manual do professor - anglouba.com.br · 3 • função afim • aula expositiva ... você também...
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Coleção EM1
C689 Coleção Ensino Médio 1ª série: - Belo Horizonte: Bernoulli Sistema de Ensino, 2018. 162 p.: il.
Ensino para ingresso ao Nível Superior. Bernoulli Grupo Educacional.
1. Matemática I - Título II - Bernoulli Sistema de Ensino III - V. 2
CDU - 37CDD - 370
Centro de Distribuição:
Rua José Maria de Lacerda, 1 900 Cidade Industrial Galpão 01 - Armazém 05 Contagem - MGCEP: 32.210-120
Endereço para correspondência:
Rua Diorita, 43, PradoBelo Horizonte - MGCEP: 30.411-084www.bernoulli.com.br/sistema 31.3029.4949
Fotografias, gráficos, mapas e outros tipos de ilustrações presentes em exercícios de vestibulares e Enem podem ter sido adaptados por questões estéticas ou para melhor visualização.
Coleção Ensino Médio 1ª série – Volume 2 é uma publicação da Editora DRP Ltda. Todos os direitos reservados. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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AutoriAMatemática: Fred Fonseca, Kennedy, Luiz Paulo, Paulo Ribeiro
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Coordenador do PSM: Wilson BittencourtAnalistas de Processos Editoriais: Augusto Figueiredo, Izabela Lopes, Lucas Roquerevisoras: Bruna Emanuele Fernandes, Danielle Cardoso, Luísa GuerraArte-Finalista: Larissa AssisDiagramadores: Anna Carolina Moreira, Maycon Portugal, Rafael Guisoli, Raquel Lopes, Wallace Weberilustrador: Hector Ivo Oliveira
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SuPortE PEDAGóGiCoGerente de Suporte Pedagógico: Heloísa BaldoAssessoras Pedagógicas Estratégicas: Madresilva Magalhães, Priscila BoyGestores de Conteúdo: Luciano Carielo, Marinette FreitasConsultores Pedagógicos: Adriene Domingues, Camila Ramos, Claudete Marcellino, Daniella Lopes, Denise Almeida, Eugênia Alves, Francisco Foureaux, Leonardo Ferreira, Lucilene Antunes, Paulo Rogedo, Soraya OliveiraAnalista de Conteúdo Pedagógico: Paula VilelaAnalista de Suporte Pedagógico: Caio PontesAnalista técnico-Pedagógica: Graziene de AraújoAssistente técnico-Pedagógica: Werlayne BastosAssistentes técnico-Administrativas: Aline Freitas, Lívia Espírito Santo
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MArkEtinGGerente de Marketing: Maria Cristina BelloCoordenadora de Marketing: Jaqueline Camargos
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Manual do Professor
3Bernoulli Sistema de Ensino
Planejamento do volume*Disciplina: matemática
sÉRiE: 1ª
sEGMEnTO: em
vOluME: 2
FRENTE CAPÍTulo TÍTulo SugESTõES dE ESTRATégiAS
A
3 • Funçãoafim
•Aula expositiva
•Aplicação de exercícios
•Resolução de exercícios
•Aula prática
•Debate
•Aulamultimídia
•Discussãoemgrupos
• Filmes
4 •Função quadrática
B
3 •Divisibilidade, MDC e MMC
4 •Razões e proporções
C 2 •Semelhançadetriângulos
* Conteúdo programático sujeito a alteração.
Orientações e sugestõesCapítulo A3: Função afim
Nesse capítulo, professor, o foco deve ser colocado no conceito de taxa de variação. Nas funções
f(x) = ax e f(x) = ax + b, o coeficiente aéataxadevariação–queéconstanteemqualquerintervalodo
domínio.Porcausadisso,ospontosdográficoficamalinhados.Alémdisso,destaqueaprincipalpropriedade
da função linear y = ax, que é a proporcionalidade direta entre x e y.Assim,seográficodafunçãoéuma
reta,entãoelapossuitaxadevariaçãoconstante.Seográficodafunçãoéumaretaquepassapelaorigem,
então ela possui taxa constante e indica proporcionalidade.
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4 Coleção EM1
Capítulo A4: Função quadráticaNo estudo da função do 2º grau, dêmaior importância à construção do gráfico e à resolução de
problemas demáximo emínimo. Apresente o esboço da parábola a partir de tabelas de valores (x,y)paradetectaraspossíveisregularidadesdosgráficos.Entretanto,professor,observequeessenãoéomelhormétododeconstruçãodeparábolas.Logo,desenheográficotomandoseuspontosnotáveis(intersecçõescomoseixoscoordenadosevértice).Ressaltetambémoestudodossinaisdafunçãoquadráticanaresoluçãodeproblemascontextualizadosedeinequaçõesdo2ºgrau.
Capítulo B3: Divisibilidade, MDC e MMCApresenteosconceitosdemúltiplosededivisoresnaturaisdeumnúmeronatural. Introduzao lema
dadivisãodeEuclidesresolvendoproblemas.Relembreaexpressãoquepermiteocálculodonúmerodedivisoresnaturaisdeumnúmeronatural.ExpliqueoconceitoeastécnicasparacálculodoMMCedoMDC.Vocêtambémpodeselecionarexercíciosresolvidos,defixaçãooupropostosparaexemplificardiferentesabordagensdotemaemprovasdevestibulares.
Capítulo B4: Razões e proporçõesAo iniciar o estudo do assunto, é importante relembrar os conceitos de razão e proporção. Explicite
as propriedades de proporções e dê exemplos numéricos. Conceitue grandezas direta e inversamenteproporcionaismostrandoosesboçosdeseusgráficos.Emseguida,professor,resolvaproblemasdedivisãodeumnúmeroempartesdiretaeinversamenteproporcionaisaosvaloresdados.Porfim,resolva,emsala,os exercícios de fixação.
Capítulo C2: Semelhança de triângulosOassuntotratadonessecapítuloébastante importantedevidoàsuagrandeocorrênciaemquestões
devestibulares.Professor,inicieaaulaconceituandotriângulossemelhanteseoscasosdesemelhança,comespecialatençãoaocasoAA(ângulo,ângulo).Dessepontoemdiante,conduzaaaulacombasenaresolução de variados exercícios.
Comentário e resolução de questõesCAPÍTULO – A3Função afim
Exercícios de aprendizagem
Questão 01
Comentário:
A) Ográficodasfunçõespolinomiaisdo1ºgrauéumareta,
portantobastaqueconheçamosdoispontospertencentes
àreta.Optamosporencontrarospontosdeinterseçãoda
retacomoseixoscoordenados,fazendox=0e,depois,
y=0.
f(x) = 3x – 6
x y
0 –6
2 0
y
x2
–6
O
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Manual do Professor
5Bernoulli Sistema de Ensino
B) f(x) = 5 – x
x y
0 5
5 0
y
x
5
5O
C) f(x) = –2x + 4
x y
0 4
2 0
y
x2
4
O
D) f(x) = 3 – 2x
x y
0 3
32
0
y
x1 2
3
O
Questão 02Comentário:Sef(1)=2ef(2)=5,entãoDy = 3 para Dx=1.Comoataxadevariaçãoéconstante,acadavariaçãode1unidadeemx,háumavariaçãode3unidadesemy.Logo:f(3)=8.
Questão 03Comentário:Ocoeficientedotermoemx é a taxa de variação, logom=2.Paracalcularn,substituímosascoordenadasdeP(2,7)emy=2x+n ⇒ 7 = 4 + n ⇒ n = 3.
Questão 04Comentário:Comoaáguadacaixaé retiradaaumataxaconstante, a fórmula da função que descreve o volumeV de água na caixa, em litros, em função do tempo t,emminutos,édotipoy=ax+b,emquey=Vex=t.
Como,em1minuto,ovolumediminuiem30litros,ataxadevariaçãoénegativa.Logo,a=–30.
Sabendo-sequenoinstanteinicialacaixaestáocupadaatéametadedesuacapacidade,istoé,0,5m3=500litros,entãob=500.
Assim,V=–30t+500.
Questão 05Comentário: A) f(x) = 3x + 6 Raiz:3x+6=0⇒ x = –2 a = 3 ⇒ f é crescente. Sinais: f(x)<0parax<–2 f(x)=0parax=–2
f(x)>0parax>–2
y
x–2
+
–
O
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6 Coleção EM1
B) f(x) = –2x + 2
Raiz: –2x + 2 = 0 ⇒ x = 1
a = –2 ⇒ f é decrescente.
Sinais:
f(x) > 0 para x < 1
f(x) = 0 para x = 1
f(x) < 0 para x > 1
y
x1
+
–O
C) f(x) = –3x – 4
Raiz: –3x – 4 = 0 ⇒ x = – 43
a = –3 ⇒ f é decrescente.
Sinais:
f(x) > 0 para x < –43
f(x) = 0 para x = –43
f(x) < 0 para x > –43
y
x– 4
3
+
–O
D) f(x) = 5 – 2x
Raiz: 5 – 2x = 0 ⇒ x = 52
a = –2 ⇒ f é decrescente.
Sinais:
f(x) > 0 para x < 52
f(x) = 0 para x = 52
f(x) < 0 para x > 52
y
x52
+
–
O
E) f(x) = –7 + 3x
Raiz: –7 + 3x = 0 ⇒ x = 73
a = 3 ⇒ f é crescente.
Sinais:
f(x) < 0 para x < 73
f(x) = 0 para x = 73
f(x) > 0 para x > 73
y
x73
+
–O
Questão 06Comentário:
A) x –1 02 – x 0
≥≥
Resolvendo separadamente cada inequação, temos:
≥≤
x 1x 2
Os valores de x que satisfazem aos dois intervalos ao mesmo tempo são dados pela interseção dos conjuntos. Portanto, a solução do sistema é 1 ≤ x ≤ 2.
B) x 2 0x – 3 0
x –2x 3
–2 x 3+ ≥<
⇒ ≥
<
⇒ ≤ <
C) + <≥
⇒ <
≤
3 x 02 – x 0
x –3x 2
Todo número real menor que –3 também é menor que 2, logo a solução é x < –3.
D) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1Inequações simultâneas podem ser separadas:
2 – x 3x 23x 2 4x 1
–4x 0–x –1
x 0x 1
x 1
< ++ < +
<<
⇒ >
>
⇒ >
E) –3 ≤ 3x –2 ≤ x
≥≤
≥≤
⇒ ≥
≤
⇒ ≤ ≤
3x –2 –33x –2 x
3x –12x 2
x –13
x 1–
13
x 1
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Manual do Professor
7Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 07Comentário:
x 2 0x –3 0
x –2x 3
–2 x 3
+ ≥≤
≥≤
⇒ ≤ ≤
AamplitudeéDx = 3 – (–2) = 5.
Questão 08Comentário:
3 x 02 – x 0
x –3x 2
x –3+ <≥
⇒ <
≤
⇒ <
Omaiorinteiromenorque–3é–4.
Questão 09Comentário: Para isolar o xnadesigualdade–2<x+1<3,
somamos (–1) aos membros da desigualdade. Assim:
–2+(–1)<x+1+(–1)<3+(–1)⇒ –3 < x < 2.
Questão 10Comentário:Parasolucionaradesigualdadex<1–x<3x,montamososistema:
x 1 x1 x 3x
2x 14x 1
x12
x14
14
x12
.< −− <
⇒ <
− < −
⇒
<
>
⇒ < <
Questão 11Comentário:Montamososistema:
2 x 3x 23x 2 4x 1
4x 0x 1
x 0x 1
x 1− < ++ < +
⇒ − <
− < −
⇒ >
>
⇒ >
Portanto,omenornúmerointeiro(estritamentemaiorque1)quepertenceàsoluçãodadesigualdadeé2.
Questão 12Comentário:Deacordocomosistema,temos:
3 3x 23x 2 x
3x 12x 2
x13
x 1
13
x 1− ≤ −− ≤
⇒ − ≤
≤
⇒ ≥ −
≤
⇒ − ≤ ≤
Portanto,nesseintervalo,háduassoluçõesinteiras:0e1.
Questão 13Comentário:Sejamx e yonúmerodeconsultasmensaiseocustodoplanodesaúde,respectivamente.
• FunçãocustomensalnoplanoA:y=6x+30• FunçãocustomensalnoplanoB: y = 4x + 45
Para que o plano Asejamaisvantajoso,devemoster:6x+30<4x+45⇒ 2x<15⇒ x < 7,5
Assim,paraaté7consultas,esseplanoémaisvantajoso.
Questão 14Comentário:
f(x) = 2x + 4Vamosobterospontosemqueográficointersectaoseixoscoordenados:
x y
0 4
–2 0
y
4
3
2
1
1O 2 x–2
b = 4
Raizx = –2
Sinais:
f(x)<0parax<–2
f(x)=0parax=–2
f(x)>0parax>–2
Questão 15Comentário: y = –x + 2Construímosumatabelafazendox=0ey=0.
x y
0 2
2 0
y
x
1
2
1O 2
Interseçõescomoseixos(0,2)e(2,0)Sinais:y>0parax<2y=0parax=2y<0parax>2
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8 Coleção EM1
Questão 16Comentário: g(x) = 2x – 5Como o gráfico é uma reta, são necessários e suficientes dois pontos.
x y
0 –5
52
0
y
x1O 2 3 4
–5
Sinais:
g(x) < 0 para x < 52
g(x) = 0 para x = 52
g(x) > 0 para x > 52
Questão 17Comentário: y = –2x – 1
Construímos uma tabela contendo as intersecções do gráfico com os eixos coordenados.
x y
0 –1
–0,5 0
–0,5
–1
xO
y
Analisando o gráfico, notamos que, para x > 0, temos y < –1.
Questão 18Comentário: Para que as imagens sejam maiores que 7, temos:f(x) > 7 ⇒ 2x – 5 > 7 ⇒ 2x > 12 ⇒ x > 6.
Questão 19Comentário: O gráfico dessa função passa pelos pontos (3, 0) e (0, 12).
Então: ayx
12 – 00 –3
12–3
–4.=∆∆
= = =
Questão 20Comentário: Os valores de x tais que f(x) > 0 e g(x) > 0 são os que resolvem o sistema:
>+ >
<>
⇒ < <
4 – x 02x 6 0
x 4x –3
–3 x 4.
Desafio
Questão 01Comentário: Nos números reais não comporta divisão por zero. Assim, o domínio da função do enunciado é x real, tal que
≠ ⇒ ≠2x –5 0 x52
. Para esboçar o gráfico e encontrar o domínio,
devemos perceber que = = = ≠f(x)6x –152x –5
3(2x –5)
2x –53, para x
52
.
Assim, a imagem da função é I = {3} e o gráfico é o seguinte:
x�
y
3
Questão 02Comentário:
≤ ⇒
≤ ⇒
≤ ⇒
+≤ ⇒
+≤
1x –20
112 – x
1x –20
–1
12 – x0
12 – x – (x –20)(x –20)(12 – x)
0
–2x 32(x –20)(12 – x)
0
–x 16(x –20)(12 – x)
0
Temos que utilizar o estudo do sinal do produto de três retas lineares: (–x + 16), (x – 20) e (12 – x).
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Manual do Professor
9Bernoulli Sistema de Ensino
+ +
–
– –
– –
––
––
–+
+ +
+
–x + 16
–x + 16
x – 20
(x – 20) (12 – x)
12 – x
+16+12 +20
Temoscomosoluçõesinteiraspositivas:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,16,17,18,19.
Observeque16éinclusonasolução,mas12e20não.Assim,temosquinzesoluçõesinteiraspositivas.
Questão 03Comentário: Paraqueomáximodedoisnúmerossejamenorque 35, ambos os números devem sermenores que 35. Assim, sendoS o conjunto do inteiros que satisfazem a condiçãoproposta:
= ∈ + < ∩ <= ∈ < ∩ >=
S {x |(2x 5 35) (8 –3x 35)}S {x |(x 15) (x –9)}S {–8, –7, ...,14}
Logo,Stem23elementos.
Exercícios propostos
Questão 01Comentário:
A) Sendo y o salário e xonúmerodehorasextrastrabalhadas,temosquey=650+10x.
B) Seu salário yfoidey=650+10.0=650reais.
C) Seu salario yserádey=650+15.10=800reais.
D) = = + ⇒ = =y 890 650 10x x890 – 650
1024 horas extras
trabalhadas.
Questão 02Comentário:
A) ParaconsumosC≤200,ocustodokWhéde0,30.Logo,V=0,3.C.
B) ParaconsumosC>200,ocustodokWhéde0,45sobreoquepassarde200.Ouseja,paga-se0,30.200mais 0,45.(C–200).Assim,temos:
V=60+0,45(C–200)
V=60+0,45C–90
V=0,45C–30
C) O gráfico é constituído de dois segmentos de reta deinclinações distintas.
1º) V = 0,30C para 0≤C≤200
C V
0 0
200 60
2º) V = 0,45C – 30 para200≤C≤600
C V
200 60
600 240
Gráfico
V
C
240
60
O 200 600
D) ParaC=500,usamos:
V=0,45C–30
V=0,45.500–30
V=195
V=R$195,00.
E) OvalorV=132estánafaixaemqueoconsumoémaiorque200kWh,logo:
0,45C–30=132
0,45C=162
C=360kWh.
Questão 03Comentário: Se o ponto Apertenceàretay=ax+6,entãopodemossubstituirascoordenadasnaexpressãodafunção:
–a – 4 = a(–a – 4) + 6
–a – 4 = –a2 – 4a + 6
a2+3a–10=0
Asraízessãoa=–5ea=2,massomentea=–5correspondeàretadescendentey=ax+6.
Questão 04Comentário:
A) L (cm)
t (horas)126O
30
20
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10 Coleção EM1
B) Vela 1: = =taxa30 cm
6 h5 cm/h.
Vela 2: = = ≅taxa20 cm12 h
53
1,67 cm/h.
C) Devemos encontrar a lei da função que relaciona o comprimento L da vela, em cm, com o tempo t, em horas, que ela fica acesa. Essas funções são de primeiro grau, com coeficientes angulares opostos algebricamente às taxas calculadas no item anterior e coeficiente linear igual ao comprimento inicial.
Assim, para a vela 1, L = –5t + 30 e, para a vela 2, = +L –5t3
20.
Para encontrar o tempo t, no qual elas têm o mesmo tamanho, devemos verificar para qual valor de t os valores de L se igualam. Assim:
+ = + ⇒
= ⇒ =
–5t 30 –5t3
20
10t3
10 t 3
Logo, elas ficaram com comprimentos iguais às 13 horas.
Questão 05Comentário: C = qx + b
A) x C
500 2 700
1 000 3 800
Na função afim, a taxa de variação é constante em qualquer intervalo do domínio, portanto:
= = =q3 800 –2 7001 000 –500
1 100500
2,20
Para cada variação de 500 unidades em x, o valor de C varia 1 100, então, para x = 0, temos:C = 2 700 – 1 100C = 1 600Logo, o custo fixo é b = 1 600.
B) Façamos x = 800 na expressão:C = 2,20x + 1 600C = 2,20 . 800 + 1 600C = 3 360Logo, o custo é R$ 3 360,00.
Questão 06 – Letra B Comentário:
A) (Verdadeira) A função é constante para x ≥ 20.
B) (Falsa) A taxa de variação no intervalo 0 ≤ x ≤ 20 e x > 20 é diferente.
C) (Verdadeira) A função é constante para x ≥ 20. Assim, tomando-se valores diferentes para x, nesse intervalo, a absorção é sempre y = 18.
Por exemplo: 1820
90%;1830
60%;1840
45%.= = =
D) (Verdadeira) A função é linear quando 0 ≤ x ≤ 20 (o gráfico é um segmento de reta que contém a origem).
Questão 07 – Letra DComentário: Como o gráfico da função é uma reta, ela é da forma y = ax + b. Já que os pontos (0, 2) e (–2, 0) pertencem à função, então b = 2 e 0 = –2a + 2 e a = 1, a função representada pelo gráfico é y = x + 2.
Questão 08 – Letra DComentário: Os pontos (–1, 0) e (0, –2) pertencem à função y = mx + t. Assim, t = –2 e 0 = –m – 2, e m = –2. Logo, m = t.
Questão 09 – Letra AComentário: Como para a variação de uma unidade em x há variação de 7 unidades, o coeficiente angular a vale 7. Como (0, –1) faz parte da função, b = –1 ⇒ y = 7x – 1.
Questão 10 – Letra BComentário: Como B percorre 500 m em 10 min, e sua velocidade não se altera, em 20 min correrá 1 000 m = 1 km.
Questão 11 – Letra B Comentário: A taxa de variação de N é constante entre C = 100 e C = 700.
Logo: aNC
115 97700 100
18600
3100
.=∆∆
=−−
= =
Supondo que a taxa de variação seja a mesma entre C = 0 e C = 100, podemos concluir que N = 94 quando C = 0, porque, a cada variação de 100 unidades em C, há um aumento de 3 unidades em N. Assim, a função y = ax + b procurada é N = 0,03C + 94.
Questão 12 – Letra BComentário:
= +
= +
= ⇒ = ⇒ == +
= + =
198 120a b (I)
170 100a b (II)
(I) – (II):20a 28 a 1,4 b 30y(x) 1,4x 30y(180) 1,4 .180 30 282
Questão 13 – Letra CComentário: Como o gráfico é uma reta, a taxa de variação de y em relação a x é constante e igual a:
∆∆yx
= −−
= =190 2010 0
17010
17
Isso significa que cada litro produzido custa 17 reais. Além disso, há o custo inicial (fixo) de 20 reais.
Analisando as alternativas, temos:
A) (Falsa) Quando x = 0, o custo é y = 20.
B) (Falsa) Substituindo x = 3 na lei y = 17x + 20, obtemos y = 71.
C) (Verdadeira) Para x = 2, o custo é y = 54.
D) (Falsa) A solução da equação 17x + 20 = 170 é x = 8,82. O gráfico também mostra que a afirmativa é incorreta, porque passa pelo ponto (5, 105).
E) (Falsa) A taxa de variação é constante, portanto cada litro tem o mesmo custo.
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Manual do Professor
11Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 14 – Letra EComentário: t vale zero pois é o valor da ordenada do ponto emqueográficoencontraoeixodasordenadas.Aimagemdasduas funçõesparax=2é igual;paray=3–x,esse
valor é1.Assim,y=kxpassapor(2,1).Então, = ⇒ =2k 1 k12.
Questão 15 – Letra DComentário:
Indicada Real
x y
10 13
20 21
Se a relação entre x e y é linear, então y = ax + b.
ayx
21–1320 –10
810
0,8=∆∆
= = =
Quando a temperatura indicada varia 10 °C, a real varia8°C.Assim,parax=0,temosy=5.Portanto,afunçãoéy=0,8x+5.Fazendoy=x,obtemos:x=0,8x+50,2x=5x=25°C.
Questão 16 – Letra AComentário:Pelaanálisedosdadosdatabela,sãotransferidos2,5hLdecombustívelacada5minutos.Logo,porminutoé
transferido =2,55
0,5 hL.
Questão 17 – Letra DComentário:Ográficocomeçanoponto(0;10,2),logo,opesodoenvelopeé10,2g.Opesodecadafolhaéataxadevariação.
apx
29,4 10,24 0
19,24
4,8 g.=∆∆
=−−
= =
Questão 18 – Letra AComentário: Multiplicando por dois ambos os lados daequaçãodaretafornecida,afimdesechegaràsuaequaçãoreduzida,temosquey=2x+2,queinterceptaoeixox no ponto(–1,0).
