Conte udo1 TeoriadeConjuntos 31.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Relaccoes de Perten ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Formas de denicao de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 Conjunto Universo ou Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.9 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.10 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.11 Operacoes Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Exercicios De Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Aritm etica 122.1 Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Pot enciac aoeRadiciac ao 173.1 Potencia cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Operacoes com Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1 Multiplicacao de Potencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . 183.2.2 Divisao de Potencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . . . . 183.2.3 Multiplicacao de Potencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . 183.2.4 Divisao de Potencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . . . . 183.2.5 Potencia de Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Raiz de Imdicen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Multiplicacao e Divisao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.3 Simplicacao de Radicais (Reducao ao mesmo ndice) . . . . . . . . . . . . . . 203.3.4 Comparacao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.5 Adicao e Subtracao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.6 Potencia de uma raiz e Raiz de uma Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.7 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Algebra 244.1 Expressoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1 Expressoes numericas e valor numerico de uma expressao . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Domnio de Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.3 Valores Numericos de Uma Expressao Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26124.1.4 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.5 Monomios Semelhantes e Monomios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.6 Operacoes Sobre Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.7 Polinomios, Polinomios Semelhantes e Polinomios Iguais . . . . . . . . . . . . . 294.1.8 Factorizacao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.9 Polinomios Quadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.10 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.11 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.12 Exerccios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 GeometriaPlana 405.1Areas, Permetros e Volumes de Figuras Geometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.1 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.2 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.3 Rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1.4 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.5 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.6 Classicacao dos triangulos - Quanto aos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.7 Classicacao de Triangulos - Quanto aosAngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.8 Trapezio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.9 Papagaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.10 Crculo e Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.11 Sector Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.12 Linhas de Nvel de Um Triangulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.13 Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.14Angulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.15Angulos Internos de Um Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.16Angulos Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.17Angulos Internos de Um Quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.18Angulos Verticalmente Opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.19Angulos Alternos Internos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.20Angulos Correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.21 Teorema De Semelhancas de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 Relacc oeseFunc oes 606.1 Relaccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.1 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.2 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.3 Funcoes Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.4 Sistemas de Equacoes e Inequacoes Lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Exercicios De Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 Func oesQuadr aticas 747.1 Funcoes e Equacoes Quadraticas, Radicais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.1 Funcoes Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.2 Estudo Completo de uma Funcao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1.3 Equacoes Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.1.4 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.5 Equacoes Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.6 Funcao e Equacao Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.7 Composicao de funcoes por funcoes Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1.8 Equacoes e Inequaoes Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.2 Exercicios De Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8538 Func aoLogaritmicaeExpon encial 908.1 Funcao e Equacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.1.1 Resolucao de Equacoes Exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.1.2 Inequacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.1.3 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.4 Representa cao Graca de uma Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.5 Calculo Logartmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.6 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.7 Equacao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.8 Inequacao Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.1.9 Funcao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.1.10 Representa cao Graca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009 Func aoHomogr aficaEModular 1049.0.1 Funcao e Equacao Homograca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.1 Equacoes e Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Funcao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.2.1 Graco da Fun cao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.2.2 Equacoes Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.2.3 Inequacoes Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.3 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810TrigonometriaElementar 12110.1Razoes Trigonometricas No Triangulo Rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.1.1Angulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.1.2 Formula Fundamental da Trigonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.1.3 Crculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.1.4 Passagem Para o Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.1.5 Passagem Para Radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.1.6 Teorema dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.1.7 Teorema dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.1.8Area de triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.2Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111Func oesEEquac oesTrigonom etricas 13311.1Funcoes Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13311.1.1 Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.1.2 Funcao Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.1.3 Funcao Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.2Equacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2.1 Seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2.2 Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.3Exerccios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14112Sucess aoeLimitesdeSucess oes;LimitedeFunc oes 14512.1Sucessao e Limites de Sucessoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.1.1 Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.1.2 Monotonia de uma Sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14612.1.3 Graco de uma Sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.1.4 Limite de uma Sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.1.5 Operacoes com Limites de Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148412.1.6 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.1.7 O N umeroe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.2Progressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.1 Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.2 Termo Geral de uma Progressao Aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.3 Soma de n termos de uma Progressao Aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.4 Progressao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.2.5 Termo Geral de uma Progressao Geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.2.6 Soma de n termos de uma Progrssao Geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.3 Limite de uma Fun cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512.3.1 Calculo de Limite de uma Fun cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3.2 Indeterminacao do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3.4 Limites Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.4Alguns Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.5Continuidade de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.5.1 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.6Classicacao dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.6.1 Descontinuidade da Primeira Especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.6.2 Descontinuidade da Segunda Especie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.7Exercicios De Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313C alculoDifer encial 16713.1Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713.2Derivacao por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2.1 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2.2 Tabelas de Deriva cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17513.2.3 Exercicios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17813.3Exerccios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18013.4Exerccios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Centro de Preparaao aos Exames de Admisao ao Ensino Superior- CPEAES www.cpeaes.ac.mz Por: Justino M. J. Rodrigues Justino Rodrigues ( Coordenador ),E Mailrjustino20@yahoo.com.br ,Cel?82-0432 760-www.cpeaes.ac.mz 