caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Khairul Basar

Catatan KuliahFI2101 Fisika Matematik IASemester I 2015-2016

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Bab 6

Analisa Vektor

6.1 Perkalian Vektor

Pada bagian terdahulu telah dibahas tentang perkalian vektor (mencakup:perkalian vektor dengan bilangan, perkalian dua vektor (dot product dan crossproduct)) dan juga perkalian yang melibatkan tiga vektor (triple product).

Dot product

Contoh yang penting misalnya adalah dalam persoalan dinamika benda yaitumenghitung usaha (kerja). Usaha (kerja) yang dilakukan oleh gaya F sehinggaterjadi perubahan posisi yang dinyatakan dengan dr adalah

W =

∫dW =

∫F · dr

yang merupakan integral lintasan. Penyelesaian integral lintasan tersebut ak-an dibahas kemudian.

Cross product

Dalam persoalan dinamika benda, besaran yang melibatkan representasi crossproduct misalnya adalah momen gaya (τ), momentum sudut (L) dan kece-patan angular (ω).

τ = r× F

L = r× p = m (r× v)

v = ω × r

131

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

132 Analisa Vektor

Contoh

Suatu gaya yang dinyatakan dengan F = 2i − 3j + k bekerja di titik(1, 5, 2). Tentukan momen gaya terhadap titik pusat koordinat.

Titik kerja gaya (titik tangkap) F adalah di (1, 5, 2) sehingga vektorposisi titik tangkap ini dari pusat koordinat adalah

rF = i+ 5j + 2k

Dengan demikian momen gaya terhadap titik pusat koordinat adalah

τ = rF × F =(i+ 5j + 2k

)×(

2i− 3j + k)

= (5 + 6)i+ (−1 + 4)j + (−3− 10)k = 11i+ 3j − 13k

Triple product

Triple scalar product yang menghasilkan skalar (bilangan) telah diuraikancontoh penggunaannya yaitu dalam persoalan kristalografi. Sedangkan triplevector product adalah operasi yang melibatkan tiga buah vektor dan meng-hasilkan vektor, yaitu A× (B×C).

Sebagaimana telah dipahami bahwa B×C menghasilkan vektor yang tegaklurus bidang yang dibentuk vektor B dan C. Jika kemudian vektor hasilcross product tersebut dicrosskan lagi dengan suatu vektor A maka dapatdipahami bahwa hasilnya adalah vektor yang terletak pada bidang yangdibentuk vektor B dan vektor C sebagaimana ditunjukkan dalam gambar6.1.

CB

B×C

Gambar 6.1 Cross product dua buah vektor.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.2 Diferensial Vektor 133

Karena vektor A×(B×C) terletak pada bidang yang dibentuk oleh vektorB dan vektor C, maka dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari B danC, misalnya αB + βC.

Triple cross product antara tiga buah vektor memenuhi persamaan berikut

A× (B×C) = (A ·C)B− (A ·B)C

(A×B)×C = (A ·B)C− (A ·C)B(6.1)

6.2 Diferensial Vektor

Tinjau suatu vektor dalam ruang tiga dimensi yang dinyatakan denganA = Axi + Ay j + Az k yang direpresentasikan menggunakan sistem kordi-

nat kartesian. Vektor-vektor satuan i, j, k adalah vektor-vektor yang tetap(besar dan arahnya). Sedangkan jika Ax, Ay dan Az merupakan fungsi yangbergantung waktu, maka akan dapat diperoleh turunan (diferensial) terhadapwaktu dari vektor A tersebut, yaitu

dA

dt=

d

dt

(iAx + jAy + kAz

)= i

dAxdt

+ jdAydt

+ kdAzdt

d2A

dt2=

d2

dt2

(iAx + jAy + kAz

)= i

d2Axdt2

+ jd2Aydt2

+ kd2Azdt2

(6.2)

Turunan orde lebih tinggi dapat diperoleh dengan cara yang serupa.Diferensial terhadap waktu dari operasi aljabar yang melibatkan dua atau

lebih vektor (misalnya dot product ataupun cross product) adalah sebagaiberikut

d

dt(A ·B) = A · dB

dt+dA

dt·B

d

dt(A×B) = A× dB

dt+dA

dt×B

(6.3)

Contoh

Benda titik bergerak dalam ruang dengan posisi tiap saat yang di-nyatakan sebagai r = t2i− 2tj + (t2 + 2t)k. Tentukan kecepatan, per-cepatan gerak, energi kinetik serta momentum sudut terhadap titikpusat kordinat untuk benda tersebut.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