Questão 19 – Letra EComentário:Sendoafunçãodaformaf(x)=ax+b:
= = += = +
= ⇒ ==
= =
f(3) 6 3a b (I)f(4) 8 4a b (II)(II)– (I): a 2 b 0f(x) 2xf(10) 2 . 10 20
Questão 20 – Letra BComentário:T(8)=–2.8+18=2°C
Questão 21 – Letra DComentário: Dado que R (receita) e C(custo),temos:
> ⇒> + ⇒
>
R(q) C(q)115q 90q 760q 30,4
Logo,devemservendidasaomenos31unidades.
Questão 22 – Letra BComentário: Sendo 3x a distância percorrida na primeiracorrida e xadistânciapercorridanasegundacorrida,temos:
Custodaprimeiracorrida:C1=3,7+1,2.3x=3,7+3,6x
Custodasegundacorrida:C2=3,7+1,2x
3C2=11,1+3,6x>3,7+3,6x=C1⇒
11,1>3,7
Questão 23 – Letra CComentário: Sendo tonúmerodeminutosdeconversação:
60+0,3x<40+0,8x⇒
0,5x>20⇒x>40minutos
Questão 24 – Letra CComentário:Onúmerodepassageiroséumafunçãodopreçonaformay=ax+b.
Preço x Passageiros y
25 500
20 600
ayx
600 –50020 –25
100–5
–20=∆∆
= = =
Isso significa que cada real de desconto acarreta umincrementode20passageiros.Portanto,reduzindoopreçopara R$18,00,haverá640passageiros.
Questão 25 – Letra DComentário:
+ = ⇒ = + ⇒ =+
+ = ⇒ = + ⇒ =+
+>
+⇒ + > + ⇒ >
A: x –2y 6 0 2y x 6 yx 6
2
B: x –3y 15 0 3y x 15 yx 15
3x 6
2x 15
33x 18 2x 30 x 12 anos
Questão 26 – Letra EComentário: Utilizandoasinformaçõesque(–1,3)e(0,–1)são pontos da função f,temos:
= = + ⇒ =
= = ⇒ =
=
≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥
f(0) –1 0.k t t –1
f(–1) 3 –k –1 k –4
f(x) –4x –1
f(x) 0 – 4x –1 0 x –14
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12 Coleção EM1
Questão 27 – Letra BComentário:
Tempo x Valor y
0 40 000
4 42 000
Como a função é do tipo y = ax + b, a taxa de variação do valor
é constante e igual a: a2 000
4500 reais / ano.= =
Seis anos e 4 meses são 613
+
anos, ou 193
. Multiplicando por
500, temos =193
.500 3 166 reais, aproximadamente. Portanto,
o valor será de R$ 43 166,00.
Questão 28 – Letra CComentário:
Hora Concentração
8 20
12 80
Sendo uma função afim, a taxa de variação é constante:
∆∆yx
= −−
= =80 2012 8
604
15
Assim, a concentração aumenta em 15 partículas por hora. Em 2 horas, aumenta 30; logo, às 10h, há 50 partículas.
Em 13
da hora, ocorrerá um aumento de 13
de 15. Logo,
às 10h20, são 55 partículas.
Questão 29 – Letra AComentário: Devemos achar a interseção entre as soluções das duas desigualdades:
x –112
5 –2x x –11 10 – 4x x215
4,2
5 –2xx4
19x4
4 x169
1,7
< ⇒ < ⇒ < =
< + ⇒ > ⇒ > =
Assim, os inteiros 2, 3 e 4, cuja soma é 9, satisfazem a
desigualdade.
Questão 30 – Letra CComentário:
Opção A: y = 1 400 + 40x
Opção B: y = 75x
y é o salário e x, o número de aulas dadas. Devemos ter
75x > 1 400 + 40x ⇒ x > 40. Portanto, são, no mínimo, 41 aulas.
Questão 31 – Letra AComentário: 2
x –10<
A fração tem numerador sempre positivo. Como ela deve
ser negativa, devemos ter o denominador negativo. Assim,
x – 1 < 0 ⇒ x < 1.
Questão 32 – Letra BComentário: Para não ter prejuízo, o faturamento deve ser no mínimo igual ao custo, logo:
2,5n = 0,7n + 360 ⇒
1,8n = 360 ⇒
n = 200, que pertence ao intervalo [198, 203].
Questão 33 – Letra CComentário: A taxa de variação do custo é constante (o gráfico é uma reta).
a Cx
= = − =∆∆
180 8020
5
Assim, o custo de produção de 1 kg é 85 reais (o custo fixo é 80).Para calcular a porcentagem de lucro, dividimos o lucro pelo custo:
= =1785
0,2 20%.
Questão 34 – Letra DComentário: Para não haver prejuízo, devemos ter R > C, o que equivale a 7x + 2 > 3x + 3, cuja solução é:
>x14
toneladas, ou seja, 250 kg.
Questão 35 – Letra CComentário: Como a vazão é constante, o gráfico deve ser uma reta. Como a vazão é de 100 L/min, o tanque ficará vazio
em 5 000100
50= minutos, abscissa do ponto no qual a reta toca
o eixo das abscissas.
Questão 36 – Letra BComentário: A função representada no gráfico é decrescente, logo a < 0. E a reta corta o semieixo negativo dos xy, daí b < 0. Portanto, ab > 0.
Questão 37Comentário:
A) Nos 7 primeiros dias, a hospedagem custa 130 . 7 = 910. Então, pelos d ias subsequentes, foram pagos 2 210 – 910 = 1 300, que correspondem a 13 diárias de 100,00. Portanto, foram, no total, 20 dias.
B) Se 0 < x ≤ 7, então f(x) = 130x. Para x > 7, pagam-se 100 por dia a partir do 8º dia, daí:
��� ��f(x) = 130 . 7 + 100(x –7)Dias excedentes
f(x) = 910 + 100x – 700f(x) = 100x + 210, quando x > 7.
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Manual do Professor
13Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 38Comentário: Inequações simultâneas que apresentam incógnita somente no membro central podem ser resolvidas juntas:0 ≤ 2x – 8 ≤ 50Somamos 8 nos três membros:8 ≤ 2x ≤ 58Dividimos todos os termos por 2:4 ≤ x ≤ 29O comprimento do intervalo é 29 – 4 = 25.
Questão 39Comentário:
A) Como o gráfico passa pela origem, o coeficiente linear é zero. Sendo a o coeficiente angular, temos:
= ⇒ =50 40a a54
Assim, sendo V volume e m massa, temos =V54.m.
B) Para V = 30 mL, temos:
= ⇒ =3054
.m m 24 g.
Questão 40Comentário:
A) Como y(0) = 3 000, o coeficiente linear vale 3 000. Também temos y(8) = 3 600 e o coeficiente angular a é tal que 3 600 = 8a + 3 000 ⇒ a = 75. Assim, a expressão procurada é y = 75x + 3 000.
B) Queremos descobrir o valor de x para o qual y = 6 000. Então, 6 000 = 3 000 + 75x ⇒ x = 40. Logo, o gasto será o dobro do inicial em 2 025.
Questão 41Comentário: Nas primeiras 40 horas de trabalho, o operário recebe R$ 120,00. Cada hora excedente renderá R$ 4,50. Assim:S = 120 + 4,50(h – 40)S = 4,5h – 60, para h > 40.
Questão 42Comentário: A lei é da forma y = ax + b, em que a é a taxa de variação.
Gasto Receita
10 000 80 000
20 000 120 000
a yx
= = =∆∆
40 00010 000
4
Isso significa que a receita aumenta em 4 reais para cada real gasto com propaganda.
A) Por isso, um aumento de R$ 10 000 no gasto faz a receita aumentar em R$ 40 000. Logo, se x = R$ 30 000, então y = R$ 160 000.
B) Se diminuirmos R$ 10 000 no gasto, a receita diminui R$ 40 000. Logo, quando x = 0, temos y = R$ 40 000. Portanto, a lei da função é y = 4x + 40 000.
Questão 43Comentário: De acordo com o enunciado, temos:
t y
0 10 000
5 1 000
A taxa de variação do valor é:
= ∆∆
= =a yt
–9 0005
–1 800 reais/ano.
Isso significa que a depreciação em 3 anos será de R$ 5 400,00 ou 54%.
Seção Enem
Questão 01 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário: De A para B, com apenas a primeira bomba ligada, temos a vazão de 1 000 L/h.
De B para C, com as duas bombas ligadas, a vazão é de
=5000 L /h2
2500 L /h.
Portanto, a vazão da segunda bomba ligada será igual à diferença 2 500 L/h – 1 000 L/h = 1 500 L/h.
Questão 02 – Letra BEixo cognitivo: II
Competência de área: 5
Habilidade: 20
Comentário: Os gráficos ilustram a entrada e a saída de água no reservatório. Observe os dois gráficos em um mesmo sistema cartesiano.
(I)
5
20
10 15 20 25(II) (III) (IV) Períodos
Legenda:Ralo
Torneira
t
Q
(V)
x x x x xxx
xxxx
x x x x
xx x x x x x x
x
x
55
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14 Coleção EM1
Para os períodos destacados pelos elementos (I), (II), (III), (IV) e (V), pode-se estabelecer para cada período as propriedades.Períodos:(I) Uma função é constante e a outra crescente. Logo, não será constante o volume do reservatório, pois a quantidade de litros retirada pelo ralo é diferente da entrada de água da torneira.(II) A entrada e a saída de água são constantes.(III) de forma análoga ao período (I).(IV) de forma análoga ao período (I).(V) de forma análoga ao período (I).
Questão 03 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5 Habilidade: 21Comentário: Pela análise do gráfico, em 5 meses houve uma redução de 20% no nível do reservatório, portanto, devemos obter em quanto tempo a redução será de 10% (os 10% finais).
Tempo Nível
5 meses
x
20%
10%
x meses= =50
202 5,
Questão 04 – Letra BEixo cognitivo: IVCompetência de área: 5Habilidade: 22Comentário: O valor da conta de telefone V(n) é uma função do número de ligações n definida por partes:
( )=≤
+ < ≤
< ≤
V(n)12, se n 10012 0,10 n –100 , se 100 n 300
32, se 300 n 500
Logo, o gráfico dessa função é:
0
3Valo
r m
ensa
l pag
o po
r p
lano
em
rea
is
69
1215182124273033
50 100 150 200 250 300 350 400 Número deligações
Questão 05 – Letra EEixo cognitivo: IICompetência de área: 5Habilidade: 20Comentário: Na compra de zero quilograma, paga-se zero real. Portanto, o gráfico começa na origem (0, 0). Se o preço é 1,75 por kg, então a taxa de variação é constante. Assim, a função é linear e o gráfico dessa função corresponde à alternativa E.
Questão 06 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade: 21Comentário: Se o aumento de trabalhadores é o mesmo no período considerado, então a taxa de variação é constante entre x = 1 e x = 6.
x y
1 876 305
2 880 605
Quando x = 0, temos y = 876 305 – 4 300 ⇒ y = 872 005.
Portanto, a expressão da função é y = 872 005 + 4 300x.
Questão 07 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade: 21Comentário: Seja y o custo total.
Empresa 1: y = 100 000n + 350 000
Empresa 2: y = 120 000n + 150 000
Queremos encontrar o valor de n que torna os custos iguais, portanto, 100 000n + 350 000 = 120 000n + 150 000.
Dividindo por 1 000, obtemos 100n + 350 = 120n + 150.
Questão 08 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade: 21Comentário: Seja x o número de selos de R$ 0,65 para os folhetos do 1º tipo. Daí:
0,65x + 1,45 . 500 = 1 000
0,65x + 725 = 1 000
0,65x = 275
x = 423
Portanto, serão usados 423 + 500 = 923 selos de R$ 0,65.
Questão 09 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 6Habilidade: 25Comentário:
Ano Nº
2004 750
2010 968
Taxa de variação no período 2004-2010:
∆∆yx
= − =968 7506
2186
Mantendo-se a mesma taxa nos próximos 6 anos, em 2016 haverá 968 + 218 = 1 186 favelas.
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Manual do Professor
15Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 10 – Letra EEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário: Sendo linear o decaimento, concluímos que a
taxa de variação é constante: ∆∆yx
= −−
= −0 189 0
2. Assim, a lei
da função é y = –2x + 18. Fazendo x = 4, obtemos y = 10.
Questão 11 – Letra BEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário: De acordo com o gráfico, a abscissa do ponto de ordenada 19 está entre x = 15 e x = 20. A taxa de variação nesse intervalo é constante (o gráfico é um segmento de reta) e igual a:
yx
25 1520 15
105
2∆∆
=−−
= =
Portanto, o valor aumenta 2 reais para cada m3.
m3 15 16 17
R$ 15 17 19
Assim, completando a tabela, obtemos o consumo de 17 m3.
Questão 12 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário: No período entre 2010 e 2030, a taxa de
variação é constante e igual a yx
5,0 3,520
1,520
0,7510
∆∆
=−
= = .
Isso significa que a população aumentará 0,75 em 10 anos.
Portanto, em 2020, serão 3,5 + 0,75 = 4,25.
CAPÍTULO – A4Função quadrática
Exercícios de aprendizagem
Questão 01Comentário: A partir da seguinte tabela, obtemos os pontos dos gráficos de y = x2 e y = 3x2.
x x2 3x2
–2 4 12
–1 1 3
0 0 0
1 1 3
2 4 12
4
3
1O 2–1–2 x
yy = x2
y = 3x2
Fazendo a reflexão horizontal dos gráficos de y = x2 e y = 3x2, obtemos y = –x2 e y = –3x2.
1O 2–1–2x
y
Quanto maior o valor de a em módulo na função y = ax2, “mais fechada” fica a parábola.
Questão 02Comentário:
A) f(x) = x2 – 2x – 3
y
xO
–4
Mínimo: y = –4 Im = {y ∈ | y ≥ –4}
B) g(x) = –x2 + 4xy
xO
4
Máximo: y = 4 Im = {y ∈ | y ≤ 4}
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16 Coleção EM1
C) h(x)=–x2 + 4y
xO
4
Máximo:y=4
Im={y∈ | y ≤4}
D) p(x) = x2 – 4x + 5y
xO
1
Mínimo:y=1
Im={y∈ | y ≥1}.
Questão 03Comentário: A) f(x) = x2 + 6x + 5 a=1⇒concavidadeparacima c = 5 ⇒passapor(0,5) D=16⇒raízesreais:x=–5oux=–1
Vértice: = = =
= =
x –b2a
–62
–3
y f(–3) –4
v
v
y
xO
–4
5
–3
B) f(x) = –x2+2x+8 a=–1⇒ concavidade para baixo c=8⇒passapor(0,8) D = 36 ⇒ raízes reais: x = –2 ou x = 4
Vértice: = =
= =
x –b2a
1
y f(1) 9
v
v
y
98
41O x
–2
C) f(x) = x2 + 4x + 4 a=1⇒concavidadeparacima c = 4 ⇒passapor(0,4) D=0⇒ raiz real: x = –2
Vértice: = =
= =
x –42
–2
y f(–2) 0
v
v
y
xO–2
4
D) f(x) = x2 – 4x + 5 a=1⇒concavidadeparacima c = 5 ⇒passapor(0,5) D = –4 ⇒ não possui raiz real
Vértice: = =
= =
x42
2
y f(2) 1
v
v
y
x
1
2O
5
Questão 04Comentário: A) a>0:concavidadeparacima. b<0:cortaoeixoynoramodecrescente. c<0:cortaoeixoyabaixodaorigem. D>0:cortaoeixoxemdoispontos.B) a>0:concavidadeparacima. b>0:cortaoeixoynoramocrescente. c>0:cortaoeixoyacimadaorigem. D<0:nãocortaoeixox.
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Manual do Professor
17Bernoulli Sistema de Ensino
C) a < 0: concavidade para baixo. b > 0: corta o eixo y no ramo crescente. c < 0: corta o eixo y abaixo da origem. ∆ < 0: não corta o eixo x.
D) a > 0: concavidade para cima. b = 0: corta o eixo y no vértice. c < 0: corta o eixo y abaixo da origem. ∆ > 0: corta o eixo x em dois pontos.
E) a > 0: concavidade para cima. b = 0: corta o eixo y no vértice. c > 0: corta o eixo y acima da origem. ∆ < 0: não corta o eixo x.
F) a < 0: concavidade para baixo. b = 0: corta o eixo y no vértice. c = 0: corta o eixo y na origem. ∆ < 0: corta o eixo x em um ponto.
G) a > 0: concavidade para cima. b < 0: corta o eixo y no ramo decrescente. c > 0: corta o eixo y acima da origem. ∆ = 0: corta o eixo x em um ponto.
H) a < 0: concavidade para baixo. b = 0: corta o eixo y no vértice. c < 0: corta o eixo y abaixo da origem. ∆ < 0: não corta o eixo x.
Questão 05Comentário: Na função C = x2 – 40x + 2 000, temos a = 1,
b = –40 e c = 2 000.
O ponto mínimo ocorre no vértice da parábola, logo,
a abscissa do vértice é o número de peças que minimizam
o custo: x b
aV= − = − − =
2
40
220
( ) .
A ordenada do vértice é o valor mínimo da função, que
representa o menor custo, e será calculada por meio da
substituição de xV na fórmula do custo:
C(20) = (20)2 – 40(20) + 2 000 ⇒C(20) = 1 600.
Questão 06Comentário:
h(t) = –t2 + 8t + 10
h
tO 4
10
26
O ponto máximo é o vértice: xv indica o instante da altura máxima.
Portanto, = =x–8–2
4sv
, e yv é a altura máxima: h(4) = 26 m.
Questão 07Comentário: Substituindo F(x) e C(x) na equação do lucro, temos:
L = F – C ⇒L(x) = (1 500x – x2) – (x2 – 500x) ⇒
L(x) = –2x2 + 2 000x
A quantidade produzida que maximiza o lucro é:
xb
aV= − = −
−=
2
2 000
4500
( )
Substituindo xV na expressão da função, obtemos o lucro máximo:
L(500) = –2(500)2 + 2 000(500) ⇒L(500) = 500 000.
Questão 08
Comentário: Se a parábola da função f x x px( ) –= + +12
12
possui concavidade voltada para baixo e o conjunto imagem é
y ≤ 3, então o valor máximo da função é 3. Portanto:
y4a
3(p 2)
23 p 2 6 p 2.
V
22= −
∆= ⇒ −
+−
= ⇒ + = ⇒ = ±
Questão 09Comentário:
A) y = x2 – 6x + 5
Raízes: x2 – 6x + 5 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 5
a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima
+ +–
1O 5
y
x
f(x) = 0 para x = 1 ou x = 5 f(x) > 0 para x < 1 ou x > 5 f(x) < 0 para 1 < x < 5
B) y = –x2 + 4x – 3 Raízes: –x2 + 4x – 3 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 3 a = –1 < 0 ⇒ concavidade para baixo
y
x
+– –
1O 3
f(x) = 0 para x = 1 ou x = 3 f(x) > 0 para 1 < x < 3 f(x) < 0 para x < 1 ou x > 3
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18 Coleção EM1
C) y = x2 – 4x + 4 Raízes: x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ x1 = x2 = 2 a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima
y
x2O
f(x) = 0 para x = 2 f(x) > 0 para x ≠ 2
D) y = x2 – x + 2 Raízes: ∆ = –7 ⇒ não possui raiz real a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima
y
xO
++
f(x) > 0 para todo x real.
Questão 10Comentário: A) x2 – 4x + 3 < 0 Podemos entender o 1º membro da desigualdade como
uma função quadrática e, então, estudar seus sinais. Raízes: x2 – 4x + 3 = 0 ⇒ x1 = 1 e x2 = 3. a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima
+ +–
1 3 x
Como a inequação pede os valores de x para os quais a função é negativa, a solução é 1 < x < 3.
B) –x2 + 4 > 0 Como no item anterior, temos que estudar os sinais de
f(x) = –x2 + 4. Raízes: –x2 + 4 = 0 ⇒ x1 = –2 e x2 = 2 a = –1 < 0 ⇒ concavidade para baixo
+– –
–2 2 x
Pelo gráfi co, vemos que a função é positiva quando –2 < x < 2.
C) 2x2 – x + 5 > 0
Raízes de f(x) = 2x2 – x + 5: ∆ = –39 ⇒ não há raiz real. a = 2 > 0 ⇒ concavidade para cima
x
Todos os pontos da parábola têm ordenada positiva, logo, o polinômio 2x2 – x + 5 é sempre positivo qualquer que seja x real. O conjunto solução é .
Questão 11 Comentário: O gráfico de f(x) está abaixo do gráfico de g(x)
nos intervalos em que as imagens f(x) são menores que g(x).
Daí, basta resolvermos a inequação f(x) < g(x).
6 – x2 < x2 ⇒ –2x2 + 6 < 0
Raízes de h(x) = –2x2 + 6:
–2x2 + 6 = 0 ⇒ 2x2 = 6 ⇒ x2 = 3 ⇒ x ou x= − =3 3
Sinais:
¹3–¹3 x
+
––
Portanto, x < –¹3 ou x > ¹3.
Questão 12
Comentário: A função y = px2 + x + p4
é sempre positiva se
seu gráfico tiver a seguinte forma:
x
Para isso, devemos ter p > 0 e ∆ < 0. Logo:
∆ < ⇒ − < ⇒ − <0 1 44
0 1 02 2. .p p p
–1 1p
+
– –
Portanto, para ∆ < 0, temos que p < –1 ou p > 1.
Fazendo a intersecção com p > 0, concluímos que, para a
desigualdade do exercício ser verdadeira, para todo x real,
devemos ter p > 1.
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Manual do Professor
19Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 13Comentário:
A) f(x)=kx2+(k–2)x+k≤0paratodox, quando f(x) tiver gráficosdaforma:
x
ou
x
Assim,devemosterD<0ouD=0ek<0.Logo: D ≤ 0⇒ (k–2)2–4.k.k≤0⇒–3k2–4k+4≤0
Raízes:k=–2ouk= 23
Sinais:
k
–223
+
––
Portanto,paraD ≤ 0,temosk ≤–2ouk≥ 23.Entretanto,
comokdevesermenorquezero,asoluçãoék ≤ –2.
B) f(x)=(k–1)x2+4(k–1)x+k>0paratodox quando f(x)possuirumgráficodotipo:
x
Portanto,devemoster(k–1)>0eD< 0.Assim:
k>1e[4(k–1)]2–4.(k–1).k<0⇒
16(k–1)2–4k2+4k<0⇒
12k2–28k+16<0⇒3k2–7k+4<0
Raízes:k=1ou 43
Sinais:
k1 43
+ +
–
Portanto, fazendoa intersecçãodosvaloresencontrados
para k,temos1 43
< <k .
C) f(x)=(k2–1)x2+2(k–1)x+1>0paratodox quando ográficodef(x)édaforma:
x
Paraisso,ascondiçõessão: ( )( )IkII
2 1 00
− >∆ <
(I) k2–1>0
Raízes:k=–1ouk=1
Sinais:
k–1 1
++
–
Logo,k<–1ouk>1.
(II)D < 0⇒[2(k–1)]2–4(k2–1).1<0⇒
4(k–1)2–4k2+4<0⇒–8k+8<0⇒k>1
Fazendoainterseção,temosk>1.
