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Le portrait de phase des oscillateurs
par H. GIĂ et J.P. SARMANT
Le terme dâespace de phase Ă©voque en gĂ©nĂ©ral des concepts dĂ©licatsde physique statistique dont on ne traite quâau niveau universitaire.
Nous prĂ©tendons montrer dans cet article que le concept associĂ© deportrait de phase est un outil trĂšs riche pour lâanalyse de nombreuxsystĂšmes et en particulier des oscillateurs. Si lâon se limite (comme cesera le cas ci-dessous) Ă la description de systĂšmes Ă un seul degrĂ© delibertĂ©, il sâagit de plus dâun outil trĂšs simple dont lâemploi estsusceptible dâamĂ©liorer dĂšs la classe terminale lâexposĂ© de certainesquestions.
Restant volontairement Ă un niveau Ă©lĂ©mentaire* , nous nouscontenterons, aussitĂŽt aprĂšs avoir dĂ©fini le vocabulaire employĂ©,dâillustrer lâintĂ©rĂȘt du portrait de phase Ă lâaide dâexemples simples,puis nous tirerons quelques conclusions dâordre plus gĂ©nĂ©ral.
1. VOCABULAIRE
Pour un systĂšme dont lâĂ©volution au cours du temps t est dĂ©crit parla fonction Ă valeurs rĂ©elles x(t), on appelle trajectoire de phase unereprĂ©sentation gĂ©omĂ©trique cartĂ©sienne dans laquelle on reporte lespositions au cours du temps t dâun point reprĂ©sentatif M dâabscisse xet dâordonnĂ©e x
. = dx â dt.
Cette terminologie est en accord avec celle de la physiquestatistique : le plan (x,x
.) ou plan de phase sâidentifie (avec px = m x
.) Ă
lâespace de phase (x,px) du problĂšme, de telle sorte que la reprĂ©sentationau cours du temps du point M est bien la trajectoire du systĂšme dansson espace de phase.
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* En particulier, nous excluons toute étude des critÚres de stabilité.
Une trajectoire de phase donnĂ©e est dĂ©crite Ă partir dâun point M0(x0,x
.0) reprĂ©sentatif des conditions initiales de lâĂ©volution considĂ©rĂ©e.
Lâensemble des trajectoires de phase dĂ©crites par le systĂšme Ă partir detoutes les conditions initiales rĂ©alisables est le portrait de phase decelui-ci.
2. OSCILLATEURS NON AMORTIS
a) Lâoscillateur harmonique
Un pendule Ă©lastique (masse m Ă lâextrĂ©mitĂ© dâun ressort de raideurk) a pour Ă©quation dâĂ©volution :
mx.. = â kx (1)
dâoĂč, avec Ï2 = k/m, lâĂ©quation diffĂ©rentielle du second ordre qui rĂ©gittout oscillateur harmonique (non amorti) :
x.. + Ï2 x = 0 (2)
dont la solution gĂ©nĂ©rale peut sâĂ©crire :
x = A cos (Ït + Ï) , x. = â AÏ sin (Ït + Ï)
ce qui Ă©tablit que les trajectoires de phase dâun oscillateur harmoniquesont des ellipses centrĂ©es sur lâorigine. Avec un choix convenable desunitĂ©s adoptĂ©es sur les axes des coordonnĂ©es (en reprĂ©sentant x
. â Ï enfonction de x, ce qui a du reste lâavantage de faire figurer en abscisseet en ordonnĂ©e des grandeurs de mĂȘme dimension) , ces trajectoires sontdes cercles dont les rayons reprĂ©sentent lâamplitude A des oscillations :
â le portrait de phase dâun oscillateur harmonique est un ensemble decercles concentriques centrĂ©s sur lâorigine des coordonnĂ©es.
Ce rĂ©sultat trĂšs simple met en Ă©vidence un premier intĂ©rĂȘt duportrait de phase : la reprĂ©sentation de celui-ci permet de tester avecprĂ©cision le caractĂšre sinusoĂŻdal de lâĂ©volution dâun oscillateur.
b) Le pendule pesant
Soit un pendule de masse M, de moment dâinertie J par rapport Ă son axe de suspension O et dont le centre de masse G est Ă la distancea = OG de cet axe. Avec Ï2 = Mga/J et en notant x lâangle dâinclinaisonde OG sur la verticale, on Ă©tablit lâĂ©quation :
x.. + Ï2 sin x = 0 (3)
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Intégrant (3) avec des conditions initiales quelconques, on a :
x. 2 â 2 Ï2 cos x = constante = C (x0,x
.0) (4)
relation que lâon aurait Ă©galement pu Ă©crire directement en exprimantla conservation de lâĂ©nergie mĂ©canique du pendule et qui permet detracer le portrait de phase de celui-ci comme un rĂ©seau de courbesparamĂ©trĂ© par C (voir la figure 1, rĂ©alisĂ©e en fait de façon plus rapidepar un logiciel qui intĂšgre numĂ©riquement lâĂ©quation (3) pour diversjeux de conditions initiales).
Figure 1 : Portrait de phase dâun pendule pesant (non amorti).
On voit apparaĂźtre le rĂŽle critique de la trajectoire de phase (1) quicorrespond Ă la valeur C0 = 2 Ï2 de C. Cette trajectoire est appelĂ©esĂ©paratrice car elle dĂ©limite deux domaines du portrait de phase :
â pour C > C0, x. ne sâannule jamais et x peut prendre des valeurs
quelconques. Une trajectoire telle que (2) de ce type caractérise unmouvement révolutif,
â pour C < C0, on peut poser C = â 2 Ï2 cos A (A > 0), x Ă©volue entreâA et A, valeurs pour lesquelles x
. sâannule. Une trajectoire, telle que
(3) ou (4), de ce type caractĂ©rise un mouvement oscillatoire dâampli-tude A.
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Ce portrait illustre tout dâabord trĂšs simplement un fait bien connu :les trajectoires quasi-circulaires telles que (4) correspondent Ă desoscillations de faible amplitude ; le caractĂšre non sinusoĂŻdal desoscillations de forte amplitude apparaĂźt tout de suite en examinant unetrajectoire telle que (3).
On peut également vérifier un fait capital, le caractÚre périodiquedu mouvement oscillatoire :
Il est Ă©vident que si lâĂ©volution de x(t) est pĂ©riodique et de pĂ©riode T,la trajectoire de phase correspondante dĂ©crit indĂ©finiment une mĂȘmecourbe appelĂ©e cycle. RĂ©ciproquement, lâobservation dâun cycle nepermet pas en gĂ©nĂ©ral de conclure au caractĂšre pĂ©riodique de lâĂ©volu-tion (les cycles successifs pouvant ĂȘtre a priori dĂ©crits dans des tempsdiffĂ©rents). En revanche, dans le cas dâun systĂšme dĂ©crit par uneĂ©quation diffĂ©rentielle du second ordre, le fait que le point reprĂ©sentatifM du systĂšme soit revenu au bout dâune durĂ©e finie T Ă sa positioninitiale M0 assure le caractĂšre pĂ©riodique de lâĂ©volution : le premiercycle est suivi dâune infinitĂ© de cycles identiques puisque les conditionsinitiales (x0,x
.0) suffisent Ă dĂ©terminer lâĂ©volution ultĂ©rieure. Ce fait
bien connu (déterminisme mécanique) correspond à une propriétémathématique générale des équations différentielles du second ordre,valable sous réserve de conditions dites de Cauchy-Lipshitz qui portentsur la continuité et la dérivabilité des fonctions qui figurent dans ceséquations.