134 Analisa Vektor

Kecepatan benda diperoleh dari turunan fungsi posisi, sehingga

v =dr

dt=

d

dt

(t2i− 2tj + (t2 + 2t)k

)= 2ti− j + (2t+ 2)k

sedangkan percepatan gerak benda diperoleh dari turunan fungsi ke-cepatan

a =dv

dt=

d

dt

(2ti− j + (2t+ 2)k

)= 2i+ 2k

Energi kinetik diperoleh dari

K =1

2mv2 =

1

2mv · v =

m

2

(2ti− j + (2t+ 2)k

)·(

2ti− j + (2t+ 2)k)

=m

2

(4t2 − 1 + (2t+ 2)2

)=m

2

(8t2 + 4t+ 3

)Sedangkan momentum sudut terhadap titik pusat kordinat dapat di-peroleh sebagai berikut

L = r× p = r× (mv) = mr× v

= m(t2i− 2tj + (t2 + 2t)k

)×(

2ti− j + (2t+ 2)k)

= m(

(−3t2 − 2t)i+ 2t2j + 3t2k)

Jika menggunakan sistem kordinat lain, dimungkinkan dijumpai vektor sa-tuan yang tidak konstan (arahnya tidak tetap). Misalnya jika menggunakansistem kordinat polar atau silinder atau bola. Maka perubahan arah vektorsatuan ini juga akan berpengaruh pada turunan terhadap waktu suatu besar-an. Misalnya suatu vektor yang dinyatakan dengan V = Vrur +Vθuθ denganVr, Vθ, ur dan uθ bergantung pada t, maka

dV

dt=dVrdt

ur + Vrdurdt

+dVθdt

+ Vθduθdt

(6.4)

Contoh

Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat polar dinyatakan de-ngan ur dan uθ yang bila dinyatakan dalam vektor-vektor satuankartesian adalah ur = cos θi + sin θj dan uθ = − sin θi + cos θj. Su-

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.2 Diferensial Vektor 135

atu vektor dinyatakan dalam sistem koordinat polar sebagai A =

Arur +Aθuθ, tentukanlahdA

dt

dA

dt=

d

dt(Arur +Aθuθ)

= urdArdt

+Ardurdt

+ uθdAθdt

+Aθduθdt

Karena ur = cos θi+ sin θj dan uθ = − sin θi+ cos θj, maka

durdt

=d

dt

(cos θi+ sin θj

)= − sin θ

dθ

dti+ cos θ

dθ

dtj

=(− sin θi+ cos θj

) dθdt

= uθdθ

dtduθdt

=d

dt

(− sin θi+ cos θj

)= − cos θ

dθ

dti− sin θ

dθ

dtj

= −(

cos θi+ sin θj) dθdt

= −urdθ

dt

Dengan demikian

dA

dt= ur

dArdt

+Ardurdt

+ uθdAθdt

+Aθduθdt

= urdArdt

+ uθArdθ

dt+ uθ

dAθdt− urAθ

dθ

dt

=

(dArdt−Aθ

dθ

dt

)ur +

(dAθdt

+Ardθ

dt

)uθ

Suatu fungsi vektor dapat juga merupakan fungsi dari kordinat posisi(x, y), misalnya dalam bentuk F = x exp(y)i − xyj + yk, dan disebut se-bagai medan vektor. Turunan fungsi tersebut terhadap variabel-variabelnyadapat diperoleh menggunakan turunan parsial dan hasilnya adalah berupabesaran vektor. Misalnya

∂F

∂x= exp(y)i− yj

∂F

∂y= x exp(y)i− xj + k

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

136 Analisa Vektor

6.3 Medan Skalar dan Medan Vektor

Besaran skalar atau vektor yang didefinisikan tidak hanya pada satu titik da-lam ruang melainkan dalam setiap bagian titik dalam ruang dikenal sebagaimedan (field). Jika besaran medan ini dapat berupa medan skalar ataupunmedan vektor. Suatu fungsi dua variabel φ(x, y) adalah contoh medan skalar,sedangkan misalnya F(x, y) merepresentasikan suatu medan vektor. Tem-peratur, tekanan dalam ruang merupakan contoh medan skalar sedangkanmedan listrik, percepatan gravitasi merupakan contoh medan vektor. Karenabesaran medan mempunyai variabel ruang, maka perubahan pada variabelruang akan membuat perubahan pada fungsi medan. Turunan terhadap va-riabel ruang menjadi hal yang sangat penting untuk dibahas sebagaimanaperubahan terhadap waktu (dinamika) yang telah dibahas sebelumnya.

6.4 Gradien

Untuk fungsi yang terdiri dari satu variabel, turunan menyatakan kemiring-an kurva di titik tertentu. Fungsi dua variabel dapat digambarkan sebagaipermukaan pada sistem kordinat tiga dimensi. Turunan fungsi di suatu titiktertentu dapat diperoleh dari turunan parsialnya. Tinjau suatu fungsi dua va-riabel yang dinyatakan dengan φ(x, y). Jika permukaan φ(x, y) dipotong olehpermukaan datar yang sejajar bidang xz (yang berarti bidang y konstan) ma-ka kurva perpotongannya akan mempunyai turunan yang dapat dinyatakan

dengan

(∂φ

∂x

)y

. Turunan ini akan memberikan gambaran bagaimana fungsi

φ(x, y) berubah terhadap x untuk suatu nilai y tertentu yang konstan (lihatgambar 6.2).

