Diseo de Experimentos Densidad de gelatina con diferentes cantidades de agua

Instituto Tecnolgico de Celaya 03/05/15

Ingeniera IndustrialEstadstica Inferencial II

ndice

Introduccin .................................................................................................. 3

Captulo 1. Planteamiento y descripcin del problema. 41.1 Planteamiento . 41.2 Descripcin... 41.3 Objetivos... 51.3.1 Generales....... 51.3.2 Especficos.. 5 Captulo 2. Marco terico...... 62.1 Definiciones bsicas del diseo de experimentos 62.2 Frmulas generales 92.3 Tabla ANOVA.. 10 2.4 Intervalos de confianza 102.5 Comparaciones... 10Captulo 3. Experimento....... 11Captulo 4. Resultados... 124.1 ANOVA..... 124.2 Grafica de efectos. 144.3 Residuales 144.4 Mtodo de Fisher (LDS)...... 154.5 Intervalos de confianza para una media. 164.6 Intervalos de confianza para un par de media.......... 174.7 Tamao de la muestra..19Captulo 5. Conclusiones.. 20

REFERENCIAS. 21

ANEXOS. 22

Introduccin

El diseo de experimentos cuenta con una amplia aplicacin en diversas disciplinas, de hecho, la experimentacin es parte del proceso cientfico y sta se utiliza como una de las formas de estudio para conocer cmo un sistema o proceso trabaja. El presente trabajo muestra una manera clara un diseo de experimentos con un solo factor, aplicado a las etapas de la preparacin de una gelatina. Para la aplicacin prctica del diseo de experimentos es necesario considerar un factor experimental con el cual se pueda estudiar el efecto que causa ste en la consistencia del producto.La cantidad de agua es un factor importante para la fabricacin de sta, por esto es necesario considerar niveles de un factor, que hay que tener en cuenta en la realizacin del experimento.Conocer el objetivo de un diseo de experimentos, as como los factores y conceptos utilizados es esencial para una mejor aplicacin de est.Se realiza el anlisis de varianza para conocer si el factor experimental tiene influencia en el proceso al contrastarlo con un valor de F terico y as mismo identificar el mejor tratamiento. El anlisis considerado una de diversas herramientas para llegar a una conclusin ms acertada es esencial para la toma de decisiones en un proceso. El anlisis residual proporciona informacin respecto a la media de cada tratamiento y de esta forma conocer cules de las observaciones dentro de un tratamiento son razonablemente homogneas.As mismo el mtodo de Fisher proporciona informacin sobre todos los pares de tratamientos posibles para conocer cuales medias son significativamente diferentes. Concluyndose definitivamente al realizar los intervalos de confianza para una media y par de medias.El siguiente trabajo presenta de una forma sencilla, la manera en la que se obtienen los datos para desarrollar e interpretar un diseo de experimentos tomando en cuenta un solo factor experimental.

Captulo 1Planteamiento y descripcin del problema

1.1 Planteamiento del problemaIngenieros industriales estn interesados en saber si la cantidad de agua tiene algn efecto en la consistencia de la gelatina producida por la empresa Pronto. Para esto se realiz un diseo de experimentos con un factor experimental a 4 niveles y con 4 observaciones, obteniendo los siguientes resultados.

Cantidad de agua (ml)Observaciones (cm)

1234

250788.48.2

50014.415.414.915.3

7501918.716.517.8

1 00022.12325.221.5

Probando las siguientes hiptesisH= La cantidad de agua no afecta la consistencia de la gelatina.H= La cantidad de agua afecta la consistencia de la gelatina.

1.2 Descripcin del problemaLa cantidad de agua es un factor importante para la fabricacin de la gelatina a base de sta. Se ha observado que este factor influye de manera significativa en la consistencia de la substancia. Por tanto, el factor de inters seleccionado es la cantidad de agua en la preparacin de la gelatina que mide la diferencia que este genera en la consistencia.En esta experimentacin se proceder a variar este factor en cuatro niveles distintos.Nivel 1: 250 mlNivel 2: 500 mlNivel 3: 750 mlNivel 4: 1000 ml

Otros elementos que intervienen en la elaboracin del producto son la cantidad de grenetina, el tiempo de refrigeracin, la temperatura para calentar el agua, el tipo de recipiente utilizado, el experimentador, entre muchos otros que se ven involucrados en la variable de salida. Sin embargo, en dicho experimento stos permanecern fijos.Cantidad de grenetina: 84 grTiempo en cuajar: 38 minutos a temperatura ambiente (posteriormente refrigeracin)Tiempo de refrigeracin: 150 minutosTemperatura de calentamiento: 90CExperimentador:Tipo de recipiente:

La variable de respuesta establecida es la consistencia que la gelatina llegue a presentar, midindose sta a travs de la profundidad que se seale al utilizar los siguientes instrumentos:

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo generalEstudiar el diseo de experimentos aplicndolo al proceso empleado para la elaboracin de una gelatina y de esta manera analizar diversos valores del factor experimental. Donde dicho experimento conlleve a cuantificar el control de mencionado proceso.

