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Massivbau III

Prof. Dr.-Ing. A. Albert Bemessung im Stahlbetonbau

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Inhaltsverzeichnis

1. Wände und wandartige Träger 2 1.1 WÄNDE 2 1.2 WANDARTIGE TRÄGER 7 2 Deckengleiche Unterzüge 18 3 Treppen 24 4 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 28 4.1 BEGRENZUNG DER RISSBREITEN 29 4.1.1 Nachweis der Mindestbewehrung (DIN EN 1992-1-1;. 7.3.2) 30 4.1.2 Berechnung der Rissbreite (DIN EN 1992-1-1, 7.3.4) 35 4.1.3 Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berechnung (DIN 1045-1, 11.2.3) 40 4.2 REALISTISCHE ABSCHÄTZUNG DER ZWANGSPANNUNGEN 43 4.2.1 Bodenplatten 43 4.2.2 Aufgehende Wände auf vorab fertiggestellten Fundamenten 46 4.3 BEGRENZUNG DER SPANNUNGEN 48 4.4 BEGRENZUNG DER VERFORMUNGEN 49 5 Torsion 49 5.1 KOMBINIERTE BEANSPRUCHUNG: QUERKRAFT + TORSION + BIEGUNG 57 5.1.1 Vereinfachtes Verfahren 57 5.1.1 Genaues Verfahren 58

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1. Wände und wandartige Träger

1.1 Wände Wände sind flächige Bauteile, deren größere Querschnittsabmessung das Vierfache der kleineren übersteigt. Sie sind kontinuierlich gestützt.

Tabelle NA.9.3 - Mindestwanddicken für tragende Sta hlbetonwände

Wandkonstruktion mit Decken

nicht durchlaufend durchlaufend ≥ C16/20 Ortbeton 120 mm 100 mm

Fertigteil 100 mm 80mm

Es gelten die Mindestwanddicken gemäß Tabelle NA.9.3. Diese Mindestwanddicken sollten im Allgemeinen nicht ausgenutzt werden!

Im Allgemeinen sind Wände in ihrer Ebene belastet. Andernfalls sind sie wie Platten zu behandeln (z.B. erddruckbelastete Kellerwände). Die Bemessung bewehrter Wände erfolgt wie für Stützen (für 1 m Länge). Bei schlanken Wänden müssen wie für Stützen die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden. → Modellstützenverfahren

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Die Schlankheit wird hierbei wie folgt ermittelt:

Bei der Berechnung der Beiwerte β ist zu beachten, dass die Wand zwei-, drei- oder vierseitig gehalten sein kann: Tabelle 12.1 - Werte tür ß bei verschiedenen Randbedingungen

Den Angaben in Tabelle 12.1 liegt zugrunde, dass die Wand keine Öffnung aufweist, deren Höhe 1/3 der lichten Wandhöhe lw oder deren Fläche 1/10 der Wandfläche überschreitet. Werden diese Grenzen nicht eingehalten, sind in der Regel bei 3- oder 4-seitig gehaltenen Wänden die zwischen den Öffnungen liegenden Teile als nur an zwei Seiten gehalten zu betrachten und entsprechend

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zu bemessen. Die ß-Werte sind zu vergrößern, wenn die Querbiegetragfähigkeit durch Schlitze oder Aussparungen beeinträchtigt wird. Eine Querwand gilt dann als aussteifend, wenn

─ ihre Länge lht mindestens lw/5 der lichten Höhe lw der auszusteifenden ─ Wand ist, ─ sie keine Öffnungen aufweist und gleich hoch ist wie die auszusteifende

Wand ─ sie mindestens halb so dick ist wie die auszusteifende Wand.

Bei zweiseitig gehaltenen Wänden, die am Kopf- und Fußende durch Ortbeton und Bewehrung biegesteif angeschlossen sind, so dass die Randmomente vollständig aufgenommen werden können, darf ß nach Tabelle 12.1 mit dem Faktor 0,85 abgemindert werden. Für die lotrechte Bewehrung gelten folgende Vorschriften:

Allgemein:

Querschnitt

l w

auss

teife

nd

e

Wa

nd

lht ≥lw/5

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Wenn ccdEd Af3,0N ⋅⋅≥ oder bei Wänden, die unter Berücksichtigung der

Auswirkungen der Theorie II. Ordnung zu bemessen sind:

Höchstbewehrungsgrad:

Die Bewehrung ist gleichmäßig auf beide Außenseiten zu verteilen. Im Bereich von Übergreifungsstößen darf der Höchstwert von 4% auf 8% verdoppelt werden.

Für die horizontale Bewehrung gilt:

Allgemein:

Wenn |��| � 0,3 � �� oder bei Wänden, die unter Berücksichtigung der Auswirkungen der Theorie II. Ordnung zu bemessen sind:

Die horizontale Bewehrung liegt i. a. außen, die druckbeanspruchte knickgefährdete lotrechte Bewehrung innen. Um die lotrechte Bewehrung gegen Ausknicken zu sichern, werden je m2 4 S-Haken angeordnet. Bei Tragstäben ds ≤ 16 mm dürfen S-Haken entfallen, wenn gleichzeitig für die Betondeckung gilt ≥ 2 ds. In diesem Fall und immer bei Matten dürfen die lotrechten Stäbe auch außen liegen. In jedem Wandbereich, in dem der Gesamtquerschnitt der vertikalen Bewehrung beider Wandseiten 0,02·Ac übersteigt, ist die Querbewehrung mit Bügeln nach den Bestimmungen für Stützen einzulegen. Entsprechend sind die Bügelabstände unmittelbar über und unter aufliegenden Platten über eine Höhe gleich der 4fachen Wanddicke zu vermindern.

