INTEGRALE (DI RIEMANN)PERFUNZIONI DI DUEE TRE VARIABILISU RETTANGOLI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Definizione di Definizione di integrali doppi e tripli integrali doppi e tripli secondo Riemann secondo Riemann

Proprietà Proprietà dell’integrale. Classi di dell’integrale. Classi di funzioni integrabilifunzioni integrabili

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI INTEGRALI INTEGRALI

DOPPI E TRIPLIDOPPI E TRIPLISECONDO SECONDO RIEMANNRIEMANN

Introdurremo ora la nozione di Introdurremo ora la nozione di integrale multiplo (secondo Riemann)integrale multiplo (secondo Riemann)in modo simile a quanto è stato fatto in modo simile a quanto è stato fatto per funzioni di una sola variabile.per funzioni di una sola variabile.

I casi di funzioni di due o tre variabiliI casi di funzioni di due o tre variabilisono quelli che c’interessano di più,sono quelli che c’interessano di più,ma, in via di principio, lo stesso ma, in via di principio, lo stesso metodo è applicabile a funzioni dimetodo è applicabile a funzioni dipiù variabili reali (m > 3).più variabili reali (m > 3).

Sia dunque dato un intervallo o Sia dunque dato un intervallo o rettangolo rettangolo chiusochiuso II in in RR22 o o RR33 (più in generale in (più in generale in RRmm).).

I = [a,b]I = [a,b][c,d] [c,d] inin R R22

I = [a,b]I = [a,b][c,d] [c,d] [e,f] [e,f] inin R R33

I = [aI = [a11,b,b11]][a[a22,b,b22] ] … … [a[amm,b,bmm] ] inin R Rmm

Diremo scomposizione Diremo scomposizione (decomposizione) del rettangolo I(decomposizione) del rettangolo Iun insieme finito di punti di un insieme finito di punti di suddivisione sugli assi suddivisione sugli assi x, y, zx, y, z(in generale sugli assi (in generale sugli assi xx11, x, x22, .. , x, .. , xmm) ) disposti come seguedisposti come segue

a = xa = x00 < x < x11 < … < x < … < xpp = b = b

c = yc = y00 < y < y11 < … < y < … < yqq = d = d

e = ze = z00 < z < z11 < … < z < … < zrr = f = f

Alternativamente si può direAlternativamente si può diredecomposizione di decomposizione di II la famiglia la famigliafinita dei sottorettangoli finita dei sottorettangoli IIijkijk = = [x[xi-1i-1,x,xii]][y[yj-1j-1,y,yjj]][z[zk-1k-1,z,zkk],],i = 1, .. , p; j = 1, .. , q; k = 1, .. , ri = 1, .. , p; j = 1, .. , q; k = 1, .. , r

Qui abbiamo descritto la situazione Qui abbiamo descritto la situazione in in RR33; successivamente ; successivamente rappresentiamo graficamente la rappresentiamo graficamente la situazione in situazione in RR22

xx

yy

a = xa = x00 xx11 xx22 xxp-1p-1 xxpp = b = b

c = yc = y00

yy11

yyq-1q-1

yy22

d = yd = yqq

II1212

II

Sia ora data una funzione a valoriSia ora data una funzione a valorireali ereali e limitata limitata

f: I Rs R (s = 2, 3, .. , N)

Poiché Poiché ff è limitata su tutto è limitata su tutto II, lo sarà, lo saràsu ogni su ogni IIijij (consideriamo da ora in(consideriamo da ora inpoi, per maggiore semplicità, il casopoi, per maggiore semplicità, il casobidimensionale). bidimensionale).

