penerapan psbw
DESCRIPTION
fisika kuantumTRANSCRIPT
-
1
Fisika Kuantum KD 4
KELOMPOK 1
SUMUR POTENSIAL BERHINGGA DAN TAK BERHINGGA, POTENSIAL
TANGGA, POTENSIAL PENGHALANG DAN POTENSIAL PERIODIK
OLEH
I KADEK DARSIKA ARYANTHA (0513021008)
I NYOMAN PARSA (0513021012)
NYOMAN DANI (0513021020)
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MIPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
2008
DE
PA
R
TEME
N PEND IDIKAN NA
S
ION
AL
UN
IVE
RS
ITAS
PEN D ID IKAN
GAN
ES
HA
U N D I K S H A
-
2
A. PENERAPAN PSBW PADA SUMUR POTENSIAL TAK BERHINGGA.
Penerapan persamaan Scrodinger pada sumur potensial tak berhigga adalah sebesar
2
222
2ma
nE
. Persamaan ini berarti energi yang melewati sumur potensial tak berhingga
terkuantisasi sesuai dengan bilangan kuantum n. Penjabaran persamaan tersebut adalah
sebagai berikut.
PSBW secara umum adalah:
)1...(......................................................................0
:22
,02
2,0
2
2
:0,2
2
2
2
2
2222
2
22
22
2
22
2
22
xkdx
xd
makakEm
ataukEm
karenaxEm
dx
xd
mdikalikanruaskeduaxE
dx
xd
m
xEdx
xd
m
makaVkarenaxExxVdx
xd
m
Penyelesaian persamaan Schrodinger bebas waktu pada sumur tak hingga berbentuk:
ikxikx BeAex )( ........(2)
atau
kxBkxAx cossin (3)
Penyelesaian di luar sumur harus memiliki amplitudo nol sebab potensial di luar sumur tak
berhingga besar. Dengan demikian persamaan (3) juga harus bernilai nol di 0x dan ax
Pada persamaan (3) jika x=0 maka:
B
kBkA
kxBkxAx
0
0cos0sin0
cossin
x
a 0
V V
V=0
Gambar 1 sumur potensial tak hingga
-
3
dan jika x=a, maka:
)4......(................................................................................
sin0
0sin0
:0,cossin
cossin
a
nk
kan
ak
akA
makaBkarenaakBakAa
kxBkxAx
Dimana n= 1, 2, 3,
Karena B=0 dan a
nk
maka persamaan (3) menjadi:
)5........(............................................................sin
cossin
a
xnAx
kxBkxAx
Untuk potensial pada daerah antara 0 dan a,maka:
)6....(............................................................
sin
1
1sin
1sin
1sin
1
0
2
2
0
22
0
22
0
2
0
2
dxa
xnA
dxa
xnA
dxa
xnA
dxa
xnA
dxx
a
a
a
a
a
Penyelesaian untuk dxa
xna
0
2sin
adalah:
a
xnd
a
xn
n
ax
dxa
xndx
dxa
xn
dxa
xn
aa
aa
aa
22cos2
1
2
1
2
1
2cos2
1
2
1
2
2cos1
sin
00
00
00
2
-
4
)7.(......................................................................2
02
02sin42
0sin2sin42
1
2sin42
1
0
00
a
a
nn
aa
a
an
n
ax
a
xn
n
ax
a
aa
Persamaan (7) disubstitusikan ke persamaan (6) maka diperoleh:
)8.........(......................................................................2
2
2/1
1
sin
1
0
2
2
aA
aadx
a
xnA
a
Persamaan (8)disubstitusikan ke persamaan (5) maka:
)9..(............................................................sin2
sin
a
xn
ax
a
xnAx
Indeks n digunakan untuk membedakan suatu fungsi eigen dengan fungsi eigen lainnya.
Setiap fungsi eigen itu menyatakan keadaan partikel saat energinya sebesar (dari substitusi
persamaan (4) ke persamaan kEm
2
2
):
)10....(................................................................................2
2
2
2
2
222
2
22
2
2
2
ma
nE
a
nE
m
a
nE
m
kEm
Indeks n juga untuk menandai keadaan kuantum partikel. Jika n = 1, dikatakan dalam keadaan
dasar (ground state), dan jika 1 mn dikatakan dalam keadaan tereksitasi tingkat m.
