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Gabarito:
Resposta da questão 1: [B] Do enunciado, temos:
Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro.
O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do goleiro é dado por:
12,3
12,3
12,3
12,3
12!C
3! 12 3 !
12!C
3! 9!
12 11 10 9!C
3 2 1 9!
C 220
Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio fundamental da contagem é:
3 220 660 Resposta da questão 2: [D] Calculando: _ _ _
6 6 3 nº ímpar; final 3, 5 ou 7
total 6 6 3 108 possibilidades
Resposta da questão 3: [D] Do enunciado, antes da mudança, temos:
"A" indica um algarismo qualquer.
Observe que há 5 possibilidades para se colocar a letra minúscula.
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, 4N 5 26 10
Analogamente,
5M 6 26 10
Daí,
5
5
4
M 6 26 10
M 6 26 10
N 5 26 10
M12
N
M 12 N
Resposta da questão 4: [C]
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Como cada tarefa pode ser distribuída de três modos distintos, podemos concluir, pelo
Princípio Multiplicativo, que o resultado é 3 3 3 3 3 3 729. Resposta da questão 5: [C] Sabemos, pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, que em pelo menos um mês há
25 11 3
12
aniversariantes.
Resposta da questão 6: [B]
Basta obter a combinação de 8 dois a dois. Logo temos:
8,28! 8 7 6!
C 282!(8 2)! 2!6!
Resposta da questão 7: [E]
De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois o primeiro deles não pode ser o 11 e nem
o 12.
Total de grupos formados por 3 pessoas:
12,312!
C 2203! 9!
Portanto, o número máximo de grupos que se pode formar de modo que os crachás nãos sejam identificados por três números consecutivos será:
220 10 210.
Resposta da questão 8: [E] Calculando:
5,2
4,2
1) 2 pontos em r,1 ponto em s :
5!C 10
2! (5 2)!
T 10 4 40
2) 1 ponto em r, 2 pontos em s :
4!C 6
2! (4 2)!
T 6 5 30
Total 40 30 70 triângulos
Resposta da questão 9: [C]
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Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos seria igual a
2n.
2
Mas, como apenas adversários se cumprimentam, devemos descontar desse total o
número de apertos de mãos trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n. Portanto, segue que o resultado é tal que
2
2n (2n)!n 180 n 180
2 2!(2n 2)!
n n 90 0
n 10.
Resposta da questão 10: [C]
Basta determinar o número de combinações simples de 10 elementos tomados dois a dois.
10,210!
C 452! 8!
Resposta da questão 11: [C] Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores distintas. Para as pilhas de blocos de duas
cores existem 2 escolhas para a cor repetida e 3 para a segunda cor. Definidos os blocos, é
possível dispô-los de (2)3
3!P 3
2! maneiras. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que
existem 2 3 3 18 pilhas com blocos de duas cores.
Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas, sabemos que existem 4 modos de
escolher a primeira cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de escolher a última
cor. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que há 4 3 2 24 pilhas possíveis.
Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir que o resultado é 18 24 42. Resposta da questão 12: [B] Como a palavra DIREITO possui sete letras com a letra I repetida duas vezes, basta aplicar a fórmula da permutação com repetições. Logo:
7! 5040total 2520
2! 2 anagramas.
Resposta da questão 13: [D]
Considerando que estes quadro dígitos săo distintos, o número de possibilidades para a ordem desses
quatro dígitos é:
4! 4 3 2 1 24
Resposta da questão 14: [C]
Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos:
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5P 5! 120
Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8,
temos:
8 7 6 336.
Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas restrições são:
P 120 336 40.320
Resposta da questão 15: [A]
Existem 8P 8! maneiras de acomodar os adultos e 8 maneiras de escolher o colo em que
sentará o bebê. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 8 8!. Resposta da questão 16: [E]
Podemos formar 4, 3A 24 números de três algarismos com os dígitos disponíveis. Ademais,
como temos quatro dígitos, segue que cada um figura 24
64
vezes em cada ordem e,
portanto, tem-se que a resposta é
6 (1 2 3 4) 10 6 (1 2 3 4) 100 6 (1 2 3 4) 6660.
Resposta da questão 17: [D] Calculando:
3
3 7
1semana 7 dias 7 24 horas 7 24 60 minutos 10.080 minutos
4,8 toneladas 4,8 10 kg
Por semana 4,8 10 10.080 4,8 10 kg
Resposta da questão 18: [B]
Sendo 3 325 m 25000dm 25000 L, podemos concluir que o consumo diário por pessoa foi
de 25000
167 L,5 30
ou seja, no limite do bom senso.
Resposta da questão 19: [B]
3 16 3
3
96 km 9,6 10 cm
0,92 g 0,92 10 kg
Massa de 396 km de gelo em quilogramas:
16 3 139,6 10 0,92 10 8,832 10 kg
Resposta da questão 20: [A]
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Portanto, (10) (2)99 1100011 .
Resposta da questão 21: [B] Temos que somar o tempo de aquecimento do forno mais o produto do tempo de cada quilo com o total de quilos do peru, logo:
12 (3,5 22) 89 minutos.
Resposta da questão 22: [A] Para obter o número total de barreiras, basta dividir o tamanho total do percurso pelo espaço que cada barreira está uma da outra, ou seja,
1000 25 40.
Porém, como a última barreira está a 25 metros da linha de chegada, deve-se subtrair uma
barreira, logo:
40 1 39 barreiras. Resposta da questão 23: [E] Obtendo o valor gasto nas camisetas temos:
4 15,50 62 reais.
Sabendo que ela pagou com 4 notas de R$ 20,00, temos que ela tinha 80 reais. Logo,
80 62 18 reais. Resposta da questão 24: [C] Como foram dois meses no primeiro emprego e um no segundo, temos:
2 (1232,66) 2521,57 4986,89
Resposta da questão 25: [C]
Sabendo que uma hora corresponde a 60 minutos temos:
(7 60) 13 22 455 minutos.
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Note que para as 22h faltam treze minutos, das 22h as 05h são sete horas e mais vinte e
dois minutos. Resposta da questão 26: [B] Para obter após quanto tempo os dois amigos se encontram na linha de chegada, basta obter o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dos dois tempos. Ou seja:
28 24 2
14,12 2
7, 6 2MMC(28, 24) 2 2 2 3 7 1 168
7, 3 3
7,1 7
1,1 1
Dividindo 168 segundos por 60 para obter o tempo em minutos temos:
1682,8 2 min
60 e 48 segundos.
Resposta da questão 27: [A]
Desde que R 16 Q e N 13Q R, temos
N 13Q 16 Q N 12Q 16.
Ademais, se N 2 13(Q 1), então
12Q 16 2 13Q 13 Q 5.
Portanto, vem R 11 e N 76.
Escrevendo 276 2 19, podemos concluir que os divisores primos de N são 2 e 19.
Resposta da questão 28: [C] Fatorando-se o produto das idades, tem-se:
37037 7
5291 11
481 13
37 37
1
Logo, a idade da mãe será 37 anos e das filhas 7,11 e 13 anos. A diferença de idade entre a
filha mais velha e a mais nova será de 6 anos.
Resposta da questão 29: [B]
Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias compradas de canetas do tipo A e o
número de dúzias compradas de canetas do tipo B. Tem-se que
20x 15y 1020 4x 3y 204.
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Ademais, sendo 777 36 21 21, podemos concluir que ele ganhou 21 canetas e, portanto,
comprou 3 21 63 dúzias de canetas. Em consequência, vem
4 (63 y) 3y 204 y 48.
Resposta da questão 30: [B] Transformando os tempos dados para minutos e calculando-se o mínimo múltiplo comum entre eles, tem-se:
45 s 0,75 min
60 s 1min MMC 0,75; 1; 0,45 9
27 s 0,45min
Assim, a cada 9 minutos as lâmpadas vermelhas estarão acesas (pois todas as outras estarão
acesas ao mesmo tempo). Lembrando que para encontrar o MMC deve-se fatorar os números (dividir sucessivamente por números primos em ordem crescente). Ou seja:
0,75 1 0,45 2
0,75 0,50 0,45 2
0,75 0,25 0,45 3
0,25 0,25 0,15 3900
0,25 0,25 0,05 5 2 2 3 3 5 5 900 9100
0,05 0,05 0,01 5
0,01 0,01 0,01
Resposta da questão 31: [B] Utilizando o diagrama de Venn temos:
Subtraindo o total de cada matéria pelas intersecções temos:
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Logo, somando todos os valores e subtraindo 500 temos:
500 428 72
Resposta da questão 32: [B] Tome reforma nas salas de aula como x e reformas na biblioteca como y.
Sabendo que 350 pessoas sugerem reformas nas salas de aula e na biblioteca, ou seja, a
intersecção entre x e y.
Logo, pode-se aplicar o Diagrama de Venn para tal situação da seguinte maneira:
Como 350 representa a intersecção entre reformas nas salas de aula e na biblioteca, basta
achar a diferença da parte das duas partes com a parte em comum. Desta forma:
538 350 188 e 582 350 232
Transcrevendo para o Diagrama de Venn, temos:
Para obter a quantidade de pessoas entrevistadas basta somar todos os valores. Note que a
amostra possui 110 pessoas que opinaram reformas em outras instalações. Somando todos
os valores:
188 350 232 110 880 pessoas.
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Resposta da questão 33: [B] O tempo em que as três emissoras apresentam a programação simultaneamente é dado por (13 h 20min 11h 40min) (16 h 40min 14 h 50min) 1h 40min 1h 50min
3 h 30min.
Resposta da questão 34: [B]
Como 550 B e c550 C , temos 550 R. Ademais, 1234 A implica em 1234 P. Portanto,
sendo 972 um número par de três algarismos, 1234 um número de quatro algarismos que não
possui nenhum dígito 5 e 500 um número que apresenta um único algarismo 5, segue o
resultado. Resposta da questão 35: [C] [I] Incorreta. É maior. Note que o ano de 2007 está muito mais acima da linha de referência que
o ano de 2009.
[II] Correta. Note que o ano de 2007 está acima da linha de 9,0 e o ano de 2015 está abaixo.
[III] Correta. Note que o ano de 2009 está acima da linha de 9,0 e o ano de 2011 está abaixo.
Resposta da questão 36: [C]
Sabendo que 2x 0 e 2y 0 para quaisquer x e y inteiros, podemos concluir que
2 2x y 3 se, e somente se, 2 2(x , y ) {(0, 3), (3, 0), (1, 2), (2,1)}. Porém, os inteiros 2 e 3
não são quadrados de nenhum inteiro e, assim, a equação 2 2x y 3 não possui solução
com x e y inteiros.
Resposta da questão 37: [B]
O resultado pedido é 240 3 180 2 R$1.080,00.
Resposta da questão 38: [C] Considere os diagramas.
A região hachurada pode ser representada por (B C) (A D).
Resposta da questão 39:
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[A]
Como {1, 6} não está contido em X e está contido em X Y {1, 2, 3, 4, 5, 6}, concluímos que
{1, 6} Y.
Resposta da questão 40: [E]
22
1 3 5 3 5 3 5 3 1w 5
4 4 43 5 3 5 3 5
3 1 2 1a b
4 4 4 2
Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Calculando:
2
300 livros 300x livros / prateleira x
N prateleiras N
300 300 300 60 60x 5 5 1
N 3 N 3 N N 3 N
N 15N 3N 180 0
N 12 (não convém)
N 15 múltiplo de 3
Resposta da questão 2: [C] Considerando que o valor que caberia a mãe seria x, podemos escrever que:
Valor que caberia a cada menino: 2x
Valor que caberia a cada menina: 3x
Podemos, então, escrever a seguinte equação:
x 2x 2x 3x 180 x 10
Portanto, a mãe recebeu 10 milhões, cada menino recebeu 20 milhões e a menina recebeu
30 milhões. Resposta da questão 3: [B] Horas que passaram: x
Horas que faltam passar: 24 x De acordo com o enunciado, podemos escrever que:
x (24 x) 3 horas 16 minutos.
2x 27 horas 16 minutos
x 13 horas 30 minutos 8 minutos
Portanto, o horário em que o aluno fez a pergunta foi 13h 38min.
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Resposta da questão 4: [A] Seja x a quantia que a senhora dispunha ao sair de casa. Logo, sabendo que a quantia que
restou após as despesas é igual a R$ 88,00, temos
4 x10 88 x R$ 240,00.
