Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

На правах рукопису

МИРОНЕНКО ОКСАНА ВАСИЛІВНА

УДК 519.1

РОЗРОБКА МЕТОДІВ І АЛГОРИТМІВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

ЗАДАЧ Т-ФАКТОРИЗАЦІЇ ПОВНИХ ГРАФІВ

01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики

Дисертація на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Науковий керівник

Донець Георгій Панасович

доктор фізико-математичних наук

Київ – 2012

2

ЗМІСТ

ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

РОЗДІЛ 1. Огляд літератури за темою і вибір напрямку досліджень . . . 12

Висновки до першого розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

РОЗДІЛ 2. Т-факторизація повного графу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Базові означення і положення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.2. Поняття Т-факторизації . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.3. Необхідні умови існування Т-факторизацій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Методи побудови разкладів повних графів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.5. Різнорозмірні деревні розклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1. Первісна класифікація різнорозмірних деревних розкладів . . .28

2.5.2. Різнорозмірні зіркові деревні розклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.5.3. Різнорозмірні ланцюгові розклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2.5.4. Різнорозмірні кометні розклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

2.5.5. Різнорозмірні розклади на подвійні зірки . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6. Типова задача Т-факторизації для повного графу К10. . . . . . . . . . . . . . 35

Висновки до другого розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

РОЗДІЛ 3. Неіснування факторизацій для деяких класів дерев . . . . . . . 44

3.1. Одна необхідна умова існування T-факторизацій . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.2. Гусеничні факторизації. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.3. Факторизації r-регулярними деревами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

3.4. Факторизації деякими ярусно-регулярними деревами . . . . . . . . . . . . .49

3.5. Існування деревної півобертової факторизації непарних порядків . . .51

Висновки до третього розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

РОЗДІЛ 4. Біциклічна Т-факторизація . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1. Властивості біциклічної Т-факторизації . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Структура базової компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

3

4.3. Алгоритм побудови базової компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Висновки до четвертого розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

РОЗДІЛ 5. Застосування методу паралельного перенесення міждолевого

ребра до побудови базових компонент біциклічної Т-факторизації . . . . .73

5.1. Розв’язок задачі для дерев з n=10, що мають вершину степеня 5 . . .73

5.1.1. Паралельне перенесення міждолевого ребра . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.2. Базова множина всіх можливих типів підграфів . . . . . . . . . . . . 82

5.2. Розв’язок задачі для дерев з n=14, що мають вершину степеня 7 . . 90

Висновки до п’ятого розділу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Список використаних джерел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

ДОДАТКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Додаток А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Додаток Б . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

Додаток В . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

4

ВСТУП

У другій половині ХХ та на початку теперішнього століття стрімко

виріс інтерес до такої галузі математики, як теорія графів. Перші розробки,

які призвели до виокремлення теорії графів, були головним чином

зосереджені в Англії [1-7]. Сьогодні задачі теорії графів розв’язують вчені

багатьох країн, серед яких є багато наших співвітчизників.

За останні 10-20 років теорія графів вступила в новий період

інтенсивних розробок. Для такого пожвавлення вивчення графів було багато

причин. Це пов’язано з тим, що, використовуючи деякі властивості

теоретико-графових моделей, стало можливим розв’язування не тільки суто

теоретичних математичних задач, а й практичних задач і проблем багатьох

галузей сучасного життя. В цьому процесі явно помітний вплив запитів

нових областей науки: проблем економіки, психології, соціології, біології,

низки природничих наук та інших галузей знань. Природничі науки виявили

свій вплив на активність у розвитку теорії графів завдяки дослідженням

електричних ланцюгів, моделей кристалів і структур молекул. Розвиток

формальної логіки привів до вивчення бінарних відношень у формі графів.

Велика кількість головоломок піддавалась формулюванню безпосередньо в

термінах графів, і це привело до розуміння, що багато задач такого роду

включають деяке математичне ядро, важливість якого виходить за рамки

конкретного питання.

Актуальність теми.

Друга половина минулого століття ознаменувалася в комбінаторній

математиці переходом від теоретико-множинної термінології до сучасної,

теоретико-графової. Тісне переплетіння понять комбінаторної математики і

теорії графів привело до появи поняття комбінаторної конфігурації. З цієї

точки зору комбінаторні конфігурації стали розглядатися, як розкладання

повного графу на підграфи певного типу, серед яких найбільшої уваги

5

заслуговують дерева. Широко відоме застосування різного роду блок-схем,

дерев та інших комбінаторних конфігурацій при розв’язуванні різноманітних

завдань шляхом створення абстрактних моделей низки природничих та

соціальних наук, при плануванні експериментів, в криптографії, при розробці

розгалужень комунікаційних систем, та в інших областях сучасного життя.

Особливо важливим є зв’язок між теорією графів і новими напрямками

теоретичної кібернетики: теорія автоматів, дослідження операцій, теорія

кодування і передачі повідомлень, математичне програмування та теорія ігор.

Актуальним для сьогодення є розвиток такої нової галузі, як економічна

кібернетика. Всі наведені сфери науки вимагають нових результатів за темою

дисертації.

Теоретичні та методологічні основи за напрямком досліджень

відображені в працях вітчизняних і зарубіжних вчених, таких як: Л. Байнеке,

Г. Брунель, Р. Вільсон, Л. Діксон, Г.П. Донець, Л. Камінгс, Т.П. Кіркман,

Ф.Н. Коул, Ф. Саффорд, В. Де Паскуаль, Р. Пелтесон, А.Я. Петренюк, Д.

Рей-Чаудхурі, А. Роса, Ш. Хуанг, К. Цулауф та інші.

Варто зауважити, не дивлячись на те, що проблеми розв’язування задач

Т-факторизації повних графів достатньо висвітлені в науковій літературі,

шляхи вирішення цих проблем потребують ефективних методів та

алгоритмів, які повинні базуватися на необхідних і достатніх умовах

існування певних деревних факторизацій повних графів різних порядків. Так

досі продовжується пошук розв’язку задачі існування T-факторизації для

заданого дерева T, яку поставив Л. Байнеке. Ш. Хуанг і А. Роса повністю

розв’язали задачу існування Т-факторизацій для парних значень n8. У

роботах А. Я. Петренюка розв’язано цю задачу у випадку n=10. Але

реалізуючі деревні факторизації досі не були перелічені. Також у роботах

попередників не достатньо розглянуто умови неіснування факторизацій для

таких класів дерев, як гусениці, регулярні та ярусно-регулярні дерева.

Цікавою для дослідження виявилася задача побудови неізоморфних

різнорозмірних деревних розкладів. Для побудови базових компонент

6

біциклічної Т-факторизації використовуються, в основному, комп’ютерні

програми.

З представленого сучасного стану проблеми Т-факторизації повних

графів можна зробити висновок, що тема дисертації, як за своїми

одержаними науковими результатами, так і за можливими майбутніми

науковими напрямками розвитку є актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконувалась з 2006 р. по 2010 р. в Інституті

кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України згідно індивідуального плану

підготовки аспіранта та планами науково-дослідних робіт інституту в рамках

тем В.Ф.110.10 “ Розробити теоретичні основи для створення паралельних

ефективних алгоритмів розв’язання задач на графах великого об’єму ”

(2008-2010 р.р.), (державний реєстраційний № 0107U000797) та теми

№275/08 “Розвиток теорії та методів комбінаторної оптимізації”

(2009-2010 р.р.) (державний реєстраційний № 0109U007659).

Мета і завдання дослідження. У роботах попередників досліджуються

розклади повних графів на підграфи різних типів, зокрема на дерева.

Цікавими і змістовними для автора дисертації виявилися задачі про

існування згаданих розкладів та про їх перелік з точністю до ізоморфізму.

Дана дисертаційна робота має на меті знаходження методів і

алгоритмів розв’язування задач розкладу повних графів на неізоморфні

деревні компоненти, їх переліку та побудови. Для досягнення цієї мети

велися дослідження у відповідному напрямку і розв’зувалися такі задачі:

- існування і кількісний перелік різнорозмірних деревних розкладів;

- існування та неіснування Т-факторизацій для деяких класів дерев;

- розробка та застосування методів і алгоритмів побудови компонент

біциклічної Т-факторизації на прикладі повних графів K10 та K14.

7

Хоча подібні дослідження велися вже давно і мають значні результати,

авторові вдалося доповнити їх і розглянути нові підходи до Т-факторизації

повних графів.

Об’єктом дослідження є такий напрямок теорії графів, як факторизація

повних графів. Цей напрямок вимагає розв’язання досить широкого кола

задач.

В якості предмета дослідження автором була вибрана саме деревна

факторизація, яка передбачала можливість одержання цікавих результатів

при розв’язанні як задачі існування, так і задачі побудови та переліку базових

компонент півобертової і біциклічної Т-факторизації.

На початку досліджень використовувалися такі, запропоновані А. Я.

Петренюком, методи дослідження, як півобертовий і біциклічний методи

побудови разкладів повних графів та доведення існування їх відповідної Т-

факторизації. Ці методи описані дисертантом у підрозділі 2.4 другого розділу

пропонованої дисертаційної роботи.

В ході подальшого розв’язування поставлених завдань було розроблено

новий метод побудови базових компонент, названий методом паралельного

перенесення міждолевого ребра, та показано його практичне застосування

для n=4l+2, де n – порядок повного графу, а l – кількість ребер в кожній долі

повного графу (l≥1), які повинні утворювати повний k-вершинний граф

(підграф-долю графу Kn) при послідовних k-1 циклічних вершинних

підстановках α1 = (1, 2, …, k) і α2 = (k+1, k+2, …, 2k).

Наукова новизна одержаних результатів.

Наукову новизну в данній роботі являють такі теоретичні та практичні

результати:

- вперше розглянуто різнорозмірні деревні розклади згідно їх первісної

класифікації: зіркові, ланцюгові, кометні, та розклади на подвійні зірки;

8

- одержано кількісні результати переліку з точністю до ізоморфізму

різнорозмірних (T1, T2, …, Tn–1)- розкладів графу Kn для певних заголовків

малих порядків n;

- побудовано реалізуючі факторизації для дерево-типів на основі

базових компонент дерев порядку 10;

- вперше сформульовано та доведено ряд лем і теорем про існування та

не існування деревної факторизації для певних класів графів: 3-гусениць, r-

регулярних та деяких ярусно-регулярних дерев;

- вперше доведене існування деревної півобертової факторизації

непарних порядків для симетричних дерев;

- знайдено кількісні результати і складено перелік базових компонент

півобертової Т-факторизації для симетричних дерев непарного порядку 3-17;

- введене поняття міждолевого ребра, паралельного перенесення

міждолевого ребра та описано вигляд базової компоненти біциклічної Т-

факторизації;

- складено алгоритм побудови базової компоненти біциклічної Т-

факторизації повного графу Кn для довільних значень n=4l+2, де l≥1, і

заходження базової множини всіх можливих типів підграфів відповідного

повного графу Kn;

- розроблено метод паралельного перенесення міждолевого ребра при

побудові компонент біциклічної Т-факторизації;

- практично доведено, що саме для n=4l+2, де l≥1, метод паралельного

перенесення міждолевого ребра являється доцільним та ефективним.

У кожному розділі дисертації містяться нові результати, кожен з яких

висвітлює незвідану грань розв’язуваної задачі.

Практичне значення одержаних результатів.

Протягом останніх десятиліть в теорії комбінаторних розкладів було

зроблено велику кількість різноманітних відкриттів, значна частина яких не

була мотивована безпосередньо практичними застосуваннями. Скоріше,

9

мотивом було бажання отримати послідовну та потужну теорію існування та

властивостей розкладів графів.

Проте не дивно, що продовжують з’являтися нові області застосування

розкладів, побудованих дисертантом, для створення відповідних схем та

моделей в плануванні експериментів та теорії кодування, прокладенні

різноманітних комунікаційних мереж, разових пожежних радіомереж та

безпроводових мереж з самоорганізацією. Зокрема, новим джерелом

застосувань розкладів графів і одночасно джерелом нових та перспективних

проблем теорії графів стали криптографія та тестування програмного

забезпечення. Подібне можна сказати і про широкий спектр інших

теоретичних та експериментальних комп’ютерних наук. Також комбінаторні

розклади знаходять застосування в таких сучасних галузях науки:

економічній кібернетиці, логістиці, математичному програмуванні, керуванні

базами даних та інших сферах і областях сучасності [11-16].

Існує кілька практичних проблем, які приводять до задачі розкладу

графів. Одна з них – прокладення разових пожежних радіомереж [17]. Кожна

окрема мережа утворює в цьому повному графі остовне дерево.

Сформульована в термінах теорії графів, ця проблема звучить так: необхідно

побудувати зв’язну мережу, яка не містить циклів. Множина усіх можливих

зв’язків утворює повний граф, який потрібно розкласти на остовні дерева,

кожне з них ізоморфне одній і тій самій структурі. Отримується набір

ізоморфних факторів (мережних структур), які утворюють сукупність мереж

з однаковим діаметром та однаковим максимальним степенем. Крім того,

жодні дві мережі не мають спільних ребер, тому пошкодження однієї окремої

мережі не вплине ні на який інший фактор з загальної сукупності мереж.

Замість відновлення одного пошкодженого зв’язку здійснюється перехід до

іншої мережі.

Особистий внесок здобувача.

Наукові результати, викладені в статтях [18, 19, 22-25, 27-34]

10

пропонованої дисертаційної роботи, отримані автором особисто і являються

оригінальними. Інші напрацювання одержані у науковій співпраці. Так в

роботі [20] дисертанту належить створення системи рівнянь та її часткове

розв’язання. В статті [21] – реалізація плоского укладення дерева для повних

графів з кількістю вершин десять. В роботі [26] - результати дослідження

гусеничних факторизацій. В [35] – складання та обгрунтування

співвідношень (3 - 6), часткове розв’язання системи (12). В [21, 38] –

сформульовано і доведено лему 2 і лему 4, побудовано підграфи – базові

компоненти біциклічної Т-факторизації. В [21, 36, 37] дисертанту належить

розробка методу і алгоритму паралельного перенесення міждолевого ребра,

демонстрація застосування методу і алгоритму шляхом побудови відповідних

рисунків та підтвердження властивостей базових підграфів для дерев з

кількістю вершин 10 та 14.

Апробація результатів дисертації.

Результати досліджень, викладені у дисертації, доповідалися на ІІ

Міжнародній науково-практичній конференції "Динаміка наукових

досліджень’2003" (м. Дніпропетровськ), на третій Міжнародній науково-

практичній конференції "Математичне та програмне забезпечення

інтелектуальних систем (MPZIS-2005)" (м. Дніпропетровськ), на науково-

практичній конференції "Актуальні проблеми і перспективи розвитку вищої

освіти в Україні (м. Кіровоград, V-VІІ конференції, 2004-2006р.р.), на

Мiжвузiвському науково-практичному семiнарі "Комбінаторні конфігурації

та їх застосування" (м. Кіровоград, I –XII конференції, 2006-2011р.р.), на ХVI

Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" МГУ

им. Ломоносова, институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН,

Пензенский Гос. Университет (г. Москва : МГУ, 2007), на Міжнародній

науково-практичній конференції "Сучасні інформаційні технології в

управлінні та професійній підготовці операторів складних систем" (м.

Кіровоград, V конференція, 2010р.).

11

Публікації.

Основні результати, які відображені в дисертації, опубліковані в 21

науковій статті, з яких 4 – в наукових виданнях з Переліку фахових видань

України, 9 - в наукових спеціалізованих збірниках, 3 – у збірниках доповідей

міжнародних наукових конференцій, 5 – у неспеціалізованих збірниках.

Структура і обсяг дисертації.

Дисертаційна робота складається зі вступу, п’ятьох розділів, загальних

висновків, списку використаних літературних джерел, який містить 89

найменувань, а також додатків А, Б – таблиць – результатів досліджень і В –

допоміжного рисунка-схеми. Загальний обсяг вмісту дисертаційних

досліджень викладено на 135 сторінках друкованого тексту, де обсяг

основного тексту – 102 сторінки. Дисертація включає 10 таблиць та 47

рисунків.

12

РОЗДІЛ 1

ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ І ВИБІР НАПРЯМКУ

ДОСЛІДЖЕНЬ

У дисертації розглядаються задачі, пов’язані з існуванням розкладів

повних графів на підграфи, зокрема на дерева, взяті з певної множини графів,

з методами і алгоритмами розв’язування задач Т-факторизації повних графів

та з переліком сімейств неізоморфних розкладів.

Дослідження у такій галузі математики, як теорія графів,

продовжуються більше ніж півтора століття. За цей час змінювалася і

доповнювалася термінологія, розгалуджувалися напрямки досліджень і

одержані результати породжували нові питання та задачі, відкриваючи

широкі можливості для пошуку методів і алгоритмів їх вирішення і

розв’язку.

Початком досліджень можна вважати статтю Т. П. Кіркмана [1], яку

він опублікував у 1847 році. В цій роботі поставлено і повністю розв’язано

задачу про існування систем трійок, які дійшли до наших часів під назвою

штейнерових систем трійок (ШСТ). Кіркманом було встановлено, що ШСТ

порядку n існують тільки при n ≡ 1 або 3 (mod 6). Cеред ШСТ ним було

виділено такі, які допускають розбиття множини трійок на паралельні класи

множин Е, кожен з яких є розбиттям основної множини на трійки і кожні два

елементи множини Е входять разом в одну і тільки в одну з трійок, які

приймають участь у паралельних класах цього сімейства (кіркманів розклад),

так звані кіркманові системи трійок (КСТ), і встановлено необхідну умову їх

існування n ≡3 (mod 6) для КСТ порядку n.

Досить довгий час дослідники розробляли методи побудови КСТ.

Одними з перших, хто працював над складанням переліку усіх неізоморфних

ШСТ при n=13 були В. Де Паскуаль [2], К Цулауф [3], та Г. Брунель [4].

Значний внесок у розв’язування задачі переліку систем трійок зробили Г.

Уайт, Ф. Н. Коул та Л. Камінгс у 1922 році [5, 6], з’ясувавши, що існують 80

13

неізоморфних ШСТ порядку 15, з яких 4 являються кіркмановими, причому 3

з них допускають по два неізоморфні кіркманові розклади, а одна допускає

лише один розклад.

У 1936 році Р. Пелтесон [7] розв’язала задачу існування ШСТ одного з

найбільш дослідженого класу циклічних ШСТ. Їй вдалося побудувати

циклічну ШСТ для кожного порядку n ≡ 1 або 3 (mod 6), n 9.

Г’ярфас і Легель [39] сформулювали наступну гіпотезу: для всякого

заголовка T1, T2, …, Tn–1 існує (T1, T2, …, Tn–1)-розклад. Вони довели, що ця

гіпотеза вірна для заголовків, у яких тільки два дерева не зірки. У спробах

довести цю гіпотезу з’явилися нові цікаві задачі про існування розкладів

подібних видів [40-42].

Зацікавив цей клас і нашого співвітчизника А. Я. Петренюка. Його

статті початку 70-х років минулого століття [43-46] було присвячено задачі

розрізнення/ототожнення різних комбінаторних конфігурацій, зокрема ШСТ

і КСТ, та методам побудови ШСТ і більш загальних схем інцидентностей. Ці

методи стали основою для розробки та впровадження у дослідження графів

інших методів побудови базових компонет розкладу повного графу Кn на

дерева, які використані автором у одержанні результатів своєї дисертації.

Значний стрибок у вирішенні питання побудови та переліку КСТ було

зроблено тільки приблизно у 70-ті роки ХХ століття, про що йдеться у книзі

Є. Нетто [47], та статті А. Я. Петренюка за 1970 рік [48], у якій наведено

побудовані КСТ порядків n=7*3m для всіх натуральних m. А. Я. Петренюк

розробив методику переліку кіркманових розкладів, яка складається з

засобів розрізнення (інваріанти) та методів побудови (ізографічні

перетворення різних видів). В результаті ним було одержано оцінку зверху

кількості неізоморфних розкладів порядку 21 [49]. Завершенням досліджень

у питанні існування КСТ вважається робота Д. Рей-Чаудхурі та Р. Вільсона

[50], в якій у 1971 році доведено достатність необхідної умови існування

КСТ порядку n.

