pentagramme de miquel construisons un pentagone abcde
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Pentagramme de Miquel
• Construisons un pentagone ABCDE.
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Pentagramme de Miquel
• Construisons un pentagone ABCDE.• Prolongeons chaque côté du pentagone.
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Pentagramme de Miquel
• Construisons un pentagone ABCDE.• Prolongeons chaque côté du pentagone.• On obtient un Pentagramme.
E
A
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Pentagramme de Miquel
• Construisons un pentagone ABCDE.• Prolongeons chaque côté du pentagone.• On obtient un Pentagramme.• Nommons les intersections des droites.
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Pentagramme de Miquel
• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. E
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Pentagramme de Miquel
• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. E
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Pentagramme de Miquel
• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. E
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C
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Pentagramme de Miquel
• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. E
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Pentagramme de Miquel
• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL, BCM, CDN, DEO et EAK. E
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Pentagramme de Miquel
• Construisons un pentagone ABCDE.• Prolongeons chaque côté du pentagone.• On obtient un Pentagramme.• Nommons les intersections des droites.• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL,
BCM, CDN, DEO et EAK.• Nommons les intersections des cercles.
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Pentagramme de Miquel
• Construisons un pentagone ABCDE.• Prolongeons chaque côté du pentagone.• On obtient un Pentagramme.• Nommons les intersections des droites.• Traçons les cercles circonscrits aux triangles ABL,
BCM, CDN, DEO et EAK.• Nommons les intersections des cercles.• Nous voulons prouver que toutes ces intersections
sont cocycliques.
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Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles
Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α
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Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α ,
Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β
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Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et
Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et Ω
Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et Ω .
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Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et Ω.
• Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme.
Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et Ω.
• Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme.
• Commençons par l’angle α .
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Cet angle α1 est égal à α car
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Cet angle α1 est égal à α car
• ils sont inscris dans un même cercle
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Cet angle α1 est égal à α car
• ils sont inscris dans un même cercle
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Cet angle α1 est égal à α car
• ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle α1 est égal à α car
• ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle α1 est égal à α car
• ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.
• α1 = αE
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Cet angle α2 est égal à α car
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Cet angle α2 est égal à α car
• Ils ont le même angle supplémentaire θ.
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Cet angle α2 est égal à α car
• Ils ont le même angle supplémentaire θ.
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
θ + α = 180°
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
θ + α = 180°
Mais on voit aussi que θ et α2 sont supplémentaires :
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
θ + α = 180°
Mais on voit aussi que θ et α2 sont supplémentaires :
θ + α2 = 180°
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Cet angle α2 est égal à α car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
θ + α = 180°
Mais on voit aussi que θ et α2 sont supplémentaires :
θ + α2 = 180°• Donc α2 = α
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Cet angle α3 est égal à α car
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Cet angle α3 est égal à α car
• α3 et α2 sont inscris dans un même cercle
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Cet angle α3 est égal à α car
• α3 et α2 sont inscris dans un même cercle
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Cet angle α3 est égal à α car
• α3 et α2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle α3 est égal à α car
• α3 et α2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle α3 est égal à α car
• α3 et α2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.
• α3 = α2 = α
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Observons le quadrilatère NHBK
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Observons le quadrilatère NHBK
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Observons le quadrilatère NHBK
• Observons l’angle supplémentaire de α3
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Observons le quadrilatère NHBK
• Observons l’angle supplémentaire de α3 : l’angle θ.
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Observons le quadrilatère NHBK
• Observons l’angle supplémentaire de α3 : l’angle θ.
• Puisque α3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α.
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Observons le quadrilatère NHBK
• Observons l’angle supplémentaire de α3 : l’angle θ.
• Puisque α3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α.
• On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère NHBK.
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Observons le quadrilatère NHBK
• Observons l’angle supplémentaire de α3 : l’angle θ.
• Puisque α3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α.
• On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère NHBK.
• NHBK est donc inscriptible.
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Observons le quadrilatère NHBK
• Observons l’angle supplémentaire de α3 : l’angle θ.
• Puisque α3 = α, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α.
• On voit que θ et α sont des angles opposés dans le quadrilatère.
• NHBK est donc inscriptible.
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Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et Ω.
• Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme.
• Commençons par l’angle α .• Poursuivons par l’angle β .
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Cet angle β1 est égal à β car
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Cet angle β1 est égal à β car
• Ils ont le même angle supplémentaire
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Cet angle β1 est égal à β car
• Ils ont le même angle supplémentaire : ψ.
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
AEKF : c’est un quadrilatère inscrit.
