leyb g/qúrhn- Ã yÑ[fqúrhy> 内容简介 “电路与电子学基础”...

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学出版社

职教技术出版中心

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内　容　简　介

　　 “电路与电子学基础” 是计算机、信息、电子、自动控制、光电类等

专业的一门理论性、实践性都比较强的技术基础课。本着理念和技术 “创

新、先进、应用” 的指导思想，体系更新、保证基础、立足应用，全书内

容包括线性电路分析方法、模拟电子技术基础及集成运算放大器的应用两

大部分。书中着重基本概念、基本理论和方法、基本电路的分析和应用。

重点突出，要点明确。丰富的例题和习题，除围绕上述着重点外，还注意

思考性、启发性和一定的延伸性，使读者增强分析问题和解决问题的能力。

本书兼顾了深度和广度，适合用作高等院校计算机、信息、电子、自

动控制、光电类和理科等专业的教材，也适合用作各种类型的成人教育和

相关专业科技人员的参考用书。

　图书在版编目（CIP）数据

　电路与电子学基础／周树南，周晨华编著． — ２版． —北京：科学出版社，

２０１０　

　（普通高等教育 “十二五” 规划教材 ·信息与电子技术类系列教材）

　 ISBN ９７８唱７唱０３唱０２７９７１唱２

　 Ⅰ ． ①电 ⋯ 　 Ⅱ ． ①周 ⋯ ②周 ⋯ 　 Ⅲ ． ①电路理论高等学校教材 ②电

子学高等学校教材　 Ⅳ ． ① TM１３ ② TN０１　中国版本图书馆 CIP数据核字（２０１０）第１１３６６０号

责任编辑：赵卫江／责任校对：王万红

责任印制：吕春珉／封面设计：东方人华平面设计部

科学出版社发行　各地新华书店经销

倡

２０００年９月第一版　　开本：７８７ × １０９２　１／１６

２０１０年月第二版　　印张：２３１／２

２０１０年月第九次印刷　　字数：５４００００

印数：１７００１ — ２００００

定价：36畅00元（如有印装质量问题，我社负责调换枙双青枛）

销售部电话：０１０唱６２１３４９８８　编辑部电话：０１０唱６２１３８０１７

版权所有，侵权必究举报电话：０１０唱６４０３０２２９；０１０唱６４０３４３１５；１３５０１１５１３０３

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为了适应计算机技术的飞速发展和对计算机类学科现有专业结构、课程体系和教学

内容进行系统的、整体的改革，改变长期以来多门技术基础课分设，学时多且内容较庞

杂陈旧，与专业结构、课程体系的改革不配套的情况，２０００年我们编写了这本教材。

教材包含了原 “电路分析” 和 “模拟电子技术基础” 两门课程，压缩、优化了教学计划

中有关课程的总学时，而且考虑了专业结构中课程设置和体系改革的需要。近几年来，

随着我国教育事业的发展，为了适应不同类型院校信息、电子、控制、光电及机电类专

业不同设课类型的教学需要，在修订中，增加了以 “ 倡 ” 号标记的可选内容。非 “ 倡 ”

号内容仍是按本科计算机专业一学期（７２学时）课程安排的。

全书共１３章，前六章是电路分析部分，后七章是模拟电子技术部分。在编写和修

订过程中，编著者按照复合型人才培养的需求，以培养学生分析问题和解决问题的能力

为目标，并围绕教学内容、体系、手段更新的要求和贯彻 “少而精、学到手、用得上”

的教学原则，注重基本概念、原理、分析方法的理解和应用，减少复杂的数学推导，简

化定量分析，注重定性分析，并丰富例题和引导。从内容安排、组织形式和教学方式

上，注意突出重点、突破难点、前呼后应、举一反三，以及精讲多练、练和讨论结合，

促进与激发学生学习的能动作用，帮助他们建立、提高科学的思维方法和归纳、总结能

力，增强综合运用知识去分析问题和解决问题的能力。不仅如此，由于在教材编著和应

用中，就着力于使课程教学和相应的实验教学、实训教学和实践教学系统密切结合，理

论联系实际，实践培养技能，所以有利于社会广泛需要的高技能应用型人才的成长。另

外，从编写看，全文阐述步骤明确，说理比较细致，文字叙述力求简明扼要、深入浅

出、思路清晰，便于课后复习或自学。

本书的出版得到了北京理工大学沈世锐教授、张砚春女士和北京邮电大学白中英教

授、方维副教授以及张伯颐副教授的很大支持，在此一并表示衷心的感谢。

由于编著者水平、经验有限，时间又较紧，书中存在疏漏与不妥之处，热忱希望读

者予以指正。

编著者２０１０年６月

第 1章　电路分析导论１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１畅１　电路及其模型１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅１畅１　电路的作用、组成与模型１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅１畅２　电路分析的基本变量２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１畅２　电路基本元件５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅２畅１　电阻元件５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅２畅２　电感元件６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅２畅３　电容元件８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅２畅４　电源元件和实际电源模型９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅２畅５　受控源１１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１畅３　基尔霍夫定律１３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅３畅１　基尔霍夫电流定律（KCL）１３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅３畅２　基尔霍夫电压定律（KVL）１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１畅４　等效变换１７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅４畅１　等效和等效变换１７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１畅４畅２　等效分析法１８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１畅５　小结２８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题２９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 2章　电路分析方法和定理３２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　２畅１　支路电流法３２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡２畅２　网孔电流法３３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡２畅３　回路电流法３５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　２畅４　节点电压法３６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　２畅５　线性电路的叠加性和齐次性４０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　２畅６　等效电源定理４１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　２畅６畅１　戴维南定理（等效电压源定理）４１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　２畅６畅２　诺顿定理（等效电流源定理）４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　２畅７　电路中的对偶４６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　２畅８　小结４７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题４８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 3章　正弦电路的稳态分析５２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅１　正弦量的基本概念５２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

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　　　电路与电子学基础　　　　

　　　　３畅１畅１　正弦量的特征量５２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅１畅２　同频率正弦量的相位差５３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅１畅３　周期信号的有效值５３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅２　正弦量的相量表示５５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅２畅１　复数及其运算５５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅２畅２　相量和相量图５７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅２畅３　基尔霍夫定律的相量形式５９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅２畅４　电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式６０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅３　阻抗和导纳６２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅３畅１　欧姆定律的相量形式，阻抗与导纳６２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅３畅２　阻抗和导纳的等效变换６５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅４　正弦稳态电路的分析６９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅５　正弦稳态电路的功率７２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅５畅１　瞬时功率７２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅５畅２　平均功率７３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅５畅３　无功功率７３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅５畅４　视在功率７４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅５畅５　复功率７４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅５畅６　功率因数的提高７５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅６　电路中的谐振７７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅６畅１　 RLC串联谐振电路７８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅６畅２　 RLC并联谐振电路８０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡３畅７　耦合电感电路８２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅７畅１　耦合电感的伏安关系８２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅７畅２　含耦合电感电路的计算８４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅７畅３　理想变压器８９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡３畅８　三相电路９１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅８畅１　对称三相电源９２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅８畅２　三相电路的连接９２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　３畅８畅３　三相电路的功率９５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　３畅９　小结９６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题９８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯倡第 4章　非正弦周期电流电路１０３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　４畅１　非正弦周期信号１０３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　４畅２　非正弦周期函数的谐波分析１０４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　４畅３　平均值、有效值和平均功率１０６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　４畅３畅１　平均值１０６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　４畅３畅２　有效值１０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　４畅３畅３　平均功率１０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ⅳ

　目　　录　　　　

　　４畅４　非正弦周期电流电路的计算１０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　４畅５　小结１０９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题１０９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 5章　电路的动态分析１１２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　５畅１　换路定律、初始值、稳态值１１２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅１畅１　换路定律１１２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅１畅２　初始值、稳态值的确定１１３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　５畅２　 RC电路的动态分析１１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅２畅１　 RC电路的零输入响应１１５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅２畅２　 RC电路的零状态响应１１６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅２畅３　 RC电路的全响应１１７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　５畅３　微分电路和积分电路１１８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅３畅１　微分电路１１８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅３畅２　积分电路１１９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　５畅４　一阶电路的三要素法１２０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　５畅５　 RL电路的动态分析１２２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅５畅１　 RL电路的零输入响应１２２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅５畅２　 RL电路的零状态响应和全响应１２３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡５畅６　阶跃信号和阶跃响应１２６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡５畅７　二阶电路的动态分析１２９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅７畅１　 RLC串联电路的零输入响应１２９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅７畅２　 RLC串联电路的全响应１３２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　５畅７畅３　 GLC并联电路的动态分析１３３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　５畅８　小结１３３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题１３４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯倡第 6章　双口网络１３８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　６畅１　双口网络及其端口条件１３８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　６畅２　双口网络参数方程及其等效电路１３９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　６畅２畅１　导纳参数１３９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　６畅２畅２　阻抗参数１４１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　６畅２畅３　混合（或称 H）参数１４２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　６畅２畅４　传输方程和 A 、 B参数１４３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　６畅３　双口网络的连接１４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　６畅４　小结１４８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题１４９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 7章　半导体器件基础１５０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　７畅１　半导体的基本知识１５０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡７畅１畅１　本征半导体及其导电性１５１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡７畅１畅２　杂质半导体１５２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

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　　　倡７畅１畅３　 PN结１５３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　７畅２　半导体二极管１５６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅２畅１　二极管的结构１５６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅２畅２　二极管的伏安特性、电路模型和参数１５６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅２畅３　特殊二极管１５８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　７畅３　双极型晶体管１６３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅３畅１　晶体管的结构、工作状态和电路组态１６４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅３畅２　晶体管的工作原理１６４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅３畅３　晶体管的特性曲线１６６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　７畅４　晶体管的主要参数１６８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　７畅５　场效应晶体管１７０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅５畅１　结型场效应管（JFET ）１７０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅５畅２　绝缘栅场效应管（IGFET）１７３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅５畅３　场效应管的主要参数１７８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　７畅５畅４　 FET 和 BJT 的比较１７９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　７畅６　小结１８１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题１８１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 8章　基本放大电路１８４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅１　三极管放大电路１８４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅１畅１　单管交流放大电路的组成１８４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅１畅２　放大电路的静态分析１８５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅１畅３　放大电路的动态分析１８６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅２　静态工作点的稳定１９８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅２畅１　温度对静态工作点的影响１９８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅２畅２　分压式偏置电路１９８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅３　三种基本组态放大电路２０２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅３畅１　共集电极放大电路２０２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅３畅２　共基极放大电路２０５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅３畅３　三种基本组态特性的比较２０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅４　放大电路的频率特性２０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅４畅１　频率特性和频率失真２０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡８畅４畅２　阻容耦合共射极放大电路的频率特性２０９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡８畅５　组合放大电路２１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅５畅１　共射共基放大电路２１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅５畅２　共射共集和共集共射组合放大电路２１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅５畅３　共集共基放大电路２１５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅６　多级放大电路２１５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅６畅１　多级放大电路的组成２１５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅６畅２　阻容耦合多级放大电路２１６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ⅵ

　目　　录　　　　

　　　　８畅６畅３　直接耦合２１９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡

８畅６畅４　变压器耦合２２０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅７　功率放大电路２２１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅７畅１　功率放大电路（简称功放）的特点与工作状态２２１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅７畅２　互补对称功率放大电路２２２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡８畅７畅３　集成功率放大电路的应用２２８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅８　场效应管放大电路２３１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅８畅１　自给偏压电路２３１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅８畅２　分压式偏置共源极放大电路２３２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　８畅８畅３　源极输出放大电路２３４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　８畅９　小结２３６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题２３７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 9章　集成运算放大器基础２４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　９畅１　集成运放简介２４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅１畅１　集成电路（IC）２４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅１畅２　集成运放的组成与特点２４６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　９畅２　差动放大电路２４７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅２畅１　差动放大电路的工作原理２４７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅２畅２　典型差动放大电路的分析２４９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡９畅２畅３　具有恒流源的差动放大电路２５２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡９畅３　集成运放中的电流源２５４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅３畅１　镜像电流源电路２５４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅３畅２　微电流源电路２５５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅３畅３　多路电流源２５６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅３畅４　电流源的主要应用２５６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　９畅４　集成运放的种类和主要参数２５８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅４畅１　集成运放的种类２５８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅４畅２　集成运放的主要参数２５９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡９畅５　使用集成运算放大器应注意的几个问题２６１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　９畅６　集成运放的简化模型２６３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅６畅１　集成运放的电压传输特性和简化模型２６３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　９畅６畅２　理想运算放大器２６４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　９畅７　小结２６６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题２６６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 10章　放大电路中的反馈２６８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１０畅１　反馈放大电路的基本概念２６８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１０畅１畅１　反馈放大电路的组成和反馈极性２６８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１０畅１畅２　负反馈放大电路基本方程２６９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１０畅２　反馈放大电路的分析２６９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ⅶ

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　　　　１０畅２畅１　反馈类型及其判别２６９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１０畅２畅２　深度负反馈放大电路分析举例２７３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１０畅３　负反馈对放大电路性能的影响２７７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡１０畅４　负反馈放大电路的稳定性２８２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１０畅４畅１　自激振荡产生的原因及条件２８３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１０畅４畅２　自激振荡的判断方法２８３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１０畅４畅３　消除自激振荡的方法２８４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡１０畅５　放大电路中的正反馈２８５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１０畅６　小结２８５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题２８６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 11章　集成运放运算和信号处理电路２９１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１１畅１　基本运算电路２９１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅１畅１　比例运算电路２９１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅１畅２　加法运算电路２９６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅１畅３　减法运算电路２９８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅１畅４　微分、积分运算电路２９８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡

１１畅１畅５　对数与指数运算电路３０１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡

１１畅１畅６　模拟乘法器３０２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡１１畅２　有源滤波器３０４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅２畅１　滤波电路的作用和分类３０４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅２畅２　一阶有源滤波电路３０５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅２畅３　二阶有源滤波电路３０６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１１畅３　电压比较器３０７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅３畅１　单限电压比较器３０８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅３畅２　滞迴比较器３０９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅３畅３　双限比较器３１２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１１畅３畅４　集成电压比较器３１３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１１畅４　小结３１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题３１４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 12章　信号发生与变换电路３２０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１２畅１　正弦波振荡电路３２０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１２畅１畅１　工作原理３２０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１２畅１畅２　 RC串并联正弦波振荡电路３２２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡

１２畅１畅３　 LC正弦波振荡电路３２４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡

１２畅１畅４　石英晶体振荡电路３２８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１２畅２　非正弦波发生电路３３１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１２畅２畅１　方波发生电路３３１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡

１２畅２畅２　矩形波发生电路３３３⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１２畅２畅３　三角波发生电路和锯齿波发生电路３３４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ⅷ

　目　　录　　　　

　倡１２畅３　集成多功能信号发生器３３６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　倡１２畅４　波形变换电路３３７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１２畅５　小结３３８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题３３９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第 13章　直流稳压电源３４２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１３畅１　整流与滤波电路３４２⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１３畅２　直流稳压电路３４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１３畅２畅１　直流稳压电路的主要性能指标３４５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１３畅２畅２　串联型稳压电路３４６⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　　１３畅２畅３　集成稳压器３４７⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　　倡１３畅２畅４　开关型稳压电路３４９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　１３畅３　小结３５１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　习题３５１⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录３５４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　附录 A 　电阻器、电容器的标称系列值３５４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　附录 B 　半导体分立器件型号命名方法３５５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　附录 C 　常用半导体分立器件的参数３５５⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　附录 D 　半导体集成电路型号命名方法３５８⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

　　附录 E 　常用半导体集成电路的参数和符号３５９⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题参考答案３６０⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

主要参考文献３６４⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ⅸ

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第 1章　电路分析导论

在日常生活和生产实际中，由实际的电气和电子设备、装置或器件所构成的实际电

路，形式和作用多种多样。电路分析就是针对数不胜数的这些实际电路吗？另外，电路

分析的基本任务是，要确定在外加激励源（或输入信号）作用下，电路结构和元件参数

确定的电路中各部分的电流、电压和功率。那么，这些电流、电压受哪些因素制约呢？

电流、电压和结构、参数之间的关系，有没有规律可以依循呢？这些就是本章要讨论的

问题。在本章的后部，提出了等效和等效变换这个重要的分析思路和概念。在这个概念

基础上建立的等效分析法，是电路分析中常用的重要方法。

１畅１　电路及其模型

1畅1畅1 　电路的作用、组成与模型

　　通俗地讲，电路就是电流流通的路径。实际电路装置由于所完成的任务不同，其结

构形式各种各样，但都是由各种电气器件、设备按一定方式连接起来的总体。通常，将

其中提供电能的装置称为电源，取用电能的用电设备称为负载，两者由导线连接成闭合

电路。所以，实际电路无论是简单还是复杂，其基本组成部分总是有电源、负载和中间

环节（包括传输导线、控制开关甚至一些保护设备等）。电源又称激励源，由它激励在

电路中产生的电压和电流称为响应。根据激励和响应的因果关系，有时把激励称为输

入，响应称为输出，这在电子电路分析中经常碰到。电路的功能是实现电能的传输与分

配，如在电力系统里；而电子电路的作用是进行电信号的传输与处理。例如日常使用的收

音机和电视机，能把接收到的微弱的无线电信号进行加工处理，最后给出人们需要的声音

和图像；又如计算机可对输入的数据进行指定的计算或对各种机械进行控制，等等。

如同任何工程学科一样，电路分析也建立在模拟概念的基础上。因此，它分析的对

象不是由电气器件、设备构成的实际电路，而是由电路元件构成的电路模型。电路元件

具有单一电磁现象，是理想化了的器件，所以也称理想电路元件。任何电路器件都可用

图１畅１　电路模型

电路元件的适当组合来模拟。例如，日常工作、生活中使用的电烙铁、电炉、电热

锅 ⋯ ⋯里的电热器，都可以用图１畅１（a）中所示的电阻元件来模拟，来作为这些电气

器具的电路模型。

电路模型具有实际电路的

主要电磁性能，由模型得出的

电路各物理量之间的关系反映

了实际电路的基本物理规律，

这就在保证工程实践要求的基

础上简化了分析。当然，实际

电路用模型近似表示是有条件


的。一种模型只在一定条件下适用，条件改变了，电路模型需做相应的改变。如何建立

实际器件的模型，这称为建模。本书只对电路模型进行分析，不考虑建模过程。

图１畅１（a）所示是手电筒电路的模型。其中电池可看成是能提供恒定电压 US 的理想电压源和具有内电阻值 RS 的电阻元件组成的串联组合，小电珠的灯丝用电阻值为 RL的电阻元件表示，连接导线则是无电阻的理想导线， S 是开关。图１畅１（b）表示的是分支电路模型。其中分支的每一段电路称为支路。在图１畅１（b）中共有三条支路。三

条或三条以上的支路相连接的点称为节点。在图１畅１（b）中共有两个节点： a和 b 。各支路组成的闭合路径称为回路。图１畅１（b）中共有三个回路： adbca 、 abca和 adba 。电路中的每一个网格（即未被其他支路分割的最简单的回路）称为网孔。在图１畅１（b）中只有 Ⅰ 和 Ⅱ 两个网孔。

1畅1畅2 　电路分析的基本变量

电路中基本的物理量（简称电量）是电流、电压及电功率。一般情况下，它们都是

时间 t的函数，分别用 i（t）、 u（t）及 p（t）表示，简写成 i 、 u及 p 。电路分析的基本内

容是已知电路的结构及元件参数，要确定电路各部分的电压和电流。即在给定激励下，

求给定电路的响应。电流和电压作为电路分析的基本变量，它们是分析电路的主要求解

对象。此外，有时还要分析电路中的功率和能量问题。

１畅电流

电路运行时，电荷在电路中的定向运动便形成电流。电流的大小用电流强度表示。

电流强度在数值上等于单位时间内通过导体横截面的电荷量，即

i ＝ dqd t （１畅１）

式中， t的单位为秒（s）， q的单位是库仑（C）， i的单位是安培（A ）。习惯上，常常

将电流强度称为电流。

大小和方向随时间变化的电流称为交流电流，用小写字母 i表示。不随时间变化的

电流则称为恒定电流或直流电流，用大写字母 I表示。

电流是有方向的，电流的实际方向规定为正电荷定向运动的方向。然而分析问题

时，电路中流过各元件的电流的实际方向往往很难预知。如交流电路中电流的方向是变

化的。即使在直流电路中，要预先确定较复杂电路里某一元件通过的电流方向也很困

难。为此，分析电路时，首先要给电流一个假定方向，以便列出电路方程，然后才能对

电路进行分析计算。这个假定方向称为参考方向，并在电路图中将它用箭头标出。参考

方向可以任意选择，但一经选定，就不再改变。经过计算，电流值为负，说明参考方向

与实际方向相反；电流值为正，则表示参考方向与实际方向一致，即说明参考方向就是

图１畅２　电流参考方向与实际方向之间的关系

实际方向。所以，参考方向又称为正方

向。这样，根据计算值的正或负，结合

参考方向就能确定电流的实际方向（见

图１畅２）。电流是代数量，既有数值又

有方向，才有明确的物理意义。

２

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　第１章　电路分析导论　　

２畅电压与电位

电路上 a 、 b两点间的电压在数值上等于电场力把单位正电荷从 a点移动到 b点所做的功，也就是单位正电荷从 a点（高电位）移到 b点（低电位）所失去的能量，即

u ＝dWdq （１畅２）

式中， q的单位是库仑（C），W 的单位是焦耳（J）， u的单位是伏特（V）。大小和极性随时间变化的电压称为交流电压，用小写字母 u表示。不随时间变化的

电压称为恒定电压或直流电压，用大写字母 U表示。

电压是有极性的，高电位点定为正极，标以 “ ＋ ” 号，低电位点定为负极，标以

“ － ” 号。有时也用电压的方向表示，电压的方向规定为由高电位端指向低电位端，即

电位降低的方向（也有用双下标表示的，如 uab ，其方向由 a指向 b）。和电流方向判断的情况一样，分析问题时往往很难预先确定电压的实际方向，我们同样采用参考方向

（参考极性）假定电压的极性。如图１畅３所示，“ ＋ ” 、 “ － ” 表示参考极性，箭头表示参

考方向（若用双下标表示为 uab ）。分析电路时，电压的参考方向一经选定，就不再变

图１畅３　电压参考方向

更。经过计算，电压值为正，说明实际方向与参考方向一致，

“ ＋ ” 极为高电位， “ － ” 极为低电位；电压值为负，则情况与

前述相反。由此可见，只有标定了参考方向后的电压数值才有

明确的物理意义。

电流和电压的参考方向都是任意选定的，二者彼此独立，相互无关。但为了分析电

路的方便，常使电流和电压的参考方向关联起来选成一致，即电流参考方向是从电压参

考正极流入，负极流出，并称之为关联参考方向。采用关联参考方向后，只要标出两者

中任何一个的参考方向，则另一电量的参考方向也就同时给定了。

电压有时也叫电位差。如图１畅３中， a 、 b两点间的电压 u ，就是 a 、 b两点的电位差。

电路中某点的电位，是将单位正电荷从该点沿电路中任一路径移到参考点时，电场

力所做的功。参考点的电位为零，所以某点的电位，就是该点到参考点的电压。电位的

单位也是伏特（V）。讨论电路中各点的电位时，必须先选定一个参考点，否则是无意

义的，因为电位与参考点的选择有关，而电压与参考点的选择无关。物理学中一般选择

参考点为无穷远处。而实际电气设备一般常有一个连接到机壳的电路公共端，工程上常

以这个公共点为参考点，即使它并不真正接地，习惯上也称该点为 “接地点” 。分析电子

电路时，经常要测量、计算各点的电位，所以，电子电路图中经常采用电位电路的画法。

如图１畅４所示，“ ⊥ ” 标为参考地，V S１、 V S２表示电位。

图１畅４　电位电路图

３


３畅功率与能量

功率是电场力在单位时间内移动电荷所做的功。从图１畅３看到，当通过这段电路的

电流 i与电压 u取关联参考方向时，在 d t时间内从 a点移到 b点的正电荷量为 dq ，因a 、 b两点间电压为 u ，故 dq从 a点移到 b点过程中失去的能量为

dW ＝ u· dq （１畅３）

这些能量被这段电路吸收。因此，电路在单位时间内吸收的能量，即它吸收的功率为

p ＝dWd t ＝ u dqd t ＝ u · i （１畅４）

上式指出：任意时刻，元件（或电路）吸收的功率等于该时刻元件（或电路）两端的电

压与通过它的电流的乘积。在直流情况下，上式写为

P ＝ UI （１畅５）

　　功的单位是焦耳（J），功率的单位是焦／秒，又称瓦特（W）。

应该注意的是，用上式计算功率时，因 u 、 i采用关联参考方向，则规定：若算得

的功率值 p ＞０，表示元件（或电路）吸收的功率；若 p ＜０，表示元件（或电路）发出

的功率。当 u 、 i采用非关联参考方向时，仍规定吸收功率时 p值为正，发出功率时 p值为负，则计算功率的公式应改为

p ＝－ ui （１畅６）

或 P ＝－ UI （１畅７）

　　上述规定的依据是：一个元件（或电路）实际发出功率时，它两端的电压和通过

它的电流的实际方向必定相反；而若是吸收功率，则两者的实际方向应相同。这点

显然可由图１畅１（a）所示简单电路中各部分功率的情况看出。图中 US 是实际极性，

箭头所示的便是电流和电路中各处电压的实际方向。其中理想电压源发出功率，其 US和 I反向；而电源内阻 RS 及负载电阻 RL 都吸收功率， I和 UO 同向， I和 U 也同向。

整个电路中，吸收功率的总和恒等于发出功率的总和，这就是直流电路里的功率平衡

关系。

设元件吸收的功率为 p（t），则从 t０到 t时刻元件吸收的总能量为

W （t）＝ ∫t

t０

p（ξ）dξ （１畅８）

式中，积分上限为 t ，为了区别，积分式内的时间变量改用 ξ。当 p的单位为瓦特（W）

时，能量 W 的单位为焦耳（J），简称焦。

例 1畅1 　在图１畅５中，电流和各元件两端电压的正方向如图中所示。今测得： I ＝－４A ，U１＝１４０V ，U２＝－８０V ，U３＝６０V 。试说明电流和各电压的实际方向，并计算

图１畅５　例１畅１

各元件的功率，指明哪些元件是电源，哪些是负载。

解　电流 I和电压 U２的实际方向与图１畅５所示正方向相反，U１和 U３的实际方向则与正方向相同。

元件１的功率为： P１＝ IU１＝（－４） × １４０＝－５６０（W），

元件１发出功率，所以元件１是电源。

元件２的功率为： P２＝ IU２＝（－４） × （－８０）＝３２０（W），

元件２吸收功率，所以元件２是负载。

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元件３的功率为： P３＝－ IU３＝－（－４） × ６０＝２４０（W），元件３吸收功率，所以元

件３也是负载。

例 1畅2 　电路中各元件的情况如图１畅６所示。

图１畅６　例１畅２

（１）若元件 A 吸收的功率为１０W ，求 UA ；

（２）若元件 B吸收的功率为１０W ，求 IB ；

（３）若元件 C吸收的功率为－１０W ，求 IC ；

（４）若元件 D发出的功率为１０W ，求 ID ；

（５）若元件 E发出的功率为－１０W ，求 UE 。解　（１）因为 A吸收功率 PA ＝１A · UA ＞０，即１A · UA ＝１０W ，所以 UA ＝１０V ；

（２）因为 PB ＝（－ IB ） · １０V ＞０，即（－ IB ） · １０V ＝１０W ，所以 IB ＝－１A ；

（３）因为吸收负的功率等于发出正的功率，即 PC ＝ IC · １０V ＜０，即 IC · １０V ＝

－１０W ，所以 IC ＝－１A ；

（４）因为 PD ＝ ID · １０V ＜０，即 ID · １０V ＝－１０W ，所以 ID ＝－１A ；

（５）因为 E实际吸收功率 PE ＝（－１A） · UE ＞０，即（－１A） · UE ＝１０W ，所以 UE ＝－１０V 。　

１畅２　电路基本元件

电路元件按其对外提供还是不提供能量分为有源元件和无源元件。按其对外引出端

钮的数目还可分为二端元件和多端元件。具有两个端钮的二端元件有电阻、电感、电容

及电压源、电流源等。多端元件具有三个或三个以上端钮，如受控源、理想变压器和运

算放大器等。

本书只讨论由集总参数元件构成的所谓集总参数电路，如以后所述的电路基本定律

均是在这一前提下才能使用。集总参数元件的电磁过程认为都是集中在元件内部进行，

因此元件特性可集中用一个或有限个分立的参数表征。工程中遇到的大量电路都可作为

集总参数电路来处理。能这么处理的准则是：若电路元件及其连接成的电路尺寸远小于

电路最高工作频率所对应的波长，则电路的实际尺寸可以忽略不计而看做是集总参数电

路。例如，若计算机电路工作频率高达５００MHz ，对应的波长为０畅６m 。因采用大规模

和超大规模集成电路，器件及电路被集成在几毫米的硅片上，这时电路就属于集总参数

电路。

1畅2畅1 　电阻元件

电阻元件简称电阻，其特性由通过它的电流 i和它两端电压 u之间的关系，即 i ＝f （u）表征。这个关系表现在 u唱i平面上是电阻的伏安特性曲线。若伏安特性是通过坐标

５


原点的直线，则称为线性电阻；若是通过坐标原点的曲线，则称为非线性电阻。

电阻又可分为时变电阻和时不变（定常）电阻。前者的特征是其伏安特性随时间变

化，而后者的伏安特性不随时间变化。线性定常电阻的伏安特性为一条通过坐标原点的

直线，而线性时变电阻的伏安特性为一族过原点的直线。

图１畅７　线性定常电阻

线性定常电阻的电路符号和特性如图１畅７

所示。这种电阻有如下特点：

（１）端电压 u与通过的电流 i 成正比，即

满足欧姆定律

u ＝ iR （１畅９）

式中， u与 i采用关联参考方向。元件参数就

是电阻值 R ，反映了对电流的阻碍作用。它是

常数，与通过它的电流和作用在它两端的电压

大小无关。它也就是伏安特性曲线的斜率。当

u与 i取非关联参考方向时，欧姆定律的表示形式则为 u＝－ iR 。

（２）双向性：伏安特性以原点对称，即对不同方向电流和电压，伏安特性完全相

同，故元件两个端钮没有区别，可任意连接。

（３）耗能性：它的功率 p ＝ iu＝ i２ R＝ u２R ＞０，即总是消耗功率。说明电阻不仅是无源

元件，而且是一种耗能元件。若时间 t从０到 T ，则在这段时间内电阻所消耗的电能为

W ＝ ∫T

０pd t

这些电能全部变成热散发掉。所以，电阻消耗电能是不可逆的能量转换过程。而且，发

热使电阻的温度升高。若温度过高，电阻就有烧坏的危险。为此，实际电阻器上通常除

标明阻值外，还要标明它长期运行时所规定的功率限额，称为额定功率。

（４）无记忆性：由式（１畅９）可见，任一时刻电阻的电压（或电流）完全由同一时

刻的电流（或电压）决定，而与该时刻以前的电流（或电压）值无关。也就是说，线性

电阻的电压（或电流）不能 “记忆” 电流（或电压）在 “历史” 上所起的作用，故它是

无记忆元件。

以后如不特殊说明，一般均用线性定常电阻（包括后述的电感、电容）。这种元件

的参数还可用电导 G表示，即

G ＝１R ＝

iu （１畅１０）

式中，当 u的单位为伏特（V）， i的单位为安培（A）时， R的单位为欧姆（Ω ）， G的单位为西门子（S）。附带说一下，由式（１畅９）确定的电阻 R两端（a和 b）的电压 u ，也就是 a 、 b两

点间的电位差。这种电流通过电阻时产生的电位下降，习惯上常称为电压降。

1畅2畅2 　电感元件

电感元件简称电感，其物理原形是如图１畅８（a）所示的电感线圈。当电流 i流过线圈时，周围就会有磁场产生。线圈内磁通矱与电流 i的方向符合右手螺旋定则。磁

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力线是发散的，因而与线圈各匝交链的磁通不等。各匝磁通的总和，即全磁通或称

磁链 ψ为

ψ ＝ ∑N

j ＝１

矱j

图１畅８　线性电感

式中，矱j 为与第 j 匝线圈交链的磁通。如果线匝绕得很紧凑或采取其他措施，使得与各

匝线圈交链的磁通都相同且为矱，则有

ψ ＝ N矱式中， N为线圈匝数。磁通和磁链的单位为韦伯（Wb）。这样，一个电感元件的特性

用函数 ψ＝ f （i）来表示。这个关系表现在 ψ唱i平面上是电感的韦安特性曲线。若韦安特

性是通过坐标原点的直线，则为线性电感。线性电感有如下特点：

（１）其磁链 ψ正比于产生磁链的电流 i ，即ψ ＝ Li （１畅１１）

式中， ψ与 i参考方向之间遵守右手螺旋定则，比例系数 L是一个正实常数。它与 ψ 、 i无关，是电感元件本身固有的物理量，称为电感（或自感），单位是亨利（H）。它也是韦安特性曲线的斜率。

