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RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUIT RLC - corrigé des exercices A. EXERCICE DE BASE I. Régime propre d'un circuit RLC 1. • Lʼéquation différentielle qui décrit le régime “propre” dʼun circuit RLC-série peut sʼécrire (loi des

mailles) : R i + L

!

didt

+

!

qC

= 0 avec i =

!

dqdt

. Ceci correspond à : q•• + 2α q• + ω02 q = 0 avec α =

!

R2L

et

ω0 =

!

1LC

.

• En régime “propre” peu amorti (R faible, tel que α < ω0) les solutions sont pseudo-périodiques, de la

forme : q = q0 e-αt cos(ωt + φ) avec ω =

!

"02 # $2 . La pseudo-période est donc : T =

!

2"#

=

!

2"

#02 $ %2

avec ω0 =

!

2"T0

et donc : T =

!

T0

1" T0#2$

%

& '

(

) * 2

.

◊ remarque : on retrouve bien ainsi T → T0 quand R → 0 (α → 0).

• En développant à lʼordre le plus bas : T ≈ T0

!

1+12T0"2#

$

% &

'

( ) 2$

% & &

'

( ) ) et β =

!

T " T0T0

≈

!

12T0"2#

$

% &

'

( ) 2. La limite

β < 10-3 correspond alors à : α =

!

R2L

<

!

2"T0

!

2.10"3 cʼest-à-dire : R <

!

8.10"3 LC

= 2,83 Ω.

2. • Le facteur de qualité peut sʼécrire : Q =

!

L"0R

=

!

"#T0

. Si on utilise lʼapproximation : β =

!

T " T0T0

≈

≈

!

12T0"2#

$

% &

'

( ) 2 = 1

8Q 2 , on obtient alors pour la résonance aiguë : β ≈ 1,2.10-3 ; on peut donc en conclure

quʼun circuit RLC peu amorti, et donc très résonant, effectue des oscillations libres très semblables aux oscillations forcées résonantes.

• Pour une résonance “moyenne”, lʼapproximation : β =

!

T " T0T0

≈ 18Q 2 donne : β ≈ 0,12 ; on peut

donc en conclure quʼun circuit RLC moyennement amorti, et donc médiocrement résonant, effectue des pseudo-oscillations libres à peu près semblables aux oscillations forcées résonantes.

• Pour une résonance floue, lʼapproximation : β =

!

T " T0T0

≈ 18Q 2 donne : β ≈ 12 ≫ 1 ; elle est

donc visiblement absurde. Le calcul exact donne : T = T0

1! 18Q 2

, cʼest-à-dire quʼil nʼy a plus de pseudo-

oscillations pour Q ≤ 0,35. II. Réponse à un échelon de courant 1.a. • La loi des nœuds impose : ic = i + iʼ + i”. La loi des mailles impose : R iʼ = L

!

didt

.

1.b. • La loi des mailles impose : R iʼ =

!

qC

. La charge du condensateur impose : i” =

!

dqdt

.

2

1.c. • La combinaison des équations précédentes donne :

!

d2idt2

+

!

1RC

!

didt

+

!

1LC

i =

!

1LC

ic.

2.a. • En posant α =

!

12RC

et ω0 =

!

1LC

l'équation précédente s'écrit :

!

d2idt2

+ 2α

!

didt

+ ω02 i = ω0

2 ic.

• Le discriminant réduit de l'équation caractéristique correspondante est : Δʼ = α2 - ω02 < 0.

• Pour t < 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = e-αt [A cos(ωt) + B sin(ωt)] avec la pseudo-pulsation ω =

!

"02 #$2 . La situation étant invariante pour tout t < 0, la seule solution

possible est : i = 0. On en déduit par conséquent : iʼ =

!

LR

!

didt

= 0 et i” = RC

!

d " i dt

= 0.

• Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = I + e-αt [A cos(ωt) + B sin(ωt)]

et les conditions initiales imposent : i = I - I e-αt [cos(ωt) +

!

"#

sin(ωt)]. On en déduit par suite : iʼ =

!

LR

!

didt

=

= I e-αt

!

2"#

sin(ωt) et i” = RC

!

d " i dt

= I e-αt [cos(ωt) -

!

"#

sin(ωt)].

