lectures in applied econometrics 10

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 10

http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-10 1/11

10. Η Γενικευμένη μέθοδος των ροπών (GMM)

Κ εφάλαιο 10 .Η Γενικευμένη

Μέθοδος των Pοπών

(G ! Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έν τυχ !ο δε!"μ 1 2, ,..., nX X X πό τηνκ τ νομ# Γ$μμ % με συν$ρτηση πυκνότητ ς&

( ) ( )1; exp / f x c x xα θ β −= × − % 0 x ≥ % , 0α β >

κ ι η στ θερ$ ο'οκ'#ρωσης ε!ν ι1

&

( )1

c α β α = Γ .

ο δι$νυσμ των π ρ μέτρων ε!ν ι&

α

θ β =

.

!ν ι "νωστό πό τη *τ τιστικ# ότι οι πρώτες δυο ροπές τηςκ τ νομ#ς ε!ν ι&

( ) E αβ =X κ ι ( ) 2 Var αβ =X % δη' δ# ( ) ( )2 2 1 E αβ α = +X .

1 Η συνάρτηση Γ(α) για ακέραια τιμή του α (με α 1) ε!ναι α"#ά Γ(α)$(α%1)&. 'ε την έννοια αυτή, ησυνάρτηση Γ εν ε!ναι "αρά γεν!κευση του "αραγοντικο σε μη ακέραιε* τιμέ* του α.

222




Αν ορ!σουμε τη δι νυσμ τικ# συν$ρτηση&

( ) 2

X g X

X

=

%

τότε θ έχουμε&

( )( )2

1 E g

αβ

αβ α

= +

X .

*+μ,ων με τη μέθοδο των ροπών% ε-ισώνουμε τις ροπές τουπ'ηθυσμο+ με τις ροπές του δε!"μ τος "ι ν '$ ουμε εκτιμ#σειςτων π ρ μέτρων.

*την περ!πτωσ# μ ς θ πρέπει ν '$ ουμε εκτιμ#σεις με $ση τιςε-ισώσεις&

( ) ( )1

1

n

ii

E g n g −

== ∑X X %

οι οπο!ες 'έ"οντ ι "υνθ#κες ο$θο%ωνι&τητας (orthogonality conditions ). ο πρώτο μέ'ος% ε!ν ι

( ) ( ) ( ) ( ) ; E g g X f X dX M θ θ ∞

−∞

= × ≡ ∫ X

κ ι δεν ε!ν ι π ρ$ μι συν$ρτηση των π ρ μέτρων. ο δε+τερο

μέ'ος% ε!ν ι ( )1

1

n

ii

n g X m−

=× ≡∑ κ ι ποτε'ε! στοιχε! . /στόσο% έχουμε&

( )

1

11

2 21 1 2

1

n

ini

i ni

ii

n X X

n g X S X n X

−

=−

= −

=

= = +

∑∑

∑%

όπου1

1

n

ii X n X

−

==

∑ κ ι ( ) ( )212

1 1

n

iiS n X X

−

== − × −

∑ .

ι εκτιμητές της μεθ&δου των $οπών % προκ+πτουν '+νοντ ς τοσ+στημ &

2++ =αβ X κ ι ( )2 2 2++ +1 + = +αβ α S X %

22




δη' δ#2

22

+ 1= + −Sβ X

X κ ι 2 ++ /=α X β .

ι εκτιμητές υτο!% θ ε!ν ι κρι ώς !διοι με εκε!νους πουπροκ+πτουν πό το πρό 'ημ ριστοπο!ησης&

( ) ( )- . M m M mθ

θ θ ′− − .

Η "ενικευμένη μέθοδος των ροπών ( generalized method of moments %GMM) του Hansen (1 23)% στηρ!4ετ ι στην ιδέ ότι μπορε! ν έχουμεπε$ι""&τε$ες ε-ισώσεις πό $"νωστες π ρ μέτρους% δη' δ# ησυν$ρτηση ( ) M θ κ ι το δι$νυσμ m ν έχουν δι$στ ση 1q × % τοδι$νυσμ των π ρ μέτρων θ ν ε!ν ι 1k × κ ι ν έχουμε q k ≥ .

