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Programme - Compétences

B31 Modéliser Systèmes asservis · Point de fonctionnement ;

Linéarisation autour d’un

point de fonctionnement

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A. Linéarisation autour d’un point de fonctionnement ....................................................... 3

A.I. Introduction ....................................................................................................................... 3

A.II. Systèmes linéaires et non linéaires ..................................................................................... 3

A.II.1 Equation différentielle linéaire ............................................................................................................. 3

A.II.1.a Définition ....................................................................................................................................... 3

A.II.1.b Exemples ........................................................................................................................................ 4

A.II.1.b.i 1° ordre .................................................................................................................................... 4

A.II.1.b.ii 2° ordre ................................................................................................................................... 4

A.II.1.c Systèmes linéaires et SLCI .............................................................................................................. 4

A.II.2 Equation différentielle non linéaire ...................................................................................................... 5

A.II.2.a Origines des non linéarités ............................................................................................................ 5

A.II.2.a.i Produit de variables ................................................................................................................. 5

A.II.2.a.ii Fonctions mathématiques ...................................................................................................... 5

A.II.2.a.iii Problème lié aux SLCI ............................................................................................................. 5

A.III. Linéarisation d’un système non linéaire ............................................................................ 6

A.III.1 Point de fonctionnement ..................................................................................................................... 6

A.III.2 Méthodes de linéarisation ................................................................................................................... 6

A.III.2.a Développements limités ............................................................................................................... 6

A.III.2.b Dérivées partielles ........................................................................................................................ 8

A.III.3 Etude autour du point de fonctionnement .......................................................................................... 9

A.III.4 Remarque : Cas d’une équation différentielle ................................................................................... 10

A.III.4.a Exemple 1.................................................................................................................................... 10

A.III.4.b Exemple 2 ................................................................................................................................... 11

A.IV. Bilan .............................................................................................................................. 12

A.IV.1 Cas d’un produit de plusieurs variables en entrée ............................................................................ 12

A.IV.2 Cas d’une seule variable d’entrée ...................................................................................................... 13

A.IV.2.a Cas général ................................................................................................................................. 13

A.IV.2.b Cas particuliers linéaires ............................................................................................................. 14

A.IV.2.b.i Affine .................................................................................................................................... 14

A.IV.2.b.ii Linéaire ................................................................................................................................ 14

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A. Linéarisation autour d’un point de

fonctionnement A.I. Introduction

Les équations qui régissent nos systèmes ne sont pas toujours linéaires. Lorsqu’elles le sont, nous

savons étudier le comportement du système avec tout ce qui a été vu dans les chapitres de SLCI.

Lorsque les systèmes sont non linéaires, nos outils peuvent toujours être utiles pour étudier le

comportement du système autour de ce que l’on appelle un point de fonctionnement, autrement dit,

un ensemble de paramètres fixés et n’évoluant « pas trop ».

A.II. Systèmes linéaires et non linéaires

A.II.1 Equation différentielle linéaire

A.II.1.a Définition

Une équation différentielle linéaire se met sous la forme suivante :

𝑠0𝑠(𝑡) + 𝑠1𝑠′(𝑡) + ⋯+ 𝑠𝑛𝑠

(𝑛)(𝑡) = 𝑒0𝑒(𝑡) + 𝑒1𝑒′(𝑡) +⋯+ 𝑒𝑚𝑒

(𝑚)(𝑡)

Avec 𝑠𝑖 et 𝑒𝑖 des coefficients constants.

On peut alors traduire cette équation sous forme matricielle :

𝐾𝐸𝐸(𝑡) = 𝐾𝑆𝑆(𝑡)

Avec :

𝐸(𝑡) = [

𝑒(𝑡)

𝑒′(𝑡)⋮

𝑒(𝑚)(𝑡)

] ; 𝐾𝐸 = [𝑒0 𝑒1 … 𝑒𝑚]

𝑆(𝑡) = [

𝑠(𝑡)

𝑠′(𝑡)⋮

𝑠(𝑛)(𝑡)

] ; 𝐾𝑆 = [𝑠0 𝑠1 … 𝑠𝑛]

Un système d’équations différentielles linéaires est un ensemble d’équations différentielles linéaires.

