matematica aplicada´ a` tecnologos´

Matematica Aplicada aTecnologos

(Notas de Aula)

Sergio de Albuquerque Souza

Ver: 15 de junho de 2021

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Sumario

1 Relacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Produto Cartesiano 6

1.2 Relacao 7

1.3 Domınio e Imagem 10

2 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Funcao Polinomial 17

2.2 Funcao Constante 18

2.3 Funcao do 1º Grau 202.3.1 Coeficiente Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Coeficiente Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Raiz da Funcao do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Funcao Quadratica - 2º Grau 25

2.5 Funcao Exponencial 31

2.6 Funcao Logarıtmica 36

2.7 Funcao Modular 41

2.8 Transformacoes Graficas 42

3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1 Definicao Informal de Limite 51

3.2 Definicao Formal de Limite 52

3.3 Propriedades dos Limites 53

3.4 Exemplos 54

4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Definicao 59

4.2 Propriedades da Continuidade 60

4.3 Exemplos 61

5 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1 Preliminares 65

5.2 Definicao da Derivada 68

5.3 Propriedades das Derivadas 69

5.4 Valores Crıticos 82

5.5 Funcao Crescente e Decrescente 83

5.6 Maximos e Mınimos 86

5.7 Concavidades 88

5.8 Algumas Aplicacoes 89

6 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1 Integral Indefinida (Primitiva) 956.1.1 Regras Basicas das Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Integracao por Substituicao 107

6.3 Integracao por Partes 110

6.4 Integral Definida 1136.4.1 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5 Aplicacoes 1246.5.1 Populacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5.2 Desvalorizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5.3 Valorizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.5.4 Receita Futura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Produto CartesianoRelacaoDomınio e Imagem

1 — Relacoes

No dia-a-dia, ocorrem diversas situacoes que descrevem associacoesentre pessoas, entre objetos, entre numeros, entre pessoas e objetos, enfimentre esses conjuntos, cujos elementos sao caracterizados por algumapropriedade, podem existir uma relacao entre elas.

� Exemplo 1.1 Considere os seguintes conjuntos:

• P = {Abraao, Ana, . . ., Zenildo } das pessoas;

• N= {1,2,3, . . .} nos numeros naturais.

Podemos relacionar esses conjuntos:

a) Pela idade, associando os conjuntos P e N, pois cada pessoa temuma idade;

b) Pelo CPF, associando os conjuntos P e N, pois cada pessoa tem umCPF;

c) Pelo parentesco, associando os conjuntos P e P, pois cada pessoatem um parente;

d) Pelo triplo, associando os conjuntos N e N, pois cada numero nassocia-se o 3n.

�

6 Relacoes

1.1 Produto CartesianoDefinicao 1.1 — Produto Cartesiano.

Dados dois conjuntos A e B nao vazios, definimos o produto cartesi-anoa entre os conjuntos A e B, denotado por A×B, como o conjunto detodos os pares ordenados da forma (a,b) onde a pertence ao primeiroconjunto A e b pertence ao segundo conjunto B, ou seja

A×B = {(a,b) | a ∈ A e b ∈ B} (1.1)

aPlano Cartesiano e Produto Cartesiano sao homenagens ao seu criador Rene Descartes (1596-1650), filosofo e matematico frances. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daı vem o nomecartesiano.

Observacao 1.1. Em relacao ao produto cartesiano temos:

a) Se A e nao vazio ou B e nao vazio e A 6= B, entao A×B 6= B×A.

b) Se A = {} ou B = {}, por definicao:

A×{}= {}= {}×B.

c) Se A possui a elementos e B possui b elementos, entao A×B possuia×b elementos.

d) A×A e representado por A2.

� Exemplo 1.2 Considerando os seguintes conjuntos

A = {a,b,c,d,e} e B = {1,2,3,4}

Teremos os seguintes produtos cartesianos:

a) A×B e um conjunto formado por 5×4 = 20 pares ordenados:

A×B =

(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4)

b) B×A e um conjunto formado por 4×5 = 20 pares ordenados:

B×A =

(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(1,e),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(2,e),(3,a),(3,b),(3,c),(3,d),(3,e),(4,a),(4,b),(4,c),(4,d),(4,e)

1.2 Relacao 7

Figura 1.1: Representacao grafica do Produto Cartesiano A×B.

c) A2 = A×A e um conjunto formado por 5×5 = 25 pares ordenados:

A2 =

(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e)

d) B2 = B×B e um conjunto formado por 4×4 = 16 pares ordenados:

B2 =

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)

�

1.2 RelacaoDefinicao 1.2 — Relacao.

Dados dois conjuntos nao vazios A e B quaisquer, diremos que umarelacao R de A em B e definido como um subconjunto do produtocartesiano A×B, ou seja, R ⊆ A×B.

� Exemplo 1.3 Consideres as relacoes abaixo entre os conjuntos dados noExemplo 1.2:

a) R1 =

{(a,3),(b,3),(c,2),(c,3),

(d,2),(d,3),(e,4)

}

8 Relacoes

Figura 1.2: Relacao R1 usando diagrama de Venn.

b) R2 = {(a,1),(b,1),(c,1),(d,1),(e,1)}


c) R3 = {(a,1),(a,2),(a,3),(a,4)}


1.2 Relacao 9

d) R4 = A×B


�

Observacao 1.2. Considerando uma relacao R de A em B, temos que:

a) A relacao pode ser denotada por R : A→ B.

b) O conjunto A e chamado de conjunto de partida e B o conjunto dechegada da relacao.

c) Denotaremos tambem que (a,b) ∈R por aRb, ou seja, o ementoa ∈ A esta relacionado com o elemento b ∈ B pela relacao R.

� Exemplo 1.4 Considerando os conjuntos

A = {1,2,3,4,5}B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

as relacoes entre esses dois conjuntos, tambem podem ser definidos porregras, como expressos nas relacoes abaixo:

a) R1 = {(a,b) ∈ A×B | a = b}, ou seja,

R1 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

b) R2 = {(a,b) ∈ A×B | a = 2b}, ou seja,

R2 = {(2,1),(4,2)}

c) R3 = {(a,b) ∈ A×B | 2a = b}, ou seja,

R3 = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}

10 Relacoes

d) R4 = {(a,b) ∈ A×B | a2 = b}, ou seja,

R4 = {(1,1),(2,4),(3,9)}

e) R5 = {(a,b) ∈ A×B | a = b2}, ou seja,

R5 = {(1,1),(4,2)}

f) R6 = {(a,b) ∈ B×B | a = b2}, ou seja,

R6 = {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}

�

1.3 Domınio e ImagemDefinicao 1.3 Seja R uma relacao entre os conjuntos nao vazios A e B,entao:

a) O Domınio da relacao R e o subconjunto de A definido por:

Dom(R) = {a ∈ A | (a,b) ∈R} ⊂ A (1.2)

b) A Imagem da relacao R e o subconjunto de B definido por:

Im(R) = {b ∈ B | (a,b) ∈R} ⊂ B (1.3)

� Exemplo 1.5 Considerando os conjuntos e as relacoes do Exemplo 1.4.

a) Para R1 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}, temos:

Dom(R1) = {1,2,3,4,5}= A eIm(R1) = {1,2,3,4,5}= A⊂ B

b) Para R2 = {(2,1),(4,2)}, temos:

Dom(R2) = {2,4} eIm(R2) = {1,2}

c) Para R3 = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}, temos:

Dom(R3) = {1,2,3,4,5}= A eIm(R3) = {2,4,6,8,10}

1.3 Domınio e Imagem 11

d) Para R4 = {(1,1),(2,4),(3,9)}, temos:

Dom(R4) = {1,2,3} eIm(R4) = {1,4,9}

e) Para R5 = {(1,1),(4,2)}, temos:

Dom(R5) = {1,4} eIm(R5) = {1,2}

f) Para R6 = {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}, temos:

Dom(R6) = {0,1,4,9} eIm(R6) = {0,1,2,3}

�

Definicao 1.4 Dada uma relacao R ⊆ A× B, podemos classifica-lacomo:

a) Total: Se para todo a ∈ A, existe pelo menos um b ∈ B, tal que(a,b) ∈R, ou seja, todo elemento de A se relaciona com algumde B.

b) Sobrejetora: Se para todo b ∈ B, existe pelo menos um a ∈ A,tal que (a,b) ∈ R. E o inverso da total, todo elemento de B erelacionado com algum em A.

c) Funcional Se para todo a ∈ A existe um unico b ∈ B, tal que(a,b) ∈R, ou seja, um elemento de A nao pode se relacionar commais de um elemento em B.

d) Injetora Se para todo b∈B existe um unico a∈A, tal que (a,b)∈R, ou seja, o contrario da funcional, um elemento de B nao podeser relacionado com dois ou mais elementos em A diferentes.

e) Monomorfismo Se ela e total e injetora.

f) Epimorfismo se ela e funcional e sobrejetora.

g) Isomorfismo se ela e um monomorfismo e um epimorfismo.

No proximo capıtulo trataremos de uma relacao total e funcionalbastante especial.

Funcao PolinomialFuncao ConstanteFuncao do 1º Grau

Coeficiente LinearCoeficiente AngularRaiz da Funcao do 1º Grau

Funcao Quadratica - 2º GrauFuncao ExponencialFuncao LogarıtmicaFuncao ModularTransformacoes Graficas

2 — Funcoes

Definicao 2.1 — Funcao.

Uma funcao f de A em B e uma relacao contida em A×B, na qualassocia cada elemento a ∈ A a um unico elemento b = f (a) ∈ B, ouseja, f e uma relacao total e funcional.

f = {(a, f (a)) ∈ A×B | a ∈ A e f (a) ∈ B} (2.1)

Uma das notacoes mais usadas para uma funcao de A em B, e:

f : A−→ B (2.2)a 7−→ b = f (a)

onde f (a) e o elemento em B associado ao elemento a∈ A e le-se como“efe de a”.

� Exemplo 2.1 Exemplos de relacao que sao funcoes e que nao sao funcoes:

a) Sao funcoes:As relacoes R1 e R3 do Exemplo 1.4 sao funcoes, pois cada ele-mento a ∈ A esta relacionado com um unico elemento b ∈ B;

b) Nao sao funcoes:As demais relacoes do Exemplo 1.4 nao sao funcoes, pois exitem ele-mentos do conjunto de partida sem um correspondente no conjuntode chegada.

�

14 Funcoes

Observacao 2.1. Quatro aspectos chamam a atencao na definicao deuma funcao f : A−→ B, a saber:

a) O domınio A da relacao.

b) O contradomınio B da relacao.

c) Todo elemento de A deve ter correspondente em B.

d) Cada elemento de A so podera ter um unico correspondente nocontradomınio B.

Estas caracterısticas nos informam que uma funcao pode ser vistageometricamente como um conjunto de pontos no plano cartesiano, con-tidos em A×B, que so pode ser “cortada” uma unica vez por uma retavertical, qualquer que contenha o ponto.

� Exemplo 2.2 Considere as relacoes R1 e R2, exibidas na Figura 2.1, edefinida por:

R1 ={(x,y) ∈ R×R | y = x2 +4x+2

}R2 =

{(x,y) ∈ R×R | (x−2)2 +(y−1)2 = 2

}e observe que R1 e uma funcao e R2 nao e. �

Figura 2.1: Representacao grafica das relacoes R1 e R2.

Observacao 2.2. Vamos considerar deste ponto em diante que todas asfuncoes, usadas e definidas por quaisquer letras, tenham o conjunto

15

domınio Dom e imagem Im, como intervalos contidos no conjunto dosnumeros reais R.

Observacao 2.3. Usaremos as seguintes notacoes e as representacoesgraficas para os intervalos numericos:

a) O sımbolo “ ◦” representando o ponto (aberto) nao pertencente aointervalo;

b) O sımbolo “ •” representando o ponto (fechado) pertencente aointervalo;

c) (a,b) = {x ∈ R | a < x < b}(intervalo aberto)

a b R

d) [a,b] = {x ∈ R | a≤ x≤ b}(intervalo fechado)

a b R

e) (a,b] = {x ∈ R | a < x≤ b}(intervalo aberto a esquerda e fechado a direita)

a b R

f) [a,b) = {x ∈ R | a≤ x < b}(intervalo fechado a esquerda e aberto a direita)

a b R

g) (a,∞) = {x ∈ R | a < x}(intervalo aberto a esquerda e infinito a direita)

a R

16 Funcoes

h) [a,∞) = {x ∈ R | a≤ x}(intervalo fechado a esquerda e infinito a direita)

a R

i) (−∞,b) = {x ∈ R | x < b}(intervalo infinito a esquerda e aberto a direita)

b R

j) (−∞,b] = {x ∈ R | x≤ b}(intervalo infinito a esquerda e fechado a direita)

bR

� Exemplo 2.3 Considere a funcao f do intervalo (1,3) em [0,4] definidapor:

f : (1,3) −→ [0,4]x 7−→ x+1

ou seja, definida como f (x) = x+1, exibida na Figura 2.2. Observe que:

• O domınio Dom( f ) = (1,3) e

• A imagem Im( f ) = (2,4).

�

Figura 2.2: Representacao grafica da funcao f (x) do Exemplo 2.3.

2.1 Funcao Polinomial 17

Definicao 2.2 — Zeros.

Chamaremos de zeros (ou raızes) de uma funcao f (x) ao conjuntoformado por todos os valores de z∈R tais que a imagem f (z) seja zero,ou seja,

Z( f ) = {z ∈ R | f (z) = 0} (2.3)

� Exemplo 2.4 Considere a funcao f definida por:

f : R −→ Rx 7−→ x+1

ou seja, definida como f (x) = x+1, portanto para determinar os zeros dafuncao f (x) resolveremos a equacao f (x) = 0, ou seja:

f (x) = 0 =⇒ x+1 = 0 =⇒ x =−1

logo Z( f ) = {−1} �

Nas proximas secoes serao definidas varios tipos de funcoes e as suasprincipais caracterısticas.

2.1 Funcao PolinomialDefinicao 2.3 — Funcao Polinomial.

Uma funcao f de R em R e chamada de funcao polinomial de grau nse ela for definida como:

f (x) = a0 +a1x+a2x2 + · · ·+anxn (2.4)

= a0x0 +a1x1 +a2x2 + · · ·+anxn

=n

∑i=0

aixi

em que:

• ai ∈ R sao chamados de coeficientes do termo de grau i, ∀i =1, . . . ,n e

• aixi sao chamados de monomios de grau i.

� Exemplo 2.5 Considere alguns exemplos de funcoes polinomiais:

a) p(x) = 1+2x+3x2 +4x3 +5x4

18 Funcoes

Chamada de funcao polinomial, ou simplesmente polinomio do 4ºgrau, com os coeficientes a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4 e a4 = 5.

Em geral sao colocados os termos do maior para o menor grau, ouseja, a funcao p(x) e reescrita da forma

p(x) = 5x4 +4x3 +3x2 +2x+1

b) h(x) = x2 +2x+3

Chamada de funcao quadratica (ou funcao do 2º grau), com oscoeficientes a0 = 3, a1 = 2 e a1 = 1.

c) g(x) =−2x+3

Chamada de funcao afim (ou funcao do 1º grau), com os coeficientesa0 = 3 e a1 =−2.

d) f (x) = 4

Chamada de funcao constante, onde a0 = 4 e os demais coeficientesai = 0,∀i > 0.

�

2.2 Funcao ConstanteDefinicao 2.4 — Funcao Constante.

Uma funcao polinomial de grau zero f de R em R e chamada de funcaoconstante, ou seja, e uma funcao definida por:

f (x) = a0 = k (2.5)

Caracterısticas de uma funcao constante:

• O domınio Dom( f ) = R e

• A imagem e Im( f ) = {k} e

• O grafico de f (x) e uma reta paralela ao eixo x, passando peloponto (0,k), no eixo y.

