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Hans Walser

Statistik für Naturwissenschaftler

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5 10 15 20 25 30 35

3000

2500

2000

1500

1000

KVG-Leistungenpro versichertePerson Durchschnitt Schweiz

Anzahl Ärztepro 10000Einwohner

2 Regressionsgerade und Korrelation Lernumgebung

Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation ii

Inhalt

1 Messwertpaare ........................................................................................................ 1

2 Vertauschte Koordinaten......................................................................................... 2

3 Vertauschte Koordinaten......................................................................................... 5

4 Korrelationskoeffizient ........................................................................................... 8

5 Indirekte Proportionalität ........................................................................................ 9

6 Messwertpaare ...................................................................................................... 10

7 Messwertpaare ...................................................................................................... 11

8 Messwertpaare ...................................................................................................... 12

9 Abkühlung ............................................................................................................ 13

10 Die Fibonacci-Folge............................................................................................ 14

11 Erdbebenschäden ................................................................................................ 17

12 Korrelieren Deutsch und Mathe?......................................................................... 18

13 Eliteschule .......................................................................................................... 20

14 Großvaters Lexikon............................................................................................. 21

15 Random und Spearman ....................................................................................... 21

last modified: 25. Juli 2011

Hans Walser: 2 Regressionsgerade und Korrelation 1

1 Messwertpaare Wir bearbeiten die Messwertpaare:

i 1 2 3 4

xi 4 6 3 7

yi 1 0 4 3

Gegenüber dem vorangehenden Beispiel ist nur die Reihenfolge der Zahlen yi verän-dert worden.

Ergebnis

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Messwertpaare als Punkte. Regressionsgerade

Die Punkte sind nicht mehr die Ecken eines Quadrates. Mittelwerte: x = 5, y = 2 (dieselben Werte wie oben)

Empirische Kovarianz: cx,y = 1

Empirische Varianzen: sx2

=103, sy2

=103


Steigung der Regressionsgeraden: a = 0.3

Regressionsgerade: y = 0.3x + 3.5

Korrelationskoeffizient: rx,y =3

10 10= 0.3. Negative Korrelation.

2 Vertauschte Koordinaten a) Wir zeichnen die Datenpunkte und die Regressionsgerade zum folgenden Datensatz in das Koordinatensystem. Welche Gleichung hat die Regressionsgerade? Wie groß ist der Korrelationskoeffizient?

i xi yi

1 6 1

2 8 2

3 4 3

1

1

x

y

Koordinatensystem

b) Im folgenden Datensatz sind die Rollen von x und y gegenüber dem Datensatz von a) vertauscht. Wir zeichnen nun die Datenpunkte und die Regressionsgerade zu diesem


Datensatz in das Koordinatensystem. Wie liegen die Datenpunkte im Vergleich zu a)? Was ist für die Regressionsgerade zu erwarten? Welche Gleichung hat die Regressions-gerade tatsächlich? Kommentar? Wie groß ins in b) der Korrelationskoeffizient?

i xi yi

1 1 6

2 2 8

3 3 4

1

1

x

y

Koordinatensystem


Ergebnis a) Gleichung der Regressionsgeraden: y = 0.25x + 3.5

Korrelationskoeffizient: rxy = 0.5

1

1

x

y

Datenpunkte und Regressionsgerade

b) Die Datenpunkte von b) liegen spiegelbildlich (bei Spiegelung an der Geraden y = x ) zu den Datenpunkten von a). Die beiden Regressionsgeraden sind aber nicht spiegel-bildlich. Lediglich die Schwerpunkte sind spiegelbildlich.

Die Regressionsgerade von b) hat die Gleichung: y = x + 8 . Der Korrelationskoeffi-zient ist auch hier: rxy = 0.5


1

1

x

y

Beispiel b)

Beispiel a)

Beide Beispiele im selben Koordinatensystem

Kommentar: Die Regressionsgerade ist asymmetrisch bezüglich x und y definiert. Der Korrelationskoeffizient ist aber symmetrisch definiert.

