

3. Tính chất phân phối:

4. Nhân với hằng số:

5. Liên hệ với hàm tương quan:

• Ý nghĩa: Tích chập giúp xác ñịnh tác ñông của hệ thống lên tín hiệu ngõ

vào .Nghĩa là nó giúp xác ñịnh tín hiệu ngõ ra của hệ thống LTI khi biết tín hiệu ngõ vào và ñáp ứng xung của hệ thống.

Câu 4.2: ðịnh nghĩa hệ thống bất biến LTI? Tr ả lời: Hệ thống bất biến LTI là hệ thống thoả mãn ñồng thời tính chất tuyến tính và bất biến.

• Tính chất tuyến tính:

Nếu: x1(t) y1(t)

X2(t) y2(t) Thì:

• Tính chất bất biến:

Nếu: x(t) y(t)

Thì: x(t – t0) y(t - t0) Câu 4.3: Biểu thức quan hệ các ñặc trưng ngõ vào – ngõ ra của mạch tuyến tính? Tr ả lời:

Hệ thống Bất biến Input Out put

Hệ thống Tuyến tính

Input Out put


Trang 111

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

x t y t

X Y

h tInput Output

Hω ωω→ →

Trong miền thời gian: y(t)=h(t)*x(t)

Trong miền tần số: ( ) ( ) ( )Y H Xω ω ω= 5. Chương 5: Tín hiệu ñiều chế Trả lời: Câu 5.1: ðiều chế là gì? Mục ñích ñiều chế? Tầm quan trọng của ñiều chế tín hiệu trong hệ thống thông tin? Tr ả lời:

• ðiều chế là quá trình ánh xạ tin tức vào sóng mang bằng cách thay ñổi thông số của sóng mang (biên ñộ, tần số hay pha) theo tin tức

ðiều chế ñóng vai trò rất quan trọng không thể thiếu trong hệ thống thông tin

• Mục ñích: 1) Tạo ra tín hiệu phù hợp với kênh truyền. ðể có thể bức xạ tín

hiệu vào không gian dưới dạng sóng ñiện từ.

2) Cho phép tạo nhiều kênh truyền. và sử dụng hữu hiệu kênh truyền.

3) Tăng khả năng chống nhiễu cho hệ thống thông tin • Vị trí của ñiều chế trong hệ thống thông tin:

Câu 5.2: Phân loại các phương pháp ñiều chế tín hiệu?

Nguồn tin

Biến ñổi tin tức –Tín hiệu

Máy phát - ðiều chế - Khếch ñại - anten

Kênh truyền

Nhận tin

Biến ñổi tín hiệu, tin tức

Máy thu: Khuếch ñại Giải ñiều chế


Trang 112

Tr ả lời: Có 2 phương pháp ñiều chế tín hiệu là ñiều chế xung và ñiều chế liên tục

• Trong các hệ thống ñiều chế liên tục, tin tức sẽ tác ñộng làm thay ñổi các thông số của sóng mang ñiều hoà như: biên ñộ, tần số và góc pha. Sóng mang có các thông số thay ñổi ngẫu nhiên theo tin tức ñược gọi là tín hiệu bị ñiều chế – tín hiệu ñiều chế.

• Trong các hệ thống ñiều chế xung, tin tức tác ñộng làm thay ñổi các thông số của dãy xung như: biên ñộ, chu kỳ (vị trí) và ñộ rộng. Dãy xung vuông góc tuần hoàn có các thông số thay ñổi ngẫu nhiên theo tin tức ñược gọi tín hiệu bị ñiều chế – tín hiệu ñiều chế.

Caùc heä thoáng ñieàu cheá

Lieân tuïc Xung

Bieân ñoä Goùc Töông töï Soá

AM

AM

-SC

SS

B-S

C

SS

B

VS

B

PM

FM

PA

M

PD

M

PP

M

PC

M

Delta

Câu 5.3: Sóng mang là gì? Trong thực tế người ta thường dùg mấy loại sóng mang? Tr ả lời:

• Trong hệ thống ñiều chế xung: sóng mang là các dãy xung vuông góc tuần hoàn, tin tức sẽ làm thay ñổi các thông số của nó là biên ñộ, ñộ rộng và vị trí xung.

• Trong thực tế thì người ta thường dùng hai loại sóng mang là dao ñộng ñiều hòa cao tần hoặc các dãy xung.

Câu 5.4: Tại sao lại phải ñiều chế tín hiệu trước khi truyền ñi xa? Tr ả lời: Tin tức thường có tần số thấp, không thể truyền ñi xa ñược. ðể truyền ñi xa, người ta phải tìm cách ghép nó với tín hiệu có tần số cao, gọi là sóng mang. Quá trình này gọi là ñiều chế tín hiệu cao tần. Câu 5.5: Sự khác nhau khi ñiều chế tín hiệu AM, FM, PM? Tr ả lời:


Trang 113

ðiều chế tín hiêu AM, FM, PM ñều là loại ñiều chế tương tự nhằm mục ñích là ñiêu chế tín hiệu thông tin vào sóng cao tần ñể có thể chuyển tín hiệu thông tin ñi xa. Ba loại ñiều chế này có các ñặc ñiểm:

• Giống nhau: ñều chuyển phổ của tín hiêu thông tin vào sóng mang cao tần ñể truyền ñi.

