cakul bab iv diferensial parsial 25092015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Khairul Basar

Catatan KuliahFI2101 Fisika Matematik IASemester I 2015-2016

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Bab 4

Diferensial Parsial

Turunan suatu fungsi f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan no-

tasidf(x)

dx. Secara geometrik, turunan suatu fungsi di suatu titik tertentu

menyatakan besar kemiringan fungsi di titik yang dimaksud, sebagaimanaditunjukkan dalam Gambar 4.1. Berangkat dari pengertian limit, maka defi-nisi turunan f(x) terhadap x dapat diperoleh dari:

df(x)

dx= lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x(4.1)

x

y

x0

∆x

∆y

f(x)

df

dx

∣∣∣x=x0

=∆y

∆x

Gambar 4.1 Turunan menyatakan gradien garis singgung di suatu titik.

Untuk fungsi yang mempunyai dua atau lebih variabel, misalnya z =f(x, y) yang menggambarkan suatu permukaan dalam sistem koordinat kar-tesian, turunan terhadap salah satu variabel dapat dilakukan dengan meng-anggap variabel lainnya konstan. Misalkan pada suatu permukaan yang di-

83

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

84 Diferensial Parsial

nyatakan dengan fungsi f(x, y) bila diambil x konstan, maka akan didapatkurva yang merupakan hasil perpotongan permukaan f(x, y) dengan bidangx konstan tersebut. Turunan atau diferensial seperti ini dinamakan diferensi-al parsial (turunan sebagian). Jika x dianggap konstan, maka turunan yangdiperoleh adalah turunan terhadap variabel y dan interpretasinya tetap sa-ma yaitu menunjukkan slope (kemiringan) dari kurva yang dibentuk dariperpotongan kedua permukaan tersebut.

Notasi yang digunakan untuk menuliskan turunan parsial dari fungsi

f(x, y) terhadap variabel y (dengan menganggap x konstan) adalah∂f

∂yatau

lebih lengkapnya sering juga dituliskan sebagai

(∂f

∂y

)x

.

Fungsi f juga merupakan fungsi dengan variabel y sehingga dapat jugadiperoleh turunan parsial f(x, y) terhadap variabel x (dengan menganggap

variabel y konstan) dan hal ini dinyatakan sebagai∂f

∂xatau lebih lengkapnya

sering juga dituliskan sebagai

(∂f

∂x

)y

.

Jika diferensial biasa didefinisikan dengan limit sebagaimana ditunjukkandalam persamaan 4.1, maka untuk turunan parsial definisinya adalah

∂f(x, y)

∂x= lim∆x→0

f(x+∆x, y)− f(x, y)

∆x∂f(x, y)

∂y= lim∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y

(4.2)

Turunan kedua juga dapat diperoleh untuk fungsi multivariabel tersebut,misalnya untuk fungsi f(x, y) dapat diperoleh turunan-turunan berikut:

∂

∂x

∂f

∂x=∂2f

∂x2,

∂

∂x

∂f

∂y=

∂2f

∂x∂y,

∂

∂x

∂2f

∂x∂y=

∂3f

∂x2∂y, dlsb

Notasi lain yang sering digunakan untuk menuliskan turunan parsial adalah

fx untuk menyatakan∂f

∂x.

Umumnya (walaupun tidak selalu) terdapat hubungan∂

∂x

∂f

∂y=

∂

∂y

∂f

∂x,

yang disebut sebagai hubungan resiprok (reciprocity relation).

4.1 Deret Pangkat Multivariabel

Dalam bagian terdahulu telah pernah dibahas tentang uraian fungsi menggu-nakan deret pangkat (deret MacLaurin ataupun deret Taylor). Untuk fungsimultivariabel, hal yang serupa juga dapat dilakukan yaitu menguraikannya

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.1 Deret Pangkat Multivariabel 85

menjadi deret pangkat. Tinjau suatu fungsi multivariabel, misalnya yang di-nyatakan dengan f(x, y) = sinx cos y. Uraian deret pangkat (MacLaurin)untuk f(x, y) tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan dua deret pang-kat masing-masing untuk sinx dan cos y sebagai berikut

f(x, y) = sinx cos y =

(x− x3

3!+x5

5!+ . . .

)(1− y2

2!+y4

4!+ . . .

)= x− x3

3!− xy2

2!+y4

4!+x5

5!+x3y2

2!3!+xy4

4!+ . . .

Atau misalnya suatu fungsi lain yaitu f(x, y) = e(x−y) yang dapat diuraikansebagai berikut

e(x−y) = 1 + (x− y) +(x− y)2

2!+

(x− y)3

3!+ . . .

= 1 + x− y +x2 − 2xy + y2

2!+x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

3!+ . . .

Terlihat bahwa secara umum akan diperoleh suku-suku yang jumlah pangkatvariabel x dan y masing-masing 0, 1, 2, 3, . . .. Sehingga uraian deret MacLa-urin untuk fungsi dua variabel secara umum berbentuk

f(x, y) =c00 + c10x+ c01y + c20x2 + c11xy + c02y

2 + c30x3

+ c21x2y + c12xy

2 + c03y3 + . . .

(4.3)

dengan semua c adalah konstanta.Sedangkan uraian deret pangkat dalam variabel x dan y untuk suatu fungsi

sembarang di sekitar titik (a, b) (uraian deret Taylor) secara umum dapatdinyatakan sebagai berikut

f(x, y) =c00 + c10(x− a) + c01(y − b) + c20(x− a)2 + c11(x− a)(y − b)+ c02(y − b)2 + . . .

