cakul bab iii alajabar linier 01082015
DESCRIPTION
Kuliah Pak BasarTRANSCRIPT
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Khairul Basar
Catatan KuliahFI2101 Fisika Matematik IASemester I 2015-2016
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Bab 3
Aljabar Linier
3.1 Matriks
Matriks merupakan representasi dari kumpulan besaran. Secara umum da-patlah diartikan bahwa matriks adalah kumpulan besaran-besaran yang di-susun dalam bentuk persegi panjang (rectangular).
Notasi
Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dankolom:
A =
(1 5 −2−3 0 6
)(3.1)
Pada contoh tersebut di atas, matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom. Ma-triks tersebut mempunyai 2 × 3 = 6 buah komponen. Komponen-komponentersebut diacu berdasarkan posisinya pada matriks. Misalnya, komponen ba-ris pertama kolom pertama dari matriks A (dituliskan sebagai A11 atau a11)adalah 1. Sedangkan komponen baris kedua kolom ketiga dari matriks A(dituliskan sebagai A23 atau a23) adalah 6. Untuk lebih lengkapnya:
a11 = 1; a12 = 5; a13 = −2
a21 = −3; a22 = 0; a23 = 6
Jadi komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A dinyatakan dengan Aij
atau aij .
43
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
44 Aljabar Linier
Transpose
Transpose suatu matriks A (ditulis sebagai AT) diperoleh dengan menuliskanbaris matriks A menjadi kolom, sedangkan kolom matriks A menjadi baris.Misalkan untuk matriks A sebagaimana persamaan 3.1, maka transposenyaadalah
AT =
1 −35 0−2 6
(3.2)
Dengan demikian dapat dinyatakan
(AT)ij = Aji (3.3)
Beberapa aturan berkaitan dengan transpose matriks:
• (AT)T = A• (A + B)T = AT + BT
• (cA)T = cAT, dengan c adalah bilangan (skalar)• (AB)T = BTAT
Matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri dinamakan matrikssimetri (symmetric matrix ) dalam hal ini dapat dituliskan AT = A. Jikatranspose suatu matriks sama dengan negatif dari matriks tersebut, makadinamakan matriks simetri-miring (skew-symmetric matrix ) yang dituliskansebagai AT = −A.
Persamaan Linier; Matriks Koefisien
Perhatikan kumpulan persamaan linier berikut ini
2x −z = 26x +5y +3z = 72x −y = 4
(3.4)
Kumpulan persamaan tersebut dapat disusun menjadi bentuk matriks yangterdiri dari koefisien masing-masing variabelnya. Kolom pertama berisi ko-efisien dari variabel x, kolom kedua berisi koefisien variabel y, kolom ke-tiga berisi koefisien dari variabel z dan kolom keempat berisi ruas kananpersamaan-persamaan tersebut. Matriks yang dimaksud adalah 2 0 −1 2
6 5 3 72 −1 0 4
Hal ini berarti terdapat kesetaraan antara kumpulan persamaan linier denganmatriks koefisien-koefisien variabelnya.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.2 Reduksi Baris 45
3.2 Reduksi Baris
Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya bahwa sistem persamaan linier da-pat disusun dalam bentuk matriks koefisien. Apa yang dilakukan pada kum-pulan persamaan linier tersebut dapat juga diterapkan pada matriks yangberkaitan. Dengan sifat kesetaraan tersebut dapat dilakukan metode reduksibaris untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut. Berikut adalah contoh-nya
• Dengan mengingat bahwa untuk sistem persamaan linier, persamaan yangsatu dapat dieliminasi dengan persamaan lain, hal ini juga berlaku untukbaris matriks tersebut. Dengan demikian bila persamaan kedua dikurangitiga kali persamaan pertama:
2x −z = 25y +6z = 1
2x −y = 4⇐⇒
2 0 −1 20 5 6 12 −1 0 4
• Kurangi persamaan ketiga dengan persamaan pertama:
2x −z = 25y +6z = 1−y +z = 2
⇐⇒
2 0 −1 20 5 6 10 −1 1 2
• Susunan persamaan-persamaan tersebut dapat dipertukarkan satu sama
lain. Bila persamaan kedua dan ketiga dipertukarkan akan diperoleh
2x −z = 2−y +z = 25y +6z = 1
⇐⇒
2 0 −1 20 −1 1 20 5 6 1
• Tambahkan persamaan ketiga dengan lima kali persamaan kedua:
2x −z = 2−y +z = 2
11z = 11⇐⇒
2 0 −1 20 −1 1 20 0 11 11
• Bagi persamaan ketiga dengan 11:
2x −z = 2−y +z = 2
z = 1⇐⇒
2 0 −1 20 −1 1 20 0 1 1
• Kurangi persamaan kedua dengan ketiga, kemudian hasilnya dikalikan de-
ngan −1:2x −z = 2
y = −1z = 1
⇐⇒
2 0 −1 20 1 0 −10 0 1 1
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
46 Aljabar Linier
• Tambahkan persamaan satu dengan persamaan tiga, kemudian hasilnyadibagi dengan dua:
x = 32
y = −1z = 1
⇐⇒
1 0 0 32
0 1 0 −10 0 1 1
Dari tahapan tersebut akhirnya diperoleh nilai x, y dan z yang memenuhipersamaan linier di atas, yaitu x = 3
2 , y = −1 dan z = 1.Cara penyelesaian persamaan linier dengan mengaitkannya dalam bentuk
matriks tersebut disebut metode reduksi baris atau dikenal juga sebagai eli-minasi Gauss (Gaussian elimination).
Rank Matriks
Rank suatu matriks menyatakan jumlah maksimum baris dalam suatu ma-triks yang bersifat bebas linier. Untuk memperoleh rank suatu matriks, da-pat dilakukan dengan metode reduksi baris. Misalkan suatu matriks A yang
dinyatakan dengan A =
1 4 −55 2 12 −1 33 −6 11
. Bila diterapkan reduksi baris pada
matriks ini maka1 4 −55 2 12 −1 33 −6 11
−→
1 4 −50 −18 260 −9 130 −18 26
−→
1 4 −50 −18 260 0 00 0 0
−→
1 4 −50 −9 130 0 00 0 0
Terlihat bahwa ada dua baris (yaitu baris pertama dan baris kedua) yangtidak nol. Dengan demikian dikatakan bahwa matriks A tersebut mempunyairank 2.
Bila dipandang dari sisi analisa persamaan linier, rank suatu matriks ter-kait dengan banyaknya persamaan linier yang saling bebas linier. Misalnya,tinjau tiga buah persamaan linier yang melibatkan tiga buah variabel, yaitu
2x+ 3y − z = 0
6x+ 9y − 3z = 0
x+ y + z = 1
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.3 Determinan 47
bila disusun dalam bentuk matriks, persamaan linier tersebut dapat berben-
tuk
2 3 −1 06 9 −3 01 1 1 1
. Matriks ini mempunyai rank 2, hal ini terkait dengan fakta
bahwa persamaan 1 dan 2 sebenarnya adalah dua persamaan yang identikkarena persamaan 2 adalah tiga kali persamaan 1. Jadi artinya dari ketigapersamaan tersebut ada dua yang bebas linier.
3.3 Determinan
Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya dinamakanmatriks persegi (square matrix ). Untuk suatu matriks persegi terdapat su-atu bilangan yang penting yang merupakan properti (karakteristik) matrikstersebut yaitu yang dinamakan determinan. Misalkan suatu matriks persegi2× 2 berikut
A =
(a bc d
)maka determinannya adalah
detA =
∣∣∣∣a bc d∣∣∣∣ = ad− bc (3.5)
Persamaan 3.5 adalah ungkapan untuk memperoleh determinan matriks 2×2.Berikut ini akan diuraikan cara mencari determinan matriks dengan orde
yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diperkenalkan lebih dulu tentang minordan cofactor dari suatu komponen (elemen) matriks.