14

Також на початку 70-тих років ХХ століття відбулися зміни у

термінології у цьому напрямку математичної науки від теоретико-множинної

до сучасної, теоретико-графічної. Змінився і погляд на предмет дослідження,

тобто ШСТ, блок-схеми, системи груп пар стали розглядатися як розклади на

повні підграфи повних графів. Так кіркманів розклад порядку n почали

розглядати як розклад повного n-вершинного графу Кn на такі його

n-вершинні підграфи, у яких зв’язні компоненти кожного з них являються

трикутниками. Згодом узагальнилося поняття класу комбінаторних

конфігурацій - розкладів графів на підграфи певних типів. Це явно

простежується при формулюванні задачі у роботі Д. Рей-Чаудхурі та

Р. Вільсона [50].

Інтерес до проблем теорії графів відновився близько середини

минулого століття і був зосереджений головним чином в Англії. Для такого

пожвавлення вивчення графів було багато причин. Природничі науки

виявили свій вплив на це завдяки дослідженням електричних ланцюгів,

моделей кристалів і структур молекул. Розвиток формальної логіки привів до

вивчення бінарних відношень у формі графів. Велика кількість головоломок

піддавалась формулюванню безпосередньо в термінах графів, і це приводило

до розуміння, що багато задач такого роду включають деяке математичне

ядро, важливість якого виходить за рамки конкретного питання.

Цікавим для дослідників виявився клас задач про комбінаторні

конфігурації, які спочатку називалися системами груп пар, а пізніше

одержали назву 1-факторизації повних графів. Ці конфігурації розглядали у

своїх дослідженнях Т. Кіркман та Л. Камінгс [1, 6], як допоміжні. Але згодом

вони виділилися у самостійний клас конфігурацій, так як окреслилося

широке коло досліджень у цьому напрямку. Початком у цих дослідженнях

можна вважати одержаний ще у 1906 році Л. Діксоном і Ф. Саффордом [51]

результат переліку систем 1-факторизацій порядку 8. Подальші результати

досліджень цього класу задач належать А. Роса [52], який сформулював таку

задачу: визначити множину можливих розмірів максимальних (m, 2n)-

15

конфігурацій у графі порядку 2n. Він зазначив, що ця задача розв’язана у

випадку 2n = 10.

1-фактором графу G порядку 2n називається регулярний підграф

степеня 1 у графі G, якщо множина вершин цього підграфу співпадає з

множиною вершин графу G. Два 1-фактори графу G узгоджені, якщо їх

об’єднання представляє собою гамільтонів цикл графу G.

Сімейство 1-факторів графу G порядку 2n, що складається з m

факторів, називаєься (m, 2n)-конфігурацією, якщо кожні два її 1-фактори

узгоджені.

Роботи [53, 54, 55] А. Я. Петренюка присвячено розв’язанню задачі А.

Роса [52] для повного графу порядку 2n = 12, складено перелік досконалих 1-

факторизацій порядку 12 та кубічних графів Q3 і Q4 з точністю до

ізоморфізму. Також у роботі [54] поставлено задачу знаходження значень

p(2n) - мінімального розміру максимальної (m, 2n)-конфігурації, складено

алгоритм перевірки ізоморфізму 1-факторизацій, а у [55] наведено перелік

досконалих 1-факторизацій порядку 12.

Серед усіх типів підграфів особливу увагу приділено задачі про

існування та перелік розкладів повних графів на дерева, зокрема

Т-факторизацій. Дослідження у цьому напрямі були розпочаті роботами

Л. Байнеке [8] та Ш. Хуанг і А. Роса [9]. Потрібно зазначити, що

T-факторизацією для дерева T парного порядку n називають розклад повного

графу Kn на підграфи (фактори), кожний з яких ізоморфний відповідному

дереву T.

Зокрема Л. Байнеке [8] була сформульована задача, яка полягає в тому,

щоб з’ясувати, для яких дерев існують T-факторизації. Він сформулював цю

задачу та встановив необхідну умову (T)≤k існування T-факторизацій

порядку n, де n=2k. (T) у цій задачі означає найвищий степінь вершини у

дереві T. Ш. Хуанг і А. Роса [56] повністю розв’язали задачу про існування T-

факторизацій для парних значень n 8.

16

Вагомий внесок у цей напрямок досліджень зробив А. Я. Петренюк, який

на початку нинішнього століття взявся за розв’язання задачі Л. Байнеке для

повного графу порядку 10.

В роботі [10] А. Я. Петренюком встановлено, що для кожного дерева T

порядку 10 існує точно 5 можливих типів вершин та складено

співвідношення, з яких ці типи вершин можна визначити.

Також розглянуто деякі типи T-факторизацій. Зокрема, біциклічна і

півобертова. З’ясовано і доведено необхідні і достатні умови існування

Т-факторизацій повного графу парного порядку деякими деревами.

А. Я. Петренюком були розроблені різні методи побудови певних типів

Т-факторизацій [57].

Дисертантом у своїй роботі було використано такі з цих методів, як

півобертовий і біциклічний для побудови відповідних півобертових та

біциклічних Т-факторизацій порядку 10 і 14 [19, 27, 38]. Крім того, в статті

[19] автором одержано ствердні відповіді на вказану задачу Байнеке у ряді

часткових випадків, не зачеплених у роботі [57]. Також у роботі [57]

А. Я. Петренюком показано, що із 106 дерев порядку 10, схематично

побудованих в монографії Ф. Харарі [58], Т-факторизації існують для 85

дерев. Для кожного з цих дерев дисертантом виявлено можливі типи, і для

них знайдено реалізуючі Т-факторизації, базові компоненти яких

відображено частково у таблиці № 2.7 та повністю у таблиці А.1. Аналогічні

дослідження повного графу з n=14 розпочато в підрозділі 5.2 пропонованої

дисертаційної роботи.

З появою ЕОМ, а потім персональних комп’ютерів, значно пожвавилися

і прискорилися дослідження у розглянутому напрямку теорії графів. Зокрема,

з’явилися розробки методів [59-65] ефективного застосування сучасної

обчислювальної техніки до побудови і переліку блок-схем, реалізуючих

Т-факторизацій певних типів дерев та інших комбінаторних конфігурацій.

У своїх дослідженнях автором теж використано ПК, як засіб побудови

деяких списків дерев [22, 27], а також застосовано суто логічні математичні

17

міркування для розробки і застосування методів і алгоритмів розв’язування

задач T-факторизації повних графів [26, 32, 34, 38].

Результати досліджень існування Т-факторизацій повних графів,

методи і алгоритми розв’язуваня задач, що виникають в ході цих досліджень

складають зміст пропонованої дисертації.

ВИСНОВКИ ДО ПЕРШОГО РОЗДІЛУ

В даному розділі подається огляд літератури, опрацьованої

дисертантом за темою дисертаційного дослідження. Автором наводиться

коротка історична довідка виникнення як поняття самого графу, так і

поняття розкладу повних графів на підграфи, що в результаті призвело до

узагальнення поняття розкладу повного графу на підграфи певного типу.

Дисертанта найбільше зацікавив саме розклад на такі неізоморфні підграфи,

як дерева.

Відзначається, що факторизації різних комбінаторних конфігурацій, і

зокрема, повних графів, активно вивчаються близько останніх 40 років. В

хронологічному порядку розглянуто і проаналізовано роботи багатьох

математиків, вибрано напрямки досліджень, актуальних для сучасного стану

розвитку багатьох галузей навколишнього життя. Виявлено основну думку

кожної з робіт, більшість з яких стали віхами на шляху формування сучасної

постановки задач, що розглядаються в дисертації, та підгрунтям розробки

методів і алгортмів розв’язання цих задач.

Відмічено, що деревні факторизації таких комбінаторних конфігурацій,

як повні графи, вимагають розв’язання широкого кола задач існування,

переліку і побудови. На основі результатів досліджень попередників обрано

завдання і методи його вирішення. Виявлено потребу в створенні нового

методу і алгоритму біциклічної Т-факторизації повних графів для довільних

значень n=4l+2, де (l≥1).

18

РОЗДІЛ 2

Т-ФАКТОРИЗАЦІЯ ПОВНОГО ГРАФУ

2.1. Базові означення і положення

Нехай V деяка непорожня скінченна множина, а V (2) множина всіх

двохелементних підмножин (невпорядкованих пар різних елементів)

множини V.

Графом (неорієнтованим графом) G називається пара множин (V,E ),

де E довільна підмножина множини V (2)

(E V (2)

); позначається G =(V,E ).

Елементи множини V називаються вершинами графа G, а елементи

множини E ребрами графа G. Відповідно V називається множиною вершин

і E множиною ребер графа G.

Традиційно ребра {v,w} записуються за допомогою круглих дужок

(v,w) (іноді просто vw).

Нехай задано граф G =(V,E ). Якщо (v,w)Е, то кажуть, що вершини v i

w є суміжними, у противному разі вершини v i w є несуміжними. Якщо

е=(v,w) ребро графа, то вершини v i w називаються кінцями ребра е. У

цьому випадку кажуть також, що ребро е з’єднує вершини v i w. Вершина v і

ребро е називаються інцидентними, якщо v є кінцем е.

Кількість ребер, інцидентних вершині, називається степенем цієї

вершини.

Послідовність v= v0, е1, v1, е2, . . . , еm, vm= w називається ланцюгом

довжини m, що з’єднує вершини v i w, якщо кожні два сусідні елементи цієї

послідовності інцидентні. При цьому вершини v i w такого ланцюга

називаються його кінцями.

Циклом називається ланцюг, кінець і початок якого співпадають.

Ланцюг, що має довжину 0 називається тривіальним.

19

Кількість вершин у графі називають його порядком і позначають n , а

кількість ребер – розміром графу.

Два ребра називаються суміжними, якщо вони мають спільну вершину.

Існує декілька способів завдання графів.

Одним зі способів завдання графа G =(V,E ) є завдання кожної з

множин V і E за допомогою переліку їх елементів.

Наприклад, граф G1=(V1,E1), V1={v1,v2,v3,v4} і E1={(v1,v3),

(v1,v4),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4)} це граф із чотирма вершинами і п’ятьма ребрами.

А граф G2=(V2,E2), V2={v1,v2,v3,v4,v5} і E2={(v1,v2),(v2,v4),(v1,v5),

(v3,v2),(v3,v5),(v4,v1),(v5,v4)} граф із п’ятьма вершинами і сімома ребрами.

Графи можна задавати також за допомогою матриць.

Нехай всі вершини графа G занумеровано натуральними числами від 1

до n.

Матрицею суміжності A графа G називається квадратна

nn-матриця, в якій елемент aij i-го рядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо

вершини vi та vj з номерами i та j суміжні, і дорівнює 0 у противному разі.

В якості приклада для графів G1 i G2 маємо відповідно

A1=

0011001111011110

i A2=

0101110110010011100110110

Очевидно, що матриці суміжності графів симетричні.

Нехай всі вершини графа G занумеровано натуральними числами від 1

до n і всі його ребра числами від 1 до m.

Матрицею інцидентності B графа G називається nm-матриця, в якій

елемент bij i-го рядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершина vi з номером

i інцидентна ребру ej з номером j, і дорівнює 0 у противному разі.

Так для графів G1 і G2 (ребра графів занумеровано в тому порядку, в

якому вони виписані вище)

20

B1=

11000001101010101011

і B2=

10100101101000000110001000110010101

Операція вилучення вершини v з графа G =(V,E ) полягає у вилученні з

множини V елемента v, а з множини E всіх ребер, інцидентних v.

Операція вилучення ребра e з графа G =(V,E ) це вилучення елемента e з

множини E. При цьому всі вершини зберігаються.

Граф G =(V,E ) називається повним, якщо будь-які дві його вершини

суміжні (тобто E=V (2)

). Повний граф з n вершинами позначається Kn.

Граф G1=(V1,E1) називається підграфом графа G =(V,E ), якщо V1 V i

E1 E.

Важливі класи підграфів складають підграфи, які отримуються в

результаті застосування до заданого графа операції вилучення вершини і/або

операції вилучення ребра.

Графи G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називаються ізоморфними, якщо існує

таке взаємно однозначне відображення множини вершин V1 на множину

вершин V2, що ребро (v,w)E1 тоді і тільки тоді, коли ребро ( (v), (w))E2.

Відображення називається ізоморфним відображенням або ізоморфізмом

графа G1 на граф G2.

Таким чином, ізоморфні графи відрізняються фактично лише

ідентифікаторами (іменами) своїх вершин. З точки зору теорії графів ця

відмінність не є суттєвою, тому звичайно ізоморфні графи ототожнюють і,

зображаючи графи у вигляді діаграм, або зовсім не ідентифікують їхні

вершини, або нумерують вершини натуральними числами.

Ізоморфне відображення графа G на себе називається автоморфізмом графа

G. Автоморфізм графа G =(V,E ), при якому для кожної вершини v V

виконується (v)=v, називається тривіальним автоморфізмом.

Відомо, що графи G1 та G2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли матрицю

суміжності (матрицю інцидентності) одного з цих графів можна одержати з

21

матриці суміжності (матриці інцидентності) іншого графа за допомогою

відповідних перестановок рядків та стовпчиків.

Справді, як було зазначено вище, ізоморфні графи G1 і G2

відрізняються між собою лише порядком нумерації вершин, тобто існує

бієктивне відображення множини номерів вершин першого графа на

множину номерів вершин другого. Отже, кожен елемент aij(1)

матриці

суміжності A1 графа G1 збігається з елементом a(i)(j)(2)

(тобто елементом,

який знаходиться в рядку з номером (i ) і стовпчику з номером (j)) матриці

суміжності A2 графа G2. Таким чином, шляхом послідовного одночасного

обміну місцями (перестановок) рядків і стовпчиків з номерами i та (i ) для

всіх i=1,2,...,n матрицю суміжності A1 можна перетворити у матрицю

суміжності A2 і навпаки.

Якщо відображення відоме, то таке перетворення виконати неважко.

У разі ж, коли потрібно перевірити за допомогою матриць суміжності, чи є

ізоморфними два задані графи з n вершинами кожний, необхідно здійснити

різноманітні одночасні перестановки рядків і стовпчиків однієї з них. Якщо

після чергової з таких перестановок дістанемо матрицю, яка повністю

збігається з іншою, то ці графи ізоморфні. Однак, щоб в такий спосіб

з’ясувати, що задані графи не є ізоморфними, потрібно виконати всі n!

перестановок рядків і стовпчиків. Вже для порівняно невеликих значень n

здійснити цей перебір без застосування обчислювальної техніки практично

неможливо. У прикладній теорії алгоритмів розробляються різноманітні

алгоритми перевірки ізоморфізму графів, які для більшості графів (або

окремих типів графів) дозволяють суттєво скоротити обсяг необхідних

перевірок.

Для матриць інцидентності графів G1 і G2 з n вершинами і m ребрами

кожний справедливі аналогічні міркування. Відмінність у тому, що коли G1 і

G2 ізоморфні, тоді для їхніх множин вершин існує бієкція , а для множин

ребер інша бієкція . Загальна ж кількість необхідних кроків для перевірки

ізоморфізму графів G1 і G2 у цьому випадку не перевищує n!m!.

22

Очевидно, що будь-яка підстановка множини вершин повного графа Kn

є автоморфізмом цього графа. Тому кількість усіх можливих автоморфізмів

графа Kn дорівнює n!

У наступних розділах будуть використовуватися наведені означення та

положення і, в міру потреби, вводитися інші.

2.2. Поняття Т-факторизації

Сімейство n-вершинних дерев Т 1 , Т 2 , …, Т s називається деревною

упаковкою розміру s повного n-вершинного графу Kn, якщо:

1) всі ці дерева є підграфи, які включають всі вершини графу (фактори) Kn;

2) жодні два з цих підграфів не мають спільних ребер.

Упаковка називається деревною факторизацією графу Kn, якщо кожне

ребро цього графу належить деякому дереву упаковки.

Компонентами факторизації називаються дерева, які складають

упаковку.

Деревна упаковка (факторизація), всі компоненти якої ізоморфні

дереву Т, називається Т-упаковкою, або Т-факторизацією.

T-факторизація повного графу порядку n – це таке розбиття множини

ребер повного графу Kn на k підмножин, кожна з яких породжує дерево

(компоненту T-факторизації), ізоморфне даному дереву T порядку n.

Дерева у списках переліку представлені у стандартному вигляді.

Запис дерева у вигляді перестановки називається стандартним, якщо

пари номерів позицій перестановки { ij : aiaj – ребро дерева Т}, в яких стоять

сусідні вершини, відповідають умовам стандартності запису – набору

нерівностей. Наприклад, стандартний запис дерева

12 23 34 45 56 57 58 59 5А

обмежується умовами стандартності

а6< а7< а8< а9< а10.

23

Запис T-факторизації вважається стандартним, якщо її компоненти

представлені в стандартному вигляді і записані одна за одною в порядку

лексикографічного зростання.

Канонічною формою T-факторизації називають лексикографічно

найменший зі стандартних записів образів цієї T-факторизації, одержаних в

результаті дії на неї всіх підстановок стандартної множини.

Стандартний запис являється повним інваріантом у множині

T-факторизацій стандартного графу Kn відносно тотожності. Канонічна

форма запису являється інваріантом, що проводить повне розрізнення

T-факторизацій відносно ізоморфізму.

Задачу існування T-факторизації для заданого дерева T поставив

Л. Байнеке [8], він же знайшов необхідні умови існування T-факторизації:

1) n – парне натуральне число, n=2k, і

2) (T) k , де (T) – найвищий із степенів вершин дерева T.

Дерево називають допустимим, якщо воно задовольняє умови Байнеке.

Для багатьох допустимих дерев конструктивно доведено існування

T-факторизацій, для багатьох інших – що T-факторизації не існують [66-70].

Ш. Хуанг і А. Роса [9] повністю розвязали задачу про існування

Т-факторизацій для парних значень n8. У роботі А. Я. Петренюка [10]

розвязано цю задачу у випадку n=10. Згідно з його дослідженнями з’ясовано,

що серед 106 існуючих неізоморфних дерев порядку 10, побудованих

Ф. Харарі [58], рівно 85 допускають Т-факторизацію. Базові компоненти цих

факторизацій перелічені у роботі [27] дисертанта. Повного розв’язання задачі

Байнеке на даний час ще не одержано.

2.3. Необхідні умови існування Т-факторизацій

Для формулювання задачі існування Т-факторизацій повних графів

необхідно окреслити множину Тn усіх таких дерев порядку n, що Т-факто-

ризація графу Кn існує для кожного Т Тn.

24

Для n=2k кожне допустиме дерево Т визначає вектор d(T)=(d 1 , d 2 ,…,

d k ), де d i означає кількість вершин степеня і у дереві Т.

Типом вершини х у Т-факторизації R називається вектор (s 1 , s 2 ,…, s k ),

де s j означає кількість компонент в R, які мають степінь j у вершині х.

Можливі типи вершин визначаються з таких співвідношень:

s 1 +s 2 …+s k =k,

s 1 +2s 2 …+ks k =n-1, (2.1)

s j - ціле число, s j 0 (j=1,…, k).

Число розв’язків цієї системи w(n) є числом можливих типів вершин

порядку n.

Нехай a j - число вершин типу t j у факторизації a=a(R)=(a 1 , a 2 ,…,

a )(nw ), S=(s ij ) – матриця з w(n) рядками та k стовпцями, у якій і-ий рядок – це

і-ий можливий тип у R. Одержується матричне рівняння

a∙S=d(T). (2.2)

Теорема 2.1. Для існування Т-фактоизації графу К k2 необхідно, щоб

матричне рівняння (2.2) мало розв’язок з невід’ємними цілими

компонентами.