线性电感的电路符号和磁特性如图１畅８（b）、（c）所示。电感 L既是元件名称又表示元件的参数。

（２）双向性：韦安特性以原点对称，故也是一种与端钮接法无关的元件。

（３）动态性：当电感的电流 i随时间变化时， ψ也随之变化，因而在它的两端将产

生感应电压 u 。由电磁感应定律可知

u ＝dψd t ＝ L d id t （１畅１２）

式中， u和 i采用关联参考方向。此式说明，线性电感的电压与该时刻电流的变化率有

关（成正比），而与该时刻的电流无关。所以，称它是动态元件。如果电流不随时间变

化（直流电流），则电压为零，电感相当于一根无电阻的短接导线（称电感短路）。

（４）记忆性：由式（１畅１２）可得电感电流与电压关系的积分形式

i（t）＝１L∫

t

－ ∞u（ξ）dξ ＝

１L∫

t０

－ ∞u（ξ）dξ ＋１

L∫t

t０

u（ξ）dξ＝ i（t０）＋

１L∫

t

t０

u（ξ）dξ （１畅１３）

上式表明，电感在 t时刻的电流值与 t时刻以前电感电压的全部历史有关。电感电流有

７


“记忆” 电感电压的作用，故电感是一个记忆元件。式中 i（t０）为电感在初始时刻 t０的状态，称为初始状态。

（５）储能性：它的功率为

p ＝ ui ＝ L d id t · i ＝ Li d id t （１畅１４）

可见，当 u 、 i的实际方向一致时 p ＞０，表明电感吸收功率，其磁场增强，磁场能量随

电流的增加而增加；反之，则 p ＜０，电感把吸收了的能量释放出来，输出功率。所以

电感是一种储能元件。从 t＝ t０到任意时间 t供给电感的能量为

wL ＝ ∫t

t０

u（ξ）i（ξ）dξ ＝ ∫t

t０

L d i（ξ）dξ i（ξ）dξ ＝ L∫i（ t）

i（ t０）id i

＝１２L［i２（t）－ i２（t０）］

如果初始电流 i（t０）＝０，则电流为 i（t）时，电感吸收并全部转化为它的磁场能量

wL ＝１２Li２（t）（１畅１５）

上式说明，磁场能量只决定于电流，与电感的电压无关。而且，在任意时刻 wL ＞０，与

元件在电路中的连接方式无关。所以，电感仍是一个无源元件。

1畅2畅3 　电容元件

电容元件简称电容，是实际电容器的理想化模型。任何两个彼此绝缘而又互相靠近

的导体就可构成一个电容器。这两个导体就是电容器的两个极，极间用绝缘介质隔开。

电容的特性由两个极板上所加电压 u和极板上储存电荷 q之间的关系表征。这个关系表

现在 q唱u平面上是电容的库伏特性曲线。该特性若是通过坐标原点的直线，则元件为线

性电容，否则称其为非线性电容。线性电容有如下特点：

（１） q正比于 u ，即

q ＝ Cu （１畅１６）

式中 C是一个常量，称为电容量，单位为法拉（F）。它与 q和 u无关，也是库伏特性

曲线的斜率。其电路符号和特性如图１畅９所示。

（２）双向性：库伏特性以原点对称，说明特性与端钮接法无关。

（３）动态性：若作用于电容两端的电压是直流电压，则极板上的电荷是稳定的。

这时极板间没有电荷的移动，即没有电流。电容相当于断开（称为开路），所以电容

图１畅９　线性电容

有隔断直流的作用。但若加在电容上的

电压 u随时间变化，则极板上的电荷会

随之变化，在极板间的介质中会产生位移

电流，从而在导线上形成传导电流。如

图１畅９（a）所示，当 u 、 i为关联参考方向时　　

i ＝ dqd t ＝ C dud t （１畅１７）

可见，任一时刻通过电容的电流取决于该时刻电容两端电压的变化率，而与该时刻的电

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压值无关，这反映了电容的动态性。

（４）记忆性：由式（１畅１７）可得电容电压与电流关系的积分形式

u（t）＝１C∫

t

－ ∞i（ξ）dξ ＝

１C∫

t０

－ ∞i（ξ）dξ ＋１

C∫t

t０

i（ξ）dξ＝ u（t０）＋

１C∫

t

t０

i（ξ）dξ （１畅１８）

上式表明，电容在 t时刻的电压与－ ∞到 t这一段时间内所有的电流都有关。可见，电

容电压有 “记忆” 电容电流的作用。

（５）储能性：当 u 、 i参考方向关联时，电容吸收的功率为

p ＝ ui ＝ Cu dud t （１畅１９）

上式中 p可能为正，也可能为负。这意味着电容可能吸收功率，也可能供出功率。和

电感的能量分析类似，此处不再推导。电容 C在 t时刻储存的电场能量为

wC ＝１２Cu２（t）（１畅２０）

所以，电容是储能元件，也是一无源元件。

1畅2畅4 　电源元件和实际电源模型

电源元件有理想电压源和理想电流源二种，它们都是理想二端有源元件。

１畅理想电压源、电流源

理想电压源是其端电压 u总是保持为一定的时间函数 uS （t），而与通过它的电流无

关的元件。其电路符号如图１畅１０（a）所示，图中通过它的电流 i完全由电源以外的电路（称为外电路）的工作情况决定。电源既可以对外电路提供能量，也可以从外电路吸

收能量，视电流 i的方向而定。

若 uS （t）＝ US 为一常量，则称它为恒定电压源（简称恒压源），其伏安特性为 u唱i平面上平行于 i轴的一条直线，如图１畅１０（b）所示。若 uS 是时间 t的函数，则称为时

变理想电压源，其伏安特性是 u唱i平面上平行于 i轴的一族直线。

理想电流源是在其端钮上总能向外提供一定的电流 iS （t），而与它的端电压无关的

元件。其电路符号如图１畅１１（a）所示，图中它的端电压 u的大小和方向（极性），在

iS （t）给定时，完全由外电路的工作情况决定。 u的方向（极性）决定了它是否向外电

路提供能量。

图１畅１０　理想电压源

若理想电流源的端电流 iS （t）＝IS 为一常量，则称它为恒定电流源

（简称恒流源），其伏安特性为 u唱i平面上平行于 u 轴的一条直线，如

图１畅１１（b）所示。若 iS （t）为时间 t的函数，则称为时变理想电流源，

其伏安特性是 u唱i 平面上平行于 u

９


图１畅１１　理想电流源

轴的一族直线。

２畅实际电源模型

由于实际电源的功率总是有限的，

而且内部存在内阻，内阻损耗能量。

为了模拟这一实际现象，实际电源可

以用一个理想电压源 uS 和电阻 RS 的串联组合形成的实际电压源模型（简

称电压源）表示，也可表示成理想电

流源 iS 和电阻 RS 并联而成的实际电流源模型（简称电流源）形式，分别如图１畅１２和

图１畅１３所示。图中电压源的伏安特性为

u ＝ uS － iRS （１畅２１）

图１畅１２　实际电压源

图１畅１３　实际电流源

式中， uS 是电压源的电压， RS 是电压源的内阻。当外电路断开，输出电流 i＝０时，称为

输出端开路，这时的输出电压称为开路电压，用 uOC表示。由式（１畅２１）可见　

uOC ＝ uS　　当输出端用一根无电阻导线短接，输出端电压 u ＝０时，称为输出端短路，这时的

输出端电流称为短路电流，用 iSC表示。由式（１畅２１）可见

iSC ＝uSRS ＝

uOCRS

　　这样，根据电源所带外电路（负载）的不同，电路的工作状态分三种：负载开路状

态（也称空载状态）、短路状态和负载状态。前两种状态是故障状态，因为这时电源不

向负载提供功率，负载不工作。而且，如果实际电源的内阻 RS 很小的话，短路状态

时，电路中可能产生很大的短路电流 iSC ，从而可能损伤电源或其他电路设备。负载状

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态是正常工作状态。这时，负载电压 u 、电流 i间的关系依从于式（１畅２１）。而且，无

论是电源还是负载设备，都要注意遵从它们正常使用时的电压、电流、功率的限额，即

所谓电气设备的额定值。

电流源的伏安特性为

i ＝ iS －uRS （１畅２２）

式中， iS 为电流源的电流， RS 为其内阻。类似上述电压源中分析可得：电流源的开

路电压 uOC ＝ iS RS （这时输出电流 i＝０，见图１畅１３（a）），短路电流 iSC ＝ iS （这时输出

电压 u＝０）。

由伏安特性可见，实际电压源的内阻越小，就越接近理想电压源。例如干电池、蓄

电池、稳压电源及市电电源设备，这些是能提供比较稳定的电压的电源装置。而实际电

流源的内阻越大，就越接近于理想的电流源。例如在一定的工作电压范围内具有恒流特

性的晶体三极管或硅光电池。在处理工程问题时，当实际电源内阻远大于负载电阻时，

就可以将实际电源近似为电流源；反之，若内阻与外接的负载电阻相比可以忽略不计

时，就可以将实际电源近似为电压源。

式（１畅２１）和式（１畅２２）表示的伏安特性有时又称为电源的外特性。还需说明的

是，开路或短路状态，并不局限于负载端出现。一个含（独立）源的复杂电路中，各部

分都可能发生开路或短路。但是不管哪里开路，开路处必无电流但有开路电压；短路处

有短路电流但电压必为零。

引入了电压源模型和电流源模型后，把没有串联电阻的电压源，又称为无伴电压

源；没有并联电阻的电流源，又称为无伴电流源。

1畅2畅5 　受控源

以上讨论的电压源和电流源，其源电压或源电流都不受电源以外电路的影响而独立

存在，所以称作独立电源或独立源。在电子电路中，还常常遇到不独立的电源，即受控

电源或受控源。受控源的源电压或源电流不独立存在，而受控于电路某部分的电压或电

流，但它也像独立电源那样能输出电流、电压和电功率。

受控源有两对端钮，一对输出端钮，一对输入端钮。输入端钮是用来控制输出电压

或电流的，它构成一个单口（单口的概念见１畅４节），称为输入口。输出端钮用来对外

提供电压或电流，它构成的单口称为输出口。可见，受控源电路模型是一个双口（或二

端口）网络（双口的概念可见６畅１节）。

根据受控源所输出的是电压还是电流，以及其输入端的控制量是电压还是电流，受

控源可分为四种形式（见图１畅１４）：（a）为电压控制电压源（VCVS），控制量为电压

u１；（b）为电压控制电流源（VCCS ），控制量为电压 u１；（c）为电流控制电压源（CCVS），控制量为电流 i１；（d）为电流控制电流源（CCCS），控制量为电流 i１。图中用菱形符号表示受控源，以便与独立源的符号相区别； μ、 r 、 g 、 β为有关的控制系

数，这些系数在具体的器件中具有一定的物理意义。当这些控制系数为常数时，则

为线性受控源。每一种线性受控源电压与电流之间的伏安关系，是用两个线性方程

来描述的，即

１１


VCVS ：　 i１＝０，　 u２＝ μu１VCCS ：　 i１＝０，　 i２＝ gu１CCVS ：　 u１＝０，　 u２＝ ri１CCCS ：　 u１＝０，　 i２＝ β i１

图１畅１４　理想线性受控源

　　受控源是电路器件在一定条件下的理想化模型，与它对应的实际器件不一定唯一。

图１畅１５表示工作于放大状态的晶体三极管用一个 CCCS 来模拟的情况。其中电流源的

输出为集电极电流 ic ，它受基极电流 ib 的控制，即 ic ＝ βib 或 β＝icib ， β称电流放大系

图１畅１５　晶体三极管及其电路模型

数， rbe为三极管的输入电阻。

受控源虽然也是电源，在分析

电路时其处理方法也与独立源相同，

但它们在电路中的作用完全不同。

受控源主要用来模拟器件在电路中

所发生的现象，即表示器件在电路

中某处电压或电流控制别处电压或

电流的能力和相互关系。另外，只有在独立源作用下，受控源才同样起激励作用。所

以，受控源不能作为电路的一个独立的激励。道理很明显，如果电路中无独立源激励，

则各处就没有电压和电流，控制量为零，受控源的电压或电流也就为零。

例 1畅3 　电路如图１畅１６（a）所示，电容电压 u为图１畅１６（b）所示的三角波， C ＝

１μF ，试求电流 i的波形。

解　按式（１畅１７）可分段算出电流 i如下：

i ＝ C dud t

１ × １０－６

×１００－０

０畅１ × １０－３＝１A （０ ≤ t ≤ ０畅１ms）

１ × １０－６

×－１００－１００

（０畅３－０畅１） × １０－３＝－１A （０畅１ms ≤ t ≤ ０畅３ms）

１ × １０－６

×０－（－１００）

（０畅４－０畅３） × １０－３＝１A （０畅３ms ≤ t ≤ ０畅４ms）

由上式画出电流 i的波形如图１畅１６（c）所示。由此例可见，电容电流与其电压的变化

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图１畅１６　例１畅３

率成正比。电容电压不能跃变，而电流是可以跃变的。

例 1畅4 　已知通过 L ＝２mH的电感元件的电流 i波形如图１畅１７（a）所示。试求其

端电压 u的波形。

图１畅１７　例１畅４

解　按式（１畅１２）可分段算出电压 u如下：

u ＝ L d id t

２ × １０－３

×（２０－１０） × １０

－３

１ × １０－３＝２０mV （０ ≤ t ≤ １ms）

２ × １０－３

×（－１０－２０） × １０

－３

（４－１） × １０－３＝－２０mV （１ms ≤ t ≤ ４ms）

２ × １０－３

×［－１０－（－１０）］ × １０

－３

（６－４） × １０－３＝０（４ms ≤ t ≤ ６ms）

２ × １０－３

×［０－（－１０）］ × １０

－３

（８－６） × １０－３＝１０mV （６ms ≤ t ≤ ８ms）

由上式画出电压 u的波形如图１畅１７（b）所示。由此例可知，电感电压与电流的变化率

成正比。电感电流不能跃变，而电压是可以跃变的。当电流的大小和方向不变时（例中

４ms ≤ t ≤ ６ms时），电感电压 u为零。所以，电感元件在直流电路中就相当于短路。

１畅３　基尔霍夫定律

电路不论多么复杂，电路中的电流电压关系总是与元件的特性有关，即受到所谓元

件约束；又与电路的连接方式有关，即受到电路结构的制约或称拓扑约束。这两种约束

关系是分析电路的基本依据。拓扑约束关系可由基尔霍夫定律来确定。

1畅3畅1 　基尔霍夫电流定律（KCL）

KCL指出：任一集总参数电路中，在任一时刻，通过任一节点的电流的代数和恒

３１


等于零。其数学表达式为

∑n

k ＝１

ik ＝０

例如对于图１畅１８（a）所示电路，如果规定参考方向指向节点的电流取负号，则背着节

点的电流就取正号（相反规定也可以），对于节点 A 有

图１畅１８　节点电流

i１－ i２－ i３＋ i４＋ i５＝０

上式可改写为

i２＋ i３＝ i１＋ i４＋ i５上式指出，任意时刻流入节点的电流总和等

于流出该节点的电流总和。这样，KCL 的另一表达形式为

∑ i入＝ ∑ i出　　基尔霍夫电流定律是电荷守恒法则和电流连续性原理在节点上的具体反映。因为，

在任一时刻，流入节点的电荷之和必然等于流出该节点的电荷之和，在任何节点上都不

能有电荷的积累或消失。

KCL通常用于节点，但对电路任一假设的闭合面也是适用的。在图１畅１８（b）所示电路中有三条支路穿过由虚线框起的闭合面。闭合面可看成一个广义节点，对它应用 KCL ，

三个支路电流之间满足关系

i１＋ i２＋ i３＝０

这里参考方向假定三个电流都是流入广义节点的，这时支路电流的真实值必然包含有负

值或零值在内，否则它们的和不可能为零。

KCL给出了各支路电流间的线性约束关系。它仅与元件的连接方式有关，而与元

件的性质无关，适用于任何集总参数电路。

1畅3畅2 　基尔霍夫电压定律（KVL）

基尔霍夫电压定律说明了电路中支路电压间的线性约束关系。它指出：对于任一集

总参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿着回路的所有支路电压的代数和为零。其数

学表达式为

∑m

k ＝１

uk ＝０

　　应用 KVL 列方程时，首先要指定每一条支路电压的参考方向，然后设定回路的绕

行方向（如图１畅１９表示某电路中的一个回路，其绕行方向选为顺时针方向）。当支路电

压的参考方向与回路的绕行方向相同时，支路电压前取正号，否则支路电压前取负号。

于是，图１畅１９所示回路的电压方程为

－ u１＋ u２－ u３＋ u４＝０

上式也可改写成

u１＋ u３＝ u２＋ u４此式表明，任何时刻，任一回路内电位升之和应该等于电位降之和，这也就是 KVL 的另一表达形式。

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图１畅１９　回路电压

KVL 是能量守恒定律和电位单值性原理在电路里的反映。因为单位正电荷从一点出发，

沿任意路径绕行一周又回到原出发点，电荷所

获得的电位能应等于电荷所失去的电位能，该

点的电位是不会发生变化的，即各支路电压的

代数和为零。

KVL不仅适用于具体回路，而且对任一虚

回路也有效，如图１畅１９中 b 、 d 间无支路，对

abda虚回路有－ u１＋ ubd ＋ u４＝０

又因电路中两点间电压与计算路径无关，故在图１畅１９中，如要求 b 、 d间电压 ubd ，则有ubd ＝ u１－ u４

沿bad绕行＝ u２－ u３

沿bcd绕行进一步，由于

u１＝－ i１ R１

u２＝ i２ R２－ uS２u３＝－ uS３－ i３ R３

u４＝ i４ R４

所以

ubd ＝－ i１ R１－ i４ R４＝ uS３－ uS２＋ i２ R２＋ i３ R３

上式表明，电路中任意两点间的电压，等于这两点间任意路径上各段电压的代数和。这

种列写两点间电压方程的方法，在电路分析中经常用到。列写时，要注意各段电压前的

正号或负号的取决。另外，一段含有电源的电路（如图１畅１９中 bc或 dc支路）中的电

流和电路两端间电压（如 u２和 i２或 u３和 i３）的关系式，有时又称为一段含源电路的欧

姆定律。

KVL同样与元件的性质无关，只和电路的结构有关，只要是集总参数电路，它是

普遍适用的。

例 1畅5 　图１畅２０表示某复杂电路的一部分，已知 i２＝２A ， i３＝－３A ， i５＝５A ，

i６＝－４A ，试求流过元件 A 和 B的电流 i１、 i４。

图１畅２０　例１畅５

解　在列写 KCL方程时，应先标出所有电流的参考方向。已知电流的参考方向是

给定的，未知电流的参考方向则可任意假定。在写方程时，即以这些参考方向为准。设

i１、 i４的参考方向如图１畅２０所示，对于该图右边三角形部分构成的广义节点，由 KCL可得

i４＝ i５＋ i６＝５－４＝１（A）对于节点 a ，由 KCL 便得

i１＝ i４－（i２＋ i３）＝１－（２－３）＝２（A）　　例 1畅6 　图１畅２１所示电路中 R１＝１Ω ， R２＝

２Ω ，其他已知电流、电压如图中标出，试求 I 、 R和 Uac 。

５１


图１畅２１　例１畅６

解　设 I２的参考方向如图１畅２１所示，而通过 R１的电

流 I１的方向由 R１两端的电压极性决定。显然

I１＝２１

＝２（A）对于节点 a ，由 KCL 可得

I２＝２＋２＋２＝６（A）对于节点 b ，由 KCL 可得

I ＝６－（２＋１＋２）＝１（A）为求 R ，对 abcda回路列 KVL 方程有

I２ R２＋ I１（R１＋ R）－１６V ＝０

于是

R ＝１６－６ × ２－２ × １

２＝１（Ω ）

对虚回路 abca列 KVL 方程有I２ R２＋ I１ R － Uac ＝０

对虚回路 acda列 KVL 方程有Uac －１６V ＋２V ＝０　或　 Uac ＝１４V

可见，电路中两点间电压与计算路径无关，因为从 abca虚回路看，有

Uac ＝ I１ R ＋ I２ R２＝１４V　　例 1畅7 　求图１畅２２所示电路的 U和电路中电源发出的总功率。

图１畅２２　例１畅７

解　本题图示电路，虽是多支路的复

杂电路，但计算前围绕要求分析一下电路

结构特点可知，由于 Uec实际上给出，所

以通过３Ω 中电流、５Ω 中电流，以至各

支路实际通过的电流等，都能便捷地求

出，计算还是简单的。图上标出的各电流

方向，都是按上述思路推算出的电流实际

流向。

ec支路中电流为I４＝

UecR ＝

１５３

＝５（A）　　从 bcdefb回路看，Ubc ＝２０＋１５＝３５（V）， I３＝３５

５＝７（A）。

分别对节点 b和 c列 KCL 方程可得I２＝ I１＋ I３＝４＋７＝１１（A）I５＝ I３＋ I４＝７＋５＝１２（A）

　　对 abfa回路列 KVL 方程可得U ＝２０－４ × ４＝４（V）

　　根据各电源电压和通过它的电流的方向可知，电路中只有电压源发出功率，故电路

中电源发出的总功率为

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P ＝－（１１ × ２０＋１２ × １５）＝－４００（W）（负号表示发出）

图１畅２３　例１畅８

　　例 1畅8 　图１畅２３为含 CCCS电路，U ＝２畅５V ，求 US 。解　由欧姆定律可知

U ＝０畅５ I × ５＝２畅５ I ＝２畅５（V），I ＝１A由 KCL可知流过０畅１Ω 的电流应为

I －０畅５ I ＝１－０畅５＝０畅５（A）　　０畅１Ω 电阻的端电压为

０畅１ × ０畅５＝０畅０５（V）由 KVL可得

US ＝６ × I ＋０畅０５＝６＋０畅０５＝６畅０５（V）　　例 1畅9 　在图１畅２４（a）所示电路中，在开关 S断开和闭合的两种情况下试求 A 点的电位 V A 。如以 B点为参考点，再求 S两种状态下的 V A 。解　将图１畅２４（a）所示电位电路画成图１畅２４（b）的形式。

（１）当 S断开时有V A ＝ US２－ IR３＝１２－

（１２＋１２） × １４４＋６＋１４

＝－２（V），而 UAB ＝ IR２＝６（V）

图１畅２４　例１畅９

　　（２）当 S闭合时有V A ＝ US２－ IR３＝１２－

１２ × １４２０

＝１２－８畅４＝３畅６（V），

而UAB ＝ IR２＝３畅６（V）　　如以 B点为参考点，由上所得 UAB值可得，S断开时，VA ＝６V ；S闭合时，VA ＝３畅６V 。

１畅４　等效变换

一个电路，除独立电源外所有的电路元件都是线性元件（或含线性受控源），这样

的电路称线性电路，否则就称非线性电路。以后如不特殊说明，分析的都是线性电路。

1畅4畅1 　等效和等效变换

电路分析中，常把具有两个引出端钮的一组元件的组合看做一个整体（如图１畅２５

中的 N）。当它与外电路连接时，若进出两端钮（A 和 B）的电流相同，则称该整体

为单口（网络），又称一端口（网络）或二端网络。两个端钮间的电压（u）称端口电压，流经端钮的电流（i）称端口电流，这两者之间的关系曲线称单口伏安特性。

图１畅２５　单口和端口

图１畅２５中虚线框及外电路都是单口。通常，内部含

有独立电源的单口，称有源单口，比如用 N 表示。内

部不含有独立电源（但可以有受控源）的则称无源单

口，比如用 N０表示。

如果两个单口的端口电压和端口电流相等，即单口

７１


的伏安特性相同，则称这两个单口是等值的或等效的。等效和等效变换是电路分析中一

个很重要的概念。

等效变换是指，当电路中的某一部分用一个新的电路结构（称为等效电路）代替

后，未被代替部分的电压和电流均应保持不变，即等效电路以外部分电压、电流的伏安

关系不变，也即对等效电路外部伏安特性等效。如图１畅２６所示，图（a）所示电路中单口 N１，变换为它的一个等效电路 N２，这就是等效变换。变换是等效的条件是，必须保

持 N１和 N２的 A唱B端口上（接同一个外电路时的） u唱i关系完全相同，即 “对（等效电

路）外等效” 的概念。显然，等效电路 N２的结构与外电路无关，也不能用 N２来计算

N１内部的电量。

图１畅２６　等效变换

等效变换是电路理论研究的一个重要方面。从应用角度看，等效变换是为了简化电

路的分析计算。以图１畅２６所示电路为例，一个复杂的有源单口 N１对外电路的作用问

题，可以用简单的、易于计算的等效电路 N２代替 N１后，去简化分析计算。下面介绍

几种常用的无源单口和有源单口的等效变换。

1畅4畅2 　等效分析法

运用等效和等效变换概念分析电路的方法就是等效分析法。

１畅电阻的串联和并联

各电阻通过同一电流时的连接形式，称为电阻的串联，几个电阻串联时的等效电阻

等于各个电阻之和。

图１畅２７　电阻的串联

如图１畅２７所示，应用 KVL 和欧姆定律有u＝ u１＋ u２＋ ⋯ ＋ un ＝ iR１＋ iR２＋ ⋯ ＋ iRn

＝ i（R１＋ R２＋ ⋯ ＋ Rn ）＝ i · ∑n

k ＝１

Rk ＝ iR （１畅２３）

所以，图１畅２７（b）是图１畅２７（a）的等效电路，等效电阻 R ＝ ∑n

k ＝１

Rk 。显然，等效电阻

必大于任意一个串联的电阻。

８１

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电阻串联时，各电阻上的电压遵从以下分压公式

uk ＝ iRk ＝Rk

R u ，　　 k ＝１，２，⋯ ，n （１畅２４）

　　若将式（１畅２３）中各项乘以 i ，则得p ＝ iu ＝ iu１＋ iu２＋ ⋯ ＋ iun ＝ i２ R１＋ i２ R２＋ ⋯ ＋ i２ Rn ＝ p１＋ p２＋ ⋯ ＋ pn

（１畅２５）

即等效电阻 R吸收的功率等于各电阻吸收的功率之和。

由式（１畅２３）及式（１畅２５）可知，串联时各电阻上电压及功率的分配均与电阻成正

比，即

p１ ∶ p２ ∶ ⋯ ∶ pn ＝ R１ ∶ R２ ∶ ⋯ ∶ Rn ＝ u１ ∶ u２ ∶ ⋯ ∶ un （１畅２６）

　　各电阻两端受到同一电压时的连接形式，称为电阻的并联。如图１畅２８所示，总电

流 i根据 KCL 有i ＝ i１＋ i２＋ ⋯ ＋ in ＝ uG１＋ uG２＋ ⋯ ＋ uGn ＝ u · ∑

n

k ＝１

Gk ＝ u G （１畅２７）

图１畅２８　电阻的并联

所以，图１畅２８（b）是图１畅２８（a）的等效电路，等效电导 G ＝iu ＝ ∑

n

k ＝１

Gk ，等效电阻

R为

R ＝１G ＝

１

∑n

k －１Gk

＝１

∑n

k ＝１

１Rk

　或　１R ＝ ∑

n

k ＝１

１Rk

可见，等效电阻小于任意一个并联的电阻。

电阻并联时，各电阻中电流遵从以下分流公式

ik ＝ uG k ＝Gk

G i （１畅２８）

图１畅２９　２个电阻并联

　　当 n＝２（即２个电阻并联）时，如图１畅２９所示，等效电阻 R为２个电阻 R１、 R２

的 “积以和除”

R ＝１

１R１

＋１R２

＝R１ R２

R１＋ R２

分流的电流 i１、 i２分别为

i１＝G１

G i ＝R２

R１＋ R２

i ，　 i２＝G２

G i ＝R１

R１＋ R２

i

　　若将式（１畅２７）中各项乘以 u ，则得

９１


p ＝ iu ＝ i１ u ＋ i２ u ＋ ⋯ ＋ in u＝ p１＋ p２＋ ⋯ ＋ pn

（１畅２９）

即等效电阻吸收的功率等于各电阻吸收的功率之和。

由式（１畅２７）及式（１畅２９）可知，并联时各电阻中电流及功率的分配均与电导成正

比，即

i１ ∶ i２ ∶ ⋯ ∶ in ＝ p１ ∶ p２ ∶ ⋯ ∶ pn ＝ G１ ∶ G２ ∶ ⋯ ∶ Gn （１畅３０）

兼有串联及并联的电路称为混联电路。

图１畅３０　例１畅１０

例 1畅10 　求图１畅３０所示电路的等效电

阻 RAB 。解　电路等效变换的过程用箭头表示

则有

RAB ＝４＋２ × ２２＋２

＝５（Ω ）

　　例 1畅11 　求图１畅３１所示电路的电流 I 。解　（１）先假定总电流 Ia 和各支路电流 I１、 I２、 I３、 I４的参考方向如图１畅３１（a）所示。

以 a唱b为端口，其右边电路的等效电阻 Rab为

Rab ＝３ × ６３＋６

＋４ × ４４＋４

＝４（Ω ）

图１畅３１　例１畅１１

于是有

Ia ＝１２４

＝３（A）I１＝

３６＋３

× ３＝１（A）I２＝

６６＋３

× ３＝２（A）I３＝ I４＝

４４＋４

× ３＝１畅５（A）对节点 d ，根据 KCL 有

I ＝ I１－ I３＝１－１畅５＝－０畅５（A）　　（２）图１畅３１（b）中８个电阻均为并联，８个电阻上的电压全为 Uab ＝１２V ，所以

Rab ＝８０／８＝１０（Ω ）

I ＝１２／１０＝１畅２（A）　　例 1畅12 　试求图１畅３２（a）、（b）所示电路中电流 I ，并问：（a）、（b）两种情况下，

电阻吸收（并消耗）的功率由哪个电源提供？提供多少？

解　先求以 C唱D为端口，其右边电路的等效电阻 RCD ，等效变换的过程以箭头示

出，如图１畅３３所示，可得

RCD ＝４ × ４４＋４

＝２（Ω ）

当 RCD接图１畅３３（a）的电源时I１＝

８２

＝４（A）

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图１畅３２　例１畅１２

图１畅３３　例１畅１２

I２＝４ ×１２

＝２（A）I ＝２ ×

１２

＝１（A）I３＝５－ I１＝１（A）

这时由电流源提供功率 P＝－（５ × ８）＝－４０（W）。

当 RCD接图１畅３３（b）的电源时U ＝５RCD －８＝５ × ２－８＝２（V），　 I ＝１

４I１＝１畅２５（A）

这时电路由电流源和电压源共同供电，电流源提供功率 P１＝－５U ＝－１０（W），电压源

提供功率 P２＝－（５ × ８）＝－４０（W）。

由此例可见，恒流源的电流是恒定的，与它的端电压无关，但端电压的方向（极

性）决定了它是否向外电路提供功率。而恒压源的端电压恒定，与通过它的电流无关，

但它是否向外电路提供功率，由电流的方向决定。

倡２畅电阻的 Y （星形） △ （三角形）等效变换

图１畅３４（a）、（b）分别表示接于端钮１、２、３的 Y形连接和 △形连接的三个电阻，

这三个电阻通过１、２、３端与电路的其他部分（图中没有画出）相连。如果这两种连接

在端钮１、２、３以外的特性（即它们对应端钮之间的电压 u１２、 u２３、 u３１和流入对应端钮的电流 i１、 i２、 i３）相同，则它们彼此等效。所以，满足此条件，二者之间就可以进行等效