1.3.2 Objetivos especficos Analizar los factores que intervienen en el proceso. Determinar si el factor experimental tiene influencia en la variable de salida. Determinar el mejor valor del factor experimental, para as obtener la mejor variable de salida. Establecer un control en el proceso.

CAPTULO 2

Marco tericoEn el campo de la industria es frecuente hacer experimentos o pruebas con la intencin de resolver un problema o comprobar una hiptesis, con la intencin de lograr mejoras o eliminar algn problema.El diseo de experimentos es precisamente la forma ms eficaz de hacer pruebas. El diseo de experimentos consiste en determinar cules pruebas se deben realizar y de qu manera. Para as obtener datos que al ser analizados estadsticamente, proporcionen evidencias objetivas que permitan responder las interrogantes planteadas, y de esta manera clarificar las variables inciertas de un proceso, resolver un problema o lograr mejoras. Algunos problemas tpicos que pueden resolverse con el diseo y anlisis de experimentos son los siguientes:1) Comparar a dos o ms materiales con el fin de elegir al que mejor cumple con los requerimientos.2) Comparar varios instrumentos de medicin para verificar si trabajan con la misma precisin y exactitud3) Encontrar las condiciones de operacin (temperatura, velocidad, humedad por ejemplo) donde se reduzcan los defectos o se logre un mejor desempeo del proceso.En general, cuando se quiere mejorar un proceso, lo ideal es experimentar, es decir, hacer cambios estratgicos y deliberados al proceso para provocar dichas seales tiles.El diseo de experimentos (DDE) es un conjunto de tcnicas activas, en el sentido de que no esperan que el proceso mande las seales tiles, sino que ste se manipula para que proporcione la informacin que se requiere para su mejora.

2.1 Definiciones bsicas del diseo de experimentosEl diseo de experimentos es la aplicacin del mtodo cientfico para generar conocimiento acerca de un sistema o proceso, por medio de pruebas planeadas adecuadamente. Esta metodologa se ha ido consolidando como un conjunto de tcnicas estadsticas y de ingeniera, que permiten entender mejor situaciones complejas de relacin causa-efecto.ExperimentoUn experimento es un cambio en las condiciones de operacin de un sistema o proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambio sobre una o varias propiedades del producto o resultado. Asimismo, el experimento permite aumentar el conocimiento acerca del sistema.Unidad experimentalLa unidad experimental es la pieza (s) o muestra(s) que se utiliza para generar un valor que sea representativo del resultado del experimento o prueba. En cada diseo de experimentos es importante definir de manera cuidadosa la unidad experimental, ya que sta puede ser una pieza o muestra de una sustancia o un conjunto de piezas producidas, dependiendo del proceso que se estudia.Variables, factores y nivelesEn todo proceso intervienen distintos tipos de variables o factores Variables de respuesta: A travs de esta(s) variable(s) se conoce el efecto o los resultados de cada prueba experimental, por lo que pueden ser caractersticas de calidad de un producto y/o variables que miden el desempeo de un proceso. El objetivo de muchos estudios experimentales es encontrar la forma de mejorar la(s) variable(s) de respuesta. Por lo general estas variables se denotan con letra y.Factores controlablesSon variables de proceso o caractersticas de los materiales experimentales que se pueden fijar en un nivel dado. Algunos de estos son los que usualmente se controlan durante la operacin normal del proceso y se distinguen porque, para cada uno de ellos, existe la manera o el mecanismo para cambiar o manipular su nivel de operacin. Esto ltimo es lo que hace posible que se pueda experimentar con ellos.Factores estudiadosSon las variables que se investigan en el experimento, respecto de cmo influyen o afectan a la(s) variable(s) de respuesta. Los factores estudiados pueden ser controlables o no controlables. Para que un factor pueda ser estudiado es necesario que durante el experimento se haya probado en, al menos, dos niveles o condiciones.En principio, cualquier factor, sea controlable o no, puede tener alguna influencia en la variable de respuesta que se refleja en su media o en su variabilidad. Para fines de un diseo de experimentos deben seleccionarse los factores que se considerar, por conocimiento del objeto de estudio, que pueden tener efecto sobre la respuesta de inters. Obviamente si se decide o interesa estudiar el efecto de un factor no controlable, parte de la problemtica a superar durante el diseo es ver la manera en que se controlar durante el experimento tal factor.