Minor dari suatu komponen
Misalkan untuk matriks persegi 3× 3 sebagai berikut
A =
a b cd e fg h i
(3.6)
Bila baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A tersebut dibuang maka matriksA menjadi matriks 2 × 2 yang determinannya disebut minor dari aij dandinyatakan dengan Mij . Jadi misalnya untuk matriks A seperti pada 3.6,maka minor dari a11 adalah
M11 =
∣∣∣∣ e fh i
∣∣∣∣ = ei− hf (3.7)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
48 Aljabar Linier
demikian pula halnya minor dari a32 adalah
M32 =
∣∣∣∣a cd f∣∣∣∣ = af − cd (3.8)
Cofactor dari suatu komponen
Cofactor dari suatu komponen aij diperoleh dengan cara
cofactor dari aij = Cij = (−1)i+jMij (3.9)
dengan Mij adalah minor sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya.
Determinan matriks menggunakan cofactor
Determinan matriks (terutama yang mempunyai orde lebih dari 2) dapat di-peroleh dengan menggunakan cofactor. Caranya adalah dengan mengalikansetiap elemen pada salah satu baris atau kolom dengan cofactornya kemudi-an hasilnya dijumlahkan. Untuk lebih jelasnya kembali pada matriks A padapersamaan 3.6. Dengan menggunakan elemen pada baris pertama, maka da-pat dinyatakan
detA = a (C11) + b (C12) + c (C13)
= a(−1)1+1M11 + b(−1)1+2M12 + c(−1)1+3M13
= a
∣∣∣∣ e fh i
∣∣∣∣− b ∣∣∣∣d fg i∣∣∣∣+ c
∣∣∣∣d eg h∣∣∣∣
= a(ei− fh)− b(di− fg) + c(dh− eg)
(3.10)
Beberapa sifat penting terkait determinan
Beberapa sifat penting yang terkait determinan matriks di antaranya adalah:
• Jika semua elemen pada satu baris (atau pada satu kolom) dari suatumatriks dikalikan dengan bilangan k, maka determinannya juga dikalikandengan k.
• Nilai determinan suatu matriks sama dengan nol jika
1. semua elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) sama dengannol, atau
2. dua baris (atau dua kolom) elemen-elemennya identik, atau3. dua baris (atau dua kolom) elemen-elemennya proporsional (sebanding)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.3 Determinan 49
• Jika dua baris (atau dua kolom) dari suatu matriks dipertukarkan, makanilai determinannya berubah tanda
• Determinan suatu matriks tidak berubah jika
1. baris dituliskan menjadi kolom dan kolom dituliskan menjadi baris, atau2. setiap elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) ditambahkan
dengan k kali elemen pada baris (atau kolom) yang lain.
Aturan Cramer
Penyelesaian sistem persamaan linier dapat dilakukan juga dengan menggu-nakan determinan. Cara ini disebut Aturan Cramer (Cramer’s Rule). Misalk-an dua buah persamaan yang dinyatakan dengan
a1x+ b1y = c1
a2x+ b2y = c2
dengan a1, a2, b1, b2, c1 dan c2 adalah bilangan. Jika persamaan pertama di-kalikan dengan b2 sementara persamaan kedua dikalikan dengan b1 kemudiankeduanya dikurangkan, maka dapat diperoleh nilai x, yaitu
x =c1b2 − c2b1a1b2 − a2b1
cara yang serupa juga dapat dilakukan untuk memperoleh nilai y, yaitu
y =a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1
artinya solusi untuk x dan y dapat dituliskan dalam bentuk determinan ma-triks:
x =
∣∣∣∣ c1 b1c2 b2
∣∣∣∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2
∣∣∣∣ , y =
∣∣∣∣a1 c1a2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2
∣∣∣∣ (3.11)
Secara umum dapat dituliskan langkahnya sebagai berikut:
• Tuliskan persamaan linier dalam bentuk standar dengan urutan variabelyang sama
• Tuliskan koefisien-koefisien variabelnya dalam bentuk matriks dan hitungdeterminan matriksnya. Determinan matriks koefisien (sebut sebagai D)ini akan menjadi penyebut dalam penghitungan nilai variabel-variabelyang dicari
• Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan mengganti elemen koefisien va-riabel x pada matriks koefisien dengan konstanta ruas kanan persamaanyang sesuai. Pembilang untuk nilai y diperoleh dengan mengganti elemen
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
50 Aljabar Linier
koefisien variabel y pada matriks koefisien dengan konstanta ruas kananpersamaan yang sesuai, demikian pula untuk memperoleh nilai z.
Jadi untuk persamaan yang melibatkan tiga variabel sebagai berikut
a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b2y + c2z = d2
a3x+ b3y + c3z = d3
maka diperoleh
x =1
D
∣∣∣∣∣∣d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣ , y =1
D
∣∣∣∣∣∣a1 d1 c1a2 d2 c2a3 d3 c3
∣∣∣∣∣∣ , z =1
D
∣∣∣∣∣∣a1 b1 d1a2 b2 d2a3 b3 d3
∣∣∣∣∣∣ (3.12)
dengan D =
∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣.
3.4 Vektor
Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Artinya un-tuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikaninformasi tentang besar (nilai) besaran tersebut serta arahnya. Untuk men-deskripsikan suatu besaran vektor ada dua informasi yang harus disampaik-an, karena itu cara untuk mendeskripsikan suatu vektor dapat digolongkanmenjadi dua macam, yaitu: grafis (menggunakan anak panah) dan analitis(komponen-komponen).
Melalui cara deskripsi grafis, suatu besaran vektor dideskripsikan ataudinyatakan sebagai sebuah anak panah. Panjang anak panah menyatakanbesar atau nilai besaran vektor tersebut sedangkan arah besaran vektor yangdimaksud digambarkan dengan arah anak panah yang dimaksud. Contohpenggambaran suatu besaran vektor A yang dinyatakan dengan anak panahditunjukkan dalam Gambar 3.1.
A
Gambar 3.1 Deskripsi vektor menggunakan anak panah.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.4 Vektor 51
Melalui cara analitis, suatu vektor dituliskan atau dinyatakan dalamkomponen-komponennya. Misalnya suatu vektor A bila dinyatakan dalamsistem koordinat kartesian sebagai:
A = Axi +Ayj +Azk (3.13)
dengan Ax, Ay dan Az menyatakan komponen-komponen vektor A dalamarah sumbu x, y dan z dalam sistem koordinat kartesian sedangkan i, j dank menyatakan vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat kartesian. Per-hatikan Gambar 3.2.
x
y
z
A
Ax
Ay
Az
Gambar 3.2 Komponen-komponen vektor dalam sistem koordinat kartesian.
Besar Vektor
Bila suatu vektor digambarkan menggunakan anak panah, maka panjanganak panah tersebut menyatakan besar vektor. Atau sebaliknya dapat di-katakan bahwa besar suatu vektor dapat dinyatakan sebagai panjang anakpanah. Panjang atau besar vektor A dituliskan sebagai |A|. Besar atau pan-jang suatu vektor merupakan skalar. Bila vektor dinyatakan dalam koordinatkartesian menggunakan komponen-komponennya, maka
A = |A| =√A2
x +A2y +A2
z (3.14)
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Vektor satuan digu-nakan untuk menunjukkan arah. Vektor satuan dari suatu vektor diperoleh
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
52 Aljabar Linier
dengan membagi vektor tersebut dengan besarnya.
A =A
|A|(3.15)
Dalam sistem koordinat kartesian vektor-vektor satuannya adalah i (yangmerupakan vektor satuan dalam arah sumbu x), j (yang merupakan vektorsatuan dalam arah sumbu y) dan k (yang merupakan vektor satuan dalamarah sumbu z). Perhatikan Gambar 3.3.
x
y
z
j
k
i
Gambar 3.3 Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat kartesian.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Operasi penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan secara grafis maupunanalitis. Pada cara grafis dapat dilakukan menggunakan jajaran genjang ataupoligon. Jika menggunakan cara jajaran genjang, pangkal dari kedua vektoryang akan dijumlahkan ditemukan, lalu dibuat jajaran genjang dengan si-si masing-masing vektor yang dijumlahkan sebagaimana ditunjukkan dalamGambar 3.4. Jika menggunakan cara poligon, pangkal suatu vektor diletakk-
B
A
A+B
Gambar 3.4 Penjumlahan vektor dengan cara jajaran genjang.
an di ujung vektor yang lainnya sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar3.5.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.4 Vektor 53
B
A
A+B
Gambar 3.5 Penjumlahan vektor dengan cara poligon.