Ш. Хуанг та А. Роса ввели поняття типів вершин та використали

систему скалярних рівнянь еквівалентних рівнянню (2.1) у випадку n=8 [9].

Необхідні умови існування Т-факторизацій для допустимих дерев Т,

сформульовані А. Я. Петренюком [57] у вигляді теорем:

1) якщо допустиме дерево порядку n=2k10 допускає Т-факторизацію,

то d 2 d 1k ;

2) якщо допустиме дерево Т порядку n=2k, k6, допускає

Т-факторизацію, то d 2 +2d 3 2d 2k ;

3) якщо допустиме дерево Т порядку n=2k, k8, допускає

Т-факторизацію, то d 2 +3d 3 +3d 4 3d 3k .

25

Можна продовжити по аналогії серію необхідних умов існування

Т-факторизацій, знижуючи кожного разу значення індексу у правій частині

нерівності на одиницю. Можна множити серії допустимих дерев, які не

допускають Т-факторизацій, бо не задовольняють необхідні умови.

2.4. Методи побудови розкладів повних графів

При розв’язуванні задачі існування велике значення мають ефективні

метди побудови Т-факторизацій.

Серед методів побудови розкладів головне місце займає циклічний

метод та споріднені з ним методи – біциклічний та півобертовий. Вони є

найдавнішими. Ці методи використовували у своїх дослідженнях Є. Нетто

[47], Р. Пельтесон [7], Р. Боуз [71], С. Бейс [72], Т. Сколем [73], Х. Ханані

[74-75], Я. Даян, А. Роса [76] та інші.

Для описання методів побудови Т-факторизацій необхідно ввести деякі

наступні поняття та означення.

Т-факторизація порядку n=2k називається біциклічною, якщо вона

допускає автоморфізм, який має два незалежні цикли, кожний довжини k,

тобто автоморфізм виду α= (1, 2, …, k) (k+1, k+2, …, n).

Такий автоморфізм називається порджуючою підстановкою біциклчної

Т-факторизації. Маючи одну з компонент, наприклад, базову компоненту С,

та діючи на неї породжуючою підстановкою α деякої біциклчної

Т-факторизації, можна розвинути цілу Т-факторизацію {C, Cα, … , Cαk-1

}.

Граф порядку n можна представити у вигляді списка його ребер. Щоб

це представтення було однозначним, за множину вершин вибирають

стандартну множину {1, 2, … , n}, або {0, 1, … , n-1}. Ребра записують у

вигляді пар ij, де і <j, та розташовують їх у списку в порядку

лексикографічного зростання. Такий запис графу називається стандартним.

Шаблон графу G – це список пар номерів ij, де і <j, причому пара ij

належить шаблону тоді і тільки тоді, коли аiaj являється ребром графу G.

26

Для забезпечення однозначності шаблонного запису графу G

застосовують умови стандартності, які представляють собою систему

строгих нерівностей, що визначають порядок нумерації вершин данного

графу G.

Перевага шаблонного представлення графу полягає в тому, що шаблон

є жорстким представленням графу, а перестановка – змінною компонентою

цього представлення, за допомогою якої можна одержати представлення

будь-якого графу, ізоморфного представленому шаблоном. Ця перевага

використовується у алгоритмах побудови та переліку Т-факторизацій

(наприклад у таблиці А.1).

Основою алгоритму побудови біциклічної Т-факторизації (біциклічного

методу) є такий принцип. Потрібно зафіксувати шаблон дерева Т і умови

стандартності. Потім пробігти у деякому порядку всі перестановки n вершин,

перевіряючи кожне одержане дерево на стандартність і на біциклічність.

Така послідовність дерев, яка пробігається, називається трасою пошуку.

Біциклічні T-факторизації графу Kn одержуються з підходящої базової

компоненти порядку n, де n=2k, під дією підстановки (1 2 … k) (k+1 … n).

Необхідно переглянути n! перестановок, що вимагає занадто багато часу

навіть при користуванні сучасним комп’ютерним обладнанням. Тому

доцільним є застосування так званої стратегії стрибків, яка дозволяє

“перестрибувати” через послідовності дерев, про які відомо з умов Т-

факторизації, що серед них немає біциклічних базових компонент.

Для побудови Т-факторизацій з деревами Т класу півсиметричних

дерев можна застосовувати півобертовий метод побудови.

Дерево порядку n=2k називаєься півсиметричним, якщо воно

1) містиь центральне ребро;

2) після вилучення цього ребра дерево розпадається на дві ізоморфні

зв’язні компоненти, які називаються симетричними половинками.

У статті Ш. Хуанг і А. Роса [9] такі дерева названо симетричними.

27

Півсиметричним деревом однозначно визначається симетрична

половинка. Якщо її розглядати як неорієнтоване кореневе дерево, то його

коренем можна вважати вершину, яка належить центральному ребру

півсиметричного дерева.

І навпаки, можна побудувати півсиметричне дерево, взявши дві копії

кореневого дерева, що не мають спільних вершин. Достатньо з’єднати

додатковим ребром вершини-корені цих кореневих дерев. Значить,

встановлюється 1-1 відповідність між півсиметричними деревами парного

порядку n=2k і кореневими деревами порядку k3. З відповідності можна

зробити такий висновок: кількість неізоморфних півсиметричних дерев

порядку 2k дорівнює кількості неізоморфних кореневих дерев порядку k.

Для ілюстрації півобертового методу розглядають коло, розділене n=2k

точками 0, 1,…, n-1 на рівні дуги, які називають елементарними дугами.

Півсиметричне дерево Т парного порядку n=2k називається правильно

вписаним деревом у таке коло, якщо:

1) точки поділу є вершинами дерева Т;

2) хордами кола зображуються ребра дерева Т;

3) рівно два нецентральних ребра мають допустиму довжину хорди;

4) кожне ребро (a, b) має симетричне відносно центра кола ребро

(a+k, b+k) дерева Т.

Під довжиною хорди розуміють кількість елементарних дуг, які вона

охоплює. Номери вершин зводять по mod n.

Нехай Т – дерево парного порядку 2k правильно вписане у коло, і нехай

α= (1 2 … n) – циклічна підстановка його вершин. Розглядають сімейство

дерев Т, Тα, …, Тα 1k , що являється Т-факторизацією графу Kn, яку називають

півобертовою Т-факторизацією.

Базовою компонентою півобертової Т-факторизації називають дерево

Т, яке породжує описаним способом цю факторизацію.

Крім підстановки α до нетривіальної групи автоморфізмів, яку має

28

півобертова Т-факторизація, належить підстановка, що переводить кожну

вершину графу Kn у симетричну їй відносно центра кола.

2.5. Різнорозмірні деревні розклади повних графів

2.5.1. Первісна класифікація різнорозмірних деревних розкладів

У роботах [8, 10, 39-42, 70, 78, 79] досліджуються розклади повних

графів на підграфи різних типів, зокрема на дерева. Цікавими і змістовними

виявилися дослідження існування розкладів повних графів на дерева та про

перелік таких розкладів з точністю до ізоморфізму. У даному підрозділі

розглядаються різнорозмірні деревні розклади повних графів.

Нехай T1, T2, …, Tn–1 (n 2) – послідовність дерев, така, що дерево Ti має

розмір i (i=1, …, n–1). Сімейство підграфів {g1, g2, …, gn–1} повного графу Kn

називають (T1, T2, …, Tn–1)- розкладом графу Kn у тому випадку, якщо: 1)

кожний gi (i=1, …, n–1) являє собою дерево, ізоморфне Ti ;

2) дерева gi, gj не мають спільних ребер при ij (1 i, j n–1);

3) g1 g2… gn–1 = Kn.

Описану вище послідовність T1, T2, …, Tn–1 прийнято називати

заголовком відповідних (T1, T2, …, Tn–1)-розкладів.

Дерева g1, g2, …, gn–1 називають компонентами (T1, T2, …, Tn–1)-

розкладу, при цьому компоненту gn–1 називають старшою.

Г’ярфас і Легель [39] сформулювали наступну гіпотезу: для всякого

заголовка T1, T2, …, Tn–1 існує (T1, T2, …, Tn–1)-розклад.

Вони довели, що ця гіпотеза вірна для заголовків, у яких тільки два

дерева не зірки. У спробах довести цю гіпотезу з’явилися нові цікаві задачі

про існування розкладів подібних видів [40-43].

Хобс, Бурже та Касірай [77] висловили і частково довели іншу

гіпотезу: (T1, T2, …, Tn–1) - розклад повного двочастинного графу Kn–1, n/2

існує для всіх можливих заголовків.

29

Автора зацікавила задача про перелік, з точністю до ізоморфізму,

(T1, T2, …, Tn–1)- розкладів; у даній роботі розв’язано цю задачу для певних

заголовків малих порядків n.

Для зручності множину всіх (T1, T2,…, Tn–1)- розкладів можна розділити

на чотири типи відповідно до типів взаєморозміщення компонент g1 і g2, які

визначаються класами ізоморфізму графів взаєморозміщення g1g2,

зображених на рис. 2.1.

Тип 1

(4 1 0)

Тип 2

(2 2 0)

Тип 3

(3 0 1)

Тип 4

(0 3 0)

Рис. 2.1. Чотири типи (T1, T2, …, Tn–1)- розкладів

2.5.2. Різнорозмірні зіркові деревні розклади

Розглянуто задачу переліку у випадку, коли Ti=Zi (i=1,2,…), де Zi –

зірка з i ребрами. Зірку Zi можна зображати у вигляді (a) a1 a2…ai , де a –

центральна вершина зірки, а a1, a2, …, ai – її кінцеві вершини.

Наступна теорема розв’язує вказану задачу при всіх значеннях n.

Теорема 2.2. З точністю до ізоморфізму, існує єдиний (Z1, Z2, …, Z n–1)-

розклад графу Kn для кожного n 2. Група автоморфізмів цього розкладу

має порядок 2.

Доведення. Існування доводиться рекурсивною побудовою. Для n=2

справедливість твердження очевидна. Припускається, що воно справедливе

для порядку n–1. Тоді існує різнорозмірний зірковий розклад графу Kn–1,

побудованого на множині вершин {1, …, n–1}.

30

Розглядається граф Kn з множиною вершин {1, 2, …, n}. Нехай R –

різнорозмірний зірковий розклад графу Kn–1= Kn\{n}. Додавши до зірок

розкладу R зірку Zn = (n) 1 2 … n–1, одержується шуканий різнорозмірний

зірковий розклад графу Kn, і цим існування доведено.

Єдиність. Застосовується метод математичної індукції. У випадку n = 2

єдиність очевидна. Нехай n > 2. Припусається, що єдиність має місце для

всіх порядків, менших, ніж n. Нехай, всупереч твердженню теореми, для

графу Kn з множиною вершин {1, …, n} існують два неізоморфні

різнорозмірні зіркові розклади R1, R2. Якщо це потрібно, то можна

перенумерувати вершини основних графів цих розкладів так, щоб центри

старших компонент сумістилися з вершиною n. Вилучивши з обох розкладів

вершину n і старші компоненти, вдається одержати різнорозмірні зіркові

розклади (їх позначено R1*, R2*) графу Kn–1. За припущенням індукції, ці

розклади ізоморфні, і, значіть, існує така підстановка , яка переводить R1* в

R2*. Але тоді підстановка вершин графу Kn, яка діє на вершинах його

підграфу Kn–1 як і залишає на місці вершину n, переводить R1 в R2, а це

суперечить припущенню, що R1 та R2 неізоморфні. Встановлена суперечність

доводить єдиність різнорозмірного зіркового розкладу графу Kn для кожного

значення n 2.

Стосовно групи автоморфізмів побудованого вище розкладу можна

зауважити, що під дією довільного автоморфізму центр кожної його зірки,

крім зірки Z1, залишається на місці. Тому автоморфізмом може бути лише

підстановка =(n–1, n). І вона дійсно є автоморфізмом цього розкладу, бо

вершини n–1, n – кінцеві вершини всіх його зірок. Теорему доведено.

2.5.3. Різнорозмірні ланцюгові розклади

Ланцюгом довжини n–1 називають граф Pn–1 порядку n, у якого рівно

дві вершини мають степінь 1, а всі інші мають степінь 2. На рис. 2.2

зображено кілька ланцюгів малих довжин.

31

P1 P2 P3 P4 P5 P6

Рис. 2.2. Малі ланцюги

Ланцюг Pk буде зображено у вигляді послідовності a1 a2 …ak, де aj –

вершини, а (a1, a2), (a2, a3), …,(ak–1, ak) – ребра ланцюга. Ланцюг a1 a2 …ak

називається стандартним, якщо a1 < ak. (P1, P2, …, Pn–1)-розклади графу Kn

називатимуться різнорозмірними ланцюговими розкладами.

Для цих розкладів задача переліку з точністю до ізоморфізму не має

такого красивого, лаконічного і універсального розв’язку, як для

різнорозмірних зіркових розкладів.

Було складено комп’ютерну програму, яка будує список неізоморфних

різнорозмірних ланцюгових розкладів порядку 7, і з її допомогою одержано

кількісні результати переліку цих розкладів.

Одержані результати представлено у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

Результати переліку різнорозмірних ланцюгових розкладів графу K7

Типи розкладів 1 2 3 4 Всього

Кількість розкладів 42401 56412 24462 6732 130007

З них симетричних 20 0 0 10 30

Очевидно, що група автоморфізмів ланцюгового розкладу графу Kn є

підгрупою групи автоморфізмів старшої компоненти цього розкладу. Тобто,

32

ця група або тривіальна, або ж вміщує єдину нетривіальну підстановку

=(a1, an)(a2, an–1)…(an/2, an–n/2+1).

Різнорозмірні ланцюгові розклади, які мають нетривіальний

автоморфізм, називаються симетричними.

Як видно з таблиці результатів 2.1, існує точно 30 симетричних

розкладів порядку 7.

Список усіх 130007 різнорозмірних ланцюгових розкладів порядку 7 у

цій роботі вміщувати недоцільно. Зате можна вмістити всі симетричні

розклади порядку 7. У зображеннях цих розкладів пропущена спільна їм усім

старша компонента 1234567.

Список симетричних розкладів порядку 7

Тип 1

1. 136257 16427 3715 147 35

2. 136257 27416 1537 246 17

3. 136257 27416 3715 246 35

4. 136257 37415 2716 246 35

5. 152637 16427 3175 147 35

6. 152637 27416 1357 246 17

7. 152637 27416 3175 246 35

8. 152637 31457 2716 246 35

9. 251736 16427 1357 147 26

10. 251736 31475 1627 246 35

11. 257136 16427 1537 147 26

12. 257136 37415 1627 246 35

13. 273516 31475 3625 246 17

14. 273516 36425 3175 147 26

15. 275316 36425 3715 147 26

16. 275316 37415 3625 246 17

17. 316275 36425 3715 147 35

18. 316275 37415 2536 246 17

19. 372615 31475 2536 246 17

20. 372615 36425 3175 147 35

Тип 4

21. 136257 16427 1537 147 17

22. 152637 16427 1357 147 17

23. 163527 31475 3715 246 26

24. 163527 37415 3175 246 26

25. 251736 27416 1357 246 26

26. 316275 36425 1537 147 17

27. 361725 31475 1537 246 26

28. 361725 37415 1357 246 26

29. 372615 36425 1357 147 17

30. 372615 36425 1357 147 17

33

Зазначено, що до складу симетричних розкладів зі старшою

компонентою 1 2 …n входять тільки такі компоненти a1 a2 ... ak, у яких

ai+a k–i+1 = n+1 (i=1, 2, ..., k/2); ланцюги з такою властивістю прийнято

назвати симетричними.

Відсутність симетричних розкладів типів 2 та 3 порядку 7 – не

випадкове явище. Наступне твердження узагальнює цей факт.

Теорема 2.3. Симетричні розклади порядку n типів 2 та 3 не існують

при всіх значеннях n.

Доведення. Справді, якби існував симетричний розклад графу Kn типу

2, то підстановка =(1, n)(2, n–1)… мусила б переводити перший рисунок для

типу 2 у цей же рисунок. Але це неможливо, бо тоді у спільну вершину двох

компонент перейшли б дві вершини – протилежні кінці двох найменших

компонент (компоненти під дією нерухомими залишатися не можуть). З

тих же міркувань другий рисунок, тип 3 не може переходити сам у себе під

дією цієї підстановки. Теорему доведено.

Варто звернути увагу на те, що розглянута група автоморфізмів

усякого (T1, T2, …, Tn–1)- розкладу R= {g1, g2, …, gn–1} має вигляд

Aut(R) = Aut(g1) Aut(g2) … Aut(gn–1).

З огляду на це не слід чекати потужних груп автоморфізмів у розглядуваних

розкладів.

2.5.4. Різнорозмірні кометні розклади

Вважається, що (k, s)- кометою називається дерево, що складається із

зірки Zk та ланцюга Ps, єдина спільна вершина яких є кінцевою вершиною в

кожному з цих графів. Зокрема, (k, 0)- комета являє собою зірку Zk , (1, s)-

комета – ланцюг Ps+1.

34

У подальшому під кометою Comk розуміють (k, 1)-комету. Комети

малих розмірів зображено на рис. 2.3.

Com0 Com1 Com2 Com3 Com4 Com5

Рис. 2.3. Малі комети

З допомогою програми, аналогічної використаній вище для переліку

ланцюгових розкладів, було одержано кількісні результати переліку (Com0,

Com1, …, Comn–2)-розкладів повного графу K7, подані у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

Результати переліку різнорозмірних кометних розкладів графу K7

Типи розкладів 1 2 3 4 Всього

Кількість розкладів 879 1276 894 252 3361

Звертається увага на те, що всі кометні розклади порядку 7 мають

тривіальні групи автоморфізмів.

2.5.5. Різнорозмірні розклади на подвійні зірки

Подвійною зіркою DS2k+2 (k=0, 1, 2, …) називають дерево порядку 2k+2,

у якому всі вершини кінцеві, крім двох суміжних вершин, степені яких рівні

k. У випадку непарного порядку подвійною зіркою DS2k+1 (k=1, 2, …) було

названо дерево порядку 2k+1, всі вершини якого кінцеві, крім двох суміжних

вершин, степені яких рівні k та k–1. На рис. 2.4. зображено подвійні зірки

порядків, що не перевищують 7.

35

DS1 DS2 DS3 DS4 DS5 DS6 DS7

Рис. 2.4. Малі подвійні зірки

Одержані у цьому випадку комп’ютерні кількісні результати переліку

(DS1, DS2, DS3,DS4,DS5, DS6, DS7)- розкладів подано у таблиці 2.3.

Таблиця 2.3

Результати переліку різнорозмірних розкладів графу K7 на подвійні зірки

Типи розкладів 1 2 3 4 Всього

Кількість розкладів 1211 1582 610 0 3403

2.6. Типова задача Т-факторизацій порядку 10

T-факторизацією для дерева T парного порядку n називають розклад

повного графу Kn на підграфи (фактори), кожний з яких ізоморфний дереву

T. Задача Л.Байнеке [8] полягає в тому, щоб з’ясувати, для яких дерев

існують T-факторизації. Він сформулював цю задачу та встановив необхідну

умову (T)≤k існування T-факторизацій порядку n, де n=2k, а (T) означає

найвищий степінь вершини у дереві T.

Попередниками зроблено перші кроки на шляху розв’язання цієї задачі

для порядку 10. Зокрема, в [10] для кожного дерева T порядку 10 встановлено

можливі типи T-факторизацій. Крім того, в [10] одержано ствердні відповіді

на вказану задачу у ряді часткових випадків, не зачеплених у роботі [23].

36

Також у роботі [23] показано, що із 106 дерев Т-факторизації існують для 85

дерев (їх занумеровано).

У даній роботі дослідження [10, 23] продовжено. Для кожного дерева Т

порядку 10 визначено можливі типи Т-факторизацій. Для деяких із них

знайдено та наведено реалізуючі T-факторизації.

