nelinearni fenomeni-seminarski

7/25/2019 Nelinearni fenomeni-seminarski

1/22

Univerzitet u Novom SaduPrirodno-matematicki fakultet

Departman za fiziku

Polu-klasicno kvantovanje solitona za 1D

Hajzenbergov antiferomagnet sa jednoosnom

anizotropijom

Dorde Dangic

MentorSlobodan Radosevic


2/22


3/22

Sadrzaj

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Neki primjeri solitona i solitary waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sinus-Gordanova jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Hajzenbergov antiferomagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Bibliography 21

3


4/22

Uvod

Solitary waves i solitoni su resenja nelinearnih talasnih jednacina sa nekim usko speciziranim

karakteristikama. Posmatrajmo za pocetak najjednostavniju od svih talasnih jednacina:

= =1

c22

2t

2

2x

(x, t) = 0 (1)

gdje je (x, t) realno skalarno polje, a c brzina svjetlosti. Ova jednacina je linearna i nedisper-

ziona i njena rjesenja posjeduju sljedece karakteristike:

1. Svaka realna, lijepafunkcija oblika f(x ct) je rjesenje ove jednacine. Sto bi znaciloako izaberemo dobro lokalizovanu funkciju f, od nje mozemo konstruisati talasni paket

bez distorzije u prostoru. Svako rjesenje pomenute jednacine mozemo prikazati u obliku:

f(x ct) =

dk(a1(k)cos(kx t) +a2sin(kx t))

gdje nam je = kc, sto nam predstavlja i razlog da se talasni paket krece bez distorzije.

2. Posto je jednacina linearna, suma dva rjesenja f1(x ct) i f2(x ct) takode predstavljarjesenje ove jednacine. U vremenu t ova dva talasna paketa su razdvojeni i krecuse jedan ka drugom. Pri konacnom t dolazi do njihovog sudara i razdvajanja i za vrijeme

t oni su ponovo razdvojeni i posjeduju isti oblik.

Ova dva uslova ocigledno vaze za sva rjesenja ove jednacine posto je ona linearna i nedisperziona.

Ali ipak vecina talasnih jednacina u fizici ima znacajno komplikovanije oblike od ove, pa je

interesantno pokusati naci rjesenja tih jednacina, a koja zadovoljavaju ove navedene uslove.

Npr, ocigledno je da i najmanja moguca komplikacija ovog sistema dovodi do nepostojanja

rjesenja sa ovakvim osobinama. Posmatrajmo npr. Klajn-Gordanovu jednacinu u dvije dimen-

zije:

(+m2c2)(x, t) = 0 (2)

Ova jednacina je i dalje linearna i njena rjesenja su i dalje ravni talasi cos(kx

t) i sin(kx

t).

Ali sada vazi 2 = k2x2 +m2c4, pa nam brzina zavisi od talasnog vektora k, i jednacina je


5/22

zato disperzivna. To znaci da ce se svaki lokalizovani talasni paket koji u vremenu t = 0 ima

jednacinu: dk(a1(k)cos(kx) +a2(k)sin(kx))

rasplinuti kako vrijeme prolazi. Sto znaci da su i prvi i drugi maloprije navedeni uslovi neispu-

njeni. Ovo sve vazi i ako dodamo jednacini 1 neki nelinearni clan npr.

1c2

2

2t

2

2x

(x, t) +3(x, t) = 0 (3)

Ako neka jednacina sadrzi i nelinearni i disperzivni clan moze se desiti da ta dva clana kom-

penzuju ili ponistavaju jedan drugog, pa da neka rjesenja te jednacine imaju zadovoljen prvi

uslov. Takva rjesenja mi nazivamo solitary waves. Neka od tih solitary waves rjesenja mogu da

posjeduju i drugu osobinu ranije navedenu kod linearnih i nedisperzivnih talasnih jednacina i

ta rjesenja su solitoni.