� Construindo o Grafico 2.1 Usando os valores da Tabela 2.1 e marcandoos pontos no plano cartesiano, teremos a representacao grafica naFigura 2.3.

2.2 Funcao Constante 19

Tabela 2.1: Valores para a funcao constante f (x) = 1.x f (x) Ponto−2 f (−2) = 1 (−2,1)−1 f (−1) = 1 (−1,1)0 f (0) = 1 (0,1)1 f (1) = 1 (1,1)2 f (2) = 1 (2,1)

Figura 2.3: Grafico da funcao constante f (x) = 1 e a representacao dos pontos databela.

� Exemplo 2.6 Considere as funcoes constantes f (x) = 1 e g(x) = −2exibidas na Figura 2.4 e observe que sao paralelas ao eixo x e passampelos pontos A = (0,1) e B = (0,−2) respectivamente. �

20 Funcoes

Figura 2.4: Graficos das funcoes constantes f (x) = 1 e g(x) =−2

2.3 Funcao do 1º GrauDefinicao 2.5 — Funcao do 1º Grau.

Uma funcao polinomial de grau um f de R em R e chamada de funcaodo 1º grau, tambem chamada de funcao do primeiro grau, e umafuncao definida por:

f (x) = ax+b , com a 6= 0 (2.6)

com a0 = b e a1 = a de forma simplificada.

Caracterısticas de uma funcao do 1º grau:

• O domınio Dom( f ) = R.

• A imagem e Im( f ) = R.

• O grafico de f (x) tambem e uma reta, porem nao e paralela ao eixox.

• Se b 6= 0 a funcao do 1º grau recebe o nome de funcao afim.

• Se b = 0 a funcao do 1º grau recebe o nome de funcao linear.


2.3 Funcao do 1º Grau 21

Tabela 2.2: Valores para a funcao do 1º grau f (x) = x.x f (x) Ponto−2 f (−2) =−2 (−2,−2)−1 f (−1) =−1 (−1,−1)0 f (0) = 0 (0,0)1 f (1) = 1 (1,1)2 f (2) = 2 (2,2)

Figura 2.5: Grafico da funcao do 1º grau f (x) = x e a representacao dos pontos databela.

� Exemplo 2.7 Considere as funcoes f (x)= 2x+2 e g(x)=−x−2 exibidasna Figura 2.6 �

22 Funcoes

Figura 2.6: Graficos das funcoes f (x) = 2x+2 e g(x) =−x−2

Observacao 2.4. Os termos a e b, de uma funcao do 1º grau definidaspor f (x) = ax+ b, sao chamados de coeficiente angular e coeficientelinear respectivamente.

2.3.1 Coeficiente LinearO coeficiente linear b e o termo independente da variavel x na funcao do1º grau f (x) = ax+b e observe que e exatamente o valor onde o graficoda funcao corta o eixo y.

Isto se verifica, pelo simples fato de que o ponto

(0, f (0)) = (0,a0+b) = (0,b)

pertence ao grafico da funcao e ao eixo y.

2.3.2 Coeficiente AngularO coeficiente angular a e o termo dependente da variavel x na funcao do1º grau f (x) = ax+b. O valor de a indica o coeficiente angular (tanα)da reta, representada pelo grafico da funcao f (x), faz em relacao ao eixox.

2.3.3 Raiz da Funcao do 1º GrauPara determinar o conjunto Z( f ), ou seja, a raiz ou o zero da funcao do1º grau f (x) = ax+b, ou de maneira geometrica, o valor onde o graficoda funcao intercepta o eixo x, deve-se resolver a seguinte equacao:

f (x) = 0 =⇒ ax+b = 0

2.3 Funcao do 1º Grau 23

tendo como solucao

x =−ba

logo ha apenas uma raiz

Z( f ) ={−b

a

}Observacao 2.5. Relembrando um pouco das propriedades dos triangulosretangulos, na Figura 2.7, temos que, a tangente do angulo α do trianguloABC e determinado como:

tanα =comprimento do Cateto Oposto

comprimento do Cateto Adjacente(2.7)

Figura 2.7: Elementos de um triangulo retangulo ABC, com relacao ao angulo α .

� Exemplo 2.8 Seja f (x) = 2x+ 2 conforme o grafico da Figura 2.8, econsidere o triangulo AOC formado entre o grafico e os eixos cartesianos,portanto temos que:

a) Cateto Oposto:Distancia entre os pontos A = (0,2) e a origem O = (0,0), ou seja,e variacao dos valores da ordenada y:

∆y = (yA− yO) = 2−0 = 2

24 Funcoes

b) Cateto Adjacente:Distancia entre os pontos C = (−1,0) e a origem O = (0,0), ou seja,e variacao dos valores da coordenada x:

∆x = (xO− xA) = 0− (−1) = 1

Figura 2.8: Triangulo AOC formado pelos eixos cartesianos e o grafico de f (x) = 2x+2.

Portanto temos que o coeficiente angular da funcao f (x) = 2x + 2 edefinido geometricamente como:

a = tanα =∆y∆x

=21= 2

�

� Exemplo 2.9 Seja g(x) = −x− 2 conforme o grafico da Figura 2.9, econsidere o triangulo AOC formado entre o grafico e os eixos cartesianos,portanto temos que:

a) Cateto Oposto:Distancia entre os pontos A = (0,−2) e a origem O = (0,0), ou seja,e variacao dos valores da ordenada y:

∆y = (yA− yO) = 0− (−2) = 2

b) Cateto Adjacente:Distancia entre os pontos C = (−2,0) e a origem O = (0,0), ou seja,e variacao dos valores da coordenada x:

∆x = (xO− xA) = 0− (−2) = 2


Figura 2.9: Triangulo AOC formado pelos eixos cartesianos e o grafico de g(x) =−x−2.

Como α +β = 180o, temos que:

tanα = tan(180o−β ) =− tanβ

Portanto temos que o coeficiente angular da funcao g(x) = −1x− 2 edefinido geometricamente como:

a = tanα =−(tanβ ) =−(

∆y∆x

)=−2

2=−1

�

2.4 Funcao Quadratica - 2º GrauDefinicao 2.6 — Funcao Quadratica.

Uma funcao polinomial de grau dois f de R em R e chamada defuncao quadratica, tambem chamada de funcao do segundo grau, euma funcao definida por:

f (x) = ax2 +bx+ c , com a 6= 0 (2.8)

com a0 = c, a1 = b e a2 = a de forma simplificada.

Caracterısticas de uma funcao quadratica:

• O grafico de f (x) e uma parabola e

• Possui um ponto V = (Vx,Vy) de maximo (ou mınimo) chamado devertice da parabola e

26 Funcoes

• O grafico possui uma caracterıstica de ser simetrica em relacao auma reta vertical que passa passa pelo vertive V e


• A imagem Im( f ) e um intervalo do tipo [Vy,∞) ou (−∞,Vy] com Vysendo a ordenada do vertice V .


Tabela 2.3: Valores para a funcao constante f (x) = x2.x f (x) Ponto−2 f (−2) = (−2)2 = 4 (−2,4)−1 f (−1) = (−1)2 = 1 (−1,1)0 f (0) = (0)2 = 0 (0,0)1 f (1) = (1)2 = 1 (1,1)2 f (2) = (2)2 = 4 (2,4)

Figura 2.10: Grafico da funcao quadratica f (x) = x2 e a representacao dos pontos databela.

Observacao 2.6. Dado uma equacao do segundo grau

ax2 +bx+ c = 0, com a 6= 0 (2.9)

Dependendo do valor ∆ = b2−4ac , chamado de discriminante daequacao do 2º grau, podemos ter:


∆ > 0: a Equacao 2.9 admite duas solucoes reais:

x1 =−b−

√∆

2ae x2 =

−b+√

∆

2a

∆ = 0: a Equacao 2.9 admite uma unica solucao real:

x1 =−b2a

∆ < 0: a Equacao 2.9 nao admite solucoes reais.

� Exemplo 2.10 Seja a funcao quadratica definida por f (x) = x2 + x− 2conforme o grafico da Figura 2.11, com os valores a = 1, b = 1 e c =−2.

a) Para determinar os zeros ou raızes da funcao f (x), ou seja, os valoresnos quais f (x) = 0, obtemos a seguinte equacao do segundo grau:

f (x) = 0 =⇒ x2 + x−2 = 0 (2.10)

Figura 2.11: Grafico da funcao f (x) = x3 + x−2 e a representacao do vertice V .

b) Temos dessa Equacao 2.10 que o discriminante:

∆ = (1)2−4 · (1) · (−2) = 9 > 0

logo a equacao possui duas solucoes, a saber:

x1 =−(1)−

√9

2 · (1)=−1−3

2=−42

=−2

x2 =−(1)+

√9

2 · (1)=−1+3

2=

22= 1

28 Funcoes

c) Logo x1 = −2 e x2 = 1 sao as raızes da funcao f (x) = x2 + x− 2,pois

f (x1) = f (−2) =

= (−2)2 +(−2)−2 =

= 4−2−2 =

f (−2) = 0

f (x2) = f (1) =

= (1)2 +(1)−2 =

= 1+1−2 =

f (1) = 0

d) Graficamente essas raızes, no caso, significam os pontos do graficoda funcao interceptam (cortam) o eixo x, como podem ser observadosno Figura 2.11 pelos pontos

R1 = (x1,0) = (−2,0) eR2 = (x2,0) = (1,0)

e) O vertice V = (Vx,Vy) (Figura 2.11) no caso e o ponto de menorvalor da funcao f (x), sendo determinado por:

Vx =x1 + x2

2=− b

2a(media aritmetica)

Vy = f (Vx) = f(− b

2a

)=− ∆

4a

Logo V =

(−1

2,−9

4

)= (−0.5 , −2.25), pois:

Vx =−b

2a=− 1

2 · (1)=−1

2=−0.5

Vy =−∆

4a=− 9

4 · (1)=−9

4=−2.25

�


� Exemplo 2.11 Seja a funcao quadratica definida por g(x) = x2 conformeo grafico da Figura 2.12, com os valores a = 1, b = 0 e c = 0.

Figura 2.12: Grafico de g(x) = x2 e representacao do vertice V .

a) Para determinar os zeros ou raızes da funcao g(x), ou seja, os valoresnos quais g(x) = 0, obtemos a seguinte equacao do segundo grau:

g(x) = 0 =⇒ x2 = 0 (2.11)


∆ = (0)2−4 · (1) · (0) = 0

logo a equacao possui uma solucao, a saber:

x1 =−(0)−

√0

2 · (1)=

02= 0

c) Logo x1 = 0 e a raiz da funcao g(x) = x2, pois

g(x1) = f (0) = (0)2 = 0

d) Graficamente essa raiz, no caso, o ponto de intersecao da parabolacom o eixo x coincide com o vertice, como pode ser observado noFigura 2.12 pelo ponto

R1 = (x1,0) = (0,0) =V

30 Funcoes

e) O vertice V = (Vx,Vy) (Figura 2.12), no caso, ja esta determinado,porem aplicando a regra acima descrita, temos:

Vx =−b2a

=− 02 · (1)

= 0

Vy =−∆

4a=− 0

4 · (1)= 0

ou seja, V = (0,0)

�

� Exemplo 2.12 Seja a funcao quadratica definida por h(x) = x2−4x+5conforme o grafico da Figura 2.13, com os valores a = 1, b =−4 e c = 5.

a) Para determinar os zeros ou raızes da funcao h(x), ou seja, os valoresnos quais h(x) = 0, obtemos a seguinte equacao do segundo grau:

h(x) = 0 =⇒ x2−4x+5 = 0 (2.12)


∆ = (−4)2−4 · (1) · (5) = 16−20 =−4 < 0

logo essa equacao nao possui solucao real.

Figura 2.13: Grafico da funcao h(x) = x2−4x+5 e a representacao do vertice V .

c) Graficamente a nao existencia de uma raiz real, significa que nao haintersecao da parabola com o eixo x.


d) O vertice V = (Vx,Vy) (Figura 2.13). como nos casos aplica-se aregra acima descrita, portanto temos:

Vx =−b

2a=− (−4)

2 · (1)=

42= 2

Vy =−∆

4a=− (−4)

4 · (1)= 1

ou seja, V = (2,1)

�

Observacao 2.7. Toda funcao do segundo grau, descrita por uma parabolapossui concavidade voltada para cima ou voltada para baixo. O valor docoeficiente a determina a direcao da concavidade:

a) Se a > 0, a concavidade e positiva, ou seja, a concavidade e voltadapara cima (ver grafico azul da Figura 2.14).

b) Se a < 0, a concavidade e negativa, ou seja, a concavidade e voltadapara baixo (ver grafico vermelho da Figura 2.14).

Figura 2.14: Graficos de duas funcoes quadraticas, uma com concavidade positiva(a > 0) e outra com concavidade negativa (a < 0)

2.5 Funcao Exponencial

32 Funcoes

Definicao 2.7 — Potencia de um Numero.

Seja b um numero real e seja n inteiro, definimos:

a) b0 = 1, se b 6= 0;

b) b1 = b e

c) bn = b×b×·· ·×b︸︷︷︸n vezes

, se n for maior que 1.

Na potencia bn, o numero b e chamado de base da potencia e o numeron e chamado de expoente.

Algumas propriedades de potenciacao serao relembradas e mostradasa seguir, considerando os valores a,b,c ∈ R:

P1 – Produto de Potencia de Mesma Base:

ba×bc = b(a+c)

� Exemplo 2.13 53×52 = 5(3+2) = 55 = 3125 �

P2 – Quociente de Potencia de Mesma Base:

ba

bc = b(a−c)

� Exemplo 2.1453

52 = 5(3−2) = 51 = 5 �

P3 – Potencia de uma Potencia:

(ba)c = b(a×c)

� Exemplo 2.15(53)2

= 5(3×2) = 56 = 15.625 �

P4 – Potencia do Produto:


(b×a)c = bc×ac

� Exemplo 2.16 (5×3)2 = 52×32 = 25×9 = 225 �

P5 – Potencia do Quociente:

(ba

)c

=bc

ac

� Exemplo 2.17

(53

)2

=52

32 =259

�

P6 – Potencia Negativa:

b(−a) =1ba

� Exemplo 2.18 5−3 =153 =

1125

�

P7 – Potencia Fracionaria:

b(a/c) =c√

ba

� Exemplo 2.19 25(1/2) =2√

251 =√

25 = 5 �

Definicao 2.8 — Funcao Exponencial.

Uma funcao exponencial f e uma funcao definida por:

f (x) = bx (2.13)

com b > 0 e b 6= 1 denominado de base e x o expoente.

Caracterısticas de uma funcao exponencial:


• A imagem e Im( f ) = (0,∞) e

34 Funcoes

• O grafico da funcao f (x) e uma curva crescente (b > 1) ou decres-cente (b < 1) e

• Possui como reta assıntota o eixo x e passa pelo ponto (0,1).


Tabela 2.4: Valores para a funcao exponencial f (x) = 2x.x f (x) Ponto−2 f (−2) = 2−2 = 1/4 (−2,1/4)−1 f (−1) = 2−1 = 1/2 (−1,1/2)0 f (0) = 20 = 1 (0,1)1 f (1) = 21 = 2 (1,2)2 f (2) = 22 = 4 (2,4)

Figura 2.15: Grafico da funcao exponencial f (x) = 2x e a representacao dos pontosda Tabela 2.4.



