Rechnen und Projektieren Mechatronik

Projektieren, Problemlsen

Bearbeitet vonJosef Dillinger, Walter Escherich, Martin Lex, Thomas Neumayr, Bernhard Schellmann, Robert

Zwecksttter

1. Auflage 2012. Taschenbuch. 352 S. PaperbackISBN 978 3 8085 1863 2

Format (B x L): 17 x 24 cmGewicht: 604 g

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Rechnen und Projektieren Mechatronik

3. Auflage

Projektieren Problemlsen

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG

Dsselberger Strae 23 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 18618

J. Dillinger W. Escherich M. Lex T. Neumayr B. Schellmann R. Zwecksttter

EUROPA-FACHBUCHREIHE fr Mechatronik

Autoren:Dillinger, Josef MnchenEscherich, Walter MnchenLex, Martin MnchenNeumayr, Thomas MnchenSchellmann, Bernhard KileggZwecksttter, Robert Mnchen

Lektorat und Leitung des Arbeitskreises:Josef Dillinger Mnchen

Bildentwrfe: Die AutorenBildbearbeitung: Zeichenbro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern

Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt.

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Jede Verwertung auerhalb der gesetzlich geregelten Flle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

2012 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.deUmschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 RadevormwaldSatz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 ErftstadtDruck: M. P. Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn

3. Auflage 2012Druck 5 4 3 2 1Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf korrigierte Druckfehler untereinander unverndert sind.

ISBN 978-3-8085-1863-2

3

Vorwort

Das vorliegende Buch Rechnen und Projektieren Mechatronik ist ein Lehr- und bungsbuch fr die Ausbildung im Berufsfeld Mechatronik.

Das Buch bietet Lehrenden und Lernenden die Mglichkeit Berechnungen in den entsprechenden Lern-feldern durchzufhren und durch eine Vielfalt an Aufgaben das Lsen von Problemen zu ben.

Das Buch ist so aufgebaut, dass die in den einzelnen Lernfeldern auftretenden Berechnungsprobleme mithilfe von Beispielen und Lsungen aufgezeigt werden. Eine Vielzahl von Aufgaben schlieen sich den entsprechenden Themenbereichen an. Der Bezug zu den Lernfeldern wird ber die Zuordnung der Kapitel zu den Inhalten des KMK-Rahmenlehrplanes geschaffen.

Ein Hauptaugenmerk dieses Buches liegt auf den Problemstellungen der Automatisierungstechnik, die fr das Berufsfeld Mechatronik von zentraler Bedeutung sind.

Die Automatisierungstechnik wird unterteilt in Verbindungsprogrammierte Steuerungen und Speicherprogrammierte Steuerungen, wobei die Speicherprogrammierten Steuerungen getrennt nach Kleinsteuerungen und modularen Systemen behandelt werden.

Die Einteilung der Steuerungen erfolgt nach der verwendeten Steuerenergie: Pneumatische Steuerungen Hydraulische Steuerungen Elektrische Steuerungen Elektropneumatische Steuerungen Elektrohydraulische Steuerungen

In der Regelungstechnik werden Aufgaben bzw. bungen zu Strecken, unstetigen Reglern sowie stetigen Reglern bearbeitet und gelst.

Die meisten Kapitel wie auch das Kapitel Projekt- und Prfungsaufgaben sind themenbergreifend angelegt. Sie bieten somit die Mglichkeit der Leistungskontrolle und der Vorbereitung fr die Abschluss-prfung im Berufsfeld Mechatronik.

Das Lsungsheft zu Rechnen und Projektieren Mechatronik enthlt fr die Auszubildenden einen mglichen Lsungsweg der Aufgaben, um die eigenen Lsungen zu berprfen. Das Lsungsheft erleichtert dem Lehrer die Unterrichtsvorbereitung und ist fr das Selbststudium eine wesentliche Hilfe.

Vorwort zur 3. AuflageDer Inhalt der vorliegenden Ausgabe wurde teilweise neu strukturiert, einzelne Kapitel mit bungsaufga-ben erweitert und neue Inhalte aufgenommen.

So wurde bei den Grundlagen u. a. das Paretodiagramm eingefgt, das Kapitel Qualittsmanagement wurde umgestaltet und das Wahrscheinlichkeitsnetz aufgenommen, in der Fertigungstechnik wurde das Kapitel Matoleranzen und Passungen erheblich erweitert. In der Gleichstromtechnik wurde die Wheat-stonesche Brckenschaltung neu aufgenommen und in der Wechselstromtechnik Aufgaben zu den The-men Leistung, Parallelschaltung und Reihenschaltung von R, L und C eingefgt.

Neu sind in der Automatisierungstechnik die Kapitel Analogwertverarbeitung mit SPS und Systema-tischer Entwurf von Schaltplnen und Steuerungslsungen, sowie das Kapitel Bussystemtechnik. Die Projekt- und Prfungsaufgaben wurden um ein Projekt aus dem Bereich Elektropneumatik erweitert.

Fr Anregungen und kritische Hinweise an lektorat@europa-lehrmittel.de sind wir dankbar.

Herbst 2012 Die Autoren

4

1 Grundlagen 7

1.1 Rechnen mit Zahlen und Variablen . . . . . . 7

1.2 Rechnen mit Brchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Gleichungen und Formeln . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Winkelberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Schlussrechnung (Dreisatzrechnung). . . . . 18

1.7 Prozentrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Flchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Rauminhalt, Masse und Gewichtskraft . . . 23

1.9.1 Rauminhalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9.2 Masse und Gewichtskraft. . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.1 Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.2 Balkendiagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10.3 Histogramm und Paretodiagramm . . . . . . . 25

2 Datenverarbeitungstechnik 28

2.1 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.1 Umwandlung von Dualzahlen in Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.2 Umwandlung von Sedezimalzahlen (Hexadezimalzahlen) in Dezimalzahlen. . . . 29

2.1.3 Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.4 Umwandlung von Dezimalzahlen in Sedezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.5 Umwandlung von Dualzahlen in Sedezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.6 Umwandlung von Sedezimalzahlen in Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 BCD-Code. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Zehnerpotenzen, Vorstze. . . . . . . . . . . . . . 33

3 Prf- und Messtechnik 34

3.1 Messfehler analoger elektrischer Messgerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Messfehler digitaler elektrischer Messgerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Qualittsmanagement 37

4.1 Grundlagen der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Statistische Prozesslenkung mit Qualittsregelkarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Statistische Berechnungen mit dem Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Werkstofftechnik und Hilfsstoffe 45

5.1 Wrmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Lngennderung bei Erwrmung . . . . . . . . 45

5.1.2 Volumennderung bei Erwrmung. . . . . . . 46

5.2 Viskositt von Druckflssigkeiten . . . . . . . 47

5.3 Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.1 Beanspruchung auf Zug . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.2 Beanspruchung auf Druck . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3.3 Beanspruchung auf Flchenpressung . . . . 53