ότε% το πρό 'ημ ριστοπο!ησης της μεθόδου GMM% ε!ν ι&

( ) ( ) ( ) ( )1 1- / M m W M m g W g θ

θ θ θ θ − −′ ′− − ≡ %

όπου ( ) ( ) g M mθ θ ≡ − κ ι W ε!ν ι μι μ#τρ στ θμ!σεων% δι$στ σηςq q× .

Αν θέσουμε qW I = % τότε η μέθοδος GMM ε' χιστοποιε! το $θροισμτων τετρ "ώνων των ποκ'!σεων των π'ηθυσμι κών ροπών πό τις

δει"μ τικές ροπές.

5υσικ$% ν έχουμε qW I = κ ι q k = % η μέθοδος GMM κ τ '#"ει στηνπ'# μέθοδο των ροπών.

* ν έν απλ& πα$άδει%μα % ς θεωρ#σουμε το μη "ρ μμικόυπόδει"μ &

t t t θ = +Y X u % "ι κ$θε 1,...,t n= .

6χουμε τις οηθητικές μετ 'ητές 1t z

κ ι 2t z κ ι επομένως οισυνθ#κες ορθο"ωνιότητ ς% ε!ν ι&

( ) ( )1 1 0t t t t t E E X θ × = − × = u z Y z %

( ) ( )2 2 0t t t t t E E X θ × = − × = u z Y z .

*το δε!"μ οι ντ!στοιχες συνθ#κες θ #τ ν&

22




( ) ( )11 1

1

0n

t t t t

g n X θ θ −

=

≡ × − × = ∑ Y z %

( ) ( )12 2

1

0n

t t t t

g n X θ θ −

=

≡ × − × = ∑ Y z .

,όσον έχουμε δυο ε-ισώσεις κ ι έν ν μον δικό $"νωστο (το θ ) δενε!μ στε σε θέση ν '+σουμε το σ+στημ .

7πορο+με% όμως% ν ε, ρμόσουμε τη 'ο"ικ# της μεθόδου 89 κ ι ν'+σουμε το πρό 'ημ ριστοπο!ησης&

( ) ( )2 2

1 1- g g θ

θ θ + .

ο πρό 'ημ ριστοπο!ησης της μεθόδου GMM ε!ν ι μι "εν!κευσηυτο+ του προ '#μ τος&

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 11 22 121 1 1 2- 2S g W g w g w g w g g

θ θ θ θ θ θ θ θ −′= = + + %

όπου&

11 121

12 22

w wW

w w− ≡ ÷

.

7ε δεδομένη τη μ#τρ W % η '+ση υτο+ του προ '#μ τος μπορε! νπρ "μ τοποιηθε! μόνο ριθμητικ$. 7πορο+με πχ ν κ$νουμε μι"ρ ,ικ# π ρ$στ ση της συν$ρτησης ( )S θ ως προς θ κ ι ν δο+με%προσε""ιστικ$% σε ποιο σημε!ο ε' χιστοποιε!τ ι.

ο σημε!ο υτό% έστω +θ % θ ε!ν ι η GMM εκτ!μηση.

Η χρησιμότητ της μεθόδου GMM% ε!ν ι ότι μπορε! ν μ ς δώσειεκ,ρ$σεις "ι τη μ#τρ συνδι κ+μ νσης των π ρ μέτρων (κ ιεπομένως των τυπικών σ, 'μ$των) κόμη κ ι ότ ν τ σ,$'μ τδεν ικ νοποιο+ν τις κ' σσικές υποθέσεις κ ι κόμη κ ι ν τυποδε!"μ τ$ μ ς δεν ε!ν ι "ρ μμικ$ .

πομένως%

22




η '$#"η της μεθ&δου G μπο$ε να οδη%#"ει "ε εκτιμ#"ειςτων τυπικών "φαλμάτων που ε ναι "ω"τές ακ&μη και ανυπά$'ει αυτο"υ"'έτι"η και ετε$ο"κεδα"τικ&τητα %ια τις

οπο ες δεν κάνουμε καμ α πα$αμετ$ικ# υπ&θε"η .