Oleh karenanya dapat dipahami bahwa turunan di suatu titik bergantungpada arah mana perubahan terjadi (dengan kata lain turunan di suatu titikpada permukaan φ bergantung pada arah bidang datar yang memotongnya).Hal ini disebut sebagai turunan berarah (directional derivative). Misalkanarah yang dimaksud dinyatakan dengan suatu vektor v, maka turunan fung-si φ di titik (x, y) dalam arah vektor v dituliskan sebagai ∇vφ(x, y) atauringkasnya sebagai ∇vφ. Dengan ∇ adalah operator diferensial parsial ter-hadap variabel ruang yang disebut ”nabla”. Dikaitkan dengan pengertiantersebut di atas, maka gradien (gradient) dari suatu fungsi skalar φ(x, y, z)didefinisikan sebagai berikut (dalam sistem koordinat kartesian):

∇φ = grad φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk (6.5)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.4 Gradien 137

x

y

φ(x, y)

permukaan φ

bidang y konstan

kurvaperpotongan

x

y

φ(x, y)

permukaan φ

bidang x konstan

kurvaperpotongan

Gambar 6.2 Ilustrasi perpotongan permukaan φ(x, y) dengan bidang y konstanatau x konstan.

Dengan demikian turunan berarah fungsi φ dalam arah suatu vektor satuantertentu u adalah

dφ

ds= ∇φ · u (turunan berarah) (6.6)

Misalnya turunan berarah φ dalam arah i (yaitu searah sumbu x) adalah

∇φ · i =

(∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk

)· i =

∂φ

∂x

Contoh

Tentukanlah turunan berarah suatu medan skalar φ = x2y + xz dititik (1, 2,−1) dalam arah vektor A = 2i− 2j + k

Vektor satuan dalam arah A adalah

u =A

|A|=

1

3(2i− 2j + k)

Selanjutnya gradien di titik (1, 2,−1) adalah

∇φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂xj +

∂φ

∂xk = (2xy + z)i+ x2j + xk

∇φ∣∣∣(1,2,−1)

= 3i+ j + k

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

138 Analisa Vektor

maka turunan berarah yang dimaksud adalah

∇φ · u =5

3

Dalam sistem kordinat silinder (r, θ, z) bentuk gradien dari suatu fungsiskalar adalah sebagai berikut

∇φ =∂φ

∂rer +

1

r

∂φ

∂θeθ +

∂φ

∂zez (6.7)

dengan er, eθ dan ez masing-masing menyatakan vektor-vektor satuan dalamsistem kordinat silinder. Sedangkan bentuk gradien dalam sistem kordinatbola (r, θ, ψ) adalah

∇φ =∂φ

∂rer +

1

r

∂φ

∂θeθ +

1

r sinψ

∂φ

∂ψeψ (6.8)

Bila dikaitkan dengan bidang singgung dan vektor normal bidang sing-gung suatu permukaan φ(x, y, z) = konstan di titik tertentu, maka gradien∇φ(x, y, z) menyatakan vektor yang tegak lurus permukaan bidang singgung(vektor normal) di titik singgung tersebut1, sekaligus vektor tersebut menya-takan arah perubahan paling besar fungsi φ(x, y, z).

Contoh 1

Tentukanlah gradien fungsi φ(x, y, z) = x2y3z di titik (1, 2,−1).

Dengan menggunakan persamaan 6.5, maka dapat diperoleh

∇φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk = 2xy3zi+ 3x2y2zj + x2y3k

sehingga gradien di titik (1, 2,−1) adalah

(∇φ)(1,2,−1) = −16i− 12j + 8k

1 Lihat kembali pembahasan tentang bidang singgung dan integral permukaan,tersedia di http://kuliah-khbasar.blogspot.co.id/2015/10/catatan-tambahan-bidang-singgung.html

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.4 Gradien 139

Contoh 2

Pada suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan φ = x2−y2 + 2xy, tentukanlah arah yang memberikan penurunan nilai yangpaling besar di titik (1, 1).

Arah penurunan nilai yang paling besar dinyatakan dengan −∇φ,dengan demikian untuk permukaan yang dinyatakan dengan φ = x2−y2 + 2xy maka arah penurunan nilai yang paling besar di titik (1, 1)adalah

−∇φ∣∣∣(1,1)

= −(∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj

)∣∣∣(1,1)

= −(

(2x+ 2y)i+ (−2y + 2x)j)∣∣∣

(1,1)= −

(4i+ 0j

)= −4i

Contoh 3

Tentukanlah persamaan bidang singgung (tangent plane) permukaanx2 + y2 − z = 0 di titik (3, 4, 25).