5.3.4 Beanspruchung auf Schub (Scherung). . . . 54

5.3.5 Schneiden von Werkstoffen. . . . . . . . . . . . . 56

5.3.6 Festigkeitsklasse und Einschraubtiefe bei Schrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Fertigungstechnik 60

6.1 Matoleranzen und Passungen . . . . . . . . . 60

6.2 Hauptnutzungszeit beim Bohren, Senken und Reiben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3 Kostenrechnung, Kalkulation . . . . . . . . . . . 69

6.4 Schnittkraft und Leistungsbedarf beim Zerspanen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Mechanische Systeme 75

7.1 Berechnungen am Zahnrad . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.1 Zahnradmae auen- und innenverzahnter Stirnrder mit Geradverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.2 Zahnradmae auenverzahnter Stirnrder mit Schrgverzahnung. . . . . . . . 76

7.1.3 Achsabstand bei Zahnrdern. . . . . . . . . . . . 77

7.2 bersetzungen und Getriebe . . . . . . . . . . . 79

7.2.1 Einfache bersetzungen. . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2.2 Mehrfache bersetzungen. . . . . . . . . . . . . . 82

7.3 Bewegungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.3.1 Gleichfrmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . 85

7.3.2 Kreisfrmige Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.3.3 Ungleichfrmige Bewegung . . . . . . . . . . . . 90

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 5

7.4 Krfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4.1 Darstellen von Krften . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4.2 Zusammensetzen von Krften. . . . . . . . . . . 94

7.4.3 Zerlegen von Krften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4.4 Reibungskrfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5 Rollen und Flaschenzge . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.6 Hebel und Drehmoment. . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.6.1 Hebelgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.7 Mechanische Arbeit und Energie . . . . . . . . 104

7.7.1 Mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.7.2 Die schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.7.3 Der Keil als schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . 106

7.7.4 Die Schraube als schiefe Ebene. . . . . . . . . . 107

7.7.5 Mechanische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.8 Mechanische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.9 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8 Gleichstromtechnik 115

8.1 Elektrische Ladung und Stromstrke . . . . . 115

8.2 Stromdichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3 Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.4 Temperaturabhngige Widerstnde. . . . . . 120

8.5 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6 Reihenschaltung von Widerstnden. . . . . . 122

8.7 Parallelschaltung von Widerstnden . . . . . 123

8.8 Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.9 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.9.1 Der unbelastete Spannungsteiler . . . . . . . . 126

8.9.2 Der belastete Spannungsteiler . . . . . . . . . . 127

8.10 Wheatstonesche Brckenschaltung . . . . . 128

8.11 Die elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.12 Die elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.13 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.14 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.14.1 Ladung und Kapazitt eines Kondensators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.14.2 Bauform und Kapazitt eines Kondensators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.14.3 Schaltungsarten von Kapazitten . . . . . . . . 135

8.14.4 Lade- und Entladeverhalten eines Kondensators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.15 Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.15.1 Bauform und Induktivitt einer Spule. . . . . 137

8.15.2 Schaltungsarten von Induktivitten . . . . . . 138

8.15.3 Ein- und Ausschaltverhalten einer Spule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.16 Gleichstromverhalten von Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.17 Bipolartransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.17.1 Bipolartransistor als Gleichstromverstrker . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.17.2 Bipolartransistor als Schalter. . . . . . . . . . . . 142

9 Wechselstrom 143

9.1 Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.2 Momentanwert der Spannung . . . . . . . . . . 143

9.3 Momentanwert des Stroms . . . . . . . . . . . . 144

9.4 Effektivwert und Scheitelwert von Spannung und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.5 Leistung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . 146

9.6 Bauteile im Wechselstromkreis. . . . . . . . . . 148

9.6.1 Blindwiderstand von Kapazitten . . . . . . . . 148

9.6.2 Blindwiderstand von Induktivitten . . . . . . 149

9.7 Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.7.1 Reihenschaltung von R, L und C . . . . . . . . . 150

9.7.2 Parallelschaltung von R, L und C. . . . . . . . . 152

9.8 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10 Dreiphasenwechselstrom (Drehstrom) 155

10.1 Sternschaltung (symmetrisch, gleichartig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.2 Dreieckschaltung (symmetrisch, gleichartig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.3 Leistung bei Stern-Dreieckschaltung (symmetrisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.4 Drehstromkompensation. . . . . . . . . . . . . . . 159

11 Elektrische Antriebe 160

11.1 Drehstrom-Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . 160

11.2 Gleichstrommotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.2.1 Nebenschlussmotor/ Fremderregter Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.2.2 Reihenschlussmotor/ Doppelschlussmotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

12 Elektrische Anlagen 168

12.1 Fehlerstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.2 Schutz durch Abschaltung mit berstrom-Schutzeinrichtungen im TN-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.3 Schutz durch Abschaltung mit RCD im TT-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

12.4 Leitungsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

12.5 Leitungsberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

12.5.1 Spannungsfall auf Gleichstromleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

12.5.2 Spannungsfall auf Wechselstromleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 177

12.5.3 Spannungsfall auf 3,Wechselstromleitungen. . . . . . . . . . . . . . 179

6 Inhaltsverzeichnis

13 Gleichrichterschaltungen 181

13.1 Ungesteuerte Gleichrichterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.2 Gesteuerte Gleichrichterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 183

14 Fluidtechnik: Pneumatik 185

14.1 Druckarten und Druckeinheiten . . . . . . . . . 185

14.2 Zustandsnderungen bei Gasen . . . . . . . . . 187

14.3 Kolbenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.4 Luftverbrauch in pneumatischen Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

14.5 Vakuumtechnik Handhabung mit Unterdruck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15 Fluidtechnik: Hydraulik 195

15.1 Hydrostatik Hydrostatischer Druck, Kolbenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

15.2 Hydrostatik Hydraulische Presse . . . . . . . 197

15.3 Hydrostatik Druckbersetzung. . . . . . . . . 199

15.4 Hydrodynamik Flssigkeiten in Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

15.5 Hydrodynamik Hydraulische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

16 NC-Technik 204

16.1 Geometrische Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . 204

16.2 Koordinatenmae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

16.3 Werkstcke mit geradlinigen und kreisbogenfrmigen Konturen . . . . . . . . . . 211

17 Regelungstechnik 214

17.1 Regelkreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

17.2 Regelungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

17.3 Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

17.3.1 Strecken mit Ausgleich. . . . . . . . . . . . . . . . . 216

17.3.2 Strecken ohne Ausgleich (I-Strecken). . . . . 223

17.4 Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

17.4.1 Zweipunktregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

17.5 Regler mit Operationsverstrker (OPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17.5.1 OPV als Komparator (Zweipunktregler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17.5.2 Nichtinvertierender Verstrker (P-Regler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

