lavag 1 trigonometrija -...

Glava 1

Trigonometrija

1.1 Teorijski uvod

Neka su u ravni Oxy dati krug k = {(x, y) ∈ R×R : x2+y2 = 1} i pravap = {(x, y) ∈ R ×R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravojp, kao brojevnoj pravoj, tako da broju t odgovara taqka (1, t) (videti sliku1.1).

Slika 1.1:

1

2 1.1. Teorijski uvod

Namotajmo (bez isteza�a ili skupa�a) pravu p oko kruga k na slede�inaqin (videti sliku 1.2):

Taqka (1, 0) ostaje fiksirana. Polupravu qiji je poqetak taqka (1, 0)i qija je jedna taqka, taqka (1, 1) namotajmo u pozitivnom smeru (smerusuprotnom od kreta�a kazake na satu). Polupravu qiji je poqetak taqka(1, 0) i qija je jedna taqka, taqka (1,−1) namotajmo u negativnom smeru(smeru kreta�a kazake na satu).

Prethodnim postupkom (namotava�em prave p oko kruga k) smo svakomrealnom broju t pridru�ili taqno jednu taqku kruga k, taqku E(t). Ap-scisa taqke E(t) je kosinus realnog broja t (oznaqava se sa cos t). Ordinatataqke E(t) je sinus realnog broja t (oznaqava se sa sin t) (videti sliku 1.3).

Slika 1.2: Slika 1.3:

Navedimo neka svojstva funkcija sinus i kosinus.

1) Domen funkcija kosinus i sinus jeste R.

2) Za svaki realan broj t va�i −1 6 cos t 6 1 i −1 6 sin t 6 1.

3) Funkcije kosinus i sinus su 2π periodiqne.

4) Za svaki realan broj t va�i cos2 t+ sin2 t = 1.

5) Funkcija kosinus je parna tj. za svako t ∈ R va�i cos (−t) = cos t.Funkcija sinus je neparna tj. za svako t ∈ R va�i sin (−t) = − sin t.

1. Trigonometrija 3

6) Skup nula kosinusa jeste skup{π2+ kπ : k ∈ Z

}. Skup nula sinusa

jeste skup {kπ : k ∈ Z}.

7) Za svako t1, t2 ∈ R va�i:

cos (t1 + t2) = cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2

sin (t1 + t2) = sin t1 cos t2 + cos t1 sin t2.

Grafici funkcija kosinus i sinus su prikazani na slikama 1.4 i 1.5.

Slika 1.4:

Slika 1.5:


Koliqnik sinusa i kosinusa realnog broja t (u sluqaju kada je defini-san) se naziva tangens realnog broja t (oznaqava se sa tg t).

Koliqnik kosinusa i sinusa realnog broja t (u sluqaju kada je defini-san) se naziva kotangens realnog broja t (oznaqava se sa ctg t).

Navedimo neka svojstva funkcija tangens i kotangens.

1) Domen funkcije tangens jeste R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}a domen funkcije

kotangens jeste R\ {kπ : k ∈ Z}.

2) Funkcije tangens i kotangens su π periodiqne.

3) Skup nula tangensa jeste skup {kπ : k ∈ Z}. Skup nula kotangensa

jeste skup{π2+ kπ : k ∈ Z

}.

Grafici funkcija tangens i kotangens su prikazani na slikama 1.6 i1.7.

Slika 1.6:

1. Trigonometrija 5

Slika 1.7:

Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens nisu bijekcije na svomdomenu∗. Me�utim, ako restrikujemo domen i kodomen onda su funkcije:

cos : [0, π]→ [−1, 1],

sin :[−π2,π

2

]→ [−1, 1],

tg :(−π2,π

2

)→ R,

ctg : (0, π)→ R,

bijekcije. Otuda date funkcije imaju inverzne funkcije (arkus kosinus,arkus sinus, arkus tangens, arkus kotangens):

arccos : [−1, 1]→ [0, π],

arcsin : [−1, 1]→[−π2,π

2

],

arctg : R→(−π2,π

2

),

∗za kodomen uzimamo skup R


arcctg : R→ (0, π).

Grafici funkcija arkus kosinus, arkus sinus, arkus tangens, arkus kotan-gens su prikazani na slikama 1.8, 1.9, 1.10 i 1.11.

Slika 1.8: Slika 1.9:

Slika 1.10:

1. Trigonometrija 7

Slika 1.11:

1.2 Rexeni zadaci

Vrednosti trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih

funkcija. Trigonometrijski identiteti

1.2.1. Izraqunati:

a) sinπ

2;

b) cos 7π;

v) cosπ

4;

g) sin7π

6.

Rexe�e.

a) Kako je du�ina qetvrtine kruga k† jednakaπ

2sledi da je E

(π2

)=

(0, 1) odnosno sinπ

2= 1;

b) Kako je du�ina kruga k jednaka 2π sledi da je E(7π) = E(3 ·2π+π) =E(π) = (−1, 0) odnosno cos 7π = −1;

v) Da bismo odredili cosπ

4potrebno je odrediti koordinate taqke M ,

M = E(π4

)(videti sliku ??). Neka je O = O(0, 0) i I = I(1, 0).

Kako je du�ina pozitivno orijentisanog luka IM jednakaπ

4sledi

da je ]IOM = 45◦. Neka su A i B normalne projekcije taqke M nakoordinatne ose Ox i Oy. Trougao OAM je pravougli jednakokrakitrougao. Du�ina osnovice OM trougla OAM je jednaka 1. Otuda

†Pogledati Teorijski uvod.

8 1.2. Rexeni zadaci

je du�ina krakova OA i OB trougla OAM jednaka1√2. Konaqno

E(π4

)=

(1√2,1√2

), odnosno cos

π

4=

1√2;

g) Da bismo odredili sin7π

6potrebno je odrediti ordinatu taqke M ,

M = E

(7π

6

)(videti sliku ??). Neka je O = O(0, 0) i J = J(−1, 0).

Kako je du�ina pozitivno orijentisanog luka JM jednakaπ

6sledi

da je ]JOM = 30◦. Neka je N taqka simetriqna taqki M u odnosuna Ox osu. Trougao NOM je jednakostraniqni, pri qemu je du�ina�egove stranice jednaka 1. Neka je B normalna projekcija taqkeM nakoordinatnu osu Oy. Du�ina du�i OB je jednaka polovini du�ine

stranice trougla NOM . tj. jednaka je1

2. Otuda je sin

7π

6= −1

2.

4

1.2.2. Da li postoji realan broj t takav da je:

a) cos t =4

5i sin t = −3

5;

b) cos t =1

3i sin t =

2

3?

Rexe�e.

a) Neka je x =4

5i y = −3

5. Tada je x2 + y2 =

(4

5

)2

+

(−3

5

)2

= 1. Na

osnovu definicije preslikava�a E za svako (x, y) takvo da je x2+y2 =1 postoji t ∈ R takvo da je cos t = x i sin t = y. Otuda postoji realan

broj t takav da je cos t =4

5i sin t = −3

5;

b) Pretpostavimo da postoji t ∈ R takvo da je cos t =1

3i sin t =

2

3.

Tada je cos2 t + sin2 t =

(1

3

)2

+

(2

3

)2

=5

9, xto je u suprotnosti sa

identitetom cos2 t + sin2 t = 1 koji va�i za svako t ∈ R. Dakle ne

postoji realan broj t takav da je cos t =1

3i sin t =

2

3.

4

1.2.3. Xta je ve�e:

a) cos 1 ili cos 2;

b) sin 3 ili sin 1;

1. Trigonometrija 9

v) sin 1 ili cos 1;

g) cos 4 ili sin 3 ?

Rexe�e.

a) Kako je cos 1 > 0, a cos 2 < 0 (videti sliku ??) sledi da je cos 1 > cos 2;

b) Kako je sin 3 < sin3π

4, sin

3π

4= sin

π

4i sin

π

4< sin 1, sledi da je

sin 3 < sin 1;

v) Kako je sin 1 > sinπ

4=

1√2i cos 1 < cos

π

4=

1√2, sledi da je sin 1 >

cos 1;

g) Kako je cos 4 < 0 i sin 3 > 0, sledi da je sin 3 > cos 4.

4

1.2.4. Ako je cosα = −40

41i α ∈

(π,

3π

2

)odrediti sinα, tgα i ctgα.

Rexe�e. Kako je poznata vrednost cosα, vrednost sinα mo�emo odreditiiz identiteta sin2 α+ cos2 α = 1. Naime,

sin2 α = 1− cos2 α = 1−(−40

41

)2

=

(9

41

)2

.

Otuda je sinα =9

41ili sinα = − 9

41. Dae, kako α ∈

(π,

3π

2

)zakuqujemo

(videti sliku ??) da jesinα < 0,

odnosno sinα = − 9

41. Na kraju dobijamo da je tgα =

sinα

cosα=

9

40i

ctgα =cosα

sinα=

40

9. 4

1.2.5. Ako je α ∈(π,

3π

2

)i tgα = 100 izraqunati

10 sinα− 11 cosα

10 cosα− 11 sinα.

Rexe�e. Kako je tgα = 100 sledi da je cosα 6= 0. Otuda je10 sinα− 11 cosα

10 cosα− 11 sinα=

(10 sinα− 11 cosα)/ cosα

(10 cosα− 11 sinα)/ cosα=

10 tgα− 11

10− 11 tgα=

10 · 100− 11

10− 11 · 100= − 989

1090. Prime-

timo da je podatak da α ∈(π,

3π

2

)suvixan u ovom zadatku. 4

1.2.6. Dokazati da za svako t ∈ R\({π

2+ kπ : k ∈ Z

}∪ {kπ : k ∈ Z}

)va�i: tg t · ctg t = 1.


Rexe�e. tg t · ctg t = sin t

cos t· cos tsin t

= 1. Napomenimo da je najxiri skup na

kome su istovremeno definisane i funkcija tangens i funkcija kotangens

skup R\({π

2+ kπ : k ∈ Z

}∪ {kπ : k ∈ Z}

). 4

1.2.7. Dokazati da za svako t ∈ R va�i:

a) sin(t+

π

2

)= cos t;

b) cos (t+ π) = − cos t.

