caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Khairul Basar

Catatan KuliahFI2101 Fisika Matematik IASemester I 2015-2016

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Bab 1

Deret

Dalam banyak hal yang berkaitan dengan besaran fisis yang direpresentasikandalam bentuk rumusan matematik, sering dijumpai bentuk yang merupakanpenjumlahan sejumlah besaran lainnya. Misalnya dalam representasi geraksatu dimensi benda yang posisinya dinyatakan dengan x(t) yang dapat kon-stan (x(t) = x0), berbanding lurus terhadap waktu (x(t) = x0 + vt) ataufungsi kuadrat terhadap waktu (x(t) = x0 + vt + 1

2at2). Kondisi lain yang

lebih kompleks misalnya melibatkan suatu fungsi pangkat 3 atau lebih besarlagi. Terlihat bahwa untuk kondisi-kondisi tersebut, persamaan posisi bendadapat secara umum dinyatakan dalam bentuk penjumlahan (deret) yaitu

x(t) = c0 + c1t+ c2t2 + c3t

3 + . . . =

∞∑n=0

cntn (1.1)

Deret tersebut menunjukkan suatu fungsi yang dinyatakan sebagai jumlahandari suku-suku pangkat dari suatu variabel tertentu (dalam hal ini variabelt) dan hal ini dinamakan Deret Pangkat.

1.1 Deret Konvergen dan Divergen

Secara umum, deret merupakan rangkaian bilangan atau besaran. Suatu de-ret dapat mempunyai tak hingga suku atau mungkin juga berhingga. Hasilpenjumlahan N buah suku pertama suatu deret biasanya disebut sebagaipartial sum atau jumlah bagian, yaitu

SN = a1 + a2 + a3 + . . .+ aN =

N∑n=1

an

Suatu deret dikatakan konvergen jika rangkaian bilangan pada deret tersebutmempunyai jumlah yang berhingga (finite) untuk jumlah suku (N) yang tak

1

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2 Deret

hingga (S = S∞ mempunyai nilai tertentu yang berhingga). Sedangkan jikarangkaian bilangan tidak mempunyai jumlah yang tertentu (atau dengan katalain tak berhingga) maka deret tersebut dinamakan deret divergen. Misalnyaderet berikut ini adalah merupakan deret divergen

S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . =

∞∑n=0

2n

karena nilai S tidak menuju suatu bilangan tertentu. Sedangkan deret berikutini adalah contoh deret konvergen

S = 1− 1

2+

1

3− 1

4+ . . . =

∞∑n=0

(−1)n1

n

karena nilai S menuju suatu bilangan tertentu.

Contoh 1

Suatu deret geometri ditandai dengan perbandingan antara suku ber-urutan yang tetap (konstan). Hitunglah jumlah deret geometri berikutuntuk |r| < 1 dan N →∞

a+ ar + ar2 + . . .+ arN−1 =

N−1∑n=0

arn

Jumlah bagian untuk deret tersebut adalah

SN = a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ arN−1

Jika jumlah bagian tersebut dikalikan dengan konstanta r (konstantaini disebut rasio), maka akan diperoleh

rSN = ar + ar2 + ar3 + . . .+ arN

Selanjutnya

SN − rSN =(a+ ar + ar2 + . . .+ arN−1

)−(ar + ar2 + . . .+ arN

)= a− arN

SN (1− r) = a(1− rN )

diperoleh

SN =a(1− rN )

1− r

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.2 Uji Konvergensi 3

Terlihat bahwa jika |r| < 1 dan untuk N →∞ maka rN ≈ 0 sehinggauntuk deret geometri dengan |r| < 1 diperoleh

S = S∞ = limN→∞

SN =a

1− r

Contoh 2

Suatu bola dijatuhkan ke atas lantai dan memantul kembali ke atasdengan tinggi pantulan sepertiga dari ketinggian awal. Tentukan pan-jang lintasan total yang ditempuh bola hingga pantulan ke M .