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A.II.1.b Exemples

A.II.1.b.i 1° ordre

𝑠(𝑡) + 𝑇𝑠′(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡)

𝐸(𝑡) = [𝑒(𝑡)] ; 𝐾𝐸 = [𝐾] ; 𝑆(𝑡) = [𝑠(𝑡)

𝑠′(𝑡)] ; 𝐾𝑆 = [1 𝑇]

On a alors :

𝐾𝐸𝐸(𝑡) = [𝐾][𝑒(𝑡)] = 𝐾𝑒(𝑡)

𝐾𝑆𝑆(𝑡) = [1 𝑇] [𝑠(𝑡)

𝑠′(𝑡)] = 𝑠(𝑡) + 𝑇𝑠′(𝑡)

Soit :

𝑠(𝑡) + 𝑇𝑠′(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡) ⇔ 𝐾𝐸𝐸(𝑡) = 𝐾𝑆𝑆(𝑡)

A.II.1.b.ii 2° ordre

𝑠(𝑡) +2𝑧

𝜔0𝑠′(𝑡) +

1

𝜔02𝑠′′(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡)

𝐸(𝑡) = [𝑒(𝑡)] ; 𝐾𝐸 = [𝐾] ; 𝑆(𝑡) = [𝑠(𝑡)

𝑠′(𝑡)

𝑠′′(𝑡)] ; 𝐾𝑆 = [1

2𝑧

𝜔0

1

𝜔02]

Soit :

𝑠(𝑡) +2𝑧

𝜔0𝑠′(𝑡) +

1

𝜔02𝑠′′(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡) ⇔ 𝐾𝐸𝐸(𝑡) = 𝐾𝑆𝑆(𝑡)

A.II.1.c Systèmes linéaires et SLCI

A partir du moment ou un système est linéaire, il est possible de représenter la relation entrée sortie

à l’aide d’une fonction de transfert :

𝑠0𝑠(𝑡) + 𝑠1𝑠′(𝑡) + ⋯+ 𝑠𝑛𝑠

(𝑛)(𝑡) = 𝑒0𝑒(𝑡) + 𝑒1𝑠′(𝑡) + ⋯+ 𝑒𝑚𝑒

(𝑚)(𝑡)

Supposons les conditions initiales nulles afin de simplifier les calculs (sinon présence de 2 fonctions de

transfert…)

(𝑠0 + 𝑠1𝑝 +⋯+ 𝑠𝑛𝑝𝑛)𝑆(𝑃) = (𝑒0 + 𝑒1𝑝 +⋯+ 𝑒𝑚𝑝

𝑚)𝐸(𝑝)

𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)

𝐸(𝑝)=𝑒0 + 𝑒1𝑝 +⋯+ 𝑒𝑚𝑝

𝑚

𝑠0 + 𝑠1𝑝 +⋯+ 𝑠𝑛𝑝𝑛

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A.II.2 Equation différentielle non linéaire

A.II.2.a Origines des non linéarités

Une équation différentielle non linéaire ne peut pas se mettre sous forme matricielle avec des

coefficients constants comme vu précédemment. On trouve généralement deux origines aux non

linéarités :

- Produit de variables

- Fonctions mathématiques

A.II.2.a.i Produit de variables

La première origine simple de non linéarité est la présence d’un produit de plusieurs variables d’entrée

produisant un effet sur la sortie.

Voici un exemple très simple :

𝑠(𝑡) = 𝑒1(𝑡)𝑒2(𝑡)

Nous traiterons un exemple de débit de fuite d’un système de régulation de niveau d’eau qui dépend

à la fait de la hauteur d’eau dans le réservoir (pression) et de la section du trou de fuite…

A.II.2.a.ii Fonctions mathématiques

La seconde origine classique des non linéarités est la présence d’une fonction mathématique (cos, sin,

log, exp…) sur une variable d’entrée ou de sortie.

Voici un exemple simple :

𝑠(𝑡) = √𝑒(𝑡)

A.II.2.a.iii Problème lié aux SLCI

Avec un système non linéaire, il n’est plus possible d’exprimer une fonction de transfert liant entrée

et sortie dans le domaine de Laplace.