2.b. • Les allures des variations respectives des courants i, iʼ et i” sont les suivantes :

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-5 0 5 10 15 20

t

i(t)

3

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-5 0 5 10 15 20

t

i’(t)

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-5 0 5 10 15 20

t

i’(t)

3.a. • Avec les mêmes notations, le discriminant réduit de l'équation caractéristique est : Δʼ = α2 - ω0

2 > 0. • Pour t < 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = A e-λt + B e-µt en posant β = =

!

"2 #$02 ; λ = α - β et µ = α + β > λ. La situation étant invariante pour tout t < 0, la seule solution

possible est : i = 0. On en déduit par conséquent : iʼ =

!

LR

!

didt

= 0 et i” = RC

!

d " i dt

= 0.

• Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = I + A e-λt + B e-µt et les condi-

tions initiales imposent : i = I - I

!

µ2"

[e-λt -

!

"µ

e-µt]. On en déduit : iʼ =

!

LR

!

didt

= I

!

"#

[e-λt - e-µt] et i” =

= RC

!

d " i dt

= I

!

µ2"

[e-µt -

!

"µ

e-λt].

4

3.b. • Les allures des variations respectives des courants i, iʼ et i” sont les suivantes :

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-5 0 5 10 15 20

t

i(t)

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-5 0 5 10 15 20

t

i’(t)

5

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-5 0 5 10 15 20

t

i’(t)

4.a. • La loi des mailles modifiée s'écrit maintenant : R iʼ = r i + L

!

didt

.

• La combinaison des équations donne :

!

d2idt2

+

!

1RC

+rL

" # $

% & '

!

didt

+

!

R + rR

!

1LC

i =

!

1LC

ic.

4.b. • Pour retrouver la même équation, il est nécessaire et suffisant d'imposer :

!

1" R " C

=

!

1RC

+rL

;

!

1" L " C

=

!

R + rR

!

1LC

;

!

1" L " C

Iʼ =

!

1LC

I.

• Ce système de trois équations à quatre inconnues a en fait une infinité de solutions : on peut imposer une contrainte supplémentaire.

4.c. • En imposant Cʼ = C, on obtient : Rʼ =

!

LL + rRC

R ; Lʼ =

!

RR + r

L ; Iʼ =

!

RR + r

I.

◊ remarque : cette “renormalisation” des coefficients permet de simplifier le calcul et de retrouver toutes les quantités souhaitées. 4.d. • Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = Iʼ + A e-λʼt + B e-µʼt avec les

coefficients : αʼ =

!

12 " R C

=

!

L + rRCL

α ; ω’0 =

!

1" L C

=

!

R + rR

ω0 ; βʼ =

!

" # 2 $ " % 02 ; λʼ = αʼ - βʼ et

µʼ = αʼ + βʼ. • Les conditions initiales imposent ici encore la continuité de i(t) dans la bobine (car dans l'inductance)

et la continuité de la dérivée

!

didt

(continuité de la tension aux bornes du condensateur, donc de la tension

r i + L

!

didt

aux bornes de la bobine, donc la continuité de i impose celle de

!

didt

).

4.e. • Le raisonnement sur le régime apériodique nécessitait R >

!

12

!

LC

; l'application au nouveau rai-

sonnement nécessite de même Rʼ >

!

12

!

" L C

; ceci impose donc :

!

LL + rRC

>

!

RR + r

.

• On en déduit la condition : r <

!

L2

R3C1" 2R

2CL

#

$ %

&

' ( ; c'est donc envisageable seulement si la résistance

r de la bobine n'est pas trop grande.

6

• Qui plus est, la condition R >

!

12

!

LC

correspond à

!

2R2CL

>

!

12

; il faut donc que le régime ne soit

pas “trop” apériodique :

!

12

<

!

2R2CL

< 1 correspond à

!

12

!

LC

< R <

!

L2C

(sinon les deux cas, avec ou

sans r, ne sont pas du même type, donc le raisonnement ne peut pas s'appliquer). III. Limite du régime critique

1. • Pour α > ω0, on peut écrire : u(t) = (E - Eʼ) e-2αt

!

µeµt " #e#t

µ " # + Eʼ.