Ovakve definicije nisu dovoljno egzaktne i mogu biti podlozne interpretaciji. Zato cemo da

definisemo solitone na osnovu nekih uopstenijih velicina. Naime posmatracemo gustinu energije

prije nego talasna polja. Prostorni integral ove velicine je ukupna energija sistema E[i].

Dalje, rjesenja cemo zvati lokalizovanim ako im je odgovarajuca gustina energije lokalizovana

u prostoru, tj. u jednom odredenom dijelu prostora ima konacnu vrijednost i u beskonacnostipada dovoljno brzo na nulu da bi bila integrabilna. Npr. sistem opisan jednacinom 3 ima

energiju:

E[] =

dx 1

2c2(

t)2 +

1

2(

x)2 +

1

4(2 1)2

(4)

je minimiziran za (x, t) = 0, sto znaci da za x vazi = 0. Sada mozemo definisatisolitary waves kao ona rjesenja jednacine cija gustina energije sem toga sto je lokalizovana ima

i zavisnost oblika:

(x, t) =(x ut) (5)

gdje je u neki vektor brzine. Drugim rijecima gustina energije bi se trebala kretati nepromje-

njena sa konstantnom brzinom.

Ocigledno je da jednacina (4) opisuje solitary waves u jednoj ili vise prostornih koordinata.

Trebalo bi napomenuti da sva staticna (vremenski nezavisna) lokalizovana rjesenja (u = 0)

su solitary waves. U slucaju relativisticki invarijantnih sistema ovakva rjesenja je dovoljno

bustovatiu pokretni sistem reference da bi se dobila rjesenja sau = 0.


6/22

Razmatrajmo solitone, odnosno rjesenja koja zadovoljavaju uslov (II). Posmatramo skup neli-

nearnih jednacina. Recimo da ona imaju lokalizovana rjesenja sa gustinom energije 0(x ut).Sada uzmimo da postoji neko drugo rjesenje ovog sistema koje se u pocetku sastojalo od N

takvih solitary waves cija gustina energije je data sa :

(x, t) =Ni=1

0(x ai uit) za t (6)

Nakon toga sistem evoluira u saglasnosti sa nelinearnim jednacinama i u vremenu t imaoblik:

(x, t) =Ni=1

0(x ai uit+i) (7)

gdje su i neki konstantni vektori. U ovom slucaju solitary waves su solitoni. Drugim rjecima

solitoni su solitary waves ciji se oblik asimptotski (za t ) vraca u pocetni oblik.

Odavde je ocigledno da su svi solitoni solitary waves, dok naravno, obrnuto ne vazi. Solitoni

su veoma rijedak podskup solitary waves. Ipak u literaturi pojmovi solitona i solitary waves

su ispreplitani i jasna granica ne postoji. U nekim slucajevima autori ono sto je samo solitary

wave nazivaju solitoni posto je to ime mnogo zvucnije i prepoznatljivije.


7/22

Neki primjeri solitona i solitary waves

Pocecemo od najjednostavnijih primjera. Posmatracemo sistem sa jednom prostornom i vre-

menskom dimenzijom. Posmatrajmo prvo sistem cija je dinamika opisana lagranzijanom:

L =12

()2 12

()2 U() (8)

Iz ovog lagranzijana dobijamo jednacinu kretanja kao:

=

U

(x, t) (9)

Energija ovog sistema je data sa:

E[] =

dx1

2()2 +

1

2()2 +U()

(10)

Sada recimo da potencijal U() imaMminimuma i da su oni takode minimumi energije jer su

konstante velicine u prostoru i vremenu tj.

E[] = 0 ako i samo ako = gi i= 1, 2, . . . , M

Posmatramo staticna rjesenja jednacine, odnosno:

2

2x=

U

(x) (11)

Vec smo ranije napomenuli da solitary wave mora ima lokalizovanu gustinu energije sto ce

znaciti da za x

polje tezi vrijednostima pri kojima je potencijal u minimumu (

gi).