17PREF CI O Opresent el i vro(manual )f oi preparadopel osprof essoresdest ecent ro(CPEAES)sobasua coordenao e dest i nado ao mpl o ci rcul o de est udant es ocupados no est udo de preparao aos exames de admi sso para o ensi no superi or ou no desenvol vi ment o da act i vi dade pedaggi ca nos cent ros de ensi noe pesqui sa em part i cul ar. Ot raocaract erst i codest el i vro(manual )consi st eemexporosprobl emaseast endnci as act uai sdepl anoscurri cul aresori ent adosparaoensi nogeral et cni conaci onal ,o aperf ei oament oeassi mi l aodasmat ri asdadasnasescol as,assi nal adossobpt i cado desenvol vi ment o est veldos pri ncpi os bsi cos da t eori a e da prt i ca, pl ani f i cao dos mt odos de est udos, sem expor a met odol ogi a concret a de pl ani f i cao. Osaut orespeemdest aqueosel ement osquedevemserassi mi l adosequepossamsert ei snas di f erent escondi esdeaval i aonosexamesdeadmi ssodemodoaal canarosobj ect i vos desej ados. O l i vro pode ser ut i l i zado como mat eri alde est udo. OCPEAESf i car-l he-mui t o grat o se nos dar a conhecer a sua opi ni o a cerca da t raduo do present e l i vro, assi m como acerca da sua apresent ao e i mpresso. Agradecer-l he-emos t ambm qual quer out ra sugest o. N B:Est e l i vro propri edade do cent ro e t odos seus di rei t os e obri gaes est o reservados a est e cent ro ( CPEAES ) expressament e proi bi do a sua reproduo, sej a el a por f ot ocpi a ou out ra f orma el ect rni ca, t ant o como a sua venda f ora dest e est abel eci ment o (CPEAES) como det ent or de t odos di rei t os. M aput o, M ai o de 2007 Just i no M . J. Rodri gues (Coordenador ) 2Caro Leitor!...Quero antes, agradecer a todos que de forma directa ou indirecta zeram parte desta obra, ao escreve-la inspirei-me nos princpios de um grande Professor que postula a ideia de que ...ensinar e lembraraos outros que eles sabem tanto quanto voce!... e procurei de modo solene e calmo mostrar asmais importantes passagens que todos tivemos (porque acredito em vos) durante o ensino secundarioe na pre da Universidade.Estou consciente de que a caminhada para o ensino superior e ardua, disconfortante, mas tambemtenue e graticante. Espero que este material sirva aos leitores amigos dos romances matematicoscomoferramenta necessaria para a caminhada que se dispoem seguir,e porque nao um bom livro para asferias de m do ano?Tem se dito,umbomcomeco, meiocaminhoandado- comece por aqui.Mocambiquevivenosultimosdiasumacrescentetendenciadesadadalistadepaisesmenosalfabetizados paises pobres ate no saber... O Governo mocambicano aposta na formacao e olha paraela como uma base sustentavel e funcional para a conquista dos mais dignos valores de uma sociedadesocializavel.E neste solene momento em que as atencoes do pas estao viradas `a causa do pensamento,do saber e da formacao, que em cada mocambicano devemos criar um Mocambique - opasquenosviu nascer, por isso, ca estamos frente a um desao que e nosso e acima de tudo e para n`os. Estamostodos convctos de que venceremos os desaos que iremos enfrentar; e com este espirito de conviccao,com esta esperanca, que buscamos `a n`os o empenho, a abnegacao, a dedicacao, energia e calor para acaminhada que hoje iniciamos.Este caminho, cheio de agruras a que v`os propusestes seguir e duro, e acima de tudo e encorajadore digno, por isso, como Professor, amigo e apaixonado pela escrita ofereco esta obra e desejo ao leitor, muito e muito bom trabalho. Bem Haja.Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga(Licenciado em Informatica)Typeset by LATEX2Captulo1TeoriadeConjuntos1.1 ConjuntosA teoria de conjuntos e uma parte da matematica que desempenha um papel de extrema importanciana vida do dia a dia. Ela e aplicada em muitos campos da ciencia tais como: Estatstica, Engenharia,Economia e etc... Neste capitulo debrussaremo-nos sobre linhagensbasicas da teoria de conjuntos, osestudantesempreparacaoparaosexamesdeadmissaodeveraole-locommuitocuidadoeresolverpaulatina e atenciosamente os exerccios que se seguem.Denicao 1.1.Conjuntos e elementos- O conjunto e um conceito fundamental em todos os ramosda matematica; intuitivamente um conjunto e uma lista, uma coleccao, um agrupamento ou uma classede objectos com caractersticas identicas. Os objectos em um conjunto, como veremos nos exemplosseguintespodemserqualquercoisa, podemserpessoas, rios, lagos, nomedeprovincias, etc. Estesobjectos que fazem parte de conjuntos sao chamados elementosdoconjunto.Exemplo1.1. Vejamos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos1) Os n umeros1, 3, 7, 10podem ser vistos como elementos de um conjunto.2) As solucoes da equacaox3+ 3x 1 = 0sao elementos de um conjunto.3) As vogais do alfabeto portugues sao elementos de um conjunto.4) Os estudantes que faltam as aulas, sao elementos de um conjunto.5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zambezia, Cabo Delgado; sao elementos de um conjunto.1.1.1 Notac oesDesignam-se Conjuntos geralmente usando letras Mai usculasExemplo1.2.A = 2, 4, 6, 8, ... B = 1, 3, 5, 7, 9, ... C = maputo, pemba, xai xai, lichinga34 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorOs elementosdeumconjunto designam-se com letras minusculasExemplo 1.3.Veja que os nomes dos elementos do conjuntoCdescrito acima, aparecem com iniciaisminusculas. Um outro exemplo e o das vogais do alfabeto que se representam de modo seguintea, e, i, o, uObservacao1.1. Vejaquenoexemploanterioroselementosdeumconjuntoaparecemseparadospelosinal devrgula. Quandorepresentamosumdeterminadoconjunto, relaccionando-ocomseuselementos denotaremos de modo seguinteA = a, e, i, o, uonde o nome do conjunto aparece com letras mai usculas e os elementos aparecem com letras min usculas.Oselementosdeumconjuntoaparecementrechaves . Aestaformaderepresentarconjuntoschamamos FormatabularourepresentacaoporextensaoSe denirmos um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seuselementos,como,por exemplo: Ao considerarmos o conjuntoBcomo sendo o conjunto de numerosimpares, usamos uma letra qualquer; por questao de uniformidade usaremos a letrex para representarum elemento qualquer e o simbolo :que signica - talque, e escrevemosB = x : x = 2k 1, k Ne le-se:Be um conjunto de n umeros xtal que esses n umeros x

ssao impares. A esta meneira de construirou representar um conjunto chama-se representacao por compreensao1.1.2 SimbologiaOs simbolos mais usados na teoria de conjuntos estao representados a seguir1) pertence a B2) / nao pertence m/ B3) = igual A = B4) ,= diferente A ,= B5) contido A B6) , nao contido A , B7) contem A B8) , nao contem A , B9) vazio10)cardinal 1, 4 = 2dr. betueldejesusvarelacanhanga 51.1.3 Relacc oesdePertencaQuando um elementoa nao faz parte de um determinado conjunto A, diz se quea nao pertenceA. E escreve sea , AQuando um elementoafaz parte de um determinado conjuntoA, diz se queapertence aA.E escreve sea AExemplo 1.4. SejaA = a, b, c, d, e, f, Dizemos queA e um conjunto ea, b, c, d, e, fsao elementosdo conjuntoA. Poderemos ter seguintes armacoes a A e A m , A p , A1.1.4 FormasdedenicaodeumconjuntoDiremosqueumconjuntoestabemdenido, quandoclaramenteidenticam-seosseuselementos.Existem 3 formas de denicao de um conjuntoExtensaoCompreensaoDiagrama de VennDenicao1.2. Umconjuntodiz-sedenidoourepresentadoporextensaoquandoextendemos,listamos todos seus elementosExemplo1.5. O conjuntoAesta representado por extensaoA = 1, 3, 5, 7, 9.Denicao1.3. Um conjunto diz-se denido ou representado por compreensao quando compreen-demoscombaseemumaregra quais sao os constituintes do mesmoExemplo1.6. Vejamos seguintes exemplos. O conjuntoAesta representado por extensaoA = x : x = 2k 1; k Nex < 10.1.1.5 ConjuntosFinitoseConjuntosInnitosDenicao1.4. Umconjuntodiz-seFinitosepoder-seidenticaron umerodeelementosquedelefazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.Exemplo1.7. Vejamos seguintes exemplos.1) O Conjunto formado por capitais provinciais de Mocambique6 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior2) O Conjunto formado pelos estudantes desta turma3) O Conjunto de n umeros naturais menores que 1000000Denicao1.5. Um conjunto diz-se Innito se nao se poder identicar o n umero de elementos quedele fazem parte. Em outras palavras, se nao tiver Cardinal.Exemplo1.8. Vejamos seguintes exemplos.1) O Conjunto formado por n umeros entre 1 e 3.2) O Conjunto de n umeros naturais maiores que 10000001.1.6 IgualdadedeConjuntosDenicao1.6. O conjuntoAdiz se igual ao conjuntoBse eles tiverem mesmos elementos, isto e,todos elementos deBpertencem aA- e todos elementos deApertencem aB.Exemplo1.9. Vejamos seguintes exemplos. A = 1, 2, 3, 4 e B = 2, 3, 1, 4sao conjuntos iguaisOconjuntoformadoporpessoasdesexofemenino eigualaoconjuntoformadopormulheres.Retirem equivocos, esquecam guys, lesbicas e maricas...So para relaxar...SejaA = x : x2+ 4x + 4 = 0, B = x : x + 2 = 0, e C = 2sao conjuntos iguais.1.1.7 ConjuntoNuloouConjuntoVazioDenicao 1.7. Diz se que um conjunto e nulo ou vazio e denota-se ao conjunto que nao contemelementos. Em outras palavras, o seu cardinal e igual a zeroExemplo1.10. Vejamos seguintes exemplos.O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terraO conjunto formado pelas solucoes da equacaox2+ 1 = 01.1.8 ConjuntoUniversoouUniversalDenicao1.8. Em qualquer aplicacao da teoria de conjuntos, todos os conjuntos estudados estaraonomomentodeestudoparticularizadosdeumoutroconjuntomaisamploeexpresso,porexemplo,quandofalamosden umerosnaturais, vemosqueelesfazempartedeumoutroconjunto, queeoconjuntoden umeros. Quandofalamos deestudantes destasala, vemos queeles fazempartedoconjunto de estudantes desta escola, portanto ha sempre uma tendencia de particularizar um pequenodr. betueldejesusvarelacanhanga 7conjuntodeumoutroconjuntomaisamplocomointuitodeconcentraratencoessobreamateriaem estudo. Diz se que um conjunto e UniversoouUniversal e denota-seU, se ele contem todossubconjuntos de um determinado caso em estudo.Exemplo1.11. Vejamos seguintes exemplosEm Geometria plana o conjunto Universal e o conjunto de todos os pontos do espaco.O Conjunto Universal do conjunto de estudantes desta turma e o conjunto de todos estudantesdesta escola.1.1.9 SubconjuntosDenicao1.9. Onomevai maislonge, sub-conjunto, umconjuntopequeno. Otermopequenonalinguaportuguesaerelactivo,pequenoemrelaccaoaalgumacoisa.DizsequeoconjuntoAesubconjunto do conjuntoB, se todos elementos deApertencem, isto e, tambem sao elementos deB.Exemplo1.12. Veja seguintes exemplosSeja A= 1, 2, 3, 4, 5, B= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, oconjunto Aesubconjuntodoconjunto B.Em outras palavrasA BO conjunto de capitais provinciais do Sul de Mocambique e um subconjunto de capitais provin-ciais de Mocambique.Conhecemos os