(4.4)

Koefisien-koefisien c dapat diperoleh melalui metode yang sama dengan caramemperoleh koefisien deret Taylor untuk fungsi satu variabel yaitu menggu-nakan turunan (diferensial). Koefisien c00 dapat diperoleh dari f(a, b). Se-lanjutnya bila deret tersebut diturunkan terhadap x, dan kemudian dihitungnilainya pada x = a dan y = b maka akan diperoleh koefisien c10

∂f(x, y)

∂x= c10 + 2c20(x− a) + c11(y − b) + . . .

c10 =1

2

∂f

∂x

∣∣∣∣∣x=a,y=b

=1

2fx(a, b)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Sedangkan bila f(x, y) diturunkan terhadap y dan dihitung nilainya padax = a dan y = b maka akan diperoleh koefisien c01

c01 =1

2

∂f

∂y

∣∣∣∣∣x=a,y=b

=1

2fy(a, b)

Dengan proses yang sama akan dapat diperoleh koefisien-koefisien yang lain-nya, yaitu

c20 =1

2fxx(a, b), c11 =

1

2fxy(a, b), c02 =

1

2fyy(a, b), dst.

Secara umum akan dapat diperoleh bentuk uraian deret pangkat (deret Ta-ylor) di sekitar titik (a, b) untuk fungsi dua variabel adalah sebagai berikut

f(x, y) =

∞∑n=0

1

n!

((x− a)

∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y

)nf(a, b) (4.5)

4.2 Diferensial Total

Jika z = f(x, y), maka diferensial total dari z dinyatakan dengan

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy (4.6)

dz menyatakan perubahan variabel z dalam arah bidang singgung ketika xberubah sebesar dx dan y berubah sebesar dy.

Untuk fungsi yang memiliki variabel lebih banyak, cara yang sama jugadapat dilakukan. Jika u = f(x, y, z, . . .), maka diferensial total dari u adalah

du =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz + . . . (4.7)

Dalam persoalan numerik, du adalah pendekatan yang baik untuk ∆u jikaturunan parsial dari fungsi f kontinu dan dx, dy, dz, dst cukup kecil.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.2 Diferensial Total 87

Contoh

Tentukan diferensial total dari fungsi f(x, y) = y exp(x+ y).

Turunan parsial fungsi tersebut adalah

∂f

∂x= y exp(x+ y)

∂f

∂y= exp(x+ y) + y exp(x+ y)

Dengan demikian

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy = [y exp(x+ y)] dx+[exp(x+ y) + y exp(x+ y)] dy

Sedangkan turunan total (total derivative) atau sering juga disebut sebagaiturunan (derivative) suatu fungsi f(x, y) terhadap variabel x dan y dapatdiperoleh sebagai berikut

df(x, y)

dx=∂f

∂x+∂f

∂y

dy

dx

df(x, y)

dy=∂f

∂y

dx

dy+∂f

∂y

(4.8)

Contoh

Tentukanlah turunan total fungsi f(x, y) = x2+3xy terhadap variabelx jika y = arcsinx

Turunan total terhadap variabel x dapat diperoleh sebagai berikut

df

dx=∂f

∂x

dx

dx+∂f

∂y

dy

dx=∂f

∂x+∂f

∂y

dy

dx

Karena f(x, y) = x2 + 3xy dan y =1

sinx, maka

∂f

∂x= 2x+ 3y,

∂f

∂y= 3x,

dy

dx=

1√1− x2

Jadidf

dx= (2x+ 3y) +

3x√1− x2

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


4.3 Hubungan Resiprok dan Siklik

Misalkan x adalah fungsi yang terdiri dari dua variabel yaitu y dan z sehinggadinyatakan sebagai x(y, z). Diferensial dx dapat diperoleh sebagai berikut

dx =

(∂x

∂y

)z

dy +

(∂x

∂z

)y

dz

Umumnya berarti dapat pula dinyatakan bahwa y adalah fungsi yang terdiridari dua variabel yaitu x dan y. Dengan demikian diferensial dy dinyatakansebagai berikut

dy =

(∂y

∂x

)z

dx+

(∂y

∂z

)x

dz

Bila dy pada persamaan pertama diganti dengan persamaan kedua makadiperoleh

dx =

(∂x

∂y

)z

dy +

(∂x

∂z

)y

dz

=

(∂x

∂y

)z

[(∂y

∂x

)z

dx+

(∂y

∂z

)x

dz

]+

(∂x

∂z

)y

dz

=

(∂x

∂y

)z

(∂y

∂x

)z

dx+

((∂x

∂y

)z

(∂y

∂z

)x

+

(∂x

∂z

)y

)dz (4.9)

Jika ditinjau untuk keadaan z konstan yang berarti dz = 0 maka persamaantersebut di atas menjadi

dx =

(∂x

∂y

)z

(∂y

∂x

)z

dx+ 0

=⇒ 1 =

(∂x

∂y

)z

(∂y

∂x

)z

sehingga akan diperoleh suatu hubungan resiprok (kebalikan), yaitu:

(∂x

∂y

)z

=

(∂y

∂x

)−1z

(4.10)

Hal penting lainnya yang dapat diperoleh adalah bila x konstan yang ber-arti dx = 0, maka dari persamaan 4.9 akan diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.4 Diferensial Eksak dan Tak Eksak 89

0 =

((∂x

∂y

)z

(∂y

∂z

)x

+

(∂x

∂z

)y

)dz

⇒ 0 =

(∂x

∂y

)z

(∂y

∂z

)x

+

(∂x

∂z

)y

selanjutnya bila persamaan tersebut di atas dikalikan dengan (∂z/∂x)y makadiperoleh(