Nous venons de mettre en Ă©vidence une propriĂ©tĂ© qui suffirait Ă elleseule Ă justifier lâintĂ©rĂȘt pratique du portrait de phase :
en vĂ©rifiant sur un document graphique le caractĂšre cyclique dâunetrajectoire de phase, on dispose dâun test du caractĂšre pĂ©riodique delâĂ©volution beaucoup plus prĂ©cis que lâobservation de lâallure de lareprĂ©sentation x(t).
3. OSCILLATEURS AMORTIS
a) Oscillateur harmonique amorti (par frottement fluide)
Ajoutant un terme de frottement fluide dans lâĂ©quation (1) dumouvement du pendule Ă©lastique, il vient :
m x.. = â k x â h x
. (5)
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dâoĂč, en posant Ï2 = k/m et en introduisant la facteur de qualitĂ©Q = m Ï/h, lâĂ©quation normalisĂ©e de tout oscillateur harmoniqueamorti :
x.. +
ÏQ
x. + Ï2 x = 0
(6)
Les propriĂ©tĂ©s de ce systĂšme sont bien connues, bornons nous Ă observer lâallure (figure 2) dâune trajectoire de phase dans le casdâoscillations pseudo-pĂ©riodiques (Q > 1/2).
Figure 2 : Oscillateur harmonique de facteur de qualité Q = 20.
Notons au passage quâil est aisĂ© dâobserver expĂ©rimentalement unetelle trajectoire en travaillant sur un dipĂŽle RLC sĂ©rie, la dĂ©viationhorizontale de lâoscilloscope Ă©tant engendrĂ©e par la tension aux bornesdu condensateur et la dĂ©viation verticale par la tension aux bornes dela rĂ©sistance, on observe sur lâĂ©cran la courbe x
.(x), x Ă©tant ici la charge
q du condensateur.
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Lâallure spiralĂ©e des trajectoires de phase peut ĂȘtre mise en relationavec une propriĂ©tĂ© Ă©nergĂ©tique. LâĂ©nergie mĂ©canique de lâoscillateurest :
E = 12
k x2 + 12
m x. 2 =
k2
x2 + (x
. â Ï)2 = k
r2
2(7)
en notant r la distance Ă lâorigine du point reprĂ©sentatif M decoordonnĂ©es (x, x
. â Ï). On dĂ©duit par ailleurs de (5) la relation :
dEdt
= â h x. 2 (8)
qui exprime seulement la conservation de lâĂ©nergie (le taux dediminution de lâĂ©nergie mĂ©canique de lâoscillateur est Ă©gal Ă lapuissance de la force de frottement âh x
.). En termes de trajectoire de
phase, (8) montre que la perte dâĂ©nergie mĂ©canique de lâoscillateuramorti se traduit par le fait que le point reprĂ©sentatif M de celui-ci serapproche de lâorigine O qui apparaĂźt ainsi comme un «attracteur».Notons au passage une propriĂ©tĂ© qualitative intĂ©ressante (valable pourQ nettement supĂ©rieur Ă 1, comme câest le cas pour la figure 2 quicorrespond Ă Q = 20) : le facteur de qualitĂ© Q donne lâordre de grandeurdu nombre dâoscillations pratiquement observables avant la relaxationvers lâĂ©tat dâĂ©quilibre.
b) Oscillateur harmonique amplifié
Imaginons que, dans (6), on envisage la possibilitĂ© dâune valeurnĂ©gative de Q, ce qui revient dans (8) Ă remplacer une dissipation parune alimentation en Ă©nergie, on obtient des «oscillations amplifiĂ©es»dont le portait de phase est analogue (pour plus de prĂ©cisions, V. le § 6),Ă ceci prĂšs que O nâest plus un attracteur, mais une «rĂ©pulseur», positiondâĂ©quilibre instable. Cette propriĂ©tĂ© Ă©tait du reste prĂ©visible : lâĂ©quation(6) nâest pas modifiĂ©e si on change simultanĂ©ment les signes de Q etde x
..
On voit apparaĂźtre ici un lien entre la prĂ©sence dans lâĂ©quationdâĂ©volution du systĂšme dâun terme du premier ordre (dans lequel letemps t intervient par une dĂ©rivĂ©e dâordre impair) et la possibilitĂ©dâĂ©changer les rĂŽle de t et de ât, câest Ă dire dâun lien fondamental entredissipation et irrĂ©versibilitĂ©.
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c) Pendule pesant amorti par frottement fluide
LâĂ©quation dâĂ©volution se dĂ©duit immĂ©diatement de (6) :
x.. +
ÏQ
x. + Ï2 sin x = 0 (9)
Un logiciel de rĂ©solution dâĂ©quations diffĂ©rentielles permet detracer le portrait de phase (figure 3).
Figure 3 : Portrait de phase dâun pendule pesant amorti (Q = 5).
On constate lâexistence dâune infinitĂ© dâattracteurs ponctuels depositions (2nÏ,0). Ces attracteurs correspondent Ă la position dâĂ©quili-bre stable du pendule : x = 0 Ă 2nÏ prĂšs. A partir de tout point M0 situĂ©dans le bassin dâattraction dâun attracteur de rang n, la trajectoire dephase spirale vers le point (2nÏ,0). Qualitativement, ceci correspond Ă la possibilitĂ© dâobserver un mouvement oscillatoire amorti prĂ©cĂ©dĂ©dâune phase rĂ©volutive pendant n tours.
Notons au passage une propriĂ©tĂ© gĂ©nĂ©rale : les trajectoires de phasene se recoupent pas. Cette propriĂ©tĂ© est une consĂ©quence du dĂ©termi-nisme mĂ©canique : deux trajectoires issues dâun point dâintersection M0
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correspondraient Ă deux Ă©volutions diffĂ©rentes possibles Ă partir dâunmĂȘme jeu (x0,x
.0) de conditions initiales, ce qui est exclu.
d) Oscillateur amorti par frottement solide
Si la masse m du pendule Ă©lastique dĂ©crit par lâĂ©quation (1) reposeavec un coefficient de frottement f sur le plan horizontal, on Ă©tablit sansdifficultĂ© lâĂ©quation dâĂ©volution :
x.. + Ï2 x = Δ fg , Δ Ă©tant lâopposĂ© du signe de x
.(10)
dâoĂč lâon dĂ©duit que le mouvement est une suite dâoscillationssinusoĂŻdales de pulsation Ï (figure 4) centrĂ©es alternativement sur lespositions x = fg/Ï2 = p et x = â p, lâarrĂȘt dĂ©finitif se produisant quandx. sâannule Ă lâintĂ©rieur de la plage dâĂ©quilibre (â p,p).