conjuntosN- Conjunto de n umeros naturaisZ- Conjunto de n umeros inteirosQ- Conjunto de n umeros racionaisR- Conjunto de n umeros reaisEntao poderemos ver que o conjunto de n umeros naturais e subconjunto deZe dai segue se aseguinte cadeiaN Z Q RCostuma a dizer que o conjuntoAe superconjunto deB. Esta afrimacao equivale a dizer que oconjuntoBe subconjunto deAe isto e logico, seBe subconjunto deA, entaoAe superconjuntodeB. A ser assim temos para a rmacaoA Bos seguintes comentarios:8 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior1) O conjuntoAe subconjunto deB2) O conjuntoAestacontido emB3) O conjuntoBe superconjunto deA4) O conjuntoBe contemAPara a armacaoA , Bpoderemos fazer seguintes comentarios1) O conjuntoA nao esubconjunto deB2) O conjuntoAnaoestacontido emB3) Existe emApelo menos um elemento que nao faz parte deB4) O conjuntoBnaocontemAObservacao1.2. Aten cao: Semlimitacaodasuaessenciaeparatodosefeitos, oconjuntovazio- esubconjuntodequalquer conjunto Se o conjuntoA = BentaoA BeB A1.1.10 ConjuntodeconjuntoAlgumas vezes os elementos de um determinado conjunto, sao tambem conjuntos, exemplo, o conjuntoformado por todos subconjuntos de um determinado conjunto e um conjunto de conjuntos ou aindafamliadeconjuntosExemplo1.13. Vejamos seguintes exemplos1) O conjuntoA = a, b, c, a, ee um conjunto de conjuntos.1.1.11 Operac oesSobreConjuntos1) Reuniao - Chama-se reuniao de dois conjuntos ou mais a operacao que une elementos de doisou de mais conjuntos.Exemplo1.14. Sejam dados os seguintes conjuntosA = 1, 2, 4, 5, B = 1, 2, 7, 8A reuniao deAeBe um outro conjunto que poderemos designa-lo porCe teremosC = A B = 1, 2, 4, 5, 7, 82) Interseccao-Chama-seInterseccaodedoisconjuntosoumaisaoperacaoqueintersectaele-mentos de dois ou de mais conjuntos.dr. betueldejesusvarelacanhanga 9Exemplo1.15. Sejam dados os seguintes conjuntosA = 1, 2, 4, 5, B = 1, 2, 7, 8A intersec cao deAeBe um outro conjunto que poderemos designa-lo porCe teremosC = A B = 1, 2Vejaqueparticipamnainterseccaoos elementos queemsimultaneopertencemaambos osconjuntos.3) Diferenca - Chama-se Diferenca de dois conjuntos ou mais a operacao que diferencia dois oumais conjuntos.Exemplo1.16. Sejam dados os seguintes conjuntosA = 1, 2, 4, 5, B = 1, 2, 7, 8A Diferenca deAeBe um outro conjunto que poderemos designa-lo porCe teremosC = A B = 4, 5Veja que participam na diferenca deAeBos elementos que fazem parte deAe que nao fazemparte deB4) DiferencaSimetricaExemplo1.17. Sejam dados os seguintes conjuntosA = 1, 2, 4, 5, B = 1, 2, 7, 8A Diferenca deAeBe um outro conjunto que poderemos designa-lo porCe teremosC = A B = 4, 5Veja que participam na diferenca deAeBos elementos que fazem parte deAe que nao fazemparte deB.A Diferenca deBeAe um outro conjunto que poderemos designa-lo porDe teremosD = B A = 7, 8A diferenca simetrica e o conjuntoE = C D = 4, 5, 7, 8Denota-seE = AB10 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior1.2 ExerciciosDeAplicacao1) Seja dado o conjuntoA = 1, 2, 3, 4, 5quais das seguintes armacoes sao verdadeiras?(a) 1 A(b) 1,2,3 pertencem aA(c) 1, 2, 3 A(d) 1 A(e) 1 A2) Sejamdadososconjuntos A = 1, 2, 3 B= 1, 2, 3, 7, 8quaisdasseguintesarmacoessaoverdadeiras?(a) 1 A(b) 1, 2, 3pertencem aAe aB(c) A B(d) A B(e) A B(f) B A3) Considere os conjuntosAeBdo exerccio anterior e determine:(a) A B(b) A B(c) seja C=1,2,3,4,5,6,7,8. determineA B(d) determineA B C(e) determineA (B C)(f) determine(A B) C4) determineA B C5) determine(A B) C6) determineA (B C)7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matematica, 30 estudantes estudanm fsica. 10 estudammatematica e fsica. Responda as seguintes questoes:(a) Quantos sao os estudantes que frequentam somente matematica(b) Quantos sao os estudantes que frequentam somente fsica(c) Quantos sao os estudantes que frequentam matematica ou fsica(d) quantos estudantes tem a turma8) Em um grupo musical ha pessoas de raca negra e individuos de raca branca. Depois de feitas ascontas vericamos que ha 15 brancos puros e 5 misticos (brancos negros), o grupo e compostopor 40 musiqueiros. Responda as questoes que se seguem(a) faca o diagrama de Venn que ilustre esta descricao(b) quantos sao os negros puros(c) quantos sao os negros ou brancos.dr. betueldejesusvarelacanhanga 119) Emumaavaliacaoconsidera-seposetivaas notas maiores que10emenores ouigual a20,considera-se negativa as notas menores que 10,nao se considera negativa nem posetiva a nota10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descricao: 30 estudantes tem posetivas e40 tem negativas, a turma e composta por 80 estudante.(a) faca o diagrama de venn que ilustra a descricao(b) quantos estudantes tiveram nota igual a 1010) numa loja de vestuarios 400 pecas tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca.Na loja ha 1000 pecas, 20 pecas tem cor branca e azul, 30 amarela e branca.(a) Faca o diagrama de Venn que ilustre a descricao acima(b) Quantas pecas tem cores amarela, azul e branca(c) Quantas pecas tem a cor azul e amarela.(d) Quantas pecas nao tem cores amarela, azul e branca(e) Quantas pecas nao tem cores amarela, azul ou branca11) DuranteocapeonatoescolarpassadoocentrointernatodeMocubaacolheuvariasequipasdediferentesmodalidadesdesportivas(Voleibol, Andebol eFutebol). Darecepcaosabeseque:No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaramvoleibol, andebolefutebol, 10jogaramvoleiboleandebol. Sabesetambemque50jogadoresjogaram somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as questoes que se seguem(a) Quantos sao os desportistas que jogaram futebol e andebol.(b) Quantos sao os desportistas que jogaram futebol e voleibol.(c) Quantos sao os desportistas que jogaram somente voleibol.(d) Quantos sao os desportistas que jogaram somente uma modalidade.(e) Quantos sao os desportistas que jogaram duas modalidades.Ensinar elembraraosoutrosqueelessabemtanto,quantovoceTypeset by LATEX2Captulo2Aritmetica2.1 RazoeseProporcoesDe certeza o estudante ja em algum momento ouviu falar de Razao, uma expressao que como tantaspertencentes a lingua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar em Matematica de razao entredois n umerosaebe falar do quocienteab, b ,= 0ou ainda, e o mesmo que falar da divisao deaporb, isto e:a b, b ,= 0.Exemplo 2.1.Numa sala de aulas estao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a razao entreo n umero de rapazes e raparigas.A razao entre o n umero de rapazes e o n umero de raparigas enorapazesnoraparigas=2025=45ou4 5,isto e 4 rapazes para 5 raparigas!!!Denicao2.1. Quandofalamosderazaoentredoisn umeros ae b, istoeab, aodividendo a chamamos antecedente e ao divisorb chamamos consequenteDenicao2.2. Osdesenhistas,cartograstas,marinheiroseoutrosam,utilizamoconceitorazaopara relaccionar distancias reais e distancias mapeadas, para se distinguirem introduzem no lugar derazao o conceito de escala e dene-se:escala =medida do desenhomedida realExemplo 2.2.No Mapa de Mocambique a distancia entre Lichinga - Quelimane e de50cm, sabendoque o mapa foi desenhado com uma escala de15000.Determine a distancia real emkmde Quelimane`a Lichinga.12dr. betueldejesusvarelacanhanga 13Exemplo2.3. Qual e a razao entre as areas de duas circunferencias se a razao entre seus raios forigual a12Resolucao.cossen1 111Figura 2.1:cossen2 222Figura 2.2:As duas Circunferencias acima sao somente um exemplo de varias circunferencias que tem a relaccaode seus raios 1:2.Iremos designar r1, S1raio e superfcie respectivamente da primeira crcunferencia er2, S2raio esuperfcie respectivamente da segunda crcunferencia, pelo problema colocado temos:r1r2=12.Como neste exerccio devemos determinar a razao de proporcao entre as areas das duas crcunferencia,14 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorteremos:S1S2= r21 r22=_r1r2_2=_12_2=142.1.1 PercentagensComecemos por apresentar a denicao de percentagem.Denicao2.3. Chama-se Percentagem a razao com consequente 100.Exemplo2.4. Vejamos os exemplos seguintes:

30100= 30%

43= 1, 333 =133, 3100= 133, 3%2.1.2 ExerciciosdeAplicacao1) Numa sala estao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine:(a) a percentagem de rapazes.(b) a percentagem de raparigas.2) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 dolares e os vende por 3 milhoes de meticais,a taxa de cambio de1usd : 25000MTndetermine:(a) O valor de venda em usd.(b) O valor de compra em MTn.(c) o lucro em usd(d) a percentagem do lucro3) Umfuncionariorecebia1500usd, emJaneirooseusalariosofreuumaumentoem10%eemJunho um outro aumento de20%Determine(a) O salario recebido pelo funcionario em Fevereiro.(b) O salario recebido pelo funcionario em Julho.(c) A subida percentual total. De Janeiro `a Julho.4) O preco de um producto aumenta10%mensalmente. Ao m de 12 aumentos qual sera o precosabendo que inicialmente era5usd?5) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolvera em Janeirode 2008 se a taxa de inaccao anual for de30%6) Nas festas de um determinado m de ano o preco do acucar branco subiu em 20% e depois subiunovamente em30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma reducao em15%, em quanto porcentovariou o preco?7) Se um producto custaxMTne sofre um aumento de10%e mais tarde um outro aumento de10%. Em quanto porcento variou o preco do producto?(a) 20%(b) 15%(c) 21%dr. betueldejesusvarelacanhanga 15(d) Nenhuma delas1) SejaP= 0, 2, 4, 6, 8, .... Mostre quePpode ser denido da seguinte maneira: P=x[x = 2n, n N.2) De uma denicao do mesmo tipo paraI = 1, 3, 5, 7, ....3) Simplique as seguntes expressoes:(a)9!5!(b)n!(n2)!(c)n!