kinematika a dynamika tekutin · kinematika a dynamika tekutin technická mechanika (btmb)...
TRANSCRIPT
Kinematika a dynamika tekutin
Technická mechanika (BTMB)
Přednášející:
doc. Ing. Ilona Lázničková, Ph.D.
Ústav elektroenergetiky FEKT VUT v Brně, Technická 12, 616 00 Brno
e-Power - Inovace výuky elektroenergetiky a silnoproudé elektrotechniky formou e-Learningu a rozšíření prakticky orientované výuky,
číslo: CZ.1.07/2.2.00/15.0158.
_______________________________ Kinematika tekutin
Základní pojmy:
dráha (trajektorie) částice,
proudnice (proudová čára),
proudová trubice, proudové vlákno,
rychlostní pole,
proudění stacionární (ustálené),
proudění nestacionární (neustálené).
- pohyb tekutin a poloha částic tekutiny v prostoru v závislosti na čase.
_______________________________ Kinematika tekutin
Proudění tekutiny podle kinematických hledisek
_______________________________ Kinematika tekutin
Proudění podle fyzikálních vlastností tekutiny
_______________________________ Kinematika tekutin
Rotace rotací rychlosti je možno charakterizovat vírový pohyb tekutiny
Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole rychlosti proudící
tekutiny) obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny
umožňuje určit tok daného vektorového pole v daném objemu, např.
hmotnostní průtok tekutiny
z
c
y
c
x
cc
cc
y
c
x
ck
x
c
z
cj
z
c
y
ci
ccc
zyx
kji
c
zyx
xyzxyz
zyx
div
0rot2
1,0rot
rot
_______________________________ Kinematika tekutin
Rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování hmotnosti,
vyjadřuje úbytek hmotnosti, ke kterému dojde v objemu
ΔV za časovou jednotku, a je roven toku hmotnosti přes
povrch ΔA tohoto objemu ΔV.
Obecná rovnice kontinuity pro nestacionární prostorové proudění stlačitelné tekutiny
t
c
ct
div
0div
stacionární prostorové proudění stlačitelné tekutiny
(ne)stacionární prostorové proudění nestlačitelné tekutiny
_______________________________ Kinematika tekutin
Rovnice kontinuity jednorozměrné nestacionární proudění tekutiny v proudové trubici
s proměnným průřezem
2211
222111
konst.
konst.
cAcA
AcQ
cAcA
AcQ
V
m
jednorozměrné ustálené proudění (ne)stlačitelné tekutiny v proudové trubici
)(),(0)( tAAsAAt
AAcs
_______________________________ Kinematika tekutin
Rovnice kontinuity jednorozměrné proudění v proudové trubici
_______________________________ Kinematika tekutin
Kontrolní otázky
Z jakého principu vychází odvození rovnice kontinuity?
Co vyjadřuje rovnice kontinuity?
Co je divergence vektoru?
Vyjádřete matematickým zápisem div c?
Jaký je rozdíl mezi rovnicí kontinuity pro nestacionární a stacionární proudění?
Jaký je rozdíl mezi rovnicí kontinuity pro stlačitelnou a nestlačitelnou tekutinu?
Definujte hmotnostní průtok a jaká je jeho jednotka?
Definujte objemový průtok a jaká je jeho jednotka?
_______________________________ Dynamika tekutin
Eulerovy rovnice dynamiky tekutin
- vyjadřují rovnováhu sil hmotnostních, které působí na tekutinu
zvnějšku, tlakových, působících v tekutině, a setrvačných od
vlastního pohybu částic ideální tekutiny
- navíc se zabývá se silami, které pohyb tekutin způsobují, a také silami, jimiž
tekutina působí, např. na obtékaná tělesa
t
c
z
cc
y
cc
x
cc
x
pK
t
cccpK
xxz
xy
xxx
1
tj.
divgrad1
Gradient vyjadřuje vektor směru maximální prostorové změny skalární veličiny
(např. tlak, teplota), tj. směr, kterým v daném místě prostoru daná skalární veličina
nejvíce narůstá.
Obdobně pro zbývající 2 rovnice.
_______________________________ Dynamika tekutin
Navierovy-Stokesovy rovnice
při řešení trojrozměrného proudění vazkých tekutin
t
c
z
c
y
c
x
c
xz
c
y
c
x
c
x
pK
t
cccccpK
xzyxxxxx
d
d
3
1
divdivgrad3
grad1
2
2
2
2
2
2
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Model jednorozměrného proudění
)(
1
A
AcA
c d
)(
1
A
ApA
p d
)(
1
A
AA
d
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování mechanické energie
Mechanická energie:
Potenciální energie:
Kinetická energie:
kpk
krkpkrkpk
pppgpppgp
kpm
EE
JEmcEEEE
pVEmghEEEE
EEE
22
2
1,
2
1,
,,
Mechanická energie = součet potenciální tíhové a potenciální tlakové energie a
kinetické energie
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Mechanická energie vstupující tekutiny
1
2
111111
2mgh
cm
pmEEEE pgkppm
Mechanická energie vystupující tekutiny
2
2
222222
2mgh
cm
pmEEEE pgkppm
Zákon zachování energie:
21 mm EE
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Bernoulliho rovnice stacionárního proudění nestlačitelné nevazké tekutiny
• ve tvaru energií
• ve tvaru měrných energií
• ve tvaru tlaků
• ve tvaru výšek
2
2
221
2
11
22mgh
cm
pmmgh
cm
pm
2
2
221
2
11
22h
g
cph
g
c
g
p
2
2
221
2
11
22gh
cpgh
cp
2
2
221
2
112
1
2
1ghcpghcp
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Bernoulliho rovnice nestlačitelné nevazké tekutiny
Bernoulliho rovnice nestlačitelné vazké tekutiny s uvažováním ztrát
Ztrátová výška hz
- pro izotermické proudění nestlačitelné tekutiny trubicí neproměnného
kruhového průřezu se určí ze ztrát třením
2
2
221
2
11
22h
g
c
g
ph
g
c
g
p
zhhg
c
g
ph
g
c
g
p 2
2
221
2
11
22
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Praktická aplikace Bernoulliho rovnice
pokud tekutina proudí trubicí s různými průměry, mění se rychlost
jejího proudění, tím se mění její kinetická energie a mění se její tlaková
energie (platí Bernoulliho rovnice)
Otázky:
Proč je kapalina ve 2. sloupci v menší výšce?