-
5
B. SUMUR POTENSIAL BERHINGGA
Penerapan persamaan Schrodenger pada kasus partikel terikat pada potensial sumur
kotak yang kedalamannya berhingga menghasilkan kesimpulan bahwa energi partikel
terkuantumkan. Banyaknya level energi bergantung pada kedalaman sumur dan lebar sumur
Untuk partikel yang begrerak dibawah pengaruh potensial kotak yang berbentuk sumur dapat
dilukiskan sebagai berikut:
Gambar.2.Plot potensial sumur pada kotak
Telah kita batasi pada kasus dimana gerak partikel dibatasi pada ruang tertentu.
Dengan kata lain, kita hanya membahas partikel yang dalam keadaan terikat. Berdasarkan plot
potensial digambar diatas , keadaan terikat terjadi jika energi total partikelk memenuhi
ketaksamaan 0 > E >-Vo. Sebab alam hal in partikel hanya mungkin bergerak disekitar
interval x = -a/2 sampai x = a/2. jika energi partikel lebih dari nol, maka partikel dapat
bergerak dari - sampai dengan +
Persamaan Schrodinger bebas waktunya dapat dinytakan sebagai berikut. Di daerah I
dan III
2
22
2
2 2;0)(
)(
mEx
dx
xd
...............................................................2.1
Di daerah II:
)(2
;0)()(
02
22
2
2
VEmE
kxkdx
xdII
II
.................................................2.2
Peneyelesaian umum kedua persamaan tersebut adalah
2/;)( 21 axeAeAxaxax
I ................................................................2.3.a
2/2/;)( 21 axaeBeBxikxikx
II .....................................................2.3.b
2/;)( 21 axeCeCxaxax
III .................................................................2.3.c
Agar fungsi eigen yang didapat berhingga dimana-mana, maka kita harus menetapkan
A2 = C1 = 0. selanjutnya dari syarta kontinuitas di x = -a/2 didapatkan hubungan
V(x)
X
-Vo
a/2 -a/2
I II III
axaV
lainnyaxdixV2
1
2
1;0
;0)(
-
6
2/.22/.12/.1
2/.
2
2/.
1
2/.
1
aikaika
aikaika
eBeBikeA
eBeBeA
.......................................................... ..2.4
Dan dari syarat kontinuitas di x = a/2 didapatkan hubungan
2/.
2
2/.
2
2/.
1
aaikaik eCeBeB ...................................................................2.5.a
2/.
2
2/.
2
2/.
1 .)(aaikaik eCeBeBik .........................................................2.5.b
Dari persamaan 4 didapatkan hubungan
011 2/.22/.
1
aikaik eB
ikeB
ik
........................................................2.6
Dan dari persamaan 5 didapatkan hubungan
011 2/.22/.
1
aikaik eB
ikeB
ik
........................................................2.7
Akhirnya dari persamaan 2.5 dan 2.6 diperoleh hubungan
ikaeik
ik 22
.........................................................................................2.8
Ungkapan tersebut menunjukkan bahwa agar penyelesaian persamaan Schrodinger
memenuhi syarat sebagi fungsi eigen bernilai berhingga dan kontinu dimana-mana maka
tetapan dan k harus memenuhi persamaan 2.8. Karena nilai kedua tetapan itu bergantung
pada E maka ungkapan tadi juga menunjukkan bahwa energi total prtikel tidak boleh
sebarang. Sekarang kita hitung berapa saja energi yang diijinkan tersebut.