(n+1)! (n1)!n!4) Determine(a) C42, C85, Cn+2n+1(b) A42, A85, An+2n+15) Comosdgitos0,1,2,3,4quantosnumerospodemsercompostospor5algarismos, senaoforpermitidaarepeticaodedgitos. (vejaque11234nao epermitidoporquehouverepeticaododgito 1).6) Quantas bandeiras de faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azule Verde.7) Quantas bandeiras de uma faixa vertical e 3 faixas horizontais podem ser construidas apartir decores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.8) Quantas bandeiras de uma faixa vertical (Verde ou Vermelha) e 3 faixas horizontais podem serconstruidas apartir de cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.9) Quantasturmasde20estudantesdoIanopodemserconstruidassetiveremsidoinscritos30estudantes do I ano.10) Pretende-se criar uma comissao de 3 trabalhadores de um determinado departamento, sabendoquequenessedepartamento ecompostopor5funcionarios, quantosgruposdiferentespodemser compostos.11) 70 pessoas estiveram presentes em um culto, cumprimentaram-se para cumprir um dos autos doculto. Quantos foram os apertos de mao.12) 3 litros de leite sao divididos em latas de15do litro. Quantas latas sao necessarias?13) Quantas latas de13do litro sao necessarias para dividir 15 litros de cerveja?14) Resolva as seguintes equacoes:(a)23x =1415(b) x2 = 18(c)23x 13= 53x +43(d)x+5x5 x5x+5=25x22515) Resolva as inequacoes seguintes:(a) 2x + 8 > 0(b) 2x 12 x1216 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior(c)3(x+1)25x2416) Qual e a razao entre as areas de dois circulos, se a razao entre os seus raios for de14?17) Determine a razao entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razao das arestas e de12 .18) Num mapa de Mocambique, a distancia de Maputo a Beira e de40cm. Sabendo que a escala ede1 : 3000000, determine a distancia real.19) A distancia de Quelimane a Beira e de960km. Sendo a escala dum mapa de1 : 2000000, quasera a sua distancia no mapa?20) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno?21) Oprecodevendadumprodutosubiu20porcentonumaprimeirasubidadeprecose40porcento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem?Ensinar elembraraosoutrosqueelessabemtanto,quantovoceComasimplicidadeconstruimosonossoorgulhoTypeset by LATEX2Captulo3PotenciacaoeRadiciacao3.1 PotenciacaoDenicao3.1. Pode acontecer que numa multiplicacao sucessiva os factores sejam iguais, isto e: 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplicada, e teremos o seguinte: 2 2 = 22 5 5 5 = 53 4 4 4 4 4 = 45Aofalarmosdequadradodedois, cubodecincoequintodequatro,estamosausarumnovo conceito PotenciaPotencia- e uma multiplicacao de factores iguais. 4 4 4 4 4 = 45o simbolo45e uma potencia,o 4 e o factor que se repete e chama-se BasedaPotencia5, que e o n umero de vezes em que se repete a base, chamaremos de Expoente.Observacao3.1. Repare que ao escrevermos41, estamos sim a denotar uma potencia, no entanto,pela denicao,estaremos a supor existir uma multiplica cao com um so factor,o que nao e verdade.A ser assim, convencionou-se que41= 4e isto generaliza-se `a todos n umeros que tenham expoenteigual a 1a1= a, a R.Tambem convencionou se quea0= 1, a R 0.1718 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior3.2 Operac oescomPotenciasAs propriedades de multiplica cao sucessiva de factores iguais, justicam as seguintes regras:3.2.1 MultiplicacaodePotenciascomBasesIguaiseExpoentesDiferentesAo multiplicarmos potencias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e somamos osexpoentes.Exemplo3.1.4245= 42+5= 47, 52512= 52+12= 5523.2.2 DivisaodePotenciascomBasesIguaiseExpoentesDiferentesAodividirmospotenciascombasesiguaiseexpoentesdiferentes, mantemosabaseesubtraimososexpoentes.Exemplo3.2.4245= 425= 43, 52512= 5212= 5323.2.3 MultiplicacaodePotenciascomExpoentesIguaiseBasesDiferentesAo multiplicarmos potencias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e multi-plicamos as bases.Exemplo3.3.2434= (2 3)4= 64, 5323= (5 2)3= 103= 10003.2.4 DivisaodePotenciascomExpoentesIguaiseBasesDiferentesAodividirmospotenciascomexpoentesiguaisebasesdiferentes,mantemosoexpoenteedividimosas bases.Exemplo3.4.2434= (2 3)4=_23_4, 5323= (5 2)3= (2, 5)33.2.5 PotenciadePotenciaNas linhas anteriores, procuramos transmitir ao estudante a nocao de potencia, vamos agora recursi-vamente desenvolver casos de sobreposicao de potencias, exemplo_23_4ao desenvolvermos expressoes com potencia de potencia faremos o seguinte_23_4= 23232323= 23+3+3+3= 212de outra maneira poderemos manter a base e multiplicar os expoentes, isto e:_23_4= 234= 212= 4096dr. betueldejesusvarelacanhanga 19Observacao3.2. Importante: Uma potencia so e negativa se tiver base negativa e expoente impar. Uma potencia de expoente par, e sempre posetiva independentimente do sinal da base. Sempre que o zero for base de uma potencia, ela sera igual a zero. Sempre que o zero for expoente de uma potencia de base diferente de zero, ela sera igual a 1.3.3 RadiciacaoVamos, sem limitacao da sua essencia, prestar atencao a Raiz Quadrada - Raiz de indice 2: a, que eo mesmo que escrevera12. Desta propriedade advem que 4 = 412= _22_12usando a superpotenciacaoteremos2212= 2, com mesma analogia teremos36 = 6 porque 62= 36,100 = 10 porque 102= 1003.3.1 Raizde ImdicenConsideremos o seguinte problema:O volume de um cubo e igual a27cm3.Qual e a medida dasarestas do cubo?Resolucao: Pararesolvar esteproblema, recordaremos primeiroaformulaparaocalculodovolume de um cubo. Sabemos que:Vcubo = (aresta)3entao, poderemosrefazeraperguntadenodoseguinte: Qualeon umeroqueelevadoaocubosejaigual a 27. Isto ex3= 27para calcular o valor recorremos ao seguintex3= 27 = x3= 33x = 3.E dizemos, cubo de 3 e 27, entao, a aresta do cubo em questao mede3cm.Denicao3.2. Chama-se raiz de ndicende um n umero real bao n umero real a, tal quean= bonde n e o ndice do radical, b e o radicando.caso onseja impar obpode ser qualquer valor realcaso onseja par obdeve ser qualquer valor real posetivo ou zero.Jaquepodemosolharparaumradical comoumapotenciadeexpoentefraccionario, entao, aspropriedades e regras sobre multiplicacao e divisao de potencias podem aqui ser utilizadas com umae unica prerogativa de que para o caso de raizes, os expoentes sao fraccoes.3.3.2 MultiplicacaoeDivisaodeRadicaisAomultiplicarmos (dividirmos) radicais commesmo ndiceobtemos umoutroradical com ndiceigual ao ndice dos radicandosfactores (quocientes) e com radicamdoigual aoproducto(razao) dosradicandos factores (quocientes).na nb =na b,na nb =na b20 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorExemplo3.5. Veja os exemplos que se seguem:1)32 324 =32 24 =3482)32 324 =32 24 =3483.3.3 SimplicacaodeRadicais(Reducaoaomesmo ndice)Vimos a multiplicacao e divisao de radicais com mesmo ndice. Existem casos em que se nos e impostaa necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes comndices diferentes. Situacoes desta natureza levamnos `a necessidade de simplicacao ou transformacao de radicais.Observacao 3.3. Se multiplicarmos ou dividirmos o ndice de um radical e o expoente do radicandopelo mesmo valor natural nao nulo, o valor do radical nao se altera, isto enam= amn=nkamk= amknkExemplo3.6.327 =333=32332=636Esta propriedade ajuda-nos a resolver o caso de reducao de radicais ao mesmo ndice. Tornandopor esta via possvel a multiplicacao de radicais com ndices diferentes.35 e7Achando o m.m.c de (2 e 3) que sao os coecientes dos dois radicais, obteremos 6, entao:35 =3252=6257 =27 =2373=673dai35 7 =625 673=6_25 733.3.4 ComparacaodeRadicaisCom o mesmo Indice - Dois radicais com mesmo ndice e radicandos diferentes, e maior o quetiver maior radicando. Assim:35 1.2)x + 3o domnio sera: x + 3 > 0 x > 3.3)5x + 3o domnio sera: x R. Veja que o ndice do radical e mpar.DenominadordeumafraccaonaopodeserigualazeroExemplo4.5. Determine os Domnios das Seguintes Expressoes1)x + 1x 1o domnio sera: x 1 ,= 0 x ,= 1.2)x + 3x + 2o domnio sera: x + 2 ,= 0 x ,= 2.As funcoes logaritmicas denem-se em R+, isto e, os argumentos de funcoes logartmicasdevemsempresermaioresdoquezero.Exemplo4.6. Determine os Domnios das Seguintes Expressoes1) log2(x 2)o domnio sera: x 2 > 0 x > 2.2) log10(sin x)o domnio sera: sinx > 0. resolve-se a inequacao.Denominadoresquecontemraizesde ndicepardevemsermaioresdoquezero.Exemplo4.7. Determine os Domnios das Seguintes Expressoes1)x 1x + 1o domnio sera: x 1 > 0 x > 1.2)x2+ 33x + 1o domnio sera: x + 1 ,= 0 x ,= 1. Veja que o ndice do radical e mpar.4.1.3 ValoresNumericosdeUmaExpressaoLiteralAs expressoes geralmente sao compostas por sinais operacionais, por numeros e por simbolos literarios(Letras) Dai, Expressoes Literais. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectu-adas algumas operacoes. Este valor tem o nome de valor numerico de expressoes literais. Por exemplo,se elas possuem variaveis, ao substituirmos as variaveis por respectivos valores numericos, obteremosatraves de operacoes um numero que correspondera ao valor numerico da expressao no seu todo.Exemplo4.8. Determine o valor numerico das seguintes expressoes:1) x2y2, quandox = 1ey = 2, teremos:x2y2= (1)2(2)2= 1 4 = 3.Assim 3e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.dr. betueldejesusvarelacanhanga 272) x2y2, quandox = 2ey = 1, teremos:x2y2= (2)2(1)2= 4 1 = 3.Assim3e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.3) x2y2, quandox = aey = b, teremos:x2y2= (a)2(b)2.Assima2b2e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.4) x + y3, quandox = 1ey = 3, teremos:1 + (3)3= 1 + (27) = 1 27 = 28.Assim 28e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.4.1.4 PolinomiosDenicao 4.1. Chama-se monomio a expressao constituida por n umeros relactivos ou por um pro-ducto de n umeros relactivos eventualmente representados por letras.Exemplo4.9. Vejamos seguintes exemplos1) 3e um monomio2) 2xe um monomio3) 3x2e um monomio4) 7x2y3e um monomio5)xy27e um monomioDenicao4.2. Num monomio a parte composta por numeros (constantes) chama-se coeciente.Denicao4.3. A parte composta por letras chama-se parteliteral.Denicao 4.4.Chama-se grau de um monomio a soma dos expoentes associados as variaveis. Vamosconsiderar sem limitacao da sua essencia, monomios de variavel x.Exemplo4.10. Vejamos os seguintes exemplos.1) Nomonomio 7x2y3ocoecienteeo7eaparteliterale x2y3, ograudestemonomioe2 + 3 = 52) No monomioax2o coeciente e oae a parte literal ex2, o grau deste monomio e23) No monomioabx3o coeciente e oabe a parte literal ex3, o grau deste monomio e328 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior4.1.5 MonomiosSemelhanteseMonomiosIguaisDenicao 4.5.Diz se que dois monomios sao semelhantes ou identicos, se eles tem a mesma parteliteralExemplo4.11. Considere seguintes exemplos1) 4xe 7xsao monomios identicos2) 2x2yeyx24sao monomios identicos.Denicao4.6. Dois monomios sao iguais se eles sao identicos e possuem mesmos coecientes.Exemplo4.12. Considere seguintes exemplos1) 4xe4xsao iguais2) 2x2ye8yx24sao iguais.4.1.6 Operac oesSobreMonomiosCom os monomios podemos efectuar as operacoes de adicao, subtracao, multiplicacao e divisao.OsestudantesdevemprestaratencaoaexplicacoesdoProfessorAdicao-Adicioneseguintesmonomios1) 3x2e7x22) ax2ebx23) 7x4e7x34) 3x2e7x55) 3xsin2e7xsin 22xln2e7xln3Subtracao-Subtraiaseguintesmonomios1) 3x2e7x22) ax2ebx23) 7x4e7x34) 3x2e7x55) 3xsin2e7xsin 22xln2e7xln3Divisao-DividaseguintesmonomiosNa divisao de monomios seguem se as regras sobre divisao de potencias (com mesma base e expoentediferentes).1) 3x2e7x2dr. betueldejesusvarelacanhanga 292) ax2ebx23) 7x4e7x34) 3x2e7x55) 3xsin2e7xsin 22xln2e7xln3Multiplicacao-MultipliqueseguintesmonomiosNa multiplicacao de monomios seguem se as regras sobre multiplica cao de potencias (com mesmabase e expoente diferentes).1) 3x2e7x22) ax2ebx23) 7x4e7x34) 3x2e7x55) 3xsin2e7xsin 22xln2e7xln34.1.7 Polinomios,Polin omiosSemelhantesePolin omiosIguaisDenicao4.7. Um Polinomio e um agrupamento de monomios (esteagrupamento efeitoatravesde operadores de adic ao ou subtracao)Denicao4.8. Dois polinomiossaoidenticos se