I. PENDAHULUANA. Latar Belakang

Jaringan adalah suatu pengaturan jalur yang terhubung pada berbagai titik, dimana satu atau lebih item bergerak dari satu titik ke titik yang lain. Semua orang akrab dengan jaringan seperti system jalan raya, jaringan telepon, jaringan distribusi barang, system kereta api, jaringan televisi, dan yang lain sebagainya.

Dalam beberapa tahun terakhir ini, menggunakan model jaringan telah menjadi teknik ilmu manajemen yang sangat popular untuk beberapa alasan yang sangat penting. Pertama, jaringan diambil sebagai diagram, yang secara harfiah memberikan gambaran dari sistem di bawah analisis. Hal ini memungkinkan manajer untuk secara visual menafsirkan sistem dan dengan demikian meningkatkan pemahaman manajer. Kedua, sejumlah besar sistem kehidupan nyata dapat dimodelkan sebagai jaringan, yang relatif mudah untuk dipahami dan dibangun.

B. Maksud dan TujuanDalam hal ini dan bab selanjutnya kita akan melihat beberapa jenis model jaringan. Dalam bab ini kita akan menyajikan kelas model jaringan diarahkan pada aliran barang melalui sistem. Dengan demikian, model ini disebut sebagai model aliran jaringan. Kita akan membahas penggunaan model aliran jaringan untuk menganalisis tiga jenis masalah: masalah rute terpendek, masalah pohon minimal spanning, dan masalah aliran maksimal.

II. PEMBAHASANSuatu jaringan diilustrasikan sebagai diagram yang terdiri dari dua komponen penting yaitu simpul (node) dan cabang (branch). Simpul melambangkan titik-titik persimpangan, sedangkan cabang adalah yang menghubungkan simpul-simpul tersebut dan mencerminkan arus satu titik ke titik lain dalam jaringan tersebut. Di bawah ini adalah contoh jaringan yang memiliki empat simpul dan empat cabang. Node yang bertuliskan Atalanta disebut sebagai titik awal (origin) dan 3 simpul lainnya merupakan tujuan.

Gambar 1.1

Tujuan dari jaringan itu sendiri adalah untuk menentukan jarak terpendek, waktu tersingkat, atau biaya terendah diantara titik-titik dalam jaringan.

A. Masalah Jarak Terpendek (Shortest Route Problem)Metode yang digunakan untuk menentukan jarak tersingkat antara titik awal dan

titik tujuan. Contoh : Frieda Millstone dan keluarganya tinggal di Roanoke, Virginia. Mereka

merencanakan liburan dengan touring melintasi kota kota di Virginia dengan tujuan akhir mereka di Washington DC. Keluarga telah mengembangkan model jaringan untuk rute dan kota yang akan mereka kunjungi selama perjalanan, modelnya yaitu gambar 1.2:

Gambar 1.2

Waktu tempuh antar kota ( dalam jam, yang dipengaruhi oleh jenis jalan dan sejumlah kota-kota menengah) ditunjukkan sepanjang masing-masing cabang. Tentukan rute terpendek bagi keluarga Millstone untuk dapat melakukan perjalanan dari Roanoke ke Washington DC.

Langkah-langkah untuk mencari solusi dari metode rute terpendek adalah sebagai berikut:

1. Pilih node dengan rute langsung terpendek dari titik asal.2. Membangun satu set permanen dengan node asal dan node yang dipilih pada

langkah 1.3. Tentukan semua node langsung terhubung ke node set permanen.4. Pilih node dengan rute terpendek (cabang) dari kelompok node langsung

terhubung ke node set permanen.

5. Ulangi langkah 3 dan 4 sampai semua node telah bergabung dengan set permanen. Jika hanya ada satu anode tujuan maka ulangi langkah 3 dan 4 sampai terhubung ke anode tujuan.

Solusi :

1. Titik awal (asal) yaitu kota Roanoke.2. Dari titik awal ada 3 kota yang terhubung langsung, maka dipilih jalur

terpendek untuk kota yang terhubung langsung dari titik awal, sehingga dipilihlah kota Stauton dengan jarak tempuh 2 jam. Jadi rutenya (1-2).Catatan : Asumsikan bahwa rutenya itu selalu berjalan maju/kekanan (tidak kembali ke titik sebelumnya)

3. Dari kota stauton ada 2 kota yang terhubung langsung, maka dipilih lagi kota dengan jalur terpendek untuk menuju Washington DC dan terpilihlah kota Charlottesville dengan jarak tempuh 1 jam. Rutenya menjadi (1-2-3).