3 Vertauschte Koordinaten a) Wir zeichnen die Datenpunkte und die Regressionsgerade zum folgenden Datensatz in das Koordinatensystem. Welche Gleichung hat die Regressionsgerade? Wie groß ist der Korrelationskoeffizient?

i xi yi

1 4 2

2 6 3

3 5 4


1

1

x

y

Koordinatensystem

b) Im folgenden Datensatz sind die Rollen von x und y gegenüber dem Datensatz von a) vertauscht. Wir zeichnen nun die Datenpunkte und die Regressionsgerade zu diesem Datensatz in das Koordinatensystem. Wie liegen die Datenpunkte im Vergleich zu a)? Was ist für die Regressionsgerade zu erwarten? Welche Gleichung hat die Regressions-gerade tatsächlich? Kommentar? Wie groß ins in b) der Korrelationskoeffizient?

i xi yi

1 2 4

2 3 6

3 4 5


1

1

x

y

Koordinatensystem

Ergebnis a) Gleichung der Regressionsgeraden: y = 0.5x + 0.5

Korrelationskoeffizient: rxy = 0.5

1

1

x

Datenpunkte und Regressionsgerade


b) Die Datenpunkte von b) liegen spiegelbildlich (bei Spiegelung an der Geraden y = x ) zu den Datenpunkten von a). Die beiden Regressionsgeraden sind aber nicht spiegel-bildlich. Lediglich die Schwerpunkte sind spiegelbildlich.

Die Regressionsgerade von b) hat die Gleichung: y = 0.5x + 3.5 . Der Korrelationskoef-fizient ist auch hier: rxy = 0.5

1

1

x

Beispiel a)

Beispiel b)

Beide Beispiele im selben Koordinatensystem

Kommentar: Die Regressionsgerade ist asymmetrisch bezüglich x und y definiert. Der Korrelationskoeffizient ist aber symmetrisch definiert.

4 Korrelationskoeffizient Wählen Sie einige Werte für xi und berechnen Sie yi mit einer selbst gewählten linea-ren Funktion yi = axi + b . Berechnen Sie anschließend den Korrelationskoeffizienten rx,y .

Ergebnis

rx,y =+1 falls a > 0

1 falls a < 0

Der Wert von b spielt keine Rolle.


Beispiele Beispiel: yi = 1.2xi + 0.5

x[i] y[i]

1 1.7

2 2.9

4 5.3

6 7.7

3 4.1

Korrelationskoeffizient 1

Beispiel: yi = 1.2xi + 0.5

x[i] y[i]

1 -0.7

2 -1.9

4 -4.3

6 -6.7

3 -3.1

Korrelationskoeffizient -1

5 Indirekte Proportionalität Wählen Sie einige Werte für xi und berechnen Sie yi mit einer selbst gewählten gebro-

chen linearen Funktion von der Form yi =axi

. Berechnen Sie anschließend den Korrela-

tionskoeffizienten rx,y .

Ergebnis

rx,y 1, 1] [

Die Extremwerte ±1 werden nicht angenommen.

Beispiel

yi =1.2xi

x[i] y[i]

1 1.2

2 0.6

4 0.3

6 0.2

3 0.4

Korrelationskoeffizient -0.863206158

Wir erhalten nicht den Korrelationskoeffizienten 1.



i 1 2

xi 1 5

yi 1 3

Wir haben nur noch zwei Punkte. Was heißt das?

Ergebnis

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Messwertpaare als Punkte. Regressionsgerade

Die Regressionsgerade geht exakt durch die beiden Punkte. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. Mittelwerte: x = 3, y = 2

Empirische Kovarianz: cx,y = 4


= 8, sy2

= 2


Steigung der Regressionsgeraden: a =12

Regressionsgerade: y =12x +

12

Korrelationskoeffizient: rx,y =48 2

= +1. Maximale positive Korrelation.


i 1 2

xi a c

yi b d

Wir haben nur noch zwei Punkte. Was heißt das?