Vektor normal permukaan bidang singgung diperoleh dari gradien∇φ(x, y, z). Dengan demikian untuk φ(x, y, z) = x2 + y2 − z akandiperoleh

∇φ = i∂φ

∂x+ j

∂φ

∂y+ k

∂φ

∂z

= 2xi+ 2yj − k

Di titik (3, 4, 25) akan diperoleh nilai

∇φ∣∣∣(3,4,25)

= 6i+ 8j − k

Selanjutnya persamaan bidang singgung yang dimaksud adalah

6(x− 3) + 8(y − 4)− (z − 25) = 0 =⇒ 6x+ 8y − z = 25

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

140 Analisa Vektor

6.5 Operator Diferensial Vektor ∇

Gradien suatu fungsi φ(x, y, z) yang dinyatakan sebagai ∇φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk dapat pula dituliskan dalam bentuk lain

∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk =

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)φ (6.9)

yang berarti adanya suatu operator diferensial vektor yang bekerja pada su-atu fungsi skalar φ. Operator diferensial vektor tersebut dituliskan kembalidalam bentuk

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk (6.10)

Operator diferensial vektor ∇ juga dapat beroperasi pada fungsi med-an vektor, misalnya untuk suatu medan vektor V(x, y, z) = Vx(x, y, z)i +

Vy(x, y, z)j + Vz(x, y, z)k maka dot product antara ∇ dengan V dinamakandivergensi (divergence) dari V atau disingkat divV, yaitu

∇ ·V = divV =

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)·(Vxi+ Vy j + Vz k

)=∂Vx∂x

+∂Vy∂y

+∂Vz∂z

(6.11)

Cross product antara operator diferensial vektor ∇ dengan medan vektorV(x, y, z) dinamakan rotasi (curl) yang diperoleh sebagai berikut

∇×V = curlV

=

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)×(Vxi+ Vy j + Vz k

)=

(∂Vz∂y− ∂Vy

∂z

)i+

(∂Vx∂z− ∂Vz

∂x

)j +

(∂Vy∂x− ∂Vx

∂y

)k

(6.12)Satu lagi bentuk operator diferensial parsial yang sering dijumpai dalam

persoalan fisis adalah yang menyatakan divergensi dari suatu gradien yangdikenal sebagai laplacian. Untuk suatu fungsi skalar φ(x, y, z), laplacian darimedan skalar φ(x, y, z) adalah

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.5 Operator Diferensial Vektor ∇ 141

∇2φ = ∇ ·∇φ = div grad φ

=

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)·(∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk

)=∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2

(6.13)

Contoh 1

Untuk medan vektor V = x2i + y2j + z2k, tentukanlah divergensi(divergence) dan rotasi (curl) medan vektor tersebut.

Divergensi medan vektor tersebut adalah

∇ ·V =

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)·(x2i+ y2j + z2k

)= 2x+ 2y + 2z

sedangkan rotasi (curl) medan vektor tersebut adalah

∇×V =

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)×(x2i+ y2j + z2k

)=

(∂z2

∂y− ∂y2

∂z

)i+

(∂x2

∂z− ∂z2

∂x

)j +

(∂y2

∂x− ∂x2

∂y

)k

= 0

Contoh 2

Tentukanlah laplacian dari medan skalar φ = x3 − 3xy2 + y3.

∇2φ =∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2

= 6x− 6x+ 6y = 6y

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

142 Analisa Vektor

6.6 Integral Garis

Ini sangat sering dijumpai dalam persoalan mekanika (misalnya ketika meng-hitung usaha). Integral garis biasanya dihitung berdasarkan lintasan (garis)

tertentu dan misalnya dilambangkan dengan

∫C

.

Contoh 1

Gaya yang dinyatakan dengan F = xyi−y2j bekerja pada suatu bendadan benda tersebut bergerak sepanjang lintasan yang menghubungk-an titik (0,0) dan (2,1) pada bidang kartesian. Tentukan usaha yangdilakukan oleh gaya F tersebut jika lintasan yang menghubungkankedua titik tersebut berupa parabola dengan persamaan y = 1

4x2.

Usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah

W =

∫dW =

∫F · dr

Karena F = xyi− y2j dan dr = dxi+ dxj + dzk jadi diperoleh

F · dr = xydx− y2dy

Dengan demikian

W =

∫F · dr =

∫xydx− y2dy

Pada lintasan yang dimaksud (yaitu parabola) terdapat hubunganantara variabel y dengan x sesuai dengan persamaan parabola yaituy = 1

4x2, dan dapat diperoleh bahwa dy = 1

2xdx dengan demikiandapat dinyatakan

W =

∫parabola

xydx− y2dy

=

2∫0

x(1

4x2)dx− (

1

4x2)2(

1

2xdx)

=

2∫0

(1

4x3 − 1

32x5)dx =

2

3

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.6 Integral Garis 143

Contoh 2

Sebagaimana Contoh 1 namun lintasan yang digunakan adalah garislurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan (2,1).