Questão 14 – Letra BComentário:Paraanalisaradesigualdade,vamosordenarosvaloresdadosefazeroestudodossinais:
–42+ + ––
Logo,ográficoédaforma:
xO
y
Como a função possui duas raízes reais e distintas, temos ∆ > 0,logo,b2–4ac>0.
Questão 15 – Letra AComentário: Resolvendo a inequação 2n2–75n+700≤0,
temos:
Raízes:n=17,5oun=20
Estudodossinais:
n17,5 20
+ +
–
Osnúmerosnaturaisquepertencemàsoluçãosão18,19e20.
Questão 16Comentário:
A) 3– x2
0≥
Odenominadoréconstanteepositivo,portanto,paraquea
fraçãofiquemaiorouigualazero,devemosteronumerador
nãonegativo:
3 – x ≥0⇒ x ≤ 3
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20 Coleção EM1
B) –35 – x
0≥
Umafraçãoalgébricasetornaigualazerosomenteseseu
numeradorforzero.Contudo,sabemosque(–)(–)
( )= + .
Assim,devemoster5–x<0oux>5.
C) ++
<2x 1x 2
0
Inequaçõesnaformaf(x).g(x)<0ou f(x)g(x)
0< podemser
resolvidascomousodoquadrodesinais.Antes,estudamosossinaisseparadamente.
f(x)=2x+1
Raiz:2x+1=0⇒ x –12
=
a=2>0⇒ reta ascendente
+–x–1
2
g(x)=x+2 Raiz:x+2=0⇒ x = –2 a=1>0⇒ reta ascendente
+–
x–2
Quadrodesinais:
–
+
+
–
+
+–
+
–
2x + 1
x + 2
Quociente
–2 –12
Oquocienteénegativopara–2<x<–12
.
D) (2–x).(5–x)>0 O produto resulta em uma inequação do 2º grau, cuja
resoluçãoenvolveestudodossinaisdafunçãoquadrática: 10–2x–5x+x2>0 x2–7x+10>0 Raízes:(2–x)(5–x)=0⇒ x1 = 2 e x2 = 5 a=1>0⇒concavidadeparacima
+ +
2 5 x
A função é positiva quando x < 2 ou x > 5.
E) (x+2).(–2+x).(3–x)≥0 Nesse caso, faremos o estudo de sinal de cada função
afimseparadamente. f(x) = x + 2
Raiz:x=–2
+–
x–2
g(x)=–2+x Raiz:x=2
+–
x2
h(x)=3–x Raiz:x=3
+ –x3
No quadro de sinais, escrevemos as raízes em ordemcrescente:
–
+
+
–
+
–
+
+–
+
+
–
g (x)
– ++ +
–2 2 3
f (x)
h (x)
Produto
Temosf(x).g(x).h(x)≥0parax≤ –2 ou 2 ≤ x ≤ 3.
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Manual do Professor
21Bernoulli Sistema de Ensino
F) x(4 – x)2 – x
0–x 4x
2 – x0
2
≤ ⇒+
≤
Observequearaizdodenominadornãopoderápertenceràsolução.
Sinais de –x2 + 4x: Raízes: –x2+4x=0⇒ x1=0ex2 = 4
a=–1<0⇒ concavidade para baixo
+
– –
0 4x
Sinais de 2 – x: Raiz: x = 2 a=–1<0⇒ reta descendente
+ –
x2
Quadro de sinais:
–
–
–
–
–
+
+
–+
+
+
+
0 2 4
–x2 + 4x
2 – x
Quociente
O quociente émenor ou igual a zero para x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 4.
G) 1x
x
1x
– x 0
1– xx
02
<
<
<
Sinaisde1–x2: Raiz:1–x2=0⇒ x1=–1ex2=1 a=–1<0⇒ concavidade para baixo
+– –
–1 1 x
Sinais de x: Raiz:x=0
+–
x0
Quadro de sinais:
–
+
–
+
+
+
–
+–
+
–
–
–1 0 1
1– x2
x
Quociente
Solução:–1<x<0oux>1.
H) ≥≥
x xx – x 0
3
3
Gráficosdepolinômiosdo3ºgraunãosãotriviais,portanto
fatoramoseobtemosumainequação-produto:
x(x2–1)≥0
Quadro de sinais:
–
–
+
+
–
–
–
–+
+
+
+
–1 0 1
x
x2 – 1
Produto
Solução:–1≤ x ≤0oux≥1.
Questão 17Comentário:
A) =+
f(x)2 – x
x 3 Aexpressãodafunçãorepresentaumnúmerorealquando
asseguintescondiçõessãoverificadas:
2 – x 0x 3 0
x 2x –3
–3 x 2≥+ >
⇒ ≤
>
⇒ < ≤
B) =f(x)x
x –1
A função existe quando ocorrer ≥>
x 0x 1
. Portanto,
D={x∈ |x>1}porquetodonúmeromaiorque1émaior
que zero.
C) =f(x)2x –3
x–1
Nessecaso,devemosterx≠0e:
2x –3x
–1 0
x –3x
0
≥ ⇒
≥
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22 Coleção EM1
Sinais de x – 3 Raiz: x = 3
+–
x3
Sinais de x Raiz:x=0
+–
x0
Quadro de sinais:
–
+
+
–
+
+–
+
–
0 3
x – 3
x
Quociente
Resposta:x<0oux≥ 3
D) =f(x) x – 42
A condição é x2 – 4 ≥0. Raízes: x2–4=0⇒ x1 = –2 e x2 = 2
a=1>0⇒concavidadeparacima
+ +–2 2 x
Domínio:x≤ –2 ou x ≥ 2
E) =f(x)x – 91– x
2
Deve ocorrer, aqui, ≥x – 91– x
02
e x ≠1.
Estudaremosossinaisseparadamente.
g(x)=x2–9 Raízes: x2–9=0⇒ x1 = –3 e x2 = 3
+ +–
–3 3 x
h(x)=1–x Raiz:1–x=0⇒x=1
+ –
x1
Quadro de sinais:
+
–
+
–
+
–
+
+–
–
+
–
–3 1 3
x2 – 9
1 – x
Quociente
Domínio:x≤–3ou1<x≤ 3.
Questão 18 – Letra A
Comentário:Comosetratade inequaçãodotipo ≥f(x)g(x)
0,
usaremosoquadrodesinais:
+
–
–
+
+
+
–
+–
–
+
–
–3 –1 2
f(x)
g(x)
Quociente
Asraízesdeg(x)nãopodemsersoluções, logo,oconjuntosoluçãoé{x∈ |x<–3ou–1≤x<2}.
Questão 19 – Letra BComentário: Queremosencontrarosvaloresdex para que
0<f(x)≤4.Assim:
2 2
30
2 2
34
x
xI
x
xII
+−
>
+−
≤
( )
( )
Soluçãode(I):
g(x)h(x)
02x 2x – 3
0> ⇒+
>
Estudodesinaisdeg(x)eh(x):
–1g(x) = 2x + 2
–
+
3h(x) = x – 3
–
+
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Manual do Professor
23Bernoulli Sistema de Ensino
Quadro de sinais:
h(x)
g(x)
g(x) = 2x + 2
–1 3
h(x) = x – 3
–
–
––
+
+ +
+
+
Logo,x<–1oux>3.
Soluçãode(II):
2x 2x 3
42x 2x 3
– 4 0–2x 14
x 30
p(x)h(x)
0+
−≤ ⇒
+−
≤ ⇒+
−≤ ⇒ ≤
Estudodesinaisdep(x)eh(x):
7p(x) = –2x + 14
–
+
3h(x) = x – 3
–
+
Devemoslembrarqueh(x)≠0.
Quadro de sinais:
h(x)
p(x)
p(x) = –2x + 14
3 7
h(x) = x – 3
–
–
–
–
+
+
+
+
+
Logo,x<3oux≥ 7.
Portanto,asoluçãoéaintersecçãode(I)e(II):x<–1oux≥ 7.
Questão 20 – Letra AComentário: Se o gráfico passa pelo ponto (1, 0), então
f(1)=0.
Logo, f(1) = (k2 – 4).1+ 3k= 0⇒ k2 + 3k – 4= 0⇒
k=–4ouk=1(I)
Comofédecrescente,temos:
k2–4<0⇒–2<k<2(II)
Assim,obedecendoàsrestrições(I)e(II),temosquek=1.
Portanto, a lei da função é f(x) = –3x + 3.
Parax=–2,obtemosy=9,portanto,ográficopassapor
(–2,9).
Desafio
Questão 01 – Letra DComentário: A condição do enunciado equivale a descobrir os valores de a para os quais a solução positiva de ax2+x–1=0estejaentre0,5e1.Assim:
<+ +
<12–1 1 4a
2a1
• <+ +
⇒ <+ +
⇒ + ≤ + ⇒
+ + < + ⇒ < ⇒ < <
1
2
–1 1 4a
2a1
–1 1 4aa
a 1 1 4a
a 2a 1 4a 1 a –2a 0 0 a 22 2
• + +
< ⇒ + > + ⇒ + + > + ⇒
> ⇒ ∈
–1 1 4a2a
1 2a 1 1 4a 4a 4a 1 4a 1
4a 0 a *
2
2
Aintersecçãoentreasduascondiçõesé0<a<2.
Questão 02Comentário:Oenunciadopergunta,emoutrostermos,ovalor
mínimo da função = = +f(x)– g(x) h(x)x2
–3x 5,2
valor que é
dado por =
= = + =h(x ) h3
2.12
h(3)32
–3.3 512
.v
2
Questão 03 – Letra DComentário: Para qualquer mpertencenteaodomínio,temosqueg(m)=f(–m)=am2–bm+c.AalturarelativaaoladoPQmedec.AmedidadabasePQénumericamenteigualaomódulodadiferençaentreasmaioresraízesdasequações:
+ + + +=
b b 4ac2a
––b b 4ac
2aba
2 2
Assim,aáreaS é dada por:
=Sc2.ba
Assim,apenasaalternativaDpodeestarcorreta.
Exercícios propostos
Questão 01 – Letra AComentário:Comoaparábolatemconcavidadevoltadaparacima,ográficodeveserdaseguinteforma:
3
y
x
ou 3
y
x
Nesses casos,ovalormínimodeve sermaiorque3. Logo:
> ⇒ −∆
> ⇒ ∆ < −
− < − ⇒ − <
y 34a
3 12a
m 40 24 m 16 0
v
2 2
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24 Coleção EM1
4 m–4+ +
–
Assim,paraqueaparábolanãointerceptearetay=3,devemoster–4<m<4.
Questão 02 – Letra AComentário:Comoasraízessãox1=0ex2 = 2, a expressão da funçãoédaformay=a(x–0)(x–2)ouy=ax2–2ax,coma>0.Logo,aalternativacorretaéaA,poisy=(x–1)2–1⇒ y = x2 – 2x.
Questão 03 – Letra DComentário:Usandoaformafatoradadafunçãodesegundograu,cujasraízessão2e5enaqualf(0)=10,f(x) = a(x – 2)(x – 5)f(0)=10=a(0–2)(0–5)⇒a=1y=1.(x–2)(x–5)=x2 –7x+10
Questão 04 – Letra DComentário:Dafórmulageraldafunçãoquadrática,temosqueográficotemconcavidadevoltadaparabaixo(a<0)econtémoponto(0,–1),portantoc=–1.Aabscissadovérticeéxv=1,
logo, –b2a
1 b –2a= ⇒ = .
Assim,y=ax2–2ax–1.Comooeixoxétangenteàparábola,então D=0:(–2a)2–4a(–1)=04a2+4a=04a(a+1)=0⇒a=–1oua 0= (a<0)Portanto,b=2.
Questão 05Comentário:
A) Sendo x e yasmedidasdedoisladosnãoparalelos,temos2x+2y=10e,logo,x+y=5.Assim,y=5–x,eaáreaSpodeserexprimidacomo:
S = x.y = x(5 – x) = –x2 + 5x Comoasmedidassãopositivas,temos: x>0ey>0⇒y=5–x>0⇒ x < 5 Assim,0<x<5.B) O valor de xquemaximizaaáreaS é o vértice da função
desegundograuy=–x2 + 5x, dado por = =x–5–2
2,5 cm.V
Questão 06 – Letra BComentário:
54 A
1
2 xxAO
y
ParacalcularaabscissaxA,vamosdeterminaroscoeficientesda função y = ax2 + bx + c.c 1
–b2a
2
4a 2b c 5
b –4a4a 2b 4
4a–8a 4 a –1, b 4
=
=
+ + =
⇒ =+ =
⇒ = ⇒ = =
Assim,obtemosy=–x2+4x+1.Paray=4,temos–x2+4x+1=4,cujasraízessãox=1oux=3.Logo,acoordenadax do aro é 3.
Questão 07 – Letra DComentário: Receita – custo = lucro10x–(–x2+22x+1)=44x2–12x–45=0Asoluçãopositivaéx=15.
Questão 08 – Letra DComentário:Ocomprimentodatelaéde36m,logo3x+4y=36. Agrandezaasermaximizadaéaárea,daíescrevemosA=2xy.
Isolandoyem3x+4y=36,temos =y 9 –34
x . Substituindo emA,
obtemos:
=
= +
A 2x 9 –34
x
A –32
x 18x (função área)2
Aáreamáximaédadapor ∆–4a:
= =A–324–6
54 m .Máx
2
Questão 09 – Letra DComentário: Conforme o enunciado, o gráfico deve ter aseguinteforma:
4x
y
Portanto,temosacondiçãof(4)<0.
Assim,16+4m–28<0⇒4m<12⇒m<3.
Questão 10 – Letra AComentário: Ummodelomatemáticoparaasituaçãodadapodeseroseguinte:
y
x
3
O 4 32 64
Vamosencontraraequaçãodaparábolaapartirdey=ax(x–64).
Comoelapassapor(4,3),temos4a(4–64)=3⇒ =a –180
.
Assim, =y –x80
(x – 64).
Substituindo =+
=+
=xx x
20 64
232
v1 2 ,obtemosaalturamáxima:
=
=
y –3280
(32 – 64)
y 12,8 m.
v
v
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Manual do Professor
25Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 11 – Letra AComentário:A) Falsa. Resolvendo a equação –3t2 + 24t + 27 = 63,
encontramos t = 2 e t = 6 como soluções. Assim, oreservatóriocontém63000litrosdeáguaàs10horaseàs14horas.
B) Verdadeiro. –3t2 + 24t + 27 = 0 possui raízes t=–1et=9sendoqueodomínioé0<t<8.Logo,V(t)ésemprepositivonohorárioestipulado.
C) Verdadeiro.Encontrandoasraízesdaequaçãoaseguir: –3t2 + 24t + 27 = 75 ⇒ –3t2+24t–48=0 D = 242–4.(–3)(–48)=576–576=0 O que indica que a função nunca é positiva.
D) Verdadeiro. O vértice da abscissa é:
= =t–(24)2.(–3)
4v
Assim,8h+4h=12h.Confirmandoquenapartedamanhã(t<4)afunçãoécrescenteenapartedatarde (t > 4) é decrescente.
Questão 12 – Letra BComentário: A abscissa do vértice da função determina omêsparaoqualonúmerodehorasdeestudofoimáximo,no
caso, =–14–2
7.Assim,eleestudouomaiornúmerodehoras
emjulho,osétimomês.
Questão 13 – Letra CComentário:Aalturamáximah queabolaatingeédada
pela ordenada do vértice da função = +y –x2
4x2
, dada por
h y –
4.a
–4
4. –1
2
16
28
v
2
= = ∆ =
= =
Questão 14 – Letra DComentário: Observe o esboço da parábola.
y
x
43
1O 5 9
A) Verdadeira:simetria.B) Verdadeira:concavidadeparacima.C) Verdadeira:oeixodesimetriapassapelovértice.D) Falsa: a parábola corta o eixo yemumpontodeordenada
acimade4.
Questão 15 – Letra DComentário: A temperaturamáximaT atingida é tal que
= =
= = + + =T f(t ) f–8–2
f(4) –4 8 . 4 20 36.v
2
Questão 16 – Letra BComentário:Comof(0)=–1,c=–1,ea funçãotemummínimo,a>0,issoérepresentadopelaalternativaB.
Questão 17 – Letra BComentário:Asraízessãox=0oux=a.Então,aabscissa
do vértice é a2
.
Etemosaordenadadovérticetambémigualaa2
. Substituindo essevalornafunção,obtemos:y ax a x
a2
a.a2a
a2
1 a.a2
a 2 a 22
( )= −
= −
⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
Comoa>0⇒ a = ¹2.
Questão 18 – Letra CComentário:
L(q)=100(10–q)(q–2)
A condição é L(q) ≥1200.
100(10–q)(q–2)≥1200
–q2+12q–32≥0
Raízes: –q2+12q–32=0⇒ q1 = 4 e q2=8
a=–1<0⇒ concavidade para baixo
+
4 8 q
Há lucro quando 4 ≤ q ≤8,oquelevaàalternativaC.
Questão 19 – Letra DComentário: Observeoesboçodográfico.
y
x
3
30 6
AalternativaDéfalsa,porquey<0quandox<0oux>6.
Questão 20 – Letra DComentário: Sendo x e y asmedidas de dois lados nãoparalelosdoretângulo,2x+2y=60,assim,x+y=30.SendoS aáreadoretângulo,S=x.y=x(30–x)=–x2+30x=f(x). A áreamáximaA é dada pela ordenada do vértice desta
função f,ouseja, =
= = + =A f–30–2
f(15) –15 30 . 15 225 m .2 2
Questão 21 – Letra DComentário: Dada a função f(x) = 6x2–24x+2,deseja-seencontrar f(a + x) = f(a – x) para todo xrealcoma constante.Assim:
+ = ⇒
+ + + = + ⇒
+ + = + + ⇒= + ⇒ = ⇒ =
≠ ⇒ = ⇒ =
f(a x) f(a– x)
6(a x) –24.(a x) 2 6(a– x) –24.(a– x) 2
6a 12ax 6x – 24a –24x 6a –12ax 6x – 24a 24x12ax –24x –12ax 24x 24ax 48x ax 2x
x 0 ax 2x a 2
2 2
2 2 2 2
Logo,f(2+x)=f(2–x).
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26 Coleção EM1
Questão 22 – Letra CComentário: A profundidade a ser alcançada é dada, em
metros, por = +
=–f(6) – –6
4– 6
22 10 m.
2
Questão 23 – Letra EComentário: Sendo x o número de diminuições de 10 centavos no preço do sanduíche, a receita R(x) será dada por R(x) = (4 – 0,1x)(150 + 5x) = –0,5x2 + 5x + 600, que será
maximizada para = =x–5
2(–0,5)5
v, o que implica sanduíches
custando R$ 3,50.
Questão 24 – Letra CComentário: A função f(x) = x2 + 10x + 16 cruza o eixo y em x = 2 e x = 8. Como a concavidade dela está apontada para cima, a solução de f(x) < 0 é 2 < x < 8 e, logo, cinco inteiros (3, 4, 5, 6, 7), satisfazem a inequação constante do enunciado.
Questão 25 – Letra CComentário: Como o gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice, além de x = 0,
=x –12
é raiz da função f. Usando a forma fatorada da função
quadrática:
= +
= = +
⇒ =
= +
=
f(x) a(x – 0) x12
f(2) 1 a(2 – 0) 212
a15
f(1)15
(1– 0) 112
310
Questão 26 – Letra DComentário:
A abscissa de V é x bv
= −2
. Se OA = 2(OV), então OA = –b.
Assim, temos os pontos –b2
, 0 e 0, –b( )
.
b4
–b2
c 0
c –b
–b4
–b 0 –b – 4b 0 b b 4 0
b 0 ou b –4
2 2
22 ( )
+ =
=
= ⇒ = ⇒ + =
= =
Como xv ≠ 0, devemos ter c = 4.
Questão 27 – Letra DComentário:
x Mês Quantidade Preço Receita
0 Dezembro 124 15,00 1 860,00
1 Janeiro 120 16,00 1 920,00
Após x meses, sua receita será:
R(x) = (124 – 4x)(15 + x)
R(x) = –4x2 + 64x + 1 860
O valor de x que fornece a receita máxima é a abscissa do
vértice: = = =x –b2a
–64–8
8v (mês de agosto).
Questão 28 – Letra CComentário: Se existem 2 raízes distintas, então x1 < x2 e x1 < xv < x2. Dado que –2 < x1 < xv < x2 < 3, temos que:
–2 < –b2a
< 3 ⇒
–4 < –b < 6 ⇒
4 > b > –6 ⇒ –6 < b < 4.
Questão 29 – Letra AComentário: O tempo t decorrido até o contato com a água
é dado por h(t) = 30t – 3t2 = 0, ou seja, t = 10s. Sua altura
máxima H é dada pela ordenada do vértice da função h,
ou seja, =
= = =H f–30
2(–3)f(5) 30.5 –3.5 75.2
Questão 30 – Letra CComentário:
• a > 0, pois a concavidade da parábola está apontada para
cima.
• b < 0, pois a parábola esta “descendo“ ao interceptar o
eixo y.
• c > 0, pois o ponto de encontro do gráfico da função com
o eixo das ordenadas está acima do eixo das abscissas.
Questão 31 – Letra DComentário: O valor máximo de y é a ordenada do vértice
de y. Assim:
= =∆
= =+
⇒
= ⇒ =
y78
–4a
–(b – 4ac)4a
–(225 4m)4m
28m –32m–1 800 m –30
V
2
Questão 32 – Letra AComentário: Pelos dados do enunciado, f(0) = b = 300 e f(10) = 0. Assim:
= = + ⇒ == + =
f(10) 0 a.10 300 a –3f(8) (–3).8 300 108
2
2
Questão 33 – Letra AComentário: O enunciado pergunta para quais valores de x f(x) > g(x), ou, equivalentemente, x2 + x – 2 > x + 2, ou seja,
x2 – 4 > 0, cuja solução é S {x |x (– , –2) (2, )}.= ∈ ∈ ∞ ∪ + ∞
Questão 34Comentário:
A) f(x) > g(x) x – 14 > –x2 + 6x – 8 x2 – 5x – 6 > 0
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Manual do Professor
27Bernoulli Sistema de Ensino
Raízes: x2 – 5x – 6 = 0 ⇒ x1 = –1 e x2 = 6
+ +
–1 6 x–
Solução: x < –1 ou x > 6.
B) f(x) + k ≥ g(x) x – 14 + k ≥ –x2 + 6x – 8 x2 – 5x – 6 + k ≥ 0 para todo x. O gráfi co deve ser como indicado a seguir:
x
x
Portanto, deve ocorrer ∆ ≤ 0. b2 – 4ac ≤ 0 25 – 4(–6 + k) ≤ 0 25 + 24 – 4k ≤ 0 – 4k ≤ –49
≥k494
O menor valor é =k494
.
Questão 35 – Letra DComentário: A soma S das área dos retângulos indicados é dada por:
S = x(27 – x) + x(21 – x)= x(48 – 2x) = –2x2 + 48x
O valor de x que maximiza S é dado por = =x–482.(–2)
12.
Questão 36 – Letra AComentário:
4y 4 – x y4 – x
4– x 5x – 4
4 – x4
–4x 20x –16 4 – x 4x –21x 20 0
Raízes :x 4 y 0
x54
y1116
2
2 2
= ⇒ = ⇒ + = ⇒
+ = ⇒ + =
= ⇒ =
= ⇒ =
Com estas coordenadas, o gráfico delimitado é:
y
xO
Questão 37 – Letra CComentário: Alguns dos possíveis gráficos são os seguintes:I.
x
y
1O
II.
x
y
1O
III.
x
y
1O
Se a > 0, então as raízes são menores ou maiores que 1 (Por I e II).Se a < 0, só existirá valores negativos de f(x) para valores de x entre as raízes.Se a < 0, então x = 1 está entre as raízes (Por III).