5 2
Portanto, como o livro custava 1 240
10 R$ 22,00,5 2
se ela tivesse ido apenas à livraria e
comprado o mesmo livro, ter-lhe-ia restado 240 22 R$ 218,00.
Resposta da questão 5: [D] Sejam a e , respectivamente, a massa de um cubo azul e a massa de um cubo laranja.
Assim, temos
2a 2 a 2 3
a 3 2 4 6 2
a 0,2 kg.
1,6 kg
Portanto, a resposta é a 1,4 kg.
Resposta da questão 6: [C]
Obtendo as raízes de 2x 10x 21 0, através da Fórmula de Bhaskara, temos:
2
2
b 4 a c
( 10) 4 1 21 16
b ( 10) 16x
2 a 2 1
x ' 310 4x
x '' 72
Δ
Δ
Δ
Logo, como a área do outdoor out(A ) é dada pelo produto de seus lados, temos:
2out out(A ) x ' x '' (A ) 3 7 21m .
Resposta da questão 7: [A] Sendo x o número de convites de recebeu cada funcionário de planejamento, podemos escrever que:
Número de funcionários do atendimento será dado por: 90
x 4
Número de funcionários do atendimento será dado por: 90
x
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Podemos então escrever que:
2
2
2
90 9060 30
x 4 x
3 32
x 4 x
3 x 3 (x 4) 2 x (x 4)
3x 3x 12 2x 8x
2x 2x 12 0 2
x x 6 0
1 25x
2 1
x 2 ou x = -3
Portanto, cada funcionário do planejamento recebeu dois convites e cada funcionário do
atendimento recebeu 6 convites.
[A] Verdadeira, pois 4 2 6.
[B] Falsa, pois x 2.
[C] Falsa, pois 90
15.2 4
[D] Falsa, pois 90
45.2
Resposta da questão 8: [E] Primeiramente deve-se obter as dimensões do cercado através das raízes da equação
2x 45x 500 0 :
2 2b b 4 a c 45 45 4 1 500x
2 a 2 1
45 2025 2000 45 5x
2 2
25x
20
Sabendo as dimensões do cercado, basta obter o perímetro (2p) do retângulo de dimensões
20 25, logo:
(2p) 20 25 20 25
(2p) 90 m
Como Pedro irá utilizar cinco voltas de arame, basta multiplicar o perímetro por cinco para se
obter a quantidade de arame: 90 5 450 m.
Resposta da questão 9: [A] Como a distância entre quaisquer dois pontos consecutivos é a mesma, podemos subtrair os pontos da seguinte maneira:
2 2
2
(3x 2x) (x 3x) x x 3x
x 0x 4x 0 x(x 4) 0
x 4
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Como a distancia é necessariamente maior que zero temos: x 4 metros. Resposta da questão 10: [B] Total de professores: x
Número de professores de Matemática: M 20% de x 0,2x
Demais professores: 28
Portanto, a equação será:
x28x2,0
Resolvendo a equação, temos:
35x28x8,028x2,0x
Logo, o número de professores de Matemática será dado por:
7352,0M
Resposta: E 0,2x 28 x e M 7 professores.
Resposta da questão 11: [E] Tem-se que
0 17 2 1 0 0
M I 2 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
17 2
2 0 .
1 0
λ λ
λ
λ
λ
Logo, vem
17 2
det(M I) 0 2 0 0
1 0
( 6)( 6) 0
6 ou 0 ou 6.
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
A resposta é, portanto, 6.λ Resposta da questão 12: [A] Calculando:
3 24 26 28 30 32 4 33 35 2 36Média 30,5
3 1 1 1 1 4 1 2
Já a mediana será a média entre o sétimo e o oitavo termo, ou seja:
32 33Mediana 32,5
2
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E a moda será o termo que mais aparece, ou seja, 33 anos. Portanto, a alternativa correta é a [A]. Resposta da questão 13: [E] A resposta é dada por:
159162360 250 .
25007 159162 45255
Resposta da questão 14: [B] De acordo com o gráfico, podemos escrever que:
(M H) 0,37 0,32 M 0,42 H
0,37 M 0,37 H 0,32 M 0,42 H
0,37 M 0,32 M 0,42 H 0,37 H
0,05 M 0,05 H
M H
Resposta da questão 15: [D]
[A] Falsa, pois 10
240 24.100
[B] Falsa, pois 30
240 72.100
[C] Falsa, pois 15
240 36.100
[D] Verdadeira, pois 45
240 108.100
Resposta da questão 16: [C] Ordenando as alturas, encontramos:
2,05; 2,06; 2,07; 2,07; 2,08; 2,08; 2,10; 2,10; 2,11; 2,11.
A resposta é
2,08 2,08
2,08.2
Resposta da questão 17: [D]
[A] Falsa, pois 600(1 100%) 1.200 (maior que 1.000)
[B] Falsa, pois 600(1 600%) 4.200 ( maior que 4.000)
[C] Falsa, pois 4000(1 66,6%) 6.664 (maior que 6.000)
[D] Verdadeira, pois 600(1 900%) 6.000
[E] Falsa, pois 600(1 1000%) 6.600
Resposta da questão 18: [D]
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[A] Falsa, pois 15% de 40 6.
[B] Falsa, pois (15 25)% de 40 16.
[C] Falsa, pois 40 6 34 (alunos que não precisam de recuperação).
[D] Verdadeira, (35 25)% de 40 24.
Resposta da questão 19: [C] Colocando inicialmente os dados em ordem crescente, temos:
8%,11%,12%,13%,13%,13%,15%,15%, 83%, 86%.
Calculando a mediana, obtemos:
e13% 13%
M 13%2
A moda oM é a porcentagem que aparece com maior frequência, portanto oM 13%.
Logo, a opção correta é a da letra [C]. Resposta da questão 20: [D] Seja n o número retirado. Logo, desde que a soma dos elementos do conjunto
{11,12,17,18, 23, 29, 30} é igual a 140, temos
140 n18,5 n 29.
6
Em consequência, o novo conjunto é {11,12,17,18, 23, 30}.
A resposta é igual a 17 18
17,5.2
Resposta da questão 21: [A] A perda de peso média do grupo 1 é dada por
2 3 4 4 5 6 8 10 425,25.
8 8
Ordenando as perdas de peso do grupo 3, obtemos: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6. Daí, segue que a perda
de peso mediana deste grupo é 4 5
4,5.2
É imediato que a perda de peso modal do grupo 2 é igual a 2. Resposta da questão 22: [B]
11,12,12,18,19, 20, 21, 30, 41, 46
11 12 12 18
Rol :
Média 2310
19 20Mediana 19,5
2
Mod
19 20 21 3
a :
0 41 46
12
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Resposta da questão 23: [D]
i i
ia
r
6 f 16 f 10
f 16 3 19
f 100 10 40 15 5 30
Portanto,
i ia rf 8; f 19; f 30
Resposta da questão 24: [A]
Média de gols por jogo do jogador A: Ag
Mp
Média de gols por jogo do jogador B: 3
Bp
Mg
Como as médias dos dois jogadores são iguais, temos:
34 2 24g p
p g p g p gp g
Como p 1, temos:
p g
Resposta da questão 25: [A] Considerando a tabela dos percentuais (valores relativos), a alternativa correta é a [A].
Órgãos Transplantes realizados Pessoas na fila de espera
Rim 33% 75%
Fígado 9% 15%
Pulmão 3% 6%
Coração 1% 1%
Rim/ pâncreas 1% 1%
Córnea 53% 2%
Total 100% 100%
Resposta da questão 26: [B] A mediana é o valor que divide um conjunto de valores ordenados em partes iguais. Assim,
ordenando os pontos da Itália, tem-se que a mediana é igual a 20.
16 16 20 26 27 mediana 20
Resposta da questão 27: [D] A maior vantagem relativa corresponde à maior diferença entre a nota do produto proposto e as
notas dos produtos A e B, de tal sorte que a nota do produto proposto seja maior do que as
notas alcançadas por A e B. Desse modo, é fácil ver que a característica a ser escolhida é o sabor.
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Resposta da questão 28: [E] Escrevendo as pontuações em ordem crescente, vem:
10,10,10,15,15, 22, 23 e 23.
Portanto, segue que a média é
3 10 2 15 22 2 2316,
8
a moda é 10 e a mediana é 15. Resposta da questão 29: [D]
Se a mediana é 24, então
22 a24 a 26.
2
Logo, sabendo que a média também é igual a 24, temos
14 17 22 26 b 3724 b 28.
6
Considere a tabela.
ix 2i(x x)
14 100 17 49 22 4 26 4 28 16 37 169
62
i
i 1
(x x) 342
A resposta é
62
i
i 1
(x x)342
S 57.n 6
Resposta da questão 30: [C]
Considerando um grupo de 20 alunos, temos a seguinte distribuição de frequências.
Nota Número de
alunos
5 4
6 9
7,5 4
10 3
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A mediana dos dados será dada pela média aritmética dos dois termos centrais.
d6 6
M 62
Calculando, agora, a média aritmética, temos:
4 5 9 6 4 7,5 3 10x 6,7
20
Portanto, a diferença entre a média e a mediana será dada por: dx M 6,7 6 0,7.
Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
Vamos determinar t de modo que N(t) seja 678, resolvendo a equação abaixo:
t t
2t t
t
t t
t
9 2 3 3 678
3 2 3 675 0
( 2) 27043
2 1
3 27 3 3
ou
3 25 (não convém)
Resposta: t 3 horas.
Resposta da questão 2: [E]
Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos k 6 k 0,5 6 k 6,54 2 4 4 4 4 4 4 .
A resposta é k 6,5.
Resposta da questão 3: [D] Calculando o número inicial de bactérias, temos:
1,5 0N(0) 20 2 20
Vamos determinar o valor de t em horas de modo que o número de bactérias seja 40. 1,5 t
1,5 t
40 20 2 .
2 2
1,5 t 1
1 2t h
1,5 3
2 2 60minh 40 min
3 3
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Resposta da questão 4: [E]
Para obter o valor do empréstimo deve-se calcular quanto 30% representa de R$1.368,00.
Ou seja:
1368 0,3 410,40 reais
Sabendo o valor do empréstimo, basta aplicar a fórmula de juros compostos:
tM C (1 i)
Onde M representa o montante final, C representa o capital inicial, i representa a taxa de
juros, t representa o tempo de aplicação. Sabendo que o valor do empréstimo representa
capital inicial, temos: t
2
2 2
M C (1 i)
M (410,4) (1 2%)
M (410,4) (1 0,02) (410,4) (1,02)
M 426,98 reais
Resposta da questão 5: [A] Nesse caso é preciso escrever a quantidade de “meia horas” contido em N horas. Cada hora
possui 2 metades, logo teremos 2N “meia horas” em N horas. Dessas, a primeira custa
15 reais e a demais 10 reais. Assim, pode-se escrever:
f(N) 15 (2N 1) 10
f(N) 20N 5
Resposta da questão 6: [E] Seja x quantia de dinheiro com que ele saiu de casa, temos:
x 20x 20 10
2x 20x 20 10 10 50
2 2
2x 40 x 20 20
(x 20) 2 2 2(x 20) 10 10 50
2 2
2x 40 x 20 20
(x 20) 2(x 20) 10 10 50
2 2
4x 80 (2x 40) 40 x 40 200
4 4 4 4 4 4
4x 80 2x 40 40 x 40 200
4x
2x x 80 40 40 40 200
x 40 200
x 240
Segue o passo a passo dos gastos:
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i) 240 20 260
260ii) 260 130
2
iii) 130 10 120
120iv) 120 60
2
v) 60 10 50
Resposta da questão 7: [A] Basta substituir o valo procurado na equação. Primeiramente note o valor de 2015
t 0Q(t) 3,2 (1,2) Q(0) 3,2 (1,2) Q(0) 3,2
Aplicando o valor procurado:
t t t1,2Q(t) 3,2 (1,2) 6,64 3,2 (1,2) 2,075 (1,2) log (2,075) t
Aplicando todos os valores de t possíveis para as alternativas temos: 1
2
3
4
t 1 (1,2) 1,2
t 2 (1,2) 1,44
t 3 (1,2) 1,728
t 4 (1,2) 2,0736
Logo, como t 0 corresponde ao ano de 2015 o ano correto seria de 2019. Resposta da questão 8: [A]
Considerando 10B(t) 6,4 10 , temos a seguinte equação:
1010 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 106,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.