• La limite α → ω0 correspond à µ → α et λ → α ; ainsi :

u(t) → (E - Eʼ) e-2αt

!

" #e#t( )"#

+ Eʼ = (E - Eʼ) e-2αt (αt + 1) eαt + Eʼ = (E - Eʼ) (αt + 1) e-αt + Eʼ.

2. • Pour α < ω0, près du cas critique, la décroissance rapide de l'amplitude d'oscillation fait que le comportement général est semblable à celui au voisinage de t = 0. On peut alors considérer cos(ωt) ≈ 1 et sin(ωt) ≈ ωt ; ceci donne : u(t) ≈ (E - Eʼ) e-αt [1 + αt] + Eʼ. Des précisions sont toutefois nécessaires.

• En posant λʼ = α - jω et µʼ = α + jω, on peut écrire : u(t) = (E - Eʼ) e-2αt

!

" µ e " µ t # " $ e " $ t

" µ # " $ + Eʼ. La

limite α → ω0 correspond à µʼ → α et λʼ → α ; on obtient ainsi le même résultat que précédemment. B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT IV. Propagation le long d'un câble coaxial 1. • Le courant traversant la capacité est : i1 = i(x) - i(x + dx) = -δi = -

!

"i"x

dx.

• On en tire :

!

" u x + dx( )( )"t

=

!

"#q#C$

% &

'

( )

"t =

!

"i#dx

= -

!

1"

!

"i"x

. Ceci peut s'écrire :

!

"u"t

= -

!

1"

!

"i"x

car la différence

entre u(x) et u(x + dx) est ici négligeable puisque d'ordre supérieur. 2. • Les tensions aux bornes des inductances sont : uAAʼ = δL

!

"i"t

=

!

"2

dx

!

"i"t

et uBBʼ = -

!

"2

dx

!

"i"t

.

• On peut écrire : δu = u(x + dx) - u(x) = -λ dx

!

"i"t

mais δu =

!

"u"x

dx donc :

!

"u"x

= -λ

!

"i"t

.

3. • En combinant les deux équations entre u et i, on obtient :

!

"2u"x2

= -λ

!

"2i"x"t

= γλ

!

"2u"t2

, donc u est

solution d'une équation de la forme :

!

"2f"x2

- γλ

!

"2f"t2

= 0. On obtient une équation de la même forme pour i.

4. • Les fonctions de la forme f(t ±

!

xc

) donnent :

!

"2f"x2

=

!

1c2

!

"2f"t2

; elles sont solution de l'équation du type

précédent si : c =

!

1"#

=

!

1"0µ0

.

• Ce type de solutions décrit une propagation. Propagation à la célérité c vers les x > 0 pour

!

f1 t "xc

#

$ %

&

' ( ,

puisqu'on retrouve la même valeur de la fonction pour tʼ > t à la position xʼ = x+ct > x. De même,

!

f2 t +xc

"

# $

%

& '

décrit une propagation à la célérité c vers les x < 0.

7

• En outre, c =

!

1"0µ0

= 3.108 m.s-1 est la célérité de la lumière dans le vide.

V. Transformation de Laplace 1.a. • Pourvu que les intégrales convergent (ce qui peut imposer des conditions restrictives sur les fonc-tions f autorisées), on peut intervertir lʼordre dʼintégration en respectant le domaine (u, t) ∈ ℝ+2 avec t > u :

L {

!

f u( )du0

t" } =

!

f u( )du0

t"# $ %

&

' (

0

)

" e*pt dt =

!

e"pt dtu

#

$% & ' (

) *

0

#

$ f u( )du

L {

!

f u( )du0

t" } =

!

1p

!

e"pu0

#

$ f u( )du =

!

1p

L {f(u)} =

!

1p

F (p).

◊ remarque : L {f(u)} = L {f(t)} car la variable t de f(t) est une variable “muette”, cʼest-à-dire qui dispa-raît (après intégration) dans lʼécriture de F (p). 1.b. • Dʼune façon analogue, à lʼaide dʼune intégration par parties :

L {

!

df t( )dt

} =

!

df t( )dt0

"

# e$pt dt =

!

f t( )e"pt[ ]0# -

!

f t( )d e"pt( )dt0

#

$ dt

L {

!

f u( )du0

t" } = f(0) + p

!

f t( )e"pt0

#

$ dt = p L {f(t)} = p F (p). 1.c. • En outre, par simple intégration : L {h(t)} =

!

h t( )e"pt0

#

$ dt =

!

e"pt0

#

$ dt = -

!