Niveles y tratamientosLos diferentes valores que se asignan a cada factor estudiado en un diseo experimental se llaman niveles. Una combinacin de niveles de todos los factores estudiados se llama tratamiento o punto de diseo.Error aleatorio y error experimentalSiempre que se realiza un estudio experimental, parte de la variabilidad observada en la respuesta no se podr explicar por los factores estudiados. Esto es, siempre habr remanente de variabilidad que se debe a causas comunes o aleatorias, que generan la variabilidad natural del proceso. Esta variabilidad constituye el llamado error aleatorio. Por ejemplo, ser parte de este error aleatorio el pequeo efecto que tienen los factores que no se estudiaron, siempre y cuando se mantenga pequeo o despreciable, as como la variabilidad de las mediciones hechas bajo las mismas condiciones. Sim embargo, el error aleatorio tambin absorber todos los errores que el experimentado comete durante los experimentos, y si estos son graves, ms que error aleatorio se hablar de error experimental. De predominar ste, la deteccin de cuales de los factores estudiados tienen un efecto real sobre la respuesta ser difcil, si no es que imposible.Cuando se corre un diseo experimental, es importante que la variabilidad observada de la respuesta se deba principalmente a factores estudiados y en menor medida al error aleatorio, y adems que este error sea efectivamente aleatorio. Cuando la mayor parte de la variabilidad observada se debe a factores no estudiados o a un error no aleatorio, no se podr distinguir cual es el verdadero efecto que tienen los factores estudiados, con lo que el experimento no alcanzara su objetivo principal. De aqu la importancia de no dejar variar libremente a ningn factor que pueda influir de manera significativa sobre el comportamiento de la respuesta (principio de bloqueo).Pruebas de hiptesisUn estudio experimental o una investigacin, por lo general, tiene como ltimo objetivo, responder en forma segura ciertas preguntas y/o tomar decisiones. En este contexto, el experimentador tiene a priori ciertas creencias o hiptesis que desea comprobar.Una hiptesis estadstica es una afirmacin sobre los valores de los parmetros de una poblacin o proceso, que es susceptible de probarse a partir de la informacin contenida en una muestra representativa que es obtenida de la poblacin.Se denotan siempre con la letra H y son dos. Se refiere siempre a un valor especfico del parmetro de la poblacin, no a una estadstica de muestra.La letra H significa hiptesis y el subndice cero indica que no hay diferencia. Por lo general hay un0 en la hiptesis nula que indica que no hay cambio. Podemos rechazar o aceptar H0. Por lo tanto la hiptesis nula es una afirmacin que no se rechaza a menos que los datos muestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hiptesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especfico del parmetro.La hiptesis alternativa H1 es una afirmacin que se acepta si los datos muestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hiptesis nula es falsa. Se le conoce tambin como la hiptesis de investigacin ANOVAEl objetivo del anlisis de varianza en el DCA es probar la hiptesis de igualdad de los tratamientos respecto a la media de la correspondiente variable de respuesta

la cual se puede escribir de forma equivalente como

2.2 Formulas

Mnima diferencia significativa (LSD)El mtodo de la mnima diferencia significativa (LSD) compara todos los pares de medias de la hiptesis nula, con el fin de identificar cual es el tratamiento que ms tiene efecto sobre el experimento.Para usar el procedimiento LDS de Fisher, simplemente se compara la diferencia observada entre cada par de promedios con la LDS correspondiente. Si > LSD, se concluye que las medias poblacionales y difieren.

