Erik Bjerre og Pernille Pind

Lærerveiledning til

Les selv om

matematikkens spennende verden

Oversatt og tilrettelagt for norske forhold av

Kari Haukås Lunde og Olav Lunde

Info Vest Forlag, 2011

Om de fem heftene i boks 1

(med løsningsforslag)

Målgruppe:

4.-7. årstrinn

Heftene i boks 1 kan også brukes i spesialpedagogisk

sammenheng på ungdomstrinnet og i videregående skole.

Formål:

Formålet med “Les selv om matematikkens spennende verden” er å gi en

annerledes og supplerende innfallsvinkel til matematikkundervisningen.

Med “Les selv-heftene” vil elevene oppleve at

Matematikken kan leses og være noe annet enn oppgaveløsninger og

matematiske undersøkelser

De selv kan sette seg inn i nytt matematikkstoff

Matematikken inngår i sammenhenger med historie og samfunn

Med “Les selv-heftene” vil læreren

Få et alternativ til oppgaveark

Gi elevene nye utfordringer – og hvor det faglige er sentralt

Få materiale til verkstedsaktiviteter

Kunne gi nye bidrag til tverrfaglig samarbeid

Matematikk kan leses

For de aller fleste menneskene er matematikk det samme som å løse matematiske

oppgaver. I de senere årene er dette blitt supplert med matematiske

undersøkelser, hvor elevene selv definerer undersøkelsesområdene og selv

utfører slike undersøkelser. Oppgaver og undersøkelser er en viktig del av det å

arbeide med matematikk, men det gir ikke et helt bilde av matematikken.

Matematikk er også kunnskap som kan leses, og denne kunnskapen kan være

viktig for forståelsen og er ofte spennende.

Dette kan elevene oppleve med “Les selv-heftene”:

Eleven kan selv sette seg inn i ny matematikk

De fleste elevene vet godt at hvis de vil vite mer om Titanics forlis eller H. C.

Andersens liv enn det læreren har fortalt, kan de selv finne fram til det. En av

måtene å gjøre det på, er å låne bøker om emnet. Men det er veldig få elever

som tenker på at de selv kan finne fram til mer matematisk viten enn den læreren

har gitt dem. Matematikken er typisk gjennomtygget av læreren først. “Les selv-

heftene” er et skritt i retning av å gi elevene følelsen av at de selv kan sette seg

inn i matematikk – uten hjelp av læreren!

Matematikk i sammenheng

Matematikkundervisningen i skolen er ofte uten noen kontekst og fylles av rene

talloppgaver eller rene geometrioppgaver. I de siste årene er det heldigvis blitt

større fokus på bruken av matematikk i hverdagen, i arbeidslivet og i samfunnet

generelt. “Les selv heftene” følger denne tendensen. I materialet er det fokus på

andre sammenhenger enn de rent bruksorienterte, nemlig historiske, kulturelle

eller personlige sammenhenger. Vi kan kalle dette for deler av den matematiske

kulturarven med små historier og fakta som er felles bakgrunnskunnskap for en

stor gruppe matematikere. Flere av historiene beskriver også startskuddet til et

nytt område innen matematikken. For eksempel var Eulers løsning på problemet

med de sju bruene starten på grafteori1 (heftet “De sju bruene”), og diskusjonen

mellom Laplace og d’Alambert var med på å etablere sannsynlighetsteori som

matematisk gren (heftet “Mynt og krone”).

Elevene klarer seg selv

Det er viktig at elevene selv skal kunne lese heftene. De er ikke tenkt som lekser

eller som del av et pensum. Elevene skal ikke “høres” i emnet, og de skal ikke få

rettet de oppgavene som finnes bak i heftene. Elevene skal selv hente

løsningsforslag (finnes i denne veiledningen, og kan kopieres fritt), og rette

oppgavene selv. Det skal være elevens frie valg om han eller hun vil løse

oppgavene eller om de bare vil lese dem og så se på løsningene.

1 Grafteori er en gren i matematikk og informatikk der man studerer egenskapene til grafer. Grafer

er matematiske strukturer som brukes til å lage modeller for parvise relasjoner mellom objekter. I informatikken regnes graf som en abstrakt datastruktur, en teoretisk struktur som kan implementeres på ulike måter. Studier av algoritmer som behandler grafer er en viktig disiplin med mange praktiske anvendelser. I dag er dette i stor grad knyttet mot moderne datateknikk, men slike algoritmer var også utviklet før den digitale tidsalderen. Grafer og behandling av grafer er viktige verktøy i mange hverdagslige problemstillinger som f.eks. ruteplanlegging, datanettverk og design av mikrobrikker. (Wikipedia)

Bruksmuligheter

Et alternativ til ekstra oppgaveark

for elever som ønsker utfordringer. Heftene skal ligge framme i klasserommet, og

når en elev er ferdig med dagens arbeidsoppgaver, kan han eller hun ta et hefte

fra “Les selv”.

