A.R.J.S.1 Introducao1.1 Denic oesDenicao1.1. Seumavariavel podeassumirqualquervalor,independentedeoutravariavel, elaechamadaindependente. Porexemplo, asvariaveisx,y,z,t,h sao independentes. Para representar o conjunto de todas as variaveisindependentesnumcertoproblema, usaremosanotacao {x}, ondexeumadasvariaveisdoproblema.Denicao 1.2. Quando uma variavel depende de outra, ou outras, ela e ditadependente. Dizemostambemqueessavariavel eumafuncaodasvariaveisdasquaiseladepende. Elanaopodeassumirqualquervalor, poisdependede outras variaveis. Sao exemplos de variaveis dependentes as seguintesfuncoes: y(x), z(x, y), h(x, y, z), x(y), y(x, z, t), f(x, y). Pararepresentar oconjuntodetodasasvariaveisdependentesnumcertoproblema, usamosanotacao {y({x})}.Denicao1.3. Umaequacaodiferenciale,basicamente,umaequacaoqueenvolveasderivadasdeumaoumaisvariaveisdependentescomrelacao`aumaoumaisvariaveisindependentes. Entao,asequacoesd2ydx2+ xy_dydx_2= 0 (1)d4xdt4+ 5d2xdt2+ 3x = cos t (2)d3ydz3+ yd2xdz2= ln z (3)vs+vt= v (4)2ux2 2vx2+_vy_3+uy= 0 (5)saoexemplosdeequacoesdiferenciais.Comosepercebenasequa coesacima, existemv ariostiposdeequa coesdiferenciais. Sendoassim, elas foramclassicadas de acordocomalgunscriterios.Denicao1.4. Umaequacaodiferencial queenvolveapenasderivadasor-dinariasdeumaoumaisvariaveisdependentesemrelacaoaapenasumavariavelindependente echamadaequacaodiferencialordinaria. Asequacoes(1), (2)e(3)saoexemplosdeequacoesdiferenciasordinarias. Naequacao1A.R.J.S.1.1,avariavelindependenteex,enquantoqueadependenteey= y(x). Naequa cao(2), avariavel independenteet, eagorax=x(t)eumavariaveldependente. Porm,naequacao(3)temosduasfuncoesdavariavel z,quesaox(z)ey(z).Denicao1.5. Umaequacaodiferencial queenvolvederivadasparciaisdeumoumais variaveis dependentes emrelacaoamais deumavariavel in-dependenteechamadaequacaodiferencial parcial. As equacoes (4) e(5)saoexemplosdeequacoesdiferenciaisparciais. Naequacao(4), set saoas variaveis independentes, e temos v =v(s, t). Naequacao(5), temosu=u(x, y) ev =v(x, y), quesaovariaveis dependentes, exey saoasindependentes.Denicao1.6. A derivada de maior ordem numa equacao diferencial deneaordemdaequacaodiferencial. Assim, aequacao(1)edesegundaordem,aopassoquaaequacao(2)edequartaordem; (3)edeterceiraordem,(4)edeprimeiraordeme(5)tambemedesegundaordem.Denicao1.7. Se uma equacao diferencial for tal que nos seus termos naoaparecemfuncoes transcendentais davariavel ouvariaveis dependentes, oudesuasderivadas,como,porexemplo,ln y(x),cos_dzdt_,sin_2xy2_; produtosentreasvariaveisdependentes,entreasvariaveisdependentese suas derivadas,ou entre as derivadas das variaveis dependentes,como,porexemplo,[y(x)]2,_dtdh_2,y(x)dydx,dzdtdhdt,x(y, z)2xz2xy;entaoaequacaodiferencial eumaequacaodiferencial linear. Seapareceralgumdessestermos,aequacaoechamadaequacaodiferencial nao-linear.As equacoes (2) e(4) saoequacoes diferenciais lineares, enquantoqueasequa coes(1),(3)e(5)saonao-lineares.Quando uma equac ao diferencial e linear e ordinaria de ordem n e possuiapenasumavariaveldependente,elapodeserpostanaformageralao(x)dmydxm+ a1(x)dm1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= b(x) (6)ondeao(x)naoeidenticamentenulo, xeavari avel independenteey(x)ea unicafunc aodex. Aexpress aoacimaeaformamais geral paraumaequac aodiferencial lineareordin ariadeordemncomapenasumavariaveldependente.Asequacoesd2ydx2+ 3xdydx+ 6y= 0 (7)2A.R.J.S.3j2d4xdj4 1jd2xdj2+ jx = jej(8)s ao exemplos de equac oes diferenciais ordinarias lineares. A equacao (7) e desegundaordemea(8) edequartaordem.1.2 ImportanciadasEquac oesDiferenciaisAlem do ponto de vista matematico, por si s o relevante, o estudo de equa coesdiferenciaisemuitoimportantedopontodevistafsico. Osfsicosaoestu-daremalgunsfen omenos,procuraminicialmentedescreve-lodeformaquali-tativaeposteriormentedeformaquantitativa.Paraumaboapartedos sistemas fsicos conhecidos ateomomento, aequac ao ou equac oes que descrevem os fenomenos, pelo menos de forma apro-ximada, s aoequa coesdiferenciais. Assolu coesdeumaequac aodiferencials aoexplcitaspuimplcitas.Denicao1.8. Umasolucaoexplcitadeumaequacaodiferencial eumafuncaoy= f ({x})doconjuntodasvariaveisindependentes,aqual,quandosubstitudanaequacaodiferencial,atransformaemumaigualdade.Comoexemplo,aequac aodiferencialdxdt= 2xtemumasolu caoexplcitadadaporx(t) = ce2tpois,sesubstituirmosx(t)naequa cao,temos(c eumaconstante)dxdt= 2xddt_ce2t_ = 2_ce2t_2ce2t= 2ce2tque eobviamenteumaigualdade.Denicao1.9. Umasolucaoimplcitadeumaequacaodiferencial eumafuncaog ({y} , {x})doconjuntodevariaveisdependenteseindependentes,aqual,atravesdederivacoesimplcitas,reproduzaequacaodiferencialinicial.3A.R.J.S.Nestecaso,temosqueafun caof(x, y) = x2+ y225 = 0eumasoluc aoimplcitadaequa caodiferencialx + ydydx= 0pois,tomandoaderivadaimplcitadef(x, y)comrela caoax,temosddxf(x, y) =ddx(x2+ y225) =ddx02x + 2ydydx= 0x + ydydx= 0queeaequacaodiferencialinicial. Estasolu caoimplcitapodeserdesmen-bradaemduasoutras,f1ef2,quenestecasosaoexplcitas,asaber,f1(x) = y1(x) =25 x2f2(x) = y2(x) = 25 x2Todavia, esse desmembrmento em geral n ao e possvel, e camos apenas comasolucaoimplcita. Algunsexemplosdeaplicac oesdeequac oesdiferenciaiss ao:1)movimentodeprojeteis,planetasesatelites;2)estudododecaimentoradioativoden ucleosinst aveis;3)propagac aodocaloratravesdeumabarra;4)estudodetodosostiposdeondas;crescimentodepopulacao;6)estudodereac oesqumicas;7)descric aoqu anticadeum atomodehidrogenio;8)calculodopotencialeletricodeumadistribuic aodecargas;9)estudodoosciladorharmonico.Ossistemasacimas aoumaamostradagrandeutiliza caodasequacoesdiferenciais.Epossvelque,paraumdadoproblema,alemdaequa caodife-rencial em si exista mais alguma condic ao que o experimento deve satisfazer.Ent ao,temososseguintescasos:4A.R.J.S.Denicao1.10. Quandoumdadofenomeno, alemdeumaequacaodife-rencial queodescreve, temaindaqueseguircertascondicoesiniciais, esta-belecidasapriori, paraummesmovalordavariavel independente, dizemosquetemosumproblemadevalorinicial. Comoexemplo,considereumcorpoemquedalivre. Omovimentodesseedescritoporumaequacaodiferencial,eascondicoessaoaalturadaqual elefoisoltoeavalocidadeinicial comaqual eleiniciouomovimento. Seaquedafornovacuo,temosconsiderandoaorigemnochaoeaalturarepresentadapory(t),aequacaod2ydt2= gcomascondicoesiniciaisy(0) = yoedydt0= y

