moisés toledo julián: el método de integración de federico villarreal

HISTORIA DE LA MATEMÁTICAEN EL PERÚ

ANÁLISIS DE OBRAS

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DEFEDERICO VILLARREAL

Autor: Moisés Samuel Toledo Julián(el [email protected])

Resumen

Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller[2] ante la Facultad de Ciencias dela Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima–Perú), realizó una observaciónnotable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema,este será tratado en tres secciones, cada uno de los cuales indicará una subparte de lamisma, los puntos a tratar serán:

1. Sobre expresiones susceptibles de generalización.

2. Método de traspasos.

3. Aplicación del método de traspasos.

Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), elpresente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el procesode integración.

2

1. Sobre expresiones susceptibles de generalización

Es bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, ×, ()n) y descompo-sición (−, ÷, n

√) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertirel orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lomismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a+ b)− c = (a− c)+ b. Perosi a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por cy agregar b, es decir: (a + b)c 6= ac + b sino que debe añadirse bc para obtener el mismoresultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio[2]:

“Cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas delmismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puedecambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones sonimposibles no es permitida su permutación”

— Federico Villarreal

El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptiblesde una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea el caso de integración porpartes como uno suceptible de generalización.

1.1. Recordando el método de integración por partes

Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración porpartes:

1ro por la regla de la derivada de un producto tenemos

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

2do integrando a ambos lados de la igualdad

⇒∫(f(x) · g(x))′∂x =

∫f ′ · g(x)∂x+

∫f(x) · g′(x)∂x

3ro usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando ade-cuadamente

⇒∫f(x) · g′(x)∂x = f(x) · g(x)−

∫f ′(x) · g(x)∂x

A partir de los calculos anteriores y del hecho que una integral y =∫f(x)∂x sienpre es

posible escribirla como y =∫A · dB tenemos que esta ultima puede ser expresada como la

combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integraciónpor partes como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en 1 puesto quey =

∫f(x)∂x escrita en términos de A,B tomará una forma mas simple o complicada

segun sean A y B escogidos en forma adecuada.Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en

dos casos:

• Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones ra-cionales, que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebrai-camente o por logaritmos o por arco tangentes.

3

• Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.

Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes,pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien loson los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarselesintegración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integraciónpor factores.

Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia suestudio sobre la integración por traspasos, pasamos a describir el método en si.

2. Método de traspasos

Primero haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.

2.1. Observaciones:

1. El método de integración inmediata tiene sus reglas fijas. La inversa de la derivación:∫x3∂x = x4

4 + cte , o tambien∫ √

x∂x = 23

√x3 + cte (cte: constante real)

2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende delos casos que se presenten:

a) Para convertir en algebraica una expresión trascendente∫ln(x+ 1) cosx∂x

b) Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc(esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)

c) Para hacer racional a una función inconmensurable∫

1√x2+1

∂x

3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:

a) Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales∫

∂xx2−6x+9

b) Si el denominador tiene raíces distintas∫

∂xx2+3x+10

c) Si el denominador tiene raíces imaginarias∫

∂xx2+1

4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo aello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogíaa lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando comofactor constante ∂x tenemos:

y =

∫f(x)∂x

= xf(x)−∫f ′(x)x∂x

Pero ∫f ′(x)x∂x =

x2

2f ′(x)− 1

2

∫f ′′(x)x2∂x

Así

y = xf(x)− x2

2!f ′(x) +

1

2!

∫f ′′(x)x2∂x

4

Procediendo análogamente para la ultima integral:

y = xf(x)− x2

2!f ′(x) +

x3

3!f ′′(x)− x4

4!f ′′′(x) + · · · (1)

Si bien es cierto que el factor ∂x se presenta de forma natural, el método no suponeque precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo loparticulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr.Federico Villarreal.

2.2. Principio de integración por traspasos

Dada la expresión y =∫f(x)∂x siempre es posible expresarla en la forma y =

∫A · dB

y sin hacer traspasos de términos, podemos interpretar la fórmula (1) del modo siguiente:

1. Tomar A después diferenciarla y dividir por ∂x, volver a diferenciar y dividir por ∂x,etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.

2. Tomar B después multiplicarla por ∂x e integrar, volver a multiplicar por ∂x eintegrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.

3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir

A ·B −A′ ·∫B∂x+A′′ ·

∫ ∫B∂x−A′′′ ·

∫ ∫ ∫B∂x · · ·

Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponen-te, cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tantoen este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va dis-minuyendo el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integraciónes constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por ∂x la integración dará∂x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en estecaso la integral (como se sabe) es un logaritmo.

