pendekatan regresi untuk analisis variansi · dilakukan dengan menggunakan metode analisis variansi...

1

PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

DWI NOVIATI

NIM : 993114020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4

Cita-cita adalah semangat hidup

karena hidup tanpa cita-cita bagaikan menghitung bintang di langit

Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena, dan laut

menjadi tinta, ditambahkan kepadanya tujuh laut lagi sesudah keringnya,

niscaya tidak akan babis-habisnya dituliskan kalimat Allah.

Sesungguhnya Allah Maha Perkasa Lagi Maha Bijaksana.

( Surat luqman, ayat 27 )

Kupersembahkan karya ini untuk :

Tuhan Y.M.E Ayah ( Alm ) dan Ibu sebagai tanda cinta dan wujud baktiku

Almamater tercinta


5

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesugguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan

daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, ……………………...

Penulis

Dwi Noviati


6

ABSTRAK

Pengujian hipotesis dua nilai rata-rata dilakukan dengan menggunakan uji z dan uji t. Namun bila terdapat tiga atau lebih nilai rata-rata maka pengujian dilakukan dengan menggunakan metode Analisis Variansi (ANOVA). ANOVA adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. Model umum ANOVA klasifikasi satu arah adalah ijiijy εαμ ++= . ANOVA dapat diselesaikan dengan pendekatan regresi, yaitu membawa model ANOVA kedalam model regresi dengan menggunakan variabel boneka. Pengunaan variabel boneka bertujuan untuk merubah data yang bersifat kualitatif menjadi kuantitatif, karena dalam ANOVA ada perbedaan sifat variabel. Variabel tak bebas bersifat kuantitatif dan variabel bebas bersifat kualitatif. Sedangkan dalam regresi antara variabel bebas dan variabel tak bebas, keduanya bersifat kuantitatif.


7

ABSTRACT

The hypothesis testing of two mean values is done by using the z-tests and t-tests. But if there are three or more mean values then the testing is done by using Analysis of Variance (ANOVA). ANOVA is a method to descript the total variance of the data into some components coming from many sources of variance. The common model of one way classification ANOVA is

ijiijy εαμ ++= . ANOVA can be done by regression approach. Which is bringing the ANOVA model into the regression model by using dummy variables. The aim of using dummy variable is change the qualitative variable into quantitative, unlike in ANOVA, the independent variable and the dependent variable, both are quantitative.


8

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas

rahmat, kasih, dan karuniaNya, sehingga penyusunan skripsi yang berjudul

“Pendekatan Regresi Untuk Analisis Variansi” dapat diselesaikan..

Dalam menulis skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis

hadapi. Namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya dapat

terselesaikan. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-

besarnnya kepada :

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc sebagai dosen pembimbing skripsi

yang telah meluangkan waktunya dengan kesabarannya membantu dan

membimbing penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Romo Dr. Frans. Susilo, SJ. selaku dosen pembimbing akademik.

3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Matematika

FMIPA USD Yogyakarta.

4. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si dan ibu Enny Murwaningtyas,

S.Si, M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih atas kritik, saran, dan

masukkan serta bimbingan selama menyelesaikan revisi.

5. Ibu Dra Maria Agustiani, M.Si. (Alm) yang telah memberi dorongan dan

semangat selama perkulihan.

6. Ibu dan bapak dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang sangat

berguna bagi penulis.

7. Ibu Suwarni dan mas Tukijo atas pelayanan administrasi yang diberikan

selama penulis menjalani kuliah dan dalam penulisan skripsi ini.


9

8. Ayah (Alm) dan ibu tercinta, terimakasih atas kasih sayang, doa,

dukungan moral dan material yang diberikan selama ini.

9. Terimakasih untuk adik-adikku lina, Erna, Bayu, ika, dini dan jepri yang

memberiku semangat yang tiada henti-hentinya selama ini.

10. Sahabat-sahabat terbaikku : Ria, vivin, Chres, Vera, terimakasih atas doa,

dukungan, dan tidak bosan-bosannya memberiku semangat.

11. Teman-teman seperjuanganku angkatan “99 : Apri, Nana, Desi, Yoslin,

Eny, Yuda, Wondo, Antok, Hebby, Nia, Thomas, Delisa, Sigit, Mike,

Andri, Alie, Catur, Ice, Wiwid, Johan, Naga, Nadi, Tanto, Yuli, Karlo,

terimakasih atas kebersamaannya selama ini.

12. Semua angkatan “98, “00 dan “01. Buat Ajeng, very, makasih atas doa dan

dukungannya selama ini.

13. Teman-teman kostku : Iin, Ita, Silvi, Tiyas, Valen, elly, Diah, Nety,

terimakasih atas persahabatan yang indah selama ini.

14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Meskipun

demikian, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi

bagi pembaca.

Yogyakarta, ………………

Penulis


10

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………… ii

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………… iii

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………… iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………… v

ABSTRAK ………………………………………………………………… vi

ABSTRACT ………………………………………………………………… vii

KATA PENGANTAR ……………………………………………………… viii

DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. x

DAFTAR TABEL …………………………………………………………... xiii

DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………... xiv

BAB I PENDAHULUAN …………………………………………….. 1

A. Latar Belakang Masalah …………………………………… 1

B. Perumusan Masalah ………………………………………... 2

C. Pembatasan Masalah ……………………………………… 3

D. Tujuan Penulisan …………………………………………… 3

E. Manfaat Penulisan ………………………………………… 3

F. Metode Penulisan ………………………………………… 3

G. Sistematika Penulisan ……………………………………… 4


11

BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………...... 5

A. Analisis Variansi …………………………………………… 5

1. Distribusi F …………………………………………… 6

2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah ………………… 10

3. Analisis Variansi Kasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi … 18

4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi 28

5. Contoh Analisis Variansi ………………………………… 41

B. Analisis Regresi …………………………………………….. 44

1. Regresi linier Sederhana ………………………………… 44

2. Metode Kuadrat Terkecil ……………………………….. 46

3. Regresi Berganda ………………………………………… 51

4. Pengujian Hipotesis ……………………………………… 55

C. Matriks Tak Singular………………………………………… 56

BAB III PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI… 59

A. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Satu Arah …………… 60

B. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah tanpa

Interaksi ……………………………………………………. 65

C. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah dengan

Interaksi …………………………………………………… 70

BAB IV APLIKASI PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS

VARIANSI … ………………………………………………….. 75

A. Tingkat Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan 75

B. Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam ………… 80


12

BAB V KESIMPULAN ………………………………………………… 87

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………… 88

LAMPIRAN ………………………………………………………………… 89


13

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Klasifikasi Satu Arah dengan k Sempel Pengamatan …………... 10

Tabel 2.2 Analisis Variansi Satu Arah …………………………………… 17

Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan Per Sel ……….. 18

Tabel 2.4 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi …………………… 27

Tabel 2.5 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan Per Sel…… 28

Tabel 2.6 Analisis Variansi Dua Arah dengan Interaksi…………………… 39

Tabel 2.7 Hasil Perbandingan Tiga Varietas Kentang dengan Empat Lokasi 41

Tabel 2.8 Anlisis Variansi dari data tabel 2.7 …………………………… 43

Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk Regresi linier Sederhana ……………… 50

Tabel 2.10 Analisis Variansi untuk Regresi Berganda …………………… 55

Tabel 4.1 Tingkat Sisa Kerusakan otak selama Proses Penyembuhan …… 75

Tabel 4.2 Analisis Variansi dari data tabel 4.1 …………………………… 79

Tabel 4.3 Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam …………… 80

Tabel 4.4 Analisis Variansi dari data tabel 4.3 …………………………… 86


14

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 ………………………………………………………………… 89

Lampiran 2 ………………………………………………………………… 93

Lampiran 3 ………………………………………………………………… 101


15

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran atau pemencaran nilai.

Variansi dapat menggambarkan tingkat atau taraf keberagaman antar nilai.

