equation différentielle de 2 ème ordre

Equation différentielle de 2ème ordreElaboré par M. NUTH Sothan

ED1

2

I. Notion généralDéf.:

F(x, y, y’,y ’’) = 0 (1)où x est une variable, y est une fonction de variable x ,

y’ sa dérivée 1ère et y’’ sa dérivée second.s’appelle équation différentielle de 2ème ordre.

On peut résoudre par rapport y’’ :y’’=f(x, y, y’) (1’)

ED1

3

I. Notion général…Th.de Cauchy:

Si f(x, y, y’), f ’ y(x, y, y’), f ’ y’(x, y, y’) sont définies et

continues dans G, alors il existe uniquement

la solution de l’équation y’’=f(x, y, y’) à l’intérieur

d’un point (x0 , y0 , y0’ ) G , vérifiant la CI

y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 . (2)

ED1

4

II. Solution…Déf.1: La solution générale de (1) est une fonction

y=(x, c1 , c2), xG et c1 , c2 sont des constants,qui vérifie (1) et pour toute CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 ,(x0 , y0) G, il existe uniquement c1 = c1 0, c2=c2 0 tel

que la fonction y=(x, c1 , c2) implique (x0 , c1 0, c2 0)=y0 .

ED1

5

II. Solution…Déf.2: La solution partielle de (1) est une fonction

y= (x0 , c1 0, c2 0) obtenue de y=(x, c1 , c2) de (1) pour c1 = c1 0, c2=c2 0 vérifiant la CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 .

Ex.: y’’= 2 On a: y’=2x + c1

Et: y=x2 + c1 x + c2 . est une SG , où c1 et c2 sont des constants.

ED1

6

III. Cas d’abaissementConsidérons :

y’’=f (x, y, y’) On peut ramener à une ED du 1er ordre.

1. ED de la forme y’’=f(x) ou y’’=f(x,y’)En posant z(x)=y’, on obtient l’ED du 1er ordre.

Ex.1: y’’=x.

Ex.2: ''' 3 yy x

x

ED1

7

III. Cas d’abaissement…2. ED de la forme y’’=f(y, y’)

En posant z(x)=y’ et

on obtient l’ED du 1er ordre.

Ex.3:

' ''' dy dy dy dz dy dzy zdx dy dx dy dx dy

2'' 2 ' 0yy y

ED1

8

IV. EDL de 2ème ordreConsidérons :

y’’+ P(x)y’ + q(x)y = f(x) (1)Si f(x)=0, on a :

y’’+ P(x)y’ + q(x)y = 0 (2)qui s’appelle homogène,sinon s’appelle non-homogène.Th.1: Si y1(x) et y2(x) sont les solution de (2), alors

y= c1 y1(x) + c2 y2(x)est aussi la solution de (2) pour touts c1 et c2 .

ED1

9

IV. EDL de 2ème ordre…Th.2: Si y1(x) et y2(x) sont LD sur (a, b), alors :

Th.3: Si y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors W(x) 0.

Th.4: Si les solution y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors y= c1 y1(x) + c2 y2(x) est la solution générale de (2) pour touts c1 et c2 .

1 2' '1 2

( ) 0y y

W xy y

ED1

10

IV. EDL de 2ème ordre…Ex.: y’’ y =0.On a y1(x) = ex et y2(x) = e-x et

Problème: Si l’une des solutions est connue, est-ce qu’on peut trouver la SG de (2).

Soit y1(x) est une solution de (2). En posant y= y1(x)z la SG de (2). Après la résolution, on trouve:

( ) 2x x

x x

e eW x

e e

( )11 2 12

1

p x dxcy y e dx c yy

ED1

11

IV. EDL de 2ème ordre…Th.5: SG(1)=SPNH(1) + SGH(2).

Problème: Trouvons la SPNH(1) en utilisant la SGH(2).