Sia Sia mmijij = inf {f(x,y): (x,y) = inf {f(x,y): (x,y)TT I Iijij}}

e siae sia

MMijij = sup {f(x,y): (x,y) = sup {f(x,y): (x,y)TT I Iijij}}

Indicheremo con la lettera Indicheremo con la lettera una una decomposizione finita di decomposizione finita di II e con e con D(I)D(I) l’insieme di tutte le l’insieme di tutte le decomposizioni finite di decomposizioni finite di II

Data una decomposizione Data una decomposizione di di II, , considereremo le considereremo le somme inferiorisomme inferiorirelative alla funzione relative alla funzione ff e a e a

Diremo poi Diremo poi somme superiorisomme superiori

S(f , ) Mij (xi xi 1

)(y j y j 1)

i 1, .., pj1 ,.., q

s(f , ) mij (xi xi 1

)(y j y j 1)

i1,..,pj1,..,q

Come si è fatto nel caso diCome si è fatto nel caso didimensione 1, si può introdurre fradimensione 1, si può introdurre frale decomposizioni di le decomposizioni di II una relazione una relazionedi di “finezza”“finezza”: : 11 è è più finepiù fine di di 22 se, su se, su ogni asse, i punti di suddivisione di ogni asse, i punti di suddivisione di 11 sono un soprainsieme dei punti di sono un soprainsieme dei punti di decomposizione di decomposizione di 2 2 ..

Cioè, se Cioè, se 22 è individuata dai punti di è individuata dai punti disuddivisione sull’asse suddivisione sull’asse xx e e yy rispettivamente rispettivamente {a = x”{a = x”00 < x” < x”11 < … < … < x”< x”p”p” = b} = b} e e {c = y”{c = y”00 < y” < y”11 < … < … < y”< y”q”q” = d} = d} , mentre , mentre 11 è individuata è individuatada da {a = x’{a = x’00 < x’ < x’11 < … < x’ < … < x’p’p’ = b} = b} e e {c = y’{c = y’00 < y’ < y’11 < … < y’ < … < y’q’q’ = d} = d}, diremo , diremo che che 22 è è meno finemeno fine di di 11 (e scriveremo (e scriveremo2 2 1 1 e e 1 1 22) se ) se

{a = x”{a = x”00 < x” < x”11 < … < x” < … < x”p”p” = b} = b} {a = x’{a = x’00 < x’ < x’11 < … < x’ < … < x’p’p’ = b} = b}

ee

{c = y”{c = y”00 < y” < y”11 < … < y” < … < y”q”q” = d} = d} {c = y’{c = y’00 < y’ < y’11 < … < y’ < … < y’q’q’ = d} = d}

La relazione introdotta è una La relazione introdotta è una relazione d’relazione d’ordine ordine tra tra decomposizioni di decomposizioni di II, che è un , che è un ordineordineparzialeparziale. Infatti esistono . Infatti esistono decomposizioni inconfrontabilidecomposizioni inconfrontabili

Le due decomposizioni precedentiLe due decomposizioni precedentisono sono inconfrontabiliinconfrontabili; nessuna è più; nessuna è piùfine dell’altrafine dell’altra

Si verifica, come nel caso Si verifica, come nel caso unidimensionale, che date dueunidimensionale, che date duedecomposizioni decomposizioni 11 e e 22 ne esiste ne esiste una una che è più fine di entrambe. che è più fine di entrambe.

Basta prendere quella che ha, suBasta prendere quella che ha, suogni asse, l’unione dei punti di ogni asse, l’unione dei punti di decomposizione di decomposizione di 11 e e 22..

Inoltre, se Inoltre, se 1 1 22 si verifica che si verifica ches(f, s(f, 11) ≥ s(f, ) ≥ s(f, 22) ) e e S(f, S(f, 11) ≤ S(f, ) ≤ S(f, 22) )

Questo fatto ci permette di Questo fatto ci permette di riconoscere che le due classi dellericonoscere che le due classi dellesomme inferiori e superiori sonosomme inferiori e superiori sonoseparateseparate::

Cioè, per ogni Cioè, per ogni 11 e e 22 in in D(I)D(I), vale , vale

s(f, s(f, 11) ≤ S(f, ) ≤ S(f, 22) )

Infatti è ovvio che per ogni Infatti è ovvio che per ogni data datasia sia s(f,s(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,) )

Date poi Date poi 11 e e 22 e detta e detta una una decomposizione più fine di decomposizione più fine di entrambe, si haentrambe, si ha

s(f,s(f,11) ≤ s(f,) ≤ s(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,22))

Allora potremo considerareAllora potremo considerare

sup { s(f,sup { s(f,) : ) : D(I)} D(I)}

Il numero reale così ottenuto Il numero reale così ottenuto si dice l’si dice l’integrale inferioreintegrale inferiore (secondo Riemann) (secondo Riemann) di f esteso a Idi f esteso a I

Analogamente Analogamente

inf { S(f,inf { S(f,) : ) : D(I)} D(I)}

è detto è detto integrale superiore di f integrale superiore di f esteso ad Iesteso ad I..

