podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowejgrysa/mfskrypt.pdf · krzysztof grysa podstawy...

Krzysztof Grysa

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

określenia, wzory, przykłady, zadania z rozwiązaniami

KIELCE

1

SPIS TREŚCI

WSTEP............................................................................................. 7 1 STOPA ZWROTU .................................................................…... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ.………… 10

2.1 DOKŁADNA LICZBA DNI 2.2 ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY 2.3 REGUŁA BANKOWA 2.4 PRZYKŁADY 2.5 Zadania

3 PROCENT PROSTY ....................................................…............ 13 3.1 ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU 3.2 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 3.3 SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO

PODMIOTU 3.4 DYSKONTOWANIE PROSTE 3.5 DYSKONTO HANDLOWE 3.6 PRZYKŁADY 3.7 Zadania

4 DYSKONTOWANIE WEKSLI..............................…….................. 27 4.1 WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA 4.2 RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI 4.3 KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA 4.4 PRZYKŁADY 4.5 Zadania

5 BONY SKARBOWE .......................................................……......... 37 5.1 PRZYKŁADY 5.2 Zadania

5 PROCENT SKŁADANY....................................................……....... 43 6.1 STOPA PROCENTOWA 6.2 ODSETKI, CZAS 6.3 CZAS PODWOJENIA KAPITAŁU 6.4 OPROCENTOWANIE CIĄGŁE 6.5 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 6.6 DYSKONTOWANIE SKŁADANE 6.7 PRZYKŁADY

3

6.8 Zadania

7 OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZEDNOŚCIOWYCH... 527.1 WKŁADY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.2 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT ZGODNYCH Z

OKRESEM KAPITALIZACJI 7.3 WKŁADY NIEZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.4 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH

OKRESU KAPITALIZACJI 7.5 PRZYKŁADY 7.6 Zadania

8 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O STAŁEJ CZESCI KAPITAŁOWEJ....................................................................... 62

8.1 WZORY OGÓLNE 8.2 RATY O Z GÓRY USTALONYCH WYSOKOŚCIACH 8.3 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY ZGODNE Z

OKRESEM KAPITALIZACJI 8.4 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W

PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU

8.5 RATY STAŁE, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA CAŁY OKRES SPŁAT

8.6 RATY STAŁE W OKRESACH KAPITALIZACJI, OSTAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA OKRES KAPIALIZACJI

8.7 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU OKRESU KAPITALIZACJI

8.8 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI W PODOKRESACH WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DOLICZANE RAZ NA OKRES KAPITALIZACJI.

8.9 PRZYKŁADY 8.10 Zadania

9 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O RÓWNYCH

WYSOKOSCIACH.................................................................... 75 9.1 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH SPŁATY ZGODNE Z

OKRESEM KAPITALIZACJI

4

9.2 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU

9.3 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI

9.4 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W ODOKRESACH


10 KREDYTY Z DODATKOWA OPŁATA..................……............. 101 10.1 WZORY OGÓLNE 10.2 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ ZGODNE Z OKRESEM

KAPITALIZACJI, Z DODATKOWĄ OPŁATA 10.3 RATY O STAŁEJ WYSOKOŚCI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ. 10.4 PRZYKŁADY 10.5 Zadania

11 KREDYTY Z OPÓZNIONYM OKRESEM SPŁAT........……....... 106 11.1 PRZYKŁADY 11.2 Zadania

12 KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI...………... 109

12.1 STOPA OPROCENTOWANIA JEST SUMĄ STOPY ZYSKU ORAZ STOPY INFLACJI 12.1.1 Raty o stałej części kapitałowej spłaty zgodne z okresem kapitalizacji 12.1.2 Raty o równych wysokościach płatne z dołu spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

12.2 KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI 12.2.1 Raty o stałej części kapitałowej spłaty zgodne z okresem kapitalizacji 12.2.2 Raty o równych wysokościach płatne z dołu spłaty zgodne z okresem kapitalizacji


5

13 RENTY....................................................................................... 117

13.1 WZORY OGÓLNE 13.2 RENTA O STAŁEJ WYSOKOŚCI 13.3 RENTA TWORZĄCA CIĄG ARYTMETYCZNY 13.4 RENTA TWORZĄCA CIĄG GEOMETRYCZNY 13.5 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG ARYTMETYCZNY 13.6 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNY 13.7 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNO-

ARYTMETYCZNY 13.8 RENTA WYPŁACANA W PODOKRESACH OKRESU

KAPITALIZACJI 13.9 PRZYKŁADY

13.10 Zadania

14. PODSTAWY MATEMATYKI UBEZPIECZENIOWEJ………….132 15 PODSTAWY WYCENY PAPIERÓW WARTOSCIOWYCH …..145

6

WSTĘP

Słuchacze wykładu „Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej” od zawsze narzekali na mnogość wzorów, pojawiających się na wykładach i co gorsza także na ćwiczeniach z tego przedmiotu. Podręczniki omawiające ten temat zawierają zdecydowaną większość potrzebnych studentom wzorów, lecz ich opis często jest ukryty w tekście rozdziału, w którym wzór się pojawia. Sprawa wpłat „z dołu” lub „z góry”, zgodnych z okresem kapitalizacji lub nie, że nie wspomnę o kwestii rent, planów spłaty długu, czy obliczeniach dotyczących dyskontowania weksli, spędzała dotychczas sen z oczu wielu studentkom i studentom. I jakkolwiek na rynku wydawniczym znajdują się podręczniki, sprawnie i czytelnie omawiające zawartość wspomnianego wykładu, to problem sporządzenia nieco bardziej skomplikowanych obliczeń z zakresu matematyki finansowej rozbija się najczęściej o nieznajomość wzorów lub brak książki, przedstawiającej te wzory w sposób pozwalający szybko i sprawnie zastosować do rozważanego problemu właściwy zestaw obliczeń.

To właśnie stało się przyczyną, dla której powstał ten podręcznik. Zamysłem autora było sporządzenie zestawu związków, pozwalających sprawnie poruszać się po gruncie matematyki finansowej pod warunkiem wcześniejszego wysłuchania wykładu z tego przedmiotu lub przeczytania jednej z kilku książek, które o matematyce finansowej traktują. Ponieważ wielu studentów wciąż jeszcze uważa, że są znacznie ciekawsze rzeczy na tym świecie niż chodzenie na wykłady, autor pozwala sobie na przytoczenie trzech takich książek, które rekomenduje tym studentom jako ewentualną lekturę zastępującą wykład. Są to m.in.: Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej (autorzy: Mieczysław Dobija i Edward Smaga, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków 1995), Matematyka finansowa (autorzy: Maria Podgórska, Joanna Klimkowska, PWN, Warszawa 2013), Matematyka finansowa (autorzy: Piasecki Krzysztof, Ronka-Chmielowiec Wanda, C.H. BECK, 2011) Matematyka finansowa (autor: Mieczysław Sobczyk, Agencja wydawnicza Placet, Warszawa 2011)., Poszczególne książki nieco różnią się od siebie oznaczeniami, ale treści w nich zawarte są w pełni zgodne. Jeśli więc ktoś uzna, że

7

woli uczyć się z książki niż słuchać wykładu, zapraszam do lektury jednej z wymienionych wyżej książek lub innych, traktujących o matematyce finansowej w sposób kompatybilny z treścią wykładu, na potrzeby którego powstał ten podręcznik.

Składa się on z szesnastu części, przy czym najkrótsza jest jednostronicowa (mająca oddzielny numer i traktowana jako oddzielna część tylko dlatego, aby student zapamiętał i przyswoił sobie pojęcie stopy zwrotu). Poszczególne części podzielone są na mniejsze kawałki po to, aby w spisie treści można było szybko znaleźć ten zakres materiału, który jest właśnie potrzebny. Oprócz pierwszej i ostatniej części wszystkie pozostałe zawierają po kilka przykładów zastosowań prezentowanych tam wzorów oraz zadania do samodzielnego przerobienia przez studentów. Ostatnia część to tablice, w których podano wartość przyszłą wpłat jednostkowych, wartości czynnika umorzeniowego oraz tablice trwania życia dla lat 1985-1986 oraz 1990-1991.

Życząc Użytkownikom podręcznika, aby stał się on dla nich prawdziwą pomocą w opanowaniu tajników matematyki finansowej autor jeszcze raz przypomina, że podręcznik ten to tylko materiały pomocnicze i uzupełniające. Podstawą do opanowania matematyki finansowej jest wykład lub odpowiednia książka.

Krzysztof Grysa

8

9

1. STOPA ZWROTU

Oznaczenia:

K0 kapitał początkowy (zainwestowany w jakieś przedsięwzięcie)

K1 kapitał otrzymany po zakończeniu przedsięwzięcia (końcowy)

rz stopa zwrotu (tempo przyrostu kapitału)

r stopa zwrotu (tempo przyrostu kapitału) podana w skali roku Gdy rozważa się opłacalność inwestycji kapitału K0 w jakieś przedsięwzięcie, to do oceny opłacalności używa się wskaźnika nazywanego stopą zwrotu:

r KKz = K 1− 0

0

stopa zwrotu

Gdy jest to kapitał złożony na książeczce PKO lub np. na roczną lokatę terminową, to mówimy o stopie procentowej. Oprocentowanie wkładów gotówkowych w bankach podaje się w procentach, na ogół w skali roku (chyba, że wyraźnie jest powiedziane, że dotyczy to innego niż rok okresu czasu), przy czym przelicza się je na ułamek dziesiętny, dzieląc stopę procentową przez sto (np. r = 13% = 0,13). Gdy stopa zwrotu ma być podana w skali roku, otrzymany z podanego wyżej wzoru wynik trzeba podzielić przez n, gdzie n - czas, podany w latach lub jako część roku, tzn.:

r = K 1−⋅

KK

0

0

1n

stopa zwrotu podana w skali roku

Kwestią często sporną, która się tu nieuchronnie pojawia, jest sprawa odpowiedzi na pytanie: jak liczyć czas? Bo ile to jest np. pół roku?

10

2. RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ

2.1. DOKŁADNA LICZBA DNI m - dokładna liczba dni od daty do daty (bez pierwszego dnia rozważanego okresu). Każdy miesiąc ma tyle dni, ile wynika z kalendarza. Każdy rok ma 365 dni (jest to więc rok kalendarzowy). Przeliczenie dni na lata odbywa się wg. wzoru:

n m=

365

gdzie n - liczba lat. Tu i w pozostałych przypadkach podaje się ją z dokładnością co najmniej do 4 miejsc po przecinku. Odsetki, obliczone na tej podstawie, nazywa się procentem dokładnym.

2.2. ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY

Zasada ta nie jest już (od 1 stycznia 1998 r.) stosowana w systemie bankowym w Polsce. Jest ona jednak bardzo wygodna. Z tego względu podajemy tu sposób posługiwania się tą zasadą. Wg niej każdy rok składa się z 12 równych miesięcy mających po 30 dni, tzn. ma 360 dni (jest to tzw. rok bankowy). Przy tej rachubie czasu od 28 lutego do końca miesiąca są 2 dni, a 31 marca nie istnieje. Przeliczenie dni na lata odbywa się wg. wzoru

n m=

3 6 0

gdzie m - liczba dni od daty do daty (bez pierwszego dnia), n - liczba lat. Odsetki, obliczane na tej podstawie, nazywane były się procentem zwykłym.

11

2.3. REGUŁA BANKOWA

Liczbę dni m od daty do daty oblicza się jak przy dokładnej liczbie dni. Jako rok bierze się rok bankowy, tzn. rok liczący 360 dni. Przeliczenie dni na lata odbywa się wg. wzoru

n m=

360

gdzie m - liczba dni od daty do daty (bez pierwszego dnia), n - liczba lat.

2.4. PRZYKŁADY

2.4.1. Oblicz długość okresu czasu od 6 czerwca do 6 września, stosując zasadę dokładnej liczby dni, zasadę równych miesięcy oraz regułę bankową

Rozwiązanie: Oznaczmy: DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy, RB - reguła bankowa. DLD ZRM RB od 6 czerwca 24 24 24 lipiec 31 30 31 sierpień 31 30 31 do 6 września 6 6 6 razem dni, tzn. m = 92 90 92 wzór: wg 2.1 wg 2.2 wg 2.3 okres (ile lat) n = 0,2520548 0,25 0,2555 Odpowiedź: Długość okresu od 6 czerwca do 6 września wynosi: wg DLD - 0,2520548 roku; wg ZRM - 0,25 roku; wg RB - 0,2555 roku. 2.4.2. Zainwestowano kapitał K0 w przedsięwzięcie, które po czasie n dało kapitał K1 . Obliczyć stopę zwrotu rz oraz stopę

12

zwrotu w skali roku r dla następujących danych: K0 =1000 zł, K1 = 1500, n=8 miesięcy.

Rozwiązanie: Przyjmujemy zasadę równych miesięcy. Wtedy n = 8 miesięcy = 8/12 roku = 0,6667 roku. Otrzymujemy:

rz = 1500 −=

10001000

0 5, ; r = 1500 10001000

1 0 75−⋅ =

0,6667,

Odpowiedź: Stopa zwrotu rz = 0,5. Stopa zwrotu w skali roku r = 0,75.

2.5. Zadania 2.5.1. Oblicz długość okresu czasu, stosując zasadę dokładnej liczby dni, zasadę równych miesięcy oraz regułę bankową, dla następujących przedziałów czasowych:: a) 3 stycznia - 10 marca b) 1 stycznia - 15 kwietnia c) 9 czerwca - 9 września d) 3 sierpnia - 24 grudnia e) 1 lutego - 12 września f) 12 czerwca - 3 grudnia 2.5.2. Zainwestowano kapitał K0 w przedsięwzięcie, które po czasie n dało kapitał K1 . Obliczyć stopę zwrotu rz oraz stopę zwrotu w skali roku r dla następujących danych: a) K0 =1000 zł, K1 = 1400 zł, n - okres od 1 stycznia do 31 sierpnia; b) K0 =2000 zł, K1 = 2400 zł, n=3 miesiące; c) K0 =500 zł, K1 = 1400 zł, n - okres od 20 marca do 20 grudnia; d) K0 =200 zł, K1 = 1500 zł, n - okres kwartału; e) K0 =1000 zł, K1 = 1800 zł, n = rok. f) K0 =2000 zł, K1 = 15000 zł, n = 3 lata.

2.6. Rozwiązania zadań

2.5.1. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy, RB - reguła bankowa. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

Ilość dni wg Czas w latach, czyli n = ppkt DLD ZRM wg DLD wg ZRM wg RB

a) 66 67 0,180822 0,186111 0,183333

13

b) 104 104 0,284932 0,288889 0,288889 c) 92 90 0,252055 0,250000 0,255556 d) 143 141 0,391781 0,391667 0,397222 e) 223 221 0,610959 0,613889 0,619444 f) 174 171 0,476712 0,475000 0,483333

2.5.2. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. Stopy procentowe rz oraz r obliczamy z dokładnością do 5 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

K0 K1 czas czas rz r ppkt zł zł wg dni lata (n=) uł. % uł. %

a) 1000 1400 DLD 242 0,663014 0,4 40 0,6033 60 b) 2000 2400 ZRM 90 0,250000 0,2 20 0,8 80 c) 500 1400 DLD 275 0,753424 1,8 180 2,38909 238,909 d) 200 1500 ZRM 90 0,250000 6,5 650 26,0 2600 e) 1000 1800 - - 1 0,8 80 0,8 80 f) 2000 1500

0- - 3 6,5 650 2,16667 216,667

3. PROCENT PROSTY

3.1. ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU Oznaczenia:

P początkowa wartość kapitału n czas oprocentowania w latach r roczna stopa procentowa I odsetki (jest to opłata za prawo dysponowania kapitałem P przez

okres czasu n) F wartość kapitału po czasie n lat

Wzór na wysokość odsetek (opłaty za prawo dysponowania kapitałem) od kapitału P, pożyczonego na okres czasu n przy oprocentowaniu r:

I = Prn

14

odsetki po czasie n przy stopie procentowej r z kapitału P

Wzór ten można przekształcić, wyznaczając z niego P, r lub n: kapitał początkowy P stopa procentowa r czas n

P Ir

=n

r IP

=n

n =I

P r

F P I P Prn P( rn= + = + = +1 ) , tzn.

F P( rn= +1 ) wartość przyszła kapitału P po czasie n przy stopie procentowej r

Wzór ten można przekształcić, wyznaczając z niego P, r lub n: kapitał początkowy P stopa procentowa r czas n

P Fr

=+1 n

r F P=

−Pn

n =−F P

P r

3.2. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA Oznaczenia:

n n nk1 2, , ... ,

długości podokresów; okres czasu n jest równy

n n jj

k

==∑

1

r ,r , ...,r1 2 k stopy procentowe, obowiązujące w podokresach 1, 2,...,k Wtedy

)11

∑=

+=k

jjjrP(F n

wartość przyszła kapitału P

15

a przeciętną stopę procentową dla okresu n oblicza się ze wzoru

∑=

=k

jjjprz rr

1

1 nn

przeciętna stopa procentowa dla okresu n n jj

k

==∑

1

Dla tej stopy

)n1 przrP(F += wartość przyszła kapitału P

3.3. SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU

Oznaczenia: n n nk1 2, , ... , długości okresów oprocentowania lokat terminowych r ,r , ...,r1 2 k stopy procentowe, obowiązujące w okresach 1,2,...,k

P ,P ,...,P1 2 k

kwoty na lokatach terminowych o długościach okresu i oprocentowaniach jak wyżej

Relacja pomiędzy podanymi wyżej wielkościami a przeciętną stopą procentową rprz na okres n (który może być dowolny), dającą te same odsetki co wspomniane wyżej k lokat terminowych ma postać

r rjprzj

k

jj

k

n nP Pj j= =

∑ ∑=1 1

Przy zadanym n można z tego wzoru wyznaczyć rprz ; przy założonej wartości rprz można wyznaczyć n. Odpowiednie wzory mają postać:

16

∑

∑

=

== k

j

j

k

jj

prz

n

rnr

1

1

j

j

P

P

∑

∑

=

== k

jprz

j

k

jj

r

rnn

1

1

j

j

P

P

3.4. DYSKONTOWANIE PROSTE Obliczenie wartości aktualnej P kapitału na podstawie znajomości wartości przyszłej F podano w cz. 3.1; odpowiedni wzór ma postać:

nrFP+

=1

dyskontowanie proste

(jest to operacja odwrotna do oprocentowania prostego, gdzie r - stopa procentowa, n - czas). Oczywiście D = F - P, skąd otrzymujemy wzór

nnr

FrD+

=1

dyskonto proste

Zauważmy, że zależność kapitału P od jego przyszłej wartości F wyrażona jest poprzez funkcję, która jako funkcja czasu opisuje hiperbolę. Warto zauważyć, że zależność F od P była liniowa względem czasu.

3.5. DYSKONTO HANDLOWE

Oznaczenia:

d stopa dyskontowa n czas w latach P aktualna wartość kapitału (po zdyskontowaniu o czas n) F wartość kapitału w przyszłości

17

nFdPFDH =−= dyskonto handlowe

)1( ndFDFP H −=−= wartość aktualna przyszłych pieniędzy

Wzór ten można przekształcić, wyznaczając z niego F, d lub n:

wartość kapitału F stopa dyskontowa d czas n:

F Pd

=−1 n

d F P=

−F n

n =−F PdF

Relacje pomiędzy stopami procentową r a dyskontową d , dającymi po czasie n odsetki i dyskonto tej same wysokości:

r dd

=−1 n d r

r=

+1 n

Czas, po którym odsetki i dyskonto od tej samej kwoty będą sobie równe (przy zadanych stopach procentowej r i dyskontowej d):

n = −1 1d r

3.6. PRZYKŁADY 3.6.1. Oblicz odsetki od kapitału P= 2000 zł po czasie n = kwartał przy stopie procentowej r = 24%.

Rozwiązanie: Wobec braku konkretnych dat przyjmujemy zasadę równych miesięcy. Mamy wówczas następujące dane:

• P=2 000 zł • n=kwartał=0,25 roku

18

• r=24%=0,24 Odsetki obliczamy wg pierwszego wzoru z cz. 3.1:

I = ⋅ ⋅Prn = 2000 0,24 0,25 = 120 zł Odpowiedź: Odsetki od kapitału 2000 zł przy oprocentowaniu 24% po kwartale będą równe I=120 zł. 3.6.2. Wyznaczyć przyszłą wartość kapitału P = 1200 zł po upływie czasu n = 3 kwartały, jeśli w poszczególnych podokresach okresu n stopa procentowa (zawsze podana w skali roku) była następująca: w pierwszym kwartale wynosiła 40%, w drugim - 36%, w trzecim - 30%.

Rozwiązanie: Dane:

• P=1200 zł • kwartał: I II III • stopa r: 40% 36% 30% • wobec braku konkretnych dat czas obliczamy zgodnie z zasadą

równych miesięcy, skąd n = 0,75 roku Wartość przyszłą kapitału obliczamy ze wzorem z cz.3.1 pamiętając, że w każdym kwartale odsetki obliczane są na podstawie innej stopy procentowej. Stąd:

zł00,1518)]25,030,025,036,025,040,0(1[1200

)](1[ 332211

=⋅+⋅+⋅+=

=+++= nnn rrrPF

Odpowiedź: Wartość przyszła kapitału P będzie wynosiła F = 1518 zł. 3.6.3. Obliczyć wartość początkową P kapitału F= 1650,00 zł, otrzymanego po złożeniu kapitału P na okres czasu od 1 stycznia do 1 kwietnia na oprocentowanie proste przy stopie procentowej równej r = 22 %.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru z cz.3.4 otrzymujemy:

n = 90 dni = 0,246575 roku

zł10,1565266575,022,0100,1650

1 =

⋅+=

⋅+=

nrFP

19

Odpowiedź: Wartość początkowa kapitału F=1650,00 zł wynosi P=1565,10 zł.

3.6.4. Oblicz wysokość dyskonta handlowego i faktyczną wielkość długu F , gdy krótkoterminowa pożyczka, udzielona na okres n= 3,5 miesiąca przy stopie dyskontowej d = 25% , zamyka się kwotą P = 2000,00 zł.

Rozwiązanie: Posługujemy się wzorami z cz.3.5. Dane:

• P=2000 zł • wobec braku konkretnych dat czas liczony jest wg zasady

równych miesięcy: n = 3,5/12=0,291667 • d=25%=0,25

Faktyczna wielkość długu:

F Pd n

=− ⋅

=− ⋅

=1

2000 00

1 0 25 3 512

2157 30,

, ,,

Wysokość dyskonta handlowego:

D FdH = = ⋅ ⋅ =n 2157 30 0 25 3 512

157 30, , , , zł

Taki sam wynik otrzymuje się, odejmując od kwoty F kwotę P. Odpowiedź: Wysokość dyskonta handlowego wynosi DH = 157,30 zł a faktyczna wielkość długu F = 2157,30 zł 3.6.5..Oblicz długość okresu (w miesiącach - przy zastosowaniu zasady równych miesięcy, i w dniach - przy zastosowaniu zasady dokładnej liczby dni), dla którego dyskonto proste i dyskonto handlowe są sobie równe przy danych stopach procentowej r = 45% i dyskontowej d = 42%.

Rozwiązanie: Dane:

• r = 45 % = 0,45 • d = 42% = 0,42

Posługując się ostatnim wzorem z cz. 3.5 otrzymujemy:

lat158730158,045,01

0,421n = =−

20

Zgodnie z zasadą równych miesięcy stanowi to 57 dni, tzn. 1 miesiąc i 27 dni. Zastosowanie zasady dokładnej liczby dni daje wynik równy 58 dni. Odpowiedź: Długość okresu wynosi 0,1587730158 roku. Wg ZRM jest to 57 dni (1 miesiąc i 27 dni), a wg DLD jest to 58 dni.

3.7. Zadania W każdym z podanych niżej zadań określ - gdy zachodzi taka potrzeba - sposób, w jaki obliczasz okres czasu n. 3.7.1. Oblicz odsetki od kapitału P po czasie n przy stopie procentowej r: a) P = 1000 zł, n=7 miesięcy, r=24% b) P = 1200 zł, n - czas od 20 stycznia do 4 czerwca, r=20% c) P =300 zł, n - czas od 1 marca do 31 października, r = 30% d) P = 2000 zł, n = 2 kwartały, r = 24% 3.7.2. Oblicz wartość przyszłą kapitału P po czasie n i przy stopie procentowej r jak w zadaniu 3.7.1. 3.7.3. Po jakim czasie n kapitał P zwiększy się do wartości F przy stopie procentowej r? Wynik przelicz na dni stosując zasadę dokładnej liczby dni. a) P = 1000 zł, F = 1200 zł, r = 20% b) P = 1200 zł, F = 1500 zł, r = 24% c) P = 300 zł, F = 400 zł, r = 30% d) P = 2000 zł, F = 3000 zł, r = 16% e) F = 2P, r = 30% f) F = 1.5 P, r = 36% 3.7.4. Oblicz wysokość oprocentowania r, w wyniku którego odsetki od kwoty P po czasie n były równe I: a) P = 1000 zł, n = 7 miesięcy, I = 200 zł b) P = 1200 zł, n - czas od 2 stycznia do 5 maja, I = 245,20 zł c) P = 300 zł, n - czas od 15 marca do 20 kwietnia, I = 3,20 zł d) P = 2000 zł, n = kwartał, I = 500 zł 3.7.5. Ile pieniędzy należy pożyczyć na 32%, aby po dwóch miesiącach otrzymać kapitał F równy: a) 1000 zł b) 5000 zł c) 15000 zł

21

3.7.6. Wyznaczyć przyszłą wartość kapitału P po upływie czasu n, jeśli w poszczególnych podokresach okresu n stopa procentowa (zawsze podana w skali roku) była dana: a) P = 1000 zł, w pierwszym półroczu stopa procentowa wynosiła 32%, w drugim 30%; b) P = 1200 zł, w pierwszym kwartale stopa procentowa wynosiła 40%, w drugim - 36%, w trzecim - 30%; c) P = 1500 zł, w styczniu stopa procentowa wynosiła 20%, w lutym i marcu - 23%, w kwietniu - 26%, w maju i czerwcu - 24%.; d) P = 300 zł, stopa procentowa zmieniała się co kwartał i wynosiła 40%, 36%, 32% oraz 24%. 3.7.7. Firma uzyskała trzy krótkoterminowe kredyty: • 12 000 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej 40% • 13 000 zł na 6 miesiące przy stopie procentowej 43 % • 15 000 zł na 9 miesięcy przy stopie procentowej 45% Firma chciałaby zmienić warunki udzielenia kredytów w ten sposób, aby cały dług spłacić po 7 miesiącach. Jakie oprocentowanie przeciętne odpowiada temu okresowi czasu? 3.7.8. Firma uzyskała 3 kredyty krótkoterminowe: 10 000 zł na 4 miesiące przy stopie procentowej 45%, 5000 zł na 6 miesięcy przy stopie 43 % oraz 4000 zł na 9 miesięcy przy stopie 42%. Czy sytuacja firmy byłaby korzystniejsza, gdyby stopa procentowa dla wszystkich kredytów była jednakowa i równa 43%? 3.7.9. Firma zaciągnęła 4 krótkoterminowe pożyczki w 4 bankach przy następujących warunkach: • w banku A 1000 zł na 2 miesiące przy stopie procentowej 18% • w banku B 1200 zł na 4 miesiące przy stopie procentowej 20% • w banku C 1600 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej 19% • w banku D 2000 zł na 5 miesięcy przy stopie procentowej 21% Czy sytuacja firmy byłaby korzystniejsza, gdyby oprocentowanie wszystkich pożyczek było jednakowe i równe 20% w skali roku? Jakie przeciętne oprocentowanie odpowiadałoby okresowi równemu dla całego długu 4 miesiące? 3.7.10. Obliczyć wartość początkową P kapitału F, otrzymanego po złożeniu kapitału P na okres czasu n na oprocentowanie proste przy stopie procentowej równej r:

22

a) F = 2000 zł, n = 4 miesiące, r = 24%; b) F = 1650 zł, n = kwartał, r = 22%; c) F = 2400 zł, n - okres od 20 stycznia do 15 maja, r = 25% d) F = 3000 zł, n = 3,5 miesiąca, r = 21%; e) F = 1244,26 zł, n = 56 dni, r = 19%. 3.7.11. Dla danych z zadania 3.7.10 oblicz dyskonto proste. 3.7.12. Dla poniższych danych oblicz dyskonto handlowe i wartość aktualną przyszłego kapitału F: a) F = 2000 zł, n = 4 miesiące, d = 20%; b) F = 1650 zł, n = kwartał, d = 22%; c) F = 2400 zł, n - okres od 20 stycznia do 15 czerwca, d = 25%; d) F = 3000 zł, n = 4,5 miesiąca, d = 21%; e) F = 2460 zł, n = 56 dni, d = 18%. 3.7.13. Oblicz wysokość dyskonta handlowego i faktyczną wielkość długu F, gdy krótkoterminowa pożyczka, udzielona na okres n przy stopie dyskontowej d, zamyka się kwotą P: a) P = 1000 zł, n = 4 miesiące, d = 24%; b) P = 2650 zł, n = kwartał, d = 22%; c) P = 1400 zł, n - okres od 20 stycznia do 15 maja, d = 25% d) P = 2000 zł, n = 3,5 miesiąca, d = 21%; e) P = 2240 zł, n = 56 dni, d = 19%. 3.7.14. Oblicz (z dokładnością do 4 cyfr znaczących), jaka jest wysokość stopy procentowej, przy których dyskonta proste i handlowe kwot, wymienionych w zadaniu 3.7.12. są równe. 3.7.15. Oblicz (z dokładnością do 4 cyfr znaczących), jaka jest wysokość stopy dyskontowej, przy których dyskonta proste i handlowe kwot, wymienionych w zadaniu 3.7.10. są równe. 3.7.16. Oblicz długość okresu (w miesiącach - przy zastosowaniu zasady równych miesięcy, i w dniach - przy zastosowaniu zasady dokładnej liczby dni), dla którego dyskonto proste i dyskonto handlowe są sobie równe przy danych stopach procentowej r i dyskontowej d: a) r = 50%, d = 45% b) r = 52%, d = 46% c) r = 45%, d = 42% d) r = 41%, d = 40% e) r = 20%, d = 12% f) r = 5%, d = 4%.

23

3.8. Rozwiązania zadań

3.7.1. i 3.7.2. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. Odsetki obliczamy z dokładnością do 1 grosza. Stosujemy wzory z części. 3.1, na odsetki: I = Prn oraz na wartość przyszłą kapitału: F P( rn= +1 ) . DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

P czas czas r I (zł) F (zł) ppkt zł wg dni lata (n=) % zad 3.7.1 zad 3.7.2 a) 1000 ZRM 210 0,583333 24 140,00 1140,00 b) 1200 ZRM 134 0,372222 20 89,33 1289,33 b) 1200 DLD 135 0,369863 20 88,77 1288,77 c) 300 ZRM 239 0,663889 30 59,75 359,75 c) 300 DLD 244 0,668493 30 60,16 360,16 d) 2000 ZRM 180 0,500000 24 240,00 2240,00

3.7.3. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku, liczbę dni - z dokładnością do 1 dnia. Stosujemy wzory z cz. 3.1 i 2.1: na czas w

latach n =−F P

P r oraz na liczbę dni: m n= 365 . Odpowiedzi

zaznaczono tłustym drukiem. P F r czas

ppkt zł zł % lata (n=) dni a) 1000 1200 20 1 365 b) 1200 1500 24 1,041667 380 d) 2000 3000 16 3,125000 1141 c) 300 400 30 1,111111 406 e) P 2P 30 3,333333 1217 f) P 1,5P 36 1,388889 507

3.7.4. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku, stopę procentową r - z dokładnością do 5 miejsc po przecinku. DLD - dokładna

liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy. Wzór z cz. 3.1.: r IP

=n

Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. P czas czas I r

ppkt zł wg dni lata (n=) zł ułamek % a) 1000 ZRM 210 0,583333 200,00 0,34286 34,286

24

b) 1200 ZRM 123 0,341667 245,20 0,59805 59,805 b) 1200 DLD 123 0,336986 245,20 0,60636 60,636 c) 300 ZRM 35 0,097222 3,20 0,10971 10,971 c) 300 DLD 36 0,098630 3,20 0,10815 10,815 d 2000 ZRM 90 0,250000 500 1 100

3.7.5. Czas liczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.1: P F

r=

+1 n.

Odpowiedzi: a) P = 949,37 zł b) P = 4 746,84 zł c) P = 14 240,51 zł. 3.7.6. Wobec braku dat czas liczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.2:

)11

∑=

+=k

jjj rP(F n

a) zł1310)2130,0

2132,01(1000 =⋅+⋅+⋅=F

b) zł1518)4130,0

4136,0

4140,01(1200 =⋅+⋅+⋅+⋅=F

c) zł1675)12224,0

12126,0

12223,0

12120,01(1500 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=F

d) zł399)4124,0

4132,0

4136,0

4140,01(300 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=F

3.7.7. Wobec braku konkretnych dat czas liczymy wg ZRM, stosujemy

wzór z cz.3.3: rr j

prz

jj

k

j

k= =

=

∑

∑

P

P

j

j

n

n

1

1

, gdzie P jj=∑

1

3= 40000 zł, n = 7/18.

Po podstawieniu danych z zadania do wzoru otrzymujemy:

rprz =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

12000 312

0 40 13000 612

0 43 15000 912

0 45

40000

, , ,

718

=0,58227

czyli rprz = 58,227% Spłacenie całego długu po 7 miesiącach bez straty odsetek przez bank oznaczałoby, że oprocentowanie łącznego długu musiałoby być równe 58,227%. Byłoby więc ono bardzo wysokie w stosunku do stóp procentowych podanych w zadaniu.

25

3.7.8. Czas liczymy wg ZRM, stosujemy wzór na odsetki z cz.3.1 przy uwzględnieniu zmian stopy procentowej. Dla danych stóp procentowych suma odsetek (łączny koszt kredytu) kształtuje się następująco:

I = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =10000 412

0 45 5000 612

0 43 4000 912

0 42 3835 00, , , , zł

Dla wspólnej dla wszystkich kredytów stopy procentowej, równej 43%, koszt kredytu wynosi:

I = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =( ) , ,10000 412

5000 612

4000 912

0 43 3798 33 zł

Jak z tego wynika, wspólna dla tych kredytów stopa procentowa, wynosząca 43%, byłaby korzystniejsza dla dłużnika niż oprocentowania podane w zadaniu. 3.7.9. Rozumując podobnie, jak w zad. 3.7.8, obliczamy koszt kredytów przy podanych stopach procentowych i przy stopie procentowej wspólnej, wynoszącej 20%. W pierwszym przypadku otrzymujemy:

zł00,36121,0125200019,0

123160020,0

124120018,0

1221000 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=I

zaś dla wspólnego oprocentowania mamy:

I = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =( ) , ,1000 212

1200 412

1600 312

2000 512

0 20 360 00 zł

Różnica jest więc minimalna, ale korzystniejszy dla firmy jest wariant drugi. Natomiast gdybyśmy rozważali sytuację taką, w której wszystkie pożyczki byłyby spłacane po 4 miesiącach przy odsetkach, jak w wariancie pierwszym, tzn. wynoszących 361 zł, to posługując się wzorem cytowanym w zad. 3.7.7. otrzymuje się następujące przeciętne oprocentowanie dla wszystkich tych pożyczek:

rprz =⋅

361 00

5800

,4

12

= 0,18672 czyli rprz = 18,672%.

