guia teorica de matrices (5to año) 2dolapso

5/12/2018 Guia Teorica de Matrices (5to año) 2dolapso - slidepdf.com

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

U. E. P. ”MARISCAL SUCRE”SEGUNDO DE CIENCIAS, SECCION “A”

CURSO: MATEMATICA

GUIA TEORICA

Definici´ on 1. Matriz.Una matriz A de orden m × n es un arreglo rectangular de m · n nuumeros

dispuestos en m filas y n columnas como sigue:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

Nota: Se pueden usar parentesis o corchetes indistintamente.

A menos que se indique otra cosa, supondremos que todas las matrices est ancompuestas totalmente por numeros reales.

Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada de orden n y que los elementosa11, a22, . . . , ann forman la diagonal principal de A. Nos referiremos a aij como lacomponente (i, j) (componente de la fila i columna j) o elemento i,j-esimo de lamatriz A, y a menudo escribiremos:

A = [aij].

Tambien escribiremos Am×n o que A ∈ Rm×n para indicar que A tiene m filas

y n columnas y que sus componentes con numeros reales. Si A es de orden n × n,escribiremos simplemente An.

Definici´ on 2. Traspuesta de una Matriz.Si A = [aij] es una matriz m × n, entonces la traspuesta de A, At = [aij], es una

matriz n × m definida por aij = a ji. Ası, la traspuesta de A se obtiene a partir deA intercambiando las filas y las columnas de A.

Propiedad: (At)t = A.

Matrices Especiales :

⋆ Matriz Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero. Aesta matriz suele denotarse por O = Om×n. Tambien suele recibir el nombrede matriz cero.

⋆ Matriz Diagonal: Es toda matriz cuadrada A = [aij] de orden n tal queaij = 0 para i = j.

⋆ Matriz Escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal sontodos iguales.

⋆ Matriz Identidad: Es la matriz escalar I n = [aij], donde:

aij =

1 si i = j0 si i = j

Prof. Johan Castro Hernandez. Pag. 1 de 3



⋆ Matriz Triangular Superior: Es toda matriz cuadrada A = [aij] de ordenn tal que aij = 0 para i > j.

⋆ Matriz Triangular Inferior: Es toda matriz cuadrada A = [aij] de ordenn tal que aij = 0 para i < j.

⋆ Matriz Simetrica: Es toda matriz A tal que At = A.

⋆ Matriz Antisimetrica: Es toda matriz A tal que At = −A.

Definici´ on 3. Igualdad de Matrices.Dos matrices A = [aij ] y B = [bij] son iguales si son del mismo orden y si las

componentes correspondientes son iguales, es decir, si aij = bij para i = 1, 2, . . . , my j = 1, 2, . . . , n.

Definici´ on 4. Adicion de Matrices.Sean A = [aij] y B = [bij] dos matrices m × n. Entonces, la suma de A y B es

la matriz m × n dada por A + B = [cij ], donde cij = aij + bij para i = 1, 2, . . . , m y

j = 1, 2, . . . , n.

Definici´ on 5. Multiplicacion de una Matriz por un Escalar.Sean A = [aij] una matriz m×n y α un escalar real. Entonces, el multiplo escalar

de A por α es la matriz m × n dada por α · A = [cij], donde cij = α · aij , parai = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n.

Definici´ on 6. Sustraccion de Matrices.Sean A = [aij] y B = [bij] dos matrices m × n. Entonces, la diferencia de A y B

es la matriz m × n dada por A − B = A + (−1)B.

Definici´ on 7. Multiplicacion de Matrices.Sean A = [aij ] una matriz m × n y B = [bij] una matriz n × p. Entonces, elproducto de A y B es la matriz m × p dada por AB = [cij], donde:

cij =n

k=1

aikbkj = ai1b1 j +ai2b2 j +. . .+ainbnj para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , p.

Ahora bien, las operaciones “adicion” y “multiplicacion”, denotadas por “ + ”y “ · ” respectivamente, con A , B , C ∈ R

mxn y α, β ∈ R, satisfacen las siguientespropiedades:

(a) A + B = B + A

(b) (A + B) + C = A + (B + C )

(c) A + Om×n = Om×n + A = A

(d) A + (−A) = (−A) + A = Om×n

(e) 0A = Om×n

(f) 1A = A

(g) α(A + B) = αA + αB

(h) (α + β )A = αA + βA

(i) α(βA) = (αβ )A




(j) (AB)C = A(BC ), donde A ∈ Rm×n, B ∈ Rn× p y C ∈ R p×q

(k) A(B + C ) = AB + AC , donde A ∈ Rm×n y B, C ∈ Rn× p

(l) (A + B)C = AC + BC , donde A, B ∈ Rm×n y C ∈ Rn× p

(m) A(αB) = α(AB), donde A ∈ Rm×n y B ∈ Rn× p

(n) (A + B)t = At + Bt

(o) (αA)t = αAt

(p) (AB)t = BtAt, donde A ∈ Rm×n y B ∈ Rn× p

Definici´ on 8. Operaciones Elementales sobre filas (columnas) de una Matriz.Una operacion elemental sobre filas (columnas) en una matriz A es cualquiera

de las siguientes operaciones:

(a) Intercambiar la fila (columna) i con la fila (columna) j de A. Esta operacionse denomina Operaci´ on Elemental de Tipo I .