∂x

∂y

)z

(∂y

∂z

)x

(∂z

∂x

)y

+

(∂x

∂z

)y

(∂z

∂x

)y

= 0(∂x

∂y

)z

(∂y

∂z

)x

(∂z

∂x

)y

= −(∂x

∂z

)y

(∂z

∂x

)y

Kemudian dengan menggunakan hubungan resiprok yang telah diperoleh se-

belumnya, maka

(∂z

∂x

)y

=

(∂x

∂z

)−1y

sehingga

(∂x

∂z

)y

(∂z

∂x

)y

= 1 dan se-

lanjutnya akan diperoleh

(∂x

∂y

)z

(∂y

∂z

)x

(∂z

∂x

)y

= −1 (4.11)

yang dikenal dengan hubungan siklik.

4.4 Diferensial Eksak dan Tak Eksak

Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang memperoleh diferensial darisuatu fungsi dan bahwa diferensial merupakan operasi kebalikan dari inte-gral. Artinya untuk memperoleh bentuk suatu fungsi yang diketahui diferen-sialnya, maka dapat dilakukan dengan cara mengintegralkan. Sebagaimanayang telah dijelaskan sebelumnya bahwa diferensial dari fungsi f(x, y) adalah

df =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy. Misalnya jika df = xdy + ydx, bila dibandingkan maka

akan dapat diperoleh hubungan sebagai berikut

∂f

∂x= y → f(x, y) =

∫ydx = xy + g(y)

∂f

∂y= x→ f(x, y) =

∫xdy = xy + h(x)

dapat diperoleh bentuk fungsi f yang memenuhi adalah f(x, y) = xy + Cdengan C adalah konstanta sembarang. Diferensial yang bentuk fungsinya

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan seperti itu dinamakan diferen-sial eksak (exact differential).

Sebagai bandingannya, diferensial yang bentuk fungsinya tidak dapat di-peroleh melalui pengintegralan seperti uraian sebelumnya dinamakan dife-rensial tak eksak (inexact differential). Contohnya adalah xdy + 3ydx. Biladimisalkan fungsi yang memenuhi diferensial tersebut adalah ψ(x, y), makaberarti

dψ =∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy

selanjutnya bila dibandingkan dengan diferensial yang dimaksud yaitu xdy+3ydx, maka

∂ψ

∂x= 3y =⇒ ψ(x, y) = 3xy + g(y)

∂ψ

∂y= x =⇒ ψ(x, y) = xy + h(x)

terlihat bahwa tidak diperoleh bentuk fungsi ψ(x, y) yang memenuhi diferen-sial tersebut, oleh karenanya diferensial tersebut disebut sebagai diferensialtak eksak.

Tinjau diferensial yang terdiri dari dua variabel x dan y, yang dapat di-nyatakan dalam bentuk sebagai berikut

df = A(x, y)dx+B(x, y)dy

Dapat diperoleh bahwa∂f

∂x= A(x, y) dan

∂f

∂y= B(x, y). Agar diferensial

tersebut bersifat eksak, maka syarat yang harus dipenuhi adalah

∂A

∂y=∂B

∂x(4.12)

Dapat diperoleh untuk diferensial yang memiliki banyak variabel x1, x2, . . . , xnyang dituliskan dalam bentuk

df =

n∑i=1

gi(x1, x2, . . . , xn)dxi

akan bersifat eksak bila

∂gi∂xj

=∂gj∂xi

untuk semua pasangan i dan j (4.13)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.5 Aturan Rantai 91

4.5 Aturan Rantai

Dalam persoalan diferensial biasa, jika f merupakan fungsi dari x sedangkanx merupakan fungsi dari variabel t, maka laju perubahan fungsi s terhadapvariabel t dapat diperoleh dengan aturan rantai, yaitu

df

dt=df

dx

dx

dt(4.14)

Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk fungsi multivariabel. Misalkanz = f(x(t), y(t)), maka dapat dinyatakan

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt(4.15)

Misalnya z = 2t2 sin t, maka diperoleh

dz

dt= 4t sin t+ 2t2 cos t

Misalkan suatu fungsi multivariabel z = f(x, y) dengan x dan y masing-masing adalah fungsi dengan dua variabel yaitu s dan t. Hal ini berarti zadalah fungsi dari s dan t sehingga dapat diperoleh turunan parsial z ter-hadap s dan juga terhadap t. Turunan parsialnya dapat dinyatakan sebagaiberikut

∂z

∂s=∂z

∂x

∂x

∂s+∂z

∂y

∂y

∂s

∂z

∂t=∂z

∂x

∂x

∂t+∂z

∂y

∂y

∂t

(4.16)

Misalnya suatu fungsi z = xy dengan x = sin(s+ t) dan y = s− t, maka

∂z

∂x= y,

∂z

∂y= x

∂x

∂s= cos(s+ t)

∂x

∂t= cos(s+ t)

∂y

∂s= 1

∂y

∂t= −1

sehingga diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


∂z

∂s= y cos(s+ t) + x(1)

= (s− t) cos(s+ t) + sin(s+ t)

∂z

∂t= y cos(s+ t)− x(1)

= (s− t) cos(s+ t)− sin(s+ t)

Persamaan 4.16 dapat juga dituliskan dalam notasi matriks. Jika u =f(x, y, z), x(s, t), y(s, t), z(s, t), maka dapat dituliskan

(∂u

∂s

∂u

∂t

)=

(∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

)

∂x

∂s

∂x

∂t

∂y

∂s

∂y

∂t

∂z

∂s

∂z

∂t

(4.17)