17.5.3 Invertierender Verstrker (P-Regler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

17.5.4 OPV als Integrierer (I-Regler) . . . . . . . . . . . . 231

17.5.5 OPV als Differenzierer (D-Regler) . . . . . . . . 233

17.6 Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control . . . . . . . . . . 234

17.6.1 Scharfe und unscharfe Werte . . . . . . . . . . . 235

17.6.2 Fuzzifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

17.6.3 Mengenverknpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . 238

17.6.4 Inferenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

17.6.5 Defuzzifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

18 Automatisierungstechnik 243

18.1 Logische Verknpfungen . . . . . . . . . . . . . . . 243

18.2 Speichern von Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . 248

18.3 Verbindungsprogrammierte Steuerungen: VPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

18.3.1 Pneumatische Steuerungen. . . . . . . . . . . . . 250

18.3.2 Elektropneumatische Steuerungen. . . . . . . 254

18.3.3 Hydraulische und elektrohydraulische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

18.4 Speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

18.4.1 SPS als Kleinsteuerung (Steuerrelais) . . . . 266

18.4.2 SPS als modulares System . . . . . . . . . . . . . 269

18.4.3 Grundverknpfungen in einer SPS . . . . . . . 272

18.4.4 Signalinvertierung und Speicherfunktionen der SPS . . . . . . . . . . . . 274

18.4.5 Konnektor, Merker und Flankenauswertungen in einer SPS . . . . . . 276

18.4.6 Zeitoperationen einer SPS . . . . . . . . . . . . . . 278

18.4.7 Zhl- und Vergleichsoperationen einer SPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

18.4.8 Ablaufsteuerungen und strukturierte Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

18.4.9 Analogwertverarbeitung mit SPS . . . . . . . 287

18.5 Systematischer Entwurf von Schaltplnen und Steuerungslsungen. . . . . . . . . . . . . . . 292

18.5.1 Funktions- und SR-Tabellen . . . . . . . . . . . . 292

18.5.2 Programmablaufplan und Struktogramm . 292

18.5.3 Ablauf-Funktionsplan: Grafcet . . . . . . . . . . 292

18.6 Bussystemtechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

19 Projekt- und Prfungsaufgaben 302

19.1 Drehstrom-Asynchronmotor und Riemenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

19.2 Qualittssicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

19.3 Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

19.4 Tauchbad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

19.5 Paternoster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

19.6 Spannen mit Hydraulik. . . . . . . . . . . . . . . . . 317

19.7 Werkstattschleifmaschine . . . . . . . . . . . . . . 322

19.8 Pneumatische Steuerung mit zwei Schaltkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

19.9 Elektropneumatik Sortieren von Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7

1

1 Grundlagen

1.1 Rechnen mit Zahlen und VariablenFr das Rechnen mit Zahlen und Variablen mssen verschiedene Regeln und Gesetzmigkeiten berck-sichtigt werden (Tabelle 1). Dabei gilt vom Grundsatz her, dass Punktrechnung vor Strichrechnung durch-gefhrt werden muss.

Variablen sind Platzhalter fr beliebige Zahlenwerte. Fr die Variablen werden meist Kleinbuchstaben ver- wendet. Schreibt man ein Mehrfaches einer Variablen, z.B. 4 a = 4a, oder das Produkt aus zwei Variablen, z.B. a b = ab, dann kann das Multiplikationszeichen gesetzt oder weggelassen werden.

Tabelle 1: Gesetze und Regeln

Kommutativgesetz

Vertauschen von 2 8 + 4 = 4 + 2 8 = 2 a b + c = a + c b

Summanden

Vertauschen von 6 3 4 = 4 6 3 = 72 a b c = c a b

Faktoren

Assoziativgesetz

Zusammenfassen 4 3 + 9 = (4 + 9) 3 = 10 6a + 4b 3a = (6a 3a) + 4b = 3a + 4b

von Summanden

Zusammenfassen 2 5 6 = (6 5) 2 = 60 a b c = (a c) b

von Faktoren

Vorzeichenregeln

Summieren 13 + (7 2) = 13 + 7 2 = 18 a (b c) = a b + c von Zahlen 13 (7 2) = 13 7 + 2 = 8

Multiplizieren 3 5 = 15 a x = ax von Zahlen (3) (5) = 15 (a) (x) = ax (3) 5 = 3 (5) = 15 (a) b = a (b) = ab

Minuszeichen 9 2 5 = 9 (2 + 5) = 2 a b c = a (b + c)

vor der Klammer

Distributivgesetz

Multiplizieren 3 (6 + 2) = 3 6 + 3 2 = 24 a (b c) = a b a c

mit Summen

Multiplizieren (7 + 2) (5 3) (a b) (c + d) von Summen = 7 5 7 3 + 2 5 2 3 = ac + ad bc bd = 9 2 = 18

Aufgaben Rechnen mit Zahlen und Variablen

1. a) 217,583 27,14 0,043 + 12 b) 16,25 + 14,12 6,21 c) 7,1 + 16,27 +14,13 17,0203 d) 74,24 1,258 12,8 e) 857 3,52 97,25 16,386 + 1,1 f) 119,2 + 327,351 7,04 7,36

2. a) 17,13 + 13,25 + 15,35 : 2 b) 34,89 + 241,17 : 21,35 12,46 : 2,2

3. a) 243 : 0,04 92,17 13,325 + 124,3 : 3,5 b) 507 : 0,05 261,17 114,325 + 142,3 : 18,4

4. a) (a b) 3y b) (x + 2) 4x c) (a b) (4) d) (22a 4ab) : 2a

5. a) 4a 2c 3b b) 6 3,5b b 4 c) (2,5b) (4a + 3b) d) (a + 4b c) 2b1

2

8 1 Grundlagen

6. a) 18 (5) + (3) (7) b) 120 : (6) (15) : 5 96 + 65 148 85 c) d) 16 15 37 17

24,75 + 15 + 38,7 2,08 44,2 13,1 23,4 8,6 13,8 + 22,7 7. a) b) 34,2 20,6 12,6 0,36 20,05 1,7 2,4 27 3,5

15,1 3,7 25 (20,1 16,58) c) (23,7 2,8) d) 16,9 (34,85 2,97) 4,6

8. a) 3a 4b 10a 2b b) 25x (10y) + 13x ( 5y) c) 8m 2n + 7,5m ( 2n) d) ( 16a) ( 5c) ( 5a) ( 2c)

9. a) 3a (8x 5x) 2a (20x 12x) b) 3x (8x 5x) + 3x (12x 33x)

Die Klammerausdrcke sind zu multiplizieren.

