30 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 19, 2015

Problemas y rompecabezasSandor OrtegónProfesor de cátedra del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andessj.ortegon@uniandes.edu.co

En esta ocasión proponemos una variedad de problemas que tienen en común lo siguiente: se pueden resolver de manera elemental sin nece-sidad de grandes herramientas matemáticas, de modo que los puede resolver cualquier lector de esta revista. No obstante, cada uno de ellos surgió de la curiosidad de personas que trabajaban en cuestiones ma-temáticas muy profundas de teoría de números, combinatoria, teoría de grupos y topología.

El primero de estos problemas hace parte de lo que algunos conocen como “matemáticas mágicas”, es decir, teoría para desarrollar trucos de “magia” basados en codificación y otros recursos matemáticos. El problema 2 tiene relación con la teoría de diseños combinatorios, con-cretamente, el estudio de estructuras de incidencia, con una combi-nación de álgebra y geometría. El problema 3 está basado en la teoría matemática de grafos usada para resolver el problema 2 de la edición anterior de la revista, solucionado en este número, de manera que puede ser una oportunidad para ver si se comprendió la solución que se presenta más adelante. Y el problema 4 se deriva de un resultado profundo que se aplica en superficies más generales que un tetraedro y a partir del cual el autor pretendía demostrar nuevos resultados en teoría de grupos.

Problema 1

Un mago, que cuenta con un asistente que es su “cómplice”, tiene una baraja completa de cartas —de baraja inglesa, es decir, de 52 car-tas—. El mago se retira por un momento, y, mientras tanto, el asistente muestra las cartas al público y pide a una persona de la audiencia que “revuelva” como quiera el mazo de cartas y que escoja cinco cartas de su preferencia.

El asistente toma las cartas, las mira y coloca en una mesa cuatro de ellas destapadas y la quinta tapada, una al lado de otra. Al regresar, el mago mira rápidamente la mesa y, abracadabra, indica cuál es la carta tapada, ¡para asombro del público!

¿Puede inventarse un truco de magia que funcione de esta manera? Suponga que el mago no se comunica con el asistente: solo mira lo que está en la mesa, tal como lo haya dispuesto el asistente, y desde luego, que la persona del público no es cómplice del mago.

Fuente: https://www.flickr.com/photos/the_brazilian/2287190881

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Problema 2

Es posible trazar cinco segmentos de recta que se intersequen en diez puntos, exactamente, de manera que cada segmento contenga cua-tro de los puntos. Por ejemplo, las cinco diagonales de un pentágono convexo cumplen la afirmación formando una estrella de cinco puntas que algunos llaman “pentágono esotérico”. Existen, desde luego, otras formas de hacer este dibujo.

¿Es posible hacer el dibujo, en una hoja cuadriculada, de manera que todos los puntos de intersección coincidan con esquinas de la cuadrí-cula? En caso afirmativo, ¿cuál es el área mínima que puede tener la hoja cuadriculada?

Problema 3

Seis profesores en el Departamento de Matemáticas de una universidad fueron los únicos que visitaron la cafetería del primer piso, el día que se perdió el portátil del jefe. Cada uno de ellos entró en la cafetería solamente una vez, permaneció por algún tiempo y después salió. Cada vez que hubo dos de ellos al mismo tiempo en el cuarto, al menos uno de ellos notó que el otro estaba allí (los profesores de matemáticas a veces son tan despistados que no se notan entre sí).

Cuando la secretaria del Departamento interrogó a los seis profesores —que por simplicidad llamaremos A, B, C, D, E, F— acerca de su visita a la cafetería aquel día, recibió la siguiente información:• El profesor A afirmó haber visto a B y E• El profesor B afirmó haber visto a A y F• El profesor C afirmó haber visto a D y F• El profesor D afirmó haber visto a A y F• El profesor E afirmó haber visto a B y C• El profesor F afirmó haber visto a C y E

Si se sabe que exactamente uno de los profesores mintió para inculpar a otro (por “mentir” entendemos dar información falsa, no ocultar infor-mación cierta), ¿quién es el culpable de dicho acto?

Pentagrama esotéricoFuente: http://pentagramaesoterico.blogspot.com.co/2008/12/pentagrama-esoterico-esoteric-pentagram.html

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Fuente: https://www.flickr.com/photos/paurian/3550755709

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Problema 4

Un tetraedro regular es una pirámide que consiste de cuatro triángulos equiláteros, cada uno de ellos unido a los otros tres por los lados o aris-tas, como muestra la figura. Desde luego, las seis aristas resultantes tienen la misma longitud.

Suponga que en cada una de las cuatro caras hay una partícula que una vez empieza a moverse, lo hace con rapidez constante a lo largo del borde de dicha cara. Las cuatro partículas pueden moverse a una velocidad diferente y pueden iniciar su movimiento en cualquier lugar del borde de la cara.

¿Es posible programar un movimiento para las partículas de manera que nunca se choquen, asumiendo que todas se mueven en sentido contrario a las manecillas del reloj al mirarse desde fuera del tetraedro? ¿Es posible hacerlo si dos de ellas se mueven en un sentido y las otras dos en sentido contrario?