Pada lintasan ini hubungan antara variabel x dan y dinyatakan de-ngan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik yaitu y = 1

2x.Karena y = 1

2x, berarti dy = 12dx. Dengan demikian dapat dinyatakan

W =

∫garis lurus

xydx− y2dy

=

2∫0

x(1

2x)dx− (

1

2x)2(

1

2dx) =

2∫0

(1

4x2 − 1

8x2)dx = 1

Contoh 3

Sebagaimana Contoh 1 dan Contoh 2 namun lintasan yang digu-nakan adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) ke (0,1)kemudian dari (0,1) ke (2,1).

Untuk lintasan yang dimaksud terdapat dua segmen garis. Yang per-tama adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan ti-tik (0,1). Pada garis ini berlaku hubungan x = 0, dengan demikiandx = 0. Batas integrasinya adalah dari y = 0 hingga y = 1. Sedangk-an segmen garis kedua adalah garis lurus yang menghubungkan titik(0,1) dengan titik (2,1). Pada garis ini berlaku y = 0, dengan demiki-an dy = 0. Batas integrasi adalah dari x = 0 hingga x = 2. Integrallintasan tersebut dapat dituliskan menjadi dua bagian sesuai segmengaris yang digunakan yaitu

W =

∫lintasan

yang

dimaksud

xydx− y2dy

=

∫segmen 1

xydx− y2dy +

∫segmen 2

xydx− y2dy

Dengan demikian diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

144 Analisa Vektor

W =

1∫y=0

(−y2)dy +

2∫x=0

(xdx) = −1

3+ 2 =

5

3

Dari ketiga contoh tersebut terlihat bahwa hasil integral yang diperolehtergantung pada lintasan yang digunakan. Terdapat bentuk fungsi F tertentusedemikian sehingga nilai integral lintasan yang menghubungkan dua buahtitik dalam ruang sama dan tidak bergantung pada lintasan yang digunakan.Dalam pembahasan mekanika, fungsi F yang seperti ini dinamakan fungsi(medan) yang bersifat konservatif.

6.7 Teorema Green

Teorema dasar dalam Kalkulus memberikan ungkapan tentang hubungan an-tara diferensial dan integral dari suatu fungsi, yaitu dinyatakan dalam bentuk

b∫a

d

dtf(t)dt = f(b)− f(a) (6.14)

Misalkan terdapat fungsi multivariabel yaitu P (x, y) dan Q(x, y) yang turun-an keduanya merupakan fungsi yang kontinu. Misalkan suatu luasan A adalahbentuk sembarang dengan batas-batas absisnya (batas paling kiri dan bataspaling kanan) adalah x = a dan x = b sedangkan batas-batas ordinatnya (ba-tas paling bawah dan batas paling atas) adalah y = c dan y = d sebagaimanaditunjukkan dalam Gambar 6.7.

Bila dicari integral lipat dua dari turunan parsial P (x, y) terhadap y, makadapat dinyatakan

∫∫A

∂P (x, y)

∂ydydx =

b∫a

dx

yu∫yl

∂P (x, y)

∂ydy

=

b∫a

[P (x, yu)− P (x, yl)] dx

= −b∫a

P (x, yl)dx−a∫b

P (x, yu)dx

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.7 Teorema Green 145

(a)

x

y

a b

A

C

yu(x)

yl(x)

(b)

x

y

c

d

A

C

xr(y)

xl(y)

Gambar 6.3 Daerah berbentuk sembarang untuk membuktikan teorema Green.

Terlihat bahwa

b∫a

P (x, yl)dx merupakan integral garis dengan lintasan be-

rupa bagian bawah dari kurva C dari titik 1 (titik yang absisnya a) ke titik

2 (titik yang absisnya b). Demikian juga bahwa integral

a∫b

P (x, yu)dx meru-

pakan integral garis dengan lintasan berupa bagian atas dari kurva C darititik 2 ke titik 1. Artinya integral tersebut di atas dapat diganti menjadi in-tegral garis dengan lintasan berupa kurva tertutup C (dari titik 1 kembalike titik 1) dengan arah berlawanan arah jarum jam. Dengan demikian dapatdituliskan kembali sebagai∮

C

Pdx = −∫∫A

∂P (x, y)

∂ydydx (6.15)

Dengan cara yang sama (tapi dengan mengintegralkan terhadap x terlebihdahulu) dapat pula diperoleh untuk fungsi yang lain yaitu fungsi Q(x, y)

∫∫A

∂Q

∂xdxdy =

d∫c

dy

xr∫xl

∂Q

∂xdx =

d∫c

[Q(xr, y)−Q(xl, y)] dy

=

∮C

Qdy

Artinya diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

146 Analisa Vektor∫∫A

∂Q

∂xdxdy =

∮C

Qdy (6.16)

Kemudian dengan menambahkan persamaan 6.15 dengan persamaan 6.16maka akan didapat

∫∫A

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy =

∮C

(Pdx+Qdy) (6.17)

dengan C menyatakan kurva tertutup yang membatasi permukaan A. Integrallintasan yang dihitung arahnya adalah berlawanan arah jarum jam.