(0) = v(0) = voe a funcao y(t), que e solucao desta equacao diferencial, tem necessariamentequerespeitarascondicoesiniciais,queforamdadasparaovalordet = 0.Denicao1.11. Seumfenomenodescritoporumaequacaodiferencialtiveralgumacondicaoespecicadaparadoisoumaisvaloresdavariavel in-dependente, temosumproblemacomcondicoesdecontorno. Porexemplo,considerandoumcasoidenticoaoanterior, mas comcondicoes dadas emduasalturasdiferentes,ouseja,algocomod2ydt2= gcomascondicoesdecontornoy(0) = yoy(2) = y2temosumproblemacomcondicoesdecontorno,dadasparaostempost = 0et=2. Nemsempreumproblemacomcondicoesdecontornotemsolucaoapesardequeaequacaodiferencialsozinha,semconsiderarascondicoesdecontorno,podeter.2 Equac oes Diferenciais Ordinarias de Pri-meiraOrdemVeremosalgunsmetodosderesoluc aodeequacoesdiferenciaisdeprimeiraordem,lembrandoaequa cao(6),podesercolocadanaforma5A.R.J.S.dydx= f(x, y) (9)naqual afunc aof(x, y) pode ser escritacomumaraz aode duas outrasfunc oes,ouseja,f(x, y) = M(x, y)N(x, y)eaequa cao(9)podeserreescritanaformaequivalenteM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 (10)Porexemplo,aequa caodydx=2x2yxpodeserreescritacomoxdy (2x2y)dx = 0ou(y + 2x2)dx + xdy= 0e assim, temos M(x, y) =y 2x2e N(x, y) =x. Nanotac ao(9) caclaroqueyeafunc aodex,enquantoquena(10)podemosinterpretarquey= y(x)oux = x(y),conformeforocaso. Emcertassituac oes, emaisf acilconsiderarumpontodevistadoqueoutro, eent aoeprefervel resolveraequac aodiferencial sobessepontodevistae, sefornecessario, obtemosafunc ao inversa ap os completar a resolu cao da equac ao. Vejamos alguns casosespeciais.2.1 EquacoesDiferenciaisExatasDenicao2.11 SejaFumafuncaodeduasvariaveisreais, deformaqueFtenha as derivadas parciais primeiras contnuas. A diferencial total dFdafuncaoFedenidapordF(x, y) =F(x, y)xdx +F(x, y)ydy (11)Comoexemplo,considereafunc ao6A.R.J.S.F(x, y) = x2y + 3y3xTemosF(x, y)x= 2xy + 3y3eF(x, y)y= x2+ 9y2xe,portanto,dF(x, y) = (2xy + 3y3)dx + (x2+ 9y2x)dyDenicao2.2. AexpressaoM(x, y)dx + N(x, y)dy (12)echamadaumadiferencial exataseexisteumafuncaoF(x, y) tal queseveriqueF(x, y)x= M(x, y) eF(x, y)y= N(x, y)SeM(x, y)dx + N(x, y)dyeumadiferencial exata,aequacaodiferencialM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0echamadaumaequacaodiferencial exata.Como fazemos para saber quando uma diferencial e uma equacao diferen-cialsaoexatas?Aresposta edadapeloseguinteteorema:Teorema2.1 AequacaodiferencialM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0eexatase,esomentese,forvericadoqueM(x, y)y=N(x, y)x(13)Demonstracao. Aprovadoteorema2.1nosconduzaometododeresolu caodeumaequa caodiferencialexata. Vejamosaprimeiraparte. Consideremosque a equacao diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0 e exata e que, portanto,existeumafun caoF(x, y)talqueF(x, y)x= M(x, y) eF(x, y)y= N(x, y)7A.R.J.S.Assim,2F(x, y)yx=M(x, y)ye2F(x, y)xy=N(x, y)xNoentanto,aordemdasderivadaspodeserinvertida,ouseja,2F(x, y)yx=2F(x, y)xye,dessaforma,temosM(x, y)y=N(x, y)xNaoutrapartedaprova,iniciamoscomahip oteseM(x, y)y=N(x, y)xequeremosprovarqueexisteumafunc aoF(x, y)talqueF(x, y)x= M(x, y) eF(x, y)y= N(x, y)deformaqueaequac aodiferencialM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0sejaexata.VamosassumiraexpressaoF(x, y)x= M(x, y)sejaverdadeira. Ent ao,podemosfazerF(x, y) =_M(x, y)x + (y) (14)onde aintegral e efetuadaapenas emx, sendoy consideradocomoumaconstante. Otermo(y) apareceporquedeveos ter asolu caomais geralpossvelparaF(x, y). Agora,diferenciamosestaequac aocomay,ouseja,F(x, y)y=y_M(x, y)x +d(y)dySequeremosprovarqueadiferencial eexata,devemostertambemF(x, y)y= N(x, y)8A.R.J.S.eentaoobtemosN(x, y) =y_M(x, y)x +d(y)dyd(y)dy= N(x, y) _M(x, y)yxe,resolvendoestaexpress aopara(y),temos(y) =_ _N(x, y) _M(x, y)yx_dyque,combinandacomaequac ao(14),fornece,nalmente,F(x, y) =_M(x, y)x +_ _N(x, y) _M(x, y)yx_dy (15)eestafun caoF(x, y)estasujeita`ascondic oesM(x, y)y=N(x, y)xetambemF(x, y)x= M(x, y) eF(x, y)y= N(x, y)e, portanto, a equac ao diferencial M(x, y)dx +N(x, y)dy= 0 e exata. Se, aoinvesdeiniciarmosademonstrac aoconsiderandoaequac aoF(x, y)x= M(x, y)us assemosaoutraequac aoF(x, y)y= N(x, y)oresultadoseriaF(x, y) =_N(x, y)y +_ _M(x, y) _N(x, y)xy_dx (16)Qualeasoluc aodaequac aoM(x, y)dx + N(x, y)dy=0? Arespostae:asoluc aodaequac aodiferencialexataeafunc aoF(x, y)=c,ondeF(x, y)9A.R.J.S.edadaporumadasexpress oes(15)ou(16), eceumaconstantenumericaque pode ser determinada se houver alguma condicao adicional. Vejamos umexemplocompleto,considerandoaequac aoabaixo:(3x2+ 4xy)dx + (2x2+ 2y)dy= 0Destaequa cao, temos M(x, y) =3x2+ 4xy eN(x, y) =2x2+ 2y. Por-tanto, devemos vericar se ela e uma equac ao diferencial exata e, pora tanto,calculamosM(x, y)y= 4x eN(x, y)x= 4xVemosques aoiguais,logo,aequa cao eexata. Assim,temosF(x, y)x= M(x, y) = 3x2+ 4xy eF(x, y)y= N(x, y) = 2x2+ 2yUtilizandoaprimeira,obtemosF(x, y) = (y) +_M(x, y)x= (y) +_(3x2+ 4xy)xF(x, y) = x3+ 2x2y + (y)mas`asegundanosdizqueF(x, y)y= N(x, y) = 2x2+ 2y2x2+d(y)dy= 2x2+ 2yd(y)dy= 2yAequacaoacimad a,diretamente,d(y) = 2ydy10A.R.J.S._d(y) =_2ydy(y) = y2+ coe,portanto,temosF(x, y) = x3+ 2x2y + y2+ comascomoasoluc aodaequacaodiferencial edaformaF(x, y) = c,eassim,F(x, y) = x3+ 2x2y + y2+ co= cou,nalmente,incorporandocoac,temosx3+ 2x2y + y2= c (17)queeasolu caogeral daequac aodiferencial exatainicial. Seconsiderar-mosumacondic aoinicial, como, porexemplo, y(1)=0, podemosobteraconstantec,pois,nestecaso,devemosterx = 1ey= 0,ouseja,13+ 2.12.0 + 02= cc = 1e,poraestecaso,asoluc aocax3+ 2x2y + y2= 1Vejamosagoramaisumtipodeequacaodiferencial.2.2 EquacoesDiferenciaisSeparaveisDenicao2.3. AsequacoesdotipoF(x)G(y)dx + f(x)g(y)dy= 0 (18)saochamadasdeequacoesdiferenciaisseparaveisporqueelaspodemsrcolo-cadasnaformaF(x)f(x)dx +g(y)G(y)dy= 0 (19)11A.R.J.S.queeumaequacaoexata,poisM(x, y) = M(x) =F(x)f(x)e N(x, y) = N(y) =g(y)G(y)e,paravericarseelaeexata,calculamosM(x, y)y=y_F(x)f(x)_ = 0 eN(x, y)x=x_ g(y)G(y)_ = 0como as derivadas acima sao iguais, a equacao (19) e exata e pode ser escritanaformaM(x)dx+N(y)dy =0, que pode ser imediatamente integrada,resultandoem_M(x)dx +_N(y)dy= c (20)outambem,_F(x)f(x)dx +_g(y)G(y)dy= c (21)As equacoes (20) ou (21) fornecem a solucao da equacao diferencial separavel(19)Vejamosagoraumexemplo. Considereaequac aox sin ydx + (x2+ 1) cos ydy= 0Esta equac ao nao e exata, mas pode ser transformada em uma equac ao dife-rencialseparavelsedividirmosaequa caopelofator(x2+ 1) sin y,isto e,xx2+ 1dx +cos ysin ydy= 0oresultadoca_xx2+ 1dx +_cos ysin ydy= clembrandoque_duu= ln |u| + Ccamoscom12 ln(x2+ 1) + ln |sin y| = co12A.R.J.S.Multiplicandoestaexpressaopor2echamando2co= ln |c1|,temosln(x2+ 1) + ln(sin2y) = ln(c1)2ouainda,chamamosc = c21ln_(x2+ 1) sin2y_ = ln(c)e,nalmente,(x2+ 1) sin2y= c (22)queeasolu caodaequa caodiferencial inicial. Sehouveralgumacondi caoadicional,como,porexemplo,y(0) =2teremos1 sin2_2_ = cc = 1eaequa caosera(x2+ 1) sin2y= 1Eimportantenotarque,aodividiraequa caopor(x2+ 1) sin y,etamoscon-siderandoquesin y = 0,ouseja,sey= n,n = 0, 1, 2, . . .?Aequac aodiferencialinicialpodeserescritanaformadydx= xx2+ 1sin ycos ycomosin y= 0,y= n,e,substituindoestasoluc aonaequac aodiferencial,encontramosddx(n) = xx2+ 1sin ncos n= 0 xx2+ 10(1)n0 = 0Ent ao, y=ntambemesoluc aoecorrespondeaovalorc=0naequac ao(22). Assim, nenhuma soluc ao da equac ao diferencial foi perdida ao fazermosatransformac aoparaaformasepar avel.13A.R.J.S.2.3 EquacoesDiferenciaisHomogeneasDenicao2.4 UmafuncaoFeditahomogeneadegraunseocorrerqueF(tx, ty) = tnF(x, y)ouseja, quandoemF(x, y)substitumosxportxeyportyedepoisfa-toramosot, aexpressaoresultantecanaformaacima. Porexemplo, seF(x, y) = x3+ x2y,temosF(tx, ty) = (tx)3+ (tx)2(ty)= t3x3+ t2x2ty= t3x3+ t3x2y= t3(x3+ x2y)F(tx, ty) = t3F(x, y)eF(x, y) = x3+ x2yehomogeneadegrau3Denicao2.5 AequacaodeprimeiraordemM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0ehomogenease,quandoescritanaformadydx= f(x, y)existirumafuncaogtal quef(x, y)possasercolocadanaformaf(x, y) = g_yx_eaequacaodiferencial cadydx= g_yx_14A.R.J.S.De forma equivalente, a equacao diferencial e homogenea se as funcoesM(x, y)eN(x, y)foremhomogeneasdemesmograu.Vejamosumexemplo. Aequacaodiferencialxydx + (x2+ y2)dy= 0ehomogenea. Vamosconferi-lapelosmetodos. Primeiro, escrevendo-anaformadydx= xyx2+ y2vemosquepodemosreescreve-lacomodydx= xyx2(1 +y2x2)dydx= xy1 +_yx_2e,nestecaso,g_yx_ = yx1 +_yx_2eaequac aodiferencialehomogenea. Agoravamosanalisa-lapelosegundometodo. Nestecaso,temosM(x, y) = xyeN(x, y) = x2+ y2. Assim,M(tx, ty) = (tx)(ty)= t2xyM(tx, ty) = t2M(x, y)eM(x, y) ehomogeneadegrau2. ParaN(x, y)temosN(tx, ty) = (tx)2+ (ty)2= t2x2+ t2y215A.R.J.S.