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
AEKF : c’est un quadrilatère inscrit.
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
ψ + β = 180°
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
ψ + β = 180°
Mais on voit aussi que β1 et ψ sont supplémentaires
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
ψ + β = 180°
Mais on voit aussi que β1 et ψ sont supplémentaires :
ψ + β1 = 180°
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Cet angle β1 est égal à β car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DCHN : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
ψ + β = 180°Mais on voit aussi que β1 et
ψ sont supplémentaires : ψ + β1 = 180°• Donc β1 = β
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Cet angle β2 est égal à β car
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Cet angle β2 est égal à β car
• β1 et β2 sont inscris dans un même cercle
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B
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Cet angle β2 est égal à β car
• β1 et β2 sont inscris dans un même cercle
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Cet angle β2 est égal à β car
• β1 et β2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle β2 est égal à β car
• β1 et β2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle β2 est égal à β car
• β1 et β2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.
• β2 = β1 = β
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Observons le quadrilatère NBFK
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Observons le quadrilatère NBFK
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Observons le quadrilatère NBFK
• Observons l’angle supplémentaire de β2
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Observons le quadrilatère NBFK
• Observons l’angle supplémentaire de β2 : l’angle ψ.
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Observons le quadrilatère NBFK
• Observons l’angle supplémentaire de β2 : l’angle ψ.
• Puisque β2 = β , cet angle est donc aussi le supplémentaire de β .
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I
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Observons le quadrilatère NBFK
• Observons l’angle supplémentaire de β2 : l’angle ψ.
• Puisque β2 = β , cet angle est donc aussi le supplémentaire de β2.
• On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK.
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Observons le quadrilatère NBFK
• Observons l’angle supplémentaire de β2 : l’angle ψ.
• Puisque β2 = β , cet angle est donc aussi le supplémentaire de β2.
• On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK.
• NBFK est donc inscriptible.
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Observons le quadrilatère NBFK
• Observons l’angle supplémentaire de β2 : l’angle ψ.
• Puisque β2 = β , cet angle est donc aussi le supplémentaire de β2.
• On voit que ψ et β sont des angles opposés dans le quadrilatère NBFK.
• NBFK est donc inscriptible.
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Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
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Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
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Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
• Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.
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Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
• Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.
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Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
• Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.
• Par conséquent, le quadrilatère NHFK est aussi inscriptible.
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Pentagramme de Miquel
• Nous venons de le voir, NHBK et NBFK sont des quadrilatères inscriptibles.
• Donc, B, F, H, K et N sont cocycliques.
• Par conséquent, le quadrilatère NHFK est aussi inscriptible.
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Pentagramme de Miquel
• Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. E
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Pentagramme de Miquel
• Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.
• Cherchons le supplémentaire de α
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Pentagramme de Miquel
• Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.
• Cherchons le supplémentaire de α : θ
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Pentagramme de Miquel
• Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.
• Cherchons le supplémentaire de α : θ
• A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α4 égal à α.
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Pentagramme de Miquel
• Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.
• Cherchons le supplémentaire de α : θ
• A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α4 égal à α.
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Pentagramme de Miquel
• Puisque ce quadrilatère est inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.
• Cherchons le supplémentaire de α : θ
• A partir de cet angle, nous pouvons trouver un angle α4 égal à α.
• Ils possèdent le même angle supplémentaire: θ
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Pentagramme de Miquel
• Pour démontrer ce théorème, prenons 3 angles α , β et Ω.
• Cherchons les angles qui leurs sont égaux dans le pentagramme.
• Commençons par l’angle α .• Poursuivons par l’angle β .• Terminons avec l’angle Ω .
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Cet angle Ω1 est égal à Ω car
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Cet angle Ω1 est égal à Ω car
• ils sont inscris dans un même cercle
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Cet angle Ω1 est égal à Ω car
• ils sont inscris dans un même cercle
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Cet angle Ω1 est égal à Ω car
• ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle Ω1 est égal à Ω car
• ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle Ω1 est égal à Ω car
• ils sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.
• Ω = Ω1
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Ω2 et Ω1 ont le même supplémentaire
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Ω2 et Ω1 ont le même supplémentaire : l’angle η.
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE : c’est un quadrilatère inscrit. E
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE : c’est un quadrilatère inscrit. E
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G
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I
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires
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I
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :
Observons le quadrilatère DIJE : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
η + Ω1 = 180°
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DIJE : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
η + Ω1 = 180°Mais on voit aussi que θ et
α2 sont supplémentaires : η + Ω2= 180°
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G
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DIJE : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
η + Ω1 = 180°Mais on voit aussi que θ et
α2 sont supplémentaires : η + Ω2= 180°
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Cet angle Ω2 est égal à Ω car
• Preuve :Observons le quadrilatère
DIJE : c’est un quadrilatère inscrit.