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An freien Rändern von Wänden mit einer Bewehrung As ≥ 0,003Ac je Wandseite müssen die Eckstäbe durch Steckbügel gesichert werden. Weiterhin gelten folgende Regeln:

Lotrechte Stäbe:

Horizontale Stäbe:

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1.2 Wandartige Träger Bei der Bemessung von Balken war eine der grundlegenden Annahmen das Ebenbleiben der Querschnitte (→ Bernoulli-Hypothese). Damit ergab sich eine lineare Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe. Diese Annahme ist nur gerechtfertigt solange das Bauteil schlank ist (Stützweite des Bauteils groß im Verhältnis zur Querschnittshöhe). Bei nicht schlanken Biegebauteilen sind die Dehnungen nicht mehr linear über die Querschnittshöhe verteilt. Man spricht dann von einer Scheibe oder einem wandartigen Träger.

≥ 3h < 3h

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Die genaue Abgrenzung zwischen schlanken Biegebauteilen (= Balken) und gedrungenen Biegebauteilen (=wandartige Träger) sind gemäß Heft 240 des DAfStb:

Einfeldträger: Grenze

Zweifeldträger bzw. Endfeld Durchlaufträger

Innenfeld Durchlaufträger:

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Kragträger:

Wandartige Träger können nach 2 Verfahren berechnet werden:

1) Elastische Scheibentheorie (FE-Modelle, Tabellenwerke)

2) Fachwerkmodelle

Zu 1)

Es werden Hauptzugspannungen ermittelt (beispielsweise mit Hilfe der FE-

Methode), zu Hauptzugkräften zusammengefasst und durch die

Bewehrung abgedeckt.

Heft 240 des DAfStb gibt Hinweise, wie für verschiedene Systeme und

Belastungsarten ohne Verwendung eines FE-Programmes die

Hauptzugkräfte zu ermitteln sind.

Dabei sind vor allem der Hebelarm der inneren Kräfte und die Verteilung

der Zugbewehrung über die Höhe von Interesse.

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Heft 240 enthält Tafeln für verschiedene Systeme und Belastungsarten.

Feld: Stütze:

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System Geometrie Hebelarm der inneren Kräfte z

Einfeldträger 0,5 � � � 1,0 �� 0,3 � � � �3 � � �

� � 1,0 �� 0,6 � Zweifeldträger

Endfeld Durchlaufträger

0,4 � � � 1,0 �� 0,5 � � � �1,9 � � �

� � 1,0 �� 0,45 � Innenfeld

Durchlaufträger

0,3 � � � 1,0 �� 0,5 � � � �1,8 � � �

� � 1,0 �� 0,4 � Kragträger

1,0 � � � � 2,0 �� 0,65 � � � 0,1 � �

� � � 2,0 �� 0,85 � �

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Mit Hilfe von Heft 240 wird die Bemessung also wie folgt vorgenommen:

− Berechnung der Biegemomente (nach Elastizitätstheorie)

− Ermittlung des jeweiligen Hebelarms der inneren Kräfte z

− Ermittlung der Zugbewehrung � � �� ⁄

Die Feldbewehrung ist über die Höhe � � 0,1 � � bzw. � � 0,1 � zu

verteilen (der kleinere Wert ist maßgebend).

Die ermittelte Stützbewehrung ist gemäß den Angaben in Heft 240 über

die Höhe zu verteilen.

Auch die Auflagerkräfte können näherungsweise nach der Balkentheorie

ermittelt werden. Im Falle von Mehrfeldträgern sind die Endauflagerkräfte

mit folgenden Faktoren zu erhöhen.

h/l 0,3 0,4 0,7 1,0

Erhöhungsfaktor 1,0 1,08 1,13 1,15

Zu 2)

Als Alternative kann der Kräfteverlauf mit Hilfe von Fachwerkmodellen

dargestellt werden. Das gewählte Fachwerk sollte sich an den

Spannungstrajektorien der Elastizitätstheorie orientieren, um übermäßig

breite Risse zu vermeiden.

Geeignete Fachwerkmodelle: Schlaich/Schäfer

Konstruieren im Stahlbetonbau, Betonkalender 2001 Teil II

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Beispiel:

Für das gleiche System ergibt sich bei unten angehängter Last folgendes

Fachwerkmodell:

Die Last muss also zunächst über eine Aufhängebewehrung über eine

Höhe l ≤ h zu den Druckstreben geführt werden.

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Bei hohen Einzellasten entstehen an der Einleitungsstelle Spaltzugkräfte.

Diese werden direkt unterhalb der Last vom Druckgewölbe überdrückt.

Etwas weiter unten entsteht jedoch bereits eine „lokale Zugzone“.

Die Größe und Stelle der Zugkräfte ist BK2001 (oder vergleichbarer

Literatur) zu entnehmen. Die Zugkräfte sind durch die Bewehrung

abzudecken.

Der Nachweis der Druckstreben wird wie folgt geführt:

Die Breite der Druckstrebe a ergibt sich aus der Größe des Auflagers, der Höhe der Zugbewehrung und der Druckstrebenneigung:

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z. B.:

Wandartige Träger müssen wie auch Wände Mindestdicken gemäß EC2

Tabelle NA.9.3 einhalten. Allgemein sollten Wanddicken ≥ 15 cm

verwendet werden.

An beiden Wandaußenflächen ist ein rechtwinkliges Bewehrungsnetz

vorzusehen.

