mecanique des fluides ecn 2008
DESCRIPTION
Ce document polycopié correspond au support de cours de Mécanique des Fluides enseigné en première année àl’École Centrale. Il constitue une introduction à l’étude des phénomènes de transport de masse, de quantité demouvement et d’énergie dans les écoulements de fluides.TRANSCRIPT
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MECANIQUE DES FLUIDES__________________
Jean-Franois SINI
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AVANT-PROPOS
Ce document polycopi correspond au support de cours de Mcanique des Fluides enseign en premire anne
lcole Centrale. Il constitue une introduction ltude des phnomnes de transport de masse, de quantit de
mouvement et dnergie dans les coulements de fluides.
La premire partie (chapitres 2 9) prsente les notions et principes gnraux de la thermodynamique et de la
Mcanique qui permettent dtablir les quations de bilans dans un fluide. Leur formalisation en criture locale dans
le cas des fluides usuels aboutit aux quations dites de Navier-Stokes. Ces dveloppements gnraux, associs un
formalisme rigoureux, peuvent apparatre quelque peu thoriques aux yeux dun lve ingnieur, mais ils constituent
la base indispensable de lanalyse des systmes fluides. Ils permettent de cerner les approximations usuelles
gnralement utilises dans ltude simplifie des coulements industriels complexes. ce propos, le chapitre 10
prsente les notions essentielles permettant de rduire consciemment le systme de Navier-Stokes et de justifier au
cas par cas les hypothses simplificatrices qui conduisent aux diffrentes classes dapproximations de la Mcanique
des Fluides.
La deuxime partie du document (chapitres 11 15), aprs quelques lments de Statique et des (rares) solutions
exactes des quations de Navier-Stokes, prsente un aspect plus appliqu, adapt la formation dun ingnieur
gnraliste. Les quations de bilans intgraux de masse, de quantit de mouvement et dnergie, illustres ici sur le
cas simple des coulements de conduites, permettent daborder dun point de vue global, de nombreux problmes
courants de la Mcanique des Fluides Industrielle. Lessentiel des manipulations de Travaux Pratiques porte sur
lillustration de ces notions.
Un enseignement complmentaire lectif est propos en 2me anne aux lves qui le souhaitent(*). Il sagit non
pas tant dtendre les concepts ou le contenu au-del de ce qui est prsent ici, mais de mettre en uvre les acquis
sur des applications industrielles concrtes par ltude de quelques classes dapproximations.
Pour la rdaction de ce cours polycopi, jai utilis librement de nombreux ouvrages classiques et quelques
documents de certains collgues, tous disponibles la bibliothque de lcole Centrale. Jespre que ce polycopi
constituera une invitation la lecture de ces livres.
Jean-Franois Sini
Nantes, le 4 juillet 2006
(*) Cet enseignement lectif (MFLAP), incontournable pour les options Hydrodynamique Navale et Gnie Ocanique etMcanique des Fluides Numrique, est fortement recommand pour les lves sorientant en 3me anne vers les optionsEnergtique & Environnement et Gnie Civil les autres sont aussi les bienvenus!
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SOMMAIRE
Chapitre 1 Vecteurs et tenseurs................................................................................................................ 1
1.1 Vecteurs ........................................................................................................................................................ 11.1.1 Espace vectoriel Euclidien......................................................................................................................... 11.1.2 Convention de lindice muet...................................................................................................................... 21.1.3 Changement de base .................................................................................................................................. 2
1.2 TENSEURS........................................................................................................................................................... 31.2.1 Dfinitions ................................................................................................................................................. 31.2.2 Changement de base .................................................................................................................................. 41.2.3 Oprations sur les tenseurs ........................................................................................................................ 51.2.4 Le tenseur dorientation ............................................................................................................................. 7
1.3 OPRATEURS VECTORIELS ET TENSORIELS ......................................................................................................... 81.3.1 Notations.................................................................................................................................................... 81.3.2 Dfinitions ................................................................................................................................................. 81.3.3 Notation dyadique.................................................................................................................................... 101.3.4 Identits ................................................................................................................................................... 111.3.5 Relations intgrales.................................................................................................................................. 11
PREMIERE PARTIE
Chapitre 2 Introduction .......................................................................................................................... 15
2.1 CONCEPTS GNRAUX ...................................................................................................................................... 152.1.1 Ltat fluide ............................................................................................................................................. 152.1.2 Le concept de milieu continu................................................................................................................... 162.1.3 Limites de lhypothse de continuit ....................................................................................................... 182.1.4 Surfaces de discontinuit ......................................................................................................................... 18
2.2 PROPRITS THERMODYNAMIQUES DES FLUIDES.............................................................................................. 182.2.1 Axiome de lquilibre local ..................................................................................................................... 182.2.2 quation dtat......................................................................................................................................... 192.2.3 Premier principe et nergie interne .......................................................................................................... 202.2.4 Second principe et entropie...................................................................................................................... 232.2.5 Forme diffrentielle de lnergie interne et de lentropie ........................................................................ 242.2.6 quations dtat canoniques, enthalpie.................................................................................................... 262.2.7 Quelques dfinitions ................................................................................................................................ 26
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Chapitre 3 Cinmatique .......................................................................................................................... 29
3.1 DESCRIPTION DU MOUVEMENT..........................................................................................................................293.1.1 Notions de rfrentiel et de configuration ................................................................................................293.1.2 Description Lagrangienne ........................................................................................................................303.1.3 Description Eulerienne .............................................................................................................................31
3.2 DRIVE PARTICULAIRE ....................................................................................................................................313.2.1 Taux de variation dune grandeur matrielle............................................................................................313.2.2 Acclration dune particule fluide ..........................................................................................................33
3.3 RFRENTIEL INERTIEL ET RFRENTIEL RELATIF .............................................................................................333.4 LIGNES FLUIDES ................................................................................................................................................34
3.4.1 Trajectoires...............................................................................................................................................343.4.2 Lignes de courant .....................................................................................................................................353.4.3 Lignes dmission.....................................................................................................................................36
Chapitre 4 Dformation et rotation........................................................................................................ 37
4.1 TRANSLATION ...................................................................................................................................................374.2 ROTATION .........................................................................................................................................................384.3 DILATATION......................................................................................................................................................394.4 CISAILLEMENT ..................................................................................................................................................404.5 DCOMPOSITION DU MOUVEMENT GNRAL DUNE PARTICULE........................................................................42
4.5.1 Cas 2D......................................................................................................................................................424.5.2 Cas 3D......................................................................................................................................................434.5.3 Taux de dallongement dun segment fluide ............................................................................................43
4.6 TENSEUR DES TAUX DE DFORMATION ET TENSEUR DES TAUX DE ROTATION ...................................................44
Chapitre 5 Thormes de transport ....................................................................................................... 47
5.1 VOLUMES ET SURFACES DE CONTRLE..............................................................................................................475.2 FORMULATION DES THORMES DE TRANSPORT ...............................................................................................48
5.2.1 Cas gnral dun volume de contrle arbitraire........................................................................................485.2.2 Cas dun volume de contrle fixe.............................................................................................................505.2.3 Cas dun volume de contrle matriel Vm(t) ...........................................................................................505.2.4 Expression du thorme de transport en vitesse relative ..........................................................................505.2.5 Thorme de transport pour un champ vectoriel ......................................................................................50
5.3 FORMES ALTERNATIVES DES THORMES DE TRANSPORT .................................................................................505.4 THORMES DE TRANSPORT EN PRSENCE DUNE SURFACE SINGULIRE...........................................................515.5 APPLICATIONS...................................................................................................................................................52
5.5.1 Le taux de dilatation volumique ...............................................................................................................525.5.2 Lquation de continuit...........................................................................................................................53
Chapitre 6 Le tenseur des contraintes.................................................................................................... 55
6.1 EFFORTS DISTANCE - EFFORTS DE CONTACT...................................................................................................556.1.1 Schma macroscopique des contraintes ...................................................................................................556.1.2 Proprit des contraintes locales...............................................................................................................56
6.2 LE TENSEUR DES CONTRAINTES.........................................................................................................................576.2.1 Reprsentation des forces de surface par le tenseur des contraintes.........................................................576.2.2 Composantes du tenseur des contraintes ..................................................................................................596.2.3 Symtrie du tenseur des contraintes .........................................................................................................596.2.4 Notion de pression statique ......................................................................................................................606.2.5 Le tenseur des contraintes visqueuses ......................................................................................................62
Chapitre 7 quations de bilans............................................................................................................... 65
7.1 FORME GNRALE DUN PRINCIPE DE BILAN .....................................................................................................657.2 QUATION DE BILAN DE MASSE .........................................................................................................................66
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7.3 QUATION DE BILAN DE QUANTIT DE MOUVEMENT ........................................................................................ 667.3.1 Formes macroscopiques........................................................................................................................... 667.3.2 Formes locales ......................................................................................................................................... 68
7.4 THORME DE LNERGIE CINTIQUE ............................................................................................................... 697.5 QUATION DE BILAN DE LNERGIE .................................................................................................................. 717.6 QUATION DE BILAN DE LNERGIE INTERNE.................................................................................................... 737.7 FORME ENTHALPIQUE DU BILAN DNERGIE ..................................................................................................... 747.8 QUATION DE BILAN DE LENTROPIE ................................................................................................................ 74