Misalkan bola dilepas dari ketinggian awal h0, maka ketinggian yang

dicapai bola pada pantulan pertama adalahh03

. Sebelum terjadi pan-

tulan ke dua, lintasan yang ditempuh bola adalah

S2 = h0 + 2h03

Dapat dipahami bahwa panjang lintasan yang ditempuh bola sebelumpantulan ketiga adalah

S3 = h0 + 2h03

+ 2h032

dan seterusnya, sehingga diperoleh panjang lintasan yang ditempuhbola sebelum pantulan ke-n adalah

Sn = h0 + 2h03

+ 2h032

+ 2h033

+ . . .+ 2h0

3n−1

Sn = h0 + 2h0

(1

3+

1

9+ . . .+

1

3n−1

)

1.2 Uji Konvergensi

Untuk N → ∞, nilai SN suatu deret dapat menuju suatu limit tertetu bisajuga membesar atau mengecil tanpa batas dan bisa juga berosilasi. Untukmengetahui apakah suatu deret konvergen perlu dilakukan pengujian. Berikutdipaparkan secara singkat beberapa cara untuk pengujian konvergensi deret.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

4 Deret

1.2.1 Uji Pendahuluan

Uji ini sebenarnya lebih tepat dikatakan sebagai uji non-konvergensi. Jikasuku-suku suatu deret tidak menuju bilangan 0 (artinya jika limn→∞ an 6= 0),maka deret tersebut pasti adalah deret divergen, tapi jika limn→∞ an = 0 di-perlukan uji yang lain.

Misalnya deret

1

2+

2

3+

3

4+

4

5. . . =

∞∑n=0

n+ 1

n+ 2

adalah deret yang divergen karena limn→∞ an 6= 0.

Sedangkan deret berikut ini

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5. . . =

∞∑n=0

1

n

terlihat bahwa untuk n→∞ nilai an = 0 sehingga diperlukan uji lain untukmenentukan konvergensinya.

1.2.2 Uji Pembandingan

Untuk menggunakan uji ini diperlukan suatu deret yang telah diketahui kon-vergensinya. Cara ini merupakan cara pengujian yang paling mendasar. Mi-salnya suatu deret m1 +m2 +m3 + . . . adalah suatu deret positif yang telahdiketahui merupakan deret konvergen dan deret yang ingin diuji konvergen-sinya adalah deret a1 +a2 +a3 + . . .. Maka jika |an| ≤ mn dapat disimpulkanbahwa deret a adalah deret konvergen.

Misalnya tinjau suatu deret geometri berikut ini

M = 1 +1

2+

1

4+

1

8+ . . . (1.2)

jika deret tersebut dikalikan dengan 12 maka akan diperoleh deret

1

2M =

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .

selanjutnya dengan mengurangkan kedua deret tersebut diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.2 Uji Konvergensi 5

M − 1

2M =

1

2M

= 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .−

(1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .

)= 1

=⇒M = 2

Karena jumlah suku-suku pada deret tersebut menuju nilai tertentu, ini ber-arti deret M tersebut adalah deret yang konvergen. Selanjutnya tinjau deret

lain misalnya A = 1 +1

2+

1

6+

1

24+ . . . =

∞∑n=1

1

n!. Terlihat bahwa suku-suku

pada deret A selalu kurang dari atau sama dengan suku-suku deret M , yangberarti |an| ≤ mn. Dengan demikian jumlah deret A akan menuju bilang-an tertentu yang kurang dari jumlah deret M , sehingga disimpulkan bahwaderet A adalah deret yang konvergen.

Sebaliknya jika suatu deret positif yang dinyatakan dengan d1 + d2 + d3 +. . . telah diketahui sebagai deret yang divergen, maka deret lain misalnya|b1| + |b2| + |b3| + . . . adalah juga deret divergen jika |bn| ≥ dn. Misalnyatinjau suatu deret berikut

D = 1 +1

2+

1

2+

1

2+ . . .

yang merupakan deret divergen karena limn→∞ an 6= 0. Dan tinjau pula deretlain yaitu yang dikenal sebagai deret harmonik

H = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ . . . =

∞∑n=1

1

n

Perhatikan bahwa deret D tersebut dapat dituliskan dalam bentuk berikut

D = 1 +1

2+

1

4+

1

4+

1

8+

1

8+

1

8+

1

8+ . . .

Selanjutnya bila dibandingkan antara deret H dengan deret D maka akandapat dinyatakan bahwa berlaku hubungan |hn| ≥ dn. Dan karena D adalahderet yang divergen, maka artinya deret harmonik H juga adalah deret yangdivergen.