Je Wandaußenfläche und je Wandrichtung gilt:

min �,�� 0,075 % → d.h. insgesamt 0,15% min �,�� 1,5 #$²/$ max ) � *300 $$2 � �� + → wie für lotrechte Bewehrung von Wänden

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3 Merkregeln

1. Angehängte Decken bei wandartigen Trägern nicht vergessen.

→ Decke über EG „hängt sich an

den wandartigen Träger“!

→ Als Belastung nicht vergessen!

→Aufhängebewehrung nicht

vergessen!

2. Wandartige Träger möglichst nur über ein Geschoss ausbilden

→ Ab einer bestimmten Höhe

bewirkt eine weitere

Vergrößerung der

Querschnittshöhe keine

Vergrößerung des Hebelarms der

inneren Kräfte mehr

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� , ��

Zudem müssen die Unterstützungen im Bauzustand stehen bleiben, bis

der wandartige Träger über die gesamte Höhe ausgehärtet ist. Deshalb

sollte man WAT über 2 oder mehr Geschosse möglichst vermeiden.

3. Das Zugband des wandartigen Trägers liegt in Höhe der angehängten

Decke. Die Bewehrung muss deshalb im Bewehrungsplan der Decke

mit vorgesehen sein.

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2 Deckengleiche Unterzüge

Bei linienförmig gelagerten Platten kommt es vor, dass die Stützung

unterbrochen ist, weil

− eine Tür- oder Fensteröffnung in der unterstützenden Wand

angeordnet wird

− und kein Balken zur Stützung der Decke in diesem Bereich

angeordnet werden soll/kann.

Es wird dann in diesem Bereich ein sogenannter „deckengleicher

Unterzug“ ausgebildet.

Fehlt die Stützung nur auf kurzer Länge, so können die Schnittgrößen und

die Bewehrung mit Hilfe des Näherungsverfahrens in Heft 240 DAfStb

ermittelt werden.

Bei größerer Länge der fehlenden Stützung (leff > 15 hDecke) können die

Schnittgrößen und die Bemessung nicht mehr mit dem

Näherungsverfahren durchgeführt werden (→ in diesem Fall muss eine

genaue Berechnung z.B. mit einem FEM-Programm durchgeführt werden).

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1) Geringe Länge der fehlenden Stützung (leff ≤ 7 hDecke)

Bei geringer Länge und wenn keine wesentlichen zusätzlichen

Auflasten vorhanden sind, genügen konstruktive Stabstahlzulagen:

2 Ø10 oder 2 Ø12 oben + unten

Die oberen Stäbe sollten zur Abdeckung des Einspannmomentes mxre

ausreichend lang gewählt werden (ca. 1,5 lb).

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2) Mäßige Länge der fehlenden Stützung (7 hDecke ≤ leff ≤ 15 hDecke)

a) Bemessung in Richtung der unterbrochenen Stützung

Pos. 1 + 1a:

��

Häufig vereinfachend: �� 1,05 · �

eff

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Pos. 2 + 2a:

��

Häufig vereinfachend: �� 1,05 · �

Für die Ermittlung der Schnittgrößen wird mit einseitiger oder

beidseitiger Einspannung gerechnet. Für die Lasteinzugsflächen wird

mit einem Winkel von 60° gerechnet. Häufig wird auc h vereinfachend

mit einer Gleichlast mit der maximalen Ordinate der Dreieckslast

gerechnet.

Für die Bemessung dürfen je nach Schnittgrößen unterschiedliche

mitwirkende Breiten angesetzt werden:

Endauflager (Pos. 1+2) ��,� � 0,25 � �� .�/ 0$1$/234 ��,� � 0,125 � �� .53ü3�$1$/234 ��,� � 7 � ��2 .89/:;:7�34

Zwischenauflager (Pos. 1a+2a) ��,� � 0,5 � �� .�/ 0$1$/234 ��,� � 0,25 � �� .53ü3�$1$/234 ��,� � 7 � �� .89/:;:7�34

eff

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b) Bewehrung rechtwinklig zur unterbrochenen Stützung

Rechtwinklig zur unterbrochenen Stützung sind lediglich konstruktive

Maßnahmen erforderlich.

Die Stützbewehrung der Decke ist im Auflagerbereich

folgendermaßen zu verstärken:

Es ergibt sich:

leff/Decke as‘

≤ 10 1,00·as

11 1,08·as

12 1,16·as

13 1,24·as

14 1,32·as

15 1,40·as

as = erforderliche

Stützbewehrung im Bereich

durchgehender Stützung

0,2 leff 0,2 leff 0,4 leff

leff

as' = as + ∆as

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Bei unterbrochenen Stützungen am Endauflager (Pos. 1+2) von

Platten ist im Endfeld die Feldbewehrung ungeschwächt bis über das

Auflager durchzuführen.

3) Größere Länge der fehlenden Stützung (leff > 15 hDecke)

Das Näherungsverfahren darf nicht angewendet werden. Schnittgrößen

und Bewehrung sind mit Hilfe der Plattentheorie (z.B. FEM-Programme)

zu ermitteln.

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3 Treppen

Treppen können mit verschiedenen Querschnittsgeometrien konstruiert

werden.

Üblicherweise wird eine Betonplatte

mit aufbetonierten Stufen ausgeführt.

s = Steigung

a = Auftritt

Es gilt die Schrittmaßregel:

2s + a = 63

Die Lastabtragung erfolgt in der Regel in Längsrichtung des

Treppenlaufes.

Als Verkehrslasten werden in Wohngebäuden 3,5 kN/m², in öffentlichen

Gebäuden 5,0 kN/m² angesetzt.