3.7.10. i 3.7.11. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy Stosujemy wzory z cz. 3.4.: P F

rn=

+1, D F P= − . Odpowiedzi

zaznaczono tłustym drukiem. F czas czas r P (zł) D (zł)

ppkt zł wg dni lata % z. 3.7.10 z. 3.7.11 a) 2000,00 ZRM 120 0,333333 24 1851,85 148,15 b) 1650,00 ZRM 90 0,250000 22 1563,98 86,02 c) 2400,00 ZRM 115 0,319444 25 2222,51 177,49

26

c) 2400,00 DLD 115 0,315068 25 2224,76 175,24 d) 3000,00 ZRM 105 0,291667 21 2826,85 173,15 e) 1244,26 ZRM 56 0,155556 19 1208,54 35,72 e) 1244,26 DLD 56 0,153425 19 1209,02 35,24

3.7.12. Czas n obliczamy wg reguły bankowej z dokładnością 6 miejsc po przecinku. Stosujemy wzory z cz. 3.5.: P F d n= −( )1 oraz D F P FdnH = − = . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. F okres czas d D P

ppkt zł czasu dni lata % zł zł a) 2000,0

0 4 mies. 120 0,333333 20 133,33 1866,67

b) 1650,00

kwartał 90 0,250000 22 90,75 1559,25

c) 2400,00

20.01-15.06 146 0,405556 25 243,33 2156,67

d) 3000,00

3,5 mies. 135 0,375000 21 236,25 2763,75

e) 2460,00

56 dni 56 0,155556 18 68,88 2391,12

3.7.13. Czas n obliczamy wg reguły bankowej z dokładnością 6 miejsc po

przecinku. Stosujemy wzory z cz. 3.5.:. nd1

PF−

= oraz

D F PH = − . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. P czas d D F

ppkt zł dni lata % zł zł a) 1000 120 0,333333 24 86,96 1086,96b) 2650 90 0,250000 22 154,23 2804,23c) 1400 115 0,319444 25 121,51 1521,51d) 2000 105 0,291667 21 130,49 2130,49e) 2240 56 0,155556 19 68,22 2308,22


przecinku. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: r dd

=−1 n

. Odpowiedzi:

a) r = 21,429 % b) r = 23,28 % c) r = 27,17 % d) r = 22,37 % e) r = 18,519 %

27


przecinku. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: d rr

=+1 n

. Odpowiedzi: a) d= 22,222% b) d= 20,853% c) d= 23,151% d) d= 19,788% e) d= 18,455 % 3.7.16. Czas n obliczamy z dokładnością do 6 miejsc po przecinku. DLD - dokładna liczba dni, ZRM - zasada równych miesięcy. Stosujemy wzór

z cz. 3.5.: n = −1 1d r

. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

r d n ZRM DLD ppkt % % lata dni dni

a) 50 45 0,222222 80 81 b) 52 46 0,250836 90 92 c) 45 42 0,158730 57 58 d) 41 40 0,060976 22 22 e) 20 12 3,333333 1200 1217 f) 5 4 5 1800 1825

4. DYSKONTOWANIE WEKSLI

4.1. WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA

Oznaczenia:

m dokładna liczba dni do terminu spłaty weksla d stopa dyskontowa

Wnom wartość nominalna weksla Dyskonto handlowe (czas jest tu liczony zgodnie z regułą bankową) oblicza się wg wzoru:

28

D d W nomH =m360

dyskonto handlowe Przekształcając ten wzór można obliczyć dokładną liczbę dni do terminu spłaty weksla, stopę dyskontową lub wartość nominalna weksla, znając pozostałe wielkości. Otrzymujemy: dokładna liczba dni stopa dyskontowa wartość nominalna weksla

nomdWD H360m =

nomWD

m360 H=d

m360 H

dDW nom =

Oznaczamy: Wakt - wartość aktualna weksla. Wartość aktualną weksla definiuje się następująco:

W W Da k t n o m H= −

Podstawiając za dyskonto handlowe prawą stronę wzoru podanego wyżej i przekształcając otrzymuje się:

wartość aktualna weksla wartość nominalna weksla

W W dakt nom= −( )1

360m

W Wdn om

akt=−1

360m

Gdy znana jest wartość nominalna weksla Wnom oraz jego wartość aktualna Wakt i liczba dni do terminu wykupu weksla m, to stopę dyskontową d można obliczyć ze wzoru

dW W

Wnom akt

nom

=−

⋅360m

stopa dyskontowa

29

zaś przy znanych Wnom , Wakt i stopie dyskontowej d można obliczyć liczbę dni do terminu wykupu weksla:

d360m

nom

aktnom ⋅−

=W

WW

liczba dni do terminu wykupu weksla

4.2. RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI

W przypadku weksla o wartości nominalnej Wnom , zgłoszonego do odnowienia na m dni przed terminem wykupu, wartość nominalna weksla odnowionego Wnom

' , z terminem wykupu za m’ dni od dnia zgłoszenia, przy stopie dyskontowej d , obowiązującej w tym dniu, jest dana wzorem:

360m'1

)360m1(

'

d

dWW

nom

nom

−

−=

wartość nominalna weksla odnowionego Z tego wzoru można łatwo obliczyć wielkości Wnom , m, m’ oraz d przy znanych pozostałych wielkościach:

360m1

)360m'1('

d

dWW

nom

nom

−

−=

dW

dW

nom

nom 360)360m'1(

1m'

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−=

nomnom

nomnom

WWWWd

mm')(360

'

'

−−

= dW

dW

nom

nom 360)360m1(

1m' '

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−=

Oznaczmy:

30

W W Wnom nom nomk1 2, , ... , wartości nominalne weksli o numerach

1, 2, ... , k m ,m ,... ,m1 2 k terminy wykupu tych weksli, liczone od dnia

równoważności weksli Wnom wartość nominalna weksla równoważnego tym k

wekslom m czas w dniach do terminu wykupu weksla

równoważnego d stopa dyskontowa w dniu równoważności weksli

Wtedy mamy następujące wzory na równoważność weksli:

WW

d

dnom

nomj

j

k

=−

−

=∑ ( )1

360

1360

1

m

m

j

wartość

nominalna weksla

mmj= − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑360 1 1 1

3601d WW

d

nomnomj

j

k

( )

liczba dni do wykupu

równoważnego weksla

4.3. KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA

DO DYSKONTOWANIA

Oznaczenia:

R opłata ryczałtowa pobierana przez bank przy dyskontowaniu weksla

p stopa procentowa związana z opłatą proporcjonalną do wartości nominalnej dyskontowanego weksla

K rz koszt złożenia weksla do dyskontowania DH dyskonto handlowe

K D R Wrz H nom= + + p m360

koszt złożenia weksla do dyskontowania Oczywiście

31

Wakt = −W Knom rz Rzeczywista stopa kosztu zdyskontowania weksla (będąca stopą zwrotu dla tego, kto zainwestował w weksel pieniądze):

r WW

akt

akt

=−

⋅Wnom 360

m

rzeczywista stopa kosztu zdyskontowania weksla (por. wzór na stopę zwrotu, cz. 1.)

4.4. PRZYKŁADY 4.4.1. Dłużnik, który ma do spłacenia 3 weksle (wszystkie temu samemu wierzycielowi) o wartościach nominalnych Wnom

1 = 1000 zł,

Wnom2 = 2000 zł, Wnom

3 =3000 zł i terminach wykupu odpowiednio 1.07, 1.08 i 1.09, zamienia w dniu 25.05 wszystkie te weksle na jeden, równoważny im, płatny w dniu 15.08. Oblicz wartość nominalną tego weksla, przyjmując stopę dyskontową w dniu 25.05 równą 32%.

Rozwiązanie: Dane:

• Wnom1 = 1 000 zł

• Wnom2 = 2 000 zł

• Wnom3 = 3 000 zł

terminy wykupu: • A = 1.07 m1 = 37 dni do D • B = 1.08 m2 = 68 dni do D • C = 1.09 m3 = 99 dni do D • data równoważności D = 25.05 • data płatności E = 15.08 • m = 82 dni od daty E do daty D • d = 32%

Szukane: • Wnom =?

Korzystamy z przedostatniego wzoru z cz. 4.2. Otrzymujemy:

32

Wnom =−

⋅+ −

⋅+ −

⋅

−⋅

=1000 1 37 0 32

3602000 1 68 0 32

3603000 1 99 0 32

360

1 82 0 32360

602109( , ) ( , ) ( , )

, ,

Odpowiedź: Wartość nominalna tego weksla wynosi 6021,09 zł. 4.4.2. Pan Kowalski zamierza złożyć weksel do zdyskontowania. Weksel ma trzymiesięczny termin płatności i wartość nominalną 1000 zł. Stopa dyskontowa wynosi d=25%. Bank może również udzielić trzymiesięcznej pożyczki oprocentowanej przy stopie r, na procent prosty, przy odsetkach płatnych z dołu. Dla jakiej stopy r zaciągnięcie pożyczki równej wartości aktualnej weksla jest równoważne złożeniu weksla do dyskonta? Dla jakich stóp procentowych r zdyskontowanie weksla będzie dla pana Kowalskiego korzystniejsze niż zaciągnięcie pożyczki?

Rozwiązanie: Dane: weksel pożyczka

• Wnom =1 000 zł F=1 000 zł

• d=25% stopa dyskont. P =Wakt • m=90 dni n=90/360=0,25

Szukane: • Wakt =? r=? stopa procentowa roczna

Posługując się wzorem na wartość aktualną weksla z części 4.1. otrzymujemy Wakt =937,50 zł. Natomiast przy wartość pożyczki P równa

Wakt =937,50 zł dałaby po czasie n = 90 dni odsetki równe dyskontu dla stopy procentowej r, którą wylicza się z ostatniego wzoru z części 4.3. Ta stopa procentowa jest równa r=26,67%. Odpowiedź: Złożenie weksla do dyskonta jest korzystniejsze przy stopie procentowej r>26,67% (dla takiej stopy procentowej pożyczka z odsetkami przekroczy wartość nominalną weksla równą 1 000zł).

4.5. Zadania 4.5.1. Za sprzedane towary o wartości aktualnej 5000 zł hurtownia przyjęła weksel, płatny za 30 dni. W dniu transakcji stopa dyskontowa wynosiła 32%. Oblicz wartość nominalną weksla.

33

4.5.2. Weksel, o którym mowa w zadaniu 4.5.1, został wykupiony na 15 dniu przed terminem wykupu przy stopie dyskontowej 35%. Oblicz dyskonto oraz wartość aktualną weksla w dniu wykupu. 4.5.3. Wystawiony 2 maja weksel o wartości nominalnej 2000 zł został zdyskontowany w banku komercyjnym w dniu 12 czerwca przy stopie dyskontowej 25%. 22 lipca bank komercyjny zredyskontował ten weksel w NBP przy stopie redyskontowej 23%. Oblicz dyskonto i redyskonto banków oraz wartości aktualne weksla w dniach transakcji, jeśli termin płatności określony był na 2 września. 4.5.4.Kowalski jest winien Nowakowi 3000 zł. Pieniądze powinien zwrócić 30 czerwca, a wierzytelność ma postać weksla. 15 czerwca Kowalski stwierdza, że nie będzie mógł spłacić długu w ustalonym terminie i zwraca się do Nowaka z prośbą o przesunięcie terminu płatności na 31 sierpnia. Obliczyć wartość nominalną odnowionego weksla, jeśli stopa dyskontowa w dniu 15 czerwca wynosiła 32%. 4.5.5. Dwa weksle o wartościach nominalnych 1500 zł i 1600 zł, o terminach spłat przypadających odpowiednio w dniach 2 czerwca i 14 sierpnia, zostały zakupione 1 kwietnia przy stopie dyskontowej 30%. Wyznacz: a) datę równoważności tych weksli, b) ich wartość w dniu równoważności, c) ich wartość w dniu zakupu. 4.5.6. Dłużnik, który ma do spłacenia 3 weksle (wszystkie temu samemu wierzycielowi) o wartościach nominalnych W W Wnom nom nom

1 2 3, , i terminach wykupu odpowiednio A, B i C, zamienia w dniu D wszystkie te weksle na jeden, równoważny im, płatny w dniu E. Oblicz wartość nominalną tego weksla, przyjmując stopę dyskontową w dniu D równą d. Dane: a) Wnom

1 = 1000 zł, Wnom2 = 2000 zł, Wnom

3 = 3000 zł; A = 1.07, B = 1.08, C = 1.09, D = 25.05, E = 15.08, d = 30%; b) Wnom

1 = 500 zł, Wnom2 = 800 zł, Wnom

3 = 1200 zł; A = 5.04, B = 15.05, C = 1.07, D = 15.03, E = 1.08, d = 36%; c) Wnom

1 = 1000 zł, Wnom2 = 1500 zł, Wnom

3 = 2000 zł; A = 1.02, B =13.02, C = 19.02, D = 2.01, E = 26.02, d = 24%.

34

4.5.7. W dniu 1 lutego dłużnik, który 31 marca powinien spłacić weksel opiewający na sumę 1000 zł, proponuje swemu wierzycielowi rozłożenie spłaty na dwa weksle, równoważne wekslowi płatnemu 31 marca. Pierwszy, o wartości nominalnej 500 zł, zostałby spłacony 30 kwietnia, a drugi, na którym znalazłaby się reszta wierzytelności, zostałby spłacony 31 maja. Obliczyć wartość nominalną drugiego weksla, jeśli stopa dyskontowa w dniu 1 lutego była równa 40%. 4.5.8. Na 90 dni przed terminem spłaty zdyskontowano weksel o wartości nominalnej 10 000 zł. Wysokość dyskonta wyniosła 875 zł. Oblicz: a) stopę dyskonta w dniu dyskontowania b) rzeczywistą stopę kosztu zdyskontowania weksla. 4.5.9. Weksel o wartości nominalnej W płatnej za m dni możemy złożyć do dyskonta w dwóch bankach. Pierwszy z nich proponuje stopę dyskontową równą d 1 , opłatę ryczałtową R1 i opłatę proporcjonalną przy stopie p1 . Drugi bank proponuje stopę dyskontową d 2 , opłatę ryczałtową R 2 i opłatę proporcjonalną przy stopie p2 . W którym banku sprzedaż weksla jest korzystniejsza dla klienta? a) W = 4000 zł, m = 90, d 1 = 21%, R1 = 15 zł, p1 =1%, d 2 =20%, R 2 = 20 zł, p2 =0,9%; b) W = 2000 zł, m = 30, d 1 = 28%, R1 = 10 zł, p1 =0,8%, d 2 =25%, R 2 = 15 zł, p2 =0,6%; c) W = 1000 zł, m = 36, d 1 = 32%, R1 = 10 zł, p1 =1%, d 2 =30 %, R 2 = 20 zł, p2 =0,8%. 4.5.10. Dla weksla, o którym mowa w zadaniu 4.5.9, oblicz rzeczywistą stopę kosztu jego zdyskontowania. 4.5.11. Pan Kowalski zamierza złożyć weksel do dyskonta. Weksel ma trzymiesięczny termin płatności i wartość nominalną 2000 zł. Stopa dyskontowa wynosi d. Bank może również udzielić trzymiesięcznej pożyczki oprocentowanej przy stopie r, na procent prosty, przy odsetkach płatnych z dołu. Dla jakiej stopy r zaciągnięcie pożyczki równej wartości aktualnej weksla jest równoważne złożeniu weksla do dyskonta? Dla jakich stóp procentowych r złożenie weksla do dyskonta będzie dla pana Kowalskiego korzystniejsze niż zaciągnięcie pożyczki?

35

a) d = 25% b) d = 30% c) d = 35% d) d = 40%.

4.6. Rozwiązania zadań 4.5.1. Stosujemy wzór z cz. 4.1.:

WnomaktW

d=−1

360m

. Odp.: Wnom = 5136,99 zł.

4.5.2. Stosujemy wzór z cz. 4.1.:

W W dakt nom= −( )1

360m

. Odp.: Wakt = 5062,08 zł.

4.5.3. Informacja o dniu wystawienia weksla nie ma znaczenia w obliczeniach. Stosujemy wzór jak w zad. 4.5.2. Otrzymujemy: - w dniu 12 czerwca Wakt = 1881,11 zł, D H = 113,89 zł. - w dniu 31 sierpnia Wakt = 1946,33 zł, D H = 53,67 zł. 4.5.4. Stosujemy wzór z cz. 4.2.:

WW d

dnom

nom'

( )=

−

−

1360

1360

m

m'

Dla m=15 dni i m’ = 77 dni otrzymujemy Wnom' = 3177,48 zł.

4.5.5. a) Datę równoważności weksli ustalamy na dzień, odległy o x dni od 30.06 i o x+73 dni od 31.08. Jest to ten dzień, w który wartości aktualne obu weksli są takie same. Stąd równanie:

1500 1 0 30360

1600 1 73 0 30360

⋅ −⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⋅ −+ ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

x x, ( ) ,

Rozwiązanie: x = 32 dni, co daje datę równoważności 1.05. b) Wartość aktualna w dniu równoważności obliczana jest ze wzoru jak w zad. 4.5.2, skąd otrzymujemy W Wakt akt, ,1 2= = 1460 zł. c) Wartość aktualna obu weksli w dniu 1.04: Wakt ,1 = 1422,50 zł, Wakt ,2 = 1420,00 zł.

36

4.5.6. Korzystamy ze wzoru z cz. 4.2.:

WW

d

dnom

nomj

j

k

=

−

−

=∑ ( )1

360

1360

1

m

m

j

W tabelach przedstawiono obliczenia pomocnicze oraz wyniki (tłustym drukiem). Tabela 4.5.6 -1

Wnom1 Wnom

2 Wnom3 Daty podane w zadaniu Liczba dni od

A,B,C do daty D ppkt zł zł zł A B C D m1 m2

m3

a) 1000 2000 3000 1.07 1.08 1.09 25.05 37 68 99 b) 500 800 1200 5.04 15.05 1.07 15.03 21 61 108 c) 1000 1500 2000 1.02 13.02 19.02 2.01 30 42 48

Tabela 4.5.6 - 2

d Wakt1 Wakt

2 Wakt3 Wakt E od D

do E W nom'

ppkt % zł zł zł zł data dni zł a) 30 969,17 1886,67 2752,50 5608,33 15.08 82 6019,68 b) 36 489,50 751,20 1070,40 2311,10 1.08 139 2684,20 c) 24 980,00 1458,00 1936,00 4374,00 26.02 55 4540,48

4.5.7. W dniu 1.02 wartość aktualna weksla: Wakt = 935,56 zł. Równanie na wartość nominalną weksla z dnia 31.05:

935 56 500 1 88 0 40360

1 119 0 40360

, , ,= ⋅ −

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ −⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Wnom .

Stąd Wnom = 558,22 zł. 4.5.8. Stosujemy wzory z części 4.1:

dW W

Wnom akt

nom=

−⋅360m

oraz z części 4.3.:

r WW

akt

akt=

−⋅

Wnom 360m

.

Otrzymujemy d = 0,35 = 35 %, r = 0,38356 = 38,356 %.

37

4.5.9. i 4.5.10. Stosujemy wzory z cz. 4.3:

K D R Wrz H nom= + + p m360

i na r . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. W m d 1 R1 p1 d2 R2 p2 Krz,1 Krz,2 rrz,1 rrz,2

ppkt zł dni % zł % % zł % zł zł % % a) 4000 90 21 15 1,0 20 20 0,9 235,00 229,00 24,967 24,291 b) 2000 30 28 10 0,8 25 15 0,6 58,00 57,67 35,839 35,627 c) 1000 36 32 10 1,0 30 20 0,8 43,00 50,80 44,932 53,519

Odp. do zad. 4.5.9. a) i b) w banku drugim, c) w banku pierwszym. Odp. do zad. 4.5.10. a) w banku drugim rzeczywista stopa kosztu wynosi 24,291%, b) w banku drugim rzeczywista stopa kosztu wynosi 35,627%, c) w banku pierwszym rzeczywista stopa kosztu wynosi 44,932%. 4.5.11. Stosujemy wzory z cz. 4.1 na Wakt oraz z cz. 4.3 na r. Wyniki są następujące: a) Wakt = 1875 zł, r > 26,667 %; b) Wakt = 1850 zł, r > 32,432 %; c) Wakt = 1825 zł, r > 38,356 %; d) Wakt = 1800 zł, r > 44,444 %.

5. BONY SKARBOWE

W stosunku do bonów skarbowych stosuje się wszystkie te wzory, które są stosowane wobec weksli, gdyż bon skarbowy jest wekslem. Dla bonów skarbowych stopy dyskontowe podawane są ma okresy g-tygodniowe, zatem

m = 7g. Średnia stopa dyskontowa dla bonów g-tygodniowych, sprzedanych na przetargu, jest wyznaczona na podstawie zasady równoważności handlowej. Jeśli na przetargu przyjęto k ofert o wartościach nominalnych W W Wnom nom nom

k1 2, ,..., , o stopach dyskontowych d ,d , . . . , d1 2 k , to średnia stopa dyskontowa jest obliczana z następującego wzoru:

38

dW d

Wsr

nomj

jj

k

nomj

j

k= =

=

∑

∑1

1

średnia stopa dyskontowa

Przy znanych wartościach W W Wnom nom nomk1 2, ,..., oraz

W W Wakt akt aktk1 2, ,..., stopy dyskontowe d ,d , . . . , d1 2 k można obliczyć ze

wzoru podanego w cz. 4.1.

5.1. PRZYKŁADY 5.1.1. Na przetargu zaoferowano bony skarbowe z 8-tygodniowym terminem wykupu o łącznej wartości nominalnej 2000000,00 zł. Struktura złożonych ofert zakupu przedstawiała się następująco: 1. 800 000,00 zł przy cenie 94,00 zł za 100,00 zł wartości nom., 2. 700 000,00 zł przy cenie 93,75 zł za 100,00 zł wartości nom., 3. 400 000,00 zł przy cenie 92,13 zł za 100,00 zł wartości nom., 4. 600 000,00 zł przy cenie 92,98 zł za 100,00 zł wartości nom., Które oferty i na jakie kwoty zostaną przyjęte ? Oblicz stopy dyskontowe ofert oraz średnią stopę dyskontową przyszłych ofert.

Rozwiązanie: Dane:

• Wnom = 2000 000,00 zł • zł400000.,zł700000,łz800000 321 === nomnomnom WWW ,

łz6000004 =nomW • ceny za 100 zł

39

• m = 7g = 7·8 = 56

Szukane: • d ,d ,d ,d1 2 3 4 = ? • d sr = ?

Korzystając ze wzoru z cz. 4.1. obliczamy stopy dyskontowe ofert:

1. d 1

100 00 94 00100

36056

0 385714=−

⋅ =, , , tzn. 38,57 %

2. d 2100 00 93 75

10036056

0 401786=−

⋅ =, , , tzn. 40,18 %

3. d 3100 00 92 13

10036056

0 505928=−

⋅ =, , , tzn. 50,59 %

4. d 4100 00 92 98

10036056

0 451286=−

⋅ =, , , tzn. 45,13 %

Jak wynika ze stóp dyskontowych, najkorzystniejsze są oferty nr 1, nr 2 oraz nr 4. Ponieważ suma ofert nr 1 i nr 2 to 1 500 000 zł, więc dla oferenta nr 4 pozostaje bonów skarbowych tylko za 500 000 zł, zamiast za kwotę 600 000 zł, którą proponował. Tak więc przyjęte zostaną oferty nr 1, nr 2 oraz nr 4. Aby obliczyć średnią stopę dyskontową, posłużymy się tylko przyjętymi ofertami. Stąd, zgodnie ze wzorem z cz. 5, mamy

==

∑

∑

=

=

k

j

jnom

k

jj

jnom

sr

W

dWd

1

1

407732,02000000

451286,0500000401786,0700000385714,0800000=

⋅+⋅+⋅=

Odpowiedź: Średnia stopa dyskontowa przyjętych ofert wynosi 40,77%. 5.1.2. Inwestor ma do wyboru kupno bonu skarbowego 13-tygodniowego przy stopie dyskontowej d1 = 15% oraz 39-tygodniowego przy stopie dyskontowej d 2 =18%. Która inwestycja jest dla niego korzystniejsza? Jaka jest stopa zwrotu korzystniejszej oferty?

Rozwiązanie: Dane:

40

• g = 13 x 7=91 (dokładna liczba dni) • d1 = 15% • h = 39 x 7=273 (dokładna liczba dni) • d2 = 18% • Jako wartość nominalną dla obu weksli przyjęto 100 zł.

Szukane: • Wakt(g) = ? • Wakt(h) = ?

Obliczamy stopę zwrotu na podstawie wzoru z cz. 3.5: rg = 0,155912 tzn. rg = 15,59% rh = 0,208453 tzn. rh = 20,85% Korzystniejsza jest oferta druga, gdyż wyższa jest w jej przypadku stopa zwrotu. Korzystając ze wzoru na wartość aktualną weksla (cz. 4.1) znajdujemy Wakt(g) = 96,21 zł Wakt(h) = 86,35 zł - oferta korzystniejsza Odpowiedź: Dla inwestora korzystniejsza jest druga oferta, dla której stopa zwrotu w skali roku wynosi 20,85 %.

5.2. Zadania 5.2.1. Ile wynosi stopa dyskontowa w dniu emisji przy sprzedaży po 90 zł 26-tygodniowych bonów skarbowych o wartości nominalnej 100 zł? 5.2.2. Jaka jest bieżąca stopa zwrotu 13-tygodniowego bonu skarbowego sprzedawanego w dniu emisji przy stopie dyskontowej równej 36%? 5.2.3. Jaka jest cena sprzedaży w dniu emisji 13-tygodniowych bonów skarbowych o wartości nominalnej 60 000 zł, jeśli stopa dyskontowa wynosi 45%? 5.2.4. Oblicz wartość nominalną 26-tygodniowych bonów skarbowych, sprzedawanych w dniu emisji za 40 000 zł przy stopie dyskontowej 20%. Jaka będzie wartość tych bonów na 10 tygodni przed terminem wykupu, jeśli nie zmieni się stopa dyskontowa?

41

5.2.5. Na przetargu zaoferowano bony skarbowe z 8-tygodniowym terminem wykupu o łącznej wartości nominalnej 1 800 000 zł. Struktura złożonych ofert zakupu przedstawiała się następująco: 1. 600 000 zł przy cenie 94 zł za 100 zł wartości nominalnej 2. 500 000 zł przy cenie 93.75 zł za 100 zł wartości nominalnej 3. 400 000 zł przy cenie 92.13 zł za 100 zł wartości nominalnej 4. 600 000 zł przy cenie 92.98 zł za 100 zł wartości nominalnej Które oferty i na jakie kwoty zostaną przyjęte? Oblicz stopy dyskontowe ofert oraz średnią stopę dyskontową przyjętych ofert. 5.2.6. Średnia stopa dyskontowa przyjętych ofert zakupu 39-tygodniowych bonów skarbowych wynosiła 28.15 %. Oblicz wartość aktualną bonów w dniu emisji oraz stopę zwrotu (zysku) dla pieniędzy zainwestowanych w te bony w dniu emisji. 5.2.7. Inwestor ma do wyboru kupno bonu skarbowego g-tygodniowego przy stopie dyskontowej d1 oraz h-tygodniowego przy stopie dyskontowej d2 . Która inwestycja jest dla niego korzystniejsza? Jaka jest stopa zwrotu korzystniejszej oferty? a) g=13, h=26, d1 =15%, d2 =17% b) g=8, h=26, d1 =15%, d2 =17% c) g=13, h=39, d1 =15%, d2 =18% d) g=8, h=52, d1 =12%, d2 =20%

5.3. Rozwiązania zadań 5.2.1. Stosujemy wzór z cz. 4.1.:

dW W

Wnom akt

nom=

−⋅360m

Odp.: d = 0,1978 = 19,78%. 5.2.2. Stosujemy wzór z cz. 3.5.:

r dd

=−1 n

Odp.: r = 0,396 = 39,6%. 5.2.3. Stosujemy wzór z cz. 4.1. na Wakt . Odp.: Wakt = 53 175 zł.

42

5.2.4. Stosujemy wzory z cz. 4.1. na Wnom oraz na Wakt . Odp.: Wnom =44 499,38 zł, zaś na 10 tygodni przed terminem wykupu bonów Wakt = 42 768,85 zł. 5.2.5. Stosujemy wzór z części 4.1. do obliczenia stóp dyskontowych (jak w zad. 5.2.1.) oraz z części 5 wzór:

dW d

Wsr

nomj

jj

k

nomj

j

k= =

=

∑

∑

1

1

.

Suma przyjętych ofert jest oczywiście równa 1800000 zł. Obliczona wartość średniej stopy dyskontowej: d sr =41,872 % . Wyniki podano w tabeli tłustym drukiem. Oferta Wartość Cena za 100 zł d dla każdej Przyjęte oferty

nr oferty w zł wartości nom. oferty (%) zł 1. 600000,00 94,00 zł 38,571 600000,00 2. 500000,00 93,75 zł 40,179 500000,00 3. 400000,00 92,13 zł 50,593 100000,00 4. 600000,00 92,98 zł 45,129 600000,00

5.2.6. Stosujemy wzór z części 4.1. jak w zad. 5.2.1. oraz z części 3.5 jak w zad. 5.2.2. Dla wartości nominalnej bonu wynoszącej 100 zł otrzymujemy Wakt = 78,65 zł, r = 35,79 %. 5.2.7. Stosujemy wzór z cz. 3.5 jak w zad. 5.2.2. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Korzystniejsza jest ta inwestycja, dla której stopa zwrotu jest wyższa (w każdym podpunkcie jest to inwestycja nr 2).

g h m1 m2 n1 n2 d1 d2 rzw,1 rzw,2

ppkt tyg tyg dni dni lat lat % % % % a) 13 26 91 182 0,252778 0,505556 15 17 15,591 18,598 b) 13 39 91 273 0,252778 0,758333 15 18 15,591 20,845 c) 8 26 56 182 0,155556 0,505556 15 17 15,358 18,598 d) 8 52 56 364 0,155556 1,011111 12 20 12,228 25,070

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

43

6. PROCENT SKŁADANY

6.1. STOPA PROCENTOWA Oznaczenia:

r stopa procentowa roczna (nominalna), podawana w procentach lub jako ułamek dziesiętny

ik stopa procentowa na okres kapitalizacji, stanowiący (1/k)-tą część roku:

i rk =

k

P lub K0 wartość początkowa kapitału

Fn lub K n wartość kapitału po n okresach kapitalizacji

F P in kn= +( )1

wartość kapitału po n okresach kapitalizacji

Często opuszczamy indeks k przy stopie i; wtedy piszemy

K K inn= +0 1( )

wartość kapitału po n okresach kapitalizacji

Stopie ik odpowiada stopa procentowa roczna efektywna reff , którą wyznacza się ze wzoru:

r ieff kk= + −( )1 1

stopa procentowa roczna efektywna reff

Stopie rocznej nominalnej r odpowiada następująca stopa i k∗ , równoważna jej pod

względem wysokości rocznych odsetek:

i rkk∗ = + −( ) /1 11

stopa i k

∗ , równoważna nominalnej stopie rocznej pod względem wysokości rocznych odsetek


44

Stopa procentowa na okres kapitalizacji, obliczona przy znanych P, Fn i liczbie okresów kapitalizacji n

i FP

nn= − 1

stopa procentowa na okres kapitalizacji W okresie n lat, stopie procentowej ik przy oprocentowaniu składanym i takim okresie kapitalizacji, że n/k = m, odpowiada roczna stopa procentowa r przy oprocentowaniu prostym, którą oblicza się ze wzoru:

r i km= + −

1 1 1n

[( ) ]

roczna stopa procentowa przy oprocentowaniu prostym, odpowiadająca stopie procentowej ik przy oprocentowaniu składanym

6.2. ODSETKI, CZAS

I F P P inn= − = + −[( ) ]1 1

- odsetki przy oprocentowaniu składanym po n okresach kapitalizacji.

Liczba okresów kapitalizacji n, niezbędna do tego aby kapitał wzrósł od wartości P do zadanej wartości Fn (UWAGA: jako wynik bierzemy tylko część całkowitą n, oznaczaną jako [n]):

n =−+

=+

log loglog

log

logF P

i

FP

in

n

( ) ( )1 1

liczba okresów kapitalizacji; jako wynik bierzemy [n]. Otrzymana w ten sposób wartość [n] spełnia nierówność [n] ≤ n, więc iloczyn P i n( ) [ ]1 + jest nieco mniejszy od Fn . Aby obliczyć dokładny (co do dnia) czas, po którym kapitał wzrośnie od wartości P do zadanej wartości Fn , należy w części (n+1)-go okresu kapitalizacji posłużyć się wzorem na procent prosty; prowadzi to ostatecznie do następującego wzoru:


45

n n= ++

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟[ ]

( )[ ]

11

1i

FP i

nn

dokładny czas, po którym kapitał wzrośnie od wartości P do zadanej wartości Fn ,

Tak otrzymana wartość n pozwala napisać związek następujący:

[ ]F P i inn= + + −( ) ( ( ))1 1 n n[ ]

6.3. CZAS PODWOJENIA KAPITAŁU Liczba okresów obliczeniowych n, niezbędna do tego aby kapitał wzrósł od wartości P do wartości 2P (UWAGA: jako wynik bierzemy tylko część całkowitą np , oznaczaną jako

[ np ]):

n 2P =

+log

log( )1 i;

czas podwojenia kapitału; jako wynik bierzemy [ np ]

Otrzymana w ten sposób wartość [ np ] spełnia nierówność [ np ] ≤ np , więc iloczyn

P i n p( ) [ ]1 + jest nieco mniejszy od 2P. Aby obliczyć dokładny (co do dnia) czas, należy posłużyć się wzorem:

n np p= ++

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟[ ]

( )[ ]

1 21

1i i np

czas podwojenia kapitału Przybliżoną liczbę okresów obliczeniowych n, niezbędną do tego aby kapitał wzrósł od wartości P do wartości 2P, można obliczyć ze wzoru, nazywanego regułą 70:

Reguła 70

np ≈70i

,

gdzie stopa i podana jest w procentach.


46

6.4. OPROCENTOWANIE CIĄGŁE

F Pnne= r

- wartość przyszła kapitału po czasie n przy stopie procentowej nominalnej r.

(czas może być wyrażony dowolną liczbą rzeczywistą).