Variansi bersama dengan rata-rata banyak digunakan untuk menentukan

kesimpulan mengenai populasi, melalui pendugaan dan pengujian hipotesis

parameter. Variansi dari sekumpulan data menggambarkan derajat perbedaan atau

variasi nilai yang ada dalam kelompok yang diperoleh dengan menghitung rata-

rata dari kumpulan data tersebut.

Pengujian kesamaan rata-rata dari dua populasi dengan menggunakan

sampel bebas, adalah dengan menggunakan uji z dan uji t. Uji z digunakan untuk

menguji hipotesis mengenai rata-rata dari populasi normal, dengan sampel lebih

dari 30 serta variansi populasi diketahui. Uji t digunakan untuk menguji hipotesis

mengenai rata-rata dari dua populasi dengan sampel kurang dari 30 dan variansi

populasi tidak diketahui. Pengujian hipotesis dengan uji z dan uji t hanya terbatas

pada dua populasi saja. Jika lebih dari dua populasi maka menjadi tidak efisien

karena:

1. Harus melalui pengujian tiap-tiap pasang sebanyak dua kombinasi k

populasi )(2 kC .

2. α akan semakin meningkat karena pengujian harus dilakukan tiap-tiap

pasang populasi yang mungkin.


16

Sekarang bagaimana menguji atau membandingkan dua atau lebih rata-rata

populasi secara bersamaan atau simultan. Untuk melakukan pengujian secara

simultan tersebut digunakan metode lain yang disebut analisis variansi (ANOVA).

Uji Statistik dalam analisis variansi menggunakan distribusi F.

Namun analisis variansi dapat juga diselesaikan melalui pendekatan

regresi. Analisis variansi dan analisis regresi digunakan untuk menyatakan

hubungan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas. Dalam analisis regresi

variabel tak bebas dan variabel bebas bersifat kuantitatif. Sedangkan dalam

analisis variansi, variabel tak bebas bersifat kuantitatif, tetapi variabel bebasnya

bersifat kualitatif. Variabel kualitaif adalah variabel yang tidak memungkinkan

dilakukannya pengukuran numerik. Pengamatannya berupa memasukkan suatu

kriteria kedalam satu dari beberapa kategori yang saling terpisah. Pengamatan –

pengamatan tersebut tidak dapat diurutkan secara berarti ataupun diukur, hanya

diklasifikasikan. Agar dapat dilakukan perhitungan maka variabel yang sifatnya

kualitatif diubah lebih dahulu kebentuk yang bersifat kuantitatif. Analisis variansi

dengan variabel bebas bersifat kualitatif, dapat diselesaikan melalui pendekatan

regresi yang variabel bebasnya bersifat kuantitatif, dengan menambahkan variabel

boneka (Dummy variable).

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :

1. Bagaimana menyusun model ANOVA dengan menggunakan model regresi?

2. Bagaimana menerapkan model regresi untuk ANOVA pada analisis data?


17

C. Pembatasan Masalah

Pada skripsi ini akan dibahas bentuk-bentuk analisis variansi dengan efek

tetap saja. Asumsi-asumsi yang mendasari analisis regresi tidak diuji karena pada

penulisan skripsi ini hanya menggunakan metodenya saja. Sedangkan mengenai

matriks tak singular, teorema yang mendukung tidak dibuktikan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulis menyusun skripsi ini adalah untuk:

1. Menyusun model regresi melalui data yang berasal dari analisis variansi.

2. Melakukan pengujian hipotesis rata-rata dengan menggunakan pendekatan

regresi.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan ini adalah untuk memperdalam analisis variansi dan

analisis regresi, serta mengetahui bahwa ANOVA dapat diselesaikan dengan

menggunakan analisis regresi.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka,

yaitu dengan mengumpulkan bahan dan mempelajari bahan atau buku-buku yang

berkaitan langsung dengan topik tulisan yang dibicarakan, sehingga penulis dapat

memahami lebih lanjut tentang topik tersebut.


18

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam pembahasan mengenai pendekatan regresi

untuk analisis variansi adalah sebagai berikut:

Bab I pendahuluan memberi gambaran umum mengenai isi skripsi

meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan

penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

Bab II membahas tentang landasan teori meliputi distribusi F , bentuk-

bentuk analisis variansi, analisis regresi dan matriks tak singular.

Bab III membahas tentang pendekatan regresi untuk analisis variansi

dengan masing-masing bentuk klasifikasinya serta pengujian hipotesis.

Bab IV berisi tentang aplikasi pendekatan regresi untuk analisis variansi

dengan menggunakan data.

Bab V berisi tentang kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya.


19

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Analisis Variansi

Analisis variansi (ANOVA) adalah suatu metode untuk menguraikan

keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai

sumber keragaman. Dasar pengujian yang digunakan didasarkan pada distribusi F.

Distribusi F digunakan untuk menguji :

1. Apakah dua sempel berasal dari populasi dengan variansi yang sama.

2. Membandingkan dua atau lebih rata-rata populasi secara simultan.

Dalam ANOVA memerlukan syarat-syarat berikut:

1. Populasi-populasi yang diteliti memiliki distribusi normal.

2. Populasi-populasi tersebut memiliki standar deviasi yang sama atau

variansi yang sama.

3. Sampel yang diambil dari populasi tersebut bersifat bebas dan sampel

yang diambil secara acak.

Dalam ANOVA akan dibandingkan keragaman yang ada di antara kelompok dan

keragaman yang ada di dalam kelompok itu sendiri. Apabila keragaman di antara

kelompok lebih besar dari pada keragaman di dalam kelompok, maka populasi-

populasi tersebut mempunyai rata-rata yang berbeda.

Selanjutnya dibahas terlebih dahulu distribusi F yang merupakan landasan

pengujian variansi, kemudian dilanjutkan dengan model analisis variansi.


20

1. Distribusi F

Distribusi F didefinisikan sebagai distribusi dari perbandingan dua

variabel random Chi-square yang saling bebas, masing-masing dibagi dengan

derajat bebasnya. Statistik F dapat ditulis sebagai

2

1

rVrUF = .

U dan V menyatakan variabel random bebas, masing-masing berdistribusi Chi-

square, dengan derajat bebas 1r dan 2r .

Teorema 2.1

Misalkan dua variabel random Chi-square yang saling independent u dan v yang

mempunyai derajat bebas 1r dan 2r .

2

1

rVrU

F =

Variabel random F dikatakan memiliki distribusi F dengan derajat bebas 1r dan

2r bila fungsi densitasnya :

( )( )

( ) ( )( )

selainnya,

w,

rwr

wrr

rrrr

wg rr

)r(r

0

0

122

2

2

2

1

22

21

22121

1 21

1

1

=

∞

21

( ) ( )selainnya

vuvuvurr

vuhrr

rr

,0

0,0,2

)(exp222

1),( 2)2(

2)2(

2)(21

21

21

=

∞

22

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

=−−−

−∞

+∫2

122

22

222

2

2

1

02

21

2111

212221

rzr)z()w()z(

rr

rr

)r()r()r()r(

/rr

dzrwrzexp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 1

2 21

( ) ( ) ( ) )z()z()z()w(rzr

rr

rr

)r()r()r()r(

/rr2

22

22

2

2

12

2

2

1

02

21

2111

212221 −−−

−∞

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

= ∫

dzrwrzexp ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 1

2 21

( ) ( ) ( ) dzrwrzexp)z()w(

rr

rr

)rr()r(r

/rr⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

=−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞

+∫ 122221

2

122

222

2

1

02

21

2111

21

( )

( ) ( )dz

rwrzexpz

rr

)w(rr )rr()rr(

rr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΓΓ

= ∫∞ −+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12

222 21

0

22

221

22

22121

21

11

Jika variabel integrasinya diubah dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

2 21

rwrzy , dapat diperlihatkan

bahwa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

2 21

rwrzy maka

1

1

1 12−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

rwryz

sehingga dyrwrdz

1

2

1 12−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

masukkan kedalam persamaan berikut

( )

( ) ( )( ) dy

rwrzz

rr

wrrwgrr

rr

rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΓΓ= ∫

∞ −+

+

−

12

exp222

)()(2

1

0

2)2(

2)(

21

2)2(

2211

21

21

11

maka persamaannya akan menjadi


23

( )