10
Resposta da questão 9: [C]
4 10aP a a
6 6
3 15aQ 2a a
6 6
10a 15a 25aP Q P Q
6 6 6
Resposta da questão 10: [A]
De acordo com os dados do enunciado, sendo V a vazão de cada torneira e C a capacidade
total do reservatório, pode-se escrever:
1 1
2 2
CV 15 C V
15
CV 10 C V
10
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Durante 2 horas, a quantidade de água eliminada por ambas as torneiras seria igual a:
1 22C 2C 4C 6C 1
2V 2V C15 10 30 3
Resposta da questão 11: [D]
A produção P das duas máquinas juntas será (considerando o tempo em minutos):
nP
160
A produção de n 2 peças da máquina A funcionando sozinha será:
A A
nn 1 n2P P
120 2 120 240
A produção de n 2 peças da máquina B funcionando sozinha durante o tempo t será:
B B
nn 1 n2P P
t 2 t 2t
Se a velocidade de produção é constante, então pode-se escrever:
A Bn
P P160
n n n n n (t 120) 1 t 12080t 19200 t 240 minutos
160 240 2t 160 240t 160 240t
Resposta da questão 12: [B] Sendo x o tempo que ele levou para ler cada página, em minutos, pode-se escrever:
3,75 60x x 1,5 minuto
150
Resposta da questão 13: [D] [I] VERDADEIRA. Transformando todas as unidades para metros, calculando o volume de cada um dos recipientes e quantas vezes cada um teria que ser usado para encher a caixa, tem-se:
3 3 3A
3 3 3B
3 3 3C
Recipiente A V 0,4 0,4 0,4 0,064 m 6,4 m 0,064 m 100 vezes
Recipiente B V 0,2 0,4 0,8 0,064 m 6,4 m 0,064 m 100 vezes
Recipiente C V 0,8 0,8 0,1 0,064 m 6,4 m 0,064 m 100 vezes
[II] FALSA. Como a capacidade de todos os recipientes é a mesma, então os recipientes serão
usados 16 33 50 99 vezes. É necessário usar qualquer um dos recipientes 100 vezes
para encher a caixa. [III] FALSA. Como a capacidade de todos os recipientes é a mesma, pode-se escrever:
A B C recipiente
3 3A B C recipiente
V V V V
20V 20V 20V 60 V 60 0,064 3,84 m 3,2 m (metade da caixa)
Portanto, após usar 20 vezes cada um dos recipientes, teremos mais da metade da caixa cheia.
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Resposta da questão 14: [D] Considerando como x o número de pacientes atendidos por Antonieta, pode-se escrever, com base nos dados do enunciado:
x 25 12 x 5 2 x 108x 10 (18 x)
18 x 40 6 18 x 8 1 18 x 8
8x 180 10x 18x 180 0 x 10 0 x 10
Assim, se Antonieta atendeu 10 pacientes, Bernadete atendeu 8 pacientes. Logo, Antonieta atendeu 2 pacientes a mais do que Bernardete. Resposta da questão 15: [A] Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se:
2
2 2
2
900 90015 900x 900 15x x 3 900x 900x 2700 15x 45x
x 3 x
15x 45x 2700 0 x 3x 180 0
3 4 1 180 729
x 153 729 3 27x
x 122 2
Como X representa um número de setores, ele deve ser um número inteiro e positivo. Logo,
descarta-se a solução negativa. Assim, X é um número menor do que 20. Resposta da questão 16: [C]
máx máx
2máx máx
b 8x x 2
2a 2 2
h 2 2 8 2 h 8 m
Resposta da questão 17: [E] Calculando:
2retângulo
máx máx máx
2retângulo
y 2x 60 y 60 2x
S x y x 60 2x 60x 2x
60x x 15 y 30
2 2
S 15 30 450 m
Resposta da questão 18: [C]
Seja 2L ax bx c, com L sendo o lucro obtido com a venda de x unidades. É fácil ver que
c 0. Ademais, como a parábola passa pelos pontos (10,1200) e (20,1200), temos
100a 10b 1200 a 6
400a 20b 1200 b 180
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Portanto, segue que
2 2L 6x 180x 1350 6(x 15) .
O lucro máximo ocorre para x 15 e é igual a R$1.350,00.
Resposta da questão 19: [D]
Para obter a altura máxima basta obter o valor do vértice vy da função h(t). Logo,
v v
2
2
bV x ; y ;
2a 4a
b 4 a c
8 4 ( 2) (0)
64
8 64V ; (2; 8)
2 ( 2) 4 ( 2)
Δ
Δ
Δ
Δ
A altura máxima é 8 m.
Resposta da questão 20: [D] Desde que a parábola apresenta concavidade para baixo e intersecta o eixo das abscissas em
dois pontos distintos, temos a 0 e 2b 4ac 0. Resposta da questão 21: [A]
Pelo gráfico, o pássaro começa a cair a partir do ponto (2, 4), que é o vértice da parábola.
Resposta da questão 22: [B] A parte do gráfico que apresenta concavidade para cima denota aumento na taxa de crescimento da altura da água, enquanto que a parte côncava para baixo indica redução na taxa de crescimento da altura da água. Desse modo, podemos concluir que só pode ser o copo da alternativa [B]. Resposta da questão 23: [A]
A cadeira 1 nunca toca o solo, logo a distância d nunca será zero (logo, o gráfico apresentado
na alternativa [B] está incorreto). A distância d aumenta nos primeiros 15 segundos, até a
cadeira 1 atingir a posição 3. Depois, dos 15 aos 45 segundos a distância d diminui (até a
cadeira 1 atingir a posição 7) e então novamente aumenta entre os segundos 45 e 60, até
chegar na posição 1 (recomeçando o ciclo). O único gráfico com estas características é o apresentado na alternativa [A]. Resposta da questão 24: [D]
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Para obter o montante obtido ao final de quatro meses basta aplicar t 4 na função tM(t) C (1,1) . Porém, deve-se observar o que o valor do capital inicial (C), segundo o gráfico,
é C 1000, pois é o primeiro valor da curva exponencial. Desta forma, temos:
t
t
4
M(t) C (1,1)
M(t) 1000 (1,1)
M(4) 1000 (1,1)
M(4) 1000 1,4641
M(4) 1464,10 reais
Resposta da questão 25: [D] Aplicando os dados fornecidos temos:
8
pH log[H ]
pH log(2 10 )
Aplicando a propriedade de produto dentro do argumento dos logaritmos:
8pH (log(2) log(10 ))
Aplicando a propriedade dos expoentes:
pH (log(2) 8 log(10))
Sabendo que log2 0,3 e log10 1:
pH (log(2) 8 log(10))
pH (0,3 8 (1))
pH 7,7
Resposta da questão 26: [D] Sendo o retângulo de dimensões x e y, a distância cercada será:
2
máx máx
4y 2 4x 1200 4y 8x 1200 y 2x 300 y 300 2x
A xy 300 2x x 200x 2x
b 300x x 75
2a 4
y 300 2x y 300 2 75 y 150
Resposta da questão 27: [E] Primeiramente deve-se obter as dimensões do cercado através das raízes da equação
2x 45x 500 0 :
2 2b b 4 a c 45 45 4 1 500x
2 a 2 1
45 2025 2000 45 5x
2 2
25x
20
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Sabendo as dimensões do cercado, basta obter o perímetro (2p) do retângulo de dimensões
20 25, logo:
(2p) 20 25 20 25
(2p) 90 m
Como Pedro irá utilizar cinco voltas de arame, basta multiplicar o perímetro por cinco para se
obter a quantidade de arame: 90 5 450 m.
Resposta da questão 28: [A] O gráfico do peso em função da altura para um dado IMC será uma parábola (função do segundo grau) com vértice na origem e concavidade voltada para cima (eliminando-se assim as alternativas [D] e [E]). Além disso, pode-se escrever:
2
pI
h e normal18,5 I 24,9
Logo:
2normal normal
normal
I h p
18,5 I 24,9
Mas 1,5 h 1,9
Note que os pontos referentes a 1,90 m de altura não estão incluídos no intervalo especificado.
Calculando:
Para h 1,5 :
2 2 2 2 2normal18,5 h I h 24,9 h 18,5 1,5 p 24,9 1,5 41,625 p 56,025
Para h 1,9 :
2 218,5 1,9 p 24,9 1,9 66,785 p 89,889
Assim, o gráfico que apresenta todos estes pontos é o indicado na alternativa [A]. Resposta da questão 29: [E] Analisando as propriedades da elipse dada versus os usuários cadastrados, tem-se:
- A elipse E passa pelo ponto (1, 0) : apenas e Egbert e Olímpico. Calculando:
Para x 1 e y 0
Bento 2 2 22(x 2) (y 1) sen (7)
2 2 2 22(1 2) (0 1) sen (7) 2 1 sen (7), pois 0 sen 1
Macabéa 2 2(x 1 sen (3)) (y cos (3)) 2
2 2 2 2(1 1 sen (3)) (0 cos (3)) 2 sen 3 cos 7 2
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Marius 2
2 (y 3)(x 1) 3 1
3
22 (0 3)
(1 1) 3 1 3 3 13
Egbert 2 232(x 1) (y 2) log (9)
2 232(1 1) (0 2) log (9) 2 2
Olímpico 2 257(x 1) (y 2) 5 cos(0)
2
2 25 57(1 1) (0 2) 5 cos(0) 2 5 1 5 5
2 2
- A elipse E não intercepta o eixo y : apenas Olímpico. Calculando:
Para x 0
Egbert 2 232(x 1) (y 2) log (9)
2 2 2 232(0 1) (y 2) log (9) 2 (y 2) 2 (y 2) 0
y 2 intersepta y!
Olímpico 2 257(x 1) (y 2) 5 cos(0)
2
2 2 25 57(0 1) (y 2) 5 cos(0) (y 2) 2
2 2
2 4(y 2) y
5
não é real, logo não intercepta y!
- A elipse E intercepta o eixo x em apenas um ponto: apenas Olímpico.
Para y 0
Olímpico 2 257(x 1) (y 2) 5 cos(0)
2
2 2 2
2
57(x 1) (0 2) 5 cos(0) 7(x 1) 5 5
2
(x 1) 0 x 1
2 2
2 2 2
2
Para y 0
5Olímpico 7(x 1) (y 2) 5 cos(0)
2
57(x 1) (0 2) 5 cos(0) 7(x 1) 5 5
2
(x 1) 0 x 1
Assim a alternativa correta é a letra [E]. Resposta da questão 30: [C]
É fácil ver que a declividade da reta u é negativa. Ademais, claramente tem-se r t sa a a .
Em consequência, pode-se afirmar que u r t sa a a a .
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Resposta da questão 31: [A]
Desenhando o gráfico (intervalo [35; 55] representado pelo trecho em vermelho):
Para encontrar a equação da reta em vermelho pode-se escrever:
50 5 45m m 3
55 35 15
y 5 3 x 35 y 3x 100
Para x 55, tem-se:
y 3 55 100 y 65%
Para reduzir esse risco à metade, pode-se escrever:
65%y 32,5%
2
32,5 3x 100 x 44,2
55 44,20,2 20% de redução
55
Resposta da questão 32: [A]
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2 2T,O
r s {T}
y 6x 4T 0,4 d 0 4 4
y 4
2 2
S,O
r t {S}
y 6x 4S 1, 2 d 1 2 5
2y 3x 1 0
2 2R,O
s t {R}
y 4R 3,4 d 3 4 5 (raio da circunferência)
2y 3x 1 0
Logo, a inequação que representa o círculo será dada por:
2 2 2x, y) ; x y 25(
Resposta da questão 33: [D] Sabendo que o volume é dado pelo produto entre a área da base e a altura temos:
2V 3 6 54π π
E a área total é a soma da área lateral (retangular) e as áreas da base e superior (áreas de um círculo) temos:
2A (2 3 6) 2 3 54π π π
Dividindo:
541
54
π
π
Resposta da questão 34: [B]
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Para obter o volume da piscina de formato retangular, basta multiplicar as três dimensões, ou seja:
350 25 2 2500 m
Sabendo que 31m 1000 litros, temos:
2500 1000 2500000 litros.
