persamaan diferensial parsial...
TRANSCRIPT
Tim Ilmu Komputasi
Coordinator contact:
Dr. Putu Harry Gunawan
Persamaan Diferensial
Parsial CNH3C3Week 3: Pengantar, konsep
dasar dan klasi�kasi PDP
1 Kontrak kuliah
2 Pendahuluan
Konsep Dasar
Kehomogenan
Orde
Kelinieran
3 Klasi�kasi PDP
4 Aplikasi
Kontrak kuliah
Batasan materiBatasan kuliah ini
Pendahuluan
Konsep dasar
De�nisi (PDP)
Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaanyang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yangbelum diketahui u(x1, x2, · · · , xn) berdimensi n ≥ 2, dan turunanparsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya.
Bentuk umumdari PDP diberikan sebagai berikut:
F
(x1, x2, · · · xn, u,
∂u
∂x1, · · · , ∂u
∂xn,∂2u
∂x1x1, · · · , ∂
2u
∂x1xn, · · ·
)= 0.
Pendahuluan
Konsep dasar
De�nisi (PDP)
Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaanyang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yangbelum diketahui u(x1, x2, · · · , xn) berdimensi n ≥ 2, dan turunanparsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya. Bentuk umumdari PDP diberikan sebagai berikut:
F
(x1, x2, · · · xn, u,
∂u
∂x1, · · · , ∂u
∂xn,∂2u
∂x1x1, · · · , ∂
2u
∂x1xn, · · ·
)= 0.
Pendahuluan
Contoh
Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi
yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua
variabel bebas:
∂2u(x , y)
∂x2+∂2u(x , y)
∂y2= 0,persamaan Laplace (2.1)
∂u(t, x)
∂t− α∂
2u(t, x)
∂x2= 0,persamaan difusi (2.2)
∂2u(t, x)
∂t2− c2
∂2u(t, x)
∂x2= 0,persamaan gelombang (2.3)
dengan ∂u/∂t, ∂2u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap
variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.
Pendahuluan
Contoh
Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi
yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua
variabel bebas:
∂2u(x , y)
∂x2+∂2u(x , y)
∂y2= 0,persamaan Laplace (2.1)
∂u(t, x)
∂t− α∂
2u(t, x)
∂x2= 0,persamaan difusi (2.2)
∂2u(t, x)
∂t2− c2
∂2u(t, x)
∂x2= 0,persamaan gelombang (2.3)
dengan ∂u/∂t, ∂2u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap
variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.
Pendahuluan
Contoh
Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi
yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua
variabel bebas:
∂2u(x , y)
∂x2+∂2u(x , y)
∂y2= 0,persamaan Laplace (2.1)
∂u(t, x)
∂t− α∂
2u(t, x)
∂x2= 0,persamaan difusi (2.2)
∂2u(t, x)
∂t2− c2
∂2u(t, x)
∂x2= 0,persamaan gelombang (2.3)
dengan ∂u/∂t, ∂2u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap
variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.
Pendahuluan
Contoh
Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP
dapat juga ditulis dalam bentuk:
uxx + uyy = 0, (2.4)
ut − αuxx = 0, (2.5)
utt − c2uxx = 0, (2.6)
dengan subscript menyatakan turunan parsial.
Pendahuluan
Contoh
Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas
adalah
ut + ux = 0, persamaan transport (2.7)
ut + ux − αuxx = 0, persamaan reaksi-difusi (2.8)
ut + uux = 0, persamaan inviscid Burger (2.9)
uxx + uyy = f (x , y), persamaan Poisson (2.10)
ut + uux + uxxx = 0, persamaan KdV (2.11)
iut + uxx = 0. persamaan Schrödinger (2.12)
Pendahuluan
Notasi umum gradien (grad(u) = ∇u)
Gradien grad(u) = ∇u:Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi
u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean.
Contohnya:
∇u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂
∂x1,∂
∂x2, · · · , ∂
∂xn
)u(x1, x2, · · · , xn).
