incertezza della domanda nelle catene di … · la teoria delle scorte • il problema del lotto...
TRANSCRIPT
INCERTEZZA DELLA DOMANDA NELLE CATENE DI SUPPORTO:
TECNICHE DI RIDUZIONE DINAMICA DELLO SPAZIO DI RICERCA PER UN
MODELLO CP
Tesi di laurea di:Roberto Rossi
Relatore:Prof. Michela Milano
Correlatori:Armagan Tarim 4C, Cork - IrlandaBrahim Hnich 4C, Cork - Irlanda
FACOLTA’ DI INGEGNERIACorso di Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica
Applicazioni di Intelligenza Artificiale L-S
La teoria delle scorte
• Il problema del lotto economico (Ford W. Harris 1915)– bilanciare costi di acquisto e di stoccaggio in presenza di una
domanda costante nel tempo e di un determinato costo fisso per ogni acquisto.
cost
time
Overall cost
Order cost
Inventory cost
dh
kt
2* =k = costo fisso di produzioned = domandah = costo di stoccaggio unitario
La teoria delle scorte
• Il problema del lotto economico (Ford W. Harris 1915)– bilanciare costi di acquisto e di stoccaggio in presenza di una
domanda costante nel tempo e di un determinato costo fisso per ogni acquisto.
time
items
*3t*2t*t
*q
h
dkq
2* =Quantità ottima per ordine:
0
Motivazioni
• Davis (1993): il 60% degli investimenti impegnati nel sistema di produzione e distribuzione della Hewlett-Packard sono attribuibili ad incertezza della domanda da parte del mercato
• Come far fronte all’incertezza della domanda?– gestione delle scorte – gestione ottima dei costi di produzione/acquisto e stoccaggio
cost
time
dh
kt
2* = Lotto Economico!
La soluzione presentata
• periodo ottimo di riordino:• quantità ottima di riordino:
• politica ottima: domanda esattamente soddisfatta in ogni ciclo di rifornimento
• algoritmo di risoluzione: h
dkq
2* =
time
items
*3t*2t*t
*q
0
*q
*t
dh
kt
2* =
Lotto economico
domanda deterministicadomanda stocastica
Scarf (1960)(s,S) �politica ottima
domanda statica
EOQ
domanda dinamica
Wagner - Whitin
domanda statica domanda dinamica
Bookbinder & Tan (1988): strategia euristica a due fasistatic-dynamic uncertainty, politica (R,S)
Tarim & Kingsman (2003)modello MIP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
Tarim & Smith (2005)modello CP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
soluzione euristica
soluzione ottima
Lotto economico
domanda deterministicadomanda stocastica
Scarf (1960)(s,S) �politica ottima
domanda statica
EOQ
domanda dinamica
Wagner - Whitin
domanda statica domanda dinamica
Bookbinder & Tan (1988): strategia euristica a due fasistatic-dynamic uncertainty, politica (R,S)
Tarim & Kingsman (2003)modello MIP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
Tarim & Smith (2005)modello CP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
soluzione euristica
soluzione ottima
t
765 ,, ddd
86411, 12
78910, 11
71010
60089
5558
469567
400456
38445
27734
186123
11412
851
min cost. politica ott.[1]
903864901
808789
710741734
674600
555572
505496469502
462401400
375348
287277
216223186
187114
85
11456
9879
11067
11945
8667
10534
11426
9861
10161
10236
10229
8569
costo ord. domanda
121110987654321(mese)
[1] Viene mostrato solo l’ultimo periodo di ordinazione; 567 indica che la politica ottima per i periodi da 1 a 7 consiste nell’ordinare nel periodo 5 per soddisfare
, adottando una politica ottima per i periodi da 1 a 4 considerati separatamente (planning horizon theorem).