Ejemplo 1. Sea la función x4, cuya integral puede ser expresada en formas distintas ypor tanto el factor ∂x no es el único que se presenta de forma natural, así pues:

z =

∫x4∂x =

∫x2 × x2∂x =

∫x2 × ∂(

∫x2)∂x =

∫x2 × ∂(x

3

3) (2)

aplicando el método para A = x2 y B = x3

3 tenemos en cada caso:

A = x2 B =x3

3dA

dx= 2x

∫B∂x =

x4

12

d2A

dx2= 2

∫(

∫B∂x)∂x =

x5

60

d3A

dx3= 0

5

note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para Afue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (3) será:

z =x5

3− x5

6+x5

30

=x5

5

Si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permitehacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo(esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. FedericoVillarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguientesección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituyeun caso trivial).

Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B seráel factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizanen cada paso (o proceso de iteración) a considerar.

2.3. Variantes del método de traspasos

Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así co-mo también es posible considerar un proceso mixto de ambos, pero por el momento soloconsideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para la próxima sección.

2.3.1. Traspaso del factor diferencial al factor integral:

En este primer caso estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función zexpresada como z =

∫AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:

“se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constanteo variable), después se integra B (la expresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, eneste caso a A1, y se hace el traspaso a B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultantees B2), etc.” En resumen:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados

A⇒ B

Segundo paso: T1 será el término a traspasar

dA = T1 ·A1 ⇒∫B · T1∂x = B1

Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar

dA1 = T2 ·A2 ⇒∫B1 · T2∂x = B2

etc.

Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del procesode integración

z =

∫AdB

=∑±Ai ·Bi; i = 0, 1, . . . ,m, (m: no de pasos y A0 = A,B0 = B)

6

por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar todala variable (pero de modo que se pueda integrar B) así la siguiente diferencial será cero ypor lo tanto se acorta el cálculo.

Ejemplo 2. Sea la función z =∫x4∂x damos la forma que deseamos z =

∫x2 · ∂(x3

3 )luego aplicando la regla de formación:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B

A⇒ B

Segundo paso: T1 será el término a traspasar

dA = x · 2 = T1 ·A1 ⇒∫x3

3· x∂x =

x5

15= B1

Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar, pero notemos que

dA1 = ∂(2) = 0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.

Ultimo paso: Colocamos los términos A0, A1, B0, B1 para obtener el resultado final delproceso de integración:

z =

∫x4∂x

= A0 ·B0 −A1 ·B1

= x2 · x3

3− 2 · x

5

15

=x5

5

2.3.2. Traspaso del factor integral al factor diferencial:

En este segundo caso estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la funciónz expresada como z =

∫AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:

“se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (laexpresión resultante es B1). Se vuelve a derivar, en este caso a A1 (expresión que resultade multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que sedesea de B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante es B2), etc.” En resumen:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados

A⇒ B

Segundo paso: donde B = T1 ·B∗1 y T1 es el término traspasado a dA

dA · T1 = A1 ⇒∫B∗1∂x = B1

Tercer paso: donde B1 = T2 ·B∗2 y T2 es el término traspasado a dA1

dA1 · T2 = A2 ⇒∫B∗2∂x = B2

etc.

7

Ultimo paso: Colocamos los términos Ai, Bi para obtener el resultado final del procesode integración

z =

∫AdB

=∑±Ai ·Bi; i = 0, 1, . . . ,m, (m: no de pasos y A0 = A,B0 = B)

Ejemplo 3. Sea la función z =∫x4dx damos la forma que deseamos z =

∫x2 · d(x3

3 )luego aplicando la nueva regla de formación:

Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B

A⇒ B

Segundo paso: donde B = T1 ·B∗1 = x · x2

3 y T1 es el término traspasado a dA

dA · T1 = 2x · x = 2x2 ⇒∫B∗1dx =

∫x2

3=x3

32= B1

Tercer paso: donde B1 = T2 ·B∗2 = x · x2

32y T2 = x es el término traspasado a dA1.

dA1 · T2 = 22x · x = 22x2 = A2 ⇒∫B∗2dx =

∫x2

32=x3

33= B2

siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso)

Ultimo paso: Colocamos los terminos Ai, Bi (aquí A0 = A,B0 = B), para obtener elresultado final del proceso de integración:

z =

∫AdB

= A0 ·B0 −A1 ·B1 +A2 ·B2 · · ·

=x5

3− 2x5

32+

22x5

33− 23x5

34· · ·

Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serieinfinita, para nuestro caso dicha serie converge a x5

5 , así suponiendo x = 1 se tiene:

1

5=

1

3− 2

32+

22

33− 23

34· · ·

en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es −23 ) tendremos:

13

1 + 23

=1

5

En la siguiente sección presentamos una mistura de los métodos anteriores y finalizamoscon una aplicación de tal proceso (misturado), así también se da una observación sobreexponentes negativos.