Misalkan terdapat fungsi u(x , y), maka ∇u(x , y) = (ux , uy ).
Pendahuluan
Notasi umum gradien (grad(u) = ∇u)
Gradien grad(u) = ∇u:Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi
u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:
∇u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂
∂x1,∂
∂x2, · · · , ∂
∂xn
)u(x1, x2, · · · , xn).
Misalkan terdapat fungsi u(x , y), maka ∇u(x , y) = (ux , uy ).
Pendahuluan
Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)
Divergent div(u) = ∇ · u:Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi
u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari
suku-suku vektor gradiennya).
Contohnya:
∇ · u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂
∂x1+
∂
∂x2+ · · ·+ ∂
∂xn
)u.
Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat
∇ · u(x , y , z) =
(∂u
∂x+∂u
∂y+∂u
∂z
).
Pendahuluan
Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)
Divergent div(u) = ∇ · u:Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi
u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari
suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:
∇ · u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂
∂x1+
∂
∂x2+ · · ·+ ∂
∂xn
)u.
Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat
∇ · u(x , y , z) =
(∂u
∂x+∂u
∂y+∂u
∂z
).
Pendahuluan
Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)
Divergent div(u) = ∇ · u:Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi
u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari
suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:
∇ · u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂
∂x1+
∂
∂x2+ · · ·+ ∂
∂xn
)u.
Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat
∇ · u(x , y , z) =
(∂u
∂x+∂u
∂y+∂u
∂z
).
Pendahuluan
Notasi umum Laplace (∆u = ∇2u = ∇ · ∇u)
Laplace operator ∆u = ∇2u = ∇ · ∇u:Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1, x2, · · · , xn) pada
n-dimensi ruang Euclidean.
Contohnya:
∆u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂2
∂x21
+∂2
∂x22
+ · · ·+ ∂2
∂x2n
)u.
Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat
∆u(x , y , z) =
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
).
Pendahuluan
Notasi umum Laplace (∆u = ∇2u = ∇ · ∇u)
Laplace operator ∆u = ∇2u = ∇ · ∇u:Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1, x2, · · · , xn) pada
n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:
∆u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂2
∂x21
+∂2
∂x22
+ · · ·+ ∂2
∂x2n
)u.
Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat
∆u(x , y , z) =
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
).
Pendahuluan
Notasi umum Laplace (∆u = ∇2u = ∇ · ∇u)
Laplace operator ∆u = ∇2u = ∇ · ∇u:Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1, x2, · · · , xn) pada
n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:
∆u(x1, x2, · · · , xn) =
(∂2
∂x21
+∂2
∂x22
+ · · ·+ ∂2
∂x2n
)u.
Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat
∆u(x , y , z) =
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
).
Pendahuluan
Solusi PDP
Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika
sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan
apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan.
Sebagai
contoh, untuk melihat u(x , t) = et−x merupakan solusi dari
persamaan gelombang
utt − uxx = 0, (2.13)
secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke
dalam persamaan, sehingga didapat:
(et−x)tt − (et−x)xx = et−x − et−x = 0.
Pendahuluan
Solusi PDP
Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika
sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan
apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai
contoh, untuk melihat u(x , t) = et−x merupakan solusi dari
persamaan gelombang
utt − uxx = 0, (2.13)
secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke
dalam persamaan, sehingga didapat:
(et−x)tt − (et−x)xx = et−x − et−x = 0.
Pendahuluan
Solusi PDP
Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika
sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan
apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai
contoh, untuk melihat u(x , t) = et−x merupakan solusi dari
persamaan gelombang
utt − uxx = 0, (2.13)
secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke
dalam persamaan, sehingga didapat:
(et−x)tt − (et−x)xx = et−x − et−x = 0.