Penjumlahan vektor menggunakan cara analitis umumnya digunakan bilavektor dideskripsikan dalam bentuk analitis (diuraikan komponen-komponennya).Untuk cara penjumlahan analitis, komponen masing-masing vektor dijum-lahkan seperti penjumlahan biasa. Misalkan suatu vektor dinyatakan dalamsistem koordinat kartesis sebagai A = Axi + Ayj + Azk dan vektor lainnyadinyatakan sebagai B = Bxi + Byj + Bzk, maka penjumlahan kedua vektortersebut memberikan
A + B = (Axi +Ayj +Azk) + (Bxi +Byj +Bzk)
= (Ax +Bx) i + (Ay +By) j + (Az +Bz) k(3.16)
Pengurangan suatu vektor A dengan vektor B pada prinsipnya adalahmenjumlahkan vektor A dengan lawan dari vektor B
A−B = A + (−B) (3.17)
Gambar 3.6 menunjukkan pengurangan dua buah vektor.
B
A
A
−B
A−B
Gambar 3.6 Pengurangan vektor.
Perkalian Vektor
Perkalian vektor dengan skalar.Perkalian vektor dengan bilangan skalar 6= 1 akan mengubah panjang (besar)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
54 Aljabar Linier
vektor tersebut. Jika bilangan skalar yang dimaksud adalah bilangan positif,maka arah vektor hasil kalinya tetap sama dengan arah vektor semula namunjika bilangan skalar yang dimaksud adalah bilangan negatif maka arah vektorhasil kali berlawanan dengan arah vektor semula. Bila vektor dideskripsikanmenggunakan anak panah, maka perkalian vektor dengan bilangan skalar 6= 1berarti memperpanjang atau memperpendek vektor. Perhatikan Gambar 3.7.
A
2A
Gambar 3.7 Perkalian vektor dengan bilangan (skalar).
Sedangkan bila vektor dinyatakan menggunakan komponen-komponennya,maka perkalian vektor dengan skalar berarti mengalikan bilangan skalar ter-sebut dengan masing-masing komponen vektor.
cA = c (Axi +Ayj +Azk)
= cAxi + cAyj + cAzk(3.18)
dengan c adalah bilangan (skalar).Perkalian vektor dengan vektorAda dua macam perkalian antar vektor, yaitu perkalian yang menghasilkanbilangan skalar dan perkalian yang menghasilkan vektor.
Dot Product . Perkalian yang menghasilkan skalar dikenal juga sebagaidot product atau perkalian titik. Bila dua buah vektor dinyatakan dengankomponen-komponennya, yaitu
A = Axi +Ayj +Azk
B = Bxi +Byj +Bzk
maka perkalian titik/ perkalian skalar/ dot product dari kedua vektor tersebutdinyatakan sebagai
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.4 Vektor 55
A ·B = (Axi +Ayj +Azk) · (Bxi +Byj +Bzk)
= (AxBx) + (AyBy) + (AzBz)(3.19)
Bila kedua vektor dinyatakan secara geometris dan sudut antara keduavektor adalah θ, maka hasil perkalian titik kedua vektor adalah
A ·B = |A||B| cos θ (3.20)
sebagaimana ditunjukkan dengan Gambar 3.8. Secara geometris A · B me-
A
B
A · B
θ
Gambar 3.8 Interpretasi geometris dari dot product.
nyatakan panjang proyeksi vektor A dalam arah vektor B.Sudut-sudut yang dibentuk suatu vektor dengan sumbu-sumbu koordinat
dinamakan juga sebagai direction cosines atau cosinus arah. Dapat denganmudah dipahami bahwa cosinus arah diperoleh dengan memanfaatkan dotproduct dari suatu vektor dengan vektor-vektor satuan i, j dan k.
Suatu vektor A dikatakan ortogonal terhadap vektor B jika A · B = 0yang berarti juga bahwa B ortogonal terhadap A. Jika dua buah vektor Adan B saling tegak lurus, maka
AxBx +AyBy +AzBz = 0 (3.21)
Jika dua buah vektor sejajar satu sama lain, maka komponen-komponennyaproporsional (sebanding) dan dapat dinyatakan
Ax
Bx=Ay
By=Az
Bz(3.22)
Cross Product Perkalian yang menghasilkan vektor dikenal juga sebagaicross product atau perkalian silang. Cross product antara vektor A dan vektorB dinyatakan dengan A×B. Besar vektor C yang merupakan hasil perkaliansilang antara A dan B adalah
|C| = |A×B|= |A||B| sin θ
(3.23)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
56 Aljabar Linier
dengan 0 ≤ θ ≤ π menyatakan sudut antara vektor A dan B.Dalam sistem koordinat kartesian 3 dimensi, terdapat tiga vektor satuan
dalam arah masing-masing sumbu yaitu i (vektor satuan dalam arah sumbux), j (vektor satuan dalam arah sumbu y) dan k (vektor satuan dalam arahsumbu z), maka dapat dinyatakan
i× i = 0; i× j = k; i× k = −j
j× i = −k; j× j = 0; j× k = i
k× i = j; k× j = −i; k× k = 0
(3.24)
Hasil cross product vektor-vektor satuan i, j dan k dapat disimpulkanmenggunakan aturan siklik seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.9 dan jugapersamaan 3.24.
i
jk
Gambar 3.9 Aturan siklik pada cross product antara vektor-vektor satuan dalamkoordinat kartesian.
Misalkan terdapat dua vektor dalam koordinat kartesian yaitu A = Axi +Ayj + Azk dan B = Bxi + Byj + Bzk, maka cross product keduanya dapatdiperoleh sebagai berikut:
A×B = (Axi +Ayj +Azk)× (Bxi +Byj +Bzk)
= (AyBz −AzBy) i + (AzBx −AxBz) j + (AxBy −AyBx) k(3.25)
Bila telah memahami konsep determinan matriks, cross product dari Adan B juga dapat diperoleh dari determinan matriks 3 × 3 sebagai berikut
A×B =
∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣= (AyBz −AzBy) i + (AzBx −AxBz) j + (AxBy −AyBx) k
(3.26)
Secara geometris cross product menyatakan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya kedua vektor yang dicrosskan. Misalnya suatu jajaran genjang yangsisi-sinya dibentuk oleh vektor A dan vektor B sebagaimana ditunjukkandalam Gambar 3.10. Dapat diperoleh bahwa
Luas = h|B| = |A| sin θ|B| = |A×B| (3.27)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.4 Vektor 57
A
B
h
θ
Gambar 3.10 Interpretasi geometris dari cross product.
Triple product . Triple product adalah istilah yang digunakan untuk ope-rasi perkalian tiga buah vektor. Ada dua macam triple product yaitu yangmenghasilkan skalar (triple scalar product) dan yang menghasilkan vektor(triple vector product).Triple scalar product dinyatakan sebagai
A · (B×C) (3.28)
Triple scalar product secara geometris menyatakan volume parallelepipedyang dibentuk oleh vektor-vektor A, B dan C, sebagaimana ditunjukkandalam Gambar 3.11. Konsep triple scalar product banyak dijumpai pada per-soalan crystallography.
x
y
z
B
CA
B×C
Gambar 3.11 Interpretasi geometris dari triple scalar product.
Sedangkan triple vector product dinyatakan dengan
A× (B×C) (3.29)
Untuk triple vector product dapat diperoleh
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
58 Aljabar Linier
A× (B×C) = (A ·C)B− (A ·B)C (3.30)
Bebas Linear (linear independence)
Dua vektor A dan B dikatakan bebas linear jika keduanya tidak dapat di-nyatakan dalam arah garis yang sama. Sebaliknya berarti kedua vektor terse-but dinyatakan bergantung linear (linearly dependent) atau koplanar. Secaraumum dapat dinyatakan bahwa sejumlah vektor u1, u2, . . . , un dikatakanbebas linear jika koefisien skalar c1, c2, . . . , cn yang memenuhi kondisi
c1u1 + c2u2 + . . .+ cnun = 0 (3.31)
semuanya bernilai sama dengan nol, atau c1 = 0, c2 = 0, . . . , cn = 0. Se-dangkan jika semua koefisein c tersebut tidak sama dengan nol, maka vektoru1, u2, . . . , un dikatakan bergantung linear. Vektor-vektor basis dalam sistemkoordinat ortogonal (misalnya vektor-vektor satuan i, j dan k dalam sistemkoordinat kartesian) merupakan vektor-vektor yang saling bebas linear.