4.6 Diferensial Implisit

Diferensial (turunan) untuk fungsi yang dinyatakan secara eksplisit, misalnyay = f(x) = x2 + 2x dapat diperoleh dengan mudah. Namun terkadang suatufungsi dinyatakan dalam bentuk yang tidak eksplisit seperti itu. Misalnya sajafungsi yang dinyatakan dalam bentuk x3 − 3xy + y3 = 2. Dalam kasus ini,fungsi tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi suatu variabel

sehingga untuk mencari turunannya (dy

dx) diperlukan cara lain yang disebut

turunan impisit (implicit differential). Prosesnya dapat dilakukan denganmenurunkan masing-masing suku terhadap x sebagai berikut

d

dx

(x3)− d

dx(3xy) +

d

dx

(y3)

=d

dx(2)

3x2dx

dx−(

3xdy

dx+ 3y

dx

dx

)+ 3y2

dy

dx= 0

3x2 − 3y − dy

dx

(3x− 3y2

)= 0

=⇒ dy

dx=

3x2 − 3y

3x− 3y2=x2 − yx− y2

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.7 Aplikasi Diferensial Parsial 93

Contoh

Tentukanlahdy

dxjika yexy = sinx

Jika fungsi persamaan tersebut didiferensialkan terhadap x maka akandiperoleh

d

dx(yexy) =

d

dx(sinx)

dy

dxexy + y

d

dx(exy) = cosx

dx

dx

exydy

dx+ y

[yexy

dx

dx+ xexy

dy

dx

]= cosx

dy

dx[exy + xyexy] + y2exy = cosx

dy

dx=

cosx− y2exy

exy + xyexy

4.7 Aplikasi Diferensial Parsial

Persoalan maksimum dan minimum

Dalam kasus satu variabel, konsep diferensial dapat digunakan untuk mencarinilai ekstrimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi. Titik ekstrimumsuatu fungsi ditandai dengan nilai turunan sama dengan nol di titik tersebut.Untuk mengetahui apakah suatu titik ekstrimum merupakan titik maksimumatau minimum diperlukan informasi tentang turunan kedua di titik tersebut.

Telah diketahui bahwa fungsi multivariabel misalnya z = f(x, y) menya-takan suatu permukaan dalam sistem koordinat xy. Jika pada permukaan ter-sebut terdapat titik puncak ataupun titik lembah, maka kurva x = konstandan y = konstan yang memotong permukaan tersebut dan melalui titik pun-cak tersebut juga akan mengalami nilai ekstrimum di titik puncak yang sama.Hal ini berarti di titik puncak tersebut berlaku

∂z

∂x= 0 dan

∂z

∂y= 0 (4.18)

Sama halnya dengan persoalan maksimum-minimum dalam kasus satu varia-

bel, titik yang memenuhi kondisi∂z

∂x= 0 dan

∂z

∂y= 0 dapat berupa titik mak-

simum, atau titik minimum, atau titik pelana dan lain sebagainya. Dengan

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


demikian untuk memastikan apakah suatu titik merupakan titik minimumatau titik maksimum atau titik pelana (Gambar 4.2) diperlukan informasitambahan tentang turunan kedua di titik tersebut (meskipun tidak seseder-hana persoalan satu variabel).

−20

2 −4

−2

0

2

4

−10

0

10

xy

f(x,y

)

titik pelana

Gambar 4.2 Titik pelana.

Contoh 1

Ingin dibuat suatu kotak (tanpa tutup) yang volumenya 5 m3 denganluas permukaan kotak minimal.

Misalkan ukuran kotak tersebut adalah p, l dan t sebagaimana di-tunjukkan dalam Gambar 4.3. Volume kotak adalah V = plt. Luaspermukaan total kotak adalah A = 2pt + 2lt + pl. Dengan menggu-nakan V , maka dapat dinyatakan

pl

t

Gambar 4.3 Kotak tanpa tutup berukuran p× l × t.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


p =V

lt−→ A = 2t

V

lt+ 2lt+

V

ltl

= 2V

l+ 2lt+

V

t

A(l, t) = 10l−1 + 2lt+ 5t−1

Terlihat bahwa dengan adanya fungsi kendala (constraint), maka fung-si A yang awalnya mempunyai tiga variabel menjadi hanya dua va-riabel. Untuk meminimalkan A berarti turunan parsial A terhadap ldan juga terhadap t sama dengan nol, hal ini memberikan

∂A

∂l=−10

l2+ 2t = 0,

∂A

∂t= 2l − 5

t2= 0

Dari persamaan pertama dapat diperoleh hubungan t =5

l2, kemudian

bila nilai t tersebut disubstitusikan ke persamaan kedua, maka akandidapat nilai l yang dapat memenuhi adalah l = 0 atau l = 3

√10.

Karena tidak mungkin l = 0, berarti nilai yang memenuhi adalahnilai l = 3

√10. Selanjutnya dengan menggunakan nilai l tersebut dapat

diperoleh nilai t, yaitu t =5

3√

100dan selanjutnya diperoleh nilai p =

5

lt=

1

10.

Contoh 2

Tentukan jarak terdekat dari titik pusat koordinat ke permukaan z =xy + 5.