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Alle Lasten werden auf die Grundrisslänge projiziert. Somit ergeben sich

folgende Belastungssituationen:

Eigengewicht Podest: < � � · 25,0 ;�/$²

Eigengewicht Lauf: <� � �� · 25,0cos @ ;�/$²

Eigengewicht Stufen: <� � )2 · 25,0 ;�/$²

Verkehrslast: A � 3,5 … 5,0 ;�/$²

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Folgende statische Systeme werden bei der Berechnung von Treppen

üblicherweise verwendet:

• Wenn keine tragenden Längswände vorhanden sind

• Podeste übernehmen die Lasten der Treppenläufe

Große Spannweite → erfordert große Plattendicke

beff = 40 cm … 100 cm ≤ bPodest

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• Podeste übernehmen die Lasten der Treppenläufe als

Randbelastung

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4 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Bisher wurden ausschließlich die Nachweise im Grenzzustand der

Tragfähigkeit behandelt. Ebenso wichtig sind jedoch auch die Nachweise

im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit.

Zu ihnen zählen:

− Begrenzungen der Spannungen

− Begrenzung der Rissbreiten

− Begrenzung der Verformungen

Die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit werden für

eine der folgenden Einwirkungskombinationen geführt:

− Seltene Einwirkungskombination

− Häufige Einwirkungskombination

− Quasi-ständige Einwirkungskombination

Die Teilsicherheitsbeiwerte auf der Lastseite betragen alle 1,0!

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4.1 Begrenzung der Rissbreiten

Falls keine besonderen Anforderungen an die Gebrauchseigenschaften gestellt werden (Wasserundurchlässigkeit), gelten die Anforderungen der Tabellen 7.1 DE der DIN 1992-1-1.

Tabelle NA.7.1 - Rechenwerte für Wmax (in Millimeter)

Expositions- klasse

Stahlbeton und Vorspannung ohne Verbund

Vorspannung mit nachträg-

lichem Verbund

Vorspannung mit sofortigem Verbund

mit Einwirkungskombination

quasi-ständig häufig häufig selten

XO, XC1 0,4 a 0,2 0,2 -

XC2 -XC4

0,3 0,2 b,c

0,2 b

XS1 -XS3 Dekom- pression

0,2 XD1, XD2,

XD3d

a) Bei den Expositionsklassen XO und XC1 ; hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg.zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden

b) Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen c) Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren),

der Dekompressionsnachweis entfallen. d) Beachte 7.3.1 (7) Bei Bauteilen der Expositionsklasse XD3 können besondere Maßnahmen erforderlich werden. Die

der entsprechenden Maßnahmen hängt von der Art des Angriffsrisikos ab.

Zum Nachweis der Begrenzung der Rissbreite gemäß DIN 1992-1-1, 7.3

gehören 3 Elemente:

− Nachweis der Mindestbewehrung gemäß DIN EN 1992-1-1; 7.3.2

− Berechnung der Rissbreite gemäß DIN EN 1992-1-1; 7.3.4

− Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berechnung gemäß DIN EN

1992-1-1; 7.3.3

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4.1.1 Nachweis der Mindestbewehrung (DIN EN 1992-1- 1;. 7.3.2)

Zur Aufnahme von Zwangeinwirkungen ist immer eine Mindestbewehrung anzuordnen. Diese muss so bemessen sein, dass sie in der Lage ist, die im Zustand I im Beton vorhanden Zugkräfte beim Übergang in den Zustand II zu übernehmen.

Es werden die beiden Grenzfälle „zentrischer Zwang“ und „Biegezwang“ betrachtet. Zentrischer Zwang: Zustand I

Bei Erreichen der Risskraft FRiss Übergang in den Zustand II:

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Risskraft: �� → erforderliche Bewehrung:

/:�� C�� ,�� C��

Man führt einen Beiwert kc ein, der die Spannungsverteilung erfasst, um eine allgemeine Formel für verschiedene Belastungsarten zu erhalten. D /:�� ;� � ��,�� C��

Mit kc = 1,0 für zentrischen Zug Biegezwang:

Bei Erreichen des Rissmomentes MRiss erfolgt der Übergang in den Zustand II:

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E� �� ,�� F� � � � C�� D /:�� F� � ��,��C��

Für Rechteckquerschnitte gilt:

�� , 0,85 � �

und F� � � � �²6 � � � �6 � 2 � �� 6 � �� 3

D /:�� F� � ��,��C��

Der Beiwert kc ist für Biegezwang somit 0,4!

Für die Berechnung der Mindestbewehrung für Zwang gemäß

DIN EN 1992-1-1 führt man noch einen Faktor k ein, der den Effekt der

Eigenspannungen erfasst.

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Eigenspannungen entstehen, wenn sich beispielsweise aufgrund nichtlinearer über den Querschnitt verteilter Temperatur eine nichtlineare Dehnungsverteilung einstellen will. Die Eigenspannungen zwingen in diesem Fall die Querschnittsfasern auf die lineare Dehnungsverteilung zurück (→ Bernoulli-Hypothese)

Eigenspannungen bewirken feine Risse und somit eine „Vorschädigung“ des Querschnittes. Sie reduzieren somit den auftretenden Zwang.