= t2(x2+ y2)N(tx, ty) = t2N(x, y)e N(x, y) tambem e homogenea de grau 2, como M(x, y). Portanto, a equac aodiferencial ehomogenea.Como se resolve uma equac ao diferencialhomogenea?A resposta e dadapeloseguinteteorema,epelasuaprova.Teorema2.2 SeaequacaodiferencialM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 (23)ehomogenea, amudancadevariaveis y =vx, ouv =yx, transformaaequa cao(23)numaequacaodiferencial separavel nasvariaveisvex.Demonstracao. A equac ao (23) e homogenea. Ent ao, podemos escreve-la naformadydx= g_yx_comovimosnadenic ao2.5. Agora,fazemosy= vx. Ent ao,dydx=ddx(vx) = v + xdvdxeaequa caodiferencialcav + xdvdx= g_yx_ = g(v)poisv=yx. Podemosreescreveraexpress aoacimanaforma[v g(v)] dx + xdv= 0que eaequacaodiferencialsepar avel,eassim,dvv g(v)+dxx= 0Aresolucao efeitaporintegrac aodireta,ouseja,_dvv g(v)+_dxx= c16A.R.J.S.ondec eumaconstantedeintegrac ao. Asoluc aogeralca_dvv g(v)+ ln |x| = c (24)e,ap osresolveraintegral,devemossubstituirnovamentev=yxparavoltar` asvariaveisiniciais.Examinamosumexemplo. J avimosqueaequac aoxydx + (x2+ y2)dy= 0ehomogenea. Vamosreescreve-lacomodydx= xy1 +_xy_2efazerasubstituic aoy= vx. Assim,camoscomddx(vx) = v1 + v2v + xdvdx= v1 + v2xdvdx= v1 + v2 vxdvdx= v(2 + v2)1 + v2quepodeserescritacomo1 + v2v(2 + v2)dv +dxx= 0que eumaequac aodiferencialseparavel. Integrandoestaexpress ao,temos_ _1 + v2v(2 + v2)_dv +_dxx= cque,medianteautiliza caodefracoesparciais,resultaem12 ln |v| +14 ln(v2+ 2) + ln |x| = co17A.R.J.S.Chamandoco= ln |c1|,temos12 ln |v| +14 ln(v2+ 2) = ln |c1| ln |x|12 ln |v| +14 ln(v2+ 2) = ln|c1||x|Multiplicandoestaexpressaopor4,eagrupandooslogaritimos,temosln_v2(v2+ 2)_ = ln_c1x_4ouv2(v2+ 2) =_c1x_4comov=yx,temos_yx_2 __yx_2+ 2_ =_c1x_4y2x2_y2+ 2x2x2_ =_c1x_4y2x4(y2+ 2x2) =_c1x_4y4+ 2x2y2= c41e,denindoumaconstantec = c41,temos,nalmente,y4+ 2x2y2= c (25)que easolucao(implcita)daequac aodiferencialinicial.Ateagoravimos equac oes diferenciais quepodemser lineares. Vamosconcentrarnossaatenc aonasequac oeslinearesdeprimeiraordem.18A.R.J.S.2.4 EquacoesDiferenciaisLinearesDenicao2.6 Seforpossvel escreverumaequacaoordinariadeprimeiraordemnaformadydx+ P(x)y= Q(x) (26)estadiferencial seraumaequacaolinear.Comoexemplo,aequac aox2dydx+ (x42x + 1)y=1xpodesercalocadanaformadydx+_x42x + 1x2_y=1x3ouainda,dydx+_x22x+1x2_y=1x3que elinear,porqueest anotipodaequa cao2.18.Aequac ao(26)podeserreescritanaforma[P(x)y Q(x)] dx + dy= 0 (27)queeumaequac aodotipoM(x, y)dx + N(x, y)dy =0, ondeM(x, y) =P(x)y Q(x)eN(x, y) = 1. Estaequac aonao eexata,poisM(x, y)y= P(x) eN(x, y)x= 0No entanto, se utilizarmos um fator integrante, ela pode ser convertida numaequac aodiferencialexata.Denicao2.7 Umfatorintegrante(x, y)eumafuncaoque,multiplicadapelaequacaodiferencialM(x, y)dx + N(x, y)dy= 0atransformanumaequacaodiferencial exata,ouseja,naequacao(x, y)M(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy= 0 (28)quee,pordenicao,exata19A.R.J.S.Porexemplo,aequa caodiferencialydx + 2xdy= 0n ao eexata,poisM(x, y) = y,N(x, y) = 2xeM(x, y)y= 1 =N(x, y)x= 2Entretanto,semultiplicarmosestaequacaopory,teremosy2dx + 2xydy= 0eagora,M(x, y) = y2,N(x, y) = 2xyeM(x, y)y= 2y=N(x, y)x= 2yeaequac aodiferencialtorna-seumaequac aoexata,sendo(x, y) = yoseufatorintegrante.Seutilizarmosfatoresintegrantes,aequac aodiferenciallinear(26)podeserresolvidaatravesdoseguinteteorema:Teorema2.3 Aequacaodiferencial lineardydx+ P(x)y= Q(x)temumfatorintegrantenaforma(x, y) = e_P(x)dxesuasolucaoedadapory(x) = e_P(x)dx__e_P(x)dxQ(x)dx + c_(29)Demonstracao. Considereaequac aodiferencial (27). Vamosmultiplca-laporumfatorintegrante(x)queatorneumaequa caoexata,ouseja,[(x)P(x)y (x)Q(x)] dx + (x)dy= 0Pordenic ao,aequac aodiferencialacima eexata,eassim,y [(x)P(x)y (x)Q(x)] =x [(x)]20A.R.J.S.quesereduzaP(x) =ddxquepodeserseparadaemd= P(x)dxeentegrada,resultandoemln || =_P(x)dx(x) = e_P(x)dxAgoramultiplicamosaequa caodiferencial(26)pelofatorintegrante,isto e,e_P(x)dxdydx+ e_P(x)dxP(x)y= e_P(x)dxQ(x)oladoesquerdopodeserreescrito,poisddx_e_P(x)dxdy_ = e_P(x)dxdydx+ yddx_e_P(x)dx_ddx_e_P(x)dxy_ = e_P(x)dxdydx+ ye_P(x)dxP(x)eassim,aequac aodiferencialcaddx_e_P(x)dxdy_ = e_P(x)dxQ(x)d_e_P(x)dxy_ = e_P(x)dxQ(x)dx_d_e_P(x)dxy_ =_e_P(x)dxQ(x)dxe_P(x)dxy=_e_P(x)dxQ(x)dx + cou,nalmente,21A.R.J.S.y(x) = e_P(x)dx__e_P(x)dxQ(x)dx + c_Vejamos agora um exemplo de aplicac ao. Considere a equac ao diferencialdydx+3xy= 6x2Nestaequac ao,P(x) =3xeQ(x) = 6x2. Ent ao,(x) = exp__P(x)dx_= exp__ _3x_dx_= exp(3 ln |x|)= eln|x3|(x) = x3multiplicandoaequac aodiferencialpor(x),temosx3dydx+ 3x2y= 6x5Oladoesuqerdo e,naverdade,ddx(x3y) = x3dydx+ y(3x2)eaequa caodiferencialcaddx(x3y)6x5d(x3y) = 6x5dx_d(x3y) =_6x5dx22A.R.J.S.x3y= x6+ cy(x) = x3+cx3queeasoluc aodaequac aodiferencial inicial. Vejamosumoutroexemploilustrativo. Considereaequac aodiferencialy2dx + (3xy 1)dy= 0 (30)quepodesercolocadanaformadydx y21 3xy= 0quee n ao-linear emy. Estaequac aotambemn aoe exata, separavel ouhomogenea. Noentanto, comofoi ditonoinciodestecaptulo, aodeniraequac ao(10), quandoumaequac aodiferencial estanaformadaequacao(30), podemos interpretar quey =y(x) ouquex=x(y). Assim, vamostentaresta ultimainterpreta cao,ouseja,vamosescreveraequac aocomodxdy 1 3xyy2= 0ouaindacomodxdy+3yx =1y2que edotipodxdy+ P(y)x = Q(y)eeumaequac aodiferencial linearemx, podendoserresolvidamedianteautilizac ao da equacao (29),com a substituic ao de x porye yporx. O fatorintegrante e(y) = exp__P(y)dy_= exp__ _3y_dy_23A.R.J.S.= exp3 ln|y3|(y) = y3Multiplicandoofatorintegrantepelaequac aodiferencial,temosy3dxdy+ 3y2x = ycomoddy(y3x) = y3dxdy+ x(3y2)obtemosddy(y3x) = yd(y3x) = ydy_d(y3x) =_ydyy3x =y22+ cx(y) =12y+cy3que easoluc aodaequac aodiferencial(30). Vejamosumaclasseespecialdeequac oesdiferenciaisquepodemsertransformadasemequacoeslineares.2.5 EquacaodeBernoulliDenicao2.8Umaequacaodiferencial daformadydx+ P(x)y= Q(x)yn(31)echamadadeequacaodeBernoullidegraun.24A.R.J.S.Umexemplodeumaequac aodiferencialdeBernoulli eaequacaodydx yx= y2x(32)poisP(x) = 1x,Q(x) = 1xen = 2SenaequacaodeBernoullitivermosn=0oun=1,ent aoaequa caoenaverdadelinearepodeserresolvidamediantealgumdosmetodosvistos.nos outros casos,a equa cao diferencial e nao - linear e ela pode ser resolvidaatravesdoseguinteteorema:Teorema2.4 AequacaodeBernoullinao-lineardydx+ P(x)y= Q(x)ynsendon =0ou1, podesertransformadanumaequacaodiferencial linearatravesdamudancadevariaveisv= y1nqueresultanumaequacaodiferencial linearemv.Demonstracao. Primeiro,multiplicamosaequa caodiferencial(31)poryn,ouseja,yndydx+ P(x)y1n= Q(x) (33)Sev= y1n,entao,dvdx=ddx(y1n) = (1 n)yndydxeaequa cao(33)ca_11 n_ dvdx+ P(x)v= Q(x)ou,deformaequivalente,dvdx+ (1 n)P(x)v= (1 n)Q(x)ChamandoP1(x) = (1 n)P(x) e Q1(x) = (1 n)Q(x)P1(x) = (1 n)P(x) e Q1(x) = (1 n)Q(x)25A.R.J.S.temosdvdx+ P1(x)v= Q1(x)que elinearemv.Comoexemplo,vamosresolveraequac aodiferencial(32),que edydx yx= y2xNestecaso,n = 2,eentao,devemosmultiplicaraequac aopory2,ouseja,y2dydx y1x= 1xComov= y1n= y1,temosdvdx=ddx(y1) = y2dydxFazendoasubstituic ao,camoscomdvdx vx= 1xouainda,dvdx+vx=1xqueest anaformapadraodasequacoesdiferenciaislineares, comP(x)=1xeQ(x) =1x. Ofatorintegrante e(x) = exp__P(x)dx_= exp__dxx_= exp(ln |x|)(x) = x26A.R.J.S.Multiplicandoaequacaodiferencialporestefatorintegrante,temosxdvdx+ v= 1Comoddx(xv) = xdvdx+ vobtemosddx(xv) = 1d(xv) = dx_d(xv) =_dxxv= x + cv(x) = 1 +cxLembrandoquev= y1,temosy=1v,ouseja,1y(x)=x + cxy(x) =xx + cque easolucaodaequac aodiferencialdeBernoulli(32).3 Equac oesDiferenciaisOrdinariasLinearesdeOrdemSuperior: Tecnicas Fundamen-taisPassaremos`adiscuss aodasequac oesdiferenciasordinariasdeordemsupe-rior,emespecialasequacoesdiferenciasdesegundaordem.27A.R.J.S.Denicao3.1Umaequacaodiferencial linearordinariadeordemneumaequacaoquepodeserpostanaformadaequacao(6),queeao(x)dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= b(x)ondea0(x)nao eidenticamentenulo. Seb(x) = 0,aequacaoacimaescreve-senaformaao(x)dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= 0 (34)eechamadahomogenea, enquantoqueaequacaodiferencial (6)editanaohomogenea. Sen=2, entaoaequacaodiferencial (6)sereduz`aequacaonaohomogeneaao(x)d2ydx2+ a1(x)dydx+ a2(x)y= b(x) (35)enquantoqueaequacaodiferencial homogenea(34)sereduzaao(x)d2ydx2+ a1(x)dydx+ a2(x)y= 0 (36)Comoexemplo,asequac oesdiferenciasd3xdt3 t2d2xdt2+ xt = cos t (37)exd2ydx2+ 3x3dydx 4xy= ex(38)s ao equac oes diferencias lineares n ao-homogeneas. A equac ao (37) e de ordemn = 3, ao passo que a equa cao (38) e de ordemn = 2. As equac oes diferenciaishomogeneascorrespondentess aod3xdt3 t2d2xdt2+ 2tdxdt+ xt = 0exd2ydx2+ 3x3dydx 4xy= 0Vamosnosconcentrarinicialmentenoestudodaequac aodiferencialho-mogenea(34)28A.R.J.S.3.1 EquacoesDiferenciaisHomogeneasdeOrdemSu-periorApesar daaparentesimplicidade, n aohaummodogeral deresoluc aodaequac aodiferencial (34). Existemapenascasosparticulares, desenvolvidosparaseremusadosemsituac oesespeccas. Umdessescasosocorrequandooscoecientesainaequac ao(34),que eao(x)dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= 0s aonaverdadeconstantesnumericasen aofuncoesdex. Nestecaso,existeummetodorazoavelmentesimples, queseradiscutido. Noentanto, antesdeapresentarmosomododeresolverequac oesdiferenciaishomogeneascomcoecientes constantes, e preciso denir alguns conceitos que serao necess ariosdepois,emparticularosconceitosdedependenciaeindependencialinear.Denicao3.2 Dadasasfuncoesf1, f2, . . . , fn,aexpressaoc1f1 + c2f2 + . . . + cnfn(39)onde c1, c2, . . . , cnsaoconstantes, e umacombinacaolinear f1, f2, . . . , fn.Porexemplo,5 ln x 2 cos 2x + 4x2eumacombinacaolineardef1(x) = ln x,f2(x) = cos 2xef3(x) = x2.Denicao3.3Sejaacombinacaolineardef1, f2, . . . , fnc1f1(x) + c2f2(x) + . . . + cnfn(x) = 0 (40)Senestacombinacaolinearespecial pelomenosumdoscjfordiferentedezero, dizemosqueasfuncoesf1, f2, . . . , fnsaolinearmentedependentes, ouLD.Emparticualr,duasfuncoesf1(x)ef2(x)saolinearmentedependentesse,quandoc1f1(x) + c2f2(x) = 0 (41)pelomenosc1ouc2puderserdiferentedezero. Porexemplo, asfuncoesf1(x) = x,f2(x) = 2xef3(x) = 3xsaoLD,poisnacombinacaolinearc1f1(x) + c2f2(x) + c3f3(x) = 0c1(x) + c2(2x) + c3(3x) = 029A.R.J.S.setomarmosc1= 3,c2= 2ec3=13,veremosqueaigualdadeesatisfeita.Denicao3.4Quandoo unicomododeteracombinacaolinearc1f1(x) + c2f2(x) + . . . + cnfn(x) = 0for ode escolher c1=c2=. . . =cn=0, as funcoes f1, f2, . . . , fnsaolinearmenteindependentes,ouLI.Emparticular,asfuncoesf1ef2saoLIse,paraseterc1f1(x) + c2f2(x) = 0e necessarioque c1=c2=0. Comoexemplo, as funcoes f1(x) =exef2(x) = sin xsaoLI,pois,paraquec1ex+ c2 sin x = 0eprecisoquec1= c2= 0.Denicao3.5Dadasasfuncoesf1, f2, . . . , fn, ondecadaumapossui deri-vadaspelomenosateaordem(n 1),odeterminanteW (f1, f2, . . . , fn) =f1f2. . . fnf