Tabela 2.5: Valores para a funcao exponencial f (x) = (1/2)x.x f (x) Ponto−2 f (−2) = (1/2)−2 = 4 (−2,4)−1 f (−1) = (1/2)−1 = 2 (−1,2)0 f (0) = (1/2)0 = 1 (0,1)1 f (1) = (1/2)1 = 1/2 (1,1/2)2 f (2) = (1/2)2 = 1/4 (2,1/4)

Figura 2.16: Grafico da funcao exponencial f (x) = (1/2)x e a representacao dospontos da Tabela 2.5.

Observacao 2.8. Note que, a diferenca entre as duas Figuras 2.15 e 2.16sao determinadas pelos valores das base b, onde a primeira e b = 2 > 1e a segunda e b = 1/2 < 1, ou seja, a primeira e crescente e a segundadecrescente.

36 Funcoes

Figura 2.17: Graficos das funcoes exponenciais c(x) = Bx (crescente) e d(x) = bx

(decrescente) com 0 < b < 1 < B.

Observacao 2.9. Em geral o grafico da funcao exponencial pode serrepresentado pela Figura 2.17 como c(x) = Bx (crescente) ou d(x) = bx

(decrescente) para os valores da base 0 < b < 1 < B.

Observacao 2.10. Uma numero muito importante, o numero de Neper,que e aproximadamente:

e= 2,7182818284590452354 . . .

tambem chamado de constante de Euler, representada pelo simbolo “e”,sera muito utilizada como um valor de uma base, e com muitas aplicacoes.

2.6 Funcao LogarıtmicaDefinicao 2.9 — Logaritmo de um Numero.

Considerando a e b numeros reais positivos, chama-se logaritmo de ana base b, representado por logb a (ou logb(a)), o expoente em que bdeve ser elevado de modo que a potencia obtida de base b seja igual aovalor de a, ou seja,

logb a = x⇐⇒ bx = a (2.14)


� Exemplo 2.20 Considerando a definicao dada pela Equacao 2.14, temos:

log2 8 = 3, pois 23 = 8

log2 2 = 1, pois 21 = 2

log3 9 = 2, pois 32 = 9

log4 1 = 0, pois 40 = 1

log 12

4 =−2, pois(

12

)−2

=(

2−1)−2

= 22 = 4

�

Algumas propriedades de logaritmos serao relembradas e mostradasa seguir, considerando os valores a > 0, c > 0 e 0 < b 6= 1:

L1 – Logaritmo do Produto:

logb(a× c) = logba+ logbc

� Exemplo 2.21 log2(4×2) = log2 4+ log2 2 = 3 �

L2 – Logaritmo do Quociente:

logb

(ac

)= logba− logbc

� Exemplo 2.22 log2

(24

)= log2 2− log2 4 =−1 �

L3 – Logaritmo de uma Potencia:

logb (a)c = c× logba

� Exemplo 2.23 log2 (4)3 = 3× log2 4 = 3×2 = 6 �

38 Funcoes

L4 – Mudanca de Base:

logb (a) =logcalogcb

� Exemplo 2.24 log2(4) =log10 4log10 2

= 2 �

Definicao 2.10 — Logaritmo Natural.

O logaritmo natural ou Neperiano e o logaritmo de base e≈ 2,7182(numero de Neper), denotado por:

lnx = logex (2.15)

Definicao 2.11 — Funcao Logarıtmica.

Uma funcao logarıtmica f e uma funcao definida por:

f (x) = logb(x) = logbx (2.16)

com b > 0 e b 6= 1 denominado de base e x o logaritmando.

Caracterısticas de uma funcao logarıtmica:

• O domınio Dom( f ) = (0,∞) e

• A imagem e Im( f ) = R e

• O grafico de f (x) e uma curva crescente (b > 1) ou decrescente(b < 1) e

• Possui como reta assıntota o eixo y e passa pelo ponto (1,0).



Tabela 2.6: Valores para a funcao exponencial f (x) = log2(x).x f (x) Ponto

1/4 f (1/4) = log2(1/4) =−2 (1/4,−2)1/2 f (1/2) = log2(1/2) =−1 (1/2,−1)1 f (1) = log2(1) = 0 (1,0)2 f (2) = log2(2) = 1 (2,1)4 f (4) = log2(4) = 2 (4,2)

Figura 2.18: Grafico da funcao logarıtmica f (x) = log2(x) e a representacao dospontos da Tabela 2.6.


Tabela 2.7: Valores para a funcao exponencial f (x) = log 12(x).

x f (x) Ponto1/4 f (1/4) = log 1

2(1/4) = 2 (1/4,1/4)

1/2 f (1/2) = log 12(1/2) = 1 (1/2,1/2)

1 f (1) = log 12(1) = 0 (1,0)

2 f (2) = log 12(2) =−1 (2,−1)

4 f (4) = log 12(4) =−2 (4,−2)

40 Funcoes

Figura 2.19: Grafico da funcao exponencial f (x) = log 12(x) e a representacao dos

pontos da Tabela 2.7.

Observacao 2.11. Note que, a diferenca entre as duas Figuras 2.18 e 2.19sao determinadas pelos valores das bases b, onde a primeira e b = 2 > 1e a segunda e b = 1/2 < 1, ou seja, a primeira e crescente e a segundadecrescente.

Observacao 2.12. Em geral o grafico da funcao logarıtmica pode serrepresentado pela Figura 2.20 como c(x) = logB(x) (crescente) ou d(x) =logb(x) (decrescente) para os valores da base 0 < b < 1 < B.

2.7 Funcao Modular 41

Figura 2.20: Graficos das funcoes exponenciais c(x) = logB(x) e d(x) = logb(x), com0 < b < 1 < B.

2.7 Funcao ModularDefinicao 2.12 — Modulo.

O modulo de um numero real x ∈ R, denotado por |x|, e definido por:

|x|={

x , se x≥ 0−x , se x < 0

(2.17)

� Exemplo 2.25 Usando a definicao de modulo temos:

|123|= 123|0|= 0

|−2|= 2

�

Definicao 2.13 — Funcao Modular.

Uma funcao modular f e uma funcao definida por:

f (x) = |x| (2.18)

tambem conhecida como valor absoluto abs(x).

Caracterısticas de uma funcao modular:

42 Funcoes


• A imagem e Im( f ) = [0,∞) e

• O grafico de f (x) lembra a letra “V”.


Tabela 2.8: Valores para a funcao exponencial f (x) = |x|.x f (x) Ponto−2 f (−2) = |−2|= 2 (−2,2)−1 f (−1) = |−1|= 1 (−1,1)0 f (0) = |0|= 0 (0,0)1 f (1) = |1|= 1 (1,1)2 f (2) = |2|= 2 (2,2)

Figura 2.21: Grafico da funcao logarıtmica f (x) = |x| e a representacao dos pontosda Tabela 2.8.

2.8 Transformacoes Graficas

Util para a construcao de novos graficos conhecendo os graficos defuncoes basicas as transformacoes graficas como translacoes verticais/horizontais,dilatacoes/contracoes, reflexoes, simetrias e outros, atraves de operacoesalgebricas.


Considerando uma funcao basica f (x) qualquer, a seguir daremos asprincipais transformacoes graficas.

T1 – Translacao VerticalA funcao translacao vertical T (x), em K unidades, do grafico dafuncao basica f (x) ocorre quando:

T (x) = f (x)+K

Se K < 0 o grafico e deslocado para baixo e se K > 0 e deslocadopara cima.

� Exemplo 2.26 Considerando como funcao basica f (x) = x2 e as funcoestranslacoes

T1(x) = f (x) + 1 e T−2(x) = f (x) − 2

exibidas na Figura 2.22, observa-se que:

a) f (x) = x2 e uma funcao quadratica com apenas uma raiz;

b) T1(x) = x2 + 1 e o grafico da funcao quadratica f (x) deslocada 1unidade para cima, logo nao possui raiz;

c) T2(x) = x2 − 2 e o grafico da funcao quadratica f (x) deslocada 2unidades para baixo, e portanto, possuindo duas raızes.

Figura 2.22: Representacao grafica das funcoes f (x) = x2, T1(x) = x2 +1 e T−2(x) =x2−2.

44 Funcoes

�

� Exemplo 2.27 Considerando como funcao basica f (x) = ex e as funcoestranslacoes

T1(x) = f (x) + 1 e T−2(x) = f (x) − 2


a) f (x) = ex e uma funcao exponencial;

b) T1(x) = ex + 1 e o grafico da funcao exponencial f (x) deslocada 1unidade para cima, logo a reta assintota e y = 1;

c) T2(x) = ex − 2 e o grafico da funcao exponencial f (x) deslocada 2unidades para baixo, logo a reta assintota e y = 1 e portanto possuiuma raiz.

Figura 2.23: Representacao grafica das funcoes f (x) = ex, T1(x) = ex +1 e T−2(x) =ex−2.

�

T2 – Translacao HorizontalA funcao translacao horizontal T (x), em K unidades, do graficoda funcao basica f (x) ocorre quando:

T (x) = f (x+K)


Se K > 0 o grafico e deslocado a esquerda e se K < 0 e deslocadoa direita.

� Exemplo 2.28 Considerando como funcao basica f (x) = x2 e as funcoestranslacoes T1(x) = f (x − 1) e T2(x) = f (x + 2), exibidas na Figura 2.24,observa-se que:


b) T1(x) = (x − 1)2 e o grafico da funcao quadratica f (x) deslocada 1unidade para a direita, com apenas uma raiz;

c) T2(x) = (x + 2)2 e o grafico da funcao quadratica f (x) deslocada 2unidades para a esquerda, com apenas uma raiz.

Figura 2.24: Representacao grafica das funcoes f (x) = x2, T1(x) = (x−1)2 e T2(x) =(x+2)2.

�

� Exemplo 2.29 Considerando como funcao basica f (x) = ex e as funcoestranslacoes T1(x) = f (x − 1) e T2(x) = f (x + 2), exibidas na Figura 2.25,observa-se que:

a) f (x) = ex e uma funcao exponencial;

b) T1(x) = e(x − 1) e o grafico da funcao exponencial f (x) deslocada 1unidade para a direita;

c) T2(x) = e(x + 2) e o grafico da funcao exponencial f (x) deslocada 2unidades para a esquerda.

46 Funcoes

Figura 2.25: Representacao grafica das funcoes f (x) = ex, T1(x) = e(x−1) e T−2(x) =e(x+2).

�

� Exemplo 2.30 Considerando como funcao basica f (x) = x2 e a funcaotranslacao (vertical e horizontal)

T (x) = f (x + 2) − 1



b) T (x)= (x + 2)2 − 1 e o grafico da funcao quadratica f (x) deslocada1 unidade para baixo e 2 unidades para esquerda, possuindo duasraızes.

�


Figura 2.26: Representacao grafica das funcoes f (x) = x2 e T (x) = (x + 2)2 − 1.

T3 – Reflexao no Eixo yA funcao reflexao T (x) no eixo y, do grafico da funcao basica f (x),ocorre quando:

T (x) = f (−x)

ou seja, o grafico de T (x) e o reflexo de f (x) em relacao ao eixo y.

� Exemplo 2.31 Considerando como funcao basica f (x) = (x+ 2)2− 1(Exemplo 2.30) e a funcao reflexao T (x) = f (−x), exibidas na Figura2.27, observa-se que:

a) f (x) = (x+2)2−1 e uma funcao quadratica com duas raızes;

b) T (x) = (x+2)2−1 e o grafico da funcao quadratica f (x) “girada”em torno do eixo y e com duas raızes.

48 Funcoes

Figura 2.27: Representacao grafica das funcoes f (x) = (x+ 2)2− 1 e T (x) = (−x+2)2−1.

�

T4 – Reflexao no Eixo xA funcao reflexao T (x) no eixo x, do grafico da funcao basica f (x),ocorre quando:

T (x) =− f (x)

ou seja, o grafico de T (x) e o reflexo de f (x) em relacao ao eixo x.

� Exemplo 2.32 Considerando como funcao basica f (x) = (x+ 2)2− 1(Exemplo 2.30) e a funcao reflexao T (x) = − f (x), exibidas na Figura2.28, observa-se que:


b) T (x) =−[(x+2)2−1] e o grafico da funcao quadratica f (x) “girada”em torno do eixo x e com duas raızes.


Figura 2.28: Representacao grafica das funcoes f (x) = (x+ 2)2− 1 e T (x) = −[(x+2)2−1].

�

T5 – Modulo | f (x)|A funcao modulo T (x), do grafico da funcao basica f (x), ocorrequando:

T (x) = | f (x)|

ou seja, o grafico de T (x) e o reflexo da f (x) em relacao ao eixo x,dos intervalos na qual f (x) e negativo.

� Exemplo 2.33 Considerando como funcao basica f (x) = (x+ 2)2− 1(Exemplo 2.30) e a funcao modulo T (x) = | f (x)|, exibidas na Figura 2.29,observa-se que:


b) T (x) =∣∣(x+2)2−1

∣∣ e o grafico da funcao quadratica f (x) nosintervalos (−∞,−3] e [−1,∞) e reflexo de f (x) em torno do eixo xno intervalo (−3,−1).

50 Funcoes

Figura 2.29: Representacao grafica das funcoes f (x) = (x+2)2−1 e T (x) = |(x+2)2−1|.

�

Definicao Informal de LimiteDefinicao Formal de LimitePropriedades dos LimitesExemplos

3 — Limites

3.1 Definicao Informal de LimiteDefinicao 3.1 — Limite.

Seja f (x) uma funcao definida em um intervalo aberto em torno dea exceto talvez em a. Se o valor da funcao f (x) fica arbitrariamenteproximo de L ( f (x)→ L), para todos os valores de x suficientementeproximos de a (x→ a), dizemos que f tem limite L quando x tende a ae escrevemos

limx→a

f (x) = L

� Exemplo 3.1 Considere a funcao f (x) definida por:

f (x) =x2−1x−1

Observe que o domınio Dom f (x) = R−{1}, ou seja, a funcao pode serdefinida para todos os valores x 6= 1, pois para x0 = 1, simplesmente naoe possıvel determinar o valor, como observado abaixo:

f (1) =(1)2−1(1)−1

=10=6 ∃

Porem e possıvel determinar a funcao para valores proximos de x0 = 1,conforme a Tabela 3.1.

52 Limites

Tabela 3.1: Valores para a funcao f (x) proximos a x = 1, a esquerda (x < 1).x f (x)

x = 0 f (0) = 1x = 0.5 f (0.5) = 1.5x = 0.8 f (0.8) = 1.8x = 0.9 f (0.9) = 1.9

x = 0.99 f (0.99) = 1.99x = 0.999 f (0.999) = 1.999

x = 0.9999 f (0.9999) = 1.9999x = 0.99999 f (0.99999) = 1.99999

x→ 1− f (x)→ 2

Tabela 3.2: Valores para a funcao f (x) proximos a x = 1, a direita (x > 1).x f (x)

x = 2 f (2) = 3x = 1,5 f (1,5) = 2,5x = 1,2 f (1,2) = 2,2x = 1,1 f (1,1) = 2,1

x = 1,01 f (1,01) = 2,01x = 1,001 f (1,001) = 2,001

x = 1,0001 f (1,0001) = 2,0001x = 1,00001 f (1,00001) = 2,00001

x→ 1+ f (x)→ 2

Portanto para valores de x proximo a 1 os valores da funcao f (x) aproximam-se de 2, ou seja:

x→ 1 =⇒ f (x)→ 2

Nesse caso, diremos que o limite da funcao f quando x se aproxima dea = 1 e L = 2. Escrito matematicamente na forma:

limx→1

f (x) = 2

�

Observacao 3.1. Note que a funcao do exemplo anterior nao pode serdefinido para x = 1

3.2 Definicao Formal de Limite

3.3 Propriedades dos Limites 53

Definicao 3.2 — Limite.