4. Dari Charlottesville ada 2 cara untuk sampai ke Washington DC secara langsung atau melalui kota Richmond, karena jalur langsung ke Washington DC lebih cepat maka dipilih jalur langsung ke Washington DC dengan jarak tempuh 2 jam. Sehingga rutenya menjadi (1-2-3-6).

5. Rute terpendek dari titik awal (Roanoke) ke titik tujuan (Washington DC ) yang dihasilkan yaitu 1-2-3-6 dengan jarak tempuh 5 jam.

B. Masalah Pohon Rentang Minimal (Minimal Spanning Tree)

Masalah rute terpendek yang disajikan dalam bagian sebelumnya bertujuan untuk menentukan rute antara titik awal dan simpul tujuan dalam jaringan tersebut. Dalam contoh sebelumnya, ditentukan rute terpendek dari Roanoke ke kota tujuan Washington DC beberapa alternatif kota. Masalah pohon rentang minimal serupa dengan masalah rute terpendek, kecuali bahwa tujuannya adalah untuk menghubungkan seluruh simpul dalam jaringan sehingga total panjang cabang tersebut diminimisasi. Jaringan yang dihasilkan merentangkan (menghubungkan) semua titik dalam jaringan tersebut pada total jarak (panjang minimal).

Salah satu kekuatan yang bertentangan dalam pertempuran tentara simulasi ingin membuat sebuah sistem komunikasi yang akan menghubungkan delapan kamp-kamp di komandonya Jaringan berikut menunjukkan jarak (dalam ratusan meter) antara kamp dan jalan yang berbeda di mana jalur komunikasi dapat dibangun sesuai ilustrasi (Gambar 1.3).

(Gambar 1.3)

Menggunakan pendekatan pohon minimal spanning, tentukan sistem komunikasi jarak minimum yang akan menghubungkan semua delapan kamp.

Langkah-langkah metode solusi rentang minimal adalah

1. Pilihlah simpul awal manapun (biasanya simpul 1 yang terpilih)2. Pilihlah simpul yang terdekat dengan simpul awal untuk bergabung dengan pohon

rentang.3. Pilihlah simpul terdekat yang belum termasuk pohon rentang.4. Ulangi langkah ke 3 sampai seluruh simpul telah bergabung pohon rentang.

Solusi Penyelesaian Jaringan pada sistem komunikasi di atas adalah

1. Rute Jarak1-2-4 700

2. Rute Jarak 1-3-6-5 1200

3. Rute Jarak6-7-8 800

Jadi, jarak minimal yang dapat menghubungkan ke-8 kamp tersebut adalah 700 + 1200 + 800 = 2700

B. Masalah Arus Maksimal (Maximal Flow Problem)

Dalam masalah rute terpendek, kita menetukan rute terpendek truk yang terpendek dari titik awal (Los Angeles) ke setiap enam tujuan. Dalam masalah pohon rentang minimal, kita menemukan jaringan kabel televise terpendek . Dalam masalah-masalah tersebut tidak didapati adanya kapasitas suatu cabang yang terbatas pada jumlah tertentu. Walaupun demikian,ada masalah-masalah jaringan dimana cabang-cabang jaringan tersebut memiliki kapasitas arus yang terbatas. Tujuan dari jaringan-jaringan ini adalah untuk memaksimisasi total jumlah arus dari satu titik awal ke satu tujuan. Masalah-masalah ini disebut sebagai masalah arus maksimal.

Contoh :

FAA telah memberikan lisensi kepada sebuah maskapai baru, Omniair, dan diberikan itu beberapa rute antara Los Angeles dan Chicago. Penerbangan per hari untuk setiap rute yang ditampilkan pada jaringan berikut:

Gambar 4.1

Sekarang, yang perlu kita lakukan adalah mentukan jumlah maksimum penerbangan maskapai dapat melakukan penerbangan per hari dari Chicago ke Los Angeles melalui rute diatas dan menunjukkan jumlah penerbangan di sepanjang rute masing-masing.