I F P P= − = −nne( )1 r

- odsetki po czasie n przy stopie procentowej nominalnej r.

Stopie procentowej rocznej nominalnej r odpowiada stopa procentowa roczna efektywna reff , którą wyznacza się ze wzoru:

reff e 1= −r

roczna efektywna stopa procentowa reff

Czas n (może być wyrażony dowolną liczbą rzeczywistą), niezbędny do tego aby kapitał P wzrósł do zadanej wartości F, wyznacza się ze wzoru

n =1r

FP

ln

czas potrzebny, aby kapitał P wzrósł do wartości F

Czas podwojenia kapitału P, np , wyznacza się ze wzoru

np r r= =

1 2 0 69315ln ,

czas podwojenia kapitału


47

6.5. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA

W ciągu n kolejnych, równych okresów kapitalizacji stopy procentowe są różne i wynoszą i i i n( ) ( ) ( ), , . . . ,1 2 . Wtedy

F P inj

j

n

= +=

∏ ( )( )11

wartość przyszła kapitału zaś zastępcza, przeciętna stopa procentowa na okres kapitalizacji może być wyliczona ze wzoru:

i iprzj

j

nn

= +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

=∏ ( )( )

/

1 11

1

przeciętna stopa procentowa na okres kapitalizacji

gdzie duże pi, tzn.∏ , oznacza mnożenie czynników (podobnie jak duże sigma,

tzn.∑ , oznacza dodawanie składników).

6.6. DYSKONTOWANIE SKŁADANE

P F i n= + −( )1 - obliczenie wartości aktualnej P kapitału na podstawie znajomości wartości przyszłej

F dla oprocentowania składanego;

jest to operacja odwrotna do oprocentowania składanego. i - stopa procentowa na okres kapitalizacji, n - liczba (całkowita) okresów kapitalizacji. Dla oprocentowania ciągłego stopą procentową jest nominalna stopa roczna r; odpowiedni wzór przyjmuje postać:

P F r= −e n.

- obliczenie wartości aktualnej P kapitału na podstawie znajomości wartości przyszłej F dla oprocentowania ciągłego


48

D F P F i n= − = − + −[ ( ) ]1 1 dyskonto składane.

Dla oprocentowania ciągłego odpowiedni wzór przyjmuje postać

D F P F= − = −[ ]1 e- nr

dyskonto przy oprocentowaniu ciągłym

Wielkości ( )1 + −i n oraz e - nr nazywa się czynnikami dyskontującymi.

6.7. PRZYKŁADY 6.7.1. Oblicz liczbę okresów kapitalizacji niezbędnych do powiększenia kapitału początkowego P = 2000 zł do wysokości najbliższej zadanej kwocie F = 5000,00 zł przy kapitalizacji półrocznej i stopie procentowej r = 26%. .

Rozwiązanie: Zgodnie z drugim wzorem z cz. 6.2. dla i=r/2=0,13 obliczam [n]:

n =+

= ≈log

log

FP

i

n

( ) ,,

1

500020001 13

7 4972log

log;

[n]=7 Po 7 półroczach otrzymuje się kwotę 4705,21 zł, a po 8 półroczach - kwotę 5316,89 zł (por. wzór z cz. 6.1). Odpowiedź: Liczba półrocznych okresów kapitalizacji niezbędnych do powiększenia kapitału P=2000 zł do wysokości najbliższej kwocie F=5000 zł wynosi 7; otrzymana po 7 półroczach kwota będzie nieco mniejsza od 5000 zł (będzie równa 4705,21 zł). 6.7.2. Oblicz kapitał podstawowy P i współczynnik dyskontujący dla kwoty F = 300 zł, uzyskanej po 8 latach przy oprocentowaniu r = 20 % i kapitalizacji kwartalnej.

Rozwiązanie: Dane:

• F = 300 zł • r = 0,20 kapitalizacja kwartalna, skąd i = r/4 = 0,05 • n = 8 lat = 32 okresy kapitalizacyjne

Szukane: • P = ? • Współczynnik dyskontujący ( 1 + i )-n = ?

Wartość aktualną kapitału P wyznacza się na podstawie znajomości przyszłej wartości kapitału F:

P F i n= ⋅ + = ⋅ + =− −( ) ( , ) ,1 300 1 0 05 62 9632 zł


49

Współczynnik dyskontujący: ( ) ( , ) ,1 1 0 05 0 209832+ = + =− −i n

Odpowiedź: Wartość kapitału podstawowego wynosi 62,96 zł , a współczynnik dyskontujący jest równy 0,2098. 6.7.3. Które oprocentowanie jest korzystniejsze dla inwestora: 22 % z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21 % z codzienną kapitalizacją odsetek ?

Rozwiązanie: Dla rm = 22 % ( kapitalizacja odsetek co miesiąc )

r reff

k= + − = + − =( ) ( , ) ,1 1 1 0 2212

1 0 243612

kczyli rm eff, ,= 24 36%

Dla rd = 21 % ( kapitalizacja odsetek co dzień )

r reff

k= + − = + − =( ) ( , ) ,1 1 1 0 21365

1 0 2336365

kczyli rd eff, ,= 23 36%

Odpowiedź: Dla inwestora korzystniejsze jest oprocentowanie 22 % z kapitalizacją odsetek co miesiąc. 6.7.4. Podaj oprocentowanie efektywne dla stopy procentowej r = 20 % przy kapitalizacji miesięcznej.

Rozwiązanie:

r ieffk= + = + − =( ) ( , ) ,1 1 0 20

121 0 219412

Odpowiedź: Oprocentowanie efektywne wynosi 21,94 %. 6.7.5. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał P przy miesięcznej kapitalizacji odsetek , jeśli w ciągu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiła r1 = 20 % , a przez następne trzy lata była równa r2 = 24 % .

Rozwiązanie: Zapiszemy najpierw w tabeli, jakie stopy procentowe roczne i miesięczne obowiązywały w poszczególnych latach:

Rok 1,2 Rok 3,4,5 r1 = 20% r2 = 24% i1 = 0,0166666667 i2 = 0,02 n1 = 24 n2 = 36

Po n1 miesiącach kwota P urosła do kwoty P i n⋅ +( )1 11 ; podczas następnych n2 miesięcy

pomnażana była kwota P i n⋅ +( )1 11 ; ostatecznie po pięciu latach otrzymujemy w wyniku

kwotę F określoną następująco: F P i i P Pn n= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅( ) ( ) ( , ) ( , ) ,1 1 1 0 0166666667 1 0 02 3 03311 2

24 361 2 Odpowiedź: Kapitał P wzrośnie do kwoty 3,0331P.


50

6.8. Zadania

6.8.1. Oblicz wartość przyszłą kapitału i wysokość odsetek przy następujących danych: a) P = 2000 zł, r = 18%, n = 2 lata, kapitalizacja odsetek co pół roku; b) P = 300 zł, r = 20%, n = 27 miesięcy, kapitalizacja odsetek co kwartał; c) P = 1000 zł, r = 19%, n = 5 lat, kapitalizacja odsetek co rok; d) P = 400 zł, r = 22%, n = 4 lata, kapitalizacja odsetek co miesiąc; e) P = 200 zł, r = 25%, n = 2 lata, ciągła kapitalizacja odsetek; f) P = 1000 zł, r = 18%, n = 3 lata, ciągła kapitalizacja odsetek. 6.8.2. Oblicz liczbę okresów kapitalizacji (przy oprocentowaniu ciągłym - liczbę lat), niezbędnych do powiększenia kapitału początkowego P do wysokości najbliższej zadanej kwocie F: a) P = 2000 zł, F = 5000 zł, r = 24%, kapitalizacja odsetek co pół roku; b) P = 300 zł, F = 1000 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał; c) P = 1000 zł, F = 2000 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok; d) P = 400 zł, F = 5000 zł, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesiąc; e) P = 200 zł, F = 400 zł, r = 15%, ciągła kapitalizacja odsetek; f) P = 1000 zł, F = 1100 zł, r = 18%, ciągła kapitalizacja odsetek. 6.8.3. Dla podanych niżej danych oblicz dokładny (co do dnia) czas, po którym kapitał P powiększy się do wysokości F. a) P = 2000 zł, F = 5000 zł, r = 18%, kapitalizacja odsetek co pół roku; b) P = 300 zł, F = 1000 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał; c) P = 1000 zł, F = 2000 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co rok; d) P = 400 zł, F = 5000 zł, r = 16%, kapitalizacja odsetek co miesiąc. 6.8.4. Oblicz kapitał podstawowy i współczynnik dyskontujący: a) F = 200 zł, r = 18%, kapitalizacja odsetek co pół roku, n = 5 lat; b) F = 300 zł, r = 20%, kapitalizacja odsetek co kwartał, n = 8 lat; c) F = 100 zł, r = 19%, kapitalizacja odsetek co rok, n = 10 lat; d) F = 400 zł, r = 22%, kapitalizacja odsetek co miesiąc, n = 15 lat; e) F = 200 zł, r = 25%, ciągła kapitalizacja odsetek, n = 25 lat; f) F = 100 zł, r = 18%, ciągła kapitalizacja odsetek, n = 5 lat. 6.8.5. Podaj okres podwojenia kapitału przy danych dotyczących P, r oraz okresu kapitalizacji jak w zadaniu 6.8.1. 6.8.6. Które oprocentowanie jest korztystniejsze dla inwestora: a) 20% z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21% z kapitalizacją odsetek co pół roku? b) 20% z kapitalizacją odsetek co pół roku czy 19% z ciągłą kapitalizacją odsetek? c) 22% z kapitalizacją odsetek co miesiąc czy 21% z codzienną kapitalizacją odsetek? d) 32% z kapitalizacją odsetek co kwartał czy 30% z kapitalizacją odsetek co miesiąc? 6.8.7. Która z propozycji oprocentowania lokaty terminowej jest najkorzystniejsza: a) 13% z kapitalizacją roczną?


51

b) 12,5% z kapitalizacją półroczną? c) 12% z kapitalizacją ciągłą? 6.8.8. Bank proponuje wypłaty od ręki lub za jakiś czas. Która z nich jest korzystniejsza? a) 200 zł teraz czy 350 zł za 3 lata (oprocentowanie20% i kapitalizacja odsetek co miesiąc)? b) 2000 zł teraz czy 4000 zł za 4 lata (oprocentowanie 21% i kapitalizacja odsetek co pół roku)? c) 10 000 zł teraz czy 15 000 zł za 2 lata (oprocentowanie 28% i kapitalizacja odsetek co kwartał)? d) 10 zł teraz czy 10 000 zł za 25 lat (oprocentowani 40% i ciągła kapitalizacja odsetek)? 6.8.9. Podaj oprocentowania równoważne dla następujących danych: a) 20%, kapitalizacja miesięczna; równoważne przy kapitalizacji półrocznej? b) 20%, kapitalizacja półroczna; równoważne przy kapitalizacji ciągłej? c) 23%, kapitalizacja miesięczna; równoważne przy kapitalizacji dziennej? d) 36%, kapitalizacja roczna; równoważne przy kapitalizacji miesięcznej? e) 32%, kapitalizacja kwartalna; równoważne przy kapitalizacji miesięcznej? f) 36,5%, kapitalizacja dzienna; równoważne przy kapitalizacji ciągłej? 6.8.10. Podaj oprocentowanie efektywne dla danych jak w zadaniu 6.8.8. 6.8.11. Za otrzymaną obecnie pożyczkę 10 000 zł zobowiązano się zwrócić 16 500 zł po 3 latach. Obliczyć roczną nominalną stopę procentową przy kapitalizacji odsetek a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej, d) ciągłej. 6.8.12. Rachunek bankowy jest oprocentowany w stosunku rocznym na 24%. Za każdy pełny rok nalicza się odsetki składane, a za okres krótszy od roku - odsetki proste. Jaka wpłata przyjmie po 3 latach i 9 miesiącach wartość 5000 zł? 6.8.13. W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosiła 30%, 34%, 33%, 37%. Oblicz przeciętną roczną stopę procentową, przeciętną kwartalną stopę procentową oraz wynikającą z niej efektywną roczną stopę procentową. 6.8.14. Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał P (przy rocznej kapitalizacji odsetek), jeśli w ciągu dwóch pierwszych lat stopa procentowa wynosiła r1 , a przez następne trzy lata będzie równa r2 ? a) r1 = 38%, r2 =36%; b) r1 = 20%, r2 =24%; c) r1 = 28%, r2 =22%. 6.8.15. Rozwiązać zadanie 6.8.14 dla przypadku kapitalizacji odsetek a) co miesiąc b) co kwartał c) co pół roku.


52

6.8.16. W ciągu pierwszych n1 lat kapitał był oprocentowany przy stopie rocznej r1 , a przez następne n2 lat - przy stopie r2 . Jaką kwotę zdeponowano w banku, jeśli po czasie n1 + n2 stan konta wyniósł F? a) r1 = 38%, r2 =36%, n1 = 3 lata, n2 = 2 lata, kapitalizacja roczna, F = 15 000 zł; b) r1 = 20%, r2 =24%, n1 = 2 lata, n2 = 1 rok, kapitalizacja kwartalna; F = 10 000 zł; c) r1 = 28%, r2 =22%, n1 = 1 rok, n2 = 1,5 roku, kapitalizacja półroczna; F = 10 000 zł.

7. OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH

7.1. WKŁADY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI Oznaczenia:

K n kapitał zebrany po n wpłatach (wartość przyszła n wpłat)

W1 , W2 , ..., Wn wpłaty o różnych wielkościach W wysokość stałej wpłacanej co ten sam okres czasu kwoty

i = ik stopa procentowa na okres kapitalizacji, stanowiący (1/k)-tą część roku

( )[ ]Si

in in

| = + −1 1 1

wartość przyszła wpłat jednostkowych (kapitał zebrany w wyniku n wpłat jednostkowych). Wielkość ta dla różnych wartości n oraz i jest podana w tablicach na końcu podręcznika.

Wzory:

Wpłaty dokonywane

„z dołu” Wpłaty dokonywane

„z góry”

K W in jj

nn j= +

=

−∑1

1( ) K W in jj

nn j= +

=

− +∑1

11( )

kapitał po n okresach kapitalizacji (i n wpłatach W1 , W2 , ..., Wn )

K Wn n i= s |

K W in n i= +( ) |1 s

kapitał po n okresach kapitalizacji (i n wpłatach o wysokości W każda)


53

Wpłaty dokonywane


„z góry”

WKs

n

n i

=|

W K

s in

n i

=+| ( )1

wysokość wpłaty W obliczona na podstawie parametrów K n , i oraz n

n =

+

+

log

log( )

iK WW

i

n

1 n =

+ ++

+

log( )

( )log( )

iK W iW i

i

n 11

1

część całkowita [n] prawej strony opisuje liczbę wpłat o wysokości W każda, dającą kwotę najbliższą kwocie K n , lecz mniejszą od niej

7.2. ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT ZGODNYCH Z OKRESEM KAPITALIZACJI

Oznaczenia:

K0 wartość zebranego kapitału Kn , obliczona na chwilę początkową (na początek pierwszego okresu kapitalizacji)

n liczba wpłat

i stopa procentowa na okres kapitalizacji

( )[ ]an|i

= − + −1 1 1i

i n czynnik umorzeniowy (kapitału zebrany w wyniku n wpłat jednostkowych, zdyskontowany do chwili początkowej); jego wartości dla różnych n oraz i podane są na końcu podręcznika.

Mają miejsce związki następujące:

s an|i n|i( )1 + =−i n oraz a sn|i n |i( )1 + =i n

.


54

Wzory:

Wpłaty dokonywane „z dołu”

Wpłaty dokonywane „z góry”

K W ijj

nj

01

1= +=

−∑ ( ) K W ijj

nj

01

11= +=

− +∑ ( )

kapitał po wpłatach W1 ,W2 ,...,Wn , zdyskontowany do chwili początkowej

K W0 = an|i

K W i0 1= +( )an|i

kapitał po n wpłatach o stałej wysokości W , zdyskontowany do chwili początkowej

W K= 0

an|i W K

i=

+0

1( )an|i

wysokość wpłaty obliczona na podstawie zdyskontowanej wartości zebranego kapitału

n =−+

log

log( )

WW iK

i0

1 n =

++ −

+

log ( )( )

log( )

W iW i iK

i

11

10

czas podany jako liczba wpłat (sens ma tylko część całkowita prawej strony)

K Wi0 = K W i

i01

=+( )

kapitał po nieskończonej liczbie wpłat W , zdyskontowany do chwili początkowej

W K i= 0 W K ii

=+

0

1( )

wpłaty dla uzyskania (po zdyskontowaniu) kapitału K0 przy nieskończenie wielu wpłatach


55

7.3. WKŁADY NIEZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI

Oznaczenia:

W wysokość stałej wpłacanej co ten sam okres czasu kwoty m liczba podokresów (wpłat) w okresie kapitalizacji odsetek n liczba okresów kapitalizacji i stopa procentowa na okres kapitalizacji

Wzory:

Wpłaty dokonywane


„z góry”

( )K W in= + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

m 12

m 1 sn|i

( )K W in= + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

m 12

m 1 sn|i

wartość zebranego kapitału K n po n okresach kapitalizacji (= po mn wpłatach o wysokości W każda)

( )W =

i

K n

m 12

m 1+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

sn|i

( )W =

i

K n

m 12

m 1+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

sn |i

wysokość wpłaty obliczona na podstawie znanych parametrów K n , i oraz m i n

( )

( )n =

+ + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+

log

log( )

K i W

W

i

n m 12

m 1

m 12

m 1

i

i

1

( )

( )n =

+ + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+

lo g

lo g ( )

K i W

W

i

n m 12

m 1

m 12

m 1

i

i

1

część całkowita [n] prawej strony opisuje liczbę okresów kapitalizacji, podczas których wpłacając w m podokresach kwotę W „z dołu” można uzbierać ilość pieniędzy

najbliższą kwocie K n , lecz mniejszą od niej; realizując wpłaty w n+1 okresach kapitalizacji uzyskamy ilość pieniędzy przewyższającą kwotę K n .


56

7.4. ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI

Oznaczenia:

K0 wartość zebranego kapitału K n , obliczona na chwilę początkową (na początek pierwszego okresu kapitalizacji)

n liczba okresów kapitalizacji m liczba wpłat w jednym okresie kapitalizacji

mn łączna liczba wpłat i stopa procentowa na okres kapitalizacji

Wzory:



( )K W0 = + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

m 12

m 1i an|i

( )K W0 = + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

m 12

m 1i an|i

kapitał po mn wpłatach o stałej wysokości W ,

zdyskontowany do chwili początkowej

( )W K

=+ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

0

m 12

m 1i a n|i

( )W K

=+ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

0

m 12

m 1i a n|i

wysokość wpłaty obliczona na podstawie

zdyskontowanej wartości zebranego w wyniku mn wpłat kapitału

( )

( )n =

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

+

log

log( )

W

W iK

i

m 12

m 1

m 12

m 1

i

i 0

1

( )

( )n =

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

+

log

log( )

W

W iK

i

m 12

m 1

m 12

m 1

i

i 0

1

czas podany jako liczba okresów kapitalizacji przy wpłatach w podokresach

(sens ma tylko część całkowita prawej strony)


57

Wzory (c.d.):



( )K Wi0 = + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

m 12

m 1i ( )K Wi0 = + +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

m 12

m 1i

kapitał po nieskończonej liczbie wpłat W po m w każdym okresie kapitalizacji, zdyskontowany do chwili początkowej

( )W K i

=+ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

0

m 12

m 1i

( )W K i

=+ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

0

m 12

m 1i

wpłaty dla uzyskania (po zdyskontowaniu) kapitału K0 przy nieskończonie wielu wpłatach po m w każdym okresie kapitalizacji

7.5. PRZYKŁADY

7.5.1. Przez N = 2 lata mamy otrzymywać wpłaty po W = 500 zł kwartalnie. Oblicz, ile warte są te pieniądze na początku i na końcu okresu wpłat . Zakłada się, że nominalna stopa procentowa jest równa r = 12%, a kapitalizacja odsetek następuje co rok.

Rozwiązanie: Dane:

• N = 2 lata • W = 500 zł • r = 12 % przy kapitalizacji rocznej, co oznacza, że r = i = 0,12 • m = 4 gdyż wpłaty są kwartalne (w podokresach)

Szukane: • K0 = ? • K n = ?

1. Wpłaty dokonywane „z dołu” Wzory:

K W m i m

K W m i mn

o

= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

[ ( )]

[ ( )]

12

12

1

1

s

an|i

n|i

Po podstawieniu danych: K 2

12500 4 0 12 4 1 4430 80= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =[ , ( )] ,s

2|0,12 zł


58

K o = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =500 4 0 12 4 1 3532 2012[ , ( )] ,a

2|0,12 zł

2. Wpłaty dokonywane „z góry” Wzory:

K W m i m

K W m i mn

o

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

[ ( )]

[ ( )]

12

12

1

1

s

an|i

n|i

Po podstawieniu danych: K2

12500 4 0 12 4 1 4558 00= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =[ , ( )] ,s

2|0,12zł

Ko = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =500 4 0 12 4 1 3633 6012[ , ( )] ,a

2|0,12zł

Odpowiedź: Na początku okresu przy wpłatach „z dołu” pieniądze są warte 3532,20 zł , a na końcu 4430,80 zł ; natomiast przy wpłatach „z góry” pieniądze na początku okresu wynoszą 3633,60 zł , a na końcu 4558,00 zł. 7.5.2. Do kapitału 600 zł oprocentowanego w wysokości 12% dodaje się z końcem każdego roku kwotę 100 zł . Jaki powstanie z tego kapitał po 5 latach , jeśli kapitalizacja jest roczna ? Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku ?

Rozwiązanie: Dane:

• P = 600 zł • W= 100 zł • N = 5 • r = i = 12 %

Szukane: • K 0 = ? • K 5 = ?

Obliczamy przyszłą wartość wkładów oszczędnościowych: K WW5 100 635 28= = ⋅ =s s

n|i 5|0,12, zł

Obliczamy wartość przyszłą kapitału 600 zł : K P iP

n5

51 600 1 012 1057 40= ⋅ + = ⋅ + =( ) ( , ) , zł Obliczamy wartość końcową kapitału:

K K KW P5 5 5 635 28 1057 40 1692 68= + = + =, , , zł Obliczamy zdyskontowaną wartość powstałego kapitału:

K P Wo = + = + =a an|i 5|0,12

600 100 960 48, zł

Odpowiedź: Po pięciu latach powstanie kapitał o wartości 1692,68 zł a jego zdyskontowana wartość na początek pierwszego roku wynosi 960,48 zł.


59

7.5.3. Przez ile lat należy wpłacać miesięcznie „z dołu” kwotę 1000 zł, aby przy stopie procentowej 18% i kapitalizacji rocznej przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wynosiła około 20 000 zł ?

Rozwiązanie: Dane:

• wpłaty miesięczne „z dołu” W = 1000,00 zł • m = 12 • r = i = 18 % kapitalizacja roczna , • K n = 20 000,00 zł

Szukane: • n = ?(liczba lat)

Obliczamy liczbę okresów kapitalizacji, korzystając ze wzoru z cz. 7.2. dla wpłat „z dołu”:

( )

( ) [ ][ ]n

20000 0,18+1000 12+0,09 111000 12+0,09 11

=

+ + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+=

⋅ ⋅

⋅=

logK i W

W

i

n m 12

m 1

m 12

m 1

i

i

log

log

( ) log ,,

1 1 181 47794

Ponieważ sens ma tylko odpowiedź całkowita, więc przyjmujemy, że będzie to jeden okres kapitalizacji (jeden rok). Dla tego okresu czasu zebrana kwota będzie miała wartość

( )K W in= + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=m 12

m 1 s sn|i 1|0,18

1000 12 12

0 18 12 1 12990, ( ) zł.

Warto zauważyć, że wielkość sn|i

dla n = 1 jest równa jeden!

Dla n = 2 otrzymujemy K2 = 28318,20 zł, czyli rzeczywiście kwota uzbierana po roku jest najbliższa kwoty 20 000 zł. Odpowiedź: Aby przyszła wartość wkładów oszczędnościowych była najbliższa kwocie 20 000 zł , kwotę 1000 zł należy wpłacać przez 1 rok.

7.6. Zadania

7.6.1. Planowane wpłaty pod koniec trzech kolejnych miesięcy wynoszą odpowiednio A, B i C zł. Oblicz łączna wartość tych wpłat na koniec trzeciego miesiąca oraz na początku pierwszego miesiąca, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi r, a kapitalizacja odsetek jest miesięczna. a) A = 300 zł, B = 500 zł, C = 600 zł, r = 24%; b) A = 200 zł, B = 300 zł, C = 400 zł, r = 12%; c) A = 300 zł, B = 200 zł, C = 500 zł, r = 18%. 7.6.2. Rozwiąż zadanie 7.6.1. dla przypadku wpłat dokonywanych na początku każdego miesiąca.


60

7.6.3. Przez N lat mamy otrzymywać wpłaty po A zł kwartalnie. Oblicz, ile warte są te pieniądze na początku i na końcu okresu wpłat. Zakłada się, że nominalna stopa procentowa jest równa r, a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał. a) N = 2, A = 500 zł, r = 12%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry; b) N = 3, A = 600 zł, r = 18%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry; c) N = 5 , A = 900 zł, r = 16%, wpłaty następują: (1) z dołu; (2) z góry. 7.6.4. Rozwiąż zadanie 7.6.3. dla przypadku: a) wpłat miesięcznych i kapitalizacji półrocznej, b) wpłat kwartalnych i kapitalizacji rocznej, c) wpłat miesięcznych i kapitalizacji kwartalnej. 7.6.5. Dealer sprzedaje samochody za cenę 28 000 zł. 70% zapłata może być rozłożona na 36 miesięcznych rat płatnych „z dołu” przy stopie procentowej r. Jaka będzie wysokość raty, jeśli stopa procentowa wynosi a) 18% b) 24%, c) 26%, d) 30%, a kapitalizacja odsetek jest (1) roczna, (2) miesięczna? 7.6.6. Rozwiązać zadanie 7.6.5. przy ratach płatnych „z góry”. 7.6.7. Jaka jest wartość 10-letnich wkładów oszczędnościowych na początku i na końcu 10 lat przy: a) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 18%, kapitalizacja miesięczna; b) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 19%, kapitalizacja kwartalna; c) wpłatach miesięcznych „z dołu” po 100 zł, r = 20%, kapitalizacja roczna; d) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 12%, kapitalizacja miesięczna; e) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 18%, kapitalizacja półroczna; f) wpłatach kwartalnych „z góry” po 300 zł, r = 14%, kapitalizacja roczna. 7.6.8. Do kapitału 600 zł oprocentowanego w wysokości 12%, dodaje się z końcek każdego roku kwotę 100 zł. Jaki powstanie z tego kapitał po 5 latach, jeśli kapitalizacja jest a) roczna, b) kwartalna, c) miesięczna. Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku? 7.6.9. Do kapitału 1000 zł oprocentowanego w wysokości 18%, dodaje się z początkiem każdego miesiąca kwotę 100 zł. Jaki powstanie z tego kapitał po dwóch latach przy kapitalizacji a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej? Jaka będzie wartość tego kapitału zdyskontowana na początek pierwszego roku? 7.6.10. Z kapitału 15 000 zł złożonego na koncie oprocentowanym w takiej wysokości, że przy kapitalizacji półrocznej kapitał ten podwoiłby się po 10 latach, pobierano z końcem każdego miesiąca kwotę 200 zł. Na początku szóstego roku na konto wpłacono dodatkowo kwotę 10 000 zł. Jaki kapitał pozostanie na koncie po okresie 10 lat, jeśli kapitalizacja odsetek jest półroczna? 7.6.11. Zachowując pozostałe warunki rozwiązać zadanie 7.6.10. dla przypadku miesięcznej kapitalizacji odsetek.


61

7.6.12. Przez ile lat należy wpłacać rocznie „z góry” kwotę 1000 zł, aby przy stopie procentowej 18% i kapitalizacji a) rocznej, b) kwartalnej, c) miesięcznej przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wynosiła około 20 000 zł? 7.6.13. Rozwiązać zadanie 7.6.12. dla przypadku wpłat miesięcznych „z dołu”. 7.6.14. Jaka powinna być kwota miesięcznej opłaty „z góry” za dzierżawę komputera, aby po pięciu latach, przy oprocentowaniu 12%, teraźniejsza wartość wszystkich opłat była równa 5000 zł przy: a) rocznej, b) półrocznej, c) miesięcznej kapitalizacji odsetek. 7.6.15. Przez ile kwartałów należy wpłacać „z dołu” po 1200 zł, aby zebrać fundusz wynoszący 12000 zł przy oprocentowaniu 16%? Jaka musi być wysokość ostatniej wpłaty, aby zebrać równo 12000 zł? 7.6.16. Koszt budowy domku jednorodzinnego wyniósł 100 000 zł. Domek ten ma zostać wydzierżawiony, a opłata za jego użytkowanie ma być wnoszona z końcem każdego roku. Przewiduje się, że domek przetrwa 100 lat. Obliczyć wysokość czynszu, zakładając, że ma on zwrócić koszt budowy oraz przynieść właścicielowi zysk 20-procentowy zysk, jeśli przewidywana stopa procentowa (stopa dyskontowa) wynosi 9%, a kapitalizacja odsetek jest roczna. 7.6.17. Rozwiązać zadanie 7.6.16. dla przypadku czynszu płaconego co miesiąc z góry i miesięcznej kapitalizacji odsetek. 7.6.18. Jak zmieni się czynsz obliczony w zadaniu 7.6.16, jeśli przewiduje się, że domek będzie stał wiecznie? 7.6.19. Jak zmieni się czynsz obliczony w zadaniu 7.6.17, jeśli przewiduje się, że domek będzie stał wiecznie? 7.6.20. Jaki był koszt 1 m2 powierzchni mieszkalnej domu, w którym czynsz za właśnie otrzymane mieszkanie o powierzchni 60 m2 jest równy 350 zł miesięcznie, płatne z końcem miesiąca, jeśli zakłada się wysokość stopy procentowej 6% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek? 7.6.21. Jaki był koszt 1 m2 powierzchni mieszkalnej domu z zadania 7.6.20, jeśli czynsz wynosi 440 zł miesięcznie płatne z góry, a założona stopa procentowa wynosi 9% przy kapitalizacji rocznej?


62

8. ROZLICZANIE POŻYCZEK - RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ

8.1. WZORY OGÓLNE

Oznaczenia:

P zaciągnięty dług (wysokość kredytu)

Pk saldo po k-tej racie (to, co zostało do spłacenia po zapłaceniu k rat)

Rk wysokość k-tej raty

Tk część kapitałowa (kredytowa; część długu), uwzględniona w racie Rk

Z k odsetki zawarte w racie Rk

Z suma wszystkich odsetek (tzw. suma kontrolna lub koszt kredytu)

N liczba okresów kapitalizacji

n bieżący numer okresu kapitalizacji

k bieżący numer raty

m liczba rat w okresie kapitalizacji; całkowita liczba rat = mN

r nominalna roczna stopa procentowa

i stopa procentowa na okres kapitalizacji

Wzory podstawowe (dla spłat „z dołu”):

Pkk

jk j

j

j k

P i R i= + − + −

=

=

∑( ) ( )1 11

saldo po k-tej racie (to, co zostało do spłacenia po zapłaceniu k rat)

R T Zk k k= + k-ta rata wyrażona poprzez część kapitałową i część odsetkową

T P Pk k k= −−1 T R Zk k k= − część kapitałowa k-tej raty, wyrażona

poprzez kolejne salda część kapitałowa k-tej raty, wyrażona

poprzez ratę i jej część odsetkową


63

Z iPk k= −1 Z R Tk k k= − część odsetkowa k-tej raty, wyrażona

poprzez (k-1)-sze saldo część odsetkowa k-tej raty, wyrażona

poprzez ratę i jej część kapitałową

P P T T Tk k= − + + +( ... )1 2 k-te saldo, wyrażone poprzez kapitał oraz części kapitałowe rat

Z R Pjj

j N

= −=

=

∑1

suma wszystkich odsetek (tzw. suma kontrolna lub koszt kredytu),

PLAN SPŁATY DŁUGU (kolumna „saldo przed zapłaceniem k-tej raty” nie jest konieczna):

Numer

raty

Saldo (stan długu) przed zapłaceniem

k-tej raty

Część kapitałowa k-tej raty

Część odsetkowa k-tej raty

k-ta rata Saldo (stan długu) po zapłaceniu

k-tej raty k Pk−1 Tk Z k Rk Pk

8.2. RATY O Z GÓRY USTALONYCH WYSOKOŚCIACH ZNANE: R R RN1 2 1, ,..., − - raty płacone zgodnie z okresem kapitalizacji o z góry ustalonych wysokościach; P, i, N=K - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji) Wielkość ostatniej raty obliczamy z następujących wzorów:

P P i R iNN

jN j

j

j N

−− − −

=

= −

= + − +∑11 1

1

1

1 1( ) ( )

najpierw saldo po (N-1) wypłaconych ratach;

R P iN N= +−1 1( ) potem wysokość ostatniej raty (jako przedostatnie saldo wraz z odsetkami).

Pozostałe wzory dotyczące planu spłaty długu - jak w części 8.1.