( ) ( )dy

rwrzz

rr

wrrwgrr

rr

rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΓΓ= ∫

∞ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+

−

12

exp)(222

)()(2

1

0

22

2)(

21

2)2(

2211

21

21

11

= ( )

( ) ( ) 2)(

21

2)2(

22121

11

222

)(rr

rr

rr

wrr+

−

ΓΓ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

0

22

1

2

1

21

12

rr

rwry

( ) dyrwryexp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−1

2

1 12

( )

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ= ∫

22

1

2

1

0

22

22

221

22

221

21

2121

21

11

12222

rrrrrr

)rr(

)r(r

rwry

rr

)w(rr

( ) dyrwryexp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−1

2

1 12

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+

− 1

2

12

21

2

122

221

22

221 1212222

21

21

21

11

rwr

rwr

rr

wrrrr

rr

)rr(

)r(r

( )dyyexpyrr

−∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

0

2221

( ) ( )

( ) ( )

1

2

1

1

2

12

2

112

221

22

221 121122222

2121

21

11 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ=

rwr

rwr

rwr

rr

wrrrr

rr

)rr(

)r(r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+Γ 1

2221 rr

( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +Γ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

21

2221

2

2

1

21

2)2(

221

2111

rrrwr

rrwrr

rrrr


24

( )

( ) ( )( )

selainnya

w

rwr

wrr

rrrr

rr

rr

,0

0,

122

2

2

2

1

2)2(

21

22121

21

1

1

=

∞

25

Dimana

.iT = Total semua pengamatan sampel dari populasi ke i .

..T = Total semua nk pengamatan.

.iy = Rata-rata semua pengamatan sampel dari populasi ke i .

..y = Rata-rata semua nk pengamatan.

Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk

ijiijy εμ += (2.1)

Bila ijε adalah simpangan pengamatan ke j dalam sampel ke i dari rata-rata

populasi ke i . Bentuk lain dari persamaan ini diperoleh dengan substitusi

ii αμμ += , sedangkan μ adalah rata-rata semua iμ artinya

k

k

ii∑

== 1μ

μ

maka persamaan (2.1) menjadi

ijiijy εαμ ++= (2.2)

dengan ketentuan

( ) 011

=−=∑∑==

k

ii

k

ii μμα

dengan iα sebagai pengaruh populasi ke i .

Dari persamaan (2.2) tersusun atas tiga hal yaitu iαμ, dan ijε . Dengan demikian

persoalannya bagaimana memperoleh nilai iαμ, dan ijε . Salah satu cara yang

digunakan adalah metode kuadrat terkecil.


26

Jadi menduga iαμ, dan ijε dengan membuat jumlah kuadrat sisa atau galat

sekecil mungkin. Jumlah kuadrat galat ditulis dengan ( )JKG .

( ) ∑∑= =

=k

i

n

jijJKG

1 1

2ε

( )∑∑= =

−−=k

i

n

jiijy

1 1

2αμ (2.3)

Penduga bagi μ adalah μ̂ maka

( )( )

01 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂

=∂

∂∑∑= =

μ

αμ

μ

k

i

n

jiijy

JKG

( ) 021 1

=−−− ∑∑= =

k

i

n

jiij ˆy αμ

01 1 1 1 1 1

=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

jiij ˆy αμ

∑∑ ∑∑= = = =

=−−k

i

n

j

k

i

n

jij ˆy

1 1 1 1

00μ

∑∑ ∑∑= = = =

=k

i

n

j

k

i

n

jijyˆ

1 1 1 1

μ

kn

yˆ

k

i

n

jij∑∑

= == 1 1μ

..yˆ =μ (2.3a)

Penduga bagi iα adalah iα̂ maka

( )( )

01 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂

=∂

∂∑∑= =

i

k

i

n

jiij

i

yJKG

α

αμ

α


27

( ) 021 1

=−−− ∑∑= =

k

i

n

jiij ˆˆy αμ

01 1 1 1 1 1

=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

jiij ˆˆy αμ

∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

−=k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

jiji ˆyˆ

1 1 1 1 1 1μα

karena ..yˆ =μ maka

∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

−=k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

j..iji yyˆ

1 1 1 1 1 1α

∑=

−=n

j...ii yknyˆkn

1α

kn

yknyˆ

n

j...i

i

∑=

−= 1α

kn

yknnyˆ ...ii−

=α

...i

i ykyˆ −=α

...ii yyˆ −=α (2.3b)

Apabila ijε adalah galat, penduganya adalah ije , akan diperoleh dengan

memasukkan parameter iαμ ˆ,ˆ pada persamaan (2.2) sehingga didapat

( )...i..ijij yyyye −−−=

.iijij yye −= (2.3c)

Parameter yang didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.2) menjadi

( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−+=


28

Dengan sedikit merubah susunannya menjadi

( ) ( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−=−

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan diperoleh bentuk berikut

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( )∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑ ∑∑

= =

= == =

= =

= = = =

−+

−−+−=

−+−−+−=

−+−=−

k

i

n

jiij

k

i

n

jiiji

k

i

n

ji

k

i

n

jiijiijii

k

i

n

j

k

i

n

jiijiij

yy

yyyyyy

yyyyyyyy

yyyyyy

1 1

2.

1 1....

1 1

2...

1 1

2.....

2...

1 1 1 1

2....

2..

2

2

Penjumlahan yang ditengah sama dengan nol, karena

( ) .in

jij

n

j.iij ynyyy −=− ∑∑

== 11

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑

∑ == n

yny

n

jijn

jij

1

1

0=

Penjumlahan yang pertama tidak mempunyai j sebagai subkrip, maka dapat

dituliskan sebagai

( ) ( )∑∑ ∑= = =

−=−k

i

n

j

k

i...i...i yynyy

1 1 1

22

sehingga menjadi

( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ∑= == = =

−+−=−k

i

n

j.iij

k

i

n

j

k

i...i..ij yyyynyy

1 1

2

1 1 1

22 (2.4)


29

Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total, ditulis dengan ( )JKT . Ruas kanan suku

pertama disebut jumlah kuadrat antar kelompok, ditulis ( )JKK . Suku kedua

disebut jumlah kuadrat dalam kelompok, ditulis ( )JKG .

Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut

JKGJKKJKT +=

Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus berikut

( )

( )

∑ ∑ ∑∑∑∑

∑∑

∑∑

= = = ===

= =

= =

+−=

+−=

−=

k

i

k

i

k

i

n

j

n

jij

n

jij

k

i

n

jijij

k

i

n

jij

yyyy

yyyy

yyJKT

1 1 1 1

2..

1..

1

2

1 1

2....

2

1 1

2..

2

2

dengan ∑∑= =

=k

i

n

jij.. yy

1 1 dan

kny

y .... =

∑∑= =

+−=k

i......

n

jij yknyykny

1

2

1

2 2

∑∑= =

+−=k

i....

n

jij yknykny

1

22

1

2 2

∑∑= =

−=k

i..

n

jij ykny

1

2

1

2

∑∑= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

k

i

..n

jij kn

ykny

1

2

1

2

∑∑= =

−=k

i

..n

jij kn

yy

1

2

1

2 (2.4a)


30

( )∑=

−=k

i...i yynJKK

1

2

( )∑=

+−=k

i.....i.i yyyyn

1

22 2

∑∑∑===

+−=k

i

k

ii

k

ii ynyynyn

1

2..

1...

1

2. 2

dengan ..k

i.i yky =∑

=1 dan

n

yy

n

jij

.i

∑== 1

∑∑

=

= +−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=k

i......

n

jij

yknykynn

yn

1

2

2

1 2

22

1..

k

i

.i yknny

n −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

kny

knn

y..

k

i.i

kny

n

y..

k

i.i 2

1

2

−=∑= (2.4b)

JKKJKTJKG −= (2.4c)

Jumlah jumlah kuadrat tersebut diatas dapat dituliskan kedalam tabel anova untuk

memudahkan analisis.