Persamaan 2.8 memiliki dua penyelesaian (akar), yaitu
ikaeik
ik 2
............................................................................................2.9.a
Dan
ikaeik
ik 2
.........................................................................................2.9.b
Untuk ikae
ik
ik 2
Persamaan tersebut dapat diubah menjadi
ikaki
kie
ki
kie
ik
ik ikaika
/1
/1ln
/1
/12
Atau
2/1
/1ln
2
1 ka
ki
ki
i
...................................................................................2.10
-
7
Dengan menggunakan identitas bilangan kompleks ziz
iz
i
1tan1
1ln
2
1
, persamaan 2.10
identik dengan
ka
k 2
1tan
.............................................................................................2.11
Dengan menggunakan identitas trigonometri 1tan
1cos
2
2
AA , dari persamaan 2.11
diperoleh
02
1cos
k
kka
.........................................................................................2.12
Dengan 2
022
0
2
mVakk . Selanjutnya karena dan k keduanya positif maka nilai
tan(ka/2) juga positif. Dengan demikian persamaan 9.b identik dengan sistem persamaan
02
1cos
k
kka
........................................................................................13.a
Tan(1/2 a) > 0 ..........................................................................................2.13.b
Nilai yang memenuhi persamaan 2.12 dapat ditemukan secara grafik atau dengan program
numerik berbantuan komputer. Secara grafik, niali k dapat ditentukan denagn mencari titik
[potong antara grafik G(k) k/k0 dengan grafik
kakF
2
1cos)( pada daerah dimana tan
(1/2 ka) > 0.
Gambar 3.
untuk ikae
ik
ik 2
-
8
Dengan prosedur seperti sebelumnya dapat ditunjukkan bahwa persamaan ikaeik
ik 2
identik dengan sistem persamaan
02
1sin
k
kka
.........................................................................................2.14.a
Tan(1/2 ka)
-
9
gambar 5a.diagram level energi, (b) komponen real fungsi eigen untuk keadaan berenergi
rendah.
Pada contoh diatas terdapat 5 level energi. Besaran yang menentukan cacah level energi
adalah garadien garis G(k)=k/k0 dan ukuran lebar sumur
Pada gambar 5 (a dan b) ditunjukkan bahwa semakin landai garis G(k)=k/k0 semakin
banyak titik potong yng terjadi. Ini berarti sewmakin banyak pula level enrginya. Karena
gradient garis itu adalah 0
2
0 2
1
mVk
, berarti semakin besar V0 (semakin dalam sumur)
semakin landai garis itu. dengan kata lain, semakin besar V0 semakin banyak cacah level
energi.
Berdasarkan gambar 5 (a dan b) juga terlihat bahwa semaikn besar a semain cepat
pengulangan fungsi F(k). Ini berarti semakin banyak titik potong. Dengan kata lain semakin
lebar sumur semakin banyak level energinya.
C. PSBW UNTUK BUKIT POTENSIAL
Fungsi potensialnya:
Di daerah I (x
-
10
21
2
12
2
22
2
2
2
2
2
2,0
02
02
2
mEkxkx
x
xmE
xx
xExxm
xExxm
Solusinya xikxik BeAe 111
Di daerah II:
2
0
2
2
22
2
2
0
2
2
02
22
02
22
2,0
0)(2
02
2
vEmkxkx
x
xvEm
xx
xExvxxm
xExvxm
Solusinya xikxik eDeC 222
Karena 0vE maka 0vE bernilai negatif sehingga 2k adalah imajiner. Misalkan ik 2
dengan 2
0 )(2
Evm .Maka solusinya menjadi:
xx eDeC 2
Di daerah III:
1232
32
2
22
2
2
22
2
22
2,0
02
02
2
kmE
kxkxx
xmE
xx
xExxm
xExxm
Solusinya xikxik
eGeF 113
Pada daerah III tidak terdapat gelombang pantul sehingga solusinya dapat ditulis:
xikeF 13
-
11
Syarat batas diterapkan pada x=0 dan x=L
Untuk x=0
DCBA
eDeCeBeA
xx
0000
21
.................................(3.1)
DCBikAik
eDeCeBikeAik
eDeCeBikeAik
xx
xxxikxik
11
000
1
0
1
11
'
2
'
1
11
................(3.2)
Untuk x=L
LikLL eFeDeC
xx
1
32