Soit y= c1 y1(x) + c2 y2(x) la SGH(2).Posons y= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) la SPNH(1).En remplaçant dans (1), on trouve c1(x) et c2(x) de

' '1 1 2 2' ' ' '1 1 2 2

0( )

c y c yc y c y f x

ED1

12

IV. EDL de 2ème ordre…Ex.: y’’ – y = x.On a Y(x)=C1 ex + C2 e-x SGHPosons SPNHPour trouver C1(x) et C2(x) il faut résoudre le système

On obtient:

' '1 2' '1 2

( ) ( ) 0( ) ( )

x x

x x

c x e c x ec x e c x e x

1 2( ) ( ) ( )x xy x C x e C x e

1 21 1( ) ( 1) , ( ) ( 1)2 2

x xC x x e C x x e

ED1

13

IV. EDL de 2ème ordre…On trouve SPNHEt la SGNH sous forme

( )y x x

1 2( ) ( ) ( ) x xy x y x Y x x C e C e

ED1

14

V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant

Considérons: (1)où p et q sont constants réels.Considérons l’ÉC: (2)Th1.: Si k est un racine réel de l’équation (2), alors

y=ekx est une solution de (1)Th2.: Si k= i est un racine complexe de l’équation

(2), alors y1=ex cosx et y2=ex sinx sont des solutions de (1).

" ' 0y py qy

2 0k pk q

ED1

15

V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant… Th3.: Si les racines de (2) sont k1 k2 R, alors la

solution de (1) est

Th4.: Si les racines de (2) sont k1 = k2 = kR, alors la solution de (1) est

Th5.: Si les racines de (2) sont k= i , alors la solution de (1) est

1 21 2

k x k xy C e C e

1 2kx kxy C e C xe

1 2( cos sin )xy e C x C x

ED1

16

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constantConsidérons:Trouvons la SPNH:1/ f(x)=Pn(x)Où La SPNH sous formeOù Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre

de racines de l’EC qui sont égal à 0.

Ex.:

" ' ( )y py qy f x

10 1 1( ) ...n n

n nP x a x a x a x a

( ) rny Q x x

" 2 ' 0y y y

ED1

17

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…2/ f(x)=ex Pn(x)Où Pn(x) est le polynôme de degré n La SPNH sous formeOù Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre

de racines de l’EC qui sont égal à .

Ex.:

( ) x rny Q x e x

" 4 ' 3 xy y y xe

ED1

18

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…3/ f(x)= a cosx +b sinx

La SPNH sous formeOù r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à

i.

Ex.:

( cos sin ) ry A x B x x

" siny y x

ED1

19

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…En général, si Alors Où PT(x) et QT(x) sont les polynômes de degré T

=Max(m,n) et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à i.

R.: On peut trouver la SPNH par le méthode de variation de constant.

( ( ) cos ( )sin )x rT Ty e P x x Q x x x

( ) ( ( ) cos ( )sin )xm nf x e P x x Q x x

ED1

20

VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…Th.: Si est la SPNH deet si est la SPNH deAlors est la SPNH de

Ex.1:Ex.2:Ex.3:Ex.4:

" sin 2y y x

1y 1" ' ( )y py qy f x 2y 2" ' ( )y py qy f x

1 2y y y

1 2" ' ( ) ( )y py qy f x f x

" 2 ' sin xy y y x e "' 13 " 12 ' 0y y y

2"' " 1 3 xy y x xe

ED1

21

VII. Equation d’EulerConsidérons

Où a, b, A1 , . . . , An sont des constants.Posons

( ) 1 ( 1)1

1

( ) ( ) ...( ) ( )

n n n n

n n

ax b y A ax b yA ax b y A y f x

22 2

2

3 23 3

3 2

' , "

"' 3 2 ...

t t t

t t

t

dy dyax b e adx e dt a edt dx

dy d y dyy ae y a edt dt dt

d y d y dyy a edt dt dt

ED1

22

VII. Equation d’EulerOn obtient EDL à coefficient constant.Ex.:

Posons

On obtient

2 " ' 1x y xy y 2 2

22 2

t t tdy dy d y d y dyx e e edx dt dx dt dt

2

2 1d y ydt

ED1

23

VIII. Système de l’ED ordinaireIl faut trouver les solutions qui sont vérifiées le

système de l’ED.Considérons

11 1 2

22 1 2

1 2

( , , ,..., ) ,

( , , ,..., ) , (1)