Jarak suatu titik (x, y, z) dari pusat koordinat diberikan dengan√x2 + y2 + z2. Karena permukaan tersebut diberikan dengan persa-

maan z = xy + 5 jadi akan diperoleh

d =√x2 + y2 + (xy + 5)2 =

√x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25

=(x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25

)1/2Untuk meminimalkan d berarti

∂d

∂x=

1

2

(x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25

)−1/2(2x+ 2xy2 + 10y) = 0

∂d

∂y=

1

2

(x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25

)−1/2(2y + 2x2y + 10x) = 0

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


yang berarti akan dapat diperoleh hubungan berikut

(2x+ 2xy2 + 10y) = 0

(2y + 2x2y + 10x) = 0

Selanjutnya bila persamaan tersebut masing-masing dikalikan denganx dan y, maka didapat

2x2 + 2x2y2 + 10xy = 0

2y2 + 2x2y2 + 10xy = 0

Kemudian bila kedua persamaan tersebut dikurangkan akan diperoleh

2x2 − 2y2 = 0 =⇒ x = ±y

Hal tersebut berarti bahwa jarak terpendek antara permukaan ter-sebut dengan titik pusat koordinat dapat diperoleh dengan kondisix = ±y. Dengan demikian persamaan jarak dari titik pusat koordi-nat ke permukaan adalah dapat dinyatakan dalam satu variabel saja,yaitu

d =(x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25

)1/2=(y4 + 12y2 + 25

)1/2Dengan demikian jarak terpendek diperoleh bila y = 0 yang berartidmin = 5.

Contoh 3

Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan per-samaan y = 1 − x2. Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebutdari titik pusat koordinat.

Misalkan titik (x, y) adalah titik yang terletak pada lengkungan. Maka

jarak titik tersebut dari pusat koordinat adalah d =√x2 + y2. Berarti

yang harus diminimumkan adalah fungsi d tersebut. Meminimalkanfungsi d =

√x2 + y2 sama artinya dengan meminimalkan fungsi f =

d2 = x2 + y2.

f = x2 + (1− x2)2 = x2 + 1− 2x2 + x4 = x4 − x2 + 1

turunan fungsi tersebut terhadap x memberikan

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


df

dx= 4x3 − 2x

Untuk memperoleh kondisi minimal turunan tersebut sama dengannol sehingga

df

dx= 4x3 − 2x = 0 −→ x = 0 atau x = ±

√1

2

Dengan mensubstitusikan ketiga nilai x tersebut dapat diperoleh bah-

wa jarak minimum dipenuhi untuk x = ±√

12 dengan y = 1

2 yaitu

dmin = 12

√3.

Contoh 4

Cara penyelesaian di atas merupakan cara eliminasi langsung. Caralain yang dapat digunakan adalah dengan menggunakan turunan im-plisit.

Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah f = x2 + y2, diperolehturunan fungsi tersebut yaitu

df = 2xdx+ 2ydy ataudf

dx= 2x+ 2y

dy

dx

Karena y = 1− x2 berarti dy = −2xdx. Dengan demikian diperoleh

df = (2x− 4xy)dx ataudf

dx= 2x− 4xy

Untuk meminimumkan f berarti df/dx = 0 yang memberikan x = 0

atau x = ±√

12 . Sebagaimana yang telah diperoleh sebelumnya.

Metode Pengali Lagrange

Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan maksimum-minimum adalah dengan menggunakan metode pengali Lagrange (LagrangeMultipliers).

Telah ditunjukkan bahwa dalam penyelesaian persoalan maksimum-mi-nimum, pada intinya adalah ingin dicari minimum atau maksimum suatufungsi f(x, y) dengan x dan y terhubung dengan persamaan yang dinyatak-an dengan φ(x, y) = konstan. Kemudian dengan mengatur agar df/dx = 0(sebagaimana Contoh 3 di atas) atau df = 0 (sebagaimana Contoh 4 di

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


atas). Selanjutnya karena φ = konstan berarti dφ = 0 sehingga

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy = 0

dφ =∂φ

∂xdx+

∂φ

∂ydy = 0

Pada metode pengali Lagrange persamaan dφ dikalikan dengan suatu kons-tanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan df , sehingga didapat ben-tuk persamaan

df + λdφ = 0 −→(∂f

∂x+ λ

∂φ

∂x

)dx+

(∂f

∂y+ λ

∂φ

∂y

)dy = 0 (4.19)

Kemudian jika nilai λ dipilih sedemikian sehingga

∂f

∂y+ λ

∂φ

∂y= 0 (4.20)

maka berarti dari persamaan 4.19 diperoleh

∂f

∂x+ λ

∂φ

∂x= 0 (4.21)

Kemudian persamaan-persamaan 4.20, 4.21 dan φ(x, y) = konstan disele-saikan untuk memperoleh tiga variabel x, y dan λ.

Secara ringkas metode pengali lagrange untuk menentukan nilai maksi-mum atau minimum dari suatu fungsi f(x, y) dengan x dan y mempunyaihubungan φ(x, y) = konstan langkahnya sebagai berikut:

• tuliskan fungsi F (x, y) = f(x, y) + λφ(x, y)

• selesaikan persamaan∂F

∂x= 0,

∂F

∂y= 0 dan φ(x, y) = konstan untuk

memperoleh x, y dan λ.

Contoh 1

Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan per-samaan y = 1 − x2. Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebutdari titik pusat koordinat dengan metode pengali lagrange.

Dalam hal ini f(x, y) = x2 + y2 dan φ(x, y) = y + x2 = 1.Persamaan F (x, y) berbentuk

F (x, y) = f(x, y) + λφ(x, y) = (x2 + y2) + λ(y + x2) (4.22)

Kemudian

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


∂F

∂x= 2x+ λ 2x = 0

∂F

∂y= 2y + λ y = 0

(4.23)

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa x = 0 atau λ = −1. Bilanilai x = 0, maka akan memberikan nilai y = 1, dan bila nilai λ = −1maka akan memberikan y = 1

2 yang kemudian memberikan x2 = 12 .