Domanda deterministica e dinamica: Wagner & Whitin (1958)
���
�
�
���
�
�
−+
��
���
�−++= � �
−
= +=<≤
)1(
)1(minmin)(
1
11
tFs
jFdistF
t
t
jh
t
hkkhj
tj
I
tj
1=tδ
js
jd
1=ji
0)0( =F
1)1( sF =
Complessità: N(N+1)/2 nel caso peggiore
Domanda deterministica e dinamica: Wagner & Whitin
Soluzione mediante l'algoritmo DP di Wagner e Whiti n
0
98
29
0
97
61
0
121
60
34
0
179
112
67
0
135
56
0020406080
100120140160180200
1 3 5 7 9 11 13
periodi
scor
te
Wagner e Whitin
Domanda deterministica e dinamica: Wagner & Whitin
Soluzione equivalente per BT e Regola della Radice Quadrata
0
105
52,50
0
105
52,50
00
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5
periodi
scor
te Soluzione equivalente per BTe Regola della RadiceQuadrata
Lotto economico
domanda deterministicadomanda stocastica
Scarf (1960)(s,S) �politica ottima
domanda statica
EOQ
domanda dinamica
Wagner - Whitin
domanda statica domanda dinamica
Bookbinder & Tan (1988): strategia euristica a due fasistatic-dynamic uncertainty, politica (R,S)
Tarim & Kingsman (2003)modello MIP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
Tarim & Smith (2005)modello CP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
soluzione euristica
soluzione ottima
Domanda stocastica
• Esaurimento scorte:
– penalizzazione nella funzione obiettivo : si rappresenta il mancato guadagno come un costo
– assegnamento di un livello di servizio in termini percentuali : dunque si assume che l’evento scorte esaurite si verifichi con una certa probabilità(tipicamente bassa < 5%) e lo si trascura nel modello
Domanda stocastica e statica
s
tempo
scorte di sicurezza
unità
esaurimento scorte
incertezza della domanda
t L
b
0
Lzb σ⋅=L tempo di arrivo delle merci
scorte di sicurezza
Lσ deviazione standard delladomanda nell’intervallo L
z livello di servizio
Politica ottima:(s,S) – Scarf 1960
d~
val. atteso per la domanda per periodo
k = costo fisso di produzioneh = costo di stoccaggio unitario
tempo
safety stock
unità
stock out
incertezza della domanda
t
b
0
Domanda stocastica e statica
S
bdLs +⋅= ~
Politica ottima:(s,S) – Scarf 1960
L
Lzb σ⋅=L tempo di arrivo delle merci
scorte di sicurezza
Lσ deviazione standard delladomanda nell’intervallo L
z livello di servizio
d~
val. atteso per la domanda per periodo
bhdkdLS +⋅= ]/~
2,~
max[
k = costo fisso di produzioneh = costo di stoccaggio unitario
s
Lotto economico
domanda deterministicadomanda stocastica
Scarf (1960)(s,S) �politica ottima
domanda statica
EOQ
domanda dinamica
Wagner - Whitin
domanda statica domanda dinamica
Bookbinder & Tan (1988): strategia euristica a due fasistatic-dynamic uncertainty, politica (R,S)
Tarim & Kingsman (2003)modello MIP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
Tarim & Smith (2005)modello CP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
soluzione euristica
soluzione ottima
• Static uncertainty �
– tutte le decisioni vengono prese all’inizio dell’orizzonte degli eventi
• istanti di ordinazione
• quantità degli ordini
– viene incontro alle esigenze aziendali
– si basa sulla costruzione di un modello deterministicoequivalente risolto con le tecniche note:algoritmo DP Wagner & Whitin
Domanda stocastica e dinamicaBookbinder & Tan
Domanda stocastica e dinamicaBookbinder & Tan
• Dynamic uncertainty �
– Le decisioni sono prese man mano che le domande divengono note: wait-and-see
• periodo dopo periodo si effettuano ordini in funzione dei livelli di servizio richiesti
– Scomoda in termini di politiche aziendali e poco adatta per applicazioni reali (politica nervosa)