Frmulas utilizadas para la suma de cuadrados SST=SSTRATAMIENTOS=SSE= SST- SSTRATAMIENTOS

Cuadrados mediosMSTRATAMIENTOS=

MSE=Estadstico F de Fisher F0=

Residuales

2.3 Tabla ANOVAFuentes de variacionesSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrados mediosF

TratamientosSSTRATAMIENTOSa-1MSTRATAMIENTOS

ErrorSSEa(n-1)MSE

TotalSSTan-1

Para obtener la F terica

2.4 Intervalos de confianzaUn intervalo de confianza de 100(1-) por ciento para la media del tratamiento i-simo es:

Para una media

Para un par de medias

2.5 Tamao de la muestra

Una decisin importante en cualquier diseo de experimentos es decidir el nmero de rplicas que se har por cada tratamiento (tamao de muestra). Por lo general, si se esperan diferencias pequeas entre tratamientos ser necesario un mayor tamao demuestra. Aunque existen varios mtodos para estimar el tamao muestral, muchas veces tienen poca aplicabilidad porque requieren cierto conocimiento previo sobre la varianza del error experimental.Frmula para obtener el tamao de muestra adecuado

2= (n)/a2CAPITULO 3ExperimentoSe realiza un experimento adecuando los 4 niveles con 4 muestras cada uno.Los pasos utilizados en la elaboracin de la gelatina son los siguientes:Se hirvieron 5 litros de agua, separados en diferentes contenedores. Cada recipiente contena 2.5 litros. El tiempo de calentamiento de agua fue de 21:20.72 minutos. Posterior a esto, se dej el agua a temperatura ambiente por un tiempo de 38 minutos para que enfriara y posteriormente se llev a refrigeracin por un tiempo total de 150 minutos. Seguido de lo anterior se coloc la gelatina en una mesa para realizar las observaciones (profundidad mxima alcanzada en cada muestra).Para medir la consistencia de la sustancia se decidi utilizar una pistola que permitiera determinar la profundidad de esta. A continuacin se muestra una lista de fotografas mostrando lo anterior.

CAPITULO 4 Resultados4.1 Anlisis de varianza

Cantidad de agua (ml)Observaciones (cm)y

1234

250788.48.231.67.9

50014.415.414.915.36015

7501918.716.517.87218

1 00022.12325.221.591.822.95

Y255.4

15.9625

Utlizando las formulas de suma de cuadrados y cuadrados medios se obtiene:

SST= -

SST=489.0774

SSTRATAMIENTOS=

SSTRATAMIENTOS=475.6275

SSE= 489.0774 - 475.6275SSE=13.4499

MSTRATAMIENTOS=

MSTRATAMIENTOS=158.5425

MSE=

MSE=1.1208

Tabla ANOVA

Fuentes de variacionesSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrados mediosF

Tratamientos475.62753158.5425141.4505

Error13.4499121.1208

Total489.077415

Utilizacin de Software

Para su comprobacin se utiliz el software Excel, el cual desglos los datos contenidos en las tablas 4.3 y 4.4.

La informacin estadstica de los datos al aplicar la prueba ANOVA mediante distribucin F conduce a rechazar la hiptesis nula, afirmando que existe diferencia significativa en los diferentes niveles de la cantidad de agua que se le asigna a la gelatina. Sin embargo, se observa que el valor del estadstico F es muy grande, lo cual indica que la diferencia entre los distintos tratamientos es muy grande.

4.2 Grfica de efectos

1000 ml

750 ml

500ml

250 ml

En la figura 4.1 se puede observar que las medias de los tratamientos estn muy separadas unas de otras. Los tratamientos 2 y 3 son ms parecidos, pero la diferencia sigue siendo significativa. Se concluye que el tratamiento 4 refleja un mayor efecto en la consistencia de la gelatina.

4.3 Residuales

Al utilizar la frmula para determinar de residuales, obtenemos la tabla 4.5

Cantidad de agua (ml)Residuales

1234

250-0.90.10.50.3

500-0.60.4-0.10.3

75010.7-1.5-0.2

1 000-0.850.052.25-1.45

250 ml

500ml

750 ml

1000 ml

Al realizar un anlisis de los residuos de cada una de las observaciones respecto a la media de su tratamiento se concluye que las varianzas dentro de los tratamientos 1 y 2 (250 ml y 500 ml) son razonablemente homogneas, y se puede observar una evidencia grfica (grfica 2) que la varianza de los tratamientos 3 y 4 (750 ml y 1000 ml) es ms grande.

4.4 Mtodo de Fisher (LSD)

Al aplicar el mtodo de la mnima diferencia significativa (LSD), se obtienen los siguientes resultados.