Somit ermittelt man die Mindestbewehrung mit: �,� � � ;� � ; � ��,�� C�

kc der Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Spannungsverteilung innerhalb des Querschnitts vor der Erstrissbildung sowie der Änderung des inneren Hebelarmes:

mit

mit C� Betonspannung in Höhe der Schwerlinie des

(Teil-)Querschnittes im ungerissenen Zustand

k1 der Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung

k1 = 1,5 für die Drucknormalkraft k1 = 2 h* /(3h) für die Zugnormalkraft

h* h* = h für h < 1,0 m h* = 1,0 für h ≥ 1,0 m

bei Rechteckquerschnitten und Stegen von Hohlkästen oder T-Querschnitten

bei Gurten von Hohlkästen- oder T-Querschnitten

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k der Beiwert zur Berücksichtigung von nichtlinear verteilten Eigenspannungen, die zum Abbau von Zwang führen

+k = 0,8 für h ≤ 300 mm k = 0,5 für h ≥ 800 mm G bei direktem Zwang!

Zwischenwerte werden interpoliert!

; � 1,0 �ü: H20H:/;3/2 IF72<

Direkter Zwang: Ursache und Auswirkung liegen im selben Bauteil

Indirekter Zwang: Ursache und Auswirkung liegen nicht im selben Bauteil

Fcr der Absolutwert der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Rissbildung infolge des mit fct,eff berechneten Rissmoments fct,eff die wirksamen Zugfestigkeit des Betons zum Zeitpunkt t, die beim Auftreten der Risse zu erwarten ist:

Wie groß ist die anzusetzende wirksame Betonzugfestigkeit fct,eff?

Im Allgemeinen gilt: fct,eff = fctm (DIN EN-1-1, Tabelle 3.1)

Bei einer Rissbildung in den ersten 3 bis 5 Tagen kann als wirksame Betonzugfestigkeit fct,eff = 0,5·fctm angesetzt werden.

Dies ist z.B. der Fall bei Zwang aus abfließender Hydratationswärme.

Tritt der Zwang nicht mit Sicherheit innerhalb der ersten 28 Tage auf, ist folgende Mindestzugfestigkeit anzusetzen.

Normalbeton: fctm = 3,0 N/mm²

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4.1.2 Berechnung der Rissbreite (DIN EN 1992-1-1, 7 .3.4)

Gegeben sei ein Stahlbetonstab, der zentrisch gezogen wird:

Zunächst befindet sich der Stab im Zustand I. Bei steigender Last wird an

einer Stelle (der zufällig schwächsten Stelle) die Betonzugfestigkeit

überschritten. Dieser Prozess setzt sich fort.

Zwischen zwei Rissen gibt es zu diesem Zeitpunkt noch Bereiche, in denen Stahl- und Betondehnung übereinstimmen → εs = εc

(Genau genommen ist dies die Definition für Zustand I) Man bezeichnet diesen Zustand als Einzelrissbildung.

In diesem Zustand ergibt sich die mittlere Rissbreite zu F� � 2 � � � .J�� J��4

lt lt lt lt lt : Eintragungslänge

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Steigert man die Normalkraft weiter, so erreicht man einen Zustand, in

dem an keiner Stelle mehr Betondehnung und Stahldehnung

übereinstimmen.

Man spricht dann von abgeschlossener Rissbildung. srm bezeichnet den mittleren Rissabstand. F� � )�� .J�� J��4 Der mittlere Rissabstand lässt sich wie folgt eingrenzen: � K )� K 2 � � Erklärung: frühestens im Abstand � kann der nächste Riss erzeugt werden. Wenn der Abstand größer als 2 � � wäre, wäre in diesem Bereich noch J� � J�. In diesem Bereich könnte noch ein weiterer Riss zum abgeschlossenen Rissbild entstehen.

lt lt

srm

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Da sowohl bei Einzelrissbildung als auch bei abgeschlossenem Rissbild die größte Rissbreite beim Rissabstand sr,max = 2 · lt entsteht, wird diesbezüglich bei der Berechnung der Rissbreiten keine Unterscheidung gemacht. Bezüglich der Berechnung von l t selbst wird jedoch unterschieden: Einzelrissbildung: � � C� � Ø4 � M��

mit M�� 1,8 � ��,�� , C� � Ø7,2 � ��,��

mit )�,�� 2 � � D )�,�� C� � Ø3,6 � ��,��

Abgeschlossene Rissbildung: � � Ø � ��,��4 � M�� N��

mit M�� 1,8 � ��,��

)�,�� 2 � �� D )�,�� Ø3,6 � N��

Daraus ergibt sich die Regelung nach DIN EN 1992-1-1: )�,�� Ø3,6 � N�� K C� � Ø3,6 � ��,��

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Mittlere Dehnungsdifferenz zwischen Stahl und Beton ergibt sich mit:

J�� J�� C� � ;� � ��,��N�� O1 � @� � N��PQ� � 0,6 � C�Q� In diesen Gleichungen ist:

σs = die Spannung in der Zugbewehrung unter Annahme eines gerissenen Querschnitts

kt = der Faktor, der von der Dauer der Lasteinwirkung abhängt, kt= 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung

@� = Verhältnis der Elastizitätsmodule Q� Q��⁄

N,�� = effektiver Bewehrungsgrad � �,��⁄ ; Ac,eff = hc,eff · b

Bild 7.1 - Wirkungsbereich der Bewehrung (typische Fälle)

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Ac,eff . ist die Betonfläche um die Zugbewehrung mit der Höhe hc,ef hc,ef = 2,5· (h - d) ≤ ( h – x ) / 3 ) x – Druckzonenhöhe im Zustand I

≤ h / 2 Der Ansatz für den Wirkungsbereich der Bewehrung AC.ef mit 2,5(h - d) gilt nur für eine konzentrierte Bewehrungsanordnung und dünne Bauteile mit h / (h - d) ~ 10 bei Biegung und h / (h - d) ~ 5 bei zentrischem Zwang hinreichend genau. Bei dickeren Bauteilen kann der Wirkungsbereich bis auf 5(h - d) anwachsen (siehe Bild 7.1 d)).

