lectures in applied econometrics 09

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 09

1/6

9. Ορισμένα μη γραμμικά υποδείγματα

Κ εφάλαιο 9.Ορισμένα Μη -

Γραμμικά

Υποδείγματα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το γενικό υπόδειγμα:

( )( 1)

;i i i i ik

f x f β β ×

= + ≡ + ÷

Y u u ,

2~ (0, )i iid N σ u ,

για κάθε 1,...,i n= .

Ένα κλασσικό παράδειγμα, είναι η συνάρτηση παραγγ!ς Cobb- Douglas με προσθετικά σφάλματα:

32

1 i i i i L K β β β = +Y u , για κάθε 1,...,i n= .

"ο υπόδειγμα# αυτό, δεν μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθοδο LS,α$ο% δεν είναι γραμμικό στις παραμέτρους β , δηλαδ! δεν μπορο%μενα πάρουμε λογαρίθμους και να καταλ!&ουμε σε ένα υπόδειγμα πουνα είναι γραμμικό στα β .

'αν ένα απλ παράδειγμα, ας θερ!σουμε το μη γραμμικό

υπόδειγμα:

i i

X β = + i

Y u ,

( )2~ 0,i iid N σ u ,για κάθε 1,...,i n= .

1 Η κατανομή του στοχαστικού όρου πρέπει να έχει διακύμανση επαρκ! μικρή, στε το προ"όν να μπορε#

να $#νει αρνητικό μόνο με μια αμε%ητέα πι&ανότητα.

21'


2/6


"έτοια υποδείγματα θα πρέπει να εκτιμηθο%ν με τη μη γραμμικ!μέθοδο ελαχίστν τετραγ(νν. Α&ί)ει να ανα$έρουμε, ότι πολλάοικονομετρικά πακέτα μπορο%ν να μεγιστοποι!σουν μια λογαριθμικ!συνάρτηση πιθανο$άνειας, !"ρί# να είναι αναγκαίο να

υπολογίσουμε τις παραγ(γους*

ς προς τις παραμέτρους, θ .

$ιακριτ% ε&αρτημένη μετα'λητ%

Ας υποθέσουμε ότι iY είναι μια μετα+λητ!, τέτοια (στε 0iY = αν έναςδανειολ!πτης έχει πτχε%σει και 1iY = δια$ορετικά. 'τη διάθεσ!

μας, έχουμε ένα σ%νολο χαρακτηριστικ(ν( 1)

ik

x×

για τον δανειολ!πτη i

ηλικία, ετ!σιο εισόδημα, περιουσιακά στοιχεία κλπ- και μαςενδια$έρει να ε&ηγ!σουμε το λόγο για τον οποίο ορισμένοιδανειολ!πτες πτχε%ουν και άλλοι όχι. Αν είμαστε σε θέση να

κάνουμε κάτι τέτοιο με σχετικ! επιτυχία, τότε θα είμαστε σε θέση ναπρο+λέουμε αν ένας νέος δανειολ!πτης, με ορισμένα συγκεκριμέναχαρακτηριστικά, θα πτχε%σει ! όχι.

/ διαδικασία αυτ!, είναι πολ% σημαντικ! στον τραπε)ικό τομέα καιείναι γνστ! σαν ανάλ(ση πιστ"τικο) κινδ)νο( *credit riskanalysis+.

/ απλ! 01 παλινδρόμηση, i i i x β ′= +Y u , δεν μπορεί να οδηγ!σει σεαμερόληπτο εκτιμητ! του β . Ο λόγος, είναι ότι το iu με δεδομένο το

i x - λαμ+άνει τις τιμές i x β ′− και 1 i x β ′− και επομένς η αναμενόμενητιμ! του γενικά δεν θα είναι μηδέν.

2ραγματικά, αν οι τιμές αυτές έχουν πιθανότητες i p και 1 i p− , τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1i i i i i i E x p x p xβ β ′ ′= × − + − × −u , για κάθε 1,...,i n= ,

το οποίο, γενικά δια$έρει, από το μηδέν. 3πομένς, η παρουσίαδιακριτ!ς ε&αρτημένης μετα+λητ!ς, είναι καταστρο$ικ! για τη

μέθοδο 01 και θα πρέπει να ανα)ητ!σουμε εναλλακτικές.