Hal tersebut sama dengan yang diperoleh sebelumnya.

Contoh 2

Gunakan metode pengali Lagrange untuk menentukan jarak minimumdari titik pusat koordinat ke perpotongan antara xy = 6 dengan 7x+24z = 0.

Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah fungsi jarak dari titikpusat koordinat ke suatu titik (x, y, z) yang dapat dinyatakan dalambentuk x2 + y2 + z2. Syarat yang harus dipenuhi adalah bahwa titik(x, y, z) yang dimaksud haruslah terletak pada perpotongan antarapermukaan xy = 6 dengan permukaan 7x+24z = 0. Dengan menggu-nakan metode pengali Lagrange berarti persamaan F (x, y) berbentuk

F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + λ1(7x+ 24z) + λ2xy

Selanjutnya diperoleh

∂F

∂x= 2x+ 7λ1 + λ2y = 0

∂F

∂y= 2y + λ2x = 0

∂F

∂z= 2z + 24λ1 = 0

Selain ketiga persamaan tersebut terdapat juga dua persamaan lain-nya yaitu

xy = 6

7x+ 24z = 0

Dengan demikian diperoleh lima buah persamaan dengan lima buahvariabel (yaitu x, y, z, λ1, λ2) yang harus diselesaikan. Dari persamaan

kedua dan keempat diperoleh hubungan λ2 = −2y

x, sementara per-

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


samaan ketiga memberikan λ1 = − z

12. Bila nilai-nilai λ1 dan λ2 ini

disubstitusikan ke persamaan pertama dan kemudian dengan meng-gunakan persamaan keempat akan diperoleh

2x− 7

12x− 2y2

x= 0 =⇒ 2x4 − 7

12x3z − 72 = 0

Kemudian dengan menggunakan persamaan kelima dapat dieliminasivariabel z sehingga didapat

x4(

625

288

)= 72 =⇒ x = ±12

5

Selanjutnya dapat diperoleh variabel lainnya yaitu y = ±5

2dan z =

∓ 7

10. Akhirnya diperoleh jarak minimum yaitu d =

√x2 + y2 + z2 =

5√2

.

Persoalan Batas

Turunan parsial sama dengan nol hanya memberikan titik yang bersifat eks-tremum dalam suatu daerah. Namun perlu diingat jika daerah yang ditinjauterbatas, maka bisa jadi terdapat nilai maksimum atau minimum pada da-erah batas ataupun titik ujung. Untuk itu perlu diuji kemungkinan adanyanilai ekstremum pada bidang batas ataupun titik batas.

Contoh

Temperatur pada suatu lempeng yang dibatasi oleh garis x = ±1 dany = ±1 dinyatakan dengan persamaan T = 2x2 − 3y2 − 2x + 10.Tentukan temperatur tertinggi dan terendah pada lempeng tersebut.

Titik ekstrimum di dalam daerah dapat diperoleh dengan

∂T

∂x= 4x− 2 = 0 =⇒ x =

1

2∂T

∂y= −6y = 0 =⇒ y = 0

Dengan demikian titik ekstremum dalam lempeng tersebut adalah( 12 , 0). Temperatur pada titik ini dapat dihitung menggunakan persa-

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.8 Pengubahan Variabel 101

maan T (x, y), yaitu

T ( 12 , 0) = 2(1

2 )2 − 3(0)2 − 2( 12 ) + 10 = 9, 5

Kemudian perlu dianalisa temperatur di batas-batas lempeng. Untukx = 1, maka persamaan temperatur memberikan

T (x = 1, y) = T (y) = 2− 3y2 − 2 + 10 = 10− 3y2

yang menghasilkan fungsi dengan variabel hanya y. Titik ekstremumfungsi T (y) ini dapat dicari dengan cara

dT

dy= −6y = 0 =⇒ y = 0

Jadi diperoleh (1, 0). Selanjutnya

T (1, 0) = 2− 0− 2 + 10 = 10

Langkah yang sama juga dilakukan untuk batas lainnya:

pada x = −1 =⇒ dT

dy= 0 =⇒ y = 0 =⇒ T (−1, 0) = 14

pada y = ±1 =⇒ dT

dx= 0 =⇒ x = 1

2 =⇒ T ( 12 ,±1) = 6, 5

Dengan demikian diperoleh bahwa temperatur tertinggi adalah 14 di(−1, 0) sedangkan temperatur terendah adalah 6, 5 di (1

2 ,±1).

4.8 Pengubahan Variabel

Salah satu penggunaan penting dari diferensial parsial adalah dalam hal pe-ngubahan variabel (misalnya dari sistem koordinat kartesian ke sistem ko-ordinat silinder). Tinjau suatu persamaan diferensial parsial yang dikenalsebagai persamaan gelombang yaitu

∂2F

∂x2− 1

v2∂2F

∂t2= 0 (4.24)

Terlihat bahwa persamaan diferensial parsial tersebut mempunyai variabel xdan t. Kemudian akan dilakukan pengubahan variabel dengan variabel barur dan s, dengan r = x+ vt dan s = x− vt.Dengan menggunakan konsep diferensial parsial dan aturan rantai, maka da-pat dinyatakan

