Ondas mecánicas

1 Marcos Guerrero

Una onda es una perturbación que propaga energía (la energía que propaga es proporcional a la amplitud y la frecuencia al cuadrado) y momento lineal a través de un medio. Las ondas no propagan materia.

Las ondas se pueden clasificar en dos tipos: ondas mecánicas y ondas electromagnéticas.

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¿Qué es una onda?

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¿Qué es un pulso?

Es una perturbación que se da en un medio.

El pulso ondulatorio transfiere energía y momento

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¿Qué es una onda progresiva u onda viajera? Es una perturbación repetitiva que viaja desde la fuente que la creó y transfiere energía y momento de un punto a otro . Cuando la perturbación se repite en forma periódica se denomina onda progresiva u onda viajera.

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¿Qué es una onda electromagnética?

Las ondas electromagnéticas son aquellas que no necesitan de un medio de propagación; es decir, se pueden transmitir hasta en el vacío. Estas ondas se generan por la oscilación de partículas cargadas que generan campos eléctricos y magnéticos que oscilan en el espacio.

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¿Qué es un frente de onda?

Un frente de onda es una superficie que viene dada por la cresta de la onda y todos los puntos de la cresta de la onda se encuentran en fase. Hay frentes de ondas planos y esféricos.

¿Qué es un rayo? Un rayo es una línea imaginaria perpendicular al frente de onda, e indica la dirección de propagación de la onda.

Frentes de onda y rayos

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Los rayos muestran la dirección del viaje de la energía. Los frentes de onda son cuando las crestas de las ondas son... Los rayos están siempre a 90° de los frentes de onda.

rayos

Frentes de onda

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¿Qué es una onda mecánica? Las ondas mecánicas son aquellas que necesitan de un medio para propagarse; es decir, a diferencia de las electromagnéticas, no pueden propagarse en el vacío. A su vez, este tipo de ondas se subdivide en otros dos más: ondas transversales y longitudinales.

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Las ondas transversales son aquellas cuyas partículas oscilan en dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

¿Qué es una onda transversal?

Dir

ecci

ón d

e vi

brac

ión

Dirección de propagación

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¿Qué es una onda longitudinal? Las ondas longitudinales son aquellas cuyas partículas oscilan en dirección paralela a la dirección de propagación de la onda.

Dirección de vibración

Dirección de propagación

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En una onda longitudinal, la cresta de la onda se denomina compresión, mientras que el valle de la onda se denomina expansión o rarefacción. La compresión coincide con el momento en que existe mayor presión (mayor densidad), mientras que la rarefacción coincide con el momento en que existe una menor presión(menor densidad).

Ondas transversales vs. longitudinales

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E n l a s o n d a s t rans ver sa l e s e l desplazamiento de las partículas de la onda es perpend i cu l a r a l a d i r e c c i ó n d e propagación de la onda.

E n l a s o n d a s l ong i tud ina les e l desplazamiento de las partículas de la onda e s p a r a l e l o a l a d i r e c c i ó n d e propagación de la onda.

Des

pala

zam

ient

o Dirección

Dirección

Desplazamiento

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Características de las ondas

Cualitativas

Cresta

Valle

Compresión

Rarefacción

Cuantitativas

Amplitud

Amplitud de Presión

Longitud de onda

Periodo

Frecuencia

desplazamiento

Rapidez de propagación

Intensidad

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Características Cualitativas de las ondas

Ondas longitudinales

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Compresiones y rarefacciónes

Ondas transversales

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Crestas

Valles

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21

Características Cuantitativas de las ondas

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¿Cómo se mide el desplazamiento de una partícula de la onda?

Es el cambio de posición (desplazamiento) que una partícula de la onda tiene con respecto a su posición de equilibrio (es medida en m).

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23 ¿Qué es amplitud?

La gráfica y vs. x muestra el movimiento de todas las partículas que pertenecen a la onda en un instante de tiempo, mientras la gráfica y vs. t muestra el movimiento de una partícula que pertenece a la onda en una posición específica

Máximo desplazamiento hacia arriba o hacia abajo que tiene una partícula de la onda con respecto a su posición de equilibrio (es medida en m).