– Può tornare utile in scenari Just In Time
Domanda stocastica e dinamicaBookbinder & Tan
• Static-Dynamic Uncertainty �
– Politica (R,S)• R � Istanti in cui fissare gli ordini• S � Livelli a cui portare le scorte in seguito ad un ordine
safety stock
unità
stock out
incertezza della domanda
t
b
0
S
s
Q
tempi di arrivo delle merci supposti nulli � L = 0
Domanda stocastica e dinamicaBookbinder & Tan
• Static-Dynamic Uncertainty �
– Modello per politica (R,S) difficile da risolvere in modo completo
• Silver 1978: trovare la soluzione ottima per la versione stocastica e dinamica del problema del lotto economico risulta proibitivo dal punto di vista computazionale
– Approccio euristico a due fasi• Determinazione dell’insieme R (Wagner & Whitin)• Determinazione dell’insieme S (problema LP deterministico)
Lotto economico
domanda deterministicadomanda stocastica
Scarf (1960)(s,S) �politica ottima
domanda statica
EOQ
domanda dinamica
Wagner - Whitin
domanda statica domanda dinamica
Bookbinder & Tan (1988): strategia euristica a due fasistatic-dynamic uncertainty, politica (R,S)
Tarim & Kingsman (2003)modello MIP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
Tarim & Smith (2005)modello CP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
soluzione euristica
soluzione ottima
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Kingsman
• Modello MIP � completo– il costo totale atteso per la strategia ottenuta con il modello di
Bookbinder e Tan è 19704, mentre per quella di Tarim e Kingsman esso risulta essere 19404
Soluzione di BT e di TK a confronto
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1 3 5 7 9 11
periodi
scor
te Bookbinder e Tan
Tarim e Kingsman
][ kdE
200500600650700800200700850800
10987654321Periodo(k)
333.0/ == ttvc µσ
2500=a
1=h
95.0=α )645.1( 95.0 ==αz
Lotto economico
domanda deterministicadomanda stocastica
Scarf (1960)(s,S) �politica ottima
domanda statica
EOQ
domanda dinamica
Wagner - Whitin
domanda statica domanda dinamica
Bookbinder & Tan (1988): strategia euristica a due fasistatic-dynamic uncertainty, politica (R,S)
Tarim & Kingsman (2003)modello MIP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
Tarim & Smith (2005)modello CP, politica (R,S),static-dynamic uncertainty
soluzione euristica
soluzione ottima
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Modello CP �
– completo– meno vincoli vs– Meno variabili decisionali vs
– Tipicamente la risoluzione di tale modello implica l’esplorazione di un numero di nodi maggiore rispetto al MIP, tuttavia i tempi di esecuzione sono migliori:
• MIP � rilassamento continuo su ogni nodo!
2/)5( 2 NN +2/)9( 2 NN +
N2N3
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Modello CP �– programmazione
stocastica
Nt ,...,1=
( )�=
+=N
ttt IhaTCE
1
~][ δmin
s.t.
0~~~
1 ≥−+ −ttt IdI Nt ,...,1=
10~~~
1 =�>−+ − tttt IdI δ Nt ,...,1=
]max,[~
]..1[j
tjt jtI δ
∈Φ≥
}0{~
�+Ζ∈tI }1,0{∈tδ
Nt ,...,1=
�=
−+++ −=Φ
+
i
jkkddd dGji
ijj
~)(],[ 1
...1α
funzione di distribuzione cumulativa
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Modello CP �– programmazione
stocastica
Nt ,...,1=
( )�=
+=N
ttt IhaTCE
1
~][ δmin
s.t.
0~~~
1 ≥−+ −ttt IdI Nt ,...,1=
10~~~
1 =�>−+ − tttt IdI δ Nt ,...,1=
]max,[~
]..1[j
tjt jtI δ
∈Φ≥
}0{~
�+Ζ∈tI }1,0{∈tδ
Nt ,...,1=
�=
−+++ −=Φ
+
i
jkkddd dGji
ijj
~)(],[ 1
...1α
funzione di distribuzione cumulativa
I
1−t t
restituzione delle merci vietata!
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Modello CP �– programmazione
stocastica
Nt ,...,1=
( )�=
+=N
ttt IhaTCE
1
~][ δmin
s.t.