Figure 4 : Amortissement par frottement solide (p = 0,1 ; x0 = 1,25).
La figure 5 reprĂ©sente le portrait de phase de cet oscillateur,constituĂ© de demi-cercles centrĂ©s alternativement en x = p et x = â p.Le rĂŽle dâattracteur est cette fois jouĂ© par le segment (â p,p) de lâaxedes abscisses.
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Figure 5 : Amortissement solide (p = 0,1).
4. OSCILLATEURS ENTRETENUS
Un systĂšme qui, tel une horloge, Ă©volue indĂ©finiment de façonpĂ©riodique doit recevoir de lâĂ©nergie pour compenser les phĂ©nomĂšnesdissipatifs inĂ©vitables qui accompagnent son fonctionnement. Un telsystĂšme est appelĂ© oscillateur entretenu.
a) Le modĂšle de Van der Pol
Tentons de proposer un modĂšle mathĂ©matique, le plus simplementpossible, dĂ©crivant un oscillateur entretenu. Il est tout dâabord Ă©videntque ce modĂšle ne saurait ĂȘtre linĂ©aire : la trajectoire de phase souhaitĂ©edoit ĂȘtre un cycle C bien dĂ©fini ; si le systĂšme Ă©tait dĂ©crit par uneĂ©quation diffĂ©rentielle linĂ©aire, tout cycle homothĂ©tique λ C seraitĂ©galement solution. Au cours de lâĂ©tude de lâoscillateur harmoniqueamorti, nous avons vu que, dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle (6), câest lesigne du coefficient de x
. qui régit le sens des échanges énergétiques de
lâoscillateur. Le modĂšle le plus simple (Ă©quation de Van der Pol)
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consiste Ă remplacer ce coefficient constant par une expression parabo-lique :
x.. + (x2 â p) x
. + Ï2 x= 0 (p > 0) (11)
Bien quâil ne soit pas possible dâintĂ©grer cette Ă©quation autrementque par des mĂ©thodes numĂ©riques, on peut prĂ©voir qualitativement lecomportement des solutions : si la valeur initiale x0 de x est faible, lecoefficient de x
. est nĂ©gatif ce qui correspond Ă une tendance Ă
lâamplification des oscillations ; inversement, quand x prend des valeursimportantes, ce coefficient devient positif ce qui doit tendre Ă rĂ©duirelâamplitude des oscillations. La figure 6 (pour lâobtention de laquelleon a choisi Ï = 2Ï de façon Ă prendre pour unitĂ© de t la pĂ©riode proprede lâoscillateur) confirme ces prĂ©visions.
Figure 6 : Oscillateur de Van der Pol (p = 2).
Lâeffet de rĂ©gularisation des oscillations qui Ă©tait souhaitĂ© est bienobtenu : quelles que soient les conditions initiales, on tend vers unrĂ©gime permanent dâamplitude bien dĂ©finie. Un tel diagramme x(t) nepermet pas toutefois de constater avec prĂ©cision si ce rĂ©gime est ou nonpĂ©riodique (et encore moins sâil est sinusoĂŻdal : il est trĂšs difficile dedistinguer «à vue» une sinusoĂŻde dâune autre courbe oscillante). Pourconclure, il faut tracer le portrait de phase (figure 7).
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Figure 7 : Portrait de phase de lâoscillateur de Van der Pol (p = 2).
On vĂ©rifie cette fois avec une excellente prĂ©cision lâexistence dâuncycle limite (nouveau cas particulier dâattracteur) ce qui atteste lecaractĂšre pĂ©riodique du rĂ©gime permanent. Ce cycle nâĂ©tant visiblementpas circulaire (sauf pour p trĂšs petit), on peut affirmer que le rĂ©gimepermanent de lâoscillateur de Van der Pol est non-sinusoĂŻdal (lesfigures 6 et 7 correspondent Ă p = 2 ; en choisissant dâautres valeurs,on constate que le caractĂšre non-sinusoĂŻdal sâaccuse quand on aug-mente p).
Insistons sur le fait que ce cycle est le mĂȘme pour toutes lestrajectoires de phase, il est indĂ©pendant des conditions initiales.Lâattracteur est entiĂšrement dĂ©terminĂ© par la nature de lâoscillateur(câest-Ă -dire ici par le choix de p).
b) Lâoscillateur à «rĂ©sistance nĂ©gative»
Ce systÚme est décrit en détail dans la référence [4], nous enjustifions rapidement ci-dessous les propriétés essentielles.
La figure 8 reprĂ©sente lâun des montages qui permettent de simulerune «rĂ©sistance nĂ©gative». En exprimant que, le courant dâentrĂ©e sur la
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borne + Ă©tant nul, une mĂȘme intensitĂ© traverse les deux rĂ©sistances X,on a :
s = 2 v+ = 2 (e + Δ) (12)
Figure 8 : Montage simulant une «résistance négative».
En exprimant pareillement que la mĂȘme intensitĂ© i traverse Rg etR, on a :
e = E â Rgi = s + Ri (13)
Dans le domaine de fonctionnement linĂ©aire de lâA.O. (|s| < U, Uet â U dĂ©signant les tensions de saturation haute et basse), on a Δ = 0dans la limite de lâidĂ©alitĂ©, dâoĂč s = 2e et, en reportant dans (13) :
e = â R |i| (rĂ©gime linĂ©aire, |i| < iS = U/2R) (14)
Le montage simule bien dans ce domaine une «rĂ©sistance nĂ©gative»et lâon conçoit dĂ©jĂ quâil soit possible de rĂ©aliser un rĂ©gime dâoscilla-tions amplifiĂ©es Ă lâaide de ce dispositif, lâĂ©nergie fournie provenant delâalimentation de lâA.O.