os seus monomios sao identicos dois a doisExemplo4.13. x21e3x2+ 3Denicao4.9. Dois polinomiossaoiguais se os seus monomios sao iguais dois a doisExemplo4.14. x21, x21e 1 + x2Com polinomios podemos efectuar as operacoes de adicao, subtracao, divisao e multiplica cao. (Osestudantes podem consultar o livro Matematica Jovem de Antonio Almeida Costa, Alfredo dos Anjose Antonio Lopes)OsestudantesdevemprestaratencaoaexplicacoesdoProfessorAdicioneseguintespolinomios1) x37x + 9e2x3+5x + 52) x2x73 + 2e2x73 +5x3) x4xsin 7 3e2x3+5x + 6Subtraiaseguintespolinomios1) x37x + 9e2x3+5x + 52) x2x73 + 2e2x73 +5x30 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior3) x4xsin 7 3e2x3+5x + 6Multipliqueseguintespolinomios1) x37x + 9e2x3+5x2) x2x73 + 2e2x73 +5x3) x4xsin 7 3e2x3+ 6Dividaseguintespolinomios1) x37x + 9e2x3+ 32) x23x + 2e2x 13) x43x3+ 2x2x + 1e2x3+ x23x4) x5+ 3x2+ 4xe2x5) 2x2+ x 10ex 26) 3x32x + 5ex 34.1.8 FactorizacaodePolinomiosAntesdeintroduzirmo-nosnestetema, vamosprocurarperceberqueotermofactorizacaovemdefactores, e que factores sao os diferentes componentes de uma multiplica cao. Por exemplo2 4 = 8,podemos dizer que2e 4sao factores.Portanto,factorizar e o mesmo que trasnformar uma determinada expressao polinomial em umasucessao de factores. Transformar uma expressao em uma multiplicacao.Exemplo 4.15.Existem diferentes metodos de factorizacao, cada metodo e adequado a determinadassituacoes. Veja os exemplos que se seguem1) x3= x x x.2) x3+ x2= x2(x + 1)(evidenciamos os factores comuns).3) 2x3+ 2x = 2x(x2+ 1)(evidenciamos os factores comuns).4) ax + a2x + a2+ a = x(a2+ a) + a2+ a = (a2+ a)(x + 1)(evidenciamos os factores comuns).5) 10 3x x2Para factorizar este polinomio quadratico teremos10 3x x2= (2 x)(5 + x)transformamos assim o polinomio10 3x x2em factores(2 x)e(5 + x)dr. betueldejesusvarelacanhanga 31Observacao 4.1. Seja dado o polinomioax2+bx +c, a ,= 0se = b24ac 0poderemosfactorizar o polinomio seguinte a formulaax2+ bx + c = a(x x1)(x x2)ondex1, x2sao calculados pelas formulasx1 = b +2a, x2 = b 2aObservacao 4.2.Em muitos casos usamos algumas igualdades (Os ditos casos notaveis), vejamos:Explicaraosestudantesestescasosnotaveis (x + y)2= x2+ 2xy + y2, (x y)2= x22xy + y2, (x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3, (x y)3= x33x2y + 3xy2y3, x2y2= (x y)(x + y), x3y3= (x y)(x2+ xy + y2), x3+ y3= (x + y)(x2xy + y2),4.1.9 PolinomiosQuadraticosExistemdiferentesclassesdepolinomios, eestasclassessaoatribuidasemfuncaodoseumaiorex-poente. Por exemplo, um polinomio com maior expoente igual a 1 chama-se polinomio de grau 1 oulinear, um polinomio com maior expoente igual a 2 chama-se polinomio de grau 2 ou quadratico,um polinomio com maior expoente igual a 3 chama-se polinomio de grau 3 ou c ubico...assim emdiante.Denicao4.10. Chama-sepolinomioquadraticodevariavel xaopolinomiodadonaformaP(x) = ax2+ bx + c, a ,= 0, b, c R.Aa, becchamamos coecientes do polinomio.Ao igualarmos um polinomio quadratico a zero transformamo-lo numa equacao quadratica.Observacao4.3. Importanteum polinomio de grau 1 tem uma solucao (ou 1 raiz)um polinomio de grau 2 tem duas solucoes (ou 2 raizes)um polinomio de grau 3 tem tres solucoes (ou 3 raizes) 32 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorOspolinomiosquadraticossaosobejamenteconhecidos,razaopelaqualexistemformulasparamomentosimportantesdeestudossobreestestiposdepolinomios. VejaatentamenteDenicao 4.11.Para um polinomio quadratico na formaax2+bx+c = 0, chama-se Discriminante,edenota-seao valor numerico dado pela expressao = b24acDenicao4.12. Chama-se Zero de um polinomio aos valores dexque fazem com que o polinomioseja igual a zero. Isto e:ax2+ bx + c = 0, a ,= 0Facamos seguintes transformacaos:1) (colocar em evidencia o valor dea, e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2)ax2+ bx + c = 0 a_x2+bax +ca_ = 0 a_x2+2b2ax +ca_ = 02) passar oa, para o membro direito, somar e subtrair a equacao o valor_b2a_2ax2+ bx + c = x2+bax +ca= x2+ 2b2ax +_b2a_2_b2a_2+ca= 03) Identicar o caso notavelax2+ bx + c =_x +b2a_2_b2a_2+ca=_x _b2a__2_b2a_2+ 4ac4a2= 04) Fazendo transformacoes na parte da constante teremosax2+ bx + c =_x _b2a__2b24ac4a2= 0 _x _b2a__2=b24ac4a25) Resolvendo a equacao teremosax2+ bx + c = x _b2a_ = b24ac2ax =_b2a_b24ac2ade onde teremosx1,2 = b b24ac2a= b 2aDenicao4.13. Paraumpolinomioquadraticonaformaax2+ bx + c=0, chama-seVerticeaopontoondeogracomudademonotonia. edeterminam-seascoordenadasdestepontousandoasexpressoesxv = b2a, yv = 4atambem, pode se achar oxvachando a media aritmetica dos zeros da funcaodr. betueldejesusvarelacanhanga 33Observacao 4.4.E importante saber que um ponto no plano e composto por duas coordenadas, umacoordenadanoeixodos xeumaoutracoordenadanoeixodos y,eanalogoaocenariodequeumcasal ecompostoporduasentidades(masculinaefemenina). Assimaodeterminarmosoverticedeuma parabola preocupamo-nos em determinar oxve oyv, portanto o par(xv, yv)Observacao4.5. Se designarmos os dois zeros de uma equacao quadratica porx1ex2, poderemosescrever uma equacao quadratica ou um polinomio quadratico de modo seguinteax2+ bx + c = a(x x1)(x x2)Observacao4.6. Se designarmos os dois zeros de uma equacao quadratica porx1ex2, poderemosescrever uma equacao quadratica ou um polinomio quadratico de modo seguinteax2+ bx + c = a[x2(x1 + x2)x + x1x2]Veja quex1 + x2 = bae x1x2 =caObservacao4.7. Nas equacoes quadraticas ou polinomios quadraticos, podemos calcular as coorde-nadas do vertice e a seguir escrever o polinomio de modo seguinteax2+ bx + c = a(x xv)2+ yv.Esta formula e tambem conhecida por FormuladeViet-SP4.1.10 TriangulodePascallinha 01linha 11 1linha 21 2 1linha 31 3 3 1linha 41 4 6 4 1linha 51 5 10 10 5 1linha 61 6 15 20 15 6 1linha 71 7 21 35 35 21 7 1linha 81 8 28 56 70 56 28 8 134 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorExemplo4.16. Veja de seguida os exemplos da aplicacao do triangulo de PascalObservacao 4.8.Um binomio com expoenten N pode ser desenvlvido em soma de monomios comgrau igual ane coeciente tirados da linhando triangulo de Pascal.1) Decomponha (3 + 2)1, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente1, vamosentaorecorrer a linha 1, teremos que somar monomios de grau 1 e coecientes 1 e 1 (veja a linha 1),teremos entao:(3 + 2)1= 1 3120+ 1 3021= 3 + 2 = 52) Decomponha (3 + 2)2, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente2, vamosentaorecorrer a linha 2,teremos que somar monomios de grau 2 e coecientes 1,2 e 1 (veja a linha2), teremos entao:(3 + 2)2= 1 3220+ 2 3121+ 1 3022= 9 + 12 + 4 = 253) Decomponha (a + b)2, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente2, vamosentaorecorrer a linha 2,teremos que somar monomios de grau 2 e coecientes 1,2 e 1 (veja a linha2), teremos entao:(a + b)2= 1 a2b0+ 2 a1b1+ 1 a0b2= a2+ 2ab + b24) Decomponha (a + b)3, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente3, vamosentaorecorrer a linha 3, teremos que somar monomios de grau 3 e coecientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha3), teremos entao:(a + b)3= 1 a3b0+ 3 a2b1+ 3 a1b2+ 1 a0b3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b35) Decomponha (a + b)4, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente4, vamosentaorecorreralinha4,teremosquesomarmonomiosdegrau4ecoecientes1,4,6,4e1(veja alinha 4), teremos entao:(a + b)4= 1 a4b0+ 4 a3b1+ 6 a2b2+ 4 a1b3+ 1 a0b4= a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b46) Decomponha(a b)2=[a + (b)]2, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente2,vamos entao recorrer a linha 2,teremos que somar monomios de grau 2 e coecientes 1,2 e 1(veja a linha 2), teremos entao:(a + b)2= [a + (b)]2= 1 a2(b)0+ 2 a1(b)1+ 1 a0(b)2= a22ab + b2dr. betueldejesusvarelacanhanga 357) Decomponha(a b)3=[a + (b)]3, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente3,vamos entao recorrer a linha 3, teremos que somar monomios de grau 3 e coecientes 1, 3, 3 e 1(veja a linha 3), teremos entao:(ab)3= [a+(b)]3= 1a3(b)0+3a2(b)1+3a1(b)2+1a0(b)3= a33a2b+3ab2b38) Decomponha(a b)4=[a + (b)]2, comopodemosvertemosumapotenciadeexpoente4,vamos entao recorrer a linha 4, teremos que somar monomios de grau 4 e coecientes 1, 4, 6, 4e 1 (veja a linha 4), teremos entao:(ab)4= 1a4(b)0+4a3(b)1+6a2(b)2+4a1(b)3+1a0(b)4= a44a3b+6a2b24ab3+b44.1.11 ExerciciosResolvidos1) Determine os Valores deAeBde modo que:(a)1(x 1)(x + 1)=Ax 1 +Bx + 1Resolucaovamos somar as fraccoes que se encontram a direita, teremos:1(x 1)(x + 1)=A(x + 1) + B(x 1)(x 1)(x + 1)1 = Ax + A + Bx B (A + B)x + AB = 0x + 1daqui resolvemos o seguinte sistema de equacoes_A + B = 0AB = 1_A = BB B = 1_A = BB = 12___A =12B = 12.(b)2(x 1)(x + 1)2=Ax 1 +Bx + 1 +C(x + 1)2Resolucaovamos somar as fraccoes que se encontram a direita, teremos:2(x 1)(x + 1)2=A(x + 1)2+ B(x 1)(x + 1) + C(x 1)(x 1)(x + 1)22 = A(x2+2x +1) +B(x21) +C(x 1) = (A+B)x2+(2A+C)x +(ABC) = 2daqui resolvemos o seguinte sistema de equacoes___A + B = 02A + C = 0AB C = 2___A = B2(B) + C = 0B B C = 2___A = B2B = C2B C = 2___A = B2B = C2C = 2___A = B2B = 1C = 1___A =12B = 12C = 136 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior(c) Factorize o seguinte PolinomioP(x) = x33x2+ 2xResolucaoVamosprimeiroevidenciarofactorcomum,ofactorqueapareceemtodososmonomios,teremos entao:P(x) = x33x2+ 2x = x(x23x + 2)vemosqueestamosagoranapresencadeumpolinomioquadratico. Podemosacharasraizes(x1 = 1; x2 = 2)e dai poderemos escreverP(x) = x33x2+ 2x = x(x23x + 2) = x(x 1)(x 2)(d) Factorize o seguinte Polinomiox3y3,Resolucaotrata-se da diferenca de cubos, veja que estamos na presenca de um caso notavel, teremosentao:x3y3= (x y)(x2+ xy + y2)(e) Factorize o seguinte Polinomiox2y4,trata-sedadiferencadequadrados, vejaqueestamos napresencadeumcasonotavel,teremos entao:x2y4= x2(y2)2= (x y2)(x + y2)2) Efectue as seguintes operacoes(a)52x 10 +xx 5ResolucaoVamos antes de tudo transformar a primeira fraccao e de seguida achamos o mmc.52x 10 +xx 5=52(x 5) +xx 5=52(x 5) +2x2(x 5)=5 + 2x2x 10.