变换。下面找出二者等效时对应的电阻值关系。

根据 KCL ，对于图１畅３４（b）所示 △连接电路有

１２


图１畅３４　 Y唱 △等效变换

i１＝ i１２－ i３１＝u１２R１２

－u３１R３１

i２＝ i２３－ i１２＝u２３R２３

－u１２R１２

i３＝ i３１－ i２３＝u３１R３１

－u２３R２３

（１畅３１）

　　对于图１畅３４（a）所示 Y 连接电路，根

据 KCL 和 KVL 有i１＋ i２＋ i３＝０

i１ R１－ i２ R２＝ u１２i２ R２－ i３ R３＝ u２３

　　解联立方程组可得

i１＝R３ u１２

R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

－R２ u３１

R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

i２＝R１ u２３

R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１－

R３ u１２R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

i３＝R２ u３１

R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

－R１ u２３

R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

（１畅３２）

　　比较式（１畅３１）和式（１畅３２）可得根据 Y连接的电阻确定 △连接的电阻式

R１２＝R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

R３

R２３＝R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

R１

R３１＝R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１

R２

即 △ 形电阻＝Y形电阻两两乘积之和

Y形不相邻电阻（１畅３３）

　　由式（１畅３３）可得

R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１＝ R１２ R３＝ R２３ R１＝ R３１ R２

R１２＋ R２３＋ R３１＝（R１ R２＋ R２ R３＋ R３ R１）

２

R１ R２ R３

　　将上面二式中的上式代入下式，便得由 △连接的电阻确定 Y连接的电阻式

R１＝R１２ R３１

R１２＋ R２３＋ R３１

R２＝R２３ R１２

R１２＋ R２３＋ R３１

R３＝R３１ R２３

R１２＋ R２３＋ R３１

即 Y形电阻＝△ 形相邻电阻的乘积

△ 形电阻之和（１畅３４）

　　若 Y 连接的三个电阻相等，即 R１＝ R２＝ R３＝ RY ，则等效 △ 连接的三个电阻也相

等，它们为

R１２＝ R２３＝ R３１＝ R△ ＝３RY 　或　 RY ＝１３R △

　　若用电导表示，也有类似式（１畅３３）、式（１畅３４）的。不过，△形电导＝Y形相邻电导乘积Y形电导之和。

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如，G１２＝G１ G２

G１＋ G２＋ G３。

例 1畅13 　图１畅３５所示为由 T 形电路构成的衰减器。试求当 R１＝ R２＝ RL 时，输

入、输出之比。

图１畅３５　例１畅１３

解　用等效变换方法简化衰减器电路，变换过程用箭头表示。

从简化了的电路可见，输入 uin在输出端（A 、 B）的分压 uo 为

uo ＝

３４RL

３４RL ＋

３４RL

· uin ＝１２uin 　或　

uouin ＝０畅５

３畅桥式电路平衡法

图１畅３６（a）所示是电桥式电路（参见例２畅１０），对 A唱B端口而言，如满足平衡条

件： R１／R２＝ R３／R４，求 A唱B 口的等效电阻时，则 C 、 D 两点是等电位点，可以短接；

另外 CD支路的电流为０，故 CD支路也可看做断开。两种处理所求结果相同，即

RAB ＝（R１ ∥ R３）＋（R２ ∥ R４）＝（R１＋ R２） ∥ （R３＋ R４）

　　对于桥式电路的平衡电位点的分析，还可以进一步扩展，如图１畅３６所示电路中，

对于端口 A 唱B ，若 R１／R２／R３＝ R４／R５／R６，则图（b）所示电路中 C与 D 、 E与 F分别是等电位点。图（c）所示电路中，则 E 、 F 、 G为等电位点。

图１畅３６　桥式电路

４畅输入电阻

当不能应用电阻的串、并联或 Y唱 △等效变换等方法求得无源单口的等效电阻（比

如，无源单口的内部结构不知道）时，或者单口内部除电阻以外还含有受控源，但不含

有任何独立源时，则不论单口内部如何复杂，都可以通过求端口输入电阻的办法求得端

３２


口的等效电阻，因为这两者相等。

单口的输入电阻 Rin定义为单口的端口输入电压 u与端口输入电流 i 之比。在 u 、 i

为关联参考方向（如图１畅３７所示）时，Rin ＝ui ；但若 u 、 i为非关联参考方向时，则

Rin ＝－ui 。

根据定义，求输入电阻一般用电压、电流法，即在端口加以电压 uS ，然后求（或

测量）出端口电流 i ；或在端口加以电流源 iS ，然后求（或测量）出端口电压 u ，并进

而求出电压与电流的比值。

例 1畅14 　试求图１畅３８所示电路的输入电阻 Rab 。

解　因为 i＝ u１R１或 u１＝ iR１

又 uab ＝ u１R１

· （R１＋ R２）－ μu１

所以 Rab ＝ uabi ＝ R１＋ R２－ μR１＝（１－ μ）R１＋ R２

此例说明，一个含受控源但不含独立源的单口，可等效为一个电阻。

图１畅３７　单口输入电阻

　　　　　　　

图１畅３８　例１畅１４

５畅理想电源的串联和并联

若干个理想电压源 uS１， uS２， ⋯ ， uS n串联，可以用一个等效电压源 uS 代替，这个

等效电压源的电压为各个理想电压源电压的代数和（见图１畅３９），即

uS ＝ uS１＋ uS２＋ ⋯ ＋ uS n ＝ ∑n

k ＝１

uS k （１畅３５）

式中与 uS 的参考方向（参考极性）一致的 uS k前取 “ ＋ ” 号，否则取 “ － ” 号。

若干个理想电流源 iS１， iS２， ⋯ ， iS n并联，可以用一个等效电流源 iS 代替，这个等

效电流源的电流为各个理想电流源电流的代数和（见图１畅４０），即

图１畅３９　理想电压源串联图１畅４０　理想电流源并联

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iS ＝ iS１＋ iS２＋ ⋯ ＋ iS n ＝ ∑n

k ＝１

iS k （１畅３６）

式中与 iS的参考方向一致的 iS k前取 “ ＋ ” 号，否则取 “ － ” 号。

只有电压相等、方向（极性）一致的理想电压源才能并联，否则违背 KVL 。其等效电路为其中任一理想电压源，但是这个并联组合向外部提供的电流在各个理想电压源

之间的分配情况不能确定。

只有电流相等且方向一致的理想电流源才能串联，否则违背 KCL 。其等效电路为其中任一理想电流源，然而这个串联组合的总电压在各个理想电流源上的分配情况不能

确定。

６畅实际电源模型的等效变换

实际电源有电压源和电流源两种模型，它们的表示符号和伏安特性分别如图１畅１２

和图１畅１３及式（１畅２１）和式（１畅２２）所示。将式（１畅２１）等号两边除以 RS 可得uRS ＝

uSRS － i

图１畅４１　电压源电流源等效变换

若令 iS ＝ uSRS ，上式可写作式（１畅２２）。可

见，这时图１畅１２（a）和图１畅１３（a）虚线框内表示的电压源和电流源，它们的外特

性对任一相同外电路来说是完全相同的，

如图１畅４１所示。所以，它们是等效的。这

样，一个电压源模型可以等效变换为一个

电流源模型。只要满足：等效电流源模型

的电流 iS ＝ uSRS ，为电压源模型的端口短路

电流 iSC ，方向与电压源 uS 电位升的方向一致。等效电流源模型的内阻与电压源内阻相同。同理，电流源也可等效变换为电压

源。只要满足：电压源的电压 uS ＝ iS RS ，为电流源端口的开路电压 uOC ，其电位升的方

向与电流源电流 iS 的方向一致。电压源的内阻与电流源内阻相同。

应该注意，电源模型之间的等效变换只是对外电路等效（体现在端口伏安特性上），

而对电源内部是不等效的。而且，理想电压源和理想电流源之间无法等效变换。

例 1畅15 　求图１畅４２所示各电路 a 、 b端钮之间的等效电路。

解　以下各电路等效变换的过程用箭头表示。

从图１畅４２（a）、（b）所示电路的等效变换可见，与理想电压源并联的元件或单口

（网络），从等效的观点看，都是多余的；与理想电流源串联的元件或单口（网络），从

等效的观点看，也都是多余的。

例 1畅16 　化简图１畅４３（a）所示电路。

解　将受控电流源与电阻并联等效变换成受控电压源与电阻的串联，如图１畅４２（b）所示。　

由 KVL求得

５２


图１畅４２　例１畅１５

u ＝２０００ i －５００ i ＋１０＝１５００ i ＋１０

满足上式的最简单电路如图１畅４３（c）所示。对比（b）、（c）两图，此例中的受控电压

源好比是一个－５００Ω 的电阻。

本例表明，电源模型的等效变换也适用于受控源。但变换时须注意不要消去控制

量。当然，不用等效变换，对图１畅４３（a）直接应用 KVL 也能得上式。

图１畅４３　含受控源电路的化简

例 1畅17 　求图１畅４４（a）所示电路中的电流 I 。解　因为要求的是７Ω 电阻支路电流，可先将电压源等效变换成电流源，并将它的

电流和６A电流源的电流合并，这样得到了图１畅４４（b）。再将图１畅４４（b）中两个电流源变换成等效的电压源，所得到的无分支电路（见图１畅４４（c））是与图１畅４４（a）表示的电路等效的。由图１畅４４（c），根据欧姆定律求出 I ＝０畅５A ，其实际方向即为图中箭

头所示。

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图１畅４４　电源等效变换的应用

倡７畅电源位置的等效变换（无伴电源的位移）

电路中理想电压源支路上的电压源可转移到与该支路连接的任一端的所有支路中，

图１畅４５　电压源转移

原理想电压源支路短接。或者相反的

转移。这个关系可由 KVL 得到证明：

电压源转移前后电路中任一回路电压

关系都没改变。图１畅４５所示为二个互

为电压源转移电路。

例 1畅18 　求图１畅４６（a）所示电路中通过负载电阻 RL 的电流 I 。解　将电压源转移方法应用于

图１畅４６（a）所示电路得到图１畅４６（b）后，就可反复进行电源等效变换以简化电路，如图１畅４６（b）、（c）、（d）所示。最后由

图１畅４６（d）所示电路，求出 RL 中的电流 I ＝３ × ２３＝２（mA）。

图１畅４６　例１畅１８

电路中理想电流源支路上的电流源可跨接到与该支路形成回路的任一回路的各支路上

去，原理想电流源支路开路。或者相反的转移。这个关系可由 KCL得到证明：电流源转

移前后电路中任一节点电流的关系都没有改变。图１畅４７所示为二个互为电流源转移电路。

图１畅４７　电流源转移

７２


例 1畅19 　求图１畅４８所示电路中通过负载电阻 RL 中的电流 I 。

图１畅４８　例１畅１９

解　将电流源转移的方法应用于图１畅４８（a）所示电路得到图（b）后，进行电源

模型等效变换以简化电路。最后由图（d）所示电路，求出 I ＝０畅５mA 。

１畅５　小　　结

（１）电路分析的主要任务是研究如何用电流 i 、电压 u和功率 p 三个常用物理量来描述电路中发生的电磁现象和能量转换过程。因此，应首先清楚各物理量及其正方向的

概念和它们在电路模型上的恰当表示以及直流电路中的功率平衡关系。正方向是人为选

定的一个方向，而最终要根据所选正方向下计算出的电压或电流值的正负，确定出电路

中各元件（或支路）电压、电流的实际方向及功率的性质（吸收还是发出）。

（２）电路中的电流、电压关系受到元件约束和电路结构的制约（即所谓拓扑约

束），这两种约束关系是分析电路的基本依据。因此，掌握元件的特性和基尔霍夫定

律十分重要。元件约束只与元件性质有关，与该元件在电路中的连接方式无关。要

注意电阻、电感和电容元件的性质，它们各自的伏安关系式与电流、电压正方向的

选择有关。

KCL体现了电路在每一个节点上的电流连续性或电荷守恒性； KVL 体现了电路在每一个回路中的电位单值性或能量守恒性。它们共同反映了电路在连接方式上的电路约

束关系，这种约束与构成电路的元件性质无关。所以，基尔霍夫定律是电路理论最基本

的定律，也是电路中各种分析方法的基本依据。

（３）电路中的电源分成独立源与非独立源。独立源包括理想电压源和理想电流源，

前者的端电压是定值或一定的时间函数，后者的电流是定值或一定的时间函数，与电路

中其他部分的电压和电流无关。实际电源装置在电路分析中用具有功率损耗的电压源或

电流源模型模拟。因具有损耗，所以，电压源或电流源的伏安特性与其内电阻（或内电

导）有关。

受控源不能独立地给电路提供能量，即它的电压或电流是电路中其他部分电压或电

流的函数。但在分析电路时，它能和独立源一样处理。

（４）电路等效变换的方法是电路简化计算时常用的方法。要掌握本章介绍的电阻电

路中一些常用变换方法，实际中能灵活应用。变换前，首先要考察满足相互等效变换的

条件。

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习　　题

１畅某电路中 A 、 B 、 C三点的电位分别为４V 、２V 、－２V ，求电压 UAB和 UCA 。若以 C点作为参考点，求 A 、 B点的电位和电压 UAB 、 UCA 。

２畅题２图所示电路中，已知 U１＝１６V ，U２＝２０V ， R１＝４Ω ， R２＝１２Ω ， R３＝ R４＝

１５Ω ， R５＝９Ω ， R６＝１１Ω ，求各点的电位 V a 、 V b 、 V c 、 V d 、 V e 、 V f 。３畅求题３图所示电路中的电流 Ix 和电压 UAC 。４畅写出题４图所示电路的伏安特性方程，并指明各电源向外电路吸收还是发出功率。

５畅已知电感元件的 L ＝２mH ，通过其电流的波形如题５图所示。试求其端电压的

波形。

题２图

　　　

题３图

题４图

　

题５图

６畅求题６图所示电路各电源的功率并指出是发出还是吸收功率。

７畅题７图所示为电容两端电压和通过的电流波形。求电容量 C ，并计算 t ＝２ms时电容所吸收的功率和储存的能量。

题６图

　　

题７图

９２


８畅求题８图所示电路的 Uab和 Io 。９畅求题９图所示电路中的 Ux 、 Ix 和电压源的电流 I及电流源的电压 U 。

题８图

　　　　　

题９图

１０畅计算题１０图所示电路的电流 I和电流源的功率。

１１畅题１１图所示电路中，已知 US１＝２４V ， US２＝１２V ， R ＝１００Ω ， R１＝ R２＝ R３＝

R４＝ R５＝ R６＝４Ω ， IS ＝３A 。求：

（１）电流 I１、 I２、 I０和 Ufh 。（２）将 h 、 f 点用导线短接，求导线中电流 Ifh和 Ufh 。（３）在 h 、 f 点间短接导线拿开后，将 c 、 h点短接，求 Ich 。

题１０图

　　　

题１１图

１２畅用电源转移法求题１２图所示电路中电流源的端电压，并说明这时电流源是发

出功率还是吸收功率。

１３畅求题１３图所示电路的输入电阻 Rab ＝ UabI 。

　

题１２图

　　　　　题１３图

１４畅求题１４图所示电路中的 u和 i及受控源的功率。

１５畅求题１５图所示电路中０畅５Ω 支路的电流。

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题１４图

　　　

题１５图

１６畅电路如题１６图所示，已知 I ＝０，试求 R及４V 电压源的功率。

１７畅求题１７图所示电路中的 Uac和 Ubd 。

题１６图

　　　　

题１７图

１８畅求题１８图所示电路中电压 U 、电流 I和电流源的功率。

题１８图

１３

第 2章　电路分析方法和定理

当比较复杂的电路（有时又称网络）不能用串、并联等等效变换方法化简为简单电路

时，需寻求新的简化计算方法来分析它。本章以直流源激励下的线性电阻电路为讨论对

象，介绍一些方法。其中，一种是以基尔霍夫定律为依据，列出所需的电路（或称网络）

方程，然后求这组线性代数方程的解。当然，这种方法在电路的结构越复杂时，方程数目

也就越多，手算繁杂就得借助电子计算机来解算。另一种是以线性电路的重要原理和定理

为依据，去简化电路的分析和计算。这些分析方法可推广到正弦稳态等其他的电路中去。

２畅１　支路电流法

支路电流法是计算复杂电路的最基本方法。它是以支路电流作为待求的变量，根据

KCL 、 KVL 建立电路方程，从而求解各支路电流的方法。现以图２畅１所示电路为例来

说明。

图２畅１　支路电流法

这个电路共有四个节点，六条支路，待求量

为六个未知电流，因此必须列出六个独立方程才

可求解。设各支路电流的参考方向如图２畅１所示，

根据 KCL 可列出四个方程，即

节点 A ：　 I１＋ I３＋ I５＝０（２畅１）

节点 B ：　－ I５＋ I４＋ I６＝０（２畅２）

节点 C ：　－ I３－ I６＋ I２＝０（２畅３）

节点 D ：　－（I１＋ I２＋ I４）＝０（２畅４）

但这四个方程中实际上只有三个是独立的，因为

其中任何一个方程可由其余三个方程相加得出。因此，具有四个节点的电路只能列出三

个独立的节点电流方程。这个结论可以推广到一般情况，即在含有 n个节点的电路中，

根据 KCL只能列出 n －１个独立节点电流方程。

能够列出独立节点方程的节点称之为独立节点，否则称之为参考节点。独立节点的

选择是任意的，但往往选择连接支路最多的节点作参考节点。电路中独立节点数比节点

总数少一个。

现在已有三个独立方程，尚缺的另外三个独立方程可以根据 KVL 列出相应的回路方程来补足。图２畅１所示电路有七个回路，按 KVL 可有七个回路方程，但其中只有三

个方程是独立的。如果选取网孔作为回路，按顺时针绕行方向列写回路电压方程，可得

网孔 Ⅰ ：　　　　　　　　－ I１ R１＋ I４ R４＋ I５ R５＝ US１　　　　　　　　（２畅５）

网孔 Ⅱ ：　　　　　　　　 I２ R２－ I４ R４＋ I６ R６＝ US６－ US２　　　　　　　　（２畅６）

网孔 Ⅲ ：　　　　　　　　 I３ R３－ I５ R５－ I６ R６＝－ US６　　　　　　　　（２畅７）

以上三个方程都是独立的，因为其中任何一个方程都不能由另外两个方程推导出来。所

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　第２章　电路分析方法和定理　　　　　

以，取网孔作为列电压方程的回路，由于网孔不能由别的网孔合成，一个网孔就是一个

独立回路，网孔上的电压方程就是独立的。换句话说，一个平面电路（可以画在平面上

不出现支路交叉的电路）中独立回路电压方程的数目等于此电路的网孔数。

应该说明，选取网孔是获得独立回路电压方程的充分条件，而不是必要条件。如果

不选取网孔，那只要在依次选取回路时，每次所取的回路中至少含有一条为其他回路所

未包含的新支路，这样也可以列出独立的回路电压方程。

能够列出独立电压方程的回路称之为独立回路。在一般情况下，若电路有 n －１个独立节点，支路的数目为 b ，独立回路的数目为 m ，则有下列关系

m ＝ b －（n －１）

于是，任一电路按照基尔霍夫定律可列出独立方程的总数为

（n －１）＋ m ＝（n －１）＋ b －（n －１）＝ b它刚好等于待求的支路电流数目，因此可以求得唯一的一组解。

综上所述，对于有 n个节点、 b条支路的电路，当用支路电流法求各支路电流时，

其解题步骤如下：

（１）设定各支路电流及其参考方向。

（２）对 n －１个独立节点按 KCL 列节点电流方程。

（３）选取独立回路并设定其绕行方向，按 KVL 列出 b －（n －１）个回路电压方程。

（４）求解联立方程组，得出待求的各支路电流。

支路电流法的优点是可以直接求出各支路电流。缺点是必须求解 b个方程。若支路

数 b较大，计算工作则相当繁重。

与支路电流法类似，也可用支路电压作为变量列方程组求解它，这就是支路电压

法。但一般常用支路电流法，很少用支路电压法。

例 2畅1 　确定图２畅２所示电路中三个 R中通过的电流。

图２畅２　例２畅１

解　先设定三个支路电流 I１、 I２、 I３的参考方向如图２畅２

中所示。按支路电流法计算步骤，对节点 A 、 B和 C三角形回路列出节点电流方程和回路电压方程

３＋ I１＝ I２４＋ I２＝ I３（I１＋ I２＋ I３）R ＝０或 I１＋ I２＋ I３＝０

用代入、消去法解方程组，可得

I１＋３＋ I１＋４＋３＋ I１＝３ I１＋１０＝０

于是

I１＝－３１３（A），　　 I２＝－

１３（A），　　 I３＝３

２３（A）

倡２畅２　网孔电流法

网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，如图２畅３中表示的 I Ⅰ 、 I Ⅱ 。一个

平面电路共有 b －（n －１）个网孔（b 、 n分别是支路数和节点数），因而也有相同数目的

３３


网孔电流。

网孔电流法就是以网孔电流这组独立变量为待求变量，列方程求解的方法。但是，

图２畅３　网孔电流法

由于每一网孔电流沿着网孔流动而流经某节点时，

从该节点流入，又从该节点流出，在对该节点所列

的 KCL 方程中彼此抵消。所以，在列电路方程时，

网孔电流不能用 KCL 相联系，而需按 KVL来列写。

网孔电流法仅适用于平面电路。

现以图２畅３所示电路为例，对网孔 Ⅰ 和 Ⅱ列出

KVL 方程，列方程时，以各自的网孔电流方向为绕

行方向，有

（R１＋ R２）I Ⅰ － R２ I Ⅱ ＝ US１－ US２－ R２ I Ⅰ ＋（R２＋ R３）I Ⅱ ＝ US２－ US３

　　若用 R１１和 R２２分别表示网孔 Ⅰ和网孔 Ⅱ中所有电阻之和，即 R１１＝ R１＋ R２， R２２＝

R２＋ R３，分别称为网孔 Ⅰ和网孔 Ⅱ的自电阻（简称自阻）；用 R１２和 R２１表示两个网孔共

有的电阻，称为网孔 Ⅰ和网孔 Ⅱ （或反之）的互阻，本例中 R１２＝ R２１＝－ R２。上式可

改写为

R１１ I Ⅰ ＋ R１２ I Ⅱ ＝ US１１R２１ I Ⅰ ＋ R２２ I Ⅱ ＝ US２２

（２畅８）

式中， R１１ I Ⅰ 表示网孔电流 I Ⅰ 在网孔 Ⅰ内各电阻上引起的电压之和， R２２ I Ⅱ 表示网孔电流 I Ⅱ 在网孔 Ⅱ内各电阻上引起的电压之和。由于列 KVL 方程时的绕行方向与网孔电流方向一致，所以 R１１和 R２２总为正值。 R１２ I Ⅱ 代表 I Ⅱ 在网孔 Ⅰ中引起的电压，而 R２１ IⅠ 表示 I Ⅰ 在网孔 Ⅱ中引起的电压。由于通过共有电阻 R２的两个网孔电流 I Ⅰ 和 I Ⅱ 的参考方向相反，所以互阻为负，即 R１２＝ R２１＝－ R２。

对具有 m个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式可由式（２畅８）推广而得

R１１ I Ⅰ ＋ R１２ I Ⅱ ＋ R１３ I Ⅲ ＋ ⋯ ＋ R１m Im ＝ US１１R２１ I Ⅰ ＋ R２２ I Ⅱ ＋ R２３ I Ⅲ ＋ ⋯ ＋ R２m Im ＝ US２２⋯ ⋯

Rm１ I Ⅰ ＋ Rm２ I Ⅱ ＋ Rm３ I Ⅲ ＋ ⋯ ＋ Rmm I m ＝ USmm

（２畅９）

式中，具有相同下标的电阻 R１１、 R２２等是各网孔的自阻，自阻总是正值；有不同下标的

电阻 R１２、 R１３等是网孔间的互阻，互阻的正负由两网孔电流在共有支路上参考方向是否

相同而定。相同为正，相反为负。如果将所有网孔电流都取顺（或逆）时针方向，则所

有互阻总为负。在不含受控源的电阻电路情况下， Rik ＝ Rki 。若两个网孔间没有共有支

路，或共有支路的电阻为零（如共有支路仅有理想电压源），则互阻为零。式（２畅９）等

号右边的 US１１、 US２２等为网孔 Ⅰ 、 Ⅱ等的各电压源电压的代数和，电压方向与网孔电流

方向相反时，前面取 “ ＋ ” 号，反之取 “ － ” 号。

所以，用网孔电流法计算电路时，首先要列出电路的网孔电流方程组，然后解方程

求出各网孔电流。再根据各支路电流和网孔电流的关系（如图２畅３所示电路中，有 I１＝I Ⅰ ， I２＝ I Ⅰ － I Ⅱ ， I３＝ I Ⅱ ），求出所要求的各支路电流。

例 2畅2 　求图２畅４所示各支路电流。

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图２畅４　例２畅２

解　由于电路的支路数大于网孔数，故用网孔

电流法来计算。首先设定各支路电流及三个网孔电

流的参考方向如图２畅４所示。

在应用网孔电流法时，如果电路中有电流源，

通常经等效变换成为电压源后再列网孔电流方程。

但本例中是理想电流源，无法进行等效变换。这时

可设理想电流源两端的电压为 U ，将 U 作为一个求解变量列入方程。这样方程组多了一个变量，但理

想电流源电流是已知的，方程仍可解。这种处理方

法，在应用支路电流法或回路电流法（见２畅３节）时也适用。对本例列出的网孔电流方

程如下：

（２０＋１５＋１０）I Ⅰ －１０ I Ⅱ －１５ I Ⅲ ＝０

－１０ I Ⅰ ＋（１０＋３０） I Ⅱ ＋ U ＝５０

－１５ I Ⅰ － U ＋（４０＋１５）I Ⅲ ＝－２０

I Ⅲ － I Ⅱ ＝１（A）　即　

４５ I Ⅰ －１０ I Ⅱ －１５ I Ⅲ ＝０

－１０ I Ⅰ ＋４０ I Ⅱ ＋ U ＝５０

－１５ I Ⅰ － U ＋５５ I Ⅲ ＝－２０

I Ⅲ － I Ⅱ ＝１

解联立方程组得

I Ⅰ ＝１６７３A ，　　 I Ⅱ ＝

－１５７３A ，　　 I Ⅲ ＝

５８７３A

于是有

I１＝ I Ⅰ ＝１６７３A ，　　 I２＝ I Ⅰ － I Ⅲ ＝

－４２７３A ，　　 I３＝ I Ⅰ － I Ⅲ ＝

３１７３A

I４＝ I Ⅲ ＝５８７３A ，　　 I５＝ I Ⅱ ＝

－１５７３A

倡２畅３　回路电流法

回路电流法是以假想的沿着回路边界流动的所谓回路电流为待求变量，根据 KVL列出电路方程后进行分析计算的方法。如果一个电路的回路电流数为 l ，则这个电路的回路电流方程的一般形式为

R１１ I Ⅰ ＋ R１２ I Ⅱ ＋ R１３ I Ⅲ ＋ ⋯ ＋ R１ l I l ＝ US１１R２１ I Ⅰ ＋ R２１ I Ⅱ ＋ R２３ I Ⅲ ＋ ⋯ ＋ R２ l I l ＝ US２２⋯ ⋯

Rl１ I Ⅰ ＋ Rl２ I Ⅱ ＋ Rl３ I Ⅲ ＋ ⋯ ＋ Rll I l ＝ US ll

（２畅１０）

可见，式（２畅１０）和式（２畅９）表示的网孔电流方程十分相似。式中各回路的自阻 R１１、

R２２等和回路间的互阻 R１２、 R１３等的含义及取值的正或负，US１１、 US２２等的含义和取值，

如同式（２畅９）中对应项的情况。两式如此相似是不奇怪的，因为网孔本身就是回路。

然而，还应注意的是，网孔是回路，而且在应用 KVL 时它是独立回路。所以在

式（２畅９）中，网孔电流是一组独立变量。而回路不只是网孔（如图２畅３所示电路中，有

左、右两个网格表示的两个网孔Ⅰ和Ⅱ ，但回路除网孔Ⅰ 、 Ⅱ外，还有 ABCDA回路共三个），

５３


且在列式（２畅１０）时，不是所有回路都是独立回路（对于有 b个支路、 n个节点的电路，

列式（２畅１０）时，对应独立回路的回路电流数 l ＝ b － n＋１）。因此，如何选择独立回路，

需加注意。如对图２畅３所示电路应用回路电流法时，回路电流数 l应为２，选择的独立回

路应是回路 ABCDA和Ⅰ或Ⅱ中的任一网孔，读者可自行列出这时的回路电流方程。

回路电流法比网孔电流法应用得更广泛，因为网孔电流法仅适用于平面电路，而回

路电流法无此限制，它适用于平面或非平面电路。

２畅４　节点电压法

节点电压法是以节点电压为待求变量，根据支路伏安特性和 KCL 列写电流方程，

从而求解节点电压的方法。一旦各节点电压求得后，所有各支路电压、电流可根据

KVL和欧姆定律随之确定。节点电压法简称节点法。它既可解平面电路，也可解非平

面电路。计算机电路的分析，也常用节点法。

应用节点法时，在电路中，任选一节点作为参考点。电路中其余节点与参考节点之

间的电压便是节点电压。节点电压的参考方向均是从节点指向参考节点的，即其参考极

性均以参考节点处为 “ － ” 极性。由于通常设参考节点的电位为零（零电位点在电路中

用符号 “ ⊥ ” 表示），故某节点电压也就是该节点电位。所以，也有人将节点电压法称

图２畅５　节点电压法

作节点电位法。由２畅１节所述可知，电路的独立节

点数恒少于支路数，这样，求解节点电压所需的方

程数比支路电流法的方程数少。特别是对节点少网

孔多的电路来说，将会使电路分析大为简化。下面

以图２畅５所示电路为例进行说明。

图２畅５所示电路中有三个节点。设以节点３为

参考节点，则其余二个节点到参考点的电压 U１、

U２就是节点１和２的节点电压。按图中标出的支路

电流，根据 KCL 可写出二个独立节点的方程节点１：

节点２：

I１＋ I２＋ I３－ IS１＋ IS３＝０

－ I３＋ I４＋ I５－ IS２－ IS３＝０（２畅１１）

由欧姆定律可得

I１＝U１

R１

＝ G１U１

I２＝U１

R２＝ G２U１

I３＝U１－ U２

R３

＝ G３（U１－ U２）

I４＝U２

R４

＝ G４U２

I５＝U２

R５

＝ G５U２

（２畅１２）

　　将式（２畅１２）代入式（２畅１１），并进行整理可得节点电压方程

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（G１＋ G２＋ G３）U１－ G３U２＝ IS１－ IS３－ G３U１＋（G３＋ G４＋ G５）U２＝ IS２＋ IS３