Quand lâA.O. fonctionne en rĂ©gime saturĂ©, on a :
e = â U + R i (saturation basse, i > iS) (14â)
e = U + R i (saturation haute, i < â iS) (14ââ)
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Si lâon substitue un dipĂŽle LC Ă la source de tension E placĂ©e Ă lâentrĂ©e du montage, il faut remplacer dans (13) E par â L di/dt + q/C,dâoĂč aprĂšs dĂ©rivation et avec i = â dq/dt :
âL d2i
dt2 â
iC
â Rg didt
= dedt (15)
La dĂ©rivĂ©e de/dt ne peut prendre que les deux valeurs âR di/dt(rĂ©gime linĂ©aire (14)), et R di/dt (rĂ©gimes saturĂ©s (14â) ou (14ââ)), onen dĂ©duit que le systĂšme est rĂ©gi par la double Ă©quation dâĂ©volution :
L d2i
dt2 + (Rgâ R)
didt
+ iC
= 0 (régime linéaire) (16)
L d2i
dt2 +
Rg+ R
didt
+ iC
= 0 (rĂ©gime saturĂ©) (16â)
Posons Ï2 = 1/LC, (Rg â R)/L = Ï/Q, (Rg + R)/L = 1/Ï. Introduisantla variable rĂ©duite x = i/iS on obtient les formes normalisĂ©es desĂ©quations prĂ©cĂ©dentes :
d2x
dt2 +
ÏQ
dxdt
+ Ï2 x = 0 ; |x| < 1(16)
d2x
dt2 +
1Ï dxdt
+ Ï2 x = 0 ; |x| > 1(16â)
Dans la pratique on choisit pour Rg une valeur proche de R et trĂšslĂ©gĂšrement infĂ©rieure. Dans ces conditions, on a Q < 0 et de moduleimportant : (16) est lâĂ©quation dâun oscillateur harmonique (lentement)amplifiĂ©. Dans ces mĂȘmes conditions, on a Ï â L/2R et les valeursexpĂ©rimentales correspondent Ă Ï << T0 = 2Ï/Ï et (16â) dĂ©crit un rĂ©gimeamorti Ă relaxation rapide.
Il est facile de prĂ©voir le comportement du systĂšme : x = 0 est uneposition dâĂ©quilibre instable ; partant dâune valeur x0 mĂȘme trĂšs faible,il effectue des oscillations amplifiĂ©es (16) jusquâĂ ce que x dĂ©passe lavaleur 1. Pour x > 1, le systĂšme a un comportement dâoscillateur amorti(16â) qui fait redescendre rapidement au-dessous de la valeur desaturation... Le systĂšme passant ainsi, tel lâoscillateur de Van der Pol,alternativement par des phases dâamplification et dâamortissement, onconçoit que son comportement soit analogue (voir ci-aprĂšs c.).
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Figure 9 : Oscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative (Q = â 20 ; Ï = 0,2).
Figure 10 : Oscillateur à «rĂ©sistance nĂ©gative» (Q = â 20 ; Ï = 0,2).
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Cette analyse est confirmĂ©e par les figures 9 et 10, obtenues parsimulation numĂ©rique (avec Q = â20, Ï = 0,2, x0 = 0,05). A la seule vuede la reprĂ©sentation x(t) de la figure 9, on serait tentĂ© dâaffirmer lecaractĂšre sinusoĂŻdal des oscillations entretenues (rĂ©gime permanent). Leportrait de phase correspondant (10) montre que lâon obtient bien desoscillations pĂ©riodiques (existence dâun cycle limite) mais que celles-cine sont pas exactement sinusoĂŻdales (caractĂšre lĂ©gĂšrement non-circu-laire du cycle).
On vĂ©rifie toutefois que, sâil est lĂ©gitime, dans les conditionsexpĂ©rimentales usuelles (Q de module grand devant 1), de qualifier lesoscillations entretenues de quasi-sinusoĂŻdales, les figures 11 et 12(rĂ©alisĂ©es avec Q = â 4) montrent que le caractĂšre non-sinusoĂŻdal peutdevenir trĂšs net pour des valeurs de Q de module plus faible (cettepropriĂ©tĂ©, qualifiĂ©e de distorsion, avait Ă©tĂ© observĂ©e expĂ©rimentalementpar les auteurs de lâarticle du B.U.P. citĂ© sous la rĂ©fĂ©rence [4]).
Figure 11 : Oscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative (Q = â 4 ; Ï = 0,2).
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Figure 12 : Oscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative (Q = â 4 ; Ï = 0,2).
c) Propriétés communes des oscillateurs entretenus
Il est possible de donner aux Ă©quations (11), oscillateur de Van derPol, dâune part et (16)-(16â), oscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative dâautrepart, la forme commune :
x.. + A(x)x
. + Ï2 x = 0 (17)
âą Pour lâoscillateur de Van der Pol : A(x) = x2 â p, expression quichange de signe pour x = ± xS = ± âp.
âą Pour lâoscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative : A(x) = Ï/Q < 0 pourx < xs = 1 et A(x) = 1/Ï > 0 pour x > 1.
Les figures 12 bis a et 12 bis b donnent lâallure de la fonction A(x).En fait, dans le cas de lâoscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative, nous avonsutilisĂ© une caractĂ©ristique idĂ©alisĂ©e pour lâamplificateur opĂ©rationnel ;dans la pratique, la fonction A(x) ne prĂ©sente pas de discontinuitĂ©s depente (figure 12 bis c).
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Figure 12 bis a : Oscillateur de Van der Pol.
Figure 12 bis b : Oscillateur à résistance négative.
Figure 12 bis c
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Lâanalogie des profils est Ă©vidente : sur les cycles limites, ondistingue des phases alternĂ©es dâamplification dominante ( x < xS)et dâamortissement dominant (x > xS). Sur la figure 12, on peutrepĂ©rer aisĂ©ment ces phases successives grĂące aux discontinuitĂ©s depente (bosses) pour x = xS introduites par les discontinuitĂ©s dumodĂšle adoptĂ©.
En multipliant (17) par x. dt et en intégrant sur une période, il vient :
â« dx
.2 â 2
+ â« A(x) x.2 dt + â« d
Ï2 x2 â 2 = 0
le premier terme et le troisiĂšme sont nuls, de sorte que :
â« A(x) x. 2 dt = 0
(18)
relation qui exprime la compensation sur un cycle des phases dâamortisse-ment et des phases dâamplification dominante. La relation (18) va nousservir Ă estimer la valeur de lâamplitude xM des oscillations de Van der Pol.Dans ce cas, pour p petit, les oscillations sont quasi-sinusoĂŻdales :
x â xM cos Ït
et, en reportant dans (18), on obtient facilement :
xM = 2 âp = 2 xS (19)
Figure 12 ter a
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Figure 12 ter b
On constate, en fait, sur les cycles limites obtenus pour diffĂ©rentesvaleurs de p que cette propriĂ©tĂ© demeure trĂšs bien vĂ©rifiĂ©e, mĂȘme pourp grand, câest-Ă -dire pour des oscillateurs fortement non-linĂ©airesengendrant des oscillations nettement non-sinusoĂŻdales. On se reporteraaux figures 7 (p = 2) et 12 ter, a et b (p = 500). Pour quelquesconsidĂ©rations sur lâoscillateur de Van der Pol trĂšs fortement non-li-nĂ©aire, voir lâappendice en fin dâarticle.