3.5 Garis dan Bidang
Pemahaman tentang vektor berguna dalam persoalan geometri analitik. Su-atu titik dalam ruang yang dinyatakan dengan koordinat (x, y, z) dapat di-pandang sebagai titik ujung suatu vektor posisi r = xi + yj + zk yang pang-kalnya terletak di titik pusat koordinat. Dengan demikian vektor juga dapatdirepresentasikan dalam bentuk koordinat. Artinya vektor i− 2k dapat jugadituliskan dalam bentuk (1, 0,−2).
x
y
a
bA
(x, y)
(x0, y0)
(y − y0)
(x − x0)
r− r0
Gambar 3.12 Penggunaan vektor untuk menentukan persamaan garis yang sejajardengan vektor tertentu.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.5 Garis dan Bidang 59
Perhatikan Gambar 3.12, dari gambar tersebut dapat dinyatakan
r− r0 = (x− x0)i + (y − y0)j (3.32)
dan dapat dinyatakany − y0x− x0
=b
a(3.33)
Persamaan 3.33 menggambarkan suatu persamaan garis yang melalui titik(x0, y0) yang paralel dengan suatu vektor A = ai + bj.
Dengan cara yang sama dapat pula diperoleh untuk kasus 3 dimensi, ja-di persamaan garis lurus yang melalui titik (x0, y0, z0) yang sejajar denganvektor A = ai + bj + ck adalah
x− x0a
=y − y0b
=z − z0c
(3.34)
Persamaan garis lurus dalam ruang juga dapat dinyatakan menggunakanpersamaan parametrik. Tinjau suatu titik P yang koordinatnya dinyatakandengan (xP , yP , zP ). Vektor posisi titik ini dapat dinyatakan sebagai rP =xpi + yP j + zPk. Jika garis yang melalui titik P tersebut mempunyai arahyang dinyatakan dengan vektor tertentu A, maka vektor posisi titik-titik yangberada di sepanjang garis tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut
r = rP + At (3.35)
dengan t adalah suatu parameter.
Contoh
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 1, 2) dan searah de-ngan vektor i + j + k.
Dengan menggunakan persamaan parametrik yang telah dijelaskan se-belumnya, maka garis lurus tersebut dapat dinyatakan dalam bentukvektor posisi titik-titik yang terletak sepanjang garis sebagai berikut
r = j + 2k + (i + j + k)t
= ti + (1 + t)j + (2 + t)k
Jika menggunakan persamaan 3.34, maka dapat dinyatakan sebagaiberikut
x
1=y − 1
1=z − 2
1=⇒ x = y − 1 = z − 2
Selanjutnya misalkan ingin diketahui persamaan garis lurus yang melaluititik (x0, y0) dan tegak lurus suatu vektor N = ai + bj, ilustrasinya ditun-jukkan dalam Gambar 3.13. Vektor yang menggambarkan garis lurus yang
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
60 Aljabar Linier
(x0, y0)
N
(x, y)r− r0
Gambar 3.13 Penggunaan vektor untuk menentukan persamaan garis dengan sya-rat tertentu.
dimaksud dapat dinyatakan sebagai
r− r0 = (x− x0)i + (y − y0)j
garis tersebut tegak lurus dengan vektor N = ai+bj sehingga dot productnyasama dengan nol, hal ini memberikan
a(x− x0) + b(y − y0) = 0
yang berarti dapat dinyatakan dalam bentuk
y − y0x− x0
= −ab
(3.36)
Cara yang sama juga dapat diterapkan dalam kasus 3 dimensi, yaitu men-cari persamaan bidang datar yang tegak lurus suatu vektor tertentu. Misalnyaingin dicari persamaan bidang yang melalui titik (x0, y0, z0) dan tegak lurussuatu vektor N = ai + bj + ck. Tinjau suatu titik sembarang (x, y, z) yangterdapat pada bidang tersebut. Dapat mudah dipahami bahwa bila ada duatitik yaitu (x0, y0, z0) dan (x, y, z) yang terletak pada suatu bidang datar ma-ka vektor yang menghubungkan kedua titik tersebut merupakan vektor yangterletak pada bidang datar yang dimaksud. Dalam hal ini jika vektor yangterletak pada bidang datar tersebut dinyatakan sebagai vektor r− r0, makadapat dituliskan sebagai berikut
r− r0 = (x− x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k
Vektor r−r0 tersebut terletak pada bidang, maka berarti vektor tersebut akantegak lurus dengan vektor N yang merupakan vektor normal (vektor yangtegak lurus pada permukaan bidang) dan dengan demikian (r− r0) ·N = 0.Hal ini memberikan
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.5 Garis dan Bidang 61
((x− x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k) · ai + bj + ck = 0
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
ax− ax0 + by − by0 + cz − cz0 = 0
ax+ by + cz = ax0 + by0 + cz0 ≡ d
Dengan demikian persamaan bidang datar yang melalui titik sembarang(x0, y0, z0) dan tegak lurus suatu vektor N = ai + bj + ck dapat dinyatakandalam bentuk
ax+ by + cz = ax0 + by0 + cz0 ≡ d (3.37)
Contoh 1
Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga buah titik yaituA(−1, 1, 1), B(2, 3, 0) dan C(0, 1,−2).
Dapat dengan mudah dimengerti bahwa melalui tiga buah titik sem-barang dapat dibuat bidang datar yang spesifik. Ketiga titik tersebutterletak pada bidang yang dimaksud, sehingga vektor yang menghu-bungkan dua buah titik adalah vektor yang terletak pada bidang. Un-tuk ketiga titik seperti tersebut di atas, dapat dicari misalnya vektor−−→AB yang menghubungkan titik A dan titik B serta vektor
−→AC yang
menghubungkan titik A dan titik C, yaitu
−−→AB = (2, 3, 0)− (−1, 1, 1) = (3, 2,−1) = 3i + 2j− k−→AC = (0, 1,−2)− (−1, 1, 1) = (1, 0,−3) = i− 3k
kedua vektor tersebut adalah vektor-vektor yang terletak pada bidangdatar yang ingin dicari persamaannya. Selanjutnya bila kedua vektortersebut di-cross-product-kan maka akan diperoleh vektor yang tegaklurus keduanya, dengan kata lain vektor yang dihasilkan akan tegaklurus (vektor normal) bidang datar yang melalui ketiga titik A, B dan
C. Perkalian silang vektor−−→AB dan vektor
−→AC memberikan
N =−−→AB ×
−→AC = (3i + 2j− k)× (i− 3k)
= −6i + 8j− 2k
Dengan demikian persamaan bidang datar yang dimaksud dapat di-peroleh menggunakan persamaan 3.37 dengan mengambil salah satutitik pada bidang (misalnya titik B(2, 3, 0)), yaitu
−6(x− 2) + 8(y − 3)− 2z = 0 atau 3x− 4y + z + 6 = 0
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
62 Aljabar Linier
Contoh 2
Tentukan jarak dari titik P (1,−2, 3) ke bidang datar yang persama-annya 3x− 2y + z + 1 = 0.