Ungkapan persamaan 6.17 dikenal sebagai teorema Green dan teorema inimenyatakan bahwa integral permukaan dapat dinyatakan dalam bentuk inte-gral garis. Atau sebaliknya integral garis pada suatu lintasan tertutup dapatdiubah menjadi integral permukaan (lipat dua) pada luasan yang dibentukoleh lintasan tertutup tersebut.

Contoh

Dengan menggunakan teorema Green, hitunglah integral lintasan∫(xydx− y2dy)

pada lintasan tertutup yang merupakan garis lurus dari titik (2,1) ke(0,1) kemudian garis lurus dari titik (0,1) ke titik (0,0) dan dilanjutkandengan lengkungan y = 1

4x2 yang menghubungkan titik (0,0) ke titik

(2,1).

Dengan menggunakan teorema Green, integral lintasan tertutup ter-sebut dapat diubah menjadi integral permukaan (integral lipat dua)dengan daerah yang dibatasi oleh kurva lintasan tertutup tersebut.Bila digunakan persamaan 6.17 maka dapat dinyatakan bahwa

P (x, y) = xy dan Q(x, y) = −y2

dengan demikian∂Q

∂x= 0 dan

∂P

∂y= x

Maka diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.8 Teorema Divergensi 147

∮C

(xydx− y2dy) =

∫∫A

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy =

∫∫A

−x dx dy

= −1∫

y=0

2√y∫

x=0

x dx dy = −1

6.8 Teorema Divergensi

Misalkan suatu vektor V = Vxi + Vy j, dengan Vx = Q(x, y) dan Vy =−P (x, y) adalah berupa fungsi multivariabel dalam x dan y. Karena vektor Vtidak mempunyai komponen dalam arah sumbu z berarti dapat dinyatakan

∂Q

∂x− ∂P

∂y=∂Vx∂x

+∂Vy∂y

= div V = ∇ ·V (6.18)

Kemudian tinjau kurva tertutup C yang melingkupi suatu daerah luasan Asebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 6.4.

A

C

dr

nds

dy

dx

Gambar 6.4 Luasan A yang dilingkupi oleh kurva tertutup C.

Sepanjang kurva C tersebut vektor dr merupakan vektor yang menying-gung kurva C, dalam hal ini vektor dr dapat dinyatakan sebagai

dr = dxi+ dyj

Sedangkan vektor normal yang bersangkutan adalah

nds = dyi− dxj (6.19)

dengan n menyatakan vektor satuan normal (berarah ke luar dari luasan A)

dan ds =√dx2 + dy2. Dengan demikian dapat dinyatakan

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

148 Analisa Vektor

Pdx+Qdy = −Vydx+ Vxdy = (Vxi+ Vy j) · (dyi− dxj)= V · n ds

(6.20)

Kemudian bila persamaan 6.18 dan persamaan 6.20 disubstitusikan ke per-samaan 6.17 akan diperoleh

∫∫A

(∇ ·V) dx dy =

∮C

(V · n) ds (6.21)

Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema divergensi dalam dua dimensi.Dalam kasus 3 dimensi, teorema divergensi dapat dinyatakan dalam ben-

tuk ∫∫∫volume

∇ ·Vdτ =

∫∫permukaan

V · ndσ (6.22)

dengan τ menyatakan volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup.Terlihat bahwa teorema divergensi mengaitkan antara integral lipat tiga (in-tegral volume) dengan integral lipat dua (integral permukaan).

Contoh

Untuk suatu medan vektor berbentuk V = x2i+ y2j+ z2k, hitunglah∫∫permukaan

V ·n dσ pada permukaan kubus yang bersisi satu satuan dan

titik-titik sudutnya adalah pada (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0).