Questão 38 – Letra AComentário: Função receita: y = a(q – q1)(q – q2)y = aq(q – 500)O ponto (250, 125 000) pertence à parábola, logo:a.250.(250 – 500) = 125 000 ⇒ a = –2Função custo: y = mq + nOs pontos (50, 45 000) e (350, 105 000) pertencem à reta, logo:
=∆∆
= = =myq
105 000 – 45 000350 –50
60 000300
200
Para calcular n, substituímos o ponto (50, 45 000): 200 . 50 + n = 45 000, n = 35 000 (o que pode ser observado também por meio do gráfico).Função lucro:L(q) = –2q(q – 500) – (200q + 35 000)L(q) = –2q2 + 800q – 35 000.
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Questão 39 – Letra DComentário: Seja x o preço unitário. A função que descreve a quantidade vendida é do tipo y = ax + b, em que:
ayx
600 90016 10
50=∆∆
=−−
= −
Para calcular b, escolhemos o ponto (10, 900):
900 = –50 . 10 + b ⇒ b = 1 400
Receita = (preço unitário).(quantidade vendida)
R(x) = x.(–50x + 1 400)
R(x) = –50x2 + 1 400x
O preço que fornece a receita máxima é dado pela abscissa do vértice:
xb2a
x1 400
100x R$14,00.
v v v= − ⇒ = −
−⇒ =
Questão 40Comentário:
A) g(x) = ax + b g(0) = 1 = a.0 + b ⇒ b = 1 g(–1) = 0 = –a + 1 ⇒ a = 1 g(x) = x + 1
B) Como 2 é raiz da função quadrática e a abscissa do vértice é 3, 4 também será raiz. Usando a forma fatorada:
=
= = ⇒ =
=
f(x) a(x –2)(x – 4)
f(0) 3 a(0 –2)(0 – 4) a38
f(x)38
(x –2)(x – 4)
C) ≤ ⇒ + ≤ + ⇒
+ ≤ + ⇒
+ ≤ ⇒ ∈
f(x) g(x)38
(x – 6x 8) x 1
3x –18x 24 8x 8
3x –26x 16 0 x23
,8
2
2
2
Questão 41 – Letra CComentário: Tanto no primeiro quanto no segundo trecho, a concavidade da parábola está voltada para baixo, pois a < 0.
Questão 42 – Letra BComentário: f(x) > 0 para todo x significa ∆ < 0:
100 – 20 µ < 0 ⇒ µ > 5. Logo, µ ⇒ ]5,+∞[.
Questão 43 – Letra AComentário: Peso da pedra antes de se quebrar:C(x) = 110x2 + 10 = 110x = 10 gramasEle a venderia por V(10) = 129,00. Mas ela se partiu em duas: a e (10 – a) gramas. O valor de venda será, então:V(a) + V(10 – a) = (a + 1)2 + 8 + (10 – a + 1)2 + 8V = 2a2 – 20a + 138
O valor mínimo ocorre quando =a204
⇒
a = 5 (abscissa do vértice)
Assim, ele venderia as duas por 2.V(5) = 2 . 44 = R$ 88,00. Como ele pagou R$ 110,00, seu prejuízo foi de R$ 22,00.
Seção EnemQuestão 01 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade: 21
Comentário: Considere a imagem a seguir para a resolução da questão.
10X
Y
h
3
9XV
x1 = 0
x2 = 10
Y = a ⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2)
Y = a ⋅ (x – 0) ⋅ (x – 10)
Y = a ⋅ x ⋅ (x – 10)
P/(9,3) ⇒ 3 = a ⋅ 9 (9 – 10) 3 = – 9a
a = 13
−
Y = 13
− ⋅ x ⋅ (x – 10)
P/x = 5 ⇒ y = h = 13
− ⋅ 5 ⋅ (5 – 10)
h = 253
m .
Questão 02 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade: 21
Comentário: Para desenhar o gráfico da função y = 9 – x2, devemos determinar suas raízes, ou seja:
Raízes: 9 – x2 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± 3
Como o gráfico toca o eixo y no termo independente de x, temos o gráfico a seguir:
–3 3
6
9
Retângulo
9
6
9y
x
A área da parte frontal é 23
da área do retângulo de base 6 e
de altura 9, portanto 23
. 6 . 9 = 36 m2.
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Manual do Professor
29Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 03 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário:Atemperaturamáximadaestufaédadapelacoordenada ydovérticedográficodafunçãodesegundograuquemodelaatemperaturadaestufaemfunçãodohorário:
y –4a
–(22) – 4.(–1).(–85)4.(–1)
36V
2
= ∆ = =
Logo,como30≤36≤43,atemperaturanaestufaéclassificadacomoalta.
Questão 04 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade:21
Comentário:Considerandoqueatemperaturaatinge48°Cparaalgumt,talque0≤t<100,temos:
+ = ⇒ + = ⇒ =75
t 20 48 7t 100 240 t 20
ConsiderandoqueT=200quandot≥100,podemosmontaraequação:
2125
t165
t 320 200
t 200t 7 500 0
40 000 30 000 10 000
t200 100
2
t 150
t 50 (não compatível com t 100)
2
2
1
2
− + =
− + =
∆ = − =
=±
⇒=
= ≥
Portanto, a peça permanece no forno entre t = 20min e t=150min.
150–20=130minutos.
Questão 05 – Letra EEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário:
R(x)=kx(P–x)
R(x)=–kx2+kPx,comk>0⇒–k<0
Ográficodessafunçãoéumaparábolacôncavaparabaixo, easraízessãoiguaisazeroeaP.
Questão 06 – Letra BEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade:21
Comentário:
R(x)=–kx2+44000kx
Ovalormáximoocorrequandoxforiguala:
x ba
kkv
= − = −−( ) =
244 000
222 000
22 000 44 000O
y
x
Questão 07 – Letra BEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade:21
Comentário:QuandoC(p)=R(p),temos:
2p+68=–2p2+40p
2p2–38p+68=0
p2 – 19p + 34 = 0, cujas raízes são p = 2 e p = 17. Portanto,omenorbreak-even point ocorre para p = 2.
Questão 08 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 5Habilidade:21Comentário:
Preço unitário Quantidade vendida
60 30
60–2 30+3
60–2.2 30+3.2
60–2x 30+3x
Afunçãoreceitaéexpressapor:R(x)=(60–2x)(30+3x)R(x) = –6x2+120x+1800
O valor de xparaoqualareceitaassumeseumaiorvaloré:
x bav
= − = −−( ) =
212012
10
Portanto,alojadeverávender30+3.10=60camisasaopreçode60–2.10=40reaiscadauma.
Questão 09 – Letra AEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade:21
Comentário:Sejay=a(x–x1)(x – x2) a equação procurada, emque x1 e x2 são as raízes.De acordo como referencialescolhidonafigura,temosy=a(x+80)(x–80).
Paracalcularovalordea,tomamosoponto(0,64)pertencenteàparábola:64=a(0+80)(0–80)⇒ 64=a.80(–80)⇒ 64=–6400a⇒
a = − 1100
Portanto, = +y –1
100(x 80)(x – 80).
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30 Coleção EM1
Questão 10 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade:21
Comentário:
Integrantes Valor por pessoa
30 12
30–1 12+2
30–2 12+2.2
30–x 12+2x
Funçãoreceita:R(x)=(30–x)(12+2x)
R(x) = –2x2+48x+360
Ovalormáximoéatingidopara x bav
= − = −−( ) =
2484
12.
Portanto,onúmerodeintegrantesdeveser30–12=18.
Questão 11 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade:21
Comentário:
T(n)=(40–n)(40+2n)
T(n) = –2n2+40n+1600
O valor de nquedáamaiorreceitaén bav
= − = −−( ) =
2404
10.
Portanto,areceitamáximaé:
T(10)=(40–10)(40+20)
T(10)=1800reais.
CAPÍTULO – B3Divisibilidade, MDC e MMC
Exercícios de aprendizagem
Questão 01 Comentário: De acordo com os dados do enunciado eutilizandoapropriedadedadivisão,temos:
D dr q
d.q r
x y7 11
x y.11 7
⇒ +
⇒ = +
Sabemosque,obrigatoriamente,0≤r<d⇒ d > r ⇒ y > 7.
Assim, observe que o menor valor de x ocorre quando substituímosy pelomenor valor que satisfaça à restrição, ouseja,y=8.Portanto,x=8.11+7=95.
Questão 02 Comentário: De acordo com os dados do enunciado eutilizandoapropriedadedadivisão,temos:
604 dr
d r14
604 14⇒ = +
Sabemosque,obrigatoriamente,0≤r<d,parar e d ∈ . Entretanto,comor=0nãoatendeàequação,temos:0<r<d
Assim:
14d 14d r 15d 14d 604 15d
14d 604
604 15d
d 43,1
d 40,341 d 43
< + < ⇒ < < ⇒
<
<
⇒<
>
⇒ ≤ ≤
Logo,dpodeassumirosseguintesvaloresnaturais:41,42e43. Portanto, N = 3 divisões possíveis.
Questão 03Comentário:Pelapropriedadedadivisão,temos:
320=x.q1 + 5 ⇒315=x.q1(315émúltiplodex)
248=x.q2 + 3 ⇒ 245 = x.q2(245émúltiplodex)
Assim, comox é divisor tanto de 245 quanto de 315, elepodeassumirovalordequalquerfatorprimooudequaisquercombinaçõesdefatoresprimoscomunsentre315e245,sendo,nomáximo,igualaoMDCde315e245.ObservequeissoéoequivalenteatodososdivisoresdoMDCde315e245.
Assim:
315 3 .5 . 7245 5 .7
MDC(315, 245) 5 . 7 352
2
==
⇒ = =
Divisoresde35:(1,5,7,35)
Porém, esses divisores, para satisfazerem às condições doproblema, devem sermaiores que os restos apresentadosinicialmente.
Assim,x=7oux=35.Portanto,asomadospossíveisvaloresdex é 42.
Questão 04Comentário:Deacordocomapropriedadedadivisãoecomosdadosdoenunciado,temos:
⇒ = + ∈D 12r q
D 12q r, comD, q e r
Comoq=¹r ⇒ q2=r,esabendoque0≤r<12,temos:
0 q 12 0 q 3
q 0q 1q 2q 3
2≤ < ⇒ ≤ ≤ ⇒
====
Logo:
D q q
DDDD
= + ⇒
====
12
0132845
2
Portanto, a soma dos possíveis valores dos dividendos é:S=13+28+45=86.
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Manual do Professor
31Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 05Comentário: A divisão entre o dividendo D e o divisor d pode ser representada na forma D = d.q + r, em que q e r são o quociente e o resto da divisão, respectivamente. Como o quociente é sucessor do divisor q = d + 1, e como o resto é tal que 0 ≤ r < d, o maior resto r possível é tal que r = d – 1. Como D = 62, podemos escrever:
62 = d(d + 1) + (d – 1) = d2 + 2d –1 ⇒ d2 + 2d – 63 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, vemos que sua única raiz positiva é d = 7. Logo, q = 7 + 1 = 8.
Questão 06 – Letra DComentário: Considerando que o resto é sempre menor que o divisor, que o quociente é o maior entre os três valores e que estes são consecutivos, podemos expressá–los por:
D xx x
++12
D = (x + 2).(x + 1) + x = x2 + 4x + 2
Para x = 2, D = 14; para x = 3, D = 23; e para x = 4, D = 34. Se D = 49, a equação do segundo grau x2 + 4x – 47 não tem soluções inteiras. Assim, 49 não pode ser dividendo dessas divisões.
Questão 07 – Letra DComentário: Considerando a propriedade da divisão e os dados do enunciado, temos:
Dr
dq
n7
12q
n 12q 71
1⇒ ⇒ = +
Queremos encontrar o valor do resto r, tal que n = 4q2 + r, com 0 ≤ r < 4. Assim:
12q1 + 7 = 4q2 + r ⇒ 12q1 + 4 + 3 = 4q2 + r ⇒
4 3 1 3 4 31 2
( )q q r r+ + = + ⇒ = .
Questão 08 – Letra DComentário: Num período de 4 anos, há exatamente 1 ano bissexto (a não ser no caso de um desses anos ser terminado em 00, mas essa opção não foi considerada na questão). Em um ano não bissexto há 365 dias. Dividindo esse número por 7, obtemos resto 1. Analogamente, o resto da divisão de 366 por 7 é dois. Logo, num período de 4 anos, temos 3 anos em que uma data qualquer “pula” um dia de semana de um ano para o próximo e um ano em que o “pulo” é de dois dias. Assim, em quatro anos, o pulo será de 5 dias, e o Natal será numa sexta-feira.
Questão 09Comentário:
A) A soma dos algarismos de 32 145 é 15 (divisível por 3). Portanto, 32 145 é também divisível por 3.
B) Efetuando a subtração entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par, obtemos (1 + 8 + 6 + 9) – (3 + 3 + 7) = 11, que é divisível por 11. Assim, 1 383 679 é divisível por 11.
C) Para que um número seja divisível por 12, é necessário que seja divisível por 3 e 4. Como o número termina em 56, é divisível por 4. A soma de seus algarismos é 45 (divisível por 3). Então, 54 947 556 é divisível por 3 e 4 e, logo, por 12.
Questão 10 – Letra BComentário: Para um número ser divisível por 4 e por 9,
deve ser divisível pelo MMC desses dois números, ou seja, 36.
O menor número de três algarismos divisível por 36 é
108 = 36 . 3. O maior número natural de três algarismos
distintos é 987. Assim, 987 + 108 = 1 095, que, quando dividido
por 15, resulta em 73, número com apenas dois divisores
naturais (1 e 73).
Questão 11 – Soma = 10Comentário:
01. (Falso) Basta verificar como contraexemplo m = 6 e n = 10.
02. (Verdadeiro) Um número inteiro n divisível por 7 pode ser
escrito como n = 7.p, em que p ∈ . O quadrado de n
é tal que n2 = 72.p2, que tem 7 como fator primo. Logo,
o quadrado de n também é divisível por 7.
04. (Falso) Basta verificar como contraexemplo n = 4.
08. (Verdadeiro) Isso decorre do fato de os naturais serem
ilimitados “para cima”. Uma demonstração pode ser feita
da seguinte maneira: chamando de m o maior inteiro
menor que yx
(ou seja, m é a parte inteira de yx, e esse
número com certeza existe), basta tomarmos n = m + 1
(que pela indutividade dos inteiros também existe) e, então,
encontramos o n desejado.
16. (Falso) Basta verificar como contraexemplo qualquer
x real tal que 0 < x < 1.
32. (Falso) Basta verificar como contraexemplo = =m 2 en 2 2.
Questão 12 – Letra DComentário: 1015 = 215 . 515. Para o número ser divisor de
1015, ele deve ter como fatores primos apenas os números 2 e
5. Como 75 = 3 . 52, este não é divisor de 1015.
Questão 13 – Letra CComentário: Para que o número 7n6 seja divisível por
9, 7 + n + 6 = 13 + n, deve ser divisível por 9, logo, n = 5.
Como 56 é divisível por 4, o número 756 satisfaz as condições
do enunciado.
Questão 14 – Letra DComentário: Se ab000 é um quadrado perfeito, ab0 também
o é, pois resulta da divisão de n por outro quadrado perfeito,
no caso, 100. Se ab0 é divisível por 3, ele também o é por 9,
logo, a soma a + b deve ser divisível por 9. Como 990 não é
um quadrado perfeito, a + b = 9.
Questão 15 – Letra AComentário: Como 105 = 3 . 5 . 7, os divisores de 105 são 1,
3, 5, 7, 15, 21, 35, 105, cuja soma é 192.
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32 Coleção EM1
Questão 16 – Letra CComentário:Paradescobrirmosovalordenquegaranteque 3n seja divisor do produto dado, primeiro devemosfatorartodososnúmerosdesseprodutoquepossuemo3nasuacomposição.Assim,comosãocontados6múltiplosde3(3,6,9,12,15,18),utilizandoaspropriedadesdepotenciação,temos:3.6.9.12.15.18=31.(2 . 3).32.(22 . 3).(5 . 3).(2 . 32) = 24 . 38 . 5
Portanto,comooexpoentede3nadecomposiçãoemfatoresprimosdoprodutodadoé8,então,paraque3n divida esse número,ovalormáximoquenpodeassumiré8.
Questão 17 – Letra AComentário: O número de divisores de n é dado por 6=(a+1)(b+1).Comoa e bsãoestritamentepositivos,oua=1eb=2oua=2eb=1.Claramenteaprimeiraopçãogeraomaiornúmero,147,cujasomadosalgarismosé12.
Questão 18 – Letra DComentário: Para que um número seja divisível por 84=7 . 3 . 22, ele deve conter exatamente esses fatoresprimos.Como180=32 . 22.5,oúnicofatorprimofaltanteé7, que deve ser o númeromultiplicado por 180 (observe que 7.180=1260=84.15).
Questão 19 – Letra DComentário: 2a.3.6.20=2a+3 . 32.5.Assim,essenúmerotem(a+4).3.2=48divisoresea=4.
Questão 20 – Letra DComentário:Paraqueoscomprimentossejaminteiros,iguaiseosmaiorespossíveis,devemoscortarosfiosemcomprimentosiguaisaomáximodivisorcomumde36,48e72,queé12.Assim,
teremos + + = + + =3612
4812
7212
3 4 6 13 pedaços.
Questão 21 – Letra CComentário: Considere um númerox que seja divisívelpor 2, 3, 5 ou 7. Então, podemos escrever x comox = 2q1 = 3q2 = 5q3 = 7q4,comq1, q2, q3 e q4 ∈ .Aosomarmos1 aonúmerox, temos:
x+1=2q1+1=3q2+1=5q3+1=7q4+1
Dessemodo,(x+1)deixaresto1quandodivididopor2,3,5ou7.Comoqueremosomenornúmeroquesatisfaçaaessapropriedade, basta encontrarmos oMMC entre 2, 3, 5 e 7 esomar1aele.Logo,MMC(2,3,5,7)=2.3.5.7=210.
Portanto,onúmeropedidoé210+1=211.
Questão 22 – Letra BComentário: Considere totempodecorrido,emsegundos,apósas2horas.Nosinstantes4t,cairãogotasdaprimeiratorneira,assimcomonosinstantes6te10t,dasegundaeterceiratorneiras,respectivamente.Issosignificaqueosinstantesemqueaprimeira,asegundaeaterceirapingarãosãomúltiplosde4,6e10,nessaordem.Seastrêstorneiraspingamjuntasemuminstantet1, talvalordevesermúltiplode4,6e10,simultaneamente.Omenorvalor de t1éoMMCentre4,6e10,ouseja,60.Assim,deminutoemminuto,astorneiraspingamjuntase,portanto,das2hatéas 2h27min3s,elaspingaramjuntas27vezes.
Questão 23 – Letra DComentário:Considerandoas6horascomomarcozerodotempo,contadoemminutos,oônibusApartiráemhoráriosmúltiplosde 45 e o ônibus Bemhoráriosmúltiplosde50.Paraqueelessaiam juntos, énecessárioqueohorário sejamúltiplode45 e50simultaneamente,eoprimeirohorárioemqueissoacontececorrespondeaomínimomúltiplocomumde45e50,queé450.Como450minutosequivalema7horase30minutos,opróximohorárioemqueelespartirãojuntosseráàs13horase30minutos.
Questão 24 – Letra DComentário:Sejama e bdoisnúmerosnaturais.Sabemosque:
• MMC(a,b)=300eMMC≥ a, b ⇒ a, b ≤300;
• MDC(a,b)=6eMDC≤ a, b ⇒ a, b ≥6;
• Obrigatoriamente,a e bpossuem6=2.3nasuafatoração;
• MMC(a, b).MDC(a, b) = a.b⇒ 6 . 300 = a.b⇒ a.b = 23 . 32 . 52.
Assim,comoa e bpossuem2.3nasuafatoração,osfatoresrestantes (2 . 52)devemserdistribuídosentreambos.Aúnicaformadeoquocienteentrea e b ser inteiro, respeitando os valoresdoMMCedoMDC,ésetivermosa=22 . 3 . 52=300e b = 2 . 3 = 6.
Portanto, oquociente entre eles é50=2 . 52, que possui (1+1).(2+1)=6divisores.
Questão 25 – Letra DComentário: Se n,quandodivididopor12,15e18,dáresto9, issosignificaque(n–9)édivisívelpor12,15e18.Como180 éomínimomúltiplocomumdessesnúmeros,n=189,cujasomadosalgarismosé18.
Questão 26 – Letra DComentário: Para colocar ladrilhos quadrados iguais, semrecortarnenhumdeles,énecessárioqueamedidadoladodessapeça,emcm,sejadivisívelpor880epor760.Comoqueremosacharomaiorladopossívelparaoquadrado,devemosacharomaiornúmeroquedivide880e760,ouseja,oMDCentreeles,quevale40.Assim,oladodoladrilhovale40cm.
Desafio
Questão 01Comentário: Para resolver o problemamais facilmente,devemos usar fórmulas relacionadas ao conteúdo deprogressõesaritméticas.Noentanto,issoéfeitoapenasparafacilitarascontas,quepoderiamserfeitascomoauxíliodeumacalculadora.
Osmúltiplosextremosde6entre200e500são204e498, eosde14são210e490.Devemostomarasomadessesdoisgruposdenúmeros,massubtrairosmúltiplosde42,queéomínimomúltiplocomumde6e42,contadosnassomasduasvezes.Assim,pelafórmuladaP.A.:
S(204 498).50
217 550
S(210 490).21
27 350
S(210 462).7
22 352
S S – 2S 17 550 7 350 –2(2 352) 20196.
6
14
42
6 14 42
=+
=
=+
=
=+
=
+ = + =
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Manual do Professor
33Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 02Comentário: Como3 600=24 . 3² . 5², necessariamente c=5,0<a<5e0<b<3.Comon tem16divisores, (a+1)(b+1)(1+1)=16e(a+1)(b+1)=8.Comob podeassumir,nomáximo,ovalor2,b=1ea=3.Portanto,
a+b–c=3+1–5=–1.
Exercícios propostos
Questão 01 – Letra AComentário:Tempototalatéacolheita:
V1 ⇒4+3+1=8semanas
V2 ⇒2+3+1=6semanas
V3 ⇒1+2+1=4semanas
OtemponecessárioparaqueacolheitasejasimultâneaéigualaoMMCde8,6e4.
MMC(8,6,4)=24
Logo,sãonecessárias24semanas.
Questão 02 – Letra BComentário:Paraqueumnúmerosejaquadradoperfeito,todosos expoentesdos seus fatoresprimosemsuadecomposiçãodevemserpares.Como2520=23 . 32.5.7,devemosmultiplicar2.5.7=70,cujasomadosalgarismosé7.
Questão 03 – Letra CComentário: Os pontos de quilometragemy nos quais hápostosdetelefonesãodadospory=40+3xcomx positivo, ouseja,naturaismaioresque40equedeixamresto1quandodivididosportrês.Ovalordeymaispróximode750quesatisfazessapropriedadeé751,logo,adistânciaprocuradaéde1km.