0~~~
1 ≥−+ −ttt IdI Nt ,...,1=
10~~~
1 =�>−+ − tttt IdI δ Nt ,...,1=
]max,[~
]..1[j
tjt jtI δ
∈Φ≥
}0{~
�+Ζ∈tI }1,0{∈tδ
Nt ,...,1=
�=
−+++ −=Φ
+
i
jkkddd dGji
ijj
~)(],[ 1
...1α
funzione di distribuzione cumulativa
I
1−t t
I
1−t t
1=tδ
01 =∧= tt δδ
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Modello CP �– programmazione
stocastica
Nt ,...,1=
( )�=
+=N
ttt IhaTCE
1
~][ δmin
s.t.
0~~~
1 ≥−+ −ttt IdI Nt ,...,1=
10~~~
1 =�>−+ − tttt IdI δ Nt ,...,1=
]max,[~
]..1[j
tjt jtI δ
∈Φ≥
}0{~
�+Ζ∈tI }1,0{∈tδ
Nt ,...,1=
�=
−+++ −=Φ
+
i
jkkddd dGji
ijj
~)(],[ 1
...1α
funzione di distribuzione cumulativa
I
1−t t
livello di servizio
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Tecniche di filtraggio per i domini delle variabili decisionali:
– Primo metodo di riduzione• prima di iniziare la ricerca i domini delle variabili decisionali
vengono opportunamente ridotti ai soli valori candidati ad essere parte di una soluzione ottima
• Stabilisce degli UB sulla lunghezza dei possibili cicli di rifornimento candidati ad essere parte della soluzione ottima
tI
( ) ( )),1(),(),(),1(),( jkRkibjicjkckic +>∨>++}1,...,{ −∈∀ jik
I
ji k
I
ji k
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Tecniche di filtraggio per i domini delle variabili decisionali:
– Primo metodo di riduzione• prima di iniziare la ricerca i domini delle variabili decisionali
vengono opportunamente ridotti ai soli valori candidati ad essere parte di una soluzione ottima
• Stabilisce degli UB sulla lunghezza dei possibili cicli di rifornimento candidati ad essere parte della soluzione ottima
tI
( ) ( )),1(),(),(),1(),( jkRkibjicjkckic +>∨>++}1,...,{ −∈∀ jik
I
ji k
I
ji k
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Tecniche di filtraggio per i domini delle variabili decisionali:
– Primo metodo di riduzione• prima di iniziare la ricerca i domini delle variabili decisionali
vengono opportunamente ridotti ai soli valori candidati ad essere parte di una soluzione ottima
• Stabilisce degli UB sulla lunghezza dei possibili cicli di rifornimento candidati ad essere parte della soluzione ottima
tI
( ) ( )),1(),(),(),1(),( jkRkibjicjkckic +>∨>++}1,...,{ −∈∀ jik
I
ji m�
−
=
=−==∈1
* },...,,~
),(|{m
itt
Smm jmldliRRR ττ�
),( jiTm ∈∀ml =
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Tecniche di filtraggio per i domini delle variabili decisionali:
– Primo metodo di riduzione• prima di iniziare la ricerca i domini delle variabili decisionali
vengono opportunamente ridotti ai soli valori candidati ad essere parte di una soluzione ottima
• Stabilisce degli UB sulla lunghezza dei possibili cicli di rifornimento candidati ad essere parte della soluzione ottima
tI
( ) ( )),1(),(),(),1(),( jkRkibjicjkckic +>∨>++}1,...,{ −∈∀ jik
I
ji m�
−
=
=−==∈1
* },...,,~
),(|{m
itt
Smm jmldliRRR ττ�
),( jiTm ∈∀1+= ml
l
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Tecniche di filtraggio per i domini delle variabili decisionali:
– Primo metodo di riduzione• prima di iniziare la ricerca i domini delle variabili decisionali
vengono opportunamente ridotti ai soli valori candidati ad essere parte di una soluzione ottima