....................................(3.3)
LikLL
xikxx
eFikeDeC
eFikeDeC
xx
1
1
1
1
32 ''
....................................(3.4)
Untuk menentukan peluang transmisi
*
*
FF
AA, kita cukup menentukan nilai A,
*A , F, dan
*F . Dari persamaan 1 dan 2 didapat:
DCBA DCBA
DCBikAik 11 => DCik
BA 1
11
2ik
D
ik
CDCA
5.3...................................................22
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Dk
ikC
k
ikA
Dk
ikC
k
ikD
ik
ikC
ik
ikA
Dari persamaan 3.3 dan 3.4 didapat:
LikLLLikLL
LikLLLikLL
Feik
DeCeFeikDeCe
eFeDeCeFeDeC
11
11
11
+
+
-
12
6.3...............2
2
2
12
)(1
1
1
1
1
1
1
1
L
Lik
L
LikL
LikL
ik
Feik
D
Fee
ikD
Feik
De
Feik
De
Persamaan (3.6) disubstitusikan ke persamaan (3.3) maka :
LikL
LikL
LikLikL
LLLikL
LLikL
LikLL
eFik
eC
eFik
eC
eFik
eFeC
eFeik
eFeC
eDeFeC
eFeDeC
ik
1
1
11
11
1
1
2
2
21
2
2
1
1
1
)(1
)7.3..(......................................................................2
2
2
)(1
1
1
1
1
1
Lik
Lik
L
LikL
eFik
C
eFe
ikC
eFik
eC
Persamaan (3.6) dan (3.7) disubstitusikan kepersamaan (3.5),maka didapat:
-
13
)8.3......(..............................42
1
42
1
42
1
42
1
4
)(2
4
)(2
44
2222
22
)(1
1
)(1
1
)(
1
2
1
2)(
1
2
1
2
)(
1
2
1
2
1)(
1
2
1
2
1
)(
1
1
22
11)(
1
1
22
11
)(1
1
1)(1
1
1
1
1
1
1
11
11
11
11
11
LikLik
LikLik
LikLik
LikLik
LikLik
ek
k
ie
k
k
i
F
A
ek
kie
k
ki
F
A
Fek
kikeF
k
kikA
Fek
kiikkeF
k
kiikkA
Feik
k
ikeF
ik
k
ikA
Dk
ikC
k
ikA
De
ngan menganggap rintangan potensial tinggi relatif terhadap energi partikel datang, sehingga
berlaku 1
1
1
1
1 k
k
kdan
k
k
.
Asumsi kedua yaitu anggap bahwa perintang cukup lebar untuk 2 mengalami atenuasi besar
antara x = 0 dan x = L. Ini berarti bahwa LL eedanL 1
Berdasarkan asumsi ini persamaan (8) dapat ditulis :
Like
k
i
F
A )(
1
1
42
1
Peluang transmisinya (T) adalah :
*
*1
*
*
FF
AAT
AA
FFT
)9.3........(......................................................................164
1
164
1
42
1
42
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
)(
1
)(
1
1
**
*
*1
11
L
L
LikLik
ek
T
ek
T
ek
ie
k
iT
F
Akonjugate
F
Adengan
F
A
F
A
FF
AAT
Adanya gelombang transmisi pada daerah III dinamakan efek terobosan. Aproksimasi peluang
transmisi (kebolehjadian partikel untuk melewati barier penghalang adalah:
)10.3(....................................................................................................2 LeT
-
14
Persamaan ini dapat diterapkan untuk menjelaskan radiasi radioaktif (peluruhan inti
radioaktif). Dari persamaan (3.10) terlihat bahwa T sangat tergantung pada L (lebar barier).
Makin besar L maka peluang transmisi (T) semakin kecil.
D. POTENSIAL TANGGA
Partikel yang bergerak dipengaruhi oleh potensial undak dengan persamaan:
)(0,
)(0,0)(
0 daerahIIxV
daerahIxxV , dalam hal ini tidak mungkin memiliki energi total E
-
15
Persamaan untuk daerah I sudah memenuhi syarat kontinyuitas walaupun di x = -
nilai ikxe = ie . Yang menjadi permasalahan adalah di daerah II dimana di daerah ini x
adalah nilai positif dari nol sampai tak hingga, maka suku pertama ( xe ) mengakibatkan
x menjadi tak hingga. Oleh karena x tidak boleh bernilai tak hingga, maka 1B
haruslah nol, sehingga peneyelesaian persamaan II menjadi xeBx 22 )(
Kombinasi penyelesaian 1 dan 2 akan menghasilkan fungsi yang kontinyu dimana-
mana kecuali di x = 0. Dengan memaksa x dan dx
xd
kontinyu di x = 0 maka akan
didapatkan.
).3.4...(......................................................................().3.4.....(......................................................................,.........