Seja f (x) uma funcao definida em um intervalo aberto em torno de aexceto talvez em a. Diremos que f tem limite L quando x tende a a eescrevemos

limx→a

f (x) = L

se, para cada numero ε > 0, existir um numero correspondente δ > 0,tal que:

Se 0 < |x−a|< δ , entao | f (x)−L|< ε

Observacao 3.2. Nao utilizaremos a definicao formal de limites nessadisciplina, apenas as propriedades a seguir.

3.3 Propriedades dos Limites

Teorema 3.3.1 — Unicidade do Limite.

O limite de uma funcao f (x) quando existe e unico, isto e, se existiremos limites

limx→a

f (x) = L1 e limx→a

f (x) = L2

entao L1 = L2.

Teorema 3.3.2 Sejam a e K numeros reais, f (x) e g(x) duas funcoes e seexistirem os limites

limx→a

f (x) = F e limx→a

g(x) = G

entao sao validas as seguintes regras:

L1 – Soma (Diferenca):O limite da soma (diferenca) de duas funcoes e a soma (diferenca)de seus limites, isto e:

limx→a

[ f (x)±g(x)] = F±G

54 Limites

L2 –Produto:O limite do produto de duas funcoes e o produto de seus limites,isto e:

limx→a

[ f (x)×g(x)] = F×G

L3 – Multiplicacao por Constante:O limite de uma constante K multiplicada pela funcao e a cons-tante multiplicada pelo limite da funcao, isto e:

limx→a

[K · f (x)] = K ·F

L4 – Quociente:O limite do quociente de duas funcoes e o quociente de seus limites,desde que o limite do denominador seja diferente de zero (G 6= 0),isto e:

limx→a

[f (x)g(x)

]=

FG

L5 – Potenciacao:O limite de uma potencia racional p = r/s de uma funcao e apotencia do limite da funcao, desde que a ultima seja um numeroreal, isto e:

limx→a

[ f (x)p] = F p

3.4 Exemplos

� Exemplo 3.2 Considerando as funcoes

c(x) = 5 , d(x) = x ,

f (x) = 3x+4 e g(x) = x3− x

e usando as propriedades L1 – L5 acima, para determinar o limite dessasfuncoes quando x tende a 2 (x→ 2), teremos:

3.4 Exemplos 55

a) limx→2

[c(x)] = limx→2

[5] = 5

Pois como a funcao c(x) e uma funcao constante para qualquer valorde x, entao quando x→ 2 a funcao nao e alterada, ou seja, o limitede uma funcao constante e a propria constante, no caso:

limx→2

[c(x)] = limx→2

[5] = 5

b) limx→2

[d(x)] = limx→2

[x] = 2

Pois como a funcao d(x) e a funcao identidade, isto e, para qualquervalor de x o resultado sera o proprio valor de x, entao quando x→ 2o valor de d(x)→ 2, ou seja:

limx→2

[d(x)] = limx→2

[x] = 2

c) limx→2

[ f (x)] = limx→2

[3x+4] = 10

Pois:

limx→2

[ f (x)] = limx→2

[3x+4]

L1= lim

x→2[3x]+ lim

x→2[4]

L3= 3 ·

(limx→2

[x])+4

= 3 · (2)+4

limx→2

[3x+4] = 10

d) limx→2

[g(x)] = limx→2

[x3− x

]= 6

Pois:

limx→2

[g(x)] = limx→2

[x3− x

]L1= lim

x→2[x3]− lim

x→2[x]

L5=

(limx→2

[x])3

−2

= (2)3−2

limx→2

[x3− x

]= 6

56 Limites

e) limx→2

[f (x)g(x)

]= lim

x→2

[3x+4x3− x

]=

53

Pois:

limx→2

[f (x)g(x)

]= lim

x→2

[3x+4x3− x

]L4=

limx→2

[3x+4]

limx→2

[x3− x

]limx→2

[3x+4x3− x

]=

106

=53

�

� Exemplo 3.3 Considerando a funcao

f (x) = x2

e o valor h 6= 0. Usando as propriedades L1 – L5 dos limites, teremos:

a) limh→0

[h] = 0

b) limh→0

[2+h] = 2

Pois:

limh→0

[2+h] L1= lim

h→0[2]+ lim

h→0[h]

= 2+0

limh→0

[2+h] = 2

c) limh→0

[ f (2)] = limh→0

[4] = 4

d) limh→0

[ f (2+h)] = 4

Pois:

limh→0

[ f (2+h)] = limh→0

[(2+h)2

]L5=

(limh→0

[2+h])2

limh→0

[(2+h)2

]= (2)2 = 4

3.4 Exemplos 57

e) limh→0

[ f (2+h)− f (2)] = 0

Pois, usando os resultados anteriores:

limh→0

[ f (2+h)− f (2)] L1= 4−4 = 0

f) limh→0

[f (2+h)− f (2)

h

]= ?

Observe que nao e possıvel usar a regra do quociente do limite (L4),pois o denominador e zero. Nesses casos devemos trabalhar maisna expressao para simplifica-la e depois determinar o limite, comosegue:

f (2+h)− f (2) = (2+h)2−4

= (4+4h+h2)−4

= ��4+4h+h2−��4

= h2 +4h

logo, como h 6= 0, temos que o quociente pode ser simplificadocomo: [

f (2+h)− f (2)h

]=

h2 +4hh

=h(h+4)

h

=��h(h+4)

��h= h+4

Portanto o limite pode ser calculado da seguinte forma:

limh→0

[f (2+h)− f (2)

h

]= lim

h→0[h+4] = 4

�

Observacao 3.3. O limite de uma expressao como essa abaixo

limh→0

[f (a+h)− f (a)

h

]a calculada no exemplo anterior, e de grande relevancia para a ma-tematica, pois e base para a definicao da derivada de uma funcao noponto x = a, que sera dada em detalhes mais adiante.

DefinicaoPropriedades da ContinuidadeExemplos

4 — Continuidade

“Qualquer funcao cujo grafico possa ser esbocado sobre o domınio em umunico movimento contınuo, sem levantar o lapis, e um exemplo de funcaocontınua. (Matias, F.O., 2008)”

4.1 DefinicaoDefinicao 4.1 — Contınua.

Considere uma funcao f : I→ R definida em um intervalo I e a ∈ I. Afuncao f (x) e contınua em x = a , se o limite da funcao quando x seaproxima do valor de a (x→ a) for igual ao valor da funcao para x = a,ou seja:

limx→a

f (x) = f (a) (4.1)

Observacao 4.1. Consideracoes sobre a continuidade de uma funcao f :

a) Quando a igualdade da equacao 4.1 nao e satisfeita, dizemos que afuncao f e descontınua no ponto x = a e que esse ponto e o pontode descontinuidade da funcao.

b) Uma funcao f e contınua a esquerda no ponto x = a (para valores< a) quando o limite lateral a esquerda

limx→a−

f (x) = f (a)

60 Continuidade

c) Uma funcao f e contınua a direita no ponto x = a (para valores> a) quando o limite lateral a direita

limx→a+

f (x) = f (a)

d) Uma funcao f e contınua no ponto x = a quando os limites lateraissao iguais ao valor f (a), ou seja,

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = f (a)

e) Se a funcao f e contınua em todos os pontos do domınio (a∈Dom f ),entao ela e denotada simplesmente por funcao contınua.

4.2 Propriedades da Continuidade

Teorema 4.2.1 Se as funcoes g(x) e h(x) sao contınuas em x = a, entaosao contınuas:

C1 – Soma (Diferenca):A soma (diferenca) das funcoes f (x) e g(x)

f (x) = g(x)±h(x)

e contınua em x = a.

C2 – Produto:O produto das funcoes f (x) e g(x)

f (x) = g(x)×h(x)


C3 – Multiplicacao por Constante:A multiplicacao de uma constante K ∈ R pela funcao g(x)

f (x) = K ·g(x)


4.3 Exemplos 61

C4 – Quociente:O quociente das funcoes f (x) e g(x)

f (x) =g(x)h(x)

desde que h(a) 6= 0 e contınua em x = a.

Esses resultados do Teorema 4.2.1 decorrem diretamente da aplicacaodas regras do Teorema 3.3.2.

4.3 Exemplos

� Exemplo 4.1 A funcao f (x) = xp e contınua no ponto x = a, pois

limx→a

f (x) = limx→a

[xp]

L5=[

limx→a

(x)]p

= (a)p

limx→a

f (x) = f (a)

Portanto xp e contınua para todo x = a ∈ R. Exceto para valores x = 0com p < 0. �

Observacao 4.2. Todas as funcoes polinomiais sao contınuas em R.

� Exemplo 4.2 A funcao f (x) = x3− x2− 2x e contınua no ponto x = 1.Via limites temos:

limx→1

f (x) = limx→1

[x3− x2−2x]

L1= lim

x→1[x3]− lim

x→1[x2]− lim

x→1[2x]

= (1)3− (1)2−2(1)= ��1−��1−2=−2

limx→1

f (x) = f (1)

Via propriedades das funcoes contınuas: f (x) e contınua pois e a diferencadas funcoes contınuas (x3), (x2) e (2x).

62 Continuidade

Figura 4.1: Representacao grafica da funcao f (x) = x3− x2−2x

�

� Exemplo 4.3 A funcao definida por

g(x) ={

x2−2 , se x < 1x−2 , se x≥ 1

e contınua no ponto x = 1.

Figura 4.2: Representacao grafica da funcao g(x).

De fato:

limx→1−

g(x) = limx→1−

[x2−2] =−1 = g(1)

4.3 Exemplos 63

e

limx→1+

g(x) = limx→1+

[x−2] =−1 = g(1)

portanto os limites laterias existem e sao iguais, logo

limx→1

g(x) = g(1)

�

� Exemplo 4.4 A funcao definida por

h(x) ={

x2−2 , se x < 1x−1 , se x≥ 1

e descontınua no ponto x = 1.

Figura 4.3: Representacao grafica da funcao h(x).

De fato:

limx→1−

h(x) = limx→1−

[x2−2] =−1 6= h(1)

mesmo que

limx→1+

h(x) = limx→1+

[x−1] = 0 = h(1)

portanto os limites laterias existem e sao diferentes, logo limx→1

h(x) nao

existe. O ponto x = 1 e o ponto de descontinuidade da funcao h(x). �

PreliminaresDefinicao da DerivadaPropriedades das DerivadasValores CrıticosFuncao Crescente e DecrescenteMaximos e MınimosConcavidadesAlgumas Aplicacoes

5 — Derivadas

No seculo XVII, Leibniz algebriza o Calculo Infinitesimal, introduzindoos conceitos de variavel, constante e parametro, bem como a notacao dedx e dy para designar o infinitesimos em x e em y.

Desta notacao surge o nome do ramo da Matematica conhecido hojecomo “Calculo Diferencial”. A partir daı, com a introducao do con-ceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Calculo Diferencial torna-seum instrumento poderosıssimo e cada vez mais indispensavel pela suaaplicabilidade nos mais diversos campos da Ciencia. O conceito dederivada esta intimamente relacionado a taxa de variacao instantaneade uma funcao, o qual esta presente no cotidiano das pessoas, atraves,por exemplo determinacao:

• da taxa de crescimento de uma certa populacao,

• da taxa de crescimento economico do paıs,

• da taxa de reducao da mortalidade infantil,

• da taxa de variacao de temperaturas,

• da velocidade de corpos ou objetos em movimento,

dentre outros varios exemplos.

5.1 Preliminares

66 Derivadas

Definicao 5.1 — Coeficiente de Newton.

Chamaremos de Coeficiente de Newton de uma funcao f (x), no pontox = a, ao coeficiente angular (tanα) da reta secante que passa pelospontos distintos

Pa =(a, f (a)

)e Pb =

(b, f (b)

)do grafico da funcao com a 6= b, conforme exibido na Figura 5.1.

Figura 5.1: Representacao grafica da reta secante ao grafico da funcao f (x), definidapelos ponto Pa e Pb.

Portanto o Coeficiente de Newton CN(a,b) e a razao entre variacao dafuncao ∆ f e a variacao dos valores do domınio da funcao ∆x, ou seja,

CN(a,b) =∆ f∆x

=f (b)− f (a)

b−a(5.1)

Se considerarmos b = a+h com h ∈ R∗, teremos da Equacao (5.1) queCN(a,a+h) =CN(a) e:

CN(a) =∆ f∆x

=f (a+h)− f (a)

h

� Exemplo 5.1 Seja f (x) = 2x+1 e x = 3, logo o coeficiente de Newton

5.1 Preliminares 67

sera:

CN(3) =∆ f∆x

=f (3+h)− f (3)

h

=[2(3+h)+1]− [2(3)+1]

h

=(2h+7)− (7)

h

CN(3) =2hh

e como h 6= 0, teremos que

CN(3) =2��h��h

= 2

Claro que, no caso de uma funcao do primeiro grau, o coeficiente angular2 ja esta explicito na definicao da funcao. �

� Exemplo 5.2 Seja f (x) = x2 +2x+1 e x = 2, logo o coeficiente deNewton sera:

CN(2) =f (2+h)− f (2)

h

=

[(2+h)2 +2(2+h)+1

]−[(2)2 +2(2)+1

]h

=(h2 +6h+9)− (9)

h

CN(2) =h2 +6h

h

e como h 6= 0, teremos que

CN(2) =h(h+6)

h=

��h(h+6)��h

CN(2) = h+6

Observe que, quando h aproxima-se de 0,∆ f∆x

aproxima-se de 6, pois

limh→0

[∆ f∆x

]= lim

h→0[h+6] = 6

�

68 Derivadas

5.2 Definicao da Derivada

A derivada de uma funcao f (x) em um ponto x = a, representa a taxa devariacao instantanea de y = f (x) em relacao a x neste ponto. Geome-tricamente, a derivada no ponto x = a representa a inclinacao da retatangente ao grafico desta funcao no ponto Pa =

(a, f (a)

), conforme a

Figura 5.1.

Figura 5.2: Representacao grafica da reta tangente ao grafico da funcao f (x), no pontoPa = P1 =

(1, f (1)

).

Definicao 5.2 — Derivada.

A derivada de uma funcao f (x) em relacao a variavel x, no pontox = a, denotado por f ′(a), e definido pelo valor do limite

f ′(a) = limh→0

f (a+h)− f (a)h

desde que este limite exista. A funcao que, para cada valor de x associaa derivada f ′(x) para esse valor e chamado de funcao derivada def (x).

� Notacao 5.1 Notacao de derivada e a forma de expressarmos as deri-vadas de uma funcao y = f (x) matematicamente a frase “a derivada dafuncao f em relacao a variavel x ...”

• Notacao de Lagrange: f ′ ( f linha)


• Notacao de Leibniz:d fdx

=dydx

• Notacao de Newton: f = y

A derivada no ponto x = a portanto pode ser escrita nas formas:

f ′(a) =d fdx

∣∣∣∣x=a

= f (a)

e ao longo do texto usaremos a notacao f ′ por simplicidade.

5.3 Propriedades das Derivadas

Serao dadas a seguir algumas regras basicas que usaremos para adeterminacao das derivadas das funcoes definidas por polinomios, produ-tos de funcoes, quociente entre funcoes, definidas por potencias, no lugarda definicao por limite.