Дерево під №1 за Харарі [58] представляє собою ланцюг, для якого

можливі факторизації вже розглянуто раніше. Тому в якості приклада можна

розглянути дерево №2. Нехай його вершини будуть занумеровані так, що

вершина 1 має найвищий степінь у цьому дереві – третій (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Базова компонента дерева №2

Для кожної вершини, згідно номера, з’ясовано її тип. Так вершина 1

відноситься до третього типу t3=(3 0 2 0 0), бо в трьох з п’яти, наведених в

таблиці А.1 шаблонних записів дерев вона має степінь 1 і в двох – має

степінь 3. Розглядаючи відповідні типи всіх вершин дерева №2, очевидно, що

тип вершини t1=(1 4 0 0 0) зустрічається 6 разів, тип t2=(2 2 1 0 0) – 3 рази і

тип t3=(3 0 2 0 0) – 1 раз. Вершини 4-го та 5-го типів не зустрічаються в

жодному з одержаних дерев. Таким чином одержується тип факторизації

37

( 6 3 1 0 0 ), записаний в другому стовпчику таблиці А.1. Аналогічно

заповнюється другий стовпчик цієї таблиці і для всіх наступних дерев.

Шлях визначення типу факторизації ( 6 3 1 0 0 ) дерева №2 розписано в

таблиці 2.4.

Таблиця 2.4

Номер

вершини

у дереві

Степінь вершини у

розкладенні №

Кількість розкладень з

вершиною степеня

(тип вершини)

Номер типу

вершини

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 (А)

3 3 1 1 1

2 2 2 1 2

1 2 3 2 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 1

2 1 1 3 2

2 1 2 2 2

2 2 1 2 2

2 1 2 1 3

1 2 2 2 2

3 0 2 0 0

1 4 0 0 0

2 2 1 0 0

1 4 0 0 0

1 4 0 0 0

2 2 1 0 0

1 4 0 0 0

1 4 0 0 0

2 2 1 0 0

1 4 0 0 0

3

1

2

1

1

2

1

1

2

1

Варто нагадати: щоб одержати біциклічну факторизацію (розділ 2, п. 2.4)

потрібно зафіксувати шаблон дерева Т і умови стандартності. Потім пробігти

трасу пошку, перевіряючи кожне одержане дерево на стандартність і на

біциклічність. Біциклічні T-факторизації одержуються з підходящої базової

компоненти порядку n, де n=2k, під дією підстановки (1 2 … k) (k+1 … n).

Тоді біциклічну факторизацію дерева №2 можна схематично описати,

діючи на компоненту реалізуючої Т-факторизації, задану за допомогою

стандартного шаблонного реберного списку, відповідною підстановкою

(1 2 3 4 5)(6 7 8 9 А) (рис. 2.6).

38

Номер

розкладення

Реалізуюча 1) 17 23 25 36 46 48 5А 78 79

2) 28 34 31 47 57 59 16 89 8А

3) 39 45 42 58 18 1А 27 9А 96

4) 4А 51 53 19 29 26 38 А6 А7

5) 56 12 14 2А 3А 37 49 67 68

Рис. 2.6

Таблиця 2.5

Номер

вершини

у дереві

Степінь вершини у

розкладенні №

Кількість розкладень з

вершиною степеня

(тип вершини)

Номер типу

вершини

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

1 2 2 2 2

2 1 2 2 2

2 2 1 2 2

2 2 2 1 2

2 2 2 2 1

1 4 0 0 0

1 4 0 0 0

1 4 0 0 0

1 4 0 0 0

1 4 0 0 0

1

6

7

8

9

10 (А)

2 1 1 2 3

3 2 1 1 2

2 3 2 1 1

1 2 3 2 1

1 1 2 3 2

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2

За результатами таблиці тип вершини t1=(1 4 0 0 0) зустрічається 5 разів,

тип t2=(2 2 1 0 0) – також 5 разів. Значіть одержано тип біциклічної Т-

факторизації ( 5 5 0 0 0 ) дерева №2.

39

За півобертовим методом (розділ 2, п.2.4) одержано, наприклад,

півобертові реалізуючі факторизації для півсиметричних дерев №27 і №30

згідно нумерації 106 дерев за схемою Харарі [58].

27 30

Рис. 2.7. Правильно вписані у коло півсиметричні дерева №27 і №30

В якості приклада дії півобертового методу розглянуто побудову

півобертової Т-факторизації дерева №27. Під дією циклічної підстановки

α=(1 2 …10) вершин дерева Т27 порядку 10, правильно вписанного у коло,

одержується сімейство дерев (5 розкладень). Це сімейство і являє собою

півобертову T-факторизацію повного графу К10.

Номер

розкладення

Реалізуюча 1) 16 1A 28 29 2A 37 47 56 57

2) 27 21 39 3A 31 48 58 67 68

3) 38 32 4A 41 42 59 69 78 79

4) 49 43 51 52 53 6A 7A 89 8А

5) 5A 54 62 63 64 71 81 9A 91

Рис. 2.8

40

Таблиця 2.6

Номер

вершини

у дереві

Степінь вершини у

розкладенні №

Кількість розкладень з

вершиною степеня

(тип вершини)

Номер типу

вершини

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 (А)

2 2 1 1 3

3 2 2 1 1

1 3 2 2 1

1 1 3 2 2

2 1 1 3 2

2 2 1 1 3

3 2 2 1 1

1 3 2 2 1

1 1 3 2 2

2 1 1 3 2

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2 2 1 0 0

2

За результатами таблиці тип вершини t2=(22100) зустрічається 10 разів.

Це означає, що одержано тип півобертової Т-факторизації ( 0 10 0 0 0 ).

Існування інших типів факторизацій встановлено за допомогою

комп’ютерної програми, яка почергово будує всі можливі продовження

першої компоненти до 2-х, 3-х, 4-х і 5-ти компонентних упаковок дерев,

ізоморфних Т, у повний граф К10.

Згідно результатів досліджень T-факторизації порядку 10,

запропонованих вище, складено таблицю, повний варіант якої розміщено в

додатку А (таблиця А.1). В цю таблицю, на основі базової компоненти та

відповідно до типу факторизації, вміщено можливі реалізуючі T-

факторизації, побудовані за допомогою комп’ютерної програми та перевірені

аналітичним шляхом. Нижче для наочності наведено частину одержаної

таблиці (таблиця 2.7).

41

Таблиця 2.7

№ Дерево T

Можливі

типи

факто-

ризацій

Реалізуюча

T-факторизація

1 2 3 4

27

12 13 14 25 56 67 78 89 8A 2 6 2 0 0 15 16 17 23 29 35 48 49 4A

19 24 28 2A 37 39 57 5A 69

1A 26 34 36 45 59 68 7A 9A

18 27 38 3A 46 47 58 6A 79

1 8 1 0 0 15 16 17 23 28 35 48 49 4A

1A 23 34 38 46 59 5A 69 7A

19 23 2A 37 45 57 58 69 9A

13 18 27 39 47 56 68 6A 79

3 4 3 0 0 15 16 17 23 28 35 48 49 4A

1A 2A 34 37 38 56 5A 69 79

12 18 23 39 45 57 58 69 9A

19 24 29 3A 48 59 68 6A 7A

4 2 4 0 0 15 16 17 23 29 35 48 49 4A

18 27 34 38 45 59 68 79 7A

1A 24 28 39 3A 46 47 5A 89

13 19 2A 37 45 57 58 6A 9A

0 10 0 0 Півобертова:16 1А 28 29 2А

37 47 56 57

Біциклічна:12 13 16 47 48 56

57 89 8A

5 0 5 0 0 ?

42

Продовження таблиці 2.7

2 12 13 14 25 56 67 78 89 9A 6 3 1 0 0 15 16 17 23 28 35 49 4A 8A

1A 24 27 34 36 38 59 5A 79

18 26 37 3A 45 48 57 69 6A

19 29 2A 39 46 47 58 68 7A

7 1 2 0 0 15 16 17 28 29 35 38 49 4A

18 23 26 39 3A 46 47 57 58

1A 2A 37 45 48 59 68 6A 79

19 24 27 34 36 5A 69 7A 8A

5 5 0 0 0 Біциклічна: 17 23 25 36

46 48 5A 78 79

Знак “?” в останньому стовпці цієї таблиці означає, що для відповідного

можливого типу ще не встановлено, існує його реалізація чи ні. Таких

дерево-типів залишилося 41.

ВИСНОВКИ ДО ДРУГОГО РОЗДІЛУ

У другому розділі наведено основні означення теорії графів, які є

базовими за темою дослідження.

Введене поняття Т-факторизації та наведені необхідні умови її

існування, сформульовані та доведені попередниками.

Розглянуто півобертовий та біциклічний методи побудови разкладів

повних графів, які в подальшому використовуються для побудови базових

компонент Т-факторизацій та їх переліку з точністю до ізоморфізму.

Автора зацікавила задача про перелік з точністю до ізоморфізму

чотирьох типів (T1, T2, …, Tn–1)- розкладів на так звані зірки, ланцюги, комети

та подвійні зірки, де T1, T2, …, Tn–1 (n 2) – послідовність дерев, така, що

дерево Ti має розмір i (i=1,…, n–1). Для наведених чотирьох типів

різнорозмірних (T1, T2,…,Tn–1)-розкладів відповідно до типів

взаєморозміщення компонент g1 і g2, які визначаються класами ізоморфізму

43

графів взаєморозміщення g1g2, знайдено і табульовано кількісні результати

досліджень та розв’язана задача переліку з точністю до ізоморфізму.

У останньому підрозділі даного розділу поставлено типову задачу

існування Т-факторизацій, в тому числі півобертових та біциклічних, в

основу якої покладено задачу Л. Байнеке. Ця задача полягає в тому, щоб

з’ясувати, для яких дерев існують T-факторизації. У більшості випадків (для

122 дерево-типів з 162 існуючих) розв’язана така типова задача існування Т-

факторизацій порядку 10. Також у статтях [23, 26, 27] показано, що із 106

дерев порядку 10, зображених на діаграмі Ф. Харарі, Т-факторизації існують

для 85 дерев. Для кожного з цих дерев виявлено можливі типи, і для них

знайдено реалізуючі Т-факторизації. Продовження досліджень у цьому

напрямі привело до результатів, поданих у таблиці, де для кожного дерева T

порядку 10 вказано можливі типи T-факторизацій, і для більшості з цих типів

подано реалізуючі T-факторизації, які вдалося побудувати авторові за

допомогою комп’ютера. Можливих дерево-типів, для яких ще не

встановлено, існує їх реалізація чи ні, залишилося 41. Наведено таблицю з

реалізаціями Т-факторизацій типів (таблиця А.1).

Таким чином, у даній роботі поставлено типову задачу існування

деревних факторизацій і розв’язано її для більшості типів порядку 10. Автор

продовжує дослідження в цьому напрямі і сподівається повністю розв’язати

задачу для n=10.

44

РОЗДІЛ 3

НЕІСНУВАННЯ ФАКТОРИЗАЦІЙ ДЛЯ ДЕЯКИХ

КЛАСІВ ДЕРЕВ

Постановка проблеми. Для дерева T парного порядку n

T-факторизацією називають розклад повного графу Kn на підграфи, кожний з

яких ізоморфний дереву T. Задача полягає в тому, щоб з’ясувати, для яких

дерев існують T-факторизації. Л.Байнеке [7] сформулював цю задачу та

встановив необхідну умову (T) ≤ k існування T-факторизацій порядку n, де

n=2k, а (T) означає найвищий степінь вершини у дереві T.

Аналіз досліджень і попередніх публікацій. Дерева, які задовольняють

умову Байнеке, названо допустимими. Cеред допустимих дерев виявлено як

такі, що допускають T-факторизації, так і такі, що не допускають їх.

Основні результати про існування T-факторизацій одержано в роботах [8-10,

57, 66-68, 79].

Постановка задачі. У цьому розділі доведено одну досить загальну

умову неіснування T-факторизацій та теореми про неіснування

факторизацій повних графів так званими 3-гусеницями, r-регулярними та

деякими ярусно-регулярними деревами.

3.1. Одна необхідна умова існування T-факторизацій

У цьому підрозділі розвивається ідея Л.Байнеке [7], яка полягає у тому,

що присутність у дереві T вершин великих степенів часто спричинює

неіснування деревних факторизацій. Наступна лема складає основу

викладеного в подальшому.

Лема 3.1. Нехай T – дерево порядку n=2k, яке допускає T-факторизацію

і має одну вершину степеня x та другу вершину степеня y, 0<x y.

45

Якщо x+y > k+1, то в основному графі Kn відсутня вершина, яка

одночасно має степінь x у одній і степінь y – у іншій компоненті T-

факторизації.

Доведення. Нехай T – дерево з описаними у лемі властивостями.

Припускається, що твердження леми невірне, і в деякій T-факторизації

є вершина основного графу Kn, яка має степінь x у одній і степінь y у іншій

компоненті. Ця ж вершина графу Kn має степінь не менший за 1 в кожній із

решти k–2 компонент факторизації ; всього у цій вершині сходяться не

менше, ніж x+y+(k–2)=k+x+y–2 ребер. Тому k+x+y–2 2k–1, звідки

x+y k+1, що суперечить умові леми. Лему доведено.

Вершини, що володіють описаною у лемі властивістю, називають

несумісними у T-факторизаціях. При наявності у дереві T пари несумісних (у

T-факторизаціях) вершин степенів x, y (x<y) і за умови існування

T-факторизації, множина вершин основного графа розбивається на два

рівнопотужні класи: клас A вершин, кожна з яких має у деякій компоненті

T-факторизації степінь x, та клас B вершин, кожна з яких має у деякій

компоненті степінь y. Якщо ж x=y, то кожна з вершин основного графа

T-факторизації має у деякій компоненті степінь x.

Наступна теорема являє достатню умову неіснування T-факторизацій.

Теорема 3.1. Якщо дерево T має три вершини зі степенями x, y, z,

попарно несумісні у T-факторизаціях, тобто такі, що x+y > k–1, x+z > k–1,

y+z > k–1, то T-факторизація неможлива.

Доведення. Справді, в умовах теореми існування T-факторизації

означало б, що множина вершин основного графа розпалася на три класи, по

k вершин у кожному класі, що неможливо, оскільки 3k > n. З одержаної

суперечності випливає справедливість теореми.

Було доведено [68, теореми 1, 2] два наслідки з цієї теореми та

наведено приклади дерев, які не допускають T-факторизації згідно цих

наслідків. На рис. 3.1 зображено деякі дерева порядку 16, які не допускають

T-факторизацій на основі теореми 3.1.

46

Рис. 3.1. Дерева порядку 16, які не допускають T-факторизацій

3.2. 3-Гусеничні факторизації

3-Гусеницею Gn порядку n називають дерево порядку n, у якого, крім

кінцевих вершин, є тільки вершини степеня 3, причому підграф, породжений

множиною некінцевих вершин, є ланцюгом.

Легко зрозуміти, що гусениця порядку n містить точно t=(n–2)/2

вершин степеня 3. Для 3-гусеничної факторизації порядку n через s(x)

позначено кількість компонент цієї факторизації, у яких вершина x графу-

основи має степінь 3.

Лема 3.2. s(x) ≥ (n–2)/4 для деякої вершини x.

Доведення. Загальна кількість вершин степеня 3 у компонентах

Gn-факторизації дорівнює kt=n(n–2)/4. Середнє значення величини s(x)

дорівнює (n–2)/4, тому існує вершина, для якої значення s(x) не менше, ніж

середнє. Лему доведено.

Теорема 3.2. Якщо n=2k, k=2m, mN, то Gn-факторизацій не існує.

Доведення. Припущено протилежне – що в умовах сформульованої

теореми існує Gn-факторизація. Розглянуто вершину x основного графа. Вона

є вершиною степеня 3 в 3∙s(x) компонентах і кінцевою вершиною – у решті

k–s(x) компонентах, всього ж у вершині x сходиться 2k–1 ребер. Отже,

3∙s(x)+k–s(x)=2k–1, звідки 2∙s(x)=k–1, тобто число k непарне. Це суперечить

умові теореми, що k=2m.

47

Теорема 3.3. Якщо n=2k, k=2m+1, mN, то Gn-факторизації існують.

Доведення. Дерево Gn в цьому випадку є півсиметричним . Для нього

побудовано базову компоненту півобертової Gn-факторизації та саму цю

факторизацію. Базова компонента одержується наступною індуктивною

процедурою.

Коло розбивається на n рівних частин точками, які нумеруються по

порядку уздовж кола проти годинникової стрілки числами 0, 1, 2,…, n–1 і

вважаються вершинами основного графа Kn. При цьому за вершину 0 взято

найнижчу вершину кола. Центральне ребро (0, m), ребро (0, 1) та симетричне

йому відносно центра кола потрібно віднести до базової компоненти. Після

цього вступає в дію індуктивна процедура, крок якої такий.

Крок процедури. Нехай x – найвища з уже задіяних у базовій

компоненті вершин, які не належать центральному ребру; тоді до базової

компоненти відносяться два ребра, які з’єднують x з найнижчими

послідовними вершинами протилежного півкола, ще не задіяними у базовій

компоненті. До базової компоненти також відносяться ребра, симетричні цим

двом відносно центра кола.

Кроки процедури виконуються доти, доки до базової компоненти

будуть віднесені 2m–1 ребер. Після цього побудову базової компоненти

закінчено.

Рис. 3.2. Базова компонента G16-факторизації

48

Для ілюстрації на рис. 3.2 зображена базова компонента, побудована

для випадку 3-гусениці з кількістю вершин n=16.

Півобертова T-факторизація складається з образів базової компоненти

під дією підстановки (0, 1,…, n–1), тобто одержується з базової компоненти

обертанням її навколо центра кола кожного разу на 360/n, всього m–1 разів

[79]. Цим завершено доведення теореми 3.3.

У [57] введено функцію nua(2k), яка приймає значення m, якщо для всіх

дерев T порядку 2k з (T ) < m T-факторизації існують, а для одного з дерев

порядку 2k з (T ) = m T-факторизація неможлива. Там же висунуто гіпотезу:

nua(2k)>3 для всіх k 7 . Доведена вище теорема 3.3 спростовує цю гіпотезу

і стверджує наступний результат: nua(4m)=3 для всіх mN.

Для непарних значень m гіпотеза залишається актуальною.

3.3. Факторизації r-регулярними деревами

Дерево T називається r-регулярним, якщо воно може містити, крім

кінцевих вершин, тільки вершини степеня r, r>1.

Множина вершин степеня r у r-регулярному дереві індукує піддерево

T′, яке названо визначальним піддеревом дерева T.

3-Регулярні дерева, для яких визначальними піддеревами служать

ланцюги, є по суті введені у підрозділі 3.2 3-гусениці.

Через t позначено кількість вершин степеня r у r-регулярному дереві T,

тобто порядок визначального дерева. Розмір дерева T дорівнює, з одного

боку, n–1, а з іншого боку його можна виразити як tr–(t–1), або t(r–1)+1. З

рівності t(r–1)+1=n–1 безпосередньо випливає t=(n–2)/(r–1). Звідси

одержується необхідна умова n2(mod r–1) існування r-регулярних дерев

порядку n.

Нехай для r-регулярного дерева Tn,r порядку n існує Tn,r-факторизація

Φ. Для вершини x основного графа Kn позначено через s=s(x) кількість таких

компонент факторизації Φ, у яких x – вершина степеня r.

49

Серед n–1 ребер, інцидентних вершині x, r∙s(x) ребер належать тим

компонентам, у яких x – вершина степеня r, та k–s(x) ребер, що є кінцевими у

решті компонент факторизації Φ. З одержаної рівності r∙s(x)+ k–s(x) = n–1

одержується (r–1)∙s(x)=k–1, звідки s(x) = (k–1)/(r–1) = const. З останнього

співвідношення випливає

Теорема 3.4. Для існування Tn,r-факторизації необхідно, щоб число n–2

ділилося на 2(r–1).

Як наслідок, з теореми 3.4 випливає неіснування Tn,r-факторизацій у

випадках, коли не виконується знайдена необхідна умова існування.