Gli integrali inferiore e superioreGli integrali inferiore e superioresi indicano talvolta con i simbolisi indicano talvolta con i simboli

I

--f(x,y) dxdyf(x,y) dxdy

I

--f(x,y) dmf(x,y) dm

I

++f(x,y) dxdyf(x,y) dxdy

I

++f(x,y) dmf(x,y) dm

e rispettivamentee rispettivamente

nel caso di integrali doppinel caso di integrali doppi

Qui Qui dxdydxdy è posto per ricordare è posto per ricordare l’area o misura del sottorettangolo l’area o misura del sottorettangolo IIij ij . Allo stesso scopo si scrive più . Allo stesso scopo si scrive più genericamente genericamente dmdm..

Se accade che le classi delle Se accade che le classi delle somme inferiori e superiori siano somme inferiori e superiori siano contiguecontigue, cioè , cioè sese accade che accade che l’integrale superiore e inferiore l’integrale superiore e inferiore siano ugualisiano uguali, allora la funzione si , allora la funzione si dice dice integrabile secondo Riemannintegrabile secondo Riemann e e il valore comune si dice il valore comune si dice l’integrale l’integrale (s.R.) di f(s.R.) di festeso a Iesteso a I

I

--f(x,y) dxdy =f(x,y) dxdy =

I

++f(x,y) dxdyf(x,y) dxdy

I f(x,y) dxdy =f(x,y) dxdy =

ScriveremoScriveremo

Analogamente definiremoAnalogamente definiremo

f (x,y, z)dxdydz f (x,y, z)dm

I

I

f(x,y,z)dm f(x,y,z)dmI

I

Nel caso dell’integrale triplo Nel caso dell’integrale triplo dmdm è è indicato anche con indicato anche con dx dy dzdx dy dz e ricorda e ricordail volume del sottorettangolo il volume del sottorettangolo IIijkijk

Come nel caso unidimensionale Come nel caso unidimensionale vale la seguente vale la seguente condizione condizione d’integrabilità di Riemannd’integrabilità di Riemann

Teorema(condiz. d’integrabilità di Riemann)

f : I Rm R, (m =2,3,..) è integrabile

se e solo se per ogni > 0

esiste D(I) D(I) tale che tale che

S(f,S(f,) - s(f,) - s(f,) < ) <

Data la decomposizione Data la decomposizione = {I= {I}} e posto e posto mm = inf {f(x): x = inf {f(x): x I I}} e e MM = sup = sup {f(x): x {f(x): x I I}} , diremo , diremo oscillazioneoscillazione di di ff su su II

= M= M - m - m

Allora la condizione d’integrabilitàAllora la condizione d’integrabilitàdivienediviene

Per ogni > 0 esiste D(I) D(I) t.c. t.c.

m

Dove sta Dove sta al posto di al posto di ijij o o ijkijk e e

m =(xi-xi-1)(yj-yj-1)e similie simili

Si prova allora immediatamente Si prova allora immediatamente cheche

Teorema

Ogni funzione f : I Rm R, (m =2,3,..)

se è continua è integrabile su I

Infatti sappiamo che se Infatti sappiamo che se ff è continua è continuasu su II chiuso e limitato, allora, per chiuso e limitato, allora, per

ogni ogni > 0> 0 esiste un esiste un > 0 > 0

(dipendente da (dipendente da ) tale che se ) tale che se x, y x, y I I

e e |x-y| <|x-y| < è è |f(x) - f(y)| < |f(x) - f(y)| < /m(I) . .(Teorema di Heine - Cantor, (Teorema di Heine - Cantor, Matematica I)Matematica I)