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A.III. Linéarisation d’un système non linéaire

Dès qu’un système est non linéaire, il est possible de le transformer en un système linéaire autour d’un

point de fonctionnement.

Nous allons illustrer les méthodes de linéarisation autour d’un point de fonctionnement à l’aide de

l’équation suivante :

𝑠(𝑡) = 𝑢(𝑡)√𝑣(𝑡)

Elle cumule le produit de deux variables et une fonction mathématique.

A.III.1 Point de fonctionnement

Un point de fonctionnement peut être défini comme un état des variables entrée/sortie qui vérifie

l’équation différentielle et autour duquel on va étudier l’influence de petites variations des entrées sur

la sortie.

Dans notre cas, le point de fonctionnement sera (𝑠𝑓 , 𝑢𝑓 , 𝑣𝑓) tel que :

𝑠𝑓 = 𝑢𝑓√𝑣𝑓

A.III.2 Méthodes de linéarisation

A.III.2.a Développements limités

La première idée consiste à poser des variables au point de fonctionnement et de réécrire l’équation

non linéaire en ce point de fonctionnement et en un point peu éloigné, puis de faire la différence de

ces deux équations.

On écrit toutes les variables sous la forme d’une valeur au point de fonctionnement plus une petite

variation :

𝑥(𝑡) = 𝑥𝑓 + 𝑑𝑥(𝑡)

On a donc :

{

𝑠(𝑡) = 𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡)

𝑢(𝑡) = 𝑢𝑓 + 𝑑𝑢(𝑡)

𝑣(𝑡) = 𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)

On remplace alors ces variables définies autour du point de fonctionnement (𝑠𝑓 , 𝑢𝑓 , 𝑣𝑓) dans

l’équation initiale :

𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡) = (𝑢𝑓 + 𝑑𝑢(𝑡))√𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)

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On développe dans un premier temps l’expression :

𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡) = 𝑢𝑓√𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡) + 𝑑𝑢(𝑡)√𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)

On utilise ensuite les développements de Taylor des fonctions présentes :

𝑓(𝑥 + 𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑑𝑥𝑓′(𝑥) + 𝑜(𝑑𝑥)

√𝑥 + 𝑑𝑥 = √𝑥 +𝑑𝑥

2√𝑥+ 𝑜(𝑑𝑥)

Soit :

𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡) = 𝑢𝑓 (√𝑣𝑓 +𝑑𝑣(𝑡)

2√𝑣𝑓) + 𝑑𝑢(𝑡) (√𝑣𝑓 +

𝑑𝑣(𝑡)

2√𝑣𝑓)

𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡) = 𝑢𝑓√𝑣𝑓 + 𝑢𝑓𝑑𝑣(𝑡)

2√𝑣𝑓+√𝑣𝑓𝑑𝑢(𝑡) +

𝑑𝑣(𝑡)𝑑𝑢(𝑡)

2√𝑣𝑓

On néglige alors les termes en 𝑑𝑣(𝑡)𝑑𝑢(𝑡) :

𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡) = 𝑢𝑓√𝑣𝑓 + 𝑢𝑓𝑑𝑣(𝑡)

2√𝑣𝑓+√𝑣𝑓𝑑𝑢(𝑡)

Enfin, comme les variables au point de fonctionnement vérifient l’équation, on a :

𝑠𝑓 = 𝑢𝑓√𝑣𝑓

On retranche les deux équations et on obtient :

𝑑𝑠(𝑡) =𝑢𝑓

2√𝑣𝑓𝑑𝑣(𝑡) + √𝑣𝑓𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑠(𝑡) = 𝐴𝑑𝑣(𝑡) + 𝐵𝑑𝑢(𝑡) ; {𝐴 =

𝑢𝑓

2√𝑣𝑓

𝐵 = √𝑣𝑓

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A.III.2.b Dérivées partielles

La seconde méthode consiste à écrire des dérivées partielles.