10. a) 6 (a + b) b) 2a (5a +3b) c) (3x 2y) a d) (3x + 4y) (6a + 9b) e) (a 5) (6 + b) f) (a + b) (a + b) g) (a b) (a b) h) (a + b) (a b)

11 . a) (a + b) (x 2) b) (3a 2b) (3x 4) c) 3a (4 b) (2 3a) d) 4a 3b (x) + 3b 2a

12 . a) 4x (0,5x + 3,5y) (2x + 8y) 3 b) 3ax (c 4) (3a 2d)

1.2 Rechnen mit Brchen Beim Rechnen mit Brchen besteht der Rechenausdruck aus einem Zhler und einem Nenner, die durch eine Linie getrennt sind. Die Linie steht beim Bruchrechnen fr den Doppelpunkt der einfachen Division. In der Tabelle sind die Gesetzmigkeiten der Bruchrechnung zusammengefasst (Tabelle 1).

Tabelle 1: Gesetze und Regeln zum Bruchrechnen

23

= =2 33 3

69

104

= = 25 2

1 2

6a4b

3a2b

=Erweitern und Krzen

14

+23

35

= =1 15 2 20 + 3 12

601160

=15 40 + 36

60Addieren von Brchen

= = =23

a + 3b 4

2 (b 4) 3 (a + 3)3 (b 4)

2b 8 3a 93b 12

2b 3a 173b 12

Bruchrechnen mit Summen

23

=35

25

2 33 5

615

= = =5 =34

5 31 4

154

Multiplizieren von Brchen

34

: = =35

54

3435

=3 54 3

Dividieren von Brchen

1320

65100

= =0,65

16

23 4

:23

212

4 = = =123

:

=

3 = =34

0,375

3 = 443

38

Dezimalbruch

1.2 Rechnen mit Brchen 9

1

Aufgaben Rechnen mit Brchen

1. Die folgenden Brche sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.

1 5 4 3 5 3 4 3 7 a) + + + + b) + + 5 6 9 12 7 4 5 8 10

3 7 2 4 13,5 + 6,5 48 + 12 c) 3 5 + 9 d) 4 8 3 5 42,8 12,8 50

2. Die folgenden Brche sind zu multiplizieren.

3 2 1a) 1; 7 ; 12 jeweils mit 5 4 7 3

1 7 9 1b) ; ; jeweils mit 6 16 23 3

3. Die folgenden Brche sind zu dividieren.

6 12 27 a) ; ; jeweils durch 7 7 15 35

2 7 1 3 b) 7 ; 8 ; 14 jeweils durch 5 9 6 5

4. Folgende Brche sind auf 3 Kommastellen gerundet in Dezimalbrche zu verwandeln.

1 4 1 3 1 a) ; ; ; ; 4 15 3 7 6

1 7 1 38 97 b) ; ; ; ; 21 29 125 45 12

5. Die folgenden Ausdrcke sind zu vereinfachen.

1 5x a) 4ab : a b) : 3x 2 y

6. Die Doppelbrche sind zu vereinfachen.

314

5821

+a) 7

10

512328

b)

7. Die Dezimalbrche sind in Brche zu verwan-deln.

8. Berechnen Sie folgende Brche:

a) 0,9375 b) 0,375 c) 0,85 1 1 x r a a) + b) : c) : c R1 R2 y t b

5a b

20ac

+ 10d)

9. Berechnen Sie die Doppelbrche

a) 1 ;2m

3n

+

2b) ;10r

2s

x + yc) ;1x

1y

+

15a + 10d) ;32

1a

+

2m ne) ;1m

2n

5x 6yf) ;32x

54y

10. Zusammenfassen von Brchen

2x5a 3

25a + 3

10a 625a2 9

+a) 2a 1

4a 2

+ 4a2a2 6a + 4

+b)

11. Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen

x + 2ac

x 2x

acx(x 2)2

a) 2 ax4n

12 mn3c

4(y)

b)

a2 b2a + b

3ba b

d)c) 2 ab

+ ba

+

b + a

10 1 Grundlagen

1.3 Gleichungen und Formeln Mathematische und naturwissenschaftliche Gesetze und Zusammenhnge lassen sich durch Glei-chungen und Formeln darstellen.

In Formeln verwendet man fr hufig vorkommende Gren bestimmte Buchstaben als Formelzeichen.

Gleichungswaage5 kg + 1 kg 2 3 kg=

linke Seite = rechte Seite

Bild 1: Balkenwaage

Aufbau von Gleichungen

Man kann eine Gleichung mit einer Waage im Gleichgewicht ver gleichen (Bild 1).

Dabei sind die Werte auf der linken Seite und die Werte auf der rechten Seite gleich gro. Zwischen der linken und der rechten Gre steht das Gleich-heitszeichen.

Umstellen von Gleichungen

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn die Inhalte der rechten und der linken Waagschale vertauscht werden.

Wird der Inhalt einer Waagschale verndert, so bleibt die Waage nur dann im Gleichgewicht, wenn der Inhalt der anderen Waagschale ebenso verndert wird. Daraus ergeben sich fr das Lsen von Gleichun- gen folgende Regeln:

c Die Seiten einer Gleichung knnen vertauscht werden.

c Verndert man eine Seite der Gleichung, so muss man auch die andere Seite um den gleichen Wert verndern.

c Soll die in einer Gleichung enthaltene Unbekannte berechnet werden, formt man die Gleichung so um, dass die gesuchte Gre allein auf der linken Seite im Zhler steht und positiv ist.

c Stellt man eine Gre einer Gleichung von der einen Seite der Gleichung auf die andere Seite, so er- hlt sie das entgegengesetzte Rechenzeichen.

1.3.1 Gleichungen

Tabelle 1: Gleichungsarten

gilt nur fr: Q Volumenstrom in l/min pe Druck in bar P Leistung in kW

Q pe P = 600

Gleichungsart Beispiel

Grengleichungen (Formeln)stellen die Beziehungen zwischen Gren dar.

Zahlenwertgleichungen geben die Beziehungen von Zahlenwerten und Gr en wieder. Sie sollten nur in besonderen Fllen verwendet werden.

Bestimmungsgleichungen sind algebraische Gleichungen, bei denen der Wert einer Variablen zu berechnen ist.

v = p d n

x + 3 = 8 | 3 x = 8 3 x = 5

Der Wert von x ist durch die brigen Gren 3 und 8 eindeutig bestimmt.

