hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa ja · suppean suhteellisuusteorian dynamiikka...
TRANSCRIPT
ave
xe
dt
dc
dt
d
dt
dc
dt
d
dt
du
dt
du
cvd
dua
0
0
22 /1
1mikä on nelikiihtyvyyden
fysikaalinen merkitys?
0)/)(1(/)(1
12/32222
ctv
dt
d
ctvdt
d
dt
d
vv
hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa v = 0 ja = 1
hetkellisessä lepokoordinaatistossa ),0( aa Newtonin laki voimassa
erityisessä kappaleen
mukana liikkuvassa
koordinaatistossa
(yleisesti ei inertiaalikoordinaatisto) 1
SUPPEAN SUHTEELLISUUSTEORIAN DYNAMIIKKA
Elektrodynamiikka säilyy samana siirtyessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen
vaaditaan, että kaikki fysiikan lait pysyvät muuttumattomina siirryttäessä
inertiaalikoordinaatistosta toiseen
Fysiikan lait eivät riipu koordinaatistosta = lait ovat kovariantteja
Mitä Newtonille pitäisi tehdä?
dt
dm
paF
pitää yleistää – mutta miten?
kolmivektori koordinaatistosta riippuva kelloaika
nelivektori koordinaatistosta riippumaton
itseisaika
kolmivektori nelivektori
2
umpd
dpamF 00 ;
nelikiihtyvyys nelinopeus nelivoima
neli-impulssi
vaihdettaessa inertiaalikoordinaatistosta K toiseen K’:
))(('
))(('
0´1́1́
1́0´0´
FFvF
FFvF
lain muoto pysyy samana sillä nelivektorit muuntuvat
nelivektoreiksi; numerot tosin muuttuvat. Mutta on
olemassa myös invariantteja: nelivektorin pituus
FFFF ´´ ''
Newtonin lain yleistys
Minkowskin avaruuteen
v1
K K’
v(t) v’(t)
amF 0
'' 0 amF
m0 = kappaleen massa mitattuna
sen leposysteemissä, ”lepomassa”
3
Newtonin lain yleistyksen seuraus: 2
0cmE ua muistetaan, että nelikiihtyvyys on kohtisuorassa nelinopeutta vasten:
tällöin 00 uamuF
Fe
vppe
00
000
)()(
))((])([)(
cmdt
vdv
vmcmvdt
dv
d
dpF
toisaalta
Fvve
22
0
2
0 )()(
)())()(( vcmdt
vdvvcvFuF
0
2 )(; mvmcdt
dm Fv
”liikemassa” 4
lasketaan kuinka paljon kappale tekee työtä siirtyessään pisteesta x1 pisteeseen x2
x1 , t1
x2 , t2
v(t)
infinitesimaalinen matka
työ tehdään liikkeen suunnassa
olevaa voimaa vastaan: tehty työ =
dtdl v
dtfdlf v
f
f
summataan kaikki tehty työ: Edtdtfdlf
t
t
t
t
x
x
2
1
2
1
2
1
vFvtyö ilmenee kappaleen
energian muutoksena
vakiocvmvakiomcEctmtmdtcdt
dmE
t
t
2
0
22
12
2 )()]()([2
1
lepokoordinaatistossa
= 0
2
0cmE 5
ffF
neli-impulssi
)(, 0000 Newtonmc
E
c
Ecmp pvpppepe
neli-impulssi on nelivektori sen neliö on invariantti:
22
0
2
2
2
cmc
Epp p
42
0
222 cmcE p dispersiorelaatio
Kappaleilla on 1) lepoenergiaa, verrannollinen lepomassaan, ja 2) liike-energiaa
liike-energia: 2
0
2
0
22
0 )1( cmcmmccmET
”Liikemassa” on hyödytön ja sekoittava, historiallista perua oleva nimitys
ei käytetä (massa ei muutu, kineettinen energia riippuu koordinaatistosta) 6
kun v << c
4
42
021
2
02
2
212
022
...11/1
1
c
vOvm
cmc
vcm
cvT pienillä nopeuksilla saadaan
siis Newton
kappaleen nopeus on nyt c
v
cm
vcm
E
c
2
0
0
p
käytetään jatkossa notaatiota
(ja yritetään olla sekoittamatta kolmi-impulssin itseisarvoa ja neli-impulssia)
pp
Aikoinaan suuren hämmästyksen aihe: arkioloissa lepoenergia >> liike-energia
esim. 22168
0 /skgm109m/s103 kg,1 lepoEcm
vastaa epärelativistista kineettistä energiaa kun M-massainen kappale liikkuu esim.