Rexe�e.

a) sin(t+

π

2

)= sin t cos

π

2+ cos t sin

π

2= sin t · 0 + cos t · 1 = cos t;

b) cos (t+ π) = cos t cosπ − sin t sinπ = cos t · (−1)− sin t · 0 = − cos t.

4

1.2.8. Izraqunati:

a) arcsin

(−√3

2

);

b) arccos 1.

Rexe�e.

a) Da bismo izraqunali arcsin

(−√3

2

)potrebno je odrediti (jedinstven)

realan broj t ∈[−π2,π

2

]za koji je sin t = −

√3

2. Kako je sin

(−π3

)=

−√3

2, sledi da je arcsin

(−√3

2

)= −π

3;

b) Da bismo izraqunali arccos 1 potrebno je odrediti (jedinstven) rea-lan broj t ∈ [ 0, π] za koji je cos t = 1. Kako je cos 0 = 1, sledi da jearccos 1 = 0.

4

1.2.9. Izraqunati:

a) arctg 0;

b) arcctg

(− 1√

3

).

Rexe�e.

1. Trigonometrija 11

a) Da bismo izraqunali arctg 0 potrebno je odrediti (jedinstven) realan

broj t ∈(−π2,π

2

)za koji je tg t = 0. Kako je tg 0 = 0, sledi da je

arctg 0 = 0;

b) Da bismo izraqunali arcctg

(− 1√

3

)potrebno je odrediti (jedinstven)

realan broj t ∈ (0, π) za koji je ctg t = − 1√3. Kako je ctg

(2π

3

)= − 1√

3,

sledi da je arcctg

(− 1√

3

)=

2π

3.

4

1.2.10. Izraqunati:

a) sin

(arcsin

1

2

);

b) sin(arcsin (−1)).

Za koje t ∈ R va�i sin(arcsin t) = t?

Rexe�e.

a) sin

(arcsin

1

2

)= sin

π

6=

1

2;

b) sin(arcsin (−1)) = sin(−π2

)= −1.

Funkcija arcsin je definisana na intervalu [−1, 1]. Na osnovu defini-cije funkcije arcsin va�i s = arcsin t ako i samo ako t = sin s. Otudasin(arcsin t) = t za svako t ∈ [−1, 1]. 4

1.2.11. Izraqunati:

a) cos

(arccos

√2

2

);

b) cos

(arccos

(−√3

2

)).

Za koje t ∈ R va�i cos(arccos t) = t ?

Rexe�e.

a) cos

(arccos

√2

2

)= cos

π

4=

√2

2;

b) cos

(arccos

(−√3

2

))= cos

5π

6= −√3

2.


Funkcija arccos je definisana na intervalu [−1, 1]. Na osnovu defini-cije funkcije arccos va�i s = arccos t ako i samo ako t = cos s. Otudacos(arccos t) = t za svako t ∈ [−1, 1]. 4

1.2.12. Izraqunati:

a) arcsin(sin

π

6

);

b) arcsin (sinπ);

v) Da li za svako t ∈ R va�i arcsin(sin t) = t? Za koje t va�i datajednakost?

Rexe�e.

a) arcsin(sin

π

6

)= arcsin

1

2=π

6;

b) arcsin (sinπ) = arcsin 0 = 0;

v) Ne. Na primer arcsin (sinπ) = 0. Na osnovu definicije funkcije

arcsin va�i t = arcsin s ako i samo ako t ∈[−π2,π

2

]i sin t = s. Otuda

arcsin(sin t) = t ako i samo ako t ∈[−π2,π

2

].

4

1.2.13. Izraqunati:

a) arccos(cos(−π2

));

b) arccos(cos

π

3

);

v) Da li za svako t ∈ R va�i arccos(cos t) = t? Za koje t va�i datajednakost?

Rexe�e.

a) arccos(cos(−π2

))= arccos 0 =

π

2;

b) arccos(cos

π

3

)= arccos

1

2=π

3;

v) Ne. Na primer arccos(cos(−π2

))=π

2. Na osnovu definicije funk-

cije arccos va�i t = arccos s ako i samo ako t ∈ [0, π] i cos t = s. Otudaarccos(cos t) = t ako i samo ako t ∈ [0, π].

4

1.2.14. Izraqunati:


a) tg (arctg 1);

b) ctg (arcctg π).

Rexe�e.

a) tg (arctg 1) = tgπ

4= 1;

b) Neka je t = arcctg π. Tada je t ∈ (0, π) i ctg t = π. Otuda ctg (arcctg π) =π.

4

1.2.15. Izraqunati:

a) arctg(tgπ

4

);

b) arcctg

(ctg

2π

3

);

v) arctg

(tg

(−5π

3

));

g) arcctg

(ctg

5π

2

).

Rexe�e.

a) arctg(tgπ

4

)= arctg 1 =

π

4;

b) arcctg

(ctg

2π

3

)= arcctg

(− 1√

3

)=

2π

3;

v) arctg

(tg

(−5π

3

))= arctg

(−√3)= −π

3;

g) arcctg

(ctg

5π

2

)= arcctg 0 =

π

2.

4


a) sin 2t = 2 sin t cos t;

b) cos 2t = cos2 t− sin2 t;

v) sin2t

2=

1− cos t

2;

g) cos2t

2=

1 + cos t

2.


Rexe�e.

a) sin 2t = sin (t+ t) = sin t cos t+ cos t sin t = 2 sin t cos t;

b) cos 2t = cos (t+ t) = cos t cos t− sin t sin t = cos2 t− sin2 t;

v)1− cos t

2=

1− cos

(2t

2

)2

=

1−(cos2

t

2− sin2

t

2

)2

=2 sin2

t

22

= sin2t

2;

g)1 + cos t

2=

1 + cos

(2t

2

)2

=

1 +

(cos2

t

2− sin2

t

2

)2

=2 cos2

t

22

= cos2t

2.

4

1.2.17. Izraqunati:

a) sinπ

8;

b) cos7π

12.

Rexe�e.

a) sin2π

8=

1− cosπ

42

=2−√2

4.

Kako je sinπ

8> 0 sledi sin

π

8=

√2−√2

2;

b) cos27π

12=

1 + cos7π

62

=2−√3

4.

Kako je cos7π

12< 0 sledi cos

7π

12= −

√2−√3

2.

4

1.2.18. Dokazati da za svako t1, t2 ∈ R va�i:

a) sin t1 sin t2 =1

2(cos (t1 − t2)− cos (t1 + t2));

b) cos t1 cos t2 =1

2(cos (t1 − t2) + cos (t1 + t2));

v) sin t1 cos t2 =1

2(sin (t1 + t2) + sin (t1 − t2)).

Rexe�e.

a) cos (t1 − t2)−cos (t1 + t2) = cos t1 cos t2+sin t1 sin t2−(cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2) =2 sin t1 sin t2;


b) cos (t1 − t2)+cos (t1 + t2) = cos t1 cos t2+sin t1 sin t2+(cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2) =2 cos t1 cos t2;

v) sin (t1 + t2)+sin (t1 − t2) = sin t1 cos t2+cos t1 sin t2+(sin t1 cos t2 − cos t1 sin t2) =2 sin t1 cos t2.

4


a) cos t1 + cos t2 = 2 cost1 + t2

2cos

t1 − t22

;

b) sin t1 − sin t2 = 2 cost1 + t2

2sin

t1 − t22

.

Rexe�e.

a) Neka je a =t1 + t2

2i b =

t1 − t22

. Tada je t1 = a+ b i t2 = a− b. Otuda

cos t1 + cos t2 = cos (a+ b) + cos (a− b)= cos a cos b− sin a sin b+ cos a cos b+ sin a sin b

= 2 cos a cos b

= 2 cost1 + t2

2cos

t1 − t22

;

b) Neka je a =t1 + t2

2i b =

t1 − t22

. Tada je t1 = a+ b i t2 = a− b. Otuda

sin t1 − sin t2 = sin (a+ b)− sin (a− b)= sin a cos b+ cos a sin b− (sin a cos b− cos a sin b)

= 2 cos a sin b

= 2 cost1 + t2

2sin

t1 − t22

;

4


cos t+ sin t =√2 sin

(t+

π

4

).

Rexe�e. Kako je sin t = cos(π2− t)dobijamo

cos t+ cos(π2− t)

= 2 cost+

π

2− t

2cos

t−(π2− t)

2

= 2 cosπ

4cos(t− π

4

)=√2 cos

(t− π

4

)=√2 sin

(t+

π

4

).


4

1.2.21. Dokazati da za svako t1, t2, t1 + t2 ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}va�i:

tg (t1 + t2) =tg t1 + tg t21− tg t1 tg t2

.

Rexe�e.

tg (t1 + t2) =sin (t1 + t2)

cos (t1 + t2)=

sin t1 cos t2 + cos t1 sin t2cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2

.

Ako i brojilac i imenilac posled�eg razlomka podelimo sa cos t1 cos t2dobijamo

tg (t1 + t2) =tg t1 + tg t21− tg t1 tg t2

.

Napomenimo da su svi izrazi u prethodnim formula definisani za svako

t1, t2, t1 + t2 ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}. 4

1.2.22. Neka su t, s ∈ R. Dokazati da izraz cos (t+ s) cos (t− s) + sin2 sne zavisi od s.

Rexe�e. Neka je f(s, t) = cos (t+ s) cos (t− s) + sin2 s. Tada je

f(s, t) = (cos t cos s− sin t sin s)(cos t cos s+ sin t sin s)

= (cos t cos s)2 − (sin t sin s)2 + sin2 s

= (1− sin2 t)(1− sin2 s)− sin2 t sin2 s+ sin2 s

= 1− sin2 t− sin2 s+ sin2 t sin2 s− sin2 t sin2 s+ sin2 s

= 1− sin2 t = cos2 t.

4

1.2.23. Izraqunati1− tg

π

12

1 + tgπ

12

.

Rexe�e. Izraqunajmo prvo tgπ

12. Va�i

tgπ

12= tg

(π3+(−π4

))=

tgπ

3+ tg

(−π4

)1− tg

π

3tg(−π4

)=

√3− 1

1 +√3.


