Experimento 2: Frequências próprias complexas.

Disciplina: EN2705 – Circuitos Elétricos 2.

Discentes: Breitner Szot Marczewski Bruno José Rodrigues dos Santos Fernando Henrique Gomes Zucatelli Lucas André Tonin

Turma: B/Noturno

Prof º Dr. Fabiano Fragoso Costa.

Santo André, 27 de Outubro de 2011

1

1. INTRODUÇÃO

Um dos principais objetivos de se utilizar a resposta em freqüência de circuitos

elétricos é a construção de filtros seletores de freqüência largamente utilizados em

aplicações como sistemas estereofônicos e em circuitos de telefones de teclas [1].

A função de transferência, definida como a razão no domínio da freqüência entre a

transformada de Laplace da resposta pela transformada de Laplace da entrada é de

onde origina toda a análise. Os zeros do polinômio característico que representa o

denominador da função de transferência são denominados freqüências complexas

próprias. Podem ser simples ou múltiplos. Seja então uma resposta de freqüência

natural dada por:

A parte real desta freqüência determina o amortecimento enquanto a parte

imaginária determina a freqüência angular [2]. A resposta pode ser uma freqüência

real e simples assim como uma resposta de complexos conjugados. A aplicação ao

circuito RLC paralelo possui como base o circuito da figura 1.

Figura 1 - Circuito RLC paralelo

Sabendo que o polinômio que descreve o comportamento deste circuito no

âmbito da resposta em freqüência é:

E que os pólos são dados por:

2

Onde

e

.

Para α maior do que diz-se que o sistema é superamortecido e possui raízes

reais e distintas. Para α igual a diz-se que o sistema é criticamente amortecido e

possui raízes reais e iguais, e para α menor do que diz-se que o sistema é

oscilatório e possui raízes complexas conjugadas. Este último em especial possui

resposta do tipo:

Este sistema oscila envelopado por duas exponenciais de acordo com a figura 2.

Figura 2 - Sistema oscilatório repetitivo [3]

Onde é denominado freqüência natural do sistema e é dado por .

Outro parâmetro importante largamente utilizado na análise do ponto de vista da

freqüência de circuitos e que representa uma característica intrínseca do circuito é

dada por

e chama-se índice de mérito [2], [3]. Um dos fenômenos mais

importantes associados a este tipo de análise é a ressonância, onde um sistema ao

receber um sinal com freqüência igual à freqüência de um de seus pólos passa a

3

oscilar com amplitude cada vez maior. Este tipo de fenômeno ocorre em todo tipo de

sistema vibracional, como em ondas mecânicas, eletromagnéticas e funções de

ondas quânticas. Industrialmente o fenômeno é utilizado geralmente em

telecomunicações atuando como intermediários entre os sistemas transmissores e

os sistemas receptores [2].

2. OBJETIVOS

Determinar as frequências próprias de uma rede RLC em paralelo utilizando o

regime transitório repetitivo.

3. PARTE EXPERIMENTAL

3.1. Materiais

Protoboard

Resistoresde 1 kΩ

Capacitor 0,1µF

Indutor 1 mH

Multímetro Minipa® ET-2510

Fonte geradora de sinal Tektronix modelo AFG 3021B;

Osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B;

Cabos e fios para conexão.

PenDrive (memória flash)

3.2. Métodos

3.2.1. Medição das frequências complexas próprias

A Figura 3 mostra o circuito RLC em paralelo com uma fonte de corrente.

Figura 3 – Circuito idealizado

1kΩ

R

C10.1µF

L11mHI 0.000 V

+

-

4

Como não é possível construir uma fonte de corrente, utiliza-se o teorema da

equivalência de fonte para obter um circuito equivalente com fonte de tensão

conforme Figura 4. Onde Rg denota a resistência interna da fonte (gerador de

sinais), de tal forma que R>>Rg.

Figura 4 – Circuito montado

O gerador de sinais foi configurado para fornecer 3Vpp e offset de 1,5V. Assim

a corrente é dada por (1).

( ) 3

; e t

I R RgR Rg R

(1)

Analisando o circuito da Figura com uso da Transformada de Laplace.

( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

R L C

v t dv ti t i t i t i t v t dt C

R L dt

(2)

Aplicando a Transformada de Laplace em (2)

( ) ( )( ) (0 )

V s V sI s i

R Ls

0

( ) (0 )CsV s v 0

2

2

1 1( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

Cs V sR Ls

Ls R RLCs V s RLsI s V s H s

RLs I s RLCs Ls R

RLH s

s

RL

1 1

2 1 12 1 2

. .