D1 – Potencias de x:Se f (x) = xp com p ∈ R, entao:

f ′(x) = [xp]′ = p.x(p−1)

� Exemplo 5.3 Utilizando a propriedade D1, temos:

a) Se a(x) = x5 entao:

a′(x) =[x5]′

D1

= 5.x(5−1)

a′(x) = 5x4

b) Se b(x) = x0 entao:

b′(x) =[x0]′

D1

= 0.x(0−1)

= 0x−1

b′(x) = 0

70 Derivadas

c) Se c(x) =1x

= x−1 entao:

c′(x) =[x−1]′

D1

= (−1).x(−1−1)

=−x−2

c′(x) =− 1x2

d) Se d(x) =√

x = x1/2 entao:

d′(x) =[x1/2

]′D1

=

(12

).x(1/2−1)

=12

x−1/2

=12

1x1/2

d′(x) =1

2√

x

�

D2 – Multiplicacao por Constante:Se f (x) = K ·g(x) com K ∈ R, entao:

f ′(x) = [K ·g(x)]′ = K ·g′(x)

� Exemplo 5.4 Utilizando as propriedades D1 – D2, temos:

a) Se a(x) = 5x3 entao:

a′(x) =[5x3]′

D2

= 5 ·[x3]′

D1

= 5 · (3x2)

a′(x) = 15x2


b) Se b(x) = K = K · x0 com K ∈ R, entao:

b′(x) =[K · x0

]′D2

= K ·[x0]′

D1

= K · (0)

b′(x) = 0

portanto a derivada de qualquer funcao constante e zero, como vistopelo exemplo acima, mas tambem pelo fato do coeficiente angularem qualquer ponto do grafico de uma funcao constante ser nulo.

c) Se c(x) =− 2x4 =−2x−4 entao:

c′(x) =[−2x−4

]′D2

=−2 ·[x−4]′

D1

=−2 · (−4x−5)

=−2 ·(− 4

x5

)c′(x) =

8x5

�

Observacao 5.1. Se as funcoes g(x) e h(x) possuem derivadas no pontox, entao temos as seguintes propriedades.

D3 – Soma (Diferenca):Se f (x) = g(x) ± h(x) entao:

f ′(x) = [g(x)]′ ± [h(x)]′

Resumindo a derivada da soma (diferenca) e igual a soma (diferenca)

72 Derivadas

das derivadas:

Se f = g ± h =⇒ f ′ = g′ ± h′


a) Se a(x) = 2x3+5x2−4x+2 entao:

a′(x) = [2x3+5x2−4x+2]′

D3

= [2x3]′+[5x2]′− [4x]′+[2]′

D2

= 2[x3]′+5[x2]′−4[x]′+[2]′

D1

= 2 · (3x2)+5 · (2x)−4 · (1)+0

a′(x) = 6x2 +10x−4

b) Se b(x) = x− 1x= x− x−1 entao:

b′(x) = [x− x−1]′

D3

= [x]′− [x−1]′

D1

= (1)− (−1x−2)

= 1−(− 1

x2

)b′(x) = 1+

1x2

�

D4 – Produto:Se f (x) = g(x) ·h(x), entao:

f ′(x) = g′(x) ·h(x)+g(x) ·h′(x)

Resumindo:

Se f = g ·h =⇒ f ′ = g′ ·h+g ·h′



a) Se f (x) =(

2x2−1)· (x+2) entao:

A funcao f (x) pode ser definida por

f (x) = g(x) ·h(x)

considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = 2x2−1

eh(x) = x+2

=⇒

g′(x) = 4xeh′(x) = 1

e utilizando a propriedade do produto, teremos que:

f ′(x) = [g(x) ·h(x)]′

=[(

2x2−1)· (x+2)

]′D4

=[2x2−1

]′︸︷︷︸

g′

·(x+2)︸︷︷︸h

+(

2x2−1)

︸︷︷︸g

· [x+2]′︸︷︷︸h′

D4

= (4x)︸︷︷︸g′

·(x+2)︸︷︷︸h

+(

2x2−1)

︸︷︷︸g

· (1)︸︷︷︸h′

D4

=(

4x2 +8x)

︸︷︷︸g′·h

+(

2x2−1)

︸︷︷︸g·h′

f ′(x) = 6x2 +8x−1

b) Se f (x) =(

x3− x2)·(

x2 + x)

entao:


f (x) = g(x) ·h(x)

considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = x3− x2

e

h(x) = x2 + x

=⇒

g′(x) = 3x2−2xeh′(x) = 2x+1

74 Derivadas


f ′(x) = [g(x) ·h(x)]′

=[(

x3− x2)·(

x2 + x)]′

D4

=[x3− x2

]′︸︷︷︸

g′

·(

x2 + x)

︸︷︷︸h

+(

x3− x2)

︸︷︷︸g

·[x2 + x

]′︸︷︷︸

h′

D4

=(

3x2−2x)

︸︷︷︸g′

·(

x2 + x)

︸︷︷︸h

+(

x3− x2)

︸︷︷︸g

·(2x+1)︸︷︷︸h′

D4

=(

3x4 + x3−2x2)

︸︷︷︸g′·h

+(

2x4− x3− x2)

︸︷︷︸g·h′

f ′(x) = 5x4−3x2

�

D5 – Quociente:

Se f (x) =g(x)h(x)

com h(x) 6= 0, entao:

f ′(x) =g′(x) ·h(x)−g(x) ·h′(x)

[h(x)]2

Resumindo:

Se f =gh=⇒ f ′ =

g′ ·h−g ·h′

h2


a) Se f (x) =2x2−1x+2

entao:


f (x) =g(x)h(x)


considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadas

g(x) = 2x2−1 e h(x) = x+2g′(x) = 4x h′(x) = 1

e utilizando a propriedade do quociente, teremos que:

f ′(x) =[

g(x)h(x)

]′=

[2x2−1x+2

]′

D5

=

g′︷︸︸︷[2x2−1

]′·

h︷︸︸︷(x+2)−

g︷︸︸︷(2x2−1

)·

h′︷︸︸︷[x+2]′

(x+2)2︸︷︷︸h2

D5

=

g′︷︸︸︷(4x) ·

h︷︸︸︷(x+2)−

g︷︸︸︷(2x2−1

)·

h′︷︸︸︷(1)

(x+2)2︸︷︷︸h2

f ′(x)D5

=

g′·h︷︸︸︷(4x2 +8x

)−

g·h′︷︸︸︷(2x2−1

)(x+2)2︸︷︷︸

h2

=2x2 +8x+1x2 +4x+4

b) Se f (x) =x4− xx3 +2

entao:


f (x) =g(x)h(x)

considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = x4− x

e

h(x) = x3 +2

=⇒

g′(x) = 4x3−1eh′(x) = 3x2

76 Derivadas

e utilizando a propriedade do quociente, teremos que:

f ′(x) =[

g(x)h(x)

]′=

[x4− xx3 +2

]′

D5

=

g′︷︸︸︷[x4− x

]′·

h︷︸︸︷(x3 +2

)−

g︷︸︸︷(x4− x

)·

h′︷︸︸︷[x3 +2

]′(

x3 +2)2

︸︷︷︸h2

D5

=

g′︷︸︸︷(4x3−1

)·

h︷︸︸︷(x3 +2

)−

g︷︸︸︷(x4− x

)·

h′︷︸︸︷(3x2)

(x3 +2

)2

︸︷︷︸h2

D5

=

g′·h︷︸︸︷(4x6 +7x3−2

)−

g·h′︷︸︸︷(3x6−3x3

)(

x3 +2)2

︸︷︷︸h2

f ′(x) =x6 +10x3−2x6 +4x3 +4

�

D6 – Logaritmo Natural:Se f (x) = ln(x) = loge(x) com x > 0, entao

f ′(x) = [ln(x)]′ =1x

Observacao 5.2. Para transformar um log de uma base qualquer paraln basta fazer a mudanca de base1:

logb(x) =loge(x)logeb

=ln(x)lnb

=1

lnbln(x)

Por exemplo, para a base b = 2, temos

log2(x) =1

ln2ln(x) = 1,44ln(x)

com ln2≈ 0,693147181.1O valor e= 2,7182818284590452354 . . . e chamada de constante de Euler



a) Se f (x) = 5ln(x) entao:

f ′(x) = [5 · ln(x)]′D2

= 5 · [ln(x)]′D6

= 5 · 1x

f ′(x) =5x

b) Se f (x) = log2(x) =1

ln2ln(x) entao:

f ′(x) = [log2(x)]′

=

[1

ln2ln(x)

]′D2

=1

ln2· [ln(x)]′

D6

=1

ln2· 1

x

f ′(x) =1

x ln2≈ 1,44

x

�

D7 – Exponencial:Se f (x) = ex = exp(x) entao:

f ′(x) = [ex]′ = ex

Observacao 5.3. Para transformar a base b > 0 para a base e utiliza-sea expressao

bx = elnbx= ex lnb

Por exemplo, se b = 2 temos

2x = ex ln2 ≈ e0,69x


78 Derivadas

a) Se f (x) = 4ex entao:

f ′(x) = [4ex]′

D2

= 4 · [ex]′

D7

= 4 · ex

f ′(x) = 4ex

b) Se f (x) =(

4x2−1)· ex entao:


f (x) = g(x) ·h(x)

considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = 4x2−1

eh(x) = ex

=⇒

g′(x) = 8xeh′(x) = ex


f ′(x) = [g(x) ·h(x)]′

=[(4x2−1)ex

]′D4

= (8x)︸︷︷︸g′

· (ex)︸︷︷︸h

+(4x2−1)︸︷︷︸g

· (ex)︸︷︷︸h′

= 8xex +(4x2−1)ex

f ′(x) = (4x2 +8x−1)ex

c) Se f (x) = ex lnx entao:


f (x) = g(x) ·h(x)

considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = ex

eh(x) = lnx

=⇒

g′(x) = ex

e

h′(x) =1x



f ′(x) = [g(x) ·h(x)]′

= [ex ln(x)]′

D4

= (ex)︸︷︷︸g′

·(ln(x))︸︷︷︸h

+ (ex)︸︷︷︸g

·(

1x

)︸︷︷︸

h′

= ex ln(x)+ex

x

f ′(x) =(

ln(x)+1x

)ex

�

D8 – Funcoes Compostas (Regra da Cadeia):Se f (x) = g(h(x)) entao:

f ′(x) = [g(h(x))]′ = g′[h(x)] ·h′(x)

Resumindo:

Se f = g(h) =⇒ f ′ = g′(h) ·h′


a) Se f (x) =(

x3−2x)7

entao:

Considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = x7

e

h(x) = x3−2x

=⇒

g′(x) = 7x6

eh′(x) = 3x2−2

teremos que:

f (x) = g [h(x)]

= g[x3−2x

]=(

x3−2x)7

80 Derivadas

e aplicando a regra da cadeia, a derivada e dada por:

f ′(x) = [g(h(x))]′

=

[(x3−2x

)7]′

D8

= 7(

x3−2x)6

︸︷︷︸g′[h(x)]

·(

3x2−2)

︸︷︷︸h′(x)

= 7(

3x2−2)(

x3−2x)6

f ′(x) =(

21x2−14)(

x3−2x)6

b) Se f (x) = 2x = ex ln2 entao:

Considerando como funcoes auxiliares g(x) e h(x) e suas derivadasg(x) = ex

eh(x) = x ln2

=⇒

g′(x) = ex

eh′(x) = ln2

teremos que:

f (x) = g [h(x)]= g [x ln2]

= ex ln2


f ′(x) = [g(h(x))]′

=[ex ln2

]′D8

=(ex ln2

)︸︷︷︸

g′[h(x)]

·(ln2)︸︷︷︸h′(x)

= ex ln2 · ln2

f ′(x) = 2x ln2≈ 0,69 ·2x


c) Se f (x) =[ln(x3−2x)

]7entao:

A regra da cadeia pode ser usada para funcoes definida por variascomposicoes, bastando derivar reutilizando a regra da cadeia segui-das vezes.

Considerando as funcoes auxiliares g(x), h(x) e i(x) e suas derivadas

g(x) = x7

eh(x) = lnx

e

i(x) = x3−2x

=⇒

g′(x) = 7x6

e

h′(x) =1x

ei′(x) = 3x2−2

teremos que:

f (x) = g{h [i(x)]}

= g{

h[x3−2x

]}= g

{ln(

x3−2x)}

=[ln(

x3−2x)]7


f ′(x) = [g{h [i(x)]}]′

=

[[ln(

x3−2x)]7]′

D8

= 7[ln(

x3−2x)]6

︸︷︷︸g′{h[i(x)]}

·(

1x3−2x

)︸︷︷︸

h′[i(x)]

·(3x2−2)︸︷︷︸i′(x)

=7(3x2−2)

[ln(x3−2x

)]6x3−2x

f ′(x) =(21x2−14)

[ln(x3−2x

)]6x3−2x

�

82 Derivadas

Observacao 5.4. Note que, com as propriedades das derivadas D1 – D8e possıvel derivar uma funcao deste tipo:

f (x) =

√ln(x3−4x)

2x3e(2x3−x)

tendo como derivada:

f ′(x) =−(12x5−50x3 +6x2 +8x−24

)ln(x3−4

)+(4−3x2)

e(2x3−x)(4x6−16x4

)√ln(x3−4x)

porem nao trataremos funcoes desse tipo aqui nesta disciplina.

Para analisar as caracterısticas geometricas das funcoes, utilizaremosvarios resultados matematicos atraves das derivadas para determinaressas tais caracterısticas, nas secoes a seguir.

5.4 Valores CrıticosDefinicao 5.3 — Valor Crıtico.

Diremos que um valor x = c e um valor crıtico da funcao f (x), se:

a) A derivada para o valor x = c e nula, ou seja, f ′(c) = 0, ou

b) A funcao f (x) nao possuir derivada para o valor x = c, ou seja,nao existe f ′(c).

Figura 5.3: Representacao dos pontos crıticos de uma funcao f (x).


Definicao 5.4 — Ponto Crıtico.

Diremos que o ponto Pc = (c, f (c)), caso exista, do grafico da funcaof (x) e um ponto crıtico, se no valor crıtico x = c a derivada f ′(c) = 0.

� Exemplo 5.11 Seja f (x) uma funcao com representacao grafica exibidana figura 5.3. Observe que:

• Existem 4 valores crıticos (c1, c2, c3 e c4) com a derivada nula, poisas retas tangentes a funcao nesses pontos sao paralelas ao eixo x;

• Sao 4 pontos crıticos correspondentes (Pc1, Pc2, Pc3 e Pc4);

• No outro valor crıtico x = c5 a derivada nao existe.

�

5.5 Funcao Crescente e DecrescenteDefinicao 5.5 Dada uma funcao f (x) definida em um intervalo I ex1,x2 ∈ I, entao:

a) f (x) e crescente em I se f (x1)< f (x2) para x1 < x2;

b) f (x) e decrescente em I se f (x1)> f (x2) para x1 < x2;

c) f (x) e constante em I se f (x1) = f (x2) para todos x1,x2 ∈ I;

� Exemplo 5.12 Seja f (x) uma funcao com representacao grafica exibidana figura 5.4. Observe que podemos identificar 6 intervalos definidospelos valores crıticos, dados por:

a) I1 = (−∞,c1) onde f (x) e crescente;

b) I2 = (c1,c2) onde f (x) e decrescente;

c) I3 = (c2,c3) onde f (x) e crescente;

d) I4 = (c3,c4) onde f (x) e decrescente;

e) I5 = (c4,c5) onde f (x) e crescente e

f) I6 = (c5,+∞) onde f (x) e constante.

�

84 Derivadas

Figura 5.4: Representacao dos pontos crıticos de uma funcao f (x).

Teorema 5.5.1 Seja f (x) uma funcao contınua em um intervalo I = [a,b]e diferenciavel em (a,b), isto e, possui derivadas em todo intervalo(a,b), portanto:

a) f (x) e crescente em I quando f ′(x)> 0 para todo x ∈ (a,b);

b) f (x) e decrescente em I quando f ′(x)< 0 para todo x ∈ (a,b);

c) f (x) e constante em I quando f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b).

Figura 5.5: Representacao grafica da funcao f (x) = x3−3x.

