Matematika 1 - 06

Postupnosti

Matematika 1 -06 2

Definícia:

Nekonečnou postupnosťou reálnych čísel nazývame zobrazenie 𝑓:𝑁 → 𝑅 množiny prirodzených čísel 𝑁 do množiny reálnych čísel 𝑅.

𝑎𝑛 𝑛=1∞ = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, …

Označenie:

Spôsoby určenia postupnosti:

Matematika 1 -06 3

• Explicitne t. j. pomocou vyjadrenia člena 𝑎𝑛postupnsti.

Príklad:

𝑎𝑛 =𝑛 + 2

2𝑛 + 3alebo

𝑛+2

2𝑛+3 𝑛=1

∞

3

5,4

7,5

9,6

11,7

13, ....

Matematika 1 -06 4

Matematika 1 -06 5

Rekurentnet. j. vzorcom na výpočet člena 𝑎𝑛pomocou člena 𝑎𝑛−1 a zadaním člena 𝑎1

Príklad:

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 3, 𝑎1 = −1

1, 5, 13, 29, 61, ....

Matematika 1 -06 6

Opakovanie

Definícia:Postupnosť sa nazýva aritmetická (AP) práve vtedy, keď rozdiel dvoch jej susedných členov je konštantný. Tento rozdiel sa nazýva diferencia a označovať ho budeme 𝑑.

Vlastnosti AP• 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑, kde poznáme 𝑎1• 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑• pre dva ľubovoľné členy 𝑎𝑟 , 𝑎𝑠 AP platí: 𝑎𝑟 = 𝑎𝑠 + 𝑟 − 𝑠 𝑑

• pre súčet 𝑠𝑛 prvých 𝑛 členov AP platí: 𝑠𝑛 =𝑛

2𝑎1 + 𝑎𝑛

Matematika 1 -06 7

Opakovanie

Definícia:Postupnosť sa nazýva geometrická (GP) práve vtedy, keď podiel dvoch jej susedných členov je konštantný. Tento podiel sa nazýva kvocient a označujeme ho 𝑞 𝑞 ≠ 1 .

Vlastnosti GP• 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑞, pričom poznáme 𝑎1• 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞

𝑛−1

• pre dva ľubovoľné členy 𝑎𝑟 , 𝑎𝑠 GP platí: 𝑎𝑟 = 𝑎𝑠𝑞𝑟−𝑠

• pre súčet 𝑠𝑛 prvých 𝑛 členov GP platí: 𝑠𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1

𝑞−1,

Matematika 1 -06 8

Základné vlastnosti postupností

Postupnosť 𝑎𝑛 sa nazýva:

Definícia:

a) rastúca, ak pre každé 𝑛 ∈ 𝑁 platí 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1,

b) klesajúca, ak pre každé 𝑛 ∈ 𝑁 platí 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1,

c) nerastúca, ak pre každé 𝑛 ∈ 𝑁 platí 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1,

d) neklesajúca, ak pre každé 𝑛 ∈ 𝑁 platí 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1,

Matematika 1 -06 9

Definícia:Postupnosť 𝑎𝑛 𝑛=1

∞ sa nazýva:zhora ohraničená, ak existuje konštanta 𝐾, že pre každé 𝑛 ∈ 𝑁 platí 𝑎𝑛 ≤ 𝐾zdola ohraničená, ak existuje konštanta 𝑘, že pre každé 𝑛 ∈𝑁 platí 𝑎𝑛 ≥ 𝑘,ohraničená, ak je ohraničená zdola aj zhora.

Matematika 1 -06 10

Definícia:Nech je daná postupnosť 𝑎𝑛 𝑛=1

∞ a rastúca postupnosť prirodzených čísel 𝑘𝑛 𝑛=1

∞ . Potom postupnosť 𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2,…, čiže

𝑎𝑘𝑛 𝑛=1

∞nazývame vybranou postupnosťou z postupnosti

𝑎𝑛 𝑛=1∞ .

Matematika 1 -06 11

Limita postupnosti

Definícia:Budeme hovoriť, že číslo L je limitou postupnosti 𝑎𝑛 a písať

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑛 > 𝑛0 ⇒ 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀.

Definícia:Postupnosť, ktorá má limitu, sa nazýva konvergentná, ináč sa nazýva divergentná.

Matematika 1 -06 12

Základné vety o limite postupnosti

a) Každá postupnosť má najviac jednu limitu

b) Konvergentná postupnosť je ohraničená.

c) Postupnosť vybraná z konvergentnej postupnosti 𝑎𝑛 𝑛=1

∞ je tiež konvergentná a má rovnakú limitu ako postupnosť 𝑎𝑛 𝑛=1

∞ .