1.3 Gleichungen und Formeln 11

1

Tabelle 1: Umformen von GleichungenRechenart Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Anwendungsbeispiele

Addieren

Subtrahieren

Multiplizieren

Dividieren

Potenzieren

Radizieren

x + 7 = 18 x + 7 = 18 | 7 x + 7 7 = 18 7 x = 18 7 x = 11

y 5 = 9 y 5 = 9 | + 5 y 5 + 5 = 9 + 5 y = 9 + 5 y = 14

6 x = 23 6 x = 23 | : 6 6 x = 23 = 6 6 23 x = 6 5 x = 3 6

y = 7 3

y = 7 | 3 3 y 3 = 7 3 3 y = 7 3 y = 21

ABB x = 12 ABB x = 12 | ( )2

(ABx )2 = (12)2 x = 144

x3 = 64 x3 = 64 | 3AB 3AB 3AB x 3 =43 3 3 x3 = 4 3 x = 4

x + a = b x + a = b | a x + a a = b a x = b a x = b a

y c = d y c = d | + c y c + c = d + c y = d + c y = d + c

a x = b a x = b | : a a x b = a a b x = a

y = d c

y = d | c c y c = d c c y = d c y = d c

ABB x = m ABB x = m | ( )2

(AB x )2 = (m)2 x = m2

x3 = c3 x3 = c3 | 3AB 3AB 3AB x3 = c3 3 3 x 3 = c 3 x = c

Addieren, Subtrahieren

x 27 + 3x = 6x 22 3x

x + 3x 27 = 6x 3x 22 4x 27 = 3x 22 | 3x 4x 3x 27 = 3x 3x 22 x 27 = 22 | + 27 x 27 + 27 = 22 + 27 x = 5

x + 2 = 13 | ( 1) ( x) (1) + 2 (1) = (13) (1) + x 2 = + 13 | + 2 x 2 + 2 = 13 + 2 x = 15

Multiplizieren

9 = 3 x

9 = 3 | x x

9 x = 3 x x

9 = 3x

3x = 9 | : 3

3x 9 = 3 3

x = 3

Radizieren

ABBB = ABBB | ( )2 15 x 3 + x (ABBB )2 = (ABBB )2 15 x 3 + x | ( )2

15 x = 3 + x | + x 15 x + x = 3 + x + x 15 = 3 + 2x | 3 15 3 = 3 3 + 2x 12 = 2x | : 2 12 2x = 2 2 6 = x x = 6

Aufgaben Gleichungen

12 1 Grundlagen

Die nachstehenden Bestimmungsgleichungen sind nach der Unbekannten x aufzulsen.

1. a) x + 25 = 40 b) 79 + x = 130 c) 12 + x = 21 3 4 1 d) 27x 21 = 27 + 3x e) 112,06 = x + 62 f) 3 + x = 39 4 5 2

2. a) x 7 = 16 b) x 175,2 = 24,08 c) 8 x = 7 d) 8x 17 = 7x 20 e) 7,5 = x 13,1 f) 3 = 10x 7

3. a) x 9 = 45 b) 13 x = 5,2 c) 8,5x = 59,5

d) 7,3x = 87,6 e) x b = a f) 2397 = 51x 1 g) 163,54 = x 14,8 h) 145 = 11,64x i) 30 = 7,5x 2 1 k) c = d x l) 6 = 1,3x m) 15x = 4,5a 2

x x 7 x 4. a) = 17 b) = 0,4 c) = 14 5 12 3 x x + 16 x d) = 6 e) = 40 f) 15 = 3 3 12

(2x 3) 3 2 (50x 4 ) 4 (17 + 20x) 5. a) = 3 b) = 6 c) = 8 7 7 11 6 (13 + 10x) 14 (5 3x) 2 (41 7x) d) = 18 e) 7 = f) 4 = 5 9 17 3 (35 8 x) 4 (41 12x) 6 (x + 7) g) 9 = h) 12 = i) = 1 11 13 17 (x 4)

x 320 500 x 3 48 6. a) = b) = c) x = 36 256 300 15 4 2

15ac 9bc x 4 x x 9 4 d) = e) = f) = x 6bd 9 10 x 5

57 100 97,5 7. a) 19 = b) = 20 c) = 32,5 x x x a2bc 4 2 15a2b2 d) = c e) = f) = 10ab 0,2x x 3 2x

4x 3 2x + 3 11x + 7 9x 7 2x 3 x + 1 14x + 2 8. a) = + 6 b) = 2 c) + = 5 4 4 20 5 7 84x 7 49

9. a) 3x2 7 = 41 b) (x + 3)2 = (x 1)2 c) x3 122 = 3

10. a) 7 + 4 ABBB b) ABBBBBB c) ABBB ABBBBx + 7 = 23 x 2 5x + 2 = x 3 x + 1 2 = x 11

1.3 Gleichungen und Formeln 13

1

1.3.2 Formeln

Formeln sind Gleichungen, die technische oder naturwissenschaftliche Zusammenhnge beschreiben. Fr die Umformung gelten die gleichen Regeln wie bei den Gleichungen:

c Auf beiden Seiten mssen immer die gleichen Vernderungen vorgenommen werden.

c Die gesuchte Gre muss bei der Lsung allein auf der linken Seite im Zhler stehen und muss positiv sein.

Aufgaben Formeln

Die Formeln sind nach den einzelnen Gren umzustellen.

1. a) L = + a b) F1 = F2 + F3 c) FA = F1 FB d) L = + a + u e) da = d + 2m f) d f = da 2h

2. a) U = p d b) U = n c) m = V r d) P = U I e) F = A p f) d = m z g) AM = p d h h) V = p d n i) V = b h G p 25,4 k) F = l) m = m) p = n p g 1 + 2 zt z1 z3 p D d n) A = b o) = p) A = 2 zg z2 z4 4 L i a a q) th = r) sin a = s) tan a = f n c b 2 a D d s t) A = b u) tan = v) v = 3 2 2 t nt zg P zt P z1 z33. a) = b) = c) = ng zt PL zg PL z2 z4

d) F s = G h e) F1 1 = F2 2 f) F1 a = F2 b

4. a) FB = (F1 + F2) FA b) U = 2 ( + b) c) AO = 2A + AM zt m (z1 + z2) d) i = T nK + e) Q = c m (t2 t1) f) a = zg 2

R2 K M5. a) U20 = U b) F = + Z R1 + R2 100 RC RL c) ZL = RC + RL

Beispiel 1: Beispiel 2: n1 z2 Die Formel = soll nach z1 n2 z1 umgestellt werden.

n1 z2 = | n2 z1 n2 z1

n1 n2 z1 z2 n2 z1 = n 2 z1

n1 z1 = z2 n2 | : n1

n1 z1 z2 n2 = n1 n1

z2 n2 z1 = n1

r Die Formel R = soll nach A umgestellt werden. r R = | A A

r A R A = A

R A = r | : r

R A = r

R A =

r r r

14 1 Grundlagen

1.4 WinkelberechnungenIn der Technik werden Winkelangaben in Grad und berwiegend als Dezimalbruch angegeben, weil damit einfacher gerechnet und pro-grammiert werden kann. Winkelmae knnen auch in Grad, Minute und Sekunde ermittelt und mit dem Faktor 60 umgerechnet werden (Tabelle 1).

Tabelle 1: Einheiten der Winkel

160

1* = 60** =Minute *

160*

13600

1** = =Sekunde **

1 = 60* = 3600**Grad

UmrechnungEinheitenname Einheitenzeichen

Beispiel 1: Ein Kegelwinkel betrgt 2 51* 40**. Wie gro ist der Wert des Winkels als Dezimalbruch?