（２畅１３）

　　将式（２畅１３）写成简单而有规律的一般形式

节点１：

节点２：

G１１U１＋ G１２U２＝ IS１１G２１U１＋ G２２U２＝ IS２２

（２畅１４）

式中， G１１＝ G１＋ G２＋ G３＝１R１

＋１R２

＋１R３是连接节点１各支路电导的总和，称为节点１的

自电导。

G２２＝ G３＋ G４＋ G５＝１R３

＋１R４

＋１R５是连接节点２各支路电导的总和，称为节点２的自

电导。

G１２＝ G２１＝－ G３＝－１R３是连接节点１和节点２两支路共有电导的负值，称为节点１

和节点２之间的互电导。

由于假设参考点为零电位，各节点电压的参考方向总是由非参考节点指向参考点，

所以各节点电压在自电导中所引起的电流总是流出该节点的，在 KCL 方程中，这些电

流前取正号，因而自电导总为正。但是节点１和节点２中任一节点电压在这两个节点间

公共电导中所引起的电流则是流入另一个节点，所以在 KCL 方程中流入另一个节点的这些电流前取负号，因而互电导总为负。

IS１１＝ IS１－ IS２是流入节点１电流源电流的代数和。流入为正，流出为负。

IS２２＝ IS２＋ IS３是流入节点２电流源电流的代数和。流入为正，流出为负。

节点电压方程是 KCL的体现，因为方程（２畅１４）左边是各节点电压引起的流出节

点的电流，而右边则是电流源送入节点的电流。

如果电路具有 n＋１个节点，根据上述原则可列出 n个节点电压方程，即

G１１U１＋ G１２U２＋ ⋯ ＋ G１ nUn ＝ IS１１G２１U１＋ G２２U２＋ ⋯ ＋ G２ nUn ＝ IS２２⋯ ⋯

Gn１U１＋ Gn２U２＋ ⋯ ＋ Gnn Un ＝ IS nn

（２畅１５）

　　综上所述，使用节点电压法的步骤如下：

（１）指定参考节点。参考节点可任意选定，但一经选定，分析电路时就不得随意

变动。

（２）列出节点电压方程，其中自电导总为正，互电导总为负。

（３）连接节点的电流源，当其电流指向该节点时为正，反之为负。

（４）解联立方程求得各节点电压，然后再根据欧姆定律求出各支路电流。

注意事项：

（１）由于式（２畅１５）等号右边项 IS１１、 IS２２等是电流源电流，所以在遇到电压源支

路时，应将电压源变换成等效的电流源。

（２）如果遇到的是理想电压源支路，由于理想电压源和理想电流源之间无法等效变

换，那么对这条支路的处理方法是，在选择电路的参考节点时，就设法使该理想电压源

７３


的端电压作为一个节点电压（该节点电压已知，所以在以后列出的电路节点电压方程中

自然少一个方程）；或者是，不将该理想电压源的端电压设定为一个节点电压，而设定

通过它的电流作为一个新变量列入电路方程中，另外补充上该理想电压源的端电压与相

关节点电压之间关系的方程，使整个联立方程可解。

（３）当电路含有受控源时，先将受控源按独立源对待列出方程，然后再将控制量用

节点电压表示。

节点电压法适用于平面电路和非平面电路，而且在实际电路中，节点数目一般比网

孔数目少，用这种方法便于编程，目前用计算机分析大型电路时经常用到节点电压法。

图２畅６　例２畅３

例 2畅3 　试用节点电压法求图２畅６所示电路

中通过１００Ω 电阻的电流 I 。解　本题电路用电子电路的习惯画法，其节

点电压 U１和 U２的方程为

１２０

＋１５０

＋１１００

U１－１１００

U２＝０畅６

－１１００

U１＋１１００

＋１２０

＋１５０

U２＝－０畅４

即

０畅０８U１－０畅０１U２＝０畅６

－０畅０１U１＋０畅０８U２＝－０畅４

解联立方程得

U１＝６畅９８V ，　　 U２＝－４畅１３V于是有

I ＝U１－ U２

１００＝

６畅９８＋４畅１３１００

碖０畅１１（A）　　例 2畅4 　求图２畅７所示电路中各支路电流。

图２畅７　例２畅４

解　由一般形式的节点电压方程可推，两节点电路当

选定某一节点（如０点）为参考点后，方程中互电导项为

零，所以待求的节点电压方程应为

G１１U１＝ IS１１即

U１＝IS１１G１１

（２畅１６）

　　有的书刊中称式（２畅１６）为弥尔曼定理。

对图２畅７所示电路，节点１的电压为

U１＝

US１R１

－US２R２

＋ IS１R１

＋１R２

＋１R４

上式中和电流源串联的电阻 R３，不论其阻值大小如何，均不影响该支路电流的大小。

因此，在列电压方程时， R３不计入自电导中。

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若各支路电流的参考方向如图２畅７所示，则各支路电流为

I１＝U１－ US１

R１，　　 I２＝

U１＋ US２R２

，　　 I４＝U１

R４

　　例 2畅5 　试用节点电压法求图２畅８（a）、（b）所示电路各独立节点的电压及 R２、 R３

上电压 U１２、 U２３。

图２畅８　例２畅５

解　图２畅８（a）中设理想电压源通过的电流 I的参考方向如图中所示，则对节点

１、２、３可得

１R１

＋１R２

U１－１R２U２＝ I

－１R２U１＋

１R２

＋１R３

U２－１R３U３＝２

－１R３U２＋

１R３

＋１R４

U３＝４R４

－ I

　即　

２U１－ U２＝ I－ U１＋２U２－ U３＝２

－ U２＋２U３＝４－ IU１－ U３＝４

另有约束关系 U１－ U３＝４V ，联立求解得： U１＝５V ，U２＝４V ，U３＝１V ； R２、 R３两端

电压分别为：U１２＝ U１－ U２＝１V ，U２３＝ U２－ U３＝３V 。

对图２畅８（b）所示电路的节点１、２、３可得

U１＝４V－

１R２U１＋

１R２

＋１R３

U２＝２

－１R１U１＋

１R１

＋１R４

U３＝－２＋４R４

　即　

U１＝４

－ U１＋２U２＝２

－ U１＋２U３＝－６

解联立方程得：U１＝４V ，U２＝３V ，U３＝－１V ；而 U１２＝ U１－ U２＝１V ， R３两端电压即

为U２＝３V 。

例 2畅6 　求图２畅９所示电路中电压 U和受控电流源３U发出的功率。

图２畅９　例２畅６

解　用节点电压法计算，０点作为参考节点，对独

立节点１、２可得

　　　

１５＋

１１畅５

U１－１１畅５

U２＝３U

－１１畅５

U１＋１１畅５

＋１２

U２＝７

U１－ U２＝ U

９３


即

１畅３U１－ U２＝３（U１－ U２）

－ U１＋１畅７５U２＝１０畅５

联立求解得：U１＝１７畅５V ，U２＝１６V 。于是有 U ＝１畅５V ，电流源３U 的功率 P ＝－３ ×

１畅５ × U１＝－７８畅７５（W），“ － ” 号表示发出功率。

２畅５　线性电路的叠加性和齐次性

参数恒定的元件，其电压和电流关系可以用一次线性方程（包括代数方程和微分方

程）来描述，这些元件称为线性元件。由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路。

前两节讨论的方法是分析它们的基本方法，通用性强。下面几节将讨论电路定理。合理

运用电路定理可以使电路的分析简化。

叠加性是线性电路的一个基本性质。它指出：线性电路中任一支路所产生的响应

（电压或电流）等于各个独立源单独作用于电路时在该支路产生的响应的代数和。这个

结论说明了激励作用的独立性原理，又称为叠加定理。

例如，要求图２畅１０（a）所示电路中电流 I 。为此，可把图２畅１０（a）中 A 、 B端钮

图２畅１０　叠加定理

左边的电路等效变换成电流源，如图２畅１０（b）所示。由图（b）可求I ＝ US

RS － IS ·RS

R ＋ RS ＝US

R ＋ RS ＋－ IS · RSR ＋ RS ＝ I１＋ I２

由上式可见，图２畅１０（a）所示电路中电流 I等于电压源 US 单独作用（ IS ＝０）时，电

阻 R中电流 I１与电流源 IS 单独作用（US ＝０）时， R中电流 I２的代数和，如图２畅１０（c）所示计算电路中情况。

应用叠加定理时应注意：

（１）当一个独立源单独作用时，其余的独立源应不作用（即为零值），即其余的电

压源用短路代替，其余的电流源用开路代替。如果电源中含有内阻，则此内阻作为电路

的参数。除此之外，所有元件参数和连接方式均不能改变。

（２）当电路中含有受控源时，它不能像独立源那样单独作用，因为受控源的电压

或电流是依赖于其他支路的电压和电流。相反，当一个独立源单独作用时，所有受

控源均需保留，且受控源的电压或电流的大小和方向将随着激励的不同而做相应的

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改变。

（３）最后，叠加时要注意各个响应分量是代数和。当响应分量的参考方向与原响应

的参考方向一致时，分量取正号，反之取负号。

（４）叠加定理不能用于计算电路的功率，因为功率和电流或电压不是线性函数

关系。

应用叠加定理往往可将一个复杂电路化为简单电路的计算，从而避免了联立方程。

特别是当某一电路业已计算完毕，又要求算出在该电路上新增一个电源以后各支路的响

应，在这种情况下应用叠加定理更为方便，这时只要把新增的独立源单独作用时在各支

路产生的电压和电流叠加到原有的结果上就行了，另外，叠加定理是一个重要的网络理

论，很多重要的定理靠它推出。

齐次性是线性电路的另一个基本性质。它指出：在线性电路中，各处的电压和电流

与作用该电路的全部独立源成比例变化。电路响应和激励成正比，这称为齐次性或比例

性，又称为齐次定理。齐次定理和叠加定理是线性电路两个互相独立的定理。

例 2畅7 　图２畅１１所示 N０为无源电阻网络。已知 IS１＝８A ， IS２＝１２A 时， UX ＝

８０V ；当 IS１＝－８A ， IS２＝４A 时，UX ＝０。求当 IS１＝ IS２＝２０A 时，UX 为多大。

图２畅１１　例２畅７

解　设 IS１＝１A 且单独作用于 N０时，在 N０的 UX 端产生的电压是 K１（V）； IS２＝１A 且单独作用于 N０时，在

N０的 UX 端产生的电压是 K２（V ）。根据线性电路的齐次性和叠加性，应成立

８K１＋１２K２＝８０

－８K１＋４K２＝０

解联立方程得： K１＝２畅５V ， K２＝５V 。

于是，当 IS１＝ IS２＝２０A 时，同样根据齐次定理和叠加定理，可得

UX ＝２０（K１＋ K２）＝２０ × ７畅５＝１５０（V）

２畅６　等效电源定理

在复杂电路的计算中，有时常只需要求解某一支路的电流和电压，这就希望把电路

的其余部分用一个最简的等效电路去代替，从而使分析简化。等效电源定理就是简化任

意线性含独立源二端网络的重要方法，该定理包括戴维南定理和诺顿定理两部分内容。

2畅6畅1 　戴维南定理（等效电压源定理）

任何一个线性有源二端网络 N ，对外电路来说，可以用一个理想电压源和一个电阻

的串联组合来等效代替。其中电压源的电压等于线性有源二端网络 N 的开路电压 UOC ，

电阻等于该网络除源后（即 N 中所有独立源为零值时）所得无源二端网络 N０的等效电

阻，也就是 N０的输入电阻 R０。这就是戴维南定理。电压源 UOC和电阻 R０的串联组合

称为戴维南等效电路，如图２畅１２所示。

该定理的证明如下。如图２畅１２（a）所示，N 是线性有源二端网络，外电路为任意

电路（可以是一个元件，也可以是一些元件组合；可以是线性的，也可以是非线性的）。

１４


N 的伏安关系和所连接的外电路性质无关。现将外电路用一个电流源等效代替，显然

这个电流源的电流和端电压就是图２畅１２（a）中外电路这个单口的端口电流 I和端口电压 U ，这样便得到图２畅１３（a）。

图２畅１２　戴维南定理

根据叠加定理，图２畅１３（a）电路 a 、 b端的电压 U 是由两个分量组成：一个是由

网络 N 中所有独立源产生的分量，另一个是由电流源 I所产生的分量。前一个分量就

是电流源开路（即 I ＝０）时，网络 N的开路电压 UOC ，如图２畅１３（b）所示。后一个分

量为网络 N 中所有独立源为零值（即 N 中所有理想电压源用短路，所有理想电流源用

开路代替后），电流源 I作用时，无源网络 N０的端电压－ IR０（R０是 N０的等效电阻），

如图２畅１３（c）所示。因而图２畅１３（a）中的电压 U可写为U ＝ UOC － IR０

图２畅１３　戴维南定理的证明

　　上式表明，N 可以用一个理想电压源和电阻串联支路代替，如图２畅１２（b）中虚线框的部分。且电压源的电压和串联电阻可由戴维南定理确定。

戴维南定理是一个很有用的定理。使用它的关键是如何找出 N 的开路电压 UOC和 N除源后变为 N０的等效电阻 R０。

网络 N 的开路电压 UOC的求法是，将 N 的外电路断开，应用前述电路分析计算方

法（如应用 KCL 、 KVL及网络的等效变换方法或本章已述的方法、定理），求出断开

处 UOC 。等效电阻 R０的求法分两种情况：

（１）有源网络 N 不含受控源时，这时先将 N 无源化（即将 N 中的独立源全部置零 ———令理想电压源为零，在电路处理上是用短路线代替它；令理想电流源为零，在电

路处理上是将其开路）后变为 N０，然后直接在端口处用电阻的串并联公式计算出 R０。

如果无法用串并联公式直接算得 R０，则可采取伏安法 ———在 N０的端口外加电压 U ，

然后计算或测量端口电流 I （或外加电流 I后，计算或测量端口电压 U），通过计算输

入电阻来得到

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R０＝UI

　　（２）当 N 含有受控源时，可采用以下两种方法之一：

１）将 N 中的独立源全部置零后，使用伏安法如上所述。

２）开路、短路法（此法也适用于第（１）种情况）：有源网络 N 不变，在它的端口

处计算或测量端口的开路电压 UOC和端口的短路电流 ISC ，则

R０＝UOCISC

这种方法的证明很容易，读者可以自己完成。不过这种方法对于含受控源的二端网络，

有可能求得 UOC ＝０， ISC ＝０，出现不定型，这时此法失效，需采用其他方法。另外，

也有可能求得的 R０＝０，这时 N 的等效电路是一个理想电压源（对应的诺顿等效电路就

不存在）；或者求得的 R０＝ ∞ ，即等效电导 G０＝０，这时 N 的等效电路是一个理想电流源（对应的戴维南等效电路就不存在）。通常情况下，两种等效电源电路是同时存在的。

但也有的 N ，两种等效电源电路都不存在。

能应用等效电源定理的含受控源有源二端网络 N ，其所含的受控源还受到这样的限

制，即受控源和控制它的控制量应同时处于 N 内部这一侧或 N 的外电路这一侧，不能

分处两侧。

例 2畅8 　画出例１畅１５中图１畅４２（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）所示的戴维南等效电路或诺顿等效电路。

解　例１畅１５中用等效变换的方法已求出各电路的等效电源电路。若用等效电源定

理来解，以图１畅４２（f）和（i）所示电路为例，以 a唱b为端口，图（f）电路的开路电压UOC ＝１００ ×

２０４０

＝５０（V），短路电流 ISC ＝１００

２０＋２０ × １０２０＋１０

２０３０

＝２畅５（A），等效电阻 R０＝UOCISC ＝

２０Ω ；图（i）电路的短路电流 ISC ＝９３

－１２６＝１（A），而 R０＝

３ × ６３＋６

＝２（Ω ），UOC ＝ ISC R０＝

２V 。其他图示电路，读者可自行计算求得。

例 2畅9 　已知图２畅１４所示电路中 US ＝１８V ， IS ＝７A ， R１＝１Ω ， R２＝２Ω ， R３＝７Ω ，

R４＝６Ω ， R５＝３ Ω ，求 I和 U 。

解　（１）用叠加定理来求 I ：为求 I先画出 US 或 IS 单独作用时的计算电路，进而求 I的两个分量 I１和 I２（见

图２畅１４（b））。I１＝

１８

３＋８ × ６８＋６

６８＋６

＝６５（A）

I２＝－R１

R１＋ R３＋R４ R５

R４＋ R５

IS ＝－１１０

× ７＝－０畅７（A）

　　于是得： I ＝ I１＋ I２＝１畅２A －０畅７A ＝０畅５A 。而由图２畅１４（a）可见，有

U ＝ US －７畅５R１－７R２＝１８－７畅５－１４＝－３畅５（A）（２）用戴维南定理来求：

３４


图２畅１４　例２畅９

以 R３支路为外电路，分别用下面两个计算电路来求开路电压 UOC和除源单口的等效电阻 R０（见图２畅１４（c））。根据叠加定理，可得

UOC ＝US R４

R４＋ R５

－ IS R１＝１２－７＝５（V）而 R０＝ Rab ＝ R１＋

R４ R５

R４＋ R５＝１＋２＝３（Ω ）

由此得戴维南等效电路，从而求得

I ＝UOC

R０＋ R３

＝５１０

＝０畅５（A）同样由图２畅１４（a）可见，有

U ＝ US －７畅５R１－７R２＝－３畅５（V）　　例 2畅10 　图２畅１５（a）所示为惠斯登电桥电路，其中 R１、 R２、 R３、 R４四条支路称

为电桥的桥臂。试求 Rg 中的电流 Ig ，并求电桥平衡条件（即 R１、 R２、 R３、 R４四个电

阻在什么条件下能使 Ig ＝０）。问：电桥不平衡（即 Ig ≠ ０）时， Rg 在什么条件下得到的功率最大？

解　根据题意，将 Rg 作为负载，应用戴维南定理。

（１）求 Rg 断开时的 UOC ，见图２畅１５（b）。UOC ＝ Uab ＝－ I２ R１＋ I３ R３＝

－ R１

R１＋ R２

US ＋R３

R３＋ R４

US

＝R３

R３＋ R４－

R１

R１＋ R２US

　　（２）由图２畅１５（c）求无源网络的输入电阻 Rab 。

R０＝ Rab ＝ R１ ‖ R２＋ R３ ‖ R４＝R１ R２

R１＋ R２＋

R３ R４

R３＋ R４

式中 “ ‖ ” 表示电阻并联。

（３）由戴维南等效电路（如图２畅１５（d））求 Ig 。

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图２畅１５　例２畅１０

Ig ＝UOC

R０＋ Rg ＝（R１＋ R２）R３－（R３＋ R４）R１

R１ R２（R３＋ R４）＋ R３ R４（R１＋ R２）· US

（４）求电桥平衡（即 Ig ＝０）的条件。

电桥平衡时， Ig ＝０，于是

（R１＋ R２）R３－（R３＋ R４）R１＝０

R２ R３＝ R１ R４　或　R１

R２

＝R３

R４

所以，电桥平衡条件是对臂电阻之积相等。

（５）求负载 Rg 得到最大功率的条件（Ig ≠ ０时）。

对于图２畅１５（d），负载电阻 Rg 消耗的功率为

P ＝ I２g Rg ＝RgU２OC

（R０＋ Rg ）２

　　令 dPdRg ＝０，可得 Rg ＝ R０。又因d２ PdR２g ＜０，所以， Rg ＝ R０时， P为最大，且最大功

率 Pmax为

Pmax ＝U２OC４R０

可见，对于给定的直流电源（或有源二端网络），当负载电阻等于电源内阻（或网络的戴

维南等效电路中电阻）时，负载获得最大功率。此结论称为最大功率传输定理，有时也称

最大功率匹配。这时电路处于匹配工作状态。匹配的问题，在通信技术中常要考虑。

2畅6畅2 　诺顿定理（等效电流源定理）

任何一个线性有源二端网络 N ，就其两出线端钮来说，总可以用一个理想电流源和

一个电阻的并联组合来等效。其中电流源的电流等于该网络 N 的短路电流 ISC ，并联电

阻 R０为该网络 N 中所有独立源置零时所得无源网络 N０的等效电阻。这就是诺顿定理。

电流源 ISC和电阻 R０并联组成的电路，称为诺顿等效电路，如图２畅１６所示。

诺顿定理的证明可通过电压源模型和电流源模型的等效转换来进行。读者可以自己

去完成。

例 2畅11 　用诺顿定理求图２畅１７（a）所示电路中的 U 。

解　（１）求短路电流 ISC 。由图２畅１７（b）可见，３ I ＝－６ I ，故 I ＝０，６ I ＝０，于是

５４


图２畅１６　诺顿定理

图２畅１７　例２畅１１

ISC ＝１８６

＝３（A）　　（２）求等效电阻 R０。因网络含有受控源，所以采用开路短路法。由图２畅１７（c）可得

UOC ＝６ I ＋３ I ＝９ I ，　　 I ＝１８６＋３

＝２（A）于是

UOC ＝２ × ９＝１８（V），　　 R０＝UOCISC ＝

１８３

＝６（Ω ）

　　（３）由诺顿等效电路，接上１２Ω 电阻支路，如图２畅１７（d）所示，可得

U ＝R０

R０＋１２ISC × １２＝

６６＋１２

× ３ × １２＝１２（V）

２畅７　电路中的对偶

对比上面介绍的内容后可以发现，电路中的物理量、定律、公式等有其对偶关系。

现举一些对偶量的例子如下：

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电流骋电压　　电荷骋磁链　　网孔电流骋节点电压　　

电阻骋电导　　电感骋电容　　电压源骋电流源

电流控制电流源骋电压控制电压源

电压控制电流源骋电流控制电压源

串联骋并联　　短路骋开路　　 KCL 骋 KVL从上面的一些例子可见，电路某些元素之间的关系式（或方程式），用其对偶元素

对应地互换后，所得的新关系式（或方程式）也一定成立，后者和前者互为对偶，这就

称为对偶原理。例如把电感伏安关系式（１畅１２）、式（１畅１３）中的 i换以 u ， u换以 i ， L换以 C ，就可得到电容的伏安关系式（１畅１７）、式（１畅１８）；反之，通过类似的变换，也

可由后者得到前者。又如网孔电流方程式（２畅９）和节点电压方程式（２畅１５）之间，把

前式中所有网孔电流换以节点电压，所有电阻换以电导，所有独立电压源换以独立

电流源或做相反的变换，就可以由一种方程得出另一种方程。相同的情况还有不少，

像在电压源模型的伏安方程和电流源模型的伏安方程之间；串联电阻电路的等效电

阻公式、分压公式和并联电导电路的等效电导公式、分流公式之间 ⋯ ⋯ 也存在着做

适当的更换就可由一种关系式得出另一相对应的关系式。这些关系式（或方程组）

所以能够彼此转换，是它们的数学表示形式完全相似，这两个关系式（或两组方程）

就互为对偶。

事实上，自然界中许多物理现象和系统常以对偶的形式出现。根据对偶原理，如果

导出某一物理现象的关系式或结论，就可推知与它对偶的另一关系式或结论。了解对偶

关系能帮助理解、记忆某些客观规律，甚至有助于发现新的科学原理。

应当注意的是对偶电路只限于平面电路。而且，对偶不是等效，两者是两个不同的

概念。

２畅８　小　　结

（１）对于一个具有 n个节点 b条支路的网络，分析计算它的支路电流和电压：

应用支路电流法时，应分别列出（n －１）个独立节点 KCL 电流方程和（b － n＋１）

个独立回路 KVL 电压方程，求出 b个电流未知量。

应用回路电流法时，只要列出（b － n ＋１）个独立回路 KVL 电压方程，求出回路

电流就可求出支路电流。

回路电流方程组形式有规律，易于列写。方程中自电阻为正；互电阻可正、可负，

由流过该电阻的回路电流方向是否一致来决定。方程等号左边和右边的含义要弄清。

如果是平面电路，则可以选取网孔作为独立回路（那就是应用网孔电流法了）。

如果电路中存在无伴电流源，则需增加该电流源的电压为未知量，同时增列一个无

伴电流源与回路电流的关系方程，使方程组可解。

电路中若存在受控源，则将受控源作为独立源写入方程，同时将其控制量用回路电

流表示。

应用节点电压法时，只要对（n －１）个独立节点列写 KCL 电流方程，求出节点电

压就可求出支路电压、电流。

７４


节点电压方程组列写时也有规律，自电导为正，互电导为负，要明白方程等号左边

和右边式子的含义。

如果电路中存在无伴电压源，则需增加该电压源的电流为未知量，同时增列一个无

伴电压源与节点电压的关系方程，使方程组可解。

电路中若存在受控源，同样将它作为独立源写入方程，同时将其控制量用节点电压

表示。

（２）叠加定理和齐次定理是表征线性电路叠加特性和齐次性（均匀性）的重要定

理。前者的重要性不仅在于可用叠加法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分

析和一些具体计算方法提供了理论依据。后者则常用于辅助叠加定理、戴维南定理、诺

顿定理来分析计算电路。

（３）戴维南定理、诺顿定理是等效法分析电路最常用的两个定理，也是两个等效变

换方法。用它解题的过程可分为三个步骤： ①求开路电压或短路电流； ② 求等效内阻；

③画出戴维南等效电路（或诺顿等效电路）并接上待计算支路求得待求量。

最大功率这类问题的求解使用戴维南（或诺顿）定理并结合使用最大功率传输定理

最为简便。

（４）解方程法和等效分析法是解电路问题的两类相辅相承的方法。总的来说，解方

程法比较基本，列写方程组有规律，解题步骤也较固定，掌握起来一般不困难，困难在

于手算解多元方程组较繁杂费时。这类方法一般在全面计算电路问题（即求解量较多）

时选用。而等效法比较灵活，变换形式多样，目的性强，相对来说比解方程法难掌握。

此法的优点是，等效变换正确，一般具体求解过程较简单，不少看似复杂的问题，按照

某种正确等效变换思路，简单计算（甚至心算）就可得出正确结果。所以，在求解电路

局部问题（即求解量少甚至仅一个）时选用等效法为宜。

实际应用时，也往往将解方程法和等效分析法结合使用。

习　　题

１畅用支路电流法求题１图所示电路中的支路电流 I１、 I２、 I３。２畅分别用网孔电流法和弥尔曼定理，求题２图所示电路中各支路电流和电压 Uab 。

题１图

　　　　　

题２图

３畅用节点电压法求题３图所示电路中各支路电流。

４畅求题４图所示电路中 a点和 b点的电位。

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题３图

　　　　　

题４图

５畅若节点电压方程为

１畅６U１－０畅５U２－ U３＝１

－０畅５U１＋１畅６U２－０畅１U３＝０

－ U１－０畅１U２＋３畅１U３＝０

试画出其电路。

６畅电路如题６图所示，试求 A 、 B两点之间的电压和电阻 R１消耗的功率。

７畅试用节点法分析题７图所示电路中的 U和 I 。

题６图

　　　　　　

题７图

８畅题８图所示电路的输入端加电压 U ＝１０V ，测得 U１＝６V 。求该电路的输入电阻 Rab 。９畅试用叠加定理求题９图所示电路中的电流 I ，并求４A 恒流源的功率。

题８图

　　　　　

题９图

１０畅电路如题１０图所示，若４８V 电压源突然降为２４V ，试求电流 I２有多大变化。

１１畅电路如题１１图所示，试用叠加定理求 IX 。

题１０图

　　　　　　

题１１图

９４


１２畅题１２图所示电路中，当开关 S 合在位置１时， I ＝４０mA ； S 合在２时， I ＝－６０mA 。求 S合在３时的 I值。

１３畅题１３图所示电路中，N 为有源电阻电路。已知当 US ＝０时， I ＝４mA ；当US ＝１０V 时， I ＝－２mA 。求 US ＝－１５V 时的 I值。

题１２图

　　　　　

题１３图

１４畅题１４图所示电路中，N０由线性电阻组成。当 US ＝５V ， IS ＝２A 时， I ＝１A ；

当 US ＝２V ， IS ＝４A时， I ＝２A 。求当 US ＝１V ， IS ＝１A 时的 I 。１５畅题１５图所示电路中，N 为线性含独立源网络，已知 R ＝１０Ω 时， I ＝１A ； R ＝

１８Ω 时， I ＝０畅６A 。若 I ＝０畅１A ，求此时的外接电阻 R值。

１６畅求题１６图所示电路中 a 、 b端的戴维南等效电路和诺顿等效电路。

题１４图

　　　　　

题１５图

　　　　

题１６图

１７畅题１７图中，N 为一含源二端网络，其外特性如图（b）所示，试求 N 的戴维南等效电路。

１８畅电路如题１８图所示，求 R２＝２７Ω 时的端电压。并问 R２为何值时，它消耗的功

率最大？这时的功率传输效率 η又是多少（η＝ R２吸收的功率／电源产生的功率）？

题１７图

　　　　

题１８图

１９畅电路如题１９图所示，求 R获得最大功率时的值，并求最大功率值。

２０畅在题２０图所示电路中，已知 US２＝３V ， R１＝ R２＝ R５＝１ Ω ， R３＝４Ω ， R４＝２Ω ，

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I１＝４A ， I４＝３A ，求 US１及 RX 。

题１９图

　　　　　　

题２０图

２１畅用诺顿定理求题２１图所示电路中的电流 I 。

题２１图

２２畅用戴维南定理求题２２图（a）所示电路中 a 、 b两点间电压 Uab和图（b）中的电流 I 。

题２２图

２３畅两个含源二端网络 N１和 N２，分别按题２３图中（a）、（b）方式连接。图（a）中 U１＝１２V ， I ＝－１A ；图（b）中 U２＝０V ， I ＝５A 。试求将电阻 R ＝４畅８Ω 按图（c）接入电路时的 IX 。

题２３图

１５

第 3章　正弦电路的稳态分析

前面讨论了直流电源激励下线性电阻电路的分析。在实际应用中，除直流电源外，

还广泛使用正弦时变电源，简称正弦电源或正弦信号源。如许多电气设备和仪器都是以

正弦波为基本信号。正弦电路在稳态时，其各支路电流、电压都是与作用信号同频率的

正弦量。求取正弦信号激励下电路稳态响应的简单而有效的方法，就是本章要讨论的

“相量法” 。

３畅１　正弦量的基本概念

大小和方向随时间变化的电压或电流统称为交流电。按正弦规律周期性变化的所谓

正弦交流电压或电流则统称为正弦量。

3畅1畅1 　正弦量的特征量

正弦量在选定参考方向（或参考极性）下，可以用三角函数式或波形（即函数曲

图３畅１　正弦电流波开

线）图来表示其变化规律。由图３畅１所示电流 i的参考方向和波形可以断定：当０＜ t ＜ t１时， i ＞０，

电流的实际方向是从 A 端流向 B端；当 t１＜ t ＜ t２时， i ＜０，电流实际是从 B端流向 A 端。对应这

个波形的电流可由以下正弦函数式表达

i ＝ Im sin（ω t ＋ Ψ i ）（３畅１）

式中，小写字母 i表示某一时刻的电流值，称为

电流的瞬时值，所以上式称为正弦电流的瞬时值

表达式。 Im 为电流的最大值，也称振幅或峰值。

正弦函数的角度（ω t ＋ Ψ i ）称为相位角，简称相位。相位是重要的概念，它反映了正

弦量的变化进程，不同的相位对应着不同的瞬时值。 ω就是相位随时间变化的速率，即

dd t（ω t ＋ Ψ i ）＝ ω

单位是弧度／秒（rad／s），称为角频率。它和频率 f 一样可以表示正弦量变化的快慢。

我们知道，正弦函数是周期函数。若它变化一个循环所需要的时间（称为周期）是 T（单位是秒）的话，则它经过一个周期 T ，对应于角度变化２π弧度，有

［ω（t ＋ T）＋ Ψ i ］－（ω t ＋ Ψ i ）＝ ω T ＝２π（rad）即 T 、 f 、 ω三者间关系为

ω ＝２πT ＝２π f （rad／s）（３畅２）

式中， f ＝１T就是正弦量的频率，单位为１／秒，常称为赫兹（Hz）。我国习惯上称为周

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第３章　正弦电路的稳态分析　　　　

（循环），实际应该是周／秒。我国发电厂生产的正弦交流电频率为５０Hz ，这一频率称为工业标准频率，简称工频。世界上许多国家的工频都是５０Hz ，而有些国家（如美国、

日本）则是６０Hz 。Ψ i 称为正弦电流 i 的初相角，简称初相。它是正弦量在计时起点（t ＝０）时的相

位。显然，一个正弦量的初相的大小与如何选择时间起点有关。通常初相在 ≤ π （单位

是弧度）范围内取值。图３畅１所示波形图，标出了横坐标取 t和 ω t的两种情况，以作

比较。当横坐标定为时间 t时，则一周期表示为 T 。当横坐标定为 ω t 时，则一周期对

应的角度为２π ，即 ω T ＝２π（rad）。图中时间起点选在正弦量 i的零点之后，其初相 Ψ i

为正，故有式（３畅１）。如果时间起点选在正弦量的零点之前，则初相为负；如果选两点

重合，则正弦量的初相为零。从以后的讨论可知，在正弦稳态分析时，如果问题中没有

给定，就可以任意选择时间起点。所以，在一个问题里可以选择某一正弦量的初相为

零，称为参考正弦量。因为在同一个问题中只能有一个计算时间的起点，于是一旦指定

参考正弦量，则其余各正弦量都要有一定的初相。附带说明的是，上述的零点是指正弦

量由负值变为正值所经过的零值点，且是最靠近时间起点的零点，因为初相的取值范围

一般规定为－ π到 π弧度。

综上所述，一个正弦量只要它的振幅、频率（或角频率）及初相确定，这个正弦量

便完全确定，所以这三者称为正弦量的特征量或三要素。

3畅1畅2 　同频率正弦量的相位差

同频率的正弦量相位之差称为相位差。例如有两个同频率的正弦电流、电压

i ＝ Im sin（ω t ＋ Ψ i ）

u ＝ Um sin（ω t ＋ Ψ u ）

它们的相位差 φ为

φ ＝（ω t ＋ Ψ i ）－（ω t ＋ Ψ u）＝ Ψ i － Ψ u （３畅３）

可见，二个同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。与初相不同的是，相位差与时

间起点的选择无关，它是一个常数。

相位差的物理意义是表示两个同频率正弦量随时间变化在 “步调” 上的先后。拿上

例来看，当 φ＝ Ψ i － Ψ u ＞０时，就说在相位上 i比 u超前 φ角，或者说 u比 i滞后 φ角。

表明，达到同一个状态 i较 u为先，如 i较 u先达到正的最大值，这也就是图３畅２（a）所示的情况。若 φ＜０，结论刚好与上述情况相反；若 φ ＝０，则称 i与 u同相，即 i 、 u同时达到正的最大值或零值，波形如图３畅２（b）所示；若 φ ＝ π ，称 i与 u反相，波形