Залишається не повністю розв’язаною задача про існування

Tn,r- факторизацій у випадках виконання цієї умови. У підрозділі 3.2 ця

задача розв’язана у випадку 3-гусениць. Для узагальнених гусениць – r-

регулярних дерев з ланцюгом у ролі визначального піддерева – ця задача

частково розв’язується побудовою, аналогічною описаній у доведенні

теореми 3.3. Для деяких r-регулярних дерев з півсиметричними

визначальними піддеревами цілком можливе існування півобертових T-

факторизацій [79].

Слід зазначити, що у [57] побудовано T10,3-факторизації для дерев з

визначальним піддеревом – зіркою та перелічено їх з точністю до

ізоморфізму.

3.4. Неіснування факторизацій повних графів деякими

ярусно-регулярними деревами

Повним (r, s)-регулярним назвається дерево, що включає центральну

вершину степеня r, при цьому кожна суміжна з центральною вершина має

степінь s, а всі інші вершини кінцеві.

У тому випадку, коли r=s одержується r-регулярне дерево.

50

Рис. 3.3. Повне (3, 5)-регулярне дерево

Автора зацікавило питання: чи існує T-факторизація, якщо T – повне

(r, s)-регулярне дерево? Порядок (r, s)-регулярного дерева дорівнює n=1+rs.

Воно допустиме тільки у випадку, коли числа r та s обидва непарні. В іншому

випадку T-факторизація неможлива.

Твердження 3.1. Для повного (3, 5)-регулярного дерева T-факторизація

не існує.

Доведення (від супротивного). Припускається протилежне: існує

T-факторизація для повного (3, 5)-регулярного дерева T. Тоді n=1+3·5=16. У

кожній з k=8 компонент цієї факторизації є 3 вершини степеня 5. Загальне

число вершин степеня 5 у T-факторизації рівне 24. Отже, у графі K16 є

вершина x, яка служить вершиною степеня 5 у двох різних компонентах.

Таким чином, 10 ребер, інцидентних вершині x, належать двом

компонентам T-факторизації. Кожна з решти 6 компонент містить, як

мінімум, одне з цих ребер. Отже, в графі K16 не менше 16 ребер виходять з

вершини x. Але це неможливо, бо число таких ребер дорівнює 15. Одержано

суперечність. Твердження доведено.

Оскільки в доведенні використано лише наявність у дереві 1 вершини

степеня 3 та 3 вершин степеня 5, по такій же схемі легко довести наступне

Твердження 3.2. Для дерев, зображених на рис. 3.4-3.5, T-факторизації

неможливі.

51

Рис. 3.4

По аналогії доводиться наступне узагальнення тверджень 3.1 та 3.2.

Теорема 3.5. Для повного (3, p)-регулярного дерева T з p непарним, p5,

T-факторизації неможливі. Неіснування деревних факторизацій має місце

також для всіх дерев порядку n=1+3p, які містять, крім кінцевих вершин,

одну вершину степеня 3 та три вершини степеня p.

3.5. Існування деревної півобертової факторизації

непарних порядків.

Варто нагадати, що T-факторизація повного графу порядку n – це таке

розбиття множини ребер повного графу Kn на k підмножин (факторів), кожна

з яких породжує дерево (компоненту T-факторизації), ізоморфне даному

дереву T порядку n.

Л.Байнеке [8] була сформульована задача, яка полягає в тому, щоб

з’ясувати, для яких дерев існують T-факторизації згідно знайдених ним

Рис. 3.5

52

необхідних умов існування такої T-факторизації: n=2k та (T) k, де n –

парне натуральне число, а (T) – найвищий із степенів вершин дерева T.

Дерево називають допустимим, якщо воно задовольняє умови Байнеке.

Для багатьох допустимих дерев доведено існування T-факторизацій, для

багатьох інших – що T-факторизації не існують [9, 10, 79]. Повного

розв’язання задачі Байнеке на даний час не існує.

Постає питання про існування деревної факторизації непарного

порядку. Для графу Кn , де n=2k+1 така факторизація не існує. Дисертантом

розглянуто граф К2k+1 - F, де F- майже 1-фактор.

▪▪▪

▪

Рис. 3.6

Твердження 3.3: Кожне симетричне дерево непарного порядку допускає

деревну факторизацію.

Одним з методів побудови реалізуючих Т-факторизацій є півобертовий

метод. За цим методом автором було одержано півобертові реалізуючі

факторизації для півсиметричних дерев парного порядку 10 [57].

Потрібно ввести наступні поняття [9].

Дерево порядку n=2k+1 називається симетричним, якщо:

1) воно містить центральну вершину;

2) після вилучення цієї вершини воно розпадається на два ізоморфні

кореневі дерева, коренями яких є кінці ребер, що сполучаються у

центральній вершині.

Симетричне дерево Т порядку n=2k+1 називається правильно вписаним у

коло, розділене n=2k точками на рівні дуги (рис. 3.7), якщо:

53

1) точки поділу є вершини дерева Т;

2) ребра дерева Т зображаються хордами кола;

3) для кожної допустимої довжини хорди рівно два нецентральних ребра

мають таку довжину;

4) для кожного ребра (а; b) існує симетричне йому відносно центра кола

ребро (а+k; b+k) дерева Т;

5) центром кола є центральна вершина дерева.

1

k 2

. . ∞ .

. .

. .

k+1 k

Рис. 3.7

Під дією циклічної підстановки α=(1 2 …n) вершин дерева Т порядку

2k+1, правильно вписанного у коло, одержано сімейство дерев Т, Тα,…, Тαk-1

,

яке і являє собою T-факторизацію графу Кn, де n=2k+1, яку називають

півобертовою.

Дерево Т, яке породжує описаним методом півобертову T-

факторизацію, називають її базовою компонентою.

Для часткового підтвердження висунутої гіпотези розглянуто

симетричні дерева непарного порядку (до 17 порядку включно).

Для побудови симетричних дерев більш високих порядків було

використано діаграми всіх можливих дерев наведені у [66] з кількістю

вершин p={6, 7, 8, 9} за принципом n=2p-1, тобто як половинок дерев

відповідно 11, 13, 15 та 17-го порядків, симетричних відносно центральної

54

вершини. До одержаних дерев також застосовано півобертовий метод

знаходження базових компонент Т-факторизацій.

За результатами досліджень складено реберні списки побудованих

базових компонент, де букви А, В, С, ... замінюють відповідно двоцифрові

числа 10, 11, 12, ... , та сформовано таблицю Б.1. Нижче наведено частину

цієї таблиці (таблиця 3.1) для 20-ти симетричних дерев порядку n=13.

Таблиця 3.1

Порядок

дерева

Кількість

симетричних

дерев

Базові компоненти

n=13

20

1) 1∞ 18 26 27 35 36 45 7∞ 8С 9В 9С АВ

2) 1∞ 18 19 1А 1В 1С 7∞ 72 73 74 75 76

3) 1∞ 13 15 16 25 34 7∞ 79 7В 7С 8В 9А

4) 1∞ 13 14 15 16 23 7∞ 79 7А 7В 7С 89

5) 1∞ 15 16 23 25 46 7∞ 7В 7С 8В 89 АС

6) 1∞ 14 15 16 23 24 7∞ 7А 7В 7С 89 8А

7) 1∞ 13 16 25 26 45 7∞ 79 7С 8В 8С АВ

8) 1∞ 16 26 36 46 56 7∞ 7С 8С 9С АС ВС

9) 1∞ 16 26 36 45 46 7∞ 7С 8С 9С АВ АС

10) 1∞ 16 25 26 34 46 7∞ 7С 8В 8С 9А АС

11) 1∞ 16 26 35 36 45 7∞ 7С 8С 9В 9С АВ

12) 1∞ 16 23 24 25 26 7∞ 7С 89 8А 8В 8С

13) 1∞ 16 34 47 57 67 7∞ 7С 8А 8В 8С 9А

14) 1∞ 16 25 26 35 45 7∞ 7С 8В 8С 9В АВ

15) 1∞ 15 16 23 24 25 7∞ 7В 7С 89 8А 8В

16) 1∞ 15 16 25 34 25 7∞ 7В 7С 8В 9А 9В

17) 1∞ 15 16 25 35 45 7∞ 7В 7С 8В 9В АВ

18) 1∞ 15 16 2С 36 45 68 7∞ 7В 7С 9С АВ

19) 1∞ 16 23 25 26 46 7∞ 7С 89 8В 8С АС

20) 1∞ 14 15 16 24 34 7∞ 7А 7В 7С 8А 9А

55

За допомогою півобертового метода побудовано всі базові компоненти

для порядку n=13 ( у кількості 20 ), 27 для порядку n=15 ( при загальній

кількості 48 ) і 10 для n=17 ( при загальній кількості 116 ).

В якості ілюстрації на рис. 3.8 наведено базову компоненту №2 (з

таблиці 3.1) симетричного дерева непарного порядку n=13 правильно

вписаного у коло.

Рис. 3.8. Базова компонента №2 для дерева порядку n=13

Всі одержані результати беззаперечно підтверджують висунуту

гіпотезу про те, що кожне симетричне дерево непарного порядку допускає

деревну факторизацію.

Це дає можливість сподіватися, що для всіх симетричних дерев

непарного порядку це твердження справедливе. Дослідження

продовжуються.

ВИСНОВКИ ДО ТРЕТЬОГО РОЗДІЛУ

Знайдено необхідні умови існування T-факторизацій та відповідні

достатні умови їх неіснування, які узагальнюють ідею Л. Байнеке про те, що

наявність у дереві вершин досить високих степенів часто призводить до

неіснування T-факторизацій. Одержано результати про неіснування

T-факторизацій серією регулярних дерев, деякими ярусно-регулярними

деревами та 3-гусеничної факторизації. Задача про існування T-факторизацій

56

та їх узагальнень залишається актуальною. В ході цього дослідження

сформульовано та доведено ряд теорем.

Розвитком питань, заторкнутих у цьому розділі, можна вважати задачу

про існування T-факторизацій узагальнено регулярними деревами – так

званими (r1, r2, …,rm)-деревами, тобто деревами, у яких, крім кінцевих

вершин, допускаються вершини степенів r1, r2, …, rm, m>1. Зокрема, обіцяє

цікаві результати випадок m=2.

Шляхом побудови доведено лему про існування деревної півобертової

факторизації для деяких симетричних дерев непарних порядків. Так за

допомогою півобертового методу під дією циклічної підстановки α=(1 2 … n)

вершин симетричного дерева Т порядку 2k+1, правильно вписаного у коло,

одержано сімейство дерев Т, Тα,…, Тαk-1

, яке і являє собою півобертову T-

факторизацію графу Кn, де n=2k+1. Таким чином побудовано всі базові

компоненти для непарних порядків 3 -13, 27 з 48-ми для порядку n=15 і 10

для порядку n=17 із загальної кількості 116.

За результатами дослідження складено таблицю Б.1, частину якої для

дерева порядку n=13 наведено у розділі (таблиця 3.1).

Одержані результати побудови базових компонент півобертової T-

факторизації повністю підтверджують висунуту гіпотезу про існування

деревної факторизації для симетричних дерев непарних порядків.

57

РОЗДІЛ 4

БІЦИКЛІЧНА Т-ФАКТОРИЗАЦІЯ

4.1. Властивості біциклічної Т-факторизації

Для послідовного обгрунтування викладеного надалі теоретичного

матеріалу необхідно навести ряд означень і положень сформульованих

дисертантом на основі роботи [57].

Фактором графа називається такий його підграф, множина вершин

якого співпадає з множиною вершин графа.

Деревною упаковкою розміру s n-вершинного повного графу Kn

називається сімейство n-вершинних дерев Т1, Т2, ... ,Тs , якщо:

1) кожне дерево Тi (i=1, …, s) має порядок n і є фактором графу Kn;

2) ніякі два з цих дерев Тi, Тj не мають спільних ребер при i≠j (1≤i,j≥s).

Деревна упаковка називається (Т1, Т2, ... ,Тs)-факторизацією, або Т-

факторизацією повного графу Kn, якщо виконується така додаткова умова:

всі компоненти упаковки ізоморфні деякому дереву Т, а кожне ребро

міститься в одному з дерев (компонент) Тi (i=1, …, s).

Дерева, що складають (Т1, Т2, ... ,Тs)-факторизацію чи (Т1, Т2, ... ,Тs)-

упаковку, називаються її компонентами.

Таким чином, якщо k екземплярів дерева Т з n=2k вершинами можна

так накласти одне на одне (з ототожненням вершин), що одержиться повний

граф Kn, то говорять, що для цього дерева існує Т-факторизація.

Л. Байнеке в своїй роботі [7] показав, що необхідною умовою

існування Т-факторизації є умова Δ(T)≤k, де через Δ(T) позначено найвищий

степінь вершини дерева Т, а k=n/2.

Як відомо, така задача повністю розв’язана для n≤8 Ш. Хуанг і А.

Росою в статті [8], та Петренюком А. Я. для n=10 в [57, 70].

Допустимим деревом називається таке дерево, яке задовольняє умови

Байнеке.

58

Кожне допустиме дерево Т визначає вектор d(T)=(d1, d2,…,dk), де di

(1≤i≤k) означає кількість вершин степеня i у дереві Т.

Типом вершини х у Т-факторизації R називається вектор ( s1, s2,…,sk),

де sj (1≤j≤k) означає кількість компонент в R, які мають степінь j у вершині х.

Можливі типи вершин можна визначити з наступних співвідношень:

s1 +s2 +…+sk = k,

s1 +2s2 +…+ksk =n-1, (4.1)

sj – ціле число, sj ≥0 (j=1, 2, …, k).

Через w(n) в подальшому позначено число можливих типів вершин

порядку n, тобто число розв’язків системи (4.1).

Існує 106 неізоморфних дерев порядку 10. Шляхом переліку було

доведено [10, 57], що рівно 85 з них допускають Т-факторизацію.

Для n=10 існують точно 5 можливих типів вершин, а саме t1=(14000);

t2=(22100); t3=(30200); t4=(31010); t5=(40001).

Для n=12, w(12)=7 і t1=(150000); t2=(231000); t3=(312000); t4=(320100);

t5=(401100); t6=(410010); t7=(500001).

Для n=14, w(14)=11, а саме t1=(1600000); t2=(2410000); t3=(3220000);

t4=(3301000); t5=(4030000); t6=(4111000); t7=(4200100); t8=(5002000);

t9=(5010100); t10=(5100010); t11=(6000001).

Нехай через aj буде позначено число вершин типу tj у факторизації R.

Нехай S=(Sij) – матриця з w(n) рядками та k стовпцями, у якій і-й рядок

відповідає і-му типу у R. Тоді справедливе співвідношення:

a ∙S=k∙d(T) (4.2)

Це співвідношення досить детально досліджувалося в [8] для n=8, а

також в [10, 57, 70] для n=10. Для n=10 воно матиме вигляд:

59

a1+ 2a2 + 3a3 + 3a4 + 4a5 = 5 d1,

4a1+ 2a2 +… + a4 = 5 d2,

a2 + 2a3 ……………… = 5 d3 , (4.3)

a4 … = 5 d4,

a5 = 5 d5.

Неважко встановити, що визначник цієї системи дорівнює 0. Це видно з

підрахунку, який встановлює лінійну залежність рядків матриці системи.

Якщо позначити рядки римськими числами I, II, III, IV, V то існує така

залежність:

4∙I - II - 6∙III - 11∙IV - 16∙V = 0

Ця залежність у правій частині еквівалентна такій:

4d1= d2 +6d3 +11d4 +16 d5 . (4.4)

Для n=12 відповідні розрахунки мають вигляд

a1+ 2a2+ 3a3 + 3a4 + 4a5 + 4a6 + 5a7 = 6d1,

5a1+ 3a2 + a3 + 2a4 + a6 = 6d2,

a2+ 2a3 + a5 = 6d3, (4.5)

a4 + a5 = 6d4,

a6 = 6d5,

a7 = 6d6.

Рядки мають таку залежність

5∙I - II - 7∙III - 13∙IV - 19∙V - 25∙VI= 0

У правій частині це еквівалентно

5d1= d2 +7d3 +13d4 +19 d5 +25d6 . (4.6)

60

Очевидно, що системи рівнянь (4.3) і (4.5) мають розв’язок в цілих

числах тоді і тільки тоді, коли виконуються умови (4.4) і (4.6). Доведена

Теорема 4.1. Визначник системи (4.2) дорівнює нулю, і система має

розв’язок тоді і тільки тоді, коли виконується умова

(k - 1)d1=

k

i 2

[k(i - 2) +1] di (4.7)

Виявляється, що умова (4.7) нічого не додає до необхідних умов

існування Т-факторизації, як стверджує

Лема 4.1. Умова (4.7) виконується для всіх допустимих дерев.

Це легко вивести з таких відомих співвідношень, які справедливі для

довільного дерева:

d1 + d2 +...+ dk-1 + dk = n=2k,

d1 + 2d2 +...+(k -1)dk-1 + k dk = 2n -2=4k -2. (4.8)

Якщо домножити перше рівняння на 2k -1, а друге – на k, то одержаться

рівні праві частини. Після порівняння лівих частин утвориться

співвідношення (4.7).

Оскільки ai ≥ 0 в системах (4.3) та (4.5), то комбінуючи рядки в цих

системах, можна отримати різні співвідношення для d(T), якщо існує Т-

факторизація відповідного дерева Т. Всі ці співвідношення наведені у

монографії [57]. Але ці співвідношення майже не допомагають для

знаходження достатніх умов існування Т-факторизацій, тому всі результати

отримані за допомогою комп’ютерних розрахунків.

Для розв'язання системи (4.3) її зведено до такого вигляду

a1 + a2 + a3 = 5d1 - 5d3 -15d4 -20d5,

4a1+ 2a2 = 5d2 - 5d4, (4.9)

a2+ 2a3 = 5d3.

61

В результаті перетворень ця система зводиться до такого рівняння

4a1+ 2a2 =5d2 - 5d4 (4.10)

Звідси витікає, що d2 ≥d4 і d2 ≡ d4 (mod 2). Підставляючи можливі

значення для a2 можна отримати a1 , а потім і всі значення ai, тобто розв’язок

може бути не один. Аналогічні результати можна отримати і для більших

значень n. Але необхідні умови можна ще звузити, якщо застосувати певний

підхід, розглянутий далі.

В загальному вигляді проблема Т-факторизації зводить до такої задачі.

Нехай вказане дерево Т з n=2k вершинами і матрицею суміжності A=( aij). Чи

існують k-1 переставних матриць P1, P2 , ..., Pk-1 , для яких

A + P1 A PT

1 + P2 A P T

2 + …+ Pk-1 A PT

k-1= I – E, (4.11)

де I – матриця порядку n, всі елементи якої дорівнюють 1, а Е – одинична

матриця того ж порядку.

Перставною матрицею Р називається матриця, в якій

pij =0 v1, а

n

i

pij1

=

n

j

pij1

= 1 (1≤i,j≤n).

Кожній переставній матриці Pi (1≤i≤k-1) можна поставити у

відповідність перестановку πi (1≤i≤k-1), в якій елемент j переходить в елемент

πi (j), якщо в матриці Pi pjπ(i) =1. Тоді матричне рівняння (4.11) матиме

розв’язок, якщо виконуються умови: для всякого ребра графа Т (r, s), тобто

ars =1, і для всіх πi повинно бути

aπ1

i ( r ), π1

i ( s ) =1 (4.12)

Ці співвідношення в конкретному випадку, з одного боку, звузять

необхідні умови до такого рівня, що можна легко виявити графи, для яких не

62

існує Т-факторизація, а з іншого боку, дозволять легко будувати Т-

факторизацію графів, для яких така деревна факторизація існує.

За означенням Т-факторизація повного дерева Kn (n=2k) відносно

дерева Т з матрицею суміжності А(Т) існує, якщо існують k-1

перестановочних матриць Pi (1≤ i ≤ k-1), таких, що

А + Р1А Р T

1 + Р2 А Р T

2 +…+ Аk-1 А Р T

k 1 = In – En, (4.13)

де Еn - матриця, всі елементи якої дорівнюють 1.