Chapitre 8 Lois de comportement .......................................................................................................... 77
8.1 PRINCIPES GNRAUX ...................................................................................................................................... 778.1.1 Introduction ............................................................................................................................................. 778.1.2 Axiomatique des lois de comportement................................................................................................... 78
8.2 RELATIONS LINAIRES ENTRE FORCES ET FLUX ................................................................................................ 798.2.1 Cas de la quantit de chaleur - Loi de Fourier ......................................................................................... 808.2.2 Cas de la quantit de mouvement - Loi de Newton ................................................................................. 81
8.3 LES FLUIDES NON NEWTONIENS ........................................................................................................................ 858.3.1 Les fluides non newtoniens indpendants du temps ................................................................................ 868.3.2 Les fluides non newtoniens dpendants du temps ................................................................................... 878.3.3 Les fluides visco-lastiques ..................................................................................................................... 87
8.4 QUELQUES PROPRITS PHYSIQUES DES FLUIDES ............................................................................................. 888.4.1 La viscosit .............................................................................................................................................. 888.4.2 La conductivit thermique ....................................................................................................................... 888.4.3 La diffusivit matrielle........................................................................................................................... 898.4.4 Les nombres adimensionnels du transport diffusif .................................................................................. 89
Chapitre 9 Les quations de Navier-Stokes........................................................................................... 91
9.1 TABLISSEMENT DES QUATIONS ..................................................................................................................... 919.1.1 Introduction ............................................................................................................................................. 919.1.2 Quantit de mouvement ........................................................................................................................... 919.1.3 nergie interne......................................................................................................................................... 92
9.2 TABLEAU RCAPITULATIF ................................................................................................................................ 939.2.1 Le systme dquations complet .............................................................................................................. 939.2.2 Cas dun fluide parfait ............................................................................................................................. 949.2.3 Cas dun fluide isovolume ....................................................................................................................... 94
9.3 LES DIFFRENTES APPROCHES DE RSOLUTION ................................................................................................ 94Annexe du chapitre 9 ........................................................................................................................................ 97
Chapitre 10 Analyse dimensionnelle ...................................................................................................... 99
10.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................................... 9910.1.1 chelles caractristiques et estimations a priori .................................................................................. 10010.1.2 Nombres sans dimension ..................................................................................................................... 101
10.2 PRINCIPE DE LANALYSE DIMENSIONNELLE .................................................................................................. 10310.2.1 Exemple ............................................................................................................................................... 10310.2.2 Le Thorme ou thorme de Vaschy-Buckingham........................................................................ 104
10.3 QUATIONS DE NAVIER-STOKES ADIMENSIONNELLES.................................................................................. 10710.3.1 tablissement des quations ................................................................................................................ 10710.3.2 Interprtation du nombre de Reynolds................................................................................................. 10910.3.3 Interprtation du nombre de Froude .................................................................................................... 11010.3.4 quation adimensionnelle pour lnergie ............................................................................................ 110
10.4 ANALYSE DE SIMILITUDE.............................................................................................................................. 11210.4.1 Cas des coulements isovolumes ......................................................................................................... 11210.4.2 Cas des coulements compressibles..................................................................................................... 114
10.5 LES PRINCIPAUX NOMBRES SANS DIMENSION ............................................................................................... 115
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DEUXIEME PARTIE
Chapitre 11 Statique des fluides ........................................................................................................... 119
11.1 GNRALITS................................................................................................................................................11911.1.1 Le thorme dArchimde....................................................................................................................12011.1.2 quilibres pseudo-statiques ..................................................................................................................12211.1.3 Fluides compressibles...........................................................................................................................123
11.2 HYDROSTATIQUE ..........................................................................................................................................12511.2.1 Hypothses de base ..............................................................................................................................12511.2.2 Rsultante de pression sur une paroi ....................................................................................................12511.2.3 Application la mesure de la pression statique....................................................................................12711.2.4 Phnomnes de tension superficielle ....................................................................................................129
Chapitre 12 Quelques solutions exactes de Navier-Stokes ................................................................. 133
12.1 LES COULEMENTS PARALLLES ...................................................................................................................13312.1.1 quations pour les coulements parallles en canal .............................................................................13312.1.2 quations pour les coulements parallles en rotation .........................................................................13512.1.3 quations pour les coulements parallles en conduite........................................................................136
12.2 COULEMENTS ENTRE DEUX PLAQUES PLANES .............................................................................................13612.2.1 coulement dans un canal bidimensionnel...........................................................................................13612.2.2 coulement de Couette.........................................................................................................................13912.2.3 Premier problme de Stokes .................................................................................................................140
12.3 DIFFUSION DUN FILAMENT TOURBILLONNAIRE ............................................................................................14212.4 COULEMENT DE POISEUILLE DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE ...............................................................145
12.4.1 Grandeurs cinmatiques et dynamiques ...............................................................................................14612.4.2 Grandeurs nergtiques ........................................................................................................................14712.4.3 Limites de validit ................................................................................................................................148
12.5 NOTIONS DE TURBULENCE ............................................................................................................................14912.5.1 Gnralits............................................................................................................................................14912.5.2 Formules empiriques pour les coulements en conduites.....................................................................150
Chapitre 13 Notions de bilans intgraux.............................................................................................. 155
13.1 INTRODUCTION .............................................................................................................................................15513.2 BILAN INTGRAL DE MASSE ..........................................................................................................................158
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Chapitre 14 Bilans dnergie cintique ................................................................................................ 161
14.1 FORMULATION GNRALE ............................................................................................................................ 16114.1.1 Bilan macroscopique sur un volume arbitraire .................................................................................... 16114.1.2 Formulation pour les coulements internes ......................................................................................... 163
14.2 RELATION DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES VISQUEUX.............................................................................. 16414.2.1 tablissement de la relation intgrale .................................................................................................. 16414.2.2 Exemple et interprtation graphique .................................................................................................... 169
14.3 RELATION DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES PARFAITS ............................................................................... 17214.3.1 La formulation locale pour un fluide isovolume.................................................................................. 17214.3.2 coulements irrotationnels de fluides parfaits isovolumes .................................................................. 17414.3.3 Le cas des fluides barotropes ............................................................................................................... 175
14.4 EXEMPLES DAPPLICATION ........................................................................................................................... 17614.4.1 coulements par des orifices ............................................................................................................... 17614.4.2 Pression darrt .................................................................................................................................... 17814.4.3 Mesures de la pression dans un coulement ........................................................................................ 17914.4.4 Mesures des dbits ............................................................................................................................... 181
Chapitre 15 Bilans de quantit de mouvement ................................................................................... 187
15.1 THORME DES QUANTITS DE MOUVEMENT POUR LES COULEMENTS STATIONNAIRES ISOVOLUMES......... 18715.1.1 tablissement de la relation intgrale .................................................................................................. 18715.1.2 Cas particulier des coulements internes ............................................................................................. 188Cas des coulements internes stationnaires de fluides isovolumes................................................................. 189
15.2 EXEMPLES DAPPLICATION ........................................................................................................................... 19115.2.1 Pousse dans un coude......................................................................................................................... 19115.2.2 Perte de charge dans un largissement brusque ................................................................................... 19315.2.3 Puissance dune hlice ......................................................................................................................... 195
Annexe 1 Coordonnes cartsiennes .................................................................................................... 200
Annexe 2 Coordonnes cylindriques .................................................................................................... 202
Annexe 3 Coordonnes sphriques....................................................................................................... 204
Annexe 4 Proprits physiques des fluides .......................................................................................... 206
Index........................................................................................................................................................ 209
Bibliographie sommaire ........................................................................................................................ 213
Ouvrages conseills pour les Travaux en Autonomie ......................................................................... 213
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Chapitre 1 Vecteurs et tenseurs
Ce chapitre prsente lessentiel des notions mathmatiques portant sur les oprateurs vectoriels et tensoriels et la
notation indicielle, qui est largement utilise dans le cours de Mcanique des Fluides.