• Stabilisce degli UB sulla lunghezza dei possibili cicli di rifornimento candidati ad essere parte della soluzione ottima
tI
( ) ( )),1(),(),(),1(),( jkRkibjicjkckic +>∨>++}1,...,{ −∈∀ jik
I
ji m�
−
=
=−==∈1
* },...,,~
),(|{m
itt
Smm jmldliRRR ττ�
),( jiTm ∈∀2+= ml
l
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Tecniche di filtraggio per i domini delle variabili decisionali:
– Secondo metodo di riduzione• Si considerano tutti i possibili scenari legati alle decisioni sugli
ordini , aggiungendo man mano ai domini i valori delle scorte per tali scenari verosimili:
– il livello di chiusura in t è pari a quello di apertura in t+1
– I livelli sono differenti: livello di chiusura in t < livello di apertura in t+1 � ordine in t+1
tItδ
I
T0 1+t
I
T0 1+t j
1+t
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
• Riduzione ulteriore: – Intersezione dei risultati dei due metodi: il sottoinsieme dei valori delle
scorte candidati ad essere parte della soluzione ottima è ulteriormente ristretto
9158220191680650638
{55,91}{22,58}{190,220}{161,191}{638,668,680}{608,638,650}{596,626,638}
{55,91}{22,58,538,568}{190,191,220,221,1858,1888,1900}{161,162,191,192,1801,1829,1831,1843,1859,1871}{638,666,668,680,696,708}{608,636,638,650,666,678}{596,624,626,638,654,666}
{55,91}{18,22,58}{190,220}{16,161,191}{638,668,680}{16,30,608,638,650}{7,18,596,626,638}
1234567
ISiI IIS
iI III Si
Si II � *~
iI
td123011632934733101
7654321Periodo
Domanda stocastica e dinamicaTarim & Smith
Tarim e Smith soluzione ottima
0192
91 58
567
220 191
1843
680 650 638
0200400600800
100012001400160018002000
1 2 3 4 5 6 7 8
periodi
scor
te
Tarim e Smith
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Riduzione dinamica dei domini durante la ricerca
– sfrutta la soluzione parziale disponibile in un dato nodo dell’albero decisionale per ridurre i domini delle variabili decisionali eliminando i valori non ammissibili rispetto ad essa
– tre tecniche sviluppate:• rilassamento mediante programmazione dinamica• riduzione basata sul merging lemma• estensione al caso dinamico delle tecniche di filtraggio a priori
presentate da Tarim e Smith
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Rilassamento mediante programmazione dinamica
– Branch and Bound
– Dijkstra per SPP in
1 2 N+1
N+1
i
j
∞
∞ ∞
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
)1,1(c
)2,( −jic )1,( −jic
)1,1( −+ jic
),( Nic
),1( Nc)1,1( −jc
),( NNc
2/)1( +⋅ NN
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
?
*CC ≥
*CC <
x
• Rilassamento mediante programmazione dinamica
– Branch and Bound
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
Merging lemma: • data una soluzione parziale, se in un certo periodo i non è previsto un
rifornimento, è possibile ottenere una formulazione equivalente dell’istanza del problema accorpando tale periodo i al precedente.
• estensione al caso di più periodi– Il valor medio della domanda nel nuovo periodo che accorpa i
precedenti sarà
– La deviazione standard della domanda sarà
�=
=j
ittk µµ '
�=
=j
ittk2
' σσ
I
i 1+i
0=iδ
1−i
I
1+i*)1( −i
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