Konaqno,

1− tgπ

12

1 + tgπ

12

=1√3.

4

1.2.24. Dokazati da za svako t ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}va�i tg2 t + 1 =

1

cos2 t.

Rexe�e. Kako je tg t =sin t

cos tsledi

tg2 t+ 1 =sin2 t

cos2 t+ 1 =

sin2 t+ cos2 t

cos2 t=

1

cos2 t.

4

1.2.25. Ako je α ∈(−π2,−π

4

)i tg

(α+

π

4

)= a izraqunati tgα, sinα i

cosα.

Rexe�e. Kako je

tg(α+

π

4

)=

tgα+ tgπ

4

1− tgα tgπ

4

=tgα+ 1

1− tgα

dobijamo1 + tgα

1− tgα= a. Otuda tgα =

a− 1

a+ 1.

Kako je cosα = ± 1√tg2 α+ 1

i kako je α ∈(−π2,−π

4

)dobijamo da je

cosα > 0 odnosno cosα =1√

tg2 α+ 1. Dakle, cosα =

a+ 1√2(a2 + 1)

.

Kako je sinα = tgα cosα dobijamo sinα =a− 1√2(a2 + 1)

. 4

1.2.26. Ako je sin 3 = a izraqunati sin (−6).

Rexe�e. Va�i

sin (−6) = − sin 6 = − sin 2 · 3 = −2 sin 3 cos 3.

Kako jeπ

2< 3 < π sledi da je cos 3 < 0. Otuda cos 3 = −

√1− sin2 3 =

−√1− a2. Konaqno,

sin (−6) = 2a√

1− a2.

4


1.2.27. Dokazati da va�i jednakost: cosπ

5cos

2π

5=

1

4.

Rexe�e. Va�i

cosπ

5cos

2π

5=

sinπ

5cos

π

5cos

2π

5

sinπ

5

=1

2

sin2π

5cos

2π

5

sinπ

5

=1

4

sin4π

5

sinπ

5

=1

4

sin

(π − 4π

5

)sin

π

5

=1

4

sinπ

5

sinπ

5

=1

4.

4

Ispitiva�e toka trigonometrijskih funkcija

1.2.28. Odrediti domen funkcije:

a) y = f(x) =| cosx|√1− sin2 x

;

b) y = f(x) =tg x

ctg x;

v) y = f(x) =1

sin3 x+ cos3 x;

g) y = f(x) =1√

cos 2x− cosx.

Rexe�e. Neka je Df domen funkcije f . Tada:

a) x ∈ Df ako i samo ako 1− sin2 x > 0 tj. ako i samo ako −1 < sinx < 1.

Otuda Df = R\{(2k + 1)

π

2: k ∈ Z

};

b) x ∈ Df ako i samo ako su definisani tg x i ctg x i ctg x 6= 0. Domen

funkcije tangens jeste R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}, domen funkcije kotan-

gens jesteR\ {kπ : k ∈ Z} a ctg x = 0 ako i samo ako x ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}.

Otuda Df = R\({π

2+ kπ : k ∈ Z

}∪ {kπ : k ∈ Z}

);


v) x ∈ Df ako i samo ako sin3 x+ cos3 x 6= 0. Primetimo da va�i:

sin3 x+ cos3 x = (sinx+ cosx)(sin2 x− sinx cosx+ cos2 x)

=√2 sin

(x+

π

4

)(1− sinx cosx)

=√2 sin

(x+

π

4

)(1− 1

2sin 2x

).

Otuda sin3 x + cos3 x = 0 ako i samo ako sin(x+

π

4

)= 0 odnosno

x ∈{π4+ kπ : k ∈ Z

}. Konaqno Df = R\

{π4+ kπ : k ∈ Z

};

g) x ∈ Df ako i samo ako cos 2x − cosx > 0. Kako je cos 2x − cosx =2 cos2 x− 1− cosx sledi x ∈ Df ako i samo ako 2 cos2 x− cosx− 1 > 0.Neka je t = cosx. Tada va�i

2 cos2 x− cosx− 1 > 0

ako i samo ako t ∈ [−1, 1 ] i

2t2 − t− 1 > 0.

Skup rexe�a posled�e nejednaqine jeste (−∞,−1/2)∪(1,+∞). Otudax ∈ Df ako i samo ako cosx ∈ [−1,−1/2), odnosno Df = {x ∈ R :2π/3 + 2kπ < x < 4π/3 + 2kπ, k ∈ Z}.

4

1.2.29. Odrediti minimum i maksimum funkcije:

a) y = f(x) = 3 sinx+ 4 cosx;

b) y = f(x) = sin (sinx);

v) y = f(x) =1

2− cosx;

g) y = f(x) = 7 sin2 x− 5 cos2 x.

Rexe�e. a) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da va�i

f(x) = 3 sinx+ 4 cosx

= 5

(3

5sinx+

4

5cosx

).

Kako je

(3

5

)2

+

(4

5

)2

= 1 postoji ϕ ∈ R takvo da je cosϕ =3

5i

sinϕ =4

5. Otuda je

f(x) = 5(cosϕ sinx+ sinϕ cosx)

= 5 cos (x+ ϕ).


Kako je za svako x ∈ R va�i −5 6 5 cos (x+ ϕ) 6 5 i kako je f(π−ϕ) =−5 i f(−ϕ) = 5 sledi min

x∈Rf(x) = −5 i max

x∈Rf(x) = 5;

b) Domen funkcije f jeste R. Pri tome va�i

sin(R) = {sinx : x ∈ R} = [−1, 1 ].

Kako je [−1, 1 ] ⊂ [−π/2, π/2] i kako je funkcija sinus rastu�a na[−π/2, π/2] sledi

sin([−1, 1 ]) = {sinx : x ∈ [−1, 1 ]} = [sin (−1), sin 1] = [− sin 1, sin 1].

Konaqno

sin(sin(R)) = {sin (sinx) : x ∈ R} = [− sin 1, sin 1].

Otuda minx∈R

f(x) = − sin 1 i maxx∈R

f(x) = sin 1;

v) Domen funkcije f jesteR. Kako je −1 6 cosx 6 1 sledi 3 > 2−cosx >

1. Otuda za svako x ∈ R va�i1

36

1

2− cosx6 1. Konaqno, kako je

f(−π) = 1/3 i f(0) = 1 sledi minx∈R

f(x) = −1/3 i maxx∈R

f(x) = 1;

g) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da va�i

f(x) = 7 sin2 x− 5 cos2 x

= 7 sin2 x− 5(1− sin2 x)

= 12 sin2 x− 5.

Kako je 0 6 sin2 x 6 1 sledi −5 6 f(x) 6 7. Konaqno, kako je f(0) = −5i f(π/2) = 7 sledi min

x∈Rf(x) = −5 i max

x∈Rf(x) = 7.

4

1.2.30. Skicirati grafik funkcije:

a) y = f(x) = −2 cosx;

b) y = f(x) = sin 3x;

v) y = f(x) = cos(x+

π

3

);

g) y = f(x) = −3 sin(2x− π

4

).

Rexe�e. 4

1.2.31. Skicirati grafik funkcije:

a) y = f(x) = sinx+√3 cosx;


b) y = f(x) = cosx+ | cosx|;

v) y = f(x) = tg |x|;

g) y = f(x) = sin4 x+ cos4 x.

Rexe�e. 4

Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine

1.2.32. Neka je a ∈ R. Rexiti jednaqinu sinx = a.

Rexe�e. Kako je funkcija sinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [−π/2, 3π/2). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a datejednaqine u intervalu [−π/2, 3π/2) onda je skup svih realnih rexe�a datejednaqine skup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a jednaqine u intervalu[−π/2, 3π/2) su svi x ∈ [−π/2, 3π/2) takvi da je x apscisa preseqne taqkeprave y = a i sinusoide y = sinx.

Ako je |a| > 1 onda takvo x ne postoji jer je | sinx| 6 1 za svako x ∈[−π/2, 3π/2) .

Ako je |a| < 1 onda je x = arcsin a ili x = π − arcsin a.

Ako je a = 1 onda je x =π

2.

Ako je a = −1 onda je x = −π2.

Za jednaqinu sinx = a va�i:

1◦ Ako je |a| > 1 onda jednaqina nema rexe�a;

2◦ Ako je |a| < 1 onda je x = arcsin a+ 2kπ, k ∈ Zili x = π − arcsin a+ 2lπ, l ∈ Z;

3◦ Ako je a = 1 onda je x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z;

4◦ Ako je a = −1 onda je x = −π2+ 2kπ, k ∈ Z.

4

1.2.33. Neka je a ∈ R. Rexiti jednaqinu cosx = a.

Rexe�e. Kako je funkcija kosinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [ 0, 2π). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a date jedna-qine u intervalu [ 0, 2π) onda je skup svih realnih rexe�a date jednaqineskup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a jednaqine u intervalu [ 0, 2π) susvi x ∈ [ 0, 2π) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i kosinu-soide y = cosx.

Ako je |a| > 1 onda takvo x ne postoji jer je | cosx| 6 1 za svako x ∈ [ 0, 2π).


Ako je |a| < 1 onda je x = arccos a ili x = 2π − arccos a.

Ako je a = 1 onda je x = 0.

Ako je a = −1 onda je x = π.

Za jednaqinu cosx = a va�i:

1◦ Ako je |a| > 1 onda jednaqina nema rexe�a;

2◦ Ako je |a| < 1 onda je x = arccos a+ 2kπ, k ∈ Zili x = 2π − arccos a+ 2lπ, l ∈ Z;

3◦ Ako je a = 1 onda je x = 2kπ, k ∈ Z;

4◦ Ako je a = −1 onda je x = π + 2kπ, k ∈ Z.

4

1.2.34. Neka je a ∈ R. Rexiti jednaqinu tg x = a.

Rexe�e. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala (−π/2, π/2). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a datejednaqine u intervalu (−π/2, π/2) onda je skup svih realnih rexe�a datejednaqine skup S = {s + 2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a jednaqine u inter-valu (−π/2, π/2) su svi x ∈ (−π/2, π/2) takvi da je x apscisa preseqnetaqke prave y = a i funkcije y = tg x.