1f

2. . . f

n............f(n1)1f(n1)2. . . f(n1)n. (42)e chamado Wronskiano dessas funcoes. Se o Wronskiano de f1(x), f2(x), . . . , fn(x)fornulo,essasfuncoessaoLD,esenaofor,elassaoLI.Vejamosumexemplo. VamoscalcularoWronskianodasfunc oesdadasnoexemplodadenic ao4.3, ques aof1(x)=x, f2(x)=2xef3(x)=3x.Temos tres func` oes e precisamos achar suas derivadas ate a ordem 2, ou seja,f

1(x) = 1 f

2(x) = 2 f

3(x) = 3f

1 (x) = 0 f

2 (x) = 0 f

3 (x) = 0Agora,calculamosoWronskianoW= (f1, f2, f3) =f1f2f3f

1f

2f

3f

1f

2f

330A.R.J.S.W= (x, 2x, 3x) =x 2x 3x1 2 30 0 0W= (x, 2x, 3x) = 0easfunc oess aoLD, comojahavamosmostrado. VamoscalcularagoraoWronskianodasfun coesdadasnoexemplodadenicao3.4, quesaoLI. Asfunc oess aof1(x) = exef2(x) = sin x. Suasderivadassaof

1(x) = exf

2(x) = cos xeoWronskiano eW= (f1, f2) =f1f2f

1f

2W= (ex, sin x) =exsin xexcos xW= (ex, sin x) = excos x exsin xW= (ex, sin x) = ex(cos x sin x)que ediferentedezero,eportantoasfun coessaoLI.Teorema3.1Aequacaodiferencial linearhomogeneaordinaria(34)ao(x)dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= 0semprepossuinsolucoeslinearmenteindependentes,easuasolucaogeral e,acombinacaolineardessasnsolucoes,naformaf(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + . . . + cnfn(x)Emparticular,sen = 2,asolucaogeralef(x) = c1f1(x) + c2f2(x)31A.R.J.S.Um modo de se vericar as soluc oes f1(x), f2(x), . . . , fn(x) s ao LI e calcu-lar o seu Wronskiano. Se n ao for nulo, ent ao a combinac ao linear das solucoeseasoluc aogeraldaequacaodiferencial. Porexemplo,aequacaodiferenciald2ydx2+ y= 0podeserresolvidasey(x)=cos xousey(x)=sin x. OWronskianodestasfunc oes eW= (cos x, sin x) =cos x sin xsin x cos xW= (cos x, sin x) = cos2x + sin2xW= (cos x, sin x) = 1queediferentedezero, eas func oes s aoLI. Portanto, asolucaogeral daequac aodiferencial ef(x) = c1 cos x + c2 sin xVamosagorapartirparaometododeresoluc aodeequac oesdiferenciashomogeneascomcoecientesconstantes.3.2 EquacoesDiferenciascomCoecientesConstantesAs equa coes diferenciais homogeneas com coecientes constantes s ao as equac oesdiferenciasnaformaaodnydxn+ a1dn1ydxn1+ . . . + an1dydx+ any= 0 (43)onde a0, a1, . . . , ans ao constantes reais. Esta equac ao pode ser transformadanumaoutra,atravesdasubstituic aoy(x) = emxLembrandoquedydx= memx32A.R.J.S.d2ydx2= m2emxd3ydx3= m3emx... = ...dnydxn= mnemxaequac aodiferencial(43)caaomn+ a1mn1emx+ . . . + an1memx+ anemx= 0ouemx_aomn+ a1mn1+ . . . + an1m + an_ = 0Comoemx= 0,camoscomaomn+ a1mn1+ . . . + an1m + an= 0 (44)que eumpolinomiodegraunemm,chamadodeequac aocaractersticadaequac aodiferencial(43). Sey(x) = emxesoluc aode(43),entaomdevesersoluc ao de (44), ou seja, m e uma raiz do polin omio. Como um polin omio degrauntemnrazes,temosnvaloresdem,quecorrespondem asnsoluc oesdaequacaodiferencial (43). Precisamosapenassepararoscasosderazesreaisedistintas,razesreaiserepetidaserazescomplexas.3.2.1 RazesReaiseDistintasSeasrazesde(44)saoreaisedistintas,entaoassolucoess aoem1x, em2x, . . . , emnxquesaoLI,easoluc aogeral ey(x) = c1em1x+ c2em2x+ . . . + cnemn(45)Comoexemplo,considereaequac aodiferencial33A.R.J.S.d2(y)dx2+ 5dydx+ 6y= 0Substituindoy(x) = emx,temosm2emx+ 5memx+ 6emx= 0m2+ 5m + 6 = 0que eaequacaocaractersticanestecaso. Asrazess aom1= 2 , m2= 3quesaodiferentes,eassoluc oessaoe2x, e3xquesaoLIeformamasolucaogeraly(x) = c1e2x+ c2e3x3.2.2 RazesReaiseRepetidasVamosconsideraraequac aodiferenciald2(x)dt24dydx+ 4x = 0 (46)Suaequac aocaracterstica em24m + 4 = 0quepossui araizduplam=2. Ent ao, as soluc` oes seriame2tee2t. Noentanto, essassoluc` oesnaos aoLI, comoef acil devericar, j aqueelass aoiguais. Afun caoe2teumasoluc ao, comopodeservistoseasubstituirmosnaequac aodiferenciald2dt2(e2t) 4 ddt(e2t) + 4(e2t) = 04e2t8e2t+ 4e2t= 034A.R.J.S.0 = 0mas faltamais uma, pois umaequacaodiferencial de ordem2temduassoluc oes. Paraacharaoutravamostentartomarx = e2tyeverseissoresolveoproblema. Temosentaodxdt= 2e2ty + e2tdydt= e2t_2y +dydt_ed2xdt2= 2e2t_2y +dydt_ + e2t_2y +dydt+d2ydt2_d2xdt2= 2e2t_4y + 4dydt+d2ydt2_substituindotudoissonaequac ao(46),oresultado ee2t_4y + 4dydt+d2ydt2_4e2t_2y +dydt_ + 4e2ty= 0ou4y + 4dydt+d2dt2 4_2y +dydt_ + 4y= 0d2dt2+dydt(4 4) + y (4 8 + 4) = 0d2dt2= 0Aequacaodiferencialacima ebastantesimplesderesolver. Chamamosw =dydtetemos35A.R.J.S.dydt= 0w = condeasomac eumaconstantequepodesertomadacomosendoc = 1semperdadegeneralidade. Agora,dydt= 1dy= dty= t + demquedeoutraconstante, quenestecasopodeser tomadacomosendod = 0. Oresultado ey= t,eaoutrasoluc aodaequac aodiferencial(46) ete2tqueLIemrelac ao` asoluc aoe2t. Asolu caogeralcax(t) = c1e2t+ c2te2t= e2t(c1 + c2t)Oprocedimentoacimae absolutamente geral, e quandoumaequac aodiferencial temumaraizmiqueserepetekvezes, assolucoesassociadasaessaraizs aoemix, xemix, x2emix, . . . , xk1emixeasolucaogeralca_c1 + c2x + c3x2+ . . . + ckxk1_emixSehouver mais deumarais repetida, repete-seoprocedimentoacimaparacadaumadelas. Porexemplo, seumaequac aodiferencial tiverumaequac aocaractersticacujasrazessaom=1, 1, 1, 3, 3, 4asoluc aogeraldessaequac aodiferencialser ay(x) = c1ex+ c2x + c3x2ex+ c4e3x+ c5xe3x+ c6e4xetodasasfunc oesacimas aoLI,comodeveriaser.36A.R.J.S.3.2.3 RazesComplexasOprocedimentoaserseguidoquandoasrazessaocomplexas eidenticoaosanteriores. Se as razes complexas foremdistintas,segue-se o caso das razesdistintas. Se apareceremrazes complexas repetidas, segue-se ocasodasrazesrepetidas. As unicasdiferen cass aoque, sez=a + bieraizdeumaequac ao, ent ao z= a+bi, que e complexo conjugado, tambem e raiz, ou seja,elasaparecemaospares. Aoutradiferenca eque,usandoarelac aodeEulerei= cos + i sin podemosexpressar, dependendodanecessidade, asexponenciaiscomplexascomosomadesenosecossenos,parafacilitaravisualizac aodoresultado.Comoexemplo,aequac aodiferenciald2ydx2= 6dydx+ +25y= 0temumaequa caocaractersticadadaporm26m + 25 = 0quetemasrazescomplexasm1= 3 + 4i, m2= 3 4iques aoconjugadas,comoesperado. Asoluc aosegueocasoderazesreaisedistintas,ouseja,asfunc oese(3+4i)xe(34i)xformamumasolucaogeraly(x) = c1e(3+4i)xc2e(34i)xquesaoLI, comodeveriaser. Paraexpressarasoluc aonaformadesenosecossenos, epreferevel transformar assolu coesantesdeformar asoluc aogeral,isto e,y(1) = e(3+4i)x= e3x4xi= e3xe4xi= e3x(cos 4x + i sin 4x)y(2) = e(3+4i)x= e3x4xi= e3xe4xi= e3x(cos 4x i sin 4x)37A.R.J.S.easolucaocay(x) = k1y1 + k2y2= k1e3x(cos 4x + i sin 4x) + k2e3x(cos 4x i sin 4x)= e3x[(k1 + k2) cos 4x + i (k1k2) sin 4x]y(x) = e3x(c1 cos 4x + c2 sin 4x)que easoluc aogeral,comc1= k1 + k2ec2= i(k1k2),expressaemsenosecossenos.J aaequac aodiferenciald4xdt4 4d3xdt3+ 14d2xdt2 20dxdt+ 25x = 0temumaequa caocaractersticam44m3+ 14m220m + 25 = 0cujassoluc oess aom = 1 + 2i, 1 2i, 1 + 2i, 1 + 2i, 1 2iquesaorepetidas. Ent