Ondas mecnicas Series de Fourier

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INTRODUCCIN AL ANLISIS DE FOURIER DE PULSOS Y SEALES.

1.1 Analoga entre vectores y seales. Recordando el concepto de proyeccin de un vector sobre otro tal y como se muestra en la Figura 1.1 se tiene

1 212

2

V VPV

=

Haciendo que esa proyeccin sea una parte de la magnitud de 2V

de tal forma que

12 12 2P C V=

Figura 1.1 Proyeccin de un vector sobre otro [J. Martnez, 2006]. donde 12C es el factor que ajusta la magnitud de 2V a valor de la proyeccin de 1V en 2V . Para el caso de que los vectores sean perpendiculares el valor de 12C ser cero. Igualando ambos resultados se llega a

1 2 1 212 2

2 2 2

V V V VCV V V

= =

Por otro lado, 1V

se puede expresar en funcin de 2V

a partir de la suma del vector definido por la proyeccin 12P y otro que se define como vector error y que es perpendicular a 2V

como se observa en la Figura 1.2, y que

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Figura 1.2 Componentes matemticamente se expresa como ortogonales

de un vector [J. Martnez, 2006]. 1 12 2 eV C V V= +

donde eV

ser el vector error. Si se quiere aproximar el vector 1V

mediante el vector en la direccin de 2V

, entonces eV

representa el error de la aproximacin. Si se tomaran componentes no perpendiculares como sumandos para obtener 1V

, el vector error eV

ser mayor de manera que cuando son perpendiculares el vector error es mnimo. Adems, el valor 12C Indica la similitud entre los vectores puesto que, si el vector error es cero, 1V

y 2V

tendrn la misma direccin y si el valor de

12 1C = , indica que los vectores son iguales. El caso contrario, cuando 12 0C = , que ya se mencion anteriormente, indica que los vectores son perpendiculares entre s conociendo a estos vectores como vectores ortogonales ya que son independientes uno del otro, esto es

12 1 2 1 2Si y y 0 0 son ortog .onalesC V V V V= =

En el caso de seales y considerando que una seal es una funcin univaluada en el tiempo y que, cuando se refiere en este captulo a una funcin se sobreentiende que es una seal, se tiene que cualquier seal ( )1f t se puede expresar a partir de otra seal ( )2f t como

( ) ( )1 12 2 1 2enf t C f t t t t<

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obteniendo una nueva analoga entre vectores y seales. Si se desea reducir al mnimo el error y dado que es una funcin del tiempo, ser necesario que el valor promedio del error se aproxime a cero. Esto presenta el problema que para las funciones alternas su valor promedio es cero lo que no implica que el error lo sea. Para evitar esto, se toma el cuadrado de la funcin error y se determina su valor promedio de ella definida como , es decir

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ){ }

2 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2

1 12 22 1 2 1

2 221 12 1 2 12 2

2 1

1 1

1 2

t t

et t

t t t

t t t

f t dt f t C f t dtt t t t

f t dt C f t f t dt C f t dtt t

= = =

= +

El valor de 12C se puede determinar al reducir el valor de al mnimo de manera

que su derivada respecto a 12C sea cero, o sea 12

0dd C

= . Como el primer trmino

no est en funcin de 12C , su derivada es cero y queda

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( )

12 2

1

2

21 2

1 2

12 2

2

12 22 1

1 0 2 2 0t t

t t

t

tf t f t d t C f t df t f t dt

Cf t d

tt t t

+ = =

que es anloga a la respuesta en vectores. A partir de estas analogas entre vectores y seales, es posible expresar que ( )1f t tiene una componente de forma de onda ( )2f t y que la componente tiene una magnitud 12C . Si se anula 12C ( 12 0C = ), entonces la seal ( )1f t no tiene componente en la seal ( )2f t y se dice que las funciones son ortogonales en el

intervalo ( )1 2,t t . Por tanto, para que 12 0C = se requiere que ( ) ( )2

11 2 0

t

tf t f t dt = por

lo que, para que ( )1f t y ( )2f t sean ortogonales es necesario que cumpla dicha condicin.

En general, para que dos funciones con valores reales ( )u t y ( )v t sean ortogonales en el intervalo [a,b] deben satisfacer la condicin

( ) ( ) 0b

au t v t dt =

siendo esta expresin anloga a la obtenida para vectores.

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1.2 Algunos ejemplos de funciones ortogonales. Antes de ver algunos ejemplos de funciones ortogonales se requiere definir algunos conceptos como la continuidad por partes, su periodicidad y la simetra par o impar de una funcin. Se define una funcin continua por partes en [a,b] como una funcin ( )f t que es continua en cada punto [a,b], excepto posiblemente para un nmero infinito de puntos donde ( )f t tiene una discontinuidad de salto pero que, al subdividir el intervalo [a,b] en una cantidad finita de subintervalos adyacentes de modo que: 1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y 2. ( )f t tenga un lmite finito cuando t tienda a cada extremo de cada subintervalo desde el interior de ste.

Tal es el caso de la funcin escaln, tal como se puede ver en la Figura 1.3, donde tiene un lmite finito por la derecha o por la izquierda dado por

Figura 1.3 Funcin escaln [J. Martnez, 2006].

Una funcin es peridica con periodo T si ( ) ( )f t T f t+ = para toda t en el dominio de f . El valor menor positivo de T se llama periodo fundamental.

Una funcin f que satisface ( ) ( )f t f t = para toda t en el dominio de f se denomina funcin par y es simtrica respecto al eje perpendicular a t como se aprecia en la Figura 1.4 (a). Una funcin f que satisface ( ) ( )f t f t = para toda t en el dominio de f se denomina funcin impar y es simtrica respecto al origen como se muestra en la Figura 1.4 (b).

( )0 para 01 para 0

{ tu tt