Uji pembandingan merupakan uji yang paling dasar, namun biasanya tidaksering digunakan.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

6 Deret

1.2.3 Uji Integral

Uji integral dapat digunakan bila deret yang akan diuji suku-sukunya ada-lah positif dan tidak membesar (artinya an+1 ≤ an). Perlu dicatat bahwauji ini tetap dapat digunakan meskipun syarat tersebut tidak dipenuhi olehsemua suku (asalkan suku-suku yang tidak memenuhi tersebut jumlahnyaberhingga). Dalam uji integral ini dinyatakan bahwa jika 0 < an+1 < an

untuk n > N , maka deret

∞∑n

an akan konvergen jika nilai integral

∞∫andn

berhingga dan akan divergen jika nilai integral tersebut tak hingga. Pada ujiintegral ini, integral yang dihitung hanya pada batas atasnya saja.

Misalnya deret harmonik berikut ini

1 +1

2+

1

3+

1

4+ . . . =

∞∑n=1

1

n

Deret tersebut bila diuji dengan uji integral akan memberikan

∞∫1

ndn = lnn

∣∣∣∞ =∞

dengan demikian, berarti deret tersebut adalah deret divergen.

Contoh lainnya misalkan deret yang dinyatakan dengan

∞∑n=1

n2

n3 + 1. Uji inte-

gral untuk deret ini memberikan bentuk integral sebagai berikut

∞∫n2

n3 + 1dn =

1

2

∞∫1

n3 + 1d(n3 + 1

)= ln

(n3 + 1

)∣∣∣∞=∞

sehingga berarti deret tersebut adalah deret divergen.

Selanjutnya tinjau suatu deret yang dinyatakan dengan

∞∑n=1

1

(n− 32 )2

. Bila

digunakan uji integral pada deret (fungsi) ini, maka akan dapat dinyatakan

∞∫1

(n− 32 )2

dn =−1

n− 32

∣∣∣∞= 0

(1.3)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.2 Uji Konvergensi 7

Dengan demikian berarti deret tersebut adalah deret konvergen.

Contoh

Ujilah konvergensi deret

∞∑n=1

n

n2 + 4menggunakan uji integral

Integral yang dihitung adalah

∞∫n

n2 + 4dn =

∞∫n

n2 + 4

d(n2 + 4)

2n

=1

2

∞∫1

n2 + 4d(n2 + 4) =

1

2ln(n2 + 4)

∣∣∣∞=∞

Sehingga deret tersebut bersifat divergen.

1.2.4 Uji Perbandingan Relatif (Rasio)

Pada uji ini suku ke-n suatu deret dibandingkan dengan suku sebelumnya.Rasio antara suatu suku dengan suku sebelumnya, yaitu ρ didefinisikan se-bagai

ρn =∣∣∣an+1

an

∣∣∣ρ = lim

n→∞ρn

(1.4)

Konvergensi deret menggunakan uji rasio ini ditentukan sebagai berikut:

Jika

ρ < 1, deret tersebut konvergen

ρ = 1, deret tersebut harus diuji dengan cara lain

ρ > 1, deret tersebut divergen

(1.5)

Misalnya suatu deret yang dinyatakan dengan 1 +1

2!+

1

3!+ . . . +

1

n!+ . . ..

Bila digunakan uji rasio, maka dapat dinyatakan perbandingan suatu sukudengan suku sebelumnya adalah

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

8 Deret

ρn =∣∣∣ 1

(n+ 1)!÷ 1

n!

∣∣∣ =n!

(n+ 1)!

=n.(n− 1). . . . .3.2.1

(n+ 1).n.(n− 1). . . . .3.2.1=

1

n+ 1

Selanjutnya diperoleh

ρ = limn→∞

ρn = limn→∞

1

n+ 1= 0

Dengan demikian berdasarkan uji rasio maka deret tersebut adalah deretyang konvergen karena diperoleh ρ < 1.

Contoh

Ujilah konvergensi deret

∞∑n=0

n!

(2n)!menggunakan uji perbandingan.

Deret tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

∞∑n=0

n!

(2n)!= 1 +

1

2+

1

12+

1

120+ . . .

Selanjutnya

ρn =

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ (n+ 1)!

(2n+ 2)!÷ (2n)!

n!

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ (n+ 1)

(2n+ 1)(2n+ 2)

∣∣∣∣ρ = lim

n→∞ρn = lim

n→∞

n+ 1

(2n+ 1)(2n+ 2)

=1

2lim

n→∞

1

2n+ 1= 0

Dengan demikian diperoleh bahwa deret tersebut adalah deret kon-vergen karena ρ < 1.