Розглянуто рис. 3.1 з монографії Петренюка А. Я. [57] (рис. 4.1).

10

2 1 7 4 6 9 5 3 8

6

3 2 8 5 7 10 1 4 9

7

4 3 9 1 8 6 2 5 10

8

5 4 10 2 9 7 3 1 6

9

1 5 6 3 10 8 4 2 7

Рис. 4.1

63

Очевидно, що Pi =αi , где α= (1 2 3 4 5) (6 7 8 9 10). Це біциклічна Т-

факторизація. Розглянуто необхідні умови для довільної Т-факторизациї,

враховуючи, що вектор степенів d =(3, 6, 1, 0, 0). В цьому випадку a4 = a5 = 0,

а система набуває вигляду

a1 + 2a2 + 3a3 = 15,

4a1 + 2a2 = 30, (4.14)

a2 + 2a3 = 5.

Визначник цієї системи дорівнює нулю, що слідує зі співвідношення

4∙I - II - 6∙III = 0, де I, II, III – відповідно перший, другий і третій рядки. З

третього рівняння слідує, що a2, a3 можуть набувати значень: (5, 0); (3, 1);

(1, 2). Відповідно вектор a буде мати три значення: a = (5, 5, 0, 0, 0),

a = (6, 3, 1, 0, 0) і a = (7, 1, 2, 0, 0). Неважко помітити, що на рис. 4.1.

реалізовано перше рішення, тобто є п’ять вершин типу t1 = (1 4 0 0 0) –

це (1, 2, 3, 4, 5), і п’ять вершин типу t2 = (2 2 1 0 0) - це (6, 7, 8, 9, 10).

Тепер виникає проблема: як реалізувати другий і третій розв’язки.

Спроби вирішити її вручну до успіху не призвели. Можливо необхідно

застосувати для цього обчислювальну техніку. Алгоритм можна вибрати

самий простий – метод перебору.

У подальшому, щоб не було плутанини, позначено вектор d, де di –

кількість вершин степеня і, по-іншому: вектор δ = (δ1, δ2,…, δk), а через di –

степінь вершини і. Тоді у розглядуваному прикладі δ = (3, 6, 1, 0, 0). Виникає

питання: чи можуть другий і третій розв’язки бути реалізовані як біциклічна

Т-факторизація так само, як для першого розв’язку? Виявляється це

неможливо. Такий висновок випливає з наступних міркувань.

У біциклічній перестановці немає нерухомих елементів, тобто ніякий

елемент не переходить сам у себе. Але у другому і третьому розв’язку

приймає участь третій тип вершини t3 = (3, 0, 2, 0, 0), де вершина степеня 3

двічі накладаєтся на себе. Але у графі така вершина тільки одна, значить в

64

деякій перестановці ця вершина відображається на себе. Таким чином

справедлива наведена нижче лема.

Лема 4.2. В біциклічній Т-факторизації реалізуються тільки ті типи

вершин tі (і≥1), для яких справедливо

δ≥ tі, (4.15)

де нерівність береться по всіх компонентах.

В даному випадку (3, 6, 1, 0,0) ≥ (3, 0, 2, 0, 0) - нерівність не

дотримується, тому біциклічна Т-факторизація якщо і існує, то тільки для

першого і другого типів вершин.

Було детальніше розглянуто властивості біциклічних Т-факторизацій.

Загальний вид перестановки є таким α = (1, 2, 3, …, k) (k+1, k+2, …, 2k). Т-

факторизація може бути одержана під дією k підстановок αs

( s = 0, 1, 2, …,

k-1). Таким чином (властивість a), множина вершин графу розбиваєтся на дві

долі А={1, 2, 3, …, k} і В={k+1, k+2, …, 2k}. Кожна підстановка додає ребра

до тих пір, поки їх кількість не стане дорівнювати C 2

2k = k(2k - 1), кількості

ребер повного n-вершинного графу (n=2k).

В кожній долі повинно бути декілька ребер, які у результаті

перестановок повинні утворити множину ребер повного k-вершинного графу.

Одержується 2∙ 2

)1( kk = k (k-1) ребер. Інші ребра, що сполучають вершини

з різних долей, повинні утворити k(2k -1) - k(k -1) = k2

ребер, яких не

вистачає до повного графа. Очевидно, цих ребер повинно бути рівно k, а для

кожної долі залишається 2

12 kk =

2

1k ребер. Звідси можна зробити

висновок, що k – непарне число, тобто k = 2l +1 при (l≥1).

Тоді необхідною умовою існування біциклічної Т-факторизациї є

n = 4l+2, (l≥1). (4.16)

65

В кожній долі l ребер повинні утворювати повний k-вершинний граф

при послідовних k-1 циклічних підстановках α1 = (1, 2, …, k) і

α2 = (k+1, k+2, …, 2k). Нехай, наприклал, n=10, тоді l=2.

Два ребра для n=10 занумеровано так, як показано на рис. 4.2.

1 1 1 1 1

5 2 =>5 2 = 2 2 5 5 5 2

4 3 4 3 3 4 3 4 3 4

Рис. 4.2. Дія підстановки α1 для k=5

Послідовне застосування підстановки α1 приводить до утворення

додаткових ребер. Всього їх стає 5×2 =10 = C 2

5 , тобто стільки, як у повного

5-вершинного графа.

Очевидно (властивість b), що вказані l ребер повинні бути занумеровані

спеціальним чином, щоб під дією підстановки α1 не утворювались ребра-

дублікати. Так як ці l ребер складають підграф графу Т, то вони не повинні

утворювати циклів. Розглянуто коло, поділене k точками на рівні дуги (ці

дуги названо елементарними). Точки поділу послідовно позначено 1, 2, …, k.

Довжиною довільної хорди, що сполучає дві точки поділу, називається

кількість елементарних дуг у меншій з дуг, на які ця хорда разбиває коло.

В силу цьго означення кожна хорда може мати довжину 1, 2, …, l.

Граф з l ребер називається правильно вписаним у коло, розділене k

точками, якщо довжини цих ребер не повторюються.

Лемма 4.3. В біциклічній Т-факторизації l ребер в кожній долі графу Т

правильно вписані.

Припускається, що l ребер вписані неправильно, тобто існують деякі

два ребра з однаковою довжиною 1≤ s ≤l. Їх кодування можна записати i1,

66

( i1±s) (mod k) і i2,( i2±s) (mod k). Коди цих ребер переписано так, щоб поруч з

елементом s стояв тільки знак “+”. Тоді одержується їх запис: i3,( i3+s)(mod k)

і i4, ( i4+s)(mod k). Кажна дія підстановки α1 збільшує коди вершин на 1, а

результат береться по mod k.

Взято r = i4 - i3 > 0. Тоді дія перестановки α1r призводить до утворення

ребра i3 + r,( i3 + r + s)(mod k) = i4,( i4+s) (mod k). Але це ребро-дублікат,

тому l ребер повинні бути правильно вписані. З іншого боку, в кожній

вершині j (1≤j≤k) графу за k-1 підстановку утворюються 2l ребер різної

довжини, тобто l ребер типу j, (j-s)(mod k) і l ребер типу j, (j+s)(mod k) для

кожного 1≤s ≤l. Тобто всі вершини з’єднуються з усіма і мають степінь 2s =

k-1, що і утворює повний k-вершинний граф.

Всі ці міркування були проведені для першої долі графу, однак їх легко

провести і для другої долі, збільшивши всі коди вершин на число k.

Крім l ребер, що належать кожній долі, існують ще k міждолевих ребер.

Ребра (ai, bj), кінцеві вершини ai = (1, 2, …, k) та bj= (k+1, k+2, …, 2k),

де (1 ≤ i,j ≤ k) кожного з яких належать різним долям графу Т, називаються

міждолевими.

Лема 4.4. В біциклічній Т-факторизациї множина різниць

(bj - ai )(mod k) повинна складати повну систему лишків по mod k.

Повна система лишків по mod k складає множину чисел (0, 1, 2, …, k-1).

Припущено, що серед вказаних ребер знайдуться два таких ребра (a1, b1) і

(a2, b2), що (b1 - a1) ≡ (b2 – a2)(mod k).

Не порушуючи загальності, можна вважати, що a1 < a2 . Нехай r = a2 – a1.

Тоді під дією підстановки αr=(α1)

r (α2)

r одержується з ребра (a1, b1) ребро

(a1 + r) (b1 + r) (mod k) = [a2(mod k), b2(mod k)].

При цьому a2(mod k)(1, 2, 3, …, k), але b2(mod k) також належить до першої

долі. Необхідно додати до цього числа k, щоб це була вершина з другої долі.

В результаті одержано ребро (a2, b2), яке являеться дублікатом. Цього не

повинно бути, значить лема вірна.

67

4.2. Структура базової компоненти

У пропонованому пункті розглянуто деякі аспекти структури базової

компоненти біциклічної Т-факторизації. Найбільш важливими є такі два

аспекта.

Питання про правильне вписування – перший аспект. Позначено підграф

з l ребер, про які йде мова у лемі 4.3, для кожної долі gА і gВ. Правильне

вписування gА не передбачує його зв’язності, тому невідоме і число його

вершин. Якщо підграф gА зв’язний, то він представляє собою дерево з l+1

вершинами. Якщо він незв’язний, то число вершин може доходити до 2l.

Задача ставиться так: занумерувати вершини графу gА числами з множини

(1, 2, …, k) так, щоб абсолютні різниці кодів ребер складали множину чисел

(1, 2, …, l). Якщо розглянути частковий випадок, коли k = l +1, то граф стає

деревом, і задача перетворюється у відому задачу Роса [9, 52, 80], яка

формулюється наступним чином: потрібно занумерувати n-вершинне дерево

числами від 1 до n так, щоб множина абсолютних різниць кодів всіх ребер

скадала множину (1, 2,…, n-1).

Можна сказати, що для непарного n задача Роса [80] являється

частковим випадком задачі правильного вписування l ребер у коло, розділене

2l+1 точками. Очевидно, що все, сказане про підграф gА, справедливе і для

підграфу gВ.

Ще один аспект - про число представлень підграфів gА і gВ. Не завжди

вони повинні бути деревами, але базова компонента графу обов’язково

складається з долей А=(1, 2, 3, 4, 5) та В=(6, 7, 8, 9, 10). Підграф gА включає

два незв’язних ребра (1, 2) і (3, 5), а підграф gВ – зв’язний, з двох ребер (6, 9) і

(6, 10). Міждолеві ребра (3, 8), (1, 7), (4, 6), (4, 7), (5, 9) відповідають повній

системі лишків по mod 5.

Таким чином, вже можна описувати вигляд базової компоненти

біциклічної Т-факторизації.

68

1. Вона складається з двох долей А= (1, 2, 3, 4,…, k), В=(k+1, k+2, …, n);

2. Підграфи gA і gB правильно вписані;

3. Різниця кодів міждолевих ребер обов’язково складає повну систему

лишків по mod k.

Пункт 2 можна сформулювати по-іншому: якщо l ребер кажного з

підграфів gA і gB стягнути у вершини, то одержується граф з n - 2l вершинами,

який можна розфарбувати двома кольорами, причому кожним кольором буде

зафарбовано x - l вершин. Очевидно, що однокольорові вершини належать

одній долі.

Тепер потрібно охарактеризувати вигляд підграфів gA(gB) з l ребер. Для

n=10 це 2 ребра, правильно вписані: gA= {(1, 2), (1, 3)}, {(1, 2), (1, 4)}, {(1, 5),

(1, 3)}, {(1, 5), (1, 4)}, {(1, 2), (3, 5)}, {(1, 5), (2, 4)}, {(1, 3), (4, 5)}, {(1, 4),

(2, 3)}. Всі підграфи gA включають вершину 1, а для зв’язних підграфів вона

обов’язково має степінь 2. Якщо застосувати до кодів підграфів gA

підстановку α1= (1, 2, 3, 4, 5), то одержується значно більше підграфів

(відповідно в 5 разів більше).

Для n=14, k=7, l=3 необхідно правильно вписати 3 ребра. Нехай

вершина 1 належить підграфу gA з найбільш можливим максимальним

степенем. Тоді одержуєься такий список:

gA= {(1, 2 ), (1, 3), (1, 4)}, {(1, 2 ), (1, 3), (1, 5)}, {(1, 2 ), (1, 3), (2, 5)},

{(1, 2 ), (1, 3), (2, 6)}, {(1, 2 ), (1, 3), (3, 6)}, {(1, 2 ), (1, 3), (3, 7)},

{(1, 2 ), (1, 3), (4, 7)}, {(1, 2 ), (1, 6), (1, 4)}, {(1, 2 ), (1, 6), (1, 5)},

{(1, 2 ), (2, 4), (1, 5)}, {(1, 2 ), (3, 5), (1, 4)}, {(1, 2 ), (3, 5), (1, 5)},

{(1, 2 ), (4, 6), (1, 4)}, {(1, 2 ), (4, 6), (1, 5)}, {(1, 2 ), (5, 7), (1, 4)},

{(1, 2 ), (5, 7), (1, 5)}.

Це тільки половина списку, а друга половина одержиться, якщо всюди

зробити перетворення кодів 1→1, а інші yi= 9-xi. Доводиться константувати,

що знаходити базові компоненти навіть для невеликих значень n стає

проблематично. Необхідно знайти еквівалентні перетворення, які не

змінюють властивості базових компонент.

69

Лема 4.5. Незалежні підстановки α1 для долі А, та підстановки α2 для

долі В не змінюють властивості базової компоненти.

Дійсно, якщо ребра підграфу gA правильно вписані, то одночасне

збільшення на 1 кодів кінцевих ребер не змінює їх довжину. Те ж саме вірно і

для підграфу gВ. З іншого боку, якщо застосувати підстановку α1 (або α2)

тільки до однієї долі, то різниці кодів вершин міждолевих ребер зміняться,

причому всі одночасно. До того ж система лишків по mod k в цілому тільки

поміняється місцями, але від додавання константи залишається повною

системою лишків.

4.3. Алгоритм побудови базової компоненти

Розглянуто ще один спосіб перетворення, який застосовується при

побудові базової компоненти.

Паралельним перенесенням міждолевого ребра називається одночасне

збільшення кодів його вершин на постійну величину.

Далі наведено принцип побудови всіх базових компонент біциклічної

Т-факторизації для довільних значень n=4l+2.

Загальна схема алгоритма побудови наступна.

1. Граф разбивається на дві долі з вершинами А= (1, 2, 3, 4,…, k),

В=(k+1, k+2, …, 2k).

2. Будується підграф gA таким чином, щоб вершина 1 мала максимальний

степінь. Якщо це не так, то згідно з лемою 4.5 це можна зробити за

допогою підстановки α1= (1, 2, …, k).

3. Інші ребра, інцидентні вершинам долі А, ідуть у міждолеві ребра

(починається перебір їх кінцевих вершин). Перебір ведеться за умови,

що різниці кодів складають повну систему лишків по mod k.

4. У долі В добудовується підграф gВ з умовою неутворення циклу і

правильності вписування.

70

5. Якщо вершина 1 суміжна з будь-якою вершиною долі В, то згідно з

лемою 4.5 можна зробити так, щоб її номер став рівним k+1 за

допомогою підстановки α2 = (k+1, k+2, …, n). За цих умов виконується

перебір підграфів gВ.

Загальний перебір можна інколи скоротити шляхом перенумерації

вершин і долі А так, щоб підграф gА мав нумерацію (1, 2, …, r), де r –

кількість вершин підграфу gА. При цьому необхідно робити паралельне

перенесення відповідних міждолевих ребер. Перебір підграфів gВ також

інколи можна скоротити, якщо виникають ізоморфні дерева Т.

Всі наведені вище дії по одержанню біциклічної Т-факторизації повних

графів з n=4l+2, де l≥1 було названо методом паралельного перенесення

міждолевого ребра.

ВИСНОВКИ ДО ЧЕТВЕРТОГО РОЗДІЛУ

Четвертий розділ дисертації, присвячений біциклічній Т-факторизації

повного графу Кn, де n = 4l+2 і l≥1.

Перший підрозділ цього розділу ознайомлює з основними поняттями та

співвідношеннями, на яких базуються теореми, їх доведення та складання

алгоритму і методу паралельного перенесення ребра при побудові базових

компонент біциклічної Т-факторизації.

Сформульовано та доведено ряд лем, що стосуються необхідних і

достатніх умов Т-факторизації. Доведено такі леми:

1) в біциклічній Т-факторизації l ребер в кожній долі графу Т правильно

вписані;

2) в біциклічній Т-факторизациї множина різниць (bj - ai )(mod k) повинна

складати повну систему лишків по mod k.

У підрозділі 2 четвертого розділу з’ясовано і описано вигляд базової

компоненти біциклічної Т-факторизації:

1. Вона складається з двох долей А= (1, 2, 3, 4,…, k), В=(k+1, k+2, …, n);

71

2. Підграфи gA і gB правильно вписані;

3. Різниця кодів міждолевих ребер складає повну систему лишків по

mod k.

Таким чином виявлені властивості біциклічної Т-факторизації, які

використано для того, щоб описати вигляд базової компоненти біциклічної

Т-факторизації. Розглянуто необхідні умови існування довільної біциклічної

Т-факторизациї:

а) n = 4l+2 (l≥1), тобто в кожній долі l ребер повинні утворювати

повний k-вершинний граф при послідовних k-1 циклічних підстановках α1 =

(1, 2, …, k) і α2 = (k+1, k+2, …, 2k);

б) вказані l ребер повинні бути занумеровані спеціальним чином, щоб

під дією підстановки α1 не утворювались ребра-дублікати, а також ребра не

повинні утворювати циклів.

Введене поняття паралельного перенесення міждолевого ребра.

Паралельним перенесенням міждолевого ребра називається одночасне

збільшення кодів його вершин на постійну величину.

На основі міркувань, розглянутих в попередніх підрозділах четвертого

розділу, в п. 4.3 складено алгоритм побудови всіх базових компонент

біциклічної Т-факторизації для довільних значень n=4l+2.

Загальна схема алгоритма побудови наступна.

1. Граф разбивається на дві долі з вершинами А= (1, 2, 3, 4,…, k),

В=(k+1, k+2, …, 2k).

Будується підграф gA таким чином, щоб вершина 1 мала максимальний

степінь. Якщо це не так, то згідно з лемою 4.3 це можна зробити за

допогою підстановки α1= (1, 2, …, k).

1. Інші ребра, інцидентні вершинам долі А, ідуть у міждолеві ребра

(починається перебір їх кінцевих вершин). Перебір ведеться за умови,

що різниці кодів складають повну систему лишків по mod k.

2. У долі В добудовується підграф gВ з умовою неутворення циклу і

правильності вписування.

72

3. Якщо вершина 1 суміжна з будь-якою вершиною долі В, то згідно з

лемою 4.3 можна зробити так, щоб її номер став дорівнювати k+1 за

допомогою підстановки α2 = (k+1, k+2, …, n). За цих умов виконується

перебір підграфів gВ.

Таким чином, розроблено та теоретично обгрунтовано принципово

новий метод одержання біциклічної Т-факторизації повних графів з n=4l+2,

де l≥1, який названо методом паралельного перенесення міждолевого ребра.

73

РОЗДІЛ 5

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПАРАЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНЕСЕННЯ

МІЖДОЛЕВОГО РЕБРА ДО ПОБУДОВИ БАЗОВИХ КОМПОНЕНТ

БІЦИКЛІЧНОЇ Т-ФАКТОРИЗАЦІЇ

5.1. Розв’язок задачі для дерев з n = 10, що мають вершину степеня 5

Показано дію розробленого методу на прикладі повного графу Кn, де

n=2k=4l+2 з кількістю вершин n=10 для тих дерев, які включають вершину з

найвищим степенем k=5, і для яких l=2. Всі такі дерева схематично

зображені в книзі Ф. Харарі [58]. Їх кількість дорівнює 106. Нижче наведені

19 дерев, що включають вершину степеня 5 і їх порядкові номери, які

відповідають порядку на діаграмі Ф. Харарі (рис. 5.1).