Sa ovim granicnim uslovima mozemo rijesiti zadatu jednacinu. Pomnozimo obje strane sa i

integralimo po x koordinati: dx=

dU

ddx

ili1

2()2 =U()

Odavdje mozemo zakljuciti da ukoliko potencijal U() ima jedinstven minimum netrivijalna

rjesenja ne mogu postojati. Postoji samo rjesenje = 1 za svako x. Znaci ukoliko zelimo


8/22

rjesenja koja ce biti zavisna od x potencijal nam mora imati bar dva minimuma. Jednacinu

dalje rjesavamod

dx=

2U()

1/2

Integracijom po ddobijamo

x x0 = (x)

(x0)

[2U()]1/2

Kako smo vec ranije definisali minimum U() u tackama x ovaj integral nece imatisingularitet sve dok tacke x i x0 ne budu uzimale beskonacne vrijednosti.

Kao ilustraciju ovog metoda uzmimo tzv. kink rjesenje4 teorije, kod koje je potencijal dat

izrazom:U() =

1

4(2 m2/)2 (12)

gdje su nam m2 i pozitivne konstante. Jednacina kretanja sada glasi (staticki slucaj):

=3 m2

Ovdje U() ima minimum za =m/, odnosno polje tezi ovim vrijednostima kadax. Rjesenje ove jednacine glasi:

(x) = (m/

) tanh[(m/

2)(x x0)] (13)

Plus znak odgovara kink rjesenju, a minus antikink rjesenju. Ukoliko uzmemo da je x0 = 0

simetrija lagranzijana se jasno ogleda u rjesenjima za . Naime

kink(x) = antikink(x) =antikink(x)

Gustina energije je u ovom slucaju data sa:

(x) = (m4/2)sech4[mx/

2]

Ova rjesenja svakako jesu solitary waves, ali nisu solitoni. Da bi bili solitoni oni moraju da

zadrzavaju svoj oblik posle sudara dva kink ili antikinka ili sudara kink-antikink. To se ne

desava.


9/22

Slika 1: Kink i antikink rjesenje

Slika 2: Gustina energije


10/22

Ovo su staticka rjesenja Kao sto smo reki rjesenja zavisna od t mogu se dobiti bustovanjem

ovih rjesenja. Kink sada ima oblik:

(x, t) = m

tanh

m2

x ut1 u2

(14)

gdje je1< u


11/22

Sinus-Gordanova jednacina

U prethodnom poglavlju smo dobili solitary waves, a ne solitoni i sada cemo uraditi primjer

kada jednacina ima i solitonska rjesenja. Sistem je opisan sljedecim lagranzijanom:

L(x, t) =12

()() + (m4/)(cos[

m] 1) (15)

Ovaj sistem ima raznoliku i bogatu upotrebu u fizici od fizike elementarnih cestica do fizike

cvrstog stanja. Jednacina koja se dobija iz prethodnog lagranzijana je sinus-Gordanova

jednacina(preko Lagranz-Ojlerove relacije L

L

()):

+ (m3/

) sin[(

/m)] = 0 (16)

Smjenom

x= mx t= mt = (

/m)

i uzimanjem statickog slucaja uprostavamo jednacinu do oblika:

2

2x

= sin (x, t) (17)

Integral energije je:

E=

dx

L()

L = m3

dx

12

(2 +2) + (1 cos )

(18)

Lagranzijan i jednacine polja posjeduju sljedece simetrije:

(x, t) = (x, t) =(x, t) + 2N

Kako jeU() = 1 cos jasno je da energija ima minimum za vrijednosti polja (x, t) = 2N .Rjesenje jednacine ide po receptu iz proslog poglavlja i daje:

(x) = 4 tan1[exp(x)] sol(x) (19)

ili

(x) = 4tan1[exp(x)] antisol(x) (20)

Solitoni koji se krecu (solitoni zavisni od vremena) se mogu dobiti ponovo bustovanjemovih

rezultata odnosno mjenjanjem argumenta xu x ut/1 u2. Ovo rjesenje je kao sto vidimo


12/22

Slika 3: Soliton iz Sinus-Gordanove jednacine

dosta slicno kinkrezultatu iz proslog poglavlja, ali nije identicno. Oba ova rjesenja su istinski

solitoni koji zadovoljavaju oba ranije navedena uslova. Razlog zasto se drugo rjesenje zove

antisoliton lezi u simetrijskim vezama izmedu dva rjesenja (sol(x) = antisol(x)).