1 vs 2 |7.9 15 | = 7.1 > 1.6311 *1 vs 3 |7.9 18 |= 10.1>1.6311 *1 vs 4 |7.9 22.95 | = 15.05 >1.6311 *2 vs 3 |15 18 | = 3 >1.6311 *2 vs 4 |15 22.95 | = 7.95 >1.6311 *3 vs 4 |18 22.95 | = 4.95 > 1.6311 *

*Valores que indican que pares de medias son significativamente diferentes.Al realizar el procedimiento para comparar los pares de medias, se concluye que existe diferencia significativa entre cada par, por lo tanto ningn tratamiento produce la misma consistencia de la gelatina.

4.5 Intervalo de confianza para una media

Utilizando la frmula para el intervalo de confianza aplicado a una media se obtienen los siguientes resultados.Estimacin de 95% de intervalos de confianza para la media.

Tratamiento 1

Tratamiento 2

Tratamiento 3

Tratamiento 4

Para un intervalo de 95% de confianza para cada media de los tratamientos utilizados. El intervalo de las medias de cada uno de los niveles est muy separado uno de otro, lo cual indica que definitivamente el factor influye de manera significativa en el experimento.

4.6 Intervalo de confianza para un par de medias

Utilizando la frmula para el intervalo de confianza con una estimacin del 95% aplicado a un par de medias se obtienen los siguientes resultados.

Tratamiento 1 y 2

Tratamiento 1 y 3

Tratamiento 1 y 4

Tratamiento 2 y 3

Tratamiento 2 y 4

Tratamiento 3 y 4

Para un intervalo de 95% de confianza en cada par de medias de los tratamientos utilizados, se concluye que hay diferencia significativa, puesto que estos intervalos no incluyen al cero.

4.7 Tamao de la muestra

2= (n)/a212 = 7.9-15.96= -8.06 22 = 15-15.96= -0.96 32 = 18-15.96= 2.04 42 = 22.95-15.96= 6.99 =118.9069

Obteniendo la siguiente tabla:

n2a(n-1)Potencia(1-)

123.66414.86450--

247.32826.87401

370.99238.4256801

Con base a la informacin proporcionada por la tabla 4.6, se indica que no son necesarias las muestras para observar que realmente existe diferencia significativa en los diferentes niveles de cantidad de agua utilizados para la realizacin de una gelatina, sin embargo se aade dicho procedimiento para su comprobacin analtica.

Captulo 5Conclusin

Al observar los resultados de los tratamientos es posible predecir a simple vista el rechazo de la hiptesis nula y las conclusiones a las que se llegara pero sin embargo esto no es suficiente, pues se necesita tener una evidencia sustentada en modelos estadsticos para avalar lo que en un primer momento se pens que resultara del experimento y para ello se desarrollaron 8 pruebas:

Anlisis de varianza.(Tabla ANOVA) Grfica de efectos Anlisis de residuales Least significant diferencie (LSD) Intervalos de confianza para una media Intervalos de confianza de pares de medias Tamao de muestra

Con estas 8 pruebas se puede asegurar con toda certeza que la cantidad de agua en los niveles de 250 ml de diferencia entre cada tratamiento, afecta considerablemente la consistencia de la gelatina.

REFERENCIAS

Humberto Gutirrez Pulido, Romn De La Vara Salazar. Anlisis y diseo de experimentos [en lnea]. McGraw-Hill segunda edicin, Mxico: Pablo E. Roig Vzquez: 2008 [fecha de consulta abril 2015].Disponible en: ISBN-10: 970-10-6526-3

Douglas C Montgomery. Diseo y anlisis de experimentos [en lnea]. LIMUSA WILEY: segunda edicin. Mxico, DF. Grupo Noriega editores. 2004 [fecha de consulta: abril de 2015] Disponible en ISBN 968-18-6156-6.

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers y Keying Ye. Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. [CD-ROM]. Pearson: novena edicin, Mxico: Pearson educacin de Mxico. 2012 [fecha de consulta: marzo de 2015] Disponible en ISBN 978-607-32-1417-9.

ANEXOS

I. Curvas de operacin caracterstica para el anlisis de la varianza del modelo con efectos fijos

I. Curvas de operacin caracterstica para el anlisis de la varianza del modelo con efectos fijos (continuacin)

I. Curvas de operacin caracterstica para el anlisis de la varianza del modelo con efectos fijos (continuacin)

I. Curvas de operacin caracterstica para el anlisis de la varianza del modelo con efectos fijos (continuacin)

II. Tabla de valores crticos para la distribucin F de Fisher6