Ergebnis Die Regressionsgerade geht exakt durch die beiden Punkte. Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt.

Mittelwerte: x =a+c2, y =

b+d2

Empirische Kovarianz: cx,y = 12ab ad bc + cd( ) = 1

2a c( ) b d( )


= 12a c( )

2, sy2

= 12b d( )

2.

Damit ist: sx =12a c , sy =

12b d . Warum die Betragsstriche?

Steigung der Regressionsgeraden: a =b da c

Regressionsgerade: y =b da c

x +ad bca c

Korrelationskoeffizient: rx,y =12a c( ) b d( )

12a c 1

2b d

=a c( ) b d( )a c b d

= sgn

Vor-zeichen

a c( ) b d( )( ) = ±1.

Maximale positive oder maximale negative Korrelation.



x[i] y[i]

1 2

2 1

2 3

3 2

3 4

4 3

4 5

5 4

Zeichnung? Regressionsgerade?

Ergebnis

y = 0.6667x + 1

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

Reihe1

Schwerpunkt

Linear (Reihe1)

Regressionsgerade

Auffallend ist folgendes: Die Punktwolke ist schön symmetrisch, die Symmetrieachse

hat die Gleichung y = x . Die Regressionsgerade mit der Gleichung y = 23x +1 ist nicht

die Symmetrieachse. Dies hängt damit zusammen, dass bei der Berechnung der Regres-sionsgeraden die beiden Werte x und y unterschiedlich behandelt werden.


9 Abkühlung Bei einem Abkühlungsprozess zeigt das Thermometer zur Zeit x [in sec] die Temperatur y [in °C] an:

Zeit x 10 20 30 60 90 120 180 240 300

Temperatur y 27.9 25.8 24.3 19.5 15.9 12.8 8.5 5.6 3.6

Zwischen x und y wird ein Zusammenhang der Form y = aebx vermutet.

Angenommen, wir haben lediglich ein Programm für die lineare Regression vom Typ y = mx + q zur Verfügung. Wie kann das Problem trotzdem gelöst werden?

Bearbeitung

Aus y = aebx folgt ln y( ) = ln a( ) + bx ; dies ist eine Geradengleichung. Wir können

also die y-Werte durch ln y( ) ersetzen und dann mit der linearen Regression arbeiten.

Zeit x 10 20 30 60 90 120 180 240 300 Temperatur y 27.9 25.8 24.3 19.5 15.9 12.8 8.5 5.6 3.6

ln(y) 3.329 3.250 3.190 2.970 2.766 2.549 2.140 1.723 1.281

Das gibt dann folgende Situation (die Punkte liegen fast zu genau auf einer Geraden):

Lineare Regression


Somit ist b = 0.00702 und ln a( ) = 3.39645 , also a = 29.85792 . Wir erhalten die

Funktion:

y = 29.85792e 0.00702x

Mit Excel kann man das auch direkt machen (Option: exponentielle Trendlinie):

Exponentielle Trendlinie

10 Die Fibonacci-Folge Die Fibonacci-Folge ist durch die Startwerte f1 =1, f2 =1 und die Rekursion

fi+2 = fi+1 + fi

definiert.

a) Welches sind die ersten zehn Glieder der Fibonacci-Folge?

b) Diagramm i und fi für die ersten zehn Glieder

c) Wie korrelieren i und fi für die ersten zehn Glieder?

d) Diagramm i und ln fi( ) für die ersten zehn Glieder

e) Wie korrelieren i und ln fi( ) für die ersten zehn Glieder

f) Wie groß ist der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient für i und fi?