6ν π ρ$δει"μ της χρ#σης της μεθόδου GMM% με τ στοιχε! τηςσυν$ρτησης κ τ ν$'ωσης "ι την ''$δ % δ!νετ ι π ρ κ$τω.

* ν οηθητικές μετ 'ητές% χρησιμοποι#σ με τη στ θερ$% τοεισόδημ κ ι το τετρ$"ωνό του.

223




Dependent Variable: CCMethod: Generalized Method of MomentsSample: 1960 1997Incl ded obser!ations: "#$o pre%hitenin&'and%idth: (i)ed *"+,ernel: 'artlettCon!er&ence achie!ed after: 1# %ei&ht matricies- 19 total coef iterationsInstr ment list: . ./

Variable Coefficient Std 2rror t3Statistic 4robC 30 0" 705 0 019 51 31 69975# 0 097#. 0 7"# "0 0 0"77"6 19 711# 0 0000

3s8 ared 0 91#050 Mean dependent !ar 0 15"9" d sted 3s8 ared 0 91 765 S D dependent !ar 0 1757""S 2 of re&ression 0 0 0715 S m s8 ared resid 0 09 ##D rbin3;atson stat 0 0#60"" <3statistic 0 1 177#

ποτε'έσμ τ με τη μέθοδο 89 ε!ν ι τ π ρ κ$τω.

Dependent Variable: CCMethod: =east S8 aresSample: 1960 1997Incl ded obser!ations: "#

Variable Coefficient Std 2rror t3Statistic 4robC 30 07 97 0 0 7961 3 # 610 0 01"9. 0 767565 0 0" 191 1 #0#" 0 0000

3s8 ared 0 9 96"" Mean dependent !ar 0 15"9" d sted 3s8 ared 0 9 767# S D dependent !ar 0 1757""S 2 of re&ression 0 056990 >ai>e info criterion 3" 6 5#S m s8 ared resid 0 07959 Sch%arz criterion 3" 150" 9=o& li>elihood 6" "055 (3statistic 57 6050D rbin3;atson stat 0 10# 76 4rob*(3statistic+ 0 000000

Η μέθοδος GMM μπορε! ν χρησιμοποιηθε! "ι ν '$ ουμε τονεκτιμητ# της μεθόδου των οηθητικών μετ 'ητών (:;) κ ι ν έχουμε( ν υτό ε!ν ι επιθυμητό) μι μ#τρ συνδι κ+μ νσης που ε!ν ισωστ# ότ ν υπ$ρχει υτοσυσχέτιση κ ι ετεροσκεδ στικότητ .

Γι π ρ$δει"μ % στο "ρ μμικό υπόδει"μ { 11

t t t k

k

β ××

′= +Y z u % ν έχουμε έν

δι$νυσμ μετ 'ητών%1t

m×x % που ε!ν ι συσχέτιστες με τ σ,$'μ τ %

θ έχουμε τις συνθ#κες ορθο"ωνιότητ ς στον π'ηθυσμό&

( ) ( ) ( 1) 0 0t t t t t m E E β ×′× = ⇒ × − = x u x Y z .

Αν έχουμε m k = % τότε η εκτ!μηση GMM θ ε!ν ι&

224




( ) ( )1

11( 1)

1 1 1

+ + 0n n n

t t t k GMM t t t t t t t

n x Y z x z x Y Z X X Y β β −

−−×

= = =

′ ′ ′ ′− = ⇒ = × = ÷ ∑ ∑ ∑ .

πομένως ο εκτιμητ#ς GMM δεν θ ε!ν ι π ρ$ ε!ν ι ο εκτιμητ#ς :;.<ρέπει ν ν ,έρουμε τέ'ος% ότι n επ! την ντικειμενικ# συν$ρτησηστις τε'ικές εκτιμ#σεις GMM% ε!ν ι η 'ε"όμενη J =στ τιστικ# του

Hansen % που κο'ουθε! συμπτωτικ$ την κ τ νομ# 2 ( )q k χ − % νέχουμε q k > .

Η στ τιστικ# υτ# πρέπει ν ε!ν ι κοντ$ στο μηδέν% ν οι υπερ=τ υτοποιητικο! περιορισμο! ( overidentifying restrictions ) ε!ν ισωστο!.