• Khác nhau: Khi ñiều chế tín hiệu: AM thì tín hiệu thông tin sẽ ñược ñiều chế vào biên ñộ của sóng mang hay

nói ñúng hơn là nó làm thay ñổi biên ñộ của sóng mang. FM thì tín hiệu thông tin sẽ ñược ñiêu chế vào tần số của sóng mang. PM thì tín hiệu thông tin sẽ ñược ñiều chế vào pha của sóng mang.

Câu 5.6: Ưu và nhược ñiểm của sóng FM? Tr ả lời:

• Sóng FM có nhiều ưu ñiểm về mặt tần số, dải tần âm thanh sau khi tách sóng ñiều tần có chất lượng rất tốt, cho âm thanh trung thực và có thể truyền âm thanh Stereo, sóng FM ít bị can nhiễu hơn só với sóng AM.

• Nhược ñiểm của sóng FM là cự ly truyền sóng ngắn, chỉ truyền ñược cự ly từ vài chục ñến vài trăm Km, do ñó sóng FM thường ñược sử dụng làm sóng phát thanh trên các ñịa phương.

Câu 5.7: Tại sao PM dải hẹp ñiều hòa tương ñương với AM? FM và PM có thể hoán ñổi cho nhau ñược không? Tại sao? Tr ả lời:

Dạng tín hiệu AM: yAM(t)=[A+x(t)]cosΩt Quan hệ trong miền tần số

Dạng tín hiệu số PM dải hẹp:

]sin.[cos)( ttXSinktYtY pPM Ω−Ω= ω

= ])cos(2

1)cos(

2

1[cos tXktXktY pp ωω +Ω+−Ω−Ω

Quan hệ miền tần số:


Trang 114

Ta thấy tín hiệu PM dải hẹp tương ñương với tín hiệu AM có ñộ sâu ñiều chế m = kpX, nó chính bằng ñộ lệch pha của tín hiệu PM. Sự khác nhau chỉ ở chỗ, pha của dải dưới của tín hiệu PM dải hẹp khác pha của dải dưới tín hiệu AM một góc π.

Câu 5.8: Sự khác nhau giữa tín hiệu PM và FM?

Tr ả lời:

Tín hiệu Tín hiệu FM Tín hiệu PM

1. Pha tức thời tỷ lệ với tích phân của tín hiệu

Pha tức thời tỷ lệ trực tiếp vào x(t)

2. Tần số tỷ lệ trực tiếp vào x(t)

Tần số tỷ lệ với ñạo hàm của x(t)

3. Tín hiêu tin tức làm biến ñổi tần số tức thời biến ñổi pha tức thời

Tín hiệu tin tức biến ñổi pha tức thời biến ñổi tần số tức thời biến ñổi

4.

ðược ñiều chế bởi tín hiệu x(t)

ðược ñiều chế bởi ( )x t dt∫

Câu 5.9: Tại sao gọi biểu thức 2x(t)cos(ωot) ↔ X(ω-ωo)+X(ω+ωo) là biểu thức ñiều chế? Tr ả lời: Bởi vì trong ñiều chế biên ñộ thì ngườI ta giử nguyên θ(t) nên sóng mang sau ñiều chế có dạng y(t)=Y(t)cos(ωot+ϕ) Câu 5.10: Trong ñiều chế tương tự thế nào là ñiều biên, ñiều pha? Tr ả lời: Trong ñiều chế tương tự:

• Gọi là ñiều biên khi ta cho pha tức thời của sóng mang ñiều chế giữ nguyên.

• Gọi là ñiều pha khi ta cho biên ñộ tức thời trong sóng mang ñiều chế giữ


Trang 115

nguyên Sóng mang ban ñầu y(t)=Ycos(Ωt+ϕ) Sóng mang sau ñiều chế y(t)=Y(t)cos(θ(t))

Câu 5.11: Sự khác nhau căn bản giữa ñiều chế liên tục và ñiều chế xung? Tr ả lời: Sự khác nhau căn bản giữa ñiều chế liên tục và ñiều chế xung là ở chỗ:

• Hệ thống ñiều chế liên tục tin tức ñược truyền ñi liên tục theo thời gian . • Hệ thống ñiều chế xung, tín hiệu tin tức chỉ ñược truyền trong khoảng thời

gian có xung. Câu 5.12: Mối quan hệ giữa hệ thống FM và PM? Ưu ñiểm của hai hệ thống so với AM Tr ả lời:

• Mối quan hệ: Khi có bộ ñiều chế FM thì ta có thể tạo ra tín hiệu PM và ngược lại.

• Ưu ñiểm:

Khả năng chống nhiễu cao hơn AM Băng thông tín hiệu PM và FM rông hơn nhiều so với AM

( )dx t

dt

Bộ ñiều chế FM

( )x t dt∫ Bộ ñiều chế PM

x(t)

x(t)

YFM (t)

YPM (t)

giai bai tap ly thuyet tin hieu

Documents