1.2.5 Uji Pembandingan Khusus

Pada uji ini suatu deret yang ingin diketahui konvergensinya dibandingkandengan deret lain yang telah diketahui konvergensinya (baik berupa deretkonvergen ataupun deret divergen). Uji ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.2 Uji Konvergensi 9

• Jika

∞∑n=1

an adalah deret yang suku-sukunya tidak negatif (an ≥ 0) semen-

tara

∞∑n=1

bn adalah deret positif yang konvergen dan an/bn menuju suatu

limit tertentu, maka deret

∞∑n=1

an adalah deret konvergen.

• Jika

∞∑n=1

an adalah deret yang suku-sukunya tidak negatif (an ≥ 0) semen-

tara

∞∑n=1

dn adalah deret positif yang divergen dan an/dn menuju suatu

limit tertentu (ataupun menuju +∞), maka deret

∞∑n=1

an adalah deret di-

vergen.

Perhatikan bahwa untuk menggunakan uji jenis ini diperlukan suatu deretpembanding yang telah diketahui konvergensinya (bersifat konvergen atau-pun divergen).

Contoh 1

Ujilah konvergensi deret berikut

∞∑n=3

√2n2 − 5n+ 1

4n3 − 7n2 + 2.

Tinjau deret berikut sebagai pembanding

∞∑n=3

√n2

n3=

∞∑n=3

1

n2. Deret

tersebut adalah deret positif yang bersifat konvergen. Pembandinganantara suku-suku kedua deret tersebut memberikan

anbn

=

√2n2 − 5n+ 1

4n3 − 7n2 + 2÷ 1

n2

=n2√

2n2 − 5n+ 1

4n3 − 7n2 + 2

=n2√

(n2)2− 5n + 1

n2

(n3)(4− 7

n + 2n3

) =

√2− 5

n + 1n2

4− 7n + 2

n3

Selanjutnya bila diambil limitnya maka diperoleh

limn→∞

anbn

= limn→∞

√2− 5

n + 1n2

4− 7n + 2

n3

=

√2

4

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

10 Deret

Karena nilai limitnya berhingga dan deret pembanding yang digu-

nakan adalah deret yang konvergen, maka deret

∞∑n=3

√2n2 − 5n+ 1

4n3 − 7n2 + 2

adalah deret yang konvergen.

Contoh 2

Ujilah konvergensi deret berikut

∞∑n=2

3n − n3

n5 − 5n2

Untuk dapat menentukan deret yang dapat digunakan sebagai pem-banding, perlu diketahui sifat deret tersebut di atas untuk n → ∞.Tinjau bagian penyebut deret tersebut di atas, yaitu n5 − 5n2. Un-tuk nilai n yang besar, maka bagian yang lebih dominan adalah n5.Dengan demikian untuk deret pembanding, dapat digunakan deretyang bagian penyebutnya adalah n5. Selanjutnya tinjau bagian pem-bilang yaitu 3n−n3. Untuk n→∞ bagian yang lebih dominan adalah3n. Oleh karenanya bagian pembilang untuk deret pembanding dapatmenggunakan bentuk 3n. Dengan demikian untuk menguji konver-gensi deret tersebut di atas dapat digunakan deret pembanding yaitu∞∑

n=2

3n

n5.

Selanjutnya deret pembanding tersebut diuji konvergensinya menggu-nakan uji perbandingan relatif (rasio), sebagai berikut

ρ = limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣= lim

n→∞

∣∣∣∣ 3n+1

(n+ 1)5÷ n5

3n

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ 3n5

n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n+ 1

∣∣∣∣= 3

Karena ρ = 3 > 1, berarti deret

∞∑n=2

3n

n5adalah deret divergen.

Selanjutnya dengan menggunakan uji pembandingan khusus maka ak-an dapat diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.3 Deret Bolak-balik 11

limn→∞

anbn

= limn→∞

(3n − n3

n5 − 5n2× n5

3n

)= lim

n→∞

(1− n3

3n

1− 5n3

)= 1

Karena hasil limitnya sama dengan satu dan deret yang digunak-an sebagai pembanding adalah deret divergen, maka berarti deret∞∑

n=2

3n − n3

n5 − 5n2adalah deret divergen.