(15) 16 (17) 18 (19) (61)

(62) 63 64 65 (66) 67 68

(78) 79 80 82 101 106

Рис. 5.1.

74

Розглянуто всі можливі тривершинні і чотиривершинні підграфи gА ( а

також gВ), які можуть виникати в долі А. При цьому вершина 1 входить

обов’язково в gА (рис. 5.2).

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5 5

Рис. 5.2. Типи підграфів gА (gВ) для n=10.

Було обрано вершину зі степенем 5 і присвоєно їй номер 1. Два ребра,

інцидентні їй, залишаються в долі А (з них будується підграф gА), а інші три

ребра стають міждолевими. Одне з цих ребер (1, 6). Очевидно, що підграф gА

має один з чотирьох типів на рис. 5.2, але граф gВ може мати всі 8 типів. Два

інших ребра, що виходять з вершини 1 мають вид (1, b1) і (1, b2), де b1 і b2

пробігають значення 7, 8, 9, 10. Одержується С 2

4 =12 варіантів, які потрібно

помножити на кількість підграфів gВ.

Крім того, необхідно розглянути всі варіанти підграфу gА (їх чотири).

Пошук починається для gА, розташованого на вершинах 1, 2, 3. Нижче

розписані послідовно всі варіанти, що одержуються при побудові.

5.1.1. Паралельне перенесення міждолевого ребра

1. b1=7; b2=8. Міждолеві ребра утворюють різниці (6 - 1)≡0(mod 5),

(7 - 1)≡1(mod 5), (8 - 1)≡2( mod 5). Необхідно, щоб ребра (4, х) і (5, у)

утворювали різниці 3 і 4. Це дає два варіанти: {(4, 7), (9, 5)} і {(4, 8), (5, 8)}.

Спочатку розглянуто (a) перший варіант: {(4, 7), (9, 5)} (рис. 5.3).

75

Рис. 5.3

Підграф gВ будується на трьох вершинах. В нього не можуть увійти дві

вершини з 6, 7, 8, бо тоді утворється цикл, а це неможливо, бо розглядаються

тільки дерева. Значіть в gВ входить одна з цих вершин і вершини 9, 10. Таким

чином одержуються підграфи gВ: {(6, 9), (6, 10)}, {(6, 9), (9, 10)}, {(7, 9), (9,

10)}, {(7, 10), (9, 10)}, {(8, 10), (9, 10)}, {(8, 9), (8, 10)}.

Якщо gВ включає чотири вершини, то додатково одержуються

підграфи gВ: {(6, 10), (7, 9)}, {(6, 8), (9, 10)}, {(7, 10), (8, 9)}, всього дев’ять

підграфів. З цих підграфів перший і шостий утворюють ізоморфні графи Т

(так як 6 і 8 вершини подібні), а восьмий підграф робить граф Т незв’язним.

Підграфи, що залишилися зображені на рис. 5.4.

67 63 106 64

16 67 65

Рис. 5.4

76

Під кожною схемою дерева на рис. 5.4 вказані номери дерев згідно їх

нумерації на рис. 5.1. Як з’ясувалося, не вдалося запобігти дублюванню

дерева 67.

Далі розглянуто другий варіант (b) {(4, 8), (5, 8)} (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Тут також в силу подібності вершин 6 и 7 утворюються ізоморфні графи

Т для другого і третього підграфів gВ. Восьмий підграф gВ знову робить граф

Т незв’язним.

У підсумку одержується сім варіантів, зображених на рис. 5.6. Тут двічі

одержалося дерево 65, так як вершини 9 і 10 подібні.

101 65 65 79

82 68 80

Рис. 5.6

77

2. b1=7; b2=9. Міждолеві ребра утворюють різниці (0, 1, 3). Ребра з

кінцевими вершинами 4 и 5 повинні утворювати різниці 2 і 4. Тут також

існують два варіанти.

Перший варіант (a) {(4, 6), (5, 9)} (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Тут підграф gВ утворюється на трьох вершинах – одній з 6, 7, 9 і двох

8, 10. Це такі варіанти gВ: {(6, 8), (6, 10)}, {(6, 10), (8, 10)}, {(7, 8), (7, 10)},

{(7, 8), (8, 10)}, {(8, 9), (8, 10)}, {(8, 10), (9, 10)}.

У зв’язку з тим, що вершини 8 і 10 подібні і взаємозаміняємі, п’ятий і

шостий підграфи приводять до ізоморфних графів. Точно так само, завдяки

подібності вершин 6 і 9 шостий і другий підграфи також приводять до

ізоморфних графів.

Для gВ з чотирьох вершин підходять тільки два варіанта {(6, 8), (9, 10)}

і {(8, 9), (7, 10)}. Нижче наведено одержані варіанти побудови графів Т.

80 67 68

78

18 101 68

Рис. 5.8

Другий варіант: (b) {(4, 8), (5, 7)}. (рис. 5.9)

Рис. 5.9

Для трьох вершин одержуються наступні варіанти підграфу gВ: з шести

підграфів, які записані вище, тільки шостий і другий утворюють ізоморфні

графи Т завдяки подібності вершин 6 і 9.

Для чотирьох вершин gВ залишаються ті ж самі. Відповідні побудови

наведені на рис. 5.10.

67 16 79 106

79

63 18 65

Рис. 5.10

Тут, в порівнянні з першим варіантом, з’явилися дублікати – графи 67 і

18. Однак розрізнити їх за допомогою запису графів gВ неможливо. Це

потребує додаткових процедур для з’ясування ізоморфізму кінцевих графів,

якщо це на щось істотно впливає.

3. b1=7; b2=10. Міждолеві ребра утворюють різниці (0, 1, 4). Ребра з

кінцевими вершинами 4 і 5 повинні утворювати різниці 2 і 3.

Один варіант (a) це {(4, 6), (5, 8)} (рис. 5.11). Підграф gВ на трьох

вершинах повинен містити одну вершину з 6, 7, 10 і дві вершини 8, 9.

Одержується множина gВ: {(6, 9), (8, 9)}, {(6, 8), (8, 9)}, {(7, 8), (7, 9)},

{(7, 9), (8, 9)}, {(8, 9), (8, 10)}, {(8, 10), (9, 10)}.

Рис. 5.11

На чотирьох вершинах одержано множини пар ребер {(7, 8), (6, 9)},

{(6, 8), (9, 10)}, {(7, 10), (8, 9)}. Так як вершини 7 і 10 подібні, то шостий

підграф gВ і другий призводять до ізоморфних графів. Із трьох

80

чотирьохвершинних gВ останній утворює незв’язний граф. В результаті для

побудови можна використовувати тільки сім підграфів gВ (рис. 5.12).

106 64 67 63

16 67 65

Рис. 5.12

Другий варіант (b) утворюють ребра {(4, 7), (5, 7)} (рис. 5.13).

Підграф gВ повинен включати обидві вершини 8, 9 і одну з трьох

вершин 6, 7, 10. Одержано множину підграфів gВ на трьох вершинах:

{(6, 8), (8, 9)}, {(6, 9), (8, 9)}, {(7, 8), (7, 9)}, {(7, 9), (8, 9)}, {(8, 9), (8, 10)},

{(8, 10), (9, 10)}. Так як вершини 6 і 10 подібні, то другий і пятий підграфи

призводять до побудови ізоморфних дерев Т. З трьох підграфів gВ на

чотирьох вершинах {(6, 9), (7, 8)}, {(6, 8), (9, 10)}, {(7, 10), (8, 9)} останній

призводить до незв’язності графу Т.

Рис. 5.13

81

Всі ці побудови показано на рис. 5.14.

65 65 82 79

101 80 68

Рис. 5.14

Неважко помітити співпадання рис. 5.4 і рис. 5.12, аналогічно рис. 5.6 і

рис. 5.14. Це не випадковість. Необхідно згадати властивості підстановки α2.

Якщо застосувати цю властивість до випадку 3, то тоді ребро (1, 6) перейде в

(1, 7), (1, 7) перейде в (1, 8) і (1, 10) перейде в (1, 6). В результаті одержується

випадок 1, де b1=7; b2=8.

Тепер стає зрозуміло, що перебір всіх варіантів ребер (1, b1) і (1, b2) не

потрібний, достатньо обмежитися першими двома випадками: 1) b1=7, b2=8;

2) b1=7, b2=9. Третій випадок, як було показано, за допомогою підстановки α2

зводиться до першого. Потім (b1=8, b2=9) за допомогою α23 зводиться до

другого: (1, 6) → (1, 9); (1, 8) → (1, 6); (1, 9) → (1, 7). {(1, 6), (1, 8), (1, 10)}

під дією α2 переходить в {(1, 7), (1, 9), (1, 6)} (другий). {(1, 6), (1, 9), (1, 10)}

під дією α22 переходить в {(1, 8), (1, 6), (1, 7)} (перший).

82

Залишилося виконати перевірку всіх можливих підграфів gА. Якщо до

цього підходити неформально, то цей перебір не обов’язковий, так як два

перших випадки вже побудованих графів повністю вичерпують список всіх

графів з максимальним степенем 5 (рис. 5.1), за виключенням номерів, взятих

в дужки. Про ці графи відомо [57], що вони не допускають біциклічної Т-

факторизації. Доведення цього факта одержано за допомогою комп’ютера. В

запропонованій роботі наводиться доведення, одержене логічним шляхом.

Цікавими, змістовними та базовими для дисертанта в цьому

дослідженні стали також роботи Роси [80], Вілсона [40], Петренюка А.Я. [81-

85], Донця Г.П. [69, 78, 86, 87] та Петренюка Д.А. [88, 89].

5.1.2. Базова множина всіх можливих типів підграфів

Автором було розглянуто ще один підхід до перебору всіх варіантів

побудови базової компоненти біциклічної Т-факторизації. Для цього потрібо

зупинитися на стадії побудови міждолевих ребер і розглянути одержані

підграфи H={h1, h2, …, h6}. Утворилася множина дерево-графів, зображених

на рис. 5.3, 5.5, 5.7, 5.9, 5.11, 5.13. Очевидно, що h4, h5 ізоморфні h1, h6

ізоморфний h2. Множину (h1, h2, h3) названо базовою множиною.

Теорема 5.1. Базова множина вичерпує всі типи можливих підграфів.

Для доведення цієї теореми необхідно довести, що вершини 4 і 5 разом

з вершинами долі В, не суміжні з вершиною 1, можуть утворювати максимум

одне ребро (або жодного). Нехай ці вершини долі В будуть позначені через x

і y. Припускається, що обидві вершини 4 і 5 з’єднані з однією з вершин x або

y. Нехай вони з’єднані з x. Очевидно, що різниці, яких не вистачає для

міждолевих ребер дорівнюють (х-1)(mod k) і (у-1)(mod k). І обидві ці різниці

складають числа (х-4)(mod k) і (х-5)(mod k). Тоді x-1 ≡ (х-4)(mod k) або

x-1 ≡ (х-5)(mod k), що неможливо.

83

Нехай тепер існують ребра (x, 4) і (y, 5). Для утворення різниць, яких не

вистачає до повної системи лишків по mod k, це можливо тільки за умови

x-4 ≡ (y-1)(mod k) і (y-5) ≡ (х-1)(mod k). В результаті додавання наведених

рівностей одержується -4 ≡ -2(mod k), що неможливо, так як k=5, що і

доводить справедливість теореми.

Тепер легко впевнитися, що кріме графів h1, h2, і h3 базова множина не

містить інших графів.

Продовжуючи побудову, послідовно до кожного графу hi (i=1, 2, 3)

добудовується підграф gВ. З трьох вершин gВ можливі такі комбінації

(6, 8, 10), (7, 8, 10), (8, 9, 10).

Враховано підграфи gВ не тільки правильно вписані, а всі можливі. В

результаті одержано 9 підграфів gВ (неправильні записані у квадратних

дужках): {(6, 9), (6, 10)}, {(6, 9), (9, 10)}, [(6, 10), (9, 10)], {(7, 9), (9, 10)},

{(7, 10), (9, 10)}, [(7, 9), (7, 10)],{(8, 9), (8, 10)}, {(8, 10), (9, 10)},

[(8, 9), (9, 10)].

Аналогічно для чотирьох вершин: {(6, 10), (7, 9)}, [(6, 9), (7, 10)], [(6,

10), (8, 9)], [(6, 9), (8, 10)],{(7, 10), (8, 9)}, [(7, 9), (8, 10)] (рис. 5.15).

h1 =

Рис. 5.15

Так як вершини 6 і 8 подібні, то сьомий підграф подібний до першого,

восьмий – до третього, дев’ятий підграф подібний до другого.

Аналогічно: 15-й – 10-го, 14-й – 11-го і 12-й – 13-го. З двох подібних

підграфів, якщо це можливо, потрібно обрати правильно вписаний.

84

67 63 106

64 16 67

“ – “ “ – “

65 79 18

Рис. 5.16

На рис. 5.16 графи, побудовані за допомогою “неправильних”

підграфів gВ, відмічені знаком “мінус”. Якщо порівняти цей рисунок з рис.

5.4, то на останньому відсутні графи 18 і 79 як “неправильні”. Якщо ж

порівняти випадок 2 (b) (рис. 5.10), то в ньому, в порівнянні з h1 (рис. 5.15)

переставлені вершини 8 і 9. Тому неправильні графи 18 і 79 у ньому стають

правильними, а граф 64 стає неправильним (тому відсутній), так як у ньому

були б неправильно вписані ребра (7, 10) і (8, 10).

Далі було розглянуто черговий граф h2 (рис. 5.17). Комбінації з трьох

вершин, на яких будується підграф gВ ті самі, що і для графу h1: (6, 9, 10),

85

(7, 9, 10) і (8, 9, 10). Тому і список підграфів gВ такий самий, як у графа h1:

(6, 9, 10), (7, 9, 10) и (8, 9, 10).

h2 =

Рис. 5.17

Однак подібних вершин в ньому вже дві пари – (6, 7) і (9, 10). Тому у

списку буде і більше подібних підграфів gВ. В цьому відношенні третій,

четвертий і п’ятий підграфи подібні до першого, а шостий – подібний до

першого, дев’ятий – до восьмого. Серед чотирьох вершинних gВ другий

подібний до першого, а третій, четвертий і шостий подібні до п’ятого.

В результаті одержується шість графів (рис. 5.18).

101 65 82

79 68 80

Рис. 5.18

86

Всі одержані побудови виявилися правильними, так само, як і у

випадках 1(b) і 3(b).

Залишилося розглянути тепер граф h3 (рис. 5.19).

h3 =

Рис. 5.19

Комбінації з трьох вершин, на яких будується підграф gВ наступні:

(6, 8 ,10), (7, 8, 10) і (8, 9, 10). Одержано таку множину підграфів gВ:

{(6, 8), (6, 10)}, {(6, 10 ), (8, 10)}, [(6, 8), (8, 10)], {(8, 10), (8, 7)}, {(7, 8),

(7, 10)}, [(7, 10 ), (8, 10)], (8, 9), (8, 10)}, {(8, 10), (9, 10)}, [(8, 9 ), (9, 10)].

У зв’язку з наявністю двох пар подібних вершин (6, 9) і (8, 10) цей список

скорочуеться.

Легко встановити, що третій, сьомий і восьмий підграфи gВ подібні до

другого, а дев’ятий – до першого. Крім того, шостий подібний до четвертого

підграфу. В результаті залишаються чотири неподібні один до одного

підграфи. В чотирьохвершинних підграфах [(6, 10),(7, 8)], [(6, 8),(7, 10)],

{(6, 8),(9, 10)}, [(6, 10),(8, 9)], {(8, 9),(7, 10)}, [(7, 8),(9, 10)] всі парні підграфи

подібні до своїх лівих сусідів, а 7 – до другого.

В результаті одержуємо наступні графи (рис. 5.20).

80 67 18

87

68 101 68

Рис. 5.20

У підсумку три базових графи (h1, h2, h3) дозволяють побудувати 21

дерево Т, з них 9 повторюються. Залишаються 12, які відповідають переліку

на рис. 5.1 ( їх номери не взято в дужки ). Інші 7 ( які взято в дужки ) не

входять в жодну побудову. Це може бути достатньою умовою того, що для

них не існує бінарної Т-факторизації. Однак можливе безпосереднє

доведення, яке наводиться нижче.

Лема 5.1. Графи 15 і 19 не мають дводольної укладки.

Якщо існує дводольна укладка графу, то ребра підграфів gА

стягуються в одну точку. В якості вершини 1 можна взяти вершину зі

степенем 5. Тоді gА складається з трьох вершин і після стягування в долі А

залишаєтся 3 вершини, які можна зафарбувати кольором α. Стільки ж вершин

має бути в долі В, зафарбованих кольором β. Однак, як би не було обрано

два ребра, суміжні вершині зі степенем 5 у графі 19, завжди їм будуть

суміжні 4 вершини іншого кольору. А у графі 15 їм будуть суміжні 3

вершини, але якщо з ребер, що залишилися, взяти два ребра для gВ, то

залишиться тільки одна вершина для кольору α, що менше за необхідну

кількість.

Те, що вказані графи не мають дводольної укладки, означає, що графи

не мають біциклічної Т-факторизації. П’ять графів, що залишилися, мають

дводольну укладку, тому їх розглянуто окремо.

88

В усіх укладках, як було зазначено, вершиною 1 обрано вершину зі

степенем 5. Інші вершини долі А позначено a2, a3, a4 , a5 = (2, 3, 4, 5).

Аналогічно вершину 6 можна вважати суміжною з вершиною 1, а інші

вершини можна позначити b2, b3, b4, b5 = (7, 8, 9, 10). Нехай gА утворюють

ребра (1, a2), (1, a3).

Лема 5.2. Для будь-якої дводольної укладки графу справедливо

a4 + a5 ≡ 2(mod 5). (5.1)

В силу правильності вписування повинно бути

(1 - a2) ≡ (a3 - 1)( mod 5), або a2 + a3 ≡ 2(mod 5).

Очевидно, що a2 + a3 + a4 + a5 ≡4(mod 5). Якщо відняти від попередньої

нерівності останню нерівність, то одержується підтвердження

справедливості леми 5.2.

Далі розглянуто граф Т17 і його дводольну укладку (рис. 5.21).

Рис. 5.21

Очевидно, що до повної системи лишків міждолевих ребер не вистачає

двох чисел (b3 - 1)(mod 5) і (b5 - 1)(mod 5). Ці лишки повинні доставити ребра

(b3, a4) і (b5, a5). Таке можливо в двох випадках:

а) (b3 - 1) ≡ (b3 - a4)( mod 5);

Але це неможливо, бо тоді витікає завідомо невірна рівність a4 ≡1( mod 5).

б) (b3 - 1) ≡ (b5 – a5)( mod 5); (b5 - 1) ≡(b3 - a4)( mod 5).

Якщо додати ці рівності, то можна одержати: a4 + a5 ≡ 2( mod 5).

89

Але це заперечує умові леми 5.2, значить для Т17 не існує біциклічної Т-

факторизації.

Далі розглянуто наступний дерево-граф Т61 і його дводольну укладку

(рис. 5.22).

Рис. 5.22

Тут різницю (b5 - 1)( mod 5), якої не вистачало, повинно доставити одне

з ребер (a4 , b5,) або (a5, b5). Але тоді або a4, або a5 дорівнює 1, що

неможливо. Значить граф Т61 не має біциклічної Т-факторизації.

Розглянуто також укладку графів Т62, Т66 і Т78, що залишалися не

розглянутими (рис. 5.23).

Рис. 5.23

Для Т62 і Т66 доведення проводиться аналогічно, як і для графу Т17, а

для Т78 - точно так само, як і для Т61.

Тим самим повністю завершено доведення тверджень про існування та

неіснування біциклічних Т-факторизацій повних графів порядку n=10, що

мають вершину з найвищим степенем 5.