ao,assoluc oess aoe(1+2i)t, te(1+2i)t, e(12i)t, te(12i)teasolucaogeralcax(t) = (c1 + c2t)e(1+2i)t+ (c3 + c4t)e(12i)tNaformadesenosecossenos,temosx1= e(1+2i)t= et+2it= et(cos 2t + i sin 2t)x2= te(1+2i)t= tet(cos 2t + i sin 2t)x3= e(12i)t= et2it= et(cos 2t i sin 2t)38A.R.J.S.x4= te(12i)t= tet(cos 2t i sin 2t)queresultanasoluc aogeralx(t) = k1x1 + k2x2 + k3x3 + k4x4= k1= et(cos 2t + i sin 2t) + k2tet(cos 2t + i sin 2t)+k3et(cos 2t i sin 2t) + k4tet(cos 2t i sin 2t)= et{[(k1 + k3) + (k2 + k4) t] cos 2t + [i (k1k3) + i (k2k4) t] sin 2t}ondec1= k1 + k3,c2= k2 + k4,c3= i(k1k3)ec4= i(k2k4)x(t) = et[(c1 + c2t) cos 2t + (c3 + c4t) sin 2t]Agoraj asabemos comoresolver aequacaodiferencial homogeneacomcoecientesconstantes(43). Vamosestudaromododeresolveraequac aon ao-homogeneacomcoecientesconstantesao(x)dnydxn+ a1dn1ydxn1+ . . . + an1dydx+ any= 0 (47)Para isso, vamos precisar do seguinte teorema, v alido para qualquerequac aodiferencialnaforma(6):Teorema3.2Asolucaogeral daequacaodiferencial nao-homogeneaao(x)dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= b(x)edadapory= yh + ypondeyheasolucaodaequacaodiferencial homogeneacorrespondenteao(x)dnydxn+ a1(x)dn1ydxn1+ . . . + an1(x)dydx+ an(x)y= 0eypeumasolucaoparticular, semconstantesarbitrarias, daequacaodife-rencial nao-homogeneaacima.39A.R.J.S.DemonstracaoVamosapresentarademonstrac aodoteoremaacimaparaocasoemquen=2,masaideiaegeral. Nestecaso, aequa caodiferencialn ao-homogenea eao(x)d2ydx2+ a1(x)dydx+ a2(x)y= b(x)Oteoremadizqueasolu caogeraldaequa caoacima ey= yh + ypsendoqueyheasolucaodahomogeneacorrespondente,ouseja,ao(x)d2yhdx2+ a1(x)dyhdx+ a2(x)yh= 0 (48)Vamosaplicarasolucaoacimanaequacaodiferencialao(x)ddx2 (yh + yp) + a1(x)ddx (yh + yp) + a2(x) (yh + yp) = b(x)ao(x)d2yhdx2+ a0(x)d2ypdx2+ a1(x)dyhdx+ a1(x)dypdx+ a2(x)yh + a2(x)yp= b(x)_ao(x)d2yhdx2+ a1(x)dyhdx a2(x)yh_+_a0(x)d2ypdx2+ a1(x)dypdx+ +a2(x)yp_ = b(x)O primeiro termo entre colchetes e nulo, como mostra a equac ao (48). Assim,ao(x)d2ypdx2+ a1(x)dypdx+ a2(x)yp= b(x)quee umaigualdade, pois, por hipotese, ype umasoluc aoparticular daequac aodiferencialn ao-homogenea.Comoexemplo,aequac aodiferenciald2ydx2+ y= xtemumaequacaohomogeneaassociadacujasoluc ao,comojavimos, edadaporyh= c1 cos x + c2 sin xUmasoluc aoparticulardestaequac aodiferencial e40A.R.J.S.yp= xeasolucaogeraldaequac ao ey(x) = yh + yp= c1 cos x + c2 sin xEste teorema e geral e vale inclusive para o caso de coecientes constantes.Ent ao, pararesolveraequac aodiferencial comcoecientesconstantes(47),podemos resolver ahomogeneacorrespondente pelometodoj avisto, queforneceasoluc aoyh, esom a-lacomasoluc aoparticularyp. Mascomoseachaasoluc aoparticular? Existemdoismetodos, queseraodiscutidosemseguida.3.3 MetododosCoecientesaDeterminarAgoraqueremosacharsolu coesparticularesdsequa caodiferencial(47)aodnydxn+ a1dn1ydxn1+ . . . + an1dydx+ any= b(x)Umdosmetodosparaencontrarypedoscoecientesadeterminar. Essemetodofuncionaparapoucoscasosespeccos,ouseja,paraumaclassepe-quena de funcoes b(x). No entanto, por sorte, a maioria das fun coes relevantesdopontodevistafsicoestaincludanesteconjunto,oquefazcomqueessemetodosejamuitoimportanteparafsicos. Alemdisso, ometodoemuitosimples, muitomaisdoqueooutro, chamadodevariac aodospar ametros,queserveparaquasetodasasfun coesb(x) masemaiscomplicado. Paraapresentarometodo, vamosconsiderarumcasoespecco, paraaequacaodiferencialabaixo:d2ydx2 2dydx 3y= 2e4x(49)Como equeachamosumasoluc aoparticular?Eladevesertalque,ap osrealizarmos as derivadas e as simplicac oes, devemos obter 2e4x. Poderamostentar, lembrando do metodo de resolucao da equa cao diferencial homogenea,umasoluc aodotipoexponencial, ej aqueoresultadodeveser2e4x, umaexponencialdotipoyp= Ae4xondeAeumcoecienteaser determinado(por issoonomedometodo).Vamosaplicarasolucaotentativanaeuqa cao(49)41A.R.J.S.dypdx= 4Ae4x= 4ypd2ypdx2= 16Ae4x= 16ypd2ypdx2 2dydx 3yp= 16yp2(4yp) 3yp2e4x= 5yp2e4x= 5Ae4x5A = 2A =25Assimasoluc aoparticularyp=25e4xresolveaequacaodiferencial(49).Agoraconsidereaequac aodiferenciald2ydx2 2dydx 3y= 2e3x(50)que eidentica` aanterior,apenascomb(x)diferente. Jaquetivemossucessonocasoanterior,vamossuportambemqueyp= Ae3xsejaumasolu caoparticular. ParadeterminarA,fazemosdypdx= 3Ae3x= 3ypd2ypdx2= 9Ae3x=42A.R.J.S.d2ypdx2 2dydx 3y= 9yp2(3yp) 3yp2e3x= 0e3x= 0etemosumgrandeproblema. Aequacaoqueresultadasuposic aoacimaeimpossvel, easuposic aoefalsa, ouseja, aqueleypn aoeasolucaodaequac aodiferencial (50). Eagora? Porqueduasequacoesdiferenciaisquetemamesmaequac aohomogeneaassociada,que ed2ydx2 2dydx 3y= 0 (51)para umcaso temuma solu cao particular semelhante ao termo b(x) daequac aon ao-homogeneaeparaooutroistonaoacontece?Vamosresolveraequac aodiferencial homogenea4.18paraverseasolu caoesclarecenosssasd uvidas. Aequac aocaractersticadaequac aodiferencial(51) em22m3 = 0cujasrazess aom1= 3m2= 1queformamassoluc oese3xexasquais,porsuavez,formamasoluc aodahomogeneayh= c1e3x+ c2exAgoraparecequetemosumaluzsobreoproblema. Nasoluc aodaho-mogeneaapareceafunc aoe3x. Portanto, comoasoluc aogeral daequac ao43A.R.J.S.diferencial (50) deve ser formada por fun coes LI, na solucao particular yp n aopodemaparecerasmesmasfuncoesquefazemasolucaohomogenea, poisoconjunto das func oes n ao seria LI, e sim, LD. Na equacao (49), o conjunto defunc oes e {e3x, ex, e4x},que eLI.Naequac ao(50),eleseria {e3x, ex, e3x},queeclaramenteLD, eportanto, n aoepermitido. Porcausadisso, ene-cess ariosempreobter asoluc aodahomogeneaassociadaparaeliminar asfunc oesindesejadas.Ecomo resolvemos ent ao a euqa cao (50)? Lembrando o que ocorrequandotemosrazesrepetidas,podemostentarsuporasoluc aoparticularyp= Axe3xparaver sefunciona, jaque, aparentemente, m=3eumaraizrepetida.Ent ao,dypdx= 3Axe3x= Ae3x(3x + 1)d2ypdx2= 9Axe3x+ 6Ae3x= Ae3x(9x + 6)d2ypdx2 2dydx 3yp= Ae3x(9x + 6) 2Ae3x(3x + 1) 3Ax3x2e3x= Ae3x[9x + 6 6x 2 3x]2e3x= 4Ae3xA =24A =12eagorachegamosasoluc aoaceitavel,dadaporyp=12xe3xeasolucaogeraldaequac aodiferencial(50) e44A.R.J.S.y(x) = yh + yp= c1e3x+ c2ex+12xe3xEntendidoesteexemplo, vamosagoraaometodopropriamentedito, es-tabelecendoalgumasdeni coesnecess arias.Denicao3.6UmafuncaoCD(CoecientesaDeterminar)eumafuncaoqueseenquadranosseguintescasos:1. xn,ondeneuminteiropositivoounulo2. eax,ondea = 03. sin(bx + c),ondebecsaoconstantes,comb = 04. cos(bx + c)ondebecsaoconstantes,comb = 0ouainda, asomaouumprodutodeduasoumaisdas funcoesacima(naoumadivisao)Vejamosalgunsexemplos. Asfuncoese3xx7sin(4x 3) cos 12xs aoexemplosdefunc oesCD.Osprodutosx7e3xsin(4x 3) cos 12x x7cos 12xs aotambemfunc oesCD.Denicao3.7ConsidereumafuncaofCD.OconjuntoLIformadoporfeporsuasderivadassucessivas,desconsiderandoconstantesmultiplicativas,echamadoconjuntoCDdef,e erepresentadoporS.Porexemplosef(x) = x2temosf