Enfin, soulignons Ă nouveau que les cycles limites, ou attracteurs,sont indĂ©pendants des conditions initiales. Ce comportement est propreĂ tout systĂšme dissipatif non chaotique ([3], [6], [7]) dont on montrequâil Ă©volue nĂ©cessairement vers un Ă©tat indĂ©pendant des conditionsinitiales. Si on considĂšre, par exemple, un ensemble de conditionsinitiales reprĂ©sentĂ©es sur le diagramme de phase par des points voisinsoccupant un domaine continu dâaire dA, on Ă©tablit quâĂ des dates tsuccessives lâaire du domaine occupĂ© par les points reprĂ©sentatifscorrespondants va en dĂ©croissant jusquâĂ sâannuler lorsquâon atteintprĂ©cisĂ©ment le cycle limite (voir [3], [6]).
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5. OSCILLATEURS DU PREMIER ORDRE
On envisage maintenant la possibilitĂ© de systĂšmes dĂ©crits par uneĂ©quation diffĂ©rentielle dâordre 1 pouvant ĂȘtre mise sous la forme :
x. = f(x) (20)
Si f possĂšde des propriĂ©tĂ©s suffisantes de continuitĂ© et de dĂ©rivabi-litĂ©, la solution x(t) de (20) est entiĂšrement dĂ©terminĂ©e par la seulecondition initiale x0. Il en rĂ©sulte que le systĂšme nâest pas dĂ©crit Ă proprement parler par un portrait de phase mais par une trajectoire dephase unique. Avant de passer Ă dâautres considĂ©rations gĂ©nĂ©rales surles oscillateurs du premier ordre, nous traiterons deux exemples rĂ©digĂ©ssous forme dâexercices.
a) Oscillations de relaxation dâune lampe au nĂ©on
On considÚre le montage de la figure 13 (E = 200 V, C = 50 ”F,R = 20 000 Ω). La caractéristique de la lampe au néon représentée surla figure 14 résume les propriétés suivantes :
u croissant Ă partir de 0, on a i = 0 jusquâĂ la tension dâallumageua = 130 V au delĂ de laquelle la caractĂ©ristique est reprĂ©sentĂ©e pari = α + ÎČ u (α = â 0,97 A ; ÎČ = 0,01 A/V). Cette expression reste valablequand u dĂ©croĂźt tant que u reste supĂ©rieur Ă la tension dâextinctionue = 98 V au-dessous de laquelle on a Ă nouveau i = 0.
Figure 13
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Figure 14 : CaractĂ©ristique dâune lampe nĂ©on.
I. A t = 0, on ferme le circuit, le condensateur Ă©tant initialementnon chargĂ©. Exprimer en fonction de E, ua et Ï = RC la durĂ©e t0 de laphase (0) qui prĂ©cĂšde le premier allumage. Application numĂ©rique.
II. Ătudier lâĂ©volution ultĂ©rieure de u(t) et calculer littĂ©ralement etnumĂ©riquement les durĂ©es t1 de la premiĂšre phase (1) dâallumage et t2de la premiĂšre phase (2) dâextinction (on pourra poserU = (E â R α) â (1 + ÎČR) ; Ξ = Ï â (1 + ÎČR),
III. Montrer que lâon obtient un rĂ©gime permanent pĂ©riodique donton calculera la pĂ©riode T. Tracer u (t) ainsi que la trajectoire de phaseu. (u).
SOLUTION
I. On a toujours u = q/C = E â R j. En exprimant la loi des nĆuds :j = i + dq/dt = i + C du/dt. Avec Ï = RC, on en tire lâĂ©quation dâĂ©volutionde u :
Ï u. + u = E â R i (21)
Cette Ă©quation est indĂ©pendante de la phase considĂ©rĂ©e, il suffitensuite dâexpliciter phase par phase la relation i(u). Dans la phaseinitiale (0), on a i = 0 dâoĂč une relaxation vers E de constante de tempsÏ :
u = E 1 â exp (â t â Ï)
(22)
(0) ue (2) ua
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En explicitant la condition u < ua, on obtient :
t0 = Ï ln ua
E â ua = 1,050 s
II. Dans la phase (1), la lampe est allumĂ©e et (21) sâĂ©crit :
Ï u. + u (1 + ÎČR) = E â R α
soit, aprĂšs division par (1 + ÎČ R) :
Ξ u. + u = U (23)
En exprimant la continuitĂ© de u en t = t0, on obtient lâexpressiondâune relaxation vers U = 97,51 V avec la constante de tempsΞ = 0,005 s :
u = U + (ua â U) exp â( t â t0) â Ξ (24)
Exprimant la condition u > ue, on obtient :
t1 = Ξ ln ua â U
ue â U = 0.0209 s
La phase (2), lampe Ă©teinte, est rĂ©gie par la mĂȘme Ă©quationdiffĂ©rentielle que la phase (0), câest une nouvelle relaxation deconstante de temps Ï vers E :
u = E + (ue â E) exp â( t â t1) â Ï
dâoĂč : t2 = Ï ln E â ue
E â ua = 0,3765 s
III. LâĂ©volution ultĂ©rieure est une suite de phases de type (1) et(2), dâoĂč un caractĂšre pĂ©riodique de pĂ©riode :
T = t1 + t2 = 0,397 s
La figure 15, obtenue Ă lâaide dâun programme dâintĂ©grationnumĂ©rique, vĂ©rifie bien les rĂ©sultats des calculs prĂ©cĂ©dents : on obtientlâallure caractĂ©ristique dâoscillations de relaxation. La relation (21)permet de prĂ©voir que la trajectoire de phase est constituĂ©e de segmentsde droite (figure 16). Lâexistence dâun rĂ©gime permanent est attestĂ©epar la prĂ©sence dâun cycle qui est ici un trapĂšze.
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Figure 15 : Oscillations dâune lampe au nĂ©on.
Figure 16 : Trajectoire de phase dâune lampe au nĂ©on.
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b) Multivibrateur astable
Le dipĂŽle I dont la caractĂ©ristique de transfert s(e) idĂ©alisĂ©e estreprĂ©sentĂ©e sur la figure 17, est appelĂ© inverseur logique, son intensitĂ©dâentrĂ©e est nulle.
Figure 17 : CaractĂ©ristique de transfert dâun inverseur logique.
On considĂšre le montage de la figure 18 dans lequel deuxinverseurs logiques I1 et I2 sont reliĂ©s par lâintermĂ©diaire dâun circuitRC de temps de relaxation Ï = RC, la sortie de I2 Ă©tant par ailleursreliĂ©e Ă lâentrĂ©e de I1. On donnera des valeurs numĂ©riques calculĂ©espour la valeur k0 = 0,5 de k.
Figure 18 : Montage du multivibrateur astable.
I. Le condensateur Ă©tant initialement non chargĂ©, on suppose pourfixer les idĂ©es que I1 est Ă t = 0 dans son Ă©tat «Bas» (B1). Ătudier lapremiĂšre phase (0) dâĂ©volution de la tension u (t) et calculer sa durĂ©et0 en fonction de Ï et k.