Problema 1

Es dada la siguiente sucesión de números (escritos con espacios entre ellos): 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A partir de esta lista, se siguen las siguientes reglas:

• Se debe mantener el orden en que están escritos los números.• No se pueden concatenar dos de los números escritos (es decir,

no se pueden formar números como 109, 76 o 7654 borrando los espacios)

• Entre los números se puede insertar cualquier cantidad de pa-réntesis y signos de las cuatro operaciones aritméticas básicas: + − × ÷

¿Es posible obtener el número 2015 siguiendo las reglas anteriores?

¿Es posible obtener cada año de esta década usando las reglas?

¿Existe algún número natural que no se pueda formar siguiendo estas reglas?

Solución

• Es posible obtener 2015 usando las reglas anteriores. Por ejem-plo:

2015 = ((10 × 9 × 8 × 7) ÷ (6 × 5)) × (4 × 3) − 2 + 1 − 02015 = 10 × 9 × 8 × ((7 ÷ 6) ÷ 5)) × 4 × 3 − 2 + 1 + 02015 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) + 3 − 2 + (1 × 0)

Es muy interesante el hecho de que la segunda se puede escribir sin necesidad de paréntesis.

• Cada año de esta década se puede obtener siguiendo las reglas; desde luego, hay años para los cuales se puede obtener el núme-ro de más de una forma:

2010 = (10 + 9 + 8 × 7 × 6 − 5 × 4) × (3 + 2 + 1 + 0)2011 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) − 3 + (2 + 1) × 02012 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) − 3 + 2 − 1 + 02013 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) − 3 + 2 + (1 × 0)2014 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) + (3 + 2 + 1) × 02015 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) + 3 − 2 + (1 × 0)2016 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) + 3 − 2 + 1 + 02017 = (10 + 9) × (8 − 7 × (6 − 5 × 4)) + 3 + (2 + 1) × 02018 = 10 × 9 × 8 × ((7 ÷ 6) ÷ 5) × 4 × 3 + 2 × 1 + 02019 = 10 × 9 × 8 × ((7 ÷ 6) ÷ 5) × 4 × 3 + 2 + 1 + 0

Soluciones del número 18

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• Existen números que no pueden obtenerse usando las reglas an-teriores: una forma de explicarlo es que con las reglas dadas, el mayor número que se puede obtener es

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × (2 + 1 + 0)

Por tanto, números mayores que el anterior no pueden obtenerse si-guiendo las reglas. Otra forma más técnica de justificar la existencia de números que no se pueden expresar usando las reglas es la siguiente: cada expresión posible puede convertirse en forma polaca (también co-nocida como notación prefija), de lo cual resulta una cadena de menos de veinte caracteres entre números y signos. Hay un número finito de tales cadenas, de modo que existen números naturales que no corresponden a ninguna de ellas y, por tanto, no son expresables usando las reglas.

Problema 2

Diez años atrás, un millonario y su mayordomo fallecieron en un extra-ño accidente, producto de una explosión en la mansión donde vivían. Las investigaciones de la policía concluyeron que el artefacto explosivo fue construido sobre medidas dentro de un armario de un cuarto de huéspedes, y eso sucedió durante el último año; por su sofisticación, el autor del crimen tuvo que haber estado en varias ocasiones en la mansión para hacerlo.

Durante ese último año, hubo exactamente siete visitantes en la mansión; estas fueron precisamente las exesposas del millonario: Ana, Beatriz, Carolina, Estefanía, Fernanda, Gabriela y Helena. Si bien ellas no recor-daron exactamente cuánto duró su visita, pudieron establecer a quiénes más se encontraron en la mansión durante su estadía.

Ana se encontró con Beatriz, Carolina, Fernanda y Gabriela. Beatriz se encontró con Ana, Carolina, Estefanía, Fernanda y Helena.Carolina se encontró con Ana, Beatriz y Estefanía.Estefanía se encontró con Beatriz, Carolina y Fernanda.Fernanda se encontró con Ana, Beatriz, Estefanía y Helena.Gabriela se encontró con Ana y Helena.Helena se encontró con Beatriz, Fernanda y Gabriela.

Los investigadores en su momento no vieron nada contradictorio en las afirmaciones de las mujeres (que fueron confirmadas por las demás exesposas). La policía creía que la sospecha debía recaer sobre una de ellas, pues al parecer una quedaba poco favorecida en el testamento del millonario, pero ese documento quedó destruido en la explosión y no hubo forma de indagar más sobre esa hipótesis. Todas juraron que solo estuvieron en una ocasión en la mansión y por tanto no tendrían forma de haber fabricado dicho artefacto explosivo.

No obstante, el año pasado, un detective-matemático basado en los testimonios anteriores, descubrió que una de las mujeres mintió res-pecto a cuántas veces estuvo en la mansión, y ella sería la autora del crimen. Ahora, ¿puede usted decirnos quién fue la autora del crimen? ¿Cuántas veces (al menos) estuvo ella en la mansión?