¿Cuál es la diferencia entre las gráficas y vs. x y y vs. t?

Gráficos de desplazamiento

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25

¿Qué es el periodo (T)? Es el tiempo que le toma una partícula de la onda en realizar una oscilación completa (es medida en s).

ntT =

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26 Ing. Marcos Guerrero

¿Qué es la frecuencia (f)? Es el número de oscilaciones que le toma a una partícula por unidad de tiempo (es medida en ).

tnf =

Tf 1=

1−= sHz

La frecuencia y el sonido � El tono del sonido depende de la frecuencia. � A frecuencias bajas corresponden sonidos graves. � A frecuencias altas corresponden sonidos agudos.

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27 Hz 100 Hz 200 Hz 440 Hz 1000 Hz 3000 Hz

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¿cómo se determina la longitud de onda en una onda longitudinal?

¿Qué es la longitud de onda (λ)? Es la distancia mínima entre dos puntos sucesivos que se encuentran en fase (es medida en m).

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¿Qué es la rapidez de propagación de una onda (Vx)? Es la rapidez con la que se propaga la onda (es medida en ). 1−ms

txVX

Δ= f

TVX λ

λ==

Importante: la rapidez de propagación de una onda depende de las características del medio

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Problema

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31

Solucion

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32

Problema

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33

Solucion

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34

Descripción Matemática de una onda

Función de onda Si conocemos la función para cierto movimiento ondulatorio, podemos usarla para calcular el desplazamiento, de cualquier partícula en cualquier instante.

ftAtAtxy πω 2coscos),0( ====

),( txyy =

)](cos[),(uxtAtxy −= ω

Supongamos que el desplazamiento de una partícula en el extremo izquierdo del hilo (x=0), donde la onda se origina esta dado por:

La onda viaja a la derecha en un tiempo dado por x/v, donde v es la rapidez de la onda

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Dado que podemos reescribir la función de onda así: )cos()cos( θθ =−

y(x, t) = Acos2π f ( xv− t)

Onda senoidal que avanza en la dirección +x

De forma general escribimos a la ecuación de la onda:

)][(2cos),(TtxAtxy −=

λπ

Expresamos a la ecuación en términos de periodo y de la longitud de onda

fT /1=fv /=λ

Onda senoidal que se mueve en la dirección +x

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Obtenemos otra forma útil de la función de onda si definimos una

cantidad k llamada número de onda:

λπ2

=k

Sustituyendo y en la relación , obtenemos: k/2πλ = πω 2/=f fv λ=

]cos[),( tkxAtxy ω−=

Onda senoidal que se mueve en la dirección +x

Cualquiera de estas formas de función de onda, se usan dependiendo de problema en cuestión y por comodidad.

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y(x, t) = Acos[kx ±ωt +ϕ ]

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Problema

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39

Solucion

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41

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42

Velocidad de partículas en una onda senoidal La velocidad de una onda senoidal la obtenemos al derivar la función de onda con respecto a T:

]cos[),( tkxAtxy ω−=

][),(),( tkxAsenttxytxVy ωω −=

∂

∂=

En esa expresión es una d modificada para recordarnos que y(x,t) es una función de dos variables y que solo estamos permitiendo que una de ellas (t) varié.

∂

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Aceleración de partículas en una onda senoidal La aceleración de cualquier partícula es la segunda derivada parcial de y(x,t) respecto a t:

]cos[),( tkxAtxy ω−=

2

2 ),(),(ttxytxay ∂

∂=

][),( 2 tkxAsentxay ωω −−=

),(),( 2 txytxay ω−=

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Ecuación de la onda Es una de las mas importantes en física, siempre que ocurre, sabemos que una perturbación puede propagarse como onda a lo largo del eje x con rapidez v.

),()cos(),( 222

2

txyktkxAkxtxy

−=−−=∂

∂ω

22

2

22

22

/),(/),( v

kxtxyttxy

==∂∂

∂∂ ω

2

2

22

2 ),(1),(ttxy

vxtxy

∂

∂=

∂

∂

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Problema

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47

Solución

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48

Rapidez de una onda transversal Factores que determinan la rapidez de las ondas transversales en una cuerda:

•  La tensión de la cuerda. •  Su masa por unidad de longitud. (Densidad de masa lineal).