... ... ............................ ,

( , , ,..., ) ,

n

n

nn n

dy f x y y ydxdy f x y y ydx

dyf x y y y

dx

ED1

24

VIII. Système de l’ED ordinaire…Où y1 , y2 ,…, yn sont des fonction et x est une variable.Après l’intégrale (1), on définie y1 , y2 ,…, yn qui

vérifient les CI :

Faire la dérivée la 1ère équation de (1) par x , on obtient:

0 0 0 01 10 2 20 3 30 0, , ,..., (2)n nx x x x x x x x

y y y y y y y y

21 1 1 1 1

21

... n

n

dyd y f f dy fdx x y dx y dx

ED1

25

VIII. Système de l’ED ordinaire…En remplaçant , on obtient:

Faisant de même façon, on obtient:

1 2, ,..., ndydy dydx dx dx

21

2 12 ( , ,..., )nd y F x y ydx

31 1

3 1 13 ( , ,..., ),..., ( , ,..., )n

n n nn

d y d yF x y y F x y ydx dx

ED1

26

VIII. Système de l’ED ordinaire…On trouve le système:

11 1

21

2 12

11

( , ,..., ),

( , ,..., ),(3)

...................................,

( , ,..., ),

n

n

n

n nn

dy f x y ydxd y F x y ydx

d y F x y ydx

ED1

27

VIII. Système de l’ED ordinaire…

De n – 1 première on peut définir y2 , y3 ,…, yn en

fonction de x, y1 , et : ' ( 1)

2 2 1 1 1

' ( 1)3 3 1 1 1

' ( 1)1 1 1

( , , ..., ),

( , , ..., ),(4)

.......................................,

( , , ..., ),

n

n

nn n

y x y y y

y x y y y

y x y y y

2 11 1 1

2 1, ,...,n

n

dy d y d ydx dx dx

ED1

28


En remplaçant dans la dernière équation de (3), on

obtient une équation de nème ordre:

Après résoudre (5), on trouve:

Faisant les dérivées, on obtient:

' ( 1)11 1 1( , , ,..., ) (5)

nn

n

d y x y y ydx

1 2 1 2( , , ,..., ) (6)ny x C C C

2 11 1 1

2 1, ,...,n

n

dy d y d ydx dx dx

ED1

29


En remplaçant dans (4), on obtient:

2 2 1 2

3 3 1 2

1 2

( , , ..., ),( , , ..., ),

(7).......................................,

( , , ..., ),

n

n

n n n

y x C C Cy x C C C

y x C C C

ED1

30


Ex.:

Dériver la 1ère équation par x:

En remplaçant y’ et z’ , on obtient:

0 0

, 4 3 2

1, 0,x x

dy dzy z x y z xdx dxy z

2

2 1d y dy dzdx dx dx

2

2

2

2

( 1) ( 4 3 2 ) 1

3 2 3 1

d y y z y z xdxd y y z xdx

ED1

31


Or, de la 1ère équation

On obtient:

EDL de 2ème ordre à coefficient constant.

dy dyy z x z y xdx dx

2

2

2

2

3 2( ) 3 1

2 5 1

d y dyy y x xdx dxd y dy y xdx dx

ED1

32


Ex.:

De (a), on a

(a)

(b)

(c)

dx y zdtdy x zdtdz x ydt

2

2 ( ) ( ) 2 .d x dy dz x z x y x y zdt dt dt

2

2 2 2d x dxx y z xdt dt

ED1

33


Ex.1: Ex.2:

Ex.3: Ex.4:

dy zdxdz ydx

5

3

dy y zdxdz y zdx

dy y zdxdz x y zdx

2 sin

4 2 cos

dy y z xdxdz y z xdx

ED1

34


On peut résoudre le système de ED d’ordre supérieur.