� Exemplo 5.13 Considere a funcao f (x) = x3−3x com representacao


grafica exibida na figura 5.5. Temos que:

• A derivada f ′(x) = 3x2−3;

• Os valores crıticos sao c1 =−1 e c2 = 1, pois as derivadas sao nulas:f ′(−1) = 0 e f ′(1) = 0;

• Observe que a f ′(x) e uma parabola com concavidade positiva e queintercepta o eixo x nos valores −1 e 1, conforme exibido na figura5.6.

Figura 5.6: Representacao grafica funcao f (x) = x3−3x e da derivada f ′(x) = 3x2−3.

Portanto:

• f ′(x) e positiva para todo x ∈ I1 = (−∞,−1);

• f ′(x) e negativa para todo x ∈ I2 = (−1,1);

• f ′(x) e positiva para todo x ∈ I3 = (1,+∞).

Os resultados do teorema 5.5.1 podem ser observados figura 5.5, a partirdesses fatos acima sobre o sinal da derivada de f (x) em relacao aosintervalos, ou seja,

• no intervalo I1 = (−∞,−1) a funcao e crescente,

• no intervalo I2 = (−1,1) a funcao e decrescente e

• no intervalo I3 = (1,+∞) a funcao e crescente.

�

86 Derivadas

5.6 Maximos e MınimosDefinicao 5.6 — Maximos e Mınimos.

Seja f (x) uma funcao definida num intervalo I. Diremos que m ∈ I eum valor de maximo (mınimo) local de f (x), se existir um intervaloIm com m ∈ Im ⊆ I, de modo que,

f (x)≤ f (m)(

f (x)≥ f (m))

para todo x ∈ Im, ou seja, f (m) e o maior (menor) valor da funcao nointervalo Im.

Figura 5.7: Representacao grafica da funcao f (x) = x3−3x.

� Exemplo 5.14 Considere a funcao f (x) = x3−3x com representacaografica exibida na figura 5.7. Observe que:

a) No intervalo I1 = (−∞,0) temos que f (c1) e o maior valor possıvelpara esse intervalo, ou seja, m = c1 ∈ I1 e o valor de maximo local e

b) No intervalo I2 = (0,+∞) temos que f (c2) e o menor valor possıvelpara esse intervalo, ou seja, m = c2 ∈ I2 e o valor de mınimo local.

�

Teorema 5.6.1 — Teste da Derivada Primeira.

Sejam f (x) uma funcao contınua no intervalo I e c ∈ I um valor crıticode f (x). Entao:

a) Se f ′(x)< 0 para x a esquerda e proximo de c e se f ′(x)> 0 para

5.6 Maximos e Mınimos 87

x a direita e proximo de c entao o valor c e de mınimo local e

b) Se f ′(x)> 0 para x a esquerda e proximo de c e se f ′(x)< 0 para xa direita e proximo de c entao x = c e um valor de maximo local.


a) Para x a esquerda e proximo de c1 temos f ′(x)> 0 e para x a direitae proximo de c1 temos f ′(x) < 0, entao c1 =−1 e um valor demaximo local e

b) Para x a esquerda e proximo de c2 temos f ′(x)< 0 e para x a direita eproximo de c2 temos f ′(x)> 0, entao c2 = 1 e um valor de mınimolocal.

�

Teorema 5.6.2 — Teste da Derivada Segunda.

Sejam f (x) uma funcao definida no intervalo I e c ∈ I um valor crıticode f (x). Suponha que f e derivavel duas vezes em c. Entao:

a) Se f ′′(c)< 0 entao c e um valor de maximo local,

b) Se f ′′(c)> 0 entao c e um valor de mınimo local e

c) Se f ′′(c) = 0 entao o teste nao e conclusivo.

� Exemplo 5.16 Considere a funcao f (x) = x3−3x com representacaografica exibida na figura 5.7. Temos que f ′(x) = 3x2−3 e f ′′(x) = 6x e:

a) Para c1 =−1 temos:

f ′′(c1) = f ′′(−1) =−6 < 0

entao c1 e um valor de maximo local,

b) Para c2 = 1 temos:

f ′′(c2) = f ′′(1) = 6 > 0

entao c2 e um valor de mınimo local.

�

88 Derivadas

5.7 Concavidades

Uma outra propriedade importante, podendo ser visualizada graficamentee determinado com o uso das derivadas e a nocao de concavidade deuma funcao.

Definicao 5.7 — Concavidade.

Diremos que o grafico de uma funcao f (x) tem a concavidade positiva(negativa), ou seja, voltada para cima (baixo) em um intervalo I seestiver acima (abaixo) de todas as retas tangentes a ele no intervalo I,exceto no ponto de tangencia.

Figura 5.8: Representacao grafica da derivada f (x) = x3−3x.


a) No intervalo I∩ = (−∞,0) todas as retas tangentes ao grafico dafuncao estao acima da mesma, ou seja, a concavidade e negativa(voltada para baixo) e

b) No intervalo I∪ = (0,+∞) todas as retas tangentes ao grafico dafuncao estao abaixo da mesma, ou seja, a concavidade e positiva(voltada para cima).

�

Teorema 5.7.1 Seja f (x) uma funcao definida num intervalo I e quepossui derivada segunda em seu domınio, entao:


a) Se f ′′(x) > 0 no intervalo I entao o grafico de f (x) possui a con-cavidade positiva (voltada para cima) nesse intervalo e

b) Se f ′′(x) < 0 no intervalo I entao o grafico de f (x) possui a con-cavidade negativa (voltada para baixo) nesse intervalo.

Observacao 5.5. Os pontos onde ocorre uma mudanca na concavidadesao conhecidos como um ponto de inflexao e sao os pontos crıticos dafuncao derivada f ′, ou seja, sao os pontos onde f ′′ e nula ou nao existe.

� Exemplo 5.18 Considere a funcao f (x) = x3−3x com representacaografica exibida na figura 5.8. Temos que f ′(x) = 3x2− 3 e f ′′(x) = 6x,portanto:

a) f ′′(x) < 0 no intervalo I∩ = (−∞,0), ou seja, a concavidade e nega-tiva (voltada para baixo) e

b) f ′′(x) > 0 no intervalo I∪ = (0,+∞), ou seja, a concavidade e posi-tiva (voltada para cima) e

c) A origem O = (0,0) e o ponto de inflexao da funcao.

Como ja tınhamos concluıdo graficamente. �

5.8 Algumas Aplicacoes

� Aplicacao 5.1 Uma caixa d’agua com base quadrada (Figura 5.9), semtampa, deve ser construıda utilizando-se de 48m2 de revestimento ceramicointerno. Quais as dimensoes dessa caixa d’agua de maior volume possıvel,que pode ser construıda com esse material ceramico?

Figura 5.9: Representacao esquematica da caixa d’agua de base quadrada medindo x×xe altura medindo h.

90 Derivadas

Dados: Paralelogramo de base quadrada;Area o revestimento disponıvel 48m2;Base medindo x× x eAltura medindo h

Area: Area da base: Abase = x× x = x2

Area de uma parede: Aparedes = x×h = xhArea da caixa d’agua: A = Abase +4Aparedes

A = x2 +4xh (5.2)

Volume: Volume do paralelogramo: V = Abase×altura

V = x2h (5.3)

Como a area disponıvel para o revestimento e 48m2, temos de 5.2 que:

x2 +4xh = 48 =⇒ h =48− x2

4x(5.4)

Portanto de 5.3 e 5.4, podemos determinar o volume em relacao apenasuma variavel, no caso, a variavel x, ou seja:

V = x2h = x2(

48− x2

4x

)=

=x2(48− x2)

4x=

x(48− x2)

4

Logo a funcao volume V (x) sera definida por:

V (x) =14(48x− x3) (5.5)


Figura 5.10: Representacao da funcao volume V (x).

Observa-se na figura 5.10 que existem 2 valores crıticos (c1 e c2) epara determina-los resolveremos a seguinte equacao V ′(x) = 0:

14(48−3x2) = 0

48−3x2 = 0

logo x1 = c1 = 4 e x2 = c2 =−4 sao os valores crıticos da funcao V (x).Como o problema nao faz sentido para valores negativos, temos como umprovavel valor de maximo local para c1 = 4 .

Para verificar que e um valor de maximo usaremos o teste da derivadasegunda. Como:

V ′′(x) =−6x4

=−3x2

temos para o valor c1 = 4 que

V ′′(4) =−3 · (4)2

=−6 < 0

portanto c1 = 4 e um valor de maximo local.Conclusao:

• Volume Maximo Vmax:

Vmax =V (4) =14

(48(4)− (4)3

)= 32

92 Derivadas

Portanto o volume maximo para a caixa d’agua e de 32m3 .

• As dimensoes para a caixa d’agua ter um volume maximo sao:

x = 4m e h =48− (4)2

4 · (4)= 2m

�

� Aplicacao 5.2 Seja N(t) o numero de indivıduos (animal ou vegetal) deuma populacao em um instante t de tempo. A variacao da populacao entredois instantes t = t0 e t = t0+h (h > 0) e ∆N = N(t0+h)−N(t0), logo ataxa media de crescimento durante o perıodo de tempo t0 ≤ t ≤ t0 +h e

Taxa Media =∆N∆t

=N(t0 +h)−N(t0)

h

A taxa de crescimento instantaneo e obtida desta taxa media quando operıodo de tempo ∆t = h se aproximar de 0, ou seja,

Taxa de Crescimento = limh→0

∆N∆t

= limh→0

N(t0 +h)−N(t0)h

= N′(t0)

Vamos considerar, por exemplo, uma populacao inicial de 100 bacterias,em um meio nutriente e homogeneo, na qual a cada hora o numero debacterias duplique, entao temos:

N(0) = 100N(1) = N(0)×2 = 100×2(= 200)

N(2) = N(1)×2 = 100×22(= 400)

N(3) = N(2)×2 = 100×23(= 800)...

N(t) = N(t−1)×2 = 100×2t

Como a taxa de crescimento (derivada) da populacao de bacterias no


instante t e

N′(t) =[100×2t]′

= 100[et ln2

]′= 100

(ln2× et ln2

)≈ 100

(0,69×2t)

N′(t)≈ 69×2t

Logo a taxa de crescimento apos quatro horas sera de:

N′(4)≈ 69×24 = 1104

ou seja, a populacao cresce a uma taxa de 1104 bacterias por hora. �

Integral Indefinida (Primitiva)Regras Basicas das Integrais

Integracao por SubstituicaoIntegracao por PartesIntegral Definida

Teorema Fundamental do CalculoAplicacoes

PopulacaoDesvalorizacaoValorizacaoReceita Futura

6 — Integrais

6.1 Integral Indefinida (Primitiva)

Antes de iniciar propriamente as integrais e as suas propriedades, ire-mos determinar alguns exemplos de primitivas ou integrais indefinidasde uma funcao, apenas com a utilizacao das propriedades das deriva-das.

Definicao 6.1 — Integral Indefinida.

Diremos que uma funcao F(x) e uma Integral Indefinida ou Pri-mitiva (ou Antiderivada) de uma funcao f (x), quando a primeiraderivada da primitiva F ′(x) e igual a f (x), ou seja:

F ′(x) = f (x)

� Exemplo 6.1 Primitivas para a funcao f (x) = 2x. Verifica-se facilmente,utilizando as propriedades de derivadas, que:

a) F1(x) = x2 +1 e uma primitiva, pois F ′1(x) = 2x;

b) F2(x) = x2 +9 e uma primitiva, pois F ′2(x) = 2x;

c) F3(x) = x2−5 e uma primitiva, pois F ′3(x) = 2x;

d) F4(x) = x2−50 e uma primitiva, pois F ′4(x) = 2x;

e) Em geral para qualquer constante K, a funcaoF(x) = x2 +K e uma primitiva de f (x), pois F ′(x) = 2x = f (x).

�

96 Integrais

Observacao 6.1. Se F1(x) e F2(x) sao duas primitivas de uma funcaof (x), entao F1(x) = F2(x)+K, onde K e uma constante.

Observacao 6.2. Note que para cada constante K e possıvel definir umaprimitiva, isto significa graficamente que, existem infinitas curvas querepresentam as primitivas de uma funcao f (x).

Figura 6.1: Representacoes graficas das primitivas F(x) = x2 +K da funcao f (x) = 2x.

� Exemplo 6.2 Utilizando as propriedades de derivadas, verifica-se que:

a) A(x) = x3−3x2 e uma primitiva da funcao a(x) = 3x2−6x, pois:

A′(x) = 3x2−6x = a(x)

b) B(x) = ex + lnx e uma primitiva da funcao b(x) = ex +1x

, pois:

B′(x) = ex +1x= b(x)

c) C(x) = (x+1)7 e uma primitiva da funcao c(x) = 7(x+1)6, pois:

C′(x) = 7(x+1)6 = c(x)

�

6.1 Integral Indefinida (Primitiva) 97

Exercıcio 6.1 Encontre as primitivas para a funcao

f (x) = 8x3−9x2−2x+2 (6.1)

Observe que f (x) e uma funcao polinomial do terceiro grau. Para sedeterminar uma primitiva de f (x), a funcao primitiva F(x) neste caso,deve ser uma funcao polinomial do quarto grau

F(x) = ax4 +bx3 + cx2 +dx+K

pois a derivada tem como resultado

F ′(x) = 4ax3 +3bx2 +2cx+d (6.2)

uma funcao polinomial do terceiro grau. Por definicao de uma primitivaF ′(x) deve ser igual a f (x) e das equacoes (6.1) e (6.2) teremos:

4ax3 +3bx2 +2cx+d = 8x3−9x2−2x+2

Portanto

4a = 8, 3b =−9, 2c =−2 e d = 2⇓ ⇓ ⇓ ⇓

a = 2, b =−3, c =−1 e d = 2

donde concluımos que uma primitiva e dada por:

F(x) = 2x4−3x3− x2 +2x+K (6.3)

98 Integrais

Figura 6.2: Representacoes graficas das funcoes primitivas F(x) = 2x4−3x3− x2 +2x+K da funcao f (x) = 8x3−9x2−2x+2.

Graficamente temos varias curvas que representam as primitivas def (x) exibidas na Figura 6.2. Portanto ao se escolher um ponto P =

(x0,y0) qualquer do plano cartesiano, ou seja, escolhendo uma condicaoinicial, a primitiva fica bem definida e unicamente determinada.

�

� Exemplo 6.3 Determinar a primitiva da funcao

f (x) = 8x3−9x2−2x+2

no ponto P = (1,2).Como as primitivas de f (x) ja foram determinados anteriormente noexemplo anterior pela equacao (6.3), ou seja,

F(x) = 2x4−3x3− x2 +2x+K

Para determinar a primitiva de f (x) que passa pelo ponto P = (1,2), bastasubstituir os valores do ponto na primitiva F(x), isto e, F(1) = 2, logo:

2(1)4−3(1)3− (1)2 +2(1)+K = 2

resultando em K = 2, ou seja, a primitiva de f (x) no ponto P = (1,2) edado por (ver Figura 6.2):

F(x) = 2x4−3x3− x2 +2x+2

�


� Notacao 6.1 A primitiva ou integral indefinida F(x) de uma funcaof (x) e denotada por:

F(x) =∫

f (x)dx+K

com o sımbolo de integracao∫

(le-se integral de) e dx indicando quex e a variavel a ser considerada.

Temos algumas regras de integracao que facilitam a obtencao daintegral de uma funcao.