如图３畅２（c）所示；若 φ＝π２

，称 i与 u正交。

由式（３畅３）可见，不同频率正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是时间的函

数。今后谈到相位差都是指同频率正弦量之间的相位差。相位差的存在，使得正弦交流

电路中出现了前述直流电路里没有的许多新的物理现象。

3畅1畅3 　周期信号的有效值

周期电压和电流的瞬时值是随时间变化的，所以，计量它们的大小往往不是用它们

３５


图３畅２　同频率正弦量的相位差

的瞬时值或最大值，而是用有效值。

有效值是从电流的热效应来规定的。不论是周期性变化的电流还是直流电流，只要

它们在相同的时间内通过同一电阻产生的热效应相等，则从能量来看，这两个电流是等

效的。就把这个直流电流的数值定义为周期电流的有效值。

根据上述可得

∫T

０i２ Rd t ＝ I２ RT

式中， i 、 T和 I 、 R分别是周期电流、周期和直流电流、电阻值。由此可得出周期电流

的有效值

I ＝１T∫

T

０i２ d t （３畅４）

可见，周期电流的有效值等于其瞬时值的平方在一周期内平均值的开方，简称为均方根

值。此定义式适用于任意变化规律的周期信号。

对于正弦电流，将式（３畅１）代入式（３畅４）得

I ＝１T∫

T

０I２m sin２（ω t ＋ Ψ i ）d t ＝ Im １

２T∫T

０［１－ cos２（ω t ＋ Ψ i ）］d t

可得

I ＝Im２

≈ ０畅７０７ Im （３畅５）

　　通常所指的正弦电流和电压的量值都是指有效值。例如日常生活中用２２０V 的交流电，指的是有效值。许多交流电气设备铭牌上的额定电压、额定电流也都是指有效值。

例 3畅1 　电路如图３畅１（a）所示，在所设参考方向下，电压 u＝１００sin ２π t － π４

（V）。试求 t＝１s 、 ω t ＝９０°及 ω t ＝２畅５π（rad）时的电压值及其实际方向。

解　根据图３畅１（a）所示 u的参考方向下其瞬时值表达式，可有

u t ＝１s ＝１００sin ２π · １－π４

＝－１００sin π４

＝－７０畅７（V），负号表示 u的实际方向

与参考方向相反。

u ω t ＝ π２（rad）＝１００sin π

２－

π４

＝１００sin π４

＝７０畅７（V）， u为正值说明此刻 u的实际

方向与参考方向相同。

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u ω t ＝２畅５π（rad）＝１００sin ２畅５π －π４

＝１００sin ２π ＋π４

＝１００sin π４

＝７０畅７（V）， ω t ＝

２畅５π和 π２

（即９０°）相差２π rad ，即这两个时刻刚好相差一个周期，所以电压瞬时值相同。

例 3畅2 　已知两个同频率的正弦电流为 i１＝１０cos（１００π t ＋３０°）（A），i２＝２０sin（１００π t －１５°）（A），求它们的相位差 φ 。如果以 i１为参考正弦量，重新写出 i１、 i２的瞬时值表达式。

解　欲求两个同频率正弦量之间的相位差，需将它们的瞬时值表达式用同一种三角

函数表示。所以将 i１改为正弦函数形式i１＝１０cos（１００π t ＋３０°）＝１０sin（１００π t ＋３０° ＋９０°）＝１０sin（１００π t ＋１２０°）（A）

故 φ ＝１２０° －（－１５°）＝１３５° ，即 i１超前 i２（或 i２滞后 i１）１３５°角。

若选 i１为参考正弦量，则 i１＝１０sin１００πt（A），而 i２＝２０sin（１００πt － φ）＝２０sin（１００πt －１３５°）（A）。例 3畅3 　接在正弦交流电压有效值为２２０V 的电源上的电容器，如果现有相同电容

量而耐压分别是２５０V 、４００V 、６００V 的三种电容器，应选哪一个？

解　有效值 U ＝２２０V 的正弦电压，其最大值为

Um ＝２ × ２２０＝３１１（V）故应选用耐压为４００V 的电容器。

３畅２　正弦量的相量表示

正弦量用三角函数式或波形图描述比较直观，但是进行运算却相当繁琐。为此引入

相量。分析电路时，将随时间变化的正弦量变换成相应的相量，使正弦量的运算变为复

数的代数运算，运算后的结果可以再变换成正弦函数表示的瞬时值表达式。这就构成了

正弦电路稳态分析的基本工具 ———相量法。这个方法的应用基础是：只有频率相同的正

弦量之间才能用相量进行运算。

应用相量法，要进行复数运算。本节先对复数的有关知识简要回顾一下。

3畅2畅1 　复数及其运算

１畅复数及其表示形式

　　由实数 a与虚数 j b相加构成的数称为复数，用 Z表示，即

Z ＝ a ＋ jb上式即为复数 Z的代数形式，其中 j ＝－１为虚数单位， a为 Z的实部， b为 Z的虚部，分别用下列符号表示

Re ［Z］＝ a ，　 Im ［Z］＝ bRe ［Z］是取方括号内复数的实部， Im ［Z］是取其虚部。

复数还可以由实（数）轴与虚（数）轴为坐标轴组成的复（数）平面上的有向线段

（称矢量）表示。在图３畅３中，矢量的长度 Z 称为复数 Z的模，矢量和实轴正方向的

５５


图３畅３　复数

夹角 θ称为复数 Z 的幅角，由此可得复数的极坐标形式，即

Z ＝ Z ∠ θ

由图３畅３得

Z ＝ a２＋ b２，　 θ ＝ arctan ba

又因为 a＝ Z cosθ ， b＝ Z sinθ ，所以又有复数 Z的三角函数形式，即

Z ＝ Z cosθ ＋ j Z sinθ　　根据欧拉公式： e jθ ＝ cosθ＋ jsinθ ，复数的三角函数形式可转变为指数形式，即

Z ＝ Z e jθ　　综上所述，同一复数及其所对应的矢量可以用代数式、三角式、极坐标式和指数式

表示，即

Z ＝ a ＋ jb ＝ Z cosθ ＋ j Z sinθ ＝ Z ∠ θ ＝ Z e jθ２畅复数的运算

复数的相加或相减，宜用代数形式进行。例如，设 Z１＝ a１＋ j b１， Z２＝ a２＋ j b２，则

Z１ ± Z２＝（a１ ± a２）＋ j（b１ ± b２）　　复数相乘或相除，则用极坐标（或指数）形式运算比较方便

Z１ · Z２＝ Z１ · Z２ ∠ （θ１＋ θ２）＝ Z１ · Z２ e j（θ１＋ θ２）

Z１

Z２＝

Z１

Z２∠ （θ１－ θ２）＝

Z１

Z２e j（θ１－ θ

２）

即复数乘积的模等于各复数模的积，其幅角等于各复数幅角之和；而相除所得商的模等

于两复数模相除，商的幅角等于两幅角之差。

复数相除如用代数形式，则应为

Z１

Z２

＝a１＋ jb１a２＋ jb２＝

（a１＋ jb１）（a２－ jb２）（a２＋ jb２）（a２－ jb２）＝

a１ a２＋ b１ b２a２２＋ b２２＋ j a２ b１－ a１ b２

a２２＋ b２２

图３畅４　复数代数和图解法

式中 Z倡

２＝ a２－ j b２为 Z２的共轭复数。 Z２ · Z倡

２的结

果为实数，称为有理化运算。

复数的运算也可在复平面上用矢量按平行四边

形法图解进行。如图３畅４表示了复数相加（减）的

图解法。而复数乘、除在复平面上的图解，则表现

为模的放大或缩小，幅角的逆或顺时针方向旋转。

两个复数相等，必须两个复数的实部相等，虚

部也相等，即

Re ［Z１］＝ Re ［Z２］，　　 Im［Z１］＝ Im ［Z２］

或者有

Z１＝ Z２，　　 θ１＝ θ２

　　由于 j ＝ e j π２＝１ · ∠π２

，－ j ＝ e － j π２＝１ · ∠ －

π２

，而 j２＝－１＝ e jπ ＝１ · ∠ π都是模

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为１的复数。任意复数 Z ＝ Z e jθ 乘以 j ，等于把该复数在复平面上逆时针方向旋转π２

；除以 j等于把该复数乘以－ j ，因此等于把它顺时针方向旋转 π２

。于是，这些模为

１的复数（一般形式是 e jθ ＝１ · ∠ θ），都可以看成旋转因子。

3畅2畅2 　相量和相量图

由复数运算中的欧拉公式可知，一个复指数函数 Im e j（ω t ＋ Ψ）对应于两个正弦函数

Im e j（ω t＋ Ψ）＝ Im cos（ω t ＋ Ψ）＋ j Im sin（ω t ＋ Ψ）

可见式（３畅１）的正弦电流等于复指数函数的虚数部分，则有

i ＝ Im sin（ω t ＋ Ψ）＝ Im ［Im e j（ω t＋ Ψ）］＝ Im ［Im e j Ψ · e jω t ］＝

令 Im ［ I·

m e jω t ］上式表明，一个正弦时间函数可与一个复指数函数相对应。对应于正弦量角频率的复函

数 e jω t是时间 t的函数；对应于正弦量振幅和初相的是与时间无关的复常数 Im e j Ψ ，称此

复常数为正弦电流的最大值相量，并用 I·

m 表示，即

I·

m ＝ Im e j Ψ有效值相量则为

I·

＝ Ie j Ψ ＝Im２e j Ψ ＝

I·

m２

（３畅６）

所以，相量是一个复数，但不是一般的复数，是一个能表示正弦量的复数。相量并不等

于正弦量，因为它只反映正弦量的振幅和初相二个要素。

相量作为复数，可在复平面上用有向线段来表示，这种几何表示称为相量图。对应

于式（３畅１）正弦电流的相量图如图３畅５所示。有向线段的长度为电流的最大值 Im ，与

实轴间的夹角为初相 Ψ ，称为相量的起始角，相量 I·

m ＝ Im e j Ψ ＝ Im ∠ Ψ 称为初始相量，

由 t＝０开始，初始相量从起始角位置起，以固定的角速度 ω逆时针旋转，于是 I·

m e jω t称为旋转相量，其中 e jω t称为旋转因子。旋转相量在虚轴上的投影就是正弦电流 i ＝Im sin （ω t ＋ Ψ）。图３畅５显示了在 t＝０和 t ＝ t１两个不同时刻的旋转相量位置，它们在

图３畅５　旋转相量及其表示的正弦量

虚轴上的投影就是在这两个时刻的正弦电流瞬时值。旋转相量和正弦量之间的关系一一

对应，它完全可以用来表示正弦量。

若干个同频率的正弦量用旋转相量表示它们的时候，由于各旋转相量都是以对应正

弦量的角频率 ω的同一角速度旋转，所以，任何时刻复平面上各旋转相量之间相对位

置是不变的，而且是和对应的各初始相量之间相对位置一样。这样，在电路分析过程

中，同频率的正弦量进行运算时，

可以把角频率作为已知量，不考

虑相量在复平面中的旋转问题

（即不计旋转因子 e jω t ），而用固定

相量（即初始相量）表示正弦量。

并且经常为计算方便，用有效值

相量表示正弦量。有效值相量的

模就是正弦量的有效值，幅角也

７５


是正弦量的初相，有效值和最大值之间的关系满足式（３畅５）。图３畅６（a）表示了二个同频率正弦电压 u１、 u２的有效值相量图。图中各电压的瞬时值表示式设为

u１＝１１０２sin（３１４ t ＋１２０°）（V）u２＝１１０２sin（３１４ t －１２０°）（V）

所以， u１、 u２的 ω＝３１４rad／s ， f ＝ ω２π

＝５０Hz 。它们的有效值相量分别用复数的各种形式写出为

U·

１＝１１０e j１２０° ＝１１０ ∠ １２０° ＝－５５＋ j９５畅５（V）U·

２＝１１０e－ j１２０° ＝１１０ ∠ －１２０° ＝－５５－ j９５畅５（V）

图３畅６　有效值相量图

　　正弦量用相量表示后，原来

是三角函数的运算变换成相量运

算，即复数的代数运算，这种利

用相量分析正弦交流电路的方法

叫相量法。使用相量法时，常常

借助相量图使相量之间的关系和

物理概念更加清楚。为了使图面

清晰，画相量图时往往不画复平

面的坐标轴。而且正如在 “正弦

量的特征量” 问题中所述，实际分析电路时在一个问题里可以选择一个参考正弦量。参

考正弦量对应的是幅角为零的所谓参考相量。所以，在一个问题里，若几个相量画在同

一相量图上，可以以一个相量作为参考相量画在与实轴正方向一致的水平位置，其他相

量则可根据与参考相量间的相位差画出。如图３畅６（b）所示是以 U·

１作为参考相量画出

的相量图，这时对应的瞬时值为

u１＝１１０２sin３１４ t（V）u２＝１１０２sin（３１４ t ＋１２０°）＝１１０２sin（３１４ t －２４０°）（V）

　　例 3畅4 　已知 i１＝３sin（ω t ＋３０°）（A）， i２＝４sin（ω t －６０°）（A）。试求 i ＝ i１＋ i２，并

画出各电流的相量图。

解　　 i ＝ i１＋ i２＝ Im ［I·

１m e jω t ］＋ Im ［I·

２m e jω t ］＝ Im ［（I·

１m ＋ I·

２m ）e jω t ］

图３畅７　例３畅４

式中：　　　　　　 I·

１m ＝３ ∠ ３０°＝３cos３０°＋ j３sin３０°＝２畅６＋ j１畅５I·

２m ＝４ ∠ －６０°＝２－ j３畅４６I·

１m ＋ I·

２m ＝４畅６－ j１畅９６＝５ ∠ －２３畅０７°

于是 i ＝５sin（ω t －２３畅０７°）（A），相量图如图３畅７所示。

上例说明，求两个同频率正弦量的和，只要求出它们对

应的相量和即可找出。所以，相量法的实质就是将同频率的

正弦量变换为相量（复数），然后进行相量运算（即复数的代

数运算），去求出待求量的相量，最后再把它变换为正弦量。

相量法只适用于正弦量，因为只有正弦量才能用相量表示。

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而且只适用于同频率正弦量之间的运算，因为只有同频率正弦量的相量在相量图中的相

对位置是固定不变的，才能画在同一个相量图中。

例 3畅5 　已知电源电压 u ＝ u１＋ u２＝５sin（３１４ t ＋３０°）＋５cos（３１４ t －１５０°）（V），写

出这三个电压有效值相量 U·

１、 U·

２、 U·

的极坐标式。

解　由于正弦电量的瞬时值表达式的标准形式，本书采用的是正弦函数式，故先将

u２式转换为标准形式，即

u２＝５cos（３１４ t －１５０°）＝５sin（３１４ t －６０°）（V）　　便得

U·

１＝５

２∠ ３０° ＝２畅５２ ∠ ３０° ＝３畅０６２＋ j１畅７６８（V）

U·

２＝２畅５２ ∠ －６０° ＝１畅７６８－ j３畅０６２（V）解法一：

U·

＝ U·

１＋ U·

２＝４畅８３－ j１畅２９４＝５ ∠ －１５°（V）

图３畅８　例３畅５

　　解法二：为了求 U·

，画出电压相量图进行图解。从

图３畅８所示相量图可见，U·

１、 U·

２、 U·

相量构成了一个直角等

腰三角形。据此几何图形特点，不必进行相量运算（即复数

运算），即可便捷地得到

U·

＝ U２１＋ U２

２ ∠ －（６０° －４５°）＝５ ∠ －１５°（V）由此例可见，在使用相量法分析问题时，有时问题并没有要

求画出有关电流电压的相量图，也常常画出相量图，使相量

之间的关系和物理概念更加清楚，以辅助电路的分析计算。画相量图时，除了按比例反

映各相量的模以外，重要的是根据各相量的相位相对地确定各相量在图上的位置。计算

时，注意分析图形特点，有的问题也许能用诸如勾股弦定理或者正弦定理、余弦定理等

计算就能便捷地得到结果。

3畅2畅3 　基尔霍夫定律的相量形式

基尔霍夫定律的一般表示式为

∑n

k ＝１

ik ＝０，　　 ∑m

k ＝１

uk ＝０

　　在线性正弦稳态电路中，由于激励和响应都是同频率的正弦量，可用相量表示为

∑n

k ＝１

ik ＝ ∑n

k ＝１

Im ［I·

km e jω t ］＝０

由数学，上式可写为

Im ∑n

k ＝１

I·

km e jω t ＝０

上式左边表示任何时刻 n个电流相量之和（其结果仍为一相量）在复平面虚轴上的投

影。此投影为零，所以此式存在的条件是

∑n

k ＝１

I·

km ＝０　或　 ∑n

k ＝１

I·

k ＝０（３畅７）

９５


这就是 KCL的相量形式，它表明：在正弦稳态电路中流出（或流入）任一节点的各支

路电流相量的代数和等于零。

同理可得 KVL 的相量形式为∑n

k ＝１

U·

km ＝０　或　 ∑n

k ＝１

U·

k ＝０（３畅８）

它表明：沿任一回路各支路电压相量的代数和等于零。

3畅2畅4 　电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式

前面已导出，在电压和电流为关联参考方向下， R 、 L 、 C三个基本电路元件的伏安关系为

R ：uR ＝ Ri （３畅９）

L ：uL ＝ L d id t （３畅１０）

C ： i ＝ C duCd t （３畅１１）

下面导出它们的相量形式。

１畅电阻元件

图３畅９（a）所示电阻元件 R ，设电流为参考正弦量，即

i ＝ Im sinω t则由式（３畅９）可得电阻两端的电压

uR ＝ RIm sinω t ＝ Um sinω t

图３畅９　电阻元件

式中 Um ＝ RIm ，有效值之间的关系

是 U ＝ RI 。电流 i和电压 uR 的波形如图３畅９（a）所示。由上面两式可

见， uR 、 i是同频率的正弦量，相位

相同（相位差为零），最大值或有效

值之间满足欧姆定律。

如果将 uR 、 i用对应的有效值相量表示

I·

＝ I ∠ ０° ＝ I ，　　 U·

＝ U或

U·

I· ＝

UI ＝ R

所以

U·

＝ R I·

＝I·

G （３畅１２）

上式即为 R上电压、电流相量的关系式，也就是电阻元件欧姆定律的相量形式。根据

此式得出 R的相量电路模型和电压、电流相量如图３畅９（b）所示。

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２畅电感元件

图３畅１０（a）所示电感元件 L ，设电流为参考正弦量，即

i ＝ Im sinω t则由式（３畅１０）可得

uL ＝ L d id t ＝ ω L Im cosω t ＝ ω L Im sin（ω t ＋９０°）＝ ULm sin（ω t ＋９０°）

式中 ULm ＝ ω L Im有效值之间 UL ＝ ω L IuL 和 i间相位差为 φ ＝９０° ，在相位上 uL 超前 i 。

图３畅１０　电感元件

可见，正弦电流在电感上产生同

频率、相位超前电流９０°的正弦电压，

波形图如图３畅１０（a）所示。

电压和电流有效值（或最大值）

之比为 ω L ，具有电阻的量纲，单位

为欧姆。它反映了电感对正弦电流的

阻碍作用，称为电感的电抗，简称感

抗，用 XL 表示，即

XL ＝ ω L ＝２π f L ＝UL

I （３畅１３）

　　当电感量 L一定时，感抗与频率成正比，频率越高，感抗越大。对直流而言，频

率为零，则感抗也等于零，即电感在直流电路中相当于短路。感抗的倒数称为感纳，以

BL 表示，即

BL ＝１XL

＝１ω L （３畅１４）

表示电感对正弦电流的导通能力，单位与电导的单位相同。

如果将 uL 、 i用对应的有效值相量表示I·

＝ IU·

L ＝ UL ∠ ９０° ＝ XL I ∠ ９０° ＝ jX L I·

（３畅１５）

上式表示电感上电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相位上电压比电流超

前９０° 。因电流相量 I·

乘上算子 j 后，即在相量图上逆时针方向旋转９０° 。根据此式得

出 L的相量电路模型和电压、电流相量图如图３畅１０（b）所示。

３畅电容元件

图３畅１１（a）所示电容元件 C ，设其端电压为参考正弦量，即

uC ＝ UCm sinω t则由式（３畅１１）可得

i ＝ C duCd t ＝ ωCUCm cosω t ＝ Im sin（ω t ＋９０°）

１６


图３畅１１　电容元件

式中 Im ＝ ω CUCm有效值之间 I ＝ ω CUC

uC 和 i间相位差 φ ＝－９０° ，在相位上 i超前 uC 。可见，正弦电压在电容上产生同频率、相位超前电压９０°的正弦电流，波形图如

图３畅１１（a）所示。

电容上电压与电流有效值（或最大值）之比为１ωC ，同样具有电阻的量纲，单位是欧

姆。它反映了电容对正弦电流的阻碍作用，称为电容的电抗，简称容抗，用 XC 表示，即

XC ＝１ωC ＝

１２π fC ＝

UC

I （３畅１６）

　　容抗与电容量 C和频率成反比。当 C一定时，频率越高，容抗越小。对直流而言，

f ＝０， XC → ∞ ，所以电容在直流电路中相当于开路。容抗的倒数称为容纳，以 BC 表

示，即

BC ＝１XC

＝ ω C （３畅１７）

表示电容对正弦电流的导通能力，单位与电导的单位相同。

如果将 uC 、 i用对应的有效值相量表示U·

C ＝ UC

I·

＝ I ∠ ９０° ＝ ωCUC ∠ ９０° ＝ jω CU·

C （３畅１８）

上式和式（３畅１６）表示电容上电压的有效值等于电流的有效值与容抗的乘积，在相位上

电流超前电压９０° 。图３畅１１（b）表示 C的相量电路模型和电压、电流相量图。

３畅３　阻抗和导纳

3畅3畅1 　欧姆定律的相量形式，阻抗与导纳

　　如图３畅１２（a）所示线性无源二端网络 N０，其端口所加的电压相量 U·

与电流相量

I·

之比定义为 N０的输入阻抗（等于 N０的等效阻抗），简称阻抗，用 Z表示。若 U·

、 I·

取关联参考方向，则

Z ＝U·

I· （３畅１９）

上式与电阻的欧姆定律相似，称为欧姆定律的相量形式。

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图３畅１２　 N０用阻抗或导纳等效

阻抗具有电阻量纲，单位为欧姆，是一个复数。设复数的实部 R称为电阻，虚部

X称为电抗，即

Z ＝ Z ∠ φZ ＝ Z cosφZ ＋ j Z sinφZ ＝ R ＋ jX （３畅２０）

式中阻抗的模是电压与电流有效值之比，即 Z ＝UI ；阻抗的幅角称为阻抗角，它等于

电压与电流的相位差，即 φZ ＝ Ψ u － Ψ i 。若 φZ ＞０，相位上电压超前电流，表明电路呈

现电感性，或称电感性电路。如图３畅１２所示情况都是以电感性电路为例进行讨论的。

若 φZ ＜０，则电压落后电流，电路呈现电容性，或称电容性电路。当 X ＝０时， φZ ＝０，

电压与电流同相， N０对外呈现电阻性，电路发生谐振，这种现象将在３畅６节中专门

讨论。

由式（３畅２０），根据复数运算可得

Z ＝ R２＋ X２

，　 φZ ＝ arctan XR

图３畅１３　阻抗三角形和电压三角形

可见， Z 、 R 、 X在数值上符合直角三角形关系，如图３畅１３（a）所示。此直角三角形

称为阻抗三角形。若阻抗三角形各边乘以 I·

将得到相似直角三角形，它实际上就是网络

N０用阻抗 Z等效替换后（如图３畅１２（b）所示情况），各部分电压 U

·

R 、 U·

X 、 U·

的相量

图。这个直角三角形称为电压三角形，见图３畅１３（b）。显然，U·

＝ U·

R ＋ U·

X ＝ I·

R ＋ jI·

X ＝

I·

（R ＋ jX）＝ I·

Z。导纳定义为同一端口上电流相量与电压相量之比。如图３畅１２（a）所示线性二端网

络 N０的输入导纳（简称导纳），在 I·

、 U·

参考方向一致时为

Y ＝I·

U· （３畅２１）

　　 Y 表示导纳，它具有电导的量纲，单位是西门子（S），上式为欧姆定律相量形式的

另一种表示。同样，导纳也是个复数。该复数的实部 G 称为电导，虚部 B 称为电纳，即

Y ＝ Y ∠ φY ＝ Y cosφY ＋ j Y sinφY ＝ G ＋ jB （３畅２２）

式中 Y ＝IU ， φY ＝ Ψ i － Ψ u 称为导纳角。 φY ＞０，电流超前电压，N０为容性； φY ＜０，

３６


电流滞后电压，N０为感性； φY ＝０， I·

、 U·

同相，N０为阻性，并出现谐振。

由式（３畅２２）可得

Y ＝ G２＋ B２

，　 φY ＝ arctan BG可见，和阻抗三角形类似， Y 、 G 、 B也组成一个直角三角形，称为导纳三角形。而

且，图３畅１２（c）中 I·

、 I·

G 、 I·

B 组成了与导纳三角形相似的所谓电流三角形。这个三角

形实际上是电流相量图。

根据阻抗、导纳的定义，对于 R 、 L 、 C单个元件，其阻抗和导纳为

R元件：　　 ZR ＝ R 　　　　　　　　　 Y R ＝１R ＝ G

L元件：　　 ZL ＝ j ω L ＝ j XL Y L ＝１j ω L ＝－ j １

XL＝－ j BL

C元件：　　 ZC ＝１j ω C ＝－ j XC Y C ＝ j ω C ＝ j １

XC＝ j BC

类似电阻的串、并联计算，对于图３畅１４（a）所示 R 、 L 、 C 、串联电路，常用阻抗

计算。根据 KVL 的相量形式有U·

＝ U·

R ＋ U·

L ＋ U·

C ＝ I·

ZR ＋ I·

ZL ＋ I·

ZC ＝ I·

R ＋ j ω L －１ωC ＝ I

·

［R ＋ j（XL － XC ）］

图３畅１４　 RLC串联电路

所以， RLC串联电路的阻抗为

Z ＝U·

I· ＝ ZR ＋ ZL ＋ ZC

＝ R ＋ j（XL － XC ）＝ R ＋ jX＝ Z ∠ φZ （３畅２３）

其中，电抗 X ＝ XL － XC ＝ ω L －１ω C 。

阻抗的模和幅角分别为

Z ＝ R２＋ X２

＝ R２＋（XL － XC ）

２

φZ ＝ arctan XR ＝ arctan XL － XC

R ＝ Ψ u － Ψ i（３畅２４）

　　由上式可得，若 X ＝ XL － XC ＞０，表明电路中感抗的作用大于容抗的作用， φZ ＞０，

总电压在相位上超前于电流，这时电路为感性电路；反之，若 X ＜０，表明容抗的作用

大于感抗的作用， φZ ＜０，总电压在相位上落后于电流，这时电路为容性电路；若XL ＝

XC ，则X ＝０，φZ ＝０，表明总电压和电流同相，电路呈现阻性。

由上述可见，阻抗 Z既表示了电压与电流之间的有效值关系，也指出两者之间的

相位关系，因而全面地反映了电路的正弦稳态性能。

对于图３畅１５（a）所示 RLC并联电路，常用导纳计算。根据 KCL 有I·

＝ I·

R ＋ I·

L ＋ I·

C ＝U·

R ＋U·

jω L ＋ jω CU·

＝ GU·

＋ jBCU·

－ jB L U·

＝ U·

［G ＋ j（BC － BL ）］

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图３畅１５　 RLC并联电路

Y ＝I·

U· ＝ Y R ＋ Y L ＋ Y C ＝ G ＋ j（BC － BL ）＝ G ＋ jB ＝ Y ∠ φY （３畅２５）

其中，电纳 B ＝ BC － BL ＝ ω C －１ω L 。导纳的模和幅角分别为

Y ＝ G２＋ B２

＝ G２＋（BC － BL ）

２

φY ＝ arctan BG ＝ arctan BC － BL

G ＝ Ψ i － Ψ u（３畅２６）

　　由上式可得，若 BC ＞ BL ，则 B ＞０， φY ＞０，总电流超前电压，电路为容性；若

BC ＜ BL ，则 B ＜０， φY ＜０，电路为感性；若 BC ＝ BL ，则 B ＝０， φY ＝０，电路为阻性。

阻抗和导纳与电路的结构、参数有关，还与电路的工作频率有关，它们是频率的函

数。阻抗和导纳概念的引入，为正弦稳态电路的分析提供了频域的约束关系。

3畅3畅2 　阻抗和导纳的等效变换

由于同一个二端网络在端口可用阻抗 Z＝ U·

I· 也可用导纳 Y ＝

I·

U· 来表征，而 Z与 Y 互

为倒数：Y ＝１Z ＝ Y ∠ φY ＝

１Z ∠ φZ

，或 Y ＝１Z ， φY ＝－ φZ 。所以，它们之间可

相互等效变换。

若将 Z＝ R ＋ j X变换为 Y ＝ G ＋ j B ，则有

Y ＝１Z ＝

１R ＋ jX ＝

RR２

＋ X２－ j XR２

＋ X２＝ G ＋ jB （３畅２７）

可见，并联的等效电导和电纳分别为

G ＝R

R２＋ X２，　　 B ＝

－ XR２

＋ X２

同理，若将 Y 变换为 Z ，有

Z ＝１Y ＝

GG２

＋ B２－ j BG２

＋ B２＝ R ＋ jX （３畅２８）

即串联的等效电阻和电抗分别为

R ＝G

G２＋ B２，　　 X ＝

－ BG２

＋ B２

　　上述变换实际上是图３畅１２（b）、（c）所示串、并联正弦交流电路之间的等效变换。

实行这种变换有时会使电路的分析得到简化。还应注意的是，以上二式里的等效电导、

电纳或等效电阻、电抗都是频率的函数。

例 3畅6 　图３畅１６所示各电路，除电表 A和 V 外，其余电流表和电压表的读数（有

５６


效值）在图中均已标出，试求电表 A 和 V 的读数。

图３畅１６　例３畅６

解　此题借助于电压、电流相量图来分析计算比较简便。为此先设定图３畅１６（a）、（b）、（c）所示各电路中有关电压、电流的参考方向，然后画出对应电路中有关电压、

电流的相量图。这个过程，图中用箭头示出。画相量图时，由于问题中没有给出电量的

初相，所以首先要选一个参考相量。参考相量可以任意选择，但一般的做法是：若是串

联电路，便以电流作为参考相量；若是并联电路，就以并联两端的电压作为参考相量；

若是混联电路，则选某一支路的电压或电流作为参考相量。比如图３畅１６（c）所示电路中，选 U

·

１作为参考相量，然后依据本章３畅２节所述电阻、电感、电容元件的电压、电

流关系，确定相量 I·

１、 I·

２，用相量平移求和（或平行四边形）法则画出 I·

，由 I·

确定

U·

２的位置，进而画出电压 U·

１、 U·

２的相量和 U·

。借助于相量图，本题各电路的待求量

可求如下：

图３畅１６（a）中有，I ＝ I２１＋ I２２＝１０２＝１４畅１４（A）即为电流表 A 的读数。

图３畅１６（b）中有，U ＝ U２２－ U２

１＝８０（V）即为电压表 V 的读数。

图３畅１６（c）中有，设 U·

１为参考相量，即 U·

１＝ U１＝１００V ，于是

I·

２＝U·

１

５＋ j５＝１００

５２ ∠ ４５°＝１０２ ∠ －４５°（A）

　　由相量图有

６６

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I·

＝ I２２－ I２１＝２００－１０２＝１０（A）即为电流表 A 的读数

U·

２＝－ j I·

× １０＝－ j１００（V）U ＝ U２

１＋ U２２＝２ × １００

２＝１４１畅４２（V）即为电压表 V 的读数

　　例 3畅7 　图３畅１７所示电路中 I ＝７A ，求电流源电流 I·

S 。

图３畅１７　例３畅７

解　设 I·

为参考相量，即 I·

＝ I ∠ ０° ＝ I ＝７A 。并

设 I·

１、 I·

２的参考方向如图中所示，则

I·

１＝－ j４

３－ j４ I·

S ，　　 I·

２＝３

３＋ j４ I·

S

I·

＝ I·

１－ I·

２＝－ j４

３－ j４－３

３＋ j４ I·

S ＝１６－９９＋１６

I·

S ＝７２５I·

S

所以

I·

S ＝２５７I·

＝２５（A）例 3畅8 　已知 R ＝４Ω ， L ＝４mH ， C ＝０畅００１F 三个元件串联接在 ω ＝１０

３ rad／s ，U ＝３０V的正弦电源上。试求电路中的电流 i（t）。解　根据题意，首先画出相量电路模型（简称相量模型），如图３畅１８所示。所谓相

量电路模型就是把电压或电流用电压相量或电流相量表示，电路中其他元件用阻抗或导

纳表示的电路模型。这种模型便于直接应用欧姆定律和基尔霍夫定律的相量形式来列写

电路方程以求解。

图３畅１８　例３畅８

假定电压、电流的参考方向如图３畅１８所示，并设电源电压为参考相

量，即 U·

＝ U ＝３０V 。

R 、 L 、 C元件的阻抗为ZR ＝ R ＝４Ω

ZL ＝ jω L ＝ j１０３× ４ × １０

－３＝ j４（Ω ）

ZC ＝－ j １ω C ＝－ j １

１０３× ０畅００１

＝－ j（Ω ）

总阻抗为

Z ＝ ZR ＋ ZL ＋ ZC ＝４＋ j３＝５ ∠ ３６畅８７°（Ω ）

根据欧姆定律有

I·

＝U·

Z ＝３０

５ ∠ ３６畅８７°＝６ ∠ －３６畅８７°（A）

图３畅１９　例３畅９

电流的瞬时值为

i（t）＝６２sin（１０３ t －３６畅８７°）（A）　　例 3畅9 　图３畅１９（a）所示交流电路中，电感线圈

的电阻 RL ＝２０Ω ，电感 L ＝５００mH ，电容器电容C＝１４μF ，电源电压为２２０V ，频率为５０Hz 。求总电流 i和分流 iL 、 iC 。解　解法一：先求总导纳，再求总电流。