En pause fra dagens oppgaver

Heftene kan være en mulighet for elever som er blitt trøtte av den daglige rutine

med arbeidsoppgaver. Kanskje svikter konsentrasjonen i forhold til mengden av

oppgaver i matematikkboken. “Les selv-heftene” kan være et “friminutt” hvor

elevene får ny energi – samtidig som det faglige er i orden!

En verkstedsaktivitet med individuell fordypelse

Sammen med andre faglige bøker, kan “Les selv-heftene” være en av stasjonene i

en stasjonsorientert undervisning. Stasjonsundervisning i matematikk har en

tendens til å få en overvekt av arbeidsoppgaver som krever samarbeid,

kommunikasjon og fingerferdighet. Et verksted med faglig frilesing kan utnytte og

stimulere ferdigheter som konsentrasjon, fordypelse og selvstendig tilegnelse av

kunnskap.

Faglig samarbeid

“Les selv”-konseptet er hentet fra samme didaktiske tenking som en finner i

norskfaget. Der inngår også lesing av fagstoff som del av undervisingen. De

enkelte heftene kan også inngå i temaer i for eksempel historie og samfunnsfag.

De enkelte heftene

1. Mynt og krone

Ideen Å få oppleve og erfare at sannsynlighet er noe vi gjerne kan regne ut

Matematiske forutsetninger

Innledende sannsynlighet: kunne telle antall muligheter. Begrepet dobbelt. Begrepet ca.

2. Når VI er et tall

Ideen Å få oppleve et annet tallsystem enn vårt eget. Det bygger i tillegg på et helt annet matematisk prinsipp.

Matematiske forutsetninger

Leseretningen. Addisjon. Subtraksjon. Multiplikasjon med 10. Halvdel av 10-er potenser. Hele tall fra 1 til f. eks. 2010.

3. Tegne stjerner

Ideen Å gjøre oppmerksom på den symbolverdien som ligger i mye av geometrien. Å knytte matematikken til disse symbolene.

Matematiske forutsetninger

Sirkler. Trekanter. Firkanter. Strek / linje mellom to punkter.

4. De sju bruene

Ideen Det klassiske problemet med å tegne figurer i en strek blir her presentert knyttet til en historie. Det blir presentert en løsning som er forbløffende enkel!

Matematiske forutsetninger

Partall og oddetall.

5. Tankeleseren

Ideen Å få en opplevelse av at matematikk kan forklare det som tilsynelatende kan være tankelesning.

Matematiske forutsetninger

Addisjon. Subtraksjon. Siffer.

“Gammeldags” loddrett oppstilling av addisjons- og subtraksjonsalgoritmene. Tallområdet hele tall 1 – 987.

Løsningsforslag til oppgavene

1. Mynt og krone Oppgave 1

Ja, det passer med Laplaces teori.

Mette får 1 mynt og 1 krone ca. dobbelt så mange ganger som både 2 mynt og 2

krone.

Hvis det skulle vært helt nøyaktig, hadde hun fått 25 kast med 2 mynt, 50 kast

med 1 mynt og 1 krone og 25 kast med 2 kroner. Men når vi kaster med mynter

eller terninger, kan vi ikke regne med å få helt nøyaktig det teorien sier.

Oppgave 2

Mette har rett.

Vi kan f. eks. få 7 på mange flere måter enn vi kan få 2:

1+6=7, 2+5=7, 3+4=7, 4+3=7, 5+2=7, 6+1=7, men bare 1+1=2.

Det er faktisk 7 som er det beste tallet å satse på fordi det kan vi få på flest mulige

kombinasjoner. Vi kan få 7 på seks ulike måter (se ovenfor), men vi kan bare få 6

eller 8 på fem forskjellige måter:

1+5=6, 2+4=6, 4+2=6, 5+1=6

2+6=8, 3+5=8, 4+4=8, 5+3=8, 6+2=8 (1+7 og 7+1 fungerer ikke, da vi jo ikke kan slå

en 7-er!)

Tallene 3, 4, 5, 9, 10, 11 og 12 får vi bare på enda færre måter.

2. Når IV er et tall

Oppgave 1

Huset er fra 1786.

Oppgave 2

999 kan for eksempel skrives på følgende måter når vi trekker fra:

CMXCIX

IM

Hvis vi ikke vil trekke fra, må vi skrive slik:

DCCCCLXXXXVIIII

Oppgave 3

Du kan kanskje finne fødselsåret ditt i løsningen til oppgave 4.