Za svako a ∈ R postoji taqno jedno x ∈ (−π/2, π/2) takvo da je tg x = ai va�i x = arctg a. Dakle, rexe�a jednaqine tg x = a su x = arctg a + kπ,k ∈ Z. 4

1.2.35. Rexiti jednaqinu:

a) sin(2x− π

4

)= 1;

b) cos(x+

π

6

)=

1

5;

v) cos 2x =√2;

g) 2 sin |x| − 1 = 0.

Rexe�e.

a) Na osnovu zadatka 1.2.32 dobijamo 2x − π

4=π

2+ 2kπ, k ∈ Z. Otuda

x =3π

8+ kπ, k ∈ Z;


b) Na osnovu zadatka 1.2.33 dobijamo x+π

6= arccos

(1

5

)+2kπ, k ∈ Z ili

x+π

6= 2π−arccos

(1

5

)+2kπ, k ∈ Z. Otuda x = −π

6+arccos

(1

5

)+2kπ,

k ∈ Z ili x =11π

6− arccos

(1

5

)+ 2kπ, k ∈ Z ;

v) Kako je | cos 2x| 6 1 za svako x ∈ R i kako je√2 > 1 sledi da jednaqina

nema rexe�a;

g) Jednaqina 2 sin |x|−1 = 0 je ekvivalentna sa jednaqinom sin |x| = 1

2. Na

osnovu zadatka 1.2.32 i s obzirom da je |x| > 0 dobijamo |x| = π

6+2kπ,

k ∈ N0 ili |x| = 5π

6+ 2kπ, k ∈ N0. Konaqno, x =

π

6+ 2kπ ili

x = −π6− 2kπ ili x =

5π

6+ 2kπ ili x = −5π

6− 2kπ pri qemu je

k ∈ N0.

4

1.2.36. Rexiti jednaqinu cosx = sinx.

Rexe�e. Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom cosx − sinx = 0.

Kako je − sinx = cos(π2+ x), sledi da je jednaqina cosx− sinx = 0 ekviva-

lentna sa jednaqinom cosx+cos(π2+ x)= 0. Na osnovu zadatka 1.2.19 dobi-

jamo da je posled�a jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom√2 cos

(x+

π

4

)=

0. Na osnovu zadatka 1.2.33 dobijamo x+π

4=π

2+2kπ ili x+

π

4=

3π

2+2kπ,

pri qemu je k ∈ Z. Konaqno, x =π

4+ 2kπ ili x =

5π

4+ 2kπ, pri qemu je

k ∈ Z. 4

1.2.37. Rexiti jednaqine:

a) tg π|x| = 1;

b) ctg(3x− π

6

)= − 1√

3.

Rexe�e.

a) Na osnovu zadatka 1.2.34 dobijamo π|x| = arctg 1+kπ =π

4+kπ, k ∈ N0.

Otuda x =1

4+ k, k ∈ N0 ili x = −1

4− k, k ∈ N0;

b) Sliqno kao u zadatku 1.2.34 dobijamo 3x− π

6= arcctg

(− 1√

3

)+ kπ =

2π

3+ kπ, k ∈ Z. Otuda x =

5π

18+kπ

3, k ∈ Z.


4


a) 2 sin2 x = 1;

b) cos3x

2= −3

√3

8;

v) ctg2 x = 3;

g) tg4 x = 1.

Rexe�e.

a) Data jednaqina je ekvivalentna sa sin2 x =1

2odnosno sa

sinx =1√2

ili sinx = − 1√2.

Iz jednaqine sinx =1√2, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo

x =π

4+ 2kπ, k ∈ Z ili x =

3π

4+ 2lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine sinx = − 1√2, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo

x = −π4+ 2mπ, m ∈ Z ili x =

5π

4+ 2nπ, n ∈ Z;

b) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom

3

√cos3

x

2= − 3

√3√3

8,

to jest jednaqinom

cosx

2= −√3

2.

Iz posled�e jednaqine, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo

x

2=

5π

6+ 2kπ, k ∈ Z ili

x

2=

7π

6+ 2lπ, l ∈ Z.

Konaqno,

x =5π

3+ kπ, k ∈ Z ili x =

7π

3+ lπ, l ∈ Z;


v) Data jednaqina je ekvivalentna sa

ctg x =√3 ili ctg x = −

√3.

Otuda

x = arcctg(√3) + kπ, k ∈ Z ili x = arcctg(−

√3) + lπ, l ∈ Z,

odnosno

x =π

6+ kπ, k ∈ Z ili x =

5π

6+ lπ, l ∈ Z;

g) Data jednaqina je ekvivalentna sa

tg2 x = 1 ili tg2 x = −1.

Jednaqina tg2 x = −1 nema rexe�a u skupu R a jednaqina tg2 x = 1 jeekvivalentna sa

tg x = 1 ili tg x = −1.Otuda

x = arctg 1 + kπ, k ∈ Z ili x = arctg(−1) + lπ, l ∈ Z.

Konaqno,

x =π

4+ kπ, k ∈ Z ili x = −π

4+ lπ, l ∈ Z.

4


a) 2 cos3 x− cosx = 0;

b) sinx

2=

1− cosx

2;

v) sin 2x− 2 sinx = 0;

g) cos 2x = −2 sin2 x.

Rexe�e.

a) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:

cosx(4 cos2 x− 1) = 0

cosx(2 cosx− 1)(2 cosx+ 1) = 0.

Odnosno,

cosx = 0 ili 2 cosx− 1 = 0 ili 2 cosx+ 1 = 0

cosx = 0 ili cosx =1

2ili cosx = −1

2.


Iz jednaqine cosx = 0, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo

x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z ili x =

3π

2+ 2lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine cosx =1

2, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo

x =π

3+ 2mπ, m ∈ Z ili x =

5π

3+ 2nπ, n ∈ Z.

Iz jednaqine cosx = −1

2, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo

x =2π

3+ 2pπ, p ∈ Z ili x =

4π

3+ 2qπ, q ∈ Z;

b) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:

sinx

2= sin2

x

2

sinx

2− sin2

x

2= 0

sinx

2

(1− sin

x

2

)= 0.

Odnosno,

sinx

2= 0 ili sin

x

2= −1.

Iz jednaqine sinx

2= 0, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo

x = 4kπ, k ∈ Z ili x = 2π + 4lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine sinx

2= −1, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo

x = 3π + 4mπ, m ∈ Z;

v) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:

2 sinx cosx− 2 sinx = 0

2 sinx(cosx− 1) = 0.

Odnosno,sinx = 0 ili cosx = 1.

Iz jednaqine sinx = 0, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo

x = 2kπ, k ∈ Z ili x = π + 2lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine cosx = 1, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo

x = 2mπ, m ∈ Z;

Primetimo da su sva rexe�a jednaqine cosx = 1 i rexe�a jednaqinesinx = 0.


g) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:

cos2 x− sin2 x = −2 sin2 xcos2 x+ sin2 x = 1.

Kako za svako x ∈ R va�i cos2 x + sin2 x = 1 dobijamo da je skuprexe�a zadate jednaqine skup R.

4


a) 2 sin2 x+ 3 sinx = 2;

b) 2 cos2 x− 3 sinx− 3 = 0.‡.

Rexe�e.

a) Smenom t = sinx jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu 2t2+3t−2 = 0. Rexe�a te kvadratne jednaqine su t1 =

1

2i t2 = −2. Otuda je

polazna jednaqina ekvivalentna sa

sinx =1

2ili sinx = −2.

Iz jednaqine sinx =1

2dobijamo

x =π

6+ 2kπ, k ∈ Z ili x =

5π

6+ 2lπ, l ∈ Z.

Jednaqina sinx = −2 nema rexe�a;

b) Kako je cos2 x = 1−sin2 x data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom

2 sin2 x+ 3 sinx+ 1 = 0.

Smenom t = sinx posled�a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu

2t2+3t+1 = 0. Rexe�a te kvadratne jednaqine su t1 = −1

2i t2 = −1.

Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa

sinx = −1

2ili sinx = −1.

Iz jednaqine sinx = −1

2dobijamo

x = −π6+ 2kπ, k ∈ Z ili x =

7π

6+ 2lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine sinx = −1 dobijamo

x = −π2+ 2mπ, m ∈ Z.

‡Zadatak iz filma ,,Xexir profesora Koste Vuji�a"


4


a) sinx−√3 cosx− 2 = 0;

b) sinx+ sin

(x+

2π

3

)+ sin

(x+

4π

3

)= 0;

v) cos(x− π

3

)− cos

(x− π

6

)= sin

(x+

π

6

);

g) 5 sin2 x+ 2 sinx cosx+ cos2 x = 2;

Rexe�e.

a) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sinx−√3 cosx = 2. Ako

i levu i desnu stranu posled�e jednaqine podelimo brojem 2 dobijamojednaqinu

1

2sinx−

√3

2cosx = 1.

Kako je cos5π

3=

1

2i sin

5π

3= −√3

2posled�u jednaqinu transformi-

xemo u slede�e ekvivalentne oblike:

sinx cos5π

3+ cosx sin 5π3 = 1

sin

(x+

5π

3

)= 1.

Iz jednaqine sin

(x+

5π

3

)= 1 dobijamo

x = −7π

6+ 2kπ, k ∈ Z.

b) Kako je

sin

(x+

2π

3

)= sinx cos

2π

3+ sin

2π

3cosx

= sinx

(−1

2

)+

√3

2cosx

i

sin

(x+

4π

3

)= sinx cos

4π

3+ sin

4π

3cosx

= sinx

(−1

2

)+

(−√3

2

)cosx

dobijamo da je leva strana zadate jednaqine identiqki jednaka 0.Otuda je skup rexe�a zadate jednaqine skup R.


v) Kako je sin(x+

π

6

)= cos

(π2− x− π

6

)= cos

(x− π

3

)sledi da je za-

data jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom

cos(x− π

6

)= 0.