Les angles opposés sont donc supplémentaires :
η + Ω1 = 180°
Mais on voit aussi que θ et α2 sont supplémentaires : η + Ω2= 180°
• Donc Ω2 = Ω1 = Ω
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Cet angle Ω3 est égal à Ω car
• Ω3 et Ω2 sont inscris dans un même cercle
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Cet angle Ω3 est égal à Ω car
• Ω3 et Ω2 sont inscris dans un même cercle
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M
K
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G
H
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Cet angle Ω3 est égal à Ω car
• Ω3 et Ω2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle Ω3 est égal à Ω car
• Ω3 et Ω2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde. E
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Cet angle Ω3 est égal à Ω car
• Ω3 et Ω2 sont inscris dans un même cercle et ils interceptent une même corde.
• Ω3 = Ω2 = Ω
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Observons le quadrilatère FJIH
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Observons le quadrilatère FJIH
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Observons le quadrilatère FJIH
• Observons l’angle supplémentaire de
α4 + Ω3E
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Observons le quadrilatère FJIH
• Observons l’angle supplémentaire de
α4 + Ω3 : l’angle τE
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G
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I
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G
N
Observons le quadrilatère FJIH
• Observons l’angle supplémentaire de
α4 + Ω3 : l’angle τ• Puisque
α4 + Ω3 = α1 + Ω1 , cet angle est donc aussi le supplémentaire de
α1 + Ω1 .
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A
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G
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Observons le quadrilatère FJIH
• Observons l’angle supplémentaire de
α4 + Ω3 : l’angle τ• Puisque α4 + Ω3 = α1 + Ω1 , cet
angle est donc aussi le supplémentaire de
α1 + Ω1 .• On voit que τ et α1 + Ω1
sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH .
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A
B
C
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K
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I
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G
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Observons le quadrilatère FJIH
• Observons l’angle supplémentaire de
α4 + Ω3 : l’angle τ• Puisque α4 + Ω3 = α1 + Ω1
, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α1 + Ω1 .
• On voit que τ et α1 + Ω1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH .
• FJIH est donc inscriptible.
E
A
B
C
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K
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L
M
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G
H
I
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G
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Observons le quadrilatère FJIH
• Observons l’angle supplémentaire de
α4 + Ω3 : l’angle τ• Puisque α4 + Ω3 = α1 + Ω1
, cet angle est donc aussi le supplémentaire de α1 + Ω1 .
• On voit que τ et α1 + Ω1 sont des angles opposés dans le quadrilatère FJIH .
• FJIH est donc inscriptible.
E
A
B
C
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K
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M
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G
H
I
J
G
N
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Pentagramme de Miquel
• Puisque FJIH est un quadrilatère inscriptible, F, J, I et H sont des points cocycliques.
Pentagramme de Miquel
• Puisque FJIH est un quadrilatère inscriptible, F, J, I et H sont des points cocycliques.
• Pour terminer la démonstration de ce théorème, il nous reste à prouver que G se trouve aussi sur ce cercle.
Pentagramme de Miquel
• En plaçant les 3 angles α, β et Ω différemment dans le pentagramme,
Pentagramme de Miquel
• En plaçant les 3 angles α, β et Ω différemment dans le pentagramme,
• Par exemple : E
A
B
C
D
L
M
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K
O
L
M
K
O
N
F
G
H
I
J
G
Pentagramme de Miquel
• Et en suivant le même raisonnement, nous trouveront 4 points cocycliques.
Pentagramme de Miquel
• Et en suivant le même raisonnement, nous trouveront 4 points cocycliques.
• Dans l’exemple: GHIJ
E
A
B
C
D
L
M
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K
O
L
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K
O
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F
G
H
I
J
G
Pentagramme de Miquel
• En superposant nos 2 conclusions : Les points F, J, I et H
sont cocycliques.Les points G, H, I et J
sont cocycliques.
On prouve que les intersections des cercles circonscrits aux triangles du pentagramme (F G H I J) sont cocycliques.
Pentagramme de Miquel
• En superposant nos 2 conclusions : Les points F, J, I et H
sont cocycliques.Les points G, H, I et J
sont cocycliques.
On prouve que les intersections des cercles circonscrits aux triangles du pentagramme (F G H I J) sont cocycliques.
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