Dividindo por 100 para obter a quantidade de pessoas, temos:
250000025.000
100 pessoas.
Resposta da questão 35: [D] Do enunciado, o número máximo de imagens distintas do botão, que podem ser vistas por João é dado por:
360N 1
60
N 5
Resposta da questão 36: [A] O sólido da figura é um icosaedro. Portanto, só pode ser a alternativa [A]. Resposta da questão 37: [D]
Sejam a, b e c, respectivamente, a medida do lado da primeira, a medida do lado da segunda
e a altura das caixas d’água. Desse modo, vem 2a c 16000 e 2b c 25000 e, portanto,
dividindo ordenadamente essas equações, encontramos
2
2
a c 16000 a 16
25000 b 25b c
a0,8.
b
Resposta da questão 38: [B]
Medida da aresta do cubo maior: x 4 Medida da aresta do cubo menor: x
Como a diferença entre os volumes é de 3208 cm , podemos escrever que:
3 3
3 2 3
2
2
(x 4) x 208
x 12x 48x 64 x 208
12x 48x 144 0
x 4x 12 0
Resolvendo a equação, temos:
x 6 ou x 2.
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Portanto, a aresta do cubo maior será 6 cm.
Considerando a área lateral da figura igual a área lateral do cubo, temos: 2 2
LA 4 6 144 cm .
Resposta da questão 39: [A] De acordo com os dados do enunciado, podemos concluir que:
DB DA 7 e BA BC 5.
Construindo o tetraedro, temos:
Portanto, a soma das arestas será dada por:
3 5 6 7 7 5 33.
Resposta da questão 40: [C]
Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da pirâmide, pelo
Teorema de Pitágoras, segue que 2 2 2p 3 1 p 10 m 320cm.
Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por
2
1200 320
24 320.20
Resposta da questão 41: [D] Do enunciado e da figura, temos:
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G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide
quadrangular regular.
O comprimento de R é dado por AG GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre
ABCD e GF é a projeção perpendicular de EF sobre ABCD.
Note que 1
AG AC2
e 1
GF AD.2
No triângulo ACD,
2 2 2
2 2
2 2
AC 40 40
2AG 2 40
4 AG 2 40
Como AG 0,
2 24 AG 2 40
2AG 40 2
AG 20 2 cm
Como AD 40 cm,
1GF 40
2
GF 20 cm
Assim,
AG GF 20 2 20 cm
AG GF 20 1 2 cm
Resposta da questão 42: [A] Devemos resolver esse problema em duas partes: A parte 1 que será o cálculo da área da base e a parte 2 que será o cálculo do volume da pirâmide. Parte 1: Área da base.
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Sendo que a base da pirâmide é um hexágono regular, este hexágono pode ser divido em seis
triângulos equiláteros de lado "a" e sua área (área da base) será a soma das áreas destes
triângulos (ver figura abaixo). Para se obter a área da base, basta calcular a área de um dos triângulos e multiplicá-la por seis.
Sendo assim, analisando apenas um triângulo temos:
Sendo a área do triângulo tb h
A ,2
onde b é base e h é altura do triângulo equilátero, pode-
se obter a altura aplicando-se o teorema de Pitágoras em metade do triângulo:
2 2 2
2 2 2
2
hip cat cat
2 h 1
h 4 1
h 3 m
Assim sendo a área do triângulo será dada por: 2t
b h 2 3A 3 m .
2 2
A área da base da pirâmide será dada por: 2bA 6 3 m .
Parte 2:
Sendo que o volume dado pelo produto da área da base pela altura da pirâmide p(h ) teremos:
b p 3A h 6 3 3
Volume 6 3 m .3 3
Logo, 2Área da base 6 3 m e 3Volume 6 3 m .
Resposta da questão 43: [E] Calculando o volume (produto entre área da base e altura) do cilindro temos:
2 2 3V r 10 V 3,1 5 10 775 m V 775.000 litrosπ
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Resposta da questão 44: [D] Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área da base e sua altura, temos:
2
2
3
V ( r ) 25
V 3,14 10 25
V 7.850 cm 7.850 m
π
Resposta da questão 45: [E]
Para obter a relação entre AV e BV deve-se calcular ambos os volumes. Sabendo que o
volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área de sua base (área do círculo) e sua altura. Logo,
2 2 2A
2 2 2B
V ( r ) 20 (3 r ) 20 60 r
V ( r ) 30 (3 r ) 30 90 r
π
π
Porém, o valor do raio (r) é desconhecido e deve-se obtê-lo utilizando o comprimento da
circunferência do cilindro, ou seja, sabendo que a possibilidade A possui 20 cm de altura,
logo, possuirá uma circunferência A(C ) de 30 cm. Já a possibilidade B, possui 30 cm de
altura, logo, possuirá uma circunferência B(C ) de 20 cm. Desta maneira,
A
B
C 2 r 30 2 3 r r 5 cm
10C 2 r 20 2 3 r r cm
3
π
π
Calculando os volumes temos:
2A
2A
3A
V 60 r
V 60 (5)
V 1.500 cm
2
B
2
B
3B
V 90 r
10V 90
3
V 1.000 cm
Resposta da questão 46: [D] Como os cilindros possuem a mesma área lateral podemos escrever que:
h2 6 H 2 r h 6 r 6 1,2 r r 5 cm
H
h1,2 h 1,2 H
H
π π
O volume do cilindro B é 3240 cm ,π logo:
25 h 240 h 9,6 cm e H 8 cmπ π
Portanto, a diferença entre os volumes será dada por:
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2 3A BV V 6 8 240 48 cmπ π π
Resposta da questão 47: ANULADA Questão anulada no gabarito oficial. Justificativa: A banca equivocou-se ao apresentar nos gráficos o volume como função do tempo e não altura como função do tempo. Resposta da questão 48: [C] Calculando:
e
2 2 2 2
c
c
3e e
2
c c
e
c
OM OP R 2 cm
OA 8 2 6 cm
OA OP AP 36 4 AP AP 4 2
R MC
AMC APO
AM MC 8 MCMC R 2 2
2AP PO 4 2
4 32V 2 V
3 3
1 64V 2 2 8 V
3 3
32V 32 13
64V 64 2
3
ππ
ππ
π
π
Resposta da questão 49: [C] De acordo com o enunciado:
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Considerando:
V volume total do cone
v ' volume cheio (tronco)
v '' volume vazio (topo)
H 12 altura total
h 6 altura topo / altura tronco
Pode-se calcular:
3 3
2 2
3
3
V H 12 VV 8v ''
v '' h 6 v ''
V 7v ' v '' V v ' V v ' V
8 8
1 1V R H 3,14 4 12 V 200,96
3 3
7 7v ' V 200,96 v ' 175,85 m
8 8
Tempo : 500 L / min 0,5 m / min
1min
π
30,5 m
t 3175,85 m
t 351,7 min 5h e 50 min
Resposta da questão 50: [A] Do enunciado e da figura, temos:
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3
3
3
2v H
v 1
2 H
H 2
Resposta da questão 51: [B]
setor
2 2cone cone
22 2 2 2 2
nova
1 1cone cone
22 2 2 2 2
2
1
R geratriz
5R 5
4 4
5 52 R R
4 8
5 15 7g R h 5 h h
8 8
Reduzindo g 20% g 20% 5 0,2 5 4 g 4
44
12 R R
2
1 3 7g R h 4 h h
2 2
1 5 15 7V
3 8 8
π πα
ππ
ππ
π π
π
2
2
2 2
1 1
2 1
1 25 15 7 1 25 5 3 7
3 64 8 3 64 4 2
1 1 3 7 1 1 3 7V
3 2 2 3 4 2
1 1 3 7V V1 1 64 643 4 2 0,512 51,2%
25 125V 125 V 1251 25 5 3 7 564 643 64 4 2
V 51,2% V redução de 48,8%
π π
π π
π
π
Resposta da questão 52: [A] Se g é a geratriz do cone, então
2 g 2 2 6 g 12cm.π π
Logo, sendo h a altura do cone, vem 2 2 2h 12 6 h 6 3 cm.
A resposta é dada por
236 6 3
72 3 cm .3
ππ
Resposta da questão 53: [E] Sendo v o volume da embalagem menor, temos
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3v 40
v 51,2mL.100 50
Resposta da questão 54: [E]
Admitindo x a medida do lado do octaedro da figura podemos escrever que:
2 22
22
a ax
2 2
2 ax
4
a 2x
2
Gabarito:
Resposta da questão 1: [A]
Sejam O, L e , respectivamente, o centro da circunferência, a medida do lado do quadrado
ABCD e a medida do quadrado BEFG. Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, do triângulo
OBC, encontramos
22 2 2 2 2L
OC OB BC (5 5) L2
L 10cm.
Em consequência, pelo Teorema de Pitágoras, do triângulo OEF, vem
2 2 2 2 2 2
2
OF OE EF (5 5) ( 5)
5 50 0
5cm.
Portanto, segue que a resposta é 2 25 25cm . Resposta da questão 2: [B]
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Sabendo que o suplemento de um ângulo α é dado por 180 ,α temos:
180 180 30 150α
Dividindo por dois, temos:
15075
2
Resposta da questão 3: [E]
Resposta da questão 4: [D]
Desdobrando a figura podemos observar uma coincidência entre os ângulos de medidas α β
é 155 . Podemos, então, escrever que:
155
180 155 155
25 155
130
α β
α
α
α
Resposta da questão 5: [D] De acordo com as informações do problema, obtemos a seguinte figura:
Portanto, o mercado fica entre a sapataria e a padaria.
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Resposta da questão 6: [C] Sabendo que um triângulo possui três lados temos:
36 11 12 13
Logo, o menor lado é 11dm.
Resposta da questão 7: [D]
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um polígono é dado por S (n 2) 180 onde n
é o número de lados, temos:
S (n 2) 180 (8 2) 180 1080
Dividindo a soma pelos seis lados do hexágono temos que cada lado é dado por 1080
135 .8
Resposta da questão 8: [C] Considere a situação descrita:
Como sabemos que x y z 135 metros, aplicando o teorema de Talles temos a seguinte
proporção:
90 50x 75
135 x
Resposta da questão 9: [E]
Desde que os losangos FGCE e ABCD são semelhantes, temos
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2(FGCE) 1k ,
(ABCD) 2 com k sendo a razão de semelhança.
Por conseguinte, dado que AB 6cm, vem FG 1
FG 3 2 cm.AB 2
Resposta da questão 10: [E] Para obter a altura, basta aplicar a semelhança de triângulos, e neste caso, temos a seguinte relação:
h 8h 20
30 12 metros.
Resposta da questão 11: [B]
Seja 2p o perímetro desejado. Como os triângulos são semelhantes e o perímetro do primeiro
triângulo é igual a 13 14 15 42cm, temos
2 2
2p 336 2p4
42 84 42
2p 84cm.
Resposta da questão 12: [B] Analisando o problema temos a seguinte situação formando dois triângulos:
Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de 45 , temos:
cateto oposto htg(45 ) 1 h x
cateto adjacente x
Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de 30 temos:
cateto oposto 3 h 3 xtg(30 )
cateto adjacente 3 60 x 3 60 x
(60 x) 3 3x 60 3 x 3 3x
60 (1,73) 1,73x 3x
103,8 1,27x
x 82 h 82 m
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Resposta da questão 13: [C] Gabarito Oficial: Anulada Gabarito SuperPro®: [C] Primeiramente deve-se obter quanto Carlos anda de acordo com o trajeto apresentado somando todas as distâncias:
100 80 50 100 50 30 410 m.
Em seguida, deve-se obter o trajeto em linha reta (por construção), assim como apresentado no desenho traçando uma linha reta do ponto de partida até o final (Trabalho) e “fechando” o desenho a fim de formar um triangulo retângulo.
Observe que o segmento entre o trabalho e x mede 150 m, e, o segmento entre a Casa e x
mede 200 m, logo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo representado pelos
pontos Casa, Trabalho e x, onde a hipotenusa representará o trajeto em linha reta e os catetos
a construção feita a fim de se obter um triângulo retângulo. 2 2 2
2 2 2
2
hip cat cat
hip 200 150
hip 62500
hip 62500
hip 250 m
Logo, devemos obter a diferença entre as duas distâncias.