Bild NA.7.1d) - Vergrößerung der Höhe h c,ef des Wirkungsbereiches der Bewehrung bei zunehmender

Bauteildicke Wenn die Bewehrung nicht innerhalb des Grenzbereiches (h - x) / 3 liegt, sollte dieser auf (h - x) / 2 vergrößert werden.

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4.1.3 Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berech nung

(DIN 1045-1, 11.2.3)

Wie erwähnt errechnet sich die Rissbreite wie folgt:

F� � 0�3,6 � N�� C� � 0,4 � ��,��N�� O1 � @� � N��PQ�

Vereinfachend setzt man @� · N�� 0 und stellt die Gleichung nach Øs um.

Ø� � 3,6 � F� � N�� Q�C� � 0,4 � ��,��N��

Setzt man die Spannung im Stahl so an, dass gerade im wirksamen

Betonquerschnitt die Zugfestigkeit erreicht wird, so bedeutet das

� � C� � �,�� ,��

bzw. N�� ,�� ,��C�

Setzt man dies ein, so ergibt sich

Ø� � 3,6 � F� � ��,�� Q�C�� .1 � 0,44 � 6 � F� � ��,�� Q�C��

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Somit lässt sich für eine vorgegebene Betonzugfestigkeit (z.B. fct,eff = 3,0 MN/m²) ein Zusammenhang zwischen Øs, wk und σs auftragen. Die Grenzdurchmesser Ø*

s lassen sich für eine vorgegebene Rissbreite wk und eine Stahlspannung σs aus Tabelle 7.2DE der DIN EN1992-1-1 ablesen.

Wenn die Betonzugfestigkeit geringer als fct,eff = 3,0 MN/m² ist, so muss der Grenzdurchmesser im Verhältnis ��,�� 3,0⁄ modifiziert werden.

Zusätzlich darf der Grenzdurchmesser in Abhängigkeit von der Bauteilhöhe modifiziert werden.

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Bei Lastbeanspruchung gilt Ø� � Ø�� C� � �4 � .� � 04 � � R 2,9 � Ø�� ,��2,9

bei Zwangbeanspruchung für Biegung Ø� � Ø�� ;� � ; � �� ,��4 � .� � 04 � 2,9 � Ø�� ,��,�

bei Zwangbeanspruchung für zentrischer Zug Ø� � Ø�� ;� � ; � �� ,��8 � .� � 04 � 2,9 � Ø�� ,��,�

mit Ø� = der modifizierte Durchmesser

Ø�� = Grenzdurchmesser zur Ablesung aus Tab. 7.2DE

�� = Höhe der Zugzone im Querschnitt im Zustand I unter quasi ständiger Einwirkungskombination

d = die statische Nutzhöhe bis zum Schwerpunkt der außenliegenden Bewehrung

In gleicher Weise kann man für einlagige Bewehrung einen Zusammenhang zwischen Stababstand, Rissbreite und Stahlspannung aufstellen. Tabelle 7.3N, DIN EN 1992-1-1

Stahlspannuq/ Höchstwerte der Stababstände [mm]

[N/mm2] Wk=O,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm

160 300 300 200

200 300 250 150

240 250 200 100

280 200 150 50

320 150 100 -

360 100 50 -

Tabelle 7.3N Höchstwerte der Stababstände zur Beg renzung der Rlssbrelten

Massivbau III


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4.2 Realistische Abschätzung der Zwangspannungen

Bisher wurde die Mindestbewehrung ermittelt, indem die theoretisch

maximal mögliche Zwangbeanspruchung ermittelt und dafür die

erforderliche Bewehrung gewählt wurde.

Die theoretisch maximale Zwangbeanspruchung, die sich bei zentrischem

Zug aufbauen kann, beträgt:

�� ;� � ; � ��,��

Im Sinne einer wirtschaftlichen Betrachtung sollte jedoch überprüft werden,

ob diese maximale Zwangkraft überhaupt entstehen kann.

Bauteile, bei denen die Zwangkraft aus wirtschaftlichen Gründen genauer

abgeschätzt werden sollte, sind

− Bodenplatten

− Aufgehende Wände auf fertiggestellten Fundamenten

4.2.1 Bodenplatten

Könnte sich die Bodenplatte frei verformen, so entstünde keinerlei

Zwangbeanspruchung. Die Zwangbeanspruchung entsteht nur durch die

Reibung der Bodenplatten auf dem Baugrund (sofern keine Vertiefungen

vorhanden sind!). Somit kann die Zwangbeanspruchung auch nicht größer

sein als die Reibungskraft.

Massivbau III


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��,�� S � T � �

mit l´ = l/2

S � Bauwerkslast zum Zeitpunkt des Auftretens der Zwang- beanspruchung (z. B. Eigengewicht der Bodenplatte)

T � Reibungsbeiwert

Massivbau III


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Durch die Wahl von Betonierabschnitten lässt sich die auftretende

Zwangbeanspruchung gezielt steuern.

1. Betonierabschnitt: ��,�� S � T � 4⁄ � N � � � T � 4⁄

2. Betonierabschnitt: ��,�� N � � � T � 4⁄

Prof. Dr.-Ing. A. Albert

4.2.2 Aufgehende Wände auf

Bei Wänden, die auf vorab fertiggestellten Fundamenten hergestellt

werden, wird die freie Verf

Fundament behindert.

