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Introduccion a la Homologıa de Khovanov

Marıa de los Angeles Guevara [email protected]

Escuela “Gonzalez Acuna”de Nudos y 3-variedadesCIMAT, Guanajuato

Diciembre 11-14, 2017

Guevara Hernandez (IPICYT) Introduccion a la Homologıa de Khovanov Diciembre de 2017 1 / 24

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Estados mejorados

Un estado mejorado tiene una etiqueta de 1 o X en cada cırculo en elestado.

El uso de estados mejorados para formular la homologıa de Khovanov fuenotado por Oleig Viro.

La suma sobre estados mejorados

〈D〉 =∑S

(−1)i(S)qj(S).

Donde i(S) es el numero de resoluciones B,j(S) = i(S) + λ(S),λ(S) es el numero de cırculos etiquetados con 1 menos el numero decırculos etiquetados con X en el estado S .


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Un estado de D es un diagrama donde cada cruce de D es cambiado a un0-resolucion o 1-resolucion.

Considerando un orden dado para los cruces de D, a cadaε = (ε1, ..., εn) ∈ {0, 1}n asociamos el estado Dε donde el i-th cruce de Dtiene una resolucion εi .


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Sea V un Q-modulo graduado, el cual es finitamente generado por dosbasicos elementos 1 o X con grado 1 y −1, respectivamente.

Sea kε el numero de cırculos del estado Dε.

Asignamos al estado Dε un modulo graduado Mε = V⊗kε{r}, el cual es untensor producto de V ’s, donde r =

∑εj .


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Definimos C r (D) por

C r (D) :=⊕|ε|=r

Mε{r},

donde |ε| =∑εj y Mε{r} denota Mε con sus grados cambiados por un

factor r .


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V ⊗ V , V ⊕ V ⊕ V , V ⊗ V ⊕ V ⊗ V ⊕ V ⊗ V , V ⊗ V ⊗ V


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Definicion

Sea ·[s] la operacion “cambio de altura”sobre una cadena de complejos.

Esto es, si C es una cadena de complejos . . .Cr d r

−−−→ Cr+1 · · · de

espacios vectoriales y si C = C [s], entonces C r = Cr−s

.

Fijamos el complejo de cadenas como

C (L) := C r [−n−]{n+ − 2n−}

(falta definir los homomorfismos entre los modulos.)


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La caracterıstica de Euler graduada de un complejo de cadenas es uninvariante y se define como la suma alternante de las dimensionesgraduadas de los C r .

La caracterıstica de Euler graduada de C (L) es el polinomio normalizadode Jones de L:

χq(C (L)) = J(L).


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Construiremos un complejo de cadenas con la secuencia de espacios C (L).

d ◦ d = 0

Cada arista del cubo ξ sera un mapeo entre espacios vectoriales.


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dr :=∑|ξ|=r (−1)ξdξ.

d0 d1 d2


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dr :=∑|ξ|=r (−1)ξdξ.

(−1)ξ := (−1)∑

i<j ξi .

d ◦ d = 0


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dξ


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Cada dξ

En el caso donde dos cırculos de Dε se convierten en un cırculo deDε′ , el mapeo dε→ε′ es la identidad sobre todos los factores exceptosobre los factores tensores correspondientes a los cırculos quecambiaron y se tiene el mapeo multiplicacion,

m : V ⊗ V → V

definido por:

m(1⊗ 1) = 1,m(1⊗ X ) = X ,m(X ⊗ 1) = X ,m(X ⊗ X ) = 0.


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En el caso donde un cırculo de Dε se convierte en dos cırculos de Dε′ ,el mapeo dε→ε′ es la identidad sobre todos los factores excepto sobreel factor tensor correspondiente al cırculo que cambio donde se tieneun mapeo comultiplicacion,

M: V → V ⊗ V

definido por:

M (1) = 1⊗ X + X ⊗ 1,M (X ) = X ⊗ X .


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dξ


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Cobordismos


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El cubo es relacionado a 2-dim TQFTespacios vectoriales a verticesunion de cırculos → silla 2-dim ← union de cırculos

Algebra de Frobenius V = Q[x ]/(x2) =, m, ∆, la unidad y counidad.


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Con la diferencial ası definida C r y C (L) son cadenas de complejos.

H r (L) denota la r − th cohomologıa del complejo C (L).

El polinomio graduado de Poincare del complejo C (L)

Kh(L) :=∑

trqdimH r (L)

La dimension graduada de los grupos de homologıa son invariantes deenlaces y Kh(L) especializa el polinomio de Jones normalizado en t = −1.


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Referencias

D. Bar-Natan, On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial,Algebra Geometry Topology Vol 2. (2002) 337-370, math QA/0201043.

D. Bar-Natan (2005), Khovanov’s homology for tangles and cobordisms,Geometry and Topology, 9-33, pp. 1465-1499. arXiv:mat.GT0410495.

L.H. Kauffman, State models and the Jones polynomial, Topology, 26(1987), 395-407.

M. Khovanov, A categorification of the Jones polynomial, Duke J. Math.101(2000), no. 3, 359-426, mathQA/9908171.

O. Viro (2004), Khovanov homology, its definitions and ramifications,Fund. Math., 184 (2004), pp. 317-342.


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