Oppgave 4

3. Tegne stjerner

Oppgave 1

Det er to forskjellige sju-taggede stjerner som vi kan tegne med en strek:

Hoppe over 1 prikk Hoppe over 2 prikker

Oppgave 2

Åtte-tagget stjerne tegnet av to firkanter

Oppgave 3

Ni-tagget stjerne tegnet av tre trekanter

4. De sju bruene

Oppgave 1

Antall streker til hvert punkt skal være et partall.

Da kan en følge en strek bort fra punktet og en annen tilbake til

punktet.

En meget enkel løsning er denne hvor det er to streker til hvert punkt.

Hvis du vil ha noen flere streker, kan du godt lage det.

Her er f. eks. en løsning hvor det er seks streker til to av

punktene og fire streker til det tredje punktet.

Oppgave 2

Antall linjer til minst ett av punktene må være et oddetall.

Her er et eksempel hvor det ikke er mulig å gå en tur som tilfredsstiller kravene.

Her er det tre streker til to av punktene og to streker til det tredje punktet.

Oppgave 3

Ja!

Hvis vi for eksempel starter i det øverste punktet, kan vi følge alle tre strekene og

og slutte i det nederste punktet.

5. Tankeleseren

Oppgave 1

235 speilvendes til 532. Da 235 er mindre enn 532, skal vi regne 532 minus 235:

532

- 235

= 297

Så skal 297 speilvendes til 792 og 297 og 792 skal legges sammen:

297

+ 792

= 1089

Oppgave 2

Når vi speilvender 610 er det viktig å huske 0-en. Det første regnestykket blir slik:

610

- 016

= 594

Pass på at du ikke regner slik: 610 speilvendes til – 160!

Og deretter gjør du som før:

594

+ 495

= 1089

Oppgave 3

746

- 647

= 99

Her dukker det egentlig opp en null som vi må huske på!

Den korrekte fortsettelsen av regnestykket blir da:

099

+ 990

= 1089

Oppgave 4

Når 151 blir speilvendt, blir det jo det samme tallet. Og når vi trekker to like tall

fra hverandre, blir det ikke noe tilbake. - Slutt på det regnestykket!

Men hva blir det hvis de like tallene står ved siden av hverandre, f.eks. 115?

511

- 115

= 396

396

+ 693

= 1089

Dette gikk jo bra! Men trikset er nok lettere å forklare hvis vi holder fast på

regelen om at alle tallene skal være forskjellige.

Om de seks heftene i boks 2

(Løsningsforslag i heftene)

Målgruppe

Ungdomstrinnet og videregående skole.

Formålet

med disse seks heftene er å gi mulighet for å lese om

interessante matematiske emner uten å bruke

avansert matematikk og i et lett språk med færrest mulig matematiske begreper.

Med “Les selv-heftene” vil elevene oppleve at

Matematikken kan leses og være noe annet enn oppgaver

De selv kan sette seg inn i nytt matematikkstoff

Matematikken inngår i sammenhenger med historie og samfunn

Med “Les selv-heftene” vil læreren

Få mulighet til å gi interesserte elever nye utfordringer – et godt alternativ

til flere oppgaveark

Få materiale til verkstedsaktiviteter

Kunne gi nye bidrag til tverrfaglig samarbeid

Matematikk kan leses

For de aller fleste menneskene er matematikk det samme som å løse matematiske

oppgaver. I de senere årene er dette blitt supplert med matematiske

undersøkelser, hvor elevene selv definerer undersøkelsesområdene og

matematikkprosjekter hvor elevene selv utfører slike undersøkelser.

Oppgaver, undersøkelser og prosjekter er en viktig del av det å arbeide med

matematikk, men det gir ikke et helt bilde av matematikken.

Matematikk er også kunnskap som kan leses, og denne kunnskapen kan være

viktig for forståelsen og er ofte spennende.

Dette kan elevene oppleve med “Les selv-heftene”:

Eleven kan selv sette seg inn i ny matematikk

De fleste elevene vet godt at hvis de vil vite mer om Titanics forlis eller H. C.

Andersens liv enn det læreren har fortalt, kan de selv finne fram til det. Og en av

måtene å gjøre det på, er å låne bøker om emnet. Men det er veldig få elever

som tenker på at de selv kan finne fram til mer matematisk viten enn den læreren

har gitt dem. Matematikken er typisk gjennomtygget av læreren først. “Les selv-

heftene” er et skritt i retning av å gi elevene følelsen av at de selv kan sette seg

inn i matematikk – uten hjelp av læreren!