Solución

La respuesta al problema es que Ana fue la autora del crimen y estuvo al menos tres veces en el castillo.

Siendo este problema de la autoría de Claude Berge (1926-2002), co-nocido pionero de la combinatoria y la teoría de grafos, tal cual se men-cionó en el número anterior, es de esperarse que su intención haya sido ilustrar cómo herramientas poderosas de la teoría de grafos permiten resolver un problema que a simple vista parece un simple pasatiempo. No obstante, se comenta que mediante ensayo y error, puede concluirse que Ana es la autora del crimen.

Para ello, construimos un diagrama (grafo) de la siguiente manera: cada una de las exesposas corresponde a un vértice, que rotulamos con su inicial, y unimos dos vértices con una arista si las dos mujeres corres-pondientes se encontraron en la mansión. Por tanto, la información del problema corresponde al siguiente grafo. Hay muchas formas gráficas de representar la situación; hemos escogido una conveniente desde el punto de vista de la ubicación de los vértices y, además, lo pudimos representar evitando que haya aristas que se crucen. En el lenguaje de teoría de grafos, esto indica que el grafo en cuestión es planar.

A

C E

B

G

H

F

Si todas las mujeres dijeran la verdad y hubieran estado en una sola ocasión en la mansión (es decir, cada persona estuvo en la mansión en un solo intervalo de tiempo), eso significa que el grafo en cuestión es un “grafo de intervalos”. Así se les dice a los grafos en los que cada vértice corresponde a un intervalo de tiempo y dos vértices se unen si los intervalos correspondientes se cruzan.

En el siguiente enlace de Wikipedia puede consultarse más sobre gra-fos de intervalos, su origen y algunas aplicaciones: https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_de_intervalos

Volviendo a nuestro problema, hacemos uso de un resultado estándar de Gilmore y Hoffman (publicado en “A characterization of comparability graphs and of interval graphs”, Canadian Journal of Mathematics 1964; 16: 539-548), que brinda una caracterización de los grafos de interva-los. De acuerdo al resultado, un grafo de intervalos debe ser triangulado (es decir, todo ciclo de longitud mayor que 3 debe tener una “cuerda” —una arista que divida el ciclo en dos partes—).

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Si observamos en la figura, el grafo en cuestión no lo es; vemos exacta-mente tres “cuadriláteros” —ABHG, ACEF, AGHF— que no tienen cuer-das. Es decir, ya sabemos que una persona miente. Como el enunciado dice que solo una persona miente, según la investigación policial, y solo una mujer es la autora material del crimen, entonces debe haber un vértice en el grafo tal que el grafo resultante, al removerlo (junto con las aristas que salen del mismo), sea triangulado. Dado que el único vértice que pertenece a los tres cuadriláteros “problemáticos” —ABHG, ACEF, AGHF— es el vértice A, esto quiere decir que el único vértice que podría quitarse para cumplir la condición anterior es el vértice A.

Por lo tanto, Ana es la autora material del crimen. Además, dado que es cierto que Ana se encontró con Beatriz, Carolina, Fernanda y Gabriela, según el testimonio de las cuatro mujeres que dicen haberse encontra-do con Ana, para evitar que se formen los cuadriláteros anteriores sin cuerdas se necesitaría agregar al menos otras dos copias de A para que haya tres vértices (A, A’, A”) que representan a Ana, como muestra la siguiente figura:

A'' A' A

C E

B

G

H

F

Como en los grafos de intervalo cada vértice corresponde a un inter-valo de tiempo, se concluye que Ana estuvo al menos tres veces en la mansión.

Problema 3

Determine, con justificación, cuál de los siguientes números es mayor:

0∫1

e−x2 dx 0∫1

3−(x−1)2 dx

Solución

Dado que e < 3, vemos que se cumplen que 1 > 1 e 3 ,y por tanto 1 > 1

ex 2 3x 2

(para x entre 0 y 1); en otras palabras, e−x2

> 3−x 2 para x entre 0 y 1.

En consecuencia,

0∫1

e−x2 dx > 0∫1

3−x 2 dx

Por otro lado, por el hecho de que la función f definida por f(x ) = 3−x2 es par, se tiene que

0∫1

3−x2 dx = -1∫0

3−x2 dx.

Finalmente, como la gráfica en el plano cartesiano de g(x ) = 3−(x−1)2 (tomando x en el intervalo [0,1]) corresponde a una traslación de una unidad a la derecha de la gráfica de f(x ) = 3−x2 (tomando x en el inter-valo [−1,0] ), se sigue que

-1∫0

3−x2 dx = 0∫1

3−(x−1)2 dx

De lo anterior se concluye que

0∫1

e−x2 dx > 0∫1

3−(x−1)2 dx

como se quería demostrar.

Comentario: a pesar de lo sencillo del argumento, el problema era más complicado de lo que parece, pues la diferencia de valor entre las dos integrales es menor que 0,02.

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