Tinjau dua buah titik yang terletak pada bidang, misalnya titik Qdan titik R. Salah satu titik ini (misalnya titik Q) terletak sedemikianrupa sehingga segitiga PQR yang terbentuk adalah segitiga siku-sikudengan sudut siku-siku diQ. Hal ini berarti sisi PQ dan sisiQR adalahsisi-sisi tegak dan sisi PR adalah sisi miring segitiga siku-siku tersebut.Jarak antara titik P dengan bidang datar tersebut dinyatakan denganpanjang PQ.Titik R adalah titik sembarang sehingga titik ini dapat ditentukandengan mudah dari persamaan bidang, yaitu konfigurasi x, y dan zyang memenuhi persamaan bidang, misalnya diperoleh titik (0, 0,−1).Selanjutnya dari persamaan bidang dapat diperoleh vektor normalbidang yang melalui titik R tersebut yaitu dengan membandingkannyadengan persamaan 3.37
N = 3i− 2j + k
Selanjutnya vektor satuan dalam arah normal bidang adalah
n =N
|N|=
3i− 2j + k√14
Dengan demikian dapat diperoleh panjang sisi PQ pada segitiga PQRsebagai berikut
|PQ| = |−→PR| · n =
∣∣∣∣(−i + 2j− 4k) · 3i− 2j + k√14
∣∣∣∣=
11√14
3.6 Operasi Matriks
Persamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika keduanya identik, artinya jumlah bariskeduanya sama dan demikian juga jumlah kolom keduanya sama serta kom-
ponen pada posisi yang sama juga sama. Misalnya matriks A =
a −1 01 b 23 3 c
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.6 Operasi Matriks 63
dan matriks B =
−2 x 01 0 yz 3 3
, jika matriks A = B maka artinya
a = −2; b = 0; c = 3;x = −1; y = 2; z = 3
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangi adalah matriks-matriks de-ngan ukuran yang sama. Penjumlahan atau pengurangan matriks secara se-derhana adalah penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen pada posisiyang sama. Artinya dapat dinyatakan
Cij = (A + B)ij = aij + bij (3.38)
Misalkan A =
(1 5 −2−3 0 6
)dan B =
(−1 3 02 1 2
)maka hasil penjumlahan
keduanya adalah A + B =
(0 8 −2−1 1 8
)sedangkan pengurangannya adalah
A− B =
(2 2 −2−5 −1 4
).
Beberapa sifat penting dalam penjumlahan/ pengurangan matriks:
• A + B = B + A• (A + B) + C = A + (B + C)• A + 0 = A• A + (−A) = 0
Perkalian Matriks
Perkalian dengan skalar (bilangan) Bila suatu matriks dikalikan denganbilangan, maka diperoleh matriks dengan ukuran yang sama. Komponen-komponen matriks asal dikalikan dengan bilangan skalar pengali tersebut
(cA)ij = caij (3.39)
Misalkan A =
(1 5 −2−3 0 6
)maka 2A =
(2 10 −4−6 0 12
)Beberapa sifat penting dalam operasi perkalian matriks dengan bilangan
skalar:
• c(A + B) = cA + cB• (c+ k)A = cA + kA• c(kA) = (ck)A = ckA• 1A = A
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
64 Aljabar Linier
Inner Product Ini adalah perkalian dua buah matriks. Dua buah matriksdapat dikalikan (inner product) jika banyaknya kolom matriks pertama samadengan banyaknya baris matriks kedua. Matriks hasilnya mempunyai jumlahbaris yang sama dengan jumlah baris matriks pertama dan mempunyai jum-lah kolom yang sama dengan jumlah kolom matriks kedua. Misalnya matriks
A =
(a bc d
)dan matriks B =
(e fg h
)maka hasil kali keduanya adalah
AB =
(a bc d
)(e fg h
)=
(ae+ bg af + bhce+ dg cf + dh
) (3.40)
Secara umum AB tidak sama dengan BA, yang berarti perkalian matriks(inner product) tidak bersifat komutatif.
Contoh
Tentukan hasil kali matriks (inner product) antara matriks A =(4 2−3 1
)dan matriks B =
(1 5 32 7 −4
)
AB =
(4 2−3 1
)(1 5 32 7 −4
)=
((4 · 1 + 2 · 2) (4 · 5 + 2 · 7) (4 · 3 + 2 · −4)
(−3 · 1 + 1 · 2) (−3 · 5 + 1 · 7) (−3 · 3 + 1 · −4)
)=
(8 34 4−1 −8 −13
)
Beberapa sifat penting yang berkaitan dengan perkalian antar dua matriks(inner product):
• (kA)B = k(AB) = A(kB)• A(BC) = (AB)C• (A + B)C = AC + BC• C(A + B) = CA + CB
Direct Product Direct product dikenal juga sebagai direct tensor atauKronecker product. Jika A adalah matriks m×m dan B adalah matriks n×n,maka direct product antara keduanya dilambangkan dengan C = A⊗B denganC adalah matriks yang berukuran mn×mn.
Misalkan A dan B masing-masing adalah matriks 2×2 dengan A =
(a bc d
)dan B =
(e fg h
), maka direct product antar keduanya adalah
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.6 Operasi Matriks 65
A⊗ B =
(a bc d
)⊗(e fg h
)
=
ae af be bfag ah bg bhce cf de dfcg ch dg dh
(3.41)
Direct product akan banyak dijumpai dalam persoalan mekanika kuantum.
Matriks Nol dan Matriks Identitas
Matriks nol (zero matrix atau null matrix ) adalah matriks yang semua ele-mennya sama dengan nol, yaitu
0 =
(0 0 00 0 0
)Suatu matriks yang ditambahkan atau dikurangkan dengan matriks nol akanmenghasilkan matriks itu sendiri atau dinyatakan sebagai berikut
A+ 0 = 0 +A = A
Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada diagonal uta-manya sama dengan 1 sedangkan elemen lainnya sama dengan 0. Diagonalutama adalah diagonal dari kiri atas ke kanan bawah pada matriks persegi(square matrix ). Matriks identitas disebut juga sebagai matriks satuan danbiasanya dilambangkan dengan I atau 1, yaitu
I = 1 =
1 0 00 1 00 0 1
Inner product antara suatu matriks dengan matriks identitas akan mengha-silkan matriks itu sendiri, yaitu
AI = IA = A
Invers Matriks
Invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan A−1, sedemikian sehinggabila matriks A dikalikan (inner product) dengan inversnya atau sebaliknyamaka hasilnya adalah matriks satuan atau matriks identitas
AA−1 = A−1A = 1 = I (3.42)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
66 Aljabar Linier
Hanya matriks persegi (square matrix ) saja yang mempunyai invers, namuntidak semua matriks persegi memiliki invers. Matriks yang memiliki inversdinamakan invertible, sedangkan yang tidak memiliki invers dinamakan si-ngular. Invers dari suatu matriks dapat diperoleh dengan cara:
A−1 =1
det ACT (3.43)
dengan Cij adalah cofactor dari aij .
Misalkan suatu matriks A =
1 0 −1−2 3 01 −3 2
dengan menggunakan persamaan
3.10 dapat diperoleh bahwa det A = 3. Kemudian cofactor dari setiap elemenmatriks A dapat diperoleh sebagai berikut:
C11 =
∣∣∣∣ 3 0−3 2
∣∣∣∣ = 6; C12 = −∣∣∣∣−2 0
1 2
∣∣∣∣ = 4; C13 =
∣∣∣∣−2 31 −3
∣∣∣∣ = 3;
C21 = −∣∣∣∣ 0 −1−3 2
∣∣∣∣ = 3; C22 =
∣∣∣∣ 1 −11 2
∣∣∣∣ = 3; C23 = −∣∣∣∣ 1 01 −3
∣∣∣∣ = 3;
C31 =
∣∣∣∣ 0 −13 0
∣∣∣∣ = 3; C32 = −∣∣∣∣ 1 −1−2 0
∣∣∣∣ = 2; C33 =
∣∣∣∣ 1 0−2 3
∣∣∣∣ = 3
maka diperoleh matriks C berbentuk C =
6 4 33 3 33 2 3
, kemudian CT = 6 3 34 3 23 3 3
. Jadi invers dari matriks A adalah
A−1 =1
det ACT
=1
3
6 3 34 3 23 3 3
(3.44)
Dapat ditunjukkan bahwa AA−1 = A−1A = I.
Contoh
Tentukanlah invers dari matriks A =
(6 93 5
).
Determinan matriks A tersebut adalah
detA = 6 · 5− 9 · 3 = 3
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.6 Operasi Matriks 67
Matriks cofactor dari matriks A tersebut komponen-komponennyaadalah
C11 = 5; C12 = −3; C21 = −9; C22 = 6
=⇒ C =
(5 −3−9 6
)CT =
(5 −9−3 6
)Jadi invers matriks A adalah
A−1 =1
3
(5 −9−3 6
)=
(53 −3−1 2
)
Cara lainnya yang dapat digunakan adalah metode inversi Gauss-Jordanyang prinsipnya mirip dengan cara reduksi baris. Berikut akan diberikancontohnya.