Lsung: 2 = 2,00

51* = = 0,85

40** = = 0,011

2 51* 40** = 2,861

516040

60 60

Winkelarten

Fr Winkel an Parallelen und sich schneidenden Geraden bestehen durch ihre Lage bestimmte geometrische Zusammenhnge (Bild 2).

Beispiel: Der Winkel a am Nocken (Bild 2) betrgt 20. Bestimmen Sie die Winkel b, j, e und d.

Lsung: g = 90; a + b + g = 180 b = 180 90 20 b = 70 b + j = 180; j = 180 70 = 110 a = e = 20; e = d = 20

Beispiel 2: Die Winkelangabe a = 15,71 ist in Grad, Minuten und Sekun-den umzurechnen (Bild 1).

Lsung: 15 = 15

0,71 = 0,71 60* = 42,6* 0,6* = 0,6 60** = 36** 15,71 = 15 42 36

90 7560

4530

150360

315

270

225

180

135

15,7106

Bild 1: Dezimale Winkelangabe

d

e

f

bg

a

Bild 2: Winkelarten

Nebenwinkel an Geraden

b + j = 180

Scheitelwinkel an Geraden

e = d

Stufenwinkel an Parallelen

a = e

Winkelsumme im Dreieck

a + b + g = 180

a, b, g, d, e, jBezeichnung fr Winkel

1.4 Winkelberechnungen 15

1

115

b

a

g

d

Bild 1: Platte

ba

g

Bild 2: Winkel im Dreieck

a

db h

=40

0

Bild 3: Wagenheber

Aufgaben Winkelberechnungen

1. Umrechnungen: Die folgenden Winkel sollen in Grad und in Minuten angegeben werden: 27,5; 62,67; 38,23.

2. Minutenumrechnung: Rechnen Sie folgende Angaben um: a) In Grad und Minuten: 362; 89; 582, 1324. b) In Minuten und Sekunden: 16,42, 49,6; 0,06.

3. Platte (Bild 1): Die Winkel a, b, g und d der Platte sind zu berechnen.

4. Winkel im Dreieck (Bild 2): Wie gro ist jeweils der dritte Drei-eckswinkel, wenn gegeben sind:

a) a = 17; b = 47 b) g = 72; b = 31 c) a = 121; g = 5641

5. Mittelpunktswinkel: Wie gro sind jeweils der Mittelpunkts-winkel a und der Eckenwinkel b im regelmigen Sechs-, Acht- und Zehneck?

6. Flansch: Auf dem Lochkreis eines Flansches sind 5 Bohrungen gleichmig verteilt. Wie gro ist der Mittelpunktswinkel zwi-schen je zwei Bohrungen?

7. Drehmeiel: Von einem Drehmeiel sind folgende Winkel bekannt: Freiwinkel a = 17, Spanwinkel g = 15.

Wie gro ist der Keilwinkel b?

8. Wagenheber (Bild 3): Die maximale Hhe eines Wagenhe-bers betrgt h = 400 mm. Die Schere hat dann oben einen ffnungswinkel von d = 50.

Wie gro sind die Winkel a und b?

9. Schablone (Bild 4): Die Winkel a, b und g der Schablone sind zu berechnen.

10. Stirling-Motor (Bild 5): Fr b = 77,85 erhlt man den grten Wert fr den Winkel a. Wie gro ist a in Grad und Winkel-minuten?

65

b

a

g

118

Bild 4: Schablone

a

G

b

20M

A

Bild 5: Stirling-Motor

16 1 Grundlagen

1.5 Winkelfunktionen im rechtwinkligen DreieckIm rechtwinkligen Dreieck knnen Winkel mit Hilfe von Funktio- nen ber die Verhltnisse der Seitenlngen berechnet werden. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenber und ist am grten. Die Katheten schlieen den rechten Winkel ein und werden mit Ankathete und Gegenkathete bezeichnet. Die Ankathete und die Hypotenuse schlieen den zu berechnenden Winkel ein (Bild 1).

Alle drei Seiten knnen jeweils paarweise zur Berechnung des Winkels a ins Verhltnis gesetzt werden. Dabei haben hnli- che Dreiecke dasselbe Seitenverhltnis und den gleichen Winkel a (Bild 2).

a

Ankathete a

Geg

enka

thed

e b

Hypothenuse c

Bild 1: Bezeichnungen im rechtwinklingen DreieckDer Winkel a betrgt 21,7978 (Bild 2).

Um Rundungsfehler zu vermeiden, sollte der Funktionswert der Winkelfunktion mindestens vierstellig im Taschenrechner verarbei-tet und angegeben werden.

Beispiel 2: An dem Rundstahl (Bild 3) mit Durchmesser 30 mm soll der grtmgliche Sechskant angefrst werden. Welche Schls-selweite ergibt sich fr den Sechskant?

Lsung:

a = c cos a = 15 mm cos 30 = 12,9904 mm

SW = 2 a = 2 12,9904 mm

SW = 25,9808 mm fi 26 mm

cos a = AnkatheteHypotenuse

ac

=

a = 602

= 30 ; c =30 mm

2= 15 mm

Definition der Winkelfunktion

c = 64,62

a = 40

ab =

24

a = 60

c = 43,08

b =

16II

I

Bild 2: Seitenverhltnisse hnlicher Dreiecke

30

SW

bc

a

a

Bild 3: Sechskant

GegenkatheteHypotenuse

Sinus =

AnkatheteHypotenuse

Kosinus =

GegenkatheteAnkathete

Tangens =

ba

=1640

= 0,4bc

=16

43,08= 0,3714 = 0,9285

ac

=40

43,08Dreieck

I

ac

=60

64,62= 0,3714

ba

=2460

= 0,4bc

=24

64,62= 0,9285

Dreieck II

tan a = 0,4 sin a = 0,3714 cos a = 0,9285Winkel- funktion

Beispiel 1: Zu den Winkelwerten in der Tabelle sind die entsprechenden Funktionswerte der Sinus-, Kosinus- und Tangens-Funktion zu berechnen.

Lsung:

Winkel Funktionswert

a sin a cos a tan a

30 0,5 0,866 0,5774

45 0,7071 0,7071 1

90 1 0 nicht def.

Tabelle 1: Funktionswerte fr verschiedene Winkel

c Hypothenuse mma, b Kathete (An-, Gegen-) mma, b Winkel sin Sinus cos Kosinus tan Tangens

1.5 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 17

1

Aufgaben Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

1. Berechnungen im Dreieck. Die fehlenden Werte in der Tabel-le 1 sind zu berechnen.

2. Kegelrder (Bild 1): Zwei Kegelrder, deren Achsen senk- recht aufeinander stehen, haben die Teilkreisdurchmesser d1 = 160 mm und d2 = 88 mm. Gesucht sind die Teilkreiswinkel d1 und d2.