Iz posled�e jednaqine dobijamo

x =2π

3+ 2kπ, k ∈ Z ili x =

5π

3+ 2lπ, l ∈ Z.

g) Kako je 2 = 2(cos2 x+ sin2 x) zadata jednaqina je ekvivalentna sa jed-naqinom

3 sin2 x+ 2 sinx cosx− cos2 x = 0.

Ako je x rexe�e posled�e jednaqine onda je cosx 6= 0. U suprotnom bibilo i sinx = 0, a to je nemogu�e). Otuda jednaqinu mo�emo podelitisa cos2 x. Nakon dee�a dobijamo jednaqinu

3 tg2 x+ 2 tg x− 1 = 0.

Smenom t = tg x posled�a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu

3t2 + 3t− 1 = 0. Rexe�a te kvadratne jednaqine su t1 =1

3i t2 = −1.

Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa

tg x =1

3ili tg x = −1.

Konaqno,

x = arctg

(1

3

)+ kπ, k ∈ Z ili x = −π

4+ lπ, l ∈ Z.

4


a) cos 2x cos 3x = cos 5x;

b) sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0.

Rexe�e.

a) Kako je cos 2x cos 3x =1

2(cos 5x+ cosx) zadatu jednaqinu transfor-

mixemo u slede�e ekvivalentne oblike:

cos 5x+ cosx = 2 cos 5x

cosx = cos 5x

0 = cos 5x− cosx.


Kako je cos 5x−cosx = −2 sin 3x sin 2x, dobijamo da je zadata jednaqinaekvivalentna sa jednaqinom

sin 3x = 0 ili sin 2x = 0.

Iz jednaqine sin 3x = 0 dobijamo

x =2kπ

3, k ∈ Z ili x =

π

3+

2lπ

3, l ∈ Z.


x = mπ, m ∈ Z ili x =π

2+ nπ, n ∈ Z.

b) Kako je sinx+sin 3x = 2 sin 2x cosx zadatu jednaqinu transformixemou slede�e ekvivalentne oblike:

2 sin 2x cosx+ sin 2x = 0

sin 2x(2 cosx+ 1) = 0.

Odnosno,

sin 2x = 0 ili cos 2x = −1

2.


x = kπ, k ∈ Z ili x =π

2+ lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine cos 2x = −1

2dobijamo

x =π

3+mπ, m ∈ Z ili x =

2π

3+ nπ, n ∈ Z.

4

1.2.43. Rexiti jednaqinu sin4 x+ cos4 x = 1.

Rexe�e. Kako je

sin4 x+ cos4 x = (sin2 x+ cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x

= 1− 2 sin2 x cos2 x.

sledi da je zadata jednaqina ekvivalentna sa sinx cosx = 0 odnosno sa

sinx = 0 ili cosx = 0.

Iz jednaqine sinx = 0 dobijamo

x = 2kπ, k ∈ Z ili x = π + 2lπ, l ∈ Z.

Iz jednaqine cosx = 0 dobijamo

x =π

2+ 2mπ, m ∈ Z ili x =

3π

2+ 2nπ, n ∈ Z.

4


1.2.44. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu sinx > a.

Rexe�e. Kako je funkcija sinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [−π/2, 3π/2). Naime, ako je S0 skup svih rexe�adate nejednaqine u intervalu [−π/2, 3π/2) onda je skup svih realnih rexe-�a date nejednaqine skup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a nejednaqineu intervalu [−π/2, 3π/2) su svi x ∈ [−π/2, 3π/2) takvi da je grafik funk-cije y = sinx ,,iznad" grafika funkcije y = a.

Ako je a > 1 onda takvo x ne postoji jer je sinx 6 1 za svako x ∈[−π/2, 3π/2) .

Ako je −1 6 a < 1 onda je x ∈ (arcsin a, π − arcsin a) (videti sliku ??).Ako je a < −1 onda je x ∈ [−π/2, 3π/2).

Dakle, skup rexe�a nejednaqine sinx > a jeste:

1◦ prazan skup, ako je a > 1;

2◦ unija svih intervala oblika (arcsin a+2kπ, π− arcsin a+2kπ), k ∈ Z,ako je −1 6 a < 1;

3◦ skup R, ako je a < −1.

4

1.2.45. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu cosx 6 a.

Rexe�e. Kako je funkcija kosinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [ 0, 2π). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a date ne-jednaqine u intervalu [ 0, 2π) onda je skup svih realnih rexe�a date nejed-naqine skup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a nejednaqine u intervalu[ 0, 2π) su svi x ∈ [ 0, 2π) takvi da je grafik funkcije y = cosx ,,ispod"grafika funkcije y = a.

Ako je a > 1 onda takvo x ∈ [ 0, 2π).Ako je −1 6 a < 1 onda je x ∈ [ arccos a, 2π − arccos a ] (videti sliku ??).Ako je a < −1 onda takvo x ne postoji jer je cosx > −1 za svako x ∈ [ 0, 2π)

.

Dakle, skup rexe�a nejednaqine cosx 6 a jeste:

1◦ skup R, ako je a > 1;

2◦ unija svih intervala oblika [ arccos a+2kπ, 2π−arccos a+2kπ ], k ∈ Z,ako je −1 6 a < 1;

3◦ prazan skup, ako je a < −1.

4


1.2.46. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu tg x > a.

Rexe�e. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala (−π/2, π/2). Naime ako je S0 skup svih rexe�a datenejednaqine u intervalu (−π/2, π/2) onda je skup svih realnih rexe�adate nejednaqine skup S = {s + kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a nejednaqineu intervalu (−π/2, π/2) su svi x ∈ (−π/2, π/2) takvi da je grafik funk-cije y = tg x ,,iznad" grafika funkcije y = a. Dakle x ∈ (arctg a, π/2).Otuda skup rexe�a nejednaqine tg x > a jeste unija svih intervala oblika(arctg a+ kπ, π/2 + kπ), k ∈ Z.

4

1.2.47. Rexiti nejednaqine:

a) sin

(3π

2− x)<

√3

2;

b) 2| sinx| > 1.

v) tg (π − x) > −1;

g) 2 cos2 x− 3 cosx+ 1 > 0.

Rexe�e. a) Kako je sin

(3π

2− x)

= − cosx zadata nejednaqina se svodi

na nejednaqinu

cosx > −√3

2.

Kako je funkcija kosinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a posled�e jednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, 2π). Ta re-xe�a su svi x ∈ [ 0, 2π) takvi da je grafik funkcije y = cosx ,,iznad"

grafika funkcije y = −√3

2. Otuda skup rexe�a zadate nejednaqine

koja pripadaju intervalu [ 0, 2π) jeste skup [ 0, 5π/6) ∪ (7π/6, 2π). Od-nosno skup svih rexe�a zadate nejednaqine jeste unija svih skupovaoblika [ 2kπ, 5π/6 + 2kπ) ∪ (7π/6 + 2kπ, 2π + 2kπ), k ∈ Z;

b) Data nejednaqina se svodi na nejednaqinu | sinx| > 1

2. Rexe�a date

nejednaqine su svi x ∈ R takvi da je grafik funkcije y = | sinx| ,,iz-nad" grafika funkcije y =

1

2(videti sliku ??). Skup svih rexe�a

zadate nejednaqine jeste unija svih intervala oblika (5π/6 + kπ, 7π/6 + kπ),k ∈ Z;

v) Kako je tg (π − x) = − tg x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu

tg x 6 1.

Otuda skup svih rexe�a zadate nejednaqine jeste unija svih inter-vala oblika (−π/2 + kπ, π/4 + kπ), k ∈ Z;


g) Smenom t = cosx zadata nejednaqina se svodi na kvadratnu nejedna-qinu 2t2−3t+1 > 0. Skup rexe�a te kvadratne nejednaqine jeste skup(−∞, 1/2) ∪ (1,+∞). Otuda je skup svih rexe�a polazne nejednaqineskup svih x ∈ R takvih da je cosx ∈ (−∞, 1/2)∪ (1,+∞). Dakle, skupsvih rexe�a polazne nejednaqine jeste unija svih intervala oblika(π/3 + 2kπ, 5π/3 + 2kπ), k ∈ Z.

4

1.2.48. Odrediti sva rexe�a nejednaqine

a) cosx > sinx;

b) 2 sinx cosx >

√2

2.

v) cosπ

6cosx+ sin

π

6sinx 6

√3

2;

g) cosx−√2 sin

x

2> 1.

koja pripadaju intervalu [−π, π).

Rexe�e. a) Skicirajmo grafike funkcija y = cosx i y = sinx na in-tervalu [−π, π] (videti sliku ??). Skup rexe�e zadate nejednaqinekoja pripadaju intervalu [−π, π) jeste skup svih x ∈ [−π, π) takvihda je grafik funkcije y = cosx ,,iznad" grafika funkcije y = sinxtj. interval (−3π/4, π/4);

b) Kako je 2 sinx cosx = sin 2x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu

sin 2x >

√2

2.

Skup svih rexe�a posled�e nejednaqine koja pripadaju intervalu[−π, π) jeste skup (−7π/8,−5π/8) ∪ (π/8, 3π/8) (videti sliku);

v) Kako je cosπ

6cosx + sin

π

6sinx = cos

(x− π

6

)zadata nejednaqina se

svodi na nejedna cinu

cos(x− π

6

)6

√3

2.

Smenom t = x − π

6jednaqina zadata nejednaqina se svodi na nejedna-

qinu cos t 6

√3

2a uslov x ∈ [−π, π) se svodi na uslov t ∈ [−7π/6, 5π/6).

Otuda t ∈ [−π/6, π/6] odnosno skup svih rexe�a polazne nejednaqinejeste interval [ 0, π/3];


g) Data nejednaqina se mo�e transformisati na slede�i naqin

cosx−√2 sin

x

2> 1

cos2x

2− sin2

x

2−√2 sin

x

2> 1

1− sin2x

2− sin2

x

2−√2 sin

x

2> 1

2 sin2x

2+√2 sin

x

2< 0.

Ako u posled�u nejednaqinu uvedemo smenu t = sin x2 dobijamo kva-

dratnu nejednaqinu t(2t+√2) < 0. Skup rexe�a te nejednaqine jeste(

−√2

2, 0

). Otuda je polazna nejednaqina ekvivalentna sa

sinx

2< 0 i sin

x

2> −√2

2.