(x) = 2x f

(x) = 2 fn(x) = 0, n 3eoconjuntoCDdef(x) eS= x2, x, 1pois desconsideramos as constantes multiplicativas. Vejamos outro exemplo.Sef(x) = cos 2x45A.R.J.S.temosf

(x) = 2 sin 2x f

(x) = 4 cos 2x f

(x) = 8 sin 2xAp osaderivadasegunda,asfun oescome camaserepetir. O unicocon-juntoLI eS= cos 2x, sin 2xAgora vamos ao metodo dos coecientes a determinar. Considere aequac aodiferencialn ao-homogeneacomcoecientesconstantes(47)aodnydxn+ a1dn1ydxn1+ . . . + an1dydx+ any= b(x)ondeb(x) eumacombinac aolinearb(x) = A1u1 + A2u2 + . . . + Anundasfunc oesui, ques aotodasCD, comcoecientesAi. Assumindoqueasoluc aodahomogeneayhassociadaj afoi obtida, asolucaoparticularypeencontradamedianteosseguintespassos:1. Paracadaumadasfunc oesCDui, u2, . . . , unacheorespectivoconjuntoCDS1, S2, . . . , Sn2. Depois de otidos os conjuntos CD, suponha que um deles, por exemploSi,estejacontidototalmenteemoutro,Sj. Entao,desonsidereoSi,ouseja,queapenascomosconjuntosmaisabrangentes.3. CompareosconjuntosSrestantescomasolucaodaequa caodiferen-cial homogeneayh. Sealgumdosconjuntos, digamosSk, tiverumoumaiselementosquepertencem`asolu caoyh, entaomultipliquecadaumdosele-mentosSkpelamenorpotenciadexquefacacomqueonovoconjuntoSkn aotenhamaisnenhumelementoquecomponhaasoluc aoyh. Repitaessaverica caocomcadaumdosconjuntosCD,umdecadavez.Vejamosalgunsexemplospasso-a-passo. Considereaequac aodiferenciald2ydx2 2dydx+ y= x2ex46A.R.J.S.Afuncaox2exeCD,eseuconjunto eS=_x2ex, xex, ex_Aequacaocaractersticadahomogeneaassociada em22m + 1 = 0quetemasrazesm1em2=1, easoluc aodahomogeneae, porcausadasrazesrepetidas,yh= c1ex+ c2xexPortanto, temos que passar pelo passo 3 do esquema acima, pois em S existemdois elementos que aparecem em yh, que sao exexex. Para resolver esta parte,multiplicamoscadaelementoseSporx2,j aquemultiplica-loapenasporxn aoadiantaria. OnovoconjuntoS

eS

=_x4ex, x3ex, x2ex_Agoraprecisamosfazeracombinac aolinearyp= Ax4ex+ Bx3ex+ Cx2exesubstituirestaequac aonaequacaodiferencialparaacharasconstantesA,BeC. Nestecasotemosdypdx= Aex_x4+ 4x3_d2ypdx2= +Bex_x3+ 6x2+ 6x_ + Cex_x2+ 4x + 2_Reunindoasexpress oesacimanaequac aodiferencial,obtemosd2ypdx2 dypdx+ yp= x2exx2ex= Aex_x4+ 8x3+ 12x2_ + Bex_x3+ 6x2+ 6x_ + Cex_x2+ 4x + 2_2_Aex_x4+ 4x3_ + Bex_x3+ 3x2_ + Cex_x2+ 2x__ + Ax4ex+ Bx3ex+ Cx2exou47A.R.J.S.x2ex= ex_x4(A 2A + A) + x3(8A + B 9A 2B + B) + x2(12A + 6B + C 6B 2C + C) + x (6B + 4C 4C) + 2C_ouaindax2ex= ex_12Ax2+ 6Bx + 2C_Ospolinomiosdevemseriguais,logo,12A = 1A =112B= 0, C= 0easolu caoparticularcayp=112x4exque,somandoasoluc aodahomogenea,forneceasoluc aogeraly(x) = yh + yp= yh= c1ex+ c2xex+112x4exVejamos mais um exemplo. A soluc ao da homogenea associada ` a equa caodiferenciald4dt4+d2xdt2= 3t2+ 4 sin t 2 cos tedadaporxh= c1 + c2t + c3 sin +c4 cos tOtermonao-homogeneoeb(t)=3t2+ 4 sin t 2 cos t, queeformadopelacombina caolineardasfunc oesCDt2sin t cos tOsconjuntosCDdestasfunc oess aoS1=_t2, t, 1_S2= {sin t, cos t} , S3= {cos t, sin t}48A.R.J.S.Agora, considerando o passo 2, vemos que os conjuntos S2e S3s aoidenticos,eent aodesconsideramosumdeles(S3)ecamoscomS1=_t2, t, 1_S2= {sin t, cos t}Asolucaodahomogeneatemasseguintesfun coes:t 1 sin t cos te torna-se necess ario que passemos pelo item 3. Cosiderando S1, vemos que te1aparecemnahomogenea. Portanto,precisamosmultiplicaroselementosdeS1port2,eonovoS

1ser aS

1=_t4, t3, t2_Quando a S2, tambem temos que corrigi-lo, pois func oes que est ao na solucaodahomogenea. Nestecaso, bastamultiplicaroselementosdeS2port, eonovoS