6.1.1 Regras Basicas das Integrais

I1 – Potencias de xxx:Se f (x) = xp com p 6=−1, entao:

∫[xp]dx =

x(p+1)

p+1+K

Caso p =−1, ou seja, f (x) = x−1, entao:

∫ [1x

]dx =

∫ [x−1]

dx = ln |x|+K

� Exemplo 6.4 Utilizando a propriedade I1, teremos:

a) Se a(x) = x5, entao:

A(x) =∫

a(x)dx

=∫ [

x5]

dx

I1

=x(5+1)

5+1+K

A(x) =x6

6+K

100 Integrais

b) Se b(x) = x = x1, entao:

B(x) =∫

b(x)dx

=∫ [

x1]

dx

I1

=x(1+1)

1+1+K

B(x) =x2

2+K

c) Se c(x) = 1 = x0, entao:

C(x) =∫

c(x)dx

=∫ [

x0]

dx

I1

=x(0+1)

0+1+K

=x1

1+K

C(x) = x+K

d) Se d(x) =1x2 = x−2, entao:

D(x) =∫

d(x)dx

=∫ [

x−2]

dx

I1

=x(−2+1)

−2+1+K

=x−1

−1+K

D(x) =−1x+K


e) Se e(x) =1x= x−1, entao:

E(x) =∫

e(x)dx

=∫ [

x−1]

dx

I1

= ln |x|+K

E(x) = ln |x|+K

f) Se f (x) =√

x3 = x3/2, entao:

F(x) =∫

f (x)dx

=∫ [

x3/2]

dx

I1

=x(3/2+1)

32 +1

+K

=x5/2

52

+K

F(x) =2√

x5

5+K

�

I2 – Multiplicacao por Constante:Se f (x) = c ·g(x) com c ∈ R, entao:

∫[c ·g(x)]dx = c ·

[∫g(x)dx

]

� Exemplo 6.5 Utilizando as propriedades I1 – I2, teremos:

102 Integrais

a) Se a(x) = 8x3, entao:∫a(x)dx =

∫ [8 · x3

]dx

I2

= 8 ·∫ [

x3]

dx

I1

= 8 ·(

x4

4+K1

)=

84

x4 +(8K1)

A(x) = 2x4 +K

b) Se b(x) = 4x2, entao:∫b(x)dx =

∫ [4 · x2

]dx

I2

= 4 ·∫ [

x2]

dx

I1

= 4 ·(

x3

3+K1

)=

43

x3 +(4K1)

B(x) =43

x3 +K

c) Se c(x) =−12x7 =−12x−7, entao:∫

c(x)dx =∫ [−12x−7

]dx

I2

=−12 ·∫ [

x−7]

dx

I1

=−12 ·

(x(−7+1)

−7+1+K1

)

=−12 ·(

x−6

−6+K1

)= 2x−6− (12K1)

C(x) =2x6 +K


�

I3 – Soma (Diferenca):Se f (x) = g(x)±h(x), entao:∫

f (x)dx =∫

g(x)dx±∫

h(x)dx

Resumindo a integral da soma (diferenca) e igual a soma (diferenca)das integrais:

Se f = g±h =⇒∫

f dx =∫

gdx±∫

hdx

� Exemplo 6.6 Utilizando as propriedades I1 – I3:

a) Se a(x) = 10x4−8x, entao:

∫a(x)dx =

∫ [10x4 − 8x

]dx

I3

=∫ [

10x4]

dx −∫

[8x]dx

I2

= 10 ·∫ [

x4]

dx−8 ·∫

[x]dx

I1

= 10(

x5

5+K1

)−8(

x2

2+K2

)A(x) = 2x5−4x2 +K

104 Integrais

b) Se b(x) = 3x5 +4x2, entao:∫b(x)dx =

∫ [3x5 + 4x2

]dx

I3

=∫ [

3x5]

dx +∫ [

4x2]

dx

I2

= 3 ·∫ [

x5]

dx+4 ·∫ [

x2]

dx

I1

= 3(

x6

6+K1

)+4(

x3

3+K2

)= 3 · x

6

6+4 · x

3

3+(3K1 +4K2)

B(x) =12

x6− 43

x3 +K

c) Se c(x) =2x3 −6

√x = 2x−3−6x1/2, entao:∫

c(x)dx =∫ [

2x−3 − 6x1/2]

dx

I3

=∫ [

2x−3]

dx −∫ [

6x1/2]

dx

I2

= 2 ·∫ [

x−3]

dx−6 ·∫ [

x1/2]

dx

I1

= 2(

x−2

−2+K1

)−6

(x3/2

3/2+K2

)

= 2 · 1−2x2 −6 · 2

√x3

3+(2K1−6K2)

C(x) =− 1x2 −4

√x3 +K

�

I4 – Exponencial:Se f (x) = ex = exp(x), entao:∫

[ex]dx = ex +K = exp(x)+K

� Exemplo 6.7 Utilizando as propriedades I1 – I4:


a) Se a(x) = 3−4ex, entao:

∫a(x)dx =

∫ [3x0−4ex

]dx

I3

=∫ [

3x0]

dx−∫

[4ex]dx

I2

= 3 ·∫ [

x0]

dx−4 ·∫

[ex]dx

I4

= 3(

x1

1+K1

)−4(ex +K2)

= 3x−4ex +(3K1−4K2)

A(x) = 3x−4ex +K

�

Observacao 6.3. Nao existe uma regra especıfica para o produto ou quo-ciente de duas funcoes quaisquer. Eventualmente sera possıvel reescrevera funcao original para a determinacao da integral indefinida, ou seja,modifica-la de tal forma, que possa ser integrado pelas regras anteriores.

� Exemplo 6.8 Seja f (x) = (x2) ·(

x4−5x2 +1)

.Observe que nao tem nenhuma propriedade para essa funcao, portantodevemos, se possıvel, modifica-la, para a utilizacao das propriedadesanteriores, por exemplo:

f (x) = (x2) ·(

3x4−5x2 +2)

= 3x6−5x4 +2x2

106 Integrais

portanto a integral indefinida e determinada como:

∫f (x)dx =

∫ [(x2) ·

(3x4−5x2 +2

)]dx

=∫ [

3x6−5x4 +2x2]

dx

=∫

3x6 dx−∫

5x4 dx+∫

2x2 dx

= 3∫

x6 dx−5∫

x4 dx+2∫

x2 dx

= 3(

x7

7

)−5(

x5

5

)+2(

x3

3

)+K

F(x) =3x7

7− x5 +

2x3

3+K

�

� Exemplo 6.9 Seja f (x) =5x6−4x2−3

x3Simplificando a funcao f (x), teremos:

f (x) =5x6−4x2−3

x3

=5x6

x3 −4x2

x3 −3x3

f (x) = 5x3− 4x−3x−3

Portanto, usando as propriedades anteriores, concluımos que:


∫f (x)dx =

∫ [5x6−4x2−3x3

]dx

=∫ [

5x3− 4x−3x−3

]dx

=∫

5x3 dx−∫ 4

xdx−

∫3x−3 dx

= 5∫

x3 dx−4∫ 1

xdx−3

∫x−3 dx

= 5(

x4

4

)−4(ln |x|)−3

(x−2

−2

)+K

F(x) =5x4

4−4ln |x|+ 3

2x2 +K

�

6.2 Integracao por Substituicao

A ideia dessa regra, e usar a regra da cadeia para uma determinadafuncao, usando para isso uma substituicao adequada de variaveis, tor-nando a integral resultante mais simples do que a integral original, tendodesta forma a possibilidade de integra-la.

� Exemplo 6.10 Utilizando o metodo da substituicao nas integrais indefini-das das funcoes abaixo, teremos que:

a) a(x) = 9(

x3−3x+4)8(

3x2−3)

Considerando u =(

x3−3x+4)

teremos a derivada:

u′ =dudx

= 3x2−3 =⇒ du = (3x2−3)dx

Substituindo: (x3−3x+4

)⇐⇒ u

(3x2−3)dx⇐⇒ du

108 Integrais

na integral abaixo, teremos:∫a(x)dx =

∫9(x3−3x+4︸︷︷︸

u

)8(3x2−3)dx︸︷︷︸

du

=∫

9u8du

= u9 +K

e finalmente desfazendo a substituicao anterior, concluımos que aintegral da funcao f (x) sera:

A(x) =∫

a(x)dx = (x3−3x+4︸︷︷︸u

)9+K

b) b(x) =4x3 +2x

x4 + x2−3

Considerando u =(

x4 + x2−3)

teremos que:

u′ =dudx

= 4x3 +2x =⇒ du = (4x3 +2x)dx

Substituindo: (x4 + x2−3

)⇐⇒ u

(4x3 +2x)dx⇐⇒ du

na integral abaixo, teremos:∫b(x)dx =

∫ 4x3 +2xx4 + x2−3

dx

=∫ 1

x4 + x2−3︸︷︷︸u

(4x3 +2x)dx︸︷︷︸du

=∫ 1

udu = ln |u|+K

e finalmente desfazendo a substituicao anterior, concluımos que aintegral da funcao b(x) sera:

B(x) =∫

b(x)dx = ln |x3−3x+4︸︷︷︸u

|+K


c) c(x) =x

x−1Considerando u = (x−1) teremos que:

u′ =dudx

= 1 =⇒ du = (1)dx

Substituindo:

(x−1)⇐⇒ u(1)dx⇐⇒ du

na integral abaixo, teremos:∫c(x)dx =

∫ xx−1

dx

=∫ u+1︷︸︸︷

xx−1︸︷︷︸

u

dx︸︷︷︸du

=∫ u+1

udu

=∫

1+1u

du

= u+ ln |u|+K

e finalmente desfazendo a substituicao anterior, concluımos que aintegral da funcao c(x) sera:∫

c(x)dx = x−1︸︷︷︸u

+ ln |x−1︸︷︷︸u

|+K

C(x) = x+ ln |x−1|+K

d) d(x) = x ln(x2 +5)

Considerando u =(

x2 +5)

teremos que:

u′ =dudx

= 2x =⇒ du = (2x)dx

Substituindo: (x2 +5

)⇐⇒ u

(x)dx⇐⇒ du2

110 Integrais

na integral abaixo, teremos:∫d(x)dx =

∫x ln(x2 +5)dx

=∫

ln(x2 +5︸︷︷︸u

)

du/2︷︸︸︷xdx

=∫

lnudu2

=12

∫lnudu

= . . . continua na proxima secao.

�

6.3 Integracao por Partes

Da propriedade da regra do produto para as derivadas

[g(x) ·h(x)]′ = g′(x) ·h(x)+g(x) ·h′(x)

podemos reescreve-la como:

g(x) ·h′(x) = [g(x) ·h(x)]′−g′(x) ·h(x)

Se uma funcao f (x) pode ser definida como:

f (x) = g(x) ·h′(x)

entao: ∫f (x)dx =

∫g(x) ·h′(x)dx

=∫ {

[g(x) ·h(x)]′−g′(x) ·h(x)}

dx

=∫

[g(x) ·h(x)]′dx−∫

g′(x) ·h(x)dx

= g(x) ·h(x)−∫

g′(x) ·h(x)dx (6.4)

Portanto da equacao 6.4, teremos a proxima regra.

6.3 Integracao por Partes 111

I5 – Por Partes:Se f (x) = g(x) ·h′(x), entao:∫

f (x)dx = g(x)h(x) −∫

g′(x)h(x)dx

Resumindo:

Se f = g ·h′ =⇒∫

f dx = gh −∫

g′hdx

� Exemplo 6.11 A integral indefinida da funcao f (x) = xex, determinadapor integracao por partes, e determinada como segue.Escolhendo

g(x) = xe

h′(x) = exteremos

g′(x) = 1eh(x) = ex

Logo, como

f (x) = g(x) ·h′(x)= (x) · (ex)

= xex

Temos pela regra da integracao por partes que:∫f (x)dx =

∫xex dx

=∫

(x)︸︷︷︸g

(ex)︸︷︷︸h′

dx

I5

= (x)︸︷︷︸g

(ex)︸︷︷︸h

−∫

(1)︸︷︷︸g′

(ex)︸︷︷︸h

dx

= xex−∫

ex dx

= xex− ex +K

F(x) = (x−1)ex +K

112 Integrais

Observe que, se tivessemos feito a escolhag(x) = ex

e

h′(x) = x

com

g′(x) = ex

e

h(x) =x2

2

E como f (x) = g(x) ·h′(x) terıamos:∫f (x)dx =

∫exxdx

=∫

(ex)︸︷︷︸g

(x)︸︷︷︸h′

dx

I5

= (ex)︸︷︷︸g

(x2

2

)︸︷︷︸

h

−∫

(ex)︸︷︷︸g′

(x2

2

)︸︷︷︸

h

dx

=x2ex

2− 1

2

∫x2ex dx

=x2ex

2− 1

2integral mais complexa

Como a integral∫

x2ex dx e mais complexa do que a integral original aescolha deve sempre ter como objetivo simplificar a integral, deixando-amais simples que a integral original. �

� Exemplo 6.12 A integral indefinida da funcao f (x) = lnx, determinadapor integracao por partes, e determinada como segue.Escolhendo

g(x) = lnxe

h′(x) = 1

teremos

g′(x) =

1x

eh(x) = x

Logo, como

f (x) = g(x) ·h′(x)= (lnx) · (1)= lnx

6.4 Integral Definida 113

Temos pela regra da integracao por partes que:∫f (x)dx =

∫lnxdx

=∫

(lnx)︸︷︷︸g

(1)︸︷︷︸h′

dx

I5

= (lnx)︸︷︷︸g

(x)︸︷︷︸h

−∫ (1

x

)︸︷︷︸

g′

(x)︸︷︷︸h

dx

= x lnx−∫

1dx

F(x) = x lnx− x+K

�

� Exemplo 6.13 Concluindo a integracao do exemplo d)) para a funcaoc(x)= x ln(x2+5) e usando o resultado anterior e considerando u= x2+5,temos: ∫

c(x)dx =∫

x ln(x2 +5)dx

=12

∫lnudu

=12[u lnu−u]+K

=12

(x2 +5)︸︷︷︸u

ln(x2 +5)︸︷︷︸u

−(x2 +5)︸︷︷︸u

+K

=(x2 +5) ln(x2 +5)− x2−5

2+K

C(x) =(x2 +5) ln(x2 +5)− x2

2+K

�

6.4 Integral Definida

A integral definida, no inıcio do seu desenvolvimento, estava agregadaa ideia do calculo das areas entre funcoes, que por sua vez esta relacio-nada com a determinacao das primitivas dessas funcoes, atraves de umimportante teorema.

114 Integrais

6.4.1 Teorema Fundamental do CalculoSuponha que f (x) seja uma funcao contınua e nao-negativa num intervaloI = [a,b], isto e, grafico da funcao encontra-se acima do eixo x.

Podemos calcular o valor aproximado da area entre o grafico de f (x)e o eixo x, compreendido entre x = a e x = b, do seguinte modo:

1. Dividindo-se o intervalo I = [a,b] em, por exemplo, n = 5 subdi-visoes iguais, ou seja, em 5 intervalos, dados por:

I1 = [c0,c1] = [a,c1] I4 = [c3,c4]

I2 = [c1,c2] I5 = [c4,c5] = [c4,b]I3 = [c2,c3]

com ci ∈ I = [a,b], c0 = a e c5 = b, conforme a Figura (6.3). Cadaintervalo tera o comprimento de:

∆x(n) =(b−a)

n= ci− c(i−1)

Figura 6.3: Representacoes de 5 areas (subdivisoes) para aproximacao da area entre oeixo x e o grafico da funcao f (x) no intervalo I = [a,b].

2. Escolhendo n = 5 valores xi ∈ Ii, por exemplo, os pontos medios decada intervalo Ii, teremos que cada um dos 5 retangulos tera a areadefinida por:

Ai = base×altura = ∆x(5)× f (xi)


3. Somando a area dos 5 retangulos, teremos uma aproximacao daarea A desejada, ou seja,

A≈ A1 +A2 +A3 +A4 +A5 =5

∑i=1

Ai

Se fizermos uma subdivisao maior, por exemplo, com n = 15 subdi-visoes iguais.