Skup rexe�a nejednaqine sinx

2< 0 koja pripadaju intervalu [−π, π)

jeste (−π, 0). Skup rexe�a nejednaqine sinx

2> −

√2

2koja pripadaju

intervalu [−π, π) jeste (−π/2, π). Otuda skup svih rexe�a polaznenejednaqine koja pripadaju intervalu [−π, π) jeste (−π/2, 0).

4

1.2.49. Odrediti sva rexe�a nejednaqine:

a) sin2 x >1

2;

b) 2 sinx cosx >

√2

2;

koja pripadaju intervalu [0, 2π].

Rexe�e. a) Realan broj x zadovoava zadatu nejednaqinu sin2 x >1

2ako

i samo ako

sinx >1√2

ili sinx 6 − 1√2.

Otuda je skup rexe�a zadate nejednaqine unija skupova rexe�a ne-

jednaqina sinx >1√2i sinx 6 − 1√

2.

Skup rexe�a nejednaqine sinx >1√2koja pripadaju intervalu [ 0, 2π]

jeste skup [π/4, 3π/4].

Skup rexe�a nejednaqine sinx 6 − 1√2koja pripadaju intervalu

[ 0, 2π] jeste skup [ 5π/4, 7π/4].

36 1.3. Zadaci za ve�bu

1.3 Zadaci za ve�bu

1.3.1. Izraqunati:

a) cos 0;

b) sin9π

4;

v) tgπ

3;

g) ctg13π

6.

Rexe�e. 4

1.3.2. Brojeve sin 2, sin 4, sin 6, sin 8 i sin 10 pore�ati od najma�eg donajve�eg.

Rexe�e. 4

1.3.3. Ako je α ∈(π2, π)i sinα =

3

5odrediti cosα, tgα i ctgα.

Rexe�e. 4

1.3.4. Ako je α ∈(3π

2, 2π

)i tgα = a odrediti sinα, cosα i ctgα.

Rexe�e. 4

1.3.5. Izraqunati:

a)sin

19π

6cos

13π

3ctg

9π

4

tg19π

3sin

17π

4cos

7π

6

;

b) cosπ

7cos

8π

7+ sin

π

7sin

8π

7;

Rexe�e. 4

1.3.6. Izraqunaticos2 t− 2 sin t cos t+ 1

5 + 3 sin t cos t+ sin2 t, ako je poznato da je tg t = 3.

Rexe�e. 4

1.3.7. Odrediti sinα i cosα, ako je cosα+ sinα =√2.

Rexe�e. 4

1.3.8. Izraqunati:


a) arccos1√2;

b) arcsin 0;

v) arcctg(−1);

g) arctg√3.

Rexe�e. 4

1.3.9. Izraqunati:

a) arcsin (sin(5π/4));

b) arccos (cos(−π/3));

v) arctg(tg π);

g) arcctg (ctg(−π/2)).

Rexe�e. 4

1.3.10. Dokazati da za svako s ∈ R va�i arcsin s+ arccos s =π

2.

Rexe�e. 4

1.3.11. Dokazati da za svako t ∈ [−1, 1] va�i sin (arccos t) =√1− t2.

Rexe�e. 4

1.3.12. Izraqunati arctg 2 + arctg1

2.

Rexe�e. 4

1.3.13. Dokazati da za svako x ∈ [−1, 1] va�i arcsin (−x) = − arcsinx.

Rexe�e. 4

1.3.14. Dokazati da za svako x ∈ R va�i cos (arctg x) =1√

1 + x2.

Rexe�e. 4

1.3.15. Izraqunati:

a) sin (arctg 3);

b) cos (2 arcsin(2/7)).

Rexe�e. 4

1.3.16. Ako je sinα = m i


a) α ∈ [9π/2, 11π/2];

b) α ∈ [11π/2, 13π/2]

izraziti α pomo�u arcsinm.

Rexe�e. 4

1.3.17. Izraqunati cos 2α, ako je sinα =3

5i α ∈

(π

2,3π

2

).

Rexe�e. 4

1.3.18. Izraqunati sin (α+ β), ako je sinα =4

5, cosβ = −12

13, α ∈

(0,π

2

)i β ∈

(π2, π).

Rexe�e. 4

1.3.19. Izraqunati sin(π6+ α

), ako je α ∈

(0,π

2

)i tgα = 2−

√3.

Rexe�e. 4

1.3.20. Izraqunati sinα, ako je sin(π4− α

)= − 1

5√2i π < α < 3π/2.

Rexe�e. 4

1.3.21. Izraqunati sinα i cosα, ako je α ∈(0,π

2

)i cos 2α = a.

Rexe�e. 4


a) cos t1 − cos t2 = −2 sin t1 + t22

sint1 − t2

2;

b) sin t1 + sin t2 = 2 sint1 + t2

2cos

t1 − t22

.

Rexe�e. 4

1.3.23. Dokazati da za svako t ∈ R va�i

a) sin 3t = 3 sin t− 4 sin3 t;

b) cos 3t = 4 cos3 t− 3 cos t.

Rexe�e. 4

1.3.24. Dokazati da za svako t ∈ R\{(2k + 1)π : k ∈ Z} va�i

a) sin t =2 tg(t/2)

1 + tg2(t/2);


b) cos t =1− tg2(t/2)

1 + tg2(t/2).

Rexe�e. 4

1.3.25. Izraqunati cos2 3 + cos2 1− cos 4 cos 2.

Rexe�e. 4

1.3.26. Za koje sve α i β va�i sinα+ sinβ = sin (α+ β)?

Rexe�e. 4

1.3.27. Neka je α 6= π/8 + kπ/2, pri qemu je k ∈ Z. Dokazati da va�i

sin4 α+ 2 sinα cosα− cos4 α

tg 2α− 1= cos 2α.

Rexe�e. 4

1.3.28. Neka su α, β i γ realni brojevi koji pripadaju domenu funkcijetg takvi da je α + β + γ = π. Dokazati da tada va�i tgα + tg β + tg γ =tgα tg β tg γ.

Rexe�e. 4

1.3.29. Odrediti rexe�a jednaqine sin 2x = cosx u intervalu [0, 2π]

Rexe�e. x ∈{π6 ,

π2 ,

5π6 ,

3π2

}4

1.3.30. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu sinx 6 a.

Rexe�e. 4

1.3.31. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu cosx > a.

Rexe�e. 4

1.3.32. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu ctg x < a.

Rexe�e. 4

1.3.33.

Rexe�e. 4

1.3.34. Odrediti sva rexe�a nejednaqine (1− cos 2x) sin 2x >√3 sin3 x

koja pripadaju intervalu

[−π, 3π

2

].

Rexe�e. 4

Glava 1

Primena trigonometrije

1.1 Teorijski uvod

Neka su date poluprave Op i Oq. Unija polupravih Op i Oq nazivase ugaona linija. Ugaona linija deli ravan kojoj pripada na dve oblasti.Unija svake od tih oblasti i ugaone linije naziva se ugao. Dakle, svakaugaona linija odre�uje dva ugla (videti sliku ??). Poluprave Op i Oqnazivaju se kraci ugla a taqka O naziva se teme ugla. Obiqno je iz kon-teksta jasno na koji se od tih uglova misli. Ugao qiji su kraci Op i Oqobele�ava se sa ∠pOq.

Radijanska mera ∠pOq jeste broj s koji je jednak du�ini kru�nog lukaqiji je centar taqka O, polupreqnik jednak 1 i qiji krajevi pripadajuugaonoj liniji (videti sliku ??).

Ugao qija je radijanska mera 1 se naziva radijan i obele�ava se sa rad.U tabeli 1.1 su date radijanske mere nekih uglova.

Tabela 1.1: Radijanske mere nekih uglova

ugao oxtar prav tup opru�en pun

mera (rad)(0,π

2

) π

2

(π2, π)

π 2π

Osim radijana za mere�e uglova koriste se i stepeni. Jedan stepen (uoznaci 1◦) jeste 180-ti deo opru�enog ugla. Va�i

1◦ =π

180rad .

Jedan stepen je jednak 60 minuta (1◦ = 60′) a jedan minut je jednak 60sekundi (1′ = 60′′).

1


Sinus i kosinus ugla definixemo kao sinus i kosinus �ihove radi-janske mere. Dakle, ako za ugao α va�i α = t rad onda je sinα = sin t icosα = cos t. Analogno se definixu tangens i kotangens ugla. Osnovnasvojstva trigonometrijskih funkcija brojeva prenose se i na trigonome-trijske funkcije uglova (trigonometrijski identiteti, adicione formuleitd.).

Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C (videtisliku ??). Tada va�i

sinα =a

ccosα =

b

ctgα =

a

bctgα =

b

a.

Neka je ABC proizvoan trougao (videti sliku ??). Tada va�e sinusnateorema

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ,

i kosinusna teorema

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

1. Primena trigonometrije 3

1.2 Rexeni zadaci

1.2.1. Izraziti u radijanima uglove:

a) α = 30◦;

b) α = 225◦;

v) α = 22, 5◦;

g) α = 20◦7′30′′.

Rexe�e.

a) Kako je 1◦ =π

180rad sledi da je α = 30◦ = 30 · π

180rad =

π

6rad;

b) α = 225◦ = 225 · π

180rad =

5π

4rad;

v) α = 22, 5◦ = 22, 5 · π

180rad =

π

8rad;

g) Kako je 30′′ = 0, 5′ i kako je 7, 5′ = 0, 125◦ sledi da je α = 20◦7′30′′ =

20, 125◦ = 20, 125 · π

180rad =

161π

1440rad.

4

1.2.2. Izraziti u stepenima uglove:

a) α = 1 rad;

b) α =π

3rad;

v) α =8π

9rad;

g) α = 3, 14 rad.

Rexe�e.

a) Kako je 1◦ =π

180rad sledi da je 1 rad =

180◦

πodnosno α =

180◦

π;

b) Kako je 1 rad =180◦

πsledi α =

π

3· 180

◦

πrad = 60◦;

v) α =8π

9rad =

8π

9· 180

◦

π= 160◦;

g) α = 3, 14 rad = 3, 14 · 180◦

π=

5652◦

10π.