410 250 160 m.
Resposta da questão 14: [D] Sendo os lados do canteiro iguais a x e y, pode-se escrever:
2 2 2 2 22 2
2 2
89 x y 89 x yx 2xy y 169
2xy 80xy 40
x y 13 x y 13
Perímetro 2 x y 2 13 26 m
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Resposta da questão 15: [C]
Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo ˆBAC 120 , os ângulos ˆˆABC ACB 30 .
Logo, como ˆABC 30 e os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC, ou seja,
formam um ângulo reto entre a base e os segmentos, o ângulo ˆBDE oposto pelo vértice DE,
também é reto e vale 90 .
Desta maneira, para obter o valor de x, deve-se somar todos ângulos do triângulo BDE :
ˆ ˆx BDE EBD 180
x 90 30 180 x 60 .
Resposta da questão 16: [B] Gabarito Oficial: [E] Gabarito SuperPro®: [B] A figura abaixo representa um hexágono regular de lado x inscrito em um cubo de aresta a,
conforme é descrito pelo enunciado.
3a 512 a 8
Logo,
2 2 2x 4 4
x 32
x 4 2
O perímetro P será dado por:
P 6 4 2
P 24 2
Portanto, m 24. Resposta da questão 17: [B]
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Tracemos inicialmente o segmento TH perpendicular a hipotenusa 2 3P P .
Calculada a medida do segmento 1 3PP , temos:
2 2 21 3 1 3 1 3(PP ) (24 3) (12 3) PP 1296 PP 36
Considerando que os triângulos 1 2 3PP P e 3THP são semelhantes, podemos escrever:
24 3 3636x 24 12 3 x 24
x 12 3
Resposta da questão 18: [C]
VC // WS // AR.
DV VW WA DE EF FG 1
DH // UK // TB.
AH HK KB AG GI IJ 1
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DAG, temos:
2 2 2 2AD 3 1 AD 10
Portanto, a área do quadrado ABCD é de 10 unidades quadradas. Resposta da questão 19: [A]
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Nos triângulos assinalados na figura temos o seguinte sistema:
2 2 2
2 2 2
d 10 (50 x)
d 20 x
Igualando as equações, temos:
2 2 2 2
2 2
20 x 10 (50 x)
400 x 100 2500 100x x
100x 2200
x 22
Resposta da questão 20: [D]
Para obter a metragem deve-se calcular o valor dos lados AB CD EF x. Observe estes
lados são iguais do fato dos três triângulos serem semelhantes pelo caso “lado, ângulo, lado”. Desta forma, obtendo o valor x, através do Teorema de Pitágoras, e, somando os lados
AB BC CD DE EF FG teremos a metragem utilizada.
Aplicando o Teorema de Pitágoras em qualquer dos triângulos (todos são iguais) temos:
2 2 2
2 2 2
2
hip cat cat
5 4 x
x 9 x 3 m
Somando todos os lados:
AB BC CD DE EF FG 3 4 3 4 3 4 21m
Multiplicando 21 2,50 para obter o valor gasto temos: 21 2,50 52,50 reais.
Resposta da questão 21: [B]
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Considerando que D e C são os centros das circunferências de raios 8 e 18,
respectivamente, tracemos por um uma reta paralela ao segmento de extremos A e B de
modo que ela intercepte o segmento CB no ponto E. como mostrado na figura acima.
Para determinarmos a medida AB bastar determinarmos a medida DE, pois DE AB. Para
isto devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE. 2 2 2 2DE 10 26 DE 576 DE 24mm
Resposta da questão 22: [C]
Como 2 2 217 8 15 , concluímos que o ângulo do triângulo com vértice no balão é reto.
Portanto, a altura h do balão desprezando a altura dos pesquisadores será dada por:
17 h 8 15 17 h 120 h 7 km
Resposta da questão 23: [C]
Admitindo que o ponto D, pertencente a hipotenusa, é o ponto mais próxima da ilha, situada no
ponto A.
2 2 2AC 8 10 AC 6
Calculando agora, a medida AD, temos:
10 AD 6 8 AD 4,8
Portanto, a menor distância do navio até a ilha, no lado de extremos B e C, será dada por
AD 4,8 km.
Resposta da questão 24: [D]
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Calculando:
2sala AFEB BEDC sala
4 2S S S 4 6 2 S 30 m
2
Custo 30 48 1440 reais
Resposta da questão 25: [C]
Como a área do quadrado menor é 4, seu lado será dois. Assim, a sequência de quadrados
com os lados proporcionais à sequência de Fibonacci é:
(2, 2, 4, 6,10,16) e a sequência das áreas será (4, 4,16, 36,100, 256).
Portanto, a razão pedida será dada por:
4 4 16 36 100 256 416104
4 4
Resposta da questão 26: [D]
Sabendo que a área do trapézio é t(B b) h
A ,2
onde B é base maior e b é base menor.
Logo,
t(B b) h (8 6,4) h
A 22,322 2
44,64 14,4 h h 3,10 m.
Resposta da questão 27: [A]
A área A da figura é igual a soma das áreas de um hexágono de lado 1 com 3 círculos de
raio 1
.2
221 3 1A 6 3
4 2
3A 3
2 2
π
π
Resposta da questão 28: [E]
Seja a área do quadrado de lado a : 2A a a a
Nota-se que: as hortas das alternativas [B] e [C] possuem metade a área do quadrado:
2
ha
A2
A horta da alternativa [A] é menor que a metade do quadrado, logo: 2
ha
A2
A área da horta da alternativa [D] é: 2 2 2 2
2 a 2a a aa ,
2 2 2
ou seja, a metade da área do
quadrado.
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Desta maneira, a alternativa [E] é a que possui maior área. Resposta da questão 29: [B] Podemos considerar o coração constituído por um quadrado e dois semicírculos, pois o raio de cada semicírculo é r. A figura abaixo ilustra esta consideração.
Portanto, a razão entre a área retirada e a área total será dada por:
2 2 2
2 2 2 22
r 3 r 3 r34 4 4
28r 4r 3r 7r2r 2
2
π
π
Resposta da questão 30: [D] De acordo com a figura temos:
Assim, basta calcular a área em metros quadrados. A área será dada pela soma dos dois retângulos. Logo:
2(5 4) (3 1) 20 3 23 m
Resposta da questão 31: [C]
Desde que o ponto N pode ser interno ou externo ao retângulo ABCD, temos
21 117 8 11 8 24cm .
2 2
Resposta da questão 32: ANULADA
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Gabarito Oficial: [B] Gabarito SuperPro®: Anulada (sem resposta) Para obter o número mínimo de peças utilizadas, basta obter área total da garagem e dividir
pela área de cada peça. A área da garagem G(A ) será obtida pela soma das áreas A e B
que corresponde a dois retângulos assim como apresentado na figura abaixo:
Note que:
2A 2
G2B
A 8 52 416 mA 416 192 608 m
A 24 8 192 m
Note que as áreas dos retângulos são o produto entre suas respectivas bases e alturas. Desta maneira, para obter quantas peças serão utilizadas basta dividir a área encontrada pela área
de cada peça. Sabendo que 50 cm 0,5 m e a fim de se utilizar uma mesma unidade de
medida, a área da peça P(A ) é dada por: 2PA 0,5 0,5 0,25 m .
Dividindo GA por PA temos:
G
P
A 6082.432
A 0,25 peças.
Resposta da questão 33: [C] Sabendo que um quadrado possui os quatro lados com a mesma medida e que sua área é
dada pelo quadrado de um dos lados (a), temos:
2a 289 a 17
Calculando perímetro temos:
Perímetro a a a a 17 17 17 17 68 dm.
Resposta da questão 34: [D] Considere a situação:
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Desta maneira, a área da nuvem será dada pela área dos três semicírculos de raio 5
centímetros somadas com a área do trapézio interior. Porém, deve-se obter a altura (h) do
trapézio através do teorema de Pitágoras, logo:
2 2 2
2 2 2
hip cat cat
5 h 3
h 4
Desta maneira, a área da nuvem é dada por:
2 2r B b 5 11 5 3,14 25 11 5A 3 h 3 4 3 4 117,5 32 149,5
2 2 2 2 2 2
π π
Resposta da questão 35: [E] Primeiramente deve-se obter a área do salão, logo,
s
2s
A largura comprimento
A 6 8 48 m .
Multiplicando pelo preço do metro quadrado:
48 18 864 reais.
Resposta da questão 36: [C] Considere a situação:
Como o perímetro é 74 temos: x x (x 5) (x 5) 74 x 16
Logo, suas dimensões são: 16 m, 21m e sua área é:
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2A 16 21 336 m
Resposta da questão 37: [A] Seja u a unidade de área da malha, de tal modo que
2 2 21u 160 25.600 m 0,0256km .
Dividindo o hexágono em um triângulo e dois trapézios, como indicado acima, segue que a área aproximada desse polígono é dada por
2
3 1 9 3 3 25 5 44 u
2 2 2
44 0,0256
1,1km .
Portanto, temos [0,8;11,1 ,3[.
Resposta da questão 38: [B] Sendo x a largura da calçada, pode-se desenhar:
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Calculando:
2 2calçada
2
2
S 69 m 8 2x 12 2x 8 12 69 96 16x 24x 4x 96
0 4x 40x 69
40 4 4 ( 69) 2704
x ' 11,5 (não convém)40 2704 40 52x
x '' 1,5 m2 4 8
Resposta da questão 39: [D]
Se a altura do retângulo é 1,5x, então a resposta é
221 x
A x 1,5x 1,5 x .2 2 8
ππ
Resposta da questão 40: [B]
Sabendo que o comprimento (C) de uma circunferência é dado por C 2 rπ e que o
diâmetro (D) representa o dobro do raio (r) de cada circunferência, temos:
D 2 r
80 2 r r 40 cm.
Logo, o comprimento de cada anel é dado por:
C 2 r 2 40
C 80 cm 0,8 m.
π π
π π
Assim, basta multiplicar o comprimento de cada anel pelo número total de anéis (cinco). Desta maneira:
0,8 5 4 m.π π
Resposta da questão 41: [E] Fazendo a subtração entre as marcas temos:
45,33 42,74 2,59 m
Sabendo que um metro equivale a 0,001 hectômetros, temos que a diferença é de 0,0259
hectômetros. Resposta da questão 42: [A]
É imediato que o resultado é dado por 12
2 g 4,8 g.5
Resposta da questão 43: [A] Calculando:
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final
final
final final final
B 4A
Total aplicado A B A 4B 5A
A 0,98A
B 1,15B 1,15 4A 4,6A
Total A B 0,98A 4,6A 5,58A
5,58Ataxa 1 100% 11,6%
5A
Resposta da questão 44: [A]
De acordo com a tabela, observa-se que 350 ml de refrigerante possui 37 g de açucares,
logo, para analisarmos quantas gramas de açucares estão presentes em um litro (1000 ml),
utilizamos a seguinte proporção:
350 1000,
37 x onde x representa a quantidade de gramais em um litro de refrigerante.
Resolvendo a equação:
37000350 x 1000 37 x
350
x 105,7 g.
Resposta da questão 45: [E] Para obter o número de blocos, basta aplicar a regra de três composta. Logo, considere a tabela:
2940 b 7 d 6 h
x 15 d 12 h
Sabendo que todas as variáveis são diretamente proporcionais, temos:
2940 7 6 2940 42 529200x
x 15 12 x 180 42
x 12600
Resposta da questão 46: [E] Sejam as grandezas:
n: número de operários
t : tempo de realização de uma determinada instalação elétrica
As grandezas n e t são inversamente proporcionais, ou seja, n t "constante".
Assim,
1 1 2 2n t n t , onde 1 2n 12, n 14 e 1t 21.
Então,
2
2
12 21 14 t
t 18 horas
Resposta da questão 47: [D]
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Segundo a situação temos a seguinte proporção:
20 5020x 1500 x 75
30 x metros.
Resposta da questão 48: [C]
A proporção de gastos com saúde será: 3
2400 9008 reais.