Merging lemma
td
td3216319017192401021613462181
242322212019181716151413Periodo
5737161281642818092116128073
121110987654321Periodo
Domini ridotti staticamente valori ammissibili per i livelli di chiusura delle scorte
metodo I di riduzione
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1 6 11 16 21
periodi
scor
te
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
i*iI
iδi*iI iδ
110110010110
9973398886763612310610412391
131415161718192021222324
101101010110
4040701738112810011991889437
123456789101112
Merging lemma
Domini ridotti dinamicamentevalori ammissibili per i livelli di chiusura delle scorte
metodo I di riduzione
0
50
100
150
200
250
1 6 11 16 21
periodi
scor
teDomanda stocastica e dinamica
Estensioni…
{40,209}{70,81}{81}{100}{91}{88,190}{37,96}{99,203}{39,107}{88,143}{23,36,91}{106}{104}{91}
532916384219203318427680259214618327615000259211704371533610027593
73128208208192161941819616152209190195
{1,2}{3}{4,5}{6,7}{8,9}{10}{11,12}{13}{14,15}{16}{17,18,19}{20,21}{22}{23,24}
0~~~
1 =−+ −ttt IdI
I
jtit <∧>
j*)1( −i
*i *id 2.)var./( * coeff
iσ *
*iI
Merging lemma
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
*i *id 2.)var./( * coeff
iσ *
*iI
{40,209}{70,81}{81}{100}{91}{88,190}{37,96}{99,203}{39,107}{88,143}{23,36,91}{106}{104}{91}
532916384219203318427680259214618327615000259211704371533610027593
73128208208192161941819616152209190195
{1,2}{3}{4,5}{6,7}{8,9}{10}{11,12}{13}{14,15}{16}{17,18,19}{20,21}{22}{23,24}
Domini ridotti dinamicamentevalori ammissibili per i livelli di chiusura delle scorte
metodo I di riduzione
0
50
100
150
200
250
1 6 11 16 21
periodi
scor
te
0~~~
1 =−+ −ttt IdI
I
1−i j
jtit <∧>
1
~~~−=+ ttt IdI�
1+ii
Merging lemma
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
*i *id 2.)var./( * coeff
iσ *
*iI
{40,209}{70,81}{81}{100}{91}{88,190}{37,96}{99,203}{39,107}{88,143}{23,36,91}{106}{104}{91}
532916384219203318427680259214618327615000259211704371533610027593
73128208208192161941819616152209190195
{1,2}{3}{4,5}{6,7}{8,9}{10}{11,12}{13}{14,15}{16}{17,18,19}{20,21}{22}{23,24}
Domini ridotti dinamicamentevalori ammissibili per i livelli di chiusura delle scorte
metodo I di riduzione
0
50
100
150
200
250
1 6 11 16 21
periodi
scor
te
0~~~
1 =−+ −ttt IdI
I
jtit <∧>
1
~~~−=+ ttt IdI�
Nt ,...,1=
( )�=
+=N
ttt IhaTCE
1
~][ δmin
s.t.
0~~~
1 ≥−+ −ttt IdI Nt ,...,1=
10~~~
1 =�>−+ − tttt IdI δ Nt ,...,1=
]max,[~
]..1[j
tjt jtI δ
∈Φ≥
}0{~
�+Ζ∈tI }1,0{∈tδ
Nt ,...,1=
1−i j1+ii
Merging lemma
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
*i *id 2.)var./( * coeff
iσ *
*iI
{40,209}{70,81}{81}{100}{91}{88,190}{37,96}{99,203}{39,107}{88,143}{23,36,91}{106}{104}{91}
532916384219203318427680259214618327615000259211704371533610027593
73128208208192161941819616152209190195
{1,2}{3}{4,5}{6,7}{8,9}{10}{11,12}{13}{14,15}{16}{17,18,19}{20,21}{22}{23,24}
Domini ridotti dinamicamentevalori ammissibili per i livelli di chiusura delle scorte
metodo I di riduzione
0
50
100
150
200
250
1 6 11 16 21
periodi
scor
te
0~~~
1 =−+ −ttt IdI
I
jtit <∧>
1
~~~−=+ ttt IdI�
Nt ,...,1=
( )�=
+=N
ttt IhaTCE
1
~][ δmin
s.t.