1p

!

e"pt[ ]0#

=

!

1p

.

• De même avec un changement de variable : L {h(t - θ)} =

!

h t " #( )e"pt0

$

% dt =

!

h " t ( )e#p. " t +$( )#$

%

& d " t =

!

h " t ( )e#p. " t +$( )0

%

& d " t

L {h(t - θ)} = e-pθ

!

h " t ( )e#p " t 0

$

% d " t =

!

1p

e-pθ.

1.d. • Dʼune façon semblable : L {h(t)e-at} =

!

h t( )e"at e"pt0

#

$ dt =

!

e" p+a( )t0

#

$ dt =

!

1p+ a

.

• De même avec un changement de variable : L {h(t - θ) e-a(t-θ)} = e-pθ L {h(t) e-at} =

!

1p+ a

e-pθ.

◊ remarque : il y a une symétrie de comportement : ◊ la multiplication de f(t) par e-at décale F (p) en F (p + a) ; ◊ le décalage de f(t) en f(t - θ) multiplie F (p) par e-pθ. 2.a. • Pour t ≤ 0 le condensateur est déchargé et la tension entre ses bornes est nulle ; le courant est donc nul et la tension aux bornes de la résistance est nulle : la tension E se retrouve aux bornes de lʼinterrupteur. • Lʼassemblage RC est alors soumis à une tension nulle, mais ceci nʼéquivaut à un générateur de f.e.m. nulle que si le courant est libre de circuler. Toutefois, on considère le cas où le condensateur est déchargé, ce qui implique un courant nul, donc le circuit avec lʼinterrupteur qui empêche le courant de circu-ler (en supportant E) revient au même quʼun circuit avec une f.e.m. nulle en lʼabsence dʼinterrupteur. Pour t > 0 le circuit est soumis à la f.e.m. E, ce qui équivaut au total à : e(t) = E h(t). 2.b. • La loi des mailles sʼécrit : e(t) = R i(t) +

!

1C

!

i t( )dt" .

8

2.c. • Par sa définition sous forme dʼintégrale, la transformée de Laplace est linéaire : L (f + g} = L {f} + L {g} et L {αf} = α L {f}.

• Compte tenu de la question précédente, on en déduit : E (p) = R I (p) +

!

1C

!

1p

I (p).

• Puisque : E (p) = L {e(t)} = E L{h(t)} =

!

Ep

, on en déduit : I (p) =

!

E

R. p+1RC

"

# $

%

& '

. Dʼaprès la question

précédente, on obtient : i(t) =

!

ER

h(t)e-t/τ avec τ = RC.

3.a. • La loi des mailles sʼécrit : e(t) = L

!

di t( )dt

+ R i(t) +

!

1C

!

i t( )dt" .

3.b. • On en déduit : E (p) = Lp I (p) + R I (p) +

!

1C

!

1p

I (p).

3.c. • Puisque : E (p) = L {e(t)} = E L {h(t)} =

!

Ep

, on en tire (en utilisant lʼhypothèse de factorisation indi-

quée par lʼénoncé) : I (p) =

!

EL. p" # $ ( ) p" # # $ ( )

.

• Ceci peut se décomposer en fractions rationnelles simples : I (p) =

!

EL. " # $ " " # ( )

!

1p" # $

"1

p" # # $

%

& '

(

) * .

3.d. • Dʼaprès la question précédente, on obtient : i(t) =

!

EL. " # $ " " # ( )

h(t) (eωʼt - eω”t).

• Si les deux racines sont réelles, elles sont négatives (les coefficients du polynôme caractéristique indiquent deux racines de même signe dont la somme est négative) ; on obtient une somme de deux expo-nentielles décroissantes, ce qui correspond à un régime amorti apériodique. • Si les deux racines sont complexes (conjuguées), leur partie réelle commune est négative, et on obtient le produit dʼune exponentielle décroissante par une sinusoïde, ce qui correspond à un régime amorti pseudo-périodique.