nopeudella 20 m/s:
kg105.4
m/s)20(
14
2
212
21
M
EMMvE lepokin
!!! 7
8
sakset ja valoa nopeammin, osa II
kahden atomin välinen etäisyys
n. 1 Å, sidosenergia Es riippuu materiaalista
verrataan etäisydellä r+dr olevia atomeja,
missä dr ~1 Å
kun T(r+dr)-T(r) > Es, sakset rikkoutuvat
kineettinen energia riippuu etäisyydestä
käsiosasta
SUMMA SUMMARUM
Newton
0
2
02
,m
pEm vp
42
0
222
00 , cmcpcmEm vp
Einstein
ppe ,00
c
Ecmp
neli-impulssi
2
0cmE ei tarkoita sitä, että massa jotenkin
sisältää energiaa. Massa ja energia ovat samaa
fysikaalista ainesta
22
0
2 cmp
9
SÄHKÖMAGNEETTINEN SÄTEILY
• valo liikkuu valon nopeudella
• kvanttimekaniikka: valo on ”hiukkanen”, fotoni
formaalisti fotonille
pcEvc
Ep
cmEm
c
2
2
00 , vp
00 0
42
0
2
2
2
mcmc
Ep fotonin lepomassa on nolla
kokeet: m0 < 2 10-16 eV/c2
Fotonin kaikki energia on kineettistä energiaa: impulssi 0
kvanttifysiikka
h
c
h
c
EphE
Planckin vakio aallonpituus
frekvenssi
tämä pätee yleisesti kaikille
massattomille hiukkasille
10
Newton: impulssi säilyy (=jatkavuus)
Einstein: neli-impulssi säilyy
kaikissa hiukkasreaktioissa
energia säilyy: alkutilan energia = lopputilan energia
3-impulssi säilyy:
lopputilak
k
alkutilak
k pp
lopputilak
k
alkutilak
k pp
esimerkki: hiukkanen hajoaa kahdeksi hiukkaseksi: AB+C
neli-impulssit pA, pB, pC jne
20
eeW
CBA
CBA
CBA
EEE
ppp
ppp
kinemaattisia ehtoja reaktioille
huom! on invariantti BA pp
alkeishiukkasista
kts. Particle Data Group
http://pdg.lbl.gov/
neli-impulsseilla
laskeskelu on
kätevämpää
11
A, mA ,pA
C, mC ,pC
B, mB ,pB
pA = pB +pC
222222 2)( cmppppppp ACBCBCBA
LABORATORIOKOORDINAATISTO hajoava hitu levossa
CC
C
BB
B
AA
c
Ep
c
Ep
cmp
p
p
,
,
)0,(
ppppp CBCB 0
LAB
-p p
cosLAB=1
1
2
2222222
222222
cos
2
cos22
)()(
,
LABCBCB
CBCBAA
CCBB
CBCB
CB
c
EEcmmppcmp
cmpcmp
c
EEpp
LABCB
pp
pp
pp
12
4222
224222 )(2)(
cmpE
cpEEcmmm
ki
CBCBA
esim. EEEmmm CBCB
cmmp
cmmcp
cmcpcpEEcmm
A
A
CBA
22
21
42222
422222422
4
)4(4
24)(2)2(
mmA 2 massaton hiukkanen (p 0) ei voi hajota
kahdeksi massattomaksi hiukkaseksi
13
- protonin massa on 1.00728 u = 938.27203 MeV/c2
- neutronin massa on 1.00866 u = 939.56536 MeV/c2
- helium-ytimen massa on 4.00151 u = 3727.36966 MeV/c2
kun Auringon ytimessä kaksi protonia ja kaksi neutronia yhdistyy heliumiksi,
Jos sekä neutronit että protonit ovat (osapuilleen) levossa, päättelemme että
Hennpp ppppp 2121
Henp mmm 22
MUTTA:
2/MeV3051.2822 cmmm Henp
jokaista reaktiota kohden ”syntyy energiaa” eli hiukkasia, jotka
takaavat neli-impulssin säilymisen; tällöin tyypillisesti He-ydin
ei synny lepoon
tteetreaktiotuok
kHennpp pppppp 2121
fotonit,
neutriinot, …
14
ESIMERKKI KAHDEN HIUKKASEN ELASTISESTA SIRONNASTA
Comptonin sironta e- e-
k k’
p p’
e-
e-
)cos1(' cm
h
e
havainto:
elektronin Compton-aallonpituus
15
Arthur Compton : Nobel Prize in Physics 1927
Arthur Compton was born in Wooster, Ohio, on September 10th, 1892. In 1913, he graduated with Bachelor of Science from
Wooster College. He spent three years in postgraduate study at Princeton University, receiving his M.A. degree in 1914 and
his Ph.D. in 1916. After spending a year as a physics instructor at the University of Minnesota, he took a position as a
research engineer with the Westinghouse Lamp Company in Pittsburgh. In 1919 he moved to work at University of
Cambridge as a National Research Council Fellow.