Data una decomposizione Data una decomposizione , diciamo, diciamodiam(diam() = max{ diam (I) = max{ diam (I): I): I }}

Se Se è una qualsiasi decomposizione è una qualsiasi decomposizioneavente avente diam(diam() <) < , poiché per , poiché per WeierstrassWeierstrassmm = min {f(x): x = min {f(x): x I I} = f(x} = f(x’)’) e e MM = max {f(x): x = max {f(x): x I I} = f(x} = f(x”)”), , allora allora

== f(xf(x”)”) -- f(xf(x’) < ’) < /m(I)

PerciòPerciò

m/m(I) m= =

Si possono poi dimostrare i solitiSi possono poi dimostrare i solititeoremi sulla struttura dell’insiemeteoremi sulla struttura dell’insiemedelle funzioni integrabili su delle funzioni integrabili su II

TeoremaTeorema ( (di linearitàdi linearità))

Se Se ff e e gg sono integrabili su sono integrabili su II e e , , sono numeri reali, allora sono numeri reali, allora f + f + g g è integrabile su è integrabile su II e vale e vale

( f

I g)dm fdm

I gdm

I

TeoremaTeorema ( (di monotoniadi monotonia))

Se Se ff e e gg sono integrabili su sono integrabili su II e e f(x) ≤ g(x) f(x) ≤ g(x) x x I I, allora , allora

fdm gdm

I

I

In particolare, se In particolare, se f(x) ≥ 0 f(x) ≥ 0 x x I I, , alloraallora

fdm ≥ 0

I

TeoremaTeorema ( (del valore assolutodel valore assoluto))

Se Se ff è integrabile su è integrabile su II lo è anche lo è anche |f||f| e si hae si ha

fdm

I

f dmI

TeoremaTeorema ( (della mediadella media))

Se Se ff è integrabile su è integrabile su II e e l = inf { f(x): x l = inf { f(x): x I} I}, , L = sup { f(x): x L = sup { f(x): x I} I}, allora si , allora si haha

llm(I) m(I) ≤ fdm ≤

I

LLm(I)m(I)

In particolare, se f è continua su IIn particolare, se f è continua su I

fdm = f(c)m(I)

I

dove dove cc I I e e m(I)m(I) è la misura è la misura (area o volume) del rettangolo (area o volume) del rettangolo II

Il numeroIl numero

1m( I )

f dmI

si dice la si dice la media integralemedia integrale di di ff su su II..

TeoremaTeorema ( (del prodottodel prodotto))

Se Se ff e e gg sono integrabili su sono integrabili su II allora allora lo è lo è f f g g..

TeoremaTeorema ( (didi additività sul dominioadditività sul dominio))

Se Se ff è integrabile su è integrabile su II11 e su e su II22, che, chehanno solo una faccia in comune,hanno solo una faccia in comune,allora è integrabile su allora è integrabile su I =I = II11 II22 e e l’integrale è la somma degli l’integrale è la somma degli integraliintegrali

INSIEMIINSIEMITRASCURABILITRASCURABILI

Un insieme limitato Un insieme limitato TT Rm si dice si dice trascurabiletrascurabile (o di (o di misura misura elementare nullaelementare nulla) se, detto I un ) se, detto I un rettangolo che lo racchiude, per rettangolo che lo racchiude, per

ogni ogni > 0> 0 esiste una esiste una decomposizione decomposizione di I, tale che di I, tale che

m( I

)

dove sono stati indicati con dove sono stati indicati con II quei queisottorettangoli tali che sottorettangoli tali che II T ≠ T ≠

Si può allora dimostrare che una Si può allora dimostrare che una funzione limitatafunzione limitata f : I Rm R, è èR-integrabile se l’insieme integrabile se l’insieme DDff dei suoi punti di discontinuità èdei suoi punti di discontinuità ètrascurabiletrascurabile

Questo risultato amplia Questo risultato amplia notevolmente la classe delle notevolmente la classe delle funzioni R-integrabili.funzioni R-integrabili.