matricë quhet çdo...
TRANSCRIPT
3
Matricë quhet çdo tabelë
drejtkëndore me elemente
numra realë (ose kompleks )
Matrica me m rreshta dhe n kolona
quhet matricë e tipit m x n.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn mxn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Rreshti 1
Rreshti 2
Rreshti 3
Rreshti m
Kolona 1 Kolona 2 Kolona 3 Kolona n
4
Një matricë paraqitet në këtë mënyrë:
5
• Matrica simbolikisht shënohet:
ij mxnA a
1,2,...,
1,2,...,
i m
j n
• Matrica e tipit nxn quhet matricë katrore, kurse
matrica e tipit 1xn, gjegjësisht nx1, quhet matricë
rreshtore, gjegjësisht matricë shtyllore.
2,3,4A matrica rresht
2
3
4
A
matrica shtyllë
1 2
3 4A
matrica katrore
• Matrica quhet zero matricë, nëse
6
ij mxnA a 0, ,ija i j
• Matrica quhet zero skalare, nëse kurse
ij mxn
A a ,ija a
0,ija i j
• Në veçanti për a=1, matrica skalare , quhet zero njësi e
rendit n dhe shënohet me I=In :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
8
a) Barazimi i matricave
Dy matrica dhe janë të barabarta
(A=B ), nëse janë të të njejtit tip (m=p, n=q ), kurse
elementet përkatëse i kanë të barabarta, d.m.th.
vlenë: .
ij mxnA a ij pxq
B b
,i j
ij ija b
Shembulli 1. Matricat e mëposhtme janë të barabarta
2 1
log100 3A
2 sin 90
2 3B
Pra A=B
9
b) Shumëzimi i matricës me skalar
Matrica shumëzohet me skalarin , nëse
çdo element i matricës A shumëzohet me . Pra: ij mxn
A a
ij ijmxn mxna a
Shembulli 2. Matricat të shumëzohet me numrin 3. 2 3
1 4A
Zgjidhje 2 3 6 9
3 31 4 3 12
A
5 0
4 1A
A + B 5 6 0 3
4 2 1 3
1 3
6 4
10
c) Shuma e matricave
Le të jenë dhënë matricat dhe d.m.th.
matrica të tipit të njejtë. Shumë të matricave A dhe B
quajmë matricën A+B, e cila përkufizohet si vijonë :
ij mxnA a ij mxn
B b
A+B= ij ij ij ijmxn mxn mxna b a b
Shembulli 3. Janë dhënë matricat: 6 3
2 3B
Shuma e tyre është :
dhe
11
Ndryshim i matricave A dhe B quhet matricën A+(-B)
dhe shenohet : A-B=A+(-B)
Shembulli 4. Janë dhënë matricat: 1 2
3 4
5 0
A
2 4
6 3
7 2
B
dhe
Ndryshimi i tyre do të jetë
1 2 2 4
3 6 4 3
5 7 0 2
A - B
1 6
3 7
2 2
d) Ndryshimi i matricave
12
e) Transponimi i matricës
Nëse në matricën rreshtat ndrrohen me shtyllat,
atëherë matrica e fituar quhet matricë e transponuar e
matricës A dhe shënohet
ij mxnA a
T
ji nxmA a
Shembulli 5. Nëse , atëherë 1 2
3 4
5 0
A
1 3 5
2 4 0
TA
13
f) Shumëzimi i matricave
Le të jenë dhe dy matrica të tilla që
numri i shtyllave të matricës së parë A të jetë i barabartë
me numrin e rreshtave të matricës së dytë B.
Në këtë rast shumëzimi është i mundur dhe
prodhimi do të jetë i tipit mxp .
ij mxnA a ij nxp
B b
A BA B C
1
( 1,2,..., ; 1,2,..., )n
ij ik kj
k
c a b i m j p
Shembulli 6. Nëse dhe , atëherë 2 3 4A
1
1
2
A B 2 3 4
1
1
2
B
2 1 3 ( 1) 4 2 7
14
Shembulli 7. Janë dhënë matricat:
3 1 2
0 1 1A
1 5
1 2
1 1
B
dhe
Të gjendet A B
Zgjidhje
A B 3 1 2
0 1 1
1 5
1 2
1 1
3 1 1 1 2 1 3 5 1 2 2 1
0 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 1
3 1 2 15 2 2
0 1 1 0 2 1
4 19.
2 1
3 1 1 1
2 1