(b) Multiplicar la fila (columna) i de A por un numero α = 0. Esta operacion sedenomina Operaci´ on Elemental de Tipo II .

(c) Sumar α veces la fila (columna) i a la fila (columna) j de A, para i = j. Estaoperacion se denomina Operaci´ on Elemental de Tipo III .

Una matriz A de orden m × n es equivalente por filas (columnas) a una matrizB de orden m × n si B resulta de A mediante una sucesion finita de operacioneselementales sobre filas (columnas).

Definici´ on 9. Matriz Escalonada.

Una matriz A de orden m × n esta escalonada por filas si:(a) Todas las filas cuyos elementos son todos ceros (si las hay) aparecen en la parte

inferior de la matriz.

(b) El primer elemento distinto de cero (comenzando por la izquierda) de cualquierfila cuyos elementos no son todos nulos es el 1 (este numero es llamado pivote).

(c) Si dos filas sucesivas tienen elementos diferentes de cero, entonces el pivote dela fila de abajo esta mas hacia la derecha que el pivote de la fila de arriba.

Si ademas de las condiciones anteriores, cualquier columna de A que contengael pivote de alguna fila tiene sus otros elementos iguales a cero, se dice que A

esta escalonada reducida por filas. De manera semejante se puede definir matriz escalonada por columnas y matriz escalonada reducida por columnas.

Definici´ on 10. Determinante de una Matriz.El determinante de una matriz de orden n, es el escalar que se le asocia. Deno-

tado por det(A), |A| o

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

.

Definici´ on 11. Determinante de una matriz cuadrada de orden 2.

Sea A = a

11a

12a21 a22

una matriz de 2 × 2. Entonces, el determinante de A se

define como:




det(A) = a11a22 − a12a21

Definici´ on 12. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3.

Sea A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

una matriz 3 × 3. Entonces, el determinante de A se

define como:

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a11a23a32 + a12a21a33 + a13a22a31).

A continuacion, mencionaremos algunas de las propiedades de los determinantesde matrices cuadradas, de cualquier orden, que pueden facilitar significativamentesu calculo.

En adelante, consideraremos a A, B y C como tres matrices cuadradas orden n.

(a) Si A tiene una fila (o columna) formada solo por ceros, entonces |A| = 0.

(b) Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales, entonces |A| = 0.

(c) Si A tiene una fila (o columna) que es “multiplo escalar”de otra fila (o colum-na), entonces |A| = 0.

(d) Si A tiene una fila (o columna) que se puede escribir como “combinacionlineal”de las filas (o columnas) restantes, entonces |A| = 0.

(e) Si B se obtiene a partir de A al aplicar una Operaci´ on Elemental de Tipo I ,entonces |B| = −|A|.

(f) Si B se obtiene a partir de A al aplicar una Operaci´ on Elemental de Tipo II ,entonces |B| = α|A|.

(g) Si B se obtiene a partir de A al aplicar una Operaci´ on Elemental de Tipo III ,entonces |B| = |A|.

(h) Si A y B son matrices iguales excepto, quizas, por la i-esima fila (o columna) yC es la matriz que es identica a A y B excepto que la i-esima fila (o columna)de C es la suma de la fila (o columna) i de A y la fila (o columna) i de B,entonces |C | = |A| + |B|.

(i) Si A es una matriz triangular superior (o inferior), entonces |A| es el productode los elementos de la diagonal principal de A.

(j) |At| = |A|

(k) |AB| = |A||B|

(l) |An| = |A|n

(m) |αA| = α|A|.

Es importante aclarar que no siempre se cumple que |A + B| = |A| + |B|, demodo que hay que tener cuidado de no usar tal igualdad como si fuese una propiedadgeneral de los determinantes.

Contraejemplo:

Si consideramos a las matrices A =

1 00 0

y B =

0 00 1

notese que:




|A + B| = |I 2| = 1 = 0 = 0 + 0 = |A| + |B|

Definici´ on 13. Sistema de Ecuaciones Lineales.Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas es aquel de la forma:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

donde x1, x2, . . . , xn son las inc´ ognitas del sistema, los valores aij (donde i = 1, 2, . . . , my j = 1, 2, . . . , n) son los coeficientes de las inc´ oginitas y los valores b1, b2, . . . , bmson los terminos independientes del sistema .

El sistema anterior se puede expresar en forma matricial como:

AX = B

donde,

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

(matriz de los coeficientes),

X =

x1

x2...

xn

(matriz de las inc´ ognitas) y

B =

b1b2...

bm

(matriz de los terminos independientes).

Tambien, el sistema (1) se puede representar mediante la matriz aumentada :

(A|B) =

a11 a12 · · · a1n | b1

a21 a22 · · · a2n | b2

......

. . .... |

...am1 am2 · · · amn | bn

(1)

Si en el sistema (1) se tiene que B = 0 se dice que el sistema de ecuacioneslineales es homogeneo, de lo contrario se dice que es no homogeneo.

De acuerdo a la naturaleza de sus soluciones, un sistema de ecuaciones linealespuede ser:

(a) Compatible : Si tiene soluciones.

(i) Determinado : Si tiene una unica solucion.

(ii) Indeterminado: Si tiene infinitas soluciones.

(b) Incompatible: Si no tiene soluciones.


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