７６


设电源电压为参考相量，即 U·

＝２２０V角频率 ω ＝２π f ＝６畅２８ × ５０＝３１４（rad／s）电感感抗 XL ＝ ω L ＝３１４ × ５００ × １０

－３＝１５７（Ω ）

电感线圈的阻抗 ZL ＝ RL ＋ j XL ＝２０＋ j１５７＝１５８畅２６ ∠ ８２畅７４°（Ω ）

电容容抗 XC ＝１ω C ＝

１

３１４ × １４ × １０－６＝２２７畅４８（Ω ）

则电路所对应的相量模型如图３畅１９（b）所示。

电感支路导纳 Y L ＝１ZL

＝１

１５８畅２６ ∠ ８２畅７４°＝０畅００６３ ∠ －８２畅７４°（S）

电容支路导纳 Y C ＝１ZC

＝１

－ j２２７畅４８＝０畅００４４ ∠ ９０°（S）电路总导纳 Y ＝ Y L ＋ Y C ＝０畅０００８－ j０畅００１８５＝０畅００２ ∠ －６６畅６°（S）电路总电流 I

·

＝ U·

Y ＝２２０ × ０畅００２ ∠ －６６畅６°＝０畅４４ ∠ －６６畅６°（A）而分流 I

·

L ＝ U·

Y L ＝１畅３９ ∠ －８２畅７４°（A）， I·

C ＝ U·

Y C ＝０畅９７ ∠ ９０°（A），于是

i ＝０畅４４２sin（３１４ t －６６畅６°）（A）iL ＝１畅３９２sin（３１４ t －８２畅７４°）（A）iC ＝０畅９７２sin（３１４ t ＋９０°）（A）

　　解法二：因为并联支路数少，所以通过先求各支路阻抗去找出总阻抗后，再求总电

流，计算也不繁杂。

各支路阻抗为

ZL ＝ RL ＋ jX L ＝２０＋ j１５７＝１５８畅２６ ∠ ８２畅７４°（Ω ）

ZC ＝－ jX C ＝２２７畅４８ ∠ －９０°（Ω ）

　　总阻抗 Z ＝ZL ZC

ZL ＋ ZC＝３６０００畅９８５ ∠ －７畅２６°

２０－ j７０畅４８＝３６０００畅９８５ ∠ －７畅２６°７３畅２６ ∠ －７４畅１６°

＝４９１畅４１ ∠ ６６畅９° （Ω ）

总电流 I·

＝U·

Z ＝２２０

４９１畅４１ ∠ ６６畅９°＝０畅４４７ ∠ －６６畅９°（A）

而分流 I·

L ＝ZC

ZL ＋ ZCI·

＝１畅３９ ∠ －８２畅７４°（A）， I·

C ＝ZL

Z１＋ ZCI·

＝０畅９７ ∠ ９０°（A），于

是 i ＝０畅４７７２sin（３１４ t －６６畅９°）（A）， iL ＝１畅３９２sin（３１４ t －８２畅７４°）（A）， iC ＝０畅９７２

sin（３１４ t ＋９０°）（A）。

图３畅２０　例３畅１０

例 3畅10 　求图３畅２０所示电路的输入阻抗 Zi 。

解　根据定义输入阻抗为

Zi ＝U·

I·

按 KCL 和元件伏安关系，可得

I·

＝ I·

R ＋ I·

C ＝U·

－０畅２U·

１０＋

U·

－ j５＝ U·

（０畅０８＋ j０畅２）

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Zi ＝U·

U·

（０畅０８＋ j０畅２）＝

０畅０８－ j０畅２０畅０４６４

＝１畅７２４－ j４畅３１＝４畅６４ ∠ －６８畅２°（Ω ）

３畅４　正弦稳态电路的分析

分析正弦稳态电路的基本方法是相量法，即借助于相量图，用相量分析、计算的方

法。应用相量法时，针对电路的相量模型，按相量形式的欧姆定律、基尔霍夫定律建立

的方程都是线性代数方程，和直流电阻电路的情况完全相同。因此，在前二章直流电阻

电路分析中所得到的各种计算方法、定理和公式完全适用于线性正弦稳态电路。也就是

说，对简单正弦稳态电路，可利用串、并联，分压和分流，等效变换等公式求解。对复

杂正弦稳态电路，可利用支路分析法、节点分析法、叠加定理、戴维南定理等求解。其

差别仅在于将以前公式中的电阻和电导用阻抗和导纳表示，电压和电流都用相量表示。

这样完全可以按照直流电阻电路的计算方法来进行正弦稳态电路的分析和计算。

例如，电阻串联时，等效电阻等于各电阻之和。所以， n个阻抗串联时，等效阻抗

也等于各阻抗之和，即

Z ＝ ∑n

k ＝１

Zk ＝ ∑n

k ＝１

Rk ＋ j ∑n

k ＝１

Xk （３畅２９）

n个阻抗并联时，等效阻抗的倒数等于各阻抗的倒数之和，即

１Z ＝ ∑

n

k ＝１

１Zk

（３畅３０）

若将阻抗变换成导纳，则有

Y ＝ ∑n

k ＝１

Y k ＝ ∑n

k ＝１

Gk ＋ j ∑n

k ＝１

Bk （３畅３１）

　　用相量法分析正弦稳态电路，虽然在形式上与直流电阻电路相似，但由于是复数运

算，情况要复杂得多。相量图是正弦稳态分析的有效工具，通过相量图的几何关系，可

以启发思路，结合解析法，简化计算。

这里再次指出，只有正弦量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能用相量进行

运算；阻抗与导纳由电压、电流相量定义。因此，阻抗与导纳只有在正弦稳态分析中才

有意义，或者说阻抗和导纳是正弦稳态电路特有的概念。

例 3畅11 　图３畅２１（a）所示电桥电路中，已知 Z１＝６＋ j６Ω ， Z２＝４＋ j４Ω ， Z３＝

３＋ j３Ω ， Z４＝４－ j４Ω ，U·

S ＝７２ ∠ ０°V 。求 Z５＝－ j２Ω 中的电流 I·

５。

图３畅２１　例３畅１１

９６


解　用戴维南定理求解此题。为此先移去 Z５支路，如图３畅２１（b）所示，求此含

源单口在端口的开路电压，即

U·

OC ＝ U·

SZ１＋ Z３

Z３－U·

SZ２＋ Z４

Z４＝２４－３６２ ∠ －４５°

＝２４－（３６－ j３６） ≈ ３７畅９５ ∠ １０８畅４３°（V）图３畅２１（b）除源后从端口看网络的等效阻抗

Z０＝Z１ Z３

Z１＋ Z３＋

Z２ Z４

Z２＋ Z４＝２２ ∠ ４５° ＋４＝２＋ j２＋４＝（６＋ j２）（Ω ）

故可得到戴维南等效电路，并接入移去的 Z５支路，如图３畅２１（c）所示，由此求得

I·

５＝U·

OCZ０＋ Z５

＝３７畅９５ ∠ １０８畅４３°６＋ j２－ j２＝６畅３２５ ∠ １０８畅４３°（A）

　　如果 I·

５的参考方向选的与图３畅２１（c）的相反，则计算结果为负，即

I·

５＝－６畅３２５ ∠ １０８畅４３° ＝６畅３２５ ∠ ２８８畅４３° ＝６畅３２５ ∠ －７１畅５７°（A）　　所以，在正弦电路中，假定参考方向后，若计算结果为负，则意味在相位上相

差１８０° 。

例 3畅12 　图３畅２２（a）所示电路中， ω ＝１０００rad／s ，N 为无源二端元件。今欲使 Z变化（Z≠ ０）时，其端电压 U

·

不变，问 N 应为何种元件？参数多少？

图３畅２２　例３畅１２

解　用等效电压源定理可将图３畅２２（a）电路等效变换为图３畅２２（b）电路，

其中

U·

０＝５０

－ j２－ j２（－ j２）＝２５（V），　 Z０＝（－ j２）（－ j２）－ j２－ j２＝－ j（Ω ）

　　在 Z变化时为使 U·

不变，应满足

ZN ＋ Z０＝ ZN － j ＝０

　　所以， ZN ＝ j Ω ，即 N 应为一个电感元件，其感抗 XL ＝１Ω ，电感值为

L ＝XL

ω＝１mH

　　例 3畅13 　求图３畅２３（a）所示电路中１０Ω 电阻支路的电流 I·

。

解　应用叠加定理来计算。先画出图３畅２３（a）所示电路中，电流源和电压源分别

单独作用时的计算电路，如图３畅２３（b）、（c）所示，并计算电流 I·

的分量 I·

１和 I·

２。

电流源单独作用时电路如图３畅２３（b）所示，则

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图３畅２３　例３畅１３

I·

１＝－ j１０

１０－ j１０ × １ ∠ ０° ＝１０ ∠ －９０°

１０２ ∠ －４５°＝

２２

∠ －４５° ＝１２

－ j １２

　　电压源单独作用时电路如图３畅２３（c）所示，则

I·

２＝２０

１０－ j１０＝２ ∠ ＋４５° ＝１＋ j

故 I·

＝ I·

１＋ I·

２＝１畅５＋ j０畅５＝１畅５８ ∠ １８畅４３°（A）。例 3畅14 　求图３畅２４所示电路中的电流 I

·

１和 I·

２。

图３畅２４　例３畅１４

解　用节点电压法，设０点为参考节点，节

点１、２、３的节点电压为 U·

１、 U·

２、 U·

３，节点电

压方程为

－１２U·

１＋１２

＋１２

＋１j U

·

２－１２U·

３＝０

－１２U·

２＋１２

＋１－ j２ U

·

３＝３

U·

１＝６

即有

（２－ j２）U·

２－ U·

３＝６

－ U·

２＋（１＋ j）U·

３＝６

联立求解得

U·

２＝４＋ j２（V），　　 U·

３＝６－ j４（V）所以得

I·

１＝U·

１－ U·

２

２＝

２－ j２２

＝１畅４１ ∠ －４５°（A）

I·

２＝U·

２－ U·

３

２＝

－２＋ j６２

＝－１＋ j３＝１０ ∠ －７１畅５７°

＝３畅１６ ∠ －７１畅５７°（A）　　例 3畅15 　求图３畅２５所示电路端口 A唱B的输入阻抗 Zin 。解　根据输入阻抗的定义

Zin ＝U·

ABI·

１７


图３畅２５　例３畅１５

　　图３畅２５所示电路中，

I·

＝U·

C

－ j６U·

AB ＝６ I·

＋ U·

C ＋（ I·

＋０畅５U·

C ） j１２＝ jU

·

C ＋ U·

C ＋ j６U·

C －２U·

C ＝（ j７－１）U·

C

所以得

Zin ＝（ j７－１）U

·

C

U·

C

－ j６

＝４２＋ j６＝４２畅４２ ∠ ８畅１３°（Ω ）

３畅５　正弦稳态电路的功率

正弦稳态电路的功率分析比直流电阻电路里情况复杂，因为在正弦稳态电路中，存

在着电容、电感与电源之间的能量交换。

3畅5畅1 　瞬时功率

对于任意线性二端网络 N ，如图３畅２６所示，若端口电流、电压分别为

i ＝ Im sinω tu ＝ Um sin（ω t ＋ φ）

图３畅２６　网络 N

则瞬时功率为

p ＝ ui ＝ UIcosφ － UIcos（２ω t ＋ φ）（３畅３２）

式中 φ就是 u 、 i间的相位差。

若 N是一个电阻元件，则 φ ＝０° ，即 u 、 i 同相，有 p ＝

UI（１－ cos２ωt），其波形如图３畅２７（a）所示。可见，电阻中的功

率随时间以２ω的角频率变化，且在任意时刻有 p ＞０，表明电阻总是从电源吸收功率。

若 N是一个电感元件，则 φ ＝９０° ，即 u 、 i正交，有 p ＝－ UIcos（２ω t ＋９０°）＝

UIsin２ω t ，其波形如图３畅２７（b）所示。

若 N是一个电容元件，则 φ＝－９０° ，即 u 、 i正交，有 p ＝－ UIsin２ω t ，其波形如图３畅２７（c）所示。

从图３畅２７（b）、（c）可见，对于电感和电容，其瞬时功率随时间以２ω的角频率变

化，并在 i的一个正弦波周期 T 内的两个 T４时间段，功率大于零，表明它们从电源吸取

能量，以磁场或电场能量的形式储存起来；而在另外的两个 T４时间段，功率小于零，表

明它们发出能量，即将原储存的能量再送回电源。所以，电感或电容与电源不断交换能

量。它们时而 “吞进” 能量，时而 “吐出” 能量，在一个周期内 “吞” 与 “吐” 的能量

相等，没有损耗。

若 N为一般线性二端网络，只要其端口电压和电流有相位差，则由式（３畅３２）可

见，N 既有能量的消耗，也有能量的 “吞吐” 。消耗的功率为 UIcosφ ， “吞吐” 的功率

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图３畅２７　功率波形

为UIcos（２ ω t ＋ φ）。

3畅5畅2 　平均功率

瞬时功率的实际意义不大，且不便于测量，通常用平均功率的概念。瞬时功率在一

个周期内的平均值称为平均功率，单位为瓦特（W）。电器设备的功耗就是指平均功率，

用大写字母 P表示。由式（３畅３２）可得

P ＝１T∫

T

０p（t）d t ＝ UIcosφ （３畅３３）

　　可见，平均功率不仅取决于电流与电压的大小，也与两者的相位差 φ的余弦有关。

通常将 cosφ称为功率因数，相位差 φ又称功率因数角。对于无源二端网络，功率因数

角与其等效阻抗的阻抗角相等。显然，对于电阻元件，其 cosφ＝１，平均功率为

P ＝ UI ＝U２

R ＝ I２ R （３畅３４）

而对于电感或电容元件， φ ＝ ± ９０° ， cosφ ＝０，故平均功率为零。这表明，平均功率就

是电路中电阻消耗的功率，也称为有功功率。理想的电感或电容元件是不消耗功率的。

3畅5畅3 　无功功率

为了度量网络 N （见图３畅２６）中储能元件与电源之间进行的能量交换，引入了无

功功率这一物理量。将式（３畅３２）改写为

p ＝ UIcosφ（１－ cos２ ω t）＋ UIsinφ · sin２ω t （３畅３５）

式中，前一分量在任意时刻都为正值，其平均值就是网络消耗的平均功率；后一分量的

平均值为零，它反映了网络内储能元件与电源存在能量交换，该分量表示的瞬时功率的

最大值就定义为无功功率，用大写字母 Q表示，即

Q ＝ UIsinφ （３畅３６）

式中，U 、 I为在关联参考方向下电压、电流的有效值； φ是电压对电流的相位差。无

功功率表示网络与电源间交换能量的最大速率。为了区别于有功功率，无功功率的单位

为无功伏安，简称乏（Var）。若 N是一个电阻元件，则其无功功率 QR ＝０，说明电阻元件不与外部交换能量。

若 N是一个电感元件，则

QL ＝ UIsin９０° ＝ UI ＝ I２ XL ＝ U２ BL （３畅３７）

　　若 N是一个电容元件，则

QC ＝ UIsin（－９０°）＝－ UI ＝－ I２ XC ＝－ U２ BC （３畅３８）

３７


　　若 N为一般线性二端网络，无功功率可由式（３畅３６）确定，也可求出所有电感元

件的无功功率总和 QL 与所有电容元件的无功功率总和 QC ，然后按下式确定总无功功率

Q ＝ QL ＋ QC （３畅３９）

上式说明，只要 Q ≠ ０，除了网络内部有磁场储能与电场储能之间的交换外，多余部分

的能量还与网络外部的电路交换。所以，无源单口无功功率的大小，反映了电源参与储

能交换的程度。

3畅5畅4 　视在功率

二端网络的电压和电流有效值的乘积，也具有功率的量纲，定义它为视在功率，用

大写字母 S表示，即

S ＝ UI （３畅４０）

为了与有功功率、无功功率相区别， S的单位为伏安（V · A）。视在功率 S与有功功率 P 、无功功率 Q的关系为

P ＝ UIcosφ ＝ ScosφQ ＝ UIsinφ ＝ SsinφS２＝ P２

＋ Q２

tanφ ＝QP

（３畅４１）

图３畅２８　功率三角形

上述关系说明 S与 P、 Q构成如图３畅２８所示的直角三角形，称为功率

三角形。三角形中的角 φ是端口电压对电流的相位差角。当二端网络

的内部无独立源时，角 φ也就是无源网络的阻抗角。此时，功率三角

形和此网络的电压三角形及阻抗三角形（如图３畅１３所示）都是相似三

角形。利用这三个直角三角形及彼此相似的关系，往往有助于电路的分析和计算。

视在功率的物理意义是它可以表示电器设备的容量。众所周知，各种电器设备都有

一定条件下的安全运行限额，如额定电压 UN 和额定电流 IN 。 SN ＝ UN IN 就表示了该设备的容量，即它能供出或接受的最大功率。比如，由式（３畅４１）可知，在任何情况下，

电源供给负载的有功功率，只能小于或等于其视在功率，否则将可能损坏电源。因此，

供电设备铭牌上标出的额定容量（即视在功率），只代表它可能供给负载的最大有功功

率。它实际向负载供给多少功率，不决定于电源，而决定于负载自身，即负载的功率因

数 cosφ。只有在 cosφ＝１时，设备供给负载最大有功功率（等于设备容量）。所以，功

率因数反映了设备容量的利用程度。

3畅5畅5 　复功率

以有功功率作实部，无功功率作虚部构成一个复数，同样具有功率的概念，定义为

复功率 S～

，则有

S～

＝ P ＋ jQ ＝ UIcosφ ＋ jU Isinφ ＝ UI ∠ φ ＝ UI ∠ （ψu － ψi ）

＝ U ∠ ψu × I ∠ － ψi ＝ U·

I倡

即

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S～

＝ U·

I倡

（３畅４２）

式中， I倡

是 I·

的共轭复数。复功率 S～

的单位用 VA 。复功率不代表正弦量，只是一个辅

助计算功率的复数，它将正弦稳态电路的三个功率和功率因数统一为一个公式表示。只

要计算出电路中的电压和电流相量，各种功率可以很方便地计算出来。复功率的概念显

然适用于单个电路元件或任何一段电路。如果某一阻抗 Z ＝ R ＋ j X ＝１G ＋ j １

B ＝１／Y 的

端电压 U·

＝ I·

Z ，或 I·

＝ U·

Y ，则该元件的复功率为

S～

＝ I·

Z · I倡

＝ ZI２＝ I２（R ＋ jX ）＝ U·

I倡

＝ U·

（U·

Y ）倡＝ U２Y

倡

＝ U２（G － jB）

可以证明，对于任何复杂的正弦稳态电路，总的有功功率等于电路各部分有功功率

的和，总的无功功率等于电路各部分无功功率的和，所以总的复功率也等于电路各部分

复功率之和，即电路中有功功率、无功功率和复功率守恒，但视在功率不守恒。

3畅5畅6 　功率因数的提高

由式（３畅３３）可见，在供电电路里，当负载功率 P一定，电压 U 给定时，功率因

数 cosφ越高，则电流 I 就越小，从而损耗在传输线电阻上的功率越小。而且由式

（３畅４１）可知，随着功率因数的提高，设备（如发电机或变压器）容量的利用率也提高

（当 cosφ＝１时，若不计传输线损耗，则供给负载的有功功率 P等于设备容量 S）。所以，在电力传输过程中，提高功率因数可使输电效率得以提高，同时也节约了大量

电能。

由式（３畅３９）可知，感性无功功率 QL 与容性无功功率 QC 是相互补偿的，所以若

在感性负载（用电设备多为感性）上并联适当电容量的电容，就可使负载所需的无功功

率部分或全部由 QC 补偿，从而减少由电源供给的无功功率。这样既不影响负载所需的

有功功率，又达到提高功率因数的目的。

图３畅２９　电路功率因数的提高

下面以图３畅２９所示电路为例，讨论将电路

功率因数 cosφ１提高到 cosφ时，所需并联补偿

电容容量的计算。图３畅２９（a）中感性负载的功率 P已知，其功率因数为 cosφ１；并联电容 C后，电路的功率因数达到 cosφ ，如图３畅２９（b）所示。由功率三角形有

QL ＝ Ptanφ１由于

QC ＝ U２ωC ，　 Q ＝ QL ＋ QC

又

Q ＝ Ptanφ故有

Ptanφ ＝ Ptanφ１－ U２ω C

应并联电容

C ＝P

ω U２（tanφ１－ tanφ）（３畅４３）

５７


这时，电容的无功功率值为

QC ＝ UIC ＝ P（tanφ１－ tanφ）（Var）（３畅４４）

图３畅３０　例３畅１６

　　实际应用时，功率因数达到多大为宜，要根据具体

经济技术等指标比较后才能确定。

例 3畅16 　已知图３畅３０所示电路的 R１＝５Ω ， R２＝１０Ω ，

XL ＝１５Ω ， XC ＝１０Ω ，U·

S ＝１０V ，求电路的 P、 Q及 cosφ。解　 Zbc ＝－ j１００

１０－ j１０＝１０

２∠ －４５°＝５－ j５（Ω ）

Zac ＝ Zab ＋ Zbc ＝１０＋ j１０＝１０２ ∠ ４５°（Ω ）

cosφ ＝ cos４５° ＝０畅７０７

I·

＝１０

１０２ ∠ ４５°＝

１

２∠ －４５° ＝０畅７０７ ∠ －４５°（A）

I·

１＝ I· － jX C

R２－ jX C＝

－ j１０１０－ j１０

１

２∠ －４５° ＝０畅５ ∠ －９０°（A）

I·

２＝ I·

－ I·

１＝０畅５（A）P ＝ P１＋ P２＝ I２ R１＋ I２１ R２＝

１

２

２

× ５＋１２

２

× １０＝５（W）＝ US IcosφQ ＝ QL ＋ QC ＝ I２ XL － I２２ XC ＝

１２

× １５－１４

× １０＝５（Var）＝ US Isinφ由此例可见，正弦电流电路总的有功功率是电路各部分有功功率之和，总的无功功

率是电路各部分无功功率之和，即有功功率和无功功率分别守恒，但视在功率不守恒。

例 3畅17 　图３畅３１（a）所示电路中，已知电源和其他元件参数，求 Z＝ R ＋ j X为多少时可获得最大功率 Pmax ，并求 Pmax 。

图３畅３１　例３畅１７

解　用戴维南定理可得图３畅３１（b）所示等效电路。其中 Z开路时I·

C ＝２＋０畅５ I·

C ，　 U·

OC ＝５００－ j１０００＝１１１８ ∠ －６３畅４°（V）用伏安法求 Z０可得

Z０＝ R０＋ jX ０＝５００－ j５００（Ω ）负载 Z吸收功率为

P ＝ I２ R ＝RU２OC

（R ＋ R０）２＋（X ＋ X０）

２

当改变 R 、 X时，可知负载获 Pmax的条件为X ＋ X０＝０

６７

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ddR R（R ＋ R０）

２＝０

可得

X ＝－ X０，　 R ＝ R０

即负载

Z ＝ R０－ jX ０＝ Z倡

０

Z倡

０称电源内阻抗的共轭复数。因此，在负载阻抗可改变的条件下，当负载阻抗等于电

源内阻抗的共轭复数时，负载获得的功率为最大，这称为最大功率传输定理。满足这一

条件时，称负载阻抗与电源内阻抗为最大功率匹配或共轭匹配。这时负载获得的功率为

Pmax ＝U２OC４R０

　　本题在 Z＝ Z倡

０＝５００＋ j５００Ω 时，负载得到最大功率 Pmax ，其值为

Pmax ＝１１１８

２

４ × ５００＝６２５（W）

　　当用诺顿等效电路时，负载获得最大功率的条件可表示为

负载导纳 Y ＝ Y倡

０

图３畅３２　例３畅１８

式中 Y倡

０是等效电源内导纳的共轭复

数。匹配的问题在通信系统、电子

电路中，当传输的功率较小、传输

效率不必计较时常会遇到。

例 3畅18 　图３畅３２（a）所示电路中，已知 U

·

与 I·

同相位，电路吸收的

有功功率P＝１４４W ，求 U 、 I 、 XC 。

解　因 P＝ I２L R ，故 IL ＝１４４４

＝６（A）。若设 U

·

＝ U ，则电压、电流相量图如图３畅３２（b）所示。

因为 R ＋ j XL ＝４＋ j４＝４２ ∠ ４５° （Ω ），故有

U ＝ IL × ４２＝２４２＝３３畅９４（V）I ＝ IL cos４５° ＝３２＝４畅２４（A）

而

XC ＝UIC ＝

２４２IL sin４５° ＝８（Ω ）

３畅６　电路中的谐振

具有电感和电容的正弦电路，当电源的频率一定时，在特定的电感、电容元件的参

数下，会使电路的电压与电流同相，即使整个电路呈现为电阻性，电路的这种特殊工作

状态称为谐振。谐振电路的特性 ———谐振特性在无线电工程中得到广泛应用。但在有些

７７


情况下（如在电力工程中），发生谐振时又可能带来某些危害，需防止它的发生。因此

对谐振现象研究有重要的实际意义。通常采用的谐振电路有三种：即 RLC串联谐振电路， RLC并联谐振电路和耦合谐振电路。下面分别对前两种进行分析。

3畅6畅1 　 RLC串联谐振电路

对于图３畅３３所示的 R 、 L 、 C串联电路，其 a 、 b两端的输入阻抗为Z ＝ R ＋ j ω L －

１ω C

图３畅３３　串联谐振电路

当 XL － XC ＝０时，电压 U·

与电流 I·

同相，电路出现谐振，

称为串联谐振。因此， RLC串联谐振电路发生谐振的条件是

X ＝ XL － XC ＝ ω L －１ω C ＝０

谐振时的频率为

ω０＝１

LC或

f０＝１

２π LC（３畅４５）

f０称谐振频率。电路谐振时的阻抗称为谐振阻抗，用 Z０表示。谐振时的感抗 XL０或容

抗 XC０称为特征阻抗，用 ρ表示。对于 RLC串联谐振电路，有

Z０＝ R

ρ ＝ XL０＝ XC０＝LC

（３畅４６）

可见， Z０和 ρ是只与电路参数 R 或 L 、 C有关的常量。

RLC串联谐振电路发生谐振时有如下特点：

（１）电路的端电压 U·

与电流 I·

同相位。

（２）电路输入阻抗达到最小值，且为纯电阻，即 Z ＝ Z０＝ R 。电路电流达到最大

值，即 I ＝ I０＝ UR 。

（３）各元件上电压分配为

U·

R０＝ U·

U·

L０＝ jX L０ · I·

０＝ jX L０ ·U·

R ＝ jQU·

U·

C０＝－ jX C０ · I·

０＝－ j １ω０ C ·

U·

R ＝－ jQU·

（３畅４７）

其中， Q ＝ω０ LR ＝

１ω０ CR ＝

ρ

R ＝UL０

U ＝UC０

U 。

由上式知，谐振时，电感和电容上的电压等值、反相，两者相量和 U·

X０＝ U·

L０＋ U·

C０＝０，

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电源电压全部降落在电阻上，即 U·

＝ U·

R０。而且，如果 XL０＝ XC０冲 R ，或 Q 冲１时，则

UL０＝ UC０冲 U ，即电感与电容端电压出现超过电源电压的高电压，所以，串联谐振又称

电压谐振。 Q称品质因数， Q值表示 UL０或 UC０比电源电压 U大的倍数。

（４）电路从电源吸收的无功功率等于零，即

Q ＝ UIsinφ ＝０

也即

Q ＝ QL ＋ QC ＝ IUL － IUC ＝０，　 QL ＝－ QC

上式表明，电源不向电路输送无功功率，电感中的无功功率与电容中的无功功率，大小

相等，互相完全补偿。电感中磁场和电容中电场间进行着能量的完全交换。电源只提供

有功功率给 R消耗。

RLC串联电路谐振时，电感和电容上出现的高电压，在电力工程中有可能击穿电

气设备的绝缘，一般应避免发生电压谐振。但在电信工程中可以利用这个特性来选择信

号。为了说明这个问题，先写出电路中电流值随电源频率变化的关系 ———电流幅度频率

特性，即

I ＝ U

R２＋ ω L －

１ω C

２＝

I０

１＋１R

ω０ ω Lω０

－ω０

ω０ ω C２

（３畅４８）

　　采用相对幅频特性表示，则有

II０＝

１

１＋ Q２ ωω０

－ω０

ω

２（３畅４９）

此式左边比值称为相对抑制比，表明电路在 ω偏离谐振频率 ω０时，对非谐振时电流的

抑制能力。图３畅３４画出了不同品质因数 Q值时的三条特性曲线，称为电流谐振曲线。

图３畅３４　相对频率特性

从谐振曲线可见，电路只有在谐振频率 ω０附近的一段频率内，电流才有较大值，在 ω０

处出现峰值。当 ω偏离 ω０时，电流将从谐振时的最大值 I０下降，表明电路逐渐增强对

电流的抑制能力。所以串联谐振电路具有选择最接近于谐振频率附近的电流的性能。这

种性能在无线电技术中称为选择性。从图３畅３４不难看出，电路选择性的好坏与谐振曲

线的尖锐程度有关，即与电流变化的陡度有关。 Q值的大小影响着曲线的形状， Q值越高，曲线越尖锐，电路的选择性好； Q值低，曲线就平坦，选择性差。所以， Q值是反映电路性能的一个重要指标。实际应用中 RLC串联谐振电路大多数由电感线圈和电容器串联组成。线圈电阻很小，谐振时感抗和容抗比电阻大得多。所以品质因数都比较