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II. Ătudier les phases suivantes (1) et (2), se terminant respective-ment aux instants t1 et t2 et exprimer de la mĂȘme façon leurs durĂ©esÏ1 = t1 â t0 et Ï2 = t2 â t1. Montrer que lâĂ©volution de u(t) est pĂ©riodiqueet exprimer sa pĂ©riode T en fonction de Ï et k. Montrer que T passepar un minimum pour une valeur k0 de k que lâon calculera.
III. Représenter sur des graphiques alignés verticalement lesévolutions des tensions u, s1, s2, et e2 . Quelle est la nature de latrajectoire de phase u
. (u) de lâoscillateur ainsi constituĂ© ?
SOLUTION
Les relations générales, indépendantes de la phase de fonctionnement :
Le courant dâentrĂ©e de I2 Ă©tant nul, on a i = dq/dt. Compte tenu deq = C u et de s2 = s1 + u + R i, on obtient lâĂ©quation dâĂ©volution de u :
Ï u. + u = s2 â s1 (25)
On a Ă©galement toujours :
e1 = s2 (26)
e2 = s1 + u (27)
Relations dépendant de la phase de fonctionnement :
Ce sont ici les valeurs E (Ă©tat H) ou 0 (Ă©tat B) prises par les tensionsde sortie. Compte tenu de (26), on note que ces Ă©tats sont nĂ©cessaire-ment «en opposition», parmi les 2 Ă 2 = 4 Ă©tats a priori possibles dusystĂšme, on ne peut en retenir que deux (H1/B2 et B1/H2). Dans cesconditions, on note que le second membre de (25) ne peut prendre queles valeurs E et â E, dâoĂč les deux seuls types dâĂ©volution possiblespour u(t) : relaxation vers E avec u
. > 0 (Ă©tat B1/H2) ou vers â E avec
u. < 0 (Ă©tat H1/B2 ).
I. Partant de t = 0, on démarre dans un état B1/H2 (s1 = 0, s2 = E).Dans la phase (0) correspondante, la solution de (25), compte tenu desconditions initiales, est :
u = E 1 â exp (â t â Ï)
Compte tenu de (27), la condition de contrĂŽle de lâĂ©tat H2 sâĂ©crit :
e2 = s1 + u = u < k E
dâoĂč lâon tire t < t0 avec t0 = â Ï ln (1 â k) = 0,693 Ï
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II. Pour t < t0, le systĂšme bascule dans lâĂ©tat H1/B2. Dans la phase(1) correspondante (s1 = E, s2 = 0), lâĂ©quation (25) traduit une relaxationde u vers â E. Ayant exprimĂ© la continuitĂ© de u en t = t0, on a :
u = E (1 + k) exp
â(t â t0) â Ï
â 1
En exprimant Ă nouveau la condition de contrĂŽle de B 2 :
e2 = s1 + u = E + u > k E
dâoĂč t < t1 avec :
Ï1 = t1 â t0 = Ï ln 1 + k
k = 1,099 Ï
Pour t > t1, le systĂšme rebascule dans lâĂ©tat B1/H2, dâoĂč dans laphase (2) une nouvelle relaxation de u vers E. En exprimant lacontinuitĂ© de u en t = t1 = 1,792 Ï, on a :
u = E ((k â 2) exp(â(t â t1)/ Ï) + 1)
DâoĂč, en exprimant e2 = s1 + u < k E :
Ï2 = t2 â t1 = Ï ln 2 â k1 â k
= 1,099 Ï
A lâinstant t = t2 = 2,891 Ï, le systĂšme est revenu entiĂšrement dansles conditions de lâinstant t0, on observe donc ultĂ©rieurement uneĂ©volution pĂ©riodique de pĂ©riode :
T = Ï ln (1 + k) (2 â k)
k (1 â k) = 2,197 Ï (voir aussi § 6 a)
Par dĂ©rivation, on Ă©tablit que T passe par le minimumT0 = 2 Ï ln(3) = 2,197 Ï pour ko = 0,5.
III. LâĂ©quation (25) montre que la trajectoire de phase est consti-tuĂ©e de segments de droite. Le second membre de (25) ne pouvantprendre que les valeurs E et â E, le point reprĂ©sentatif dĂ©crit deuxdroites parallĂšles : dans le rĂ©gime pĂ©riodique atteint, la trajectoire dephase est un cycle qui a la forme dâun parallĂ©logramme (figure 20).
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Figure 19 : Multivibrateur astable (k = 0,8).
Figure 20 : Trajectoire de phase du multivibrateur astable.
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c) Vase de Tantale
Le rĂ©cipient reprĂ©sentĂ© sur la figure 21 est muni dâun siphon desection s (trĂšs faible devant la surface libre S) dont lâouverture estpratiquement confondue avec son fond et qui dĂ©bouche Ă une cote hau-dessous de celui-ci aprĂšs avoir montĂ© jusquâĂ la cote ζ h.
Figure 21 : Vase de Tantale.
I. A lâaide des donnĂ©es prĂ©cĂ©dentes, on peut former les quantitĂ©sv0
2 = 2 g h, Q0 = s v0, Ï = s h/Q0. Quelles peuvent ĂȘtre a priori lessignifications de ces grandeurs ?
II. On considĂšre une situation oĂč, le siphon Ă©tant amorcĂ©, lasurface libre du rĂ©cipient a la cote zh. Compte tenu de s << S, on peutassimiler le rĂ©gime Ă©tabli Ă un rĂ©gime permanent dâun fluide parfait. EndĂ©duire lâexpression de la vitesse v de lâeau qui sâĂ©coule dans le siphon.
III. On note Q = x Q0 le dĂ©bit volumique (indĂ©pendant du temps)de la source qui alimente le systĂšme. Ătablir lâĂ©quation diffĂ©rentiellevĂ©rifiĂ©e par z(t) dans un rĂ©gime oĂč le siphon est amorcĂ©. On note z0 lavaleur de z correspondant Ă un Ă©ventuel Ă©tat du systĂšme dans lequel lasurface libre garde une cote constante. Exprimer z0 en fonction de x eten dĂ©duire quâun tel Ă©tat ne peut exister que si x dĂ©passe une valeur x0que lâon prĂ©cisera. Calculer la valeur x1 de x qui correspondrait Ă unesurface libre restant en permanence au niveau du sommet du siphon.
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IV. Pour x < x0, montrer que sâĂ©tablit un rĂ©gime dâoscillations derelaxation dont on calculera la pĂ©riode T = t1 + t2 (t1 durĂ©e deremplissage, siphon amorcĂ© ; t2 durĂ©e de vidange par le siphon) enfonction de x, x1 et Ï. Pour x = 0,8 et ζ = 0,5, reprĂ©senter graphiquementz(t) ainsi que la trajectoire de phase z
. (z).
SOLUTION
I. v0, Q0 et Ï reprĂ©sentent a priori respectivement une vitesse, undĂ©bit de volume et une durĂ©e caractĂ©ristiques du systĂšme.
