linsegnamento della fisica e delle scienze nella scuola; proposte operative per un approccio...
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L’insegnamento della fisica e L’insegnamento della fisica e delle scienze nella scuola; delle scienze nella scuola; proposte operative per un proposte operative per un
approccio laboratoriale low-approccio laboratoriale low-cost no costcost no cost
Misure & Numeri
1progetto SCIENTIA MAGISTRA VITAE
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
I NUMERI(diamo) (?)
12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ?
Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) !
Unità di misuraÈ il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso
significato !
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
Misura Diretta di una Grandezza
• Confronto con un Campione • 5.9 cm
• 6.0 cm• 6.1 cm
• …. cm
• .... cm
Errori Casuali (±)Errori Sistematiciindividuati, si possono
correggere (offset, taratura, procedura,
condizioni di misura, preparazione )
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
eDistribuzione delle Misure
(istogramma)
distribuzione gaussiana
Vm
σ
2m
σVV
e
A
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
0.........)()...()()( 1211
mimimmm
N
ii NVVVVVVVVVVV
Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. ….
N ripetizioni della misura
medioValoreN
V
N
VVVVV
N
ii
im
1321 ......
(Vi-Vm) scarto (dal valor medio)
della misura i
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneQual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso .. la bontà della misura)
N
VV
NVVVVVV
N
imi
mimm
1
222
22
1)(...)(...)()(
MedioQuadraticoScarto (detto anche errore)
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneQual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Come si riassume il risultato delle operazioni di misura:Vm σ±
Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del:
68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ)
95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ)
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneEsempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo
• 12 misure (in secondi):
15.21 15.43 15.32 15.50
15.61 15.45 15.61 15.24
15.55 15.48 15.35 15.52
Pm= s
σ = s
15.43917
0.145090P=15.43917±0.145
090 s ??
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
Considerazioni sull’Esempio
Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s
P=15.44 ±0.15
(sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!)Leggiamolo:Effettuando una nuova misura vi è il 68%
di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426Cifre Cifre certecerte
Prima cifra Prima cifra incertaincerta
Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ?
Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 sPm= 15.43917 s σ = 0.145090 s
Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426
Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneRitorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo
Regola del: Buon Senso P=15.44 ±0.15
Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s
Approssimazione al centesimo di secondo
Regola della presentazione delle misure:
Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4
±0.15(*) s(*) Se la prima cifra significativa dell’errore (incertezza) è 1, arrotondare l’errore a 2 cifre (se togliamo 5 l’errore relativo è 5/10)
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- Smaldone
Presentazione della Misura
Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x±σ)
• I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti.
• La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura.
• In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno.
Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg
Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto
Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneMisura Indiretta di una Grandezze Fisiche
Area= Base Haltezza
B=7.4±0.15 cm
H=5.3±0.15 cmAreamin=7.255.15=37.
3375 cm2 Areamax=7.555.45=41.1475 cm2
Probabilità del 68% che 37.3375 ≤ Area < 41.1475
Area=39±2 cm2
(A±ΔA)
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneErrore in una Misura Indiretta di Grandezza
(propagazione dell’errore)
y=y±Δy ; x=x±Δx ;
z=z±Δz G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica.
G=G±ΔG
G=f (x,y,z)
22
2
2
22
zyxG zf
yf
xf
1- Misure & Numeri
E. Sassi - L-A- SmaldoneErrore in una Misura Indiretta di Grandezza
(casi più frequenti)
G=a x+b y
2222yxG ba
G=x•y
2222yxG xy
G=x/y2222
2
1yxG xy
y
G=3x+2y
x=4.1±0.2
y=2.2 ±0.4
G=16.7
G=17±1
116.0404.09 G
G=9 ±1.7
G=1.9±0.4