Prvi uslov je da su ova rjesenja solitary waves. Kako nam u gustini energije:

(x, t) = m3

12

(2 +2) + (1 cos )

nema clanova koji su nezavisni od niti drugih oblika zavisnosti od x i t, a kako nam je

(x, t) =((x ut)/1 u2), tada nam vazi i da je:

(x, t) =(x ut)

sto je dovoljan uslov da ova rjesenja budu solitary waves. Da bismo tacno znali da li su ova dva

rjesenja solitoni, moramo da posmatramo njihovo ponasanje prilikom sudara. U prvom slucaju

pokazacemo da je rasijanje solitona na antisolitonu dato jednacinom:

SA(x, t) = 4 tan1 sinh(ut/1 u2)

u cosh(x/

1 u2)

(21)

Asimptotsko ponasanje tokom vremena nam pokazuje da se ova jednacina moze predstaviti kao

zbir solitona i antisolitona uz dodatak konstantnog vektora u argumentu:

SA(x, t) =sol

x+u(t+/2)1 u2

+antisol

x u(t+/2)

1 u2

(22)


13/22

gdje je

1 u2

u ln u

Slicno moze biti kostruisano rjesenje dva solitona:

SS(x, t) = 4 tan

1u sinh(x/

1

u2)

cosh(ut/1 u2)

(23)

Pored ova dva rjesenja mozemo dobiti i dublet rjesenje ili breather rjesenje v:

v(x, t) = 4 arctan sin(vt/1 +v2)

v cosh(x/

1 +v2)

(24)

Ovdje nam je v parametar slicne funkcije kaou u soliton-antisoliton rjesenju. Ako u SA(x, t)

ubacimo u= iv i uzimajuci u obzir da vazi sinh(ix) =i sin(x) dobijamo:

SA(x, t) = 4 tan1

i sin(vt/1 +v2)iv cosh(x/

1 +v2)

= 4 tan1

sin(vt/1 +v2)v cosh(x/

1 +v2)

= v(x, t)

Odavdje mozemo zakljuciti da nam ovaj dublet predstavlja spregnuto rjesenje soliton-antisoliton.

Naravno, posto je sinus periodicna funkcija sa periodom= 2, tako ce i v(x, t) biti periodicna

funkcija sa periodom = 2 2

1 +v2/v.


14/22

Hajzenbergov antiferomagnet

Posmatramo antiferomagnetni lanac opisan hamiltonijanom sa jednoosnom anizotropijom i

anizotropijom lake ose. Ovaj hamiltonijan ima sljedeci oblik:

H= |J|n

[ Sn Sn+1+SznSzn+1+(Szn)2] (25)

Ovdje vaze sljedece relacije: S2n= 2S(S+1) i > , i klasicno osnovno stanje je dato relacijom

Sn = (1)nu gdje je u =z. Da bi dobili solitonske ekscitacije koristimo klasicnu ugaonureprezentaciju spinskih operatora:

Sxn = (1)n

Ssin ncos n

Syn= (1)

n

Ssin nsin nSzn = (1)n

Scos n

U ovim koordinatama hamiltonijan nam ima sljedeci oblik:

H= 12

n

sin nsin n+1cos ncos n+1+ sin nsin n+1sin nsin n+1+

(1 +)cos ncos n+1 (cos n)2

Sada trazimo jednacine kretanja za velicine n i n u klasicnom limitu. Dobijamo ih preko