• Tuliskan matriks A (sebelah kiri) dan pasangannya (sebelah kanan) yangberupa matriks identitas, pada akhir proses matriks sebelah kiri akan men-jadi matriks identitas sementara matriks sebelah kanan menjadi A−1: 1 0 −1
−2 3 01 −3 2
1 0 00 1 00 0 1
• Kalikan tiap baris dengan bilangan tertentu agar didapat kolom pertama
matriks sebelah kiri sama dengan 1: 1 0 −11 − 3
2 01 −3 2
1 0 00 − 1
2 00 0 1
• baris kedua dan baris ketiga masing-masing dikurangi baris pertama: 1 0 −1
0 − 32 1
0 −3 3
1 0 0−1 − 1
2 0−1 0 1
• Kalikan baris kedua dengan − 2
3 : 1 0 −10 1 − 2
30 −3 3
1 0 023
13 0
−1 0 1
• Tambahkan baris ketiga dengan tiga kali baris kedua:
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
68 Aljabar Linier 1 0 −10 1 − 2
30 0 1
1 0 023
13 0
1 1 1
• Tambahkan baris kedua dengan 2
3 kali baris ketiga:1 0 −10 1 00 0 1
1 0 043 1 2
31 1 1
• Tambahkan baris pertama dengan baris ketiga: 1 0 0
0 1 00 0 1
2 1 143 1 2
31 1 1
Sehingga diperoleh bahwa A−1 =
2 1 143 1 2
31 1 1
sebagaimana yang telah di-
peroleh sebelumnya.Matriks yang inversnya sama dengan transposnya dinamakan matriks or-
togonal, dalam hal ini dinyatakan AT = A−1.
Matriks Khusus
Beberapa matriks persegi memiliki penamaan khusus dan cukup sering di-jumpai dalam penyelesaian persoalan fisis. Beberapa di antaranya adalah
• Matriks segitiga atas (upper triangular) dan matriks segitiga ba-wah (lower triangular)Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bagian bawahdiagonal utamanya sama dengan nol, yaitu
A =
a11 a12 a130 a22 a230 0 a33
Sedangkan matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen dibagian atas diagonal utamanya sama dengan nol, yaitu
B =
b11 0 0b21 b22 0b31 b32 b33
• Matriks simetrik (symmetric) dan matriks anti simetrik (anti-
symmetric)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.6 Operasi Matriks 69
Matriks simetrik adalah matriks persegi yang transpose-nya sama denganmatriks itu sendiri, yaitu artinya
AT = A
sedangkan matriks anti simetrik adalah yang memenuhi hubungan
AT = −A
Untuk matriks yang anti simetrik elemen pada diagonal utama sama de-ngan nol.
• Matriks Hermitian dan matriks anti-HermitianMatriks Hermitian adalah matriks persegi yang memenuhi hubungan
A = A†
simbol † menyatakan konjugat Hermitian (atau adjoint). Konjugat Her-mitian dari suatu matriks adalah transpose dari konjugate kompleksnyaatau konjugate kompleks dari transposenya, yaitu
A† = (A∗)T = (AT )∗
Sedangkan matriks yang anti-Hermitian adalah yang memenuhi hubunganberikut
A† = −A
• Matriks uniter (unitary)Matriks uniter adalah matriks persegi yang memenuhi hubungan sebagaiberikut
A† = A−1
Transformasi: Linier dan Rotasi
Perhatikan persamaan linier berikut ini
X = ax+ by
Y = cx+ dy(3.45)
dengan a, b, c dan d adalah bilangan. Persamaan tersebut menyatakan bahwauntuk setiap nilai x dan y, dapat diperoleh nilai pasangannya yaitu X danY . Persamaan 3.45 tersebut dapat dituliskan dalam bentuk operasi matriksyaitu (
XY
)=
(a bc d
)(xy
)R = Mr
(3.46)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
70 Aljabar Linier
dengan M =
(a bc d
)menyatakan matriks yang mengubah titik (atau vektor)
(x, y) menjadi titik (atau vektor) (X,Y ). Karenanya matriks M tersebutdinamakan matriks transformasi. Tranformasi ini merupakan transformasilinier karena hubungan antar variabel-variabel x, y,X, Y adalah linier.
Persamaan 3.46 dapat diilustrasikan sebagaimana Gambar 3.14. Artinya
x
y
(X,Y )
(x, y)R
r
Gambar 3.14 Transformasi vektor r menjadi R seperti yang dinyatakan denganpersamaan 3.46.
persamaan 3.46 menggambarkan transformasi suatu vektor menjadi vektorlain (dalam sistem koordinat yang tetap).
Transformasi linier juga dapat dipahami dalam pengertian yang berbeda,misalnya tinjau transformasi berikut(
x′
y′
)=
(a bc d
)(xy
), atau r′ = Mr (3.47)
transformasi tersebut dapat dipandang sebagai transformasi sumbu kordinat(dengan vektor yang tetap) sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 3.15.
r = r′
x
y
x′y′
Gambar 3.15 Transformasi sumbu koordinat (rotasi) seperti yang dinyatakan de-ngan persamaan 3.47.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.6 Operasi Matriks 71
Jika suatu transformasi linier menghasilkan vektor yang panjangnya tetapmaka transformasi tersebut dinamakan transformasi yang ortogonal dan ma-triks yang merepresentasikan transformasi tersebut merupakan matriks yangortogonal (orthogonal matrix ).
Contoh
Tentukanlah bentuk matriks transformasi yang menggambarkan rotasisumbu kordinat XY sebesar sudut θ dengan arah berlawanan arahjarum jam
Tinjau suatu vektor r = xi+yj dengan i dan j masing-masing adalahvektor satuan dalam arah sumbu X dan Y pada sistem kordinat XYseperti ditunjukkan dalam gambar.
X
Y
X ′
Y ′
x
y
x′y′
θ
r=
r′
Misalkan sistem kordinat tersebut dirotasi dengan sudut sebesar θmenjadi sistem kordinat X ′Y ′ dan vektor satuan dalam sistem kordi-nat X ′Y ′ masing-masing adalah i′ dan j′
x = r · i; y = r · jx′ = r · i′; y′ = r · j′
Sedangkanr = xi+ yj
Maka akan dapat dinyatakan
x′ = r · i′ = (xi+ yj) · i′
= x cos θ + y cos(π/2− θ)= x cos θ + y sin θ
y′ = r · j′ = (xi+ yj) · j′
= x cos(π/2 + θ) + y cos θ
= −x sin θ + y cos θ
jadi akan diperoleh
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
72 Aljabar Linier
(x′
y′
)=
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)(xy
)Dengan demikian matriks rotasi yang dimaksud adalah(
cos θ sin θ− sin θ cos θ
).
3.7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Seringkali dijumpai persoalan fisis yang dinyatakan dengan persamaan beri-kut
Mr = λr (3.48)
dengan M adalah matriks persegi (square matrix ) dan r adalah suatu vektorsedangkan λ adalah bilangan. Persamaan 3.48 menggambarkan suatu vektorr yang ditransformasikan dengan matriks M dan hasilnya adalah suatu vektorbaru yang dapat dinyatakan dengan suatu bilangan tertentu dikalikan denganvektor asalnya. Artinya transformasi seperti ini membuat vektor r menjadilebih panjang atau lebih pendek namun dengan arah yang tetap ataupunberlawanan. Dengan kata lain vektor baru yang dihasilkan dari transforma-si tersebut sejajar dengan vektor asal. Persoalan yang dirumuskan denganpersamaan 3.48 tersebut dikenal sebagai Persoalan Nilai Eigen (Eigen Va-lue Problem). Persoalan serupa juga dijumpai dalam bentuk lain: Mψ = λψ,dengan M menyatakan suatu operator dan ψ suatu fungsi.
Bilangan λ dikenal sebagai nilai eigen (eigen value) sedangkan vektor rdinamakan vektor eigen (eigen vector) dari matriks transformasi M. Nilaieigen λ, vektor eigen r dan matriks M merupakan satu kesatuan yang unik.Artinya meskipun matriks transformasinya tetap M namun nilai eigennyabelum tentu sama dengan λ jika vektor eigennya bukan r.