2 έτοια πακέτα ε#ναι το *+, +-/, 456, 789 κ%π. α *+ και το 456 έχουν τηδυνατότητα να υπο%ο$#σουν τι! ανα%υτικέ! παρα$$ου! με ειδικέ! τεχνικέ! συμ:ο%ική! %$ε:ρα!, πρ$μα

που κα&ιστ περιττό τον υπο%ο$ισμό του! από το χρήστη. ραση $ια τη συνρτηση πι&ανο>νεια! και τι! ανα%υτικέ! παρα$$ου!

$ια την εκτ#μησή τ=ν υποδει$μτ=ν με τη μέ&οδο 7.

21?


3/6


Ας υποθέσουμε ότι @iY είναι μια μη παρατηρ%σιμη μετα'λητ% που

δηλ(νει τη ροπ! ενός δανειολ!πτη να είναι συνεπ!ς ! τηχρησιμότητα που απολαμ+άνει από το να είναι συνεπ!ς.

4α υποθέσουμε ότι:@ i i i x β ′= +Y u ,

( )2~ 0,i iid N σ u ,για κάθε 1,...,i n=

και επιπλέον ότι:@

@

1, αν 0,

0, αν 0.

i

i

i

≥=


4/6


3πομένς, στη συγκεκριμένη περίπτση, η συνάρτηση πιθανο$άνειαςπρέπει να είναι:

( ) ( ) ( )E 1F E 0F E 1F E 0F

, ; , 1 0 .i i i i

i ii i i i

i Y i Y i Y i Y

x x L Y X P x P x

β β β σ

σ σ = = = =

′ ′ = = × = = Φ × Φ − ÷ ÷

∏ ∏ ∏ ∏Y Y

6λέπουμε ότι η συνάρτηση πιθανο$άνειας, είναι συνάρτηση μόνο τουAβ σ και όχι τν παραμέτρν αυτ(ν χριστά.

3πομένς, δεν είμαστε σε θέση να ταυτοποι!σουμε τα β και σ

χριστά. 7ια πολ% συνηθισμένη προσέγγιση, είναι να θέσουμε 1σ = ,οπότε θα έχουμε τη συνάρτηση πιθανο$άνειας8:

( ) ( ) ( )E 1F E 0F

; ,i i

i i

i Y i Y

L Y X x xβ β β = =

′ ′= Φ × Φ −∏ ∏ .

/ λογαριθμικ! συνάρτηση πιθανο$άνειας, είναι:

( ) ( ) ( )E 1F E 0F

GH ; , GH GHi i

i i

i Y i Y

L Y X x xβ β β = =

′ ′= Φ + Φ −∑ ∑ .

/ συνάρτηση Φ δεν είναι γνστ! αναλυτικά, αλλά μπορεί ναπροσεγγισθεί αριθμητικά και είναι διαθέσιμη σε όλα ταοικονομετρικά πακέτα, όπς και σε πολλά παραρτ!ματα στατιστικ(νκαι οικονομετρικ(ν +ι+λίν, (στε να μπορεί κανείς να υπολογίσει

τις κριτικές τιμές της τυπικ!ς κανονικ!ς κατανομ!ς.

3ίναι $ανερό, ότι η μεγιστοποίηση της λογαριθμικ!ς συνάρτησηςπιθανο$άνειας ς προς β , δεν μπορεί να γίνει αναλυτικά και έτσιπρέπει να χρησιμοποι!σουμε αριθμητικές μεθόδους για ναυπολογίσουμε τις εκτιμ!σεις μέγιστης πιθανο$άνειας.

3 Iια ισοδύναμη προσέ$$ιση ε#ναι να &έσουμε :Aσ J $ και να εκτιμήσουμε του! συντε%εστέ! $.

21K

7ε δεδομένες τις εκτιμ!σεις Lβ , ένας νέος δανειολ!πτης μεχαρακτηριστικά στο διάνυσμα 0 x , θα έχει πιθανότητα

πτ(χευσης:

( ) ( )0 0 L0 i P x x β ′= = Φ −Y .

Αν η πιθανότητα αυτ! είναι σχετικά μεγάλη, γιαπαράδειγμα μεγαλ%τερη από .8 ! ., η τράπε)α έχειεπαρκ! στοιχεία για να αρνηθεί τη χορ!γηση δανείου.


5/6


Αν ορίσουμε τη συνάρτηση:

GH ( ) ( )( )

( )

d z z x

dz z

ϕ ΦΛ = =

Φ, όπου ( ) ( )

1A 2 2( ) 2 4BC A 2 z z ϕ π −= − ,

είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυπικ!ς κανονικ!ςκατανομ!ς, θα έχουμε:

( )( ) ( )

( 1)E 1F E 0F

( 1)

GH ; ,

i i

i i i

k i Y i Y

k

L Y X x x x

β β β

β ×= =×

∂′ ′= Λ − Λ − ×

∂ ∑ ∑

1 4 4 2 4 43.