On consultera les rfrences [1] ou [6] pour une prsentation plus rigoureuse et plus dtaille.
1.1 Vecteurs
1.1.1 Espace vectoriel Euclidien
La Cinmatique Classique est construite partir de lespace euclidien E de dimension 3 dont les lments sont
des points et dune dfinition du temps, ou chronologie, le temps tant reprsent par la variable relle t. un
couple de points (P,Q) correspond un lment xr
dun espace vectoriel euclidien E de dimension 3, soit
(P,Q) x PQ
=r
. On dfinit le produit scalaire de xr
et de yr
, not x yr ri , comme lapplication bilinaire symtrique
de (ExE) dans lensemble des rels R dont la forme quadratique est dfinie positive:
(ax by) z a(x z) b(y z)+ = +r r r r r r r
i i i , (a, b) R ,
x y y x=r r r ri i
2x x x 0= r r r
i
Ayant fait le choix dune base 1 2 3e , e , er r r
ou ier
(i=1, 2, 3) de E, xr
sexprime sous forme de la combinaison
linaire:3
1 1 2 2 3 3 i ii 1
x x e x e x e x e=
= + + =r r r rr
(1.1)
o les xi sont les composantes de xr
. La base est orthonorme si et seulement si
i j ije .e = r r
(i, j = 1, 2, 3)
o ij est le symbole de Kronecker11 22 33
ij12 21 32
1si i j ( 1)
0si i j ( ... 0)
= = = = = =
= = = = =
Les ij sont les lments de la matrice unit. Sauf mention explicite contraire, nous nutiliserons dans ce cours que
des bases orthonormes.
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1.1.2 Convention de lindice muet
On convient dcrire la relation (1.1) sous la forme:
i ix x e=rr
(1.2)
Selon cette convention (dite convention dEinstein), lorsquun indice est rpt 2 fois dans un monme, ce
monme reprsente en fait la somme de tous les termes obtenus en donnant cet indice les valeurs 1, 2, 3. Lindice i
dans (1.2) est dit muet car la lettre qui le reprsente est sans importance; par exemple, i i j jx y et x y dsignent le
mme produit scalaire x yr ri .
Il nest pas inutile de prciser ici quelques indications sur lutilisation de cette convention dcriture.
Dans une relation, un indice non muet est dit franc; il ne peut apparatre quune seule fois dans un mme
monme. Ainsi dans la relation
i ij jT n= (1.3)
i est un indice franc alors que j est un indice muet.
? Il faut toujours dsigner un indice muet par une lettre diffrente de celles qui sont utilises pour les indices
francs.
Notons que (1.3) exprime que Tr
est une forme linaire de nr
et la matrice ij reprsente dans la base considre
loprateur linaire T nr r
. En supposant quon ait aussi
i ij jn A m=
alors la substitution dans (1.3) devra scrire
i ij jk kT A m=
? Ceci montre clairement que 2 indices muets qui interviennent dans le mme monme doivent toujours tre
dsigns par 2 lettres diffrentes.
1.1.3 Changement de base
Soient *ier
et ier
deux bases orthonormes de E. Les vecteurs *ier
peuvent naturellement sexprimer comme des
combinaisons linaires des vecteurs 1 2 3e , e et er r r
:*i ij je P e=
r r(1.4)
En multipliant scalairement les deux membre de (1.4) par ker
il vient
*i k ij j k ij jk ike .e P e .e P P= = =
r r r r
et lon observe que ikP est la fois la composante de*ie
r sur ke
r dans la base 1 2 3(e , e , e )
r r r et aussi la composante de
ker
sur *ier
dans la base * * *1 2 3(e , e , e )r r r
. On peut donc crire:
*i ji je P e=
r r(1.5)
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La comparaison de (1.4) et (1.5) montre que les matrices transposes ijP et jiP sont galement rciproques;
elles sont donc orthogonales.
Ceci scrit en notation indicielle: ik jk ij ki kj ijP P ; P P= =
et en notation matricielle: P PT = PT P = 1
Dsignons par ix et*ix les composantes dun mme vecteur x
r dans les bases ie
r et *ie
r; on obtient en utilisant
(14) et (15):* * *i i i ij j j j
* * *i i i ji j j j
x x e x P e x e
x x e x P e x e
= = =
= = =
r r rr
r r rr
ce qui donne les relations de changement de base:*i ij j
*i ji j
x P x
x P x
=
=
et en notation matricielle:*
*T
x x
x x
=
=
r r
r rP
P
1.2 Tenseurs
1.2.1 Dfinitions
Un tenseur du second ordre est un oprateur linaire qui fait correspondre tout vecteur nr
de E un vecteur
Tr
de E et lon crit T (n)L=r r
. Il est dfini de manire unique par les 3 vecteurs:
i ij j(e ) T eL =r r
cest--dire par les 9 nombres ijT appels composantes du tenseur dans la base orthonorme ier
, ou encore par la
matrice T dlments ijT .
La donne de 2 vecteurs Ar
et Br
permet de dfinir un tenseur par lapplication linaire
n A(B.n)r rr r
(1.6)
Ce tenseur est le produit tensoriel de Ar
et Br
. On le note A Br r
et ses composantes sont simplement i jA B .
Les produits tensoriels de 2 vecteurs forment un sous-ensemble de lespace vectoriel des tenseurs dordre 2
(espace 9 dimensions) qui contient en particulier les 9 lments
i je er r
, (i, j = 1, 2, 3)
qui sont linairement indpendants dans lespace des tenseurs dordre 2. On peut en particulier crire un tenseur du
second ordre quelconque sous la forme
ij i je e= r r
(1.7)
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Le tenseur dfini par lapplication identit est dit tenseur unit ou tenseur disotropie et not 1 . Il est reprsent
dans toute base orthonorme par ses composantes ij (matrice unit):
1 1 2 2 3 3 ij i j1 e e e e e e e e= + + = r r r r r r r r
Les notions prcdentes se gnralisent facilement pour dfinir les tenseurs dordres suprieurs. Ainsi un tenseur
dordre 3 est un oprateur linaire qui tout vecteur nr
de E fait correspondre un tenseur du second ordre. Les
critures suivantes gnralisent respectivement (1.6) et (1.7)
n A B(C.n) r rrr r
ijk i j ke e e = r r r
(1.8)
De la mme manire, on peut considrer quun vecteur est un tenseur dordre 1:
n (A.n)rr r
i iA A e=r r
et quun scalaire est un tenseur dordre 0:
n (n.n)r r r
i in n n=r
1.2.2 Changement de base
Il sagit de dterminer les composantes dun tenseur dans une base orthonorme *ier
connaissant ses composantes
dans une autre base orthonorme ier
. On crit:
* * *ij i j ij i je e e e = = r r r r
.
Or, compte tenu de (1.4) et (1.5) et de la linarit du produit tensoriel
* *i j ik j ke e P P e e =
r r r r
* *i j ki j ke e P P e e =
r r r r
on obtient* *k ki j ij k ik j ijP P et P P = =
quon peut encore crire
k
* *ij ik j ij ki k jP P et P P = = (1.9)
soit en notation matricielle* *T Tet= = P P P P
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1.2.3 Oprations sur les tenseurs
a) Multiplication tensorielle
Soient un tenseur A B = r r
dordre 2 et un tenseur Vr
dordre 1. On dfinit le produit tensoriel de et de Vr
par
V (A B) V A B V = = r rr r r r r
(1.10)
o V r
est un tenseur dordre 3 que nous noterons .
On crira donc sous forme indicielle dans la base orthonorme ier
ijk i i j j k k i j k i j k( V) (A e B e ) (V e ) A B V e e e = = = r r r r r r r
ou encore
ijk ij i j k k ij k i j k( e e ) (V e ) V e e e = = r r r r r r
(1.11)
Les composantes du tenseur sobtiennent donc par simple produit des composantes de et Vr
dans la base
commune
ijk ij kV V = = r
(1.12)
Le rsultat du produit tensoriel de 2 tenseurs respectivement dordre n et m est un tenseur dordre n+m.
b) Contraction
un tenseur dordre n on peut faire correspondre un tenseur dordre n-2 par contraction de deux indices francs
voisins en deux indices muets. La convention de sommation (cf. 1.1.2) est alors applique.