4


1.2.3. Izraziti u radijanima jedan minut.

Rexe�e. Kako je 1◦ =π

180rad i kako je 1◦ = 60′ sledi da je 1′ =

π

10800rad.

4

1.2.4. Izraqunati:

a) sin 300◦;

b) cos 67◦30′.

Rexe�e.

a) Kako je 300◦ =5π

3rad sledi sin 300◦ = sin

5π

3= −√3

2;

b) Kako je 67◦30′ =3π

8rad sledi cos 67◦30′ = cos

3π

8=

√√√√1 + cos3π

42

=√2−√2

2.

4

1.2.5. Izraqunati vrednost izraza cos2 18◦+cos2 72◦+sin2 27◦+sin2 63◦.

Rexe�e. Neka je S = cos2 18◦+cos2 72◦+sin2 27◦+sin2 63◦. Kako je cos (90◦ − α) = sinαi sin (90◦ − α) = cosα i kako je cos2 α+ sin2 α = 1 sledi

S = cos2 18◦ + sin2 (90◦ − 72◦) + sin2 27◦ + cos2 (90◦ − 63◦)

= cos2 18◦ + sin2 18◦ + sin2 27◦ + cos2 27◦

= 1 + 1 = 2.

4

1.2.6. Izraqunati vrednost izraza sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . .+ sin2 89◦.

Rexe�e. Neka je S = sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . . + sin2 89◦. Kako je sinα =cos (90◦ − α) sledi

S = (sin2 1◦ + sin2 89◦) + (sin2 2◦ + sin2 88◦) + . . .+ (sin2 44◦ + sin2 46◦) + sin2 45◦

= (sin2 1◦ + cos2 1◦) + (sin2 2◦ + cos2 2◦) + . . .+ (sin2 44◦ + cos2 44◦) + sin2 45◦

= 44 +1

2= 44, 5.

4

1.2.7. Izraqunati vrednost izraza4 cos 40◦

cos 130◦− tg 130◦.


Rexe�e. Neka je S =4 cos 40◦

cos 130◦− tg 130◦. Tada je

S =4 cos 40◦ − sin 130◦

cos 130◦

=4 cos 40◦ − sin (90◦ + 40◦)

cos 130◦

=4 cos 40◦ − (sin 90◦ cos 40◦ − cos 90◦ sin 40◦)

cos 130◦

=3 cos 40◦

cos 130◦

=3 cos 40◦

cos (90◦ + 40◦)

=3 cos 40◦

− sin 40◦= −3 ctg 40◦.

4

1.2.8. Izraqunati vrednost izrazasin 42◦ + sin 32◦ − sin 12◦ − sin 2◦

cos 42◦ + cos 32◦ + cos 12◦ + cos 2◦.

Tada je

Rexe�e. Neka je S =sin 42◦ + sin 32◦ − sin 12◦ − sin 2◦

cos 42◦ + cos 32◦ + cos 12◦ + cos 2◦.

S =(sin 42◦ − sin 12◦) + (sin 32◦ − sin 2◦)

(cos 42◦ + cos 12◦) + (cos 32◦) + cos 2◦

=2 sin 15◦ cos 27◦ + 2 sin 15◦ cos 17◦

2 cos 27◦ cos 15◦ + 2 cos 17◦ cos 15◦

=sin 15◦

cos 15◦· cos 27

◦ + cos 17◦

cos 27◦ + cos 17◦

=sin 15◦

cos 15◦=

1− cos 30◦

21 + cos 30◦

2

=2−√3

2 +√3.

4

1.2.9. Izraqunati vrednost izraza 4 sin2 70◦ −√3 sin 20◦ − cos 20◦.


Rexe�e. Neka je S = 4 sin2 70◦ −√3 sin 20◦ − cos 20◦. Tada je

S = 4 sin2 70◦ − 2

(√3

2sin 20◦ +

1

2cos 20◦

)= 4 sin2 70◦ − 2 (cos 30◦ sin 20◦ + sin 30◦ cos 20◦)

= 4 sin2 70◦ − 2 sin 50◦

= 2(1− cos2 140◦)− 2 sin 50◦

= 2− 2(cos 90◦ cos 50◦ − sin 90◦ sin 50◦)− 2 sin 50◦

= 2 + 2 sin 50◦ − 2 sin 50◦ = 2.

4

1.2.10. Izraqunati cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦.

Rexe�e. Neka je S = cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦. Tada je

S =1

2(cos 60◦ + cos 40◦) cos 70◦

=1

2

(1

2cos 70◦ + cos 40◦ cos 70◦

)=

1

2

(1

2cos 70◦ +

1

2(cos 110◦ + cos 30◦)

)=

1

4

(cos 70◦ + cos 110◦ +

√3

2

)

=1

4

(cos 70◦ − cos 70◦ +

√3

2

)=

√3

8.

4

1.2.11. Neka su α i β oxtri uglovi i α < β. Dokazati da va�i sinα <sinβ i cosα > cosβ.

Rexe�e. Kako su α i β oxtri uglovi, �ihova radijanska mera pripada

intervalu(0,π

2

). Funkcija sinus je rastu�a a funkcija kosinus opadaju�a

na intervalu(0,π

2

)pa va�i sinα < sinβ i cosα > cosβ. 4

1.2.12. Pore�ati brojeve a = sin 35◦, b = ctg 50◦ i c = cos 65◦ od najma-�eg do najve�eg.

Rexe�e.

Uporedimo brojeve a i c.Va�i cos 65◦ = sin (90◦ − 65◦) = sin 25◦.Kako je 25◦ < 35◦ sledi sin 25◦ < sin 35◦ tj. c < a.


Uporedimo brojeve b i c.

Va�i ctg 50◦ =cos 50◦

sin 50◦>

cos 65◦

sin 50◦> cos 65◦. Pri tome prva nejednakost

sledi iz nejednakosti 50◦ < 65◦ a druga iz nejednakosti sin 50◦ < 1. Dakleb > c.

Uporedimo brojeve a i b.

Va�i ctg 50◦ =cos 50◦

sin 50◦=

sin 40◦

sin 50◦> sin 40◦ > sin 35◦. Pri tome prva

nejednakost sledi iz nejednakosti sin 50◦ < 1 a druga iz nejednakosti 35◦ <40◦. Dakle b > a.

Konaqno c < a < b.4

1.2.13. Du�ine kateta pravouglog trougla su a = 16 i b, du�ina hipo-tenuze je c a veliqine odgovaraju�ih uglova su, redom, α, β i γ. Izraqunati

b, c, α, β i γ, ako je poznato da je sinα =1

2.

Rexe�e. Kako je sinα =a

csledi c =

a

sinαtj. c = 32. Iz Pitagorine

teoreme dobijamo b =√c2 − a2 = 16

√3. Kako je sinα =

1

2, sinβ =

a

c=

√3

2i γ prav ugao sledi α = 30◦, β = 60◦ i γ = 90◦. 4

1.2.14. Du�ine stranica oxtrouglog trougla su a = 39, b = 60 i c,

a veliqine odgovaraju�ih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je sinα =3

5,

izraqunati sin γ.

Rexe�e. Kako je poznato sinα iz jednakosti cos2 α + sin2 α = 1 mo�emoizraqunati i cosα. Va�i

cosα = ±√1− sin2 α.

Kako je trougao oxtrougli bi�e cosα > 0. Odnosno

cosα =√1− sin2 α =

√1−

(3

5

)2

=4

5.

Otuda du�inu stranice c mo�emo izraqunati iz jednakosti

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα,

odnosno du�ina stranice je rexe�e kvadratne jednaqine

c2 − 96c+ 2079 = 0.

Rexe�a te kvadratne jednaqine su 63 i 33. Pretpostavimo da je c = 33.Tada iz jednakosti

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ


dobijamo da je cosβ < 0 a to je u suprotnosti sa pretpostavkom da je trougaooxtrougli. Dakle c = 63. Konaqno sin γ dobijamo iz jednakosti

a

sinα=

c

sin γ.

Va�i

sin γ =c

asinα =

63

65.

4

1.2.15. Neka su a, b i du�ine stranica trougla a γ ugao koji odre�uju

te stranice. Dokazati da je povrxina trougla P jednaka1

2ab sin γ.

Rexe�e. Posmatrajmo sliku ??. Va�i P =1

2bhb. Kako je

hba

= sin γ sledi

P =1

2ba sin γ. 4

1.2.16. Povrxina oxtrouglog trougla jeste P =12

13a dve stranice su

a = 1 i b = 2. Izraqunati du�inu tre�e stranice c.

Rexe�e. Kako je P =1

2ab sin γ sledi sin γ =

2P

ab=

12

13. Kako je trougao

oxtrougli cos γ =

√1− sin2 γ =

5

13. Otuda iz jednakosti c2 = a2 + b2 −

2ab cos γ dobijamo c2 =45

13tj. c = 3

√5

13.

4

1.2.17. Du�ine stranica trougla su a =√3, b = 1 i c, a veliqine

odgovaraju�ih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je α = 2β, izraqunati obimi povrxinu trougla.

Rexe�e. Neka je O obim a P povrxina trougla. Kako je

O = a+ b+ c

P =1

2ab sin γ.

Dovono je da odredimo c i sin γ. Va�i γ = 180◦−(α+β), pa ugao γ mo�emo

odrediti ako znamo uglove α i β. Kako je α = 2β ia

sinα =

b

sinβdobijamo

a

sin 2β=

b

sinβ

a

2 sinβ cosβ=

b

sinβa

2 cosβ= b


odnosno cosβ =a

2b=

√3

2. Otuda je β = 30◦, α = 60◦ i γ = 90◦. Kako je

γ = 90◦ sledi c =√a2 + b2 = 2. Konaqno O = 3 +

√3 a P =

√3

2.

4

1.2.18. Neka je a du�ina jedne stranice, α ugao naspram te stranice i

R polupreqnik opisane kru�nice trougla. Dokazati da va�ia

sinα= 2R.

Rexe�e.