<ιο συ"κεκριμέν % ότ ν έχουμε q k > συνθ#κες ορθο"ωνιότητ ς κ ι k περιορισμο+ς% ε!ν ι , νερό ότι q k − περιορισμο! δεν θ ε!ν ιυποχρεωτικ$ μηδέν.

/στόσο% θ ό,ει' ν ν ε!ν ι στ τιστικ$ >κοντ$? στο μηδέν ν τουπόδει"μ ε!ν ι σωστ$ ε-ειδικευμένο. <χ στο υπόδει"μ τηςκ τ νομ#ς Γ$μμ % ν θεωρ#σουμε μόνο τις δυο πρώτες δυο ροπές% η

ντικειμενικ# συν$ρτηση της GMM πρέπει ν ε!ν ι μηδέν% ,ο+έχουμε ν εκτιμ#σουμε δυο π ρ μέτρους.

)ν ει"ά%ουμε και μια τ$ τη ε* "ω"η+ που αφο$ά τηναπ&κλι"η της πληθυ"μιακ#ς απ& τη δει%ματικ# α"υμμετ$ ακαι αυτ# οδη%ε "ε μια ,-"τατι"τικ# που ε ναι "τατι"τικά"ημαντικ#+ αυτ& θα "#μαινε &τι+ πιθαν&τατα+ η υπ&θε"η τηςκατανομ#ς Γάμμα δεν ε ναι "υμ ατ# με τα "τοι'ε α.

225




Μη %$αμμικά "υ"τ#ματα ε*ι"ώ"εων

Η μέθοδος GMM μπορε! ν χρησιμοποιηθε! με π'ό τρόπο στηνπερ!πτωση μη "ρ μμικών συστημ$των ε-ισώσεων 3&

( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1),t t k qq s q

f θ ××× × ×

= + tY z u % "ι κ$θε 1,...,t n= .

Αν υποθέσουμε ότι υπ$ρχει έν δι$νυσμ( 1)

t r ×x του οπο!ου οι

μετ 'ητές ε!ν ι συσχέτιστες με τ σ,$'μ τ t u % οι συνθ#κεςορθο"ωνιότητ ς της μεθόδου GMM% θ ε!ν ι&

[ ][ ]

1 1 ( 1)

2 2 ( 1)

( 1)

( , ) 0

( , ) 0

0( , )

t t t r

t t t r

r tq q t t

f

f E

f

θ

θ

θ

×

×

×

− × − ×

= − ×

Y z x

Y z x

Y z x

M M % "ι κ$θε 1,...,t n= .

*ε πιο συμπ "# μορ,# οι συνθ#κες ορθο"ωνιότητ ς ε!ν ι&

[ ]{ } ( 1)( , ) 0t t t rq E f θ ×− ⊗ =Y z x % "ι κ$θε 1,...,t n= .

ο "ινόμενο ⊗ 'έ"ετ ι "ινόμενο του Kronecker κ ι ορ!4ετ ι ως ε-#ς&Γι δυο δι ν+σμ τ @ κ ι A (όχι ν "κ στικ$ !δι ς δι$στ σης) το

a b⊗ [ ]

1

2i

n

a ba b

a b

a b

= =

M. Αν "ι π ρ$δει"μ % το a ε!ν ι 1× κ ι το b ε!ν ι

1× % τότε το a b⊗ θ έχει δι$στ ση 1 1× .

έτοι μη "ρ μμικ$ συστ#μ τ ε-ισώσεων% προκ+πτουν ,υσιο'ο"ικ$πό την ν$'υση συμπερι,ορ$ς του κ τ ν 'ωτ# κ ι την ν$'υση

της επιχε!ρησης με $ση τη συν$ρτηση κόστους% όπως θ δο+μεπ ρ κ$τω σε επόμενο τμ#μ .

!ν ι προ, νές ότι στο π ρ π$νω σ+στημ μπορε! ν υπ$ρχουναυθα $ετοι πε$ιο$ι"μο στις π ρ μέτρους% πχ πο''ές π ρ$μετροιμπορε! ν ε!ν ι κοινές στις δι ,ορετικές ε-ισώσεις. 6ν π'όπ ρ$δει"μ % ε!ν ι το ε-#ς&

2 6α υ"ο ε!γματα αυτά ε!ναι τα "ιο γενικά "ου 7ρησιμο"οιο νται στην οικονομετρ!α.