31

Tabel 2.2 analisis variansi satu arah

Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah hitungF

Kelompok JKK 1−k ( )121 −= kJKKs 2221 ssf = Galat JKG ( )1−nk ( )122 −= nkJKGs Total JKT 1−nk

Langkah-langkah pengujian Hipotesis

1. Rumusan hipotesis

kH μμμ === ...: 210 .

1H : jiji ≠≠∃ ,μμ .

2. Tentukan α .

3. Wilayah kritis.

0H ditolak bila ( )[ ]1,1 −−< nkkff hitung α .

4. Perhitungan.

5. Tabel analisis variansi.

6. Kesimpulan.

Telah diketahui bahwa setiap pengamatan ditulis sebagai berikut

ijiijy εμ +=

dan diketahui pula bahwa

ii αμμ += atau ii αμμ =−

Untuk menguji rata-rata dalam suatu populasi yang terdiri dari beberapa

kelompok, maka diuji juga rata-rata kelompok apakah sama atau tidak Maka


32

kedua hipotesis kH μμμ === ...: 210 dan 0...: 210 ==== kH ααα adalah

sama. Jadi pada dasarnya menguji kesamaan rata-rata antara kelompok adalah

sama dengan menguji pengaruh perlakuan.

3. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi

Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan

menyusun data tersebut dalam r baris dan c kolom, seperti pada tabel berikut.

Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan per Sel

Kolom

Baris 1 2 … j … c Total Rata-rata

1 11y 12y … jy1 … cy1 .1T .y1

2 21y 22y … jy2 … cy2 .2T .y2

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

i 1iy 2iy … jiy … icy .iT .iy

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

r 1ry 2ry … jry … rcy .rT .ry

Total 1.T 2.T … jT. … cT. ..T

Rata-rata 1.y 2.y … j.y … c.y ..y

Dimana

.iT = Total semua pengamatan dalam baris ke i .

jT. = Total semua pengamatan dalam kolom ke j .

..T = Total semua rc pengamatan

.iy = Rata-rata semua pengamatan dalam baris i .


33

Rata-rata populasi pada baris ke i adalah

c

c

jij

i

∑== 1.

μμ

Rata-rata populasi bagi kolom ke j adalah

r

r

iij

j

∑== 1.

μμ

Rata-rata rc populasi adalah

rc

r c

ij∑∑=

μμ

Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk

ijijijy εμ += (2.5)

Dimana ijε adalah simpangan nilai pengamatan ijy dari rata-rata populasi ijμ .

Bila iα adalah pengaruh baris ke i dan jβ adalah pengaruh kolom ke j maka

diperoleh

jiij βαμμ ++=

Sehingga persamaan diatas menjadi

ijjiijy εβαμ +++= (2.6)

Kemudian disyaratkan

∑ ∑= =

==r

i

c

jji

1 100 βα


34

Nilai ,,, ji βαμ dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Nilai tersebut

didapatkan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, dan ditulis ( )JKG .

∑∑= =

=r

i

c

jijJKG

1 1

2ε

( )∑∑= =

−−−=r

i

c

jjiijy

1 1

2βαμ (2.7)

Penduga nilai μ adalah μ̂ maka

( )( )

01 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−∂

=∂

∂∑∑= =

μ

βαμ

μ

r

i

c

jjiijy

JKG

( ) 021 1

=−−−− ∑∑= =

r

i

c

jjiij ˆy βαμ

01 1 1 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjiij ˆy βαμ

0001 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑= = = =

r

i

c

j

r

i

c

jij ˆy μ

01 1

=−∑∑= =

μ̂rcyr

i

c

jij

rc

yˆ

r

i

c

jij∑∑

= == 1 1μ

..yˆ =μ (2.7a)

Penduga nilai iα adalah iα̂ maka

( )( )

01 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−∂

=∂

∂∑∑= =

i

r

i

c

jjiij

i

yJKG

α

βαμ

α


35

( ) 021 1

=−−−− ∑∑= =

r

i

c

jjiij ˆˆy βαμ

01 1 1 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjiij ˆˆy βαμ

001 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jiij ˆˆy αμ

01 1 1 1 1 1

=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jiij ˆˆy αμ

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

jij

r

i

c

ji ˆyˆ

1 1 1 11 1μα

karena ..yˆ =μ maka

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

j..ij

r

i

c

ji yyˆ

1 1 1 11 1α

∑=

−=c

i...ii yrcyˆrc

1α

rc

yrcyˆ

..

c

i.i

i

−=∑=1α

rcyrcycˆ ...ii

−=α

...i

i yryˆ −=α

...ii yyˆ −=α (2.7b)


36

Penduga nilai β adalah jβ̂ maka

( )( )

01 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−∂

=∂

∂∑∑= =

j

r

i

c

jjiij

j

yJKG

β

βαμ

β

( ) 021 1

=−−−− ∑∑= =

r

i

c

jjiij

ˆˆˆy βαμ

01 1 1 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjiij

ˆˆˆy βαμ

001 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjij

ˆˆy βμ

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

jij

r

i

c

jj ˆyˆ

1 1 1 11 1μβ

karena ...ii yyˆ −=α maka

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

j..ij

r

i

c

jj yyˆ

1 1 1 11 1β

..r

ij.j yrcyˆrc −= ∑

=1

β

rc

yrcyˆ

..

r

ij.

j

−=∑=1β

rc

yrcyrˆ ..j.j

−=β

..j.

j ycyˆ −=β

..j.j yyˆ −=β (2.7c)


37

Apabila ijε adalah galat, diduga dengan ije , akan diperoleh melalui substitusi

penduga ji ,, βαμ kedalam persamaan (2.6) sehingga didapat

( ) ( )..j....i..ijij yyyyyye −−−−−=

..j..iijij yyyye +−−= (2.7d)

Parameter yang telah didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.6) menjadi

( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−+=

Dengan sedikit merubah susunannya akan menjadi

( ) ( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−=−

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlakan diperoleh persamaan berikut

( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∑∑= = = =

+−−+−+−=−r

i

c

j

r

i

c

j..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy

1 1 1 1

2222

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )....1 1

...

....1 1

...

...1 1

...

1 1

2....

1 1 1 1

2...

2...

2

2

2

yyyyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyyyy

jiij

r

i

c

jj

jiij

r

i

c

ji

j

r

i

c

ji

r

i

c

jjiij

r

i

c

j

r

i

c

jji

+−−−+

+−−−+

−−+

+−−+−+−=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑ ∑∑

= =

= =

= =

= == = = =

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑∑∑= = = == =

+−−+−+−=−r

i

c

j

r

i

c

j..j..iij..j....i

r

i

c

j..ij yyyyyyryycyy

1 1 1 1

222

1 1

2

……………………………………………………………………… (2.8)


38

Ruas kiri disebut jumlah kuadat total ( )JKT , sedang ruas kanan suku pertama

disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah kuadrat

karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .


JKGJKKJKBJKT ++=

Untuk memudahkan perhitungan maka dilakukan penyederhanaan rumus sebagai

berikut

( )∑∑= =

−=r

i

c

j..ij yyJKT

1 1

2

( )∑∑= =

+−=r

i

c

j....ijij yyyy

1 1

22 2

∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

+−=r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j..ij..ij yyyy

1 1 1 1 1 1

22 2

dengan ∑∑= =

=r

i

c

jijy..y

1 1

dan rcy

y .... =

∑∑= =

+−=r

i......

c

jij yrcyrcyy

1

2

1

2 2

∑∑= =

+−=r

i....

c

jij yrcyrcy

1

22

1

2 2

∑∑= =

−=r

i..

c

jij yrcy

1

2

1

2

2

1 1

2∑∑= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

r

i

..c

jij rc

yrcy

∑∑= =

−=r

i

..c

jij rc

yy

1

2

1

2 (2.8a)


39

( )∑=

−=r

i...i yycJKB

1

2

( )∑=

+−=r

i.....i.i yyyyc

1

22 2

∑ ∑∑= ==

+−=r

i

r

i...i..

r

i.i ycyycyc

1 1

2

1

2 2

dengan ..r

i.i yry =∑

=1

dan c

yy

c

jij

.i

∑== 1

2

2

1

1 2 ..,,..r

i

c

jij

yrcyrycc

yc +−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∑

=

=

222

1

2 ....r

i

.i yrcyrccy

c +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

212

..

r

i.i

yrcc

y−=

∑=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcy

rcc

y..

r

i.i

rcy

c

y..

r

i.i 2

1

2

−=∑= (2.8b)


40

( )∑=

−=c

j..j. yyrJKK

1

2

( )∑=

+−=c

j....j.j. yyyyr

1

22 2

∑ ∑∑= ==

+−=c

j

c

i..j...

c

jj. yryyryr

1 1

2

1

2 2

dengan ..c

jj. ycy =∑

=1

dan r

yy

r

iij

j.