Poasonovih zagrada. I to kao:

n = {n, H} = nn

H

cos n n

cos n

H

n

n= {n, H} = nn

H

cos n n

cos n

H

n

(26)

Naravno jasno je da vazi:n

cos n

= n

n

= 0

Ostali izvodi su oblika:

H

n= 1

2

n

sin nsin n+1

sin ncos n+1n,n+

+ cos nsin n+1n+1,n+ cos nsin n+1n,n+ sin ncos n+1n+1,n

=

12

sin nsin n+1(cos nsin n+1 sin ncos n+1) + sin nsin n1(cos nsin n1 sin ncos n1)

ncos n =

1

sin n


15/22

H

cos n=

H

n

ncos n

= 12sin n

n

cos ncos n+1(cos nsin n+1n,n+

+ cos n+1sin nn,n+1) + sin nsin n+1(cos nsin n+1n,n+ cos n+1sin nn,n+1)+

+ (1 +)(cos nsin n+1n,n+1+ sin ncos n+1n,n) + 2 cos nsin nn,n

Dobijene jednacine kretanja su oblika:

n= 12

1(1)n

[sin n1sin(n1 n)], (27)

n= 12

1(1)n

(1 +)cos n1 cos n cot nsin n1cos(n1 n)

(28)

Pretpostavicemo da nam se n i n sporo mjenjaju sa n, odnosno da imaju malu fluktuaciju,

sto je dobra aproksimacija u slucaju niskih energija i slabe anizotropije 0 c/a:

n=(x) +a(1)n(x), n = (x) +a(1)n(x), x= na

Sada promjenjive na susjednim cvorovima mozemo predstaviti preko razvoja u red u okolini

x= na. Zadrzavamo samo kvadratne clanove u odnosu na , ,. Pored konstante 12

(0a/c)2, uvodi mo jos jednu konstantu radi preglednosti1=

12

(+). U ovom slucaju imamo

slabu anizotropiju te mozemo da odbacimo clanove koji sadrze 1. Razvoji u red izgledaju:

n+1 = (x+a) +a(

1)n+1(x+a)

(x) +a

+

a2

2 2+a(

1)n+1(x)

i

n+1=(x+a) +a(1)n+1(x+a) (x) +a+ a2

22+a(1)n+1(x)

Uvrstavanjem ovih izraza u jednacine kretanja dobijamo cetiri nove, za , , , :

n = +a(1)n=

= 12

1(1)n

[sin(x a) +a(1)n1 sin((x a) +a(1)n1 (x) +a(1)n1)] =

= 12

1(1)n[sin( a+ a22

2+a(1)n1) sin(a+ a22

2+ 2a(1)n1)]

Ovdje sada zanemarujemo proizvode tipa2 i obratimo racuna da izrazi koji pri mnozenjuostaju sa predznakomu sumi se ponistavaju. Ovim racunom dolazimo do izraza:

+a(1)n= 12

1(1)n[sin a cos + a2

22 cos +a(1)n1 cos ]

[a+ a2

22+ 2a(1)n1] =

= 121(1)n[sin ( a2

2 2+ 2a(1)n1) +a2 cos + 2a2cos ]


16/22

Za drugi dio cemo ici postepeno jer je dosta komplikovaniji i ima vise clanova. Prvi clan nam

ima razvoj:

cos n1= cos((x+a) +a(1)n1) = cos( a+ a2

22+a(1)n1) =

= cos a2

2 sin 2

a(1)n1

sin

Drugi clan:

cos n = cos(+a(1)n) = cos a(1)n sin

Zajedno ova dva clana daju:

(1 +)cos n1 cos n= (1 + )cos a(1)n1 sin (1 ++) (1 +)a2

22 sin

Sada mozemo prokomentarisati koeficijente ispred ovih izraza. Naime, uvodimo novi koeficijent