Prvi sluqaj (α = 90◦). Kako je u ovom sluqaju a hipotenuza trouglasledi

a

sin 90◦= a = 2R.

Drugi sluqaj (α < 90◦). Posmatrajmo sliku ??. Kako su α i ∠BOC pe-riferijski i centralni ugao nad tetivom BC i kako su taqke O i A saiste strane prave BC sledi ∠BOC = 2α. Primenom kosinusne teoreme natrougao BOC dobijamo

a2 = R2 +R2 − 2 ·R ·R · cos 2α= 2R2(1− cos 2α)

= 4R2 sin2 α.

Iz posled�e jednakosti neposredno sledia

sinα= 2R.

Drugi sluqaj (α > 90◦). Posmatrajmo sliku ??. Kako su trouglovi ACOi ABO jednakokraki sa vrhom O dobijamo ∠ACO = ∠CAO i ∠BAO =∠ABO. Kako je α = ∠CAO + ∠BAO i kako je zbir uglova u qetvorouglu360◦ sledi ∠BOC = 360◦ − 2α. Primenom kosinusne teoreme na trougaoBOC dobijamo

a2 = R2 +R2 − 2 ·R ·R · cos 360◦ − 2α

= 2R2(1− cos 2α)

= 4R2 sin2 α.

Iz posled�e jednakosti neposredno sledia

sinα= 2R. 4

1.2.19. Neka su a, b i c du�ine stranica a R polupreqnik opisane

kru�nice trougla. Dokazati da je povrxina trougla P jednakaabc

4R.

Rexe�e. Kako je P =1

2ab sin γ i kako je

c

sin γ= 2R sledi P =

abc

4R. 4

1.2.20. Du�ina stranice pravilnog osmougla je a. Izraqunati po-vrxinu pravilnog osmougla.


Rexe�e. Posmatrajmo sliku ??. Sa slike se vidi da je povrxina osmougla

P = d2 + 4 · 12a2 sinα. Primenom kosinusne teoreme dobijamo

d2 = a2 + a2 − 2 · a · a · sinα

Zbir unutrax�ih uglova osmougla je S8 = (8 − 2) · 180◦. Kako je osmougao

pravilan sledi α =S8

8= 135◦. Konaqno

P = 2a2(1 + sinα− cosα) = 2a2(1 +√2).

4

1.2.21. Za koje vrednosti x je trougao qije su stranice du�ine x, 5 i12 tupougli.

Rexe�e. Na osnovu nejednakosti trougla od du�i du�ine x, 5 i 12 se mo�ekonstruisati trougao ako i samo ako je x > 12 − 5 i x < 12 + 5, tj. ako isamo ako x ∈ (7, 17). Trougao je tupougli ako i samo ako je ugao naspramnajdu�e stranice tup.

Pretpostavimo da je najdu�a stranica trougla stranica du�ine 12 ineka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako jecosϕ < 0 iz jednakosti

122 = x2 + 52 − 2 · x · 5 · cosϕ

dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je 122 > x2+52 i x ∈ (7, 12] odnosnoako i samo ako x ∈

(7,√119).

Pretpostavimo da je najdu�a stranica trougla stranica du�ine x ineka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako jecosϕ < 0, iz jednakosti

x2 = 122 + 52 − 2 · 12 · 5 · cosϕ

dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je x2 > 122 + 52 i x ∈ (12, 17)odnosno ako i samo ako x ∈ (13, 17).

Konaqno, x ∈(7,√119)∪ (13, 17). 4

1.2.22. Dva ugla trougla su 45◦ i 30◦ obim trougla je 6(3 +√2 +√3).

Izraqunati povrxinu trougla.

Rexe�e. Neka je α = 45◦, β = 30◦ a γ nepoznati ugao trougla. Neka sua, b i c du�ine stranica trougla naspram uglova α, β i γ redom. Tada jeγ = 180◦ − (45◦ + 30◦) = 105◦. Iz jednakosti

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ,


s obzirom da je sin 45◦ =1√2, sin 30◦ =

1

2i sin 75◦ = sin 45◦ + 30◦ =

√2(√3 + 1)

4dobijamo

a√2 = 2b =

4c√2(√3 + 1)

.

Otuda je b = a

√2

2i c = a

(√3 + 1)

2. Dae je

a+ b+ c =a

2(3 +

√2 +√3) = 6(3 +

√2 +√3)

odakle sledi a = 12, b = 6√2 i c = 6(

√3+1). Neka je P povrxina trougla.

Tada je

P =1

2ab sin γ = 18(

√3 + 1).

4

1.2.23. Zbir uglova pod kojim se sa 100, 200 i 300 metara udaenostividi tora� jeste 90◦. Odrediti visinu tor�a.

Rexe�e. Posmatrajmo sliku ??. Va�i α + β + γ = 90◦, tgα =x

300, tg β =

x

200i tg γ =

x

100. Otuda je

tg γ = tg (90◦ − (α+ β)) = tg (α+ β) =1− tgα tg β

tgα+ tg β,

odnosno

x

100=

1− x

300· x

200x

200+

x

300

.

Posled�a jednaqina se svodi na jednaqinu x2 = 10 000. Sledi da je visinator�a 100 metara. 4


1.3 Zadaci za ve�bu

1.3.1. Izraziti u radijanima uglove:

a) α = 100◦;

b) α = 63, 5◦;

v) α = 128◦15′;

g) α = 128◦23′20′′.

Rexe�e. 4

1.3.2. Izraziti u stepenima uglove:

a) α =π

8;

b) α =9π

7.

Rexe�e. 4

1.3.3. Odrediti konveksan ugao koji odre�uju mala i velika kazakana satu, ako sat pokazuje slede�e vreme:

a) 14h;

b) 18h30min;

v) 23h45min.

Rexe�e. 4

1.3.4. Neka je ϕ = 225◦. Izraqunati sinϕ, cosϕ, tgϕ i ctgϕ.

Rexe�e. 4

1.3.5. Izraqunati:

a)sin 47◦ + sin 61◦ − sin 11◦ − sin 25◦

cos 7◦;

b) cos 20◦ cos 40◦ cos 60◦ cos 80◦;

v)sin 160◦

sin 100◦(cos4 40◦ − sin4 40◦);

g) tg 9◦ + tg 81◦ + tg 117◦ + tg 153◦.

Rexe�e. 4

1.3.6. Poznato je da je α tup ugao i sinα =

√3

2. Odrediti ugao α u

stepenima i radijanima.


Rexe�e. 4

1.3.7. Poznato je da je α oxtar ugao i cos (2α− 45◦) = 1. Odrediti ugaoα.

Rexe�e. 4

1.3.8. Neka su α i β oxtri uglovi takvi da je tgα =

√2 + 1√2− 1

i tg β =1√2.

Izraqunati α− β.

Rexe�e. 4

1.3.9. Hipotenuza pravouglog trougla tri puta je ve�a od jedne katete.Izraqunati uglove tog trougla.

Rexe�e. 4

1.3.10. Dokazati da je trougao qije su stranice a = 11, b = 14 i c = 18tupougli.

Rexe�e. 4

1.3.11. Tora� koji je visok 20m i nalazi se na levoj obali reke jeod iste udaen 20m. Vrh tor�a se iz taqke na desnoj obali koja je taqnopreko puta taqke sa leve obale koja je najbli�a tor�u vidi pod uglom 30◦.Kolika je xirina reke na tom mestu?

Rexe�e. 4

1.3.12. Izraqunati povrxinu xrafirane figure na slici ??

Rexe�e. 4

1.3.13. Oko kruga polupreqnika√√

2 + 1 opisan je pravilan osmougao.Izraqunati povrxinu tog osmougla.

Rexe�e. 4

U zadacima ?? se razmatra trougao ABC u kome je a = BC, b = CA,c = AB, α = ]BAC, β = ]CBA i γ = ]ACB.

1.3.14. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je a =18, β = 60◦ i γ = 75◦.

Rexe�e. 4

1.3.15. Odrediti uglove trougla ABC ako je a = 6, b = 12 i c = 13.

Rexe�e. 4

1.3.16. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je:


a) a = 4√2, b = 2

√4− 2

√2 i β = 22◦30′;

b) a = 4√2, b = 4

√4− 2

√2 i β = 22◦30′;

v) a = 4√2, b =

√4− 2

√2 i β = 22◦30′.

Rexe�e. 4

1.3.17. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako supoznati uglovi α i β i polupreqnik opisane kru�nice R.

Rexe�e. 4

1.3.18. Dat je trougao ABC. Ako je ]ACB = 70◦, du�ina visine iztemena A jednaka 4 i du�ina visine iz temena B jednaka 3 izraqunati du-�inu stranice AB, polupreqnik opisane kru�inice i povrxinu trouglaABC.

Rexe�e. 4

1.3.19. Ako su α, β i γ uglovi trougla, dokazati da va�i:

a) sinα+ sinβ + sin γ = 4 cosα

2cos

β

2cos

γ

2;

b) tgα+ tg β + tg γ = tgα tg β tg γ.

Rexe�e.

a) Iskoristiti da va�i γ = 180◦−(α+β), sinα+sinβ = 2 sinα+ β

2cos

α− β2

,

sin (α+ β) = 2 sinα+ β

2cos

α+ β

2i cos

α+ β

2+cos

α− β2

= 2 cosα

2cos

β

2;

b)

4

1.3.20. Dokazati da ako za uglove α, β i γ nekog trougla va�i jednakost

tg (α− β) + tg (β − γ) + tg (γ − α) = 0,

onda je taj trougao jednakokraki.

Rexe�e. 4

1.3.21. Neka su a, b i c du�ine stranica, α, β i γ uglovi i R polupre-qnik opisane kru�nice trougla. Dokazati da va�i

a cosα+ b cosβ + c cos γ = 4R sinα sinβ sin γ.

1.3.22. Dat je trougao ABC sa stranicama AB = 2 i AC = 3. Neka je Dtaqka na stranici BC takva da je ]BAD = 30◦ i ]CAD = 45◦. Izraqunatidu�inu du�i AD.

Rexe�e. 4

lavag 1 trigonometrija -...

Documents