∑== 1

2

2

1

1 2 ..,,..r

j

r

iij

yrcycyrr

yr +−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∑

=

=

222

2

2 ....r

i

j. yrcyrcr

yr +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

212

..

c

ij.

yrcc

y−=

∑=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcy

rcr

y..

c

ij.

rcy

r

y..

c

jj. 2

1

2

−=∑= (2.8c)

JKKJKBJKTJKT −−= (2.8d)


41

Jumlah-jumlah kuadrat tersebut dapat diringkas dalam tabel anova untuk

memudahkan analisis.

Tabel 2.3 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi

Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah

hitungF

Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 23211 ssf =

Kolom JKK 1−c ( )122 −= cJKKs 23222 ssf =

Galat JKG ( )( )11 −− cr ( )( )1123 −−= crJKGs

Total JKT 1−rc

Langkah-langkah pengujian hipotesis

1. Rumusan hipotesis.

a. 0...: 210 ====′ rH ααα .

1H ′ : 0≠∃ iα .

b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .

1H ′′ : 0≠∃ jβ .

2. Tentukan α .

3. Wilayah kritis

a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α .

b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α .

4. Perhitungan.


6. Kesimpulan.


42

4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi

Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan per Sel

Kolom

Baris 1 2 … c

Total

Rata-rata

111y 121y … 11cy

112y 122y … 21cy

1 . . . ..1T ..y1

. . .

ny11 ny12 … cny1

211y 221y … 12cy

212y 222y … 22cy

2 . . . ..2T ..y2

. . .

ny21 ny22 … cny2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

11ry 21ry … 1rcy

12ry 22ry … 2rcy

. . .

r . . . ..rT ..ry

. . .

nry 1 nry 2 … rcny

Total .1.T .2.T … ..cT ...T

Rata-rata ..y 1 ..y 2 … .c.y ...y


43

Dimana :

.ijT = Total pengamatan dalam sel ke ij .

..iT = Total pengamatan dalam baris ke i .

.. jT = Total pengamatan dalam kolom ke j .

...T = Total semua rcn pengamatan.

.ijy = Rata-rata pengamatan dalam sel ke ij .

..iy = Rata-rata pengamatan dalam baris ke i .

.j.y = Rata-rata pengamatan dalam kolom ke j .

...y = Rata-rata semua rcn pengamatan.

Rata-rata umum pengamatan adalah

rcn

yy

r

i

c

j

n

kijk

...

∑∑∑= = == 1 1 1

Rata-rata baris ke i adalah

cn

yy

c

j

n

kijk

..i

∑∑= == 1 1

Rata-rata kolom ke j adalah

nr

yy

r

i

n

kijk

.j.

∑∑= == 1 1

Rata-rata sel ke ij adalah

n

yy

n

kijk

.ij

∑== 1

Setiap pengamatan dalam sel ijky dapat dituliskan dalam bentuk

ijkijijky εμ += (2.9)


44

Dimana ijkε merupakan simpangan nilai ijky yang teramati pada sel ke ij dari

rata-rata populasi ijμ . Misalkan ( )ijαβ melambangkan pengaruh interaksi baris ke

i dan kolom ke j , maka iα adalah pengaruh baris ke i , dan jβ adalah

pengaruh kolom ke j serta μ adalah rata-rata umum.

Sehingga persamaannya menjadi

( )ijjiij αββαμμ +++=

maka persamaan (2.9) menjadi

( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++= (2.10)

dan kemudian dikenakan syarat

01

=∑=

r

iiα 0

1

=∑=

c

jjβ ( ) 0

1=∑

=

r

iijαβ ( ) 0

1

=∑=

c

jijαβ

Nilai dari μ , )(,, αββα diperoleh melalui pendugaan dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil, sehingga jumlah kuadrat semua simpangan itu minimum.

Jumlah kuadrat semua simpangan disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .

∑∑∑= = =

=r

i

c

j

n

kijkJKG

1 1 1

2ε

( )( )∑∑∑= = =

−−−−=r

i

c

j

n

kijjiijky

1 1 1

2αββαμ (2.11)

Penduga untuk nilai μ adalah μ̂ maka

( )( )( )

01 1 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂

∂∑∑∑= = =

μ

αββαμ

μ

r

i

c

j

n

kijjiijky

JKG


45

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk ˆy αββαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆy αββαμ

00001 1 11 1 1

=−−−−∑∑∑∑∑∑= = == = =

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆy μ

01 1 1

=−∑∑∑= = =

μ̂rcnyr

i

c

j

n

kijk

rcn

yˆ

r

i

c

j

n

kijk∑∑∑

= = == 1 1 1μ

...yˆ =μ (2.11a)

Penduga untuk nilai iα adalah iα̂ maka

( )( )( )

01 1 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂

∂∑∑∑= = =

i

r

i

c

j

n

kijjiijk

i

yJKG

α

αββαμ

α

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk ˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

= = == == = == = == = =

c

j

n

k

r

iij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αββαμ

0001 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αμ

01 1 11 1 11 1 1

=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αμ


46

karena ...yˆ =μ maka

∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

−=r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

ki yy

1 1 1...

1 1 11 1 1α̂

...

c

j

n

k..ii yrcnyˆrcn −= ∑∑

= =1 1α

rcn

yrcnyˆ

c

j...

n

k..i

i

∑∑= =

−= 1 1α

rcnyrcnycnˆ .....ii

−=α

.....i

i yryˆ −=α

.....i yyˆ −=α (2.11b)

Penduga untuk nilai jβ adalah jβ̂ maka

( )( )( )

01 1 12

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂

∂∑∑∑= = =

j

r

i

c

j

n

kijjiijk

j

yJKG

β

αββαμ

β

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk

ˆˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

= = == == = == = == = =

r

i

n

k

c

jij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆˆy αββαμ

0001 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆy βμ


47

01 11 1 11 1 1

=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆy βμ

karena ...yˆ =μ maka

∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

−=r

i

c

j

n

k...

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

kj yyˆ

1 1 11 1 11 1 1β

...r

i

n

k.j.j yrcnyˆrcn −= ∑∑

= =1 1

β

rcn

yrcnyˆ

r

i...

n

k.j.

j

∑∑= =

−= 1 1β

rcn

yrcnynrˆ ....j.j

−=β

....j.

j ycyˆ −=β

....j.j yyˆ −=β (2.11c)

Penduga untuk nilai ( )ijαβ adalah ( )ijβα ˆˆ maka

( )( )

( )( )( ) 0

1 1 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂∂

∑∑∑= = =

ij

r

i

c

j

n

kijjiijk

ij

yJKG

αβ

αββαμ

αβ

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk

ˆˆˆˆˆy βαβαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆˆˆˆy βαβαμ

karena

...yˆ =μ .....ii yyˆ −=α ....j.j yyˆ −=β


48

maka

( ) ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = = = = = = = == = == = =

−−−=r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kji

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

kij

ˆˆˆyˆˆ1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1

βαμβα

( ) ( ) ( )....j......i...r

i

c

j

n

kijkij yyrcnyyrcnyrcnyˆˆrcn −−−−−= ∑∑∑

= = =1 1 1βα

( ) ....j......i...n

kijkij yrcnyrcnyrcnyrcnyrcnynrˆˆrcn +−+−−= ∑

=1

βα

( )rcn

yrcnyrcnyrcnynrˆˆ

....j...i

K

kijk

ij

+−−=

∑=1βα

( ) ....j...i.ijij yyyyˆˆ +−−=βα (2.11d)