Pendahuluan
Latihan
Tunjukkan apakah u(x , t) = sin(x − t) merupakan solusi dari
persamaan gelombang dibawah ini ?
utt − uxx = 0, (2.14)
Pendahuluan
Latihan
Tunjukkan apakah u(x , t) = f (x − ct) merupakan solusi dari
persamaan gelombang dibawah ini ?
utt − c2uxx = 0, (2.15)
Pendahuluan
Kehomogenan
De�nisi (PDP tak-homogen)
Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belumdiketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaanPDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung padafungsi u.
Sebagai contoh, persamaan Poisson:
uxx(x , y) + uyy (x , y) = f (x , y)
merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y)yang tidak bergantung pada fungsi u(x , y). Sedangkan persamaan
Laplace:
uxx(x , y) + uyy (x , y) = 0
merupakan persamaan yang homogen.
Pendahuluan
Kehomogenan
De�nisi (PDP tak-homogen)
Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belumdiketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaanPDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung padafungsi u.
Sebagai contoh, persamaan Poisson:
uxx(x , y) + uyy (x , y) = f (x , y)
merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y)yang tidak bergantung pada fungsi u(x , y).
Sedangkan persamaan
Laplace:
uxx(x , y) + uyy (x , y) = 0
merupakan persamaan yang homogen.
Pendahuluan
Kehomogenan
De�nisi (PDP tak-homogen)
Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belumdiketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaanPDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung padafungsi u.
Sebagai contoh, persamaan Poisson:
uxx(x , y) + uyy (x , y) = f (x , y)
merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y)yang tidak bergantung pada fungsi u(x , y). Sedangkan persamaan
Laplace:
uxx(x , y) + uyy (x , y) = 0
merupakan persamaan yang homogen.
Pendahuluan
Latihan
Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut homogen atau
non-homogen!
ut + ux = 0, persamaan transport (2.16)
ut + ux − αuxx = 0, persamaan reaksi-difusi (2.17)
ut + uux = 0, persamaan inviscid Burger (2.18)
uxx + uyy = f (x , y), persamaan Poisson (2.19)
ut + uux + uxxx = 0, persamaan KdV (2.20)
iut + uxx = 0. persamaan Schrödinger (2.21)
Pendahuluan
Orde
De�nisi (Orde)
Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang adadi dalam persamaan itu sendiri.
Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde
satu untuk (x , y) sebagai
F (x , y , u(x , y), ux(x , y), uy (x , y)) = F (x , y , u, ux , uy ) = 0, (2.22)
sedangkan untuk PDP orde dua adalah:
F (x , y , u, ux , uy , uxx , uyy ) = 0. (2.23)
Pendahuluan
Orde
De�nisi (Orde)
Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang adadi dalam persamaan itu sendiri.
Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde
satu untuk (x , y) sebagai
F (x , y , u(x , y), ux(x , y), uy (x , y)) = F (x , y , u, ux , uy ) = 0, (2.22)
sedangkan untuk PDP orde dua adalah:
F (x , y , u, ux , uy , uxx , uyy ) = 0. (2.23)
Pendahuluan
Latihan
Tentukan Orde dari:
ut + ux = 0, persamaan transport (2.24)
ut + uux + uxxx = 0, persamaan KdV (2.25)
Pendahuluan
Kelinieran
PDP dapat ditulis dalam bentuk:
L(u) = 0, (2.26)
dengan L disebut sebagai sebuah operator.
Maka contoh
persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi
L = ∂∂t + ∂
∂x + α ∂2
∂x2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).
De�nisi (PDP Linier)
Operator L dikatakan linier jika memenuhi
L(u + v) = Lu + Lv , dan L(cu) = cLu, (2.27)
untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.
Pendahuluan
Kelinieran
PDP dapat ditulis dalam bentuk:
L(u) = 0, (2.26)
dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh
persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi
L = ∂∂t + ∂
∂x + α ∂2
∂x2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).
De�nisi (PDP Linier)
Operator L dikatakan linier jika memenuhi
L(u + v) = Lu + Lv , dan L(cu) = cLu, (2.27)
untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.