221
221
bBAAik
aBAA
Persamaan (4.3.a) diperoleh dari pengkontinyuan x yaitu 00 III ,
sedangkan persamaan (4.3.b) diperoleh dari pengkontinyuan
dxx
d
yaitu
00
x
II
x
I
dx
xd
dx
xd . Dari kedua persamaan tersebut diperoleh hubungan
ik
ik
A
A
1
2 , dan ik
k
A
B
2
1
2 .
Dengan demikian penyelesaian akhir persamaan schrodinger bebas waktu system ini
adalah
0,2
0,
1
1
xeik
kA
xeik
ikeA
xx
ikxikx
...................................................(4.4)
Tetapan integarsi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan x , yaitu membuat
02
dxx . Gambar berikut menyajikan plot real fungsi eigen tersebut.
Gambar.5. Plot komponen real fungsi eigen bagi partikrl berenergi E
-
16
Fungsi eigen pada gambar merupakan kombinasi linier antara gelombang yang bergerak
ke kiri ikxe dan gelombang ynag merambat ke kanan ikxe . Jika partikel datiang dari kiri (x
-
17
b. Untuk E>V0
Gambar tersebut menyajikan plot fungsi energi potensial dan energi total E terhadap posisi x.
Persamaan Schrdinger bebas waktu di daerah I maupun di daerah II memiliki bentuk
02
2
2
xkdx
xd
Dengan demikian penyelesaian umum di daerah I berbentuk,
ikxikx eAeAx 211 , 22
mEk
Dan penyelesaian umum di daerah II berbentuk,
xixi eBeBx 211 , 022
VEm
Ketika partikel sampai di dekat x = 0, partikel mendapatkan gaya pembalik sebesar
0
0
0
00lim
0limlim
VVxVxV
dx
dVF
Akibatnya, walaupun energi partikel cukup untuk mengatasi tinggi potensial di x>0, ada
peluang bagi pertikel itu untuk dipantulkan.
Karena di sepanjang x>0 tidak ada perubahan potensial maka partikel tidak mungkin
dipantulkan. Dengan demikian di daerah ini harus tidak ada gelombang yang merambat ke
kiri. Oleh sebab itu, kita harus membuang gelombang ini dari penyelesaian di daerah II.
Caranya adalah dengan memilih B2 = 0.
Untuk mendapatkan penyelesaian yang kontinu di mana-mana, kita paksa penyelesaian di
kedua daerah tersebut kontinu di x = 0, dan nantinya akan dihasilkan hubungan sebagai
berikut,
A1 + A2 = B1 yang diperoleh darii pengkontinuan x , yaitu 001 II .
k (A1 A2) = - B1 yang diperoleh dari pengkontinuan
dxxd yaitu
dx
xd
dx
xd 21 .
Dari hubungan tersebut, diperoleh hubungan
k
k
A
A
1
2 dan
k
k
A
B 2
1
1
Dengan demikian penyelesaian umum persamaan Schrdinger bebas waktu adalah sebagai
berikut,
V(x)
V0
E
X 0
I II
-
18
ikxikx e
k
keAx
1 untuk 0x dan
xiek
kAx
21 untuk 0x
Tetapan integrasi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan x , yaitu membuat
12
dxx .Dengan argument seperti itu, besarnya koefisien refleksi pada asistem ini
adalah 2
2
1
2
2
2
2
1 41
)(
)(
k
k
A
A
Am
k
Am
k
R
.
Perhitungan ini menyatakan bahwa koefisien refleksi tidak sama dengan 1. ini berarti bahwa
ada peluang bagi partikel untuk diteruskan.
E. POTENSIAL PERIODIK
Partikel dapat dianggap bergerak dalam potensial periodik dengan periode l, maka
V(x + l) = V(x) (5.1)
Seperti pada gambar (6), potensial periodik dalam bentuk kotak disebut dengan potensial
Kronig-Penney yang dapat digunakan sebagai sebuah model dari interaksi elektron dalam kisi
kristal terdiri dari keadaan yang tetap dari atom tunggal yang dipisahkan oleh jarak l.