8

3. Aplicación del método de traspasos

En esta sección daremos una aplicación del método de traspasos de Federico Villarreal,pero antes presentamos una generalidad sobre el método, éste no es otra cosa mas que unamistura de los casos señalados en la anterior sección.

3.1. Generalidad de los traspasos

Siendo los traspasos arbitrarios, se pueden hacer continuamente de A a B o de B a Ao bien primero de A a B y después de B a A, ya sea alternándolos, siguiendo de dos endos, de tres en tres, dejando de hacer traspasos al capricho del calculador. En cualquierade estos casos siempre se obtendá integración exacta (siempre que se consiga un coeficientediferencial nulo), por consiguiente la fórmula propuesta es una expresión general de laintegración por partes.

Ejemplo 4. Integraremos la función x4 usando trapasos alternados:

z =

∫x4∂x =

∫x2 × ∂(x

3

3)

aplicando el método para A = x2 y B = x3

3 tenemos en cada caso:

A0 = x2 B0 =x3

3

derivamos A0 y traspasamos el factor integral x de B0 e intragamos lo sobrante de B0

A1 = 2x2 B1 =x3

9


A2 = 4x2 B2 =x3

27


A3 = 8x2 B3 =x3

81

derivamos A3 e integramos B3 sin efectuar trapaso alguno

A4 = 16x B4 =x4

324

derivamos A4 e integramos B4 sin efectuar trapaso alguno

A5 = 16 B5 =x5

1620

dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que

z =x5

3− 2x5

9+

4x5

27− 8x5

81+

4x5

81− 4x5

405

z =x5

5

9

3.2. Observación sobre exponentes negativos

Si los exponentes son negativos la diferenciación va aumentando el exponente en suvalor absoluto y la integración lo va disminuyendo hasta ser infinita (así pues la integrales logarítmica), sin embargo en virtud de la teoría de traspasos se puede hacer que ladiferenciación llegue a anularse y por lo mismo se llegue a la integral exacta.

Ejemplo 5. Integraremos la función x4 · lnx la cual puesta en forma adecuada:

z =

∫lnx(.

x5

5)

identificando términos

A0 = lnx B0 =x5

5

derivamos A0 y siendo x en el numerador con exponente negativo lo traspasamos a B0 eintegramos, quedando

A1 = 1 B1 =x5

25


z = lnx · x5

5− x5

25

Ejemplo 6. Integraremos la función x4 pero en esta oportunidad procuramos expresarel término integral con exponente negativo:

z =

∫x6d(−x−1)

identificando términos

A0 = x6 B0 =−1x

derivamos A0 e integramos B0 sin efectuar traspaso alguno

A1 = 6x5 B1 = − lnx

derivamos A1 y traspasamos el factor diferencial x4 a B1 e integramos

A2 = 30 B2 =

∫−x4 · lnx =

−x5 · lnx5

+x5

25


z = −x5 + 6x5 · lnx− 6x5 · lnx+6x5

5

z =x5

5

10

3.3. Recursividad para decimales del número π

Es tan general el método que se puede poner una multitud de ejemplos en los cualestendría cabida los traspasos. Como muestra de ello veamos la siguiente:

3.3.1. Observación sobre los arcotangentes

Sabemos que la diferencial de un arco x cuya tangente es u tiene por expresión:

∂x =∂u

1 + u2

el cual podemos integrar haciendo uso del método de traspasos pues

x =

∫1

1 + u2· ∂u

identificando términos, podemos aplicar el proceso ya descrito en las secciones anteriores

A0 =1

1 + u2B0 = u

tomando derivada a los Ai, traspasando el factor integral u a Bi e integrando resulta elsiguiente cálculo

A1 = −2 ·1

(1 + u2)2B1 =

u3

1 · 3

A2 = 2 · 4 · 1

(1 + u2)3B2 =

u5

1 · 3 · 5

A3 = −2 · 4 · 6 ·1

(1 + u2)4B3 =

u7

1 · 3 · 5 · 7

A4 = 2 · 4 · 6 · 8 · 1

(1 + u2)5B4 =

u9

1 · 3 · 5 · 7 · 9

continuando el proceso obtenemos la fórmula recursiva

An = (−1)n ·n∏

i=1

(2i) · 1

(1 + u2)n+1Bn =

u2n+1

n∏i=1

(2i+ 1)

Luego multiplicamos los términos Ai, Bi y colocamos los términos de acorde a lo establecidoen el método de traspasos para obtener el resultado final del proceso de integración:

x =u

1 + u2+

∞∑j=1

[j∏

i=1

(2i

2i+ 1

)· u2j+1

(1 + u2)j+1

](3)

tomando factor común, la expresión (3) puede ser reducida a

x =u

1 + u2

1 +

∞∑j=1

[j∏

i=1

(2i

2i+ 1

)·(

u2

1 + u2

)j] (4)