大，约在几十到几百之间。

反映电路谐振特性的另一个指标是通频带。它是指

当谐振电路的电流降至其最大值的１

２时，所对应的高、

低频率之间的频率范围。如图３畅３４所示，通频带宽度为

Δ ω ＝ ω２－ ω１

或

Δ f ＝ f２－ f１

９７


式中， ω２（或 f２）称为上边界角频率（或频率）， ω１（或 f １）称为下边界角频率（或频

率）。由式（３畅４９）可求得

Δ ω ＝ ω２－ ω１＝ω０

Q

或 Δ f ＝ f２－ f１＝f０Q

（３畅５０）

可见， Q值越大，电路的选择性越好，但通频带变窄，会使一部分需要的频率被衰减

掉，引起信号畸变。反之，若 Q值太小，通频带宽，但会降低电路的选频能力，使一

些不需要的频率也通过电路。工程实际中往往根据通频带宽度的要求选择具有一定 Q值的元件。如选用 Q值较大的电感线圈与可变电容量的电容器串联，调节电容值即可

使该串联电路在含有多种频率的信号中，其中只有 f ＝ f０的部分在电容器两端得到最大电压，从而将它选择出来。

由式（３畅４７）可知，为保证足够高的 Q值，图３畅３３所示串联谐振电路仅适用于由

内阻很小的电压源激励的情况。

3畅6畅2 　 RLC并联谐振电路

为了解决串联谐振电路不适合与高内阻的电源配合使用的问题，可采用并联谐振电

路。最简单的并联谐振电路如图３畅３５（a）所示，电路由电流源 I·

激励， a 、 b两端的输

图３畅３５　并联谐振电路

入导纳为

Y ＝１R ＋ j ω C －

１ω L

显然， RLC并联电路的谐振条件和串联电路谐振条件相同，即

ω C ＝１ω L

谐振角频率和频率分别为

ω０＝１

LC，　 f０＝

１

２π LC（３畅５１）

　　 RLC并联电路发生并联谐振时有如下特点：

（１）电路的端电压 U·

与电流 I·

同相位。

（２）电路输入导纳为最小值 Y ０，谐振阻抗 Z０＝１Y ０

＝ R为最大值。电路在理想电流

源 I·

激励下，端电压 U ＝ U０＝ IR达最大值。如由电压源激励，则电流最小。

（３）各支路电流分配为

I·

R０＝U·

０

R ＝ I·

I·

L０＝ U·

０ ·１jω０ L ＝－ j R

ω０ L · I·

＝－ jQI·

I·

C０＝ U·

０ jω０ C ＝ jω０ CRI·

＝ jQI·

（３畅５２）

０８

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其中， Q ＝R

ω０ L ＝ ω０ CR ＝IL０I ＝

IC０I 。

可见，总电流 I·

等于电阻支路电流。电感支路和电容支路的电流值相同，而相位

相反，流入这两条支路的总电流 I·

L０＋ I·

C０＝０，即从全电路来看 IL 和 IC 互相抵消。如

果R 冲 ω０ L ＝１ω０ C ，则 IL０＝ IC０冲 I ，因此并联谐振又称电流谐振。品质因数 Q表示谐振

时电感和电容中电流比总电流大的倍数。

（４）电源不给电路提供无功功率。

并联电路电压幅频特性与串联电路电流幅频特性相同，为

UU０

＝１

１＋ Q２ ωω０

－ω０

ω

２

式中 U是在任意频率下的电路端电压。所以，并联电路和串联电路的谐振曲线形状相

同，只不过纵坐标比值的含意不同。

并联电路的通频带与串联电路相同，仍是

Δ f ＝f ０Q （３畅５３）

于是得到与串联谐振电路完全相同的结论：通频带与 Q值成反比， Q值越高，通频带

越窄。同理，为使电路具有一定的选频能力又不使被传输的信号失真，需要选择具有适

当 Q值的电路。

工程上常用如图３畅３５（b）所示的谐振电路，其中 r为电感线圈的内阻。此电路 a 、b两端的输入导纳为

Y ＝１

r ＋ jω L ＋ jω C ＝r

r２＋（ω L ）２＋ j ω C －ω L

r２＋（ω L ）２

令导纳的虚部等于零，得此电路的谐振条件是

C ＝L

r２＋（ω L ）２

谐振角频率和谐振阻抗为

ω０＝１LC －

r２L２（３畅５４）

Z０＝r２＋（ω０ L）２

r ＝LrC （３畅５５）

显然，仅当 r ＜ LC时， ω０是实数，即存在一个谐振频率。若 r ＞ L

C ， ω０是虚数，电

路不可能谐振。当 r２L２虫

１LC ，即 ω０ L 冲 r时，谐振频率近似为

ω０＝１

LC　　或　　 f０＝

１

２π LC（３畅５６）

由于 ω０ C≈ １ω０ L ，所以谐振时电路的阻抗最大，为谐振阻抗 Z０ ≈ （ω０ L）２

r ＝LrC ；在电流源作

１８


用下，可获得高电压 U０＝ I · LRC ，且与电流 I同相；而且 IL ≈ IC ＝ QI ，其中品质因数

Q＝ ω０ CZ０＝Z０

ω０ L ＝ω０ Lr ＝

１rω０ C 冲１。

例 3畅19 　求图３畅３６所示电路串联谐振角频率。

图３畅３６　例３畅１９

解　电路的输入阻抗为

Z＝１jω C ＋

Rj ω LR ＋ jω L

＝１

（ω LC）２＋（ω RC）２［（ω LC）２＋ jω C（LCR２

ω２－ L２

ω２－ R２

）］

＝ R（ω）＋ jX （ω）

　　令 X（ω）＝０，即

ω２（LCR２

－ L２）－ R２

＝０

于是求出谐振角频率为

ω０＝１

LC －LR

２

倡３畅７　耦合电感电路

电路中除了电阻、电感、电容元件外，还有耦合电感与理想变压器，它们和前面

学过的受控源同属耦合元件。耦合元件由一条以上支路组成，一支路的电流、电压

与其他支路的电流、电压直接有关。这两种元件构成了工程上广泛应用的变压器的

电路模型。

3畅7畅1 　耦合电感的伏安关系

通电流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。磁耦合线圈的电

路模型就是耦合电感，也称互感。图３畅３７（a）为两个没有电阻的耦合线圈（ Ⅰ ）和

（ Ⅱ ），它们的电感和线圈匝数分别为 L１、 N１和 L２、 N２。当线圈（ Ⅰ ）中通以电流 i１时，它产生的磁通矱１１（方向按右手螺旋定则确定，如图３畅３７所示）在穿越（ Ⅰ ）时所

产生的磁链设为 Ψ１１，称为自感磁链； Ψ１１的一部分 Ψ２１还与线圈（ Ⅱ ）交链， Ψ２１称为

互感磁链。同样，线圈（ Ⅱ ）中的电流 i２在（ Ⅱ ）中产生自感磁链 Ψ２２并在（ Ⅰ ）中产

生互感磁链 Ψ１２（图３畅３７中未画出）。每个线圈中的磁链是其自感磁链和互感磁链的代

数和。若线圈（ Ⅰ ）和（ Ⅱ ）中的磁链分别为 Ψ１和 Ψ２，则有

Ψ１＝ Ψ１１ ± Ψ１２

Ψ２＝ Ψ２２ ± Ψ２１

　　当线圈周围介质为非铁磁物质时，自感磁链、互感磁链都与产生它的电流成正比，

即自感磁链

Ψ１１＝ L１ i１，　　 Ψ２２＝ L２ i２互感磁链

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图３畅３７　两个耦合线圈的互感

Ψ１２＝ M１２ i２，　　 Ψ２１＝ M２１ i１可以证明 M１２＝ M２１＝ M ， M称为线圈（ Ⅰ ）和（ Ⅱ ）之间的互感系数，简称互感，单

位为亨利（H），它的物理意义是，表示一个线圈中的单位电流在耦合的另一个线圈中

所产生的互感磁链数。 M 的大小与线圈的匝数、几何尺寸、相对位置、绕向以及介质

的磁导率 μ有关，而与电压、电流无关。

这样，两个线圈的磁链可为

Ψ１＝ L１ i１ ± Mi２Ψ２＝ L２ i２ ± Mi１

可见每一个线圈的磁链是电流的线性函数。式中 M 前的 “ ＋ ” 号，表示互感磁链与自

感磁链方向一致，互感是 “加强” 的作用（如图３畅３７（a）所示情况）； “ － ” 号则反

向，表示互感的 “削弱” 作用（即互感磁链削弱自感磁链的作用）。为了反映线圈相互

缠绕的方向又简化图形表示，采用同名端标记法，即：如果 i１和 i２产生的自感磁链和互感磁链方向一致，那么 i１和 i２流进（或流出）各自线圈的那个端钮就是同名端，并

用相同的符号（如小圆点 “ 瞯 ”）标上。例如，图３畅３７（a）中端钮１和２（或１′和

２′）为同名端。如果电流 i１从端钮１流进，而电流 i２从端钮２流出，则互感将起削

弱作用。１和２′ （或１′和２）端就称为异名端。同名端的判别可以根据耦合线圈的相

对位置和绕向确定，也可以用实验的方法来确定。采用同名端标记法后，两个耦合

线圈就可以用带有同名端标记的电感（元件） L１和 L２表示。图３畅３７（b）所示就是耦合线圈（也称互感元件，简称互感）的电路符号，它有线圈的自感 L１、 L２及互感

M三个参数和四个出线端钮，线圈中的磁链 Ψ１＝ L１ i１＋ Mi２和 Ψ２＝ L２ i２＋ Mi１，这里，

图３畅３８　例图

犕前取 “ ＋ ” 号。

显然，当有２个以上电感彼此间存在耦合时，同名端应当一对一地加以标记，每一

对宜用不同符号。但如图３畅３８所示铁心

变压器铁心柱上的三个耦合线圈的同名

端，可用同一符号 “ 瞯 ” 标记。

下面来分析耦合电感的电压电流

（即伏安）关系。

仍以图３畅３７（b）所示为例，当两个

耦合的电感 L１和 L２中有变动的电流时，

３８


L１、 L２中的磁链将随电流而变化， L１、 L２中产生的自感电压 uL１、 uL２分别为

uL１＝d Ψ１１d t ＝ L１

d i１d t ，　　 uL２＝d Ψ２２d t ＝ L２

d i２d t式中 uL１、 i１和 uL２、 i２都取关联参考方向。电流 i２（或 i１）在 L１（或 L２）中产生的互

感电压 uM１（或 uM２）为

uM１＝d Ψ１２d t ＝ M d i２d t ，　　 uM２＝

d Ψ２１d t ＝ M d i１d t所以， L１（或 L２）的电压 u１（或 u２）是自感电压和互感电压叠加的结果。如果 u１、 i１和 u２、 i２都取关联参考方向，则有

u１＝d Ψ１d t ＝ L１

d i１d t ± M d i２d tu２＝

d Ψ２d t ＝ L２d i２d t ± M d i１d t

（３畅５７）

上式表示了耦合电感的电压电流（即伏安）关系。式中互感电压前 “ ＋ ” 或 “ － ” 号的

确定方法是：如果互感电压参考极性的 “ ＋ ” 极性端与产生它的电流流进线圈的那个端

钮为同名端（如图３畅３７（b）中互感电压 uM１和 u１同极性、 uM２和 u２同极性）即所谓对

同名端一致时，互感电压应取 “ ＋ ” 号；反之取 “ － ” 号。

当线圈电流 i１、 i２为同频率的正弦量时，在正弦稳态情况下，式（３畅５７）可用相量

形式表示。对图３畅３７（b）所示电路有U·

１＝ jω L １ I·

１＋ jω MI·

２，　　 U·

２＝ jω L ２ I·

２＋ jω MI·

１

式中 j ωM 是互感 M 的互感抗，单位是 Ω 。这时，图３畅３７（b）所示电路的相量模型（见图３畅３９）中含有受控源 CCVS 。

图３畅３９　耦合电感电路的相量模型

工程上用耦合因数 k定量地描述两个耦合线圈耦合的紧密程度， k定义为

k ＝ML １ L２

≤ １

k的大小与线圈的结构、相互位置及周围的磁介质有关。当 L１和 L２一定时，改变耦合

线圈之间的相互位置，也就相应地改变互感 M 的大小。 k ＝１时称为全耦合， k近于１

时称为紧耦合， k值较小时称为松耦合， k＝０则出现于无互感的情况。

3畅7畅2 　含耦合电感电路的计算

含有耦合电感电路（简称互感电路）的正弦稳态分析可采用相量法。同时应注意耦

合电感上的电压是包含互感电压的。在以下讨论中，自感电压与相关电流取关联参考方

向，互感电压取与电源 U·

同向。

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１畅耦合电感线圈的串联和并联

（１）同向串联：将两个线圈的异名端串联连接，称为同向串联，如图３畅４０（a）所示。同向串联时，互感起 “加强” 作用，串联线圈的伏安方程为

U·

＝ jω L １ I·

＋ jω M I·

＋ jω L ２ I·

＋ jω MI·

＝ jω（L１＋ L２＋２M）I·

＝ jω L I·

式中

L ＝ L１＋ L２＋２M ≥ L１＋ L２（３畅５８）

由此可知，同向串联的耦合电感可以用一个等效电感 L 来代替。等效电感 L 由式（３畅５８）决定。

图３畅４０　耦合电感的串联

（２）反向串联：将两个线圈的同名端串联连接，称为反向串联，如图３畅４０（b）所示。反向串联时，互感起 “削弱” 作用，串联线圈的伏安方程为

U·

＝ jω L １ I·

－ jω M I·

＋ jω L ２ I·

－ jω M I·

＝ jω（L１＋ L２－２M）I·

＝ jω L式中

L ＝ L１＋ L２－２M ≤ L１＋ L２（３畅５９）

由此可知，反向串联的耦合电感可以用一个等效电感 L 来代替。等效电感 L 由

式（３畅５９）决定。由于电感为无源元件，储能 ωL ＝１２L i２不可能为负值，因而电感必须

为正值。因此，由式（３畅５９）可知

L１＋ L２ ≥ ２M　　（３）同向并联：将两个线圈的同名端接在同一个节点上的并联连接，称为同向并

联（也称同侧并联），如图３畅４１（a）所示。对同向并联电路有

U·

＝ jω L １ I·

１＋ jω MI·

２

U·

＝ jω L ２ I·

２＋ jω MI·

１

I·

＝ I·

１＋ I·

２

图３畅４１　耦合电感的并联

５８


联立求解得

I·

＝U·

jω L １ L２－ M２

L１＋ L２－２M＝

U·

jω L ＝U·

Z

L ＝L１ L２－ M２

L１＋ L２－２M ，　　 Z ＝ jω L （３畅６０）

由此可知，同向并联的耦合电感可以用一个等效电感 L 来代替。等效电感 L 由式（３畅６０）决定， Z则是等效阻抗。因 L不可能为负，故由式（３畅６０）可知

L１ L２－ M２≥ ０，M２

≤ L１ L２或耦合因数 ML １ L２

＝ k ≤ １

（４）反向并联：将两个线圈的异名端接在同一个节点上的并联连接，称为反向并联

（也称异侧并联），如图３畅４１（b）所示。对反向并联有

U·

＝ jω L １ I·

１－ jω MI·

２

U·

＝ jω L ２ I·

２－ jω MI·

１

I·

＝ I·

１＋ I·

２

联立求解得

I·

＝U·

jω L １ L２－ M２

L１＋ L２＋２M＝

U·

jω L ＝U·

Z

L ＝L１ L２－ M２

L１＋ L２＋２M ，　　 Z ＝ jω L （３畅６１）

由此可知，反向并联的耦合电感可以用一个等效电感 L 来代替。等效电感 L 由式（３畅６１）决定， Z则是等效阻抗。

２畅去耦等效变换

去耦等效变换消除了原耦合电感电路中的感应耦合 ———互感，所以，变换得到的去

耦等效电路即可作为一般无互感电路来分析计算。

图３畅４２（a）表示了由电感 L１和 L２组成的耦合电感，它们有一个公共端０。这个

耦合电感可以去耦等效变换成图３畅４２（b）所示 T 形网络。

图３畅４２　耦合电感及其 T 形等效变换

由式（３畅５７）可知，图３畅４２（a）所示耦合电感的伏安关系和图３畅３７（b）所示电路的相同，即

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u１＝ L１d i１d t ＋ M d i２d t

u２＝ L２d i２d t ＋ M d i１d t

（３畅６２）

而在图３畅４２（b）所示 T 形等效电路中，由 KVL可得u１＝ La d i１d t ＋ Lb d（i１＋ i２）d t ＝（La ＋ Lb ） d i１d t ＋ Lb d i２d tu２＝ Lb d i１d t ＋（Lb ＋ Lc ） d i２d t

（３畅６３）

比较式（３畅６２）和式（３畅６３），d i１d t和d i２d t项前面的系数应分别相等，即可得 T 形等效电

路各电感值应为

La ＝ L１－ ML b ＝ ML c ＝ L２－ M

（３畅６４）

如果改变图３畅４２（a）所示电路中同名端位置，使 L１、 L２的异名端相接到公共端０形

成一个节点，则式（３畅６４）各式中 M 前的符号应改号（即 La ＝ L１＋ M ， Lb ＝－ M ，

图３畅４３　例３畅２０

Lc ＝ L２＋ M）。

例 3畅20 　电路如图３畅４３所示，当并关 S 打开瞬间，试确定２、２′端间电压的实际极性。

解　假定电流 i和互感电压 uM 的参考方向如图３畅４３所示，根据同名端的含义，则

uM ＝ M d id t　　当开关 S打开瞬间，在 i参考方向上d id t ＜０，故 uM ＜０，其实际极性与假设的相反

（即２′为高电位端，２为低电位端）。

例 3畅21 　试写出图３畅４４所示各电路的伏安关系方程，并画出它们的去耦等效

电路。

图３畅４４　例３畅２１

解　因为耦合电感两端的电压等于其自感电压和互感电压的代数和（见式（３畅５７）

表示），其中，自感电压和与它有关的电流取关联参考方向时，自感电压项前取 “ ＋ ”

号，否则取 “ － ” 号；而互感电压和与它有关的电流的参考方向取对同名端一致（即设

想把两个耦合电感叠在一起，使同名端相重合，取互感电压和相关电流的参考方向一

７８


致）时，互感电压项前取 “ ＋ ” 号，否则取 “ － ” 号。所以，对图３畅４４（a）电路（设

自感电压和互感电压取相同参考方向）有

u１＝－ L１d i１d t － M d i２d t ＝－ L１

d i１d t ＋ M d i２d tu２＝ M d i１d t － L２

d i２d t ＝－ L２d i２d t ＋ M d i１d t

对图３畅４４（b）所示电路（设自、互感电压的参考方向与同侧电源 U·

１或 U·

２同向）有

U·

１＝－ jω L １ I·

１－ jω M I·

２

U·

２＝ jω MI·

１＋ jω L ２ I·

２

　　为了画出图３畅４４（a）、（b）所示电路的去耦等效电路，首先将图（a）和（b）所示电路１′ 、２′端连接成一个公共端０（如图３畅４２（a）所示），这对原电路不产生任何影

响，它们的去耦等效电路便如同图３畅４２（b）所示，各电感值在同名端接公共端０时，

如式（３畅６４）；在异名端接０时，式（３畅６４）中 M前符号改号。

例 3畅22 　求图３畅４５（a）所示电路的输入阻抗 Zin 。

图３畅４５　例３畅２２

解　若耦合电感的二条支路各有一端与第三支路相接，形成一个含三条支路的共同

节点时，就可用三条无耦合的电感支路等效替换。所以可作出图３畅４５（a）的 T 形等效电路，如图３畅４５（b）所示。根据阻抗混联电路的算法，便得

Zin ＝ jω M ＋［R１＋ jω（L１－ M）］ · ［R２＋ jω（L２－ M）］

R１＋ R２＋ jω（L１＋ L２－２M）

　　例 3畅23 　图３畅４６所示电路中 j ω L １＝８Ω ， j ωM ＝４Ω ， I·

S ＝２A ，求 U·

OC和 U·

１。

解　因端口开路， L２中电流为零，故有

U·

１＝ I·

S · jω L １＝２ · j８＝１６ ∠ ９０°（V）U·

OC ＝ I·

S · jω M ＋ I·

S · jω L １＝２ · j１２＝２４ ∠ ９０°（V）

图３畅４６　例３畅２３

　　　

图３畅４７　例３畅２４

例 3畅24 　求图３畅４７所示电路中的 I·

１、 I·

２、 U·

２和电路吸收的功率 P 。解　直接列 KVL 方程后求解：

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I·

１（１＋ j２）＋ I·

２ · j８＝８

I·

１ · j８＋ I·

２（ j３２－ j３２）＝０

得

I·

１＝０，　 I·

２＝８j８＝１ ∠ －９０°（A），　 P ＝ I２１ · １＝０

U·

２＝－ I·

２ · （－ j３２）＝３２（V）　　例 3畅25 　已知图３畅４８（a）所示电路中 j ω L１＝３Ω ， jω L２＝３Ω ， jωM ＝ jΩ ，

１j ω C ＝

－ j２Ω ，U·

＝２ ∠ ４５°V ， R ＝１Ω ，求 I·

１。

解　作出图３畅４８（a）的等效电路如图３畅４８（b）所示，从电源 U·

端看，电路的输

入阻抗为

Zin ＝ jω（L１－ M）＋j ωM －

１ω C ［R ＋ jω（L２－ M）］

R ＋ j ω L ２－１ω C

＝ j２＋－ j · （１＋ j２）

１＋ j

＝ j２＋（２－ j）（１－ j）

２＝

１

２∠ ４５°（Ω ）

故

I·

１＝U·

Zin ＝２ ∠ ４５°１

２∠ ４５°

＝２（A）

图３畅４８　例３畅２５

3畅7畅3 　理想变压器

变压器是工程上常用的器件，用来变换同频率的正弦电压，还能变换电流或阻抗。

它通常有一个初级线圈和一个或几个次级线圈，同绕在一个具有高磁导率的磁性材料

（如铁、镍、钴及其合金、铁氧体等）制成的心子上，构成所谓铁心变压器。也可以不

用铁心，那就是空心变压器。变压器的初级线圈接电源，次级线圈接负载，利用电磁感

应，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。铁心变压器的耦合系数接近于１，

属于紧耦合；空心变压器的耦合系数则较小，属于松耦合。可以用耦合电感来构成它们

的电路模型。理想变压器是从实际变压器抽象出来的，它是耦合系数为１（即全耦合），

电感均为无限大的耦合电感元件。与图３畅３７（a）所示耦合线圈（ Ⅰ ）、（ Ⅱ ）间磁场分

９８


图３畅４９　全耦合

布情况相比，图３畅４９表示全耦合

时，每一个线圈中电流所产生的磁

通全部与另一线圈相交链，没有只

与一个线圈相交链的漏磁通。即 i１产生的全部磁通矱１１＝矱２１ ——— i１产生并与次级线圈交链的磁通；同样， i２产生的全部磁通矱２２＝矱１２ ——— i２产生并与初级线圈交链的磁通。显然，

穿过两线圈的磁通矱＝矱１１＋矱２２是一样的，矱称为主磁通。主磁通在初、次级线圈中分别

产生感应电压 u１＝ N１d矱d t和 u２＝ N２

d矱d t ，因而得u１u２＝

N１

N２

＝ n 　或　 u１＝ nu２（３畅６５）

式中 n称为理想变压器的变比，它等于初、次级线圈的匝数比。

由于理想变压器不消耗也不储存能量，故它输入的瞬时功率总和应为零，即 u１ i１＋u２ i２＝０。于是

i１i２＝

－ u２u１＝－

N２

N１＝－

１n 　或　 i１＝－

１n i２（３畅６６）

式（３畅６５）和式（３畅６６）是根据图３畅４９中所示参考方向和同名端列出的。这两式也说

明，理想变压器将能量由初级全部传输到次级输出，在传输过程中，仅将电压、电流按

变比作数值变换。图３畅５０（a）表示了理想变压器的电路模型，与耦合电感的符号相

同，但它唯一的参数只是变比 n ，而不是电感 L１、 L２和 M等参数。也就是说，理想变

压器虽也用线圈作为电路符号，但这符号并不意味着任何电感的作用，它并不代表 L１

或 L２、 M ，它只是代表如式（３畅６５）、式（３畅６６）表示的电压之间和电流之间的约束关

系。图３畅５０（b）是用受控源表示的电路模型。

图３畅５０　理想变压器

显然，当电压、电流均为同频率的正弦量时，式（３畅６５）、式（３畅６６）可写成相量

形式即

U·

１

U·

２

＝N１

N２

＝ n　或　 U·

１＝ nU·

２（３畅６７）

I·

１

I·

２

＝－N２

N１

＝－１n 　或　 I

·

１＝－１n I

·

２（３畅６８）

　　理想变压器对电压、电流按变比变换的作用，还反映在阻抗的变换上。在正弦稳态

０９

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的情况下，当在图３畅５０（a）次级终端２唱２′接入负载阻抗 ZL 时，则初级１唱１′的输入

阻抗

Z１１′ ＝U·

１

I·

１

＝nU

·

２

－１n I

·

２

＝ n２ ZL

n２ ZL 即为次级折合至初级的等效阻抗。因为 n２＞０，所以 ZL 和 Z１１′相同性质。若 ZL ＝０，

则 Z１１′ ＝０，即次级短路时，初级短路。若 ZL → ∞ ，则 Z１１′ → ∞ ，即次级开路时，初级

也开路。阻抗变换具有可逆性，例如在图３畅５０（a）初级的１唱１′端接入阻抗 Z ，则 Z变换到次级２唱２′端的折合阻抗

Z２２′ ＝１

n２ Z

　　理想变压器有变换电阻或阻抗的作用，工程上可用来实现最大功率匹配，也可改变

元件参数值使之合乎设计要求。

理想变压器实际上是不存在的，但在工程上，通常采用磁导率 μ很高（约为空气的

数千倍）的磁性材料作心子，这样就能把全部磁通都限制在心子中，漏磁通很少，并在

保持匝数比 N１／N２不变的情况下，尽量紧密耦合，使耦合因数 k接近于１，同时增加

线圈匝数，使 L１、 L２和 M增得很大，以近似获得理想变压器的特性。所以，设计和制

作精良的铁心变压器，多能体现式（３畅６５）、式（３畅６６）所示电压、电流关系而当作理

想变压器使用。

例 3畅26 　如图３畅５１（a）所示电路，今欲使１０Ω 的电阻能获得最大功率 Pm ，求理

想变压器的变比 n及 Pm 值。

图３畅５１　例３畅２６

解　图３畅５１（a）的初级等效电路如图３畅５１（b）所示。故当 n２ · １０＝１６０Ω ，即

n＝４时，１０Ω 的电阻能获得最大功率 Pm ，且

Pm ＝１６０ ·１２IS

２

＝４０（W）

倡３畅８　三相电路

供电系统一般均采用三相制。这种供电制在发电、输配电和用电方面有很多优点，

所以得到广泛的应用。三相制的电源是所谓的三相电源。由三相电源构成的电路称为三

相电路。前面讨论的正弦交流电路是单相电路，其中使用的单相电源可以取自三相电源

中的一相。

１９


3畅8畅1 　对称三相电源

通常用的三相电源是由三个幅值、频率相同，相位差互差１２０°的正弦电压源所构

成，称为对称三相电压源或对称三相电源。其中每一个电压源称为三相电源的一相，并

被依次称为 A 相、 B相、 C相。各相的电压分别记为 uA 、 uB 和 uC 。对称三相电压源一般是由三相交流发电机产生的。电机每个相绕组的电压就是对应相电压源的电压，称为

相电压，也即 uA 或 uB 或 uC 。如图３畅５２（a）所示，按照正弦电路中参考方向规定，工

程上将它们的正极性端分别标记为 A 、 B 、 C ，负极性端分别标记为 X 、 Y 、 Z 。如以 uA为参考正弦量，它们的瞬时值表达式为

uA ＝ Um sinω tuB ＝ Um sin（ω t －１２０°）

uC ＝ Um sin（ω t －２４０°）＝ Um sin（ω t ＋１２０°）

（３畅６９）

图３畅５２　三相电源

它们的有效值相量表示式为

U·

A ＝ U ∠ ０°

U·

B ＝ U ∠ －１２０°

U·

C ＝ U ∠ １２０°

（３畅７０）

其中 Um ＝２U 。它们的波形图和相量图分别如图３畅５２（b）、（c）所示。

三相电源中，各相电压达到同一状态（如正的最大值）的先后次序称为相序。如

图３畅５２（b）所示，A 相超前 B相，B相超前 C相，故三相电源的相序为 A唱B唱C 。规定A唱B唱C的相序为正序（又称顺序），C唱B唱A 为负（逆）序。以后如不特别说明，均采取

正序（电力系统一般采用正序）。

3畅8畅2 　三相电路的连接

三相电源和三相负载都有星形（Y）和三角形（△ ）两种连接方式，下面分别讨论。

１畅电源和负载的星形连接

将图３畅５２（a）所示三个电压源的负极 X 、 Y 、 Z连在一起形成一个节点，记为 N ，

称为电源的中性点，而以三个正极 A 、 B 、 C 向外引出三条输出线（称为端线或相线，

在低电压系统又俗称火线）与负载相接，如图３畅５３（a）所示即三相电源的星形连接。

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若三相负载 ZA 、 ZB 、 ZC 也接成星形，负载中性点用 N′表示。从电源的中性点引出一

条线到负载的中性点称为中线或零线（如中线接地，又称为地线）。这样，电源用四根

线提供三相电能给负载，这种供电方式称为三相四线制。图３畅５３（a）所示电路，相当

于三个单相电路，中线为公共回线。在三相电路中通常将每相电源的端电压和通过它的

电流，称为电源的相电压和相电流；每相负载两端的电压和通过它的电流，称为负载的

相电压和相电流；端线之间的电压称为线电压，端线中流过的电流称为线电流。于是，

图３畅５３（a）中电源和负载 Y唱Y 形连接时，负载的相电压等于对应相电源的相电压 U·

A

或 U·

B 或 U·

C （忽略线路压降），也就是对应端线和中线之间的电压。对应相（如 A 相）

负载和电源的相电流相等并等于对应的线电流（如 I·

A ）。

　　（a） Y唱Y 三相电路　　　　　　　　　　（b）电压相量图图３畅５３　星形连接电路

电源作星形连接时，线电压和相电压的关系为

U·

AB ＝ U·

A － U·

B

U·

BC ＝ U·

B － U·

C

U·

CA ＝ U·

C － U·

A

（３畅７１）

由图３畅５３（b）可知，UAB ＝２UA cos３０°＝３UA ，并超前 U·

A 相位３０° 。同理有

U·

AB ＝３U·

A ∠ ３０°

U·

BC ＝３U·

B ∠ ３０°

U·

CA ＝３U·

C ∠ ３０°

（３畅７２）

　　可见，采用三相四线供电制时，电源向外电路除提供一组对称的相电压 U·

A 、 U·

B 、

U·

C 外，还提供一组对称的线电压 U·

AB 、 U·

BC 、 U·

CA 。线电压值是相电压的３倍，即

Ul ＝３Up （３畅７３）

式中 Ul 表示线电压，Up 表示相电压。而在相位上，由式（３畅７２）可见，线电压超前对

应的相电压３０°。

通常输电线路的额定电压都是指线电压。如高压输电线路有３５kV 、１１０kV 、

２２０kV ，中压有６kV 、１０kV 。日常生活和生产中用的低压３８０V 也是指线电压，对应的

相电压应是２２０V 。

负载的相电流为

３９


I·

A ＝U·

AZA ，　 I

·

B ＝U·

BZB ，　 I

·

C ＝U·

CZC

　　当 ZA ＝ ZB ＝ ZC 时，称负载对称。因电压 U·

A 、 U·

B 、 U·

C 对称，则相电流对称，这时

　I·

N ＝ I·

A ＋ I·

B ＋ I·

C ＝０，中线无电流，可省去中线，成为三相三线制。电源和负载都是对

称的三相电路称为对称三相电路，否则为不对称三相电路。对称三相电路均可按三相三

线制电路分析，而且实际计算时，三相中只需求出任一相，其余两相的结果则可推出，

这就是对称三相电路归结为一相的计算方法。

当负载不对称时，必须采用四线制。因为电器设备只有在额定电压下才能正常工

作。中线的存在使三相电路相当于三个独立的单相电路。这时尽管负载不对称，各相负

载的相电压仍然对称并等于电源相电压，从而保证了负载在不对称情况下正常工作。若

无中线或中线断开，由于负载不对称，电源和负载的中性点之间将产生电位差。设 N为参考点，由弥尔曼定理可得

U·

N′N ＝

U·

AZA ＋

U·

BZB ＋

U·

CZC

１ZA ＋

１ZB ＋

１ZC

＝ U·

N′

负载相电压便不对称，分别为

U·

AN′ ＝ U·

A － U·

N′

U·

BN′ ＝ U·

B － U·

N′

U·

CN′ ＝ U·

C － U·

N′

图３畅５４　中性点电压

的影响

　　于是如图３畅５４所示，负载有的相电压（如 U·

CN′ ）过高，可

能损坏用电设备；有的相电压过低（如 U·

BN′ ），使负载不能正常

工作。因此，不对称负载一定要用四线制，中线不能断开，也不

允许在中线上接保险丝。另外，由于负载相电流不对称，中线电

流就不为零。所以不对称系统的负载应尽量平衡配置，使负载相

电压基本或接近对称。

２畅电源和负载的三角形连接

将图３畅５２（a）所示三个电压源的正极和负极顺序相接，即 X 和 B ， Y 和 C ， Z 和A 相接，由连接点（即三角形的三个顶点）引出端线和负载相接，如图３畅５５（a）所示即电源的三角形（ △ ）连接。显然，这时线电压等于相电压（如 U

·

A ＝ U·

AB ）。由于

U·

A ＋ U·

B ＋ U·

C ＝０，三个电压源内部无环路电流。但若有一相电源的正、负极接反，将在电源内产生极大的环流而烧坏电源，读者可画出此时的电压相量图自行证明。连接时

务必注意避免接反。

若负载也是三角形连接，负载的相电压等于电源相应的相电压（忽略线路压降）。

负载相电流为

I·

AB ＝U·

AZA

，　 I·

BC ＝U·

BZB

，　 I·

CA ＝U·

CZC

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图３畅５５　三角形连接电路

线电流和相电流的关系为

I·

A ＝ I·

AB － I·

CA ，　 I·

B ＝ I·

BC － I·

AB ，　 I·

C ＝ I·

CA － I·

BC　　负载对称时，负载相电流也对称。由图３畅５５（b）可见，线电流的大小是相电流的

３倍，线电流（如 I·

A ）相位滞后对应的相电流（如 I·

AB ）３０° ，即

I·

A ＝３ I·

AB ∠ －３０°

I·

B ＝３ I·

BC ∠ －３０°

I·

C ＝３ I·

CA ∠ －３０°

Il ＝３ Ip

（３畅７４）

式中 Il 表示线电流， Ip 表示相电流。

在三相电路中，三相负载的连接方式取决于每相负载的额定电压和电源的线电压。

当两者等值时，负载应接成三角形。当线电压大于负载的额定电压时，负载应接成星

形。例如，额定电压为２２０V 的三相电动机与线电压为３８０V 的三相电源连接时，电机

定子三相绕组应作星形连接。而与线电压为２２０V 的三相电源连接时应作三角形连接，

这样才能保证电机在额定电压下正常工作。

和电源与负载 Y唱Y形接法的情况一样，电源与负载无论是 △ 唱 △形接法，还是 Y唱 △形接法，或是 △ 唱Y形接法，只要构成对称三相电路，由于各相应电压、电流都具有对