64

8.3. RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ - SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI

ZNANE: P, i, N - liczba rat (i okresów kapitalizacji), płatnych „z dołu”, k = 1,2,......N

Wzory do utworzenia planu spłaty długu:

T T Pk = =

N

część kapitałowa (kredytowa; część długu), uwzględniona w racie Rk

P Pk = −( )1 kN


Z P ik = − +N

N k 1( ) odsetki zawarte w racie Rk

( )[ ]R PNk = + − +1 N k 1i

wysokość k-tej raty

Z Pi=+N 12

koszt kredytu

8.4. RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -

SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU

ZNANE: P, i, N - liczba okresów kapitalizacji, mN - liczba rat płatnych „z dołu”, m - liczba podokresów okresu kapitalizacji (liczba rat w okresie kapitalizacji)


T T Pk = =

mN


P Pk = −( )1 kmN


Z P ik = −

−m

k 1mN

( )1 odsetki zawarte w racie Rk

R P ik = + −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥mN

N k 1m

1 wysokość k-tej raty

Z Pi=Nm + 1

2m koszt kredytu


65

8.5. RATY STAŁE, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ - SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE

W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA CAŁY OKRES SPŁAT

ZNANE: P, i, N - liczba okresów kapitalizacji, mN - liczba rat płatnych „z dołu” m - liczba podokresów okresu kapitalizacji (liczba rat w okresie kapitalizacji)


T T Pk = =

mN


P Pk = −( )1 kmN


Z Pik = ⋅

+mN

mN 1m2

uśrednione odsetki zawarte w racie Rk , stałe w każdej racie

R P ik = ++⎡

⎣⎢⎤⎦⎥mN

12

mN 1m

wysokość k-tej raty, stałej w całym okresie spłat

Z Pi=Nm + 1

2m

koszt kredytu

8.6. RATY STAŁE W OKRESACH KAPITALIZACJI, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ - SPŁATY W PODOKRESACH,

ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA OKRES KAPITALIZACJI

ZNANE: P, i, N - liczba okresów kapitalizacji, mN - liczba rat płatnych „z dołu” m - liczba podokresów okresu kapitalizacji (liczba rat w okresie kapitalizacji). Raty i elementy planu spłaty długu numerowane są ułamkiem k/m , w którym licznik podaje numer k raty (lub innego elementu planu spłaty długu), a mianownik podaje liczbę m rat w okresie kapitalizacji. Na podstawie ułamka k/m oblicza się numer n okresu kapitalizacji z nierówności:

n 1 km

n− < ≤

n jest numerem okresu kapitalizacji


66


T T Pk m = =

mN


P Pk m = −(1 kmN

) saldo po k-tej racie (to, co zostało do spłacenia po zapłaceniu k rat)

Z Pik m = −

−mN

(N -n+1 m 12m

) odsetki zawarte w racie Rk , stałe w okresie kapitalizacji

R P ik m = + − + −−

mN[1 (N n 1 m 1

2m)]

wysokość k-tej raty, stała w okresie kapitalizacji

Z Pi=Nm + 1

2m

koszt kredytu

8.7. RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ - SPŁATY

W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH, WEDŁUG STANU DŁUGU

NA POCZĄTKU OKRESU KAPITALIZACJI ZNANE: P, i, N - liczba okresów kapitalizacji, mN - liczba rat płatnych „z dołu” m - liczba podokresów okresu kapitalizacji (liczba rat w okresie kapitalizacji). Raty i elementy planu spłaty długu numerowane są ułamkiem k/m. Na podstawie ułamka k/m oblicza się numer n okresu kapitalizacji z nierówności:

n 1 km

n− < ≤


T T Pk m = =

mN część kapitałowa (kredytowa; część długu),

uwzględniona w racie Rk

P Pk m = −(1 kmN


Z P ik m = −

−m

(1 n 1N

) odsetki zawarte w racie Rk

R P ik m = + − +mN

[1 (N n 1)] wysokość k-tej raty

Z Pi=+N 12

koszt kredytu


67

8.8. RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ - SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI W PODOKRESACH WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, DOLICZANE RAZ NA OKRES

KAPITALIZACJI ZNANE: P, i, N - liczba okresów kapitalizacji, mN - liczba rat płatnych „z dołu” m - liczba podokresów okresu kapitalizacji (liczba rat w okresie kapitalizacji). Raty i elementy planu spłaty długu numerowane są ułamkiem k/m. Na podstawie ułamka k/m oblicza się numer n okresu kapitalizacji z nierówności:

n 1 km

n− < ≤


T T Pk m = =

mN część kapitałowa (kredytowa; część

długu), uwzględniona w racie Rk

P Pk m = −(1 kmN


Z Pik m/ = − −

+

≠

⎧⎨⎪

⎩⎪

[1 1N

(n m 12m

)] gdy k / m = n

0 gdy k / m n

odsetki zawarte w racie Rk

R T Zk m k m k m/ / /= + wysokość k-tej raty

Z Pi=Nm + 1

2m

koszt kredytu

8.9. PRZYKŁADY

8.9.1. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P = 3 000 zł, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r = 25 %. Kredyt ten należy spłacić w N = 5 ratach o ustalonej wysokości, płatnych na koniec każdego roku. Wysokości N-1 rat przedsiębiorca ustalił następująco: R1 = 1000 zł, R2 = 800 zł, R3 = 700 zł; R4 = 600 zł. Obliczyć wysokość N-tej raty i podać plan spłaty długu.

Rozwiązanie: Dane:

• P = 3 000 zł • r = i = 25 % = 0,25 • N = 5 lat - rat • R1 = 1 000 zł


68

• R2 = 800 zł • R3 = 700 zł • R4 = 600 zł • raty o stałej części kapitałowej, płatne na koniec każdego roku

Szukane: • R5 =?

Posługując się wzorami z cz. 8.2 otrzymujemy: P4 =2 646,10 zł R5 =3 307,63 zł - wysokość piątej (ostatniej) raty PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 8.2. Nr raty Pk-1 Tk Zk Rk P

1 3 000,00 250,00 750,00 1 000,00 2 750,002 2 750,00 112,50 687,50 800,00 2 637,503 2 637,50 40,62 659,38 700,00 2 596,884 2 596,88 -49,22 649,22 600,00 2 646,105 2 646,10 2 646,10 661,53 3 307,63 0,00

3 000,00 3 407,63 6 407,63Kredyt Koszt kredytu Suma rat

Jak wynika z planu spłaty długu, cztery pierwsze raty były zbyt niskiej wysokości. Czwarta rata była niższa nawet od wysokości należnych odsetek, w wyniku czego dług uległ zwiększeniu (część kapitałowa czwartej raty jest ujemna). 8.9.2. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P = 2000 zł , który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r = 36 %. Kredyt ten należy spłacić w N = 4 ratach o stałej części kapitałowej, płatnych na koniec każdego roku. Podać wzory i sporządzić plan spłaty długu.

Rozwiązanie: Dane:

• P = 2 000 zł • r = i = 36 % = 0,36 • N = 4 lat - rat • raty mają mieć stałą część kapitałową, płatną na koniec każdego roku

Szukane: • plan spłaty długu

Posługując się wzorami z cz. 8.3 otrzymujemy:

T = =2000

4500 zł


69

Pk = −2000 14

( )k zł

Zk = ⋅ − + = −2000

40 36 4 1 180 5, ( ) ( )k k zł

R T Zk k k= + = + − = −500 180 5 1400 180( )k k zł

Z = ⋅ ⋅+

=2000 0 36 4 12

1800, zł

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 8.3.

Numer

raty Saldo przed zapłacenie

m k-tej raty



k-ta rata Saldo po zapłaceniu

k-tej raty

k Pk-1 Tk Zk = i·Pk-1 Rk = Tk + Zk Pk = Pk-1 - Tk 1 2000 500 720 1220 1500 2 1500 500 540 1040 1000 3 1000 500 360 860 500 4 500 500 180 680 0

suma: 2000 1800 3800 opis sumy: Kredyt Koszt

kredytu Suma rat

8.9.3. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P = 4000 zł, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r = 20 % i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten należy spłacić ratami o stałej części kapitałowej, płatnymi przez 2 lata co kwartał z dołu. Podać plan spłaty długu w następujących wariantach: 1. odsetki doliczane w podokresach wg aktualnego stanu długu; 2. odsetki obliczane w podokresach wg aktualnego stanu długu, uśrednione na

cały okres spłat; 3. odsetki obliczane w podokresach wg aktualnego stanu długu, uśrednione na

okres kapitalizacji; 4. odsetki doliczane w podokresach wg stanu długu na początku okresu

kapitalizacji; 5. odsetki doliczane w podokresach wg aktualnego stanu długu, doliczane raz na

okres kapitalizacji. Jaki będzie koszt kredytu?

Rozwiązanie: Dane:

• P = 4 000 zł • r = i = 20 % = 0,20 • N = 2 lata


70

• m = 4 raty na okres kapitalizacji; oznacza to, że będzie Nm=8 rat • raty mają mieć stałą część kapitałową

Szukane: • plany spłaty długu dla podanych wariantów spłat

Dla wariantu 1: Posługując się wzorami z cz. 8.4 otrzymujemy:

T = =4000

8500 zł

Pk = −4000 18

( )k zł

Z k =⋅

−−⋅

= −4000 0 20

41 1

4 2200 1, ( ) ( )k k -1

8 zł

R T Zk k k= + = + − = − −500 200 1 700 25 1( ) ( )k -18

k zł

Z = ⋅ ⋅⋅ +

⋅=4000 0 20 4 2 1

2 4900, zł - koszt kredytu


Numer

raty Saldo przed zapłacenie

m k-tej raty




k-tej raty

k n Pk-1 Tk Zk Rk = Tk + Zk Pk = Pk-1 - Tk 1 1 4000 500 200 700 3500 2 1 3500 500 175 675 3000 3 1 3000 500 150 650 2500 4 1 2500 500 125 625 2000 5 2 2000 500 100 600 1500 6 2 1500 500 75 575 1000 7 2 1000 500 50 550 500 8 2 500 500 25 525 0


kredytu Suma rat


T = =4000

8500 zł


71

Pk = −4000 18

( )k zł

Z k =⋅⋅

⋅⋅ +

⋅=

4000 0 204 2

4 2 12 4

112 50, , zł

R T Zk k k= + = + =500 112 50 612 50, , zł

Z = ⋅ ⋅⋅ +

⋅=4000 0 20 4 2 1



Numer raty

Saldo przed zapłaceniem

k-tej raty




k-tej raty k n Pk-1 Tk Zk Rk = Tk + Zk Pk = Pk-1 - Tk 1 1 4000 500 112,50 612,50 3500 2 1 3500 500 112,50 612,50 3000

... ... ... ... ... ... ... 7 2 1000 500 112,50 612,50 500 8 2 500 500 112,50 612,50 0


kredytu Suma rat


T Tk / 44000

8500= = = zł

Pk / 4 4000 18

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

k zł

Zk/, ,4

4000 0 204 2

2 1 4 12 4

26250 100=⋅⋅

− + −−⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −n n zł;

n obliczamy z nierówności n 1 k4

n− < ≤

R T Zk k k= + = + − = −500 262 5 100, n 762,50 100n zł

Z = ⋅ ⋅⋅ +

⋅=4000 0 20 4 2 1



72

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 8.6. Numer

raty Saldo przed zapłaceniem

k-tej raty




k-tej raty k n Pk-1 Tk Zk Rk = Tk + Zk Pk = Pk-1 - Tk 1 1 4000 500 162,50 662,50 3500 2 1 3500 500 162,50 662,50 3000 ... ... ... ... ... ... ... 5 2 2000 500 62,50 562,50 1500 ... ... ... ... ... ... ... 8 2 500 500 62,50 562,50 0


kredytu Suma rat


T Tk / 44000

8500= = = zł

Pk / ( )4 4000 18

= −k zł

Z k /, ( )4

4000 0 204

12

200 100=⋅

−−

= − −n 1 (n 1) zł;


n− < ≤

R T Zk k k= + = − −700 100(n 1) zł

Z = ⋅ ⋅+

=4000 0 20 2 12

1200, zł - koszt kredytu

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 8.7. Numer

raty Saldo przed zapłaceniem

k-tej raty




k-tej raty k n Pk-1 Tk Zk Rk = Tk + Zk Pk = Pk-1 - Tk 1 1 4000 500 200 700 3500 2 1 3500 500 200 700 3000 ... ... ... ... ... ... ... 5 2 2000 500 100 600 1500 ... ... ... ... ... ... ... 8 2 500 500 100 600 0


kredytu Suma rat


73


T Tk / 44000

8500= = = zł

Pk / ( )4 4000 18

= −k zł

Zk /,

44000 0 20 5

8= ⋅ − −+⋅

−

≠

⎧⎨⎪

⎩⎪

[1 12

(n 4 12 4

)] = 800 - 400(n ) gdy k / 4 = n

0 gdy k / 4 n


n− < ≤

R T Zk k k= + zł

Z = ⋅ ⋅⋅ +

⋅=4000 0 20 4 2 1



Numer raty

Saldo przed zapłaceniem

k-tej raty




k-tej raty k n Pk-1 Tk Zk Rk = Tk + Zk Pk = Pk-1 - Tk 1 1 4000 500 0 500 3500 2 1 3500 500 0 500 3000 3 1 3000 500 0 500 2500 4 1 2500 500 650 1150 2000 5 2 2000 500 0 500 1500 6 2 1500 500 0 500 1000 7 2 1000 500 0 500 500 8 2 500 500 250 750 0


kredytu Suma rat

8.10. Zadania

W podanych niżej zadaniach przez plan spłaty długu rozumie się podanie wszystkich wzorów, umożliwiających wypełnienie pokazanej w cz. 8.1 tabeli oraz ewentualne przytoczenie tabeli bądź w wersji pełnej (jak w przykładach 8.9.1, 8.9.2 oraz w wariancie 1 i 5 przykładu 8.9.3) bądź zawierającej dane dotyczące kilku pierwszych, kilku środkowych oraz kilku ostatnich rat (jak w przykładzie 8.9.3, warianty 2, 3 i 4). 8.10.1. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r. Kredyt ten należy spłacić w N ratach o ustalonej wysokości, płatnych na koniec każdego roku. Wysokości N-1 rat przedsiębiorca ustalił w wysokościach R R R N1 2 1, , . . . , − . Obliczyć wysokość N-tej raty.


74

a) P = 2 000 zł, r = 36 %, N = 4, R 1 = 700 zł, R2 = 900 zł, R3 = 800 zł; b) P = 10 000 zł, r = 28 %, N = 6, R 1 = 4000 zł, R2 = R3 = 4000 zł, R R4 5= = 3000 zł; c) P = 3 000 zł, r = 25 %, N = 5, R 1 = 1000 zł, R2 = 1100 zł, R3 = 800 zł; R4 = 900 zł. 8.10.2. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r. Kredyt ten należy spłacić w N ratach o stałej części kapitałowej, płatnych na koniec każdego roku. Podać wzory i sporządzić plan spłaty długu. a) P = 2 000 zł, r = 36 %, N = 4 b) P = 10 000 zł, r = 28 %, N = 10 c) P = 3 000 zł, r = 25,5 %, N = 5 8.10.3. Kredyt w wysokości P należy spłacić w ciągu L lat. Oprocentowanie kredytu jest równe r. Kredyt ma być spłacony w równych ratach kapitałowych płaconych z końcem każdego okresu kapitalizacji. Podać plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu? a) P = 4 000 zł, r = 36 %, L = 4, kapitalizacja kwartalna, b) P = 10 000 zł, r = 28 %, L = 5, kapitalizacja półroczna, c) P = 6 000 zł, r = 24 %, L = 2, kapitalizacja miesięczna. 8.10.4. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten należy spłacić ratami o stałej części kapitałowej, płatnymi w podokresach roku wg aktualnego stanu długu. Podać plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu? a) P = 2 000 zł, r = 36 %, raty płatne przez 4 lata co kwartał, b) P = 10 000 zł, r = 28 %, raty płatne przez 10 lat co pół roku, c) P = 13 000 zł, r = 25,5 %, raty płatne co miesiąc przez 35 miesięcy. 8.10.5. Rozwiązać zadanie 8.10.4. dla przypadku, gdy odsetki doliczane są w podokresach w równych częściach wg stanu długu na początku roku. 8.10.6. Rozwiązać zadanie 8.10.4. dla przypadku, gdy odsetki obliczane są w podokresach w równych częściach wg aktualnego stanu długu, a doliczane są raz, na koniec roku. 8.10.7. Rozwiązać zadanie 8.10.4. dla przypadku, gdy odsetki obliczane są w podokresach w równych częściach wg aktualnego stanu długu oraz uśrednione w całym okresie spłat. 8.10.8. Rozwiązać zadanie 8.10.4. dla przypadku, gdy odsetki obliczane są w podokresach w równych częściach wg aktualnego stanu długu oraz uśrednione w okresach kapitalizacji odsetek. 8.10.9. Rozwiązać zadanie 8.10.4. dla przypadku, gdy po roku stopa procentowa uległa obniżeniu o 2 punkty procentowe. 8.10.10. Kredyt o wysokości P ma być spłacany równymi częściami długu w ciągu 10 lat. Roczna stopa procentowa wynosi r. Wyznacz wysokość pierwszej i drugiej raty w szóstym roku spłacania kredytu, jeśli odsetki będą doliczane (i) wg aktualnego stanu długu, (ii) wg stanu długu na początku okresu kapitalizacji, (iii) wg aktualnego stanu długu raz na okres kapitalizacji. a) P = 40 000 zł, r = 12 %, kapitalizacja kwartalna, b) P = 50 000 zł, r = 10 %, kapitalizacja półroczna, c) P = 60 000 zł, r = 6 %, kapitalizacja miesięczna.


9. ROZLICZANIE POŻYCZEK - RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH

Oznaczenia:

P zaciągnięty dług (wysokość kredytu) Pk saldo po k-tej racie (dług do spłacenia po zapłaceniu k rat) Rk wysokość k-tej raty Tk część kapitałowa (kredytowa), uwzględniona w racie Rk

Z k odsetki zawarte w racie Rk

Z suma wszystkich odsetek (koszt kredytu) N liczba okresów kapitalizacji n bieżący numer okresu kapitalizacji k bieżący numer raty m liczba rat w okresie kapitalizacji; całkowita liczba rat = mN r nominalna roczna stopa procentowa i stopa procentowa na okres kapitalizacji

( )[ ] 111S −+= NiN i

i|wartość przyszła wpłat jednostkowych

( )[ NiN i

i−+−= 111a | ] czynnik umorzeniowy

9.1. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH -

SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI ZNANE : P , N - liczba okresów kapitalizacji (i rat), i.


dla spłat „z dołu” dla spłat „z góry” opis wzoru

iNk

PRR|a

=≡ iN

k iPRR

|)a+(1=≡ wysokość k-tej

raty

iNRP |a= iNiRP |)( a1 += dług wyrażony poprzez ratę

ikNk RP |−= a ikNk iRP |)( −+= a1 saldo po zapła-ceniu k-tej raty

75


)()( 11 +−−+= kNk iRT )()( kN

k iRT −−+= 1 część kapitałowa raty Rk

]11[ 1)()( +−−+−= kNk iRZ ])()( kN

k iRZ −−+−= 11[ odsetki zawarte w racie Rk

][ |iNNRZ a−= ]a1[ iNiNRZ |)( +−= koszt kredytu

9.2. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH

PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU

Dane :

P kredyt, N liczba okresów kapitalizacji, m liczba podokresów okresu kapitalizacji i jednocześnie liczba rat

w okresie kapitalizacji, mN całkowita liczba rat, i stopa procentowa na okres kapitalizacji, k bieżący numer raty, k = 1,2,...,mN, n bieżący numer okresu kapitalizacji, n = 1,2,..., N. Raty i elementy planu spłaty długu numerowane są bieżącym numerem n okresu kapitalizacji, gdy odniesione są do tych okresów (gdy potraktowane są jako całość należności spłaconych w danym okresie kapitalizacji), zaś gdy odniesione są do podokresów (okresów płacenia rat), to numerowane są ułamkiem k/m. Na podstawie ułamka k/m oblicza się numer n okresu kapitalizacji z nierówności:

n 1 km

n− < ≤



dla spłat „z dołu”: dla spłat „z góry”:

iN

mki

PRR

|

/][ a1)(m

21m −+

==

iN

mki

PRR

|

/1)]a+(m

21[m +

==

wysokość stałej raty R płaconej w każdym podokresie

76

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podane niżej w tabeli wielkości odniesione są do numerów okresów kapitalizacji. Wielkości z gwiazdką opisują kwoty kapitalizowane na koniec okresu kapitalizacji lub sumę takich kwot (są to , , Rn

* Z n* Z * )

1)(m2a

−−=iRPRR

iNn

|

=m 1)(m2a

+−=iRPRR

iNn

|

=m

suma m rat zapłaconych w n-tym okresie kapitalizacji

R Pn* =

a N |i

kapitalizowana na koniec n-tego okresu suma m zapłaconych rat

inNninNiN

n RPP |*

||

−− == aaa

saldo na koniec n-tego okresu kapitalizacji

T R Z R Z P i R in n n n n nN n

nN n= − = − = + = +− + − − + −* * *, . ( ) ( ) Ttzn

aN|i

1 11 1

łącznie zapłacone w n-tym okresie kapitalizacji raty kapitałowe

Z P i Rn n= − −−1i2

(m 1) Z P i Rn n= − +−1i2

(m 1)

kwota odsetek zapłaconych w n-tym okresie kapitalizacji Z Pn n

* = −1 i odsetki od salda P (tu nie odjęto odsetek od zapłaconych rat) n−1

]][

[

|

1a1)(m

21m

−−+

=

iNiPZ mN

Z P

N i

=+ +

−[[ ]

]

|

mN

m 12

(m 1) ai1

suma odsetek zapłaconych rzeczywiściew podokresach

Z P* = −[ Na

N|i

1]

suma odsetek kapitalizowanych na koniec każdego okresu

Wielkości odniesione do numerów okresów spłat rat dla spłat „z dołu” (rata Rk m/ R= jest podana wyżej):

77


P P ik m n/ [ ]= + − + − − +−1 1 ( km

n 1) ( km

n 1) [m+2

(k -(n-1)m-1)]R i

saldo po k-tej racie

T R P ik / m m

(k 1 (n 1)m) n 1 m= + − − − − −[ ]1 i

część kapitałowa k-tej raty R

Z R T P i R ik m k m n/ / ( )= − = − − − −−1 m m

k 1 (n 1)m

wielkość odsetek płaconych w k-tej racie R

Wielkości odniesione do numerów okresów spłat rat dla spłat „z góry” (rata Rk m/ R= jest podana wyżej):

P P ik m n/ [ ]= + − + − − +−1 1 ( km

n 1) ( km

n 1) [m+2

(k - (n -1)m+1)]R i


T R P ik m n/ [ ]= + − − − −1 1

im

(k (n 1)m)m


Z R T P i R ik m k m n/ / ( )= − = − − −−1 m m

k (n 1)m


9.3. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W

PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU

NA POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI

Dane :

78

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej P kredyt, N liczba okresów kapitalizacji, m liczba podokresów okresu kapitalizacji i jednocześnie liczba rat

w okresie kapitalizacji; mN całkowita liczba rat. i stopa procentowa na okres kapitalizacji, k bieżący numer raty, k = 1,2,...,mN, n bieżący numer okresu kapitalizacji, n = 1,2,..., N.

Raty i elementy planu spłaty długu numerowane są jak w części 9.2. Numer n okresu kapitalizacji oblicza się na podstawie ułamka k/m z nierówności:

n 1 km

n− < ≤


Ponieważ odsetki doliczane są w podokresach w równych częściach w zależności od salda na koniec poprzedniego okresu kapitalizacji, więc nie zależą od tego, czy raty płacone są „z góry” czy „z dołu”. Rozpatrzymy więc tylko raty płacone „z dołu”. Podane niżej w tabeli wielkości poza wysokością stałej raty R odniesione są do numerów okresów kapitalizacji.


R R Pk m

N i/

|

= =m a

wysokość stałej raty R płaconej w każdym podokresie

R Pn =

a N |i

suma m rat R płaconych w okresie kapitalizacji

P P RnN i

N n i n N n i= =− −aa a

|| |

saldo na koniec n-tego okresu kapitalizacji

T R in nN n= + − + −( )1 1

sumaryczna rata kapitałowa zapłacona w n-tym okresie kapitalizacji

79


Z P i Pi R in nN i

N n i n N n i= = =− − − − −1 1 1aa a

|( )| ( )|

suma odsetek w n-tym okresie kapitalizacji

Z P= −[ Na N |i

1 ]

suma kontrolna zapłaconych odsetek (koszt kredytu)

Wielkości odniesione do numerów okresów spłat rat (rata Rk m/ R= jest podana wyżej):

P P ik m n/ [ ]= + − − − − −−1 1

m(k m(n 1)) k m(n 1)[ ]R


T R P ik m n/ = − −1 m


Z R T P ik m k m n/ /= − = −1 m


9.4. RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W

PODOKRESACH Dane : P kredyt, N liczba rat, tzn. k = 1,2,...,N, m liczba okresów kapitalizacji odsetek, stanowiących podokresy

okresu płacenia rat; i stopa procentowa na okres kapitalizacji.

80


i ieff

m= + −( )1 1m

oprocentowanie efektywne na okres płacenia rat

Dalej posługujemy się wzorami z części 9.1, zamieniając w nich i na . ieff


dla spłat „z dołu” dla spłat „z góry”

R R Pk

N ieff

≡ =a |

R R Pk

N eff

≡ =(1+ )aieff i|

wysokość k-tej raty P R N ieff

= a | P R ieff N ieff= +( ) |1 a

dług wyrażony poprzez ratę P Rk N k ieff

=−

a |

P R ik eff N k ieff= + −( ) |1 a

saldo po zapłaceniu k-tej raty

T R ik effN k= + − − +( ) ( )1 1

T R ik effN k= + − −( ) ( )1

część kapitałowa raty Rk

Z R ik effN k= − + − − +[ ( ) ]( )1 1 1

Z R ik effN k= − + − −[ ( ) ]( )1 1

odsetki zawarte w racie Rk

Z R N N ieff= −[ ]|a Z R N ieff N ieff

= − +[ ( ) |1 a ]

koszt kredytu

9.5. PRZYKŁADY

9.5.1. Kredyt o wysokości 100 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L = 20 lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r = 18%.

Rozwiązanie:Dane:

81


• P=100 000 zł • stałe raty „z dołu” miesięczne • kapitalizacja miesięczna • L=20 lat • N=240 okresów kapitalizacji • r=18% tzn. r = 0,18 • i=1,5% tzn. i = 0,015

Szukane • R=? • Z=?

Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.1.

311543a100000

0150240

,,

==≡ RRk zł, zł )(,, kkT −−⋅= 24101513115231543

015024001502400150240

a3115231543aa100000

,|,|,

, kkkP −− ⋅== zł

],[, )( kkZ −−−⋅= 241015113115231543 zł

Z = − =100000 240 270394 49240 0 015

240 0 015aa

,,[ ] , zł

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 9.1 DLA SPŁAT „Z DOŁU” Rata 1−kP kT kZ kR kP

1 100 000,00 43,31 1 500,00 1 543,31 99 956,592 99 956,59 43,96 1 499,35 1 543,31 99 912,63

... ... ... ... ... ... 118 86 404,24 247,25 1 296,06 1 543,31 86 156,99119 86 156,99 250,96 1 292,35 1 543,31 85 906,04120 85 906,04 254,72 1 288,59 1 543,31 85 651,32121 85 651,32 258,54 1 284,77 1 543,31 85 392,78... ... ... ... ... ... 179 62 011,44 613,14 930,17 1 543,31 61 398,30180 61 398,30 622,34 920,97 1 543,31 60 775,96181 60 775,96 631,67 911,64 1 543,31 60 144,29

82


... ... ... ... ... ... 227 19 358,33 1 252,94 290,37 1 543,31 18 105,39228 18 105,39 1 271,73 271,58 1 543,31 16 833,66229 16 833,66 1 290,81 252,50 1 543,31 15 542,86230 15 542,86 1 310,17 233,14 1 543,31 14 232,69231 14 232,69 1 329,82 213,49 1 543,31 12 902,87232 12 902,87 1 349,77 193,54 1 543,31 11 553,10233 11 553,10 1 370,01 173,30 1 543,31 10 183,09234 10 183,09 1 390,56 152,75 1 543,31 8 792,53235 8 792,53 1 411,42 131,89 1 543,31 7 381,10236 7 381,10 1 432,59 110,72 1 543,31 5 948,51237 5 948,51 1 454,08 89,23 1 543,31 4 494,43238 4 494,43 1 475,89 67,42 1 543,31 3 018,53239 3 018,53 1 498,03 45,28 1 543,31 1 520,50240 1 520,50 1 520,50 22,81 1 543,31 0,00

99 999,91 270 394,49 Kredyt Koszt kredytu

Jak wynika z planu spłaty długu, pierwsza rata powinna zostać zwiększona o 9 groszy, gdyż suma części kapitałowych nie daje całej wysokości kredytu. Zatem powinno być zł. R1 1543 40= ,

9.5.2. Kredyt o wysokości 100 000,00 zł jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi 30 lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest 12%.

Rozwiązanie:Dane:

• P=100 000 zł • stałe raty „z dołu” miesięczne • kapitalizacja miesięczna • L=30 lat • N=360 okresów kapitalizacji • r=12% tzn. r = 0,12 • i=1% tzn. i = 0,01

Szukane • R=?

83


• Z=? Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.1. Wysokość raty:

R Rk ≡ = =100000 1028 61

360 0 01a ,

, zł

Koszt kredytu:

Z = − =100000 360 270300 53

360 0 01360 0 01a

a,

,[ ] , zł

Odpowiedź: Wysokość raty wynosi 1028,61 zł , a koszt kredytu 270 300,53 zł.

9.5.3. Kredyt o wysokości 100 000 zł należy spłacić równymi ratami w ciągu 10 lat przy rocznej stopie procentowej 12%. Wyznaczyć wysokość rat i koszt kredytu dla 1. rat płaconych co rok „z dołu”; 2. rat płaconych co kwartał przy rocznej kapitalizacji odsetek, w

podokresach odsetki liczone wg aktualnego stanu długu, „z dołu”; 3. rat płaconych co kwartał przy rocznej kapitalizacji odsetek, w

podokresach odsetki doliczane w równych częściach wg stanu długu na początku roku;

4. raty płacone co roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek. Rozwiązanie:

Dane: • P=100 000 zł • stałe raty „z dołu” roczne (warianty 1 i 4) , kwartalne (warianty 2 i 3) • kapitalizacja roczna (warianty 1,2,3), kwartalna (wariant 4) • L=10 lat • N=10 okresów kapitalizacji (warianty 1,2,3), • N=40 okresów kapitalizacji (wariant 4) • m=1 (warianty 1 i 4), m=4 (warianty 2 i 3) • r=12% tzn. r = 0,12 • i=12% tzn. i = 0,12 (warianty 1,2,3) oraz r = = 0,1255088

(wariant 4) reff

Szukane • R=? • Z=?

Wariant 1:Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.1.

84


Wysokość raty: R Rk ≡ = =10000 1769 84

10 0 12a ,

, zł

Koszt kredytu: Z = − =10000 10 7698 42

10 0 1210 0 12a

a,

,[ ] , zł

Wariant 2:Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.2.

Wysokość raty: R =+ −

=10000 423 41

10 0 12[ ],

| ,4 12

0,12(4 1) a zł

Koszt kredytu: Z =⋅

+ −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=10000 1 6936 28

10 0 12

4 10

[ ],

| ,4 12

0,12(4 1) azł

Jak łatwo zauważyć, różnica kosztu kredytu z wariantu 1 i wariantu 2, wynosząca 762,14 zł, po podzieleniu przez 10 jest równa 76,21, tzn. jest równa

(rata z wariantu 1 - cztery razy rata z wariantu 2). 1769 84 4 423 41, − ⋅ ,Wariant 3:Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.3.

Wysokość raty: R = =10000 442 46

10 0 124a ,

, zł

Koszt kredytu jest identyczny jak w wariancie 1 i wynosi 7698,42 zł.Jak łatwo zauważyć, pomnożona przez 4 rata z wariantu 3 jest równa racie z wariantu 1. Różnica pomiędzy ratą z wariantu 3 i z wariantu 2 wynosi 16,05 zł (jest to wyliczona wyżej kwota 76,21 zł podzielona przez 4). Wariant 4: Korzystamy ze wzorów podanych dla spłat „z dołu” w cz.9.4. Jak już przedstawiono w danych, = 0,1255088. Stąd wysokość raty: reff

R Rk ≡ = =10000 1809 93

10 0 1255088a ,

, zł

Koszt kredytu: Z = − =10000 10 8099 36

10 0 125508810 0 1255088a

a,

,[ ] , zł

Zarówno rata jak i koszt kredytu są wyższe niż w wariancie 1, co wynika z kwartalnej kapitalizacji odsetek.

9.6. Zadania

85


9.6.1. Kredyt o wysokości 100 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r. a) L = 30 lat, r = 18%; b) L = 25 lat, r = 18%; c) L = 20 lat, r = 15%; d) L = 30 lat, r = 9%; e) L = 25 lat, r = 12%; f) L = 20 lat, r = 12%; g) L = 30 lat, r = 6%; h) L = 25 lat, r = 6%; i) L = 20 lat, r = 6%.

9.6.2. Jaką kwotę będą musieli spłacić żyranci pożyczkobiorcy z zad. 9.6.1., jeśli umrze on po a) 10 latach, b) 15 latach, c) 19 latach?

9.6.3. Oblicz koszt kredytu oraz wysokość raty pożyczkobiorcy z zad. 9.6.1., jeśli ma ona być wpłacana na początku każdego miesiąca przez L lat przy stopie r i miesięcznej kapitalizacji odsetek, gdy: I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%. Jakie będzie saldo a) po 3 latach? b) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.4. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.1. wpłaconej a) na końcu trzeciego roku spłat? b) na 36 rat przed spłaceniem kredytu? c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.5. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.3. wpłaconej a) w ostatnim miesiącu trzeciego roku spłat? b) na 36 rat przed spłaceniem kredytu? c) na 3 raty przed spłaceniem kredytu?

9.6.6. Dla kredytu o wysokości 100 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty miesięcznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest roczna, a odsetki obliczane są według aktualnego stanu długu. I) L = 30 lat, r = 18%; II) L = 25 lat, r = 18%; III) L = 20 lat, r = 18%; IV) L = 30 lat, r = 12%; V) L = 25 lat, r = 12%; VI) L = 20 lat, r = 12%; Jakie będzie saldo a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) na początku szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki? c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.7. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.6. wpłaconej

86

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) na końcu szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki? c) na 3 raty przed spłaceniem kredytu?

9.6.8. Oblicz koszt kredytu oraz wysokość raty pożyczkobiorcy, który zadłużył się na 100 000 zł, jeśli ma ona być wpłacana na początku każdego kwartału przez L lat przy stopie r i rocznej kapitalizacji odsetek, gdy: I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%. Jakie będzie saldo a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) na początku trzeciego kwartału piątego roku spłacania pożyczki? c) na 3 kwartały przed spłaceniem kredytu?

9.6.9. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.6. wpłaconej a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) na początku drugiego półrocza piątego roku spłacania pożyczki? c) na 3 kwartały przed spłaceniem kredytu?

9.6.10. Dla kredytu o wysokości 100 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty miesięcznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest roczna, a odsetki doliczane są w podokresach w równych częściach według stanu długu na początku roku. I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%; Jakie będzie saldo a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) na początku szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki? c) na 3 miesiące przed spłaceniem kredytu?

9.6.11. Jakie są części kapitałowa i odsetkowa raty z zadania 9.6.10. wpłaconej a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) na końcu szóstego miesiąca piątego roku spłacania pożyczki? c) na 3 raty przed spłaceniem kredytu?

9.6.12. Dla kredytu o wysokości 100 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty półrocznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest miesięczna. I) L = 30 lat, r = 6%; II) L = 25 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%; Jakie będzie saldo a) na 3 lata przed spłaceniem kredytu? b) w drugim półroczu piątego roku spłacania pożyczki? c) w pierwszym półroczu ostatniego roku przed spłaceniem kredytu?