(b)x2x + 2 4x 4x + 2ResolucaoComo temos duas fraccoes com mesmo denominador, iremos somente efectuar a operacaode subtraccao, preste atencao porque antes do sinal de fraccao aparece um sinal -que afectatoda a fraccao.x2x + 2 4x 4x + 2=x24x + 4x + 2.3) Sejaf(x) = 2x2x Determinef(2), f(a), f(2+a), f(2a), f(k +a), f(a) f(2a)(a) f(2) = 2(2)22 = 2 4 2 = 8 2 = 6(b) f(a) = 2(a)2a = 2 a2a = a(2a 1)(c) f(2+a) = 2(2+a)2(2+a) = 2(4+4a+a2) 2a = 8+8a+2a22a = 2a2+8a+6(d) f(2a) = 2(2a)2(2a) = 2(44a+a2) 2+a = 88a+2a22+a = 2a27a+6(e) f(k + a) = 2(k + a)2(k + a) = 2 (k2+ 2ka + a2) k a = 2k2+ 4ka + 2a2k a =2a2+ 2k2+ 4ka k a(f) f(a) f(2 a) = 2a2a (2a27a + 6) = a + 7a 6 = 6a 6dr. betueldejesusvarelacanhanga 374.1.12 ExercciosdeAplicacao1) Calcule o valor numerico das seguintes expressoes para os valores dexindicados(a) (x 1)(x2+ x + 1)parax = 1, x =2(b)x + 1x 1 x35xx21parax = 32) Sejaf(x) = 3(x 2)2+ 5calculef(2 + )ef(2 )3) Sejaf(x) =52 xcalculef(2 + )ef(2 )4) Sejaf(x) =x + 3x 2calculef(2 + )ef(2 )5) Sejaf(x) = x23x+2. Calculef(3), f(2x3), f(2x3)+f(2x+3), f(x+h), f(x + h) f(x)h6) Sejaf(x) = 2x 3eg(x) = x2+ 5calcule(a) f(5), g(3), g[f(2)], f[g(3)], g[f(x)](b) f[g(x + 1)] + g[g(x)]7) Determine o domnio de seguintes expressoes(a) x21 + 1x(b)x25x + 1x22x(c)2 x(d)1x +2x + 3(e)x + 3x 4(f)x2+ 3x 1(g)5x29 +7x + 3(h)x 2 +6 2x8) SejaP(x) = 2x3+ ax2+ bx 5. Determineaebde modo queP(2) = 0eP(1) = 09) Sejam dados os polinomiosA(x) = x3+ 3x27x + 5, B(x) = 2x33x2+ 2x 1, C(x) = 3x3+ 5x 2.Determine(a) A + B + C(b) 2A + 2B C(c) 2A3B 5C10) Determineede modo que os polinomiosA(x)eB(x)sejam iguais(a) A(x) = ( + )x23x B(x) = 5x2( )x(b) A(x) = 2x2+ 3x 5 B(x) = 4x2+ 3x 3 + 38 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior11) Determinemde modo que o polinomioQ(x) = (m21)x2+ (m23m + 2)x + 1 + m3(a) seja constante(b) seja do primeiro grau12) Factorize pondo em evidencia o factor comum(a) 8a3b2+ 16a2b3+ 20a3b3(b) 5x315x2(c) 16x520x4+ 8x3(d) (x + 1)(7x 3) (x + 1)(2 x)(e) 2x(x 1)22x2(x 1)13) Factorize os seguintes trinomios(a) x2+ 3x + 2(b) x2+ 7x + 6(c) x2+ x 42(d) x5+ 4x4+ 4x314) Factorize (Diferenca de quadrados)(a) 25a236(b)4x29 16y225(c) 18 5x2(d) (a + 5)2(4 3a)215) Escreva sob forma de quadrado perfeito(a) 81a218a + 1(b) 49x2+ 28xy + 4y2(c) (a + 3)26(a + 3)5 + 45(d)(6 x)212+ 6 xx+3x216) Factorize usando casos notaveis(a) 8x3y327(b)8a327+ 64b6125(c) 8x3(x 3)3(d) (2x 5)3+ 27x317) Factorize agrupando em factores(a) ax + 2x + 3a + 6(b) ax x 5a + 5(c) x23ax 2x + 6a18) Factorize caso possveldr. betueldejesusvarelacanhanga 39(a) x416y4(b) 5x2+ 125(c) 9x3y + 30x2y225xy3(d) 3x2+ 15xy + 12y2(e) 5a210a2b2+ 5b4(f) (a 3)2(5 2a)2(g) (x y)3(x + y)319) Simplique(a)4x 8x 2(b)6x214x14 + 6x(c)x 3x26x + 9(d)x28x + 1616 x2(e)8x 4x26x 12(f)4x212x + 94x29(g)(2x 1)(x 1)22(x2x 1)(x 1)(x 1)420) Simplique(a)2x(x 1) x2(x 1)2(b)(2x + 3)x22x(x2+ 3x)x3(c)(2x + 1)(x2x) (2x 1)(x2+ x)x2(x 1)221) Efectue seguintes operacoes(a)x2x + 2 4x 4x + 2(b)xx + 1 + 34(c)xx 3 2x29(d)2xx22x 15 +3x210x + 2522) DetermineAeBde modo que:(a)3x 1x2+ 4x 5=Ax + 5 +Bx 1(b)12x2+ 3x 2=A2x 1 +Bx + 2Ensinar elembraraosoutrosqueelessabemtanto,quantovoceTypeset by LATEX2Captulo5GeometriaPlana5.1Areas,PermetroseVolumesdeFigurasGeometricas5.1.1 QuadradoE uma gura geometrica que tem as seguintes caracteristica:1) Quatro lados iguais;2) Quatro angulos rectos - (iguais a 90o).3) Diagonais iguais e perpendiculares.Chamemos ddiagonal; PPermetro, SSuperfcie ou area; ao lado do quadrado. Veja aguraA BC Daaaa90oFigura 5.1:40dr. betueldejesusvarelacanhanga 41Com base na gura e nas propriedades do quadrado podemos tirar as seguintes ilacoes: AC = BD = d, AB = BC = CD = AD = a. d2= a2+ a2d2= 2a2d =2a2d = a2; P= 4a, S = a2.5.1.2 LosangoE uma gura geometrica que tem as seguintes caracteristica:1) Quatro lados iguais;2) Diagonais perpendiculares.Chamemos ddiagonal; PPermetro, SSuperfcieouarea; aoladodolosango. VejaaguraA BC Daaaa90oKFigura 5.2:42 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorCom base na gura e nas propriedades do losango podemos tirar as seguintes ilacoes: DK = he perpendicular aAB- (altura). AC = d1, BD = d2, AB = BC = CD = AD = a. P= 4a, S = ah, S =d1 + d225.1.3 RectanguloE uma gura geometrica que tem as seguintes caracteristica:1) Lados iguais 2 a 2;2) Quatro angulos rectos - (iguais a 90o).3) Diagonais iguais.Chamemos ddiagonal; PPermetro, SSuperfcie ou area; lo lado menor do rectanguloeco lado maior do rectangulo. Veja a guraA BCDclFigura 5.3:dr. betueldejesusvarelacanhanga 43Com base na gura e nas propriedades do rectangulo podemos tirar as seguintes ilacoes: AC = BD = d, AB = CD = c, AD = BC = l. d2= c2+ l2d =c2+ l2; P= 2c + 2l, S = cl.5.1.4 ParalelogramoE uma gura geometrica que tem as seguintes caracteristica:1) Lados opostos iguais;2) Lados opostos paralelos;3) angulos opostos iguais;4) Diagonais intersectam-se no ponto medio.Chamemosd diagonal;P Permetro,S Superfcie ou area;a o lado menor eb o lado maior doparalelogramo. Veja a guraA BC DbaKFigura 5.4:Com base na gura e nas propriedades do paralelogramo podemos tirar as seguintes ilacoes: DK = he perpendicular aAB- (altura). AC = d1, BD = d2, AB = CD = b BC = AD = a. P= 2a + 2b, S = bh,5.1.5 TrianguloE uma gura geometrica que tem as seguintes caracteristica:1) Tres lados;2) Tres angulos;44 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorA BcCabKFigura 5.5:ChamemosPPermetro, SSuperfcie ou area; a, b, cos lados do triangulo. Veja a guraCom base na gura e nas propriedades do triangulo podemos tirar as seguintes ilacoes: CK = he perpendicular aAB- (altura). P= a + b + c, S =base altura2=AB CK2=ch2,5.1.6 Classicacaodostriangulos-Quantoaoslados1) Triangulo Equilaterotem tres lados iguais, CK AB (signica perpendicular) - (altura),A altura divide a base em dois segmentos iguaisAK = BK,A altura divide o angulo do topo em dois sectores iguais ACK = KCB,Os seus tres angulos sao iguais e iguais a 60o.A BaCaaKFigura 5.6:dr. betueldejesusvarelacanhanga 45(a) Como AB=ae AK=BK AK=BK=a2dai quenotriangulo AKCteremosa2= h2+_a2_2a2_a2_2= h2h2= a2_a2_2h2=44a2_a2_2h2=4a2a24h =_4a2a24=3a22h =a23(b) P= 3a(Permetro)(c) S =ah2=a a232=a2432) Triangulo IsoscelesTem pelo menos dois (2) lados iguais. CK AB (signica perpendicular) - (altura),Aalturadivideasbasesemduas(2)partesiguaisseestaalturafortracadaapartirdovertice criado pelos (2) lados iguais.A BCaabKFigura 5.7:46 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior(a) Como AB=b, AC=BC, AK=BK=b2dai quenotriangulo AKCteremosa2= h2+_b2_2a2_b2_2= h2h2= a2_b2_2h2=44a2_b2_2h2=4a2b24h =_4a2b24=4a2b22(b) P= 2a + b(Permetro)(c) S =ah2=b 4a2b222=b4a2b243) Triangulo EscalenoTem os tres (3) lados desiguais, isto e,diferentes. CK AB (signica perpendicular) - (altura),A BCabcKFigura 5.8:dr. betueldejesusvarelacanhanga 47(a) P= a + b + c(Permetro)(b) S =ah25.1.7 ClassicacaodeTriangulos-QuantoaosAngulos1) Triangulo Acutangulo - Vide a gura(5.9)Tem todos (3) angulos agudos (menores que 90o)A BCabcFigura 5.9:2) Triangulo Rectangulo - veja a gura(5.10)Tem um angulo recto [na gura vem sombreado] (igual a 90o)Os outros dois (2) angulos sao agudos (menores do que 90o).A BCabcFigura 5.10:3) Triangulo Obtusangulo - veja a gura(5.11)Tem um angulo obtuso (maior que 90o)[na gura vem sombreado]Os outros dois (2) angulos sao agudos (menores do que 90o).48 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorA BCabcKFigura 5.11:5.1.8 TrapezioE uma gura da geometria plana com as caracteristicas seguintesTem quatro (4) ladosDois lados paralelos - basesBase Maior - dos lados paralelos - o que tiver maior comprimento.Base Menor - dos lados paralelos - o que tiver menor comprimento.Dois lados nao paralelos.Tem a altura que e a distancia entre as bases.1) Trapezio Rectangulo.Tem dois angulos rectos - [na gura vem sombreados].A altura e igual a um dos lados CKe a altura.A BD C baseBaseKFigura 5.12:2) Trapezio Escaleno.Tem todos lados desiguais.dr. betueldejesusvarelacanhanga 49 AD ,= BCDois angulos agudos e dois obtusos CKe a altura.A BD C bBKFigura 5.13:3) Trapezio Equilatero.Tem dois (2) lados iguais. AD = BC.Dois angulos agudos (iguais) e dois obtusos (iguais). CKe a altura.A BD C bBKFigura 5.14:Para qualquer trapezio temosS =(B + b)2h.5.1.9 PapagaioDois lados consecutivos iguaisDiagonais Perpendicularesdois dos quatro angulos sao iguais. P= 2a + 2b(Perimetro)50 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior S =d1d22onded1 = AC, d2 = BDsao as diagonais do papagaio. BC = CDeAB = AD.AD BCFigura 5.15:5.1.10 CrculoeCircunferencia P= 2r(Permetro). S = r2(Superfcie).oArFigura 5.16:5.1.11 SectorCircularO sector circular e uma determinada parte do crculo, veja a parte sombreada.Ocomprimentodoarconapartesombreadacalcula-sepelaformulaCa=2r360oonde eoangulo descrito ao tracarmos o sector circular. P= 2r + Ca = 2r +2r360o , (Permetro)dr. betueldejesusvarelacanhanga 51 S =r2360o(Superfcie).oArFigura 5.17:5.1.12 LinhasdeNveldeUmTriangulo1) Altura - Um segmento perpendicular a um dos lados do triangulo, e e baixado do vertice opostoa esse lado.90oFigura 5.18:52 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorObservacao5.1. Numtriangulopodemossempreencontrartres(3)alturas, opontodein-terseccaodasalturaschama-seortocentro. Astreslinhasdesenhadasnotriangulodagura(5.19) saoalturas(cadaumatracadaemrelaccaoaumabase), oqueimplicaqueosangulosmarcados na gura sejam de 90o. O ponto pintado no centro do triangulo e o ortocentro.Figura 5.19:2) mediatriz - Um segmento perpendicular ao lado do triangulo, e que passa pelo ponto medio dessetriangulo. Podemos tracar 3 mediatrizes apartir de um triangulo.Observacao 5.2.As tres linhas desenhadas no triangulo da gura (5.20) sao mediatrizes (cadauma tracada em relaccao a um lado), o que implica que se vericam as seguintes igualdadesAI = CI, CJ = BJ, AK = BK.E os angulos marcados na gura sao rectos. O ponto pintado no centro do triangulo e o Cicun-centro (nome dado ao ponto de interseccao das mediatrizes).A B KJCIFigura 5.20:3) mediana - Um segmento que passa pelo ponto medio do lado de um triangulo e e tracado apartirdo vertice oposto `a esse lado. Podemos tracar 3 medianas apartir de um triangulo.dr. betueldejesusvarelacanhanga 53Observacao5.3. As tres linhas desenhadas no triangulo da gura(5.21)sao medianas (cadauma tracada em relaccao a um lado), o que implica que se vericam as seguintes igualdadesAI = CI, CJ = BJ, AK = BK.OpontopintadonocentrodotrianguloeoCentrodegravidadeouBarricentro(nomedado ao ponto de intersec cao das medianas).A B KJCIFigura 5.21:4) Bissectriz-Umsegmentoquedivideangulodeumtrianguloem(2)partes(sectores)iguais.Podemos tracar 3 bissectrizes apartir de um triangulo.Observacao 5.4.As tres linhas desenhadas no triangulo da gura(5.22)sao bissectrizes (cadauma tracada em relaccao a um angulo), o que implica que se vericam as seguintes igualdades1 = 2, 3 = 4, 5 = 6.O ponto pintado no centro do triangulo e o Incentro (nome dado ao ponto de interseccao dasbissectrizes).A34B56C1 2Figura 5.22:54 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior5) Linha media - Um segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo. A linhamedia e paralela ao terceiro lado e mede a metade desse lado. Podemos tracar 3 linhas mediasapartir de um triangulo.Observacao5.5. Astreslinhasdesenhadasnotriangulodagura(5.23) saolinhasmedias(cadaumatracadaemrelaccaoa(2)ladosdotriangulo), oqueimplicaquesevericamasseguintes igualdadesAI = CI, CJ = BJ, AK = BK.Cumprem-se tambem as seguintes armacoes(a) JK | AC, 2 JK = AC(b) IJ | AB, 2 IJ = AB(c) IK | BC, 2 IK = BCA B KJCIFigura 5.23:5.1.13 TeoremadePitagorasObservacao5.6. O