称性，所以分析电路时只要计算一相，即可知其余两相结果。

3畅8畅3 　三相电路的功率

以 U·

A 、 U·

B 、 U·

C 和 I·

A 、 I·

B 、 I·

C 分别表示三相负载的相电压和相电流， φA 、 φB 、φC 分别表示 A 、 B 、 C各相的相电压与相电流的相位差，不论负载是星形连接还是三角

形连接，三相负载吸收的总的有功功率必定等于各相有功功率之和，即

P ＝ PA ＋ PB ＋ PC ＝ UA IA cosφA ＋ UB IB cosφB ＋ UC IC cosφC　　当负载对称时，每相的有功功率是相等的。因此

P ＝３UP IP cosφ （３畅７５）

式中 φ是相电压 UP 和相电流 IP 之间的相位差。

当对称负载是星形连接时， Ip ＝ Il ，Up ＝ Ul３；当负载作三角形连接时， Ip ＝ Il

３，

Up ＝ Ul ，将这些关系代入式（３畅７５），则得

P ＝３Ul Il cosφ （３畅７６）

５９


　　注意，上式与负载的连接方式无关， φ仍是相电压与相电流之间的相位差。

同理，可得出对称三相负载的总无功功率和视在功率为

Q ＝３Up Ip sinφ ＝３Ul Il sinφ （３畅７７）

S ＝３Up Ip ＝３Ul Il （３畅７８）

　　例 3畅27 　已知对称电源线电压为３８０V ，三相负载每相阻抗 Z ＝２２０ ∠ －３０°Ω ，额

图３畅５６　例３畅２７

定电压为２２０V ，单相负载的 R ＝３８０Ω ，额定电压为３８０V ，

问负载如何与三相电源连接？并求端线电流。

解　负载与电源连接时要遵守的一个基本原则是，电源

电压需与负载的额定电压相符合。据此，三相负载应取星形

接法。单相负载应接在一个线电压上，如图３畅５６所示。

首先计算 I·

′A 、 I·

′B 、 I·

C 。由于是对称三相负载，对称电路只

需计算一相。

若选 U·

AB为参考相量，即

U·

AB ＝ UAB ＝３８０（V）则

U·

A ＝UAB３

∠ －３０° ＝２２０ ∠ －３０°（V），　 I·

′A ＝ U·

AZA ＝

U·

AZ ＝

２２０ ∠ －３０°２２０ ∠ －３０°

＝１（A）可推知

I·

′B ＝１ ∠ －１２０°（A），　 I·

C ＝１ ∠ １２０°（A）　　单相负载 R通过的电流为

I·

＝U·

ABR ＝

３８０３８０

＝１（A）　　于是，各端线电流为

I·

A ＝ I·

＋ I·

′A ＝１＋１＝２（A）I·

B ＝ I·

′B － I·

＝３ ∠ －１５０°（A）而

I·

C ＝１ ∠ １２０°（A）

３畅９　小　　结

（１）分析正弦电路的稳态响应主要采用相量法。相量法的基础是用相量表示正弦

量，因此也称为符号法。分析电路时，先画出电路的相量模型，再将电路中各元件约束

用伏安关系的相量形式表示，电路约束也用 KCL 、 KVL 的相量形式表示：

KCL ： ∑ I·

＝０　　　　 KVL ： ∑ U·

＝０

R元件：U·

＝ I·

R 　　 L元件：U·

＝ I·

j ω L 　　 C元件： I·

＝ j ω C U·

阻抗或导纳：U·

＝ I·

Z或 I·

＝ U·

Y

６９

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列写电路方程时与直流电路的相应方程形式一样，不同的只是把直流电路中的实数

U 、 I 、 R 、 G换成相应的 U·

、 I·

、 Z 、 Y ，并将它们进行复数形式的运算。而且分析直流

电路的各种方法、定理和等效变换都适用于正弦交流电路中。求出 U·

、 I·

就可写出它们

的瞬时值式来。

（２）正弦稳态电路分析中，要重视借助相量图。串联电路一般取电流作为参考相量；并

联电路一般取电压作为参考相量。借助于五个直角三角形：阻抗三角形、导纳三角形、电流

三角形、电压三角形和功率三角形和相量图，可以启发思路，起到简化电路计算的作用。

（３）正弦电路中的功率除瞬时功率 p ＝ ui外，有实际意义的有

有功功率： P＝ UIcosφ＝ I２ R ，无功功率： Q＝ UIsinφ＝ I２ X视在功率： S ＝ UI ＝ P２

＋ Q２，复功率： S

～

＝ U·

I倡

＝ P＋ j Q

功率因数： cosφ＝ PS

有功功率守恒：P ＝ ∑n

k ＝１

Rk ，无功功率守恒：Q ＝ ∑n

k ＝１

Qk

复功率守恒：S～

＝ ∑n

k ＝１

S～

k ，视在功率不守恒

为了提高功率因数（从 cosφ１提高到 cosφ２）以减少线路的电压损失、功率损耗和

节约视在功率，可在感性负载两端并联一个合适的电容 C ＝P

ω U２（tanφ１－ tanφ２）。并联 C后对负载本身的功率因数 cosφ 、有功功率 P和端电压 U都不会有影响。

（４）谐振电路由电感 L和电容 C组成。串联谐振的条件是 XL ＝ XC ，而并联谐振的条

件是 BL ＝ BC 。发生谐振现象的物理实质是 L和 C的无功功率相互完全补偿，整个电路的

无功功率 Q＝０。谐振的共同特征是电路的输入电压、电流同相。串、并联谐振电路的特

点及谐振参量（品质因数、通频带等）有实际意义。

（５）同名端是一个重要概念。利用它可以判别互感线圈之间的绕向关系，从而确定

互感电压的参考极性。

两个互感线圈串联时的等效电感 L ＝ L１＋ L２ ± ２M ，同向串联时，２M 前取 “ ＋ ”

号；反向串联时取 “ － ” 号。两者并联时的等效电感 L ＝L１ L２－ M２

L１＋ L２碢２M ，同向并联时，

２M前取 “ － ” 号；反向并联时取 “ ＋ ” 号。

（６）分析耦合电感电路的关键是处理互感电压。常用的处理方法是：

① 用受控电压源表示互感电压，即用受控电压源去耦化电路。

② T形去耦。当耦合电感有一个公共连接点时，互感可以去除。去耦等效电路中的元

件参数，只和耦合电感是同名端相接还是异名端相接有关，与电流、电压的参考方向无关。

（７）理想变压器是从实际铁心变压器中抽象出的一种理想模型，它反映了实际变压

器的主要特性，即电压变换、电流变换和阻抗变换三种变换关系。理想变压器既不耗能

也不储能，它只传输能量和变换信号。

（８）三相供电系统有很多优点，应用非常广泛。重点掌握对称三相电路的计算。对

于对称三相电路，当负载接成

７９


星（Y）形时有：Ul ＝３Up ， Il ＝ Ip ， P＝３U l Il cosφ ， Q＝３Ul Il sinφ三角（ △ ）形时：Ul ＝ Up ， Il ＝３ Ip ， P＝３Ul Il cosφ ， Q ＝３Ul Il sinφ对于电源对称负载不对称的三相电路，当负载星形连接时，负载电流、电压可先用

节点法算出中性点位移，然后依 KVL 来计算；当负载三角形连接时，可用 Y唱 △变换先化成星形连接后再计算。

习　　题

１畅已知电流 i１＝２０sin（３１４ t ＋３０°）A ， i２＝３０sin（３１４ t －６０°）A ，试求两电流的有效

值、频率和周期、相位差，指出它们的相位关系，并画出它们的相量图和波形图。

２畅已知某正弦电压初相为 π６

，当 t ＝０时， u＝２００V ；当 t＝１３００s时， u＝４００V 。求

该电压的最大值、角频率和频率。

３畅已知 i１＝３sin（３１４ t －３０°）A ， i２＝４sin（３１４ t ＋６０°）A 。试用相量图求 i１＋ i２的最大值、有效值及它与 i１、 i２之间的相位差。

４畅试写出下列各相量的瞬时值表达式（各题中 ω＝３１４rad／s）。（１） U

·

＝１００ ∠ ０°V ， I·

＝２ ∠ ５３°A（２） U

·

＝１２０ ∠ －π６V ， I

·

＝３ ∠π３A

（３） U·

＝（４０＋ j８０）V ， I·

＝４－ j３A

题５图

５畅一正弦电流在题５图所示参考方向下表示为 i ＝１０sin（ω t －３０°）mA 。试求 ω t ＝６０°和 ω t ＝３００°时电流的量值及

真实方向。若是改变图示电流的参考方向，其表达式应如何改

写？并再求 ω t ＝６０°和 ω t ＝３００°时的电流值及其真实方向。

６畅某交流接触器线圈额定电流为８０mA ，其 R ＝２００Ω ， L ＝１０H ，接在 U ＝２２０V 、

f ＝５０Hz的交流电源上，试求流过此线圈的电流。如果误将此接触器接在２２０V 的直流电源上，将会出现什么样的后果？

７畅题７图所示电路中，已知电流表 A１的读数为１０A ，电压表 V１的读数为１００V 。

求表 A 和 V 的读数。

８畅题８图所示电路中，电压表 V 的读数为２００V ，电流表 A 、 A２的读数均为２A ，

A１的读数为２３A 。求电路参数 R 、 XL 和 X C 。

９畅求题９图所示电路的输入阻抗 Z （信号源的 ω＝２００rad／s）。

题７图

　　　　　　　　

题８图

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题９图

１０畅求题１０图所示两电路中的电流 I·

。

题１０图

１１畅题１１图所示电路中 U·

C ＝１０ ∠ ４５°V ， XC ＝０畅５Ω ， XL ＝３Ω ， R ＝２Ω 。求各元件

电压和电流相量，并画出它们的相量图。

１２畅题１２图所示电路中 uS ＝５０２sin（１０３ t ＋９０°）V ，求 i 。１３畅求题１３图所示电路中的电流 I

·

。

题１１图

　　

题１２图

　　

题１３图

１４畅题１４图所示电路中， I·

S ＝１０A ， ω ＝５０００rad／s ， R１＝ R２＝１０Ω ， C ＝１０μF ，

μ＝０畅５。求各支路电流，并作出相量图。

１５畅题１５图所示电路中，U·

＝１０V ， ω＝１０４ rad／s ， R３＝３kΩ ，调节电位器，使伏特

计指示为最小，此时， R１＝９００ Ω ， R２＝１６００Ω 。求伏特计读数和电容 C值。

１６畅在题１６图所示电路中，U·

＝１００V ， XC ＝５００Ω ， XL ＝１０００Ω ， R ＝２０００Ω ，试

求电流 I·

。

题１４图

　　

题１５图

　　

题１６图

９９


１７畅在题１７图所示电路中，若 U·

１＝３０V ，为使（２＋ j３）Ω 支路中的电流为零，试

求 U·

２。

１８畅求题１８图所示电路的电源提供的有功功率、无功功率、视在功率以及电路总

功率因数。

题１７图

　　　　　　　

题１８图

１９畅有一交流电源额定容量是１００kVA ，额定电压为２３０V ，试问：

（１）要用它向总功率为８０kW 、总功率因数为０畅６的感性负载供电，电流是否超过

额定值？

（２）要将功率因数提高到０畅９，应并联接入多大的电容器？

（３）功率因数提高后电源电流等于多少？负载上的电流和功率因数有无变化？

２０畅电路如题２０图所示，已知 uS ＝２cos（２ t －４５°）V ，要使流过 R０的稳态电流为

最大， C０应为何值？

２１畅题２１图所示为在工频下测量线圈参数（R和 L ）的电路。测量时，调节可变电

阻使伏特计（设其电阻为无限大）的读数最小。若此时电源电压为１００V ， R１＝５Ω ，

R２＝１５ Ω ， R３＝６畅５Ω ，伏特计读数为３０V 。试求 R和 L 的值。

题２０图

　　　　　　　　

题２１图

２２畅求题２２图所示电路 I·

１和 I·

２的模相同、相位差为９０°的条件。

２３畅求题２３图所示电路的 S 、 P和 Q 。

题２２图

　　　　　　　　

题２３图

２４畅题２４图所示电路中， R１＝２畅６８Ω ， X１＝１０ Ω ， R２＝６０Ω ， X２＝８０Ω ， I１＝１６A ，

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U·

１＝３２０ ∠ ０°V ，负载 Z的功率因数 cos矱＝０畅８５（感性）。试求电源电压 U·

，电流 I·

２和电

源供出的有功功率 P 。

２５畅 RLC串联谐振电路中，已知电源电压有效值 US ＝１V ，频率 f 可变。当 f ＝１００kHz时，电路发生谐振，此时电流为 I０＝０畅１A ；当 f 调到９９kHz 时， I ＝７０畅７mA 。

求谐振电路的 Q 、 R 、 L 、 C和 Δ f 。２６畅题２６图所示电路中， R ＝１０Ω ， L ＝２５０μH ， C１、 C２为可调电容。今先调节

C１，使并联电路部分在 f１＝１０４ Hz时阻抗达到最大，然后调节 C２，使整个电路在０畅５ ×

１０４ Hz时阻抗最小。试求电容 C１和 C２，并求外加电压 U ＝１V 而 f ＝０畅５ × １０

４ Hz 时电路的总电流。

２７畅 Q＝１００的线圈与电容 C串联，谐振角频率 ω０＝１０６ rad／s ， L ＝１mH ，试求电容

C及通频带。如欲使通带宽度展宽１倍，问需串入电阻多少欧姆？

２８畅试确定题２８图所示耦合线圈的同名端。

题２４图

　　

题２６图

　　

题２８图

２９畅求题２９图所示各电路的端口等效电感 L 。已知 L１＝６H ， L２＝３H ， M ＝４H 。

题２９图

３０畅求题３０图所示串联正弦电路的谐振频率。

３１畅题３１图中 ω L １＝ ω L ２＝１０ Ω ， ωM ＝５Ω ， R１＝ R２＝６Ω ，U·

＝６０V 。试求 A 、 B端口的戴维南等效电路。

题３０图

　　　　　

题３１图

３２畅题３２图中 u ＝１０２sin１０tV ， L１＝４H ， L２＝ M ＝１H 。求 I·

１、 I·

２、 U·

２和电路

吸收的功率 P 。

１０１


３３畅求题３３图所示电路中 U·

S 、 I·

２、 U·

１、 U·

２及电流源发出的平均功率 P。

题３２图

　　　　

题３３图

３４畅有一台三相发电机，其绕组接成星形，每相绕组额定电压是２２０V 。在一次实

验中用电压表量得相电压 UA ＝ UB ＝ UC ＝２２０V ，而线电压 UAB ＝ UCA ＝２２０V ， UBC ＝３８０V ，试问这种现象是如何造成的？

３５畅某三层楼房单相照明电灯均接在三相四线制电源上，每层为一相，每相装有

２２０V 、４０W 电灯２０只，电源线电压为３８０V 。试求各电流值：

（１）当灯泡全部点亮时各相电流、线电流及中线电流。

（２）当 A 相灯泡半数点亮，而 B 、 C相灯泡全部点亮时，各相电流、线电流及中线

电流。

３６畅已知题３６图所示对称三相电路的线电压为３８０V ，星形负载的功率 P１＝１０kW ，

cosφ１＝０畅８５（感性），三角形负载的功率 P１＝２０kW ， cosφ２＝０畅８（感性），求电源线电

流大小。

３７畅题３７图中，对称三相负载连接成三角形，已知电源电压为２２０V ，当 S１和 S２均闭合时，三个电流表读数都是１７畅３A ，三相总功率为４畅５kW 。试求：

（１）每相负载 Z的电阻和感抗。

（２）当 S２闭合， S１断开时，电路中各电流表的读数和总功率。

（３）当 S１闭合， S２断开时，电路中各电流表的读数和总功率。

３８畅题３８图中对称三相电源线电压为３８０V 。

题３６图

　　

题３７图

　　

题３８图

（１）如果图中各相负载的阻抗都是１０Ω ，是否可以说负载是对称的？并求此时各相

电流及中线电流。

（２）若中线电流参考方向选的与图中所示方向相反，则（１）中计算结果有何变化？

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倡第 4章　非正弦周期电流电路

非正弦周期电流电路分析的基本方法是谐波分析法，这是用叠加原理结合正弦电路

稳态分析方法来进行计算的。

４畅１　非正弦周期信号

在线性电路中，若有一个正弦电源作用，或多个按同频率正弦规律变化的电源同时

作用时，电路各部分的稳态电压、电流也都按同频率正弦规律变动。但是，在生产和科

学实践中，经常会遇到非正弦周期电压与电流的问题。例如，在控制系统和计算机的工

作状态中大量用到的脉冲和方波信号，在电子示波器中用到的扫描电压等都是按非正弦

规律变化的；当几个频率不同的正弦信号相叠加时，也将得到非正弦周期信号。另外，

当电路中存在非线性元件时，即使激励是正弦信号，在电路中也会产生非正弦电流或电

压，如利用二极管的整流电路。图４畅１（a）、（b）就是脉冲电流和方波电压的波形，

图４畅１（c）是实验室常用的电子示波器的扫描电压所具有的波形。

图４畅１　非正弦周期电流、电压波形

非正弦电流信号有周期性变化的，也有非周期性变化的，本章只讨论在非正弦周期

电压或电流作用下的线性电路的分析。

非正弦周期电流电路的分析和计算主要分三个步骤：

（１）分解：利用傅里叶级数展开法，将已知非正弦周期信号分解为一系列频率不

同、幅值不同、相位不同的正弦分量之和，即将非正弦周期函数分解为傅氏级数。

（２）单独作用：分别计算在各个频率正弦量（即每一个频率分量）单独作用下电路

中的响应。

（３）合成：根据线性电路的叠加原理，将所得到的响应分量的时域形式叠加，从而

求得实际的稳态响应值。

这种求解非正弦周期电流电路的方法称为谐波分析法，它实质上就是把非正弦周期

电流电路分解为一系列频率不同的正弦交流电路进行计算，这样就可使用前一章所学过

的相量法。


４畅２　非正弦周期函数的谐波分析

非正弦周期函数的解析表达式可以写为

f （t）＝ f （t ＋ kT ）式中， T为周期函数的周期，且 k ＝１，２，３， ⋯

根据数学知识可知，如果给定的周期函数 f （t）满足狄里赫利条件，就可以展开成

傅里叶级数的形式，电工技术中所遇到的周期函数通常都能满足这个条件。将 f （t）展开成傅里叶级数的两种形式为

f （t）＝ a０＋ ∑∞

k ＝１

（akcoskωt ＋ bk sinkωt）（４畅１）

f （t）＝ A０＋ ∑∞

k ＝１

Akm sin（kωt ＋ φk ）（４畅２）

ω ＝２πT

以上两式有下列相互关系

A０＝ a０，　 A·

km ＝ ak － jbkak ＝ Akm cosφk ，　 bk ＝－ Akm sinφk

φk ＝ arctan（－ bk ／ak ）在式（４畅２）中， A０称为函数 f （t）的直流分量； k ＝１时， A１m sin（ωt ＋ φ１）称为一次谐

波或基波，其周期或频率与周期函数 f （t）相同， k ≥ ２的正弦分量称为高次谐波， k为谐波次数。其中， k ＝３，５，７， ⋯称为奇次谐波， k ＝２，４，６， ⋯称为偶次谐波。

傅氏级数的相关系数可按下列公式计算

a０＝１T∫

T

０f （t）d t

ak ＝２T∫

T

０f （t）coskωtd t

bk ＝２T∫

T

０f （t）sinkωtd t

k ＝１，２，⋯

（４畅３）

傅里叶级数是一个收敛的无穷三角级数，由展开式可看出，把一个非正弦周期函数分解

为傅里叶级数后，随着谐波次数增高，其幅值逐步衰减，如级数收敛得很快，一般取５

次以下谐波就足以逼近原函数了。

表４畅１是几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式。

为了直观地表示一个非正弦周期函数 f （t）分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占的 “比重” ，采用 f （t）的频谱（图）。如果用长度与各次谐波振幅大小相

对应的线段，按频率的高低顺序把它依次排列起来画得的图形，如图４畅２所示，称为

f （t）的幅度频谱。幅度频谱只表示各谐波分量的振幅，如图４畅３表示了矩形波的幅度频

谱。如果把各次谐波的初相用相应线段沿频率轴依次排列就可以得到相位频谱。一般不

特殊说明，所说频谱就是指幅度频谱。由于各谐波的角频率是基波角频率 ω的整数倍，

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第４章　非正弦周期电流电路　　　　

所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。

表 4畅1 　非正弦周期函数的傅里叶级数

f （ t）的波形 f （ t）的傅里叶级数展开式

f （t）＝２ πAm １

２＋

π

４cos ω t ＋１

１ × ３cos２ ω t

　　　－１

３ × ５cos４ ω t ＋ ⋯

f （t）＝４ πAm １

２＋

１

１ × ３cos２ ω t －１

３ × ５cos４ ω t

＋１

５ × ７cos６ ω t － ⋯

f （t）＝ Am １父２

－１

πsin ω t ＋１

２sin２ ω t

＋１

３sin３ ω t ＋ ⋯

f （t）＝８ π２ Am cos ω t ＋１

９cos３ ω t ＋１

２５cos５ ω t ＋ ⋯

f （t）＝４ πAm sin ω t ＋１

３sin３ ω t ＋１

５sin５ ω t ＋ ⋯

５０１


续表

f （ t）的波形 f （ t）的傅里叶级数展开式

f （t）＝２ πAm sin ω t －１

２sin２ ω t ＋１

３sin３ ω t － ⋯

f （t）＝８ π２ Am sin ω t －１

９sin３ ω t ＋１

２５sin５ ω t － ⋯

f （t）＝４ απ

Am sinαsin ω t ＋１

９sin３αsin３ ω t

＋１

２５sin５αsin５ ω t ＋ ⋯

图４档*畅２　幅度频谱图４ \Q畅３　矩形波的频谱

４畅３　平均值、有效值和平均功率

4畅3畅1 　平均值

根据定义，非正弦周期量的平均值（若以电流为例）定义为

Iav ＝１T∫

T

０| i | d t

６０１

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即等于此量绝对值的平均值。对于正弦量，其平均值为

Iav ＝１T∫

T

０| Im sinω t | d t ＝０畅６３７ Im ≈ ０畅９ I

4畅3畅2 　有效值

以电流为例，任何周期电流的有效值定义为

I ＝１T∫

T

０i２ d t

即有效值为瞬时值的均方根值（r畅m畅 s）。将 i（t）展开为傅氏级数后代入定义式

I ＝１T∫

T

０I０＋ ∑

∞

k ＝１

Ikm sin（kω t ＋ φk ）２ d t

由数学知识知，不同频率正弦量相乘在一个周期内的积分值为零，这样电流的有效值为

I ＝ I２０＋ I２１＋ I２２＋ I２３＋ ⋯ （４畅４）

即非正弦周期电流的有效值等于直流分量与各次谐波分量有效值的平方和的平方根。

同样，非正弦周期电压的有效值为

U ＝ U２０＋ U２

１＋ U２２＋ U２

３＋ ⋯

这里需要指出，对于非正弦量，其最大值与有效值之间不再有２的关系。在测量非正弦周期电流时，要注意仪表的选择，使用不同类型的表测量，其读数不同，含义不

同。如磁电系仪表用于测量电流的恒定分量，即用于直流；电磁系、电动系仪表用于测

量电流的有效值；全波整流磁电系仪表用于测量电流的平均值。

4畅3畅3 　平均功率

任意一端口的电压、电流都是非正弦周期量，只要 u 、 i为关联方向，则该网络吸收的瞬时功率为

p ＝ ui ＝ U０＋ ∑∞

k ＝１

Ukm sin（kω t ＋ φku ） × I０＋ ∑∞

k ＝１

Ikm sin（kω t ＋ φki ）

所吸收的平均功率（有功功率）根据定义为

P ＝１T∫

T

０uid t

将瞬时功率的各项代入上式，可以得到P ＝ U０ I０＋ U１ I１ cosφ１＋ U２ I２ cosφ２＋ ⋯ ＋ Uk I kcosφk ＋ ⋯ （４畅５）

式中，Uk ＝Ukm２

， Ik ＝ Ikm２

， φk ＝ φku － φki ， k ＝１，２，３， ⋯ ，即非正弦周期电流电路中

的有功功率等于直流分量和各次谐波分别单独作用于电路产生的有功功率之和，也就是

说，不同频率的电压和电流之间不能产生有功功率，只有恒定分量及同频率的电压和电

流才能产生有功功率。

４畅４　非正弦周期电流电路的计算

非正弦周期电流电路的计算方法在４畅１节中已作了大致的描述，其具体步骤如下。

７０１


（１）利用傅里叶系数积分公式求出傅氏系数，进而求出非正弦周期激励信号的傅里

叶展开式。

（２）分别求出非正弦激励信号的直流分量及各次谐波分量单独作用时的响应。当直

流分量作用时，即为求解直流电路问题，此时，应将电感作短路处理，将电容作开路处

理。当求各次谐波单独作用时，就是用相量法来求解不同工作频率的正弦稳态电路。必

须注意，同一电容、电感的容抗及感抗值随频率而变。感抗与频率成正比，容抗与频率

成反比，而电阻对各次谐波都是相同的，即高次谐波的电抗是频率的函数。因此，非正

弦周期电流电路的阻抗是对应于不同频率谐波的。在某次频率的谐波激励下，电路或许

会产生串联谐振或并联谐振，那就要根据谐振的特点来计算非正弦电路的待求量。

（３）应用叠加原理，把步骤（２）计算出的结果进行叠加，从而求得所要求的响应。

注意叠加只能是瞬时值的叠加，不同频率的相量不能叠加，必须把步骤（２）计算出的

各分量的相量形式转换成瞬时值表达式后再求代数和，或者按有效值及有功功率的公

式（４畅４）或式（４畅５）进行合成。

例 4畅1 　图４畅４（a）所示电路中， R ＝２０Ω ， ωL１＝０畅６２５Ω ，１ωC ＝４５Ω ， ωL２＝５Ω ，

u（t）＝１００＋２８２畅８sinωt ＋１４１畅４sin３ωt ，试求电路中的 i、 u２和电路所吸收的平均功率 P。解　非正弦周期电压的傅里叶级数展开式已给定，因此可直接按上述步骤（２）进

行计算。

① 恒定分量单独作用：在这种情况下，电感相当于短路，电容相当于开路，可按

图４畅４（b）所示电路计算I（０）＝

U（０）

R ＝５（A）U２（０）＝０

② 基波分量单独作用：电路为正弦稳态电路，用相量法进行计算，基波的角频率

为 ω１。

U·

（１）＝２８２畅８

２∠ ０° ＝２００（V）

I·

（１）＝２００ ∠ ０°

２０＋ j０畅６２５＋（ j５）（－ j４５）－ j４５＋ j５

＝２００ ∠ ０°

２０＋ j６畅２５＝９畅５５ ∠ －１７畅３５°（A）

U·

２（１）＝ I·

（１） ×（ j５）（－ j４５）－ j４５＋ j５＝５３畅７２ ∠ ７２畅６５°（V）

图４畅４　例４畅１

　　 ③ 电压的三次谐波单独作用时，其电路如图４畅４（a）所示，注意这时的角频率为３ω。

８０１

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U·

（３）＝１４１畅４ ∠ ０°

２＝１００ ∠ ０°（V）

XL２（３）＝３XL

２（１）＝１５（Ω ）

XC（３）＝XC（１）

３＝１５（Ω ）

此时，电路将发生并联谐振，这种情况下

I·

（３）＝０，　 U·

２（３）＝１００ ∠ ０°（V）把以上求得的基波分量、三次谐波分量化为瞬时值进行相加，可得最终结果

i（t）＝５＋９畅５５２sin（ω t －１７畅３５°）（A）u２（t）＝２ × ５３畅７２sin（ω t ＋７２畅６５°）＋２ × １００sin（３ω t）（V）

根据有效值的计算公式可得

U２＝ U２２（０）＋ U２

２（１）＋ U２２（３）＝５３畅７２

２＋１００

２＝１１３畅５２（V）

电路吸收的平均功率为

P ＝ I（０）U（０）＋ I（１）U（１）cosφ１＋ I（３）U（３）cosφ３＝１００ × ５＋９畅５５ × ２００cos１７畅３５° ＋０＝２３２３（W）

或者

P ＝ I２ R ＝２０ × （５２＋９畅５５

２）＝２３２４（W）

４畅５　小　　结

（１）非正弦周期信号是常见的信号形式。在满足狄里赫利条件下，非正弦周期函数

可以展开为收敛的傅里叶级数，级数中包括直流分量和各次谐波分量，各分量的系数称

为傅里叶系数。级数具有衰减性，谐波频率越高，傅里叶系数值越小。工程上可以只取

级数中前面的少量几项来近似表示非正弦周期信号。反过来，用有限的项数代替无穷的

级数项，可以近似地合成周期信号。项数取多少，根据级数衰减的快慢程度和精度要求

来决定。

（２）非正弦周期信号的有效值等于直流分量的平方与各次谐波分量有效值的平方之

和的平方根。非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量下的功率和各次谐波分量下

的平均功率之和。谐波下平均功率的计算仍然是该谐波下电压有效值、电流有效值与功

率因数的乘积。

（３）非正弦周期电流电路中电压、电流及功率的计算，要应用叠加定理来进行。首

先将非正弦周期信号展开成傅里叶级数形式，然后计算直流分量、各次谐波分量单独作

用下的电压、电流和平均功率，最后将各个值相加。注意电压、电流的叠加是瞬时值相

加，且各谐波分量单独作用于电路时，电路的电抗是谐波频率的函数。

习　　题

１畅试求题１图所示波形电流 i（t）的有效值和平均值。

９０１


２畅 RLC串联电路中，外加电压 u（t）＝１００＋１４１畅４sin１０００ t －３５畅４sin３０００ t（V），已

知 R ＝１０Ω ， L ＝０畅０１５H ， C＝７０μF ，试求电路中的电流 i（t）和电路消耗的功率。

３畅电路如题３图所示，已知 u（t）＝１０＋１４１畅４sinωt ＋７０畅７sin（３ωt ＋３０°）（V），１／（ωC）＝１５Ω ， ωL ＝２Ω ， R１＝５Ω ， R２＝１０Ω ，试求电流 i及 R１支路的平均功率。

题１图题３图

４畅已知 RLC串联电路的电压和电流为： u（t）＝１００sin３１４ t＋５０sin（９４２ t －３０°）（V ），

i（t）＝１０sin３１４ t＋１畅７５sin（９４２ t ＋ φ３）（A ），试求：（１） R 、 L 、 C的值；（２） φ３的值；

（３）电路消耗的功率。

５畅如题５图所示电路，它能阻止基波到达负载 R ，但能使九次谐波顺利地加到负

载上，若 C ＝０畅０４μF ，基波频率 f ＝５０kHz ，求电感 L１及 L２的值。

６畅电路如题６图所示，已知 ω L １＝３０Ω ， ω L ２＝１０Ω ，１／（ωC）＝４０Ω ， R ＝６０Ω ，

UA ＝４０V ，UB ＝３０V ， uS （t）＝６０＋３０sin（ω t ＋６０°）＋６０sin（２ω t －２０°）（V），试求各电表

的读数。

题５图题６图

７畅如题７图所示电路，已知 R ＝２０Ω ，外加周期信号为 u（ t）＝１５０＋２０sin（１０６ t ＋３０°）＋１０cos（３ × １０

６ t －１０°）（V ），若 i（ t）＝１＋０畅４sin（１０６ t ＋３０°）＋０畅１cos（３ × １０６ t －

１０°）（mA），试求 C１、 C２、 L 、 R１和 R２。

８畅如题８图所示电路， u１（t）＝１０＋２ × １０sinω t ＋２ × １０sin３ω t（V ）， R１＝ R２＝

１６Ω ，对基波 XL ＝１Ω ， XC ＝９Ω ，试求 u２（t）。

０１１

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题７图

　

题８图

　　９畅已知一非正弦电流电路如题９图所示，其中， ωL ＝３Ω ，１／（ωC）＝２７Ω ， R２＝

１０Ω ， ωL １＝６ Ω ，１／（ωC１）＝６Ω ， u（t）＝１００＋６０sin（ω t ＋３０°）＋２０sin（３ω t ＋３０°）（V ），

试求 i（t）。

题９图

１０畅电路如题１０图所示，已知 R１＝１Ω ， R２＝５ Ω ， L１＝１H ， L２＝２H ， C１＝１F ，

C２＝１／３F ，U ＝２０V ， iS ＝２ × ８sin（２ t ＋４５°）（A）， uS （t）＝２ × １０sin t ＋２ × ５sin（３ t ＋９０°）（V），求流过 L２支路的电流 i 。

题１０图

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