Remarque 1: La contraction du tenseur unit du second ordre ij i j1 e e= r r
est le scalaire
ii 3 = . (1.13)
Remarque 2: Le scalaire reprsent par la contraction des 2 indices dun tenseur dordre 2 est appel la
trace de ce tenseur et not Tr{ };
Tr{ }= kk . (1.14)
c) Transposition
partir dun tenseur du second ordre ij i je e= r r
, on dfinit le tenseur transposT
par transposition des 2
indices: ij j i ji i jT
e e e e = = r r r r
Les matrices reprsentant et T
dans la base ier
sont dites transposes lune de lautre
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ij jiT = (1.15)
Un tenseur est dit symtrique sil est gal son transpos:
ij ji = (1.16)
Un tenseur est dit antisymtrique sil est gal loppos de son transpos:
ij ji = (1.17)
La partie symtrique (ou paire) et la partie antisymtrique (ou impaire) dun tenseur sont dfinies
respectivement par
s
T1( )
2 = + ou ijs ij ji
1( )
2 = + (1.18)
a
T1( )
2 = ou ija ij ji
1( )
2 = (1.19)
si bien que
s a = + et s aT
=
d) Multiplication contracte
Le produit tensoriel contract sintroduit naturellement en oprant dans la multiplication tensorielle une
contraction sur le dernier indice du 1er tenseur et le 1er indice du deuxime. Lopration correspondante est note
par un point.
Notation intrinsque: R S T= i
Notation matricielle: R = S T
Notation indicielle: ij ik kjR S T=
En reprenant lexemple du 1.2.3-a, la relation (1.10) devient:
V (A B) V A B V = = r rr r r r r
i i i (1.20)
o Vr
i est un tenseur dordre 1 (un vecteur) que nous noterons Ur
. On crira donc sous forme indicielle dans la
base orthonorme ier
i i i i j j k k i j j iU e ( V) (A e B e ) (V e ) A B V e= = =rr r r r r
i i
ou encore
i i ij i j k k ij j iU e ( e e ) (V e ) V e= = = r r r r r
i (1.21)
Les composantes de Ur
dans la base ier
sont donc i ij jU V= .
Le rsultat du produit contract de 2 tenseurs respectivement dordre n (n=1) et m (m=1) est un tenseur dordre
n+m-2.
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Deux tenseurs S et T sont dits inverses ou rciproques si les produits S Ti et T Si sont tous deux gaux au
tenseur unit
S T T S 1= =i i ; ik kj ik kj ijS T T S= = (1.22)
Remarque 1: La contraction de i je er r
est i j ije e = r r
i (1.23)
Remarque 2: Le produit scalaire de 2 vecteurs Ur
et Vr
est le rsultat de la multiplication contracte des 2
vecteurs Ur
et Vr
:
i i j j i j ij i iU V (U e ) (V e ) U V U V= = =r r r r
i i
Remarque 3: Le rsultat du produit doublement contract de 2 tenseurs respectivement dordre n (n=2) et m
(m=2) est un tenseur dordre n+m-4. Cette opration est note par un double point:
ij i j k k ij i j ij jiD ( e e ) (D e e ) ( e ) (D e ) D = = =: : r r r r r r
i (1.24)
Remarque 4: Le produit contract de 2 tenseurs symtriques nest en gnral pas symtrique.
1.2.4 Le tenseur dorientation
a) Dfinition
Le tenseur dorientation ijk i j ke e e= r r r
est dfini partir du symbole de Lvi-Civita, not ijk , qui est une
fonction alterne des indices ijk telle que 123 = 1. Par transposition de 2 indices ijk prend une valeur oppose.
ijk
1si (i, j,k)est une permutation pairede(1, 2,3); 231par ex.
1si (i, j,k)est une permutation impairede(1,2,3); 213par ex.
0si deux indicesau moinssont gaux; 122par ex.
+
=
(1.25)
b) Produits contracts du tenseur dorientation
ijk pqk ip jq iq jp = (1.26)
ijk pjk ip2 = (1.27)
ijk ijk 6 = (1.28)
On trouvera la dmonstration de ces identits dans la rfrence [1].
c) Produit vectoriel de 2 vecteurs A,Br r
En effectuant le produit doublement contract du tenseur dorientation par B Arr
on obtient les composantes
du produit vectoriel A Br r
ijk i j k k k j j ijk j k i(B A) ( e e e ) (B e A e ) A B e = = :rr r r r r r r
ainsi i ijk j k(A B) A B =r r
(1.29)
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d) Produit mixte de 3 vecteurs A, B,Cr rr
Son expression indicielle rsulte directement de (1.29)
ijk i j kA (B C) A B C =r rr
i (1.30)
e) Vecteur associ un tenseur antisymtrique
Si est un tenseur antisymtrique du second ordre ij ji( ) = ,
i ijk kj
1
2 = (1.31)
dfinit les composantes du vecteur associ (ou vecteur axial) . Rciproquement, tout vecteur r
, on peut
associer un tenseur antisymtrique
ij jik k = (1.32)
1.3 Oprateurs vectoriels et tensoriels
1.3.1 Notations
Dans un espace euclidien orthonorm daxes Oxi, ier
dsignant les vecteurs unitaires de la base de lespace
vectoriel associ, on dfinit les oprateurs gradient, divergence, laplacien et rotationnel par leurs composantes.
Dune manire gnrale, les objets de la Physique (et de la Mcanique des Fluides) sont des champs, cest--dire
des fonctions de lespace et du temps associant un point xr
et un instant t un scalaire (x, t)r
, un vecteur V(x, t)r r
ou un tenseur dordre 2 (rarement plus) (x, t)r
. Les champs sont (sauf discontinuits locales traites
spcifiquement) continus et supposs drivables jusqu lordre utile.
Pour compacter le formalisme les oprateurs de drivation partielle scrivent laide de la notation virgule.
Ainsi
, t
(x, t)
t
r
; ,ii
(x, t)
x
r
;2
,iji j
(x, t)
x x
r
dsignent respectivement la drive partielle par rapport au temps, par rapport la variable despace xi et la drive
seconde par rapport xi et xj.
1.3.2 Dfinitions
a) Gradient
Loprateur gradient associe au champ scalaire (x, t)r
le champ vectoriel dfini par
,i igrad e=uuuur r
(1.33)
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Il sensuit que les composantes du gradient sont
,i igrad e = uuuur r
i soit
,1 1
1
,2 2
2
,3 3
3
not (direction e )x
not (direction e )x
not (direction e )x
r
r
r
Si (x, t)r
est, par exemple, un champ de pression, le vecteur grad uuuur
est orient dans la direction o la pression
varie le plus vite, il est dirig vers les hautes pressions et son module indique, chaque instant, lintensit de la
variation de pression par unit de distance dans cette direction.
Plus gnralement le gradient dun tenseur dordre n est un tenseur dordre n+1; par exemple grad Vr
est le
tenseur dordre 2 (dit tenseur gradient de Vr
) dfini par
i, j i jgrad V V e e= r r r
(1.34)
et qui a pour composantes i, jV soit 1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,1 3,2 3,3
V V V
V V V
V V V
(1.35)
b) Divergence
Loprateur divergence associe un champ de vecteurs V(x, t)r r
la fonction de points valeurs scalaires
i,idivV V=r
(1.36)
La comparaison de (1.34) et (1.36) montre que la divergence i,iV est la forme contracte du tenseur gradient
i, jV , cest--dire divVr
= Tr{ grad Vr
}.
Si V(x, t)r r
est, par exemple, le champ de vitesse dans un fluide, le champ scalaire divVr
indique lintensit des
contractions ou des expansions locales au sein du fluide. Cette notion peut tre illustre en considrant la quantit de
fluide qui entre ou sort dun lment de volume infinitsimal dV pendant llment de temps dt.
dVdV dVdV dVdV
divV 0r
Zone de divergenceDtente ou dilatation
locale
Plus gnralement la divergence dun tenseur dordre n est un tenseur dordre n-1; par exemple divuuur
est le
vecteur dfini par
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ij, j idiv e=uuur r
(1.37)
Notons que si est un champ scalaire, puisque ij , j ,i( ) = , on a lidentit
div ( 1) grad = uuur uuuur
. (1.38)
c) Rotationnel
Loprateur rotationnel associe un champ de vecteurs Vr
le champ de vecteurs dfini par
ijk k, j irot V V e=uur r r
(1.39)
Remarque : Le vecteur associ grad Vr
a pour composantes ijk k , j1
V2
; cest donc le vecteur1
rot V2
uur r.
d) Laplacien
Le laplacien, not , dun champ scalaire (x, t)r
est le scalaire dfini par
,iidiv(grad )= =uuuur
(1.40)
Le laplacien, not Vr
, dun champ vectoriel V(x, t)r r
est le vecteur dfini par
i, jj iV div(gradV) V e = =uuurr r r
(1.41)
ou encore i iV ( V ) e = r r
1.3.3 Notation dyadique
On simplifie les critures en utilisant la notation dyadique qui introduit le vecteur symbolique nabla, not r
,
dont les composantes formelles sont les oprateurs de drivation partielle par rapport aux variables despace x1, x2,
x3.