1 = 2(+) i kazemo da je nula u slucaju da smo blizu izotropskog modela, sa malim

anizotropijama. Drugi koeficijent nam je 4( ) = (0a/c)2. Predimo na treci i najveci clanu jednacini i uradimo ga postepeno:

cot n = cot(+a(1)n) = cot a(1)n 1sin2

Zatim (ovaj clan smo imali i u prethodnom izrazu, tako da samo prepisemo):

sin n1= sin a cos + a2

22 cos +a(1)n1 cos

i kao poslednji:

cos(n1 n) = cos n1cos n+ sin n1sin n=

= [cos a sin a2

22 sin a(1)n1sin ][cos a(1)nsin ]+

+ [sin a cos + a2

22 cos +a(1)n1cos ][sin +a(1)ncos ] =

= cos2 a(1)ncos sin a sin cos a2

22 sin cos a(1)n1sin cos

a22 sin2 + sin2 +a(1)nsin cos sin cos +

+a2

22 sin cos +a(1)n1sin cos cos2 = 1 a22

Proizvod ova tri clana nam ima oblik:

cot nsin n1cos(n1 n) = cos a2 cos2

2sin 2 cos

2

sin a(1)n1+a(1)n

sin

cos sin2

a22 +a22 cos


17/22

Sve zajedno:

1(1)n

( )cos + (1 ++)a(1)n+1 sin a2

22 sin

2 + cos2

sin

cos2

sin a(1)n+1+a(1)n

sin a22cos

sin2 +a22 cos

=

= 2csin

14

ac(0/c)2 cos + ac2sin

2+ cos sin2

ac2 ac2 cos

Konacan oblik jednacina:

/c = 2sin ; /c= 2/ sin ; ( sin )/c= 12(sin2 ) sin 2;

(sin )/c=1

22 1

4sin 2

(0/c)

2 (2/ sin )2 + 42

Uvodenjem novih izraza L(x) =2g1 sin , (x) = 2g1sin , gdje nam je g konstanta

kuplovanja g = 2/{S(S+ 1)}2

, ove jednacine se dodatno uprostavaju:

= gc; = gcL/ sin2 (29)

gL/c= (sin2 ); g/c= 2 12

sin 2

(0/c)2 (gL/ sin2 )2 (30)

Ove jednacine se mogu dobiti i iz hamiltonijana, znajuci da su nam sada Poasonove zagrade za

ova polja{(x), L(x)} = {(x), (x)} =(x x):

H=1

2

c dxg(2+L

2/ sin2 ) +g1

{(

)2 + [(

)2 + (0/c)

2]sin2

} (31)

Hajdemo da vidimo kako to izgleda (u Hamiltonovim jednacinama kretanja):

= H

=

H

=

1

22cg

= H

L =

H

L =

cgL

sin

L= H

= [ H

H() ] =

c

g(sin2 )

=

H

=

[H

H

()] =

1

4

cgL2 cos

sin3

c

g

sin cos ((

)2 + (0/c)

2) +c

g 2=

= c

g2 c

2gsin 2

(0/c)

2 + ()2 (gL/ sin2 )2

Posmatramo staticno rjesenje prethodnih jednacina koje cemo kasnije Lorenc-bustom prevesti

u pokretni sistem reference. Rjesenja dobijamo minimizirajuci hamiltonijan pri konstantnim

vrijednostima Sz dxL i P = dx(+ L). U tom slucaju nam je gL/c = 0 jernam se velicina Sz ocuvava u toku vremena. Iz ove jednacine slijedi da je= 0 pa rjesenjeza funkciju se moze predstaviti:

= t (32)


18/22

Uvrstavajuci ovaj izraz u jednacinu vremenske evolucije za dobijamo izraz i za L:

L= g1(/c)sin2 (33)

Da bismo dobili jednacinu zauradicemo jos jednom vremenski izvod jednacine za. Dobijamo:

= gc

Sada u ovu jednacinu uvrstimo jednacinu za , uzimajuci u obzir da nam je = 0, kao ivec dobijeni izraz za L. Konacan oblik jednacine za izgleda:

=1

2

(20 2)/c2

sin2 (34)

Ovdje nam drugi izvod po izgleda =

2. Mozemo prepoznati da nam je ova jednacina

ustvari Sinus-Gordanova jednacina za polje 2i normira jucom konstantomR = c202

. Prvim

integraljenjem dobijamo:

R2()2 = 12

cos 2+1

2

gdje nam je 12

konstanta integracije. Jednostavnim trigonometrijskim transformacijama dola-

zimo do:

R = sin

sto da je rjesenje:

= 2 arctan e(ss0)/R (35)

ili u obliku sinusa i kosinusa:

sin = sechs s0

R (36)

cos = tanhs s0R

(37)

Ovdje nam je s= (1 v2/c2)1/2(x vt). Integracijom L po prostoru dobijamo da je 12gSz =

/

20 2 i to nam predstavlja ukupni orbitalni spin koji nosi soliton.

Sljedeci korak bi nam bio da kvantujemo Sz i to cinimo u koracima od Sz = m. Potrazimo

energiju ovog sistema. Ukoliko pretpostavimo da je = 0, jer nam je u staticnom slucaju

= 0, i uvrstavajuci izraze za L i, kao i uzimajuci u obzir da je= 0 hamiltonijan namima oblik:

H= 12gc

dx

sin2 2 +c2 sin

2

R2 +20sin2

=

2

0gc 2R= 2g

2

020 2 (38)


19/22

Moze se pokazati da vazi m = S 202

1 i tada u slucaju staticnog rjesenje imamo jednostav-

niji izraz za energiju: E= 0

m2 +S2. Kada bustujemo sistem i predemo u pokretni sistem

reference energija poprima oblik:

Em

(P) = (m2 +S2)(0)2 +c2P2

1/2

(39)

1Vidjeti Dodatak 1


20/22

Dodatak 1

Magnetizacija i izvodenje izraza za m

Prvo uvedimo velicine n iln:

n = 1

2S(S2n+1 S2n)

ln=1

2(S2n+1+ S2n)

Sada mozemo izraziti magnetizaciju preko ovih izraza i ona izgleda:

M=n

Sn =

dx

1

2a2l(x) (40)

Postoji veza izmedu promjenljivih il i to takva dal u potpunosti zavisi od :

2c

aSl= +c

Uvrstimo ovo u izraz za magnetizaciju i dobijemo:

M= S

2c

[dx +c]

Pogledajmo magnetizaciju u zpravcu:

Mz = S2c

dx[xy yx+cz]

Ako uvedemo ogranicenje || = 1 i odaberemo nove parametre koji bi zadovoljavali uslove(tacnije uvodimo polarne koordinate):

= arccos z

= arctan(y/z)

Odavde mozemo povuci vezu iz zadnjeg poglavlja ( i ). Potrazimo vremenski izvodod :

= d

dtarctan(y/z) =

2x2x+

2y

yx xy2x

=yx xy

1 2z=

yx xysin2

Sada nam je magnetizacija:

Mz = S

2c

dx sin2 +

S

2cos |=

=m S


21/22

Odavde racunamo mkao (koristimo rezultat iz proslog dijela = = ):

m= S2c

dx sech2x x0

R = S

2c2R=

= 20

S


22/22

Bibliografija

[1] R. Rajamaran Solitons and Instantons, An Introduction to Solitons and Instantons in

Quantum Field Theory, 1982

[2] N. TheodorakopoulosNonlinear Physics, Konstanz, June 2006

[3] F.D.M. HaldaneNonlinear Field Theory of Large-Spin Heisenberg Antiferromagnets: Semic-

lassicaly Quantized Solitons of the One-Dimensional Easy-Axis Neel State, Phys.Lett.Rev.

Vol. 50 Numb. 15, 1983

22

nelinearni fenomeni-seminarski

Documents