( ( ) ( ) ) ( )( )( )

s C s C

Ls R s RC s LC s sC s

RLC RLC

(3)

Onde as raízes λ são dadas por(4)

2 2

1,2

2 2 2 2 2

1,2 0 0 0

1 1 1 4 1 1 1

2. . 2 . . 2. . 2. . .

1 1; ; ;

2. . .d d

R C R C L C R C R C L C

jR C L C

(4)

Pode-se definir ainda a frequência da oscilação fde o índice de mérito Q:

0;2 2.

ddf Q

(5)

Rg

e(t)=I.(R+Rg)

1kΩ

R C20.1µF

L21mH

5

Para o circuito da Figura , sendo a entrada do i(t) = 3/ R chega-se na seguinte

equação para o sistema considerando a tensão indicada como a saída do sistema,

considerando que 2 2

1 2 1 2 0; , ; ,i.e., 0d .

( ) ( ). ( )s

V s H s I s 1 1

1 2

. 3..

( )( )

C R

s s s

1 2

1 2( ) ( )

k k

s s

(6)

Calculando k1 e k2:

1 1

1

1

3. .

( )

R Ck

s

1

2

. ( )( )

ss

021

2

( )( )

ks

s

1

1 1

1 2

1 1

2

1 2

3.( ) 3.( )

( ) 2

3. .

( ) ( )

ds

RC RC

j

R Ck

s s

2. ( )s 012

1

( )( )

ks

s

2

1

1

1 2

3.( )

( )s

RCk

(7)

Sendo a solução v(t), a anti-transformada de V(s),é dada por (8):

1 2 . . . .

1 2 1

1. . . . 1

( ) . ( )

3.( )( ) . .( ) 3.( . . ) . .(sin( . ))

2 .

d d

d d

t j t t j tt t

j t j tt t

d d

d

v t k e k e k e e

RCv t e e e R C e t

j

(8)

No caso de 2 2

1 2 1 2 0; , ; ,i.e., 0d então se tem (9)

1

1 2

1 2 1 2

3.( )( ) ( ). ( )

( )( ) ( ) ( )

k kRCV s H s I s

s s s s

(9)

Sendo v(t) a anti-transformada dada por (10)

1 2

1 2( ) .t t

v t k e k e

(10)

No caso de 1 2 0 então a solução v(t) descreve um sistema

criticamente amortecido e é dada pela anti-transformada de (11) descrita em (12)

1

0

2 2

3.( . )( ) ( ). ( )

( ) ( )

kR CV s H s I s

s s

(11)

1

0( ) . . 3.( . ) . .t tv t k t e R C t e (12)

3.2.2. Comparação com regime senoidal permanente

O gerador de sinais foi ajuste para onda senoidal de 3Vpp e 0V offset.

A frequência do gerador de sinais foi sendo alterada e a amplitude da saída

simultaneamente visualizada na tela do osciloscópio, de forma a verificar o momento

em que a amplitude deixava de aumentar e passava a diminuir. A taxa de variação

6

da frequência foi sendo reduzida após identificar a região de troca de crescimento da

amplitude, até ser possível determinar experimentalmente o ponto de máxima

amplitude da onda de saída.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1. Medição das frequências complexas próprias

A Tabela 1 apresenta os valores obtidos experimentalmente e os valores

teóricos de cada um dos componentes utilizados no circuito.

Tabela 1 –Valores medidos de R, L, C.

R (Ω) L (mH) C (nF)

Nominal 1000 1 100

Medido 993 0,84 104,9

Os parâmetros para a equação (4) que se espera encontrar a partir dos valores

medidos na Tabela 1 são apresentados na Tabela 2:

Tabela 2 – Valores dos parâmetros calculados a partir de R, L, C medidos.

α (Hz) ω0(rad/s) ωd (rad/s) fd (kHz) Q

Teórico 4800,045 106530 106421 16,937 11,10

A Figura 5 mostra o sinal de onda quadrada proveniente do gerador de sinais

com amplitude 3Vpp e 1,5V (Offset).

7

Figura 5 – Gerador de sinais

A Figura 6 mostra a forma de onda referente a equação (12), uma senoide

encapsulada por uma exponencial decrescente que é resultado da excitação do

circuito RLC em paralelo a uma onda quadrada.

Figura 6 – Senoide amortecida do sistema dinâmico RLC paralelo.

A Figura 7 mostra as medições de tempo entre duas oscilações consecutivas

da senoide amortecida e as respectivas amplitudes.

8

Figura 7 – Medição do período entre duas oscilações e de suas amplitudes

A frequência da senoide conforme a medição é de 17kHz (fd) e confere com a

equação

A amplitude do primeiro pico é A0=252mV e a o segundo é A1=144mV.

Portanto o valor de α é dado por Erro! Fonte de referência não encontrada.