87

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 9.6.13. Dla kredytu o wysokości 50 000 zł wyznacz koszt kredytu i wysokość raty półrocznej, płaconej z dołu w przypadku, gdy kapitalizacja odsetek jest kwartalna.. I) L = 10 lat, r = 9%; II) L = 15 lat, r = 12%; III) L = 20 lat, r = 18%; Jakie będzie saldo a) na 2 lata przed spłaceniem kredytu? b) w drugim półroczu piątego roku spłacania pożyczki? c) w pierwszym półroczu ostatniego roku przed spłaceniem kredytu?

9.7. Rozwiązania zadań 9.6.1. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z dołu”. Ponieważ przy wyznaczaniu wysokości stałej raty popełniony jest błąd zaokrąglenia wyniku do 1 grosza, więc po przemnożeniu wyznaczonej stałej raty przez ilość rat z reguły otrzymuje się kwotę różniącą się nieznacznie od kwoty kredytu. Różnicę tę dodaje się zazwyczaj do pierwszej raty - stąd zaznaczona kolumna, dotycząca raty . Koszt kredytu obliczony jest także z dokładnością do 1 grosza. Jednocześnie w tabeli podano wysokość salda po latach, wymienionych w zadaniu 9.6.2, co odpowiada kwocie, jaką będą musieli spłacić żyranci. W tabeli podano niektóre wartości pośrednie. Ponieważ wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł, więc jej osobno w tabeli nie zaznaczano. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

R1

N r i aN i| R Z N R P⋅ − R1

ppkt: rat % % zł zł zł zł a) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 442550,73 442552,40 1505,42b) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 355228,98 355229,00 1517,41c) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 216029,50 216029,60 1316,69d) 360 9 0,75 124,281866 804,62 189664,14 189663,20 805,56e) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 215967,24 215966,00 1054,46f) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 164260,67 164261,60 1100,16g) 360 6 0,50 166,791614 599,55 115838,19 115838,00 599,74h) 300 6 0,50 155,206864 644,30 93290,42 93290,00 644,72i) 240 6 0,50 139,580772 716,43 71943,45 71943,20 716,68

9.6.2. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z dołu”. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. 9.6.1

. 9.6.2 N r i po k aN k i− | Pk - do spłacenia

ppkt: ppkt: rat % % latach przez żyrantów (zł)

88


a) a) 360 18 1,50 10 120 64,795732 97653,00 a) b) 360 18 1,50 15 180 62,095562 93583,60 a) c) 360 18 1,50 19 228 57,325714 86395,01 b) a) 300 18 1,50 10 120 62,095562 94225,67 b) b) 300 18 1,50 15 180 55,498454 84215,02 b) c) 300 18 1,50 19 228 43,844667 66531,21 c) a) 240 15 1,25 10 120 61,982847 81618,39 c) b) 240 15 1,25 15 180 42,034592 55350,73 c) c) 240 15 1,25 19 228 11,079312 14589,13 d) a) 360 9 0,75 10 120 111,144954 89429,45 d) b) 360 9 0,75 15 180 98,593409 79330,23 d) c) 360 9 0,75 19 228 83,606420 67271,40 e) a) 300 12 1,00 10 120 83,321664 87756,04 e) b) 300 12 1,00 15 180 69,700522 73409,98 e) c) 300 12 1,00 19 228 51,150391 53872,62 f) a) 240 12 1,00 10 120 69,700522 76746,55 f) b) 240 12 1,00 15 180 44,955038 49499,54 f) c) 240 12 1,00 19 228 11,255077 12392,85 g) a) 360 6 0,50 10 120 139,580772 83685,65 g) b) 360 6 0,50 15 180 118,503515 71048,78 g) c) 360 6 0,50 19 228 96,459599 57832,35 h) a) 300 6 0,50 10 120 118,503515 76351,81 h) b) 300 6 0,50 15 180 90,073453 58034,33 h) c) 300 6 0,50 19 228 60,339514 38876,75 i) a) 240 6 0,50 10 120 90,073453 64531,32 i) b) 240 6 0,50 15 180 51,725561 37057,74 i) c) 240 6 0,50 19 228 11,618932 8324,15

9.6.3. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z góry”. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Dla orientacji podano osobno wartości czynnika umorzeniowego dla przypadku salda po 3 latach:

Ia IIa IIIa aN i| 166,791614 94,946551 64,795732

N r i R Z R1 k aN k i− | Pk

89

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej ppkty rat % % zł zł zł zł

Ia 360 6 0,5 596,57 114764,37 595,74 36 160,260172 96084,44Ib 360 6 0,5 596,57 114764,37 595,74 324 32,871016 19707,91Ic 360 6 0,5 596,57 114764,37 595,74 357 2,970248 1780,82IIa 300 12 1,0 1042,80 212838,85 1041,65 36 92,769683 97707,63IIb 300 12 1,0 1042,80 212838,85 1041,65 264 30,107505 31710,07IIc 300 12 1,0 1042,80 212838,85 1041,65 297 2,940985 3097,53IIIa 240 18 1,5 1520,50 264920,95 1521,45 36 63,468978 97952,15IIIb 240 18 1,5 1520,50 264920,95 1521,45 204 27,660684 42688,94IIIc 240 18 1,5 1520,50 264920,95 1521,45 237 2,912200 4494,42

9.6.4. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. 9.6.1 9.6.4 N r i aN i| R k Tk Z k

ppkt: ppkt: rat % % zł zł zł a) a) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 36 11,93 1495,16a) b) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 324 868,75 638,34a) c) 360 18 1,50 66,353242 1507,09 357 1419,96 87,13b) a) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 36 29,35 1488,08b) b) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 264 874,71 642,72b) c) 300 18 1,50 65,900901 1517,43 297 1429,70 87,73c) a) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 36 103,17 1213,62c) b) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 204 831,57 485,22c) c) 240 15 1,25 75,942278 1316,79 237 1252,96 63,83d) a) 360 9 0,75 124,281866 804,62 36 70,95 733,67d) b) 360 9 0,75 124,281866 804,62 324 610,27 194,35d) c) 360 9 0,75 124,281866 804,62 357 780,93 23,69e) a) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 36 75,40 977,82e) b) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 264 728,83 324,39e) c) 300 12 1,00 94,946551 1053,22 297 1012,12 41,10f) a) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 36 143,20 957,89f) b) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 204 761,96 339,13f) c) 240 12 1,00 90,819416 1101,09 237 1058,13 42,96g) a) 360 6 0,50 166,791614 599,55 36 118,54 481,01g) b) 360 6 0,50 166,791614 599,55 324 498,52 101,03

90


g) c) 360 6 0,50 166,791614 599,55 357 587,71 11,84h) a) 300 6 0,50 155,206864 644,30 36 171,82 472,48h) b) 300 6 0,50 155,206864 644,30 264 535,73 108,57h) c) 300 6 0,50 155,206864 644,30 297 631,57 12,73i) a) 240 6 0,50 139,580772 716,43 36 257,71 458,72i) b) 240 6 0,50 139,580772 716,43 204 595,70 120,73i) c) 240 6 0,50 139,580772 716,43 237 702,28 14,15

9.6.5. Stosujemy wzory z cz. 9.1. dla spłat „z góry”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. 9.6.3

. 9.6.5 N r i aN i| R k Tk Z k

ppkt: ppkt rat % % zł zł zł I a) 360 6 0,50 166,791614 596,57 36 118,54 478,03I b) 360 6 0,50 166,791614 596,57 324 498,52 98,05I c) 360 6 0,50 166,791614 596,57 357 587,71 8,86II a) 300 12 1,00 94,946551 1042,80 36 75,40 967,40II b) 300 12 1,00 94,946551 1042,80 264 728,84 313,96II c) 300 12 1,00 94,946551 1042,80 297 1012,13 30,67III a) 240 18 1,50 64,795732 1520,50 36 72,93 1447,57III b) 240 18 1,50 64,795732 1520,50 204 889,63 630,87III c) 240 18 1,50 64,795732 1520,50 237 1454,08 66,42

9.6.6. Stosujemy wzory z cz. 9.2. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Liczba okresów kapitalizacji jest tu równa liczbie lat L, zaś m=12. Jeśli przez N oznaczymy liczbę rat, to N = 12L. W tabeli 1 przedstawiono wysokość miesięcznej raty, koszt kredytu, koszt wraz z odsetkami od rat, różnicę obu kosztów oraz wielkość pierwszej raty (obliczonej z uwzględnieniem popełnionego błędu zaokrągleń przy obliczaniu wysokości raty miesięcznej). W tabeli 2 przedstawiono salda z podpunktów a) b) i c). Ponieważ saldo na 3 lata przed spłaceniem kredytu jest obliczane na podstawie wzorów zawierających numer okresu kapitalizacji, a pozostałe salda wymagają znajomości sald z początku okresu kapitalizacji i obliczane są ze wzorów, zawierających numer raty, w którym są obliczane, w tabeli 2 przedstawiono także odpowiednie wyniki pośrednie. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Tabela 1.

12L r=i R Z Z* Z Z*− N R P⋅ − R1 rat % zł zł zł zł zł zł

91


I 360 18 1395,41 402349,11 443792,92 41443,80 402347,60 1396,92II 300 18 1408,15 322445,33 357297,07 34851,74 322445,00 1408,48III 240 18 1438,18 245163,94 273639,96 28476,02 245163,20 1438,92IV 360 12 980,60 253015,14 272430,97 19415,83 253016,00 979,74V 300 12 1007,11 202132,63 218749,92 16617,29 202133,00 1006,74VI 240 12 1057,49 153798,64 167757,56 13958,92 153797,60 1058,53

W tabeli 2 k oznacza numer raty, n - nr okresu kapitalizacji, którego dotyczy obliczane saldo. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Zauważmy, że saldo

, obliczane dla podpunktu b), jest na dla kredytów I, II i III ogół wyższe niż saldo , chociaż dotyczy okresu spłaty rat o numerze wyższym niż Pk

Pn−1 ( )n − ⋅1 12 . Wynika to z logiki spłacania rat: do każdej kolejnej raty dodają się odsetki od poprzednich rat zapłaconych w rozpatrywanym okresie kapitalizacji. Przy wysokiej stopie procentowej może się okazać, że pierwsze raty po zakończeniu kolejnego okresu kapitalizacji mają część kapitałową ujemną, a dopiero w dalszych udział odsetek od wcześniejszych rat podwyższa (i to znacznie) część kapitałową raty. Zjawisko to zilustrowano tabelami 3 i 4, w których przedstawiono skrócony plan spłaty kredytu dla podpunktów III i VI. Tabela 2. 9.6.6. 12L r k n-1 aN n i− −( )|1 aN n i− )| Pn−1 Pn Pk

ppkty: rat % nr ok zł zł zł I a) 360 18 324 26 2,690062 2,174273 48761,22 39411,81 39411,81I b) 360 18 53 4 5,480429 5,466906 99340,61 99095,49 99604,77I c) 360 18 357 29 0,847458 0,000000 15361,38 0,00 4122,92II a) 300 18 264 21 2,690062 2,174273 49206,29 39771,55 39771,55II b) 300 18 53 4 5,383683 5,352746 98477,71 97911,81 98611,56II c) 300 18 297 24 0,847458 0,000000 15501,60 0,00 4160,55III a) 240 18 204 16 2,690062 2,174273 50255,73 40619,76 40619,76III b) 240 18 53 4 5,162354 5,091578 96443,09 95120,84 96269,67III c) 240 18 237 19 0,847458 0,000000 15832,20 0,00 4249,28IV a) 360 12 324 26 3,037349 2,401831 37706,77 29817,21 29817,21IV b) 360 12 53 4 7,895660 7,843139 98019,61 97367,60 97919,54IV c) 360 12 357 29 0,892857 0,000000 11084,26 0,00 2903,44V a) 300 12 264 21 3,037349 2,401831 38726,19 30623,34 30623,34V b) 300 12 53 4 7,562003 7,469444 96415,52 95235,38 96100,04V c) 300 12 297 24 0,892857 0,000000 11383,93 0,00 2981,94VI a) 240 12 204 16 3,037349 2,401831 40663,66 32155,42 32155,42

92

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej VI b) 240 12 53 4 6,973986 6,810864 93366,88 91183,02 92642,00VI c) 240 12 237 19 0,892857 0,000000 11953,46 0,00 3131,13

Plan spłaty kredytu dla podpunktu III. Stopa procentowa w tym przypadku wynosi 18%, co spowodowało powstanie ujemnych rat kapitałowych w pierwszych miesiącach pierwszych lat spłacania kredytu. Wynikło to stąd, że w pierwszych latach wysokość raty była mniejsza od miesięcznych odsetek od salda i dlatego dopiero po kilku miesiącach danego okresu kapitalizacji rata wraz z odsetkami liczonymi w podokresach od rat zapłaconych wcześniej w tym okresie kapitalizacji „doganiała” , a następnie „przeganiała” odsetki od salda z początku okresu kapitalizacji. . Suma rat kapitałowych zamknęła się kwotą 99999,99 zł, co oznacza, że pierwsza rata kapitałowa powinna zostać zwiększona o 1 grosz. Z tabeli 1 wiadomo, że wysokość pierwszej raty R też powinna zostać zmodyfikowana do wysokości 1438,92 zł. W prezentowanym planie spłaty dokonano tych modyfikacji, ale przede wszystkim skupiono się na „efekcie ujemnych rat kapitałowych”. Tabela 3.

Nr R R* n-1 Pn−1 Pn Tk Z k Pk raty zł zł zł zł zł zł zł 1 1438,92 18682,00 0 100000 99318,01 -61,81 1500,00 100061,822 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 -40,24 1478,42 100102,063 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 -18,67 1456,85 100120,734 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 2,90 1435,28 100117,835 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 24,47 1413,71 100093,366 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 46,05 1392,13 100047,317 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 67,62 1370,56 99979,698 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 89,19 1348,99 99890,509 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 110,76 1327,42 99779,71

10 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 132,34 1305,84 99647,3711 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 153,91 1284,27 99493,4612 1438,18 18682,00 0 100000 99318,01 175,48 1262,70 99318,0113 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 -51,59 1489,77 99369,6014 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 -30,01 1468,19 99399,6215 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 -8,44 1446,62 99408,0616 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 13,13 1425,05 99394,9417 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 34,70 1403,48 99360,2418 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 56,28 1381,90 99303,9619 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 77,85 1360,33 99226,12

93


20 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 99,42 1338,76 99126,7021 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 120,99 1317,19 99005,7122 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 142,57 1295,61 98863,1423 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 164,14 1274,04 98699,0124 1438,18 18682,00 1 99318,01 98513,25 185,71 1252,47 98513,2525 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 -39,52 1477,70 98552,7726 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 -17,94 1456,12 98570,7227 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 3,63 1434,55 98567,0928 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 25,20 1412,98 98541,8929 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 46,78 1391,40 98495,1230 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 68,35 1369,83 98426,7831 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 89,92 1348,26 98336,8632 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 111,49 1326,69 98225,3733 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 133,07 1305,11 98092,3134 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 154,64 1283,54 97937,6735 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 176,21 1261,97 97761,4636 1438,18 18682,00 2 98513,25 97563,64 197,78 1240,40 97563,6437 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 -25,27 1463,45 97588,9138 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 -3,70 1441,88 97592,6239 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 17,87 1420,31 97574,7540 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 39,45 1398,73 97535,3041 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 61,02 1377,16 97474,2942 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 82,59 1355,59 97391,7043 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 104,16 1334,02 97287,5444 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 125,74 1312,44 97161,8045 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 147,31 1290,87 97014,4946 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 168,88 1269,30 96845,6147 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 190,46 1247,72 96655,1648 1438,18 18682,00 3 97563,64 96443,09 212,03 1226,15 96443,0949 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 -8,46 1446,64 96451,5650 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 13,11 1425,07 96438,4651 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 34,68 1403,50 96403,78... ... ... ... ... ... ... ... ...60 1438,18 18682,00 4 96443,09 95120,85 228,84 1209,34 95120,8561 1438,18 18682,00 5 95120,85 93560,61 11,37 1426,81 95109,48... ... ... ... ... ... ... ... ...

94


72 1438,18 18682,00 5 95120,85 93560,61 248,67 1189,51 93560,6173 1438,18 18682,00 6 93560,61 91719,51 34,77 1403,41 93525,83... ... ... ... ... ... ... ... ...

228 1438,18 18682,00 18 29249,32 15832,20 1236,74 201,44 15832,20229 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1200,70 237,48 14631,51230 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1222,27 215,91 13409,24231 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1243,85 194,33 12165,39232 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1265,42 172,76 10899,98... ... ... ... ... ... ... ... ...

237 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1373,28 64,90 4249,31238 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1394,85 43,33 2854,46239 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1416,43 21,75 1438,04240 1438,18 18682,00 19 15832,20 0,00 1438,00 0,18 0,00

Suma: 100000 245163,21

Plan spłaty kredytu dla podpunktu VI. Stopa procentowa w tym przypadku wynosi tylko 12 %, przez co nie doszło do ujemnych rat kapitałowych w pierwszych ratach po zakończeniu kolejnego okresu kapitalizacji, ale zjawisko narastania rat kapitałowych w okresie kapitalizacji jest tu dobrze widoczne. Raty o numerach nieco większych od 12(n-1) mają część kapitałową mniejszą niż raty o numerach bliskich 12n. Suma rat kapitałowych zamknęła się kwotą 99999,88 zł, co oznacza, że pierwsza rata kapitałowa powinna zostać zwiększona o 12 groszy. Z tabeli 1 wiadomo, że wysokość pierwszej raty R też powinna zostać zmodyfikowana do wysokości 1058,53 zł. Zmiany te zwykle wprowadza się tylko w odniesieniu do raty całkowitej. W tabeli zmodyfikowano tylko ratę R nie zmieniając raty T . Jest jednak dość oczywiste, że przy zmodyfikowanej pierwszej racie suma rat zawiera odsetki o sumie Z, wskazanej w tabeli 1, co oznacza, że został spłacony cały zaciągnięty kredyt, a 12 groszy różnicy pomiędzy sumą części kapitałowych a wysokością kredytu to wyłącznie błąd zaokrągleń.

k

Tabela 4. Nr R R* n-1 Pn−1 Pn Tk Z k Pk

raty zł zł zł zł zł zł zł 1 1058,53 13387,88 0 100000 98612,14 57,49 1000,00 99942,532 1057,49 13387,88 0 100000 98612,14 68,07 989,42 99874,46... ... ... ... ... ... ... ... ...12 1057,49 13387,88 0 100000 98612,14 173,82 883,67 98612,1913 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 71,37 986,12 98540,7714 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 81,95 975,54 98458,82

95


15 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 92,52 964,97 98366,3116 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 103,10 954,39 98263,2117 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 113,67 943,82 98149,5418 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 124,25 933,24 98025,3019 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 134,82 922,67 97890,4820 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 145,40 912,09 97745,0921 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 155,97 901,52 97589,1222 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 166,55 890,94 97422,5823 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 177,12 880,37 97245,4624 1057,49 13387,88 1 98612,14 97057,71 187,70 869,79 97057,7725 1057,49 13387,88 2 97057,71 95316,76 86,92 970,57 96970,8026 1057,49 13387,88 2 97057,71 95316,76 97,49 960,00 96873,31... ... ... ... ... ... ... ... ...36 1057,49 13387,88 2 97057,71 95316,76 203,24 854,25 95316,8237 1057,49 13387,88 3 95316,76 93366,89 104,33 953,16 95212,44... ... ... ... ... ... ... ... ...48 1057,49 13387,88 3 95316,76 93366,89 220,65 836,84 93366,9549 1057,49 13387,88 4 93366,89 91183,04 123,83 933,66 93243,07... ... ... ... ... ... ... ... ...

119 1057,49 13387,88 9 79493,20 75644,51 368,31 689,18 76023,45120 1057,49 13387,88 9 79493,20 75644,51 378,89 678,60 75644,56121 1057,49 13387,88 10 75644,51 71333,97 301,05 756,44 75343,46... ... ... ... ... ... ... ... ...

228 1057,49 13387,88 18 22626,20 11953,46 947,56 109,93 11953,52229 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 937,96 119,53 11015,51230 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 948,53 108,96 10066,98... ... ... ... ... ... ... ... ...

239 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 1043,71 13,78 1054,34240 1057,49 13387,88 19 11953,46 0,00 1054,28 3,21 0,06

Suma: 99999,88 153797,72

9.6.7. Stosujemy wzory z cz. 9.2. dla spłat „z dołu” z tabeli dotyczącej rat kapitałowych i odsetkowych w podokresach okresu kapitalizacji. Ponieważ do obliczenia raty kapitałowej w podokresie okresu kapitalizacji konieczna jest znajomość salda na początku okresu kapitalizacji , więc podano je w tabeli Pn−1

96

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej jako wynik pośredni, podobnie jak czynnik umorzeniowy aN n i− −( )|1 . Ponownie

liczba rat N równa jest 12L. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. 9.6.6

. 9.6.7 N r=i k n-1 aN n i− −( )|1

Pn−1 Tk Z k

ppkt: ppkt: rat % nr ok zł zł zł I a) 360 18 324 26 2,690062 48761,22 894,24 501,17I b) 360 18 54 4 5,480429 99340,61 9,96 1385,45I c) 360 18 357 29 0,847458 15361,38 1332,44 62,97II a) 300 18 264 21 2,690062 49206,29 902,40 505,75II b) 300 18 54 4 5,383683 98477,71 36,60 1371,55II c) 300 18 297 24 0,847458 15501,60 1344,61 63,54III a) 240 18 204 16 2,690062 50255,73 921,65 516,53III b) 240 18 54 4 5,162354 96443,09 99,40 1338,78III c) 240 18 237 19 0,847458 15832,20 1373,28 64,90IV a) 360 12 324 26 3,037349 37706,77 711,40 269,20IV b) 360 12 54 4 7,895660 98019,61 49,43 931,17IV c) 360 12 357 29 0,892857 11084,26 948,20 32,40V a) 300 12 264 21 3,037349 38726,19 730,63 276,48V b) 300 12 54 4 7,562003 96415,52 93,31 913,80V c) 300 12 297 24 0,892857 11383,93 973,84 33,27VI a) 240 12 204 16 3,037349 40663,66 767,18 290,31VI b) 240 12 54 4 6,973986 93366,88 176,70 880,79VI c) 240 12 237 19 0,892857 11953,46 1022,56 34,93

9.6.8. W zadaniu brak informacji o sposobie naliczania odsetek - stąd przyjmuje się wariant najkorzystniejszy dla kredytobiorcy, tzn. odsetki płacone wg aktualnego stanu długu. Stosujemy wzory z cz. 9.2. dla spłat „z góry”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. W tabeli 1 przedstawiono wysokość miesięcznej raty, koszt kredytu, koszt kredytu wraz z odsetkami od rat, wielkość czynnika umorzeniowego oraz wielkość pierwszej raty (obliczonej z uwzględnieniem popełnionego błędu zaokrągleń przy obliczaniu wysokości raty miesięcznej). W tabeli 2 przedstawiono salda z podpunktów a) b) i c). Ponieważ saldo na 3 lata przed spłaceniem kredytu jest obliczane na podstawie wzorów zawierających numer okresu kapitalizacji, a pozostałe salda wymagają znajomości sald z początku okresu kapitalizacji i obliczane są ze wzorów, zawierających numer raty, w którym są obliczane, w tabeli 2 przedstawiono także odpowiednie wyniki pośrednie. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

97

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Wobec rocznej kapitalizacji odsetek liczba rat N równa jest 12L. Tabela 1. 9.6.8 N r=i aN i| R Z Z* N R P⋅ − R1

ppkt: rat % zł zł zł zł zł I 120 6 13,764831 1750,58 110069,14 117946,73 110069,60 1750,12II 100 12 7,843139 2965,12 196511,56 218749,92 196512,00 2964,68III 80 18 5,352746 4198,20 235856,15 273639,96 235856,00 4198,35

Tabela 2. N r=i k n-1 aN n i− −( )|1 aN n i− )| Pn−1 Pn Pk

rat nr ok zł zł zł Ia 120 6 108 26 3,465106 2,673012 25173,62 19419,1

419419,14

Ib 120 6 19 4 13,003166 12,783356 94466,59 92869,69

93308,30

Ic 120 6 117 29 0,943396 0,000000 6853,67 0,00 5179,64IIa 100 12 88 21 3,037349 2,401831 38726,19 30623,3

430623,34

IIb 100 12 19 4 7,562003 7,469444 96415,52 95235,38

95663,85

IIc 100 12 97 24 0,892857 0,000000 11383,93 0,00 8671,37IIIa 80 18 68 16 2,690062 2,174273 50255,73 40619,7

640619,76

IIIb 80 18 19 4 5,162354 5,091578 96443,09 95120,84

95734,78

IIIc 80 18 77 19 0,847458 0,000000 15832,20 0,00 12157,53

9.6.9. Na podstawie takich samych przesłanek jak w zadaniu 9.6.8. stosujemy tu wzory z cz. 9.2. dla spłat „z góry”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Ponieważ do obliczenia raty kapitałowej w podokresie okresu kapitalizacji konieczna jest znajomość salda na początku okresu kapitalizacji , więc podano je w tabeli jako wynik pośredni, podobnie jak czynnik umorzeniowy

Pn−1

aN n i− −( )|1 . Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem.

9.6.8.

9.6.9 N r=i k n-1 aN n i− −( )|1 Pn−1 Tk Z k

ppkt: ppkt: rat % nr ok zł zł zł I a) 120 6 108 26 3,465106 25173,62 1478,01 272,57I b) 120 6 19 4 13,003166 94466,59 412,35 1338,23I c) 120 6 117 29 0,943396 6853,67 1674,03 76,55II a) 100 12 88 21 3,037349 38726,19 2159,14 805,98II b) 100 12 19 4 7,467444 96415,52 339,51 2625,61

98


II c) 100 12 97 24 0,892857 11383,93 2712,55 252,57III a) 80 18 68 16 2,690062 50255,73 2692,37 1505,83III b) 80 18 19 4 5,162354 96443,09 425,02 3773,18III c) 80 18 77 19 0,847458 15832,20 3674,67 523,53

9.6.10. Stosujemy wzory z cz. 9.3. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. W tabeli 1 przedstawiono wysokość miesięcznej raty, koszt kredytu, różnicę sumy rat i kredytu oraz wielkość pierwszej raty (obliczonej z uwzględnieniem popełnionego błędu zaokrągleń przy obliczaniu wysokości raty miesięcznej). W tabeli 2 przedstawiono salda z podpunktów a), b) i c). Ponieważ saldo na 3 lata przed spłaceniem kredytu jest obliczane na podstawie wzorów zawierających numer okresu kapitalizacji, a pozostałe salda wymagają znajomości sald z początku okresu kapitalizacji i obliczane są ze wzorów, zawierających numer raty, w tabeli 2 przedstawiono także odpowiednie wyniki pośrednie. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. Tabela 1.

N r=i aN i| R Z N R P⋅ − R1

rat % zł zł zł zł I 360 6 13,764831 605,41 117946,73 117947,60 604,54II 300 12 7,843139 1062,50 218749,92 218750,00 1062,42III 240 18 5,352746 1556,83 273639,96 273639,20 1557,59

Tabela 2. N r=i k n-1 aN n i− −( )|1 aN n i− )| Pn−1 Pn Pk

rat zł zł zł Ia 360 6 324 26 3,465106 2,673012 25173,62 19419,14 19419,1

4Ib 360 6 53 4 13,003166 12,783356 94466,59 92869,69 93801,2

1Ic 360 6 357 29 0,943396 0,000000 6853,67 0,00 1713,42IIa 300 12 264 21 3,037349 2,401831 38726,19 30623,34 30623,3

4IIb 300 12 53 4 7,562003 7,469444 96415,52 95235,38 95923,8

0IIc 300 12 297 24 0,892857 0,000000 11383,93 0,00 2845,98IIIa 240 18 204 16 2,690062 2,174273 50255,73 40619,76 40619,7

6IIIb 240 18 53 4 5,162354 5,091578 96443,09 95120,84 95892,1

5IIIc 240 18 237 19 0,847458 0,000000 15832,20 0,00 3958,05

99

Krzysztof Grysa Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej 9.6.11. Stosujemy wzory z cz. 9.3. dla spłat „z dołu”. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem 9.6.10. 9.6.11. N r=i k n-1 aN n i− −( )|1 Pn−1 Tk Z k

ppkt: ppkt: rat % nr ok zł zł zł I a) 360 6 324 26 3,465106 25173,62 479,54 125,87I b) 360 6 54 4 13,003166 94466,59 133,07 472,34I c) 360 6 357 29 0,943396 6853,67 571,14 34,27II a) 300 12 264 21 3,037349 38726,19 675,24 387,26II b) 300 12 54 4 7,562003 96415,52 98,34 964,16II c) 300 12 297 24 0,892857 11383,93 948,66 113,84III a) 240 18 204 16 2,690062 50255,73 803,00 753,83III b) 240 18 54 4 5,162354 96443,09 110,19 1446,64III c) 240 18 237 19 0,847458 15832,20 1319,35 237,48

9.6.12. Stosujemy wzory z cz. 9.4. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 100 000 zł. Oprocentowanie na okres płacenia raty obliczono jako oprocentowanie efektywne. Obliczono pierwszą ratę, dodając do raty R różnicę pomiędzy kosztem kredytu Z a N R P⋅ − ; otrzymano dla podpunktu I =3642,59 zł, dla podpunktu II =6479,49 zł, dla podpunktu III

=9614,05 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. R1 R1

R1 N r i aN i| R Z k aN n i− −( )|1

Pk

rat % % zł zł zł Ia 60 6 3,0378 27,453142 3642,57 118554,22 54 5,410420 19707,83Ib 60 6 3,0378 27,453142 3642,57 118554,22 9 25,763707 93846,11Ic 60 6 3,0378 27,453142 3642,57 118554,22 58 1,912423 6966,14IIa 50 12 6,1520 15,433407 6479,45 223972,54 44 4,893926 31709,95IIb 50 12 6,1520 15,433407 6479,45 223972,54 9 14,849033 96213,57IIc 50 12 6,1520 15,433407 6479,45 223972,54 48 1,829494 11854,12IIIa 40 18 9,3443 10,401349 9614,14 284565,51 34 4,440237 42689,06IIIb 40 18 9,3443 10,401349 9614,14 284565,51 9 10,030610 96435,69IIIc 40 18 9,3443 10,401349 9614,14 284565,51 38 1,750930 16833,68

9.6.13. Stosujemy wzory z cz. 9.4. dla spłat „z dołu”. Wysokość kredytu jest za każdym razem taka sama i równa P = 50 000 zł. Oprocentowanie na okres płacenia raty obliczono jako oprocentowanie efektywne. Obliczono pierwszą ratę, dodając do raty R różnicę pomiędzy kosztem kredytu Z a N R P⋅ − ; otrzymano dla podpunktu I =3860,64 zł, dla podpunktu II =3667,36 zł, dla podpunktu III

=4741,54 zł. Odpowiedzi zaznaczono tłustym drukiem. R1 R1

R1

100


101

10. KREDYTY Z DODATKOWĄ OPŁATĄ

10.1. WZORY OGÓLNE Oznaczenia:

P zaciągnięty dług (wysokość kredytu) Pk saldo po k-tej racie (to, co zostało do spłacenia po zapłaceniu k rat) Rk wysokość k-tej raty Tk część kapitałowa (kredytowa; część długu), uwzględniona w racie Rk

Zk odsetki zawarte w racie Rk

Gk dodatkowa opłata; może być zależna od części kapitałowej długu; wtedy G Tkk = p

lub od salda; wtedy G Pk -1k = p

p stopa procentowa związana z dodatkową opłatą Z suma wszystkich odsetek (tzw. suma kontrolna lub koszt kredytu) G łączna wartość dodatkowej opłaty

Wówczas

R T Z Gk k k k= + + wysokość k-tej raty

10.2. RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ

ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ

ZNANE: P, i, N - liczba rat płatnych „z dołu” (równa liczbie okresów kapitalizacji), k = 1,2,......N; p - stopa procentowa związana z dodatkową opłatą.


T TP

k = =N

część kapitałowa k-tej raty Rk

P Pk = −( )1 kN


Z Pik = −−( )1 k 1N

odsetki zawarte w k-tej racie Rk


102

Z Pi=+N 12

suma wszystkich odsetek (suma kontrolna)

opłata zależna od części kapitałowej raty:

opłata zależna od salda:

opis wzoru:

G Pk = =p p

NTk G Pk = = −

−p p k 1N

Pk-1 ( )1 wysokość dodatkowej opłaty

R P Pik =+

+ −−( ) ( )1 p

N1 k 1

N R P P ik = + + −

−N

p) 1 k 1N

( ( )wysokość k-tej raty

G P= p G P=

+p N 12

łączna wartość dodatkowej opłaty

Z + G łączny koszt kredytu

Dla innych przypadków rat o stałej części kapitałowej, przedstawionych w rozdziale 8, wzory dotyczące planu spłaty długu przy dodatkowej opłacie tworzy się podobnie jak pokazano wyżej.

10.3. RATY O STAŁEJ WYSOKOŚCI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ ZNANE : P , N - liczba okresów kapitalizacji (i rat), i; p - stopa procentowa związana z dodatkową opłatą.


T R i P ikN k

N i

N k= + = +− − + − − +( ) ( )( )

|

(1 11

a)1

część kapitałowa k-tej raty Rk

P R Pk N k i

N iN k i= =− −a

aa|

||


Wzory do utworzenia planu spłaty długu - c.d.:

Z R i Pik

N k

N i

= − + =− − +[ ( ) ]( )

|

1 1 1

aaN-(k-1)|i

odsetki zawarte w k-tej racie Rk

Z = − = −R P[ ] (||

|N NN iN i

N iaa

a ) suma wszystkich odsetek (suma kontrolna)


103

opłata zależna od części kapitałowej raty:

opłata zależna od salda:

opis wzoru:

G T P ik kN i

N k= = + − − +p pa |

( )( )1 1 G Pk

N iN k i= = − −p p

aaPk-1

|( )|1

wysokość dodatkowej opłaty

R P ikN i

N k= + + − − +

ap

|

( )( )( )1 1 1 R P

kN i

N k i= +− −a

pa|

( )|(1 1 ) wysokość k-tej raty

G P= p

G P NN i

N i= −p

aa

i ||( )

łączna wartość dodatkowej opłaty

Z + G

łączny koszt kredytu

Dla innych przypadków rat o stałej wyskości, przedstawionych w rozdziale 9, wzory dotyczące planu spłaty długu przy dodatkowej opłacie tworzy się podobnie jak pokazano wyżej.

10.4. PRZYKŁADY 10.4.1. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P = 3 000 zł, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r = 25,5 %. Kredyt ten należy spłacić w N = 5 ratach o stałej części kapitałowej, płatnych na koniec każdego roku. Rata zawiera dodatkową opłatę, stanowiącą p = 0,7 % części kapitałowej raty. Podać wzory i sporządzić plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu?