Resposta da questão 49: [B] Observe a tabela com os dados:
Equipamentos Horas Dias Produção
4 8 5 4
5 6 X 3
Note que: 1) O número de equipamentos é inversamente proporcional ao número de dias, pois, quanto maior o número de equipamentos na produção, menor o número de dias para realizar a produção; 2) O número de horas é inversamente proporcional ao número de dias, pois, quanto maior o número de dias a ser utilizado na produção, pode-se diminuir o número de horas de produção por dias; 3) A quantidade de toneladas do produto produzido é diretamente proporcional ao número de dias, ou seja, quanto mais dias operando, maior a produção. Logo, aplicando a regra de três composta:
5 5 6 4 5 120
X 4 8 3 x 96
120x 480 x 4 toneladas. Resposta da questão 50: [B]
A cidade de Campinas (não capital) apresenta 1,1 de E-commerce enquanto São Paulo
apresenta 6,8 de E-commerce. Portanto, a cidade de Campinas apresenta uma receita
aproximadamente 6 vezes menor que a cidade de São Paulo. Resposta da questão 51: [C]
Seja André (A), Bruno (B), Carlos (C), pode-se aplicar a regra de inversamente proporcional.
Daí temos:
A B C A B C 115 1155
1 1 1 16 3 41 3 116 112 16 3 4
3 16 12 48
C5 C 20
4
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Resposta da questão 52: [B]
A cada volta do piloto mais rápido o piloto mais lento dá 2 20
2,7 27 de uma volta. Logo, após n
(n ) voltas do piloto mais rápido, o piloto mais lento terá dado 20 n
27
voltas.
Em consequência, desde que 20 e 27 são primos entre si, podemos concluir que 27 é o
menor valor de n para o qual a condição do enunciado é satisfeita. A resposta é, portanto, 20 2,7 54 km.
Resposta da questão 53: [C] Seja x e y os filhos. Pela regra das proporções temos:
x y x 10 23x 2y
10 15 y 15 3
Sabendo que juntos receberão 800 reais:
3x 2y 3x 2y (I)
x y 800 x 800 y (II)
Substituindo (II) em (I):
3 (800 y) 2y
2400 3y 2y
y 480
Logo,
x y 800
x 480 800
x 320
Resposta da questão 54: [E]
Sabendo que a quantidade de ração produzida equivale a 20% do total da matéria prima e
seja x a quantidade de matéria prima necessária para produzir 150 toneladas, temos:
x 20% 150000 0,2 x 150000
150000x 750.000 kg.
0,2
Resposta da questão 55: [A] Primeiramente deve-se obter a fração sobre o total investido de cada uma e depois aplicá-lo
sobre o lucro. Somando todos os investimentos vemos que o total investido foi de 150.000
reais, logo:
Márcia: 60000 2
150000 5
Rosa: 40000 4
150000 15
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Vitória: 50000 1
150000 3
Aplicando as proporções sobre o total:
Márcia: 2
30000 12.0005
Rosa: 4
30000 8.00015
Vitória: 1
30000 10.0003
Resposta da questão 56: [B]
[A] Incorreto. 100 g deste alimento contém 72 g de carboidratos (4 18 72).
[B] Correto. 6 140 840 Kcal.
[C] Incorreto. 75 g deste alimento contém 17,5 g de proteínas (5 3,5 17,5).
[D] Incorreto. 50 g deste alimento contém menos de 5 g de gorduras totais.
[E] Incorreto. O triplo da porção de referência da tabela fornece 210 Kcal.
Resposta da questão 57: [A]
Do enunciado, sejam os números 5x, 8x e 9x, x 0.
9x 5x 5 8x 5x
4x 5 3x
Como x 0,
4x 5 3x
x 5
Assim, os números são: 25, 40 e 45.
Logo, o maior dos números é o 45.
Resposta da questão 58: [D]
Admitindo que o preço de uma camisa seja 2x, logo o preço de 2 camisas deveria ser 4x.
Com a promoção o comprador pagará por dois camisas o valor de 2x x 3x. Ocorrendo um
desconto de x, ou seja, 1 4 do valor. Portanto, se o comprador levar 4 camisas ela pagará
apenas três. Resposta da questão 59: [A] Para obter quanto Pedro recebeu, basta dividir o total pela soma de todas as idades e
multiplicar por 40, logo:
800008000 40 32000
100
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Resposta da questão 60: [A] Para obter os gastos, basta dividir a quilometragem pelo valor de consumo médio e multiplicar pelo valor do litro do combustível.
Consumo na cidade: 126
12 12 2,60 31,2010,5
reais.
Consumo na rodovia: 341
22 22 2,60 57,2015,5
reais.
Consumo total: 31,20 57,20 88,40 reais.
Resposta da questão 61: [D]
Se em doze minutos aumentou-se 348 m pois, 208 160 48. Desta maneira, sabe-se que o
açude aumentou 34 m por minuto, pois: 48
412
Logo, multiplicando todo o tempo de chuva pelo aumento constante temos: 342 4 168 m
Subtraindo do total temos: 208 168 40.
Resposta da questão 62: [A]
Sabendo que cada habitante produz em média 3
kg4
de lixo por dia e a cidade possui 72.000
habitantes, deve-se obter quantos quilos de lixo a cidade produz. Desta maneira, temos a seguinte proporção:
1 72000,
3 x
4
onde x representa o total de lixo produzido pela cidade.
Resolvendo a equação:
3x 7200 54.000 kg.
4
Para se obter o número de caminhões utilizados basta dividir, o total de quilos de lixo produzido pela capacidade de carga de cada caminhão:
54.0006
9 caminhões.
Resposta da questão 63: [C]
Para transformar 61cm em hectômetros basta dividir por 10000. Logo,
610,0061hm
10000
Resposta da questão 64: [A]
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Como a velocidade (v) é a razão entre a distancia (d) e o tempo (t) temos:
d dv t
t v
Como queremos que os dois completem uma volta no mesmo tempo basta igualar os tempos
dos atletas das raias A e B. Desta maneira, sabendo que o comprimento (C) de uma raia é
dado por C 2 rπ onde r é o raio da pista, temos:
A BA B
A B
A BB
B B
d dt t
v v
2 r 2 r 2 80 2 100v 5 m s
4 v 4 v
π π π π
Resposta da questão 65: [B] Calculando:
t
t
t tempo em horas
hVela1 h' h t
4
hVela2 h'' h t
3
h' 3h''
h h t th t 3 h t h 1 3h 1
4 3 4 3
t 3t1 3 t 2 t 2,67 h 2h 40min
4 4
Resposta da questão 66: [D] Para obter quando dias levariam para a produção, basta aplicar a regra de três composta. Considere a tabela:
10d 18 op 8h
x 12 op 6h
Sabendo que o número de operários e as horas de trabalho são inversamente proporcionais ao número de dias de trabalho, temos:
10 12 6 1440x 20
x 18 8 72 dias.
Resposta da questão 67: [B]
Seja t o número de horas que a torneira C ficará aberta, de modo que o reservatório fique
cheio. Assim, temos
1 1 14 4 t 1 t 68 h.
60 48 80
Portanto, a resposta é 4 4 68 76 horas.
Resposta da questão 68: [A]
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A densidade demográfica da zona rural é dada por
20,4 3000080hab km .
0,6 250
Resposta da questão 69: [E] Para obter quantos operários a mais serão necessários basta aplicar a regra de três composta. Considere a tabela:
12 meses 40 operarios 1obra
4 meses x 0,5 obra
Nota que os operários já concluíram metade da obra e agora possuem apenas quatro meses para concluir a outra metade. Sabendo que o total de tempo disponível é inversamente proporcional ao número de operários e a conclusão da obra é diretamente proporcional ao número de operários temos:
40 4 1x 60
x 12 0,5
Logo, precisa-se de 20 funcionários a mais. Resposta da questão 70: [E] Segundo a proporção dada, temos:
3 x 3 5400x
1800 5400 1800
x 9 máquinas. Gabarito:
Resposta da questão 1: [E]
Seja C o capital aplicado. Logo, sabendo que o montante resgatado foi de R$ 65.536,00,
temos 8
4 4
4
8
8
465536 C (1,01) (1,02) C
1,0302
4C
1,0302
C 3,94 .
Por conseguinte, podemos afirmar que o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual
a 83,96 .
Resposta da questão 2: [D] Calculando:
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10 27 3 1 a b 10 27B A
21 39 5 2 c d 21 39
3a c 3b d 10 27
5a 2c 5b 2d 21 39
3a c a 1
5a 2c c 13
3b d b 15
5b 2d d 18
a b c d 1 13 15 18 47
Resposta da questão 3: [D]
[I] Correta, pois, a temperatura registrada na posição 12a é o menor valor dentre todos os
valores presentes na matriz. Ou seja, 12 ij8,1 a a , i 1 e j 2.
[II] Correta, pois, a maior variação entre os tempos 1 e 2 está registrada no primeiro dia. Observe que as variações do primeiro ao sexto dia, respectivamente são:
2,8; 2,4; 2,6; 2,5;1,2;1,4. Logo, a maior variação é 2,8 respectivo ao primeiro dia.
[III] Correta, pois a temperatura registrada na posição 34a é o maior valor dentre todos os
valores presentes na matriz. Ou seja, 34 ij21 a a , i 3 e j 4.
Resposta da questão 4: [E]
Seja a função p : , dada por t0p(t) p (1,02) , com p(t) sendo a população do país
após t anos. Logo, como queremos calcular t para o qual se tem 0p(t) 2 p , vem
t t0 02 p p (1,02) log(1,02) log2
t log(1,02) log2
log2t
log1,02
0,301t
0,0086
t 35.
Resposta da questão 5: [C]
01
110
t t t t1 1 1 1
10 10 10 102 2 2
t 0 Q(t) 100% Q(0) 30 2 30 2 60
40% 60 0,4 60 24
24 t24 30 2 2 0,8 2 log 0,8 log 2 log 0,8 1
30 10
Mas,
31010 10 10 10 10
210 10 10 10
10
10
8loglog 0,8 log 8 log 10 log 2 log 1010log 0,8log 2 log 2 log 2 log 2
3 log 2 1 3 0,3 1 0,1 1
log 2 0,3 0,3 3
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Assim,
1 t 401 10 30 3t 3t 40 t horas 800min 13h20min
3 10 3
Resposta da questão 6: [C]
0,45 t0
0,45 t00
1 0,45 t
1 0,45 te e
e
Q(t) Q e
QQ e
2
2 e
log 2 log e
1 log 2 0,45 t
0,69 0,45t
t 1,5333... horas 1hora e 32 minutos.
Resposta da questão 7: [A] Do enunciado,
t
100
t
100
t
100
t
100
40 36 10
4010
36
1010
9
10log10 log
9
tlog10 log10 log9
100
t1 1 0,95
100
t 100 0,05
t 5 horas
Resposta da questão 8: [B] Desde que x é um número inteiro positivo, temos:
2 22
2
log ( x 32) 4 x 32 16
x 16.
x 4.
Resposta da questão 9: [A]
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Se pelo menos 120 alunos participarão da excursão, então 24x 40y 120. Ademais, como a
despesa máxima com os ônibus não pode superar R$ 4.000,00, devemos ter
500x 800y 400.
Portanto, o par ordenado (x, y) terá que pertencer, necessariamente, ao conjunto solução do
sistema de inequações
24x 40y 120.
500x 800y 4000
Resposta da questão 10: [A] De acordo com as informações do enunciado, podemos concluir que: Joana e Renata correm x e Juliana e Fernanda correm y e que x y.
Como: x y y x
Concluímos que Fernanda corre mais que Joana. Resposta da questão 11: [C]
A afirmação [1] é falsa, pois se multiplicarmos os membros de 2x
43
por 3, obtemos:
2x 12.
A afirmação [2] é falsa, pois se dividirmos os membros de 2x 12 por 2, obtemos:
12x
2
.
A afirmação [3] é verdadeira. Basta resolvermos a inequação corretamente:
2x4 2x 12 x 6
3
Portanto, existe somente uma afirmativa verdadeira. Resposta da questão 12: [B] Resolvendo a inequação temos:
x x 2 2541 127 x 2 254
2 2 2 2
x 252 x 251litros.