Gelombang Bloch
Kristal pada kenyataanya memiliki panjang yang terbatas, apabila diasumsikan
sebagai keadaan ideal, bahwa persamaan (5.1) benar untuk semua nilai dari x, meliputi
keseluruhan sumbu-x. Kemudian jika (x) adalah solusi dari persamaan umum Schrodinger,
bersesuain dengan energi E, jadi dapat ditulis (x + l). Selain itu, karena persamaan
Schrodinger merupakan persamaan linear orde dua, solusi dari (x) yang mungkin diwakili
sebagai kombinasi linear dari dua solusi bebas linear 1(x) dan 2(x)
(x) = C11(x) + C22(x) (5.2)
Jadi 1(x + l) dan 2(x + l) juga merupakan solusi persamaan Schrodinger, sehingga bisa
diwakili sebagai kombinasi linear dari 1(x) dan 2(x).
l
x
-Vo
V(x)
b 0 b l
-
19
Gambar 6. Potensial periodik dengan bentuk segi empat
)()()( 212111 xaxalx
)()()( 222121 xaxalx (5.3)
Kemudian stubtitusikan persamaan (5.2) ke persamaan (5.3) dan kenyataanya bahwa (x + l)
juga merupakan solusi, maka diperoleh
)()(d
)()()()()(
2211
222212212121111
xdx
xacacxacaclx
(5.4)
Hubungtan antara koefisien (c1,c2) dan (d1,d2) dapat diubah dalam bentuk perkalian matrik
2
1
2212
2111
2
1
c
c
aa
aa
d
d (5.5)
Kemudian matrik 2 x 2 tersebut didiagonalisasi dengan memecahkan persamaan
02212
2111
aa
aa (5.7)
Yang mana merupakan persamaan kuadrat untuk , mempunyai dua solusi 1 dan 2, jika
(c1,c2) adalah vektor eigen yang bersesuain dengan salah satu dari nilai eigen = i (i = 1, 2),
maka selanjutnya d1 = c1 dan d2 = c2. Kemudian, (x) mempunyai dua solusi
)()( xlx (5.8)
Di mana konstan. Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema Floquet. Dapat dilihat dari
persamaan (50) bahwa
2,....... 1, , 0,n ),()( xnlx n (5.9)
Ambil 1 dan 2 menjadi dua solusi dari persamaan Schrodinger bersesuain dengan
energi E, yang mana memenuhi (50) dan sesuai dengan masing-masing nilai eigen 1 dan 2
dari persamaan (49). Maka 1 dan 2 menunjukkan turunannya masing-masing. Jika
21
21
''
W (5.10)
Menunjukkan determinan Wronskian dari 1 dan 2 dari persamaan 15 diperoleh bentuk
W(x + l) = 12W(x) (5.11)
Solusi persamaan persamaan Schrodinger bersesuain dengan nialai eigen E adalah konstan
memberikan bahwa
12 = 1 (5.12)
-
20
kembali ke persamaan (5.8). Jika 1 , ini adalah jelas dari persamaan (5.9) akan terus naik
diatas semua batas ketika x , dan akan terus turun di bawah semua batas jika x .
Keadaan yang berlawanan akan terjadi jika 1 . Oleh karena itu, solusi secara fisika yang
dapat dapat diterima dari persamaan Schrodinger hanya ada jika 1 . Dengan mengambil
hasil dari (5.12) kemudian kita dapat menulis jumlah 1 dan 2 dalam bentuk
iKle1 dan iKle1 (5.13)
Di mana K adalah bilangan real. Sejak exp(i2) = 1, ini jelas bahwa fungsi gelombang yang
lengkap dapat diperoleh dengan membatasi nilai K pada interval l
Kl
Kemudian, semua solusi yang dapat diterima secara fisika harus memenuhi hubungan
2,........ 1,0,n ),()( xenlx inKl (5.14)
Yang dikenal sebagai kondisi Bloch. Jika dituliskan solusi (x) di dalam bentuk
)()( xKiKxuex (5.15)
Mengikuti persamaan (56) bahwa
)())(( xKK uxlxu (5.16)
Hasil ini dikenal sebagai teorema Bloch. Fungsi gelombang Bloch (5.15) diwakili gelombang
berjalan dengan panjang gelombang 2/K, yang amplitudonya uk(x) adalah periodik, dengan
periode l seperti pada kisi-kisi kristal.
-
21