Lezione 4 aprile 2011

Modellistica e Simulazione

Università degli Studi del SannioFacoltà di Ingegneria

Luigi Iannelli

Relazioni di comune utilizzo nella modellistica fisica

•Principi di conservazione

•Moto traslatorio

•Moto rotatorio

•Circuiti elettrici

•Sistemi idraulici

•Interpretazione unificata

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•L'energia totale contenuta in un sistema isolato non può essere né creata né distrutta

•Legge di conservazione della massa

•"Nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma", Antoine-Laurent de Lavoisier.

•Legge di conservazione della quantità di moto

•Principi della dinamica di Newton.

•Legge di conservazione dell'energia meccanica.

•Legge di conservazione della carica elettrica

•Equazioni di Maxwell.

Principio di conservazione dell'energia

•Relazioni tra le variabili

•Forza F (newton [F]=N=kg m s-2).

•Velocità v (metri al secondo, [v]=m s-1).

•Posizione (metri, m)

•Potenza P = F v (watt [P]=W=kg m2 s-3)

•Energia E (joule [E]=J=kg m2 s-2)

•Equazione di Newton (F=ma).

•Conservazione della quantità di moto.

Moto traslatorio

x(t) =

� t

0v(s)ds

��F =

dp

dtcon p = mv

�

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•Elementi di inerzia.

•Elementi elastici.

•Elementi di attrito.

•Elementi di trasformazione.

Componenti elementari

•Energia cinetica

•

Inerzia

F=ma

Ec =1

2mv2

F (t) = mdv(t)

dt

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x1x2

F=k(x1-x2)=kx

• Energia elastica

•

Elemento elastico

Es =1

2kx2 =

1

2k

�� t

0v(s)ds

�2

=1

2kF 2

F (t) = kx(t) = k

� t

0v(s)ds

F=k(x1-x2-l0)=kx

•Attrito viscoso

•F (t)= b v(t)

•Potenza dissipata

•Pd=Fv=b v2

• In generale

•F(t)=h(v(t))

•Attrito secco (o coulombiano)

•Resistenza aerodinamica (air drag)

Elemento di attrito

v1v2

F=b(v1-v2)=bv

h(v) = µ sgn(v) per v �= 0

h(0) = F0

h(v) = cv2 sgn(v)

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•Leva meccanica

•

•

•

Elemento di trasformazione

v2

v1

F1 F2

a

b

P1 = F1v1 = P2 = F2v2

F1 =v2v1

F2 = αF2

v1 =1

αv2 =

a

bv2

•Relazioni tra le variabili

•Coppia T (newton metro, [T]=N m).

•Velocità angolare ω (radianti al secondo, s-1).

•Posizione angolare (radianti).

•Potenza P=T ω ([P]=W)

•Equazione della dinamica rotatoria .

•Conservazione del momento angolare.

Moto rotatorio

θ =

� t

0ω(s)ds

T = J ω̇

�T =

dM

dtcon M = Jω

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•

•Energia cinetica

•

Inerzia rotativa

T (t) = Jdω(t)

dt

Ec =1

2Jω2

•Molla torsionale

•

•Energia elastica

•

Elemento elastico rotatorio

T (t) = kθ(t) = k

� t

0ω(s)ds

Es =1

2kθ2 =

1

2k

�� t

0ω(s)ds

�2

=1

2kT 2

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•Attrito viscoso

•T (t)= b ω(t)

•Potenza dissipata

•Pd=T ω =b ω2

Elemento di attrito rotatorio

•

•

•

Elemento di trasformazione rotatorio

P1 = T1ω1 = T2ω2 = P2

T1 =ω2

ω1T2 = αT2

ω1 =1

αω2 =

r2r1

ω2

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•Relazioni tra le variabili

•Tensione V (volt [V]= J C-1= kg m2 s-3 A-1).

•Corrente I (ampere [I]=A).