Matematikk i sammenheng

Matematikkundervisningen i skolen er ofte uten noen kontekst og fylles av rene

talloppgaver eller rene geometrioppgaver. I de siste årene er det heldigvis blitt

større fokus på bruken av matematikk i hverdagen, i arbeidslivet og i samfunnet

generelt. “Les selv heftene” følger denne tendensen.

I materialet er det fokus på andre sammenhenger enn de rent bruksorienterte,

nemlig historiske, kulturelle eller personlige sammenhenger. Vi kan kalle dette for

deler av den matematiske kulturarven med små historier og fakta som er felles

bakgrunnskunnskap for en stor gruppe matematikere.

Elevene klarer seg selv

Det er viktig at elevene selv skal kunne lese heftene. De er ikke tenkt som lekser

eller som del av et pensum. Elevene skal ikke “høres” i emnene, og de skal ikke få

rettet de oppgavene som finnes bak i heftene. Elevene kan selv se på

løsningsforslagene som står bakerst i hvert hefte, og rette svarene selv. Det skal

være elevens frie valg om han eller hun vil løse oppgavene, eller om de bare vil

lese dem og så se på løsningene som står bakerst i hvert hefte.

Bruksmuligheter

Et alternativ til ekstra oppgaveark

for elever som ønsker utfordringer. Heftene skal ligge framme i klasserommet og

når en elev er ferdig med dagens arbeidsoppgaver, kan han eller hun ta et hefte

fra “Les selv”. Alternativt kan læreren henvise eleven til biblioteket hvor “Les

selv-heftene” står.

En pause fra dagens oppgaver

Heftene kan være en mulighet for elever som er blitt trøtte av den daglige rutine

med arbeidsoppgaver. Kanskje svikter konsentrasjonen i forhold til mengden av

oppgaver i matematikkboken. “Les selv-heftene” kan være et “friminutt” hvor

elevene får ny energi – samtidig som det faglige er i orden!

En verkstedsaktivitet med individuelle fordypelse

Sammen med andre faglige bøker, kan “Les selv-heftene” være en av stasjonene i

en stasjonsorientert undervisning. Stasjonsundervisning i matematikk har en

tendens til å få en overvekt av arbeidsoppgaver som krever samarbeid,

kommunikasjon og fingerferdighet. Et verksted med faglig frilesing kan utnytte og

stimulere ferdigheter som konsentrasjon, fordypelse og selvstendig tilegnelse av

kunnskap.

Faglig samarbeid

“Les selv”-konseptet er hentet fra samme didaktiske tenking som en finner i

norskfaget. Der inngår også lesing av fagstoff som del av undervisningen. De

enkelte heftene kan også inngå i temaer i for eksempel de naturvitenskapelige

fagene, historie, samfunnsfag og norsk.

De enkelte heftene

6 Les selv om MÅL

Ideen Å stifte bekjentskap med mål som ikke er basert på 10-talls systemet (gamle norske mål og nåværende amerikanske mål). På den måten kan elevene se fordelene i metersystemet.

Matematiske forutsetninger

Tverrfaglig samarbeid med

Desimaltall og potenser

Norsk, historie, natur og teknikk, geografi

7 Les selv om KART

Ideen Å stifte bekjentskap med det fundamentale problemet at jorden er en kule, mens kartene er flate. Fokus på hvordan matematikken kan hjelpe til med å håndtere dette problemet.

Matematiske forutsetninger

Tverrfaglig samarbeid med

Kule, sylinder, vinkelmål i grader, omkretsen av sirkel

Natur og teknikk, geografi, fysikk

8. Les selv om LABYRINTER

Ideen Å gjøre oppmerksom på geometrien i forskjellige labyrinter

Matematiske forutsetninger

Tverrfaglig samarbeid med

Sirkelbue, kvadrat, rektangel

Historie, religion, livssyn og etikk.

9. Les selv om KORTTRIKS

Ideen Å få en opplevelse av at matematikken kan forklare noe som mange betrakter som magi.

Matematiske forutsetninger

Tverrfaglig samarbeid med

Parenteser, bruk av bokstaver i regneuttrykk. Begrepet “annenhver”.

Ingen

10. Les selv om LOGIKK

Ideen Er Morlille virkelig en stein? Hvordan logikk kan brukes og misbrukes.

Matematiske forutsetninger

Tverrfaglig samarbeid med

Ingen

Norsk, historie

11. Les selv om UENDELIGHET

Ideen Å få en første opplevelse av hva uendelighet er, og forsøk på å regne med uendelighet!

Matematiske forutsetninger

Tverrfaglig samarbeid med

Kjennskap til de naturlige tallene og brøkene (de rasjonelle tallene). Tabellene.

Norsk.