2ser aS

2= {t sin t, t cos t}Agoraformamosasoluc aoparticularxp= At4+ Bt3+ Ct2+ Dt sin t + Et cos teprecisamos coloca-lanaequacaodiferencial paraachar A, B, C, DeE.Calculandoaderivadaprimeira,temosdxpdt= 4At3+ 3Bt2+ 2Ct + Dsin t + Dt cos t + E cos t Et sin tAderivadasegunda ed2xpdt2= 12At2+6Bt+2C+Dcos t+Dcos tDt sin tE sin tE sin tEt cos toud2xpdt2= 12At2+ 6Bt + 2C + 2Dcos t Dt sin t 2E sin t Et cos tAderivadaterceiracad3xpdt3= 24At +6B2Dsin t Dsin t Dt cos t 2E cos t E cos t +Et sin t49A.R.J.S.oud3xpdt3= 24At + 6B 3Dsin t Dt cos t 3E cos t + Et sin tE,nalmente,aderivadaquarta ed4xpdt4= 24A 3Dcos t Dcos t + Dt sin t + 3E sin t E sin t + Et cos td4xpdt4= 24A 4Dcos t + Dt sin t + 4E sin t + Et cos tSubstituindotodasessasexpress oesnaequac aodiferencial,temosd4xdt4+d2xdt2= 3t2+ 4 sin t 2 cos tou3t2+ 4 sin t 2 cos t = 24A 4Dcos t + Dt sin t + 4E sin t +Et cos t + 12At2+ 6Bt + 2C + 2Dcos t Dt sin t 2E sin t Et cos touainda,3t2+ 4 sin t 2 cos t = 12At2+ 6Bt + (2C + 24A) + (4D + 2D) cos t +(E E) t cos t + (4E 2E) sin t + (D D) t sin te,porm,3t2+ 4 sin t 2 cos t = 12At2+ 6Bt + (2C + 24A) 2Dcos t + 2E sin t3t2+4 sin t2 cos t = 12At2= 12At2+6Bt+(2C + 24A)2Dcos t+2E sin teoscoecientess aodadosporB= 012A = 3 A =1450A.R.J.S.2C + 24A = 0C= 1214= 32D = 2D = 12E= 4E= 2Asolucaoparticularcaxp=14t43t3+ t sin t + 2t cos tque,combinadacomasoluc aodahomogeneaxh,resultanasoluc aogeralx(t) = c1 + c2t + c3 sin t + c4 cos t +14t43t3+ t sin t + 2t cos tVamosagoraaooutrometododeobtencaodesolu coesparticulares.3.4 MetododaVariacaodosParametrosEmboraometododoscoecientesadeterminarsejamuitosimples, eles ofuncionaparaasfunc oesb(x)quesejamCD.Paraaequacaod2ydx2+ y= tan xeste metodoj an aofunciona, porque b(x) =tan xn aoe umafun caoCD. Para resolver esta equa cao, precisamos do metodo da variac ao dospar ametros, que pode ser utilizado para achar solucoes particulares de equac oesdiferenciais com coecientes constantes ou n ao. Vamos demonstrar o metodoparaaequa caodiferencialnao-homogeneadeordem251A.R.J.S.ao(x)d2ydx2+ a1(x)dydx+ a2(x)y= b(x) (52)mas a ideia e absolutamente geral e pode ser aplicada para qualquer equac aodiferencial. A unica condic ao de aplicac ao do metodo de variacao dos par ametrosequeasoluc aohomogeneaassociada`aequac aodiferencial sejaconhecida,ouseja, precisamosconheceryhapriori, ecomissoencontraremosyp. Seaequa caodiferencial tivercoecientesconstantes, asoluc aodahomogeneaesimples, comoj afoi visto. Senao, temosqueusaralgumoutrometodoparaacharyh,eseisson aoforpossvel,n aopoderemosusaravariac aodospar ametros. Vamossuporqueconhecemosyhnestecaso,que edadaporyh= c1y1(x) + c2y2(x)lembrando sempre que y1(x) e y2(x) sao LI. Ometodo da variac ao dospar ametros consiste em substituir as constantes c1e c2pelas funcoes v1(x) ev2(x),paraformarumasoluc aoparticularnaformayp= v1(x)y1(x) + v2(x)y2(x)quesejasoluc aodaequac aodiferencialnao-homogenea. Comov1(x)ev2(x)esta`anossadisposic ao,constituempar ametrosquepodemsermodicados.Da onomedometodo. Alemdisso, temosduasincognitas(v1(x)ev2(x))eapenas umaequac ao, queeaequac aodiferencial (52). Podemos ent aoconsideraroutraequacao,desdequeelan aovioleaprimeira.Vamoscalcularaslinhasquerepresentamasderivadasdypdx= v1(x)y

1(x) + v

1(x)y1(x) + v2(x)y

2(x) + v

2(x)y2(x)Agoraimpomosaoutraequacao, demodoasimplicaraderivadaacima.Estacondic ao ev

1(x)y1(x) + v

2(x)y2(x) = 0Comela,aderivadacadypdx= v1(x)y

1(x) + v2(x)y

2(x)eaderivadasegundacad2ypdx2= v1(x)y

1(x) + v

1(x)y

1(x) + v2(x)y

2(x) + v

2(x)y

2(x)52A.R.J.S.Reunindotodasasexpress oesacimanaequacao(52),temosao(x)d2ypdx2+ a1(x)dypdx+ a2(x)yp= b(x)oua0(x)_v1(x)y

1(x) + v

1(x)y

1(x) + v2(x)y

2(x) + v

2(x)y

2(x)_ +a1(x)_v1(x)y

1(x) + v2(x)y

2(x) + v

2(x)y

2(x)_ + a2(x) [v1(x)y1(x) + v2(x)y2(x)] = b(x)ouainda,v1_a0(x)y

1(x) + a1(x)y

1(x) + a2(x)y1(x)_ + v2_a0(x)y

2(x) + a1(x)y

2(x) + a2(x)y2(x)_ +a0(x)_v

1(x)y

1(x) + v

2(x)y

2(x)_ = b(x)Comoy1(x)ey2(x)s aosolucoesdahomogenea, osdoisprimeiroscolchetesdaultimaexpress aoacimas aonulos,erestav

1(x)y

1(x) + v

2(x)y

2(x) =b(x)a0(x)Eentaotemosduasequacoesparaasduasincognitas, v1(x)ev2(x). Estasequac oessaov

1(x)y

1(x) + v

2(x)y

2(x) = 0v

1(x)y

1(x) + v

2(x)y

2(x) =b(x)a0(x)Que formamumsistemade equacoes que pode ser representadopor umprodutodematrizes_y1(x) y2(x)y

1(x) y

2(x)__v

1(x)v

2(x)_ =_0b(x)a0(x)_LembrandoqueoWronskianodey1(x)ey2(x) edadoporW (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y

1(x) y

2(x)aresoluc aodestesistemadeequa coes edadopor53A.R.J.S.v

1(x) =0 y2(x)b(x)a0(x)y

2(x)y1(x) y2(x)y

1(x) y

2(x)= b(x)y2(x)a0(x)W [y1(x), y2(x)]ev

2(x) =y1(x) 0y

1(x)b(x)a0(x)y1(x) y2(x)y

1(x) y

2(x)= b(x)y1(x)a0(x)W [y1(x), y2(x)]Agoraachamosasfuncoes1v1(x)ev2(x),poisv1(x) =_xv

1(t)dt = _xb(t)y2(t)a0(t)W [y1(t), y2(t)]dt (53)ev2(x) =_xv

2(t)dt =_xb(t)y1(t)a0(t)W [y1(t), y2(t)]dtComoexemplo, vamosresolveraequa caodiferencial do niciodessasecao,ouseja,d2ydx2+ y= tgxEstaequac aotemumahomogeneaassociadacujasolucao eyh= c1 sin x + c2 cos xPortanto,vamosassumirumasoluc aoparticularnaformayp= v1(x) sin x + v2(x) cos xCalculamosdypdx= v1(x)cosx + v

1(x) sin(x) + v

2(x) cos xeimpomosquev

1(x) sin x + v

2(x) cos x = 054A.R.J.S.demmodoquedypdx= v1(x) cos x v2(x) sin xDerivando-amaisdeuamvez,obtemosd2ypdx2= v1(x) sin+v

1(x) cos x v2(x) cos x v2(x)

sin xe,voltando`aequac aodiferencial,temosd2ypdx2+ yp= tgxouv1(x) sin x + v

1(x) cos x v2(x) cos x v

2(x) sin x+v1(x) sin x + v2(x) cos x = tgxouainda,v

1(x) cos x v

2 sin x = tgxOsistemadeequac oes ev

1(x) sin x + v

2(x) cos x = uv

1(x) cos x v

2(x) sin x = tgxOWronskianocaW (sin x, cos x) =sin x cos xcos x sin x = sin2x cos2x = 1etemosv

1(x) =0 cos xtan x sin xsin x cos xcos x sin x= cos x tan x1= sin xe55A.R.J.S.v

2(x) =sin x 0cos x tan xsin x cos xcos x sin x=sin x tan x1= sin xtgx = cos x sec xDevemosagoraintegrarosresultadosacimaparaencontrarv1(x)ev2(x).v1(x) =_xsin tdt = cos x + c3v2(x) =_x(cos t sec t)dt = sin x ln(sec x + tan x) + c4Voltando` aexpressaodeyp,temosyp= v1(x) sin x + v2(x) cos x= (cos x + c3) sin x + [sin x ln(sec x + tan x) + c4] cos x= cos x sin x + c3 sin x + sin x cos x cos x ln(sec x + tan x) + c4 cos xyp= c3 sin x + c4 cos x cos x ln(sec x + tan x)easolucaogeralcay(x) = yh + yp= c1 sin x + c2 cos x + c3 sin x + c4 cos x cos x ln(sec x + tan x)(c1 + c3) sin x + (c2 + c4) cos x cos x ln(sec x + tan x)y(x) = C1 sin x + C2 cos x cos x ln(sec x + tan x)Vejamosmaisumexemplo. Sejaaequac aodiferenciald3ydx3 6d2ydx2+ 11dydx 6y= ex56A.R.J.S.Asolucaodahomogenea edadaporyh= c1ex+ c2e2x+ c3e3xeentaoconsideramosumasoluc aoparticularnaformayp= v1(x)ex+ v2(x)e2x+ v3(x)e3xComotemostresinc ognitas,vamosprecisardeduascondic oesauxiliares,j aqueaterceiraequac ao eapropriaequac aodiferencial. Vamoscalculardypdx= v1(x)ex+ v

1(x)ex+ 2v2(x)e2x+ v

2e2x+ 3v3(x)e3x+ v

3(x)e3xAqui impomos a primeira condi cao. Queremos retirar as derivadas dos v(x),eentaoaprimeiracondic ao ev

1(x)ex+ v

2(x)e2x+ v

3(x)e3x= 0Comestacondi caoaderivadacadypdx= v1(x)ex+ 2v2(x)e2x+ 3v3(x)e3xAderivadasegundaresultaemd2ypdx2= v1(x)ex+ v

1(x)ex+ 4v2(x)e2x+ 2v

2(x)e2x+ 9v3(x)e3x+ 3v

3(x)e3xenovamentequeremoseliminarasderivadasdev(x). Asegundacondic aocav

1(x)ex+ 2v

2(x)e2x+ 3v

3(x)e3x= 0quereduzaderivadasegundaad2ypdx2= v1(x)ex+ 4v2(x)e2x+ 9v3(x)e3xAderivadaterceira ed3ypdx3= v1(x)ex+ v

1(x)ex+ 8v2(x)e2x+ 4v

2(x)e2x+ 27v3(x)e3x+ 9v

3(x)e3xeagorasubstituimosasderivadasnaequacaodiferencialinicial57A.R.J.S.d3ypdx3 6d2ypdx2+ 11dypdx 6yp= exouv1(x)ex+ 8v2(x)e2x+ 27v3(x)e3x+ v

1(x)ex+ 4v

2(x)e2x+9v

3(x)e3x6_v1(x)ex+ 4v2(x)e2x+ 9v3(x)e3x_+11_v1(x)ex+ 2v2(x)e2x+ 3v3(x)e3x_6_v1(x)ex+ v2(x)e2x+ v3(x)e3x_ = exouainda,v1(x)ex(1 6 + 11 6) + v2(x)e2x(8 24 + 22 6) + v3(x)e3x(27 54 + 33 6)+v