,1
1
,2
2
,3
3
notx
notx
notx
r
Oprateur Notation
gradient grad uuuur
r
tenseur gradient grad Vr
Vr r
divergence divVr
Vr r
i
vecteur divergence divuuur
r
i
rotationnel rot Vuur r
V r r
laplacien 2 r
Laplacien vectoriel Vr
2Vr r
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1.3.4 Identits
Identit Notation dyadique
grad ( ) grad grad + = + uuuur uuuur uuuur
( ) + =+r r r
grad ( ) grad grad = + uuuur uuuur uuuur
( ) = + r r r
rot (U V) rot U rot V+ = +uur uur uurr r r r
(U V) U V + = + r r r r r r r
rot (grad ) 0 =uur uuuur r
0=rr r
rot ( V) rot (V) grad V = + uur uur uuuurr r r
( V) V V = +r r r r r r
div(U V) divU divV+ = +r r r r
(U V) U V + = +r r r r r r r
i i i
div(rot V) 0=uur r
V 0 =r r r
i
div( V) div(V) grad V = + uuuurr r r
i ( V) V V = +r r r r r r
i i i
div(U V) V rot U U rot V = uur uurr r r r r r
(U V) ( U) V U V = r r r r r r r r r
i i i
div ( 1) grad = uuur uuuur
( 1) =r r
i
1.3.5 Relations intgrales
a) Formules de Green-Ostrogradski
SoitV un domaine volumique (connexe ou pas), de frontire V sur laquelle est dfini en tout point rgulier le
vecteur unitaire extrieur nr
.
V
V
n
nx1
x2
x3
V
V
nn
nnx1
x2
x3
x1x1
x2x2
x3
Si 1 2 3(x , x , x ) est un champ scalaire, 1 2 3V(x , x , x )r
un champ vectoriel et 1 2 3(x , x , x ) un champ tensoriel
dordre 2, continus dans ( )V V+ ayant des drives premires dansV , alors
n dS grad dV V
V
= uuuurr
soit i ,in dS dV V
V
= (1.42)
V n dS divVdV V
V
= r rr
i soit i i i,iV n dS V dV V
V
= (1.43)
n dS div dV V
V
= uuurr
i soit ij j ij, jn dS dV V
V
= (1.44)
Ces formules (ou thorme de la divergence) stendent naturellement des tenseurs dordre suprieur 2.
b) Formule de Stokes
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Soit S un domaine surfacique de frontire S sur lequel est dfini en tout point rgulier le vecteur unitaire
extrieur nr
.
S
n
SS
nn
S
Si 1 2 3V(x , x , x )r
est un champ vectoriel continu dans ( )S S+ ayant des drives premires dans S , alors
V d (rot V) ndSS S
= uurr r rr
i i soit i i ijk k , j iV d V n dSS S
= i (1.45)
o le premier membre est la circulation du vecteur Vr
le long de S (parcouru dans le sens direct autour de nr
) et
le second membre le flux du rotationnel de Vr
travers S .
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PREMIRE PARTIE
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Chapitre 2 Introduction
2.1 Concepts gnraux
On appelle Mcanique ltude des dplacements et des dformations des corps au cours du temps, y compris
ltude des conditions qui entranent ces mouvements. Nous considrerons ici la Mcanique au sens restreint o
ninterviennent ni changements dtat physique, ni transformations chimiques (vaporisation, cavitation,
combustion).
La dynamique est la partie de la Mcanique qui tudie (sans expliciter la variable temprature) les mouvements
ou le repos dans leurs rapports avec les forces qui les engendrent.
La cinmatique fournit le cadre spatio-temporel dans lequel sont dcrits les mouvements dans lespace euclidien
3 dimensions. La cintique se construit partir de la cinmatique en introduisant la notion de masse.
2.1.1 Ltat fluide
Le physicien distingue classiquement 3 tats de la matire, solide, liquide et gazeux, en regroupant sous le
vocable fluide les gaz et la plupart des liquides. lchelle microscopique, ce qui caractrise les fluides, cest que
les molcules ne sont pas bloques dans leurs orientations relatives; elles ont ce degr de libert (de dsordre) que
nont pas les molcules dans les solides.
Leurs proprits communes sont quils nont pas de forme propre, cest--dire quils sont dpourvus de rigidit;
les forces ncessaires pour engendrer des dformations par glissement et assez lentes sont extrmement petites.
Cette distinction entre solides et fluides nest pas parfaitement nette, puisquon trouve des corps comme les
geles, les peintures, les ptes, certaines solutions concentres de polymres, qui manifestent la fois des
comportements de solides (pendant des temps courts) et des comportements de liquides (pendant des temps longs).
Les liquides: Les molcules sont lies en distance ce qui en limite le dsordre. Ils occupent un volume dfini et
sont susceptibles de sorganiser en gouttes. Leur densit est telle quon dfinit dordinaire (assez mal) les liquides
par le fait quen situation de repos, ils prsentent une surface libre discernable et perpendiculaire au champ de
gravit local.
Les gaz: Les molcules ne sont pas lies en distance et les gaz occupent tout le volume disponible. Les forces
permettant dengendrer des dformations volumiques (contraction ou dilatation) sont faibles.
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2.1.2 Le concept de milieu continu
La matire a une structure discontinue et la notion de milieu continu est un pur schma. Elle consiste admettre
que la masse et toutes ses proprits sont rparties continment dans le matriau (ce qui nexclut pas les
discontinuits aux interfaces). Bien entendu ce schma ne prtend reprsenter que les phnomnes macroscopiques
dont les chelles caractristiques sont trs grandes devant la distance intermolculaire moyenne. Comme il nest pas
question dignorer compltement les phnomnes dont le sige est lchelle molculaire (comme celui de la
diffusion), ceux-ci devront tre reprsents travers une description macroscopique de leurs consquences grande
chelle.
Le concept du continuum prsente limmense avantage dautoriser le calcul diffrentiel et intgral dont les outils
sont prsents au Chapitre 1.
La premire question concerne la dfinition de valeurs locales pour des grandeurs matrielles comme la masse,
lenthalpie, la vitesse ou la contrainte. Imaginons quun instrument de mesure dune grandeur g puisse tre
miniaturis volont, et portons la mesure de g en fonction de la dimension du volume dobservation 3 . Si est du
mme ordre que la distance moyenne d (quelque 10-10 m) entre molcules, g dpend du nombre de molcules
observes (quelques units), elle oscille et semble mal dfinie. Si >>d, le nombre de molcules observes est trs
grand et g est une valeur statistique des observations qui ne dpend plus de . Cette valeur doit cependant rester
trs petite devant la taille L ( 1 m) de lexprience pour justifier que lon considre la mesure comme locale ou
ponctuelle.
valeur locale de g
g
Ld L
-
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a) Masse volumique locale
Les considrations prcdentes permettent de dfinir des densits volumiques
GlimV V V
= g
(2.1)
G tant la valeur de la grandeur considre porte par le volume V. Toute grandeur matrielle scalaire peut tre
dfinie laide de (2.1). Ainsi, la masse volumique est dfinie localement au point P par:m
limV V V
=
do lexpression de la masse dun volume matriel V
M( ) (x, t )dV
V V= r
b) Vitesse locale
Un raisonnement semblable au prcdent permet de dfinir la vitesse V(x, t)r r
au point xr
. Si N est le nombre de
molcules, de vitesse individuelle ivr
et de masse mi, contenues dans V , Vr
est la vitesse du centre de masse de
ces N molcules:N
i ii 1
N
ii 1
m vV(x, t)
m
=
=
=
rr r
soit encoreP
V(x, t) limmV V
=
rr r
(2.2)
o Pr
est la quantit de mouvement des molcules.
c) Contrainte locale
Soit V la frontire (fictive) dun volume fluideV Le fluide extrieur V exerce sur le fluide intrieur des
tensions qui se transmettent travers lenveloppe V . Soient P un point de lenveloppe, S un lment de surface
autour de P et nv
la normale unitaire oriente vers lextrieur. La force lmentaire Fr
qui sexerce sur S est
proportionnelle S:
F T(n, x, t) S = r r r r
(2.3)
Le vecteur Tr
a la dimension dune force par unit de surface et correspond la contrainte moyenne qui sexerce
sur S. Lorsque S > S , le rapport F / S r
tend vers une limite finie indpendante de la forme de llment S.