Questão 04 – Letra BComentário: m15
7q ⇒m=15q+7
• Restodadivisãopor3:m3
r1 q1 ⇒m=3q1 + r1 ⇒15q+7=3q1 + r1 ⇒
15q+6+1=3q1 + r1⇒3(5q+2)+1=3q1 + r1 Igualandoostermoscorrespondentes,temosr1=1.
• Restodadivisãopor5:m5
r2 q2
⇒m=5q2 + r2 ⇒15q+7=5q2+ r2 ⇒
15q+5+2=5q2 + r2 ⇒5(3q+1)+2=5q2 + r2
Igualandoostermoscorrespondentes,temosr2 = 2.
Portanto,asomadosrestoséiguala1+2=3.
Questão 05 – Letra DComentário:30p = 2p . 3p . 5p.Paraque36divida30p,p≥2.Noentanto,como144=24 . 32, para p = 3 o MDC será 23 . 32 eparap≥4,oMDCserá24 . 32.Logo,p=2.
Questão 06 – Letra CComentário: Para que um número seja divisível por 72=23 . 32,eledeveteressesfatoresprimos,comexpoentesmaioresiguaisaestes.Como2m.162=2m . 34 . 2 = 2m+1 . 34, paraqueessenúmerosejadivisívelpor72=23 . 32,temos
m+1≥3em≥2.
Questão 07 – Letra AComentário: OsremédiossãotomadossimultaneamenteacadaMMC(4,5,6)=60horas.Portanto,em30dias,ostrês
remédiosforamingeridossimultaneamente =30 .24
6012 vezes.
Questão 08Comentário:
A) Equivalentemente,asalatemdimensões300cm×425cm.A dimensãomáxima dos ladrilhos é omáximo divisorcomumde300e425,nocaso,25.Adimensãomáximadosladrilhoséde25cm.
B) Há =30025
12 ladrilhosemumadireçãoe =42525
17 ladrilhos
naoutra,totalizando12.17=204ladrilhos.
Questão 09 – Letra AComentário: Sendo NonúmerodebombonseB a quantidade decaixas,temosque:
=+ =
+ = ⇒ = =
N 3(B –1)2B 3 N
2B 3 3B –3 B 6 e N 15
Como 15 não émúltiplo de 6, temos que não é possívelacondicionartodososbombonsnascaixasdetalformaquecadacaixatenhaomesmonúmerodebombons.
Questão 10Comentário: A)SabemosqueMDC(a,b).MMC(a,b)=a.b.
Logo,podemosescrever:
MDC(a, b).MMC(a, b) a.b 5 .105 35.b b 15= ⇒ = ⇒ =
B)Onúmero5é fatordea e b, pois é o MDC entre esses números.Temosaindaque:
MDC(a, b).MMC(a, b) a.b 5 .105 a.b5.(5 . 7 . 3) a.b 3 . 5 . 72
= ⇒ = ⇒⇒ =
Portanto,ospossíveisvaloresdea e bsão:
a 5 . 3
b 5 . 7(a, b) (15, 35)
a 5 . 7
b 5 . 3(a, b) (35,15)
a 5
b 5 .7 . 3(a, b) (5,105)
a 5 . 3 . 7
b 5(a, b) (105, 5)
=
=
⇒ =
=
=
⇒ =
=
=
⇒ =
=
=
⇒ =
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Questão 11 – Letra AComentário: Comox deixa resto 1 quando dividido por2,5e7, (x–1)émúltiplodomínimomúltiplocomumde 2,5e7,nocaso,70.Assim,x=70n+1,paran natural. Comoxémúltiplode3,por inspeção,n=2,5,8...Logo, omenorvalordexé141.
Questão 12 – Letra CComentário: Comoxéímparemúltiplode5,eleterminaem5.
Questão 13 – Letra EComentário: Considere um númeron, formado por trêsalgarismosa.Elepodeserescritocomon=100a+10a+a= 111a=3.37.a,ouseja,émúltiplode37.
Questão 14 – Letra AComentário: A quantidade de tipos de caixas possível é o númerodedivisorespositivosde2004=22 .3.167,ouseja,(2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12.
Questão 15 – Letra AComentário:Porinspeçãoempotênciaspequenasdedezesubsequenteindução,percebemosqueonúmeroconstantedoenunciadoéformadode63algarismosnoveeumalgarismooito (alémdeumzero).Assim,asomadeseusalgarismosserá63.9+8=575.
Questão 16 – Letra AComentário: Sendo a o número procurado em e n os quocientesdasdivisõesrelevantes,temos:
a.m+15=200⇒a.m=185
a.n+28=250⇒ a.n = 222
Onúmeroprocuradoéomáximodivisorcomumde185e22,nocaso,37.
Questão 17 – Letra DComentário:Deixarrestodoisaoserdivididopor3,5e7éequivalenteadeixarresto2aoserdivididopor3.5.7=105, mínimomúltiplocomumde3,5e7.Onúmeroprocuradoé4.105+2=422.
Questão 18 – Letra BComentário: Os números que possuem exatamente trêsdivisores positivos são os quadrados dos números primos.Portanto,essesnúmerossão4,9,25,49,121,cujasomaéiguala4+9+25+49+121=208.
Questão 19 – Letra CComentário: Os aviões se encontrarão novamente emumnúmerodediasigualaomínimomúltiplocomumde4,12e15,ouseja,em60dias.Comoagostotem31dias,odiaprocuradoé29desetembro.
Questão 20 – Letra CComentário: o MDC de m e n é a.b e o MMC, a2b2c2.Assim,a.b=21,a=7eb=3.Comoa2b2c2=1764,temosque32.72.c2=1764ec=2.Logo,a+b+c=2+3+7=12.
Questão 21 – Letra AComentário: Temos que x.y= 570= 2 . 3 . 5 . 19, queterá (2)4=16divisores.Comox,y≠1,desses16divisores, x não pode assumir os valores 1 e 570. Havendo, assim, 14valorespossíveisparax.
Questão 22 – Letra BComentário: Sejaxonúmerodeações.Temos:x 3
1q ⇒x–1émúltiplode3
x 4
3m ⇒x+1émúltiplode4
• Sabemosque30<x<40;então,29<x–1<39.Como x–1émúltiplode3,temosasseguintespossibilidades:
x–1=30⇒x=31 x–1=33⇒ x = 34 x–1=36⇒x=37
• Alémdisso,temos31<x+1<41,comx+1múltiplode4. Assim:
x+1=32⇒x=31 x+1=36⇒ x = 35 x+1=40⇒x=39
Oúnicovalorquesatisfazasduascondiçõeséx=31.Portanto:
314
37Cadanetoreceberá7ações.
Questão 23 – Letra EComentário:Comooprodutoéummúltiplode3menorque3000(jáqueatemtrêsalgarismos),oprimeiroalgarismodoprodutosópodeseronúmero2.Assima=2721:3=907,easomadosalgarismosdeaé16.
Questão 24 – Letra BComentário: Temosque5n9édivisívelpor9,ou,pelocritériodedivisibilidadepor9,que5+n+9édivisívelpor9,ouseja,5+nédivisívelpor9.Comonéumalgarismodeumnúmero,0≤n≤9e,então,5≤5+n≤14.Oúnicomúltiplode9,nesseintervalo,éopróprio9.Assim,5+n=9⇒ n = 4Foidadoaindaque:2m3+326=5n9Reescrevendo a expressão anterior, utilizando a notação de valorrelativodosalgarismos,temos:2.100+m.10+3+3.100+2.10+6=5.100+n.10+9⇒m+2=n⇒m=2Logo,m+n=2+4=6.
Questão 25 – Letra AComentário:Comoorestodevesermenorqueodividendo,nocaso,17,eosrestossãoquadradosperfeitos,osrestossópodemser1,4,9ou16,eosquocientes1,2,3ou4,cujasomaé10.
Questão 26 – Letra CComentário: Sendo d odividendo,o resto,queéomaiorpossível,valer=d–1.Alémdisso,D=125–d,então,temos125–d=16.d+d–1ed=7.Logo,orestovale6.
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35Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 27 – Letra AComentário: O padrão que se repete é o das letras AMOROM, compostaporseis letras.Logo,comoo restodadivisãode 2001por6é6,o2001ºtermoequivaleaoterceiro,ouseja,àletraO.
Questão 28 – Letra DComentário:Acondiçãode2nserdivisorde150éequivalenteàcondiçãodenserdivisorde75.Comon=52.3,75tem3 . 2= 6 divisores, número de valores distintos possíveis aseremassumidosporn.
Questão 29 – Letra AComentário:Multiplicandoasduasequações,temosque:a2 = 24 . 32
Logo,a=12.Assim,b=30eoM.D.C.dessesnúmerosé6.
Questão 30 – Letra DComentário: Percebaquecadaumdossinaispossuiumciclocompleto.
Primeiro sinal: 40 + 10 = 50 segundos
Segundo sinal: 30 + 10 = 40 segundos
Tempoaberto
Tempofechado
Tempoaberto
Tempofechado
Logo,onúmeromínimodesegundosparaqueeles fechemjuntosnovamenteserá:
MMC(40,50)40=2 .550=2.5
MMC(40,20)=2 .5 =200.3
23 2⇒
⇒
Questão 31Comentário:Peloconstantenoenunciado,cadafuncionárioexaminouumnúmerodepeçasNtalque:N=M.D.C.(2700,4050,9000)=450Assim,háumtotaldefuncionáriosiguala:(2700+4050+9000):450=35funcionários.
Questão 32 – Letra DComentário:Comoomaiornúmeropossíveldealunosdeverásercontemplado,onúmerodealunoscontempladosé igualaomáximodivisorcomumentre1260e9072,nocaso,252.
Assim,cadaalunoreceberá =1 260252
5 bolasdegudeamarelas
e =9 072252
36 bolas de gude verdes, num total de 41 bolas
degude.
Questão 33Comentário: Os valores possíveis são os divisores positivos domáximo divisor comumentre as dimensões da sala, nocasoM.D.C.(200,500)=100.Essesvaloressão1,2,4,5,10,20,25,50e100.
Questão 34 – Letra DComentário:
• Em2007→ 365 dias
Apartirdodia01/01/07(segunda-feira),temos364dias:
3647
052Logo,o1ºdiade2008serásegunda-feira+1=terça-feira.
• Em2008→ 366 dias (bissexto)
A partir do dia 01/01/08 (terça-feira), temos 365 dias:
3657
152
Logo,o1ºdiade2009seráterça-feira+2=quinta-feira.Observamos, pelos exemplos apresentados, que, a cadapassagemdeumanocomum,avançamosumdianasemanaemrelaçãoaoprimeirodiadoanoanterior.Seoanoforbissexto,avançamosdoisdiasnasemana.
Em2008→ terça-feira
Em2009→quinta-feira(2008foibissexto)
Em2010→ sexta-feira
Em2011→ sábado
Em2012→domingo
Em2013→terça-feira(2012foibissexto)
Em2014→ quarta-feira
Em2015→ quinta-feira
Em2016→ sexta-feira
Em2017→domingo(2016serábissexto)
Em2018→segunda-feiraPortanto,opróximoanoacomeçaremumasegunda-feiraserá2018.
Questão 35Comentário: ComoMMC (2, 3, 5, 9) = 90, os númerosnaturais ycomapropriedadededeixarsempreresto1quandodivididospor2,3,5ou9sãodaformay=90n+1, ∀ ∈n .
Assim, o segundomenor natural com essa propriedade éy=90.1+1=91.
Questão 36Comentário: Sendo nonúmeroprocurado,existemq1, q2 e q3naturaistaisque:
n = 5q1 + 3 ⇒ n + 2 = 5q1 + 5 = 5(q1+1)
n=7q2 + 5 ⇒ n+2=7q2+7=7(q2+1)
n=8q3 + 6 ⇒n+2=8q3+8=8(q3+1)
Logo,n+2émúltiplode5,7e8simultaneamentee,assim,émúltiplodoMMCdessesnúmeros,queé280.Então,n=278é omenor natural que satisfaz as propriedades descritas no enunciado.
Questão 37Comentário:Onúmerodefrutasemcadagrupoédadopor
MDC(1260,735,840)=105.Assim,há =1 260105
12 grupos
de bananas, =735105
7 gruposdelaranjase =840105
8 gruposde
caquis,numtotalde27grupos.
Questão 38Comentário: O número de maneiras de se fazer essaplantaçãoéonúmerodedivisoresdoMDC.(24,16)=8=23, ouseja,(3+1)=4maneiras.
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36 Coleção EM1
Questão 39 – Letra AComentário: Pela fórmula da divisão, a = 8.b + (b – 1) = 9b – 1, já que o resto é o maior possível. Substituindo esse valor de a na expressão dada no enunciado, temos (9b – 1) – b = 23 e b = 3. Assim, a = 26 e a + b = 29.
Questão 40Comentário: Deixar resto 2 na divisão por 3 e resto 3 na divisão por 5 é equivalente a deixar resto 8 na divisão por 15. Deixar resto 8 na divisão por 15 e resto 5 na divisão por 7 é equivalente a deixar resto 68 na divisão por 105. Assim, 68 é o menor inteiro positivo com as propriedades constantes do enunciado.
Questão 41 – Letra DComentário: Sendo m e n dois naturais, temos que MDC(m, n) . MMC(m, n) = m.n. Assim, podemos facilmente verificar que o produto dos números em tela é 120.
Questão 42 Comentário: n = 49a . 5b = 72a . 5b. Logo, n tem (2a + 1)(b + 1) = 20. Como (2a + 1) é necessariamente ímpar, (2a + 1) é necessariamente 5, e a = 2 (já que a > 0). Portanto, b + 1 = 4, b = 3 e a + b = 5.
Questão 43 – Letra CComentário: Como o resto da divisão de 218 e 172 por n é 11, 218 – 11 = 207 e 172 – 11 = 161. Então, 207 e 161 são divisíveis por n; e, portanto, n = 23, já que n > 11. Assim, o resto da divisão de n por 11 é 1.
Seção Enem
Questão 01 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 1
Habilidade: 3
Comentário: Para escolhermos o número mínimo de escolas, devemos distribuir o maior número possível de ingressos para cada escola. Portanto, o número de ingressos que cada escola vai receber é o MDC (320, 400).
MDC (320, 400) = 80
Assim, =40080
5 escolas e =32080
4 escolas.
5 + 4 = 9 escolas serão contempladas no total.
Questão 02 – Letra EEixo cognitivo: III
Competência de área: 1
Habilidade: 3
Comentário: Conforme o enunciado, as tábuas são de 540 cm, 810 cm e 1 080 cm. Já os pedaços solicitados pelo arquiteto devem ter o mesmo tamanho, não havendo sobra. Portanto, o valor do comprimento dos pedaços deve ser divisor de 540, 810 e 1 080.
Fatorando os valores:
540270 90 30 10 2
,,,,,,
810405135 45 15 3
,,,,,,
1080 540 180 60 20 4
23335
Pelo exposto, o MDC entre os valores é dado por 2 . 33 . 5 = 270 cm.Como o valor n deve satisfazer, ainda, a condição de ser menor que 2 m, tem-se: n < 200 cm, n ∈ div (270) e n é o maior valor natural. Logo, n é dado por 135 cm.Calculando o número de tábuas após o corte:
� �� �� � �� �� � ��� ���+ + =40 .
540135
160
30 .810135
180
10 .1 080135
80
420 peças
Questão 03 – Letra BEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Do dia 31 de março ao dia 12 de outubro, foram decorridos 195 dias. Temos:195 7
6 27
Ou seja, no período de 195 dias, ocorreram 27 terças-feiras e sobraram 6 dias. Contando esses 6 dias a partir da última terça-feira considerada, temos que o dia 12 de outubro cairá numa segunda-feira.
Questão 04 – Letra EEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário:
24 685
2 . 1 4 . 2 6 . 1 8 . 2 5 . 1
2 + 8 + 6 + 17 + 5 = 38
<10 <10 <10 ≥10 <10
Como 38 = 3 . 10 + 8, 8 é o resto da divisão de 38 por 10, sendo, então, o referido dígito verificador.
Questão 05 – Letra DEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Temos que o MMC(40, 12) = 120, ou seja, a cada 120 m, um poste coincide com a extremidade de um trilho. Então, temos:18 000 120
0 150Ou seja, há 150 coincidências entre postes e trilhos, considerando o ponto final e sem contar com o ponto inicial. Se desconsiderarmos o ponto final, teremos 149 coincidências entre trilhos e postes ao longo da extensão da linha férrea.
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Manual do Professor
37Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 06 – Letra DEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3
Comentário: Seja x o número de melancias produzidas. Então:
x 72
3 q1
x 84
3 q2
x 126
3 q3
Logo, x – 3 é múltiplo comum de 72, 84 e 126.MMC(72, 84, 126) = 504.Então, x – 3 é um múltiplo de 504.Considerando x – 3 = 504, temos x = 507.
Questão 07 – Letra BEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3
Comentário: Sejam J, P e L os números pensados por João, Pedro e Lucas, respectivamente. Assim, temos:J.P.L = 231J.P.L = 3 . 7 . 11Como o número pensado por Pedro não é primo, P pode ser 1, 21, 33 ou 77.
J LSoma dos dois
maiores valores
P = 1
3 77 80 (não convém)
7 33 40 (não convém)
11 21 32 (convém)
21 11 32 (convém)
33 7 40 (não convém)
77 3 80 (não convém)
P = 211 11 32 (convém)
11 1 32 (convém)
P = 331 7 40 (não convém)
7 1 40 (não convém)
P = 771 3 80 (não convém)
3 1 80 (não convém)
Analisando a tabela anterior, concluímos que os números são 1, 11 e 21. A soma dos algarismos do maior deles é 2 + 1 = 3.
Questão 08 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3
Comentário: Temos que a = 37 . 104 . 123 . 225.
Então:a = 37.(2 . 5)4.(22 . 3)3.(2 . 11)5
a = 37 . 24 . 54 . 26 . 33 . 25 . 115
a = 215 . 310 . 54 . 115
Para que a seja divisível por b, devemos ter y = 0 e 0 ≤ x ≤ 4. Então, Bruna está correta, enquanto Marcos e Ricardo estão errados.
Questão 09 – Letra CEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: N = 7548ab, sendo a o algarismo das dezenas e b o das unidades. N é divisível por 45. Então, N é divisível por 5 e por 9. Verificando a divisibilidade por 5, nesse caso, b = 0 ou b = 5. Porém, como o número N é ímpar, concluímos que b = 5. Substituindo esse valor de b, temos N = 7548a5. Verificando a divisibilidade por 9, temos:7 + 5 + 4 + 8 + a + 5 = 29 + a (divisível por 9). Então, a = 7 (para que 29 + a seja igual a 36). Logo, 21 = 3 . 7 ⇒ 7 é divisor de 21.
Questão 10 – Letra AEixo cognitivo: IIICompetência de área: 1Habilidade: 3Comentário: Se x é o valor gasto na quarta banca, o valor
que sobrou após a compra é x22– . Como ele gastou todo o
dinheiro, x2
–2 0x2
2 x 4= ⇒ = ⇒ = .
Seja y o valor que Samuel tinha ao chegar à terceira banca.
Então, y2–2 4
y26 y 12= ⇒ = ⇒ =
Seja z o valor que Samuel tinha ao chegar na segunda banca.
Então, z2–2 12
z214 z 28= ⇒ = ⇒ =
Sendo N o valor que Samuel tinha ao chegar à primeira banca.
Então, N2
–2 28N2
30 N 60= ⇒ = ⇒ =
Número de divisores de N:N = 60 = 22 . 3 . 5O número de divisores naturais é (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.
Questão 11 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 1
Habilidade: 3Comentário: A = 2 000
2 000 19
5 105 → a = 5
2 000 4
0 500 → b = 0
2 000 7
5 285 → c = 5
19a + m = 19 . 5 + 24 = 119
119 30
29 3 → d = 29
2b + 4c + 6d + n = 0 + 20 + 174 + 5 = 199
199 7
3 28 → e = 3
Páscoa → d + e – 9 = 29 + 3 – 9 = 23 de abril.
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38 Coleção EM1
CAPÍTULO – B4Razões e proporções
Exercícios de aprendizagem
Questão 01Comentário: Utilizaremos a propriedade a
bcd
ad bc= ⇒ = . Assim:
A) =
=
=
74
3x
7x 12
x127
B) =
=
=
1251
x153
51x 153 .12
x 36
C) +=
= +
= +
=
x 4125
450
500 50(x 4)
10 x 4
x 6
D)
32
x 12
23
1012
32
.1012
23
x12
54
.32
158
x12
x118
+=
= +
= = +
=
Questão 02
Comentário:Aquartaproporcionalentre4,9e8éonúmerox,
tal que 498x.= Como o produto dos extremos é igual ao
produtodosmeios,temos4x=72⇒x=18.Assim,aquarta
proporcionalentreessesnúmerosvale18.
Questão 03 Comentário:Aterceiraproporcionalentre4e5éonúmerox,
tal que 455x.= Comooprodutoentreosextremoséigualao
produtodosmeios,temos25=4x⇒ x = 254
. Assim,aterceira
proporcional vale 254
.
Questão 04 Comentário:Amédiaproporcionalentreosnúmeros9e16éo
númerox, tal que 9x
x16.= Comooprodutoentreosextremosé
igualaoprodutodosmeios,temos:x2=9 . 16=144⇒x=12Assim,amédiaproporcionalvale12.
Questão 05 Comentário:
A) A segunda equação pode ser reescrita como: a b4 7
=
Sabemos, pelas propriedades das proporções, que:a b a b a b4 7 4 7 11
= = ++
= +
Como,pelaprimeiraequação,a+b=11,temos:
= = = ⇒= ⇒ =
= ⇒ =
a4b71111
1
a41 a 4
b71 b 7
B) A segunda equação pode ser reescrita como: a b8 5
= –
Sabemos, pelas propriedades das proporções, que:
a b a b a b8 5 8 5 13
= =+
=– – –
Como,pelaprimeiraequação,a–b=13,temos:
a8
–b5
1313
1
a8
1 a 8
–b5
1 b –5= = = ⇒
= ⇒ =
= ⇒ =
C) Elevando ambos os membros da primeira equação
ao quadrado, temos que ab
2
2
925
= . Sabemos, pelas
propriedades das proporções, que:
a b b b2 2 2 2
9 25 9 25 34= = +
+= +a a2 2
Comoa2 + b2=136,temos:
= = = ⇒= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
a9
b25
13634
4
a9
4 a 6
b25
4 b 10
2 2
2
2
Portanto, temosduassoluções:(6,10)e(–6,–10).
D) Sabemos,pelaspropriedadesdasproporções,que:
a b c a b c a b c3 5 9 3 9 5 17
= = = + ++ +
= + +
Comoa+b+c=34,temos:
= = = = ⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
a3
b5
c9
3417
2
a3
2
b5
2
c9
2
a 6
b 10
c 18
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Manual do Professor
39Bernoulli Sistema de Ensino
E) Sabemos,pelaspropriedadesdasproporções,que:
a b c a b c a b c3 2 5 3 2 5 10
= = = + ++ +
= + +
Comoa+b+c=30,temos:
= = = = ⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
a3
b2
c5
3010
3
a3
3
b2
3
c5
3
a 9
b 6
c 15
F) Multiplicarodenominadoreonumeradordeumarazãoporummesmonúmeroreal,diferentedezero,nãoalterao valor do quociente.