Resposta da questão 13: [D] Calculando:
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os
(b B) h (b B) 50S 1800 b B 72
2 2
b B 72 b B9
8 8 8 8 8
1e 8 1 8 8 8 72
2 e 7 2 8 7 8 722 n inteiros cuja soma é 9 4 possibilidades
3 e 6 3 8 6 8 72
4 e 5 4 8 5 8 72
Resposta da questão 14: [A] Calculando:
geom
números a, 24, c
a 24 cMédia
3
Média a 16
Média c 14
a 24 ca 16 a 24 c 3a 48 c 2a 24
3
a 24 cc 14 a 24 c 3c 42 a 2c 66
3
a 2c 66 a 2 2a 24 66 a 4a 48 66 3a 18 a 6
c 2 6 24 c 36
Média 6 36 6 6
Resposta da questão 15: [D] Calculando:
b c d 3a b c da 48 48 3a b c d 144
3 3
a c d a 3b c db 42 42 a 3b c d 126
3 3
a b d a b 3c dc 32 32 a b 3c d 96
3 3
a b c a b c 3dd 34 34 a b c 3d 102
3 3
3a b c d 144
a 3b c d 126
a b 3c d 96
a b c 3d 102
a 33
b 24
c 9
d 12
Resposta da questão 16: [C] Sabendo que a média das notas da turma é dada pela soma de todas as notas individuais e dividida pelo numero total de alunos, pode-se afirmar que:
Seja N a soma total das notas, temos que:
N7,6 N 152
20
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Logo, para obter a nota X, basta subtraí-la de N 152, dividir por 19, já que estamos
subtraindo um aluno e igualar a 7,5, já que, se retirar a nota do aluno Prudêncio, que é da
turma B, a média da sua turma seria idêntica à média da Turma D.
152 X7,5 x 9,5
19
Resposta da questão 17: [B] Sabendo que a média é dada pela soma de todos os valores dividido pelo total de valores somados, temos:
26000 25000 21000Média 24.000
3
Resposta da questão 18: [C]
Considere o conjunto 1 2 3 30A a ,a ,a ,...,a , onde:
1a é a nota do primeiro aluno, 2a é a nota do segundo aluno, 3a é a nota do terceiro aluno, ...,
30a é a nota do trigésimo aluno.
Sem perda de generalidade, tomemos 1 2a a 0.
Daí, pelo enunciado,
3 4 30
3 4 5 30
0 0 a a ... a5,6
30
a a a ... a 168
Tirando as notas iguais a zero que dois alunos tiraram, a nova média x é dada por:
3 4 5 30a a a ... ax
28
168x
28
x 6
Resposta da questão 19: [B] Para se obter a média de acertos deve-se multiplicar cada acerto pelo número correspondente de alunos e dividir por vinte (total de alunos):
(0 2) (1 4) (4 3) (5 2) (6 0) (7 4) (8 4) (9 1)média 4,75
20
Somando o número de alunos com média de acerto acima de 4,75 presentes na tabela temos:
2 0 4 4 1 11.
Resposta da questão 20: [D] Sendo uma média aritmética, para se obter a nota que resta, deve-se somar todas as notas das provas, dividir pelo total de provas e igualar à média. Sendo assim, temos que:
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10 8 6 x 78
5
31 x8
5
31 x 40
x 40 31
x 9
Logo, a nota restante é 9. Resposta da questão 21: [D]
Sendo 1A 2 e 1A 1, temos
1 1 2 2
1 2
x A x Ax
A A
3,5 2 1,5 1
2 1
8,5
3
17.
6
Resposta da questão 22: [B]
1 ano e 6 meses = 18 meses.
Sendo x, o capital aplicado por Patrícia, temos:
18
x 1,08 x 11960 x 3,99 x 11960 2,99x 11960 x 4000
Portanto, o capital empregado é de R$ 4.000,00.
Resposta da questão 23: [E] Fazendo os cálculos:
x 4 x 4 7 11 x 11 7 18 x 18 7 25 x 25 7 32 x 32 7 39
y 0 y 0 11 y 11 18 29 y 29 25 54 y 54 32 86 y 86 39 125
Resposta da questão 24: [E] Se Renato falou a verdade, então ele não é o ladrão e, assim, Aníbal é o gatuno. Portanto, Aníbal mente e Cláudio é o ladrão, o que é absurdo. Em consequência, Renato mentiu e Aníbal não roubou a joia. Logo, Aníbal fala a verdade e, portanto, Cláudio não é o ladrão. Mas se Cláudio não roubou a joia, então ele fala a verdade, implicando no fato de que Renato é o ladrão. Resposta da questão 25: [D]
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Calculando:
Gasolina 3240 km dia20 litros dia R$ 3,50 m R$ 70 dia
12 km L
GNV 3 3
3
240 km dia16 m dia R$ 2,00 m R$ 32 dia
15 km m
Economia por dia 70 32 38 reais
3.819100,5 101dias
38
Resposta da questão 26: [E] Sendo verdadeiras as proposições “Se Maria é casada, então Paula é divorciada” e “Se Paula não é divorciada, então Laura é casada”, usemos o fato de que as proposições, respectivamente, equivalentes “Maria não é casada ou Paula é divorciada” e “Paula é divorciada ou Laura é casada” também são verdadeiras. A proposição “Ou Laura não é casada ou Maria é casada” é uma disjunção exclusiva. Logo, sendo verdadeira essa proposição, as proposições “Laura não é casada” e “Maria é casada” não podem ser ambas verdadeiras e nem ambas falsas. Supondo que “Laura não é casada” é falsa e “Maria é casada” é verdadeira, podemos concluir de “Maria não é casada ou Paula é divorciada” que “Paula é divorciada” é verdadeira, pois, caso contrário, tal disjunção seria falsa. Por outro lado, supondo que “Laura não é casada” é verdadeira e “Maria é casada” é falsa, podemos concluir de “Paula é divorciada ou Laura é casada” que “Paula é divorciada” é verdadeira. Em consequência, Paula deve ser divorciada. Resposta da questão 27: [C]
Considerando um valor qualquer para o produto, por exemplo R$100,00, o custo de 4
unidades seria R$400,00 e o de 5 unidades seria R$500,00. Com a promoção o valor de 5
unidades passa a ser de R$400,00, ou seja, houve um desconto de R$100,00 que
corresponde a um quinto de R$500,00. Logo, um desconto de 20%. Ou ainda, sendo x o
valor do produto e d o desconto, pode-se escrever:
4 x 5 x (1 d)
4x1 d 1 d 0,8 d 1 0,8 d 0,2 20%
5x
Resposta da questão 28: [A] As opções de posicionamento de acordo com as informações das posições de Ayrton, Emerson e Rubens são:
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Largada Final
Largada Final
Largada Final
Emerson Rubens
A Rubens
Emerson Rubens
B Ayrton
Emerson
B Ayrton Emerson
C Ayrton
C Emerson
C
Ayrton Emerson
D Ayrton
D
E
Ayrton
Largada Final
Largada Final
Largada Final
A Rubens
A Rubens
A Rubens
Emerson Ayrton
B
B Ayrton
Emerson Ayrton
Emerson
D Emerson
Ayrton
D Ayrton
E
E Emerson
Ayrton Emerson
Como Felipe e Nelson trocaram de posição, suas respectivas posições não devem permutar com o posicionamento dos outros três participantes. Assim, a única opção válida de posicionamento será:
Largada Final
Emerson Rubens
Rubens Ayrton
Ayrton Emerson
C D
D C
Onde Felipe e Nelson ocupam as posições C e D (não há como precisar qual ocupa qual, apenas que elas se invertem na chegada). Resposta da questão 29: [A] A receita é dada por:
R p y p
R p 90 20p p
Fazendo R p 0, temos:
990 20p 0 p
2 ou p 0.
Assim,
90
2P2
9P
4
P 2,25
Resposta da questão 30: [C] Considerando que os juros são simples (informação omitida pelo problema), temos:
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1 2
1 2
2 1
75 8 5 12 6T T
100 12 100 12
T 50 T 30
5T T
3
Sabemos que 2 1T T 1600, logo:
11
1
1
1
5 TT 1600
3
2 T1600
3
2 T 4800
T 2400
Portanto, o menor dos capitais é R$ 2.400,00.
Observação: Se resolvermos o problema utilizando juros compostos a resposta não corresponderia ao gabarito oficial. Resposta da questão 31: [A]
Como ambas as situações estão sob juros simples temos um juros de 320 reais em quatro
meses na primeira situação: Aplicando a fórmula de juros simples temos:
J c i t 320 1000 i 4 i 0,08 8%
Na segunda situação temos:
J c i t 600 1200 i 5 i 0,1 10%
Resposta da questão 32: [A] Para obter a função que descreve o salário total do funcionário, basta calcular o valor do determinante da matriz e somá-lo ao salário fixo. Desta forma, utilizando o Método de Sarrus para o cálculo de determinantes, tem-se que:
2
2 2
2
1 x x 1 x
det(A) 2 1 0 2 1 (1 0 10x ) (3x 0 2x)
3 5 1 3 5
det(A) 7x 2x 1
Somando s(x) 1230 para obter ST(x) temos:
2
2
ST(x) 10x det A 1230 ST(x) 10x (7x 2x 1) 1230
ST(x) 7x 8x 1231
Resposta da questão 33: [C] A diferença entre os espaços percorridos pelo leão e pela presa, a cada segundo, aumenta
segundo uma progressão aritmética de primeiro termo 0 e razão 0,2. Portanto, sendo n um
inteiro positivo, temos
(n 1) 0,2n 38 n (n 1) 380 n 20.
2
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Resposta da questão 34: [B]
Sendo (4)10
10!P
4! o número de anagramas possíveis e 7P 7! o número de anagramas com
as vogais juntas, podemos concluir que a resposta é
7! 7! 4 3 2 1.
10! 10 9 8 7! 30
4!
Resposta da questão 35: [A]
Se t é o tempo decorrido até o encontro, então SA t e PA 3,5t. Logo, como
sen(180 ) sen cos(90 ),β β β para 0, ,2
πβ
pela Lei dos Senos, vem
SA PA t 3,5t
sen105senSPA senSPAsenPSA
sen75senSPA
3,5
cos15senSPA .
3,5
Em consequência, sabendo que SPA 90 e cos15 0,98, temos
0,98senSPA senSPA 0,28 SPA 16 .
3,5
Resposta da questão 36: [D] Seja o diagrama de Venn com todas as pessoas e as línguas que falam:
Para obter a probabilidade de quem fala espanhol ou francês deve-se obter a probabilidade de quem fala espanhol mais a probabilidade de quem fala francês menos a probabilidade de quem fala espanhol e francês, ou seja:
Sabendo que o total de pessoas é 80, temos a seguinte probabilidade:
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(espanhol) (francês) (espanhol francês)P P P P
32 20 6P
80 80 80
P 0,4 0,25 0,075
P 0,575
P 57,5%
Resposta da questão 37: [C]
Tem-se que os elementos de uma mesma coluna estćo em progressćo aritmética de razćo 9. Logo, sendo
18109 9 2013 8, podemos concluir que tal nśmero estį situado na primeira coluna e na linha
n 2013.
Resposta da questão 38: [A]
Sejam 1 2 nx , x , , x as idades dos n estatísticos. Logo, para n 2, temos
2 3 4 n
i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
x 37 2 74, x 39 3 117, x 41 4 164, , x (2n 33) n.
Portanto, sendo
n n 1
n i i
i 1 i 1
x x x ,
com n 3, uma progressão aritmética de primeiro termo
43 e razão 4, vem
83 43 (n 3) 4 n 13.
Resposta da questão 39: [B] Os elementos da primeira coluna constituem uma progressão aritmética de primeiro termo igual
a 1 e razão 2. Logo, o primeiro elemento da linha de número 41 é dado por 1 40 2 81.
Desde que cada elemento da primeira coluna figura n vezes em cada linha n, com 1 n 51 e
n , podemos concluir que a resposta é dada por
83 10141 81 10 4241.
2
Resposta da questão 40: [C]
A sequência n(a ) (1, 6,19, 44, ) é uma progressão aritmética de terceira ordem. De fato, pois
a sequência
n n n 1 n(b ) ( a ) (a a ) (5,13, 25, 41, 61 )Δ
é uma progressão aritmética de segunda ordem, e a sequência
n n n 1 n(c ) ( b ) (b b ) (8,12,16, 20, )Δ
é uma progressão aritmética de primeira ordem. Portanto, segue que
6 5 5 4 4 5a a b a b b 44 41 61 146.
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Resposta da questão 41: [E]
Na etapa 1 temos: (1 2) quadrados.
Na etapa 2 temos: (1 2 3) quadrados.