228




( ) ( )1 1 2 1 2 1

22 1 2 1 2 2

,

1 1 .

t t t t

t t t t

θ θ θ

θ θ θ

= + + +

= − + + − +Y z z u

Y z z u

Η ευε'ι-! της μεθόδου GMM% "!νετ ι , νερ# πό το "ε"ονός ότι το

δι$νυσμ tz μπορε! ν περι' μ $νει κ$ποιες πό τις ενδο"ενε!ςμετ 'ητές του συστ#μ τος ( t Y ).

*την περ!πτωση υτ#% μπορο+με ν χρησιμοποι#σουμε σ ν t x τιςπροκ θορισμένες μετ 'ητές του συστ#μ τος% πρ$"μ που οδη"ε! σεέν ν εκτιμητ# που ε!ν ι "νωστός σ ν εκτιμητ#ς της μεθόδου τωνε'$χιστων τετρ "ώνων σε τρ! στ$δι ( three stage least squares %B989).

εκτιμητ#ς υτός% ε!ν ι συμπτωτικ$ ισοδ+ν μος με τον εκτιμητ#M8 ότ ν τ σ,$'μ τ ε!ν ι κ νονικ$. εκτιμητ#ς M8% στηνπερ!πτωση υτ#% ε!ν ι "νωστός κ ι σ ν εκτιμητ#ς μέ"ιστηςπιθ νο,$νει ς με π'#ρη π'ηρο,όρηση ( full information maximumlikelihood % C:M8).

εκτιμητ#ς υτός% προκ+πτει ν με"ιστοποι#σουμε τη συν$ρτησηπιθ νο,$νει ς του συστ#μ τος κ ι μπορε! ν υπο'ο"ισθε! μόνο με

ριθμητικές μεθόδους% κόμη κι ν ό'ες οι ε-ισώσεις ε!ν ι "ρ μμικέςστις π ρ μέτρους κ ι δεν υπ$ρχουν π ρ μετρικο! περιορισμο! μετ -+των ε-ισώσεων.

/ ναι φανε$& &τι μπο$ε κανε ς να '$η"ιμοποι#"ειδιαφο$ετικές οηθητικές μετα λητές κατά την εφα$μο%#της μεθ&δου G + αν αυτές ε ναι διαθέ"ιμες.

Από την $''η μερι$% μπορο+με ν εκτιμ#σουμε μια μ&νο ε-!σωση κ ιόχι ο'όκ'ηρο το σ+στημ . Αν πχ θέ'ουμε ν εκτιμ#σουμε μόνο τηπρώτη ε-!σωση% οι συνθ#κες ορθο"ωνιότητ ς της μεθόδου GMM% θε!ν ι&

( )1 1 ( 1)( , ) 0t t t r E f θ ×− ⋅ = Y z x % "ι κ$θε 1,...,t n= .

εκτιμητ#ς που προκ+πτει% ε!ν ι "νωστός σ ν εκτιμητ#ς τηςμεθόδου των ε'$χιστων τετρ "ώνων σε δυο στ$δι ( two stage leastsquares % 3989) κ ι ε!ν ι συμπτωτικ$ ισοδ+ν μος με τον εκτιμητ#μέ"ιστης πιθ νο,$νει ς (M8) της "υ%κεκ$ιμένης ε-!σωσης ότ ν τσ,$'μ τ ε!ν ι κ νονικ$.

εκτιμητ#ς M8% στη περ!πτωση υτ#% ε!ν ι "νωστός κ ι σ νεκτιμητ#ς μέ"ιστης πιθ νο,$νει ς με περιορισμένη π'ηρο,όρηση

2 0




(limited information maximum likelihood % 8:M8). 'ό"ος "ι τονοπο!ο θ θέ' με ν εκτιμ#σουμε μι μόνο ε-!σωση κ ι όχι ο'όκ'ηροτο σ+στημ ε!ν ι ότι μπορε! ν ε!μ στε σχεδόν έ ιοι "ι την ορθ#συν ρτησι κ# ε-ειδ!κευση της συ"κεκριμένης ε-!σωσης% ''$ όχι κ ι"ι τις υπό'οιπες ε-ισώσεις του συστ#μ τος.