Assim, b b e c c4
312 2
24
= = .Logo, a b c3
312
24
= = .
Tambémpodemosescreverque:
a b c a b c a b c3
312
24
3 23 12 4
3 211
= = = ++
= +––
–
Comoa+3b–2c=22,temos:
a b c
a
b
c
a
3312
24
2211
2
32
312
2
24
2
= = = =
=
=
=
⇒= 66
84
bc
==
Questão 06
Comentário: Se x e y estão na razão 34,podemosescrever,
pelaspropriedadesdasproporções:
=
= =++
= =
= == =
xy
34
x3
y4
x y3 4
287
4
x 4 . 3 12y 4 . 4 16.
Questão 07
Comentário: Se x e y estão na razão 54,podemosescrever,
pelaspropriedadesdasproporções:
=
= = = =
= == =
xy
54
x5
y4
x – y5 – 4
31
3
x 5 . 3 15y 4 . 3 12.
Questão 08Comentário:Devemosencontrardoisnúmerosa e b,taisque:
a bab
2 2 4013
+ =
=
Elevandoambososmembrosdasegundaequaçãoaoquadrado,temos:
= ⇒ = =++
=+a
b19
a1
b9
a b1 9
a b10
2
2
2 2 2 2 2 2
Comoa2 + b2=40,temos:
= = ⇒= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
a1
b9
4010
a1
4 a 2
b9
4 b 6
2 2
2
2
Portanto,assoluçõespossíveissão(2,6)e(–2e–6).
Questão 09Comentário: Sendo x a quantidade demeninas ey a de
meninos,temosquex+y=25.Daproporçãoentreossexos,
podemosescrever:
= =++
= =
= == =
x3
y2
x y3 2
255
5
x 3 . 5 15y 2 . 5 10
Assim,deverãoserconvocados15meninase10meninos.
Questão 10Comentário:Chamandodexaquantidadedehomensey
aquantidadedemulheresquetrabalhamnaempresa,pelos
dados do enunciado e pelas propriedades das proporções,
temos:
= =++
= =
= == =
x30
y40
x y30 40
28070
4
x 30 . 4 120y 40 . 4 160
Assim,trabalhamnessaempresa120homense160mulheres.
Questão 11Comentário: Sendo x, y e z as partes de 60 diretamente
proporcionaisa3,5e7,temosquex+y+z=60eque:
x3
y5
z7
x y z3 5 7
6015
4
x 4 . 3 12y 5 . 4 20z 7 . 4 28
= = =+ ++ +
= =
= == == =
Questão 12Comentário: Sendo x, y e zaspartesde45inversamente
proporcionaisa3,4e6,temosquex+y+z=45eque:
x13
y14
z16
x y z13
14
16
4534
60
x 60.13
20
y 60.14
15
z 60.16
10
= = =+ +
+ += =
= =
= =
= =
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40 Coleção EM1
Questão 13Comentário: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, sendo x, y e z os ângulos internos do triângulo, temos que x + y + z = 180 e que:
x3
y4
z5
x y z3 4 5
18012
15
x 15 .3 45°y 15 . 4 60°z 15 . 5 75°
= = =+ ++ +
= =
= == == =
Questão 14Comentário: A) Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7
é encontrar os números x, y e z, tais que:
x y z
x y z3 6 7
560
= =
+ + =
Logo:
= = =
+ ++ +
= ⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
x3
y6
z7
x y z3 6 7
56016
x3
56016
y6
56016
z7
56016
x 105
y 210
z 245
Assim, os números que dividem 560 em três partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 são 105, 210 e 245, respectivamente.
B) Dividir 560 em partes inversamente proporcionais a 5, 4
e 2 equivale a encontrar números a, b e c, tais que:
a b c
a b c
15
14
12
560
= =
+ + =
Logo:
= = =+ +
+ += ⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
a15
b14
c12
a b c15
14
12
5601920
a15
5601920
b14
5601920
c12
5601920
a2 240
19
b2 800
19
c5 600
19
Assim, os números que dividem 560 em três partes
inversamente proporcionais a 5, 4 e 2 são 2 24019
,2 800
19,5 600
19,
respectivamente.
Questão 15Comentário: Como os lucros serão divididos proporcionalmente
ao investimento de cada sócio, e chamando as parcelas
do lucro destinadas a cada sócio de x, y e z, temos que
x + y + z = 30 000, sendo:
x60000
y75000
z45000
x y z60000 45000 75000
30000180000
16
x60000
610000
y75000
612500
z45000
67500
= = =
+ ++ +
= =
= =
= =
= =
Questão 16Comentário: Sendo x e y as idades dos filhos, temos:
x yx y
+ =
=
30
38 000 22 000
Logo:x
38 000y
22 000x y
38 000 22 00030
60 0001
2 000
x38 000
12 000
x 19
y22 000
12 000
y 11
= =++
= = ⇒
= ⇒ =
= ⇒ =
Portanto, eles têm 19 anos e 11 anos.
Questão 17Comentário: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360°. Assim, sendo a, b, c e d os ângulos internos desse quadrilátero e como são inversamente proporcionais a 5, 8, 10 e 40, respectivamente, temos:
a b c da b c d
+ + + =
= = =
360
15
18
110
140
Logo:
= = = =+ + +
+ + += = ⇒
====
⇒
====
a15
b18
c110
d140
a b c d15
18
110
140
3601840
800
5a 8008b 80010c 80040d 800
a 160°b 100°c 80°d 20°
Questão 18 – Letra DComentário: Pelo gráfico, 1 litro de gasolina possibilita que 14 km
sejam rodados, enquanto que 1 litro de álcool possibilita 10 km.
Assim, com 114
litros de gasolina é possível percorrer 1 km, com
custo de 1,514
reais. Para o álcool, é possível percorrer 1 km com 110
litros, com custo de 0,7510
. A razão entre os custos é tal que:
= =
0,75101,514
0,7510
.141,5
710
.
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Manual do Professor
41Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 19Comentário:Sejamx e yasproduçõesdesoja,emkg,deJoséeJoão,respectivamente.Comoambosproduziramjuntos1500kgdesoja,eJoséproduziu250kgamaisqueJoão,temos:
x y 1 500x y 250
x 875y 625
+ =− =
⇒ =
=
SeJosérecebeuaalqueireseJoão,b alqueires, na divisão da propriedade,temos:
a ba b+ =
=
30
875 625
Logo:a
875b
625a b
875 62530
1 500150
a875
150
b625
150
a 17,5b 12,5
= =++
= = ⇒
=
=
⇒ ==
Portanto,Josérecebeu17,5alqueires,eJoão,12,5alqueires.
Questão 20 – Letra BComentário: Se, para encher um recipiente de 5 litros, aprimeiratorneiragasta12segundos,paraencher1000litros,elagastará: 1000litros x
5 litros 12segundosx=2400segundos=40minutosDamesmaforma,se,paraencherumrecipientede5litros, asegundatorneiragasta18segundos,paraencher1000litros,elagastará: 1000litros y
5 litros 18segundosy=3600segundos=60minutos
Emum tempo de tminutos, a primeira torneira enche t40
da capacidade do recipiente, e a segunda torneira,t
60 da
capacidadedorecipiente.Assim,orecipienteficarácheioem:
t60
t40
1 t 24 minutos.+ = ⇒ =
Questão 21 – Letra CComentário: Pedreirosediastrabalhadossãoinversamenteproporcionais.Logo:
= ⇒ = =
Pedreiros Dias2 155 x
15x
52
x25.15 6 dias
Questão 22 – Letra AComentário: Se a velocidade é constante, a distância é oprodutodavelocidadecomotempo.Logo:
= ⇒
== = + = +
D v.t
180 km 80 km /h . tt 2,25 h 2 h 0,25 h 2 h 15 min.
Questão 23Comentário:
Fábricas h/dia Gases Dias
12 8h 800m3 15
x 7h12min 600m3 10
Utilizando“Fábricas”comoreferência,temos:
GIPcomh/dia,edias.
GDPcomGases.
Logo:
= + =
= ⇒
= = = ⇒
= ⇒ =
7 h12 min 7 h1260
h 7,2 h
12x
7,2 h
8 h.800 m
600 m.1015
x12
8072
.68
.1510
2 .5 . 2 . 3 . 3 . 52 . 3 . 2 . 2 . 5
2 . 3 . 52 . 3 . 5
x
2 . 3
5
2x 15 fábricas
3
3
4
3 2 3
5 2 2
7 2
2 2
Questão 24Comentário:
Costureiras Horas Camisas
6 8 12
x 10 20
Utilizandoagrandeza“Costureiras”comoreferência,temos:
GIP:Horas.
GDP:Camisas.
= ⇒
= ⇒
=
6x
108
.1220
x6
810
.2012
x 8 costureiras
Questão 25 – Letra B
Comentário:Sefoiremovido 58dovolumedeterra,sobram
=8 –5
838 de terra. Como as grandezas são diretamente
proporcionais,temos:
Tempo Volume
45min 58
x 38
= ⇒ = =45 minx
5
83
8
x 35
.45 min 27 min.
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42 Coleção EM1
Questão 26 – Letra DComentário: O criador contém 30 dias de ração para 42frangos.Masfaltando(30–6)diasadquirimais30frangos.Comoagrandeza“frangos”éinversamenteproporcionaladiasderação,temos:
+= ⇒
= =
(42 30) frangos
42 frangos
24 diasx
x4272
.24 dias 14 dias
Questão 27Comentário:
Máquinas Horas/dia Dias Produto
(toneladas)
4 4 4 4
6 6 6 x
Utilizandoagrandeza“Produto”emtoneladascomoreferência,temos:GDP:Máquinas,Horas/dia,Dias.
= ⇒ = ⇒
= ⇒ = =
4x
46
.46
.46
1x
16
.23
.23
1x
13
.13
.23
x272
13,5 toneladas
Questão 28Comentário: Seja TotempogastoemhorasparaoaviãoahéliceirdeSãoPauloatéBoaVista.
Velocidade Tempo
Jato 660km/h T–7h
Hélice 275km/h T
Agrandeza“Velocidade”éinversamenteproporcionalaotempogastoparairdeumpontoaooutro.Logo:
= ⇒
= ⇒ = ⇒
= ⇒ =
660 km/h
275 km/h
TT –7 h
125
TT – 7 h
12T – 84 h 5T
7T 84 h T 12 h
Adistânciapercorridaé:
=275 km/h .12 h 3 300 km.
Questão 29 – Letra BComentário:
Macacos Bananas Tempo
x2 x3 x
5 90 t
Utilizandoagrandeza“Tempo”comoreferência,temos:GIP:Macacos.GDP:Bananas.
= ⇒ = ⇒ =xt
5x
. x90
x 5t90
x t 18 min.2
33 3
Questão 30 – Letra CComentário:Comnoveadultos,oelevadorpoderiatransportarmais3adultos,queequivalema5crianças.
= ⇒ =12 adultos
3 adultos
20 criançasx
x 5 crianças
Desafio
Questão 01Comentário:
A) Imaginandoqueaescaladafotosejaigualparatodos, jáqueacâmeraestáàmesmadistânciadetodos,sendoPaalturadePabloeMaalturadeMarta,temos:
= = =
=
=
1246,2
20P
8,1M
5,7
P 1,62 m
M 1,14 m
B) O triângulo formadonocartãoàdireitaé semelhanteaambosostriânguloscongruentesdocartãodaesquerda.Assim,epercebendoqueocatetoverticalnotriângulodadireitamede(a–b):
ab
ba–b
a – ab –b 02 2
=
=
Resolvendoaequaçãoparamétricaema,temos:
=
±=
±⇒ =
+>a
b b 52
b.1 5
2ab
1 52
0.
Questão 02Comentário:
A) (Verdadeiro) x e yinversamenteproporcionais:
= = ∈y g (x)c
x,c *
11
1
y e zinversamenteproporcionais:
= = ∈z g (y)c
y,c *
22
2
= = =zc
y
c
cx
c
c.x2 2
1
2
1
B) (Verdadeiro) x e ydiretamenteproporcionais:
y = f(x) = c1x, ∈c1
w e zinversamenteproporcionais:
= = ∈w g(z)c
z, c *22
= =x.zyc.c
wyw.c
c1
2 2
1
C) (Falso) =A3 3.L
2
2
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ica
Manual do Professor
43Bernoulli Sistema de Ensino
D) (Verdadeiro) x cy cx
y
x cy cx
y
c cx
y
x
yx y x y .
1 11
1
2 22
2
1
1
2
21 2 2 1
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
Questão 03Comentário:
A) Sendo B, C, D e EosaumentospercentuaisdosprodutosB, C, D e E,quesomam20%,temos:
= = = =+ + +
+ + += = =
B15
C110
D115
E120
B C D E15
110
115
120
20512
48 k
B) OdescontoobtidoemumamercadoriaAé0,2.50=10reais.
OaumentoemC é de 4810=4,8%,e10.0,048=0,48reais.
Logo,como ≈10
0,4820,9,devemservendidas21unidades
damercadoria.
Exercícios propostos
Questão 01 – Letra CComentário: Ototaldesorvetedechocolateéigualaumterço
doprimeiropotemaisametadedosegundopote,o que dá
umtotalde13
12
56
+ = dopote.Assim,afraçãocorrespondente
àquantidadedesorvetedechocolatecomprado é
56
2512
= .
Questão 02 – Letra BComentário:Chamandodex, y e z as quantidades recebidas pelostrêsfilhoselembrandoquex+y+z=33(I),temos:
x.2 = y.4 = z.6
Essaforma,noentanto,nãoéaidealparatrabalharmos,poisnãohánenhumapropriedadedasproporçõesqueseencaixenela.Assim:
x y z x y z x y z
x y z
. . .
; ;
2 4 612
14
16
12
14
16
331112
36
18 9
= = ⇒ = = =+ +
+ += = ⇒
= = == 6
Ouseja,omaisnovorecebeu18reais.
Questão 03 – Letra BComentário:
+= ⇒ = +
−= ⇒ = = + ⇒ = ⇒ =
+=
+= = =
A 4B
1 B A 4
AB 1
12
2A B –1 (A 4)–1 A 3 B 7
BA B
73 7
710
0,7 70%
Questão 04 – Letra CComentário: Sendo P, A e LosrendimentosaseremrecebidosporPaulo,AnaeLuís,respectivamente,elembrando-sedeque
elessomarão12500–10000=2500reais,temos:
= = =+ +
+ +⇒
+ += =
P2 500
A3 500
L4 000
P A L2 500 3 500 4 000
P A L10 000
2 50010 000
0,25
A=3500.0,25=875
P=2500.0,25=625
A–P=875–625=R$250,00
Questão 05 – Letra EComentário:
= = = =+ +
+ += =
= =
= =
= =
= = = =
x112
x2
y12
z14
x y z
2 12
14
176114
64
x 64 .2 128
y 64 .12
32
z 64 .14
16
x – y 128 –32 96 6.16 6z
Questão 06 – Letra AComentário:ALeideBoyle-MariottenosdizquePV=kparaalgumaconstantek real positiva. Pelo enunciado, conclui-se
queP.V=0,6.5=3,ouseja, =V3P
.
Questão 07 – Letra DComentário:
y
O
P Q
x
Sabe-se que x e ysãograndezasinversamenteproporcionais.Assim,dadaumaconstanterealk,temosquexy=k.
Como 53
480,
éumpontodacurvadefinidapory=f(x),
temos,k= 53.480⇒k=800.
A área SdotriânguloOPQédadaporS=PQ OP.2
.
SendoQ=(x,y)umpontodacurva,concluímosque:
PQ = x e OP = y ⇒ S = xy k2 2
8002
400= = = .
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44 Coleção EM1
Questão 08 – Letra C
Comentário:Deacordocomasinformaçõesdadas,temos:
x4 . 10
1,6 . 102 500
y2 . 101 . 10
20 000
y 20 000 8 . 2 500 8x
10
7
10
6
= =
= =
= = =
Questão 09
Comentário:Joãoleva7,5horasparaaparartodoogramado,
eJosé,6horas.Assim,sendoVJoãoavelocidadedeJoãoao
apararogramadoeVJoséavelocidadedeJosé,temos:
VJoão = 17 5Gh,
e VJosé = 16Gh
Note que Grepresenta100%dogramado.
ColocandoJoãoeJoséparatrabalharemjuntoseconsiderando
queavelocidadedetrabalhodecadaumnãosealterarápor
essemotivo,teremosumavelocidadedetrabalhoequivalente
VEquivalentedadapor:
VEquivalente = VJoão + VJosé = 17 5Gh,
+ 16Gh
⇒ VEquivalente = 310
Gh
Sejax o tempo que João e José levarão para aparar 75%
dogramado:
VEquivalente = 310
Gh =
0 75, G
x ⇒x=2,5horas.
Questão 10 – Letra BComentário:Emxminutos,Josélimpaumaparcelade x
30
dovestiário,enquantoJairlimpa x45
dovestiário.Assim:
+ = ⇒+
= ⇒ =x45
x30
12x 3x
901 x 18
Logo,juntos,levarão18minutosparalimparovestiário.
Questão 11 – Letra A
Comentário: Com 1 litro de álcool, percorrem-se 8 km.
Então,com0,25Ldeálcool,percorrem-se0,25.8=2km.
Com1litrodecombustível,gasolina+álcool,percorrem-se
11 km.Desse 1 litro, temos 0,25 L de álcool e 0,75 L de
gasolina.Com0,25Ldeálcool,épossívelpercorrer2kme,
com0,75Ldegasolina,9km.Agora,com0,20Ldeálcool,
ocarropercorrerá0,20.8=1,6km.Com0,80Ldegasolina,
o carro percorrerá 0 800 75,,
.9= 9,6km.
Logo,comaporcentagemde20%deálcoole80%degasolina,
umcarropercorrerá1,6km+9,6km=11,2kmcomumlitro
dessamistura.
Questão 12 – Letra CComentário: Sendo xocomprimentodotecido,opalmode
Joãomede x30
e o de Alfredo x27. Assim,10palmosdeJoão
medem =10x30
x3
, o que equivale a 9. x27,ouseja,9palmos
de Alfredo.
Questão 13 – Letra EComentário: Sendo x o número de alunos ey o númerode professores, temos x = 50y. Da segunda condição doenunciado,podemosconcluirquex+400=40(y+16),ouseja,50y+400=40y+640,deondeobtemosy=24.Logo,onúmeroxdealunosétalquex=50.24=1200alunos.
Questão 14 – Letra CComentário: Sendo x, y e z as quantidades recebidas pelo primeiro, segundo e terceiro colocados, respectivamente,temosquex+y+z=310,e,pelaproporcionalidadeinversa:
x12
y13
z15
x y z12
13
15
3103130
300
x 300.12
150
y 300.13
100
z 300.15
60
= = =+ +
+ += =
= =
= =
= =
Questão 15 – Letra BComentário: Sendo dadensidadedemográfica,nonúmerode
habitanteseAaáreadaregião,temosque =dnA.Assim,para
nconstante,áreaedensidadedemográficasãoinversamenteproporcionais.
Questão 16 – Letra CComentário: Chamando dex, y e z as quantias devidas por Paulo, Pedro e Antônio, respectivamente, temos que x+y+z=486eque:x4y6z8x y z4 6 8
48618
27; y 27 . 6 162= = =+ ++ +
= = = =
Então,Pedrodevepagar162reais.
Questão 17Comentário:Usandoaigualdadeentreaprimeiraeaterceirarazões,temos:x –3
58x
x –3x – 40 02
=
=
Assoluçõesdessaequaçãosãox=8oux=–5.Achandoosvalores de y relativos a cada valor de x,temos:• x=8
+=
+ ==
3y 17
88
3y 1 7y 2
• x=–5
+=
=
=
3y 17
8–5
56 –15y –5
y –6115
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Manual do Professor
45Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 18 – Letra DComentário:Semprequeomaisnovotiverx anos de idade, omaisvelhoterá(x+4)anosdeidade.Comoosvaloressãoproporcionaisàsidades:
+≥ ⇒
≥ + ⇒≥ ⇒ ≥
xx 4
0,75
x 0,75x 30,25x 3 x 12
Assim,otestamentopoderásercumpridoapartirdomomentonoqualofilhomaisnovocompletar12anosdeidade,ouseja,nodia1/1/2016.
Questão 19 – Letra DComentário:Observeatabelaaseguir:
ModeloLargura
(cm)Altura (cm)
Preço (R$)
Área (cm2)
Preço/Área (R$/cm2)
23" 50 30 750,00 1500 1/2
32" 70 40 1400,00 2800 1/2
40" 90 50 2250,00 4500 1/2
Assim,percebemosquearazãoentreaáreadecadatelevisoreseupreçopermanececonstante.
Questão 20Comentário:Emumlitrodecombustível,há0,8Ldegasolina,comcusto0,8a,e0,2Ldeálcool,comcustode0,2.0,75a=0,15a.Logo,olitrodecombustívelcusta0,8a+015a=0,95a.
Questão 21Comentário: Sendo A, P e Fosnúmerosdealunos,professoresefuncionários,respectivamente,temosqueA=6Pe3P=10Fou,equivalentemente,6P=20F.Assim,A=20F,ouseja,há20alunosparacadafuncionário.
Questão 22Comentário: Calculando o quociente entre preço e quantidade derefrigerante,temosqueamenorrazãoequivaleàopçãomaisvantajosa:
=
=
< ⇒ < ⇒
< ⇒ <
90300
4501 500
170500
5101 500
450 510450
1 500510
1 50090300
170500
0,90300
1,70500
Logo,aopçãode300mLémaisvantajosa.
Questão 23Comentário:Chamandodexapartedaherançaquecabe àmãe, cadamenino receberá 2x e amenina receberá 3x.
Assim,x+2x+2x+3x=1e =x18.Logo,1
8ficoucomamãe,
14comcadanetoe 3
8comaneta.
Questão 24Comentário:Aprimeiratorneiraenche 1
12dotanqueemum
minuto,enquantoasegundaenche 118
dotanqueemumminuto.
Assim, a primeira torneira encheu, emxminutos, x12
do
tanque, e a segunda torneira encheu +x 318
do tanque em
(x+3)minutos. Comoo tanque foi completamente cheio,
temos:
x 318
x12
1
2(x 3) 3x 36
x 6
++ =
+ + =
=
Assim,foramgastos2x+3=2.6+3=15minutosparaencherotanque.
Questão 25 – Letra BComentário:Comosegasta50centavosparasepercorrer 10kmcomgasolina,gasta-se5centavosparasepercorrerumkmcomestecombustívelfóssil.Seumlitrodeálcoolcustax centavos,comxcentavospercorre-se8km,logo,percorre-se
1kmcomx8 centavos. Paraqueambos sejam igualmente
econômicos:
= ⇒ =x8
5 x 40
Então,olitrodeálcooldevecustar40centavos.
Questão 26 – Letra DComentário:84anospossuem84.365.24=735840horas.Tendo emmente que 16 horas e 48minutos equivalem a
16,8horas,umanoemUranopossuirá ≅735 840
16,844 000 dias.
Questão 27 – Letra BComentário: Sendo x, y e zaspartesde70proporcionaisa2,3e5,temosquex+y+z=70eque:
x2
y3
z5
x y z2 3 5
7010
7x z2 5
x z7
x z 7 . 7 49.