Bearbeitung a)

i fi ln fi( )

1 1 0 2 1 0 3 2 0.69314718 4 3 1.09861229 5 5 1.60943791 6 8 2.07944154 7 13 2.56494936 8 21 3.04452244 9 34 3.52636052

10 55 4.00733319

b)

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10

Nummer i

Fibo

nacc

izah

l fi

Die ersten zehn Fibonacci-Zahlen

c) ri, fi = 0.8713


d)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

Nummer i

ln(f

i)

Die Logarithmen der ersten zehn Fibonacci-Zahlen

e) ri,ln fi( ) = 0.9968

f) Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient für i und fi ist 1, da i und fi dieselbe Rangreihenfolge haben. Die Rechnung nach Rezept gibt allerdings etwas weniger, weil wegen f1 =1 und f2 =1 hier die Ränge gemittelt werden müssen. Es ergibt sich dann:

rSpearman = 16

n3 ndi2

i=1

n=30293030

0.9997


11 Erdbebenschäden Fiktives Beispiel

In einem stark erdbebengefährdeten Gebiet fanden im vergangenen Jahr 8 Erdbeben statt:

Nr Stärke

(Richter-

skala)

Schäden in Mio $

1 3.8 42

2 2.4 33

3 2.6 20

4 3.7 40

5 5.4 49

6 6.2 45

7 3.8 33

Korrelieren Stärke und Schadensumme?

Bearbeitung Da die Richterskala eine Ordinalskala ist, müssen wir den Rangkorrelationskoeffizien-ten gemäß Spearman anwenden.

Erdbeben

Nr Stärke

(Richter-

skala)

Schäden

in Mio $

Rang

Richter-

skala

Rang

Schaden

Rang-

differenz Differenz^2

1 3.8 42 4.5 5 -0.5 0.25

2 2.4 33 1 2.5 -1.5 2.25

3 2.6 20 2 1 1 1

4 3.7 40 3 4 -1 1

5 5.4 49 6 7 -1 1

6 6.2 45 7 6 1 1

7 3.8 33 4.5 2.5 2 4

Summe 10.5

Korrelationskoeffizient nach Spearman 0.8125


12 Korrelieren Deutsch und Mathe? Verbale Leistungsbewertung einer Schulklasse in den Fächern Deutsch und Mathema-tik. Korrelieren die beiden Schulfächer?

Nr Deutsch Mathe

1 gut sehr gut

2 sehr gut genügend

3 genügend sehr gut

4 gut genügend

5 gut gut

6 sehr gut gut

7 ungenügend genügend

8 gut sehr gut


10 gut genügend

11 gut gut

12 gut gut

13 ungenügend gut

14 ungenügend ungenügend

15 sehr gut sehr gut


17 gut sehr gut


19 ungenügend ungenügend

20 sehr gut genügend


Ergebnis Die Bewertung erfolgt auf einer Ordinalskala. Wir müssen den Rangkorrelationskoeffi-zienten gemäß Spearman anwenden.

Nr Deutsch Mathe Rang

Deutsch

Rang

Mathe Diff Diff^2

1 gut sehr gut 8.5 3 5.5 30.25

2 sehr gut genügend 2.5 14.5 -12 144

3 genügend sehr gut 13 3 10 100

4 gut genügend 8.5 14.5 -6 36

5 gut gut 8.5 8 0.5 0.25

6 sehr gut gut 2.5 8 -5.5 30.25

7 ungenügend genügend 17 14.5 2.5 6.25

8 gut sehr gut 8.5 3 5.5 30.25


10 gut genügend 8.5 14.5 -6 36

11 gut gut 8.5 8 0.5 0.25

12 gut gut 8.5 8 0.5 0.25

13 ungenügend gut 17 8 9 81

14 ungenügend ungenügend 17 19.5 -2.5 6.25

15 sehr gut sehr gut 2.5 3 -0.5 0.25


17 gut sehr gut 8.5 3 5.5 30.25


19 ungenügend ungenügend 17 19.5 -2.5 6.25

20 sehr gut genügend 2.5 14.5 -12 144

Summe 210 210 0 700.5


Die offenbar einseitig begabten SchülerInnen Nr 2 und Nr 20 tragen sehr viel zur Sum-me der Quadrate der Rangdifferenzen bei und drücken damit den Korrelationskoeffi-zienten.