Cette valeur limite dfinit la contrainte locale au point P:
S S
FT(n,x,t) lim
S
=
rr r r
(2.4)
P
x
z
y
V(x, t)x V
P
x
z
y
V(x, t)V(x, t)xx V
P
x
z
y
V(x, t)V(x, t)xx V V
P
x
z
y
V(x, t)V(x, t)xx V V V
PV V
PV V
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Il est souvent commode de dcomposer la
contrainte en ses composantes normale et tangentielle:
n sT T n T s= +r r r
ss
V
T
T
T
n
PS
n
sss
V
T
T
T
n
PS
n
2.1.3 Limites de lhypothse de continuit
Lhypothse de continuit nest pas admissible ds lors que le libre parcours moyen des molcules nest pas trs
petit devant la dimension caractristique du problme considr. Cest le cas des problmes suivants qui ne sont pas
rsolubles dans le cas de la Mcanique des Milieux Continus:
1- Les phnomnes de transport (diffusion, conduction) dus lagitation molculaire; nous verrons cependant
quon peut tudier ces phnomnes en Mcanique des Fluides sans rfrence lintimit de la structure molculaire
de mme quen Thermodynamique on traite de la chaleur sans faire appel sa signification molculaire,
2- Le mouvement brownien dune suspension de particules solides dans un liquide,
3- Certains coulements dhuiles grosses molcules; les molcules dhuile pouvant tre du mme ordre de
grandeur que le jeu des pices mcaniques lubrifier,
4- Les problmes darodynamique dans des gaz trs rarfis.
2.1.4 Surfaces de discontinuit
Sous certaines conditions, on observe dans un fluide en mouvement des rgions o certaines grandeurs
matrielles (pression, vitesse, masse volumique) varient trs rapidement au point que la notion de continuit est
mise en dfaut localement. Ces rgions sont assimilables des surfaces de discontinuit. Cest le cas dune surface
libre ou dune poche de cavitation et plus gnralement de linterface entre des fluides non miscibles. Cest
galement le cas des ondes de choc ou de la solution localement singulire de certaines thories comme le modle
de fluide parfait. La continuit sentend alors de part et dautre de ces surfaces.
2.2 Proprits thermodynamiques des fluides
2.2.1 Axiome de lquilibre local
Un systme thermodynamique est un systme matriel spar de lextrieur par une surface ferme permettant
les changes de matire, de travail et de chaleur. Dans un fluide en mouvement, tout volume isol par la pense
(volume de contrle) est un systme hors dquilibre. Les temps caractristiques des dsquilibres correspondant
aux changements de formes et aux dplacements sont de lordre de
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L1 s
U
o L est la dimension typique de lcoulement (disons L 1 m) et U une vitesse caractristique (disons U 1 ms-1),
et sont extrmement longs par rapport au temps caractristique de lagitation molculaire. Celui-ci est en effet de
lordre de
1210 sd
c
o d est le libre parcours moyen molculaire (d 10-9 m) et c une vitesse caractristique dagitation (disons c 103
ms-1). La diffrence considrable entre ces chelles de temps permet dadmettre que le mouvement fluide est
tellement lent quil ne change pas les proprits thermodynamiques rsultant des collisions extrmement
nombreuses des molcules mme pendant des temps trs courts. On peut donc en gnral considrer les particules
fluides comme tant en quilibre local thermostatique. Cette approximation est bien justifie pour toutes les
mouvements dans les fluides dont les temps caractristiques sont suprieurs 10-6 s, ce qui est presque toujours le
cas.
2.2.2 quation dtat
Cest un fait dexprience que ltat dun systme thermostatique simple (nous excluons les mlanges) est
dtermin uniquement par deux paramtres, dits variables dtat. La pression P et la masse volumique sont des
variables dtat. Toutes les autres variables dtat (la temprature ou lenthalpie h, par exemple) sont ainsi
fonctions de ces deux paramtres dtat, et les relations qui les lient sont appeles quations dtat. Ltat dun
systme peut donc tre reprsent par une relation de la forme
P = P(, )
Les quations dtat sont soit obtenues partir dobservations exprimentales, soit dduites dune thorie
cintique.
Les gaz idaux: Dans le cas des gaz assez dilus (jusqu quelques atmosphres), lexprience montre que dans
des conditions normales de temprature, P, et sont lis par la loi des gaz idaux (nous rservons ladjectif
parfait pour les fluides non visqueux):
P R= (2.5)
o la constante R du gaz est le rapport de la constante universelle des gaz idaux R (R = 8 314,3 Joules par
kilomole et par degr) et de la masse molaire du gaz considr:
R = R/M
Ainsi, pour lair (M = 28,964 kg/kmol), R = 287,06 J.kg-1.K-1.
Les gaz denses: On utilise la forme correctrice de Van der Waals:
21 2
P1 A ( ) A ( ) ...
r= + + +
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Les liquides: Ils sont trs peu compressibles et peu dilatables; on peut en premire approximation les
considrer comme parfaitement isovolumes. Lquation dtat est alors:
= constante
2.2.3 Premier principe et nergie interne
Le premier principe de la thermodynamique traduit le principe de la conservation de lnergie.
a) Systmes en quilibre:
Dans un systme matriel en quilibre subissant une transformation quelconque, la somme du travail des forces
extrieures W et de la quantit de chaleur Q fournie au systme est:
1- nulle si la transformation est ferme (tat final identique ltat initial),
2- indpendante du chemin suivi sur un diagramme dtat.
On peut toujours ramener la comparaison de deux transformations non
fermes (T1) et (T2) la comparaison de deux transformations fermes, en
leur associant une mme transformation de retour (T3). Ceci montre que la
proposition 2 rsulte directement de la proposition 1.
B(T )1
(T )2 (T )
3C
P ou
A
B(T )1
(T )1
(T )2
(T )2
(T )2 (T )
3(T )
3C
P ou
A
Il rsulte de ce principe que, si A et B sont deux tats dquilibre voisins, la somme du travail W et de la
quantit de chaleur Q fournis pour passer de A B est une diffrentielle totale exacte:
W Q de + = (2.6)
bien que W et Q dpendent chacun du chemin thermodynamique suivi. La grandeur e ainsi introduite est une
variable dtat appele nergie interne.
b) Systmes hors dquilibre:
Toute partie dun fluide en mouvement est un systme hors dquilibre. Les tats A et B peuvent tre considrs
comme des tats dquilibre du point de vue thermodynamique, mais pas du point de vue mcanique. Laxiome de
lquilibre local conduit considrer quil y a additivit (et aucune dpendance mutuelle) entre, dune part la somme
Wrv + Qrv = de
qui permettrait de faire passer le systme en quilibre de ltat thermodynamique A ltat B, et dautre part la
somme
Wmc + Qmc = dK
qui permet de faire voluer ltat du mouvement de ltat A ltat B. La grandeur K est lnergie cintique du
systme considr.
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Lexpression du premier principe pour les fluides en mouvement est donc en dfinitive:
W Q de dK + = + (2.7)
Il reste exprimer chacun des termes en fonction des variables dtat ou de mouvement du fluide. Nous
noteronsV un volume de fluide de surface enveloppe S.
nergie cintique: Par dfinition 21
dK V d2
V= ( V(x, t)r r
tant la vitesse locale).
Travail des forces extrieures: En notant fr
la densit de forces volumiques, Tr
la contrainte locale (voir 6.1.1)
et Pe la puissance des forces extrieures:
edW dt f V d T V dS dtV S
V = = +
Pr r r ri i (2.8)
Remarquons que le schma qui consiste sparer les changements dtat par transformation rversibles
(succession dtats dquilibre) et les changements dtat de mouvement conduit affecter dWrv la contribution
du travail des forces de pression qui est contenue dans le dernier terme de (2.8). Le travail des forces de pression
pour faire varier de dV le volume dune masse unitaire de fluide est:
rv 2 2
1 P P dW Pd Pd d dt
dtV
= = = =
(2.9)
Le travail fourni un systme matriel fini dans une transformation rversible scrit donc:
rv 2
P ddW d dt
dtV
V
=
(2.10)
Quantit de chaleur: On diffrencie les contributions volumiques (densit de sources volumiques distribues r)
des contributions surfaciques (par conduction par exemple). Par convention, la densit surfacique de flux travers la
surface S dlimitant le volumeV est note q nr ri de faon compter un flux positif quand il correspond un
apport pour le systme. En exprimant la puissance thermique fournie au systme on crira donc:
dQ r d q n dS dtV S
V =
r ri (2.11)
Qrv dpend du chemin thermodynamique suivi sur un diagramme dtat, et lusage a conduit choisir un
chemin conventionnel constitu:
- dun tronon pression (ou masse volumique) constante (AC sur le diagramme),
- dun tronon temprature constante (CB sur le diagramme).