En effet, en se plaçant au point de fonctionnement (𝑠𝑓 , 𝑢𝑓 , 𝑣𝑓), on a :

𝑑𝑠(𝑡) =𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑢𝑑𝑢(𝑡) +

𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑣𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑠(𝑡) = 𝐵𝑑𝑢(𝑡) + 𝐴𝑑𝑣(𝑡) ;

{

𝐴 = (

𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑣)𝑢𝑓,𝑣𝑓

𝐵 = (𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑢)𝑢𝑓,𝑣𝑓

(𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑣)𝑢𝑓,𝑣𝑓

= (𝜕 (𝑢(𝑡)√𝑣(𝑡))

𝜕𝑣)

𝑢𝑓,𝑣𝑓

= 𝑢𝑓 (𝜕 (√𝑣(𝑡))

𝜕𝑣)

𝑢𝑓,𝑣𝑓

= (𝑢𝑓

2√𝑣(𝑡))

𝑢𝑓,𝑣𝑓

=𝑢𝑓

2√𝑣𝑓

(𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑢)𝑢𝑓,𝑣𝑓

= √𝑣𝑓𝜕𝑢(𝑡)

𝜕𝑢= √𝑣𝑓

Soit :

{𝐴 =

𝑢𝑓

2√𝑣𝑓

𝐵 = √𝑣𝑓

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A.III.3 Etude autour du point de fonctionnement

On obtient une équation différentielle linéaire à coefficients « constants » en un point de

fonctionnement.

𝑑𝑠(𝑡) = 𝐴𝑑𝑣(𝑡) + 𝐵𝑑𝑢(𝑡) ; {𝐴 =

𝑢𝑓

2√𝑣𝑓

𝐵 = √𝑣𝑓

On peut modéliser le système à l’aide de schémas blocs autour du point de fonctionnement :

On remarquera que les conditions initiales sont nulles. On veillera à interpréter les résultats comme

des variations autour du point de fonctionnement. D’éventuelles saturations par exemple devront être

redéfinies proprement.

Il faudra alors étudier le système pour tous les points de fonctionnement existant afin de caractériser

complètement son comportement. On veillera, autour de chaque point de fonctionnement, à vérifier

que les évolutions de toutes les variables « 𝑑𝑥 » sont « assez faibles » pour que les résultats soient

cohérents.

𝐴

𝐵 +

+

𝑑𝑠

𝑑𝑣

𝑑𝑢

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A.III.4 Remarque : Cas d’une équation différentielle

A.III.4.a Exemple 1

Soit l’équation :

𝑑𝑠(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)

La linéarisation se réalise de la même manière que dans l’exemple précédent en posant :

{

𝑢(𝑡) = 𝑢𝑓 + 𝑑𝑢(𝑡)

𝑣(𝑡) = 𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)

𝑠′(𝑡) = 𝑠𝑓′ + 𝑑𝑠′(𝑡)

Au point de fonctionnement, on a :

𝑠𝑓′ = 𝑢𝑓𝑣𝑓

L’équation différentielle s’écrit :

𝑠𝑓′ + 𝑑𝑠′(𝑡) = (𝑢𝑓 + 𝑑𝑢(𝑡)) + (𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)) = ⋯ = 𝑢𝑓𝑣𝑓 + 𝑢𝑓𝑑𝑣(𝑡) + 𝑣𝑓𝑑𝑢(𝑡) + 𝑑𝑢(𝑡)𝑑𝑣(𝑡)

On obtient alors :

𝑑𝑠′(𝑡) = 𝑢𝑓𝑑𝑣(𝑡) + 𝑣𝑓𝑑𝑢(𝑡)

Soit dans le domaine de Laplace :

𝑝𝑑𝑆(𝑝) = 𝑢𝑓𝑑𝑉(𝑝) + 𝑣𝑓𝑑𝑈(𝑃)

𝑑𝑆(𝑝) =1

𝑝[𝑢𝑓𝑑𝑉(𝑝) + 𝑣𝑓𝑑𝑈(𝑃)]

Soit le schéma bloc :

𝑣𝑓

𝑢𝑓 +

+

𝑑𝑆

𝑑𝑈

𝑑𝑉 1

𝑝

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A.III.4.b Exemple 2

Soit l’équation :

𝑠(𝑡) =𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡𝑣(𝑡)

La linéarisation se réalise de la même manière que dans l’exemple précédent en posant :

