liouville, j. - sur une Équation différentielle du 1ª ordre
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Sur une équationdifférentielle du premier
ordre / par JosephLiouville
Source gallica.bnf.fr / Ecole Polytechnique
Liouville, Joseph. Sur une équation différentielle du premier ordre / par Joseph Liouville. 1892.
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LiOUVILLE, JOSEPH
Sur une cqM~~oyt
différentielle du le
ordre
Gauthier-ViMars
Paris 1892
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t~ .J't-
~"f~
StJH t~E ËQLATIONDIFFERENTIELLE
OUPUMIIKHOaUtŒ,
Pu< M H JHOtJVtLIjE
'L
Hatphen a consacre deux \otes, insérées les et t~ mars i8y<) dans
les 6'ow/'<M /v' /c~f/c//</<' r/M ~'c/p/<f'M, i( )\'t«dc dp t'cquattot)
suivante
'A.~f )')–{~'
.r ,'s7T',T'"
dont il a donné t'intégt'atf, suit a t'aidf des fonctions euiptiqncs, soit
même sous forme atgchriqnc
Lorsqu~on y prend pour variabte ) et {)0))t inconnue
~.r- i
elle se change en une autre
(.) ) ~-(.r~-) t -8)-+-7.)~X'==o,
d'un type nni !< et~ le snjt't de ptnsienrs rephercttcs, parce qn'if donne
lieu n des exemptes sin)p)cs et que les mcthodes (jui s'y apptiquent
s'étendent souvent n des équations )noins particntieres.u senntle y :)\oir qoetqne intérêt n rapprocher des résultats ctabtis par
?. DOUVtt.t.E.
Mutphcn ce thcon'me, rotatif a (tes équations de otCtne espèce, ntttis dis
tinct et obtenu d'une maniete toute ditfet'ente
//C</M<(<< ~P/f//f
< + !~j' ~) )~ -r- .M,-t' +- /<, -=
M< /g-<t~ A'7 e.<'M- e/f les r(M~<('A <e//e f-o/< /f.)- /'e/ft-
«o/M
//< – //<, == o. m~ – -+- n//t, H', o,
~M/ e/< cer(a</M c~ f/'c~'ce~~o~ .ng'/m/M /M</<. <~</a/ /'c</MCt~o/<
HM/HC/MP
//<, – A '~A – ==: o
t/~t'M/Mc </M ~a/e//y. f'f<~uw~M ~e /<, /<<~g'/a~'o/< M /«'« /~M/' des'
/o/<etM/!j /~crc/KM UMe//</?~«e~.
Votci comment on peut démontre)' ta proposition précédente. Je dénnis
une variable nouvette Y par ta rctation ), de sorte que i'eqnation (~
devienne
3Y~3("+~)~-–+ '+3w,.r-)-?j==o
et je pose
I(4 ) -t- .r -<- ~f- + =
avec ces conditions
a(/t-h ~-)-==; //<,+~ -o, /=–/<
Wj /< /<;jfy
I-a ~~Ilty t·~ )lI ï -i-- 1·,",7– -t ~+-~
f,
SOt! UNK ~Q~A~OM ntfF~mWT)Ht.r: f)U PREMtKK ORDRE. t83
pour (déterminer tfs constantes < je suppose enfin qoc
cettefetation
(') ~)" ~~j'
soit satisfnite (i'etfe-mone t\'qufttion '3) se transfbnnp en une auttc.
<tu spcuud ord)' (p< on peut rf'pt'esenter aixsi
..i <(6,
+~ +% o,
en prenant
[~
-7~ j
ti'1'1f),=:0:
1)
lt.iy_-ï,131l1,
3/ ,+ f. IrIl
..y~,=~ ~3~J.
Ce)a étant, j'imagine qu'i) y ait cntte tfs constantes //< et /< de t'équation
proposée ('<) une retittion par suite de taonene ?., ==:o, c'est-a-<nre
(8' ~+// 3–n/<==:o, onhien ~–==o;
i) pstctair que l'équation 6) entraîne ce))e-ci, qui renferme une constante
arbitraire C,
1 I 1 rl1 )2L.W
~J(~)+{~~
~î0 .)