Rozwiązanie:Dane:

• P=3 000 zł • N=5 • raty roczne o stałej części kapitałowej „z dołu” • r=i=25,5 % tzn. i = 0,255 • p=0,7 % tzn. p = 0,007 - wskaźnik dodatkowej opłaty równej p procent części

kapitałowej Posługując się wzorami z cz. 10.2 wylicza się elementy plany spłaty długu:

T Tk = = =3000 600

5 zł

Pk = − = −3000 1 3000 600( )k5

k zł


104

Zk = ⋅ −−

= − −3000 0 255 765 153 1, ( ) (1 k 15

k ) zł

Z = ⋅+

=3000 0 255 2295, 5 12

zł

Gk = = ⋅ =pTk 0 007 600 4 20, , zł R T Z Gk k k k= + + = + − − + = − −600 765 153(k 1) 4,20 1369,2 153(k 1) zł G = ⋅ =3000 0 007 21, zł PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 10.2. Nr raty Pk-1 Gk Zk Rk Tk Pk

1 3000,00 4,20 765,00 1 369,2 600,00 2 400,002 4,20 612,00 1 216,2 600,00 1 800,003 4,20 459,00 1 063,2 600,00 1 200,004 4,20 306,00 910,2 600,00 600,005 4,20 153,00 757,2 600,00 0,00

21,00 2 295,00 5 316,00 3 000,00Dodatkowaopłata

Sumaodsetek

Koszt kredytu 2 316,00

10.4.2. Kredyt o wysokości 10 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego roku, przy rocznej kapitalizacji odsetek. Oprócz rat pobierana jest opłata, stanowiąca 0,4% procent salda. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi 5 lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest 12%.

Rozwiązanie:Dane:

• P=10 000 zł • N=5 • raty roczne o stałej wysokości „z dołu” • r=i=12 % tzn. i = 0,12 • p=0,4 % tzn. p = 0,004 - wskaźnik dodatkowej opłaty równej p procent salda

Posługując się wzorami z cz. 10.3 wylicza się elementy plany spłaty długu:

Tkk k= = ⋅− − − −10000 112 2774 097319 112

5 0 12

6 6

a | ,

( ) ( ), , , zł

Pk k= −2774 097319 5 0 12, | ,a zł

Zk = 332 8916783, a6-k|0,12 zł

Z = ⋅ − =2774097319 5 3870 4950 12, ( )| ,a , zł


105

Gk k= = −p aPk-1 1109638928 6 0 12, | , zł

R T Z Gk k k kk

k

kk

= + + = ⋅ + + =

= ⋅ +

− −−

− −−

2774 097319 112 332 8916783 1109638928

2774 097319 112 343 9880676

66 0 12

66 0 12

, , , ,

, , ,

( )| ,

( )| ,

a a

a6-k|0,12

G = − =9246991 5 129 0250 12, ( ) ,| ,a zł

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 10.3. Nr raty Pk −1 Zk Tk Gk Rk Pk

1 10000,00 1200,00 1574,10 40,00 2814,10 8425,90 2 8425,90 1011,11 1762,99 33,70 2807,80 6662,91 3 6662,91 799,55 1974,55 26,65 2800,75 4688,36 4 4688,36 562,60 2211,49 18,75 2792.84 2476,87 5 2476,87 297,22 2476,87 9,91 2784,00 0,00

Razem: 3870,48 10000,00 129,01 13999,49 Suma

odsetek Kredyt Dodatkowa

opłata Suma rat

Koszt kredytu = Z + G = 3999,49 zł Kwoty, opisujące w planie spłaty długu sumę odsetek oraz dodatkową opłatę, różnią się o 1 grosz od kwot kontrolnych. Jest to rezultat zaokrągleń przy ustalaniu wysokości poszczególnych odsetek i opłat dodatkowych.

10.5. Zadania

10.5.1. Przedsiębiorca zaciągnął kredyt w wysokości P, który jest oprocentowany według nominalnej stopy procentowej r. Kredyt ten należy spłacić w N ratach o stałej części kapitałowej, płatnych na koniec każdego roku. Rata zawiera dodatkową opłatę, stanowiącą p procent części kapitałowej raty. Podać wzory i sporządzić plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu? a) P = 2 000 zł, r = 36 %, p = 1%, N = 4 b) P = 10 000 zł, r = 28 %, p = 0.8%, N = 10 c) P = 3 000 zł, r = 26 %, p = 0.9%, N = 5 10.5.2. Kredyt w wysokości P należy spłacić w ciągu L lat. Oprocentowanie kredytu jest równe r. Kredyt ma być spłacony w równych ratach kapitałowych płaconych z końcem każdego okresu kapitalizacji, powiększonych o opłatę proporcjonalną do salda, przy czym współczynnik proporcjonalności wynosi p. Podać plan spłaty długu. Jaki będzie koszt kredytu? a) P = 4 000 zł, r = 36 %, L = 4, p = 0.6%, kapitalizacja kwartalna, b) P = 10 000 zł, r = 28 %, L = 5, p = 0.5%, kapitalizacja półroczna, c) P = 6 000 zł, r = 24 %, L = 2, p = 0.4%, kapitalizacja miesięczna.


106

10.5.3. Kredyt o wysokości 100 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Oprócz rat pobierana jest opłata, stanowiąca p procent części kapitałowej raty. Obliczyć wysokość raty jako funkcję numeru raty, wyliczyć pierwszą, środkową i ostatnią ratę oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest równa r. a) L = 30 lat, r = 18%, p = 0.8%; b) L = 25 lat, r = 18%, p = 0.8%; c) L = 20 lat, r = 18%, p = 0.8%; d) L = 30 lat, r = 12%, p = 0.6%; e) L = 25 lat, r = 12%, p = 0.6%; f) L = 20 lat, r = 12%, p = 0.6%. 10.5.4. Kredyt o wysokości 50 000 jest spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Oprócz rat pobierana jest opłata, stanowiąca p procent salda. Obliczyć wysokość raty jako funkcję numeru raty, wyliczyć pierwszą, środkową i ostatnią ratę oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r. a) L = 30 lat, r = 12%, p = 0.4%; b) L = 25 lat, r = 12%, p = 0,4%; c) L = 20 lat, r = 12%, p = 0.3%; d) L = 30 lat, r = 6%, p = 0.3%; e) L = 25 lat, r = 6%, p = 0.2%; f) L = 20 lat, r = 6%, p = 0.2%

11. KREDYTY Z OPÓŹNIONYM OKRESEM SPŁAT Niech l - liczba okresów kapitalizacji, podczas których nie jest spłacany dług. Zwykle jest to kilka pierwszych okresów kapitalizacji. Gdy w tym okresie spłacane są odsetki, to po czasie l okresów następuje spłata długu w wysokości P; zaś gdy odsetki nie są spłacane, to po czasie l okresów dług rośnie do wysokości , gdzie i - stopa procentowa na okres kapitalizacji.

P i l( )1 +

Plan spłaty długu układa się w zależności od przyjętego sposobu jego spłaty (patrz cz. 8, 9 oraz 10).

11.1. PRZYKŁADY 11.1.1. Kredyt w wysokości 100 000 zł ma być spłacony stałymi ratami , płaconymi z końcem każdego miesiąca przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Kredytobiorca przez pierwsze 2 lata nie spłacał kredytu pozwalając aby powiększyły go kapitalizowane co miesiąc odsetki. Obliczyć wysokość długu, który po tym okresie musi zostać spłacony, wysokość raty oraz koszt kredytu jeśli okres spłacania wynosi 5 lat a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest 18%.

Rozwiązanie: Dane:

• P=100 000 zł • stałe raty „z dołu” miesięczne • kapitalizacja miesięczna • L=5 lat = 60 miesięcy


107

• l=2 lata = 24 miesiące • r=18% tzn. r = 0,18 • i=1,5% tzn. i = 0,015

Szukane • wysokość długu po 2 latach P’=? • wysokość raty R=? • koszt kredytu Z=?

Obliczamy wysokość długu:

P´ = P · ( 1 + i )l = 100 000 · ( 1 + 0,015 )24 = 142 950,28 zł Wynika z tego, że kredyt wzrósł o 42 950,28 zł Obliczamy wysokość raty:

R P

N i

=′

= =a a| | ,

, ,142950 28 3630 0060 0 015

zł

Obliczamy koszt kredytu:

Z P N

N i

= − = ⋅ − =' ( ) , ( ) ,|

| ,aa1 3629 997591 60 74849 5760 0 015 zł

Odpowiedź: Po 24 miesiącach trzeba spłacić dług w wysokości 142 950,28 zł , wysokość raty wynosi 3630,00 zł a koszt kredytu równy jest 74 849,57 zł. 11.1.2. Rozwiązać poprzednie zadanie dla przypadku rat o stałej części kapitałowej, spłacanych zgodnie z okresem kapitalizacji odsetek.

Rozwiązanie: Dane:

• P=100 000 zł • raty o stałej części kapitałowej „z dołu”, płatne miesięczne • kapitalizacja miesięczna • L=5 lat = 60 miesięcy • l=2 lata = 24 miesiące • r=18% tzn. r = 0,18 • i=1,5% tzn. i = 0,015

Szukane • wysokość długu po 2 latach P’=? • wysokość raty R=? • koszt kredytu Z=?

Obliczamy wysokość długu: P´ = P · ( 1 + i )l = 100 000 · ( 1 + 0,015 )24 = 142 950,28 zł

Obliczamy wysokość raty kapitałowej:

T = =142950 28

602382 50, , zł

Obliczamy wzór ogólny oraz wysokości pierwszej, trzydziestej oraz sześćdziesiątej raty:


108

Rk = + − + = +142950 28

601 0 015 60, [ , ( k 1)] 2382,504667 35,73757(61 k)− zł

R1 = 4526,76 zł R30 = 3490,37 zł R60 = 2418,24 zł

Obliczamy koszt kredytu:

Z = ⋅ =142950 28 0 015 612

65399 75, , , zł

Odpowiedź: Wysokość długu po 24 miesiącach wynosi 142 950,28 zł , koszt kredytu wynosi 65 399,75 zł. Pierwsza rata wynosi 4526,76 zł , trzydziesta 3490,37 zł , a sześćdziesiąta 2418,24 zł.

11.2. Zadania 11.2.1. Kredyt o wysokości 100 000 ma być spłacany stałymi ratami, płaconymi z końcem każdego miesiąca, przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Kredytobiorca przez pierwszych l miesięcy nie spłacał kredytu, pozwalając, aby powiększyły go kapitalizowane co miesiąc odsetki. Obliczyć wysokość długu, który po tym okresie musi zostać spłacony,wysokość raty oraz koszt kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, a przewidywana wysokość stopy procentowej w tym okresie jest r. a) L = 10 lat, r = 18%, l = 12; b) L = 5 lat, r = 18%, l = 24 ; c) L = 15 lat, r = 18%, l = 6; d) L = 20 lat, r = 12%, l = 18; e) L = 15 lat, r = 12%, l =15 ; f) L = 10 lat, r = 12%, l = 12 ; g) L = 6 lat, r = 6%, l = 6; h) L = 5 lat, r = 6%; l = 18. 11.2.2. Pożyczka zaciągnięta na r procent rocznie miała być spłacana w N równych ratach rocznych z dołu. Ponieważ dłużnik nie zapłacił l pierwszych rat, to przez następne N-l lat musiał spłacać raty w wysokości R zł rocznie. Jaka była pożyczka? a) r = 6%, N = 12, l = 4, R = 1200 zł; b) r = 10%, N = 10, l = 2, R = 1650 zł; c) r = 8%, N = 18, l = 6, R = 900 zł; d) r = 18%, N = 12, l = 2, R = 1082 zł. 11.2.3. Dług P oprocentowany na r procent rocznie miał być spłacany w równych ratach płatnych z dołu. Ponieważ dłużnik nie mógł spłacić kilku pierwszych rat, więc za zgodą wierzyciela musiał spłacać przez następne N lat raty w wysokości R. Przez ile lat nie spłacał długu? a) P = 30 000 zł, r = 4,5 %, N = 12, R = 4100 zł; b) P = 15 000 zł, r = 6 %, N = 15, R = 2066,81 zł; c) P = 10 350 zł, r = 8 %, N = 20, R = 1951,20 zł. d) P = 10 000 zł, r = 18 %, N = 15, R = 2734.71 zł; 11.2.4. Rozwiązać zadanie 11.2.1 dla przypadku rat o stałej części kapitałowej,spłacanych zgodnie z okresem kapitalizacji odsetek.


109

12. KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI

Spłata kredytu w warunkach inflacji może odbywać się w jeden z dwóch sposobów: 1. Stopa oprocentowania kredytu jest sumą stopy oczekiwanego przez kredytodawcę

zysku (wynoszącej w skali roku r lub w skali podokresu roku i) oraz stopy inflacji (w skali roku - , w skali podokresu roku - ); rin iin

2. Odsetki od kredytu są naliczane według stopy oczekiwanego zysku (wynoszącej w

skali roku r lub w skali podokresu roku i), a kredyt jest waloryzowany o stopę inflacji (w skali roku - , w skali podokresu roku - ) rin iin

12.1. STOPA OPROCENTOWANIA JEST SUMĄ STOPY ZYSKU ORAZ STOPY INFLACJI

12.1.1. Raty o stałej części kapitałowej - spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

ZNANE: P - wysokość kredytu, N - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji), i - stopa oczekiwanego przez kredytodawcę zysku, - stopa inflacji w k-tym okresie spłacania kredytu; k = 1,2,......N. iin k,


T T Pk = =

N część kapitałowa, uwzględniona w racie

Rk

P Pk = −( )1 kN


Z P i ik in k= + − +N

N k( )(, 1) odsetki zawarte w racie Rk

([R PN

i ik in k= + + − +1 N k( ), )]1 wysokość k-tej raty

Z Pi N PN

i Nin kk

N

=+

+ −=

∑12

11

, ( k + )

koszt kredytu


110

12.1.2. Raty o równych wysokościach płatne z dołu - spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

ZNANE: P = - wysokość kredytu, P0

N - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji), i - stopa oczekiwanego przez kredytodawcę zysku, iin k, - stopa inflacji w k-tym okresie spłacania kredytu; k = 1,2,......N. Uwaga: Określenie „raty o równych wysokościach” dotyczy sposobu obliczania rat, a nie ich wysokości!


RP

kk

N k i iin k

= −

− − +

1

1a ( )|( , )

rata wyrażona poprzez poprzednie saldo (gdzie to kredyt), numer raty, ich całkowitą liczbę N oraz aktualną stopę oprocentowania kredytu

P0

Z i i Pk in k= k+ −( ), 1 odsetki zawarte w racie Rk

T R Zk k= k− część kapitałowa raty Rk

P P T T T P Tk k= − + k k+ + = −−( ... )1 2 1 saldo po zapłaceniu k-tej raty Rk

Z Rkk

N

= −=

∑1

P koszt kredytu

12.2. KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI

12.2.1. Raty o stałej części kapitałowej - spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

ZNANE: P P= 0 - wysokość kredytu, N - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji), i - stopa oczekiwanego przez kredytodawcę zysku, iin k, - stopa inflacji w k-tym okresie spłacania kredytu; k = 1,2,......N.


111


TP i

kk in=

+−1( ),1N - (k - 1)

k

część kapitałowa, uwzględniona w racie Rk

P P i Tk k in k= k+ −−1 1( ), saldo po k-tej racie

Z P ik k in k= i+−1 1( , ) odsetki zawarte w racie Rk

R T Zk k k= + wysokość k-tej raty

Z Rkk

N

= −=

∑1

P koszt kredytu

12.2.2. Raty o równych wysokościach płatne z dołu - spłaty zgodne z okresem kapitalizacji

ZNANE: P P= 0 - wysokość kredytu, N - liczba rat (równa liczbie okresów kapitalizacji), i - stopa oczekiwanego przez kredytodawcę zysku, iin k, - stopa inflacji w k-tym okresie spłacania kredytu; k = 1,2,......N. Uwaga: Określenie „raty o równych wysokościach” dotyczy sposobu obliczania rat, a nie ich wysokości!


RP i

kk in

N k i

= k+−

− −

1

1

1( ,

( )|a)

rata wyrażona poprzez poprzednie saldo (gdzie

to kredyt), numer raty, ich całkowitą liczbę N oraz aktualną stopę oprocentowania kredytu P0

Z P ik k in k= i+−1 1( ), odsetki zawarte w racie Rk

T R Zk k= k− część kapitałowa raty Rk

P P i Tk k in k= k+ −−1 1( ), saldo po zapłaceniu k-tej raty Rk

Z Rkk

N

= −=

∑1

P

koszt kredytu


112

Sposób sporządzania planu spłaty długu dla stopy oprocentowania będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji:

Nr raty Saldo przed

zapłaceniem

k-tej raty

Stopa zysku plus stopa

inflacji

Część odsetkow

a k-tej raty

k-ta rata


Saldo po zapłaceniu

k-tej raty

k Pk−1 i+ iin k, Z k Rk Tk Pk

Sposób sporządzania planu spłaty długu dla kredytu waloryzowanego o stopę inflacji:

Nr raty

Saldo przed zapłaceniem k-tej raty

Stopa inflacji

Waloryzowane saldo przed zapłaceniem

Odsetki w k-tej racie

k-ta rata


Saldo po zapłaceniu k-tej raty

k Pk−1 iin k, P ik in− k+1 1( ), Z k Rk Tk Pk

Dla innych przypadków spłaty rat, przedstawionych w rozdziałach 8, 9, 10 i 11, wzory dotyczące planu spłaty długu w warunkach wysokiej inflacji tworzy się podobnie jak pokazano wyżej.

12.3. PRZYKŁADY

12.3.1. Kredyt o wysokości 20 000 zł ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku Okres spłacania kredytu wynosi 6 lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi 12%, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji stopa zysku będzie powiększona o stopę inflacji. Jak się okazało, w kolejnych latach stopa inflacji wynosiła 33%, 27%, 20%, 14%, 10% oraz 8%. Obliczyć wysokość raty i koszt kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu.

Rozwiązanie: Dane:

• N = 6 lat • r = 12 %, tzn. r=0,12 • P = 20 000 • iin,1 = 33 %, tzn. iin,1 = 0,33, gdzie iin,k - stopa inflacji w k - tym roku • iin,2 = 27 %, tzn. iin,2 = 0,27 • iin,3 = 20 %, tzn. iin,3 = 0,20 • iin,4 = 14 %, tzn. iin,4 = 0,14 • iin,5 = 10 %, tzn. iin,5 = 0,10


113

• iin,6 = 8 %, tzn. iin,6 = 0,08 Szukane:

• Rk = ? • Z = ?

Posługujemy się wzorami z cz. 12.1.1., które podane są pod planem spłaty długu. PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 12.1.1.

Nr raty

Saldo przed zapłacenie

m k-tej raty

Stopa zysku +

stopa inflacji

Część odsetkow

a k-tej raty

k-ta rata Część kapitałowa k-tej raty


k Pk-1 i+iin,k Zk = i·Pk-1 Rk = Tk + Zk

Tk Pk = Pk-1 - Tk

1 20000,00 45% 9000,00 12333,35 3333,35 16666,65 2 16666,65 39% 6500,00 9833,33 3333,33 13333,32 3 13333,32 32% 4266,67 7599,99 3333,33 9999,99 4 9999,99 26% 2600,00 5933,33 3333,33 6666,66 5 6666,66 22% 1466,67 4800,00 3333,33 3333,33 6 3333,33 20% 666,67 4000,00 3333,33 0

suma: 24500,01 44500,01 20000,00opis: Koszt

kredytu Suma rat

Wzory:

T Tk = =20000

6= 3333,33 zł

Pk = −20000 1( )k6

zł

Z ik in k= +20000 0 12 7

6k( , )( ), − zł

([ ]R ik in= + + −20000

60 121 7( , ), )k k zł

Z iin kk

N

= ⋅ ⋅ + −=

∑20000 0 12 72

200006

71

, (, k ) = 24 500 zł

Jak widać z planu spłaty długu, koszt kredytu ostatecznie zamknął się kwotą o 1 grosz większą niż wynikało to ze wzorów. Przyczyną tego stanu rzeczy są błędy zaokrągleń. Podobnie, na skutek błędów zaokrągleń, pierwsza z części kapitałowych jest większa o 2 grosze od pozostałych - po to, aby suma rat kapitałowych była równa wielkości kredytu.


114

12.3.2. Umowa o kredyt dotyczy finansowania projektu przez 4 lata. Spłata kredytu o wysokości 10 000 zł ma nastąpić w czterech ratach. Oprocentowanie kredytu wynosi 8%. Proces spłat jest zakłócony przez inflację, która w kolejnych latach wynosiła: 42%, 22%, 12% i 10%. Podać plan spłaty kredytu dla przypadku spłat ratami o stałej wysokości przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji.

Rozwiązanie: Dane:

• N = 4 lat • r = 8 %, tzn. r=0,08 • P = = 10 000 P0

• iin,1= 42 %, tzn. iin,1 = 0,42, gdzie iin,k - stopa inflacji w k - tym roku • iin,2 = 22 %, tzn. iin,2 = 0,22 • iin,3 = 12 %, tzn. iin,3 = 0,12 • iin,4 = 10 %, tzn. iin,4 = 0,10

Szukane: • plan spłaty długu

Posługujemy się wzorami z cz. 12.2.2.:

RP i

kk in

k

=+−

−

1

5 0 08

1( ),

| ,ak

i

k

k

Z P ik k in k= +−1 1( ), T R Zk k= − P P i Tk k in k= + −−1 1( ),

Z Rkk

N

= −=

∑1

P

Jak widać ze wzorów, kluczową sprawą jest obliczenie czynników umorzeniowych, zaś określenie „raty o stałej wysokości”, które byłoby zgodne z wynikami przedstawionymi w planie spłaty długu w przypadku braku inflacji, tutaj dotyczy jedynie sposobu obliczania rat, a nie ich wysokości. Następnie każdy element planu spłaty długu musi być obliczany dla danego k w oparciu o saldo po poprzeniej racie. Obliczamy czynniki umorzeniowe i kolejne elementy planu spłaty rat (wszystko dla i = 0,08):

k=1 a5 10 08− | , = 3,31212684 =10 000 zł, P1 1− R110000 1 0 42

=+( ,

3,31212684) = 4287,28 zł

k=2 a5 2 0 08− | , = 2,577096987 =11 048,72 zł, P2 1− R211048 72 1 0 22

=+, ( , )

2,577096987 = 5230,47 zł


115

k=3 a5 3 0 08− | , = 1,783264746 = 9327,33 zł, P3 1− R39327 33 1 0 12

=+, ( , )

1,783264746 = 5858,14 zł

k=4 a5 4 0 08− | , = 0,925925925 = 5423,94 zł, P4 1− R45423 94 1 0 10

=+, ( , )

0,925925925= 6443,64 zł

PLAN SPŁATY DŁUGU WG. CZ. 12.2.2. Nr raty

Saldo przed zapłacenie

m k-tej raty

Stopa inflacji

Saldo walory-zowane

Część odsetkow

a k-tej raty

k-ta rata Część kapitałowa k-tej raty


k Pk-1 iin,k P w Zk = i·Pk-1 Rk Tk Pk = - TPw k

1 10000,00 42% 14200,00 1136,00 4287,28 3151,28 11048,72 2 11048,72 22% 13479,44 1078,36 5230,47 4152,11 9327,33 3 9327,33 12% 10446,61 835,73 5858,14 5022,67 5423,94 4 5423,94 10% 5966,33 477,31 6443,64 5966,33 0,00

suma: 3527,40 21819,53 18292,39 Koszt kredytu = 21819,53-10000=

=11819,53 zł Jak widać z planu spłaty długu, poszczególne raty nie są sobie równe, chociaż sposób ich obliczania oparty był o wzory dotyczące rat o równej wysokości. W tym przypadku odsetki obliczane były w oparciu o ustaloną stopę zysku, zaś inflację uwzględniono, waloryzując saldo o stopę inflacji.

12.4. Zadania

12.4.1. Kredyt o wysokości 20 000 ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu oraz napisać pełny plan spłaty kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi r, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji stopa zysku będzie powiększona o stopę inflacji. a) L = 6 lat, r = 10%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 33%, 20%, 15%,12%; b) L = 5 lat, r = 5%, inflacja w poszczególnych latach: 30%, 35%, 20%, 15%, 10%.; c) L = 4 lata, r = 9 %, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 30%, 25%, 15%; d) L = 6 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 33%, 27%, 20%, 14%, 10%, 8%; e) L = 5 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 25%, 25%, 15%; f) L = 4 lata, r = 6,5%, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 25%, 12%, 12%. 12.4.2. Rozwiązać zadanie 12.4.1. dla przypadku rat o stałej wysokości. 12.4.3. Kredyt o wysokości 20 000 ma być spłacany ratami o stałej części kapitałowej, płaconymi z końcem każdego roku. Obliczyć wysokość raty oraz koszt kredytu kredytu oraz


116

napisać pełny plan spłaty kredytu, jeśli okres spłacania wynosi L lat, stopa zysku kredytodawcy wynosi r, a ponadto w umowie zawarto klauzulę, że w razie inflacji kredyt będzie waloryzowany o stopę inflacji. a) L = 6 lat, r = 10%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 33%, 20%, 15%,12%; b) L = 5 lat, r = 5%, inflacja w poszczególnych latach: 30%, 35%, 20%, 15%, 10%.; c) L = 4 lata, r = 9 %, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 30%, 25%, 15%; d) L = 6 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 33%, 27%, 20%, 14%, 10%, 8%; e) L = 5 lat, r = 12%, inflacja w poszczególnych latach: 25%, 30%, 25%, 25%, 15%; f) L = 4 lata, r = 6,5%, inflacja w poszczególnych latach: 40%, 25%, 12%, 12%. 12.4.4. Rozwiązać zadanie 12.4.3. dla przypadku rat o stałej wysokości. 12.4.5. Umowa o kredyt dotyczy finansowania projektu przez 4 lata. Spłata kredytu o wysokości sto tysięcy zł ma nastąpić w czterech ratach. Oprocentowanie kredytu wynosi 8%. Proces spłat jest zakłócony przez inflację, która w klejnych latach wynosiła: 42%, 22%, 12% i 12%. Podać plan spłaty kredytu dla przypadku spłat ratami: a) o stałej części kapitałowej przy stopie będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji; b) o stałej części kapitałowej przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji; c) o stałej wysokości przy stopie będącej sumą stopy zysku oraz stopy inflacji; d) o stałej wysokości przy kredycie waloryzowanym o stopę inflacji.


117

13. RENTY

13.1. WZORY OGÓLNE

Oznaczenia:

e renta i stopa procentowa na okres wypłaty renty (= okres kapitalizacji odsetek) n bieżący numer renty ew maksymalna renta wieczysta K kapitał, stanowiący podstawę wypłacania rent En suma n wypłaconych rent, obliczona na koniec n-tego okresu wypłacania

(= koniec n-tego okresu kapitalizacji)

E E inn

0 1= + −( ) zdyskontowana do chwili początkowej suma , En

K E iNN= + −( )1

K K i En

nn= + −( )1

saldo po wypłaceniu z kapitału podstawowego n rent

N liczba rent o zadanej wysokości, obliczana z równania K i EN

N( )1 0+ − =

( )[S N iN

ii| = + −

1 1 ]1 wartość przyszła wpłat jednostkowych (patrz tablice na końcu podręcznika)

( )[aN iN

ii| = − + −1 1 1 ]

czynnik umorzeniowy (patrz tablice na końcu podręcznika)

13.2. RENTA O STAŁEJ WYSOKOŚCI

Wzory dotyczące rent o stałej wysokości:

Renty wypłacane „z dołu” Renty wypłacane „z góry” Opis wzoru

ew = Ki ew =+K i

i1 maksymalna renta wieczysta

e > Ki

e(1+i) > Ki

renta czasowa


118

Wzory dotyczące rent o stałej wysokości - c.d.:


En n i= es |

En n i= e(1+ )si |

suma n rent, obliczona na koniecn-tego okresu wypłacania rent

E n i0 = ea |

E n i0 = e(1 + )ai |

zdyskontowana na chwi-lę początkową suma wypłaconych rent En

e =a

K

N i| e =

(1 + )aKi N i|

wysokość renty wypłacanej z kapitału K, gdy rent ma być N

Ni

=+

log

log

( ee -

)Ki

( )1 Ni

=+

log

log

( e(1+ )e(1+ ) -

)ii Ki

( )1

część całkowita prawej strony opisuje liczbę rent o wysokości e, jaką można wypłacić z kapitału K przy stopie i

e N +1 = +K iN ( )1

e N +1 = K N

wysokość ostatniej renty po wypłaceniu z kwoty K N rent o zadanej wysokości e

13.3. RENTA TWORZĄCA CIĄG ARYTMETYCZNY Oznaczenia:

e wysokość pierwszej renty d kwota, o którą powiększana jest każda następna renta: e ek k+ d= +1

Obowiązują wzory ogólne:

E E inn


K E iNN= + −( )1

K K i Enn

n= + −( )1 saldo po n wypłaconych rentach

K i ENN( )1 + − = 0 liczba rent (to równanie jest w rozważanym przypadku przestępne)


119

Wzory dotyczące rent tworzących ciąg arytmetyczny:

Renty wypłacane „z dołu” Renty wypłacane „z góry”

Ei in n i= −( |e + d )s nd

Ei in n ii= + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

( ) ( |1 e + d )s nd

suma n rent, obliczona na koniec n-tego okresu wypłacania rent

E in in

0 1= − + −( (|e+ d )a ndi i

) E in in

011 1= + − + − +( ( ) ( )|e+ d )a nd

ii

i

zdyskontowana na chwilę początkową suma , En

e d NN i

N i= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1s

s|

|( )K ii

(1+ ) N es

d s N= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

N iN i

||( )K i

i(1+ ) N -1

wysokość pierwszej renty, wyrażona przez pozostałe parametry (kapitał początkowy, stopę procentową, liczbę rent, wysokość kwoty d)

d(1 + ) es

s N

N

=−

−

K i N i

N i

i|

|

d(1 + ) es

s N

N -1

=−

−

K i N i

N i

i|

|

kwota, powiększająca kolejną rentę, wyrażona przez pozostałe parametry (kapitał początkowy, stopę procentową, liczbę rent, wysokość pierwszej renty)

13.4. RENTA TWORZĄCA CIĄG GEOMETRYCZNY

Oznaczenia:

e wysokość pierwszej renty q mnożnik zwiększający rentę (gdy q > 1), zmniejszający ją (gdy q < 1) lub

nie zmieniający jej (gdy q = 1); każda następna renta wyrażona jest przez poprzednią wzorem: e ek k+ =1 q


E E inn


K E iNN= + −( )1

K K i Enn




120

Wzory dotyczące rent tworzących ciąg geometryczny:


E ii

n = − +− +

≠

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ne(1+ ) gdy q =1+

e qq

gdy q 1+

n-1

n ni i

i

( )( )11

E ii

n = − +− +

≠

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ne(1+ ) gdy q=1+

e(1+ )qq

gdy q 1+

n

n ni i

i i

( )( )11


E0 1= −−

≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

−

ne1+

gdy q =1+

e q 1+q 1+

gdy q 1+n n

ii

ii

i

( )( )

E ii

01

1 11 1

= + −+ −

≠

⎧⎨⎪

⎩⎪

−

−

ne gdy q =1+

e qq

gdy q 1+n n

i

i( )( )

zdyskontowana na chwilę początkową suma En

eN

gdy q=1+

(1+ ) qq

gdy q 1+N

N N

=

+

− +

− +≠

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

K i

ii

( )

[ ( )]( )

1

11

i

iK i e

N gdy q=1+

(1+ ) qq

gdy q 1+N-1

N N

=− +

− +≠

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

K

ii

i

iK i [ ( )]

( )1

1

wysokość pierwszej renty, wyrażona przez pozostałe parametry (kapitał początkowy, stopę procentową, liczbę rent, mnożnik q)

N

egdy q=1+

ee+ [q-(1+ )]

1+q

gdy q 1+

=

+

≠

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

K i( )1 i

ilog

log

K ii

N

egdy q=1+

e(1+ )e(1+ )+ [q-(1+ )]

1+q

gdy q 1+

=

≠

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

K i

ilog

log

ii K i

i

część całkowita prawej strony opisuje liczbę rent o zadanej postaci, jaką można

wypłacić z kapitału K przy stopie i

e N +1 N= +K i( )1

e N +1 N= K

wysokość ostatniej renty po wypłaceniu z kwoty K N rent o zadanej postaci


121

13.5. RENTA TWORZĄCA

UOGÓLNIONY CIĄG ARYTMETYCZNY

Oznaczenia:

e wysokość pierwszych w rent w liczba wypłat stałej renty k numer okresu stałości renty

k-1 numer podwyżki d wysokość podwyżki

Obowiązują wzory ogólne: e en+w n= + d związek pomiędzy rentami oddalonymi o w okresów płacenia

renty

k 1 nw

k− < ≤ powiązanie numeru renty z numerem okresu stałości renty

E E inn


K E iNN= + −( )1

K K i Enn



Wzory dotyczące rent tworzących uogólniony ciąg arytmetyczny:


E E

ii

n nk

n i

n k w i

w i

= = +

+ + − −−

( )|

( ) |

|

( ) (

es

d a

sk[ ]1 11 )

E E

ii

n nk

ni

n k w i

w i

= = +

+ + −−

( )|

( ) |

|

( ) (

e(1+ )s

d(1+ ) a

sk

i

i [ ]1 11 − )


E E i

ii

nk n

n i

k w i

w i

n

0

1

1

1 1

= + = +

+ − − +

−

− −

( )|

( ) |

|

( )

( )( )

ea

d a

sk[ ]

E E i

ii

nk n

n i

k w i

w i

n

0

1

1

1 1

= + = +

− − +

−

− −

( )|

( ) |

|

( )

( )( )

(1+ )a

d(1+ ) a

sk

i

i [ ]

zdyskontowana na chwilę początkową suma En


122

Wzory dotyczące rent tworzących uogólniony ciąg arytmetyczny - c.d.:


dea

a

sk

=−

− − +− −

( )

( )( )

|

( ) |

|

K i

i

N i

k w i

w i

N1 1 1 d

e aa

sk

=− +

+ − − +− −

( ( ) )

( )[ ( )( )

|

( ) |

|

K i i

i i

N i

k w i

w i

N

1

1 1 11 ]

wysokość podwyżki (N=kw)

ea

d

a

sk ]}

= − ⋅

⋅ − − +− −

1

1 11

n i

k w i

w i

n

Ki

i

|

( ) |

|

{

( )( )[

ea

d

[a

sk ]}

n

k 1)w n

=+

−+

⋅

⋅ − − +− −

11

1

1 1

|

( |

|

{ ( )

( )( )

i

i

i

Ki

ii

iw

wysokość pierwszych w rent

13.6. RENTA TWORZĄCA

UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNY

Oznaczenia:


k-1 numer podwyżki q mnożnik dla poprzedniej renty


e en+w n= q związek pomiędzy rentami oddalonymi o w okresów płacenia renty

k 1 nw

k− < ≤

powiązanie numeru renty z numerem okresu stałości renty

E E inn


K E iNN= + −( )1

K K i Enn


K i ENN( )1 + − = 0 równanie na liczbę rent


123

Wzory dotyczące rent tworzących uogólniony ciąg geometryczny:

Renty wypłacane „z dołu” - wzory na i : En E0

[ ]E E

ii i

ii

ii

in n

k

n w n k

n k wk w k

wn k

= =− − + + + −

− ++ −

+ −+ + −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− −

− −− −

−

( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

eq k q gdy q =(1 )

eq

qq

q gdy q (1+

w

w

1 1 1 1

1 11

11

1

11 1

1

+ i

i)

[ ]E

ii i

ii

ii

i

w k n

k wk w k

wk n

0

1

11 1

1

1 1 1 1 1

1 11

11 1

=− − + + − +

− ++ −

+ −+ − +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− − −

− −− −

− −

eq k q gdy q = (1 )

eq

qq

q gdy q (

w

w

( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

+ i

i1+ )

Dla n = kw:

Ei

ii

kw

w ik w

w i

kw k

w

=

+

+ −

+ −≠

⎧

⎨⎪

⎩⎪

−eks gdy q = (1 )

esqq

gdy q (1+ )

w

w

|( )

|

( )

( )( )

1

11

1 + i

i

Renty wypłacane „z góry” - wzory na i : En E0

[ ]E E

ii

i i

ii

i ii

in n

k

n w n k

n k wk w k

wn k

= =

+− − + + + −

+− +

+ −+ −

+ + −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− −

− −− −

−

( )

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

e q k q gdy q=(1 )

e q qq

q gdy q (1+ )

w

w

1 1 1 1 1

1 1 1 11

1

1

11 1

1

+ i

i

[ ]E

ii

i i

ii

i ii

i

w k n

k wk w k

wk n0

1

11 1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 11

1 1=

+− − + + − +

+− +

+ −+ −

+ − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− − −

− −− −

− −

e q k q gdy q = (1 )

e q qq

q gdy q (1+ )

w

w

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

+ i

i

Dla n = kw:

Ei

i ii

kw

w ik w

w i

kw k

w

=+

++ −

+ −≠

⎧

⎨⎪

⎩⎪

− +eks gdy q = (1 )

e s qq

gdy q (1+ )

w

w

|( )

|

( )

( ) ( )( )

1

1 11

1 1 + i

i


124

13.7. RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNO-ARYTMETYCZNY

Oznaczenia:


k-1 numer podwyżki d wysokość podwyżki q mnożnik dla poprzedniej renty


e e q +n+w n= d związek pomiędzy rentami oddalonymi o w okresów płacenia renty,

k 1 nw

k− < ≤ powiązanie numeru renty z numerem okresu stałości renty

E E inn


K E iNN= + −( )1

K K i Enn


K i ENN( )1 + − = 0 równanie na liczbę rent

Renty wypłacane „z dołu” - wzór na : En

Enk

n w n k

n k wk w k

wn k

( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

=

− + − + + + − −−

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + ++ −

+ −+ + − −

−−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≠

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

− −−

− −− −

−−

e q de

k q de

q 1q 1

gdy q=(1 )

e q de

qq

q de

q 1q 1

gdy q (1+ )

k 1w

k 1w

ii i

ii

ii

i i

1 1 1 1

1 11

11

1

11 1

1

+i

Dla n = kw:

Ekw

wik w k wi

wi

wi

kw k

w

w k k

w

=+ + −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+

+ −

+ −

+ − − + − + −

− + −≠

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

− −eks d (k -1)s

sgdy q=

es qq

d q q q qq q

gdy q (1+ )

w

w

|( ) ( ) |

|

|

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )[( ) ]

1 1

11

1 1 1 11 1

1 1i i

ii

i ii

i

+i

+i

(k-1)w

kw

1 i

Dla rent wypłacanych „z góry” prawe strony podanych związków mnożymy przez 1+ i.