90

5.2. Розв’язок задачі для дерев з n = 14, що мають вершину степеня 7

У другому розділі з’ясовано, що кожне допустиме дерево з кількістю

вершин n=10 крім звичайної Т-факторизації обов’язково допускає біциклічну

Т-факторизацію. Результати побудов цих деревних факторизацій видно з

узагальнюючої таблиці (таблиця А.1), а також з попереднього підрозділу 5.1.

Це дає підстави сподіватися, що для дерев порядку n=4l+2 з кількістю

вершин n=14, для яких l=3, така властивість також притаманна.

У роботі [60] авторами сформовано повний список 3159 неізоморфних

дерев порядку n=14. Множину допустимих дерев, яких рівно 3081 дерево,

було розбито [57] на 6 класів Т[14,s], де s=2, ... , 7. Кожен такий клас

складається з дерев порядку 14, для яких найвищий степінь вершини ∆(Т)=s.

Автора дисертації зацікавив клас Т[14,7], який складається з 127 дерев

порядку 14 з найвищим степенем вершини ∆(Т) =7. Схеми цих дерев і їх

порядкові номери наведено у додатку В на рис. В.1.

В роботах [57, 70, 82] сформульовано і доведено ряд тверджень і

теорем про існування та неіснування біциклічних Т-факторизацій для дерев з

класу Т[14,7]:

1) якщо дерево Т допускає біциклічну Т-факторизацію для n=2k, то

вектор d(Т)=(d1, d2, … , dk), де di – кількість вершин степеня і у дереві Т, може

бути представлений у викляді суми двох таких векторів d1=( d1(1), ... , dk(1)) і

d2=( d1(2), ... , dk(2)) з невід’ємними цілими компонентами, що при j=1,2

виконуються співвідношення

d1(j)+ … + dk(j)=k,

d1(j)+ 2 d2(j)+… + kdk(j)=n-1;

2) якщо дерево Т з класу Т[14,7] допускає біциклічну Т-факторизацію,

то одна з вершинних орбіт групи {α} обов’язково включає 6 кінцевих вершин

базової компоненти і одну вершину найвищого степеня 7;

3) якщо дерево Т з класу Т[14,7] допускає біциклічну Т-факторизацію,

то справедливі співвідношення

91

d1≥m(T)+3 i m(T)≥3,

g(T)≤3 i d1=6+ m(T)-g(T), де

m(T) – кількість кінцевих вершин, суміжних з вершиною найвищого

степеня 7,

g(T) – кількість ребер у підграфі, породженому множиною вершин,

степені яких не дорівнюють 1 чи 7 (тобто вершин з проміжними степенями);

4) якщо для дерева Т з класу Т[14,7] виконується нерівність g(T)>3, то

не існує біциклічної Т-факторизації;

5) у класі Т[14,7] не менше 17 дерев не допускають біциклічних Т-

факторизацій;

6) рівно 91 дерево з класу Т[14,7] допускає біциклічні Т-факторизації.

Подальші дослідження проведено з урахуванням усіх сформульованих

умов існування та неіснування біциклічних Т-факторизацій для дерев з

загальною кількістю вершин n=14, які мають вершину степеня 7 і результатів

побудов наведених в [57].

Так само, за допомогою алгоритму побудови всіх базових компонент

біциклічної Т-факторизації для довільних значень n=4l+2 та методу

паралельного перенесення міждолевого ребра, можна виконати перебір усіх

графів, які допускають біциклічну Т-факторизацію повного графу з n=14, і

які мають вершину з найвищим степенем 7.

Для цього необхідно спочатку знайти базову множину підграфів долей

А та В - H = (h1, h2, …). Для тих графів, які не потрапили в цей перебір,

потрібно провести доведення про неіснуванння для них біциклічної Т-

факторизації.

Як відомо [57], для n=14 існують точно 11 можливих типів вершин

w(14)=11, а саме t1=(1600000); t2=(2410000); t3=(3220000); t4=(3301000);

t5=(4030000); t6=(4111000); t7=(4200100); t8=(5002000); t9=(5010100);

t10=(5100010); t11=(6000001).

Якщо через aj буде позначено число вершин типу tj у факторизації R, то

для n=14 справедливе співвідношення:

92

a1+ 2 a2+ 3 a3 + 3a4 + 4 a5 + 4a6 + 4 a7+5 a8+ 5 a9 + 5 a10 + 6 a11 = 7 d1

6a1+ 4 a2 + 2 a3 + 3a4 + a6 + 2 a7 + a10 = 7 d2

a2 + 2a3+ 3a5 + a6 + a9 = 7d3 (5.2)

a4 + a6 + 2 a8 = 7 d4

a7 + a9 = 7 d5

a10 = 7 d6

a11 = 7 d7

Неважко встановити, що визначник цієї системи дорівнює 0. Це видно з

підрахунку, який встановлює лінійну залежність рядків матриці системи.

Позначившии рядки римськими числами I, II, III, IV, V, VI, VII, можна

одержати таку залежність:

6∙I - II - 8∙III - 18∙IV - 22∙V - 29∙VI - 36∙VII = 0

Ця залежність у правій частині еквівалентна такій:

6d1= d2 + 8d3 + 18d4 + 22d5 + 29d6+ 36d7 . (5.3)

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (5.3) може мати декілька

розв’язків.

Для побудови базових компонент факторизації можна скористатися

дією алгоритму побудови базових компонент біциклічної Т-факторизації на

прикладі n=14 для тих дерев, які включають вершину з найвищим степенем

7. Як було доведено раніше у [57], ті дерева, що не мають вершини степеня 7,

легко факторизуються.

Тепер потрібно охарактеризувати вигляд підграфів gA(gB) з l ребер.

Для цього при n=14, k=7, l=3 необхідно правильно вписати 3 ребра.

93

1 1 1 1 1

7 2 2 2 7 7 7 2 7 2

=>

6 3 3 3 6 3 6 6 6

3

5 4 4 5 4 5 4 5 4 5

Рис. 5.24. Дія підстановки α1 для k=7

На рис. 5.24 показано утворення повного 7-вершинного графу.

Кожного разу утворюється рівно 3 нових ребра, а всього 7×3=21=C 2

7 , тобто

стільки, як у повного 7-вершинного графу.

Потрібно нагадати припущення, що вершина 1 належить підграфу gA з

найбільш можливим максимальним степенем. Тоді одержуєься список з 32

можливих варіантів підграфу gA. Наведено половину списку

gA= {(1, 2 ), (1, 3), (1, 4)}, {(1, 2 ), (1, 3), (1, 5)}, {(1, 2 ), (1, 3), (2, 5)},

{(1, 2 ), (1, 3), (2, 6)}, {(1, 2 ), (1, 3), (3, 6)}, {(1, 2 ), (1, 3), (3, 7)},

{(1, 2 ), (1, 3), (4, 7)}, {(1, 2 ), (1, 6), (1, 4)}, {(1, 2 ), (1, 6), (1, 5)},

{(1, 2 ), (2, 4), (1, 5)}, {(1, 2 ), (3, 5), (1, 4)}, {(1, 2 ), (3, 5), (1, 5)},

{(1, 2 ), (4, 6), (1, 4)}, {(1, 2 ), (4, 6), (1, 5)}, {(1, 2 ), (5, 7), (1, 4)},

{(1, 2 ), (5, 7), (1, 5)}.

Друга половина одержиться, якщо всюди зробити перетворення кодів

1→1, а інші yi= 9-xi.

Схематично всі можливі типи підграфів gА (gВ), що будуються в долі А та

в долі В для дерев з кількістю вершин n=14 можна представити так, як

показано на рис. 5.25.

Перший тип включає 3 ребра, інциндентних одній вершині (тобто ребра

пов’язують між собою 4 вершини), другий тип – два ребра інциндентних

одній вершині і одне окреме ребро (підграф включає 5 таких вершини) і,

відповідно, третій тип включає три окремих ребра ( 6 вершин ).

94

Рис. 5.25. Основні типи підграфів gА (gВ) для n=14

Розгляд підграфів розпочато з першого типу. Нехай вершині зі

степенем 7 присвоєно номер 1. Тоді інцидентні їй три ребра залишаються в

долі А (з них будується підграф gА), а інші чотири ребра стають

міждолевими. Одне з цих ребер (1, 8). Очевидно, що і підграф gА і підграф gВ

має один з типів на рис. 5.25. Тоді три інших ребра, що виходять з вершини

1, мають вид (1, b1), (1, b2) і (1, b3) де b1, b2 і b3 пробігають значення 9, 10, 11,

12, 13, 14. Одержується С 3

6 =20 варіантів, які потрібно помножити на кількість

підграфів gВ.

Крім того, необхідно розглянути всі варіанти підграфу gА. Пошук

починається для gА, розташованого на вершинах 1, 2, 3, 4. Нижче розписані

послідовно всі варіанти, що одержуються при побудові.

1. b1=9; b2=10; b3=11.

Міждолеві ребра утворюють різниці (8 - 1)≡0(mod 7), (9 - 1)≡1(mod 7),

(10 - 1)≡2(mod 7) і (11 - 1)≡3(mod 7). Необхідно, щоб ребра (5, х), (6, у) і

(7, z) утворювали різниці 4, 5 і 6.

Це дає такі дванадцять варіантів

{(5, 9), (6, 11), (7, 13) }, {(5, 9), (6, 11), (6, 12)}, {(5, 9), (6, 12), (7, 12)},

{(5, 9), (7, 12), (7, 13)}, {(5, 10), (6, 12), (7, 11)}, {(5, 10), (6, 10), (6, 12)},

{(5, 10), (6, 10), (7, 13)}, {(5, 10), (7, 11), (7, 13)}, {(5, 11), (6, 11), (7, 11)},

95

{(5, 11), (6, 10), (7, 12)}, {(6, 10), (6, 12), (7, 12)} і {(6, 10), (7, 12), (7, 13)},

які побудовано на рис. 5.26.

Рис. 5.26

96

Спочатку було розглянуто перший : {(5, 9), (6, 11), (7, 13)} (рис. 5.27).

Рис. 5.27

Підграф gВ будується на чотирьох вершинах. В нього не можуть увійти

дві вершини з 8, 9, 10, 11, бо тоді утворюється цикл, якого не може бути у

дереві. Значить в gВ входить одна з цих вершин і вершини 12, 13 і 14. Таким

чином одержуються такі підграфи gВ, як, наприклад {(10, 12),(10, 13),(13,

14)} (рис. 5.28).

Рис. 5.28

97

Використовуючи в якості базових основні типи підграфів gА (gВ) для

n=14, можна побудувати підграфи gВ на п’яти та на шести вершинах. Через

подібність пар вершин 8 і 10 та 9 і 11 деякі з цих підграфів утворюють

ізоморфні графи Т, а деякі підграфи роблять граф Т незв’язним.

Граф Т, зображений на рис. 5.28 відповідає дереву №120 з переліку

дерев порядку n=14, які мають вершину степеня 7 (рис. В.1). Цілком

ймовірним також є дублювання дерев з певними номерами.

2. b1=9; b2=10; b3=12.

При таких значеннях b1, b2, b3, міждолеві ребра утворюють різниці

(8 - 1)≡0(mod 7), (9 - 1)≡1(mod 7), (10 - 1)≡2(mod 7) і (12 - 1)≡4(mod 7).

Необхідно, щоб ребра (5, х), (6, у) і (7, z) утворювали різниці 3, 5 і 6. Ця

умова дозволяє побудувати такі варіанти підграфу gА із заданими

міждолевими ребрами {(1, 8), (1, 9), (1, 10), (1, 12)} та варіативними

міждолевими ребрами: {(5, 8), (5, 11), (6, 11)}, {(5, 8), (5, 11), (7, 12)},

{(5, 8), (6, 11), (6, 12)}, {(5, 8), (7, 12), (7, 13)}, {(5, 10), (6, 12), (7, 10)},

{(5, 10), (5, 11), (7, 10)}, {(5, 10), (7, 10), (7, 13)}, {(5, 10), (6, 9), (7, 13)},

{(5, 10), (5, 11), (6, 9)}, {(5, 11), (6, 9), (7, 12)}, {(5, 11), (6, 9), (6, 11)},

{(5, 11), (6, 11), (7, 10)}, {(6, 9), (6, 11), (7, 13)}, {(6, 9), (7, 12), (7, 13)},

{(6, 11), (7, 10), (7, 13)}, {(6, 11), (6, 12), (7, 10)}, тощо.

Дедалі зрозуміліше, що перебір всіх реберних списків вручну занадто

громіздкий. Тому доцільним є складання відповідної комп’ютерної

програми, але перед дисертантом таке завдання не ставилося.

ВИСНОВКИ ДО П’ЯТОГО РОЗДІЛУ

Даний розділ присвячено апробації розробленого методу для розгляду

біциклічної Т-факторизації повних графів Кn, де n=4l+2, деревами, які

включають вершину з найвищим степенем k=n/2.

98

У першому підрозділі розглянуто дію алгоритму побудови всіх базових

компонент біциклічної Т-факторизації для довільних значень n=4l+2 та

методу паралельного перенесення міждолевого ребра на прикладі n=10 для

тих дерев, які включають вершину з найвищим степенем k=5, та для яких

l=2. Розписані послідовно всі варіанти, що одержуються при побудові

підграфів з використанням методу паралельного перенесення міждолевого

ребра. Доведено теорему 5.1 про те, що базова множина вичерпує всі типи

можливих підграфів і з’ясовано, що, у підсумку, три базових графи h1, h2, h3,

схематичні зображення яких наведені нижче, дозволяють побудувати Т-

факторизацію повногор графу К10.

h1 = h2 = h3 =

Показано, що графи Т15, Т17, Т19, Т61, Т62, Т66 і Т78 не допускають

біциклічної Т-факторизації. Для теоретичного обґрунтування одержаних

шляхом побудови результатів, було доведено теорему і дві леми. Тим самим

завершено доведення тверджень про існування біциклічних Т-факторизацій у

графах з кількістю вершин n = 10, що мають вершину зі степенем 5.

У останньому підрозділі 5-го розділу розглянуто дію алгоритму на

прикладі повного графу з кількістю вершин n=14 для тих дерев, які

включають вершину з найвищим степенем 7. Згідно методу паралельного

перенесення міждолевого ребра і виключення ізоморфних дерев, які

виникають через подібність вершин у підграфі gВ, для порядку n=14

проведено дослідження і виконано побудови при b1=9; b2=10; b3=11.

Перебір виконано за умови, що різниці кодів складають повну систему

лишків по mod k, де k = n/2.

99

Таким чином теоретично доведено та практично показано на прикладах

десятивершинних та чотирнадцятивершинних повних графів, які мають

вершину з найвищим степенем відповідно 5 та 7, що запропонована

методика, основана на лишках по модулю та використанні паралельного

перенесення міждолевого ребра, дозволяє не тільки за допомогою

комп’ютерної програми, але і за допомогою низки логічних міркувань та

необхідних побудов, прорахувати всі можливі Т-факторизації для повних

графів Кn, де n = 4l+2 і l≥1, з великою кількістю вершин n.

100

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі отримано нові науково обґрунтовані

результати в області дискретної математики, зокрема теорії графів і її

застосувань, які являються об’єднанням теоретичних міркувань і доведень та

результатів практичних досліджень.

В пропонованій дисертації проаналізовано розробки і напрацювання за

перспективною темою існування та неіснування деревної факторизації

повних графів, розроблено нові підходи до розв’язання проблем і задач Т-

факторизації, розширено і поглиблено результати досліджень в напрямку

побудови базових компонент реалізуючих факторизацій, доведено

неіснування деревної факторизації деякими графами.

В підсумку проведеного дисертаційного дослідження одержано

наступні результати, на основі яких зроблено узагальнюючі висновки:

1. Вперше розглянуто різнорозмірні деревні розклади згідно їх первісної

класифікації: зіркові, ланцюгові, кометні, та розклади на подвійні зірки.

Складено список симетричних неізоморфних різнорозмірних

ланцюгових розкладів порядку 7 і одержано кількісні результати

переліку цих розкладів. Також одержано кількісні результати переліку

різнорозмірних кометних розкладів графу K7 та переліку

різнорозмірних розкладів графу K7 на подвійні зірки. Результати

досліджень представлено у таблицях.

2. Знайдено необхідні умови існування T-факторизацій та відповідні

достатні умови їх неіснування, які узагальнюють ідею Л. Байнеке про

те, що наявність у дереві вершин досить високих степенів часто

призводить до неіснування T-факторизацій.

3. Вперше сформульовано та доведено ряд тверджень, лем та теорем про

існування та не існування факторизацій для певних класів графів.

Розглянуто проблеми існування та неіснування факторизацій для таких

класів дерев, як 3-гусениці, r-регулярні та ярусно-регулярні дерева.

101

4. Складено та наведено таблицю, в якій відображено результати

розв’язування типової задачі Т-факторизації для повного

десятивершинного графу. В основу досліджень покладено задачу

Л.Байнеке, яка полягає в тому, щоб з’ясувати, для яких дерев існують

T-факторизації парного порядку. Для кожного номера дерева T порядку

n=10 в таблиці вказано можливі типи T-факторизацій, і для багатьох із

цих типів подано реалізуючі T-факторизації, які вдалося побудувати

авторові за допомогою комп’ютерної програми.

5. Вперше доведено існування деревної півобертової факторизації для

симетричних дерев непарних порядків та виконано побудови базових

компонент для графів з кількістю вершин від n=3 до n=17 включно.

Для n=15 і n=17 наведено по декілька компонент з усіх можливих. За

результатами досліджень складено таблицю з реберними списками цих

базових компонент півобертової деревної факторизації.

6. На основі доведених лем та теорем виявлено властивості біциклічної Т-

факторизації, які з одного боку, звужують необхідні умови до такого

рівня, що можна легко виявити графи, для яких не існує деревна

факторизація, а з іншого боку, дозволяють будувати Т-факторизацію

для графів, які її допускають.

7. Вперше введено поняття паралельного перенесення міждолевого ребра

та описано вигляд базової компоненти біциклічної Т-факторизації.

Створено алгоритм побудови базової компоненти біциклічної Т-

факторизації повного графу Кn, де n=4l+2, де l≥1 .

8. Розроблено метод, оснований на лишках по модулю та використанні

паралельного перенесення міждолевого ребра, для розгляду

біциклічної Т-факторизації повних графів Кn, де n=4l+2, деревами, які

включають вершину з найвищим степенем l (l≥1). Виконано та

наведено всі необхідні та можливі побудови дерев і виключено з них

ізоморфні дерева-дублікати.

102

9. Повніcтю розглянуто біциклічну факторизацію графу Кn з кількістю

вершин n=10 деревами, що мають вершину степеня 5, побудовано

можливі реалізуючі факторизації і виключено з них ізоморфні дерева.

10. Доведено, що ті графи, які не вдалося факторизувати за допомогою

розробленої методики, не мають біциклічної Т-факторизації. Всі

результати досліджень проілюстровано відповідними рисунками.

11. За допомогою алгоритму побудови всіх базових компонент біциклічної

Т-факторизації для довільних значень n=4l+2, де l≥1, та методу

паралельного перенесення міждолевого ребра, розпочато дослідження

повних графів з кількістю вершин n =14, які допускають біциклічну Т-

факторизацію і які мають вершину зі степенем 7. Перебір проведено за

умови, що різниці кодів складають повну систему лишків по mod k, де

порядок підграфу долі k = n/2.

12. Наведені в дисертаційній роботі теоретичні висновки і розробки

доведено до такого стану, коли на їх основі можна створювати і

застосовувати комп’ютерні програми для подальшого дослідження

біциклічної деревної факторизації повного графу Кn з великою

кількістю вершин n.

Хоча дослідження по розробці методів і алгоритмів розв’язування задач

розкладу повних графів на неізоморфні деревні компоненти, їх переліку та

побудови велися вже давно і мають значні результати, дисертанту вдалося

доповнити їх і розглянути нові підходи до Т-факторизації повних графів.

Таким чином, завдання дисертаційних досліджень виконане і мета цих

досліджень досягнута.