0~~~
1 ≥−+ −ttt IdI Nt ,...,1=
10~~~
1 =�>−+ − tttt IdI δ Nt ,...,1=
]max,[~
]..1[j
tjt jtI δ
∈Φ≥
}0{~
�+Ζ∈tI }1,0{∈tδ
Nt ,...,1=
1−i j1+ii
Merging lemma
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Estensione dinamica al primo metodo di riduzione:
td123011632934733101
7654321Periodo
i ISiI IIS
iI III Si
Si II � *~
iI
9158220191680650638
{55,91}{22,58}{190,220}{161,191}{638,668,680}{608,638,650}{596,626,638}
{55,91}{22,58,538,568}{190,191,220,221,1858,1888,1900}{161,162,191,192,1801,1829,1831,1843,1859,1871}{638,666,668,680,696,708}{608,636,638,650,666,678}{596,624,626,638,654,666}
{55,91}{18,22,58}{190,220}{16,161,191}{638,668,680}{16,30,608,638,650}{7,18,596,626,638}
1234567
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Estensione dinamica al primo metodo di riduzione:– Si considerano le proposizioni alla base del metodo di filtraggio a
priori dei domini e le si estende ipotizzando che una soluzione parziale sia data
• Gli UB sulla lunghezza dei cicli di rifornimento vengono rivisti sulla base della soluzione parziale che si ha a disposizione
– Esempio: • proposizione che stabilisce le condizioni con cui è possibile definire
un upper bound sulla lunghezza di un qualsiasi ciclo di rifornimentoI
i UB
1=iδIP:
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Estensione dinamica al primo metodo di riduzione:– Si considerano le proposizioni alla base del metodo di filtraggio a
priori dei domini e le si estende ipotizzando che una soluzione parziale sia data
• Gli UB sulla lunghezza dei cicli di rifornimento vengono rivisti sulla base della soluzione parziale che si ha a disposizione
– Esempio: • proposizione che stabilisce le condizioni con cui è possibile definire
un upper bound sulla lunghezza di un qualsiasi ciclo di rifornimentoI
i UB
1=iδIP:
k
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Estensione dinamica al primo metodo di riduzione:– Si considerano le proposizioni alla base del metodo di filtraggio a
priori dei domini e le si estende ipotizzando che una soluzione parziale sia data
• Gli UB sulla lunghezza dei cicli di rifornimento vengono rivisti sulla base della soluzione parziale che si ha a disposizione
– Esempio: • proposizione che stabilisce le condizioni con cui è possibile definire
un upper bound sulla lunghezza di un qualsiasi ciclo di rifornimentoI
i UB
1=iδIP:
UBkikk <∧>∃ |k
1=kδand
= minimo di taliUB k�
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Estensione dinamica al primo metodo di riduzione:– Si considerano le proposizioni alla base del metodo di filtraggio a
priori dei domini e le si estende ipotizzando che una soluzione parziale sia data
• Gli UB sulla lunghezza dei cicli di rifornimento vengono rivisti sulla base della soluzione parziale che si ha a disposizione
– Esempio: • proposizione che stabilisce le condizioni con cui è possibile definire
un upper bound sulla lunghezza di un qualsiasi ciclo di rifornimentoI
i UB
1=iδIP:
UBkikk <∧>∃ |k
1=kδand
= minimo di taliUB k�
Domanda stocastica e dinamicaEstensioni…
• Estensione dinamica al primo metodo di riduzione:
td123011632934733101
7654321Periodo
i ISiI
ISiI
},,1,0,1,,1{ ••• III Si
Si II � *~
iIdinamica �
9158220191680650638
{55,91}{22,58}{190,220}{161,191}{638,668,680}{608,638,650}{596,626,638}
I1 2 {55, 91}I2 2 {22, 58}I3 1 {220}I4 1 {191}I5 3 {638, 668, 680}I6 3 {608, 638, 650}I7 3 {596, 626, 638}
{55,91}{18,22,58}{190,220}{16,161,191}{638,668,680}{16,30,608,638,650}{7,18,596,626,638}
1234567
I
3 5
220191
Test – Euristica Most ConstrainedDomanda stagionale
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
100000
24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
periodi
seco
ndi
ILOG - CP model
CPLEX - MIP model
Choco - CP model dyn red
Choco - CP model
Domanda stagionale
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
periodi
nodi
ILOG - CP model
CPLEX - MIP model
Choco - CP model
Choco - CP model dyn red
Test – Euristica Most ConstrainedRandom runs - 50 instances - 30 periods
00,20,40,60,8
11,21,41,61,8
100 200 400
ordering cost
seco
nds
mean time
Random runs - 50 instances - 30 periods
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
100 200 400
ordering cost
node
s
mean nodes number
Conclusioni
• Miglioramento dello stato dell’arte per la formulazione stocastica e dinamica del problema del lotto economico
• Strategia di risoluzione in grado di trattare istanze con dimensioni significative– di fatto applicabile a problemi reali
• Robustezza della strategia verso variazioni nei parametri del modello
• Estensione della strategia per modelli più realistici– vincoli di capacità– merci deperibili