teorema de pitagoras aplica-se sobre triangulos rectangulo.SegundoPitagoras, asuperfciedoquadradodesenhadoapartirdahipotenusadeumtriangulorectangulo, eigual, asomadassuperfciesdequadradosdesenhadosapartirdoscatedosdomesmotriangulo.Na gura (5.24) temos um triangulo [o angulo pintado mede 90o] rectangulo com hipotenusaae catetosbec, pelo teorema teremos1) Superfcie do quadrado formado pela hipotenusaSh = a22) Superfcie do quadrado formado pelo catetob Sc1 = b23) Superfcie do quadrado formado pelo catetoc Sc2 = c2entao:a2= b2+ c2dr. betueldejesusvarelacanhanga 55A BCabcFigura 5.24:5.1.14AngulosComplementaresSaoaquelescujasomaeigual a90ograus. + =90o, dizemosque ecomplementarde ,versa-vice.Na gura(5.25), suponhamos que o anguloBseja recto, isto e, igual a 90o, a soma deeeigual a 90o.BFigura 5.25:5.1.15AngulosInternosdeUmTrianguloAsomadosangulosinternosdeumtrianguloesempreigual a180o, aserassim, nagura(5.26),temos + + = 180oda gura(5.26), podemos tirar as seguintes deducoes: + = 180o = 180opor outro lado + + = 180oentao: + (180o) + = 180o + = 56 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorABCFigura 5.26:5.1.16AngulosSuplementaresSao aqueles cuja sua soma e igual a 180o. Dizemos queesao complementares se + = 180ooFigura 5.27:5.1.17AngulosInternosdeUmQuadrilateroAsomadosangulosinternosdeumquadrilateroesempreigual a360o. Deacordoagura(5.28)teremos + + + = 360oPara um quadrilatero regular (guras geometricas sao regulares se tiverem todos lados iguais)a soma dos angulos consecutivos e igual a 180o. Isto e + = + = + = + = 180o5.1.18AngulosVerticalmenteOpostosOs angulos opostos em relaccao ao vertice sao iguais, assim sendo e de acordo a gura(5.29) = = dr. betueldejesusvarelacanhanga 57A BC DFigura 5.28:Figura 5.29:5.1.19AngulosAlternosInternosOsangulosalternos internossaoiguais, observeagura (5.30), suponheque r e s saorectasparalelas, entao: = = rsFigura 5.30:Observacao5.7. Os angulos alternos internos sao tambem chamados z- angulos pois, eles formama letraZ.58 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior5.1.20AngulosCorrespondentesOs angulos correspondentessaoajuncaodos pressupostos criados sobreangulos verticalmenteopostos ez-angulos , observe a gura (5.31),suponhe queres sao rectas paralelas, entao cumprem-se as seguintes armacoes:1) Por oposicao de vertices temos:(a) = 1(b) = 1(c) = 1(d) = 12) Por serem angulos alternos internos (z-angulos) temos:(a) = (b) = 3) De onde concluimos:(a) = 1 = = 1(b) = 1 = = 1111 1rsFigura 5.31:5.1.21 TeoremaDeSemelhancasdeTriangulosDois triangulos sao semelhantes se:1) Tem angulos correspondentes iguais.2) Tem lados correspondentes proporcionais.Na gura(5.32), consideremos que: = 1, = 1, = 1portanto os dois triangulos sao identicos, a ser assim cumpre-se a segunda armacao: (os lados cor-respondentes sao proporcionais),1) O ladoABe correspondente `aDEdr. betueldejesusvarelacanhanga 59ABCD1E1F1Figura 5.32:2) O ladoBCe correspondente `aEF3) O ladoACe correspondente `aDFeABDE=BCEF=ACDFEnsinar elembraraosoutrosqueelessabemtanto,quantovoceTypeset by LATEX2Captulo6RelaccoeseFuncoes6.1 Relacc oesComecemos por denir alguns conceitos:Denicao6.1. Sejam dados os conjuntosA = a1, a2, a3,eB = b1, b2, b3,,chamaremos relaccao a ligacao de elementos de A com os elementos de B. Em outras palavras, chamare-mos Relaccao a associacao entre elementos de dois conjuntos.VamossuporqueoselementosdoconjuntoAsaoasprovinciasnoNortedeMocambiqueeoselementos de B sao as suas respectivas capitais, teremos entao:A = cabodelgado, niassa, nampula B = pemba, lichinga, nampulaao associarmos os nomes das provincias com as suas capitais dizemos que estamos estabelecendorelaccoes e teremosA B = (cabodelgado, pemba); (niassa, lichinga); (nampula, nampula)Denicao6.2. Paraestecaso, chamaremosaoconjuntodepartidadarelaccao, conjuntoApordomnioouobjectoeaoconjuntodechegada, oconjuntoBchamaremos contradomnioouimagem.As relaccoes podem ser estabelecidas de 3 maneiras diferentes.1) por extensao,2) por diagramasdevenn, e3) por compreensao.Exemplo6.1. Consideremos o conjuntoA = 1, 2, 3, 4, B = 5, 10, 15, 20,60dr. betueldejesusvarelacanhanga 61podemos estabelecer a seguinte relaccao entre elementos de A com elementos de BA B = (1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20),estamaneiradeestabelecer relaccoes naosediferedausadaacima. Amesmarelaccaopodeserestabelecida usando formulas e simbolos matematicos de modo seguinte(x, y)[y = 5x, x 1, 2, 3, 4;neste caso o domnio da funcao e o conjuntoA = 1, 2, 3, 4e a regra de denicao da relaccao ey = 5x.Com base na regra temosx = 1 y = 5 1 = 5 x = 2 y = 5 2 = 10x = 3 y = 5 3 = 15 x = 4 y = 5 4 = 20assim sendo, temos(x, y)[y = 5x, x 1, 2, 3, 4 = (1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20);Mostramos desta meneira, dois metodos diferentes de representacao de relaccoes.Observacao6.1. Asfuncoessaorelaccoesqueparacadaelementodoconjuntodepartidaexisteum e somente um elemento no conjunto de chegada.Exemplo6.2. Veja o seguinte exemplo.(1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)e uma funcao porque para cada elemento do conjunto de partida, o conjunto1, 3, 5, 7existe somente um elemento no conjunto de chegada2, 4, 6, 8,de maneira analoga podemos dizer que e uma funcao porque para cadaxpertencente ao par(x, y)existe um e somente umyEm diferentes fontes de conhecimento, em diferentes livros constam diferentes maneiras de denotarfuncoes, vejamos seguintes casosy = 7 x, f(x) = 7 x, g(x) = 7 x.Denotamos entao de 3 maneiras diferentes a mesma funcao. Assumimos nestes casos que os valoresdodomniosaopertencentesaoconjuntoden umerosreais. Estas funcoeschama-sefuncoes devariavelreal62 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior6.1.1 Func oesVamos comecar por denir uma funcaoDenicao 6.3. Um Funcao e uma relaccao em que para cada elemento do domnio corresponde ume somente um elemento do contradomnio.Denicao6.4. Toda funcao do tipoy = ax + bchama-se funcaolinearEstas funcoes quando representadas gracamnete apresentam-se como uma recta (uma linha recta),dai o nomeFun cao LinearNuma funcao lineary = ax+b oa e o coeciente angular, e o parametro que determina o nvel deinclinacao da recta. Dai, se duas rectas tiverem mesmo coeciente angular, entao elas sao paralelas.Seoscoecientesangularesnaoforemiguaissignicaqueasrectastemumpontocomum. Arectaperpendicular ay = ax + btem a formay =1ax + b1,seb = 0 a funcao passa a ter a formay = ax e funcoes deste tipo passam pela origem do sistemacarteziano ortogonal.Se o valor deafor negativo, isto e, menor que zero, diremos que a funcao e decrescente.Se o valor deafor posetivo a funcao e crescente.Seovelorde aforigual azero, diremosafuncaoeconstante, istoe, naoecrescentenemdecrescente.O coeciente angular da recta que passe pelos pontosP1(x1, y1)eP1(x2, y2)ea =y2y1x2x1, x2 ,= x1Denicao6.5. Diremos que uma funcao e crescente num intervalo se para qualquer que sejax1, x2pertencentes ao domnio da funcao (ou a um intervalo) comx1< x2 f(x1) < f(x2)Denicao6.6. Diremosqueumafuncao edecrescentenum(intervalo)separaqualquerquesejax1, x2pertencentes ao domnio da funcaof , comx1< x2 f(x1) > f(x2)Para esbocar o graco de uma funcao linear basta-nos encontrar dois pontos por que passa a recta,unindo os 2 pontos teremos a recta.dr. betueldejesusvarelacanhanga 63Exemplo6.3. Vejamos os esbocos gracos de algumas funcoes lineares1) y1 = 2x + 22) y2 = 2 x3) y3 = 3xy(0, 2)(2, 0)(0, 3)(1, 0)(2, 0)y1= 2x + 2y2= x + 2y3= 3Figura 6.1:6.1.2 FuncaoInversaPara invertermos uma funcaoy = f(x)seguimos os passos seguintes:1) Na senten cay = f(x)procuramos isolar oxescrevendox = f(y)2) Trocamos oxpory1e oyporx.Exemplo6.4. Determine a funcao inversa dey = x 11) Vamos isolar ox :y = x 1 y x = 1 x = 1 y x = y + 12) Trocamosxpory1eyporxteremos entaoy1= x + 1Vejamos os esbocos gracos das funcoesf e a funcaof164 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorxyx + 1x 1Figura 6.2:6.1.3 Func oesCompostasConsideremos os conjuntosA = 1, 2, 3; B = 2, 4, 6; C = 3, 5, 7Componha o esquema da relaccaof: A Beg : B C.Observe que existe uma maneira de denir a relaccaoA Cusando as relaccoes (funcoes) f eg, suponhamos queh : A Csem a necessidade de passar porB, entao teremos:h(1) = 3 3 = g[f(1)]; h(2) = 5 5 = g[f(2)]; h(3) = 7 7 = g[f(3)];assim, de modo claro conclui-se queh(x) = g[f(x)]e dizemosAheumafuncaoquecompoef emg.Exemplo6.5. Sejam dadas as funcoesf(x) = ax + b, g(x) = cx + d,vamos determinar a a funcaofogegoffog = f[g(x)] = a[g(x)] + b = a(cx + d) + b = acx + ad + bgof= g[f(x)] = c[f(x)] + d = c(ax + b) + d = acx + cb + ddr. betueldejesusvarelacanhanga 656.1.4 SistemasdeEquac oeseInequacoesLinearesTodas as rectas podem ser representadas apartir da expressaoy = ax+b onde em caso dea = 0 temosuma recta horizontal que corta o eixo vertical emb, caso contrario temos uma recta obliqua e inclinadade modo dependente doa-coeciente angular. Muitos problemas de matematica, economia, gestaoe areas am, podem ser resolvidos usando sistemas de rectas. Veja o seguinte exemplo:Exemplo6.6. Emboascozinhas, parapreparar5unidadesdesopamistura-seumadeterminadaquantidade de agua ao dobro de oleo. Se se misturar quantidades iguais de agua e oleo no lugar de 5,produzem-se 7 unidades. Determine a quantidade de litros de agua e de oleo.Estetipodeproblemasemuitosoutrospodemserecommuitafacilidaderesolvidosusandoossistemas de equacoes lineares.E possvel criar e/ou resolver problemas que exigem sistemas de equacoesde diferentes graus, mas, para todos efeitos e sem limitacao da sua vamos falar de sistemas de 2 equacoescom 2 incognitas. Resolver um sistema de 2 equacoes com duas incognitas e o mesmo que procurarencontrar o par(x, y)que satisfaz o sistema_ax + by + c = 0dx + ey + f= 0.Observacao6.2. Seja dado o seguinte sistema de duas equacoes com duas incognitas___ax + by + c = 0dx + ey + f= 0diremos que1) O sistema tem uma e unica solucao sead ,=be2) O sistema nao tem solucao sead=be3) O sistema tem muitas solucoes sead=be=cfExemplo6.7. Quantas solucoes tem o sistema___2x y + 5 = 0x 5y = 7Usandoasregrasdadasacimaconcluimosqueosistematemumaunicasolucao. Resolvendo-oteremos:_2x y + 5 = 0x 5y = 7_2x y + 5 = 0x = 7 + 5y_2(7 + 5y) y + 5 = 0x = 7 + 5y___y = 199x = 7 + 5_199_ = 339Gracamente a solucao de um sistema de equac ao corresponde ao ponto de interseccao das duasrectas geradas pelas funcoes denidas pelas equacoes do sistema. Para o sistema acima teremos vejaa gura(6.3):Para resolver uma inequacao linear vamos apartir do esboco do graco fazer a leitura da parte quesatisfaz a condicao da inequacao.66 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorxy2x + 5x75Figura 6.3:Vejamos o seguinte exemplo2x + 5 y> 0devemos fazer com que oytenha coeciente posetivo, para tal vamos multiplicar ambos membros dainequacao por -1 e teremos2x 5 + y< 0,esbocamos o graco dey = 2x + 5xy2x + 5Figura 6.4:dr. betueldejesusvarelacanhanga 67e porque pelo exercicio o sinal (condicao) da inequacao e menor, a solucao e a parte de baixo (aparte sombreada no esboco graco)Para o caso em que temos um sistema de varias equacoes lineares, devemos esboca-las e escolhemoscomo solucao a parte correspondente a interseccao das diferentes solucoes.Exemplo6.8.