3. Prismenfhrung (Bild 2): Fr die Prismenfhrung ist das Ma x zu berechnen.

4. Sinuslineal (Bild 3): Mit dem Sinuslineal werden Winkel geprft. Den Abstand E setzt man aus Endmaen zusammen. Wie gro ist E fr den Winkel a = 24,5, wenn die Lnge des Sinuslineals L = 100 mm betrgt?

5. Drehteil (Bild 4): Wie gro ist der Kegelwinkel a am Drehteil?

6. Trgerkonstruktion (Bild 5): Die Lngen der 4 Stbe d bis g sind zu berechnen.

7. Profilplatte (Bild 6): Die Auenkontur der Profilplatte wird in einem Schnitt auf einer NC-Maschine gefrst. Fr die Kontur-punkte P1 bis P8 sind die x- und die y-Koordinaten zu berech-nen.

8. Leistungsdreieck (Bild 7): An einer Wechselspannung von 230 V 50 Hz wurden die Werte des Leistungsdreiecks ermittelt. Berech- nen Sie a) die Scheinleistung S, b) die Blindleis tung QL und c) die Teilspannungen UW und Ubl.

d1

d2

d1

d 2

Bild 1: Kegelrder

36

x

17

1

80

Bild 2: Prismenfhrung

Werkstck

Zylinderendma

End-mae

Lineal

Eaa

La

Bild 3: Sinuslineal

S QL

UW

UblU

P = 69 W

J= 62

Bild 7: Leistungsdreieck

124

40

50

30a

Bild 4: Drehteil

45

20 P1

P2

P7

P6

P5

P4 P3

P8

X

Y

0

0

20

4030

28

37

20R16

60

Bild 6: Profilplatte

a = 3000 b = 2500

c =

2300

e

gdf

Bild 5: Trgerkonstruktion

Tabelle 1: Berechnungen im Dreieck

a b c d e

Hypotenuse c in mm 62 350 784

Kathete a in mm 30 760

Kathete b in mm 40

> a 55 4240

> b 50 17,67

18 1 Grundlagen

1.6 Schlussrechnung (Dreisatzrechnung)Mit der Schlussrechnung wird in drei Schritten die Lsung ermittelt.

Schlussrechnung fr direkt proportionale Verhltnisse

Zwei voneinander abhngige Gren verhalten sich im gleichen Verhltnis, d.h. direkt proportional, zueinander.

3. Schritt

1. Schritt2. Schritt

Anzahl der Mitarbeiter

Stu

nd

en

Ausgangswert Aw= 3Endwert Ew= 2

Au

sgan

gsm

eng

e A

m=

4

En

dm

eng

e E

m=

6

12

8

10

6

2

43

1 2 3 4 5 6

Bild 2: Arbeitsstunden

En

dw

ert

Ew

=67

2g

3. Schritt

2. Schritt

1. Schritt

112

500

Mas

se in

g

1000

2000

2800

AusgangsmengeAm= 25 Distanz-platten

MengeA = 1

EndmengeEm= 6 Distanz-platten

Au

sgan

gsw

ert

Aw

=28

00g

1 Dist

anz-

platte

Bild 1: Distanzplatten

Beispiel: 25 Distanzplatten haben eine Masse m = 2800 g. Welche Masse haben 6 Distanzplatten (Bild 1)?

Lsung: Grundaussage: Die Menge Am = 25 Distanzplatten hat die Masse Aw = 2800 g.

Eine Distanzplatte hat die MasseAwAm

2800 g25 St

=gSt

= 112

Berechnung des Wertes fr die Menge A = 1 Stck (St):

Em = 6 Distanzplatten haben die Masse

Ew =AwAm

Em2800 g25 St

6 St= = 672 g

Berechnung des Endwertes Ew fr die Endmenge Em:

Beispiel: Fr die Montage von 12 Kettensgen bentigen 4 Mitarbeiter 3 Stunden. Wie viele Stunden bentigen 6 Mitarbeiter fr die gleiche Anzahl Sgen (Bild 2)?

Lsung: Grundaussage: Die Menge Am = 4 Mitarbeiter bentigen die Zeit Aw = 3 Stunden.

Berechnung des Wertes fr die Menge A = 1 Mitarbeiter:

1 Mitarbeiter bentigt Am Aw = 4 3 Stunden = 12 Stunden

Em = 6 Mitarbeiter bentigen die Zeit

Am AwEm

Ew4 Mitarbeiter 3 h

6 Mitarbeiter2 h===

Berechnung des Endwertes Ew fr die Endmenge Em:

Schlussrechnung fr indirekt proportionale Verhltnisse

Zwei voneinander abhngige Gren verhalten sich im umgekehrten Verhltnis, d.h. indirekt proportional, zueinander.

Aufgaben Schlussrechnung

1. Werkstoffpreis: Eine Gieerei berechnet fr Stahlguss einen Preis von 1,08 EUR/kg. Wie viel kosten 185 Deckel mit einer Masse von je 1,35 kg?

2. Schutzgasverbrauch: Die Schweinaht an einem Schiff ist 78 m lang. Nach 23 m geschweiter Naht wurde ein Schutzgasver-brauch von 640 Liter festgestellt. Wie viel Liter Schutzgas sind fr die Fertigstellung der Naht noch erforderlich?

3. Notstromaggregat: Im 3-stndigen Betrieb verbrauchen 2 Not- stromaggregate 120 Liter Kraftstoff. Wie lange knnen 3 Aggre-gate mit einem Treibstoffvorrat von 240 Liter betrieben werden?

4. CuZn-Blech: 4 m2 eines 4 mm dicken Blechs aus CuZn37 haben eine Masse m = 136 kg. Welche Masse haben 10 m2 Blech mit einer Blechdicke von 6 mm?

5. Qualittskontrolle: In der Qualittskontrolle bentigen 3 Prfer 14 Stunden fr einen Prfvorgang. Wie viele Prfer mssten eingesetzt werden, um die Kontrollarbeiten in etwa 8 Stunden zu schaffen?

Endwert bei direkt proportionalem Verhltnis

Endwert bei indirekt proportionalem Verhltnis

Am Ausgangsmenge Aw Ausgangswert Em Endmenge Ew Endwert

AwAm

Ew = Em

Am AwEm

Ew =

1.7 Prozentrechnung 19

1

Aufgaben Prozentrechnung

1. Prozentwert: Zu berechnen sind:

a) 3 % von 54 EUR b) 3,5 % von 270,6 g

c) 0,5 % von 541 m d) 4,5 % von 132 min

e) 0,2 % von 234,3 bar f) 125 % von 240,25 EUR

2. Festplatte (Bild 2): Eine Bilddatei bentigt 80 MByte Speicher-platz auf einer Festplatte.

Wie viel Prozent Festplattenspeicher werden fr das Bild auf einer 10-GByte-Festplatte beansprucht?

3. Scanzeit: Ein Flachbettscanner bentigt fr den Scanvorgang einer Fotografie 2 min. Das Nachfolgemodell des Scanners soll bei dem gleichen Arbeitsauftrag 24 % schneller sein.