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49 Rapidez de una onda en una cuerda.

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Finalmente, despejando V, obtenemos:

uFV = Rapidez de una onda

transversal en una cuerda

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51

Problema

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52

Solución

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53

Problema

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54

Solución

55 LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA

Cada sección de la cuerda (masa Δm) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda.

Consideremos una onda transversal en una cuerda.

Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico.

x x

mΔA

A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento Δm en la posición fija x0

( )φω +±= txkAy cos 0

Puesto que en un punto fijo k.x0 ie constante, podemos escribir que ( )δω += tAy cos

Esta es la ecuación del movimiento armónico descrito por el elemento de masa Δm. La frecuencia angular de ese movimiento es ω.

Recordemos que la energía de una masa Δm en un movimiento armónico de frecuencia angular ω y amplitud A está dada por

0x

( )2 21

ωAmE ⋅Δ=Δ

Velocidad máxima

Sea µ la masa de la cuerda por unidad de longitud Δx xm Δ⋅=Δ µ

xAE Δ=Δ 21 22 ωµ

tvx Δ⋅=Δ

tvAE Δ=Δ 21 22 ωµ

Potencia transmitida por la

onda 21 22 vA

tEE ωµ=Δ

Δ=!

Unidades: Julio/s = watio

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22max AFP ωµ=

22

21 AFPmed ωµ=

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Problema

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58

Solución

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59

Intensidad de las ondas Definición:

Para ondas que viajan en tres dimensiones, definimos su intensidad (denotada con I) como la rapidez media con que la onda transporta energia, por unidad de área, a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación.

)/( 2mW

Si la potencia desarrollada por la f u e n t e e s P, e n t o n c e s l a intensidad media , en una esfera con radio y superficie es:

1r14 rπ

11 4 r

PIπ

=

1I

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La intensidad es una esfera con diferente radio esta dada por una expresión similar. Sino se absorbe energia las dos esferas, la potencia P deberá ser la misma en ambas así que:

2r2I

2221

21 44 IrIr ππ =

21

22

2

1

rr

II=

Simplificando:

“Ley del inverso cuadrado para la intensidad”

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Problema

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Solución

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Interferencia de ondas y Condiciones de frontera

Interferencia en ondas: Existe un traslape es decir, dos o mas ondas pasan por la misma región al mismo tiempo

Las condiciones de frontera, se l a s d a e n e l extremo de a cuerda, como un soporte rígido o la ausencia total de fuerza transversal.

Figure 11-33 A wave reaches a discontinuity.

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Principio de superposición “El desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento que tendría el punto si solo estuviera presente la primera onda, con el que tendría si solo estuviera presente la segunda onda”

),(),(),( 21 txytxytxy +=

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Ondas estacionarias en una cuerda Es una onda que no parece estarse moviendo a lo largo de la cuerda.

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Figure 11-40 Standing Waves on a Plucked String

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Interferencia constructiva

Interferencia destructiva En un nodo, donde los desplazamientos son siempre iguales y opuestos, se cancelan.

En un nodo, donde los desplazamientos son siempre idénticos, dando un desplazamiento resultante grande.

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La función de onda para la onda estacionaria es la suma de las funciones de onda individuales:

),(),(),( 21 txytxytxy +=)]cos()cos([),( tkxtkxAtxy ωω −++−=

Podemos replantear los términos coseno usando las identidades para el coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos, de esta forma obtenemos:

tsenAsenkxtxy ω)2(),( =

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Nodos de una onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en x=0.

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Problema

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75

Solución

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Las ecuaciones referidas en el problema, son del Sears Zemansky, Volumen 1, 12ava edición.

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Problema

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78

Solución

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Modos normales de una cuerda Cuerda fija en ambos extremos

...)3,2,1(;2

== nnL λ

Denotando a los posibles valores de con tenemos:

...)3,2,1(;2== n

nL

nλ

nλλ

Frecuencia fundamental

,...)3,2,1(2 1 === nnfLvnfn

Estas frecuencias se llaman armónicos, y la serie es una serie armónica.

µF

Lf

21

1 =Donde,

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Modo normal Es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia

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Problema

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82 Solución