= = =+ ++ +
= = =++
=+
+ = =
Questão 28 – Letra AComentário:Em40minutoshá40.60=2400segundos. Ass im, o ve ícu lo percorrerá nesses 40 minutos
= = = =
x4
.2400
y600x
ym
0,6xy
km6x
10ykm
3x5y
km.
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46 Coleção EM1
Questão 29 – Letra DComentário: Sendo O, P e Baquantidadedemedalhasdeouro,prataebronzedesseatleta,respectivamente,temos:
= = =+ ++ +
= =O3
P4
B7
O P B3 4 7
7014
5
O=3.5=15
P=4.5=20
B = 7 . 5 = 35
Questão 30 – Letra EComentário: Cada apostador da cidade Breceberáumsexto
dametadedoprêmio,ouseja, =12.16
112doprêmio.
Questão 31 – Letra EComentário: Sendo A, B e Caquantidadededocumentosarquivados respectivamente por Adilson, Bento e Celso,teremos:
24A=30B=36C⇒ 4A = 5B = 6C ⇒
=
=
+ = + ⇒ + = + ⇒ = ⇒
= = =
= = =
B4A5
C2A3
A C B 26 A2A3
4A5
26 A 30
B4A5
4 .305
24
C2A3
2 .303
20
A+B+C=74>60.
Questão 32 – Letra CComentário:QuandoD=44m,V=80km/h.Assim,como
D=kV2,k= 44802
.QuandoV=160km/h,temos:
= =
= =D 44
80.160 44. 160
8044 . 4 176 m.
22
2
Logo,adistânciadefreagemé4vezesmaior.
Questão 33 – Letra EComentário:Cadaumdeveriapagar18litrosdecombustível.AssimXdeveserressarcidopor14litrosdagasolinaeY por 4litros.Osvaloresaseremrecebidosporcadaumsão:
=X: 50,22.1418
R$39,06
=Y: 50,22.4
18R$11,06
Questão 34 – Letra BComentário: Duas grandezas a e b são inversamenteproporcionais quando o produto entre os possíveis valores assumidosporelaséigualaumaconstante,ouseja,a.b=k,
∈k , oqueequivaleàformulaçãoconstantedaalternativaB.
Questão 35 – Letra AComentário: Correndo a uma velocidade de 10 km/h, omaratonistachegaráàs10horas.Correndoaumavelocidadede15km/h,elechegaráaofinaldopercursoàs8horase,portanto,2horasmaiscedo.ComoavelocidadeéarazãoentreadistânciaDpercorridaeotempoTgastonopercurso,temos:
10= DTe15= D
T −2
Note que Téotempogastopelomaratonistaquandoelecorreaumavelocidadede10km/h.Assim,parachegaràs 9 horas, ele deverá ter uma velocidade V, tal que
V = DT −1
.
Util izando as relações anteriores, concluímos que: 10T=15(T–2)⇒T=6horas
SabendoqueT=6horasequeD=10T,temosD=60km.
Assim,V= 606 1−
=12km/h.
Questão 36Comentário:UmlitrodasubstânciaXtem0,2LdeA,0,3Lde Be0,5LdeC.Comoamassaéoprodutoentredensidadee volume, chamando a densidade deC de y, a densidade de A é 3y e a de B,2y.Assim,enquantoumlitrodeC pesa 1.y=y,umlitrodamisturapesa0,2.3y+0,3.2y+0,5y=1,7y, e a razão xvale1,7.
Questão 37Comentário:
A) Sejam v1 e v2 as velocidades dos navios em km/h.Após 30min= 0,5 h, os navios terão percorrido 0,5.v1 e 0,5.v2 km. Como a distância entre eles, nesseinstante,éde15km,peloTeoremadePitágoras,temos
(0,5.v1)2+(0,5.v2)2=152 ⇒ + =v v 90012
22 .
Após45min=0,75h,osnaviosterãopercorrido0,75.v1 e 0,75.v2km,sendoque0,75.v1=0,75.v2+4,5,ouseja,
v1 – v2=6.Essasequaçõescompõemosistema+ =
− =
v v 900
v v 612
22
1 2
,
cujasoluçãofornecev1=24km/hev2=18km/h.
B) Após 270 min = 4,5 h, os navios terão percorrido 4,5.24=108kme4,5.18=81km.
Questão 38 – Letra AComentário:Dos30,6Ldegasolinaqueestãonotanque,umaparte (xlitros)seráutilizadapelopróprioconsumodocarroeo restante (y litros) vazará do tanque.
Suponhaqueocarropercorreuumadistânciad,emkm.
Daí,temos:
10 1km litrod x
−−−−−−−−
⇒ x = d10
litros
Comot= dv
, então t = d50horas.
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Manual do Professor
47Bernoulli Sistema de Ensino
Logo,agasolinaquevazarádotanqueé:
0 1 1
50
, L h
y d h
−−−−
−−−−
⇒ y = d
500 litros
Assim,x+y=30,6L ⇒ d d10 500
+
=30,6L ⇒
50500
30610
d d+ = ⇒ d=300km.
Questão 39Comentário:Sabendoqueovolumeinicialdevinhoéde100litros,apósaprimeiraretiradadex litros, a quantidade restante passaaser100–x.
Emseguida,aquantidadedevinhoqueseráretirada,seráde
100 – x
100.x.Aquantidaderestanteserá(100–x)–
100 – x
100.x.
Portanto,podemosconcluirque:
= ⇒
= ⇒
+ = ⇒
= =
(100 – x) –100 – x
100.x 64
(100 – x). 1 –x
10064
x – 200x 3 200 0
x 20 ou x 180
2
Comoovolumeinicialdobarrilerade100L,ovalorcoerentepara xéde20L.
Questão 40 – Letra CComentário:
Nº de máquinas
Nº de peças
Nº de diasNº de
horas/dia
5 500 5 5
10 x 10 10
Considerandoo “Nºdepeças” comoagrandeza referência,temosque:
= ⇒ = ⇒ =500x
510
.510
.510
500x
125
1 000x 4 000
Portanto,seriamproduzidas4000peças.
Questão 41 – Letra DComentário:
Nº de operários Nº de diasComprimento
do canal
10 12 20
16 x 24
Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência,temosque:
= ⇒ = ⇒ =12x
1610
.2024
6x
46
x 9
Os operários gastarão 9 dias para abrir o canal, ou seja,
=930
310
domês.
Questão 42 – Letra CComentário:
Nº de operáriosNº de pares de calçados
Nº de horas/dia
16 120 8
x 300 10
Considerandoo“Nºdeoperários”comoagrandezareferência,temosque:
16x
120300
.108
4x
18
x 32= ⇒ = ⇒ =
Portanto, nesse novo contexto, serão necessários 32 operários.
Questão 43 – Letra DComentário:
Nº de dias Nº de peças Nº de horas/dia
3 1200 5
n 640 4
Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência,temosque:
= ⇒ = ⇒ =3n
1 200
1 840.4
5
1n
80460
n 5,75
Sea cargahorária fossede cincohorasdiárias,amáquina
produziriaas1840peçasem5,75dias,ouseja, +534
dias.
Portanto,no6ºdiaamáquinatrabalharia + =534
.4 3 horas.
Questão 44 – Letra BComentário:
Nº de professores
Nº de provas Nº de Dias
13 3000 6
15 5500 n
Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência,temosque:
= ⇒ = ⇒ ≅6n
1513
.3 000
5 500
1n
15143
n 9,53
Portanto, < ≤8 n 10.
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48 Coleção EM1
Questão 45 – Letra DComentário:
Fração do relatório
Nº de diasNº de alunos
Nº de horas/dia
2/5 10 24 7
3/5 x 20 6
Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência, temos que:
= ⇒ = ⇒ =10x
20
24.67
.
25
35
10x
5.221
x 21
Portanto, serão necessários 21 dias para os alunos terminarem a tarefa.
Questão 46 – Letra BComentário:
Nº de
dias
Nº de funcioná-
rios
Nº de horas/
dia
Fração concluída
do ser-viço
Produtivi-dade
8 6 6 3/5 y
x 8 9 2/5 2y
Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência, temos que:
8x
8
6.9
6.
35
25
.2y
y
1x
14
.32
.2 x 1,3= ⇒ = ⇒ =
A nova equipe gastou, portanto, +113
de um dia para terminar
o serviço. Ou seja, h corresponde a um terço da jornada de
trabalho dos funcionários, logo =13
.9 3 horas.
Questão 47 – Letra DComentário:
Nº de Operários
Nº de diasNº de
horas/dia
Porcenta-gem
do trabalho
24 10 7 40
20 x 6 60
Considerando o “Nº de dias” como a grandeza referência, temos que:
= ⇒ = ⇒ =10x
20
24.6
7.40
60
10x
2042
x 21
Portanto, o tempo total gasto para executar o serviço foi de 31 dias. Como os operários iniciaram os trabalhos em uma segunda feira, eles trabalharam quatro semanas completas, ou seja, 28 dias e terminaram o serviço em uma quarta-feira.
Questão 48 – Letra BComentário: Utilizando o número de dias D como a grandeza referência, e analisando as demais grandezas com relação a ela, temos:
Número de máquinas (N): inversamente proporcional
Rendimento (R): inversamente proporcional
Horas por dia (H): inversamente proporcional
Peças (P): diretamente proporcional
Portanto, podemos concluir que D pode ser escrito em função das outras variáveis da seguinte forma:
=D k.PNRH
Seção Enem
Questão 01 – Letra BEixo cognitivo: III
Competência de área: 4
Habilidade: 16Comentário: Para determinar a quantidade de gasolina utilizada no reabastecimento, é necessário encontrar a quantidade de combustível inicial do carro. Como a densidade é de 750 gramas por litro e é permitida a capacidade de 100 kg, o volume é:
V 1000,75
.=
Como o computador de bordo acusou o consumo de 410
da
gasolina no tanque, restaram 610
e foram abastecidos 13
dessa
quantidade restante.
Logo, o volume abastecido foi:
V 1000,75
6
10
13
V 100,75
2
V 200,75
a
a
a
= ⋅ ⋅
= ⋅
=
Questão 02 – Letra BEixo cognitivo:
Competência de área:
Habilidade:
Comentário:
• Motorista X :Velocidade : V
Tempo: 2510
.td V.25
10.t
• Motorista Y : Velocidade : VTempo: t
d V.t
x
y
⇒ =
⇒ =
d
d
V. 25100
.t
V.t14
x
y
= =
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Manual do Professor
49Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 03 – Letra BEixo cognitivo:I
Competência de área: 4
Habilidade: 15Comentário: Calculandoarazãoentreamassadecontaminantesnãocapturadoseonúmerodediasparacadacaso,temos:
Filtro1(F1): 186mgdias
⇒3mg/dia
Filtro 2 (F2): 153
mgdias
⇒5mg/dia
Filtro 3 (F3): 184mgdias
⇒4,5mg/dia
Filtro 4 (F4): 6
3mgdias
⇒2mg/dia
Filtro 5 (F5): 32
mgdias
⇒1,5mg/dia
Logo,ofiltrodescartadoseráF2,poisapresentaomaiorvaloreconsequentementeopiordesempenho.
Questão 04 – Letra CEixo cognitivo:III
Competência de área: 4
Habilidade: 16Comentário: Conforme o enunciado da questão, temos5 frascos de 800mL, totalizando 4 000mL.Nas primeiras 4horas,opacientereceberá40%dessetotal,sobrandoainda60%de4000mL,ouseja,2400mL.Como1mLcorrespondea12gotas,temos:
Númerodegotasporminuto= 2 400 . 1220 . 60
24=
Questão 05 – Letra EEixo cognitivo:ICompetência de área: 5Habilidade:19Comentário:
1ºmomento:
Conformeoenunciado,temosàs10hdamanhã:
500 m
A = 500 m . 500 m
A = 250 000 m2
500 m
Comosão4pessoasporm2,temos1000000pessoas.
2ºmomento:
Das10hdamanhãatéas16h,temos:
6h.120000pessoas/h=720000pessoas
Total:1720000pessoas
2000pessoas 1policial
1720000pessoas xpoliciais
Logo, x = =1 720 0 0 02 0 0 0
860.
Questão 06 – Letra BEixo cognitivo:III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário: Temos250mg/m2.
Como3kgcorrespondema0,208m2,temos:
Dosagem (mg) Área (m2)
250 1
x 0,208
x=250.0,208=
= =250 .208
1 000
208
452 mg.
Questão 07 – Letra BEixo cognitivo:III
Competência de área: 4
Habilidade: 16
Comentário: Comohá4catracasporportãoehá5portões, há um total de 20 catracas nas entradas do estádio.Consideremosaregradetrêsaseguir:
Pessoas Catracas Tempo
1 1 2 s
45000 20 x
Comoindicamassetas,otempoédiretamenteproporcionalà quantidade de pessoas e inversamente proporcional àquantidadedecatracas.Assim,temosaproporção:
= ⇒
= ⇒
= = =
2x
145 000
. 201
20x 2 . 45 000
x 4 500 s 1,25 h 1h15min.
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50 Coleção EM1
Questão 08 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 4
Habilidade: 16
Comentário: Consideremos a seguinte regra de três composta: a quantidade de ralos a ser utilizada é diretamente proporcional à capacidade do reservatório e inversamente proporcional ao tempo gasto para esvaziá-lo.
Ralos Capacidade (m3) Tempo (h)
6 900 6
X 500 4
6 900500
46
6 500900 4
56x
x= ⇒ = =. ...
Serão necessários 5 ralos.
Questão 09 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade: 21
Comentário: Seja x o acréscimo no número de homens que seriam internados por AVC nos próximos cinco anos. Temos:
=
=
=
x28
832
x28
14
x 7 mil homens
Total de homens internados: 28 + 7 = 35 mil.
Questão 10 – Letra AEixo cognitivo: III
Competência de área: 6
Habilidade: 25
Comentário: O Sol possui temperatura de 6 000 K. Como a estrela considerada possui temperatura igual a 5 vezes a temperatura do Sol, sua temperatura é de 30 000 K. Tal valor é próximo do valor de referência na classe espectral B0, cuja luminosidade é 2 . 104 = 20 000 vezes a luminosidade do Sol.
Questão 11 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 4
Habilidade: 16
Comentário: A resistência S da viga dada é diretamente proporcional à largura b e ao quadrado da altura d, e k é a constante de proporcionalidade do material. Logo, S = k.b.d2.
Questão 12 – Letra DEixo cognitivo: III
Competência de área: 4
Habilidade: 16
Comentário:
=2 banhos/dia .10 minutos . 7 dias.4,8 kW
60 minutos11,2 kW.
Questão 13 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 3
Habilidade: 12
= ⇒ =1
250C
2 800C 11,2 cm.
= ⇒ =1
250L
1 200L 4,8 cm.
Questão 14 – Letra EEixo cognitivo: III
Competência de área: 3
Habilidade: 12
Comentário:
8 cm2 000 km
8 cm
200 000 000 cm
125 000 000
= =
Logo, o mapa observado pelo estudante está na escala de 1 : 25 000 000.
Questão 15 – Letra EEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade: 21
Comentário: Para receber 30 convidados, temos as seguintes quantidades de alimentos e bebidas:
Carne ----------30 . 250 g = 7 500 g = 7,5 kg
Arroz -----------30:4 = 7,5 copos
Farofa ----------30 . 4 = 120 colheres de sopa
Vinho -----------30:6 = 5 garrafas
Cerveja ---------30:2 = 15 garrafas
Espumante -----30:3 = 10 garrafas
Portanto, a alternativa E é a correta.
Questão 16 – Letra BEixo cognitivo: III
Competência de área: 3
Habilidade: 12
Comentário: Densidade demográfica =
= =20 .10800 .10
200 . 10
8 . 1025 habitantes/km .
6
3
5
52
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Manual do Professor
51Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 17 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade: 21
Comentário: Sejam c e , respectivamente, o comprimento e a largura da piscina. Como 50 m = 5 000 cm e 25 m = 2 500 cm, temos:
1100 5 000
50= ⇒ =c c cm
1100 2 500
25= ⇒ =
cm.
Questão 18 – Letra CEixo cognitivo: III
Competência de área: 5
Habilidade: 21
Comentário: O Pantanal tem área aproximada de 210 mil km2
e as cheias cobrem até 23
dessa área. Assim, a área alagada
pode chegar a 23
210 000 140 000 2. .= km
CAPÍTULO – C2Semelhança de triângulosExercícios de aprendizagem
Questão 01Comentário: Os dois triângulos mostrados na figura são semelhantes pelo caso AA, já que têm um ângulo reto e o ângulo α em comum. Por semelhança, temos:
= ⇒ =183
20x
x103
m.
Logo, a medida da sombra é 103
m.
Questão 02 – Letra EComentário: Os triângulos ACH e ABD são semelhantes,
já que DÂB é ângulo comum e A H A DC B≡ , pois CH e BD são paralelos. Assim, chamando a medida de CH de y, temos:
1,55
y3
5y 4,5y 0,90 m.
=
==
Questão 03 – Letra BComentário: Sendo x a distância do projetor em relação à tela na sala menor, temos:
x x12
23
8= ⇒ =
Questão 04 – Letra BComentário: Os dois triângulos apresentados na figura são semelhantes pelo caso AA, já que θ é ângulo comum e os catetos menores são paralelos. Assim:
= =+
=
=
10,51,5
710,5 17,5
h28h
h 4,0 m.
Questão 05 – Letra EComentário: Considere a figura a seguir:
A4
4
2
B
C
M N
Se MN é paralelo a AC, então BMN = BAC e BNM = BCA. Assim, os triângulos MBN e ABC são semelhantes pelo caso AA. Como ABC é isósceles (AB = AC), MBN também o é (BM = MN = 4 cm). Aplicando o Teorema de Pitágoras em BMN, temos:
( ) ( ) ( ) ( )BM MN BN BN BN2 2 2 2 2 24 4 4 2+ = ⇒ + = ⇒ =
Portanto, o perímetro do triângulo MBN é:
( )= + + = +2p 4 4 4 2 4 2 2 cm.
Questão 06 – Letra BComentário: Como o atacante deve percorrer uma distância mínima para pegar a bola, essa distância é uma reta perpendicular à trajetória da bola. Assim:
12
20
D
B
C32
16
16
A
L
α
Como C é o ponto médio do segmento AL, CL = CA = 16 m.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDL, temos:
(DL)2 = (CD)2 + (CL)2 ⇒ (DL)2 = 122 + 162 ⇒ DL = 20.
Como C L D = AL B e DCL = ABL, os triângulos CDL e ABL são semelhantes pelo caso AA. Assim:
CDAB
DLAL
12AB
2032
AB 19,2.= ⇒ = ⇒ =
Portanto, a distância mínima que o atacante terá de percorrer para pegar a bola é o segmento AB, que vale 19,2 m.
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52 Coleção EM1
Questão 07 – Letra EComentário:Observeafiguraaseguir:
R102
R103
120 kmZ P
T
R101
160 km
X
dβ
β
α
Y
300 km
Amenor distância do pontoY até a reta que representa a rodoviaR103ocorrequandoYTéperpendicularaXT.
AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloXZP,temosque:
(XP)2=1202+1602 ⇒ (XP)2=40000⇒XP=200
OstriângulosXTYeXZPsãosemelhantespelocasoAA,logo:300200
YT120
2.YT 360 YT 180= ⇒ = ⇒ =
Portanto,ocomprimentodarodoviaaserconstruídaéiguala180km.
Questão 08 – Letra CComentário:Osdoistriângulosapresentadosnafigurasãosemelhantes,jáqueexisteumpardeângulosOPVehádoisparesdeângulosalternosinternos.Assim,pelasemelhança:
=
=
1mm5 . 10 mm
x15 . 10 m
x 3 m.
–3 –3
Questão 09 – Letra BComentário: Deacordocomoenunciado,podemosesboçaraseguintefigura:
24 m
60 m20 m
x
C
D
B
A
αα
O
ComoAOC = BOD e DBO = ACO,ostriângulosAOCeDOBsãosemelhantespelocasoAA.Sendoxalarguradorio,temos:
= ⇒ =x60
2024
x 50 m.
Questão 10 – Letra AComentário:Considereafiguraaseguir,emquex é o lado do quadrado ABCD, AM = 4 e AN = 6.
M
4 – x
x
4
x
x
x
B
6A D
C
N
Como BC é paralelo a AN, MCB = MNA e MBC = MAN.
Logo,ostriângulosBMCeAMNsãosemelhantespelocasoAA.
Assim:
= ⇒−
= ⇒ =MBBC
MAAN
4 xx
46
x 2,4 cm.
Questão 11 – Letra DComentário: Considereafigura,emquedéadistânciapedida.
A B
d
DE
X
300 mm
20 000 - d
60 mm
ComoostriângulosABXeEDXsãosemelhantes,temosque:
− = ⇒ = − ⇒
= ⇒ ≅ ⇒ ≅
20 000 dd
60300
d 100 000 5d
d 100 0006
d 16 666,7mm d 16,7 m.
Questão 12 – Letra CComentário:Comoos triângulos retângulos formadospelasombraepeloobjetosãosemelhantes(jáqueoângulode
incidênciasolaréomesmo),temos,chamandodeh a altura
dopostedeiluminação:
=
=
h16
2,74,8
h 9 m.
Questão 13 – Letra BComentário: Sendo h a altura da árvore, temos, pelasemelhançadetriângulos:
=
= ⇒
1,81,6
h20
h 361,6
22,5 m.
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Manual do Professor
53Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 14 – Letra AComentário:ComoostriângulosABCeBEDsãosemelhantes,
temos:
= ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒
= ⇒ ≅
BE
BC
DE
AC
400 CE400
120220
11 (400 CE) 400 6
CE 2 00011
CE 182 m.
Questão 15 – Letra AComentário:Arazãoentreasmedidasdeladoshomólogosde
triângulossemelhantestambémseaplicaaoperímetrodesses
triângulose,deformageral,aqualquermedidalinear.Arazão
desemelhançaé = =k2114
32,eoperímetrodotriângulomenor
é2p=7+9+14=30cm.Assim,sendoxoperímetrodo
triângulomaior,temos:
= =
=
k32
x30
x 45cm.
Questão 16Comentário:Considereasfigurasaseguir:
A
B 15 C
119
M
N P
yx
z
Em dois triângulos semelhantes, a razão entre os lados
homólogoséigualàrazãoentreosperímetros.Assim,sendo
105cmoperímetrodotriânguloMNP,temos:
x y z x y z
x x cm
y9 11 15 9 11 15
10535
3
93 27
11= = = + +
+ += = ⇒
= ⇒ =
== ⇒ =
= ⇒ =
3 33
153 45
y cm
z z cm
Questão 17 – Letra DComentário:Deacordocomoenunciado,podemosesboçar
aseguintefigura:
D
8 7
3 x P
C
A B
Se AD é paralelo a BC, então PCB = PDA e PBC = PAD.Assim,
ostriângulosPBCePADsãosemelhantespelocasoAA.Logo:
= ⇒ =+
⇒ =PBBC
PAAD
x7
x 38
x 21.
Questão 18Comentário: De acordo com o enunciado, prolongando osladosdatorre,temos:
A
B C
4,25 m4,25 m
5 m5 m
6 m
4 m
y
D E
F G
x
H
I
J
SeBC,DEeFGsãoparalelas,entãoABC = ADE=AFG e ACB =
AED = AGF. Portanto, os triângulos ABC, ADE e AFG sãosemelhantespelocasoAA.Assim,considerandoAH=y,temos:
= = ⇒ =+
=+
⇒
=+
⇒ =
+=
+⇒
+=
+⇒ =
AHBC
AIDE
AJFG
y4,25
y 65
y 10x
y4,25
y 65
y 34
y 65
y 10x
34 65
34 10x
x 5,5m.