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Considrons la quantit de chaleur fournit lunit de masse par un processus rversible.
On a: rv rvQ de W de P dV = = + (2.12)
On appelle capacit calorifique la quantit de chaleur quil faut fournir lunit de masse pour augmenter sa
temprature de 1 K et lon distingue la capacit calorifique pression constante:
P P P
Q eCp P
V = = + (2.13)
et la capacit calorifique volume constant:
Q eCv
V V
= = (2.14)
Sur le tronon AC du diagramme ( P ou constante), on a donc:
(P) ( )dQ Cpd ; dQ CvdV= = (2.15)
On pourra expliciter la densit dnergie interne e en utilisant sa proprit dtre une diffrentielle exacte:
P
e e ede d d Cv d d
V V
e e ede d dP Cp d dP
P P
V
V V
= + = +
= + = +(2.16)
Pour linstant les drives partielles ( e / )V
et ( e / P)
ne sont pas connues, pas plus que la quantit de
chaleur ( )Q associe au tronon CB. On pourra exprimer que la quantit de chaleur fournie est la somme des
contributions pression (ou volume) constant (tronon AC) et temprature constante (tronon CB):
{ {
(P) ( )
( ) ( )
tronon AC tronon CB
Q Q Q
Q Q QV
= += + (2.18)
cest--dire, en utilisant (2.15) et en introduisant deux coefficients a et b:
tronon AC tronon CB
Q Cp a P
Q Cv b V
= += +
123 123(2.19)
Mais ceci est encore provisoire puisque les coefficients a et b ne sont pas des proprits du fluide mais des
paramtres caractristiques de la transformation thermodynamique en cours. Leur expression sera dtermine au
2.2.5 aprs avoir exprim le second principe de la thermodynamique.
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2.2.4 Second principe et entropie
Nous avons vu que toute partie dun fluide en mouvement est un systme thermodynamique hors dquilibre.
Les transformations relles sont irrversibles et lexprience montre quelles se font toujours dans un sens
dtermin. Ceci nest pas contenu dans le principe de conservation de lnergie et il est ncessaire dadmettre un
second principe, dit Principe de Carnot, qui permet de dterminer le sens des irrversibilits. Nous en donnons ici
deux noncs quivalents; le premier est d Kelvin, le second Clausius:
1- On ne peut recueillir du travail laide dun systme associ une seule source de chaleur.
2- Une transformation dont le seul rsultat est de transfrer de la chaleur dun corps froid vers un corps chaud
est impossible.
La machine thermique la plus simple
compatible avec le principe de Carnot utilise
donc deux sources de chaleur. Elle emprunte
une quantit de chaleur Q1 (Q1 > 0) la source
chaude et en restitue une partie Q2 (Q2 < 0;
2 1Q Q< ) la source froide. La diffrence
1 2Q Q apparat sous forme de travail. Le
rendement de la machine est dfini par le
rapport:V
C
D
1
2
A
B
P
Compression isotherme
Dtente isotherme
Compressionadiabatique
Dtenteadiabatique
Q reue1
Q cde2
V
C
D
11
22
A
B
P
Compression isotherme
Dtente isotherme
Compressionadiabatique
Dtenteadiabatique
Q reue1Q reue1
Q cde2Q cde2
1 2 2
1 1 1
Q Q QW1 1
Q Q Q
= = = < (2.20)
Il rsulte du second principe que toutes les machines thermiques fonctionnant entre deux tempratures donnes
1 et 2 ont le mme rendement. Cest le thorme de Carnot qui affirme que (et donc Q2/Q1) ne dpend que de
1 et 2. Cette proprit fondamentale permet de construire une chelle universelle de temprature (cest--dire lie
aucune proprit dun corps quelconque), dite chelle de Kelvin, telle que:
1 2
1
=
et donc 2 2
1 1
Q
Q
=
(2.21)
Dans une transformation rversible ferme, on a: 1 2
1 2
Q Q0+ =
alors quen prsence dirrversibilits: 1 2
1 2
Q Q0+
= +
ri (3.8)
et dans le cas dun vecteur ( )dA A gradA Vdt t
= +
r rr r
i (3.9)
Les relations de dfinition (3.8) et (3.9) peuvent tre exprimes sous une forme unique en dfinissant loprateur
scalaire V grad>r
i ; on crira donc loprateur drive particulaire de faon symbolique
( )d V graddt t>
= +
ri ii i (3.10)
et sous forme indicielle
1 2 3
1 2 3
dV V V
dt t x x x
= + + +
i ii (3.11)
InterprtationIllustrons la notion de drive particulaire par lexemple du champ de temprature (considre comme un
marqueur passif) dans un coulement rectiligne dans la direction 1er
.
V
grad
PV
grad
P
e 1
1 1(V grad) V / x 0. = >uuuuurr
La temprature diminue au point P.
V grad>
r
La temprature nvolue pas au point P.
La variation au cours du temps de la temprature en un point P fix scrit daprs (3.11)
1
1
dV
dt t x
= +
Dans le cas du repos (V1=0), le taux de variation local de temprature au point P est gal celui de la particule
qui sy trouved
dt t
=
Ce terme peut tre non nul en prsence dun phnomne physique comme un transfert de chaleur radiatif ou une
raction chimique par exemple. Cependant, mme en labsence de tels phnomnes, le point P peut voir sa
temprature voluer en prsence dun coulement (V1?0) si les diffrentes particules qui passent en P portent des
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tempratures diffrentes 1( / x 0) . Cette modification locale de la temprature est purement dorigine
cinmatique; on parle dadvection et le terme (V grad )>
r
i est appel terme dadvection.
3.2.2 Acclration dune particule fluide
Lacclration en point P est la drive particulaire du vecteur vitesse en ce point, soit daprs (3.10)
( )dV V V grad Vdt t>
= +
r rr r
i (3.12)
et sous forme indicielle
i i i i i1 2 3
1 2 3
dV V V V VV V V
dt t x x x
= + + +
(3.13)
coulement permanent
Le terme V / t r
est le terme dacclration temporelle. Le mouvement est dit permanent (on parle aussi de
rgime stationnaire) sil se reproduit identique lui-mme au cours du temps, cest--dire si
V0
t
=
rr
On notera que dans un coulement permanent, le terme dacclration spatiale (V grad )V>r r
i (advection du
vecteur vitesse) est, en gnral, non nul.
On pourra montrer, titre dexercice, que lacclration dune particule fluide peut se mettre sous la forme de
Lamb:
2dV V 1 grad V ( rot V) Vdt t 2
> >= + +
r rr r
(3.14)
3.3 Rfrentiel inertiel et rfrentiel relatif
Les lois de la mcanique ne sont strictement applicables que dans un rfrentiel absolu (ou galilen ou inertiel),
cest--dire au repos ou en translation uniforme par rapport au rfrentiel de Copernic qui est li un systme
stellaire considr comme fixe. Il est pourtant, le plus souvent, intressant de choisir un rfrentiel relatif non
inertiel (ou repre entran) comme ceux qui sont lis la Terre.
1
1
2
3
3
2
A
x
R
PV
x
ee
xx
1
1
23
32
e
O
X
EE
E
X
X
1
1
2
3
3
2
A
x
R
PV
x
ee
xx
1
1
23
32
e
O
X
EE
E
X
X
Exprimons les relations entre les grandeurs cinmatiques dans un rfrentiel relatif i(O,e )v
caractris par une
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vitesse angulaire r
et les grandeurs cinmatiques absolues (voir la figure). En remarquant que i ide
edt
=v r v
, on
obtient:
Positions: X R x= +r r r
Vitesses: adX dR
V V xdt dt
= = + +
r rr r r r
Acclrations:2 2
a 2 2
d X d R d2 V x ( x)
dtdt dt
= = + + + +
r r rr r r rr r r r
o aVr
et ar
sont respectivement la vitesse et lacclration dans le rfrentiel absolu i(A,E )r
.