• Am Wandfuß ist die Verformung vollständig behindert

• Im oberen Wandbereich hängt die Größe der

Zwangbeanspruchung vom Verhältnis l/h der Wand ab

Massivbau III

Bemessung im Stahlbetonbau

Aufgehende Wände auf vorab fertiggestellten Fundamenten


werden, wird die freie Verformung durch das bereits erhärtete

Fundament behindert.

Am Wandfuß ist die Verformung vollständig behindert

Im oberen Wandbereich hängt die Größe der


l/h ≤ 2

l/h > 8

Bemessung im Stahlbetonbau

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fertiggestellten Fundamenten


ormung durch das bereits erhärtete

Am Wandfuß ist die Verformung vollständig behindert


Massivbau III


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Bei langen Wänden entsteht im oberen Wandbereich infolge des

Abfließens der Hydratationswärme eine hohe Zugbeanspruchung.

Bei kurzen Wänden entsteht im oberen Bereich nur eine geringe

Zugbeanspruchung (oder sogar eine Druckbeanspruchung).

Für die Zwangbemessung werden daher 3 Bereiche unterschieden:

Bereich h1: Die Verformung wird durch das Fundament vollständig

behindert. Es wird keine Bewehrung benötigt, um die Risse

infolge Zwang zu verteilen („das Fundament verteilt die

Risse“!)

� � 0,6 � �� !"

Es wird in diesem Bereich eine Bewehrung für Biegezwang

angeordnet.

Massivbau III


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� � 0,4 � ; � ��,�� #��$�

Bereich h2: In diesem Bereich entsteht die volle Zwangspannung. Die

Rissbreite muss durch die Bewehrung begrenzt werden,

die für zentrischen Zwang bemessen wird.

� � 1,0 � ; � ��,�� #��$�

Bereich h3: In diesem Bereich wird die Verformung kaum behindert.

Die Betonspannung ist kleiner als die Betonzugfestigkeit.

Die Höhe h1+h2 und damit auch h3 = h - (h1+h2) wird

gemäß Heft 466 ermittelt.

Es wird eine Bewehrung für Biegezwang angeordnet.

� � 0,4 � ; � ��,�� #��$�

4.3 Begrenzung der Spannungen

Hohe Stahlspannungen führen zu breiten Rissen; hohe

Betondruckspannungen führen ggf. zu Rissen parallel zur Druckrichtung.

Daher sind Spannungen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit zu

begrenzen.

Betondruckspannungen:

Für Expositionsklassen XD, XF oder XS:

|C�| K 0,6 � �� für die seltene Einwirkungskombination

Massivbau III


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Alternativ: Betondeckung erhöhen oder Bügel im Abstand ≤ 12 dsl einlegen

(Umschnürungswirkung)

Wenn Kriechverformungen relevant sind für die Gebrauchstauglichkeit,

Tragfähigkeit oder Dauerhaftigkeit: |C�| K 0,45 � ��

Stahlspannung (Betonstahl):

Unter Last |C�| K 0,8 � �� für die seltene Einwirkungskombination

Unter Zwang |C�| K 1,0 � ��

Für Spannstahl siehe Vorschriften gemäß Vorlesung „Spannbetonbau“.

Die Nachweise der Spannungen können entfallen für nicht vorgespannte

Tragwerke des üblichen Hochbaus, wenn gilt, dass

− die Schnittgrößen nach Elastizitätstheorie um nicht mehr als 15%

umgelagert werden und

− die Durchbildung nach Kapitel 9. der DIN EN 1992-1-1 durchgeführt

wurde.

4.4 Begrenzung der Verformungen

Vereinfachter Nachweis durch Begrenzung der Biegeschlankheit �/� � � · �11 � 1,5�� 3,2 · �� 1��

wenn � � ��

Massivbau III


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bzw. �/� � � · �11 � 1,5�� ´ � �� · ��´��

wenn � � ��.

Hierbei sollten die Biegeschlankheiten allgemein auf die Maximalwerte l / d ≤ K · 35 und bei Bauteilen, die verformungsempfindliche Ausbauelemente beeinträchtigen können, auf l / d ≤ K² � 150 / l begrenzt werden.

Kann der Nachweis zur Begrenzung der Verformungen nicht über die Begrenzung der Biegeschlankheit erbracht werden, so ist die Durchbiegung zu berechnen. Generell ist zwischen der „Durchbiegung“ und dem „Durchhang“ zu unterscheiden.

Der Durchhang ist auf 250⁄ zu begrenzen.

Wenn Schäden an angrenzenden Bauteilen auftreten können

(verformungsempfindliche Trennwände)

→ Durchbiegung (nach dem Einbau der verformungsempfindlichen

Trennwände) begrenzen auf 500⁄ .

Massivbau III


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5 Torsion

Ein Nachweis der Torsionstragfähigkeit ist nur erforderlich, wenn das

statische Gleichgewicht von der Torsionstragfähigkeit abhängt

(Gleichgewichtstorsion). Wenn das System auch ohne Aufnahme der

Torsionsmomente im Gleichgewicht ist, kann die Torsionswirkung beim

Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit vernachlässigt werden

(Verträglichkeitstorsion).

Gleichgewichtstorsion: Verträglichkeitstorsion:

Kragplatte tordiert Unterzug

→ Sonst kein Gleichgewicht

möglich!

Platte tordiert Unterzüge, aber

Torsionsmomente für Gleichgewicht

nicht erforderlich

→ Gleichgewicht ist auch bei gelenkiger

Lagerung gegeben!

Massivbau III


Seite 52

Ähnlich wie bei Querkraftbeanspruchung lässt sich der Kraftfluss bei

Torsion anschaulich anhand eines Stabtragwerkmodells zeigen.