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


∂F

∂x=∂F

∂r

∂r

∂x+∂F

∂s

∂s

∂x=∂F

∂r+∂F

∂s=

(∂

∂r+

∂

∂s

)F

∂F

∂t=∂F

∂r

∂r

∂t+∂F

∂s

∂s

∂t= v

∂F

∂r− v ∂F

∂s= v

(∂

∂r− ∂

∂s

)F

Kemudian turunan kedua juga dapat diperoleh

∂2F

∂x2=

∂

∂x

(∂F

∂x

)=

(∂

∂r+

∂

∂s

)(∂F

∂r+∂F

∂s

)=∂2F

∂r2+ 2

∂2F

∂r∂s+∂2F

∂s2

∂2F

∂t2=

∂

∂t

(∂F

∂t

)= v

(∂

∂r− ∂

∂s

)(v∂F

∂r− v ∂F

∂s

)= v2

∂2F

∂r2− 2

∂2F

∂r∂s+∂2F

∂s2

(4.25)

Dengan demikian, dalam variabel yang baru, persamaan gelombang tersebutdapat dituliskan dalam bentuk

∂2F

∂x2− 1

v2∂2F

∂t2= 4

∂2F

∂r∂s= 0 (4.26)

Terlihat bahwa dalam variabel baru tersebut persamaan gelombang menjadibentuk yang lebih sederhana dan lebih mudah diselesaikan (dicari solusinya).

Contoh

Carilah solusi persamaan diferensial∂2z

∂x2−5

∂2z

∂x∂y+6

∂2z

∂y2= 0 dengan

menggunakan substitusi variabel s = y + 2x dan t = y + 3x.

Persamaan diferensial tersebut menunjukkan bahwa z adalah fungsidari x dan y. Dengan menggunakan variabel baru s dan t, maka ar-tinya secara implisit z menjadi fungsi dari s dan t. Turunan parsialfungsi z terhadap variabel x dan y dapat dinyatakan dalam bentuk

∂z

∂x=∂z

∂s

∂s

∂x+∂z

∂t

∂t

∂x= 2

∂z

∂s+ 3

∂z

∂t∂z

∂y=∂z

∂s

∂s

∂y+∂z

∂t

∂t

∂y=∂z

∂s+∂z

∂t

Sedangkan untuk turunan kedua diperoleh sebagai berikut

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4.9 Aturan Leibniz 103

∂2z

∂x2=

∂

∂x

(∂z

∂x

)= 4

∂2z

∂s2+ 9

∂2z

∂t2+ 12

∂2z

∂s∂t

∂2z

∂y2=

∂

∂y

(∂z

∂y

)=∂2z

∂s2+∂2z

∂t2+ 2

∂2z

∂s∂t

∂2z

∂x∂y=

∂

∂x

(∂z

∂y

)= 2

∂2z

∂s2+ 3

∂2z

∂t2+ 5

∂2z

∂s∂t

Dengan menggunakan bentuk diferensial parsial tersebut di atas, ma-ka persamaan diferensial yang dimaksud dapat dituliskan kembali da-lam bentuk yang sederhana yaitu

∂2z

∂s∂t= 0 atau

∂

∂s

(∂z

∂t

)= 0

yang berarti solusi persamaan diferensial tersebut adalah z = f(s) +g(t) = f(y+2x)+g(y+3x), dengan f dan g adalah fungsi sembarang.

4.9 Aturan Leibniz

Berdasarkan definisi integral sebagai anti turuan, yaitu jika

f(x) =dF (x)

dx

maka integral tertentu dengan batas dari t = a sampai t = x akan membe-rikan

x∫a

f(t)dt = [F (t)]

∣∣∣∣xa

= F (x)− F (a)

dengan a adalah konstanta. Kemudian bila persamaan tersebut didiferensi-alkan akan diperoleh

d

dx

x∫a

f(t)dt =d

dx[F (x)− F (a)] =

dF (x)

dx= f(x)

Hal yang sama juga dapat diperoleh bila dihitung integral tertentu denganbatas dari t = x sampai t = a yang akan memberikan

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


a∫x

f(t)dt = F (a)− F (x)

d

dx

a∫x

f(t)dt = −dF (x)

dx= −f(x)

Secara umum dapat diperoleh jika salah satu batas integrasi tersebut adalahfungsi dari variabel x misalnya u(x) dan v(x), maka akan dapat diperolehhubungan berikut

d

dv

v(x)∫a

f(t)dt = f(v)

d

du

b∫u(x)

f(t)dt = −f(u)

Jika batas-batas integralnya merupakan fungsi dari variabel x, maka dapatdiperoleh

d

dx

v(x)∫u(x)

f(t)dt =d

dx[F (v)− F (u)] =

d

dxF (v)− d

dxF (u)

=dF

dv

dv

dx− dF

du

du

dx

Dengan demikian akan dapat dinyatakan dalam bentuk

d

dx

v(x)∫u(x)

f(t)dt = f(v)dv

dx− f(u)

du

dx(4.27)

Persamaan tersebut di atas memberi ungkapan tentang turunan (diferensial)dari suatu integral tertentu.

Contoh 1

HitunglahdI

dxdengan I =

x1/3∫0

t2dt.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Dalam hal ini f(t) = t2, u(x) = 0 dan v(x) = x1/3, sehingga

f(u) = f(0) = 0

du

dx= 0

f(v) = f(x1/3) = x2/3

dv

dx=

1

3x−2/3

Dengan demikian diperoleh

d

dx

x1/3∫0

t2dt = (x2/3)

(1

3x−2/3

)− (0)(0) =

1

3

Contoh 2

Jika I =

arcsin x∫x2

sin t

tdt, tentukanlah

dI

dx.

Dengan menggunakan ungkapan pada persamaan 4.27, maka dapat

diperoleh bahwa f(t) =sin t

tdan u(x) = x2 serta v(x) = arcsinx.