II. Dans les conditions précisées, on peut appliquer le théorÚmede Bernoulli :
v2/2 + P/” + g z = constante
le long dâune ligne de courant qui part de la surface libre (cote zh,pression P0 et vitesse assimilĂ©e Ă 0) et la sortie du siphon (cote â h,pression P0 dans le jet, vitesse v). On en dĂ©duit :
v = v0 â1 + z
III. En exprimant la conservation du volume dâeau, on a :ddt
(S z h) = Q â s v(28)
dâoĂč, aprĂšs introduction des paramĂštres recommandĂ©s :
z. = (x â â1 + z) â Ï (29)
On en déduit aussitÎt :
z0 = x2 â 1 ; x0 = 1 ; x1 = â1 + ζ
IV. Pour calculer la durĂ©e de la phase (1), il suffit de faire v = 0dans (28), dâoĂč z
. = x â Ï et la durĂ©e pour que le niveau atteigne la cote
ζ h : t1 = Ï (ζ/x).
Pour la phase (2), lâĂ©quation (29) sâĂ©crit :dz
x â â1 + z =
dtÏ
En posant u = x â â1 + z, dâoĂč : 1 + z = (x â u)2, dz = â 2(x â u) du...on obtient la primitive :
u â x ln u = t/2Ï + constante
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qui permet dâobtenir si câest nĂ©cessaire une expression explicite t(z).Contentons nous de calculer t2, durĂ©e de lâĂ©volution de z =
ζ u = x ââ1 + ζ = x â x1
Ă z = 0 (u = x â 1) :
t2 â 2Ï = x1 â 1 + x ln x1 â x1 â x
Les figures 22 et 23 reprĂ©sentent respectivement z (t) et le portraitde phase. Ce dernier est constituĂ© de segments de droite et, comme lemontre (29), dâarcs de parabole.
Figure 22 : Oscillations de relaxation du niveau du vase de Tantale.
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Figure 23 : Trajectoire de phase de lâoscillateur de Tantale.
6. QUELQUES OBSERVATIONS GĂNĂRALES
Tirons Ă partir de cette galerie de portraits quelques remarquesdâordre gĂ©nĂ©ral.
a) Périodicité
Cette question a Ă©tĂ© largement Ă©voquĂ©e. RĂ©sumons lâessentiel. Ilest Ă©vident que si un signal x(t) est pĂ©riodique (pĂ©riode T) sa trajectoirede phase est une courbe fermĂ©e, le point reprĂ©sentatif effectuant un tourcomplet sur cette courbe en un temps Ă©gal Ă T. Inversement, si latrajectoire de phase est une courbe fermĂ©e, on peut conclure Ă lapĂ©riodicitĂ© de x(t).
âą ConsidĂ©rons dâabord le cas oĂč le systĂšme est rĂ©gi par uneĂ©quation diffĂ©rentielle du second ordre, par exemple de la forme :
x.. + A(x) x
. + Ï2 B(x)= 0
RelĂšvent dâune telle description tous les oscillateurs dĂ©crits dansles § 2, 3 et 4. Moyennant des conditions de rĂ©gularitĂ© (dites deCauchy-Lipshitz), si on fixe les conditions initiales (x0, x
.0) correspon-
dant Ă un point M0 du diagramme de phase, la trajectoire de phase est
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alors dĂ©terminĂ©e univoquement. Remarquons Ă©galement que le sens deparcours sur la trajectoire de phase fermĂ©e considĂ©rĂ©e est, par construc-tion mĂȘme, celui des aiguilles dâune montre. En effet, pour x
. > 0, x croĂźt
et pour x. < 0, x décroßt, les valeurs extrémales de x correspondent aux
points situĂ©s sur lâaxe des abscisses. Des changements de sens deparcours sur la trajectoire sont impossibles. On note de maniĂšreĂ©quivalente que lâaire du cycle, soit :
â« x. dx = â« x
.2 dt
est nécessairement positive.
Le point reprĂ©sentatif ayant ainsi effectuĂ© un tour complet et setrouvant en M0, le mouvement se reproduit identiquement avec unepĂ©riode T. Cette pĂ©riode est fixĂ©e par la trajectoire de phase. En effet,si lâĂ©quation de la trajectoire de phase est :
x. = f(x) (30)
on a : T = â« dxf(x) (31)
Selon les cas, T dĂ©pend ou non des conditions initiales. Dans le casdes oscillations entretenues, le cycle limite se comporte comme unattracteur et est indĂ©pendant des conditions initiales, la pĂ©riode est doncalors Ă©galement indĂ©pendante des conditions initiales. En revanche,dans le cas, par exemple, du pendule pesant, il est bien connu que lapĂ©riode dĂ©pend de lâamplitude des oscillations. On peut remarquer quedans chacun des domaines x
. > 0, la fonction f(x) est nĂ©cessairement Ă
dĂ©termination unique ce qui nâest Ă©videmment pas le cas si lâonconsidĂšre le cycle dans son entier.
⹠Si le systÚme étudié est régi directement par une équationdifférentielle du premier ordre de la forme :
x. = g(x)
les consĂ©quences prĂ©cĂ©dentes dĂ©coulant de (30) restent valables. Lesens de parcours est celui des aiguilles dâune montre. Dans les systĂšmesĂ relaxation Ă©tudiĂ©s au § 5, on peut dâĂ©crire lâĂ©volution de x(t) enintroduisant deux fonctions univoques g1(x) et g2(x) de sorte que :
x. = g1 (x) pour x
. > 0
x. = g2 (x) pour x
. < 0
750 BULLETIN DE LâUNION DES PHYSICIENS
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avec basculement (discontinuitĂ© de x.) de lâune Ă lâautre pour deux
valeurs xm et xM de x, avec xm †x †xM. La période :
T = â« dx
g(x)
dĂ©pend uniquement des paramĂštres du systĂšme, en particulier desniveaux de basculement xm et xM. Ainsi, dans le cas du multivibrateurastable, par exemple, on calcule directement T avec g1 = â x + E,g2 = â x â E, xm = (k â 1) E, xM = kE (figure 20).
Il est aisé de comprendre que pour un systÚme donné régi par uneéquation du 1er ordre (g(x) donné), le choix des niveaux de basculementfixe univoquement la durée de montée et la durée de descente, donc lapériode.
b) Réversibilité
Examinons lâeffet dâune remontĂ©e dans le temps (film dĂ©roulĂ© Ă lâenvers) sur une trajectoire de phase. Une telle Ă©volution renversĂ©e estobtenue pour chaque valeur de x en changeant x
. en âx
., câest-Ă -dire en
effectuant sur le diagramme de phase une symĂ©trie par rapport Ă Ox.Chaque point M est ainsi transformĂ© en Mâ ; lâordre de succession desĂ©vĂ©nements est inversĂ© (figure 24). Si on considĂšre, par exemple,lâoscillateur amorti (§ 3 a), il lui correspond lâoscillateur amplifiĂ©(§ 3 b) (figures 25 a et 25 b).