Matematika 1 -06 13

Veta:a) Ak postupnosť 𝑎𝑛 𝑛=1

∞ je neklesajúca a zhora ohraničená, potom je konvergentná.

b) Ak postupnosť 𝑎𝑛 𝑛=1∞ je nerastúca a zdola ohraničená,

potom je konvergentná.

Veta:(O limite troch postupností, o zovretí)Nech lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐴, lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = 𝐴 a nech pre každé prirodzené

číslo 𝑛 platí 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛. Potom ajlim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝐴

Matematika 1 -06 14

Veta:Ak lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0 a 𝑏𝑛 je ohraničená, potom lim

𝑛→∞𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = 0.

Veta:Nech lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐴, lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐵. Ak 𝐴 < 𝐵, tak pre skoro

všetky jej členy platí 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛.

Veta:Nech lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐴, lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐵. Ak platí 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 pre

skoro všetky členy, tak 𝐴 ≤ 𝐵.

Matematika 1 -06 15

Veta (o operáciách s limitami):

Nech lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐴, lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝐵. Potom platí:

a) lim𝑛→∞

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝐴 + 𝐵

b) lim𝑛→∞

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 𝐴 − 𝐵

c) lim𝑛→∞

𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = 𝐴.𝐵

d) lim𝑛→∞

𝑐. 𝑎𝑛 = 𝑐. lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝑐. 𝐴

e) lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝐴

𝐵(za podmienky 𝐵 ≠ 0, 𝑏𝑛 ≠ 0)

Matematika 1 -06 16

Veta: (Bolzano-Weierstrass)Z každej ohraničenej postupnosti sa dá vybrať konvergentná postupnosť.

Veta: (Bolzano-Cauchy)Postupnosť 𝑎𝑛 je konvergentná práve vtedy, keď spĺňa tzv. Bolzano-Cauchyovu podmienku

∀𝜀 > 0 ∃ 𝑝 ∈ 𝑁 ∀𝑛,𝑚 ∈ 𝑁: 𝑛 > 𝑝 ∧ 𝑚 > 𝑝

⇒ 𝑎𝑛 − 𝑎𝑚 < 𝜀.

Matematika 1 -06 17

Príklad:

lim𝑛→∞

1

𝑛=0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

an=1/n

Matematika 1 -06 18

Nevlastná limita

Definícia:Budeme hovoriť, že postupnosť 𝑎𝑛 𝑛=1

∞ má nevlastnú limitu plus nekonečno a písať lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = ∞ práve vtedy, keď pre každé

reálne číslo 𝐴 existuje prirodzené číslo 𝑛0 také, že pre všetky prirodzené 𝑛 > 𝑛0 platí 𝑎𝑛 > 𝐴.

Definícia:Budeme hovoriť, že postupnosť 𝑎𝑛 má nevlastnú limitu mínus nekonečno a písať lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = −∞ práve vtedy, keď

∀𝐴 ∈ 𝑅 ∃𝑛0 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑛 > 𝑛0 ⇒ 𝑎𝑛 < 𝐴.

Matematika 1 -06 19

Veta:Nech lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = ∞ a postupnosť 𝑏𝑛 je ohraničená. Potom

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = ∞.

Symbolické operácie pre +∞ a −∞ :a) 𝑎 +∞ = ∞+ 𝑎 = ∞b) ∞+∞ = ∞c) 𝑎 −∞ = −∞+ 𝑎 = −∞d) −∞−∞ = −∞e) 𝑎.∞ = ∞. 𝑎 = ∞, pre 𝑎 > 0f) 𝑎.∞ = ∞. 𝑎 = −∞, pre 𝑎 < 0g) ∞.∞ = ∞, −∞ . −∞ = ∞h) ∞. −∞ = −∞ .∞ = −∞

i)𝑎

∞=

𝑎

−∞= 0

Matematika 1 -06 20

Definícia:

Limitu postupnosti 𝑎𝑛 = 1 +1

𝑛

𝑛označujeme 𝑒 a nazývame

Eulerovo číslo t. j.

lim𝑛→∞

1 +1

𝑛

𝑛

= 𝑒 ≐ 2,71828182…

Matematika 1 -06 21

Veta:Nech ∀𝑛 ∈ 𝑁 je 𝑎𝑛 ≠ 0 a lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = ∞. Potom

lim𝑛→∞

1 +1

𝑎𝑛

𝑎𝑛= 𝑒.

Matematika 1 -06 22

Dovidenia za týždeň