1. 과제 순위 2. Calibration 이란 ? 3. Least Square Method 란 ? 4. Least Square Method –Linear(1) 5. Least Square Method –Linear(2) 6. Least Square Method –Curve

2004200456 임명준 2005200439 이지민 2004200459 장재필 2007102856 임영민 2007102854 이준관

1. Calibration 이란 ? 사전적인 의미로 교정 , 보정의 의미를 가지고 있다 . 이번

과제에서 우리가 알아보고자 하는 Least Square Method를 사용하는데 쓰이는 가장 중요한 개념이다 .

2. Calibration Curve 란 ? 임의의 자료값이 일정한 형태로 분산되어 있을 때 , 그 값들이 어떠한 분포를 가지고 있는지 대략적인 형태를 알아보기 위한 표준화된 곡선을 Calibration Curve 라고 한다 .

일반적으로 어떤 실험을 행할 때 ,  변량 x ( 독립변수 ) 를 변경해가며 , 그에 따른 실험값 y ( 종속변수 ) 의 쌍 (x, y) 을 얻는다 . 실험을 N회 반복하여 (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn) 의 데이터를 확보한 뒤에 이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면 , 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다 . 따라서 ,  데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야 할 작업은 , 두 변수 간에 상관관계가 있는지 , 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다 . 상관관계를 함수로 표현할 수 있다면 , " 이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라 .” 라고 말할 수 있으며 , 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다 .

Least Square method 란 , 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x) 를

찾는 하나의 도구라고 할 수 있다 .

Least Square method 란 , 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x) 를

찾는 하나의 도구라고 할 수 있다 .

n 회 측정한 측정값 y1, y2, …, yn 이 어떤 다른 측정값 x1, x2, …, xn 의 함수라고 추정할 수 있을 때 , 측정값 yi 와 함수값 f(xi) 의 차이를 제곱한 것의 합이 최소가 되도록 하는 함수 f(x) 를 구하는 것이 Least Square Method 의 원리이다 .

오른쪽 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자 . 이 직선이 최적함수라면 , 이 차이가 가능한 최소의 값을 가질 것이다 . Least Square Method 은 이 편차의 제곱을 최소화 하기 위한 방법이다 .

2. 직선형태의 Calibration Line 을 그리고 싶다면 , 최적의 함수 y=f(x) 를 y=a+bx 의 형태로 유도하여 보자 . 그러기 위해서 먼저 데이터 테이블을 만들어 보면 , 오른쪽과 같은 표를 만들 수 있다 .

X Y E

X1 Y2 Y1-(aX1+b)

X2 Y2 Y2-(aX1+b)

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Xn Yn Yn-(aXn+b)1. Least Square Method 를 사용함에 있어서 자료값과 Calibration 의 차이를 Ei 라고 하고 , 각각의 데이터에서 Ei 값을 계산하는 과정을 보여보자 .

Least Square Method 로 오차를 계산하는 과정에는 직선형태에 많이 쓰이는 수식의 연립계산과 2 차 함수 이상의 곡선형태에 많이 쓰이는 행렬연산의 2 가지 방법이 있다 . 먼저 수식의 연립계산방법을 알아보자 .

4. 앞장에서 나온 식을 정리하면 ,

이 된다 .

3. 오차의 제곱을 더하는 연산을 식으로

나타내면 , 다음의 식을 얻을 수 있다 . 이

함수식을 Objective Function이라고

부른다 .

왜 ? 제곱을 더하는가 ? 그대로 더할 경우에 양의 값과 음의 값이 합해져 적합한 결과를 얻지 못한다 . 절대값 또한 나중에 합할 경우에 미분계수 계산에 문제가 생길 수 있으므로 편차의 제곱을 계산한다 .

왜 ? 제곱을 더하는가 ? 그대로 더할 경우에 양의 값과 음의 값이 합해져 적합한 결과를 얻지 못한다 . 절대값 또한 나중에 합할 경우에 미분계수 계산에 문제가 생길 수 있으므로 편차의 제곱을 계산한다 .

6. 이제 각각의 식을 정리하여 우리가 원하는 직선의 계수값인 a, b 값을 정리해 주면 ,

의 형태로 정해줄 수 있다 .

5. 방정식의 양쪽을 편미분하게 되면 ,

이 된다 .

이제 행렬 연산으로 Least Square Method 을 이용해 보자 .

A p = qAT A p = AT q

P = (AT A )-1 AT q

(N×2)*(2×1)= (N×1)

다음 식을 사용하여 곡선형에도 적용할 수 있다 .

이전까지의 방법을 직접 데이터 값을 입력한 뒤에 그 값을 뿌려주고 그에 따른 추세선추가 ( 우리가 구하고자 하는 f(x) 와 비슷한 형태를 보여줌 ) 라는 기능을 이용하여 y=f(x) 를 그려주고 R2 의 값을 계산하여 구해주도록 설정해 주었다 .

- Least Square Method-Linear 의 MS Excel 을 통한 실행

이제 직선이 아닌 m 차 다항식의 곡선에서의 Least Square Method 을 구해보자 . 만약에 식을 구한다고 한다면 구하는 연립식의 숫자를 m+1 이상이 되어야 한다 . 먼저 구하고자 하는 식을 적어보면 ,

로 m 차 다항식을 구해볼 수 있다 . 이제 최소 자승 오차를 구해보면 ,

그런 다음에 변수 앞의 계수들의 값을 구하기 위해 식을 정의해 보면 ,

미지항으로부터 끌어낸 첫 번째 미분계수를 구하는 과정이다 .그리고 그 식을 확장하여 , 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

이제 이 식들을 정리하여 밑의 주어진 절차에 따라 풀어주면 , -> X A = Y-> XT X A = XT Y -> A = (XT X)-1 XT Y

행렬의 계산과정을 보면 다음과 같다 . 각각의 행렬의 곱을 이용하여 a0, a1, …, am 을 구할 수 있다 .

이번에는 지수함수 형태의 데이터 값을 입력한 뒤에 그 값을 뿌려주고 그에 따른 추세선추가 ( 구하고자 하는 f(x) 와 비슷한 형태의 선을 보여줌 ) 라는 기능을 이용하여 y=f(x) 를 그려주고 R2 의 값을 계산하여 구해주도록 설정해 주었다 .

- Least Square Method-Curve 의 MS Excel 을 통한 실행