Langkah-langkah metode untuk solusi arus maksimal adalah sebagai berikut

1. Pilihlah secara arbitrer garis edar dalam jaringan tersebut dari titik awal ke tujuan.2. Sesuaikan kapasitas pada setiap simpul dengan mengurangkan arus maksimal untuk

garis edar yang dipilih dalam langkah 13. Tambahkan arus maksimal sepanjang garis edar ke arus berlawanan arah pada setiap

simpul.4. Ulangi langkah 1,2, dan 3 sampai tidak ada lagi garis edar dengan kapasitas arus yang

tersedia.

Pendekatan Solusi Arus Maksimal

1. Dipilih secara arbitrer garis edar 1-2-6-8, karena pada penerbangan bagian akhir hanya bisa mengirim 3 penerbangan. Maka Input penerbangan pertama yang melewati garis edar 1-2-6-8 hanya bisa diberikan 3 penerbangan. Pada simpul-simpul 1-2, dikurangkan dengan 3 penerbangan (tersisa 7 penerbangan pada output simpul 1 dan input simpul 2) dan pada simpul 2-6, dikurangkan dengan 3 penerbangan (tersisa 5 penerbangan pada output simpul 2 dan input simpul 6) serta pada simpul 6-8 dikurangkan dengan 3 penerbangan (tersisa 3 penerbangan pada output 6 dan 0 padainput simpul 8).

Gambar 4.1.Garis edar maksimal 1-2-5-6

2. Dipilih secara arbitrer garis edar 1-4-8, karena pada node 4 (Denver) hanya bisa mengirim 4 penerbangan. Maka Input penerbangan pertama yang melewati garis edar 1-4-8 hanya bisa diberikan 4 penerbangan. Pada simpul-simpul 1-4, dikurangkan dengan 4 penerbangan (tersisa 3 penerbangan pada output simpul 1 dan 5 penerbangan pada input simpul 4) dan pada simpul 4-8, dikurangkan dengan 4 penerbangan (tersisa 0 penerbangan pada output simpul 4 dan 5 penerbangan pada input simpul 8), sehingga penerbangan yang dapat dikirim kemudian menjadi 7 penerbangan.

Gambar 4.2. Garis edar maksimal 1-4-83. Dipilih secara arbitrer garis edar 1-3-5-7-8, karena pada penerbangan bagian simpul 3-5

hanya bisa menerima 1 penerbangan. Maka Input penerbangan pertama yang melewati garis edar 1-3-5 hanya bisa diberikan 1 penerbangan. Pada simpul-simpul 1-3, dikurangkan dengan 1 penerbangan (tersisa 4 penerbangan pada output simpul 1 dan 1 penerbangan pada input simpul 3) dan pada simpul 3-5, dikurangkan dengan 1 penerbangan (tersisa 5 penerbangan pada output simpul 3 dan 0 penerbangan pada input simpul 5). Kemudian pada simpul-simpul 5-7, dikurangi 1 penerbangan (tersisa 4 penerbangan pada output simpul 5 dan 0 penerbangan pada input simpul 7). Lalu pada simpul-simpul 7-8 dikurangi 1 penerbangan (tersisa 7 penerbangan pada output simpul 7

dan 4 penerbangan pada input simput 8) Sehingga penerbangan yang dapat dikirim kemudian menjadi 8 penerbangan.

Gambar 4.3. Garis edar maksimal 1-3-5-7-8

4. Dipilih secara arbitrer garis edar 1-4-7-8, karena pada penerbangan pada simpul 7 atau St. Louis hanya memiliki input penerbangan 3 maka jalur pada garis edar 1-4-7-8 dikurangi dengan 3 penerbangan. Maka Input penerbangan pertama yang melewati garis edar 1-4-7-8 hanya bisa diberikan 3 penerbangan. Pada simpul-simpul 1-4, dikurangkan dengan 3 penerbangan(tersisa 0 penerbangan pada output simpul 1 dan 2 penerbangan pada input simpul 4) dan pada simpul 4-7, dikurangkan dengan 3 penerbangan (tersisa 4 penerbangan pada output simpul 4 dan 0 penerbangan pada input simpul 7) serta pada simpul 7-8 dikurangkan dengan 3 penerbangan(tersisa 4 penerbangan pada output simpul 7 dan 1 penerbangan pada input simpul 8). Sehingga penerbangan yang dapat dikirim kemudian menjadi 11 penerbangan.