1.3 Deret Bolak-balik

Suatu deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya bergantian positifdan negatif, misalnya

1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− . . .+ (−1)n+1

n+ . . .

Terkait konvergensi dari suatu deret bolak-balik, ada dua hal yang perludiperhatikan yaitu konvergensi deret tersebut sebagaimana adanya dan kon-vergensi deret tersebut bila diambil nilai mutlaknya. Jika suatu deret bolak-balik bersifat konvergen ketika diambil nilai mutlaknya maka disebut sebagaikonvergen mutlak. Bila deret tersebut diambil harga mutlaknya maka derettersebut akan menjadi deret harmonik yang merupakan deret divergen. Iniberarti deret tersebut di atas bukanlah deret konvergen mutlak.

Suatu deret bolak-balik konvergen jika nilai mutlak suku-sukunya terusberkurang dan menuju nol. Hal ini berarti suatu deret bolak-balik bersifatkonvergen jika |an+1| ≤ |an| dan limn→∞ an = 0.

Jika suatu deret

∞∑n=0

|an| bersifat konvergen maka deret

∞∑n=0

an juga ber-

sifat konvergen dan deret tersebut dinamakan deret yang konvergen mutlak

(absolutely convergent). Sedangkan jika suatu deret

∞∑n=0

|bn| bersifat divergen

sementara deret

∞∑n=0

bn bersifat konvergen maka deret tersebut dinamakan

deret konvergen bersyarat (conditionally convergent).

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

12 Deret

Contoh 1

Ujilah konvergensi deret bolak-balik berikut

∞∑n=1

(−1)n√n

Deret tersebut dapat dituliskan kembali dalam bentuk

∞∑n=1

(−1)n√n

= −1 +1√2− 1√

3+

1

2− 1√

5+ . . .

Terlihat bahwa limn→∞

(−1)n√n

= 0 dan nilai mutlak dari suku-suku pada

deret tersebut terus berkurang yang berarti1√n+ 1

<1√n

, dengan

demikian deret tersebut adalah deret yang konvergen.

Contoh 2

Ujilah konvergensi deret berikut

∞∑n=1

(−2)n

n2

Deret tersebut dapat dituliskan kembali menjadi

∞∑n=1

(−2)n

n2= −2 + 1− 8

9+ 1− 32

25+

64

36− . . .

Karena suku-suku pada deret tersebut tidak monoton turun, makaderet tersebut adalah deret divergen.

1.4 Deret Konvergen Bersyarat

Tinjau kembali deret bolak-balik berikut

1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− . . .+ (−1)n+1

n+ . . .

Deret bolak-balik tersebut suku-sukunya menuju nol (limn→∞ an = 0) dan|an+1| ≤ |an| sehingga bersifat konvergen. Namun bila diambil nilai mutlak

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.5 Deret Pangkat 13

dari deret tersebut maka akan diperoleh deret harmonik

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . .+

1

n+ . . .

yang merupakan deret yang divergen. Artinya deret bolak-balik tersebut diatas bersifat konvergen namun tidak konvergen mutlak. Ini disebut sebagaideret konvergen bersyarat (conditionally convergent series).

1.5 Deret Pangkat

Tinjau kembali deret pangkat misalnya yang ditunjukkan dalam persamaan1.1

x(t) = c0 + c1t+ c2t2 + c3t

3 + . . . =

∞∑n=0

cntn

Konvergensi deret pangkat tersebut bila diuji dengan uji perbandingan relatif(rasio) adalah sebagai berikut

ρ = limn→∞

∣∣∣∣cn+1t

cn

∣∣∣∣ = |t| limn→∞

∣∣∣∣cn+1

cn

∣∣∣∣agar konvergen berarti syaratnya adalah

|t| limn→∞

∣∣∣∣cn+1

cn

∣∣∣∣ < 1

Hal ini berarti konvergensi suatu deret pangkat bergantung pada nilai va-riabel pangkatnya. Nilai variabel pangkatnya (dalam contoh di atas adalahvariabel t) ini dapat tidak tunggal dan berupa interval tertentu. Oleh ka-renanya ada rentang nilai varibel t yang menyebabkan suatu deret pangkatkonvergen. Rentang atau interval nilai ini disebut sebagai interval konvergensi(interval of convergence).