0 0

1

1 232ln ln 17000ln 9478,5 Hz

1 144

d

n

A f A mV

nT A A mV

Erro! Fonte de referência não encontrada.

Este valor difere muito do valor encontrado na equação (5)

A equação (14) permite obter o valor de ω0 de acordo com o α da equação

Erro! Fonte de referência não encontrada. que foi obtido experimentalmente

2 2 2 2 2 2

0 0 0 106313 Hzd d (13)

A equação (15) é o novo índice de mérito para os dados experimentais

0 1063135,6

2. 2.9478,54Q

(14)

A equação (16) calcula o valor experimental das capacitâncias presentes no

circuito.

91 156,5.10 F 56,5 nF

2. . 2.933.9478,54C

R C (15)

A equação (17) calcula o valor experimental das indutâncias presentes no

circuito.

2

0 2 2 9

0

1 1 11,57 mH

. . (106313) .56,6.10L

L C C

(16)

9

A Tabela 3 apresenta a comparação entre os valores teóricos (medidos para L

e C e calculados a partir de L e C medidos – Tabela 2) com os valores calculados

com base nas informações adquiridas na análise no osciloscópio.

Tabela 3 – Comparação dos valores teóricos e experimentais.

α (Hz) ω0(rad/s) ωd (rad/s) fd(Hz) Q L (mH) C (mF)

Teórico 4800,045 106530 106421 16,937 11,1 0,84 104,9

Experim. 6748,5 106313 106814 17,000 5,6 1,57 56,6

Nota-se que somente o valores da oscilação ωd e fd permaneceram iguais,

dentro de uma margem de arredondamentos, em relação ao teórico calculado e o

experimental observado. O problema se encontra na obtenção do α experimental e

depois comparando-o com o valor teórico.

Como os elementos do circuito não são ideais e, obviamente, muitos deles

apresentam um comportamento diferente do teórico e acabam modificando os

valores experimentais obtidos. Nesse caso temos a presença de uma capacitância

parasita associada ao indutor, em virtude da proximidade dos fios de enrolamento da

bobina que compõem o componente. Em geral ignora-se a capacitância parasita em

frequências pequenas, porém como nesse caso estamos trabalhando uma

frequência não tão baixa do gerador de sinais infelizmente há uma influência na

forma da senoide encapsulada (Figura ) e que modifica a obtenção dos valores de α

teórico (Figura ), gerando um efeito cascata. Como a obtenção do α experimental é

utilizada nos cálculos de L, C e Q (equações (17), (18), (19)) experimentais, o que

explica a discrepância dos valores observada na Tabela 3.

4.2. Comparação com regime senoidal permanente

A Figura 8 mostra a senoide com maior amplitude de 17 kHz.

10

Figura 8 – Senoide obtida de maior amplitude na frequência de ~17kHz

A maior amplitude obtida foi com a frequência em torno do valor de 17 kHz, que

não por coincidência é o mesmo valor de fd encontrado no item anterior. Esse

fenômeno de maior amplitude nessa determinada frequência pode ser entendido

como uma evidência que o circuito RLC em paralelo se comporta como um filtro

passa faixa, cujas amplitudes em torno da frequência de passagem. Não obstante os

circuitos RLC em paralelo são muito utilizados em transmissores e receptores de

rádio e televisão, sendo um filtro relativamente simples e que é usado em nosso dia

a dia.

5. CONCLUSÃO

O experimento serviu ao seu propósito para a verificação das frequências

próprias complexas do circuito RLC em paralelo. Apesar dos valores experimentais

em alguns dos itens (α, L, C e Q) divergirem claramente em relação aos valores

teóricos em função da influência capacitância parasita do indutor, o experimento

ainda se mostrou plausível já que a obtenção experimental dos itens que não

dependiam de α mostraram-se corretas.

Quando excitado por um sinal senoidal o circuito do experimento atua como um

filtro passa faixa, cortando faixas alheias a região de 17 kHz.

11

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] - ALEXANDER, Chales K.; SADIKU, Mattew N. O..Fundamentos de

circuitos elétricos. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. A - 107p. OLIVEIRA,

Carlos C.

[2] – Roteiro do experimento disponível em

<htt://sites.google.com/site/ufabccircuitoseletricos2>. Acesso em 16 de Nov.

2011

Departamento de Engenharia Elétrica UFC. Disponível em

<http://www.dee.ufc.br/~rleao/Circuitos/CircII_3.pdf> . Acesso em 08 de Nov.

2011

FILTROS. Departamento de Telecomunicações Unicid (Universidade Cidade

de São Paulo). Disponível em <http://www2.unicid.br/telecom/fintel/VI-

Fintel/feira/E2B2.html>. Acesso em 08 de Nov. 2011