Questão 19 – Letra AComentário:Considereafiguraaseguir:
r
B
s
Q
A
C
O
P
αα
β
β
θ
ObserveotriânguloABO.OsegmentoPOéaalturaeamediana
relativaaoladoABdessetriângulo,portanto,tambémseráa
bissetriz do ângulo AOB. Analogamente, no triângulo BOC,OQéaalturaeamedianarelativaaBC,etambémébissetriz
de BOC.Assim,oânguloAOC vale (2α + 2β). No entanto,
θ = α + β.Logo,temosAOC = 2θ.
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54 Coleção EM1
Desafio
Questão 01 – Letra EComentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado:
P
A
N
CB mDxm – x
M
Pelas semelhanças entre os triângulos BMN e BAD e entreADC e PMC:
BMMN
BDAD
MN BM.ADBD
CDAD
BDAD
CMMP
MP CM.ADBD
MN MP (BM CM).ADBD
2BD.ADBD
2AD
= ⇒ =
= = ⇒ =
+ = + = =
Questão 02 – Letra CComentário:
B
A L L'H P S C
RQM M'
Sejay o lado do quadrado PQRS e ∆ ∆CMM' CQR, portanto, temos:
= ⇒ =MM'ML
yy
MM' ML
Agora,noteque:
( )( )
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒
= + ⇒ =+
BMM' BACb –MLMM'
ba
ab – a . (ML) b . MM'
ab ML a b MLaba b
Questão 03Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado, sendo xamedidadeAD=BC:
A B
D C
G4x
x3
2x3
6
F
E
OstriângulosADGeBGEsãosemelhantes,poisháumpardeângulosopostospelovérticeeoutropardeângulosalternosinternos.Assim:
= ⇒ = ⇒ = =46
BEx
BE2x3
EC x –2x3
x3
OstriângulosCEFeADFsãotambémsemelhantes,poisADéparaleloaBC,logo:
=+
⇒ =FEx3
FE 10x
FE 5
Exercícios propostos
Questão 01 – Letra AComentário:Comoosdoistriângulosapresentadosnafigurasãosemelhantes,esendohaalturadoprédio,emmetros:
= ⇒ =h
1553
h 25.
Questão 02 – Letra DComentário: Os dois triângulos retângulos constantes dafigura são semelhantes, pois possuem um par de ânguloscorrespondentes determinados em duas paralelas por umamesmatransversal.Assim,sendox a profundidade do poço, emmetros,temos:
= ⇒ =1,60,5
x1,1
x 3,52
Questão 03 – Letra BComentário: Considerando a semelhança entre os doismaiorestriângulosdafiguraechamandoamedidadesejadade h,temos:
= ⇒ =649h
h 6.
Portanto, a altura PR = 6.
Questão 04 – Letra BComentário:Observeafiguraaseguir,queilustraasituaçãodescritanoenunciado,sendoqueamoçaérepresentadapelosegmento AB, sua sombra de comprimentox (emmetros) porBCeoposteporDE:
D
A
CBE
4
1,5
2 x
ComoostriângulosABCeDECsãosemelhantes:
+= ⇒ = + ⇒ =
xx 2
1,54
4x 1,5x 3 x 1,2
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Manual do Professor
55Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 05 – Letra EComentário: Os dois triângulos constantes da figura sãosemelhantespoistêmdoisparesdeângulosalternosinternos(alémdeumpardeângulosopostospelovértice).Assim:
= ⇒ =0,5x
0,153
x 10
Questão 06 – Letra DComentário:OstriângulosAEBeACDsãosemelhantes.SendoamedidadeADchamadadex,temos:
= ⇒ =37
2,4x
x 5,6m.
Portanto,AD=5,6m.
Questão 07 – Letra AComentário:Ostriângulosdafigurasãosemelhantes,comACBcomum,ABC=EDC e BAC = DEC.
A
B E C
D6 cm
12 cm
9 cm
Chamemososperímetrosde2pABC e 2pEDC. Assim:
DEAB
2p
2p2,56
2p
12 6 92p 11,25 cm.DEC
ABC
DECEDC
= ⇒ =+ +
⇒ =
Questão 08 – Letra CComentário:Podemosobservardoistriângulossemelhantesnaseguintefigura.Sãoeleso ABC e o ECD:∆ ∆
A
E
1
C D2,5
255115
B
Assim, ABEC
BCCD
AB1
3702,5
AB 148 m.= ⇒ = ⇒ =
Questão 09 – Letra EComentário:SendoasmedidasdeDEeDB,respectivamente,x e y,pelasemelhançaentreADEeABC,temosque:
=+
= =
= ⇒ =
+= ⇒ + = ⇒ =
= + + + =
x16
10,410 y
1020
12
x16
12
x 8
10,410 y
12
y 10 20,8 y 10,8
2p 9,6 16 8 10,8 44,4
Questão 10Comentário:OstriângulosASReABDsãosemelhantespelocaso AA, pois A BD éumângulocomume S B≡ . Os pares deladoshomólogossãoRSeBD,AReAD,ASeAB.Assim:
= = =
= == =
4y
7x
510
12
y 4 . 2 8cm.x 7 . 2 14cm.
Questão 11Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescritanoenunciado,sendoqueohomemérepresentadopelosegmentoAB,suasombraporCD,suadistânciaemmetrosaté o edifício por x:
D
8 m
CEB x
A
12 m
2 m
A) ComoostriângulosEBAeECDsãosemelhantes:
= ⇒ = ⇒ =ABEB
DCEC
212– x
812
x 9m
B) EE
= =
+
= =
=
cossec C D1
sen C D
1
8
8 12
2088
4 138
132
2 2
Questão 12 – Letra CComentário: O enunciado nos diz que PAB e PCA sãosemelhantes. AB e AC são homólogos, pois estão opostosao ângulo comum. Como P C P BA A< , PC tem de ser,necessariamente,homólogoaAP.Assim,chamandoasmedidasdePCdexeadePAdey,temos:
= =+
= ⇒ =
+ =
+ =
=
68
xy
yx 7
3y 4x y4x3
3x 21 4y
3x 2116x3
x 9
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56 Coleção EM1
Questão 13 – Letra BComentário: OstriângulosADE,AFGeABCsãosemelhantespelocasoAA,jáqueBACéângulocomumeADE=AFG = ABC. ComoAB=5AD=5FB,AD=FB.
α
α
α
A
D
F
B C
G
E
x
3x
x
QueremosarazãoFGDE,quepodeserencontradapormeioda
semelhança:
DADE~D AFG
= ⇒ = ⇒ =≠
FGDE
AFAD
FGDE
4xx
FGDE
4x 0
Questão 14 – Letra BComentário:Chamandooladodolosangodex e observando queADEeABCsãosemelhantes,temos:8 – x
8x
128 – x x8 12
820
25
5x 24 x 4,8
= = ++
= =
= ⇒ =
Questão 15Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado, sendo que a pessoa é representada pelo segmentoAB,oobeliscoporDE,suadistânciaatéapessoa(emmetros)valexesuasombraéEC:
D
A
CE
12
1,8
x 4,8 – xB
ComoostriângulosABCeDECsãosemelhantes:
= ⇒ = ⇒ =1,812
4,8 – x4,8
12 –2,5x 1,8 x 4,08
Questão 16 – Letra AComentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescrita no enunciado, sendo xamedidadoladodoquadrado,emmetros:
D E
A
B C
5 – x
x x
x
10
ComoostriângulosABCeADEsãosemelhantes:
= ⇒ =5 – x
5x
10x
103
Questão 17 – Letra AComentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescritanoenunciado;xéadistânciaprocurada,emmetros:
A
x 9 – x
B
42
C DE
Comoos triângulos retângulosACEeBEDsãosemelhantes(CEA = BED):
= ⇒ =2x
49 – x
x 3
Questão 18Comentário:Observeafiguraaseguirqueilustraasituaçãodescritanoenunciado;(20+x)éocomprimentoprocurado,emmetros:
F
BE
D
A
10x
C
2020 20
4030
Como BC é paralelo a ED, os triângulos FBC e FED sãosemelhantes:
=
= ≅ ⇒ + ≅
x10
3070
x307
4,3 20 x 24,3
Assim,24éointeiromaispróximodocomprimentodeAB.
Questão 19 – Letra DComentário:Observeafiguraaseguir:
4 m
12 m 8 m
8 m
4 m
2 m
A B C
xE
D
IH
F
ConstruindoaparalelaDFaAC,temosqueostriângulosDIEeDFHsãosemelhantes.Assim:
=+
= = ⇒ =12x
12 82
202
10 x 1,2 m
Portanto,BI=4+1,2=5,2m.
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Manual do Professor
57Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 20 – Letra D
Comentário: Sendo xaalturadotriânguloABC,considerea
ilustraçãoaseguirparaaresoluçãodoproblema:
C
G xD
A E
12 12
8
8 F B
OstriângulosCDGeCABsãosemelhantes.Dessaforma,temos:
DGAB
x –12x
815
x –12x
8x 15x –180
7x 180 x1807
= ⇒
= ⇒
= ⇒
= ⇒ =
Questão 21
Comentário:Observeafiguraaseguir:
QR
B
SP
x
0,8 – y
0,4 m
0,9 m
1,2 – x
y
90 – θ90 – θ
θ
θ
V
Ostrêstriângulosdestacadosnafigurasãosemelhantespelo
casoAA.Assim,podemosescrever:
= = =
++
=+
+ =
=
=
1,2 – x0,9
x0,8 – y
0,4y
x 0,40,8 – y y
x 0,40,8
0,9x 0,36 0,96 – 0,8x
1,7x 0,6
x6
17
Questão 22 – Letra CComentário:OstriângulosABFeACEsãosemelhantes.ComoamedidadeCEétalqueCE=12+36=48m,temos,sendox a altura do prédio:
+= =
=
20x 20
1248
14
x 60 m.
Questão 23Comentário:
A) A
B
D
EC
1,512,3
4
x
ArampaérepresentadaporAC,apartecaminhadapelapessoa é CD.
B) Sendo xadistânciaemmetrosprocurada,pelasemelhançaentreCDEeABC,temos:
=+
⇒ + = ⇒
= ⇒ =
1,54
12,312,3 x
36,9 3x 98,4
3x 61,5 x 20,5 m.
Questão 24Comentário: A)
C
E
B
A
D
x
4
5 m60°
60°
1,80 m
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Analisando os triângulos CDE e CAB, temos ACB como
ângulo comum e CDE = CAB, ou seja, pelo caso AA,
DCDE~DCAB.
= ⇒+
= ⇒ = + ⇒ =CDCA
DEAB
xx 4
1,805
5x 1,80x 7,2 x 2,25 m.
B) = ⇒ = ⇒
=
A12
AC.AB.sen 60° A6,25.5. 3
22
A125 3
16m .
ABC ABC
ABC2
Questão 25
Comentário:Considereaimagemaseguirparaaresolução
da questão.
800 m
300 m
900 m
500 m
A
B
CD
T20
x
A) ATD ~ ABC: x900
20300
x 60 m.∆ ∆ = ⇒ =
B) AB 300 900 300 102 2( ) ( )= + =
SendototempoparaoteleféricodeslocardeAatéB,temos:
300¹10=1,5t⇒
t=200¹10.
Questão 26 – Letra B
Comentário:Considereailustraçãoaseguirparaaresolução
doproblema.
A
B C
2
8
6
3
ED
NotequeostriângulosADEeABCsãosemelhantes(casoAAA).
Dessaforma,temos:
ADAB
AEAC
ADAD
AD AD AD= ⇒+
= ⇒ = + ⇒ =2
6
93. 2. 4 4
Poroutrolado,tambémtemos:
DEBC
AEAC BC
BC= ⇒ = ⇒ =8 6
912
Logo,AD + BC=4+12=16.
Questão 27
Comentário: Observeafiguraaseguir:
B
10,2 m
10,2 – x14,4 cm
9,5 m 16 m
F DCQ N
M
xA
25,5 m
36 cm
Temosdeperceberque:
• Os segmentos AC, BD eMN, que representam os raios
solares,sãoparalelos;logo,ostriângulosMNQ,ACFeBDF
sãosemelhantes.
• EtambémqueMNQ = ACF = BDF.
Assim, FCQN
FAMQ
9,536
10,2 x14,4
x 6,4 m.= ⇒ =−
⇒ =
Questão 28 – Letra D
Comentário: Observeafiguraaseguir:
P 24
6x A
B
C
Q
t
s
PodemosgarantirqueospontosP, A e Q são colineares, pois
P, B e CsãocolineareseBA//CQ.Assim,ostriângulosPAB
ePQCsãosemelhantes,jáqueCPQécomumePBA=PCQ.
Assim,temos:
= ⇒ =+
⇒ =ABCQ
APQP
24
xx 6
x 6.
Logo,PQ=12.
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Manual do Professor
59Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 29 – Letra AComentário:Observeafiguraaseguir:
7B C
A
D E14
d
25
Como o triângulo ABC é retângulo, podemos concluir queACmede24cm,porumasimplesaplicaçãodoTeoremadePitágoras.OstriângulosretângulosABCeADEsãosemelhantes,poistêmumângulocomum.Assim:
+= =
=
2425 d
714
12
d 23cm.
Questão 30 – Letra CComentário: SejaO o centro da circunferência inscrita notriânguloABCeM e DpontosdetangênciadossegmentosBCeACrespectivamente,comoilustradonafiguraaseguir:
90° –
α
90° – α
α
3
3
O
A
B C
D
5
M
ADO≡AMC e DAO≡MAC.Logo,pelocritérioAA,ostriângulosDAOeMACsãosemelhantes.
AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloDAO,temos:
= + ⇒ = ⇒ =AO AD OD AD 16 AD 4 cm.2
5
2 2
3
2
2 2
Utilizandoarazãodesemelhançadasmedidascorrespondentes,temos:
= ⇒ = ⇒ =MCOD
AMAD
MC3
84
MC 6 cm.
PelofatodeotriânguloABCserisósceles,MépontomédiodosegmentoBC.Portanto:
BM=MC=6eBC=12cm.
Questão 31 – Letra AComentário: Observeafiguraaseguir:
A
B
O
C
D
H 12
16 cm
24 cm
r
16 – r
r
AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloAHC,temos:
AC2 = AH2 + HC2 ⇒ AC2=162+122 ⇒AC=20cm.
AnalisandoostriângulosAHCeADO,CAHéângulocomum.Alémdisso,ADO = AHC,oquemostraquesãosemelhantes.
Então, r12
16 r20
r 6 cm.=−
⇒ =
Aáreadocírculoédadapor:
A r A 108 cm .2
3
2= π ⇒ =π =
Tendo em
vistaqueénecessário1potedetintaparapintar5400cm²e
quehá450camisetas,onúmeron de potes pode ser expresso
daseguintemaneira:
= =n108 . 450
5 4009
Questão 32 – Letra CComentário:Astrêsprimeirasdistânciassãox–1,3x–2e2xeavelocidadedafontedeluzéconstante.Então:
3x–2–(x–1)=2x–(3x–2)⇒
3x–2–x+1)=2x–3x+2)⇒
2x–1=–x+2⇒ 3x = 3 ⇒
x=1
Concluímos, assim, que a primeiramedição indicará 0m,asegunda1m,aterceira2mea11ªmedição10m.
Logo,afiguraquerepresentaasombradafonteluminosaatéa11ªmediçãoestá representadaaseguir,epormeiodelafoi calculadoo comprimentoda sombrapor semelhançadetriângulo.
h5 m
10 m4 m
= =5h
1014
7 m.
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60 Coleção EM1
Questão 33 – Letra D
Comentário: De acordo com o enunciado, podemos esboçar
a seguinte figura:
A
C
E
FB
D G
5 m2 m
17
3 m1
5 m 12 m d 2 x
Os triângulos ABC, CDE e FGE são semelhantes. Então:
I. ∆ABC ~ ∆FGE:
= ⇒ = ⇒ =ABFG
BCGE
2117x
x 8,5m.
II. ∆ABC ~ ∆CDE:
= ⇒ =+ +
⇒ =ABCD
BCDE
23
17d 2 8,5
d 15 m.
Questão 34 – Letra E
Comentário: Os triângulos ABC e CDF são semelhantes,
pois possuem dois pares de ângulos alternos internos. Logo,
ambos serão equiláteros, sendo CE a altura de CDF e 2CO a
medida da altura de ABC. 2CO = 2 . 9,15 = 18,3 m e CE =
55 – 16,5 – 9,15 = 29,35 m. A distância BD é a soma dos lados
dos dois triângulos equiláteros, cujas alturas conhecemos.
Lançando mão da expressão que dá a altura de um triângulo
equilátero em função de seu lado, teremos:
+ = = ⇒ = =18,3 29,35 47,65BD 3
2BD
95,3 33
953 330
.
Questão 35
Comentário: Observe a figura a seguir:
B AP
R
H
9 3
2,43 x
Os triângulos BPR e ABH são semelhantes, já que RP é paralelo
a AH. Assim, sendo x a altura alcançada pelo jogador, podemos
escrever:
=
=
912
2,43x
x 3,24 m.
Questão 36 – Letra DComentário: Considere a fi gura a seguir:
A
DE
hb
a3 m
9 m
bCB H
a
Sejam a e b as alturas dos triângulos AEB e DEC, de base AB e CD, respectivamente.
Os triângulos ABE e DCE são semelhantes.
⇒
A B D C opostos pelo vértice
A E C E alternos
E EB D
=
=
( )
( interrnos
internos
)
( )B E D E alternosA C=
Daí, 93
= ab
⇒ a = 3b.
B E B D
H E C D
H CB B
=
=
⇒ Os triângulos BHE e BCD são semelhantes pelo caso AA (ângulo, ângulo).
Daí, h a
a b3=
+ ⇒ h =
3aa b+
⇒ h = +
=3(3b)3b b
9b4b
= 2,25,
pois b > 0.
Portanto, as barras se encontram a uma altura de 2,25 m do chão.
Questão 37 – Letra AComentário: Sendo x a distância medida em centímetros procurada, pela semelhança teremos:
= ⇒ =x40
40100
x 16 cm.
Seção Enem
Questão 01 – Letra BEixo cognitivo: II
Competência de área: 2
Habilidade: 7
Comentário: O mosaico que tem as características daquele
que se pretende construir é o mosaico 2. Nele, os triângulos
30°, 60°, 90° são congruentes e o triângulo 30°, 30°, 120°
é isósceles.
No mosaico 1, o triângulo 30°, 30°, 120° é isósceles, mas os
triângulos 30°, 60°, 90° não são congruentes.
No mosaico 3, os triângulos 22°, 68°, 90° são congruentes,
mas o triângulo 44°, 46°, 90° não é isósceles.
Nos mosaicos 4 e 5 não é possível formar um triângulo retângulo
com as três peças.
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Manual do Professor
61Bernoulli Sistema de Ensino
Questão 02 – Letra CEixo cognitivo:III
Competência de área: 2
Habilidade:8
Comentário:DenotandoamedidadeEFporx, AF = a e BF = b, podemosaplicarsemelhançadetriângulosentreBEFeBACeentreAEFeABD.Assim:
+=
+=
ba b
x4e
aa b
x6
Dividindo uma equação pela outra, concluímos que =b3a2
. Substituindonasegundaequação,temos:
+= = ⇒ =a
a 3a2
25
x6
x 2,4 m.
Questão 03 – Letra EEixo cognitivo:II
Competência de área: 2
Habilidade: 7
Comentário:Considereafiguraaseguir:
M
a
a
bb N C
B
P
A
Os triângulos ABC eNMC são semelhantes e sua razão de
proporcionalidadek=BCMC
=2.Logo,arazãoentreasáreas
dostriângulosABC(SABC) e NMC (SNMC)ék2 = 4.
Portanto, S S
SABMN NMC
NMC
+ = 4 ⇒ SABMN = 3.SNMC.
Questão 04 – Letra D Eixo cognitivo:III
Competência de área: 2
Habilidade: 8
Comentário: Sejama, b e c o comprimentodosdegraus,conformeafiguraaseguir:
30
60
A
a
b
c
B
F
CD
E
Note que bébasemédiadotrapézioABCD,aébasemédiado
trapézioABFE,ecébasemédiadeEFCD.Logo:
=+
=
=+
=
=+
=
⇒ + + + + =
b30 60
245
ab 30
2752
cb 60
21052
30 a b c 60 225
Questão 05 – Letra BEixo cognitivo:IV
Competência de área: 2
Habilidade: 9
Comentário: Sejahaalturadoposte.Usandoasemelhançanostriângulosformadospelapessoaesuasombraepeloposte
esuasombra,nomomentoinicial,temos:
= ⇒ =1,80 m60 cm
h200 cm
h 6 m.
Utilizando,novamente,asemelhançaesendox o novo valor
dasombradapessoa,temos:
=−
⇒ =1,80 m
x6 m
200 cm 50 cmx 45 cm.
Questão 06 – Letra AEixo cognitivo:IV
Competência de área: 2
Habilidade:9
Comentário: De acordo com o enunciado, temos doistriângulossemelhantes.Observe:
MNS
3 m
H
P
5 m
R
¹3 m
O comprimento RS corresponde à altura de um triângulo
equiláterodelado2m,ouseja,RS= 3 .
ComoDMNP~DMSR,temos:
= ⇒
=
3H
38
H8 33
m.
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62 Coleção EM1
Questão 07 – Letra CEixo cognitivo:IV
Competência de área: 2
Habilidade:9
Comentário:Deacordocomoenunciado,podemosesboçaraseguintefigura:
α
α
B10 dm
6 dm
45 cm
C
x
A
DDE
Primeiramente, temos de converter os comprimentos àmesmaunidade,nocaso,decímetro.Assim,notriânguloBCD, aalturarelativaàbaseCDvale4,5dm.AplicandooTeoremadePitágorasnotriânguloBED,temos:
BD2=BE2+ED2 ⇒
BD2 = 20,25+36⇒
BD=7,5
Note que os triângulos ACB e BED são semelhantes pelocasoAA,logo:
= ⇒
=
x6
107,5
x 8 dm.
Questão 08 – Letra DEixo cognitivo:IV
Competência de área: 2
Habilidade:9
Comentário:Observeafiguraaseguir:
C E
H
4 m
B
D
Calçada
F
2 m
α
α
10 m
G
Temos BCE = BDG e BEC = BGD.Logo,ostriângulosBCEeBDGsãosemelhantespelocasoAA:
=+
⇒
=
42
4 H10
H 16 m.
Sugestões de leitura para o professor•AMatemáticadoEnsinoMédio.E.L.Limaetal.SBM.
•AnáliseCombinatóriaeProbabilidade.AugustoC.Morgadoetal.SBM.
•CálculoparaCiênciasMédicaseBiológicas.AlbertoFlávioAlvesAguiar;JoséEunyRodriguesMoreira;XAVIER,AirtonFonteneleSampaio.Harbra.
• Elementarymathematics:selectedtopicsandproblemsolving.G.Dorofeev;M.Potapov;N.MirRozov.
• IntroduçãoàhistóriadaMatemática.H.UnicampEves.
•MecânicaVetorialparaEngenheiros.FerdinandP.Beer;E.RussellJohnstonJr.Pearson(MakronBooks).
•RevistadoprofessordeMatemática.SBM.
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