Contoh

Tentukanlah interval konvergensi deret

1 +(x+ 2)√

2+

(x+ 2)2√3

+ . . . =

∞∑n=0

(x+ 2)n√n+ 1

Bila menggunakan uji perbandingan relatif (rasio), maka dapat dipe-roleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

14 Deret

ρ = limn→∞

∣∣∣∣ (x+ 2)n+1

√n+ 2

÷ (x+ 2)n√n+ 1

∣∣∣∣= lim

n→∞

∣∣∣∣(x+ 2)

√n+ 1√n+ 2

∣∣∣∣ = |x+ 2|

Berdasarkan uji perbandingan relatif, deret tersebut akan konvergenbila ρ < 1, maka berarti

|x+ 2| < 1 =⇒ −3 < x < −1

Selanjutnya perlu juga diuji konvergensi deret tersebut pada batasinterval yaitu untuk nilai x = −3 dan x = −1. Jika diambil nilaix = −3 maka deret tersebut menjadi deret bolak-balik

1− 1√2

+1√3− 1√

4+ . . .

yang bila diuji dengan uji deret bolak-balik bersifat konvergen. Se-dangkan bila diambil nilai x = −1 maka deret tersebut akan menjadi

1 +1√2

+1√3

+ . . .

yang bersifat divergen (dapat dilakukan dengan uji integral). Dengandemikian deret di atas tersebut konvergen untuk −3 ≤ x < −1.

Tinjau kembali deret pangkat tersebut di atas, koefisien c0 dari deret pang-kat tersebut dapat diperoleh sebagai berikut

x(0) = c0 + c1(0) + c2(0)2 + . . . =⇒ c0 = x(0) (1.6)

Selanjutnya bila fungsi x(t) tersebut didifferensialkan terhadap t, kemudianhasilnya dihitung untuk t = 0 maka akan diperoleh

dx

dt

∣∣∣t=0

=(c1 + 2c2t+ 3c3t

2 + 4c3t3 + . . .

)∣∣∣t=0

= c1

=⇒ c1 =dx

dt

∣∣∣t=0

Selanjutnya bila dicari turunan kedua fungsi x(t) dan mengevaluasinya untukt = 0 maka akan dapat diperoleh ungkapan untuk konstanta c2

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.5 Deret Pangkat 15

d2x

dt2

∣∣∣t=0

=(2c2 + (3)(2)c3t+ (4)(3)c3t

2 + . . .)∣∣∣

t=0

= 2c2

=⇒ c2 =1

2

d2x

dt2

∣∣∣t=0

Proses yang sama dapat dilakukan untuk mendapatkan konstanta c yang lain,secara umum akan dapat diperoleh bahwa

cn =1

n!

dnx

dtn

∣∣∣t=0

(1.7)

dengan n! = (1)(2)(3) . . . (n) dandnx

dtnmenyatakan turunan ke-n dari fungsi

x terhadap variabel t. Dengan demikian persamaan 1.1 tersebut di atas dapatdinyatakan kembali menjadi

x(t) = x0 + tdx

dt

∣∣∣t=0

+ t21

2

d2x

dt2

∣∣∣t=0

+ . . .

=

∞∑n=0

tn

n!

dnx

dtn

∣∣∣t=0

(1.8)

Ungkapan persamaan 1.8 disebut sebagai uraian deret Taylor untuk x(t) disekitar t = 0 (atau disebut juga uraian deret Maclaurin). Persamaan tersebutdapat dipahami sebagai berikut: nilai suatu fungsi x(t) pada t tertentu dapatdiperoleh sebagai uraian deret pangkat dalam variabel t dengan koefisienderet pangkat yang diperoleh dari nilai turunan fungsi tersebut di t = 0.Dapat juga dipahami sebagai berikut: nilai suatu fungsi x(t) di sekitar t = 0dapat dihampiri (didekati) dari nilainya di t = 0 dengan menggunakan deret.Semakin jauh dari titik t = 0 diperlukan suku yang lebih banyak untukmendapatkan hampiran yang mendekati nilai sesungguhnya dari fungsi x(t).