125

13.8. RENTA WYPŁACANA W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI

Oznaczenia:

m liczba podokresów okresu kapitalizacji, równa liczbie wypłaconych równych rent e i stopa procentowa w okresie kapitalizacji (składającym się z m podokresów płacenia

renty) E suma m rent, wypłaconych w jednym okresie kapitalizacji

Łączna wartość m wypłaconych w podokresach jednego okresu kapitalizacji rent ma postać (por. cz. 7.2):

E =−

+

⎧

⎨⎪

⎩⎪

e[m + m

e[m + m

i

i2

1

21

( )]

( )]

gdy renta e jest wypł acana z doł u

gdy renta e jest wypł acana z góry

Suma mn rent, obliczona na koniec n-tego okresu kapitalizacji, , ma tu postać następującą:

En

E En n in i

n i

= =−

+

⎧

⎨⎪

⎩⎪

se[m + m s

e[m + m s|

|

|

( )]

( )]

i

i2

1

21

gdy renta e jest wypł acana z doł u

gdy renta e jest wypł acana z góry

Do sumy E stosują się wzory z części 13.2., dotyczące rent wypłaconych z dołu. Suma E stosowana jest w tych wzorach tak samo, jak renta e w części 13.2. Prowadzi to m.in. do następujących wzorów:


En ni= −e[m + m si2

1( )] | En n i= +e[m + m si2

1( )] | suma n rent

E ni0 21= −e[m + m ai ( )] | E n i0 2

1= +e[m + m ai ( )] | zdyskontowa-na suma En

e =[m + m a

Ki2

1( )] |− N i

e =[m + m a

Ki2

1( )] |+ N i

wysokość renty


126

13.9. PRZYKŁADY 13.9.1. Pracownik przez 30 lat pracy odkładał na fundusz emerytalny kwotę 1800 zł rocznie, wpłacając ją na ten fundusz zawsze na końcu roku. Przy stopie procentowej 10% obliczyć: a) wysokość maksymalnej miesięcznej renty wieczystej płaconej z góry, jaką można uzyskać z tego funduszu; b) wysokość maksymalnej renty wieczystej rocznej, płatnej z dołu, jaką można uzyskać z tego funduszu; c) wysokość renty miesięcznej, płatnej z góry, jaką przez 20 lat można mieć wypłaconą z tego funduszu przy miesięcznej kapitalizacji odsetek; d) liczbę wypłat renty miesięcznej, płatnej z góry, o wysokości 600,00 zł, jaką można uzyskać z tego funduszu przy miesięcznej kapitalizacji odsetek.

Rozwiązanie:Dane:

• N = 30 lat • W = 1800 zł rocznie „z dołu” • r = 10 % tzn. r = 0,1

Szukane: • wysokość maksymalnej miesięcznej renty wieczystej, płatnej „z góry”, ew

• wysokość maksymalnej rocznej renty wieczystej, płatnej „z dołu”, ew

• wysokość renty miesięcznej e, płatnej przez 20 lat „z dołu”, • liczbę wypłat N renty miesięcznej „z góry” o wysokości 600 zł.

Obliczamy kapitał podstawy, z którego wypłacane są renty:

K W n i= = ⋅+ −

=s 1800 1 0 1 10 1

296089 2430( , )

,, zł

Dalej korzystamy ze wzorów z cz. 13.2. a) obliczamy wartość maksymalnej renty wieczystej miesięcznej, „z góry”:

i = =0 1012

0 00833333, ,

ew =⋅

+=

⋅+

=K i

i1296089 24 0 00833333

1 0 008333332277 61, ,

,, zł

b) obliczamy wartość maksymalnej renty wieczystej, rocznej „z dołu” :

ew = ⋅ = ⋅ =K i 296089 24 0 10 29608 92, , , zł

c) n = 20 ·12 = 240 (n - ilość rent miesięcznych) i = 0,00833333 Obliczamy wysokość renty miesięcznej płatnej „z góry”

e Ki a an i

=+ ⋅

=+ ⋅

=( )

,( , )

,,1

296089 241 0 00833333

283371240 0 00833333


127

d) e = 600,00 zł, i = 0,008333333

N =⋅

+=

log

log

( 600(1+0,00833333)600(1+0,008333333)-296089,24 0,008333333

)

( , )1 0 00833333nieskończoność,

gdyż wysokość renty jest 600 zł, a maksymalna renta wieczysta wynosi 2277,61 zł miesięcznie. Obliczając wyrażenie przedstawione wyżej dochodzi się do ujemnej liczby pod logarytmem w liczniku, co oznacza, że renta 600 zł miesięcznie będzie rentą wieczystą, a N = . ∞ Odpowiedź: Maksymalna miesięczna renta wieczysta wypłacana „z góry” wynosi 2277,61 zł, maksymalna roczna renta wieczysta wypłacana „z dołu” wynosi 29 608,92 zł. Wysokość renty miesięcznej wypłacanej „z góry” przez 20 lat wynosi 2833,71 zł. Natomiast liczba wypłat renty miesięcznej N o wysokości 600,00 zł jest nieskończona. 13.9.2. Jaka winna być wysokość corocznej podwyżki o stałą kwotę d renty wypłacanej „z dołu”, aby wpłacony kapitał 20000 zł wystarczył przy pierwszej rencie 2000 zł i stopie procentowej 12% na 10 rocznych rent ?

Rozwiązanie: Dane:

• K = 20 000,00 zł, • e = 2000,00 zł • r = 12 % tzn. r = 0,12 • N = 10 lat, renty roczne, tzn. • i = 12 % tzn. i = 0,12

Szukane: • d = ?

Korzystamy ze wzorów z cz. 13.3.

d20000(1+ 0,12) 2000s

s 10

10

=−

−⋅ =10 0 12

10 0 12

0 12 429 52| ,

| ,

, , zł

Odpowiedź: Wysokość corocznej podwyżki powinna wynosić 429,52 zł. 13.9.3. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny, aby otrzymać miesięczną rentę wypłacaną „z góry” . Wysokość wypłaconej renty ma być co rok podwyższana o 20 zł, a podczas pierwszego roku wysokość renty ma wynosić 400 zł. Obliczyć wielkość wpłacanego kapitału, jeśli stopa procentowa wynosi 12%, kapitalizacja odsetek jest miesięczna, a renta ma być wypłacana przez 10 lat. Obliczyć wartość wypłacanych rent po N latach.

Rozwiązanie: Dane:

• d = 20 zł, • e = 400 zł


128

• r = 12 % tzn. r = 0,12 • N = 10 lat, renty miesięczne „z góry”, podwyższane raz na rok tzn. • w=12 • k=10 • n=120 • i = r/12 = 1 % tzn. i = 0,01

Szukane: • K = ? • =? E120

Korzystamy z wzorów z cz. 13.5. Obliczamy wartość wypłaconych rent po N = 10 latach:

E120 400 86342 53= ⋅ + ⋅ +⋅ +

⋅ + ⋅ − − =(1 0,01) s 20 (1 0,01)0,01

[(1 0,01)a

s(10 1)]120 0,01

10 108 0,01

12 0,01

, zł

Obliczamy wielkość wpłaconego kapitału:

KE

= 120120101( , )

= 26 161,34 zł

Odpowiedź: Wielkość wpłacanego kapitału wynosi 26 161,34 zł a wartość wypłacanych rent po N latach wynosi 86 342,53 zł. 13.9.4. Obliczyć wartość wypłaconych półrocznych rent „z góry” po 10 latach, jeśli w pierwszym roku wysokość renty wynosiła 2400, a w każdym następnym renta była 1,1 razy większa niż w poprzednim. Stopa procentowa wynosi 20%, a kapitalizacja odsetek jest półroczna. Obliczyć także wysokość kapitału, z którego były wypłacone te renty.

Rozwiązanie: Dane:

• q = 1,1, • e = 2400 zł • r = 20 % tzn. r = 0,2 • N = 10 lat, renty półroczne „z góry”, podwyższane raz na rok czynnikiem 1,1,

tzn. • w=2 • k=10 • n=20 • i = r/2 = 10 % tzn. i = 0,1

Szukane: • K = ? • =? E20

Korzystamy z wzorów z cz. 13.6. Obliczamy wartość wypłaconych rent po N = 10 latach:

q bo≠ + ≠ + ≠( ) , ( , ) , ,1 11 1 0 1 112i w 1 21


129

Zatem wartość wypłaconych „z góry” rent obliczamy ze wzoru:

E20

10 2 10

22400 1 0 1 1 0 1 1 11 0 1 11

208341 38= ⋅ + ⋅ ⋅+ −

+ −=

⋅

( , ) ( , ) ,( , ) ,

,s2 0,1 zł

Wartość kapitału, z którego były wypłacone renty:

KE

= =202011

30938 62( , )

, zł

Odpowiedź: Wartość wypłacanych „z góry” rent wynosi 208 341,34 zł. Wypłacano je z kapitału 30 938,62 zł.

13.10. Zadania 13.10.1. Dom wartości K oddano w zamian za rentę. Przy stopie procentowej r, okresie wypłat renty równym okresowi kapitalizacji i danych liczbowych podanych niżej obliczyć: a) wysokość renty wieczystej, b) wysokość renty rocznej płaconej z góry przez 20 lat, c) wysokość renty miesięcznej, płaconej z dołu przez 30 lat., Dane liczbowe: 1) K = 200 000 zł, r = 12%; 2) K = 120 000 zł, r = 18%; 3) K = 150 000 zł, r = 10%; 4) K = 100 000 zł, r = 6%; 5) K = 50 000 zł, r = 18%; 6) K = 200 000 zł, r = 6%. 13.10.2. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny. Przy stopie procentowej r, okresie wypłat renty równym okresowi kapitalizacji i danych liczbowych jak w zadaniu 13.10.1. obliczyć: a) na ile miesięcznych rent o wysokości 1000 zł wystarczy kapitał K, jeśli renty mają być płacone z dołu? Jaka wtedy będzie wysokość ostatniej renty? b) na ile rocznych rent o wysokości 15 000 zł wystarczy kapitał K, jeśli renty mają być płacone z góry? Jaka wtedy będzie wysokość ostatniej renty? 13.10.3. Pracownik przez N lat pracy odkładał na fundusz emerytalny kwotę W rocznie, wpłacając ją na ten fundusz zawsze na końcu roku. Przy stopie procentowej r obliczyć: a) wysokość maksymalnej miesięcznej renty wieczystej, płaconej z góry, jaką można uzyskać z tego funduszu, b) wysokość maksymalnej renty wieczystej rocznej, płatnej z dołu, jaką można uzyskać z tego funduszu, c) wysokość renty miesięcznej, płatnej z góry, jaką przez 20 lat można mieć wypłacaną z tego funduszu przy miesięcznej kapitalizacji odsetek, d) liczbę wypłat renty miesięcznej, płatnej z góry, o wysokości 600 zł, jaką można uzyskać z tego funduszu przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Dane liczbowe: 1) N = 40 lat, W = 1200 zł, r = 12%; 2) N = 30 lat, W = 1800 zł, r = 10%; 3) N = 35 lat, W = 1500 zł, r = 11%; 4) N = 25 lat, W = 2400 zł, r = 12%; 5) N = 20 lat, W = 3600 zł, r = 14%; 6) N = 28 lat, W = 2000 zł, r = 15%.


130

13.10.4. Jaka jest teraźniejsza wartość renty stałej o wysokości e, wypłacanej co miesiąc z góry przez N lat przy stopie procentowej r i miesięcznej kapitalizacji odsetek? Jaka jest suma tych rent, obliczona na koniec okresu wypłat? 1) e = 400 zł, N = 20 lat, r = 15%; 2) e = 500 zł, N = 17 lat, r = 12%; 3) e = 600 zł, N = 12,5 roku, r = 14%; 4) e = 450 zł, N = 16 lat, r = 10,5%; 5) e = 900 zł, N = 8 lat, r = 11%; 6) e = 800 zł, N = 11 lat, r = 8%. 13.10.5. Jaki kapitał K należy złożyć na lokacie terminowej przez lat przy stopie , aby potem przez lat pobierać rentę wysokości e przy stopie procentowej ?

N1 r1N2 r2

a) = 5 lat, = 18%, lokata kwartalna, = 20 lat, e = 400 zł, = 12%, renta miesięczna, płatna „z góry” przy miesięcznej kapitalizacji odsetek;

N1 r1 N2 r2

b) = 3 lat, = 19%, lokata roczna, = 15 lat, e = 600 zł, = 10%, renta miesięczna płatna na koniec miesiąca przy miesięcznej kapitalizacji odsetek;

N1 r1 N2 r2

c) = 10 lat, = 20%, lokata półroczna, = 18 lat, e = 5000 zł, = 11%, renta roczna płatna „z góry”.

N1 r1 N2 r2

13.10.6. Jaki kapitał pozostanie spadkobiercom rencisty z zadania 13.10.1., jeśli umrze on po a) 10 latach, b) 15 latach, c)19 latach, d) na pół roku przed końcem okresu płacenia renty? 13.10.7. Ile powinny wynosić miesięczne wkłady oszczędnościowe W „z góry” przez lat przy stopie procentowej i kapitalizacji rocznej, aby po upływie tego czasu zapewnić sobie comiesięczną rentę e płatną z dołu przez okres lat przy stopie procentowej i kapitalizacji miesięcznej?

N1

r1N2 r2

a) = 5 lat, = 16%, e = 600 zł, = 20 lat, = 10%; N1 r1 N2 r2b) = 10 lat, = 18%, e = 500 zł, = 10 lat, = 9%; N1 r1 N2 r2c) = 8 lat, = 15%, e = 450 zł, = 15 lat, = 12%; N1 r1 N2 r2d) = 20 lat, = 16%, e = 800 zł, = 20 lat, = 10%. N1 r1 N2 r2 13.10.8. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny, aby otrzymać miesięczną rentę wypłacaną "z góry". Pierwsza renta ma wynosić e, a każda następna ma być większa od poprzedniej o d. Obliczyć wielkość wpłaconego kapitału, jeśli stopa procentowa wynosi r, kapitalizacja jest miesięczna, a renta ma być wypłacana przez N lat. Oblicz także wartość wypłaconych rent po N latach. a) e = 400 zł, d = 20 zł, r = 12%, N = 10 lat; b) e = 600 zł, d = 30 zł, r = 10%, N = 20 lat; c) e = 500 zł, d = 25 zł, r = 8%, N = 15 lat; d) e = 800 zł, d = 40 zł, r = 12%, N = 25 lat.


131

13.10.9. Jaka powinna być wysokość pierwszej rocznej renty płaconej "z dołu", aby wpłacony kapitał K przy podwyżkach o d rocznie i stopie procentowej r wystarczył na N rent? a) K = 20 000 zł, d = 300 zł, r = 12%, N = 10 lat; b) K = 50 000 zł, d = 500 zł, r = 10%, N = 20 lat; c) K = 30 000 zł, d = 250 zł, r = 14%, N = 15 lat; d) K = 40 000 zł, d = 300 zł, r = 11%, N = 20 lat. 13.10.10. Jaka powinna być wysokość corocznej stałej podwyżki rocznej renty płaconej "z dołu", aby kapitał K przy pierwszej rencie e i stopie procentowej r wystarczył na N rent? a) K = 20 000 zł, e = 2000 zł, r = 12%, N = 10 lat; b) K = 50 000 zł, e = 3000 zł, r = 10%, N = 20 lat; c) K = 40 000 zł, e = 1800 zł, r = 14%, N = 15 lat; d) K = 50 000 zł, e = 2000 zł, r = 9%, N = 25 lat. 13.10.11. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny, aby otrzymać roczną rentę wypłacaną "z dołu". Pierwsza renta ma wynosić e, a każda następna ma być większa od poprzedniej q razy. Jaka powinna być wysokość pierwszej renty, aby wpłacony kapitał K przy stopie procentowej r wystarczył na N rent? a) K = 20 000 zł, q = 1,01, r = 12%, N = 10 lat; b) K = 50 000 zł, q = 1,03 , r = 10%, N = 20 lat; c) K = 30 000 zł, q = 1,05 , r = 14%, N = 15 lat; d) K = 40 000 zł, q = 1,02 , r = 11%, N = 20 lat. 13.10.12. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny. Obliczyć, na ile rent płatnych pierwszego każdego miesiąca wystarczy ten kapitał przy miesięcznej kapitalizacji odsetek, jeśli każda następna renta ma być większa od poprzedniej q razy? Jaka będzie wysokość przedostatniej i ostatniej renty? a) K = 20 000 zł, e = 300 zł, r = 12%, N = 10 lat, q = 1,01; b) K = 50 000 zł, e = 400 zł, r = 10%, N = 20 lat, q = 1,02; c) K = 40 000 zł, e = 500 zł, r = 14%, N = 15 lat, q = 1,03; d) K = 50 000 zł, e = 450 zł, r = 9%, N = 25 lat, q = 1,04. 13.10.13. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny, aby otrzymać miesięczną rentę wypłacaną "z góry". Pierwsza renta ma wynosić e, a każda następna ma być większa od poprzedniej q razy. Obliczyć wielkość wpłaconego kapitału przy miesięcznej kapitalizacji, jeśli stopa procentowa wynosi r, a renta ma być wypłacana przez N lat. a) e = 400 zł, q = 1,02 , r = 12%, N = 10 lat; b) e = 600 zł, q = 1,03 , r = 10% N = 20 lat; c) e = 500 zł, q = 1,05 , r = 8% N = 15 lat; d) e = 800 zł, q = 1,01 , r = 12% N = 25 lat. 13.10.14. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny, aby otrzymać miesięczną rentę wypłacaną "z góry". Wysokość wypłacanej renty ma być co rok podwyższana o d, a podczas pierwszego roku wysokość renty ma wynosić e. Obliczyć wielkość wpłaconego


132

kapitału, jeśli stopa procentowa wynosi r, kapitalizacja odsetek jest miesięczna, a renta ma być wypłacana przez N lat. Oblicz także wartość wypłaconych rent po N latach. a) e = 400 zł, d = 20 zł, r = 12%, N = 10 lat; b) e = 600 zł, d = 30 zł, r = 10% N = 20 lat; c) e = 500 zł, d = 25 zł, r = 8% N = 15 lat; d) e = 800 zł, d = 40 zł, r = 12% N = 25 lat. 13.10.15. Jaka powinna być wysokość corocznej podwyżki kwartalnej renty płaconej "z dołu", aby wpłacony kapitał K przy pierwszej rencie e i stopie procentowej r wystarczył, przy kapitalizacji kwartalnej, na N lat? a) K = 20 000 zł, e = 500 zł, r = 12%, N = 10 lat; b) K = 50 000 zł, e = 750 zł, r = 10%, N = 20 lat; c) K = 40 000 zł, e = 450 zł, r = 14%, N = 15 lat; d) K = 50 000 zł, e = 500 zł, r = 9%, N = 25 lat. 13.10.16. Jaka powinna być wysokość miesięcznej renty płaconej "z dołu" w pierwszym roku, aby wpłacony kapitał K przy podwyżkach o d rocznie i stopie procentowej r wystarczył, przy kapitalizacji miesięcznej, na N lat? a) K = 20 000 zł, d = 20 zł, r = 12%, N = 10 lat; b) K = 50 000 zł, d = 30 zł, r = 10%, N = 20 lat; c) K = 30 000 zł, d = 25 zł, r = 14%, N = 15 lat; d) K = 40 000 zł, d = 40 zł, r = 11%, N = 20 lat. 13.10.17. Kapitał K wpłacono na fundusz emerytalny, aby otrzymać miesięczną rentę wypłacaną "z dołu". Wysokość wypłacanej renty ma być każdego następnego roku większa q razy niż w roku poprzednim, a podczas pierwszego roku wysokość renty ma wynosić e. Obliczyć wielkość wpłaconego kapitału, jeśli stopa procentowa wynosi r, kapitalizacja odsetek jest miesięczna, a renta ma być wypłacana przez N lat. Oblicz także wartość wypłaconych rent po N latach. Dane liczbowe: a) e = 400 zł, q = 1,05 , r = 12%, N = 10 lat; b) e= 600 zł, q = 1,06 , r = 10% N = 20 lat; c) e = 500 zł, q = 1,04 , r = 8% N = 15 lat; d) e = 800 zł, q = 1,03 , r = 12% N = 25 lat. 13.10.18. Obliczyć wartość wypłaconych półrocznych rent "z góry" po N latach, jeśli w pierwszym roku wysokość renty wynosiła e, a w każdym następnym renta była q razy większa niż w poprzednim. Stopa procentowa wynosi r, a kapitalizacja odsetek jest półroczna. Obliczyć także wysokość kapitału, z którego były wypłacane te renty. a) N = 10 lat, e = 2400 zł, q = 1,1, r = 20%; b) N = 20 lat, e = 3000 zł, q = 1,21, r = 20%; c) N = 15 lat, e = 3600 zł, q = 1,15, r = 12%; d) N = 5 lat, e = 2400 zł, q = 1,2, r = 16%;


133

13.10.19. Obliczyć wartość wypłaconych kwartalnych rent (i) "z dołu" (ii) "z góry", jeśli w pierwszym roku wysokość renty wynosiła e, a w każdym następnym w stosunku do roku poprzedniego rentę powiększano q razy i dodatkowo zwiększano o d. Stopa procentowa wynosi r, a kapitalizacja odsetek jest kwartalna. Obliczyć także wysokość kapitału, z którego były wypłacane te renty. a) N = 10 lat, e = 1200 zł, q = 1,12, d = 100 zł, r = 20%; b) N = 20 lat, e = 1500 zł, q = 1,22, d = 120 zł, r = 20,39%; c) N = 15 lat, e = 1800 zł, q = 1,15, d = 130 zł, r = 12%; d) N = 5 lat, e = 1200 zł, q = 1,2, d = 110 zł, r = 15,12%. 13.10.20. Rozwiązać zadanie 13.10.4 dla przypadku rocznej kapitalizacji odsetek.

14. PODSTAWY MATEMATYKI UBEZPIECZENIOWEJ

14.1. POJĘCIA PODSTAWOWE Rola ubezpieczenia - wyrównywanie (do wysokości kwot i w przedziale czasowym przewidzianych w umowie) skutków zdarzeń losowych, powodujących (bezpośrednio lub pośrednio) utracenie korzyści materialnych. Ubezpieczyciel - instytucja, której ubezpieczony płaci składkę ubezpieczeniową, tworzącą fundusz ubezpieczeniowy. Składka ubezpieczeniowa - kwota wpłacana • jednorazowo lub • cyklicznie w określonym przedziale czasu lub • cyklicznie do końca życia. Wysokość składki ustala się na podstawie teraźniejszej (zdyskontowanej na początek okresu ubezpieczenia) wartości przyszłego świadczenia, wypłacanego w przypadku wystąpienia określonego wypadku losowego, a także kosztów obsługi ubezpieczeń, funduszu rezerwowego oraz funduszu na realizację ubocznych celów działalności ubezpieczeniowej. Składki ubezpieczeniowe tworzą fundusz ubezpieczeniowy. Składka ubezpieczeniowa netto - ta część składki ubezpieczeniowej, która przeznaczona jest na zaspokojenie roszczeń uposażonego. Odszkodowanie (świadczenie) - suma pieniężna, którą ubezpieczyciel jest zobowiązany wypłacić ubezpieczonemu lub uposażonemu (osobie uprawnionej do podjęcia


134

odszkodowania) w przypadku wystąpienia określonego wypadku losowego. Może być ono wypłacone jednorazowo lub w postaci renty, w zależności od umowy ubezpieczenia. Ubezpieczenia życiowe - dzielimy na ⇒ ubezpieczenie na życie (na wypadek śmierci), w których ubezpieczyciel wypłaca

świadczenie uposażonemu w roku śmierci ubezpieczonego; ⇒ ubezpieczenie na dożycie, w którym wypłata świadczenia następuje w przypadku

dożycia przez ubezpieczonego wieku określonego w umowie ubezpieczenia; ⇒ ubezpieczenie renty, które może być dożywotnie lub czasowe. Dwa pierwsze rodzaje ubezpieczeń zostaną tu krótko omówione. Tablice trwania życia - tablice (podane na końcu skryptu dla lat 1985-1986 oraz 1990-1991), opracowane na podstawie badań empirycznych, opisujące proces wymierania badanej generacji od chwili urodzenia aż do jej zaniku. Na ogół jest to przedział od 0 do 100 lat. Dotyczy określonej, zamkniętej zbiorowości osób, urodzonych w tym samym roku i żyjących w podobnych warunkach geograficznych, społecznych, ekonomicznych itp. Służy m.in. do wyznaczania okresu, na który należy dokonać dyskontowania świadczenia (w celu ustalenia wysokości składki ubezpieczeniowej) w ubezpieczeniach życiowych.

14.2. TABLICE TRWANIA ŻYCIA Przytoczone w tym podręczniku tablice trwania życia zawierają następujące parametry: x (wiek), . Wielkości te opisane są w oznaczeniach. Polskie tablice trwania życia są osobno obliczone dla kobiet i dla mężczyzn.

l d q p ex x x x x, , , ,

Oznaczenia:

l0 wielkość początkowa populacji w chwili narodzin (zwykle przyjmuje się próbkę 100 000 osób, tzn. = 100 000) l0

x liczba przeżytych do dzisiaj lat przez osoby z badanej populacji (spośród tych ) l0

l x liczba osób z badanej populacji, dożywających x lub więcej lat (co najmniej x lat), podana w tablicach trwania życia

d l lx x x= − +1 liczba osób z badanej populacji, zmarłych w wieku x lat (zmarłych w przedziale wiekowym <x, x+1) lat)

d l lx n x n x n+ + += − 1+ liczba osób z badanej populacji, zmarłych w przedziale wiekowym <x+n, x+n+1) lat

Rx liczba lat, liczona od wieku x lat do pewnego wieku, jaki ma osiągnąć osoba z danej populacji, mająca dzisiaj x lat (zmienna losowa)

Rx# liczba lat, liczona od wieku x lat do chwili zgonu osoby z danej populacji,

mającej dzisiaj x lat (zmienna losowa) px prawdopodobieństwo zdarzenia, że osoba, mająca dzisiaj x lat, przeżyje

rok; p P R P Rx x x= ≥ ≡( ) (1 )


135

n

px n+ prawdopodobieństwo zdarzenia, że osoba, mająca dzisiaj x lat, będzie żyć

jeszcze co najmniej n lat (n lub więcej lat); p P Rx n x+ = ≥( )

zatem p px x≡ +1 qx prawdopodobieństwo zdarzenia, że osoba, mająca dzisiaj x lat, umrze w

ciągu roku; q px x= −1

qx n+ prawdopodobieństwo zdarzenia, że osoba, mająca dzisiaj x lat, umrze pomiędzy n-tym a (n+1)-szym rokiem dalszego życia

ex przeciętne dalsze trwanie życia osoby z danej populacji, która przeżyła x lat.

p P R n llx nx n

x+

+= ≥ ≈( )

q P R n P R n P R n p p ll

ll

l ll

dlx n x x x x n x n

x n

x

x n

x

x n x n

x

x n

x+ + + +

+ + + + + + += = = ≥ − ≥ + = − ≈ − =−

=( ) ( ) ( )# 1 11 1

czyli

q P R nd

lx n xx n

x+

+= = ≈( )#

Wartość oczekiwaną liczby lat, liczonej od wieku x lat, dla osoby z danej populacji, mającej dzisiaj x lat, można obliczyć, sumując prawdopodobieństwa przeżycia roku po każdym dalszym roku życia tej osoby. Wielkość jest podana w tablicach trwania życia.

ex

ex

Na końcu podręcznika przytoczono tablice trwania życia z lat 1985-86 i 1990-91. Z porównania danych zawartych w tych tablicach można wyciągnąć wiele interesujących wniosków dotyczących długości życia Polek i Polaków okresie 1985-1990.

14.3. RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności wypłacanych regularnie osobie ubezpieczonej, co najwyżej do chwili jej zgonu. Dzielimy je na renty dożywotnie oraz renty czasowe. W przypadku renty czasowej okresem ubezpieczenia jest n kolejnych lat, renta jednak


136

wypłacana jest nie dłużej niż do chwili zgonu ubezpieczonego. Renta może być wypłacana z dołu lub z góry. Przy dalszych rozważaniach przyjmiemy, że renta jest wypłacana z dołu. Oznaczenia:

N liczba wypłaconych corocznie kwot (przy rentach dożywotnich - do końca życia) W suma prosta wypłaconych kwot (bez uwzględnienia pomnażającego wpływu czasu) W0 wartość wypłaconych kwot na chwilę początkową wypłacania rent e renta roczna, stała

ex renta roczna, wartość w k-tym roku

Wielkości N, W, są zmiennymi losowymi. W0

Oczekiwaną liczbę wypłaconych rocznych rent dożywotnich z dołu można dla x-latka określić przybliżonym wzorem:

E Nl

lx

x kk

k

( ) = +=

=∞

∑1

1

liczba wypłaconych rocznych rent dożywotnich z dołu

Zwykle jest to suma od 1 do takiej liczby, dla której jest określona w tablicach wielkość (czyli do 100-x). l x k+

Jeśli wypłacana renta roczna jest stała i równa e, to wartość oczekiwana sumy prostej wypłaconych kwot W będzie równa

E W el

lx

x kk

k

( ) ≈ +=

=∞

∑1

Wartość oczekiwana zmiennej losowej W (czyli minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto, bez kosztów ubezpieczenia i zysku towarzystwa ubezpieczeniowego) będzie następująca:

0

E W el

lrx

x kk

k

k

( )( )0

1 1≈

++

=

=∞

∑

minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto


137

Wielkości lx oraz lx+k odczytuje się z tablic trwania życia, zaś 11( )+ r k jest czynnikiem

dyskontującym. Przy rentach wypłacanych z góry przesuwa się o jeden okres kapitalizacji moment wypłaty. Stąd ostatecznie wzory dla rocznych stałych rent dożywotnich wypłacanych z góry (z dołu):

coroczne renty „z dołu” coroczne renty „z góry” opis wzoru

E Nl

lx

x kk

k

( ) = +=

=∞

∑1

1 E N

ll

xx k

k

k

( ) = +=

=∞

∑1

0

oczekiwana liczba wypłaconych rocznych rent dożywotnich

E W el

lx

x kk

k

( ) ≈ +=

=∞

∑1

E W el

lx

x kk

k

( ) ≈ +=

=∞

∑0

suma prosta wypłaconych kwot

E W el

lrx

x kk

k

k

( )( )0

1 1≈

++

=

=∞

∑ E W el

lrx

x kk

k

k

( )( )0

0 1≈

++

=

=∞

∑


Przez nieskończoność w górnej granicy sumowania należy rozumieć taką liczbę, dla której da się jeszcze określić sumowany składnik na podstawie tablic trwania życia. Wzory dla rocznych stałych rent czasowych wypłacanych z dołu (z góry) przez n lat:

coroczne renty „z dołu” coroczne renty „z góry” opis wzoru

E Nl

lx

x kk

k n

( ) = +=

=

∑1

1 E N

ll

xx k

k

k n

( ) ≈ +=

= −

∑1

0

1

oczekiwana liczba wypłaconych rocznych rent przez n lat

E W el

lx

x kk

k n

( ) ≈ +=

=

∑1

E W el

lx

x kk

k n

( ) ≈ +=

= −

∑0

1

suma prosta wypłaconych kwot

E W el

lrx

x kk

k

k n

( )( )0

1 1≈

++

=

=

∑ E W el

lrx

x kk

k

k n

( )( )0

0

1

1≈

++

=

= −

∑



138

Gdy zamiast rent stałych występują roczne renty o różnych wysokościach (ogólnie: ), to odpowiednie wzory na E(W ) (oczekiwana wartość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto) mają następująca postać:

ek

0

dla rocznej renty dożywotniej z dołu:

E Wl

e lrx

k x kk

k

k

( )( )0

1

11

≈+

+

=

=∞

∑

dla rocznej renty dożywotniej z góry:

E Wl

e lrx

k x kk

k

k

( )( )0

0

11

≈+

+

=

=∞

∑

dla rocznej renty wypłacanej z dołu przez n lat:

E Wl

e lrx

k x kk

k

k n

( )( )0

1

11

≈+

+

=

=

∑

dla rocznej renty wypłacanej z góry przez n lat:

E Wl

e lrx

k x kk

k

k n

( )( )0

0

111

≈+

+

=

= −

∑

Renty wypłacane w okresach krótszych niż rok (kwartalne, miesięczne) sprowadza się do rent rocznych z dołu, obliczając ich wartość na koniec każdego roku wypłat. Dla obliczenia minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto wykorzystuje się następnie wzory podane wyżej.