Na etapa 3 temos: (1 2 3 4) quadrados.
Na etapa 100 temos:
(1 101) 1011 2 3 4 100 101 5.151
2
quadrados.
Resposta da questão 42: [C]
Do enunciado, o número mágico de um quadrado 4 4 é dado por:
1 16 161 2 3 ... 16 1
4 4 2
1 2 3 ... 16 18 17
4 4
1 2 3 ... 162 17
4
1 2 3 ... 1634
4
Resposta da questão 43: [C] Sabendo que a fila mais alta possui uma lata e última tem dez, trata-se de uma progressão
aritmética com primeiro termo 1a 1, último termo 10a 10 e razão r 1. Logo, basta obter a
soma desta progressão:
1 n(a a ) nS
2
1 10(a a ) 10 (1 10) 10S 55
2 2
latas de leite.
Resposta da questão 44: [E]
Seja q, com q 0, o fator constante de crescimento anual. Desse modo, vem
20 20
20
0,4 0,25 q q 1,6
q 1,6.
Resposta da questão 45: [B] A área de cada quadrado, a partir do segundo, é metade da área do quadrado anterior.
Portanto, as áreas dos triângulos retângulos assinalados formam um PG infinita de razão 1
.2
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A sequência 1 2 3A , A , A , é uma PG infinita de razão 1
.2
Calculando a área 1A , temos:
1
1 112 2A
2 8
Portanto, a soma de todas as áreas dos triângulos retângulos será dada por:
1 2 3 4S A A A A
11 1 1 1 18S ...
18 16 32 64 41
2
Resposta da questão 46: [D]
Visto que os ladrilhos seguem um crescimento geométrico de ordem 2, e que o número de
triângulos pretos é o mesmo número de ladrilhos, basta calcular o termo de numero dez. (n 1) (9)
10 1 10a a q a 1 10 512 triângulos pretos.
Resposta da questão 47: [C] Do enunciado, temos a sequência:
(x, x, 2x, 4x, )
Note que a sequência (x, 2x, 4x, ) é uma progressão geométrica, onde o primeiro termo é x
e a razão é 2.
Observe também que a progressão geométrica possui N 1 termos.
Assim,
N 1
N 1
N 1
N 1 7
x 2 1x 640
2 1
x x 2 x 640
x 2 640
x 2 5 2
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Como x e N são naturais e N é o maior possível,
x 5 e N 8
Logo,
N x 8 5
N x 40
Resposta da questão 48: [D] De acordo com as doações, as doações seguem um padrão de progressão geométrica, assim,
basta obter a soma desta progressão de primeiro termo 1a 1, e razão r 2 temos:
n 15 151
15
a (r 1) 1 (2 1) 2 1S 32767
r 1 2 1 1
caixas de bombom doadas.
Logo, cada aluno receberá duas caixas (2 16000 32000) e sobrarão 767 caixas.
Resposta da questão 49: [D] Seja x o número de alunos e y o valor de cada aluno, desta maneira temos as duas
situações:
3600y
x
3600y 75
x 8
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
2
2
2
3600 3600 3600 x 3600 (x 8) 75 x (x 8)75
x 8 x x (x 8) x (x 8) x (x 8)
3600x 3600x 28800 75x 600x 0
75x 600x 288000 0 ( 75)
x 8x 384 0
Aplicando soma e produto temos: x 16
x 24
Logo, o total de alunos da turma é 24. Resposta da questão 50: [E] Seja x o número de notas de cinco reais e y o número de notas de vinte reais, temos:
5x 20y 580 x 4y 116
x y 47
y 2347 y 4y 116
x 24
Resposta da questão 51: [E]
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Considerando que:
Márcia “pesa” x kg, Marta “pesa” y kg e Mônica “pesa” z kg, temos o seguinte sistema:
x y 115
y z 113
x z 108
Somando as equações, obtemos:
2x 2y 2z 336
Portanto,
x y z 168 kg
Resposta da questão 52: [C]
Seja Tales representado por t. Platão representado por p. Fermat representado por f.
Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e Tales e
Fermat, 134 kg:
t p 159 t p 159 t p 159
p f 147 p f 147 ( 1) p f 147
t f 134 t f 134 t f 134
Somando o sistema temos:
t p 159
p f 147t 73
t f 134
2t 146
Substituindo na primeira equação:
t p 159 73 p 159
p 86
Substituindo na última equação temos:
t f 134 73 f 134
f 61
Somando os três pesos temos:
t p f 73 86 61 220 kg
Resposta da questão 53: [C]
Seja maçãs (m) e abacaxis (a) temos: 0,8 m 4,5 a 34,20
m a 15
Desta maneira,
0,8 m 4,5 a 34,20 0,8 m 4,5 a 34,20
m a 15 m 15 a
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substituindo a segunda equação na primeira temos:
0,8 (15 a) 4,5a 34,20
12 0,8a 4,5a 34,20
3,7a 22,20
a 6 m 9
Resposta da questão 54: [C] De acordo com o texto do problema e considerando que cada aluno não poderá fazer dois cursos ao mesmo tempo, temos:
Temos então o seguinte sistema linear:
x y 110
x y 10
Somando as equações, temos:
2y 120 y 60
Portanto, o número de mulheres no curso de Náutica é 60.
Resposta da questão 55: [E] Calculando:
8400 240n 2800 200n 5600 440n n 12,73 meses
Assim, pode-se escrever:
Carlos 8400 12 240 5520agosto / 2017 n 12
Marco 2800 12 200 5200
Carlos 8400 13 240 5280setembro / 2017 n 13
Marco 2800 13 200 5400
Resposta da questão 56: [C] Admitindo a situação temos o seguinte sistema:
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x y 64x y 64
x y 2x y 2
2x 66
2x 66 x 33
y 31
Obtendo o produto temos:
x y 31 33 1023
Resposta da questão 57: [A] [I] Verdadeira, pois, sabendo que a colheita segue um padrão de crescimento linear, ou seja,
podemos expressá-lo por uma função afim, e, sabendo que as 9 horas haviam sido colhidos
730 kg e as 14 horas haviam sido colhidos 3650 kg, temos as seguintes funções:
y ax b 3650 14a b
y ax b 730 9a b
Multiplicando a segunda equação por 1: 3650 14a b 3650 14a b
730 9a b ( 1) 730 9a b
Somando as duas equações do sistema:
3650 14a b
730 9a b
5a 2920
a 584
Substituindo a na segunda equação para obter b :
730 9a b 9 (584) b 730
5356 b 730
b 4526
Logo, a equação que permite calcular o número de quilogramas (y) em função do tempo (x) é
dada pela expressão y 584x 4526.
[II] Verdadeira, pois, para obter a produção as 18 horas basta utilizar a função encontrada em
[I], logo:
y(x) 584x 4526
y(18) 584 (18) 4526
y(18) 5986 kg.
[III] Falsa, pois, para obter o inicio da produção basta encontrar o valor que zera a função, ou
seja, deve-se obter y(x) 0.
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y(x) 584x 4526
y(0) 584x 4526
584x 4526
x 7,75 horas
x 7 horas 45 minutos.
Resposta da questão 58: [B] Calculando:
2
300 livros 300x livros / prateleira x
N prateleiras N
300 300 300 60 60x 5 5 1
N 3 N 3 N N 3 N
N 15N 3N 180 0
N 12 (não convém)
N 15 múltiplo de 3
Resposta da questão 59: [D]
Como ainda seria necessário um valor de R$ 4.100,00 para pagar a entrada no valor de
R$12.000,00, e, Renata (r) possui R$ 500,00 a mais que Carlos (c) temos:
r c 4100 12000
r c 500
Daí, temos:
r c 4100 12000 r c 7900
r c 500 r c 500
somando as equações temos:
2r 8400 r 4200
Como Renata possui R$ 500,00 a mais que Carlos temos: 4200 500 3700.
Resposta da questão 60: [B] Seja gasolina denominada por x e álcool por y.
Sabemos que o preço de 2 litros de gasolina com mais 4 litros de álcool é R$ 20,00, isto é:
2x 4y 20.
Sabemos também que 1 litro de gasolina juntamente com 12 litros de álcool é vendido por
R$ 40,00, isto é: 1x 12y 40.
Para obtermos o valor de cada litro de álcool devemos resolver ambas as equações através de um sistema da seguinte maneira:
2x 4y 20
1x 12y 40
Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira temos:
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2x 4y 20 2x 4y 20
y 31x 12y 40( 2) 2x 24y 80
20y 60
Logo, o valor do litro de álcool é de R$ 3,00.
Resposta da questão 61: [C] Calculando: Para o mínimo de carne:
240 gCarne
600
180 gx 450 calorias
x
250 gTorta 824 cal 450 cal 374 cal
500
yy 187 g
374
Para o máximo de carne:
240 gCarne
600
220 gx 550 calorias
x
240 gTorta 824 cal 550 cal 274 cal
500
yy 137 g
274
Resposta da questão 62: [D]
Sejam y e z, respectivamente, a distância entre A e B e a distância entre C e D, pela
rodovia. Logo, vem
y 5 3zy 3z 5
yy 2z 105 z
2
y 40km.
z 15km
Portanto, segue que 15
100% 37,5%40
e, assim, a resposta é 37,5.
Resposta da questão 63: [D]
Seja o espaço amostral e A um evento desse espaço amostral tais que:
A é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas, onde a primeira é de copas e a
segunda também.
é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas.
Então,
13,2 50n A A P , onde 13,2A é o total de maneiras de organizar a primeira e a última carta da
sequência, onde ambas são de copas e 50P é o total de maneiras de organizar as 50 cartas
restantes do baralho, após a organização da primeira e da última carta da sequência.
52n P , onde 52P é o total de maneiras de organizar as 52 cartas da sequência.
Assim,
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13,2 50
52
n AP A
n
A PP A
P
13 12 50!P A
52!
13 12 50!P A
52 51 50!
13 12P A
52 51
1P A
17
Resposta da questão 64: [D]
Para que B vença, as possíveis combinações dos dois dados devem ser:
4 6 ou 5 5 ou 6 4
Observe que a probabilidade de se lançar um dado e cair um número ao acaso é 1
,6
visto que
um dado possui seis faces. Desta forma, as probabilidades (P(X)), são o produto de ambas as
possibilidades de se obter a soma desejada. Ou seja,
1 1 1P(4 6)
6 6 36
1 1 1P(5 5)
6 6 36
1 1 1P(6 4)
6 6 36
Logo, somando as possíveis probabilidades temos:
1 1 1 1P(4 6) P(5 5) P(6 4)
36 36 36 12
Resposta da questão 65: [D]
Sendo 1 6
,17 102
podemos afirmar que as duas novas doações deverão ser de doadores do
grupo AB. Dessa forma, a probabilidade pedida é dada por
4 4!
2 12! 2!.
100!100 825
2! 98!2
Resposta da questão 66: [C]
É imediato que existem 6 6 36 resultados possíveis. Dentre esses resultados, não são
favoráveis: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3) e (5, 6).
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Portanto, segue que a resposta é 17 19
1 .36 36
Resposta da questão 67: [C]
Sabendo que o valor máximo de 8
cos t3
π
é 1, podemos concluir que o valor da pressão
diastólica é 100 20 80mmHg.
Por outro lado, sendo 1 o valor mínimo de 8
cos t ,3
π
segue que o valor da pressão sistólica
é 100 20 ( 1) 120mmHg.
Resposta da questão 68: [A] Para obter as alturas máximas e mínimas basta analisar o comportamento da função senoide
A(t) e observar, em seu gráfico, sua amplitude. Ou seja, basta analisar os parâmetros 1,8 que
representa o valor do deslocamento vertical (para cima) da função dentro do eixo y e o
parâmetro 1,2 que representa um aumento na amplitude da curva, ou seja, da altura da curva
senoide.
Logo, sabendo que uma função y sen(x) possui como ponto de partida o valor zero no eixo
x e eixo y, e, sabendo que a curva A(t) se deslocará verticalmente para cima em 1,8 e terá
altura (amplitude) de 1,2 , temos que o ponto máximo da função será: 1,8 1,2 3,0 m.
E, seu ponto mínimo será: 1,8 1,2 0,6 m.
Desta maneira, as alturas máximas e mínimas serão, respectivamente, 3,0 m e 0,6 m.