Bila ijkε merupakan galat dan penduga bagi ijkε adalah ijke sehingga akan

diperoleh nilai dugaan bagi ijke yaitu

( )ijjiijkijk ˆˆˆˆˆye βαβαμ −−−−=

( ) ( ) ( )....j...i.ij....j......i...ijkijk yyyyyyyyyye +−−−−−−−−=

.ijijkijk yye −= (2.11e)

Sehingga bila parameter ini dimasukkan dalam persamaan (2.10) akan diperoleh

bentuk

( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−+=

Dengan sedikit merubah susunannya akan diperoleh persamaan berikut

( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyy)yy( −++−−+−+−=−

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan maka diperoleh persamaan

berikut


49

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]21 1 11 1 1

2.ijijk....j...i.ij....j.

r

i

c

j

n

j.....i

r

i

c

j

n

k...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−=− ∑∑∑∑∑∑

= = == = =

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = == = =

= = == = =

−+−−+

−−+

+−−−+

−−+

+−−−+

−−+

−++−−+

−+−=

r

i

c

j

n

kijijkjiij

ijijk

r

i

c

j

n

kj

jiij

r

i

c

j

n

kj

ijijk

r

i

c

j

n

ki

jiij

r

i

c

j

n

ki

j

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

k

n

jijijk

r

i

c

j

n

kjiij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

yyyyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

1 1 1.........

.1 1 1

.....

........1 1 1

.....

.1 1 1

.....

........1 1 1

.....

.....1 1 1

.....

1 1 1

2.

1 1 1

2........

1 1 1

2.....

1 1 1

2.....

2

2

2

2

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

= = == =

=== = =

−++−−+

−+−=−

r

i

c

j

n

k.ijijk

r

i

c

j....j...i.ij

c

j....j.

r

i.....i

r

i

c

j

n

k...ijk

yyyyyyn

yynryycnyy

1 1 1

2

1 1

2

1

2

1

2

1 1 1

2

…..………………………………………………………………... (2.12)

Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total ( )JKT , sedangkan ruas kanan adalah suku

pertama disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah

kuadrat karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat karena baris

dan kolom ( )( )BKJK . Suku terakhir disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .



50

( ) JKGBKJKJKKJKBJKT +++=

Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus-rumus jumlah

kuadrat sebagai berikut

( )

( )

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

= = == = == = =

= = =

= = =

+−=

+−=

−=

r

i

c

j

n

k...

r

i

c

j

n

k...ijk

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

k......ijkijk

r

i

c

j

n

k...ijk

yyyy

yyyy

yyJKT

1 1 1

2

1 1 11 1 1

2

1 1 1

22

1 1 1

2

2

2

dengan ∑∑∑= = =

=r

i

c

j

n

kijk... yy

1 1 1 dan

rcny

y ...... =

2

1 1 1

2

1 1 1

22

2

1 1 1

2

2

1 1 1

2

2

1 1 1

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

+−=

+−=

+−=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

rcnyrcny

yrcny

yrcnyrcny

yrcnyyrcny

yrcnyyy

...r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

k...ijk

......

r

i

c

j

n

kijk

.........

r

i

c

j

n

kijk

.........

r

i

c

j

n

kijk

rcnyy ...

r

i

c

j

n

kijk

2

1 1 1

2 −= ∑∑∑= = =

(2.12a)

( )∑=

−=r

i.....i yycnJKB

1

2

( )∑=

+−=r

i........i..i yyyycn

1

22 2


51

∑∑∑===

+−=r

i...

r

i...i...

r

i..i ycnycnyycn

1

2

11

2 2

dengan ∑=

=r

i.....i yry

1 dan

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑∑= =

cn

yy

c

j

n

kijk

..i1 1

∑∑∑

=

= = +−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=r

i.........

c

j

n

kijk

yrcnyrcnycn

ycn

1

2

2

1 1 2

21

2

...

r

i

..i yrcncny

cn −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcny

rcncn

y...

r

i..i

rcny

cn

y...

r

i..i 2

1

2

−=∑= (2.12b)

( )∑=

−=c

j....j. yynrJKK

1

2

( )∑=

+−=c

jjj yyyynr

1...

2........

2.. 2

∑∑∑===

+−=c

j......

c

j.j.

c

j.j. ynryynrynr

1

2

11

2 2

dengan ...c

j.j. ycy =∑

=1 dan

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑∑= =

nr

yy

r

i

n

kijk

.j.1 1


52

21

2

1 1 2 .........c

j

r

i

n

kijk

yrcnyyrcnnr

xrn +−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∑∑

=

= =

21

2

...

c

j

.j. yrcnnr

ynr −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcny

rcnnr

y...

c

j.j.

rcny

nr

y...

c

j.j. 2

1

2

−=∑= (2.12c)

( ) ( )∑∑= =

+−−=r

i

c

j....j...i.ij yyyynBKJK

1 1

2

[]22

2

1 1

2

....j.........i.ij.......j..j...i.j..ij.j.

.....i.j...i..i

r

i

n

j.ij..i....ij.j..ij..i.ij.ij

yyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyyyn

+−−+−++−

−++−+−−= ∑∑= =

[]2

22

1 1

2

22

2222

.......j......i

.j...i....ij.j...i.j..ij..i.ij

r

i

c

j.ij

yyyyy

yyyyyyyyyyyn

+−−

++++−−= ∑∑= =

⎥⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

= =

2

22

1 1

2

2

222

22

rny

rcny

nry

rcny

cny

nry

cny

rcny

ny

nry

cny

nry

ny

cny

ny

ny

n

.......j.

.....i.j...i....ij

.j...i.j..ij..i.ijr

i

c

j

.ij


53

2

1 11 1

1 11 1

1 1

2

1 1

2

1 1

1 1 1 1

2

1 1

2

22

2

22

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑ ∑∑∑∑

= == =

= == =

= == == =

= = = == =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

r

i

c

j

......r

i

c

j

.j.

...r

i

c

j

..i.j.r

i

c

j

..i

r

i

c

j

....ijr

i

c

j

.j.r

i

c

j

..i

r

i

c

j

r

i

c

j

.j..ij..i.ijr

i

c

j

.ij

rcny

nrcny

nry

n

rcny

cny

nnr

ycny

n

rcny

ny

ncny

ncny

n

nry

ny

ncny

ny

nn

yn

rcny

rcny

rcny

rcny

rcny

nr

y

cn

y

nr

y

cn

y

n

y

...............

c

j.j.

r

i..i

c

j.j.

r

i..i

r

i

c

j.ij

22222

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1

2

2222

22

+−−++

++−−=∑∑∑∑∑∑===== =

rcny

nr

y

cn

y

n

y...

c

j.j.

r

i..i

r

i

c

j.ij 2

1

2

1

2

2 1

2

+−−=∑∑∑∑=== = (2.12d)

( )BKJKJKKJKBJKTJKG −−−= (2.12e)

Jumlah-jumlah kuadrat tersebut diatas dapat diringkas dalam tabel anova untuk

memudahkan analisis

Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi

Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F hitung

Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 24211 ssf =

Kolom JKK 1−c ( )122 −= cJKKs 24221 ssf =

Interaksi ( )BKJK ( )( )11 −− cr ( ) ( )( )1123 −−= crBKJKs 24231 ssf =

Galat JKG ( )1−nrc ( )124 −= nrcJKGs Total JKT 1−rcn


54

Langkah-langkah pengujian hipotesis


a. 0...: 210 ====′ rH ααα .

1H ′ : 0≠∃ iα .

b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .

1H ′′ : 0≠∃ jβ .

c. ( ) ( ) ( ) 0...: 12110 ====′′′ rcH αβαβαβ .

:1H ′′′ ( ) 0≠∃ ijαβ .