Berikut ini akan diuraikan cara untuk mencari nilai eigen dan vektor ei-gen dari suatu transformasi. Misalkan suatu transformasi yang dinyatakan
dengan matriks transformasi M =
(5 −2−2 2
). Dengan transformasi ini su-
atu vektor yang dinyatakan dengan
(xy
)menjadi suatu vektor lain yaitu
λ
(xy
). Dengan notasi matriks, tranformasi tersebut dapat dinyatakan seba-
gai berikut (5 −2−2 2
)(xy
)= λ
(xy
)(3.49)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 73
Persamaan matriks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan liniermenjadi
5x− 2y = λx
−2x+ 2y = λy(3.50)
atau
(5− λ)x− 2y = 0
−2x+ (2− λ)y = 0(3.51)
dan bila disusun kembali dalam bentuk matriks(5− λ −2−2 2− λ
)(xy
)= 0 (3.52)
Persamaan tersebut adalah persamaan homogen yang solusinya dapat dipe-roleh (untuk x dan y selain 0) jika determinan matriksnya sama dengan 0.Dengan demikian berarti ∣∣∣∣ 5− λ −2
−2 2− λ
∣∣∣∣ = 0 (3.53)
Persamaan tersebut disebut persamaan karakteristik matriks M. Dengan de-mikian diperoleh persamaan kuadrat dalam λ
(5− λ)(2− λ)− 4 = 0
λ2 − 7λ+ 6 = 0(3.54)
yang memberikanλ = 1 atau λ = 6 (3.55)
Kedua nilai λ yang diperoleh pada persamaan 3.55 adalah nilai eigen darimatriks M.
Bila nilai eigen yang diperoleh tersebut disubstitusi ke persamaan 3.51maka diperoleh
untuk λ = 1→ 2x− y = 0
untuk λ = 6→ x+ 2y = 0(3.56)
Kembali ke ungkapan operasi matriks seperti yang dinyatakan dengan per-samaan 3.48, vektor eigen yang berkaitan dengan matriks M adalah vektor rsedemikian sehingga hasil transformasinya memberikan vektor yang sejajardengan r. Untuk nilai eigen λ = 1 kondisi tersebut dipenuhi oleh vektor yangdinyatakan dengan persamaan garis 2x − y = 0 atau y = 2x. Vektor-vektoryang memenuhi syarat ini tak hingga banyaknya (misalnya vektor i+2j, vek-tor 2i+4j, vektor −i−2j dan lain sebagainya) namun kesemuanya mempunyai
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
74 Aljabar Linier
vektor satuan yang dapat dinyatakan dengan r1 = 1√5(i + 2j). Untuk nilai
eigen λ = 6 kondisi tersebut dipenuhi oleh vektor yang dinyatakan denganpersamaan garis x+ 2y = 0 atau y = − 1
2x, artinya vektor satuannya adalahr2 = 1√
5(−2i + j). Kedua vektor eigen tersebut ditunjukkan dalam Gambar
3.16.
x
y2x− y = 0
x+ 2y = 0
r1r2
Gambar 3.16 Vektor-vektor eigen untuk matriks M.
Terlihat bahwa dengan nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperolehmaka persoalan nilai eigen untuk kasus ini dapat dinyatakan kembali yaitu(misalnya dengan mengambil vektor i + 2j dan −2i + j):(
5 −2−2 2
)(12
)=
(12
)= 1
(12
)dan(
5 −2−2 2
)(−21
)=
(−12
6
)= 6
(−21
)
3.8 Diagonalisasi Matriks
Diagonalisasi adalah proses (transformasi) yang dilakukan untuk membuatsuatu matriks persegi (square matrix ) menjadi matriks diagonal.
Bila persamaan 3.51 dituliskan kembali dengan menggunakan kedua nilaieigen, masing-masing dihubungkan dengan variabel (x1, y1) dan (x2, y2) makadiperoleh empat buah persamaan-persamaan berikut:
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.8 Diagonalisasi Matriks 75
5x1 − 2y1 = x1, 5x2 − 2y2 = 6x2
−2x1 + 2y1 = y1, −2x2 + 2y2 = 6y2(3.57)
Keempat persamaan-persamaan tersebut dapat disusun dalam bentuk suatuperkalian matriks sebagai berikut(
5 −2−2 2
)(x1 x2y1 y2
)=
(x1 x2y1 y2
)(1 00 6
)(3.58)
(x1, y1) memenuhi persamaan 2x1−y1 = 0 dan (x2, y2) memenuhi persamaanx2 + 2y2 = 0 sehingga dapat dinyatakan
x1 =1√5, y1 =
2√5, x2 = − 2√
5, y2 =
1√5
(3.59)
sehingga dapat dituliskan(5 −2−2 2
)( 1√5− 2√
52√5
1√5
)=
(1√5− 2√
52√5
1√5
)(1 00 6
)M C = C D
(3.60)
terlihat bahwa matriks C adalah matriks yang dibentuk oleh vektor-vektoreigen dari matriks M sedangkan matriks D adalah matriks yang dibentuk olehnilai-nilai eigen dari matriks M. Bila matriks C adalah invertible, maka dapatdiperoleh inversnya sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, sehinggadiperoleh
C−1 =
(15
√5 2
5
√5
− 25
√5 1
5
√5
)kemudian bila persamaan 3.60 dikalikan dengan C−1 maka diperoleh
C−1 M C = C−1 C D
= D(3.61)
Persamaan 3.61 menunjukkan bahwa suatu transformasi tertentu mengubahmatriks M menjadi suatu matriks diagonal. Transformasi tersebut direpre-sentasikan dengan matriks C yang ternyata berkaitan dengan vektor-vektoreigen dari matriks M. Proses tersebut dinamakan diagonalisasi matrikskarena mentransformasikan suatu matriks menjadi berbentuk matriks dia-gonal.
Dengan demikian proses diagonalisasi suatu matriks M dapat dirangkum-kan sebagai berikut:
• Cari nilai-nilai eigen dan vektor eigen matriks M• Bentuk matriks C dari vektor-vektor eigen, ingat bahwa vektor-vektor
tersebut perlu dinyatakan dalam bentuk vektor normal• Cari invers dari matriks C
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
76 Aljabar Linier
• Lakukan transformasi C−1 M C untuk memperoleh matriks diagonal yangdiinginkan.
Untuk memahami makna matriks D, perhatikan Gambar 3.17. Pada gam-bar tersebut sumbu koordinat XY dirotasi dengan sudut θ sehingga menjadisumbu koordinat X ′Y ′. Vektor R dan r adalah dua vektor dalam sistemkoordinat XY . Kedua vektor tersebut adalah R′ dan r′ bila dinyatakan da-lam sistem koordinat X ′Y ′. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa rotasi sumbukoordinat dapat dinyatakan menggunakan matriks transformasi. Dalam halini, suatu titik (x′, y′) dalam sistem koordinat X ′Y ′ bila dinyatakan dalamsistem koordinat XY adalah
X
X′
YY ′
R = R′
r = r′
θ
Gambar 3.17 Interpretasi matriks diagonal D pada proses diagonalisasi.
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
(3.62)
atau dapat dinyatakan
r = Cr′, dengan C =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(3.63)
Ungkapan tersebut berlaku untuk sembarang vektor lainnya sehingga untukR dapat pula dinyatakan dalam bentuk yang sama
R = CR′ (3.64)
Kemudian misalkan matriks M adalah menyatakan transformasi yang meng-ubah vektor r menjadi vektor R (ini merupakan transformasi dalam sistemkoordinat XY ), hal ini berarti
R = Mr (3.65)
Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut diperoleh
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.9 Aplikasi Diagonalisasi Matriks 77
CR′ = Mr =⇒ R′ = C−1Mr =⇒ R′ = C−1MCr′ (3.66)
Hal ini berarti matriks C−1 M C mentransformasikan vektor r′ menjadi vek-tor R′ (dalam sistem koordinat X ′Y ′).
Jika matriks D ≡ C−1 M C berbentuk matriks diagonal, hal ini berartimatriks C dibentuk dari vektor-vektor eigen matriks M sebagaimana yangtelah ditunjukkan sebelumnya.