13 Eliteschule An einem englischen Elite-College werden für eine Gruppe von 7 Zöglingen die Leis-tungen in Sport und Musik auf einer Ordinalskala von A bis E wie folgt bewertet:

Nr Sport Musik

1 A A

2 E D

3 B D

4 A B

5 B C

6 D A

7 C B

Wie korrelieren die Daten?

Bearbeitung Die Bewertung erfolgt auf einer Ordinalskala. Wir müssen den Rangkorrelationskoeffi-zienten gemäß Spearman anwenden. Für den Korrelationskoeffizienten ist es unwesent-lich, ob A die beste und E die schlechteste Zensur ist oder umgekehrt.

Nr Sport Musik Rang Sport

Rang Musik

Differenz Differenz^2

1 A A 1.5 1.5 0 0

2 E D 7 6.5 0.5 0.25

3 B D 3.5 6.5 -3 9

4 A B 1.5 3.5 -2 4

5 B C 3.5 5 -1.5 2.25

6 D A 6 1.5 4.5 20.25

7 C B 5 3.5 1.5 2.25

Summe 28 28 0 38



14 Großvaters Lexikon Großvater hat ein Lexikon in drei Bänden. Leider stehen sie nicht immer in der richti-gen Reihenfolge auf dem Buchgestell. Was ist die „richtige“ Reihenfolge? Was ist die falscheste Reihenfolge? Wie groß ist bei einer falschen Reihenfolge der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient, verglichen mit der Reihenfolge 1, 2, 3?

Bearbeitung Für zum Beispiel die Reihenfolge 3, 1, 2 erhalten wir:

Richtige Reihenfolge Falsche Reihenfolge Rangdifferenz Quadrat davon

1 3 -2 4

2 1 1 1

3 2 1 1

Summe 6

Korrelationskoeffizient nach Spearman -0.5

Für die totale Übersicht ergibt sich:

Es gibt 3!= 6 Rangreihenfolgen. Die Korrelationskoeffizienten variieren zwischen +1 („richtige“ Reihenfolge) und -1 (total verkehrte Reihenfolge).

Reihenfolge Rangkorrelationskoeffizient

1 2 3 1

1 3 2 0.5

2 1 3 0.5

2 3 1 -0.5

3 1 2 -0.5

3 2 1 -1

15 Random und Spearman Generieren sie mit dem Zufallsgenerator zwei Zahlenreihen und berechen den Rangkor-relationskoeffizienten nach Spearman.

Exemplarische Bearbeitung Wir arbeiten mit Excel und generieren 20 Zufallszahlen:

Nummer Zufallszahl

1 0.737222627

2 0.042284164

3 0.10591082

4 0.739902873

5 0.440035135

6 0.365101717

7 0.508150351

8 0.786673248

9 0.632485553


10 0.420535952

11 0.150226457

12 0.885548039

13 0.728975984

14 0.944533758

15 0.248093557

16 0.4707944

17 0.618761844

18 0.322472481

19 0.298813171

20 0.792710042

Dann ordnen wir die Zahlen mitsamt ihrer Nummerierung der Größe nach und numme-rieren neu:

Nun berechnen wir den Spearman’schen Korrelationskoeffizienten zwischen der alten und der neuen Nummerierung.

Neue Nummer Alte Nummer Differenz Quadrat

1 19 -18 324

2 4 -2 4

3 9 -6 36

4 7 -3 9

5 12 -7 49

6 6 0 0

7 3 4 16

8 13 -5 25

9 5 4 16

10 20 -10 100

11 8 3 9

12 10 2 4

13 11 2 4

14 18 -4 16

15 17 -2 4

16 2 14 196

17 1 16 256

18 14 4 16

19 15 4 16

20 16 4 16

Summe 0 1116

Für den Spearman’schen Korrelationskoeffizienten erhalten wir:

rSpearman = 16

n3 nd j2

j=1

20= 0.160902256


Die Punktwolke ist wild verteilt:

Punktwolke

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