2. Tentukan α .

3. Wilayah kritis

a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α

b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α

c. 0H ditolak bila ( )( ) ( )[ ]1113 −−−> nrc,crff α

4. Perhitungan.


6. Kesimpulan.


55

5. Contoh Analisis variansi

Tiga varitas kentang hendak dibandingkan hasilnya. Percobaan hendak

dilaksanakan dengan menggunakan 9 petak yang seragam di masing-masing 4

lokasi yang berbeda. Dari setiap lokasi setiap varitas dicobakan pada 3 petak yang

ditentukan secara acak. Hasilnya dalam kwintal per petak adalah sebagai berikut.

Tabel 2.7 Hasil perbandingan tiga varietas kentang dengan empat lokasi

Varitas Kentang

Lokasi A B C

1 15 20 22

19 24 17

12 18 14

2 17 24 26

10 18 19

13 22 21

3 9 12 10

12 15 5

6 10 8

4 14 21 19

8 16 15

11 14 12

Gunakan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa:

a. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 3 varitas kentang yang berbeda.

b. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 4 lokasi yang berbeda.

c. Tidak intraksi antara lokasi dan varitas kentang.


56

Penyelesaian:

Model analisis variansi adalah

( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++=


a. 0H ′ : 04321 ==== αααα .

1H ′ : 0≠∃ iα .

b. 0H ′′ : 0321 === βββ .

1H ′′ : 0≠∃ jβ

c. 0H ′′′ : ( ) ( ) ( ) 0... 431211 ==== αβαβαβ .

1H ′′′ : ( ) 0≠∃ ijαβ .

2. 05,0=α

3. Wilayah kritis

a. 0H ditolak bila ( ) 01,324,305,0 => ff

b. 0H ditolak bila ( ) 40.324,205,0 => ff

c. 0H ditolak bila ( ) 51,224,605,0 => ff

4. Perhitungan

A B C total

1 46 62 53 161

2 40 64 66 170

3 27 37 23 87

4 33 51 46 130

total 146 214 188 548

36)548(1215198

510211926141722141621101512221824182420

118146129131017121915

22222

2222222222

2222222222

222222222222

−++++

++++++++++

++++++++++

+++++++++++=JKT

23,100078,83419342 =−=


57

22,48678,83418810

36548

913087170161 22222

=−=

−+++

=JKB

22,19678,83418538

36548

12188214146 2222

=−=

−++

=JKK

( )

45,7878,38418538818067,9084

78,8341853888103

46233

66535137646233274046

22

2222222222

=+−−=

+−−+

+

+++++++++=BKJK

33,25745,7822,19622,46823,1000 =−−−=JKG

5. tabel anova Tabel 2.8 Analisis Variansi dari data 2.7

Sumber Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah hitungF

Baris 3 468,22 156,07 14,56

Kolom 2 196,22 98,11 9,15

Interaksi 6 78,45 13,08 1,22

Galat 24 257,33 10,72

Total 35 1000,23

6. Kesimpulan

a. 0H ditolak karena 01,356,14 >

berarti ada pengaruh pada hasil 3 varitas kentang.

b. 0H ditolak karena 40,315,9 >

berarti ada pengaruh pada hasil 4 lokasi.

c. 0H diterima karena 51,222,1 <

berarti tidak ada interaksi antara lokasi dengan varietas kentang.


58

B. Analisis Regresi

Istilah regresi diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) seorang

ahli antropolog dari Inggris, mengenai sifat-sifat keturunan dalam biologi. Galton

mengungkapkan bahwa , ayah-ayah yang jangkung akan mempunyai anak laki-

laki yang jangkung pula, tetapi secara rata-rata tidaklah sejangkung ayah-ayah

mereka. Begitu pula ayah-ayah yang pendek akan mempunyai anak laki-laki yang

pendek juga, tetapi secara rata-rata tidaklah sependek ayah-ayah mereka, namun

selalu lebih mediaker (lebih mendekati rata-rata). Dengan demikian ada

kecenderungan bahwa secara rata-rata sifat-sifat beberapa kelompok tertentu pada

generasi selanjutnya akan bergerak kearah rata-rata populasi (tidak tepat sama

dengan generasi sebelumnya).

Regresi merupakan tempat kedudukan rata-rata populasi nilai suatu

variabel, misalnya nilai Y , untuk berbagai nilai atau selang nilai variabel yang

lain misalnya X , tempat kedudukan ini dapat berupa garis lurus atau kurva

tertentu lainnya yang disebut garis regresi Y pada X .

1. Model Regresi Linier Sederhana

Misal terdapat hubungan antara y dan x benar-benar linier maka

hubungan itu dapat ditulis sebagai

iii xy εββ ++= 10 ( 2.13)

dimana

iy = adalah variabel tak bebas atau variabel dependent

ix = adalah variabel bebas atau variabel independent


59

10 , ββ = adalah koefisien regresi

ε = adalah penyimpangan atau galat

Setiap pengamatan iy merupakan sampel random dari suatu populasi normal

dengan nilai rata-rata ix10 ββ + dan simpangan baku σ .

Asumsi dasar regresi linier :

1. Keaditifan artinya pengaruh komponen-komponen ruas kanan persamaan

(2.13) adalah saling menambah (linier).

2. Kehomogenan variansi artinya variansi antar pengamatan sama.

3. Kenormalan artinya pengamatan berasal dari populasi yang menyebar

normal.

Anggapan pertama sangat penting untuk memudahkan dalam penafsiran data.

Kehomogenan variansi diperlukan untuk menghasilkan penduga tak bias variansi

minimum melalui metode kuadrat terkecil. Anggapan kenormalan diperlukan

dalam inferensia statistika. Dengan kenormalan maka tata cara pengujian yang

baku dapat dilakukan dan tabel-tabel distribusi yang telah tersedia dapat

digunakan.

Apabila model linier telah dianggap tepat untuk menerangkan hubungan

antara Y dengan X maka langkah selanjutnya adalah pendugaan parameter 0β

dan 1β . Pendugaan kedua parameter ini dapat dibayangkan sebagai upaya untuk

memilih garis regresi “terbaik” pada diagram pencar, yaitu yang membuat jumlah

kuadrat penyimpangan terhadap pengamatan sekecil-kecilnya. Metode ini disebut

metode Kuadrat Terkecil.


60

2. Metode Kuadrat Terkecil

Misalkan niyx ii ,...,2,1),,( = data sampel dan akan ditentukan koefisien

regresi 0β dan 1β sedemikian hingga meminimumkan

( ) ( )∑∑∑===

−−=−==n

iii

n

iii

n

ii xyyyS

1

210

2

11

2 ˆ ββε (2.14)

Jumlah kuadrat galat minimum diperoleh dengan menurunkan secara parsial

terhadap 0β dan 1β yaitu 00

=∂∂βS dan 0

1

=∂∂βS

Turunkan terhadap 0β , maka diperoleh

( )0

0

1

210

0

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂=

∂∂ ∑=

β

ββ

β

n

iii xyS

( )∑−

=−−−n

iii xbby

110 02

021 1 1

10 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−− ∑ ∑ ∑

= = =

n

i

n

i

n

iii xbby

01 1

10 =−−∑ ∑= =

n

i

n

iii xbnby

∑ ∑= =

=+n

i

n

iii yxbnb

1 110 (2.15)

Turunkan terhadap 1β , maka diperoleh

( )0

1

1

210

1

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂=

∂∂ ∑=

β

ββ

β

n

iii xyS


61

( ) 02 10 =−−−∑ iii xxbby

021 1 1

210 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−− ∑ ∑ ∑

= = =

n

i

n

i

n

iiiii xbxbyx

∑ ∑∑= ==

=−−n

i

n

i

n

ixbxbxy

1 11

10 0

∑∑∑===

=+n

iii

n

ii

n

ii yxxbxb

11

21

10 (2.16)

Bila dinyatakan dalam n

xx

n

ii∑

== 1 dan n

yy

n

ii∑

== 1 maka persamaan (2.15) dan

(2.16) akan diperoleh

xbyn

xb

n

yb

n

ii

n

ii

11

11

0 −=−=∑∑== (2.17)