Integral tersebut dapat diselesaikan langsung maupun dengan meng-gunakan teorema divergensi.Permukaan kubus tersebut ada 6 buah masing-masing dengan vektornormal i,−i,j,−j,k dan −k. Bila dihitung integralnya secara langsungmaka berarti∫∫

permukaan kubus

V · n dσ =

∫∫perm. 1

V · i dy dz +

∫∫perm. 2

V · −i dy dz

+

∫∫perm. 3

V · j dx dz +

∫∫perm. 4

V · −j dx dz

+

∫∫perm. 5

V · k dx dy +

∫∫perm. 6

V · −k dx dy

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.9 Teorema Stoke 149

Bila dihitung akan menghasilkan

∫∫permukaan kubus

V · n dσ =

1∫y=0

1∫z=0

12 dy dz +

1∫y=0

1∫z=0

02 dy dz

+

1∫x=0

1∫z=0

12 dy dz +

1∫y=0

1∫z=0

02 dx dz

+

1∫x=0

1∫y=0

12 dx dy +

1∫y=0

1∫z=0

02 dx dy

= 3

Bila menggunakan teorema divergensi, integral tersebut dapat dihi-tung sebagai berikut

∇ ·V =

(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)·(x2i+ y2j + z2k

)= 2x+ 2y + 2z

kemudian∫∫∫∇ ·V dτ =

1∫z=0

1∫y=0

1∫x=0

(2x+ 2y + 2z) dx dy dz = 3

6.9 Teorema Stoke

Sekarang misalkan Q = Vy dan P = Vx sedangkan suatu vektor V dinyatakan

dengan V = Vxi+ Vy j. Kemudian akan dapat dinyatakan

∂Q

∂x− ∂P

∂y=∂Vy∂x− ∂Vx

∂y= (∇×V) · k (6.23)

Dengan menggunakan notasi-notasi dalam Gambar 6.4, maka diperoleh

Pdx+Qdy = (Vxi+ Vy j) · (dxi+ dyj) = V · dr (6.24)

Dengan mensubstitusi persamaan 6.23 dan persamaan 6.24 ke persamaan6.17 akan diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

150 Analisa Vektor∫∫A

(∇×V) · kdx dy =

∮C

V · dr (6.25)

Persamaan tersebut dinamakan teorema Stoke dalam dua dimensi. Bentukteorema Stoke dalam kasus tiga dimensi adalah

∮kurva C

V · dr =

∫∫permukaanσ

(∇×V) · ndσ (6.26)

Untuk memahami notasi yang digunakan dalam teorema Stoke, perhatikanGambar 6.5

dσ

npermukaan σ

C

Gambar 6.5 Suatu permukaan σ yang tepinya dinyatakan oleh kurva tertutup C.

Teorema Stoke menghubungkan integral lipat dua dengan integral lintas-an. Hal ini mirip dengan bentuk teorema Green, namun perlu dicatat bahwapermukaan yang digunakan dalam teorema Green adalah permukaan datar,sedangkan permukaan yang digunakan dalam teorema Stoke tidak perlu ber-upa permukaan datar.

Contoh

Hitunglah integral

∫(∇×V) ·n dσ pada permukaan yang berbentuk

kubah (setengah bola) yang dinyatakan dengan persamaan x2 + y2 +

z2 = a2 dengan z ≥ 0 jika V = 4yi+ xj + 2zk.

Dengan menggunakan persamaan 6.12 dapat diperoleh bentuk rotasidari medan vektor V, yaitu

∇×V = −3k

Permukaan yang digunakan dalam integral tersebut adalah permuka-an setengah bola dengan jari-jari a. Vektor normal permukaan terse-

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6.9 Teorema Stoke 151

but dinyatakan dengan

n =r

|r|=xi+ yj + zk

a

Selanjutnya dapat diperoleh

(∇×V) · n = −3k · ra

= −3z

a

Kemudian dengan menggunakan sistem koordinat bola, dapat dipe-roleh hubungan

z = r cos θ

dσ = r2 sin θdθdφ

Sehingga

∫perm. stgh. bola

−3z

adσ =

2π∫φ=0

π/2∫θ=0

−3a cos θ

aa2 sin θ dθdφ

= −3a22π∫0

dφ

π/2∫0

sin θ cos θdθ = −3πa2

Integral tersebut dapat juga dihitung menggunakan teorema Stoke.Bila menggunakan teorema Stoke, integral permukaan tersebut dapatdiubah menjadi integral garis (lintasan). Dalam hal ini kurva tertutupyang digunakan adalah lingkaran berjejari a yang berpusat di titikpusat koordinat. Jika digunakan sistem koordinat silinder dua dimensi(polar) maka dapat dinyatakan

dr = adθ(− sin θi+ cos θj)

SehinggaV · dr = a2dθ(−4 sin2 θ + cos2 θ)

Dengan demikian

∮lingkaran

V · dr = a22π∫

θ=0

(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ

Karena

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

152 Analisa Vektor

∫sin2 axdx =

x

2− sin 2ax

4a+ C, dan∫

cos2 axdx =x

2+

sin 2ax

4a+ C

sehingga akan diperoleh

∮lingkaran

V · dr = a22π∫

θ=0

(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ = −3πa2

Bila menggunakan teorema Stoke dapat dipahami bahwa integral ter-sebut juga dapat dihitung menggunakan bentuk permukaan lainnyaasalkan permukaan tersebut dibatasi oleh kurva tertutup yang identikyaitu lingkaran berjejari a dan berpusat di pusat koordinat. Misalnyasaja dapat digunakan permukaan datar berbentuk lingkaran (lingkar-an di bidang xy). Bila digunakan permukaan ini, maka arah normalpermukaan adalah k. Sehingga