Selanjutnya dapat diperoleh

dI

dx= f(v)

dv

dx− f(u)

du

dx

dengan

f(v) =sin v

v=

sin(arcsinx)

arcsinx=

x

arcsinx

f(u) =sinu

u=

sinx2

x2

dv

dx=d(arcsinx)

x=

1√1− x2

du

dx=d(x2)

dx= 2x

Sehingga

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


dI

dx=

x

arcsinx

1√1− x2

− sinx2

x22x =

x

arcsinx√

1− x2− 2 sinx2

x

Berikutnya tinjau suatu fungsi yang terdiri dari dua variabel sedemikian

sehingga F (x) =

b∫a

f(x, y)dy. Dari definisi turunan, telah diuraikan bahwa

dF

dx= limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

Dengan demikian dapat dinyatakan

dF

dx= limh→0

b∫a

f(x+ h, y)dy −b∫a

f(x, y)dy

h

= limh→0

b∫a

(f(x+ h, y)− f(x, y)

h

)dy

=

b∫a

limh→0

(f(x+ h, y)− f(x, y)

h

)dy

d

dx

b∫a

f(x, y)dy =

b∫a

∂f(x, y)

∂xdy

(4.28)

Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi multivariabel misalnya f(x, t)dan batas-batas integralnya juga fungsi dari variabel x yaitu u(x) dan v(x),maka secara umum fungsi F akan bergantung pada variabel u, v, t. DiferensialF (u, v, t) dapat dinyatakan dalam bentuk

dF

dx=∂F

∂u

du

dx+∂F

∂v

dv

dx+∂F

∂x

dx

dx=∂F

∂u

du

dx+∂F

∂v

dv

dx+∂F

∂x

karena telah diperoleh sebelumnya bahwa ∂F/∂u = −f(x, u) dan ∂F/∂v =f(x, v) maka akan diperoleh aturan Leibniz untuk fungsi multivariabel seba-gai berikut:

d

dx

v(x)∫u(x)

f(x, t)dt = f(x, v)dv

dx− f(x, u)

du

dx+

v(x)∫u(x)

∂f

∂xdt (4.29)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Contoh

TentukanlahdI

dxjika I(x) =

x2∫x

sinxt

tdt.

Dalam hal ini dapat dipahami bahwa f(x, t) =sinxt

t, u(x) = x dan

v(x) = x2. Maka dengan menggunakan aturan Leibniz (persamaan4.29) akan diperoleh

dI

dx=

sinx3

x2(2x)− sinx2

x(1) +

x2∫x

t cosxt

tdt

=2 sinx3

x− sinx2

x+

[sinxt

x

]∣∣∣∣∣x2

x

= 3sinx3

x− 2

sinx2

x=

1

x

(3 sinx3 − 2 sinx2

)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Paket Soal Bab 4

1. Jika z = x2 + 2y2, x = r cos θ dan y = r sin θ, tentukanlah turunan parsialberikut

a.

(∂z

∂x

)y

b.

(∂z

∂r

)x

c.∂2z

∂r∂yd.

∂2z

∂r∂xe.

∂2z

∂x∂y

2. Tentukan uraian Maclaurin untuk fungsi berikut

a. cos(x+ y) b. exy c.ln(1 + x)

(1 + y)

3. Tentukanlah dz/dt jika z = xe−y, x = cosh t dan y = cos t.4. Suatu kurva dinyatakan dengan persamaan xy3 − yx3 = 6. Tentukanlah

persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik (1.2).

5. Tentukanlahd2x

dy2jika x = yz dan y = 2 sin(y + z).

6. Tentukanlah∂w

∂udan

∂w

∂vjika w = e−r

2−s2 , r = uv dan s = u+ 2v.

7. Tentukanlah

(∂p

∂s

)t

dan

(∂p

∂s

)q

di titik (p, q, s, t) = (−1, 2, 3, 5) jika di-

ketahui p3 + sq = t dan q3 + tp = s.8. Suatu talang air akan dibuat dari lempeng logam yang lebarnya 24 cm. Ta-

lang tersebut dibuat dengan cara menekuk pinggir lempeng logam dengansudut θ sebagaimana ditunjukkan dalam gambar. Tentukanlah ukuran pe-nampang talang tersebut dan sudut θ agar memberikan kapasitas yangpaling besar.

θ θ

9. Jika terdapat tiga buah benda titik yang bermassa m, 2m dan 3m danmasing-masing terletak di titik (0, 1), (1, 0) dan (2, 3), tentukanlah letaktitik P sedemikian sehingga momen inersia sistem benda tersebut terhadapsumbu yang melewati titik P minimal.

109

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

110 Paket Soal Bab 4

10. Tentukanlah jarak terpendek dari titik pusat kordinat ke permukaan 2z2+6xy = 3.

11. Temperatur pada permukaan persegi yang dibatasi oleh garis x = ±1, y =±1 dinyatakan dengan T = 2x2 − 3y2 − 2x+ 10. Tentukanlah temperaturterendah dan tertinggi pada permukaan tersebut.

12. Dengan mengubah variabel u = 5x − 2y dan v = 2x + y, selesaikanlah

persamaan diferensial 2∂2z

∂x2+

∂2z

∂x∂y− 10

∂2z

∂y2= 0.

13. Tentukanlah dy/dx jika y =

√x∫

0

sin2 tdt.

14. Hitunglahd

dx

2/x∫1/x

sinxt

tdt.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

cakul bab iv diferensial parsial 25092015

Documents