Considérons:

Posons:

2

2

2

2

( , , , , )

( , , , , )

x

x

d x dx dym F t x ydt dt dtd y dx dym F t x ydt dt dt

2 2

2 2, ,dx dy d x du d y dvu vdt dt dt dt dt dt

ED1

35


Alors:

Ex.:

Dériver la 1ère deux fois par x : , or

On a: est une EDL de 4ème ordre.

2 2

2 2

, ,

, .

dx dyu vdt dtd x du d y dvdt dt dt dt

2 2

2 2, .d y d zz ydx dx

4 2

4 2

d y d zdx dx

2

2

d ydx4

4

d y ydx

ED1

36

IX. Système de l’ED à coefficient constant

Considérons:

Où aij est constant, x(t) est une fonction de variable t .

111 1 12 2 1

221 1 22 2 2

1 1 2 2

...

... (1)

...... .. .....................................

...

n n

n n

nn n nn n

dx a x a x a xdtdx a x a x a xdt

dxa x a x a x

dt

ED1

37

IX. Système de l’ED à coefficient constant…

On va trouver la solution particulière sous forme:

Il faut trouver et k pour que vérifient (1).En replaçant (2) dans (1), on obtient:

1 1 2 2, ,..., . (2)kt kt ktn nx e x e x e

1 2, ,..., n

1 2, ,...,kt kt ktne e e

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

( ... )( ... )

...... .. .....................................( ... )

kt ktn n

kt ktn n

kt ktn n n nn n

k e a x a x a x ek e a x a x a x e

k e a x a x a x e

ED1

38


On obtient:

Le déterminant de (3) est:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

( ) ... 0( ) ... 0

(3)............................................... .. ..

... ( ) 0

n n

n n

n n nn n

a k a aa a k a

a a a k

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ...( ) ...

( ) (4)............. ............. ... .............

... ( )

n

n

n n nn

a k a aa a k a

k

a a a k

ED1

39


Si 0, (3) a une solution triviale: doncAlors, il faut trouver k pour que =0.

On obtient l’équation caractéristique de (1) qui a les racines de types suivantes:

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ...( ) ...

0 (5)............. ............. ... .............

... ( )

n

n

n n nn

a k a aa a k a

a a a k

1 2 ... 0n 1 2( ) ( ) ... ( ) 0nx t x t x t

ED1

40


1. Racines réelles différentes: k1 , k2 ,…, kn .Pour k=ki , on trouve et

De même manière pour k=kn et on obtient:

Où c1 , c2 ,…,cn sont des constants.

( ) ( ) ( )1 2, ,..., ,i i i

n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, ,..., .i i ik t k t k ti i i i i

n nx e x e x e

1 2

1 2

1 2

(1) (2) ( )1 1 1 2 1 1

(1) (2) ( )2 1 2 2 2 2

(1) (2) ( )1 2

...

... (6)

...... .. ........................................

n

n

n

k tk t k t nn

k tk t k t nn

k tk t k t nn n n n n

x c e c e c ex c e c e c e

x c e c e c e

ED1

41


Ex.:

L’équation caractéristique:Ou Et les racines réels: k1 = 1 , k2 = 4.Les solutions:

1 21 2 1 22 2 , 3 .dx dxx x x x

dt dt

2 20

1 3k

k

2 5 4 0k k

(1) (1) (1) (1)1 1 2 2

(2) (2) 4 (2) (2) 41 1 2 2

, ,, .

t t

t t

x e x ex e x e

ED1

42


Pour k1 = 1, on définie du système

ou

En finLa solution:

(1) (1)1 2

(1) (1)1 2

(2 1) 2 01 (3 1) 0

(1) (1)1 2 et

(1) (1)1 2(1) (1)1 2

2 02 0

(1) (1)1 2

1=1 et 2

(1) (1)1 2=e ,

2

tt ex x

ED1

43


Pour k1 = 4, on définie du système

ouetEn fin

(2) (2)1 2

(2) (2)1 2

2 2 00

(2) (2)1 2 et

(1) (1)1 2=1 et 1

(2) 4 (2) 41 2=e , et tx x

41 1 2

42 1 2

12

t t

t t

x c e c e

x c e c e

equation différentielle de 2 ème ordre

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