Proč ve 3. sloupci, který je nad místem se stejným průřezem jako 1. sloupec,
nevystoupila kapalina do stejné výšky?
Jaké jsou rychlosti ve 2. sloupci vzhledem k 1. nebo 3. sloupci?
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Praktická aplikace Bernoulliho rovnice
- výtok kapaliny z nádob, přepady
Torricelliho vzorec pro výtokovou rychlost
platí, pokud A1>>Av, h = konst., p1 = p2 = pa
Skutečná výtoková rychlost
Skutečný objemový průtok
02
02
g
c
g
ph
g
p vaa
ghcv 2
Pozn.: Jak se změní výtoková rychlost pokud a) tlaky nejsou stejné, b) výška h
se mění, c) pokud neplatí A1>>Av, d) výtokový otvor je velký ve srovnání s jeho
hloubkou pod hladinou.
vskvskv cchgc ,, ,2
hgAQ vskV 2,
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Praktická aplikace Bernoulliho rovnice
měření průtoku – Venturiho trubice
Rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice
Tlakový rozdíl
Průtoková rychlost
Objemový průtok
g
p
g
c
g
p
g
ccAcA
2
2
21
2
12211
22
hgppp 21
2
1
2
2
2
1
2
A
A
hgc
22 AcQV
c2
h
p1
p2
A1A2
c1c2
_______________________________ Jednorozměrné proudění v proudové trubici
Bernoulliho rovnice pro stacionární proudění v relativním prostoru
pro nestlačitelnou vazkou tekutinu
zhhg
u
g
w
g
ph
g
u
g
w
g
p 2
2
2
2
221
2
1
2
11
2222
ru
c – absolutní rychlost
w – relativní rychlost
u – obvodová (unášivá) rychlost
ω – úhlová rychlost
uwc
Při výpočtu relativního proudění dosazujeme do rovnice kontinuity relativní
rychlost w.
_______________________________ Stacionární proudění v proudové trubici
Ztrátová výška hz
zz ghp
Ztráty podle příčin vzniku:
• ztráty způsobené třením tekutiny o stěny potrubí
• ztráty místními vlivy, způsobené převážně vířením tekutiny při průtoku
Tlaková ztráta třením:
Pro izotermické proudění nestlačitelné tekutiny trubicí neproměnného kruhového průřezu
Tlaková ztráta místními vlivy:
2
2c
d
lpzt
2
2cpzm
410Re,2320Re,Re
)(Re,,Re
64
cd
kr
Podle typu proudění:
______________________________ Dynamické účinky proudící tekutiny
Při řešení dynamických účinků proudící tekutiny na těleso (stěnu) vycházíme z věty
o změně hybnostního toku (průtokové hybnosti).
Integrální věta o změně hybnostního toku Výslednice všech sil působících na tekutinu uzavřenou ve vhodně zvolené kontrolní
ploše je při stacionárním proudění dána vektorovým rozdílem hybnostního toku na
výstupu z kontrolní plochy a na vstupu do ní.
12 HHF
Hybnostní tok
wQH V
Při výpočtu relativního proudění dosazujeme relativní rychlost w.
Síla vyvolaná proudící kapalinou musí být stejně velká, ale opačně orientovaná
21kap HHFF
_______________________________ Dynamické účinky proudící tekutiny
Hmotnostní průtok
Objemový průtok
Velikost silového účinku
Výkon paprsku kapaliny uFPP
ucQFcQF
ucAQcAQ
ucAQcAQ
VV
VV
mm
0
)(
)(
)(
11
11
11
Aplikace věty o změně hybnosti výpočet silových účinků paprsků kapaliny na kolmou stojící/unášenou desku
_______________________________ Dynamika obtékání těles
Odpor obtékaného tělesa se vyjadřuje empirickým vztahem
pxx Ac
cF2
2
Obtékání tělesa ideální tekutinou
Obtékání tělesa skutečnou tekutinou
______________________________ Mechanika tekutin - shrnutí
Základní pojmy/vztahy
Základní úlohy statiky tekutin
Eulerova rovnice statiky tekutin
Rovnice hladiny v homogenním tíhovém poli
Tlak v tekutině (absolutní, atmosférický, hydrostatický, statický, přetlak, podtlak)
Pascalův zákon
Tlaková síla (na rovinnou, křivou plochu) a její působiště, vztlaková síla
Hydrostatický paradox
Rovnice hladiny v prostoru pohybujícím se přímočaře, v rotujícím prostoru
Trajektorie, proudnice, proudová trubice, proudové vlákno
Rotace rychlosti, divergence rychlosti, gradient tlaku
Přírůstek tlaku vlivem vnějších sil
Rovnice kontinuity (hmotnostní a objemový průtok)
Bernoulliho rovnice jednorozměrného stacionárního proudění
Torricelliho vzorec
Proudění v relativním prostoru (Bernoulliho rovnice)
Rychlosti (absolutní, relativní, unášivá, úhlová)
Věta o změně hybnostního toku (kolmá stěna pevná/pohyblivá)
Obtékání těles