{

𝑠(𝑡) = 𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡)

𝑢′(𝑡) = 𝑢𝑓′ + 𝑑𝑢′(𝑡)

𝑣(𝑡) = 𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)

Au point de fonctionnement, on a :

𝑠𝑓 = 𝑢𝑓′𝑣𝑓

L’équation différentielle s’écrit :

𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡) = (𝑢𝑓′ + 𝑑𝑢′(𝑡)) + (𝑣𝑓 + 𝑑𝑣(𝑡)) = ⋯ = 𝑢𝑓

′𝑣𝑓 + 𝑢𝑓𝑑𝑣(𝑡) + 𝑣𝑓𝑑𝑢′(𝑡) + 𝑑𝑢′(𝑡)𝑑𝑣(𝑡)

On obtient alors :

𝑑𝑠(𝑡) = 𝑢𝑓𝑑𝑣(𝑡) + 𝑣𝑓𝑑𝑢′(𝑡)

Soit dans le domaine de Laplace :

𝑑𝑆(𝑝) = 𝑢𝑓𝑑𝑉(𝑝) + 𝑣𝑓𝑝𝑑𝑈(𝑃)

Soit le schéma bloc :

𝑣𝑓

𝑢𝑓 +

+ 𝑑𝑆

𝑑𝑈

𝑑𝑉

𝑝

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A.IV. Bilan

A.IV.1 Cas d’un produit de plusieurs variables en entrée

Comme nous venons de le montrer dans l’exemple du cours, on doit obligatoirement linéariser le

système autour d’un point de fonctionnement 𝑃𝑓(𝑒𝑓1, 𝑒𝑓

2, … 𝑒𝑓𝑛, 𝑠𝑓) tel que :

𝐾𝑖 = (𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑒𝑖)𝑃𝑓

On a alors :

{𝑒𝑓𝑖(𝑡) = 𝑒𝑓

𝑖 + 𝑑𝑒𝑖(𝑡) ∀𝑖 ∈ [1, 𝑛]

𝑠𝑓(𝑡) = 𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡)

𝐾𝑛 𝑑𝑒𝑛

+

𝐾1

… +

+

𝑑𝑠

𝑑𝑒1

…

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A.IV.2 Cas d’une seule variable d’entrée

A.IV.2.a Cas général

Lorsqu’il y a une seule variable d’entrée, on peut approcher simplement le système en utilisant

l’équation de la droite tangente à la courbe au point étudié.

Soit l’exemple suivant :

La tangente en 𝑃𝑓 à la courbe a une équation 𝑦𝑓 = 𝑎𝑓𝑥 + 𝑏𝑓. Etudions la solution autour d’un point

de fonctionnement quelconque 𝑃𝑓(𝑒𝑓 , 𝑠𝑓) avec :

{𝑒(𝑡) = 𝑒𝑓 + 𝑑𝑒(𝑡)

𝑠(𝑡) = 𝑠𝑓 + 𝑑𝑠(𝑡)

Linéarisons le système autour de 𝑃𝑓 : 𝑑𝑠(𝑡) =𝜕𝑠(𝑡)

𝜕𝑒𝑑𝑒(𝑡) = 𝑎𝑓𝑑𝑒(𝑡). On peut proposer le modèle

suivant :

Ce modèle est réaliste tant que 𝑑𝑒(𝑡) et 𝑑𝑠(𝑡) sont « assez petits ».

Le comportement local autour de 𝑃𝑓 peut toutefois être aussi modélisé par le système suivant :

En ayant conscience que 𝑎𝑓 et 𝑏𝑓 dépendent du point de fonctionnement.

𝑎𝑓 𝑑𝐸 𝑑𝑆

𝑎𝑓 +

+ 𝑆 𝐸

𝑏𝑓

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A.IV.2.b Cas particuliers linéaires

A.IV.2.b.i Affine

On peut proposer le modèle suivant, valable sur toute la plage d’utilisation du système :

A.IV.2.b.ii Linéaire

Dans ce cas, b est nul. Le modèle classique suivant est obtenu :

𝑎 𝐸 𝑆

𝑎 +

+ 𝑆 𝐸

𝑏