11

examinemos si la serie encerrada entre llaves es convergente, para ello utilizamos el criteriode la razón, por lo que formaremos el cociente del término general con el que le precede

r =

2·4·6···(2n)3·5·7···(2n+1)

(u2

1+u2

)n2·4···2(n−1)3·5···(2n−1)

(u2

1+u2

)n−1=

2n

2n+ 1· u2

1 + u2

=2

2 + 1n

· 1

1 + 1u2

tomamos límite para n =∞, resulta

r =1

1 + 1u2

para que la serie sea convergente debemos tener que |r| < 1, así reemplazando la expresiónobtenida en esta condición se tiene que la serie es convergente cualquiera que sea el valorde u, en particular si esta asume valores pequeños, luego tomando u = 1

z y reemplazandoen (4) tendremos:

x =z

z2 + 1

(1 +

2

3

1

z2 + 1+

2 · 43 · 5

· 1

(z2 + 1)2+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

3 · 5 · · · (2n+ 1)· 1

(z2 + 1)n+ · · ·

)(5)

luego puesto que asumiremos valores pequeños de u la serie anterior es convergente paravalores grandes de z.

3.3.2. Aproximando decimales de π

Para aplicar la fórmula (5) y aproximar decimales de π debemos conocer un arco(denotado por x) y su tangente (denotado por u), el primero que se presenta es el de45◦ cuya tangente es la unidad, luego z = 1 y reemplazando en (5) resulta

Arco de 45◦ =1

2

(1 +

2

2 · 3+

2 · 422 · 3 · 5

+2 · 4 · 6

23 · 3 · 5 · 7+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

2n · 3 · 5 · · · (2n+ 1)+ · · ·

)(6)

“como es poco convergente” descompondremos el arco de 45◦, por lo que buscaremos otrosarcos cuyas tangentes sean menores que uno. Para ello apelamos a una conocida fórmulatrigonométrica:

a+ b = 45◦

⇒ tan (a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a · tan b= 1

12

tomando tan a = 1/3 tendremos

13 + tan b

1− 13 · tan b

= 1

⇒ 1

3+ tan b = 1− 1

3· tan b

⇒ 4

3· tan b = 2

3

⇒ tan b =1

2

así tenemos que el arco de 45◦ es igual a la suma de los arcos cuyas tangentes son 1/2, 1/3.Dividamos ahora el arco cuya tangente es 1/2 en otros dos, así

tanx+ tan y

1− tanx · tan y=

1

2

tomando tanx = 1/3 (notar que x = a pues tanx = tan a) tendremos

13 + tan y

1− 13 · tan y

=1

2

⇒ 1

3+ tan y =

1

2− 1

6· tan y

⇒ 7

6· tan y =

1

6

⇒ tan y =1

7

vemos ahora que el arco de 45◦ es igual a la suma del arco (denotado por y) cuya tangentees 1/7 más el doble del arco (denotado por x) cuya tangente es 1/3. Luego haciendo z = 3y z = 7 en (5) tendremos los valores aproximados

x =3

10·{1 +

2

10 · 3+

2 · 4102 · 3 · 5

+2 · 4 · 6

103 · 3 · 5 · 7+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

(10)n · 3 · 5 · · · (2n+ 1)+ · · ·

}y =

7

50·{1 +

2

50 · 3+

2 · 4502 · 3 · 5

+2 · 4 · 6

503 · 3 · 5 · 7+ · · ·+ 2 · 4 · · · (2n)

(50)n · 3 · 5 · · · (2n+ 1)+ · · ·

}finalmente podemos expresar el arco de 45◦ como

Arco de 45◦ = 2x+ y

⇒ π = 8x+ 4y

⇒ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399 · · ·

Haciendo uso de las fórmulas expuestas se puede obtener una mejor aproximación, el gradode precisión aumenta a medida que se continúe la división en arcos menores. La presenteaproximación es más curiosa que útil, habiendo servido para dar uno de los muchos ejemplosen que tiene cabida la integración por traspasos.

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Bibliografía

[1] La Obra del Doctor Federico Villarreal, Godofredo García Díaz. Revista de Ciencias,año XXVII, 1924 No3, 4,5,6. Lima.

[2] Fórmulas y Métodos que Deben Completarse en Matemáticas, Federico VillarrealVillarreal Tesis de Bachiller, 1879. Lima.

[3] Federico Villarreal Matemático e Ingeniero, Luis Katzuo Watanabe, Ediciones COPÉdepartamento de relaciones públicas PETROPERÚ, 2004. Lima.

[4] Revista de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias de la UNMSM,No 2, 1988. Lima.

[5] Unidad de Árchivo Histórico Domingo Ángulo UNMSM, Árchivos de la Facultad deCiencias 1875,1876,1877,1878,1879,1880,1881.

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