•Carica elettrica (coulomb [A s])

•Flusso magnetico (weber [Wb]=[Vs])

•Potenza P=V I [P]=W

•Equazioni costitutive.

•Equazioni di Kirchhoff.

Circuiti elettrici analogici

Q(t) =

� t

0I(s)ds

Φ(t) =

� t

0V (s)ds

•Induttore.

•Capacitore.

•Resistore.

•Trasformatore.

Componenti elettrici elementari

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•

•Energia magnetica

•

Induttanza

V (t) = LdI(t)

dt

Em =1

2LI2

I

+ -V

•

•Energia elettrica

•

Capacità

V (t) =1

CQ(t) =

1

C

� t

0I(s)ds

+

-V I

Ee =1

2

1

CQ2 =

1

2C

�� t

0I(s)ds

�2

=1

2CV 2

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•Resistore lineare

•V (t)= R I(t)

•Potenza dissipata

•Pd=VI=R I2

•Resistore non lineare

•V=h(I)

•Diodo (giunzione p-n).

•Diodo tunnel.

Resistenza

I

+ -V

•

•

•

Trasformatore

P1 = V1I1 = P2 = V2I2

V1 =I2I1

V2 = αV2

I1 =1

αI2 =

n2

n1v2

I1 I2

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•Relazioni tra le variabili (fluidi incomprimibili)

•Pressione p (pascal [p]=Pa=N m-2).

•Portata volumetrica (flusso) Q (metri cubi al secondo [Q]=m3 s-1).

•Volume (metri cubi [m3])

•Potenza (watt, W)

•Energia

Sistemi idraulici

V (t) =

� t

0Q(s)ds

P = Fv = (p1 − p2)A · QA

= ∆p ·Q

E = pV

•

• induttanza idraulica

Induttanza idraulica

Q

l

Ap1p2

ρ�

A:= L

Ftot = p1A− p2A = ρ�Adv

dt⇒ ∆p =

ρ�

A

dQ

dt

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•

• capacità idraulica

Capacità idraulica

h

Q

A

p

∆p =ρV g

A=

ρg

A

� t

0Q(s)ds

A

ρg:= C

• (Legge di d'Arcy per flussi laminari)

•In generale

•Potenza dissipata

•

Resistenza idraulica

Qp1

p2

∆p = RfQ

∆p = h(Q)

Pd = ∆pQ

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•

•

•

Trasformatore idraulico

Q1Q2

p1

p2

A1

A2

p1Q1 = p2Q2

F

A1Q1 =

F

A2Q2 ⇒ Q1 =

A1

A2Q2 =

1

αQ2

p1 =Q2

Q1p2 = αp2

•Tabellina unificatrice

Interpretazione flow-effort

Meccanico traslatorio

Meccanico rotatorio Elettrico Idraulico Meccanico

traslatorio*Meccanico rotatorio*

Effort e F T V Δp v ω

Flow f v ω I Q F T

Power P Fv Tω VI Δp Q Fv Tω

Smorzatore Attrito viscoso

Resistore Orifizio Smorzatore Attrito viscoso

Molla Molla torsionale

Capacitore Serbatoio Inerter Inerter rotatorio

Inerzia Inerzia Induttore Condotta Molla Molla torsionale

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From M. Chen, C. Papageorgiou, F. Scheibe, F. Wang, and M. Smith, “The missing mechanical circuit element,” IEEE Circuits and Systems Magazine, vol. 9, no. 1, pp. 10-26, 2009.

•[1]! P. Fritzson, “Principles of Object-Oriented Modeling and Simulation with Modelica 2.1”, Wiley-IEEE Press, 2004.

•[2]! L. Ljung and T. Glad, “Modeling of Dynamic Systems,” Prentice-Hall, 1994.

•[3]! M. Chen, C. Papageorgiou, F. Scheibe, F. Wang, and M. Smith, “The missing mechanical circuit element,” IEEE Circuits and Systems Magazine, vol. 9, no. 1, pp. 10-26, 2009.

Riferimenti

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