Idealerweise besteht dies aus wendelartig verlaufenden Druck- und

Zugstreben.

Da man keine wendelartige Bewehrung einbauen möchte, deckt man die

Zugwirkung durch Bügel sowie eine (zusätzlich zur Biegebewehrung

eingebaute) Längsbewehrung ab. Es entsteht folgendes Stabwerkmodell:

Die wendelartig verlaufenden Betondruckstreben stehen in den

Knotenpunkten mit der Bügelbewehrung und mit den Längsstäben im

Gleichgewicht.

Die Beanspruchungen infolge Torsion werden nur durch die Randzone des

jeweiligen Stahlbetonquerschnittes aufgenommen. Vollquerschnitte (z.B.

Massivbau III


Seite 53

Rechteckquerschnitte) werden daher als „Ersatzhohlkastenquerschnitte“

berechnet.

Die Mittellinie des Ersatzhohlkastens verläuft durch die Mitte der

Längsstäbe in den Ecken.

Bei „tatsächlichen“ Hohlkastenquerschnitten darf tef natürlich nicht größer

als die wirkliche Wanddicke gewählt werden.

d k

tef / 2 tef / 2

Massivbau III


Seite 54

Es gilt:

Τ�� 2 � M�� 3�� 0� � ��2 � 2 � M�� 3�� 0�2 � 2 � M�� &3��

mit � � �� 0�

und M�� Schubspannung

Die durch die Tragfähigkeit der Druckstreben bedingte Grenze für die

Torsionstragfähigkeit ergibt sich aus dem Stabwerkmodell wie folgt:

Knoten 1: ∑V = 0 3�� M�� 0� � V��2� � 0� � C� � �� 3�� sin W

mit �� 0� � cos W

und

Schubkraft pro Seitenwand

Schubkraft pro Wand oben + unten

Massivbau III


Seite 55

sin W � cos W � 1cot W � tan W

D C� � V��2� � 3�� .cot W � tan W4

Da die maximale zulässige Betondruckspannung

C� � @�,��

beträgt, ergibt sich

Τ��,�� @�,�� 2� � 3��cot W � tan W

bzw. für W � 45° Τ��,�� @�,�� 3��

@�,�� @� bei Kastenquerschnitten mit Bewehrung an Innen- und

Außenseite der Wände @�,�� 0,7 � @� allgemein

(@� � 0,75 für Normalbeton, @� � Z � 0,75 für Leichtbeton)

Massivbau III


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Durch die Bügelbewehrung ergibt sich folgende Begrenzung der

Torsionstragfähigkeit:

3�� M�� 0� � V�� 0�2� � 7�� 0�tan W

7�� V��2� � �� tan W

bzw. für W � 45° 7�� V��2� � ��

Merke:

− Es müssen geschlossene Bügel (mit Übergreifungslänge ls

geschlossen!) verwendet werden

− Die erforderliche Bügelbewehrung darf „beim Ablesen nicht durch 2

geteilt werden“.

Massivbau III


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Zusätzlich ergibt sich eine über den Umfang zu verteilende

Längsbewehrung von:

�' � V��2� � �� tan W � 9�

mit 9� � 2 � .0� � ��4 = Umfang von Ak

5.1 Kombinierte Beanspruchung: Querkraft + Torsion + Biegung

Im Allgemeinen tritt Torsion in Kombination mit Querkraft und Biegung auf.

In diesem Fall stehen 2 Verfahren zur Bemessung zur Verfügung.

5.1.1 Vereinfachtes Verfahren

Die Bemessung der Torsionsbewehrung (Bügel + Längsbewehrung) wird

unter der Annahme einer Druckstrebenneigung von W � 45° gemacht.

Diese Bewehrung wird zur Bewehrung aus Querkraft + Biegung addiert.

Der Nachweis der Druckstrebe wird mit Hilfe folgender Formel geführt:

S��S��,�� Τ��Τ��,�� K 1,0 für Hohlkastenquerschnitte

[ S��S��,��\� � [ Τ��Τ��,��\� K 1,0 für Vollquerschnitte

Massivbau III


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5.1.1 Genaues Verfahren

Die Torsionsbemessung und die Querkraftbemessung werden unter

Verwendung des gleichen gemeinsamen Druckstrebenwinkels geführt.

Hierfür wird die Schubbeanspruchung innerhalb der Wände des ideellen

Hohlkastenquerschnittes infolge Torsion und infolge Querkraft ermittelt.

S��,� � S�� 3��

S��," � V�� 2�

- Mit Hilfe der Beanspruchung wird die Druckstrebenneigung ermittelt

gemäß

cot W � 1,2 � 1,4 � C��1 � S��,�S��,�("

- Mit dieser Druckstrebenneigung wird die erforderliche Torsions- und Querkraftbewehrung ermittelt.

- Vereinfachend darf die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von θ = 45° ermittelt und zu der nach DIN EN 1992-1-1; 6 .2,3 ermittelten Querkraftbewehrung addiert werden, -

- Der Nachweis der Druckstrebe erfolgt mit den Interaktionsformeln wie

zuvor.

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Bei rechteckigen Vollquerschnitten kann gemäß DIN EN 1992-1-1, 6.3.2

(4) ein rechnerischer Nachweis der Torsions- und Querkraftbewehrung

entfallen, wenn folgende beiden Bedingungen gelten:

Τ�� K S�� 4,5

S�� 1 � 4,5 � V��S�� K S��,�

In diesem Fall ist nur die Mindestbewehrung vorzusehen.

inhaltsverzeichnis - hochschulebochum.de · massivbau iii prof. dr.-ing. a. albert bemessung im...

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