Figure 24 : Transformation t â â t sur le diagramme de phase.
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a) Oscillateur amorti. b) Oscillateur amplifié
Figure 25 : Transformation t â â t sur le diagramme de phase dâun oscillateur amorti.
La rĂ©versibilitĂ© dâun processus se traduit par lâinvariance de latrajectoire de phase dans la transformation prĂ©cĂ©dente. Cette invarianceest satisfaite Ă lâĂ©vidence dans le cas de lâoscillateur harmonique ou dupendule pesant (non amortis). Au contraire, pour une Ă©volutionirrĂ©versible cette invariance nâest plus vĂ©rifiĂ©e. Lâexemple que nousvenons de rappeler de lâoscillateur amorti illustre ce comportement.Concernant les oscillateurs entretenus, on vĂ©rifie que la trajectoirefermĂ©e qui dĂ©crit lâoscillateur nâest plus symĂ©trique par rapport Ă Ox,quâil sâagisse dâun cycle limite (oscillateurs du second ordre) ou de latrajectoire de phase des oscillateurs de relaxation* . Ceci traduitlâexistence dâune irrĂ©versibilitĂ© fondamentale. Cette irrĂ©versibilitĂ© estliĂ©e Ă lâexistence de phĂ©nomĂšnes dissipatifs qui nĂ©cessitent prĂ©cisĂ©mentun pompage dâĂ©nergie compensatoire pour entretenir les oscillations.
Dans le cas du cycle limite dâun oscillateur du second ordre, nousavons indiquĂ© quâil y a alternance de phases Ă amortissement dominantet de phases Ă amplification dominante. Il est bien Ă©vident quâunprocessus de cette nature nâest pas rĂ©versible car les phases ne sont pasinterchangeables, un processus apportant de lâĂ©nergie ne pouvant ĂȘtreassimilĂ© Ă un processus dissipatif remontant le temps !
752 BULLETIN DE LâUNION DES PHYSICIENS
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* Dans le cas dâoscillations de relaxation obtenues simplement par charge etdĂ©charge dâun condensateur entre deux niveaux de tension, on peutmontrer trĂšs facilement par un simple calcul quâil est impossible, comptetenu des conditions de basculement, que la trajectoire de phase soitsymĂ©trique par rapport Ă Ox.
On notera enfin que le degrĂ© dâirrĂ©versibilitĂ© est dâautant plus grandque la trajectoire est plus dissymĂ©trique par rapport Ă Ox.
c) Non linéarité
Nous avons dĂ©jĂ fait remarquer que les oscillateurs Ă cycle limitesont fondamentalement non linĂ©aires puisque la linĂ©aritĂ© impliqueraitsur le diagramme de phase une propriĂ©tĂ© dâhomothĂ©tie incompatibleavec lâexistence mĂȘme dâun cycle limite indĂ©pendant des conditionsinitiales. Cette non-linĂ©aritĂ© est dans ce cas incluse dans la fonctionA(x) qui figure dans lâĂ©quation (17), traduisant, par exemple dans lecas de lâoscillateur Ă rĂ©sistance nĂ©gative, la saturation de lâamplificateuropĂ©rationnel. Dans le cas des oscillateurs Ă relaxation, la non-linĂ©aritĂ©fondamentale* est le fait du basculement.
En toute derniĂšre remarque, notons que dans tous les exempleschoisis la fonction A(x) est paire. Il en rĂ©sulte quâen rĂ©gime pĂ©riodiquedâoscillations, câest-Ă -dire pour le cycle limite, il y a symĂ©trie parrapport Ă lâorigine (changement de x en -x entraĂźnant celui de x
. en
â x.). Les cycles limites obtenus vĂ©rifient effectivement cette propriĂ©tĂ©.
La présence de termes impairs dans A(x) viendrait détruire la symétriedes oscillations sans contribuer en rien à leur établissement.
Actuellement, en classes prĂ©paratoires aux Grandes Ăcoles, lâĂ©tudedes oscillateurs se rĂ©duit Ă celle de lâoscillateur harmonique avec ousans amortissement. Il serait bon, Ă notre avis, dans une filiĂšre Ă vocation plus appliquĂ©e de dĂ©passer ce cadre trĂšs limitĂ© et dâesquisserune prĂ©sentation des oscillateurs rĂ©els, câest-Ă -dire entretenus, sans quecelĂ entraĂźne une Ă©tude approfondie. Ce serait aussi nous semble-t-il unbon exemple de lâutilisation de lâoutil informatique tant au point de vuede lâexploitation directe de lâexpĂ©rience que celui du traitementnumĂ©rique des modĂšles utilisĂ©s. Enfin, une prise de contact par ce biaisavec la non-linĂ©aritĂ© nous paraĂźt intĂ©ressante.
Appendice : Oscillateur de Van der Pol fortement non-linéaire
Les figures 12 ter a et b donnent le comportement dâun Van der Polpour p grand (p = 500, âp = 22,4). Van der Pol avait dĂ©jĂ notĂ© que dansce cas les oscillations prennent lâallure dâoscillations de relaxation avec
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* Câest-Ă -dire le passage de g1(x) Ă g2(x), les non-linĂ©aritĂ©s Ă©ventuelles deg1(x) et de g2(x) (comme dans le cas du vase de Tantale) nâĂ©tant pas icifondamentales.
alternance de phases à variation trÚs rapide et de phases à variation trÚslente, le cycle limite étant par ailleurs atteint sans oscillation préalable.
Les deux phases lentes par cycles se situent dans leur totalitĂ© dansles zones pour lesquelles lâamortissement domine mais va en dĂ©crois-sant (soit x variant de xM Ă xS et x variant de â xM Ă â xS). Le calculde la pĂ©riode T se ramĂšne, dans ces conditions, Ă celui de la durĂ©e deces deux phases pour lesquelles on peut tenter lâapproximation x
..
nĂ©gligeable, lâĂ©quation de Van der Pol se rĂ©duisant alors Ă :
(x2 â p) x. + Ï2 x = 0 soit x
. = f(x) =
Ï2 x
p â x2
dâoĂč : T2
= 1
Ï2 â« xM
xS
dx
px
â x
soit : T = 1
Ï2 â 2p ln
xM
xS + xM
2 â xS2
Si lâon admet (voir § 4 c) que lâon a xM â 2xS = 2 âp et que lâonprend pour unitĂ© de temps la pĂ©riode propre des oscillations (Ï = 2 Ï) :
T â p
4Ï2 (3 â 2 ln 2)
Cette pĂ©riode augmente avec p et est notablement plus importanteque la pĂ©riode des oscillations propres (T = 1). Ainsi, pour p = 500 :T = 20,7. On notera, cependant que le cycle limite diffĂšre assezsensiblement, mĂȘme pour p trĂšs grand, de la trajectoire de phase dâunoscillateur de relaxation proprement dit.
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