ο π'εονέκτημ της μεθόδου GMM% ε!ν ι ότι δεν κ$νει υποθέσεις "ιτην κ τ νομ# των σ, 'μ$των όπως οι εκτιμητές M8% ενώ ε!ν ι σεθέση ν $ρει τις περιοριστικές υποθέσεις των εκτιμητών 3989 κ ιB989 ν ,ορικ$ με την πουσ! υτοσυσχέτισης #ετεροσκεδ στικότητ ς.

*την πρ$-η% ότ ν έχουμε "ρ μμικ$ υποδε!"μ τ % η ε, ρμο"# τηςμεθόδου GMM , !νετ ι ν ε!ν ι επι ε 'ημένη ότ ν υπ$ρχει ηυπόνοι ότι έχουμε υτοσυσχέτιση # ετεροσκεδ στικότητ . Ημέθοδος GMM% θ μ ς δώσει τυπικ$ σ,$'μ τ που ε!ν ι σωστ$

κόμη κ ι ν υπ$ρχουν υτ$ τ προ '#μ τ κ ι δεν ε!μ στεδι τεθειμένοι% όπως ε!ν ι συνηθισμένο% ν δι 'έ-ουμε π ρ μετρικέςμορ,ές "ι την υτοσυσχέτιση # ετεροσκεδ στικότητ .

π!σης% στην περ!πτωση της εκτ!μησης "ρ μμικών υποδει"μ$των% τοπρό 'ημ των σ, 'μ$των μέτρησης στις μετ 'ητές # τηςενδο"ένει ς κ$ποιων ερμηνευτικών μετ 'ητών% μπορε! ν 'υθε!ε+κο' με τη χρ#ση της μεθόδου GMM% ν μπορο+με νπροσδιορ!σουμε μετ 'ητές που ν ε!ν ι ορθο"ώνιες με τ σ,$'μ τ( ''$ &'ι με τις μετ 'ητές μ ς).

5υσικ$% η σωστ# ε, ρμο"# της μεθόδου GMM% π ιτε! την ε+ρεσηκ τ$''η'ων οηθητικών μετ 'ητών.

ε %$αμμικά υποδε %ματα+ μπο$ε κανε ς να υποθέ"ει (αναυτ& ε ναι "ω"τ&! &τι οι ε$μηνευτικές του μετα λητές+ ε ναιο$θο%ώνιες με τα "φάλματα και έτ"ι η μέθοδος G μπο$ενα εφα$μο"θε πολ απλά2 3εν θα δώ"ει πα$ά τις εκτιμ#"εις

2 1

/πομένως+ η '$#"η της μεθ&δου G + φα νεται να κατα$%εμε%άλο μέ$ος της 4πα$αδο"ιακ#ς5 οικονομετ$ ας που δ νει

έμφα"η "τον έλε%'ο %ια αυτο"υ"'έτι"η #ετε$ο"κεδα"τικ&τητα και "τη "υνέ'εια δι&$θω"η των

π$ο λημάτων αυτών με πα$αμετ$ικές υποθέ"εις+ &πως π' το"'#μα 67(1! κλπ. 8να άλλο π$& λημα αυτών των

διαδικα"ιών+ ε ναι &τι οδη%ο ν "ε π$ο-ελε%'&μενους( pretest ! εκτιμητές+ π$ά%μα που "ημα νει &τι τα τυπικά

τους "φάλματα ε ναι υποεκτιμημένα.




9:+ με τυπικά "φάλματα που θα ε ναι "ω"τά ακ&μη και ανυπά$'ει αυτο"υ"'έτι"η # ετε$ο"κεδα"τικ&τητα+ αυθα $ετηςμο$φ#ς.

5υσικ$% το κόστος της μεθόδου ε!ν ι ότι π ιτε! πο'+ με"$'

δε!"μ τ "ι ν ε!ν ι -ιόπιστη% όπως , !νετ ι πό πειρ$μ τπροσομοιώσεων.

2 2

lectures in applied econometrics 10

Documents