Tinjau kembali persamaan 1.1, tentu saja fungsi x(t) dapat pula dinyatak-an dengan sedikit berbeda yaitu dengan mentranslasikan variabel t melaluisuatu konstanta tertentu (misalnya t0), yaitu

x(t) = a0 + a1(t− t0) + a2(t− t0)2 + a3(t− t0)3 + . . . =∞∑

n=0

an(t− t0)n (1.9)

Konstanta an juga dapat diperoleh menggunakan cara yang sama sebagai-mana memperoleh konstanta cn di atas, yaitu

an =1

n!

dnx

dtn

∣∣∣t=t0

(1.10)

Dengan demikian, fungsi x(t) dinyatakan sebagai

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

16 Deret

x(t) =

∞∑n=0

(t− t0)n

n!

dnx

dtn

∣∣∣t=t0

(1.11)

Persamaan tersebut merupakan ungkapan deret Taylor untuk fungsi x(t) disekitar t = t0. Perhatikan bahwa jika t0 = 0, maka persamaan tersebut akankembali menjadi deret Maclaurin.

1.6 Ekspansi Fungsi Menggunakan Deret Pangkat

Persamaan 1.8 juga dapat dimaknai bahwa jika terdapat suatu fungsi konti-nu yang mempunyai turunan, maka fungsi tersebut dapat dinyatakan dalambentuk deret pangkat. Hal ini membawa pengertian tentang mengekspansikansuatu fungsi dalam bentuk deret. Jika menggunakan uraian deret Maclaurin,maka suatu fungsi sembarang f(x) dapat dinyatakan dalam deret pangkatsebagai berikut:

f(x) =

∞∑n=0

x

n!

dnf

dxn

∣∣∣x=0

(1.12)

Contoh 1

Ekspansikan fungsi f(x) = sin(x) dalam deret pangkat.

Karena

d

dxsin(x) = cos(x)

d2

dx2sin(x) = − sin(x)

d3

dx3sin(x) = − cos(x)

dst.

maka

sin(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . . =

∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!(−1)n

Contoh 2

Ekspansikan fungsi f(x) = ex dalam deret pangkat.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.6 Ekspansi Fungsi Menggunakan Deret Pangkat 17

Karena

df

dx= ex,

d2f

dx2= ex,

d3f

dx3= ex, dst.

maka diperoleh

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ . . . =

∞∑n=0

xn

n!

Deret pangkat dalam banyak hal dapat diperlakukan seperti polinom, mi-salnya: ditambah atau dikurangi, dan dikalikan. Selain itu variabel pada su-atu deret pangkat juga dapat diganti (substitusi) untuk memperoleh deretpangkat yang lain.

Contoh 1

Ekspansikan fungsi f(x) = ex sin(x) dalam deret pangkat.

Karena telah diperoleh sebelumnya ungkapan ekspansi deret pang-kat untuk sin(x) dan untuk ex, maka ekspansi untuk fungsi f(x) =ex sin(x) dapat diperoleh dengan mengalikan kedua deret yang mem-bentuknya, yaitu

ex sin(x) =

(1 + x+

x2

2!+x3

3!+x4

4!+ . . .

)(x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . .

)= x+ x2 +

x3

3− x5

30+ . . .

Contoh 2

Ekspansikan fungsi f(x) = etan x dalam deret pangkat

Uraian fungsi tanx menjadi deret pangkat dapat dilakukan langsungmenggunakan persamaaan , tapi selain itu bisa juga dengan menggu-nakan hubungan trigonometri

tanx =sinx

cosx

dengan sinx dan cosx dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . .

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

18 Deret

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ . . .

sehingga

tanx =sinx

cosx=x− x3

3! + x5

5! −x7

7! + . . .

1− x2

2! + x4

4! −x6

6! + . . .

diperoleh

tanx = x+x3

3+

2x5

15+ . . .

Sedangkan bentuk uraian deret pangkat dari ex adalah

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ . . .

Dengan demikian akan diperoleh

etan x =1 +

(x+

x3

3+

2x5

15+ . . .

)+

(x+ x3

3 + 2x5

15 + . . .)2

2!

+

(x+ x3

3 + 2x5

15 + . . .)3

3!+ . . .

=1 + x+x2

2+

(1

3+

1

6

)x3 +

(1

3+

1

6

)x4 + . . .

=1 + x+x2

2+x3

2+ . . .