At Princeton, Compton developed the theory that the intensity of X-ray reflections from crystals can be used as a means of
studying the arrangement of electrons and atoms within the crystals, and in 1918 he started a study of X-ray scattering. This
led to his discovery, in 1922, of the increase of wavelength of X-rays due to scattering of the incident radiation by free
electrons. This implies that the scattered quanta (free electrons) have less energy than the quanta of the original beam. This
effect, known as the Compton effect, clearly illustrates the particle concept of electromagnetic radiation. This work was
supported C. T. R. Wilson’s research in his cloud chamber, in which he showed the presence of the tracks of the recoil
electrons. Compton was awarded the Nobel Prize in Physics 1927, "for his discovery of the effect named after him".
In addition, Compton discovered (with C. F. Hagenow) the phenomenon of total reflection of X-rays and their complete
polarization, which led to a more accurate determination of the number of electrons in an atom. He was also the first (with R.
L. Doan) to obtain X-ray spectra from ruled gratings, which offers a direct method of measuring the wavelength of X-rays.
In 1916, he married Betty Charity McCloskey. They had two sons, Arthur and J.J. In 1920, he was appointed as the Head of
the Department of Physics at Washington University, St. Louis. In 1923 he moved to the University of Chicago as Professor
of Physics. Until his retirement in 1961 he was Distinguished Service Professor of Natural Philosophy at Washington
University.
Compton's favourite hobbies were tennis, astronomy, photography and music. He died on March 15th, 1962, in Berkeley,
California.
© University
from http://www-outreach.phy.cam.ac.uk/resources/nobel/compton.php
16
selitetään havainto kinematiikalla:
),(),(
)0,(
kkk kk
cmp e
laboratoriossa
22
22
2
0
2
0
222
'22)cos1('2
'22'2')'('22
cm
cmcmcm
pkpkkkpkkpkkp
e
eee
cme
kkkk
kcE fotonille
0)1
'
1()cos1(
'
10)'()cos1('
kkcm
kkkkcmkk
e
e
QM:
h
c
hk
)cos1(1
'
1
cm
h
e
17
Monimutkaisemmat reaktiot monimutkaisempia kineettisiä ehtoja
esimerkki: protoni-protonitörmäyksissä tuotetaan mm. pioneja
p
LAB
BpBpBpB
BpB
BpB
BA
mEcmmEcmc
E
cmc
Ecm
c
Epp
222
,,)(
22222
2
2
2
p
pp
0pppp
A B 1 2 3
laboratoriossa A on levossa:
törmäävien protonien CM-koordinaatistossa
22222222
2
2
3212
2
3212
321
44)2(1
)(1
0,)(
cmcmmcmcmcmc
EEEcc
EEEppp
ppp
CMCMCM
GeV2.12
2
)()(
22
2
2
321
2
cm
mmmE
ppppp
p
p
LAB
B
BA
reaktion ei-triviaali kynnysenergia
18
SUPPEA SUHTEELLISUUSTEORIA SUMMA SUMMARUM
• c = vakio Lorentz-muunnokset
• tarkastelee vakionopeudella toistensa suhteen liikkuvia inertiaalikoordinaatistoja
• kausaliteetti c korkein signaalinopeus
• aikaintervallit ja välimatkat riippuvat liiketilasta aikadilataatio, pituuden
Lorentz-kontraktio
• pituuden mittaus: päät mitattava samanaikaisesti
• avaruusaika (x0,x) epäeuklidinen
''22
0 xxxxx x on invariantti nelivektorin pituus
19
22
2
/1/1
)/('
)('
cv
cvxtt
vtxx
• vaaditaan, että fysiikan lait ovat samanmuotoiset (kovariantit) kaikissa
inertiaalikoordinaatistoissa Newtonin lakien yleistys
umpd
dpamF 00 ;
vp
p
0
,
m
c
Ep
säilyy reaktioissa
2
2
2p
c
Eppp invariantti
2
0cmE
20
• inertiaalikoordinaatistot: v = vakio
• Minkowskin avaruus
• lait Lorentz-kovariantteja suppea suhteellisuusteoria
• koordinaatistoitten välinen suhteellinen nopeus v vakio
kiihtyvyyksi ä voimia (esim. gravitaatio)
• avaruus???
• lait ???
yleinen suhteellisuusteoria
yleistys
21