Berechnen Sie die Scanzeit des neuen Scannermodells.

4. Aktienfonds (Bild 3): Vor mehr als einem Jahr kauften Sie 15 Anteile eines Technologiefonds zu einem Preis von 85 EUR mit einem Ausgabeaufschlag von 5,25 %. Der Fonds hat vom Kauf-tag bis heute eine Wertsteigerung von 11 %.

a) Welchen Gesamtbetrag mussten Sie fr die 15 Anteile bezahlen?

b) Welcher Gewinn wre bei einem Verkauf zu erwarten?

1.7 ProzentrechnungBei der Prozentrechnung wird der Prozentsatz eines Grundwerts berechnet und als Prozentwert angegeben.

100

12/11 03/12 06/12 09/12

95

90

85

80

Monat/Jahr

Bild 3: Aktienfonds

Gru

nd

wer

t 50

0 E

uro

(10

0%

)

Pro

zen

twer

t 20

0 E

uro

50 Eu

ro

Pro

zen

t-sa

tz 4

0%Bild 1: Begriffe beim Prozentrechnen

Bild 2: Festplatte

Ps Prozentsatz %Gw Grundwert Pw Prozentwert %Ew Endwert Am Ausgangsmenge Em Endmenge Aw Ausgangswert

Beispiel 1: Wie gro ist der Prozentwert Pw in EUR fr einen Grundwert Gw = 500 EUR bei einem Prozentsatz Ps = 40 % (Bild 1)?

Lsung: Gw 500 EURPw = Ps = 40 % = 200 EUR oder 100 % 100 %

Aw Am 500 EUREw = Em ; Em = Ew = 40 % = 200 EUR Am Aw 100 %

Beispiel 3: Ein schadhafter Behlter verlor 38,84 Liter Flssigkeit, das sind 16 % der Flssigkeit.

Wie viel Liter Flssigkeit enthielt der Behlter?

Lsung: Gw 100 % 100 % Pw = Ps ; Gw = Pw = 38,84 l = 242,75 l oder 100 % Ps 16 %

Aw Aw 100 %Ew = Em ; Am = Em = 38,84 l = 242,75 l Am Ew 16 %

Endwert (Schlussrechnung)

Prozentwert

Beispiel 2: Von 600 gefertigten Zahnriemen sind 17 Ausschuss. Der Pro-zentsatz Ps fr den Ausschuss ist zu berechnen.

Lsung: Gw 100 % 100 %Pw = Ps; Ps = Pw = 17 = 2,83 % oder 100 % Gw 600

Aw 100 %Ew = Em ; Ew = 17 = 2,83 % Am 600

Gw100 %Pw = Ps

AwAm

Ew = Em

20 1 Grundlagen

5. Preiserhhung (Bild 1): Wie viel Prozent betrgt die jeweilige Preiserhhung, wenn folgende Preise um je 0,20 EUR stei-gen: 1,60 EUR; 3,75 EUR; 12,75 EUR; 17,45 EUR?

6. Preissenkung (Bild 2): Wie viel Prozent betrgt die jeweilige Preisermigung, wenn folgende Preise um je 0,18 EUR herabgesetzt werden: 3,00 EUR; 5,73 EUR; 2,50 EUR; 9,10 EUR?

7. Gussstck: Ein Gussstck wiegt nach der Bearbeitung 126 kg; der Rohling wog 150 kg. Wie gro ist die zerspante Menge in Prozent?

8. Dehnung: Eine 1,5 m lange Stange wird auf Zug beansprucht und verlngert sich dabei um 1 mm. Gesucht ist die Deh-nung in Prozent.

9. NC-Maschine: Eine NC-Drehmaschine wird fr 87 500,00 EUR mit 15 % Verlust gegenber dem Anschaffungspreis verkauft. Wie viel EUR hat die Maschine ursprnglich gekostet?

10. Fertigungszeit: Durch Verbesserung des Arbeitsverfahrens wird die Fertigungszeit fr ein Werkstck, fr dessen Herstel-lung bisher 6,5 Stunden gebraucht wurden, um 22 % verrin-gert. Wie gro ist der Zeitgewinn in Stunden?

11. Lotherstellung: In einer Schmelze sollen 150 kg des Weich-lotes L-Sn63Pb37 hergestellt werden. Berechnen Sie die Ein-zelmassen an Zinn und Blei in der Schmelze.

12. Verschnitt (Bild 3): Fr die Herstellung von Blechdosen ist ein Zuschnitt von 160 cm2 Stahlblech notwendig. Als Abfall ergeben sich 44 cm2 Stahlblech. Gesucht ist der Zuschlag fr Verschnitt in Prozent.

13. Zugfestigkeit: Durch Vergten wurde die Zugfestigkeit eines Stahles um 42 % auf 1250 N/mm2 erhht. Wie gro war die Zugfestigkeit des Werkstoffes vor der Wrmebehandlung?

14. Kreisschaubild (Bild 4): Die chemische Untersuchung eines Eisenerzes ergab die in dem Kreisschaubild dargestellten Prozentanteile. Wie viel kg jedes Stoffes enthalten 1630 kg dieses Erzes?

15. Gehusegewicht: Um wie viel Prozent vermindert sich das Gewicht eines Gehuses, das bisher aus 1 mm dickem Stahl-blech (Dichte r = 7,85 kg/dm3) bestand und nun aus 2 mm dickem Alu miniumblech (Dichte r = 2,6 kg/dm3) hergestellt werden soll?

16. Rundstahl: Fr Drehteile muss anstelle des fehlenden Rund-stahles mit dem Durchmesser 25 mm ein Rundstahl mit 30 mm verarbeitet werden. Wie viel Prozent des Werkstof- fes gehen durch die Vergrerung des Durchmessers ver-loren?

17. Strommesser: Ein Strommesser der Genauigkeitsklasse 1,5 (Betriebsmessinstrument) hat einen Anzeigefehler von 1,5 % vom Endausschlag.

a) Welcher Anzeigefehler ergibt sich, wenn der Messbereich 50 A betrgt?

b) Welche Grenzwerte des Stromes sind zulssig, wenn die-ses Messgert 12 A anzeigt?

PreiserhhungErhhung in %

bish

erig

er P

reis

100

%

neue

r Pr

eis

Bild 1: Preiserhhung

PreissenkungAbschlag in %

bish

erig

er P

reis

100

%

neue

r Pr

eis

Bild 2: Preissenkung

Zuschnitt 100 %

Zuschlag fr Verschnitt

Blechbedarf (100+y )%

Zuschlag frVerschnitt y %

MantelDeckel

Boden

Bild 3: Verschnitt

Schwefel(S) 0,3 % Phosphor (P) 0,6%

Eisen (Fe)36 %

Gangart(erdigeBestandteile)

31,8 %

Mangan (Mn)24 %

7,3 %Quarz(SiO2)

Bild 4: Kreisschaubild