1.7 Penggunaan Deret Pangkat

Persamaan 1.6 menunjukkan bahwa nilai suatu fungsi f(x) pada x tertentudapat didekati dengan deret pangkat. Misalnya dengan mengambil n = 1atau sampai suku kedua pada deret MacLaurin, maka nilai f(x) untuk x = adapat dinyatakan sebagai berikut:

f(a) ' f(0) + af ′(0) (1.13)

dengan f ′(0) =df

dx

∣∣∣x=0

yang menyatakan gradien garis singgung fungsi f(x)

di titik x = 0. Ilustrasinya ditunjukkan dalam gambar 1.1. Terlihat bahwanilai fungsi f(x) pada x = a dapat didekati menggunakan aproksimasi deretMacLaurin hanya jika nilai a sangat kecil. Jika a semakin besar (artinyatitik a semakin jauh dari 0) maka diperlukan tambahan suku berikutnya

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

1.7 Penggunaan Deret Pangkat 19

dari deret MacLaurin agar diperoleh nilai hampiran (aproksimasi) yang lebihmendekati nilai sebenarnya fungsi tersebut. Jadi deret MacLaurin digunakanuntuk mengaproksimasi nilai suatu fungsi di sekitar x = 0.

Untuk aproksimasi nilai suatu fungsi di sekitar x = x0 6= 0 digunakanuraian deret Taylor. Prinsipnya sama dengan uraian deret MacLaurin seba-gaimana yang telah dijelaskan sebelumnya.

x

yf(x)

garis singgung di titik x = 0

(f ′(0))f(0)

a

f(a)

a

af ′(0)

0

Gambar 1.1 Aproksimasi nilai fungsi f(x) pada x = a menggunakan uraian de-ret pangkat (deret MacLaurin) sampai suku kedua. Dalam hal ini dapat dinyatakanf(a) ' f(0) + af ′(0).

Konsep deret pangkat juga digunakan untuk aprosimasi (hampiran) ni-lai numerik dan persoalan komputasi. Misalnya adalah dalam penghitungannilai numerik suatu integral tertentu. Fungsi yang diintegralkan (integran)dapat dinyatakan dalam bentuk deret pangkat sehingga berbentuk polinom,kemudian baru dihitung nilai integral tertentunya.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Paket Soal Bab 1

1. Gunakan uji pendahuluan untuk menentukan apakah deret berikut diver-gen

a.

∞∑n=1

n+ 3

n2 + 10nb.

∞∑n=1

n!

(n+ 1)!c.

∞∑n=1

lnn

n

2. Gunakan uji pembandingan untuk menentukan konvergensi deret berikut

a.

∞∑n=1

1

n2nb.

∞∑n=1

1√n

c.

∞∑n=2

1

lnn

3. Gunakan uji integral untuk menentukan konvergensi deret berikut

a.

∞∑n=1

1

n lnnb.

∞∑n=1

en

e2n + 9c.

∞∑n=1

1√n2 + 9

4. Gunakan uji perbandingan relatif (rasio) untuk menentukan konvergensideret berikut

a.

∞∑n=0

n!

(2n)!b.

∞∑n=1

10n

(n!)2c.

∞∑n=0

√(2n)!

n!

5. Gunakan uji pembandingan khusus untuk menentukan konvergensi deretberikut

a.

∞∑n=0

n(n+ 1)

(n+ 2)2(n+ 3)b.

∞∑n=5

1

2n − n2c.

∞∑n=1

n2 + 3n+ 4

n4 + 7n3 + 6n− 3

6. Gunakan uji deret bolak-balik untuk menentukan konvergensi deret beri-kut

a.

∞∑n=1

(−2)n

n2b.

∞∑n=2

(−1)n

lnnc.

∞∑n=1

(−1)n√

10n

n+ 2

7. Tentukanlah interval konvergensi deret pangkat berikut

a.

∞∑n=0

(2x)n

3nb.

∞∑n=1

1

n

(x5

)nc.

∞∑n=1

(x− 1)n

2n

21

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

22 Paket Soal Bab 1

8. Uraikanlah fungsi berikut ini dalam deret pangkat di sekitar x = 0 (uraianderet Maclaurin)

a. ln(1 + x) b. tan2 x c.1√x

9. Uraikan fungsi berikut dalam deret pangkat di sekitar titik yang dimaksud(uraian deret Taylor)

a. f(x) = sinx, di sekitar x = π/2b. f(x) = ex, di sekitar x = 3c. f(x) =

√x, di sekitar x = 25

d. f(x) = 3√x, di sekitar x = 8

e. f(x) = ln

(sinx

x

), di sekitar x = 0

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r