___y + x 1 0y x 2 0Antes de resolvermos este sistema de inequacoes, vamos transformar em sistema de equacoes,___y + x 1 = 0y x 2 = 0___y + x = 1y x = 2somando as duas equacoes (metodo de adicao sucessiva) teremos2y = 3, isto ey =32, substituindonuma das equacoes (a primeira por exemplo) teremos32 + x 1 = 0 x = 1 32 x = 12.A solucao do sistema de equacao e o ponto_12, 32_que e o ponto de interseccao das duas rectas que sao denidas pelas equacoes do sistema. Vamos nomesmo S.C.O esbocar as rectasy + x 1 = 0, ey x 2 = 068 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorx + 1xyy x 2 = 0y + x 1 = 01232III IIIIVFigura 6.5:As duas rectas intersectam-se e fazem 4 regioes (I,II,III,IV), veja na gura (6.5). Como no sistemade inequacoes todas as condicoes foram dadas para regioes maiores que as rectas dadas, a nossa solucaosera a regiao II que e a regiao que ca acima das duas rectas.Observacao6.3. Veja que se o sinal de desigualdade for >ou 0,iremos aqui recorrer ao metodo de tabelas, antes vamos resolver seguintes equacoesx 1 = 0, x + 1 = 0isto ex = 1, x = 1Vamos construir a seguinte tabelax ] ; 1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1; +[x 1 - -2 - 0 +x + 1 - 0 + + +x 1x + 1+- 0 +Ao resolvermos a inequacao dada,porque a condicao diz maior do que zero,nos limitamo-nosaprocurarencontrarasregioesaolongodoeixodos xondeaexpressaotemsinalposetivo, elendo a ultima linha da tabela podemos dar a seguinte solucaoS : x ] ; 1[]1, +[70 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior(a) se no lugar da inequacao dada neste exerccio tivessemos que resolver a seguinte inequacaox 1x + 1< 0,tereiamosqueseguirosmesmospassosmasnom, daleituradaultimalinhadatabelairiamos dar como solucao a parte que tem o sinal negativo, isto e:S : x ] 1; 1[,(b) e se tivessemos a inequacaox 1x + 1 0,tereiamosqueseguirosmesmospassosmasnom, daleituradaultimalinhadatabelairiamos dar como solucao a parte que tem o sinal posetivo ou zero, isto e:S : x ] ; 1[[1, +[2) Resolva a seguinte inequacao(x 1)(x + 2)(x + 1)(x 3)< 0,usando o metodo de tabelas, teremos que antes resolver seguintes equacoesx 1 = 0, x + 1 = 0, x + 2 = 0, x 3 = 0isto ex = 1, x = 1, x = 2, x = 3Vamos construir a seguinte tabelax ] ; 2[ -2 ]-2;-1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3; +[x 1 - - - - - 0 + + +x + 2 - 0 + + + + + + +x + 1 - - - 0 + + + + +x 3 - - - - - - - 0 +(x 1)(x + 2)(x + 1)(x 3)+ 0 -+ 0 -+Asolucaoseraapartenegativaporqueainequacaoaparececomosinal menordoquezero.Assim sendo teremos:S : x ] 2; 1[]1; 3[dr. betueldejesusvarelacanhanga 716.2 ExerciciosDeAplicacao1) Representegracamenteasfuncoesdenidaspelasequacoesseguintes, determineodomnioecontradomnio.(a) y = 2x 1(b) y = 2 x(c) y = x + 2y 1(d) 2x 3y + 2 = 0(e) y = 3(f) x = 1(suponha que seja funcao dey)2) Paracadaumadas alineas don umeroanterior identicaseoponto (1, 0) eoponto (1, 1)pertencem ou nao a recta3) Identique o coeciente angular (declive) das rectas dadas(a) 2x + 2y 7 = 0(b) y = 3(c) x 3y + 23= 0(d) x 2y = 14) Veja se as seguintes rectas sao paralelas (se tem mesmo coeciente angular)(a) 9x 6y + 2 = 0, 3x + 2y + 1 = 0(b)2x3+y2= 3, 2x + 3y 15) Sejaf(x) = 2x 6, D(f) =] 1; 4], determine aIm(f)6) Sejaf(x) = x 72, D(f) =] 1; 3[, determine aIm(f)7) De uma funcao, sabemos queD(f) = [3; 5] eIm(f) = [1; 5](a) Esboce uma das possibilidade(b) Suponha que as funcoes sao lineares. Escreva as suas formulas8) Achef[g(x)] eg[f(x)](a) f(x) = x + 1 g(x) = x 1(b) f(x) = ax + b g(x) = cx + d(c) Para a funcao anterior determinef[f(x)].(d) Qual e a caracterstica de uma funcao composta por duas funcoes lineares9) Sejaf uma funcao linear, tal quef[f(x)] = x 1, determinef(x)10) Resolva as seguintes equacoes(a)x + 35310=x 52+710(b)3x 33x + 5= 911) Resova a equacao(x + 3)(4x + 7)(3x 1) = 0apresente as solucoes em:72 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior(a) N(b) Z(c) Q(d) R12) Nas boas escadas a alturaa dos degraus e a sua profundidadep estao relaccionadas por 2a64 =pemCm.(a) Esboce 3 escadas diferentes paraa = 10, a = 20 a = 15(b) Umas escadas compostas de 17 degraus levam a um piso situado2, 55macima. Qual e aprofundidade dos degraus?(c) Considera-se que a altura de um degrau nao pode ultrapassar 25Cm. Dispoe-se dum espacoque permite colocar escadas tais que a soma da profundidade seja4m. Qual sera a alturamaxima dessas escadas?13) Resolva as inequacoes seguintes(a) 3x 23 x + 23(b) 3x 22>x + 25(c) 2 2x + 73< 614) Resolva seguintes inequacoes(a) (x + 3)(x 5) > 0(b) (3x 5)(2 3x) 0(c) x_x2 1_ 0(d)51 4x< 0(e)2 xx 6< 015) Indique o n umero de solucoes dos seguintes sistemas de equacoes(a)_x + 4y 2 = 02x y + 3 = 0(b)_3x + 5y + 1 = 021x 35y 7 = 0(c)_ x + 2y + 3 = 03x 6y + 1 = 0(d)_x + y + 2 = 03x 4y 20 = 016) Resolva os seguintes sistemas(a)_2x + 3y 6 = 02x + y + 2 = 0(b)_2x 3y 6 = 02x + 3y 6 = 0(c)_2x 10y = 05x + 25y = 0dr. betueldejesusvarelacanhanga 73(d)_(x + y) (x y) + 1 = 0x + y2+x y3736= 017) Umcavaloeumamulacaminhavamjuntoslevandonolombopesadossacos. Lamentava-seocavalo da sua pesada carga quando a mula lhe disse: de que ti queixas?Se eu levasse um dosteus sacos, a minha carga seria o dobro da tua. Pelo contrario, se te desse um saco, a tua cargaseria igual a minha.Quantos sacos levava o cavalo e quantos sacos levava a mula?18) Resolva(a) 2x y + 1 > 0(b) 3x + 5y 0(c) x y 1 > 2x + 6y(d) 2x y + 1 < x y 119) Resolva(a) 2x + 3y 1 < 0ex y> 1(b) x 2 0ex + y 2 0(c) 2x + y 1 < 0ey 2x 5(d) x > 0, y> 0 e x + y 5(e) (2x y + 1)(x y 1) 0Ensinar elembraraosoutrosqueelessabemtanto,quantovoceTypeset by LATEX2Captulo7FuncoesQuadraticas7.1 Func oeseEquacoesQuadraticas,Radicais7.1.1 Func oesQuadraticasEstudaremos neste captulofuncoes que podemser apresentadas de maneiragracaexpressandoparabolasoupartesdeparabolas. Vimosnasaulaspassadasoconceitoderelacaoefuncao, estu-damostambemumadeterminadaeespeccafamliadefuncoes, asfuncoeslineares-aquelasqueadmitem expoente maximo associado a variavel igual a 1. As funcoes lineares apresentam-se na formay = ax + b,e sobre elas, construimos o graco e zemos varios estudos (rever aulas passadas).Aoestudarmosfuncoesquadraticasiremosdecertezare-utilizarasbasesqueadquirimosdoes-tudo de funcoes e funcoes lineares, um exemplo disso aplica-se sobre o conceito Domnio e(ou) Con-tradomnio, Zeros, Sinal, Monotoniadefuncao. Iremos aqui, usar estes conceitos virandonossasatencoes para as funcoes que admitem expoente maximo dexigual a 2 - funcoesquadraticas. Asfuncoes quadraticas sao funcoes do tipoy = ax2+ bx + c, a ,= 0,e podem ser representadas de maneiras diferentes.1) Vejamos o caso mais simples de funcoes quadraticas, o caso em que elas tem a formaf(x) = ax2Veja gura(7.1)(a) y = x2(b) y = 2x2(c) y = 3x2Observacao 7.1.No esboco gracos de funcoes quadraticas a amplitude (abertura da parabola)variademodoinversocomovalorde a, isto e, quantomaiorforovalorde a, menorseraaabertura da parabola.74dr. betueldejesusvarelacanhanga 75xyy= x2y= 2x2y= 3x2Figura 7.1:Se oafor negativo a parabola e virada para baixo (concavidade virada para baixo)Veja gura(7.2)(a) y = x2(b) y = 2x2(c) y = 3x2xyx23x22x2Figura 7.2:2) Vejamos o caso em que as funcoes tem deslocamento ao longo do eixo horizontal.y = a(x p)2ondeox R, a ,= 0ep, q R.Podemos ter varios exemplos de funcoes quadraticas com esta representa caoVeja a gura(7.3)(a) y = x276 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperior(b) y = (x + 3)2(c) y = (x 1)2xyy= (x + 3)2y= x2y= (x 1)2Figura 7.3:Observacao7.2. Osgracosde y=ax2, y1=a(x p)2saosemelhanteseobtem-se y1apartir da transladacao dey = ax2empunidades para a esquerda sep > 0oupunidades paraa direita sep < 0.Denicao7.1. Chama-se vertice de uma funcao quadatica ao ponto(xv, yv)onde ela mudade comportamento, isto e, deixa de crescer e passa a decrescer ou versa e vice.Exemplo 7.1. Paraas funcoes dadas nos exemplos anteriores vejamos os seus respectivosvertices (coordenadas do vertice).(a) Para a funcaoy = x2o vertice e o pontoV (0, 0)(b) Para a funcaoy = (x + 3)2o vertice e o pontoV (3, 0)(c) Para a funcaoy = (x 1)2o vertice e o pontoV (1, 0).Consideremosafuncao y= 3(x 1)2, vamosantesfazeroesbocograco, (Figura7.4)Observacao7.3. Asfuncoes y= (x 1)2, y= 3(x 1)2e y= 3(x 1)2temverticesnoponto (1, 0) o que nos leva a concluir que o valor dea nao inuencia na determinacao do verticeda funcao.Pode concluir-se que o vertice da funcaoy = a(x p)2e o pontoV (p, 0)e o eixo de simetria eo eixox = p.Exemplo7.2. Determine, sem construir o graco, o vertice e o eixo de simetria da funcao(a) y = 2(x 2)2(b) y = 26(x c)2dr. betueldejesusvarelacanhanga 77xyFigura 7.4: y = 3(x 1)2(c) y = x2+ x +14(passe primeiro para a formay = a(x p)2.3) Observemos agora o caso em quey = a(x p)2+ q, x R, a ,= 0, q ,= 0, pEste caso e semelhante ao caso (2) em que tinhamosy = a(x p)2.Paraobtermos ogracodestetipodefuncoes, fazemos atransladacaoquezemos nocasoy=a(x p)2eacrescentamosmaisumatransladacaode q unidadesparacimase q >0epara baixo seq< 0. Note-se que ao transladarmos um determinado graco, devemos transladartodos os pontos que fazem parte dele.Desenhar com o auxlio dos estudantes, explicando detalhadamente os passos para a construcaodey =12(x 5)2+ 2Eis os passos:(a) Construir o graco da funcaoy1 = x2;(b) construir o graco da funcaoy2 =12x2;(c) construir o graco da funcaoy3 =12(x 5)2; e, nalmente,(d) construirogracodafuncaoy4=12(x 5)2+ 2. transladando-oduas(2)unidadesparacima.Observacao7.4. O graco da funcaoy = a(x p)2+qpode se obter do gracoy1 = ax2pormeio de uma transladacao horizontal depunidades e uma transladacao vertical dequnidades.Observacao7.5. Para funcoes dadas na formay = a(x p)2+ q, o eixo de simetia ex = peo vertice localiza-se no pontoV (p, q).7.1.2 EstudoCompletodeumaFuncaoO estudo completo de uma funcao consiste numa serie de investigacoes que sao feitas para a descobertadecaractersticasque, demaneirainequvoca, identicamumafuncao. Esteestudo(parafuncoesquadraticas) e composto por 9(nove) passos importantes a saber:78 centrodepreparac aodeexamesdeadmiss aoaoensinosuperiorxyII:12x2I: x2III:12(x 5)2IV:12(x 5)2+ 2Figura 7.5:1) O sinal dea2) O domnio da funcao,3) o contradomnio da funcao,4) as coordenadas do vertice,5) os zeros da funcao,6) a variacao da funcao ( ou monotonia da funcao),7) a variacao do sinal da funcao,8) a equacao do eixo de simetria e9) a construcao gr