139

14.4. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE

14.4.1. Ubezpieczenie mieszane (na życie, tzn. na wypadek śmierci oraz na dożycie do określonego wieku)

Ubezpieczający się x-latek wpłaca składkę ubezpieczeniową jednorazowo (dla uproszczenia). Jeśli ubezpieczony umrze w ciągu najbliższych n lat, to ubezpieczyciel wypłaci uposażonemu kwotę T. Jeśli ubezpieczony przeżyje n kolejnych lat, to zostanie mu wypłacona kwota L. Przyjmujemy, że wypłaty następują na końcu roku śmierci lub przeżycia (z dołu). Wartość oczekiwana zmiennej losowej W (czyli minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto, bez kosztów ubezpieczenia i zysku towarzystwa ubezpieczeniowego) będzie następująca:

0

E Wq T

rp L

rTl

dr

Ll

lr

x kk

k

k nx n

nx

x kk

xk

k nx n

n( )( ) ( ) ( ) ( )0 1

0

1

10

1

1 1 1 1=

++

+≈

++

++

+=

= −+ +

+=

= −+∑ ∑

czyli

E W Tl

dr

Ll

lrx

x kk

xk

k nx n

n( )( ) ( )0 1

0

1

1 1≈

++

++

+=

= −+∑


Tę minimalną jednorazową składkę oblicza się wykorzystując tablice trwania życia.

14.4.2. Bezterminowe ubezpieczenie na życie

Jest to sytuacja, gdy w poprzednim przypadku położymy n = ∞ oraz L = 0. Wówczas wartość oczekiwana zmiennej losowej W (czyli minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto) będzie następująca:

0

E W Tl

drx

x kk

k

k

( )( )0 1

0 1≈

++

+=

=∞

∑



140

14.4.3. Terminowe (okresowe) ubezpieczenie na wypadek śmierci

Jest to sytuacja, gdy w rozważaniach ubezpieczenia mieszanego położymy L = 0. Wypłata kwoty T nastąpi tylko wtedy, gdy w ciągu najbliższych n kolejnych lat nastąpi zgon ubezpieczonego. Wówczas wartość oczekiwana zmiennej losowej W (czyli minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto) będzie następująca:

0

E W Tl

drx

x kk

k

k n

( )( )0 1

0

1

1≈

++

+=

= −

∑


14.4.4. Czyste ubezpieczenie na dożycie

W tej sytuacji w ubezpieczeniu mieszanym T = 0. Kwota L zostanie wypłacona tylko wtedy, gdy ubezpieczony przeżyje jeszcze co najmniej okres ubezpieczenia obejmujący umowne n lat. Wartość oczekiwana zmiennej losowej W (czyli minimalna jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto) będzie wówczas następująca:

0

E W Ll

lrx

x nn( )

( )0 1≈

++


14.5. PRZYKŁADY 14.5.1. Z tablic trwania życia (lata 1985-1986) odczytujemy, że dla mężczyzny 20-letniego prawdopodobieństwo przeżycia jeszcze co najmniej 1 roku wynosi p20 = 0,99876. Przeciętny 20-latek przeżyje jeszcze e20 = 48,85 lat - ale

przeciętny 60-latek przeżyje jeszcze e20 = 15,31 lat. Natomiast dla kobiety 20-letniej prawdopodobieństwo przeżycia jeszcze co najmniej 1 roku wynosi p20 = 0,99963. Przeciętna 20-latka przeżyje jeszcze e20 = 56,92 lat - ale

przeciętna 60-latka przeżyje jeszcze e20 = 19,90 lat.


141

14.5.2. Prawdopodobieństwo, że osoba 20-letnia przeżyje jeszcze co najmniej 50 lat wynosi p p20 50 70+ = = 0,64672 (z tablic trwania życia - lata 1985-1986 - wykorzystano tu następujące dane dotyczace populacji „ogółem”: 62 981, l70 =l20 = 97 385) . Jeśli to będzie mężczyzna, to p p20 50 70+ = = 0,52973 ( 51 353, l70 =l20 = 96 942) . Jeśli to będzie kobieta, to p p20 50 70+ = = 0,76223 ( 74 586, l70 =l20 = 97 852). Prawdopodobieństwo, że osoba 20-letnia umrze dokładnie w wieku 45 lat (przed ukończeniem 46 roku życia) wynosi q q20 25 45+ = = 0,00453 wykorzystano tu następujące dane: d45 = 441 , l20 = 97 385). 14.5.3. Polisę ubezpieczeniową zamierza wykupić osoba 70-letnia. Okres ubezpieczenia mieszanego ustala się na 5 lat. Ustalić wysokość składki ubezpieczeniowej, jeżeli T = 10 000 zł oraz L = 20 000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 20%.

Rozwiązanie: Mamy tu do czynienia z ubezpieczeniem mieszanym. Ponieważ nie znamy płci tej osoby, korzystamy z tablic trwania życia „ogółem” (lata 1985-1986). W oparciu o odpowiedni wzór z cz. 13.4 znajdujemy jednorazową składkę ubezpieczeniową netto:

E W( ), , , , , ,0 2 3 4 5 5

1000062981

22701 2

23721 2

24881 2

26171 2

27571 5

2000062981

504761 2

= + + + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + ⋅ = 7608,50 zł.

Gdy przy niezmienionych pozostałych danych przyjmiemy L = 5000 zł, to E W( )0 =2777,24 zł. 14.5.4. 90-letni mężczyzna ubezpiecza się bezterminowo na wypadek śmierci, wpłacając jednorazową składkę netto w wysokości 20 000 zł. na jaką wypłatę może liczyć rodzina w roku śmierci ubezpieczonego, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 18%?

Rozwiązanie: E W( )0Tutaj znamy jednorazową składkę netto = 20 000 zł. Wielkością obliczaną jest T

(wypłata odszkodowania na wypadek śmierci). Przekształcając odpowiedni wzór dotyczący bezterminowego ubezpieczenia na życie i posługując się tablicami trwania życia (lata 1985-1986) otrzymujemy jednorazową składkę ubezpieczeniową netto:

T = ⋅ ⋅ + + + + + + + + + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

20000 2789 758118

585118

441118

323118

231118

160118

108118

71118

45118

28118

171182 2 4 5 6 7 8 9 10 11

1

, , , , , , , , , , ,skąd ostatecznie

T = 32 265,18 zł.

14.5.5. Określić składkę ubezpieczenia netto, jeżeli ubezpieczająca się osoba chce zapewnić rodzinie wypłatę 30 000 zł w roku śmierci. Dodatkowe dane: wiek


142

x = 70 lat, kobieta, okres ubezpieczenia n = 5 lat, roczna stopa procentowa r = 15%.

Rozwiązanie: Mamy tu do czynienia z terminowym ubezpieczeniem na wypadek śmierci. Podstawiając do odpowiedniego wzoru i posługując się tablicami trwania życia „ogółem” (lata 1985-1986) otrzymujemy jednorazową składkę ubezpieczeniową netto:

E W( ), , , , ,0 2 3 4

3000074586

1970115

2116115

2281115

2467115

2670115

= + + + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥5 = 3 037,09 zł

Gdyby ubezpieczającą się osobą był mężczyzna, to jednorazowa składka ubezpieczeniowa netto, wyliczona w oparciu o tablice trwania życia (lata 1985-86), wynosiłaby 5 267,62 zł. 14.5.6. W ubezpieczeniu na dożycie 10 lat 70-letni mężczyzna wpłacił jednorazową składkę netto w wysokości 20 000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 15%. Na jaką wypłatę L może liczyć ubezpieczony po ukończeniu 80 roku życia?

Rozwiązanie: Mamy tu do czynienia z czystym ubezpieczeniem na dożycie z następującymi danymi:

20 000 zł, E W( )0 = l lx = =70 51 353, n = 10, l lx+ = =10 80 22 932 (tablice trwania życia, lata 1985-1986), r = 0,15.. Po podstawieniu do przekształconego wzoru otrzymujemy

L =⋅

=20000 51353 11522932

10, 181 189,19 zł

14.6. Zadania

14.6.1. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) pan liczący 40 lat przeżyje jeszcze 60 lat b) pani licząca 25 lat przeżyje jeszcze 75 lat c) osoba 50-letnia przeżyje jeszcze 30 lat. 14.6.2. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) pan liczący 40 lat umrze po 15 latach b) pani licząca 25 lat umrze po 5 latach c) osoba 50-letnia umrze po 30 latach 14.6.3. Sprawdź w tablicach trwania życia, jaka jest oczekiwana wartość liczby lat dla osoby w twoim wieku. 14.6 4. Jaką (prawdopodobnie) liczbę rent dożywotnich, płatnych corocznie z dołu, otrzyma a) 70-latek, b) 80-latek, c) 90-latek?


143

14.6.5. Obliczyć minimalną jednorazową składkę ubezpieczeniową netto dla przypadku, gdy przy wypłatach z dołu i stopie procentowej równej 20% osoba w wieku A lat chce otrzymywać rentę w wysokości B zł rocznie a) A=70, B=6000 b) A=75, B=4800 c) A=80, B=7200 14.6.6. Rozwiązać zadanie 5 dla przypadku rent płatnych z góry. 14.6.7. Rozwiązać zadanie 5 dla przypadku, gdy renty mają być wypłacane z góry przez a) 5 lat b) 7 lat c) 10 lat d) 20 lat 14.6.8. Rozwiązać zadanie 5 dla przypadku, gdy renty mają być wypłacane z dołu przez a) 5 lat b) 7 lat c) 10 lat d) 20 lat 14.6.9. Obliczyć minimalną jednorazową składkę ubezpieczeniową netto dla przypadku, gdy przy stopie procentowej 15% i corocznych wypłatach z dołu rencista (mężczyzna) chce otrzymywać przez 10 lat rentę, która w pierwszym roku wynosi 6000 zł, a w każdym następnym jest o 300 zł wyższa niż w poprzednim. Kandydatem na rencistę jest a)70-latek b) 75-latek c) 80-latek 14.6.10. Obliczyć minimalną jednorazową składkę ubezpieczeniową netto dla przypadku, gdy przy stopie procentowej 18% i wypłatach z góry rencistka (kobieta) chce otrzymywać przez 15 lat rentę, która w pierwszym roku wynosi 4800 zł, a w każdym następnym jest 1,2 raza wyższa niż w poprzednim. Kandydatem na rencistę jest a)70-latek b) 75-latek c) 80-latek 14.6.11. Ubezpieczający się mężczyzna w wieku A lat zawarł w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli umrze w ciągu najbliższych B lat, to jego spadkobiercy otrzymają kwotę T zł, a jeśli przeżyje ten okres, to zostanie mu wypłacona kwota L. Obliczyć wysokość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto, jaką musiał zapłacić, aby umowa weszła w życie. a) A=70 lat, B=10 lat, T = 100 000 zł, L = 50 000 zł, r = 15% b) A=65 lat, B=5 lat, T = 50 000 zł, L = 150 000 zł, r = 20% c) A=75 lat, B=10 lat, T = 150 000 zł, L = 100 000 zł, r = 12% 14.6.12. Ubezpieczający się mężczyzna w wieku A lat, który wpłacił jednorazową składkę ubezpieczeniową netto w wysokości S, zawarł w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli umrze w ciągu najbliższych B lat, to jego spadkobiercy otrzymają kwotę T zł, a jeśli przeżyje ten okres, to zostanie mu wypłacona kwota L. Obliczyć wysokość ewentualnej wypłaty L, jaką otrzyma ubezpieczający się po przeżyciu B lat. a) A=70 lat, B=10 lat, T = 100 000 zł, S = 70 000 zł, r = 15% b) A=65 lat, B=5 lat, T = 50 000 zł, S = 40 000 zł, r = 20% c) A=75 lat, B=10 lat, T = 150 000 zł, S = 100 000 zł, r = 12%


144

14.6.13. Ubezpieczająca się kobieta w wieku A lat zawarła w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli umrze w ciągu najbliższych B lat, to jego spadkobiercy otrzymają kwotę T zł. Obliczyć wysokość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto, jaką musiała zapłacić, aby umowa weszła w życie. a) A=40 lat, B=20 lat, T = 100 000 zł, r = 15% b) A=55 lat, B=15 lat, T = 150 000 zł, r = 20% c) A=60 lat, B=10 lat, T = 150 000 zł, r = 12% 14.6.14. Rozwiązać zadanie 13 dla przypadku, gdy ubezpieczającym się był mężczyzna. 14.6.15. Ubezpieczająca się osoba w wieku A lat postanowiła zabezpieczyć swoją przyszłość, zawierając w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli przeżyje B lat, to zostanie jej wypłacona jednorazowo kwota L zł. Obliczyć wysokość minimalnej jednorazowej składki ubezpieczeniowej netto, jaką musiała zapłacić, aby umowa weszła w życie. a) A=40 lat, B=30 lat, L = 100 000 zł, r = 15% b) A=45 lat, B=25 lat, L = 150 000 zł, r = 18% c) A=55 lat, B=15 lat, L = 150 000 zł, r = 20% d) A=60 lat, B=10 lat, L = 150 000 zł, r = 12% 14.6.16. Rozwiązać zadanie 15 dla przypadku, gdy tą osobą jest kobieta. 14.6.17. Rozwiązać zadanie 15 dla przypadku, gdy tą osobą jest mężczyzna. 14.6.18. Ubezpieczająca się osoba w wieku A lat postanowiła zabezpieczyć swoją przyszłość, zawierając w umowie ubezpieczenia zapis, że jeśli przeżyje B lat, to zostanie jej wypłacona jednorazowo kwota L zł. Opłacona została przy tym minimalna jednorazowa składka netto w wysokości S. Jakiej wypłaty może się spodziewać ta osoba po B latach? a) A=40 lat, B=30 lat, S = 20 000 zł, r = 15% b) A=45 lat, B=25 lat, S = 30 000 zł, r = 18% c) A=55 lat, B=15 lat, S = 40 000 zł, r = 20% d) A=60 lat, B=10 lat, S = 50 000 zł, r = 12% 14.6.19. Rozwiązać zadanie 18 dla przypadku, gdy tą osobą jest kobieta. 14.6.20. Rozwiązać zadanie 18 dla przypadku, gdy tą osobą jest mężczyzna.


145

15. PODSTAWY WYCENY

PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

15.1. WARTOŚĆ ZAKTUALIZOWANA NETTO (NPV) Podany w części 1 wzór na stopę zwrotu (zysku) określa relację pomiędzy zainwestowanym kapitałem oraz kapitałem pomnożonym (otrzymanym w wyniku zainwestowania w konkretną inwestycję).

K0 K1

K0

Wewnętrzna stopa zwrotu jest specyficzną stopą zysku, zawsze związaną z konkretną inwestycją. Określa się ją jako stopę dyskonta, która zrównuje teraźniejszą wartość przyszłych wpływów z teraźniejszą wartością przyszłych nakładów. Oznaczmy:

Wi wpływy na końcu i-tego okresu kapitalizacji N i nakłady na początku i-tego okresu kapitalizacjir wewnętrzna stopa zwrotu w okresie roku n liczba lat

Równanie określające wewnętrzną stopę zwrotu r przy założeniu, że wpływy i Wi

nakłady są jednoznacznie określone i znane (nie mają charakteru losowego) ma N i

postać: N1

02

1 11

12

21 1 1 1 1 1( ) ( )...

( ) ( ) ( )...

( )++

++ +

+=

++

++ +

+−rN

rNr

Wr

Wr

Wr

nn

nn

Porównując wyliczoną wewnętrzną stopę zwrotu z przewidywaną na rozważany okres stopą dyskontową można określić opłacalność inwestycji. Służy do tego: Wartość zaktualizowana netto (Net Present Value - w skrócie: NPV) danego przedsięwzięcia - jest wartość otrzymana przez zdyskontowanie, oddzielnie dla każdego roku, różnicy pomiędzy wpływami (przychodami) i wydatkami (nakładami) pieniężnymi przez cały okres trwania inwestycji, przy określonym poziomie stopy dyskontowej r. NPV oblicza się ze wzoru:

NPVW N

rW N

rW N

rW

rNn n

nn

n=−+

+−

++

−

++

+−−

−1 2 2 3

21

1 11 1 1 1( )...

( ) ( )


146

Kryterium NPV polega na zbadaniu znaku NPV przy zadanej stopie r. Pozwala ono określić opłacalność inwestycji. • NPV < 0 oznacza, że tempo pomnażania kapitału w danej inwestycji (stopa zysku)

będzie mniejsze niż stopa r (oczekiwana lub rzeczywista stopa dyskontowa) • NPV > 0 oznacza, że stopa zysku będzie większa niż stopa r Niech r+ - wartość r, dla której NPV = NPV+ > 0 r- - wartość r, dla której NPV = NPV- < 0 Wartości r+ oraz r- powinny być dobrane tak, aby wartości NPV+ oraz NPV- były jak najbliższe zeru. Wtedy

r rr r

NPVNPV NPV

o −−

=+

+

− +

+

+ −

przybliżona wartość rzeczywistej stopy zwrotu r0

Dla stóp dotyczących okresów krótszych niż rok w podanych wyżej wzorach trzeba zamiast r wpisać wielkość i = r/k , a zamiast n wielkość kn. Tutaj k - liczba okresów kapitalizacji w roku, r - nominalna roczna stopa procentowa.

15.2. ZASADA WYCENY PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Naczelną regułą wyceny, czyli określenia wartości jakiegoś dobra, jest zasada oparta na wartości teraźniejszej PV (Present Value) tego dobra. Oznacza to, że określenie wartości (dokonanie wyceny) polega na zdefiniowaniu strumienia wpływów, stanowiącego efekty posiadania określonego dobra (aktywu), stopy dyskontowej i zastosowaniu wzoru na NPV. W sytuacji, gdy wszystkie nakłady są równe zeru, wartość NPV oznaczamy jako PV. Jest to wtedy zdyskontowany strumień samych wpływów.

N N N n1 2, ,... ,

Zatem formułę wyceny dobra (aktywu) można określić wzorem

P = PV gdzie: P - cena, PV - obecna wartość strumienia wpływów przy założonej (znanej) stopie dyskontowej r. Jeśli P będzie ceną, jaką zapłacimy za dane dobro i będzie to jedyny poniesiony nakład (wydatek), to dla tego dobra NPV = 0.


147

15.3. WYCENA OBLIGACJI O STAŁYM OPROCENTOWANIU

Obligacja - papier wartościowy, potwierdzający zaciągnięcie przez emitenta kredytu u nabywcy obligacji. Wysokość zaciągniętego kredytu określa wartość nominalna obligacji. Zwrot tego kredytu następuje zgodnie z określonym w obligacji terminem wykupu, zwanym też terminem ważności obligacji. Kupony - odsetki z tytułu wypożyczenia kredytu. Pewne rodzaje obligacji nie posiadają odsetek (są to tzw. obligacje o kuponie zerowym). Rodzaje obligacji: - obligacje o stałym oprocentowaniu (odsetki tworzą ciąg stały) - obligacje zamienne (na akcje) - obligacje o kuponie zerowym (brak odsetek, sprzedaż z dyskontem) - obligacje indeksowane (odsetki oraz zwracana wartość nominalna są indeksowane o stopę inflacji). Poniżej omówiono krótko tylko obligacje o stałym oprocentowaniu. Oznaczenia:

P cena obligacji C stały kupon (odsetki), obliczany na podstawie nominalnej stopy dyskontowej r rzeczywista stopa dyskontowa n liczba lat do terminu wykupu obligacji M wartość nominalna obligacji

( )[an|r = − + −1 1 1r

r n ]

czynnik umorzeniowy (patrz tablice na końcu podręcznika)

P C Mrn r n= +

+a

( )1

- cena sprzedaży obligacji o stałym oprocentowaniu o odsetkach płaconych raz na rok

P C Mikn i kn= +

+a

( )1

cena obligacji dla odsetek płaconych k razy w roku przy kapitalizacji w podokresach

(stopa w podokresie jest wtedy równa i = r/k )


148

Przy znanej (podyktowanej przez rynek) cenie obligacji, , dla inwestora ważna jest wewnętrzna stopa zwrotu . Można ją wyznaczyć przy pomocy wzoru przybliżonego, wykorzystując kryterium NPV. Traktując mianowicie wartość P, obliczoną wg jednego z poprzednich wzorów, jako potencjalny wpływ, a cenę rynkową jako nakład można określić NPV ze wzoru

Pm

r0

Pm

NPV = P - Pm

Obliczając - przy ustalonej cenie - wartość NPV dla dwóch różnych stóp r takich, że Pm

♦ dla r+ wartość NPV+ > 0, zaś ♦ dla r- wartość NPV- < 0, można obliczyć przybliżoną wartość wewnętrznej stopy zwrotu na podstawie ostatniego wzoru podanego w cz. 15.1.

r0

Gdy cena nabycia obligacji jest równa wartości nominalnej, to całkowity dochód z tej obligacji jest równy sumie odsetek, czyli • nC (przy kapitalizacji rocznej) lub • knC (przy kapitalizacji w k podokresach w roku). Gdy cena nabycia obligacji różni się od jej wartości nominalnej, to dochód ten różni się od podanego wyżej o wartość M - .

Pm

Pm

15.4. WYCENA AKCJI Akcje najczęściej dzieli się na akcje zwykłe oraz akcje uprzywilejowane. Wpływy z posiadanej akcji wynikają z dywidendy oraz przyrostu ceny akcji w rozpatrywanym przedziale czasu. Przy wycenie akcji zwykle przyjmuje się jeden z trzech modeli: - model stałej wartości dywidendy, - model stałego wzrostu dywidendy (model Gordona), - model dwóch faz.


149

Oznaczenia:

P cena akcji Dk k-ta dywidenda D stała dywidenda r stopa dyskontowa

ak stopa przyrostu dywidendy w k-tym okresie kapitalizacji

15.4.1. Model stałej wartości dywidendy Przyjmuje się, że firma rozwija się w jednostajnym tempie, uzyskując stałe dochody. W konsekwencji wypłacane dywidendy, oznaczane D, będą również stałe, czyli stopa a przyrostu dywidendy jest równa zero. Stąd przy stałej stopie dyskontowej r cena akcji ma postać

P Dr

Drk

k

=+

==

∞

∑ ( )11

Jest to cena akcji, gdy we wszystkich okresach dywidenda wynosi D. Gdy uwzględnia się tylko n okresów stopy dyskontowej, przy czym w każdym okresie wielkość dywidendy jest inna, równa , a wartość akcji po tym okresie jest równa , to cena akcji przyjmuje postać

Dk Pn

P PV PV= +1 2 gdzie

PVD

rk

kk

n

11 1

=+=

∑ ( )

PVP

rn

n2 1=

+( )

Ostatecznie otrzymujemy

PD

rP

rk

kk

nn

n=+

++=

∑( ) ( )1 11

Jest to cena akcji, gdy w poszczególnych okresach dywidenda wynosi , Dk

a po tym okresie cena akcji jest równa Pn


150

Gdy wszystkie dywidendy mają taką samą wartość D, to Dk

PV Dr

Dkk

n

nr11 1

=+

==

∑ ( ) |a

i dostajemy

P DP

rnrn

n= ++

a | ( )1

Jest to cena akcji, gdy w poszczególnych okresach dywidenda wynosi D, a po tym okresie cena akcji jest równa Pn

Gdy znana jest cena rynkowa akcji oraz wartość dywidendy D, to wewnętrzną stopę zwrotu można obliczyć ze wzoru

Pm

r DPm

0 =

15.4.2. Model Gordona

Zakłada się, że firma rozwija się w stałym tempie a > 0, co oznacza, że wypłacane przez nią dywidendy tworzą ciąg geometryczny: . Przy stałej stopie dyskontowej r cena akcji wyraża się wzorem:

D D akk= +( )1

P D ar

Dr a

k

kk

=++

=−

−

=

∞

∑ ( )( )11

1

1

dla . a r≠

15.4.3. Model dwóch faz W tym modelu zakłada się, że w początkowym okresie firma rozwija się bardzo dynamicznie w tempie a . Potem następuje okres stabilizacji, w którym firma rozwija się w stałym tempie , ale

1 0>a2 a a2 1< . Niech pierwsza faza trwa n okresów. Wtedy cenę

akcji można przedstawić następująco:


151

P D ar

Pr

Dr a

ar

Pr

k

kk

nn

n

nn

n=++

++

=−

⋅ −++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

++

−

=∑ ( )

( ) ( ) ( )11 1

1 11 1

11

1 1

1

gdzie

PD a a

rD a

ar an

n k

kk

n=+ +

+= +

+−

−

=

∞−∑ ( ) ( )

( )( )

1 11

111

12

11

1 2

2

Ostatecznie w modelu dwóch faz na cenę akcji mamy wzór:

P Dr a

ar

Dr a

ar

ar

n n

=−

⋅ −++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+−

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

−

1

1

2

11

21 11

11

11

gdzie a r , 1 ≠ a2 r≠ . W szczególnym przypadku, gdy a2 0= , otrzymujemy:

P Dr a

ar

Dr

ar

n n

n=−

⋅ −++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

++

+

−

1

1 11

1 11

11

( )( )

15.5. PRZYKŁADY

15.5.1. Wynajęcie samochodu na 4 lata kosztuje 5000 zł płatne z góry. Przewidywane wpływy są następujące: w pierwszym roku - 3000 zł, w drugim roku - 2000 zł, w trzecim roku - 1500 zł, w czwartym roku - 1000 zł. Zbadać opłacalność przedsięwzięcia przy stopie zwrotu wynoszącej a) 15%, b) 25%. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu w tym przypadku?

Rozwiązanie: Dane:

• = 5000 zł; pozostałe nakłady są równe zeru. N1

• = 3000 zł W1

• = 2000 zł W2

• = 1500 zł W3

• = 1000 zł W4

• a) r = 15%, tzn. r = 0,15 • b) r = 25%, tzn. r = 0,25

Szukane: • NPV = ?

Aby zbadać opłacalność przedsięwzięcia korzystany z kryterium NPV. Korzystamy ze wzoru z cz. 15.1.:


152

NPVW

rW

rW

rW

rN=

++

++

++

+−1 2

23

34

4 11 1 1 1( ) ( ) ( )

Otrzymana wartość mierzona jest w złotówkach; dla jasności wywodu opuścimy „zł”. Dla przypadku a) otrzymujemy:

NPV =+

++

++

++

−3000

1 0 152000

1 0 151500

1 0 151000

1 0 1550002 3 4, ( , ) ( , ) ( , )

= 679,01 > 0

Oznacza to, że dla przewidywanej stopy zwrotu wynoszącej 15% przedsięwzięcie jest opłacalne. Dla przypadku a) otrzymujemy:

NPV =+

++

++

++

−3000

1 0 252000

1 0 251500

1 0 251000

1 0 2550002 3 4, ( , ) ( , ) ( , )

= -142,40 < 0

Oznacza to, że dla przewidywanej stopy zwrotu wynoszącej 25% przedsięwzięcie nie jest opłacalne. Wewnętrzną stopę zwrotu można w przybliżeniu określić ze wzoru

r rr r

NPVNPV NPV

o −−

=+

+

− +

+

+ −

W rozważanym przypadku mamy = 0,15, = 0,25, = 697,01, = -142,40. Podstawiając te dane do wzoru otrzymujemy równanie

r+ r− NPV+ NPV−

ro −−

=+

0 150 25 0 15

697 01697 01 142 40

,, ,

,, ,

skąd = 0,233. Oznacza to, że wewnętrzna stopa zwrotu w tym przypadku wynosi ok. 23,3%.

ro

15.5.2. Wyznaczyć cenę obligacji 20-letniej o wartości nominalnej 100 zł w dniu emisji, jeśli jej nominalna roczna stopa procentowa wynosi 16%, odsetki wypłacane są co rok, a aktualna roczna stopa dyskontowa wynosi 20%.

Rozwiązanie: Posługujemy się wzorami z cz. 15.3. Dane:

• M = 100 zł • n = 20 lat • nominalna stopa procentowa = 16%, tzn. = 0,16 rnom rnom

• C = ⋅100 0 16, = 16 zł • rzeczywista stopa dyskontowa r = 20%, tzn. r = 0,20 • n = 20 • k = 1, tzn. i = r = 0,20

Szukana: • cena obligacji P = ?


153

Ze wzoru

P C Mikn i kn= +

+a

( )1

po podstawieniu otrzymujemy: P = + + −16 100 1 0 220 0 2

20a , ( , ) = 80,52 zł

Odpowiedź: Cena tej obligacji w dniu emisji wynosi 80,52 zł. 15.5.3. Dywidenda za rok ubiegły stanowiła kwotę 16 zł przypadającą na 1 akcję. Zakłada się, że przez kolejne 3 lata dywidendy będą rosły w tempie 30% rocznie, a potem wzrost ustabilizuje się na poziomie 6 % rocznie. Przewidywana stopa dyskontowa wynosi 10%. Obliczyć cenę 1 akcji.

Rozwiązanie: Posługujemy się wzorami z cz. 15.4.3. Dane:

• D = 16 zł • r = 10 %, tzn. r = 0,10 • = 0,30 a1

• = 0,06 a2

• n = 3 Szukane:

• P = ? Ze wzoru

P Dr a

ar

Dr a

ar

ar

n n

=−

⋅ −++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+−

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

−

1

1

2

11

21 11

11

11

po podstawieniu otrzymujemy:

P =−

⋅ −++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+−

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

−160 10 0 30

1 1 0 31 0 1

160 1 0 06

1 0 061 0 1

1 0 061 0 1

3 3

, ,,, , ,

,,

,,

1

= 409,98 zł.

Odpowiedź: Obliczona cena jednej akcji wynosi 409,98 zł.

15.6. Zadania

15.6.1. Przy prowadzeniu inwestycji zakłada się, że nakłady w poszczególnych latach będą wynosiły , a wpływy . Zbadać opłacalność przedsięwzięcia przy stopie zwrotu oraz . Jaka jest w rozważanym przypadku wewnętrzna stopa zwrotu? Dane:

N N N n1 2, ,... , W W Wn1 2, ,... ,r1 r2


154

a) n = 4 lata, = 20 000 zł, = 25 000 zł, = 30 000 zł, = 10 000 zł, N1 N2 N3 N4

W = 50 000 zł, W = 60 000 zł, W = 70 000 zł, W = 40 000 zł; = 20%, = 30%; 1 2 3 4 r1 r2b) n = 3 lata, = 10 000 zł, = =0; W = 30 000 zł, W = 20 000 zł, N1 N2 N3 1 2

W = 10 000 zł; = 20%, = 30%; 3 r1 r2c) n = 4 lata, = 10 000 zł, = 5 000 zł, = =0 zł; W = 50 000 zł, N1 N2 N3 N4 1

W = 25 000 zł, W = 10 000 zł, W = 5 000 zł; = 15%, = 35%. 2 3 4 r1 r2 15.6.2. Wyznaczyć cenę obligacji o wartości nominalnej M i nominalnej stopie procentowej , jeśli rynkowa stopa dyskontowa wynosi r, okres wykupu n lat, , odsetki płacone są jak podano niżej.

rnom

a) M = 10 000 zł, = 16%, r = 18%, n = 10 lat, odsetki płacone co pół roku; rnom

b) M = 20 000 zł, = 12%, r = 15%, n = 20 lat, odsetki płacone co rok; rnom

c) M = 100 000 zł, = 15%, r = 16%, n = 10 lat, odsetki płacone co kwartał; rnom

d) M = 20 000 zł, r = 14%, r = 16%, n = 5 lat, odsetki płacone co pół roku; nom

15.6.3. Ile wynosi nominalna cena obligacji, jeśli jej cena rynkowa na n lat przed terminem wykupu jest równa P przy nominalnej stopie procentowej oraz rynkowej stopie r? Okres płacenia odsetek podano niżej.

rnom

a) P = 42472 zł, = 12%, r = 15%, n = 10 lat, odsetki płacone rocznie; rnom

b) P = 186 580 zł, = 14%, r = 16%, n = 5 lat, odsetki płacone co pół roku; rnom

c) P = 193 795 zł, = 10%, r = 11%, n = 4 lat, odsetki płacone rocznie; rnom

d) P = 16 000 zł, = 5%, r = 7%, n = 5 lat, odsetki płacone rocznie. rnom

15.6.4. Jaka jest wartość odsetek C od n-letniej obligacji o wartości nominalnej M, jeżeli jej cena rynkowa wynosi P, a rynkowa stopa dyskontowa jest równa r? a) n = 6 lat, M = 5 000 zł, P = 6 000 zł, r = 12%, odsetki płacone rocznie; b) n = 5 lat, M =10 000 zł, P = 8 900 zł, r = 16%, odsetki płacone co pół roku; c) n = 10 lat, M =2 000 zł, P = 1 900 zł, r = 14%, odsetki płacone rocznie. 15.6.5. Wyznaczyć cenę akcji, dla której pierwsza dywidenda wynosiła D, przez kolejne n lat przynosiła roczne dywidendy wzrastające w tempie a , a następnie rosła w tempie

. Stopa dyskontowa wynosi r. 1

a2

a) D = 10 zł, n = 3 lata, a = 8%, = 2%, r = 10 %; 1 a2

b) D = 16 zł, n = 4 lata, a = 10%, = 0%, r = 15 %; 1 a2

c) D = 10 zł, n = 3 lata, = 8%, = 2%, r = 10 %; a1 a2

d) D = 5 zł, n = 10 lat, a = 20%, = 5%, r = 18 %. 1 a2

podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowejgrysa/mfskrypt.pdf · krzysztof grysa podstawy...

Documents