1(x)ex+ 4v

2(x)e2x+ 9v

3(x)e3x= exe,nalmente,v

1(x)ex+ 4v

2(x)e2x+ 9v

3(x)e3x= exTemosentaoosistemadeequac oesv

1(x)ex+ v

2(x)e2x+ v

3(x)e3x= 0v

1(x)ex+ 2v

2(x)e2x+ 3v

3(x)e3x= 0v

1(x)ex+ 4v

2(x)e2x+ 9v

3(x)e3x= exeasinc ognitassaov

1(x) =0 e2xe3x0 2e2x3e3xex4e2x9e3xexe2xe3xex2e2x3e3xex4e2x9e3x=1258A.R.J.S.v

2(x) =ex0 e3xex0 3e3xexex9e3xexe2xe3xex2e2x3e3xex4e2x9e3x= exev

3(x) =exe2x0ex2e2x0ex4e2xexexe2xe3xex2e2x3e3xex4e2x9e3x=12e2xAgora,achamosasfun coesv(x),atravesdev1(x) =_xv

1(t)dt =_x12dt =12x + c4v2(x) =_xv

2(t)dt =_xetdt = ex+ c5v3(x) =_xv

3(t)dt =_x12e2tdt = 14e2x+ c6Podemosdesconsiderarasconstantes, umavezqueelasseraoincorporadasnasconstantesdasoluc aohomogenea. Asoluc aoparticular eyp=12xex+ exe2x14e2xe3x=12xex+34exeasolucaogeral ey= yh + yp= c1ex+ c2e2x+ c3e3x12xex+34exouainda,y= c

1ex+ c2e2x+ c3e3x12xexcomoc

1= c1 +34.Embora o metodo tenha aqui sido demonstrado para equacoes diferenciaisdesegundaeterceiraordem,ele egeral,eoprocedimento eomesmo.59A.R.J.S.3.5 EquacoesdeCauchy-EulerDenicao3.8Aequacaodiferenciala0xndnydxn+ a1xn1dn1ydxn1+ . . . + an1xdydx+ any= b(x) (54)echamadaequacaodeCauchy-Euler. Notequeacaracterizamostermosxkdkydxkquenelaaparecemmultiplicadosporconstantesak.Comoexemplo,aequac ao2x2d2ydx2 3xdydx+ 4yeumaequac aodiferencialdeCauchy-Euler.Emboraaequa caodeCauchy-Eulersejaumaequac aocomcoecientesvari aveis, elaeumdoscasosemqueexisteummododeresoluc aoparaaobtenc aodesuasoluc ao. Essemodo eestabelecidopelosguinteteorema:Teorema3.3 Atransformacaox=et, sex>0, resuzaequacaodeCauchy-Euler(55)a0xndnydxn+ a1xn1dn1ydxn1+ . . . + an1xdydx+ any= b(x)a uma equacao diferencial linear com coecientes constantes. Quando x > 0,asubstituicaocorretaex = et.DemosntracaoVamosdemonstraroteoremaparaocasodaequac aodeCauchy-Eulerdesegundaordem,que ea0x2d2ydx2+ a1xdydx+ a2y= b(x) (55)Supondoquex > 0,temosx = etout = lnx. Ent ao,dydx=dydtdtdx=1xdydted2ydx2=ddx_dydx_ =ddx_1xdydt_ =1xddx_dydt_1x2dydt=1xdtdxddt_dydt_1x2dydt=1x2d2ydt2 1x2dydt=1x2_d2ydt2 dydt_60A.R.J.S.Substituindoestasduasexpress oesem(56),camoscoma0x2d2ydx2+ a1xdydx+ a2y= b(x)a0x21x2_d2ydt2 dydt_ + a1x1xdydt+ a2y= b(et)a0_d2ydt2 dydt_ + a1dydt+ a2y= b(et)a0d2ydt2 a0dydt+ a1dydt+ a2y= b(et)a0d2ydt2+ (a1a0)dydt+ a2y= b(et)A0d2ydt2+ A1dydtA2y= B(t)queeumaequac aodiferencial comcoecientesconstantes, ondeA0=a0,A1= a1a0,A2= a2eB(t) = b(et)Comoexemplo,consideremosaequac aodiferencialx2d2ydx2 3xdydx+ 4y= xSupondox > 0,fazemosx = et,edydx=1xdydtd2ydx2=1x2_d2ydt2 dydt_Substituindoestasexpressoesnaequacao,achamosx2d2ydx2 3xdydx+ 4y= xou61A.R.J.S.x21x2_d2ydt2 dydx_3x1xdydt+ 4y= et_d2ydt2 dydx_3dydt+ 4y= etd2ydt2 dydx 3dydt+ 4y= etd2ydt2 4dydx+ 4y= etque e uma equac ao com coecientes constantes que pode ser resolvida atravesdosmetodosestudados. Ahomogenea ed2ydt2 4dydx+ 4y= etquetemumaequac aocaractersticam24m + 4 = 0cujasrazessaom1=2, m2=2, ques aorepetidas. Entao, asoluc aodahomogenea eyh= c1e2t+ c2te2teasolucaoparticularpodeserobtidapelometododoscoecientesadeter-minar,poisb(t) = eteumafunc aoCD.OseuconjuntoCD eS= etquen aocontemnenhumafuncaoqueaparecenahomogenea. Portanto, asoluc aoparticulartemaformayp= Aetedypdt= Aet62A.R.J.S.d2ypdt2= Aetque,substituindasnaequac aodiferencial,resultamemd2ydt2 4dydt+ 4y= etAet4Aet+ 4Aet= etAet= etA = 1Assim,asolucaoparticularcayp= eteasolu caogeral ey(t) = yh + yp= c1e2t+ c2te2t+ etAgoraretornamos` avari avelx,poisx = et. Assim,y(x) = c1x2+ c2x2ln x + x4 Equac oesDiferenciaisOrdinariasLinearesdeOrdemSuperior: TecnicasAvancadas4.1 AlgunsConceitosFundamentaisdeSeriesDenicao 4.1 Uma serie ou sequencia e um conjunto de elementos dispostosnumacertaordem, queeimportante. Doisconjuntosdemesmoselementosdispostosdeformadiferentedaoorigemaduasseriesdistintas.Comoexemplo,oselementosdomingo,segunda,terca,quarta,quinta,sexta,sabadoformamumaseriequeconhecemoscomoumasemana. Jaoselementosse-gunda,sexta,quinta,sabado,quarta,terca,domingos ao uma serie, mas naoumasemana.63A.R.J.S.Onossointeresseprincipal estaemseriesentendidasdopontodevistamatem atico. Nestecaso,teremos:Denicao4.2 Quando os elementos de uma serie sao n umeros,temos umaserien umerica. Umaserienumericaerepresentadaporn=nf

n=n0an(56)ondeosansaooselementosdaserie(quepodemserfuncoesden)en eumn umerointeiro,chamado ndicedaserie,quevariadesden0atenf,tambeminteiros. Aformaexplcitadeanechamadadeleideformacaodaserie.Comoexemplo,aserie1, 2, 3, 4, 5, 6, 7podeserrepresentadaporn=7

n=1n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7Aqui,oselementosans aodadosporan= n,eniniciavalendon = 1,passaporn = 2, 3, 4, 5, 6eterminaemn = 7,oquereproduzaserieinicial. Aleideformac aodestaserie ean= nAserie1, 4, 9, 16, 25erepresentadaporn=5

n=1n2= 1, 4, 9, 16, 25enestecaso,temosan= n2. Aleideformac aodaserie ean= n2Aserie1, 2, 3, 4, 5, 6temumaleideformac ao64A.R.J.S.an= (1)n1neelecan=6

n=1(1)n1n = 1, 2, 3, 4, 5, 6Denicao 4.3Quando os elementos de uma serie sao potencias de variaveis,temosumaseriedepotencias. Nestecaso,aserieerepresentadaporn=nf

n=n0anxn=n=nf

n=n0bnonde ane bntambem possui uma lei de formacao. Aqui consideramos apenasumavariavel (x),masaseriepodetermaisdeuma.Porexemplo,aseriedepotenciasemxx, 2x2, 3x3, 4x4erepresentadaporn=4

n=1nxn= x, 2x2, 3x3, 4x4ealeideformac ao ean= n, bn= nxnAseriedepotenciasemt1, t2, t4, t6, t8temarepresentac aon=4

n=0(1)nt2n= 1, t2, t4, t6, t8ealeideformac ao ean= (1)n, bn= (1)nx2nDenicao4.4 Asomadeumaserieeasomadoselementosdestaserie.Elaerepresentadapor65A.R.J.S.n=nf

n=n0an= an0 + an0+1 + . . . + anfseforumaserienumerica,eporn=nf

n=n0anxn= an0xn0+ an0+1xn0+1+ . . . + anfxnfseforumaseriedepotencias. Arepresentacaodeumaserieedesuasomaeamesma. Ocontextoequedeniqual estaemquestao.Comoexemplo,asomadaserien=7

n=1n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7en=7

n=1n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 31eadaserien=4

n=1nxn= x, 2x2, 3x3, 4x4e

n = 1n=4nxn= x + 2x2+ 3x3+ 4x4Algumas series possuem somas especiais. A de maior relev ancia do pontodevistadaFisca easeguinte:Denicao 4.5 A serie de Taylor de uma funcao f(x) em torno de um pontox = x0easomadoselementosdaseriedepotenciasdenidapor

n=01n!dnf(x)dxnx0(x x0)n= f(x0) + (x x0)df(x)dxx0+12(x x0)2d2f(x)dx2x0+ . . .onde66A.R.J.S.dnf(x)dxnx0representa a derivada n-esima de f(x) aplicada no ponto x0,e n! = n(n1) (n2) . . . 321 eofatorialden. Seaserie6.3convergir,entaoelaseraigual `apropriafuncaof(x),ouseja,f(x) =

n=01n!dnf(x)dxnx0(x x0)n= f(x0) + (x x0)df(x)dxx0+12(x x0)2d2f(x)dx2x0+ . . .e a expressao acima e chamada expansao da funcao f(x) em serie de Tayloremtornodopontox0.Paraesclareceresteconceito,vejamosalgunsexemplos. Primeiro,consi-dereafunc aof(x)=ex. Vamosexpandi-laemtornodopontox0=0, ouseja,queremosacharex=

n=01n!dndxn(ex)0(x 0)n=

n=0anque e a serie de Taylor de f(x) = ex. O primeiro termo corresponde a n = 0,ouseja,a0=10!x0e0= 1Osegundo,quetemn = 1, ea1=11!x1_ddx(ex)_0= x(ex)0= xOterceirotemn = 2ecaa2=12!x2_d2dx2(ex)_0=12x2(ex)0=12x2eassimsucessivamente. On-esimotermo ean=1n!xn_dndxn(ex)_0=1n!xn(ex)0=1n!xn67A.R.J.S.easeriedeTaylorcaex=

n=01n!xn= 1 + x +12x2+13!x3+ . . . +1n!xn+ . . .Assim, afunc aoexpodeseraproximadaporumaseriedeTaylor, dadaacima. Sequisermosumaaproxima caoatesegundaordem,faremosex 1 + x +12x2queeboasomentesex