(∇×V) · n = −3k · k = −3

Selanjutnya ∫(∇×V) · ndσ = −3

∫dσ = −3πa2

Terbukti bahwa hasil yang diperoleh sama dengan hasil dari cara sebe-lumnya, namun terlihat bahwa hitungan yang terakhir ini jauh lebihsederhana dan singkat.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Paket Soal Bab 6

1. Suatu vektor gaya mempunyai komponen (1, 2, 3) dan bekerja di titik(3, 2, 1). Tentukanlah vektor momen gaya terhadap titik pusat koordinatdan momen terhadap masing-masing sumbu koordinat.

2. Gerak suatu benda dinyatakan dengan vektor posisi r = rur dalam sistemkoordinat polar. Tentukan kecepatan dan percepatan benda tersebut.

3. Tentukanlah persamaan garis normal (garis yang tegak lurus) permukaanx2y + y2z + z2x + 1 = 0 di titik (1, 2,−1) dan juga persamaan bidangsinggung di titik tersebut.

4. Tentukanlah gradien permukaan φ = z sin y − xz di titik (2, π/2,−1) dantentukan arah penurunan yang paling cepat dari nilai fungsi φ di titiktersebut.

5. Untuk medan vektor berikut, hitunglah divergensi dan rotasinya:

a. V = x sin yi+ cos yj + xyk b. V = x2yi+ y2xj + xyzk

6. Untuk medan skalar berikut, hitunglah laplaciannya:

a. φ =√x2 − y2 b. φ = xy(x2 + y2 − 5z2) c. φ =

1√x2 + y2 + z2

7. Untuk r = xi+ yj + zk, hitunglah

a. ∇×(k × r

)b. ∇ ·

(r

|r|

)c. ∇×

(r

|r|

)8. Suatu medan gaya dinyatakan dalam bentuk F = (y+z)i− (x+z)j+(x+

y)k. Tentukanlah usaha yang dilakukan oleh gaya untuk menggerakkanbenda dalam lintasan berikut:

a. lingkaran x2 + y2 = 1 pada bidang xy dengan arah berlawanan arahjarum jam.

b. lingkaran x2 + z2 = 1 pada bidang xz dengan arah berlawanan arahjarum jam.

c. garis dari pusat koordinat sepanjang sumbu x sampai titik (1, 0, 0) di-lanjutkan garis sejajar sumbu z sampai titik (1, 0, 1) dilanjutkan garis

153

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

154 Paket Soal Bab 6

sejajar bidang yz sampai titik (1, 1, 1) dan kemudian kembali ke titikpusat koordinat melalui garis x = y = z.

d. lengkungan dengan persamaan x = 1 − cos t, y = sin t, z = t dari ti-tik pusat koordinat ke titik (0, 0, 2π) kemudian kembali ke titik pusatkoordinat melalui garis sepanjang sumbu z.

9. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F = x2yi−xy2j dengan lintasana dan b antara titik (1, 1) dan (4, 2) seperti ditunjukkan dalam gambarberikut

x

y

(1, 1)

a (4, 2)

b

10. Gunakan teorema Green untuk menghitung integral lintasan tertutup∮C

xydx + x2dy dengan C adalah lintasan tertutup seperti ditunjukkan

gambar berikut

x

y

1 4

C

y = 1/√x

11. Hitunglah integral lintasan

∫C

(x sinx−y)dx+(x−y2)dy dengan C adalah

segitiga yang titik sudutnya (0, 0), (1, 1) dan (2, 0).

12. Hitunglah integral

∫(y2 − x2)dx + (2xy + 3)dy sepanjang sumbu x dari

(0, 0) sampai (√

5, 0) kemudian sepanjang lengkungan busur lingkaran dari(√

5, 0) ke (1, 2).

13. Hitunglah integral

∫r·n dσ pada seluruh permukaan silinder yang dibatasi

x2 + y2 = 1, z = 0 dan z = 3, dengan r = xi+ yj + zk.

14. Hitunglah integral

∫∫∫∇·V dτ pada kubus satuan yang terletak di oktan

pertama (first octant) jika V = (x3−x2)yi+ (y3− 2y2 + y)xj+ (z2− 1)k.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

155

15. Hitunglah integral

∫∫(∇×V) · n dσ pada bagian permukaan z = 9 −

x2 − 9y2 di atas bidang xy jika V = 2xyi+ (x2 − 2x)j − x2z2k.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r