Gambar 4.4.Garis edar maksimal 1-4-7-8

5. Arus maksimal adalah 11 penerbangan dari Los Angles menuju Chicago.

Gambar 4.5. Arus maksimal untuk jaringan kereta api

D. CONTOH SOLUSI MASALAH

Contoh berikut menggambarkan metode solusi untuk masalah arus jaringan rute tersingkat dan pohon rentang minimal(Spanning tree)

Pernyataan masalah

Seorang penjual pada Healthproof Pharmaceutical Company melakukan perjalanan setiap minggunya dari kantornya di Atlanta ke salah satu dari lima kota di bagian tenggara di mana ia memiliki klien. Waktu perjalanan (dalam jam) antara kota-kota sepanjang jalan tol antar kota ditunjukkan sepanjang setiap cabang dalam jaringan berikut ini.

a. Tentukan rute terpendek dari Atlanta ke setiap lima kota dalam jaringan tersebut.b. Asumsikan bahwa jaringan tersebut sekarang menggambarkan enam komunitas yang

berbeda dalam suatu kota, dan bahwa otoritas transportasi lokal ini mendesain suatu sistem rel yang akan menghubungkan seluruh enam komunitas dengan jumlah rel minimal. Jarak antara masing-masing komunitas ditunjukkan oleh tiap cabang. Buatlah pohon rentang minimal untuk masalah ini.

Solusi

Langkah 1 (bagian 1) : Menentukan Solusi Rute Terpendek 1. Setelan Permanen Cabang waktu

{1} 1-2 5

1-3 5

1-4 7

2. Setelan Permanen Cabang waktu

{1,2} 1-3 5

1-4 7

2-5 11

3. Setelan Permanen Cabang waktu

{1,2,3} 1-4 7

2-5 11

3-4 7

4. Setelan Permanen Cabang waktu

{1,2,3,4} 4-5 10

4-6 9

5. Setelan Permanen Cabang waktu

{1,2,3,4,6} 4-5 10

6-5 13

6. Setelan Permanen Cabang waktu

{1,2,3,4,5,6}

Jaringan rute terpendek ditunjukkan dibawah ini.

Langkah 2 (bagian b ): Menetukan Pohon Rentang minimal

1. Simpul terdekat dengan simpul 1 yang belum terhubung adalah simpul 2.2. Simpul terdekat dengan simpul 1 dan 2 yang belum terhubung adalah simpul 3.3. Simpul terdekat dengan simpul 1,2, dan 3 yang belum terhubung adalah simpul 4.4. Simpul terdekat dengan simpul 1,2,3, dan 4 yang belum terhubung adalah simpul 6.5. Simpul terdekat dengan simpul 1,2,3,4, dan 6 yang belum terhubung adalah simpul 5.

Pohon rentang minimal ditunjukkan dibawah ini. Total jarak terpendek adalah 17 mil.

III. Penutup

1. Kesimpulan

Pada suatu makalah ini disajikan suatu jenis model yang dinamakan model arus jaringan.Model ini mencakup jaringan rute terpendek, jaringan pohon rentang minimal dan jaringan arus maksimal. Seluruh jaringan ini berkaitan dengan arus suatu barang(atau beberapa barang) melalui suatu susunan garis edar(atau rute).

Pendekatan solusi untuk tiap jenis jaringan juga disajikan pada makalah ini. Kadangkala kelihatannya melelahkan untuk melalui tahapan pada metode solusi ini ketika solusinya dapat dengan mudah ditemukan hanya dengan melihat jaringan dengan lebih seksama.Walaupun demikian, sejalan dengan meningkatnya ukuran jaringan, solusi berdasarkan intuisi melalui pengamatan menjadi semakin sulit, sehingga timbul kebutuhan akan prosedur solusi.

2. Kritik dan Saran

Makalah yang telah kami buat. Kritik dan saran yang membangun demi perbaikan dalam pembuatan makalah tentang model arus jaringan selanjutnya.

IV. Daftar Pustaka

W.Taylor III, Bernard. 2004. Introduction to management science 8 th edition. Pearson Education: Prentice Hall