3.9 Aplikasi Diagonalisasi Matriks
Sumbu utama suatu objek
Suatu irisan kerucut dinyatakan dengan persamaan
Ax2 + 2Hxy +By2 = K
dengan A, H, B dan K adalah konstanta. Bila disusun dalam bentuk perka-lian matriks, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
(x y)( A H
H B
)(xy
)= K
(x y)M
(xy
)= K
Ingin ditentukan sumbu-sumbu utama irisan kerucut tersebut sedemikiansehingga persamaannya menjadi lebih sederhana. Hal ini dilakukan denganmendiagonalisasi matriks M, dengan kata lain mencari nilai eigen dan vektoreigen dari matriks M. Lebih spesifik, misalkan A, H, B dan K masing-masingadalah 5, −2, 2 dan 30, sehingga persamaan irisan kerucut yang ditinjauadalah
5x2 − 4xy + 2y2 = 30
Plot irisan kerucut dengan persamaan seperti di atas ditunjukkan dalamgambar 3.18(a). Persamaan irisan kerucut tersebut dapat dituliskan dalambentuk perkalian matriks seperti yang telah dijelaskan di atas dengan bentuk
matriks M =
(5 −2−2 2
). Pada bagian terdahulu matriks ini telah dicari nilai
eigen dan vektor eigennya. Telah diperoleh bahwa
C−1 M C = C−1 C D
= D =
(1 00 6
)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
78 Aljabar Linier
Maka persamaan irisan kerucut tersebut bila dinyatakan relatif terhadapsumbu-sumbu utamanya adalah
(x′ y′
)( 1 00 6
)(x′
y′
)= x′2 + 6y′2 = 30 (3.67)
Matriks C yang merupakan matriks vektor eigen yang berkaitan dengan
transformasi ini adalah C =
(1√5− 2√
52√5
1√5
). Bila matriks ini dibandingkan
dengan matriks rotasi sumbu koordinat (persamaan ??), maka dapat dipe-roleh
θ = arccos
(1√5
)Hal ini berarti sumbu utama x′y′ diperoleh dengan merotasi sumbu xy de-ngan sudut rotasi sebesar θ. Ilustrasi sumbu utama irisan kerucut tersebutditunjukkan dalam gambar 3.18(b).
x
y
(a)
x
y
(b)
Gambar 3.18 Ilustrasi sumbu utama irisan kerucut: (a) plot irisan kerucut 5x2 −4xy + 2y2 = 30, (b) vektor eigen yang menggambarkan sumbu utama irisan kerucuttersebut.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
3.9 Aplikasi Diagonalisasi Matriks 79
Karakteristik vibrasi sistem pegas-massa
Tinjau persoalan dinamika suatu sistem yang terdiri dari dua buah bendatitik bermassa m dan tiga buah pegas identik dengan konstanta pegas kseperti yang digambarkan dalam Gambar 3.19.
m m
x y
Gambar 3.19 Sistem tiga pegas dengan dua benda titik.
Misalkan x dan y menyatakan posisi sesaat dari masing-masing bendatitik relatif terhadap posisi setimbangnya. Energi potensial sistem ini adalahenergi potensial pegas total, yaitu
V =1
2kx2 +
1
2(x− y)2 +
1
2ky2 = k(x2 − xy + y2) (3.68)
Persamaan gerak benda dapat diperoleh dari turunan energi potensial terse-but (yang menyatakan gaya yang bekerja pada benda), yaitu
Fx = max = −∂V∂x
= −2kx+ ky
Fy = may = −∂V∂y
= kx− 2ky
Persamaan diferensial tersebut mempunyai bentuk solusi berupa fungsi har-monik (lebih lengkap tentang solusi persamaan diferensial akan dibahas padaBAB 7), dapat dituliskan kembali menjadi
−mω2x = −2kx+ ky
−mω2y = kx− 2ky
Dalam notasi matriks, persamaan tersebut dituliskan sebagai
λ
(xy
)=
(2 −1−1 2
)(xy
),dengan λ =
mω2
k
yang merupakan persoalan nilai eigen (eigen value problem). Nilai eigen darimatriks yang bersangkutan adalah∣∣∣∣ 2− λ −1
−1 2− λ
∣∣∣∣ = 0 =⇒ λ = 1 atau λ = 3
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
80 Aljabar Linier
Dengan demikian diperoleh frekuensi modus normal sistem yaitu yang ber-kaitan dengan nilai-nilai eigen tersebut, yaitu
λ = 1 −→ ω1 =
√k
m
λ = 3 −→ ω2 =
√3k
m
Vektor eigen yang berkaitan adalah
untuk λ = 1→ y = x
untuk λ = 3→ y = −x
Hal ini berarti pada frekuensi ω1 (yang diperoleh untuk y = x), kedua bendabergerak osilasi dalam arah yang sama bersamaan (yaitu sama-sama ke kirikemudian sama-sama ke kanan), sedangkan pada frekuensi ω2 (yang diperolehuntuk y = −x), simpangan kedua benda saling berlawanan (saat yang satubergerak ke kiri yang lain bergerak ke kanan).
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Paket Soal Bab 3
1. Tentukanlah rank matriks berikut
a.
2 −3 5 34 −1 1 13 −2 3 4
b.
1 0 1 0−1 −2 −1 02 2 5 32 4 8 6
2. Hitunglah determinan matriks berikut
a.
−2 3 43 4 −25 6 −3
b.
5 17 32 4 −311 0 2
c.
0 1 2 −1−1 0 −3 0−2 3 0 11 0 −1 0
3. Gunakan metode Cramer untuk memperoleh nilai variabel z dari sistem
persamaan linier berikut (a− b)x − (a− b)y + 3b2z = 3ab(a+ 2b)x − (a+ 2b)y − (3ab+ 3b2)z = 3b2
bx + ay − (2b2 + a2)z = 0
4. Benda titik bermassa m bergerak lurus sepanjang garis y = 2x− 3 dalamarah kuadran tiga pada bidang koordinat xy dengan laju konstan v = 3m/s. Tentukanlah:
a. Vektor kecepatan bendab. Momentum sudut benda terhadap titik pusat koordinat.
5. Limas segiempat ABCDE mempunyai titik sudut A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), E(1, 1, 3).
a. Tentukanlah panjang proyeksi vektor−→EA pada arah vektor
−−→EB
b. Tentukan persamaan bidang ABEc. Tentukan jarak antara titik D ke bidang ABE
81
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
82 Paket Soal Bab 3
6. Dalam kristalografi dikenal struktur kristal kubus berpusat muka (face-centered cubic). Pada struktur ini, atom berada di titik sudut kubus danpada tengah tiap permukaan kubus. Misalkan suatu kubus berukuran a×a×a dan atom-atomnya terletak pada koordinat yang dinyatakan dengantitik O (0, 0, 0), A (a, 0, 0), B (a, a, 0), C (0, a, 0), D (0, 0, a), E (a, 0, a),F (a, a, a), G (0, a, a), H (a/2, 0, a/2), I (a, a/2, a/2), J (a/2, a, a/2), K(0, a/2, a/2), L (a/2, a/2, 0), M (a/2, a/2, a). Bangun OLJKHIFM disebutrhomboid dan merupakan sel basis (basic cell) struktur tersebut.
a. Tentukan volume sebuah rhomboidb. Tentukan sudut antara dua permukaan yang berpotongan pada rhom-
boid tersebut
7. Carilah invers matriks berikut
a.
(6 93 5
)b.
(2 10 −3
)c.
−1 2 32 0 −4−1 −1 1
d.
−2 0 11 −1 23 1 0
e.
1 −1 14 0 −14 −2 0
f.
1 0 12 1 12 1 2
8. Untuk dua matriks berikut A =
1 −1 14 0 −14 −2 0
dan B =
1 0 12 1 12 1 2
, hitunglah
B−1AB, B−1A−1B dan AB.9. Selesaikanlah sistem persamaan linier homogen berikut menggunakan me-
tode reduksi baris
a.
x − 2y + 3z = 0x + 4y − 6z = 02x + 2y − 3z = 0
b.
2x + 3z = 04x + 2y + 5z = 0x − y + 2z = 0
10. Tentukanlah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut
a.
(1 32 2
)b.
5 0 20 3 02 0 5
c.
3 2 42 0 24 2 3
11. Tentukan persamaan kurva atau permukaan berikut menurut sumbu uta-
manya dan tentukanlah matriks transformasi yang menggambarkan tran-sformasi dari sumbu awal menjadi sumbu utama
a. 2x2 + 4xy − y2 = 24 b. 5x2 + 3y2 + 2z2 + 4xz = 14c. x2 + 3y2 + 3z2 + 4xy + 4xz = 60
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r