1. Teremos 15 intervalos, dados por:

I1 = [c0,c1] = [a,c1]

I2 = [c1,c2]...

I15 = [c14,c15] = [c14,b]

com ci ∈ I = [a,b], c0 = a e c15 = b, conforme a Figura 6.4.

Figura 6.4: Representacoes de 15 areas (subdivisoes) para aproximacao da area entre oeixo x e o grafico da funcao f (x) no intervalo I = [a,b].

2. Escolhendo n = 15 valores xi ∈ Ii, teremos que cada um dos 15retangulos tera a area definida por:

Ai = base×altura = ∆x(15)× f (xi)

116 Integrais

3. Somando a area dos 15 retangulos, teremos uma aproximacao daarea A desejada, ou seja,

A≈ A1 + · · ·+A15 =15

∑i=1

Ai

Observe que, quanto maior o valor das n subdivisoes, o valor da somadas areas dos n retangulos aproxima-se da area desejada A.

Portanto a area total sera, no limite, igual a:

A = limn→∞

n

∑i=1

Ai = limn→∞

n

∑i=1

[∆x(n)× f (xi)

]Definicao 6.2 — Integral Definida.

A Integral Definida de uma funcao f (x) no intervalo I = [a,b] e olimite, caso exista, dado por:

b∫a

f (x)dx = limn→∞

n

∑i=1

[∆x(n)× f (xi)

]

Figura 6.5: Representacao da area A entre o eixo x e o grafico da funcao f (x) no intervaloI = [a,b].

Observacao 6.4. Caso a funcao f (x) seja contınua e nao-negativa nointervalo I = [a,b], a integral definida sera exatamente a area A entre o


eixo x e o grafico da funcao f (x) nesse intervalo, ver Figura 6.5, ou seja:

A =

b∫a

f (x)dx

Teorema 6.4.1 — TFC.

Seja f (x) uma funcao contınua no intervalo I = [a,b] e seja F(x) foruma primitiva dessa funcao nesse intervalo, entao:

b∫a

f (x)dx = F(b)−F(a)

Observacao 6.5. O teorema 6.4.1 e chamado de Teorema Fundamentaldo Calculo (TFC), pois relaciona os conceitos de derivadas e integral.

� Exemplo 6.14 A area entre o grafico da funcao f (x) = x2 + 3 e o eixox no intervalo I = [−1,2], observado na Figura 6.6, e determinada peloteorema fundamental do calculo (TFC).

Figura 6.6: Representacao da area entre o eixo x e o grafico da funcao f (x) = x2 +3definida no intervalo I = [−1,2].

Portanto teremos que a area A sera calculada por:

A =

2∫−1

f (x)dx

118 Integrais

Como F(x) =x3

3+3x+K e uma primitiva de f (x), teremos:

A =

2∫−1

f (x)dxT FC

== F(2)−F(−1)

=

[(2)3

3+3(2)+K

]−[(−1)3

3+3(−1)+K

]=

[263+K

]−[−10

3+K

]=

263+

103

=363

A = 12

Conclusao: A area sera de 12 u.a. (unidades de area). �

� Exemplo 6.15 A area entre o grafico da funcao f (x) =−x2+1 e o eixo xno intervalo I = [−1,2], observado na Figura 6.7.

Figura 6.7: Representacao da area entre o eixo x e o grafico da funcao f (x) definida nointervalo I = [−1,2].

Obs1 Note que e possıvel usar o teorema fundamental do calculo parase encontrar a area A1 no intervalo I1 = [−1,1] no qual a funcao enao-negativa.

Obs2 Para calcular a area A2 no intervalo I2 = [1,2] basta calcular aintegral definida nesse intervalo, considerando-se a funcao simetricaem relacao ao eito x, ou seja, − f (x).


Portanto a area desejada sera Atotal = A1 +A2.

Atotal = A1 +A2

=

1∫−1

f (x)dx+2∫

1

[− f (x)]dx

Atotal =

1∫−1

f (x)dx−2∫

1

f (x)dx

Como F(x) =−x3

3+ x+K e uma primitiva de f (x), teremos:

A1 =

1∫−1

f (x)dxT FC

== F(1)−F(−1)

=

[−(1)

3

3+(1)+K

]−[−(−1)3

3+(−1)+K

]=

[23+K

]−[−2

3+K

]=

23+

23

A1 =43

A2 =

2∫1

[− f (x)]dx =−

2∫

1

f (x)dx

T FC

==−{F(2)−F(1)}= F(1)−F(2)

=

[−(1)

3

3+(1)+K

]−[−(2)

3

3+(2)+K

]=

[23+K

]−[−2

3+K

]=

23+

23

A2 =43

Conclusao:

Atotal = A1 +A2 =43+

43=

83

120 Integrais

A area total sera de83

u.a.�

Observacao 6.6. Ao calcular a integral da funcao f (x) = −x2 + 1 nointervalo I = [−1,2] (Figura 6.7) do exemplo anterior, teremos:

2∫−1

f (x)dxT FC

== F(2)−F(−1)

=

[−(2)

3

3+(2)+K

]−[−(−1)3

3+(−1)+K

]=

[−2

3+K

]−[−2

3+K

]=−2

3+

23

2∫−1

f (x)dx = 0

Nao representa numericamente uma area.

� Exemplo 6.16 A area entre os graficos das funcoes f (x) = x2+3 e g(x) =−x2 +1 contido no intervalo I = [−1,2], observado na Figura 6.8.

Figura 6.8: Representacao da area entre os graficos da funcao f (x) e g(x) definidas nointervalo I = [−1,2].

Obs1 A area A1 no intervalo −1≤ x≤ 1 e a diferenca das areas entre o


eixo x e os graficos das funcoes f (x) e g(x), ou seja:

A1 =

1∫−1

f (x)dx−1∫−1

g(x)dx

=

1∫−1

[ f (x)−g(x)]dx

Obs2 A area A2 no intervalo 1≤ x≤ 2 e a soma das areas entre o eixo xe os graficos das funcoes f (x) e −g(x), ou seja:

A2 =

2∫1

f (x)dx+2∫

1

−g(x)dx

=

2∫1

[ f (x)−g(x)]dx

Portanto a funcao h(x)= [ f (x)−g(x)] = 2x2+2 e contınua e nao negativae satisfaz o teorema, logo

Atotal = A1 +A2

=

1∫−1

h(x)dx+2∫

1

h(x)dx

Atotal =

2∫−1

h(x)dx

122 Integrais

Como H(x) =23

x3 +2x+K e uma primitiva de h(x), teremos:

Atotal =

2∫−1

h(x)dxT FC

== H(2)−H(−1)

=

[23(2)3 +2(2)+K

]−[

23(−1)3 +2(−1)+K

]=

[283+K

]−[−8

3+K

]=

283+

83=

363

Atotal = 12

Conclusao: A area total sera de 12 u.a. �

� Exemplo 6.17 A area entre os grafico da funcao f (x) = x2 e o grafico dafuncao g(x) =−x2 +2 no intervalo I = [−1,2], observado na Figura 6.9.

Figura 6.9: Representacao da area entre os graficos das funcoes f (x) e g(x) definidas nointervalo I = [−1,2].

Obs1 A area A1 no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 e a diferenca entre as areasentre o eixo x e os graficos das funcoes g(x) e f (x), isto e:

A1 =

1∫−1

[g(x)− f (x)]dx

Obs2 A area A2 no intervalo 1≤ x≤ 2 e a diferenca entre as areas entre


o eixo x e os graficos das funcoes f (x) e g(x), ou seja:

A2 =

2∫1

[ f (x)−g(x)]dx

Logo a area total Atotal sera:

Atotal = A1 +A2

=

1∫−1

[g(x)− f (x)]dx+2∫

1

[ f (x)−g(x)]dx

Para resolver essas integrais, vamos utilizar uma funcao auxiliar h(x)como a diferenca entre as funcoes f (x) e g(x), ou seja:

h(x) = [ f (x)−g(x)]

= (x2)− (−x2 +2)

h(x) = 2x2−2

Dessa forma:

Atotal =

1∫−1

−h(x)dx+2∫

1

h(x)dx

Como H(x) =2x3

3−2x+K e uma primitiva de h(x), teremos:

A1 =

1∫−1

−h(x)dx =−

1∫−1

h(x)dx

T FC

==−{H(1)−H(−1)}= H(−1)−H(1)

=

[2(−1)3

3−2(−1)+K

]−[

2(1)3

3−2(1)+K

]=

[43+K

]−[−4

3+K

]=

43+

43

A1 =83

124 Integrais

A2 =

2∫1

h(x)dxT FC

== H(2)−H(1)

=

[2(2)3

3−2(2)+K

]−[

2(1)3

3−2(1)+K

]=

[43+K

]−[−4

3+K

]=

43+

43

A2 =83

Conclusao:

Atotal = A1 +A2 =83+

83=

163

A area total sera de163

u.a. �

6.5 Aplicacoes

6.5.1 Populacao� Exemplo 6.18 — Populacao. Estima-se que, daqui a t meses, o numero dehabitantes de uma cidade estara aumentando a razao de:

(2+6√

t) habitantes por mes.

A populacao atual dessa cidade e de 5.000 pessoas. Qual sera a populacaodaqui a 3 anos?Solucao:

Vamos considerar a funcao P(t) como sendo o numero de habitantesda cidade daqui a t meses. Como e dada a taxa de variacao do numero dehabitantes (dP) pelo tempo (dt), temos:

P′(t) =dPdt

= 2+6√

t

Como a funcao P(x) e a primitiva de P′(t), entao:

P(t) =∫

P′(t)dt

=∫[2+6

√t]dt

P(t) = 2t +4√

t3 +K

6.5 Aplicacoes 125

Temos para t = 0 que o numero de habitantes e 5.000, logo P(0) = 5.000,ou seja, a contante K = 5.000. Dessa forma a funcao numero de habitantesP(t) e definida por:

P(t) = 2t +4√

t3 +5.000

E o numero de habitantes, daqui a 3 anos, ou seja, daqui a 36 meses, serade 5.936 , pois:

P(36) = 2(36)+4√

(36)3 +5.000 = 5.936

�

6.5.2 Desvalorizacao� Exemplo 6.19 — Desvalorizacao. O preco de revenda de uma certa maquinadecresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. Quando a maquinatinha t anos de uso, a taxa de variacao do seu valor era de:

200(t−10) reais por ano.

Se a maquina foi comprada por R$ 12.000,00, quanto valera 10 anosdepois?Solucao:

Seja R(t) o preco de revenda daqui a t anos. Como e dada a taxa devariacao do valor de revenda (dR) pelo tempo (dt), temos:

R′(t) =dRdt

= 200(t−10) = 200t−2.000

Como a funcao R(t) e a primitiva de R′(t), entao:

R(t) =∫

200t−2.000dt

= 200t2

2−2.000t +K

R(t) = 100t2−2.000t +K

A maquina foi comprada por R$ 12.000,00, ou seja, para t = 0, R(0) =12.000, ou seja, a constante K = 12.000. Dessa forma a funcao preco derevenda R(t) e definida por:

R(t) = 100t2−2.000t +12.000

126 Integrais

E o preco de revenda daqui a 10 anos, sera no valor de R$ 2.000,00 ,pois:

R(10) = 100(10)2−2.000(10)+12.000 = 2.000

�

� Exemplo 6.20 — Desvalorizacao. O preco de revenda de uma certa maquinadecresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. Quando a maquinatinha t anos de uso, a taxa de variacao do seu valor era de

−960e(−t/5) reais por ano

Se a maquina foi comprada por R$ 5.000,00, quanto valera 10 anosdepois?Solucao:

Seja R(t) o preco de revenda daqui a t anos. Como e dada a taxa devariacao do valor de revenda (dR) pelo tempo (dt), temos:

R′(t) =dRdt

=−960e(−t/5)


R(t) =∫−960e(−t/5)dt

Usando a substituicao u =− t5

com

u′ =dudt

=−15=⇒ −5du = dt

logo fazendo as devidas substituicoes na integral, teremos que:

R(t) =∫−960e(−t/5)dt

=−960∫

e(

u︷︸︸︷−t/5)

−5du︷︸︸︷dt

=−960∫−5eu du

= (−960) · (−5)∫

eu du

= 4800eu +K

R(t) = 4800e(−t/5)+K

6.5 Aplicacoes 127

A maquina foi comprada por R$ 5.000,00, ou seja, para t = 0, R(0) =5.000, ou seja, a constante K = 200. Dessa forma a funcao preco derevenda R(t) e definida por:

R(t) = 4800e(−t/5)+200

E o preco de revenda daqui a 10 anos, sera no valor de R$ 849,61 , pois:

R(10) = 4800e(−10/5)+200

=4800e2 +200

≈ 48007,389

+200

≈ 849,6093

�

6.5.3 Valorizacao� Exemplo 6.21 — Valorizacao. Estima-se que um certo objeto valoriza auma taxa de:

0,4t3√0,2t4 +8.000

reais por ano.

Quanto valera daqui a 10 anos o objeto que atualmente vale R$ 500,00?Solucao:

Seja P(t) o preco daqui a t anos. Como e dada a taxa de variacao dopreco (dP) pelo tempo (dt), temos:

P′(t) =dPdt

=0,4t3√

0,2t4 +8.000

Como a funcao P(t) e a primitiva de P′(t), entao:

P(t) =∫ 0,4t3√

0,2t4 +8000dt

Usando a substituicao u = 0,2t4 +8000 com

u′ =dudt

= 0,8t3 =⇒ du = 0,8t3 dt

128 Integrais

logo fazendo as devidas substituicoes na integral, teremos que:

P(t) =∫ 0,4t3√

0,2t4 +8000dt

=∫ 1√

0,2t4 +8000︸︷︷︸√u

(0,4t3)dt︸︷︷︸du/2

=12

∫ 1√u

du =12(2√

u)+K =

√u+K

P(t) =√

0,2t4 +8000+K

O objeto vale R$ 500,00, ou seja, para o tempo t = 0, P(0) = 500, ouseja, a constante K = 410,56. Dessa forma a funcao preco P(t) e definidapor:

P(t) =√

0,2t4 +8000+410,56

E o preco daqui a 10 anos, sera no valor de R$ 510,56 , pois:

P(10) =√

0,2(10)4 +8000+410,56

= 100+410,56= 510,56

�

6.5.4 Receita Futura� Exemplo 6.22 — Receita Futura. Um poco de petroleo produz 300 barrisde petroleo por mes. Este poco devera secar em 3 anos. Estima-se que,daqui a t meses, o preco do barril de petroleo sera de (18+0,3

√t) dolares.

Como o petroleo e vendido logo que extraıdo, qual sera a receita totalfutura do poco?Solucao:

Seja R(t) a receita total futura. Temos as taxas de variacao:

dBdt

= 300 ⇐⇒ Nº de barris de petroleo por mes

dRdB

= 8+0,3√

t ⇐⇒ Dolares por barril.

6.5 Aplicacoes 129

Portanto a variacao da receita dR pelo tempo dt, sera:

R′(t) =dRdt

=dRdB× dB

dt= (8+0,3

√t)×300

R′(t) = 5.400+90√

t


R(t) =∫

R′(t)dt

=∫

5.400+90√

t dt

R(t) = 5.400t +60√

t3 +K

A receita inicial e R$ 0,00, ou seja, para o tempo t = 0, R(0) = 0, ou seja,a constante K = 0,00. Dessa forma a funcao receita R(t) e definida por:

R(t) = 5.400t +60√

t3

Como o poco secara em 36 meses, a receita futura total do poco sera deU$ 207.360,00 , pois:

R(36) = 5.400× (36)+60√

363 = 207.360

�

matematica aplicada´ a` tecnologos´

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