Pendahuluan
Kelinieran
PDP dapat ditulis dalam bentuk:
L(u) = 0, (2.26)
dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh
persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi
L = ∂∂t + ∂
∂x + α ∂2
∂x2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).
De�nisi (PDP Linier)
Operator L dikatakan linier jika memenuhi
L(u + v) = Lu + Lv , dan L(cu) = cLu, (2.27)
untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.
Pendahuluan
Contoh
Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan
transport ut + ux linier atau tidak?
Hal ini dapat ditunjukkan
dengan,
L(u + v) = (u + v)t + (u + v)x = ut + vt + ux + vx
= (ut + ux) + (vt + vx) = Lu + Lv
dan
L(cu) = (cu)t + (cu)x = cut + cux = cLu.
Sehingga berdasarkan De�nisi 2.4, persamaan ut + ux merupakan
persamaan linier.
Pendahuluan
Contoh
Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan
transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan
dengan,
L(u + v) = (u + v)t + (u + v)x = ut + vt + ux + vx
= (ut + ux) + (vt + vx) = Lu + Lv
dan
L(cu) = (cu)t + (cu)x = cut + cux = cLu.
Sehingga berdasarkan De�nisi 2.4, persamaan ut + ux merupakan
persamaan linier.
Pendahuluan
Contoh
Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan
transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan
dengan,
L(u + v) = (u + v)t + (u + v)x = ut + vt + ux + vx
= (ut + ux) + (vt + vx) = Lu + Lv
dan
L(cu) = (cu)t + (cu)x = cut + cux = cLu.
Sehingga berdasarkan De�nisi 2.4, persamaan ut + ux merupakan
persamaan linier.
Pendahuluan
Latihan
Tunjukkan apakah PDP-PDP berikut linier apa tidak!
1. ut + ux − αuxx = 0
2. ut + uux = 0
3. uxx + uyy = f (x , y)
4. ut + uux + uxxx
Klasi�kasi PDP
Kalsi�kasi PDP orde dua
Pada PDP dengan turunan orde dua, klasi�kasi PDP dapat
ditentukan dengan mudah.
Diberikan PDP quasilinier orde dua
nonhomogen dengan dua variabel bebas:
Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G . (3.1)
Klasi�kasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilaidiskriminan, B2 − 4AC sebagai berikut:
B2 − 4AC Klasi�kasi
Negative Eliptik
Nol Parabolik
Positif Hiperbolik
Klasi�kasi PDP
Kalsi�kasi PDP orde dua
Pada PDP dengan turunan orde dua, klasi�kasi PDP dapat
ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua
nonhomogen dengan dua variabel bebas:
Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G . (3.1)
Klasi�kasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilaidiskriminan, B2 − 4AC sebagai berikut:
B2 − 4AC Klasi�kasi
Negative Eliptik
Nol Parabolik
Positif Hiperbolik
Klasi�kasi PDP
Kalsi�kasi PDP orde dua
Pada PDP dengan turunan orde dua, klasi�kasi PDP dapat
ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua
nonhomogen dengan dua variabel bebas:
Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G . (3.1)
Klasi�kasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilaidiskriminan, B2 − 4AC sebagai berikut:
B2 − 4AC Klasi�kasi
Negative Eliptik
Nol Parabolik
Positif Hiperbolik
Klasi�kasi PDP
Latihan
Klasi�kasikan PDP-PDP berikut ini!
1. ut + ux − αuxx = 0
2. uxx + uyy = f (x , y)
3. ut + ux + uxx
4. utt + uxy + uxx
Aplikasi
Aplikasi
Beberapa aplikasi PDP dalam kehidupan sehari-hari:
I Penyebaran panas pada suatu medium
I Vibrasi senar gitar
I Pemberian harga Option (Financial Engineering)
I Gelombang air laut
I Pertumbuhan bakteri pada media tertentu
I Penyebaran polusi virus, atau gossip
I dll
End of presentation!