∑ ∑∑= ==

=−−n

i

n

ii

n

iiii xbxbxy

1 1

21

10 0

( ) 0211 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ∑∑∑∑∑ iiiiii xbxn

xb

ny

xy

0211 =−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−∑ ∑∑ ∑∑ ∑ iiiiiii xbn

xxb

nxy

xy

0211 =−+− ∑∑ ∑∑ ∑∑ iiiiiii xbnxx

bn

xyxy

( ) ( )

02

21 =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−− ∑∑∑ ∑∑ nx

xbn

xyxy ii

iiii


62

( ) ( )

( )nx

x

nx

yxyb

ii

iiii

2

2

1

∑∑

∑∑∑

−

−= (2.18)

Penduga persamaan regresi dapat ditulis

( )xxbyxbxbyxbby iiii −+=+−=+= 11110ˆ (2.19)

Sekarang perhatikan kesamaan berikut:

( ) ( ) ( )iiii yyyyyy ˆˆ −+−=−

Ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan dijumlahkan akan diperoleh

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )( )∑ ∑ ∑

∑ ∑

= = =

= =

−−+−+−=

−+−=−

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iiiii

yyyyyyyy

yyyyyy

1 1 1

22

1 1

22

ˆˆ2ˆˆ

ˆˆ (2.20)

Perkalian silang yang terakhir pada persamaan (2.20) adalah

( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −−−=−− iiiiiiii yyyyyyyyyy ˆˆˆˆˆ

Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol menurut persamaan (2.15) adalah

( ) ( ) 0ˆ 10 =−−=−∑ ∑ iiii xbbyyy

Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena

( ) ( )( )( ) ( )

( )00

ˆˆ

ˆˆˆ

101

10

10

=

−−+=

−+−=

−+=−

∑∑ ∑

∑ ∑

iii

iiiii

iiiiii

xxbbyb

xyybyyb

yyxbbyyy

Jadi persamaan (2.10) dapat ditulis kembali sebagai

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ iiii yyyyyy (2.21)


63

Persamaan (2.21) merupakan persamaan dasar dalam analisis regresi dan analisis

variansi. Ruas kiri disebut Jumlah Kuadrat Total (JKT) menyatakan jumlah

penyimpangan Y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut

Jumlah Kuadrat Regresi (JKR), merupakan variansi respons disekitar nilai rata-

ratanya. Bagian kedua ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Galat (JKG), bagian ini

mengukur galat dari variansi total (JKT) yang tidak dapat diterangkan oleh X

atau bagian yang sifatnya acak. Jadi persamaan (2.21) dapat ditulis sebagai

JKT=JKR+JKG

Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar

dibandingkan dengan JKG. Bila JKR membesar maka JKG mengecil, dan

sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Untuk menentukan apakah pengaruh suatu

variabel bebas X besar atau kecil terhadap variabel respon Y diperlukan

pembanding baku. Pembanding tersebut tidak dipengaruhi oleh baik buruknya

model yang digunakan. Pembanding baku tersebut adalah penduga tak bias dari

2σ , variansi ε . Umumnya 2σ tidak diketahui, jadi harus diduga dari sampel.

Penduga 2σ yang tidak bias dapat diperoleh dari jumlah kuadrat galat yaitu

(JKG)/(n-2) disebut Rata-rata Kuadrat Galat. Rata-rata kuadrat galat hanya akan

menduga tanpa bias bila model yang digunakan tepat. Bila model yang digunakan

keliru maka akan menduga dengan bias. Jadi penggunaan rata-rata kuadrat galat

sebagai penduga selalu dengan anggapan bahwa modelnya telah tepat.


64

Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk regresi Linier Sederhana

Sumber Jumlah Kuadrat db Rata-rata kuadrat F

Regresi ( )∑ −= 2ˆ yyJKR i 1 RKR=JKR/1 RKGRKRF =

Galat ( )∑ −= 2ˆ ii yyJKG

n-2 RKG=JKG/(n-2)

Total ( )∑ −= 2yyJKT i n-1 Pada kolom keempat memberikan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat bebas

untuk regresi dan galat. Tidak dituliskan jumlahnya pada baris total karena hal itu

tidak berlaku bagi JKT. Dalam praktek akan menghitung rasio RKR/RKG. Bila

rasio lebih besar dari 1 secara berarti (significant) maka disimpulkan bahwa

0≠β . Bila rasio sama dengan 1 maka kesimpulannya 0=β yaitu X tidak

mempengaruhi respon Y . Dalam prakteknya kendati 0=β tidak mengharapkan

RKR/RKG tepat sama dengan 1 disebabkan fluktuasi sampel sehingga rata-rata

RKR/RKG akan berfluktuasi disekitar 1. Untuk menentukan apakah rasio ini

sama atau lebih besar 1 digunakan bantuan tabel t atau tabel F. Rasio RKR/RKG

mempunyai distribusi F dengan derajat bebas 1 dan n-2. Yang pertama derajat

bebas pembilang dan yang kedua derajat bebas penyebut. Dengan demikian dapat

didefinisikan statistik uji

( )( ) ( )∑∑

−−

−==

2/ˆ1/ˆ

2

2

nyy

yyRKGRKRF

ii

i (2.22)

Nilai F sering pula disebut F hitung, kemudian dibandingkan F tabel.


65

3. Model Regresi Berganda

Dengan bertambah banyaknya variabel bebas yang disertakan dalam suatu

model regresi berganda, notasi yang dipergunakan dalam menganalisis model ini

akan menjadi bertambah kompleks. Oleh karena itu untuk memudahkan penulisan

dan pemeriksaan sifat regresi berganda, pendekatan yang digunakan adalah

dengan menggunakan notasi matriks.

Definisi:

Suatu model yang menghubungkan variabel tak bebas Y pada suatu himpunan

varibel bebas { }kx,...,x,x 21 yaitu

εββββ +++++= kk x...xxy 22110 (2.23)

disebut statistik linier.

Data yang diperoleh untuk menduga model berasal dari n individu dengan nilai

pengamatan sebagai berikut:

Nilai Pengamatan

Pengamatan y 1x 2x … kx

1 1y 11x 12x … kx1

2 2y 21x 22x … kx2

Μ Μ Μ Μ Μ

n ny 1nx 2nx … nkx

Keseluruhan pengamatan diatas masing-masing memenuhi model (2.23) dan

memberikan bentuk persamaan berikut:


66

1112211101 ... εββββ +++++= kk xxxy

2222221102 ... εββββ +++++= kk xxxy (2.24)

…………………………………………

nnkknnn xxxy εββββ +++++= ...22110

Secara umun persamaan regresi berganda dapat diringkas menjadi

ikikiii x...xxy εββββ +++++= 22110 (2.25)

Persamaan (2.25) dapat ditulis lebih sederhana dengan notasi matriks menjadi

εXβY += (2.26)

atau

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ny

yy

Μ2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nknn

k

k

xxx

xxxxxx

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

21

22221

11211

1

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

kβ

ββ

Μ1

0

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nε

εε

Μ2

1

Pendugaan nilai parameter β dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat

terkecil, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat simpangan antara nilai-

nilai pengamatan niYi ,.....,1, = terhadap nilai-nilai harapannya,

( ) niYE i ,.....,1, = . Dengan ( )YEYe −= maka jumlah kuadrat simpangan adalah

∑=

=n

i 1ee'e2

( )( ) ( )( )YEYYEY −′−=

( ) ( )XbYXbY −′−=

( )( )XbYX'b'Y' −−=

XbX'b'YX'b'-XbY'YY' +−=


67

XbX'b'YX'b'YX'b'YY' +−−=

karena YX'b' adalah skalar maka

XbX'b'YX'2b'YY' +−=

Penentuan nilai-nilai dugaan b dari parameter-parameter yang meminimumkan

ee' dengan mencari turunan parsial pertama ee' , terhadap setiap unsur dari β ,

dan menyamakan dengan nol, kemudian menyelesaikan persamaan yang

diperoleh.

( ) 0=∂

∂bee'

( ) 0=∂

+−∂b

XbX'b'YX'2b'YY'

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

−∂

∂b

Xb

pendekatan regresi untuk analisis variansi · dilakukan dengan menggunakan metode analisis variansi...

Documents