2
2
d R
dt
r
est lacclration de lorigine O du repre relatif,
2 Vr r
est lacclration complmentaire dite de Coriolis
dx
dt
rr
est lacclration angulaire dite dEuler
( x) r r r
est lacclration centrifuge dinertie 212
grad ( x)>
r r
Lacclration dentranement est dfinie par la somme de ces 4 termes qui nont pas gnralement tous la mme
importance. Lacclration de Coriolis est dominante dans les coulements gophysiques de grande chelle, mais le
repre terrestre peut tre considr comme galilen pour ltude des coulements de petite chelle comme les
coulements de laboratoire. Nous verrons que le nombre adimensionnel de Rossby est le critre qui permet
dvaluer lapproximation qui consiste ngliger ces effets.
3.4 Lignes fluides
3.4.1 Trajectoires
On appelle trajectoire la courbe oriente dcrite par une particule au cours de son mouvement, cest--dire
lensemble de ses positions occupe successivement entre deux instants.
1
Po
23
4
o
Pn
t
tt
t
t1
Po
23
4
o
Pn
t
tt
t
t
Son quation, pour une particule oxr
, est directement donne par:
o ox x(x , t t )= r r r
(3.15)
o to est fix arbitrairement.
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Les trajectoires permettent de visualiser le champ de vitesse en mode de Lagrange.
3.4.2 Lignes de courant
a) Dfinition
La description Eulerienne conduit elle aussi une reprsentation image du champ de vitesse, un instant t, sous
la forme dune famille de lignes tangentes en chaque point au vecteur vitesse, que lon appelle lignes de courant.
Elles reprsentent une visualisation instantane du champ de vitesse.
V
VVV
Lquation des lignes de courant se dduit directement de cette dfinition en crivant quun petit dplacement
dxr
sur la ligne de courant est colinaire au vecteur vitesse:
V dx 0 =rr r
soit ijk j kV dx 0 =
En explicitant cette relation, on obtient:
2 3 3 2
3 1 1 3
1 2 2 1
V dx V dx 0
V dx V dx 0
V dx V dx 0
=
= =
Les lignes de courant sont donc les intgrales du systme diffrentiel
31 2
1 2 3
dxdx dx
V (x, t) V (x, t) V (x, t)= =r r r (3.16)
dans lequel t a la valeur fixe (et joue donc le rle dun paramtre).
Contrairement aux trajectoires, les lignes de courant ne peuvent pas se couper. Elles ne sont pas dfinies un
point darrt ( V 0=rr
).
Dans le cas gnral elles se dforment au cours du temps et sont donc distinctes des trajectoires qui sont, elles,
dfinies pour un intervalle de temps fini. Dans le cas particulier des coulements permanents, cest--dire tels que le
champ de vitesse soit indpendant du temps, les lignes de courant sont elles-mmes indpendantes du temps et la
particule qui parcourt le chemin dx Vdt=rr
pendant la dure dt reste toujours sur la mme ligne de courant; celle-ci
est donc aussi une trajectoire.
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b) Tube de courant
On dsigne ainsi une surface tubulaire engendre un instant donn par toutes les lignes de courant qui
sappuient sur une courbe arbitraire ferme.
Tube de courant
Si le contour du tube de courant dlimite une section droite infinitsimale on parle de filet de courant.
3.4.3 Lignes dmission
Une ligne dmission est lensemble des positions un instant t de toutes les particules fluides qui sont passes
par un point P un instant quelconque prcdent.
P
Ligned'mission
Trajectoires
Si lcoulement est permanent, les trajectoires issues du point P sont toutes confondues; les lignes dmissions et
les trajectoires concident donc. Cest seulement dans ce cas particulier que les 3 familles de lignes concident.
Une ligne dmission est visualise en injectant un colorant de faon continue en un point fix de lcoulement
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Chapitre 4 Dformation et rotation
La dformation dun milieu continu est caractrise par le dplacement relatif des divers points matriels qui
constituent ce milieu. Nous prsentons, dans ce chapitre, laspect gomtrique des dformations par la description
des mouvements simples: translation, rotation, dilatation, dformation angulaire. Il sagit dun simple rappel des
notions prsentes dans le cours de Mcanique des Milieux Continus.
En Mcanique des Fluides, le paramtre important nest pas tant la dformation que la vitesse laquelle la
dformation intervient, et nous introduisons ici la notion de taux de dformation et de taux de rotation .
4.1 Translation
Dfinition: Une translation pure est un mouvement dans lequel toutes les particules subissent le mme
dplacement.
En notant xr
la position dune particule fluide un instant donn, x 'r
sa position un instant ultrieur et ar
le
dplacement:
x ' x a(t)= +rr r
(4.1)
La figure reprsente la translation
dun lment fluide de forme
gomtrique simple.
Le volume matriel initial
conserve sa forme. Le mouvement
de translation seffectue sans
dformation.
ee
e
a
A B
CD
E F
GH
x
yx
z
y
z
O
A ' B'
C'D'
E ' F '
G 'H '
a
ee
e
a
A B
CD
E F
GH
x
yx
z
y
z
O
A ' B'
C'D'
E ' F '
G 'H '
a
Le vecteur vitesse, dfini par (3.5): a(t) da
V(x , t) V(t)t dt
= = =
r rr rr est le mme pour toutes les particules.
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4.2 Rotation
a) Dfinition: Une rotation pure est mouvement dans lequel toutes les particules tournent dun mme angle
autour dun axe donn.
b) Illustration: Soit par exemple la rotation dun angle (t) autour de laxe Oz; une particule initialement en B se
dplace au point B tel que AB = AB et = BAB ' .
On peut donc crire:
x ' xcos ysin
y ' xsin ycos
z ' z
=
= + =
ou encore sous forme matricielle: x ' x= Rr r
o R est la matrice antisymtrique
de la rotationcos sin 0
sin cos 0
0 0 1
=
R
e
e
eB
O
A
x
y
x
y
z
B'
z
e
e
eB
O
A
x
y
x
y
z
B'
z
e
e
eB
O
A
x
y
x
y
z
B'
z
c) Taux de rotation:
Considrons le dplacement de la ligne fluide AB. Si Vy est la vitesse du point A dans la direction yer
, la vitesse
du point B est yyV
V dxx
+
. Le dplacement du point B pendant lintervalle de temps dt est yy
VV dt dxdt
x
+
et le
segment fluide AB subit donc une rotation dangle y yV V
dxdt / dx dtx x
= =
On peut donc exprimer le taux de
rotation instantan du segment fluide AB: y yV V
dt / dtx x
=
e
e
e
x
y
xA'
B'C'
D'
y
instant t+dt
C D
x
y
x
y
A B
instant t
dx
dye
xV dydty
yV dx dtx
e
e
e
x
y
xA'
B'C'
D'
y
instant t+dt
C D
x
y
x
y
A B
instant t
dx
dye
xV dydty
yV dx dtx
De mme le taux de rotation instantan du segment fluide AC est x xV V
dydt / dydty y
=
et le taux de
rotation moyen autour de laxe Oz est donc:
y xz
V V1
2 x y
=
On peut aisment gnraliser ce rsultat au cas dune rotation tridimensionnelle:
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yzx
x zy
y xz
VV1
2 y z
V V1
2 z x
V V1
2 x y
=
= =
(4.2)
d) Vecteur tourbillon:
Le vecteur ijk k , j iV e rot V>
=rr
est souvent appel vorticit de lcoulement. On appelle vecteur tourbillon le
vecteur r
dfini par (4.2) comme la moiti de la vorticit
1rot V
2
> =r r
(4.3)
et qui sinterprte comme une vitesse angulaire locale.
Un coulement est dit irrotationnel si 0 =rr
. Le rotationnel du champ de vitesse tant nul celui-ci drive dun
potentiel:
V grad>
= r
et lanalyse de lcoulement peut tre faite laide de cette fonction potentiel .
4.3 Dilatation
a) Dfinition: On appelle dilatation la dformation unitaire associe une variation de la vitesse dans la
direction du mouvement.
b) Illustration: On observe une dilatation pure dans la direction x sur le schma ci-dessous.
xA' B'
C' D'
y
instant t+dt
C D
x
y
x
y
A B
instant t
dx
dy
y
e
e ex
e
xVdx dx dtx
+
xA' B'
C' D'
y
instant t+dt
C D
x
y
x
y
A B
instant t
dx
dy
y
e
e ex
e
xVdx dx dtx
+
Si Vx dsigne la vitesse au point A, on peut exprimer la vitesse en B par: x
x
VV dx
x
+
et la longueur du segment
AB par xV
dx dx dtx
+
. La variation relative de longueur du segment AB sera donc:
x xV V(dx dx dt) dx / dx dtx x
+ =
.
On dfinit donc le taux de dilatation linaire dans la direction x par
xV
x
(4.4)
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On observe, par exemple, une dilatation (dans la direction de lcoulement) des particules fluides dans une
section convergente dune conduite.