Οι εκτιμ!σεις μέγιστης πιθανο$άνειας, θα είναι λ%σεις τν μηγραμμικ(ν ε&ισ(σεν:

( ) ( )( 1)( 1)E 1F E 0F

L L 0i i

i i ik k i Y i Y

x x xβ β ××= =

′ ′Λ − Λ − × =

∑ ∑ .

Οι λ%σεις Lβ , δεν μπορο%ν να υπολογισθο%ν αναλυτικά, αλλά

μπορο%ν να υπολογισθο%ν αριθμητικά, με διά$ορες αριθμητικέςμεθόδους μεγιστοποίησης. Ο μέθοδοι αυτές, υπάρχουν σε όλα ταοικονομετρικά πακέτα και είναι σε θέση να δ(σουν εκτιμ!σεις τνπαραμέτρν σε λίγα δευτερόλεπτα, ακόμη και στη περίπτση πουέχουμε πολ% μεγάλα δείγματα πχ . άτομα-.

2οια είναι η επίδραση τν χαρακτηριστικ(ν στην πιθανότητα γιαπτ(χευση; 7πορο%με να υπολογίσουμε ε%κολα, ότι:

( )( ) ( )

( 1)

( 1)

0 i i

i i

k i

k

P x x x

xϕ β β ϕ β β

×

×

∂ =′ ′= − − × = − ×

∂Y

1 44 2 4 43.

5υσικά, θα έχουμε :

( ) ( )GH 0 i i ii

P x x x

β β ∂ = ′= − Λ ×∂Y .

Αν ορισμένα i x είναι σε λογαρίθμους, τότε η παραπάν έκ$ραση δίνει

την ελαστικότητα της επίδρασης αυτ(ν τν χαρακτηριστικ(ν στηπιθανότητα της πτ(χευσης.

220


6/6


/ συνάρτηση Λ , είναι πάντα θετικ! και επομένς τα πρόσημα τνεπιδράσεν, θα είναι τα ίδια με τα πρόσημα τν β .

"ο γεγονός ότι η συνάρτηση Φ δεν είναι διαθέσιμη αναλυτικά,οδ!γησε τους ερευνητές σε εναλλακτικές συναρτ!σεις κατανομ!ς που

να μπορο%ν να υπολογισθο%ν σε αναλυτικ! μορ$!. 7ια τέτοια, είναι

η λογιστικ! συνάρτηση κατανομ!ς, ( )( )

1

1 4BC F z

z =

+ − , για κάθε z ∈ ¡ .

Από τη μορ$! της συνάρτησης πιθανο$άνειας, είναι προ$ανές ότι θαμπορο%σαμε να υποθέσουμε απευθείας δηλαδ! χρίς τη χρ!ση της μη

παρατηρ!σιμης μετα+λητ!ς @iY - ότι έχουμε:

( ) ( )( )

11

1 4BCi i i

i

P x F x x

β β

′= = =′+ −

Y

και επομένς:

( )( )

10

1 4BCi i

i

P x x β

= =′+

Y .

"ο υπόδειγμα αυτό, είναι γνστό σαν logit και χρησιμοποιείταιευρ%τατα, μα)ί με το υπόδειγμα probit. / λογαριθμικ! συνάρτησηπιθανο$άνειας του υποδείγματος logit, θα είναι:

( ) ( )E 0F

GH ; , GH 1 4BCi

i i

i i Y

L Y X x xβ β β =

′ ′= − + − − ∑ ∑ .

/ συνάρτηση αυτ!, είναι ε%κολο να μεγιστοποιηθεί με τις γνστέςαριθμητικές μεθόδους. Οι συνθ!κες πρ(της τά&ης για τον υπολογισμότν εκτιμ!σεν μέγιστης πιθανο$άνειας, είναι:

( )1 E 0F1

L1 4BC

i

n

i i

i i Y i

x x x β = =

× =′+

∑ ∑ .

7πορεί να αποδειχθεί ότι οι λογαριθμικές συναρτ!σειςπιθανο$άνειας τν υποδειγμάτν logit και probit είναι παντο%

κοίλες και έχουν ένα μοναδικό μέγιστο.

lectures in applied econometrics 09

Documents