')o.~<- ''J ;)_ 3~. -+- L ==
D'aitjetn"~ 0) \-<'rt)) dt'.s rctittion-. 3 <'t ( on
(.u. ~-<3.J.=<.
et cette identité, jointe a t'cquatimt preeedchh', demontrt' te !ht'o)'t')))c
énonce.
t~4 't. tJO~VH.t.X.
f<a transtbrn~tiuo ~), dont j'ai tait usu~c, a été indiquée di'nt un
Métttoirc /M WtWf~ r/f <"cr~Mt'.y ~n'o~.f <p/<p.s-, puhtié 0)
)88c) dans le Y<w/w// r/c/i'c~/c ~L'~e~M/~f, Ll\Cahier, nmis,n'fn
ayant pas {ait t'appucation spt'ciatp aux c~uatiotM (') je n'avais pus
sigoate les itttf~t'ations co)))p!ctes qu'eUe pet'mft d'obtotif'.
i) reste a exprime)' les rouditions (5) et ,8 En y )'0)t'<ta<ant tescon-
stnntcs par tours waleurs, détluites clu système ,4\ on recoxnatt
que ta p)f)nicre peut 6t)e écrite
(t i ~)~t – 3~ -+- <w,~ ='- o,
pendant qm de )a seconde i) rcsuit''
/=- r,==/< – .< )
Une exception se présente, lorsque /<, est mu. Ators
(~3~t H/=-~W,, /j--W,
~–3/ w.~ r,~ /+-
et, si )a condition
('~ w,=r,)-
est vérifiée, t'uqoatiot) proposéese transforme en nne antre (le )))('')))<'
espèce.
Un cas fort curieux s'obtient, quand les constantes w.~ pcnvent
être annutées à la fois; t'équation (tonnée se réduit ators il celle-ri, dans
iaqueue sont arbitraires,
t' +- /<r'< --o:
< ~<'
SUR UNE ÉQMATtON MFt~ttKNttKhLK t)U PttHMtKR OBDHE. )85
/,Ji'/AfV</<«'r.
·
Í
les substitutionsindiquées s'expriment,
en résumé, parle
système
~-+-
(t6)
d.I' JY 2'J-
"3'L,
1-+- .<== u
et, en y joignant la relation
</Y <
~~V~
je suis conduit a t'équation suivante
(~7)~-+~U'+-=o.
qui ne diffère df ht preMiiërc que par les notations.
Ainsi les équations du type !,t5) se reproduisent par les suhstitutioxs
(16) et, ces dernières pouvant 6tre appliquées un nombrequelconque
de fois, il y a une infinité de transformations qui changent en elles-mêmes
les équations dont il s'agit et dont t'intcgrate n'est d'ailleurs pas connue.
La seconde exception répond a t'hypothèse 3 n/<==o, les coeffi-
cients /K,, ~j, doivent en ce cas s'évanouir; t'egatite () )) n'est plus né-
cessaire, mais elle est remptacée par ta suivante
(.8) ~==<
et voici donc comment se représente l'équation proposée
('9) ~:+(~+w< ).)-'+3~v+~,)~==o.(t9) rÎ,r~+(rlirr_.n.nr,),)''+i(rr.r.lr.,`,y'=o.
Les substitutions mentionnées rattachent son intégration a cette d'une
équationde Hiccati
~.r /3/<
( .<+
)
l,
r!1 -t-lrs;i'ln~f-nt,l~+~;
!<? K. MOHVtt,tt&. StUt UNE EQUATtON MffKNMTtMM.K~ KTC.
FIN DU LXtt'' C~H)EH.
f{nant a ht constante A dont elle dépend, il est ctthf qu'on en peut d!spoact'à vutontc, puisqn'etfp est pour Y simplement addtttvc. J'at déjà, dans un
autre ira van, mt~gt'c un ca& patticntier de t'équation (t~) (6'~K/~M /w<-
</Mj-, t'< septembre t88y).
~nth), si ~A– t'st t)))t (tans ('équation (~), to~<t, rptxphtcc
iLJ.t', /<– .)
maiit la réduction aux quadratures persiste sans difticutté nouvette.
t~M ''nus.–)M)'tUMm));UAtT))));n-vt).nn)-)r)'n.s.ot~)m:suMtxus-Att.tsTtxs. M.
TABLE DES MATIÈRES.
?«(!<DISPOSITION PMOFM A HENDKK LE PENDULE fSOOtRONK pat' M. /«7~ )
SUR LES <tAYOM CB COUnBURt! DE CEttTAtXM COCKBHS KT KCKMOiS BT ES PARTICULIER DES
COL'nBBS ET SURFACES UJ! LANt par M. /?<Go~-oy. 37
SUR LA TntOHtB DES EQUATtOKS DtF)'EXEST)t:(.t.ES DU PH)!H)EN ORDRE ET DU PME)t)M DEGRÉ
(troisième Partie); par M. ~ew< <4«<o/<~e.
St!K UKBÉQUATION DiffEMXTtEt.LE DL' PKEMttitt OttORK; t'Att M. /?. A/o«('<7~ t8t
